Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2."

Transcript

1 Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη ιδιότητα που έχουν ταξινοµηθεί και η ϑεωρία τους µπορεί να συµπεριληφθεί σε ένα ϐιβλίο προπτυχιακού επιπέδου. Στη ϐιβλιογραφία της Θεωρίας Οµάδων έχει επικρατήσει οι αβελιανές οµάδες να ϑεωρούνται ως προσθετικές και αυτό ϑα ακολουθήσουµε εδώ. Είναι χρήσιµο να παρατηρήσουµε ότι αν G είναι µία αβελιανή οµάδα πα- ϱαγόµενη από τα στοιχεία α 1, α 2,..., α n, τότε κάθε στοιχείο της είναι γραµ- µικός συνδυασµός των στοιχείων α 1, α 2,..., α n µε ακεραίους συντελεστές, δηλαδή n G = α 1, α 2,..., α n = { λ i α i λ i Z, 1 i n}. i=1 Βέβαια το παράγον σύνολο της G δεν ορίζεται µοναδικά. Εχουµε ήδη συναντήσει παραδείγµατα τέτοιων οµάδων π.χ. S 3, D 2 4. Κάθε πεπερασµένη αβελιανή οµάδα είναι ϕανερό ότι είναι πεπερασµένα παραγόµενη. Οι οµάδες τάξης 4 µε προσέγγιση ισοµορφίας έχουµε δεί ότι είναι οι Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Επίσης οµάδες που εµπίπτουν στη µελέτη αυτού του κεφαλαίου είναι οι επό- µενες : Z (n) = Z Z Z µε n πλήθους παράγοντες Z Z Z s Z t, για s, t ϕυσικούς αριθµούς. 147

2 148 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων 6.1 Το ϐασικό ϑεώρηµα Το ϑεώρηµα που ακολουθεί δίνει την ταξινόµηση των πεπερασµένα παραγό- µενων αβελιανών οµάδων και από αυτό προκύπτει ότι περιγράφονται από τις κυκλικές οµάδες, όπως στα παραδείγµατα που αναφέραµε παραπάνω. Θεώρηµα Κάθε πεπερασµένα παραγόµενη αβελιανή οµάδα είναι ευθύ άθροισµα πεπερασµένου πλήθους κυκλικών οµάδων. Απόδειξη Εστω G = α 1, α 2,..., α n µία πεπερασµένα παραγόµενη αβελιανή οµάδα. Θα αποδείξουµε το ϑεώρηµα µε εφαρµογή της µαθηµατικής επαγωγής ως προς το πλήθος των παραγόντων στοιχείων της οµάδας. Αν η οµάδα G παράγεται από ένα µόνον στοιχείο, δηλαδή n = 1, τότε είναι κυκλική και το ϑεώρηµα ισχύει. Ας υποθέσουµε ότι το ϑεώρηµα ισχύει για όλες τις αβελιανές οµάδες που παράγονται από n 1 πλήθους στοιχεία. Θα αποδείξουµε το ϑεώρηµα για τον ϕυσικό αριθµό n. Ας υποθέσουµε ότι για την αβελιανή οµάδα G = α 1, α 2,..., α n από κάθε γραµµικό συνδυασµό λ 1 α λ n α n = 0, λ i Z, 1 i n, συνεπάγεται ότι λ i α i = 0, για 1 i n. Τότε από τον Ορισµό προκύπτει ότι G = α 1 α 2 α n, δηλ. η G είναι ευθύ άθροισµα n πλήθους κυκλικών οµάδων. Μένει, επο- µένως, να εξετάσουµε την περίπτωση που για κάθε παράγον σύνολο, έστω α 1, α 2,..., α n, της G υπάρχουν ακέραιοι αριθµοί λ 1, λ 2,..., λ n τέτοιοι ώστε λ 1 α 1 + λ 2 α λ n α n = 0, χωρίς να ισχύει ότι λ i α i = 0, 1 i n. Οπως αναφέραµε προηγουµένως τα στοιχεία της G είναι γραµµικοί συνδυασµοί µε ακέραιους συντελεστές των διάφορων παραγόντων στοιχείων της G. Μεταξύ αυτών των γραµµικών συνδυασµών υπάρχει ένας ϑετικός ακέραιος αριθµός που εµφανίζεται ως συντελεστής κάποιου παράγοντος στοιχείου της G. Εστω k 1 ο ϑετικός αυτός ακέραιος. Για κάποιο, λοιπόν, παράγον σύνολο β 1, β 2,..., β n της G ισχύει k 1 β 1 + k 2 β k n β n = 0, χωρίς όλα τα k i β i να είναι µηδέν. (6.1.1) Θα αποδείξουµε ότι αν r 1 β 1 + r 2 β r n β n = 0 είναι ένας άλλος τέτοιος γραµµικός συνδυασµός στην G µε ακέραιους συντελεστές, τότε k 1 r 1. Εστω ότι r 1 = πk 1 +υ, µε π, υ Z και 0 υ < k 1. Πολλαπλασιάζουµε τη σχέση (6.1.1) επί π και την αφαιρούµε από την r 1 β 1 + r 2 β r n β n = 0. Ετσι έχουµε υβ 1 + (r 2 πk 2 )β (r n πk n )β n = 0.

3 Κεφάλαιο 6 Εδάφιο 6.1 Το ϐασικό ϑεώρηµα 149 Αν υβ 1 0, τότε καταλήγουµε σε άτοπο λόγω της επιλογής του k 1. Άρα υβ 1 = 0 και 0 υ < k 1. (6.1.2) Από τη σχέση υβ 1 = 0, έπεται ότι το υ είναι πολλαπλάσιο της τάξης του β 1. Ενώ από την επιλογή του k 1, έπεται ότι k 1 ord(β 1 ). Άρα το υ δεν µπορεί να λάβει τις τιµές 0 < υ < k 1. Εποµένως, από τη σχέση (6.1.2) έπεται ότι υ = 0 και συνεπώς k 1 r 1. Στη συνέχεια ϑα αποδείξουµε ότι στη σχέση (6.1.1) k 1 k i, 2 i n. Εστω k 2 = π 2 k 1 + υ 2, για π 2, υ 2 Z και 0 υ 2 < k 1. Παρατηρούµε ότι, αφού τα β 1, β 2,..., β n παράγουν την οµάδα G, το ίδιο συµβαίνει και µε τα στοιχεία β 1 = β 1 + π 2 β 2, β 2,..., β n. Αντικαθιστούµε στη σχέση (6.1.1) το k 1 β 1 µε το k 1 β 1 k 1π 2 β 2 και προκύπτει η σχέση k 1 β 1 + υ 2 β 2 + k 3 β k n β n = 0. Με τον τρόπο που αποδείξαµε παραπάνω ότι υ = 0, µπορούµε επίσης να αποδείξουµε ότι υ 2 = 0. Άρα k 1 k 2. Μπορούµε, λοιπόν, να γράψουµε ότι k i = π i k 1, 2 i n, για κατάλληλους ακεραίους αριθµούς π i. Θέτουµε, τώρα, β1 = β 1 + π 2 β π n β n. (6.1.3) Παρατηρούµε ότι τα στοιχεία β 1, β 2,..., β n επίσης παράγουν την G. Η σχέση (6.1.1) λόγω της (6.1.3) οδηγεί στην k 1 β 1 = 0. Θα αποδείξουµε, τώρα, ότι αν για κάποιους ακέραιους αριθµούς µ 1, µ 2,..., µ n ισχύει µβ 1 + µ 2 β µ n β n = 0, (6.1.4) τότε µ 1 β1 = 0. Πράγµατι, αν αντικαταστήσουµε το β 1 από τη σχέση (6.1.3) στη σχέση (6.1.4) ϐρίσκουµε ένα γραµµικό συνδυασµό των β 1, β 2,..., β n µε ακέραιους συντελεστές στον οποίο ο συντελεστής του β 1 είναι ίσος µε µ 1. Οπως, όµως, αποδείξαµε παραπάνω τότε ϑα ισχύει ότι k 1 µ 1. Ετσι από τη σχέση k 1 β1 = 0 έπεται η σχέση µ 1β1 = 0. Αν, λοιπόν, ϑεωρήσουµε ότι η G παράγεται από το σύνολο β1, β 2,..., β n, τότε το άθροισµα G = β1 + β 2,..., β n είναι ευθύ, αφού από τη σχέση µβ 1 + µ 2 β µ n β n = 0 µβ 1 = 0 και µ 2 β µ n β n = 0. Άρα G = β 1 β 2,..., β n.

4 150 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Από την υπόθεση της µαθηµατικής επαγωγής η οµάδα β 2,..., β n, αφού α- παράγεται από n 1 πλήθους στοιχεία είναι ευθύ άθροισµα κυκλικών οµάδων και το ϑεώρηµα αποδείχθηκε. Επειδή οι κυκλικές οµάδες είναι γνωστές µε προσέγγιση ισοµορφίας (ϐλ. Θεώρηµα ) από το Θεώρηµα (6.1.1) προκύπτει η επόµενη πρόταση. Πρόταση Μία πεπερασµένα παραγόµενη αβελιανή οµάδα G είναι ισό- µορφη µε ένα ευθύ άθροισµα Z (s) Z n1 Z nt, (6.1.5) για κατάλληλους ϕυσικούς αριθµούς s, n 1,..., n t που εξαρτώνται από την ο- µάδα G. Ορισµός Εστω s 0 ένας ακέραιος αριθµός. Το ευθύ άθροισµα s πλήθους αντιγράφων της προσθετικής οµάδας Z λέγεται ελεύθερη αβελιανή οµάδα µε ϐαθµίδα (free abelian of rank) s. Παρατηρήσεις Από την Πρόταση προκύπτει ότι η οµάδα G έχει υποοµάδα που είναι ισόµορφη µε την Z (s) και λέγεται άπειρο µέρος (infinite part) της G και το πεπερασµένο µέρος (finite part) που είναι η υποοµάδα ισόµορφη µε την Z n1 Z nt και ϐέβαια είναι πεπρασµένη οµάδα τάξης n 1 n 2 n t. 2. Από την Πρόταση είναι ϕανερό ότι η G παράγεται από στοιχεία πλήθους το πολύ s + t, αφού κάθε προσθετέος είναι κυκλική οµάδα. Οµως, ϑα πρέπει να παρατηρήσουµε ότι ο αριθµός n που εµφανίζεται στο Θεώρηµα δεν είναι ίσος µε s + t. Από την αποδεικτική διαδικασία του Θεωρήµατος δεν προκύπτει το πλήθος των κυκλικών οµάδων που αναλύεται η G. Επιπλέον όταν αναφέρουµε ότι µία οµάδα παράγεται από ένα σύνολο στοιχείων δεν εννοούµε ότι δεν υπάρχει παράγον σύνολο της οµάδας µε λιγότερα στοιχεία. 3. Ας παρατηρήσουµε ότι αν p, q είναι διακεκριµένοι πρώτοι ϕυσικοί αριθµοί, τότε Z p Z q Z pq (ϐλ. Πρόταση 4.1.4). Ετσι η οµάδα Z p Z q παράγεται από ένα ακριβώς στοιχείο ως κυκλική. Ακόµη Z p Z q Z p 2 Z pq Z p 2 Z p Z p 2 q. Από τα παραπάνω είναι ϕανερό ότι η ταξινόµηση των πεπερασµένα παραγό- µενων αβελιανών οµάδων δεν ολοκληρώνεται µε το Θεώρηµα Οµως το

5 Κεφάλαιο 6 Εδάφιο 6.2 Πεπερασµένες αβελιανές οµάδες 151 Θεώρηµα αποτελεί ένα σηµαντικό ϐήµα προς αυτήν την κατεύθυνση. Η ταξινόµηση των οµάδων που µελετούµε ϑα συνεχιστεί στο επόµενο εδάφιο, όπου ϑα µελετήσουµε τις πεπερασµένες αβελιανές οµάδες. Για το άπειρο µέρος (αν έχει) µίας πεπερασµένα παραγόµενης αβελιανής οµάδας είναι ϕανερό ότι δεν έχουµε κάτι περισσότερο να επισηµάνουµε. Υπάρχει µοναδική µε προσέγγιση ισοµορφίας ελεύθερη αβελιανή οµάδα ϐαθµίδας s 0. Ασκήσεις 1. Να αποδείξετε ότι κάθε υποοµάδα µίας πεπερασµένα παραγόµενης αβελιανής οµάδας είναι επίσης πεπερασµένα παραγόµενη. 2. Να αποδείξετε µε χρήση του Θεωρήµατος ότι µία πεπεραµένη α- ϐελιανή οµάδα είναι p-οµάδα, για κάποιον πρώτο ϕυσικό αριθµό p, αν και µόνον αν έχει τάξη δύναµη του p. 3. Εστω G µία πεπερασµένα παραγόµενη αβελιανή οµάδα. Να αποδείξετε ότι το σύνολο των στοιχείων της G µε πεπερασµένη τάξη αποτελεί υποοµάδα της G. 6.2 Πεπερασµένες αβελιανές οµάδες Στο εδάφιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένες αβελιανές οµάδες. Η ταξινόµηση ϑα ολοκληρωθεί µετά από δύο ϐήµατα. Πρώτα ϑα αναλύσουµε την οµάδα σε ευθύ άθροισµα πεπερασµένου πλήθους αβελιανών p-υποοµάδων της, για κάθε πρώτο ϕυσικό αριθµό p που διαιρεί την τάξη της οµάδας. Το δεύτερο ϐήµα ϑα είναι η ταξινόµηση των πεπερασµένων p-οµάδων για έναν πρώτο ϕυσικό αριθµό p. Ετσι ϑα προκύψουν όλες οι µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης n, για ένα ϕυσικό αριθµό n. Η πρώτη πρόταση που ϑα αποδείξουµε είναι µία ειδική περίπτωση της άσκησης Πρόταση Εστω G µία πεπερασµένη αβελιανή οµάδα τάξης n. Για κάθε πρώτο ϕυσικό αριθµό p n, το σύνολο G p των στοιχείων της G µε τάξη δύναµη του p αποτελεί µία p-οµάδα υποοµάδα της G. Απόδειξη Εστω α, β G p, ord(α) = p κ και ord(β) = p λ, για κ, λ Z. Τότε p κ+λ (α + β) = p λ (p κ α) + p κ (p λ β) = 0. Άρα ord(α + β) p κ+λ, δηλ α + β G p, σύµφωνα µε την Πρόταση ii. και συνεπώς η G p G (ϐλ. Θεώρηµα 2.1.4). Από τον Ορισµό προκύπτει

6 152 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων το Ϲητούµενο. Από την Πρόταση η τάξη της οµάδας G p της παραπάνω Πρότασης είναι δύναµη του p και µάλιστα η µεγαλύτερη δύναµη του p που διαιρεί την τάξη της G. Εποµένως η G p είναι µία Sylow p-υποοµάδα της G. Θεώρηµα Εστω G µία πεπερασµένη αβελιανή οµάδα τάξης n = p s 1 1 ps p st t, όπου p 1, p 2,..., p t είναι διακεκριµένοι πρώτοι ϕυσικοί αριθµοί που διαι- ϱούν την G για κατάλληλους ϑετικούς ακεραίους s 1, s 2...., s t. Τότε G = G p1 G p2 G pt. Απόδειξη Για την απόδειξη ϑα χρησιµοποιήσουµε το Θεώρηµα i. Θα αποδείξουµε ότι κάθε στοιχείο α G έχει την µορφή α = α 1 + α α t, α i G pi, 1 i t. (6.2.1) Εστω m = ord(α). Αν κάποιος p {p 1, p 2,..., p t } διαιρεί τον m, τότε το στοιχείο m p α έχει τάξη p (ϐλ. Πρόταση 2.2.5). Αφού m = ord(α) n έπεται ότι m = q r 1 1 qr 2 2 qr λ λ για κάποιο {q 1, q 2,..., q λ } {p 1, p 2,..., p t } και κατάλληλους ϑετικούς ακέραιους r 1, r 2,..., r λ, λ. Από τον Ευκλείδειο αλγόριθµο προκύπτει ότι υπάρχουν ακέραιοι αριθµοί β 1, β 2,..., β λ ώστε β 1 m q r β 2 m q r β λ m q r λ λ = 1, (6.2.2) αφού οι ϕυσικοί αριθµοί m/q r 1 1,..., m/qr λ λ είναι πρώτοι µεταξύ τους ανά δύο. Από τη σχέση (6.2.2) προκύπτει ότι αν ϑέσουµε τότε ϐλέπουµε ότι α = β 1 m q r 1 1 α + + β λ m q r λ λ α, m α i = β i α, 1 i λ, q r i i α = α 1 + α α λ και α i G qi, 1 i λ. Άρα το τυχαίο στοιχείο α G εκφράζεται ως άθροισµα στοιχείων των οµάδων G pi, όπως στη σχέση (6.2.1).

7 Κεφάλαιο 6 Εδάφιο 6.3 Πεπερασµένες αβελιανές p-οµάδες 153 ii. Οι οµάδες G pi G, 1 i t. Πράγµατι, αυτό συµβαίνει γιατί η G είναι αβελιανή οµάδα. iii. Θα αποδείξουµε ότι G pi (G p1 + + G pi 1 + G pi G pt ) = (0), 1 i t. (6.2.3) Πράγµατι, στην οµάδα G p1 + +G pi 1 +G pi+1 + +G pt το µόνο στοιχείο τάξης δύναµης του p i είναι το 0, έτσι, εφόσον κάθε στοιχείο της G pi έχει τάξη δύναµη του p i, έπεται ότι η τοµή της σχέσης (6.2.3) ισούται µε το µηδενικό στοιχείο της G. Από τα i),ii) και iii) προκύπτει το ϑεώρηµα. Παρατηρήσεις Οπως παρατηρήσαµε πριν από το Θεώρηµα κάθε υποοµάδα G pi, 1 i t, της G είναι Sylow p i -υποοµάδα της G και µάλιστα µοναδική ως κανονική, αφού η G είναι αβελιανή οµάδα. Ετσι, το Θεώρηµα προκύπτει αµέσως από την άσκηση Η απόδειξη που αναφέραµε στο Θεώρηµα είναι ανεξάρτητη από το Θεώρηµα Sylow. 2. Από το Θεώρηµα προκύπτει ότι κάθε πεπερασµένη αβελιανή οµάδα G έχει µοναδική µέγιστη υποοµάδα που περιέχει όλα τα στοιχεία της G που έχουν τάξη αριθµό πρώτον προς τον p. 3. Οι ιδιότητες των πεπερασµένων αβελιανών οµάδων που αναφέρονται στις παραπάνω παρατηρήσεις 1 και 2 δεν είναι ιδιότητες όλων των οµάδων. Για παράδειγµα η οµάδα S 3. Ολα τα στοιχεία της µε τάξη 2 δεν αποτελούν υποοµάδα της S 3. Επίσης οι Sylow υποοµάδες της S 3 δεν είναι όλες κανονικές. Από τη ανάλυση της οµάδας G όπως αναφέρεται στο Θεώρηµα ϐλέπου- µε ότι προκειµένου να προχωρήσουµε στην ταξινόµηση των πεπερασµένων αβελιανών οµάδων αρκεί να περιοριστούµε στις πεπερασµένες αβελιανές p- οµάδες, δηλ. στις αβελιανές οµάδες µε τάξη δύναµη ενός πρώτου αριθµού p. Αυτό ϑα γίνει στο επόµενο εδάφιο. 6.3 Πεπερασµένες αβελιανές p-οµάδες Εστω G µία αβελιανή οµάδα τάξης p n για έναν πρώτο ϕυσικό αριθµό p. Από το Θεώρηµα γνωρίζουµε ότι η G αναλύεται σε ευθύ άθροισµα κυκλικών οµάδων. Ετσι έχει νόηµα ο επόµενος ορισµός.

8 154 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Ορισµός Μία πεπερασµένη αβελιανή οµάδα τάξης p n, όπου p είναι ένας πρώτος αριθµός, λέµε ότι είναι τύπου (type) (p s 1, p s 2,..., p s t) αν είναι ισόµορφη µε το ευθύ άθροισµα κυκλικών οµάδων τάξεων p s i, 1 i t και 1 s1 s 2 s t. Από τον Ορισµό προκύπτει ότι, τότε n = s 1 + s s t, δηλ. ο τύπος της αβελιανής οµάδας G αντιστοιχεί σε µία προσθετική ανάλυση του ϕυσικού αριθµού n. Θα αποδείξουµε ότι ο τύπος της αβελιανής p-οµάδας G ορίζεται µοναδικά για την οµάδα G. Πριν από αυτό είναι χρήσιµη η επόµενη πρόταση. Πρόταση Εστω G µία αβελιανή p-οµάδα µε τύπο (p s 1, p s 2,..., p s t). Τότε η υποοµάδα pg = {pα α G} έχει τύπο (p s 1 1, p s 2 1,..., p st 1 ). Απόδειξη Εύκολα ο αναγνώστης µπορεί να αποδείξει ότι το σύνολο pg είναι υποοµάδα της G. Από την υπόθεση G G 1 G 2 G t, όπου G i = α i µε ordα i = p s i, 1 i t. Παρατηρούµε ότι pg i = pα i και ord(pα i ) = p s i 1, 1 i t. Άρα και ο τύπος της είναι pg pα 1... pα t (p s 1 1, p s 2 1,..., p st 1 ). Παραδείγµατα Εστω G Z p Z p Z p 2, όπου p είναι ένας πρώτος. Τότε pg Z p. 2. Ας υποθέσουµε ότι G είναι µία αβελιανή οµάδα για την οποία ισχύει pg = {0}, για έναν πρώτο ϕυσικό αριθµό. Αυτό σηµαίνει ότι η τάξη κάθε µη µηδενικού στοιχείου της G είναι p. Η G γίνεται ένας Z p -διανυσµατικός χώρος µε πράξη Z p G G, (κ, α) κα, όπως εύκολα µπορεί να ελέγξει ο αναγνώστης. Αν, τώρα, υποθέσουµε ότι η οµάδα G είναι πεπερασµένη τότε ο τύπος της είναι (p, p,..., p), αφού κάθε µη µηδενικό στοιχείο της G είναι τάξης p. Το επόµενο ϑεώρηµα αποδεικνύει ότι ο τύπος µίας πεπερασµένης αβελιανής οµάδας είναι µία αναλλοίωτός της.

9 Κεφάλαιο 6 Εδάφιο 6.3 Πεπερασµένες αβελιανές p-οµάδες 155 Θεώρηµα Εστω p ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός και G µία πεπερασµένη αβελιανή p-οµάδα. Η G είναι ευθύ άθροισµα πεπερασµένου πλήθους κυκλικών p-οµάδων. Αν ο τύπος της οµάδας G είναι (p s 1, p s 2,..., p s t), τότε η ακολουθία των ϕυσικών αριθµών s 1, s 2,..., s t ορίζεται µοναδικά. Απόδειξη Εστω G µία πεπερασµένη αβελιανή οµάδα και G = p n. Από το Θεώρηµα προκύπτει ότι η G είναι ευθύ άθροισµα κυκλικών οµάδων και εφόσον η G είναι p-οµάδα έπεται ότι οι προσθετέοι της είναι επίσης p-οµάδες. Ερχόµαστε, τώρα, στο δεύτερο σκέλος του Θεωρήµατος. Θα αποδείξουµε επαγωγικά ως προς την τάξη της G την µοναδικότητα του τύπου της. Για την περίπτωση που η G είναι τετριµµένη το συµπέρασµα προκύπτει άµεσα. Εστω ότι η µοναδικότητα του τύπου ισχύει για p-οµάδες µε τάξη µικρότερη της G και ϑα την αποδείξουµε για την οµάδα G. Ας υποθέσουµε ότι η G έχει δύο τύπους και ας τους παραστήσουµε µε τον ακόλουθο τρόπο για την καλύτερη παρακολούθηση της απόδειξης : (p, p,..., p, p λ 1, p λ 2,..., p λν ) και (p, p,..., p, p κ 1, p κ 2,..., p κτ ) (6.3.1) t ν σ τ µε 1 < λ 1 λ 2 λ ν, 1 < κ 1 κ 2... κ τ και t ν + λ 1 + λ λ ν = n = σ τ + κ 1 + κ κ τ. (6.3.2) Θεωρούµε τώρα την pg G. Η pg έχει τάξη αυστηρά µικρότερη της G και σύµφωνα µε την Πρόταση οι αντίστοιχοι τύποι της είναι οι (p λ 1 1, p λ 2 1,..., p λν 1 ) και (p κ 1 1, p κ 2 1,..., p κτ 1 ). Για τους τύπους αυτούς ισχύει ότι 1 λ 1 1 λ ν 1, 1 κ 1 1 κ τ 1 και ϐέβαια ταυτίζονται από την υπόθεση της µαθηµατικής επαγωγής. Επο- µένως ν = τ και λ 1 = κ 1,..., λ ν = κ ν. (6.3.4) Επίσης από τις σχέσεις (6.3.2) και (6.3.4) ισχύει ότι t ν = σ ν t = σ. Άρα οι δύο τύποι της G που αναφέρονται στις σχέσεις (6.3.1) είναι ίσοι, γεγονός που αποδεικνύει τη µοναδικότητα του τύπου της G και αποδεικνύει το Θεώρηµα.

10 156 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Ο τύπος της αβελιανής οµάδας τάξης p n για έναν πρώτο αριθµό p και ένα ϑετικό ακέραιο n καθώς και η σπουδαιότητα αυτής της έννοιας για τον χα- ϱακτηρισµό των οµάδων, όπως αυτή προκύπτει από το Θεώρηµα 6.3.4, µας οδηγεί στην ανάγκη του επόµενου ορισµού. Ορισµός Εστω n 1 ένας ϕυσικός αριθµός. ιαµέριση (partition) του n καλούµε µία ακολουθία ϕυσικών αριθµών s 1, s 2,..., s t µε τις ιδιότητες 1 s 1 s 2 s t και n = s 1 +s 2 + +s t. Τη διαµέριση αυτήν τη συµβολίζουµε ως (s 1, s 2,..., s t ). Παραδείγµατα Εστω G µία αβελιανή οµάδα τάξης p 3. Οι δυνατοί τύποι της G σύµφωνα µε το Θεώρηµα είναι (p, p, p), δηλ. G Z p Z p Z p, (p, p 2 ), δηλ. G Z p Z p 2, p 3, δηλ. G Z p 3. Στο επόµενο ϑεώρηµα προσδιορίζεται το πλήθος των µη ισόµορφων αβελιανών οµάδων τάξης p n για έναν πρώτο ϕυσικό αριθµό p σε σχέση µε τις δυνατές διαµερίσεις του ϕυσικού αριθµού n. Θεώρηµα Εστω p ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός και n ένας ϕυσικός αριθµός. Το πλήθος των µη ισόµορφων αβελιανών οµάδων τάξης p n είναι ίσο µε το πλήθος των διαµερίσεων του ϕυσικού αριθµού n. Απόδειξη Ας συµβολίσουµε µε A = {[G] G αβελιανή οµάδα τάξης p n }, δηλαδή το σύνολο των κλάσεων των ισόµορφων αβελιανών οµάδων τάξης p n και µε Β το σύνολο των διαµερίσεων του ϕυσικού αριθµού n. Θεωρούµε την αντιστοιχία f A B, [G] (s 1, s 2,..., s t ), όπου G Z p s 1 Z p s 2 Z p s t Ο αναγνώστης καλείται να αποδείξει ότι η f είναι αµφιµονότιµη και επί συνάρτηση.

11 Κεφάλαιο 6 Εδάφιο 6.4 Ταξινόµηση των π.π. αβελιανών οµάδων 157 Παραδείγµατα Το πλήθος των µη ισόµορφων αβελιανών οµάδων τάξης p 4 είναι όσο το πλήθος των (διακεκριµένων) διαµερίσεων του 4. Οι διαµερίσεις του 4 είναι οι : (4), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 3). Ετσι οι µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης p 4 είναι πλήθους 4 και είναι οι : Z p 4, Z p Z p Z p Z p, Z p Z p Z p 2, Z p Z p 3 Ασκήσεις 1. Να υπολογίσετε τις µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης p 5, όπου p είναι ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός. 2. Να αποδείξετε ότι η προσθετική οµάδα ενός πεπερασµένου σώµατος είναι τύπου (p, p,..., p). 3. Να αποδείξετε ότι µία αβελιανή οµάδα τάξης p k και τύπου (p k 1, p k 2,..., p k t), όπου p είναι ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός, περιέχει p t 1 στοιχεία τάξης p. 6.4 Ταξινόµηση των πεπερασµένα παραγόµενων αβελιανών οµάδων Στο εδάφιο αυτό ϑα συνδυάσουµε τα συµπεράσµατα των προηγουµένων δύο εδαφίων για να οδηγηθούµε στην ταξινόµηση των πεπερασµένων αβελιανών οµάδων. Θα ξεκινήσουµε µε ένα παράδειγµα. Να υπολογίσουµε όλες τις µη ι- σόµορφες οµάδες τάξης 36. Παρατηρούµε ότι 36 = Σύµφωνα µε το Θεώρηµα κάθε τέτοια οµάδα αναλύεται σε ευθύ άθροισµα G 2 G 3, όπου G 2 είναι η µοναδική Sylow 2-υποοµάδα της τάξης 2 2 και ανάλογα ορίζεται η G 3 µε τάξη 3 2. Οι µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης 2 2 είναι οι διαµερίσεις του 2, οι οποίες είναι : (1, 1) και 2. Οι οµάδες αυτές είναι οι : Z 2 Z 2 και Z 2 2. Οµοια οι µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης 3 2 είναι οι Z 3 Z 3 και Z 3 2. Εποµένως οι µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης 36 είναι οι :

12 158 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων i. Z 2 Z 2 Z 3 Z 3 ii. Z 2 Z 2 Z 3 2 ii. Z 2 2 Z 3 Z 3 iv. Z 2 2 Z 3 2 Παρατηρούµε ακόµη ότι i. Z 2 Z 2 Z 3 Z 3 Z 2 Z 3 Z 2 Z 3 Z 6 Z 6, γιατί (2, 3) = 1, και εποµένως η οµάδα Z 2 Z 3 είναι κυκλική. Οµοια ii. Z 2 Z 2 Z 3 2 Z 2 Z 2 3 2, iii. Z 2 2 Z 3 Z 3 Z 3 Z και iv. Z 2 2 Z 3 2 Z 36. Βλέπουµε, λοιπόν, ότι οι προσθετέοι για κάθε µία από τις ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης 36 µπορούν να επιλεγούν έτσι ώστε η τάξη του ενός προσθετέου να διαιρεί την τάξη του επόµενου. Παρατηρούµε ότι οι τάξεις των προσθετέων για τις οµάδες i. έως iv., δηλαδή οι : (6, 6), (2, ), (3, 2 2 3), (36) ώστε 6 6, , , 36 ορίζονται µοναδικά. Ετσι µπορούµε να οδηγηθούµε στο επόµενο ϑεώρηµα εφαρµόζοντας και το Θεώρηµα Θεώρηµα (Θεµελιώδες Θεώρηµα των πεπερασµένα παραγόµενων (π.π.) αβελιανών οµάδων). Εστω G µία πεπερασµένα παραγόµενη αβελιανή οµάδα. Τότε G Z (s) Z m1 Z m2 Z mτ, (6.4.1) για ϕυσικούς αριθµούς s, m 1, m 2,..., m τ που ορίζονται µοναδικά για την G και ικανοποιούν τις συνθήκες s 0, 2 m 1, m i m i+1, 1 i τ 1.

13 Κεφάλαιο 6 Εδάφιο 6.4 Ταξινόµηση των π.π. αβελιανών οµάδων 159 Απόδειξη Σύµφωνα µε το Θεώρηµα (ϐλ. επίσης Πρόταση 6.1.2) ισχύει ότι G = A Π, όπου A Z s είναι το άπειρο µέρος της G και είναι µία ελεύθερη αβελιανή οµάδα µε πεπερασµένη ϐαθµίδα, έστω s 0, και Π είναι το πεπερασµένο µέρος της G, έστω τάξης n <. Ας υποθέσουµε ότι n = t p s i i i=1 είναι η ανάλυση του n σε γινόµενο διακεκριµένων πρώτων p 1, p 2,..., p t. Τότε Π = G p1 G pt, όπου G pi είναι η Sylow p i -υποοµάδα της Π (ϐλ. Θεώρηµα 6.2.2). Κάθε οµάδα G pi, 1 i t, αναλύεται σε ευθύ άθροισµα κυκλικών οµάδων µε µοναδικό τρόπο σύµφωνα µε τον τύπο της (ϐλ. Θεώρηµα 6.3.4). Τώρα µπορούµε να εφαρµόσουµε την τεχνική που είδαµε στο παράδειγµα της αρχής του εδαφίου αυτού και οδηγούµαστε στην απόδειξη του Θεωρήµατος. Ας παρατηρήσουµε µόνον ότι αν µας δοθούν πεπερασµένου πλήθους δυνάµεις πρώτων αριθµών, µπορούµε να διατάξουµε γινόµενα αυτών ώστε ο πρώτος εξ αυτών να διαιρεί τον δεύτερο, ο δεύτερος τον τρίτο κ.ο.κ. Ορισµός Ο αριθµός s στη σχέση (6.4.1) λέγεται ελεύθερη ϐαθµίδα ή Betti αριθµός της οµάδας G. Οι ϕυσικοί αριθµοί m 1, m 2,..., m τ της σχέσης (6.4.1) λέγονται αναλλοίωτοι παράγοντες (invariant factors) της G. Η α- νάλυση της οµάδας G, όπως δίνεται στη σχέση (6.4.1) λέγεται ανάλυση της G κατά τους αναλλοίωτους παράγοντές της (docomposition in invariant factors). Παραδείγµατα Θα υπολογίσουµε τις µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης p 2 q 4 και ϑα τις αναλύσουµε κατά τους αναλλοίωτους παράγοντες κάθε µίας. Οι προσθετικές αναλύσεις του 2 είναι : και του 4: (2), (1, 1) (4), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 3), (2, 2). Άρα σύµφωνα µε το Θεώρηµα οι µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες p 2 q 4 είναι οι :

14 160 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων i. Z p 2 Z q 4 Z p 2 q 4 ii. Z p 2 Z q Z q Z q Z q Z q Z q Z q Z p 2 q iii. Z p 2 Z q Z q Z q 2 Z q Z q Z p 2 q 2 iv. Z q 2 Z q 2 Z q 2 Z q Z p 2 q 2 v. Z p Z p Z q 4 Z p Z pq 4 vi. Z p Z p Z q Z q Z q Z q Z q Z q Z pq Z pq vii. Z p Z p Z q Z q Z q 2 Z q Z pq Z pq 2 viii. Z p Z p Z q2 Z q 2 Z pq 2 Z pq 2. Ας δούµε τώρα µία ενδιαφέρουσα εφαρµογή του Θεωρήµατος 6.4.1, που είναι το περιεχόµενο της επόµενης πρότασης. Πρόταση Η πολλαπλασιαστική οµάδα ενός πεπερασµένου σώµατος είναι κυκλική. Απόδειξη Εστω F ένα πεπερασµένο σώµα µε F = p n, όπου p είναι ένας πρώτος αριθµός για n 1 ϕυσικός αριθµός (ϐλ. Παράρτηµα Γ1). Η πολλαπλασιαστική οµάδα F του σώµατος F έχει p n 1 στοιχεία και ϐέβαια είναι αβελιανή. Εποµένως, σύµφωνα µε το Θεώρηµα αναλύεται κατά τους αναλλοίωτους παράγοντές της σε ευθύ γινόµενο κυκλικών οµάδων F α 1 α 2 α s, για κάποιον ϕυσικό αριθµό s και α i F, 1 i s, ώστε και α i = ord(α i ), 1 i s ord(α i ) ord(α i+1 ), 1 i s 1, δηλ. οι αναλλοίωτοι παράγοντες της F είναι οι ord(α i ), 1 i s. Αυτό, όµως, σηµαίνει ότι η τάξη κάθε στοιχείου του F διαιρεί την τάξη του στοιχείου α s. Εστω ord(α s ) = r. Αφού ord(α) r, για κάθε στοιχείο α F, έπεται ότι α r = 1. Άρα κάθε στοιχείο του F είναι ϱίζα του πολυωνύµου x r 1 F [x] και επειδή το x r 1 έχει το πολύ r ϱίζες στο F, προκύπτει ότι p 1 r. Οµως, ο r ως τάξη ενός στοιχείου της οµάδας F (του στοιχείου α s ) πρέπει να διαιρεί την τάξη της F, δηλ. r (p 1) και συνεπώς r p 1. Εποµένως r = p 1. Συµπεραίνουµε, λοιπόν, ότι υπάρχει ένα στοιχείο α s F µε ord(α s ) = F. Εποµένως, η F είναι κυκλική οµάδα και F = α s.

15 Κεφάλαιο 6 Εδάφιο 6.4 Ταξινόµηση των π.π. αβελιανών οµάδων 161 Ασκήσεις 1. Να υπολογίσετε τις µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης : i. 96, ii. 360, iii Να υπολογίσετε τους αναλλοίωτους παράγοντες των αβελιανών οµάδων µε τάξη Εστω n = t i=1 p e i i η ανάλυση του ϕυσικού αριθµού n σε γινόµενο διακεκριµένων πρώτων. Να αποδείξετε ότι Z n Z p e 1 1 Z p e t t. 4. Να αποδείξετε ότι αν η τάξη µίας πεπερασµένης αβελιανής οµάδας δεν διαιρείται από το τετράγωνο ϕυσικού αριθµού, τότε είναι κυκλική. 5. Να αποδείξετε ότι µία πεπερασµένη µη κυκλική αβελιανή οµάδα περιέχει µία υποοµάδα τύπου (p, p) για κάποιον πρώτο ϕυσικό αριθµό. 6. Να υπολογίσετε πόσα στοιχεία τάξης p 2 έχει η οµάδα Z p Z p 2, όπου p είναι ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός.

16 162 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Ευχαριστώ ιδιαίτερα τη ϕοιτήτριά µου Μαρίνα Παλαιστή για τη µεταφορά του χειρογράφου µου σε κείµενο "tex" Κεφάλαιο 1 Βασικές Ιδιότητες Ισοδυναµιών Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα. 8.1 Το γενικό πολυώνυµο

Κεφάλαιο 8. Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα. 8.1 Το γενικό πολυώνυµο Κεφάλαιο 8 Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα Σε αυτό το κεφάλαιο αρχικά αποδεικνύουµε ότι υπάρχει επέκταση σωµάτων µε οµάδα Galois την S n. Για το σκοπό αυτό εξετάζουµε τα συµµετρικά πολυώνυµα.

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ CAYLEY-HAMILTON. Έστω A πίνακας ν ν. Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p( A)

ΘΕΩΡΗΜΑ CAYLEY-HAMILTON. Έστω A πίνακας ν ν. Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p( A) Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Μάθηµα 7 ο ΘΕΩΡΗΜΑ CYLEY-HMILTON Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ 60 Ασκήσεις :,,, σελ 6 Ελάχιστο πολυώνυµο πίνακα Έστω πίνακας ν ν Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 4 Νοεµβρίου 2014, 1/19 Το ϑεώρηµα Riemann-Roch Θεωρούµε µια επιφάνεια Riemann M και το σώµα των F των

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι: ( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Β και Γ Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Ιούλιος 2009 1 ιαιρετοτητα και Ισοτιµιες ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης Στη µνήµη του δασκάλου µου, Χάρη Βαφειάδη... www.math.uoc.gr/

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1. Το προβληµα του διακριτου λογαριθµου Στο µάθηµα αυτό ϑα δούµε κάποιους αλγόριθµους για υπολογισµό διακριτών λογάριθµων. Θυµίζουµε ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 3/2001 Μηχανική ΙI Λαγκρανζιανή συνάρτηση Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι ο δυναµικός νόµος του Νεύτωνα είναι ισοδύναµος µε την απαίτηση η δράση ως το ολοκλήρωµα της

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ α σ ί α η Θεωρία Γραφηµάτων Α π α ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµα. Στο παρακάτω γράφηµα µε βάρη, να βρεθεί το µήκος του µικρότερου µονοπατιού

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Όταν η ζήτηση για ένα αγαθό είναι ελαστική, τότε πιθανή αύξηση της τιµής του, θα οδηγήσει σε µείωση της καταναλωτικής δαπάνης για αυτό το αγαθό

Α5. Όταν η ζήτηση για ένα αγαθό είναι ελαστική, τότε πιθανή αύξηση της τιµής του, θα οδηγήσει σε µείωση της καταναλωτικής δαπάνης για αυτό το αγαθό ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΩΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 (για άριστα διαβασµένους) ΟΜΑ Α Α Να απαντήσετε στις επόµενες ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής A1. Σε γραµµική ΚΠ της µορφής Y =

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση Διάλεξη 4η Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Αρµονικός ταλαντωτής, σηµείο ισορροπίας, περιοδική κίνηση, ισόχρονη ταλάντωση. Ο αρµονικός ταλαντωτής είναι από το πλέον σηµαντικά συστήµατα στη Φυσική. Δεν

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οµάδες µεταθέσεων µετατάξεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 250 7. Οµάδες µεταθέσεων µετατάξεων

Διαβάστε περισσότερα

Συσχετισµός ϑεµελιώδους οµάδας και πρώτης οµάδας οµολογίας

Συσχετισµός ϑεµελιώδους οµάδας και πρώτης οµάδας οµολογίας Συσχετισµός ϑεµελιώδους οµάδας και πρώτης οµάδας οµολογίας Εργασία στο πλαίσιο τού µαθήµατος Αλγεβρική Τοπολογία - Οµολογία µε κωδ. αρ. Γ 21 Χειµερινό Εξάµηνο 2007-2008 Μιχαήλ Γκίκας Περίληψη Σκοπός αυτής

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα