Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2."

Transcript

1 Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη ιδιότητα που έχουν ταξινοµηθεί και η ϑεωρία τους µπορεί να συµπεριληφθεί σε ένα ϐιβλίο προπτυχιακού επιπέδου. Στη ϐιβλιογραφία της Θεωρίας Οµάδων έχει επικρατήσει οι αβελιανές οµάδες να ϑεωρούνται ως προσθετικές και αυτό ϑα ακολουθήσουµε εδώ. Είναι χρήσιµο να παρατηρήσουµε ότι αν G είναι µία αβελιανή οµάδα πα- ϱαγόµενη από τα στοιχεία α 1, α 2,..., α n, τότε κάθε στοιχείο της είναι γραµ- µικός συνδυασµός των στοιχείων α 1, α 2,..., α n µε ακεραίους συντελεστές, δηλαδή n G = α 1, α 2,..., α n = { λ i α i λ i Z, 1 i n}. i=1 Βέβαια το παράγον σύνολο της G δεν ορίζεται µοναδικά. Εχουµε ήδη συναντήσει παραδείγµατα τέτοιων οµάδων π.χ. S 3, D 2 4. Κάθε πεπερασµένη αβελιανή οµάδα είναι ϕανερό ότι είναι πεπερασµένα παραγόµενη. Οι οµάδες τάξης 4 µε προσέγγιση ισοµορφίας έχουµε δεί ότι είναι οι Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Επίσης οµάδες που εµπίπτουν στη µελέτη αυτού του κεφαλαίου είναι οι επό- µενες : Z (n) = Z Z Z µε n πλήθους παράγοντες Z Z Z s Z t, για s, t ϕυσικούς αριθµούς. 147

2 148 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων 6.1 Το ϐασικό ϑεώρηµα Το ϑεώρηµα που ακολουθεί δίνει την ταξινόµηση των πεπερασµένα παραγό- µενων αβελιανών οµάδων και από αυτό προκύπτει ότι περιγράφονται από τις κυκλικές οµάδες, όπως στα παραδείγµατα που αναφέραµε παραπάνω. Θεώρηµα Κάθε πεπερασµένα παραγόµενη αβελιανή οµάδα είναι ευθύ άθροισµα πεπερασµένου πλήθους κυκλικών οµάδων. Απόδειξη Εστω G = α 1, α 2,..., α n µία πεπερασµένα παραγόµενη αβελιανή οµάδα. Θα αποδείξουµε το ϑεώρηµα µε εφαρµογή της µαθηµατικής επαγωγής ως προς το πλήθος των παραγόντων στοιχείων της οµάδας. Αν η οµάδα G παράγεται από ένα µόνον στοιχείο, δηλαδή n = 1, τότε είναι κυκλική και το ϑεώρηµα ισχύει. Ας υποθέσουµε ότι το ϑεώρηµα ισχύει για όλες τις αβελιανές οµάδες που παράγονται από n 1 πλήθους στοιχεία. Θα αποδείξουµε το ϑεώρηµα για τον ϕυσικό αριθµό n. Ας υποθέσουµε ότι για την αβελιανή οµάδα G = α 1, α 2,..., α n από κάθε γραµµικό συνδυασµό λ 1 α λ n α n = 0, λ i Z, 1 i n, συνεπάγεται ότι λ i α i = 0, για 1 i n. Τότε από τον Ορισµό προκύπτει ότι G = α 1 α 2 α n, δηλ. η G είναι ευθύ άθροισµα n πλήθους κυκλικών οµάδων. Μένει, επο- µένως, να εξετάσουµε την περίπτωση που για κάθε παράγον σύνολο, έστω α 1, α 2,..., α n, της G υπάρχουν ακέραιοι αριθµοί λ 1, λ 2,..., λ n τέτοιοι ώστε λ 1 α 1 + λ 2 α λ n α n = 0, χωρίς να ισχύει ότι λ i α i = 0, 1 i n. Οπως αναφέραµε προηγουµένως τα στοιχεία της G είναι γραµµικοί συνδυασµοί µε ακέραιους συντελεστές των διάφορων παραγόντων στοιχείων της G. Μεταξύ αυτών των γραµµικών συνδυασµών υπάρχει ένας ϑετικός ακέραιος αριθµός που εµφανίζεται ως συντελεστής κάποιου παράγοντος στοιχείου της G. Εστω k 1 ο ϑετικός αυτός ακέραιος. Για κάποιο, λοιπόν, παράγον σύνολο β 1, β 2,..., β n της G ισχύει k 1 β 1 + k 2 β k n β n = 0, χωρίς όλα τα k i β i να είναι µηδέν. (6.1.1) Θα αποδείξουµε ότι αν r 1 β 1 + r 2 β r n β n = 0 είναι ένας άλλος τέτοιος γραµµικός συνδυασµός στην G µε ακέραιους συντελεστές, τότε k 1 r 1. Εστω ότι r 1 = πk 1 +υ, µε π, υ Z και 0 υ < k 1. Πολλαπλασιάζουµε τη σχέση (6.1.1) επί π και την αφαιρούµε από την r 1 β 1 + r 2 β r n β n = 0. Ετσι έχουµε υβ 1 + (r 2 πk 2 )β (r n πk n )β n = 0.

3 Κεφάλαιο 6 Εδάφιο 6.1 Το ϐασικό ϑεώρηµα 149 Αν υβ 1 0, τότε καταλήγουµε σε άτοπο λόγω της επιλογής του k 1. Άρα υβ 1 = 0 και 0 υ < k 1. (6.1.2) Από τη σχέση υβ 1 = 0, έπεται ότι το υ είναι πολλαπλάσιο της τάξης του β 1. Ενώ από την επιλογή του k 1, έπεται ότι k 1 ord(β 1 ). Άρα το υ δεν µπορεί να λάβει τις τιµές 0 < υ < k 1. Εποµένως, από τη σχέση (6.1.2) έπεται ότι υ = 0 και συνεπώς k 1 r 1. Στη συνέχεια ϑα αποδείξουµε ότι στη σχέση (6.1.1) k 1 k i, 2 i n. Εστω k 2 = π 2 k 1 + υ 2, για π 2, υ 2 Z και 0 υ 2 < k 1. Παρατηρούµε ότι, αφού τα β 1, β 2,..., β n παράγουν την οµάδα G, το ίδιο συµβαίνει και µε τα στοιχεία β 1 = β 1 + π 2 β 2, β 2,..., β n. Αντικαθιστούµε στη σχέση (6.1.1) το k 1 β 1 µε το k 1 β 1 k 1π 2 β 2 και προκύπτει η σχέση k 1 β 1 + υ 2 β 2 + k 3 β k n β n = 0. Με τον τρόπο που αποδείξαµε παραπάνω ότι υ = 0, µπορούµε επίσης να αποδείξουµε ότι υ 2 = 0. Άρα k 1 k 2. Μπορούµε, λοιπόν, να γράψουµε ότι k i = π i k 1, 2 i n, για κατάλληλους ακεραίους αριθµούς π i. Θέτουµε, τώρα, β1 = β 1 + π 2 β π n β n. (6.1.3) Παρατηρούµε ότι τα στοιχεία β 1, β 2,..., β n επίσης παράγουν την G. Η σχέση (6.1.1) λόγω της (6.1.3) οδηγεί στην k 1 β 1 = 0. Θα αποδείξουµε, τώρα, ότι αν για κάποιους ακέραιους αριθµούς µ 1, µ 2,..., µ n ισχύει µβ 1 + µ 2 β µ n β n = 0, (6.1.4) τότε µ 1 β1 = 0. Πράγµατι, αν αντικαταστήσουµε το β 1 από τη σχέση (6.1.3) στη σχέση (6.1.4) ϐρίσκουµε ένα γραµµικό συνδυασµό των β 1, β 2,..., β n µε ακέραιους συντελεστές στον οποίο ο συντελεστής του β 1 είναι ίσος µε µ 1. Οπως, όµως, αποδείξαµε παραπάνω τότε ϑα ισχύει ότι k 1 µ 1. Ετσι από τη σχέση k 1 β1 = 0 έπεται η σχέση µ 1β1 = 0. Αν, λοιπόν, ϑεωρήσουµε ότι η G παράγεται από το σύνολο β1, β 2,..., β n, τότε το άθροισµα G = β1 + β 2,..., β n είναι ευθύ, αφού από τη σχέση µβ 1 + µ 2 β µ n β n = 0 µβ 1 = 0 και µ 2 β µ n β n = 0. Άρα G = β 1 β 2,..., β n.

4 150 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Από την υπόθεση της µαθηµατικής επαγωγής η οµάδα β 2,..., β n, αφού α- παράγεται από n 1 πλήθους στοιχεία είναι ευθύ άθροισµα κυκλικών οµάδων και το ϑεώρηµα αποδείχθηκε. Επειδή οι κυκλικές οµάδες είναι γνωστές µε προσέγγιση ισοµορφίας (ϐλ. Θεώρηµα ) από το Θεώρηµα (6.1.1) προκύπτει η επόµενη πρόταση. Πρόταση Μία πεπερασµένα παραγόµενη αβελιανή οµάδα G είναι ισό- µορφη µε ένα ευθύ άθροισµα Z (s) Z n1 Z nt, (6.1.5) για κατάλληλους ϕυσικούς αριθµούς s, n 1,..., n t που εξαρτώνται από την ο- µάδα G. Ορισµός Εστω s 0 ένας ακέραιος αριθµός. Το ευθύ άθροισµα s πλήθους αντιγράφων της προσθετικής οµάδας Z λέγεται ελεύθερη αβελιανή οµάδα µε ϐαθµίδα (free abelian of rank) s. Παρατηρήσεις Από την Πρόταση προκύπτει ότι η οµάδα G έχει υποοµάδα που είναι ισόµορφη µε την Z (s) και λέγεται άπειρο µέρος (infinite part) της G και το πεπερασµένο µέρος (finite part) που είναι η υποοµάδα ισόµορφη µε την Z n1 Z nt και ϐέβαια είναι πεπρασµένη οµάδα τάξης n 1 n 2 n t. 2. Από την Πρόταση είναι ϕανερό ότι η G παράγεται από στοιχεία πλήθους το πολύ s + t, αφού κάθε προσθετέος είναι κυκλική οµάδα. Οµως, ϑα πρέπει να παρατηρήσουµε ότι ο αριθµός n που εµφανίζεται στο Θεώρηµα δεν είναι ίσος µε s + t. Από την αποδεικτική διαδικασία του Θεωρήµατος δεν προκύπτει το πλήθος των κυκλικών οµάδων που αναλύεται η G. Επιπλέον όταν αναφέρουµε ότι µία οµάδα παράγεται από ένα σύνολο στοιχείων δεν εννοούµε ότι δεν υπάρχει παράγον σύνολο της οµάδας µε λιγότερα στοιχεία. 3. Ας παρατηρήσουµε ότι αν p, q είναι διακεκριµένοι πρώτοι ϕυσικοί αριθµοί, τότε Z p Z q Z pq (ϐλ. Πρόταση 4.1.4). Ετσι η οµάδα Z p Z q παράγεται από ένα ακριβώς στοιχείο ως κυκλική. Ακόµη Z p Z q Z p 2 Z pq Z p 2 Z p Z p 2 q. Από τα παραπάνω είναι ϕανερό ότι η ταξινόµηση των πεπερασµένα παραγό- µενων αβελιανών οµάδων δεν ολοκληρώνεται µε το Θεώρηµα Οµως το

5 Κεφάλαιο 6 Εδάφιο 6.2 Πεπερασµένες αβελιανές οµάδες 151 Θεώρηµα αποτελεί ένα σηµαντικό ϐήµα προς αυτήν την κατεύθυνση. Η ταξινόµηση των οµάδων που µελετούµε ϑα συνεχιστεί στο επόµενο εδάφιο, όπου ϑα µελετήσουµε τις πεπερασµένες αβελιανές οµάδες. Για το άπειρο µέρος (αν έχει) µίας πεπερασµένα παραγόµενης αβελιανής οµάδας είναι ϕανερό ότι δεν έχουµε κάτι περισσότερο να επισηµάνουµε. Υπάρχει µοναδική µε προσέγγιση ισοµορφίας ελεύθερη αβελιανή οµάδα ϐαθµίδας s 0. Ασκήσεις 1. Να αποδείξετε ότι κάθε υποοµάδα µίας πεπερασµένα παραγόµενης αβελιανής οµάδας είναι επίσης πεπερασµένα παραγόµενη. 2. Να αποδείξετε µε χρήση του Θεωρήµατος ότι µία πεπεραµένη α- ϐελιανή οµάδα είναι p-οµάδα, για κάποιον πρώτο ϕυσικό αριθµό p, αν και µόνον αν έχει τάξη δύναµη του p. 3. Εστω G µία πεπερασµένα παραγόµενη αβελιανή οµάδα. Να αποδείξετε ότι το σύνολο των στοιχείων της G µε πεπερασµένη τάξη αποτελεί υποοµάδα της G. 6.2 Πεπερασµένες αβελιανές οµάδες Στο εδάφιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένες αβελιανές οµάδες. Η ταξινόµηση ϑα ολοκληρωθεί µετά από δύο ϐήµατα. Πρώτα ϑα αναλύσουµε την οµάδα σε ευθύ άθροισµα πεπερασµένου πλήθους αβελιανών p-υποοµάδων της, για κάθε πρώτο ϕυσικό αριθµό p που διαιρεί την τάξη της οµάδας. Το δεύτερο ϐήµα ϑα είναι η ταξινόµηση των πεπερασµένων p-οµάδων για έναν πρώτο ϕυσικό αριθµό p. Ετσι ϑα προκύψουν όλες οι µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης n, για ένα ϕυσικό αριθµό n. Η πρώτη πρόταση που ϑα αποδείξουµε είναι µία ειδική περίπτωση της άσκησης Πρόταση Εστω G µία πεπερασµένη αβελιανή οµάδα τάξης n. Για κάθε πρώτο ϕυσικό αριθµό p n, το σύνολο G p των στοιχείων της G µε τάξη δύναµη του p αποτελεί µία p-οµάδα υποοµάδα της G. Απόδειξη Εστω α, β G p, ord(α) = p κ και ord(β) = p λ, για κ, λ Z. Τότε p κ+λ (α + β) = p λ (p κ α) + p κ (p λ β) = 0. Άρα ord(α + β) p κ+λ, δηλ α + β G p, σύµφωνα µε την Πρόταση ii. και συνεπώς η G p G (ϐλ. Θεώρηµα 2.1.4). Από τον Ορισµό προκύπτει

6 152 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων το Ϲητούµενο. Από την Πρόταση η τάξη της οµάδας G p της παραπάνω Πρότασης είναι δύναµη του p και µάλιστα η µεγαλύτερη δύναµη του p που διαιρεί την τάξη της G. Εποµένως η G p είναι µία Sylow p-υποοµάδα της G. Θεώρηµα Εστω G µία πεπερασµένη αβελιανή οµάδα τάξης n = p s 1 1 ps p st t, όπου p 1, p 2,..., p t είναι διακεκριµένοι πρώτοι ϕυσικοί αριθµοί που διαι- ϱούν την G για κατάλληλους ϑετικούς ακεραίους s 1, s 2...., s t. Τότε G = G p1 G p2 G pt. Απόδειξη Για την απόδειξη ϑα χρησιµοποιήσουµε το Θεώρηµα i. Θα αποδείξουµε ότι κάθε στοιχείο α G έχει την µορφή α = α 1 + α α t, α i G pi, 1 i t. (6.2.1) Εστω m = ord(α). Αν κάποιος p {p 1, p 2,..., p t } διαιρεί τον m, τότε το στοιχείο m p α έχει τάξη p (ϐλ. Πρόταση 2.2.5). Αφού m = ord(α) n έπεται ότι m = q r 1 1 qr 2 2 qr λ λ για κάποιο {q 1, q 2,..., q λ } {p 1, p 2,..., p t } και κατάλληλους ϑετικούς ακέραιους r 1, r 2,..., r λ, λ. Από τον Ευκλείδειο αλγόριθµο προκύπτει ότι υπάρχουν ακέραιοι αριθµοί β 1, β 2,..., β λ ώστε β 1 m q r β 2 m q r β λ m q r λ λ = 1, (6.2.2) αφού οι ϕυσικοί αριθµοί m/q r 1 1,..., m/qr λ λ είναι πρώτοι µεταξύ τους ανά δύο. Από τη σχέση (6.2.2) προκύπτει ότι αν ϑέσουµε τότε ϐλέπουµε ότι α = β 1 m q r 1 1 α + + β λ m q r λ λ α, m α i = β i α, 1 i λ, q r i i α = α 1 + α α λ και α i G qi, 1 i λ. Άρα το τυχαίο στοιχείο α G εκφράζεται ως άθροισµα στοιχείων των οµάδων G pi, όπως στη σχέση (6.2.1).

7 Κεφάλαιο 6 Εδάφιο 6.3 Πεπερασµένες αβελιανές p-οµάδες 153 ii. Οι οµάδες G pi G, 1 i t. Πράγµατι, αυτό συµβαίνει γιατί η G είναι αβελιανή οµάδα. iii. Θα αποδείξουµε ότι G pi (G p1 + + G pi 1 + G pi G pt ) = (0), 1 i t. (6.2.3) Πράγµατι, στην οµάδα G p1 + +G pi 1 +G pi+1 + +G pt το µόνο στοιχείο τάξης δύναµης του p i είναι το 0, έτσι, εφόσον κάθε στοιχείο της G pi έχει τάξη δύναµη του p i, έπεται ότι η τοµή της σχέσης (6.2.3) ισούται µε το µηδενικό στοιχείο της G. Από τα i),ii) και iii) προκύπτει το ϑεώρηµα. Παρατηρήσεις Οπως παρατηρήσαµε πριν από το Θεώρηµα κάθε υποοµάδα G pi, 1 i t, της G είναι Sylow p i -υποοµάδα της G και µάλιστα µοναδική ως κανονική, αφού η G είναι αβελιανή οµάδα. Ετσι, το Θεώρηµα προκύπτει αµέσως από την άσκηση Η απόδειξη που αναφέραµε στο Θεώρηµα είναι ανεξάρτητη από το Θεώρηµα Sylow. 2. Από το Θεώρηµα προκύπτει ότι κάθε πεπερασµένη αβελιανή οµάδα G έχει µοναδική µέγιστη υποοµάδα που περιέχει όλα τα στοιχεία της G που έχουν τάξη αριθµό πρώτον προς τον p. 3. Οι ιδιότητες των πεπερασµένων αβελιανών οµάδων που αναφέρονται στις παραπάνω παρατηρήσεις 1 και 2 δεν είναι ιδιότητες όλων των οµάδων. Για παράδειγµα η οµάδα S 3. Ολα τα στοιχεία της µε τάξη 2 δεν αποτελούν υποοµάδα της S 3. Επίσης οι Sylow υποοµάδες της S 3 δεν είναι όλες κανονικές. Από τη ανάλυση της οµάδας G όπως αναφέρεται στο Θεώρηµα ϐλέπου- µε ότι προκειµένου να προχωρήσουµε στην ταξινόµηση των πεπερασµένων αβελιανών οµάδων αρκεί να περιοριστούµε στις πεπερασµένες αβελιανές p- οµάδες, δηλ. στις αβελιανές οµάδες µε τάξη δύναµη ενός πρώτου αριθµού p. Αυτό ϑα γίνει στο επόµενο εδάφιο. 6.3 Πεπερασµένες αβελιανές p-οµάδες Εστω G µία αβελιανή οµάδα τάξης p n για έναν πρώτο ϕυσικό αριθµό p. Από το Θεώρηµα γνωρίζουµε ότι η G αναλύεται σε ευθύ άθροισµα κυκλικών οµάδων. Ετσι έχει νόηµα ο επόµενος ορισµός.

8 154 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Ορισµός Μία πεπερασµένη αβελιανή οµάδα τάξης p n, όπου p είναι ένας πρώτος αριθµός, λέµε ότι είναι τύπου (type) (p s 1, p s 2,..., p s t) αν είναι ισόµορφη µε το ευθύ άθροισµα κυκλικών οµάδων τάξεων p s i, 1 i t και 1 s1 s 2 s t. Από τον Ορισµό προκύπτει ότι, τότε n = s 1 + s s t, δηλ. ο τύπος της αβελιανής οµάδας G αντιστοιχεί σε µία προσθετική ανάλυση του ϕυσικού αριθµού n. Θα αποδείξουµε ότι ο τύπος της αβελιανής p-οµάδας G ορίζεται µοναδικά για την οµάδα G. Πριν από αυτό είναι χρήσιµη η επόµενη πρόταση. Πρόταση Εστω G µία αβελιανή p-οµάδα µε τύπο (p s 1, p s 2,..., p s t). Τότε η υποοµάδα pg = {pα α G} έχει τύπο (p s 1 1, p s 2 1,..., p st 1 ). Απόδειξη Εύκολα ο αναγνώστης µπορεί να αποδείξει ότι το σύνολο pg είναι υποοµάδα της G. Από την υπόθεση G G 1 G 2 G t, όπου G i = α i µε ordα i = p s i, 1 i t. Παρατηρούµε ότι pg i = pα i και ord(pα i ) = p s i 1, 1 i t. Άρα και ο τύπος της είναι pg pα 1... pα t (p s 1 1, p s 2 1,..., p st 1 ). Παραδείγµατα Εστω G Z p Z p Z p 2, όπου p είναι ένας πρώτος. Τότε pg Z p. 2. Ας υποθέσουµε ότι G είναι µία αβελιανή οµάδα για την οποία ισχύει pg = {0}, για έναν πρώτο ϕυσικό αριθµό. Αυτό σηµαίνει ότι η τάξη κάθε µη µηδενικού στοιχείου της G είναι p. Η G γίνεται ένας Z p -διανυσµατικός χώρος µε πράξη Z p G G, (κ, α) κα, όπως εύκολα µπορεί να ελέγξει ο αναγνώστης. Αν, τώρα, υποθέσουµε ότι η οµάδα G είναι πεπερασµένη τότε ο τύπος της είναι (p, p,..., p), αφού κάθε µη µηδενικό στοιχείο της G είναι τάξης p. Το επόµενο ϑεώρηµα αποδεικνύει ότι ο τύπος µίας πεπερασµένης αβελιανής οµάδας είναι µία αναλλοίωτός της.

9 Κεφάλαιο 6 Εδάφιο 6.3 Πεπερασµένες αβελιανές p-οµάδες 155 Θεώρηµα Εστω p ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός και G µία πεπερασµένη αβελιανή p-οµάδα. Η G είναι ευθύ άθροισµα πεπερασµένου πλήθους κυκλικών p-οµάδων. Αν ο τύπος της οµάδας G είναι (p s 1, p s 2,..., p s t), τότε η ακολουθία των ϕυσικών αριθµών s 1, s 2,..., s t ορίζεται µοναδικά. Απόδειξη Εστω G µία πεπερασµένη αβελιανή οµάδα και G = p n. Από το Θεώρηµα προκύπτει ότι η G είναι ευθύ άθροισµα κυκλικών οµάδων και εφόσον η G είναι p-οµάδα έπεται ότι οι προσθετέοι της είναι επίσης p-οµάδες. Ερχόµαστε, τώρα, στο δεύτερο σκέλος του Θεωρήµατος. Θα αποδείξουµε επαγωγικά ως προς την τάξη της G την µοναδικότητα του τύπου της. Για την περίπτωση που η G είναι τετριµµένη το συµπέρασµα προκύπτει άµεσα. Εστω ότι η µοναδικότητα του τύπου ισχύει για p-οµάδες µε τάξη µικρότερη της G και ϑα την αποδείξουµε για την οµάδα G. Ας υποθέσουµε ότι η G έχει δύο τύπους και ας τους παραστήσουµε µε τον ακόλουθο τρόπο για την καλύτερη παρακολούθηση της απόδειξης : (p, p,..., p, p λ 1, p λ 2,..., p λν ) και (p, p,..., p, p κ 1, p κ 2,..., p κτ ) (6.3.1) t ν σ τ µε 1 < λ 1 λ 2 λ ν, 1 < κ 1 κ 2... κ τ και t ν + λ 1 + λ λ ν = n = σ τ + κ 1 + κ κ τ. (6.3.2) Θεωρούµε τώρα την pg G. Η pg έχει τάξη αυστηρά µικρότερη της G και σύµφωνα µε την Πρόταση οι αντίστοιχοι τύποι της είναι οι (p λ 1 1, p λ 2 1,..., p λν 1 ) και (p κ 1 1, p κ 2 1,..., p κτ 1 ). Για τους τύπους αυτούς ισχύει ότι 1 λ 1 1 λ ν 1, 1 κ 1 1 κ τ 1 και ϐέβαια ταυτίζονται από την υπόθεση της µαθηµατικής επαγωγής. Επο- µένως ν = τ και λ 1 = κ 1,..., λ ν = κ ν. (6.3.4) Επίσης από τις σχέσεις (6.3.2) και (6.3.4) ισχύει ότι t ν = σ ν t = σ. Άρα οι δύο τύποι της G που αναφέρονται στις σχέσεις (6.3.1) είναι ίσοι, γεγονός που αποδεικνύει τη µοναδικότητα του τύπου της G και αποδεικνύει το Θεώρηµα.

10 156 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Ο τύπος της αβελιανής οµάδας τάξης p n για έναν πρώτο αριθµό p και ένα ϑετικό ακέραιο n καθώς και η σπουδαιότητα αυτής της έννοιας για τον χα- ϱακτηρισµό των οµάδων, όπως αυτή προκύπτει από το Θεώρηµα 6.3.4, µας οδηγεί στην ανάγκη του επόµενου ορισµού. Ορισµός Εστω n 1 ένας ϕυσικός αριθµός. ιαµέριση (partition) του n καλούµε µία ακολουθία ϕυσικών αριθµών s 1, s 2,..., s t µε τις ιδιότητες 1 s 1 s 2 s t και n = s 1 +s 2 + +s t. Τη διαµέριση αυτήν τη συµβολίζουµε ως (s 1, s 2,..., s t ). Παραδείγµατα Εστω G µία αβελιανή οµάδα τάξης p 3. Οι δυνατοί τύποι της G σύµφωνα µε το Θεώρηµα είναι (p, p, p), δηλ. G Z p Z p Z p, (p, p 2 ), δηλ. G Z p Z p 2, p 3, δηλ. G Z p 3. Στο επόµενο ϑεώρηµα προσδιορίζεται το πλήθος των µη ισόµορφων αβελιανών οµάδων τάξης p n για έναν πρώτο ϕυσικό αριθµό p σε σχέση µε τις δυνατές διαµερίσεις του ϕυσικού αριθµού n. Θεώρηµα Εστω p ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός και n ένας ϕυσικός αριθµός. Το πλήθος των µη ισόµορφων αβελιανών οµάδων τάξης p n είναι ίσο µε το πλήθος των διαµερίσεων του ϕυσικού αριθµού n. Απόδειξη Ας συµβολίσουµε µε A = {[G] G αβελιανή οµάδα τάξης p n }, δηλαδή το σύνολο των κλάσεων των ισόµορφων αβελιανών οµάδων τάξης p n και µε Β το σύνολο των διαµερίσεων του ϕυσικού αριθµού n. Θεωρούµε την αντιστοιχία f A B, [G] (s 1, s 2,..., s t ), όπου G Z p s 1 Z p s 2 Z p s t Ο αναγνώστης καλείται να αποδείξει ότι η f είναι αµφιµονότιµη και επί συνάρτηση.

11 Κεφάλαιο 6 Εδάφιο 6.4 Ταξινόµηση των π.π. αβελιανών οµάδων 157 Παραδείγµατα Το πλήθος των µη ισόµορφων αβελιανών οµάδων τάξης p 4 είναι όσο το πλήθος των (διακεκριµένων) διαµερίσεων του 4. Οι διαµερίσεις του 4 είναι οι : (4), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 3). Ετσι οι µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης p 4 είναι πλήθους 4 και είναι οι : Z p 4, Z p Z p Z p Z p, Z p Z p Z p 2, Z p Z p 3 Ασκήσεις 1. Να υπολογίσετε τις µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης p 5, όπου p είναι ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός. 2. Να αποδείξετε ότι η προσθετική οµάδα ενός πεπερασµένου σώµατος είναι τύπου (p, p,..., p). 3. Να αποδείξετε ότι µία αβελιανή οµάδα τάξης p k και τύπου (p k 1, p k 2,..., p k t), όπου p είναι ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός, περιέχει p t 1 στοιχεία τάξης p. 6.4 Ταξινόµηση των πεπερασµένα παραγόµενων αβελιανών οµάδων Στο εδάφιο αυτό ϑα συνδυάσουµε τα συµπεράσµατα των προηγουµένων δύο εδαφίων για να οδηγηθούµε στην ταξινόµηση των πεπερασµένων αβελιανών οµάδων. Θα ξεκινήσουµε µε ένα παράδειγµα. Να υπολογίσουµε όλες τις µη ι- σόµορφες οµάδες τάξης 36. Παρατηρούµε ότι 36 = Σύµφωνα µε το Θεώρηµα κάθε τέτοια οµάδα αναλύεται σε ευθύ άθροισµα G 2 G 3, όπου G 2 είναι η µοναδική Sylow 2-υποοµάδα της τάξης 2 2 και ανάλογα ορίζεται η G 3 µε τάξη 3 2. Οι µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης 2 2 είναι οι διαµερίσεις του 2, οι οποίες είναι : (1, 1) και 2. Οι οµάδες αυτές είναι οι : Z 2 Z 2 και Z 2 2. Οµοια οι µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης 3 2 είναι οι Z 3 Z 3 και Z 3 2. Εποµένως οι µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης 36 είναι οι :

12 158 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων i. Z 2 Z 2 Z 3 Z 3 ii. Z 2 Z 2 Z 3 2 ii. Z 2 2 Z 3 Z 3 iv. Z 2 2 Z 3 2 Παρατηρούµε ακόµη ότι i. Z 2 Z 2 Z 3 Z 3 Z 2 Z 3 Z 2 Z 3 Z 6 Z 6, γιατί (2, 3) = 1, και εποµένως η οµάδα Z 2 Z 3 είναι κυκλική. Οµοια ii. Z 2 Z 2 Z 3 2 Z 2 Z 2 3 2, iii. Z 2 2 Z 3 Z 3 Z 3 Z και iv. Z 2 2 Z 3 2 Z 36. Βλέπουµε, λοιπόν, ότι οι προσθετέοι για κάθε µία από τις ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης 36 µπορούν να επιλεγούν έτσι ώστε η τάξη του ενός προσθετέου να διαιρεί την τάξη του επόµενου. Παρατηρούµε ότι οι τάξεις των προσθετέων για τις οµάδες i. έως iv., δηλαδή οι : (6, 6), (2, ), (3, 2 2 3), (36) ώστε 6 6, , , 36 ορίζονται µοναδικά. Ετσι µπορούµε να οδηγηθούµε στο επόµενο ϑεώρηµα εφαρµόζοντας και το Θεώρηµα Θεώρηµα (Θεµελιώδες Θεώρηµα των πεπερασµένα παραγόµενων (π.π.) αβελιανών οµάδων). Εστω G µία πεπερασµένα παραγόµενη αβελιανή οµάδα. Τότε G Z (s) Z m1 Z m2 Z mτ, (6.4.1) για ϕυσικούς αριθµούς s, m 1, m 2,..., m τ που ορίζονται µοναδικά για την G και ικανοποιούν τις συνθήκες s 0, 2 m 1, m i m i+1, 1 i τ 1.

13 Κεφάλαιο 6 Εδάφιο 6.4 Ταξινόµηση των π.π. αβελιανών οµάδων 159 Απόδειξη Σύµφωνα µε το Θεώρηµα (ϐλ. επίσης Πρόταση 6.1.2) ισχύει ότι G = A Π, όπου A Z s είναι το άπειρο µέρος της G και είναι µία ελεύθερη αβελιανή οµάδα µε πεπερασµένη ϐαθµίδα, έστω s 0, και Π είναι το πεπερασµένο µέρος της G, έστω τάξης n <. Ας υποθέσουµε ότι n = t p s i i i=1 είναι η ανάλυση του n σε γινόµενο διακεκριµένων πρώτων p 1, p 2,..., p t. Τότε Π = G p1 G pt, όπου G pi είναι η Sylow p i -υποοµάδα της Π (ϐλ. Θεώρηµα 6.2.2). Κάθε οµάδα G pi, 1 i t, αναλύεται σε ευθύ άθροισµα κυκλικών οµάδων µε µοναδικό τρόπο σύµφωνα µε τον τύπο της (ϐλ. Θεώρηµα 6.3.4). Τώρα µπορούµε να εφαρµόσουµε την τεχνική που είδαµε στο παράδειγµα της αρχής του εδαφίου αυτού και οδηγούµαστε στην απόδειξη του Θεωρήµατος. Ας παρατηρήσουµε µόνον ότι αν µας δοθούν πεπερασµένου πλήθους δυνάµεις πρώτων αριθµών, µπορούµε να διατάξουµε γινόµενα αυτών ώστε ο πρώτος εξ αυτών να διαιρεί τον δεύτερο, ο δεύτερος τον τρίτο κ.ο.κ. Ορισµός Ο αριθµός s στη σχέση (6.4.1) λέγεται ελεύθερη ϐαθµίδα ή Betti αριθµός της οµάδας G. Οι ϕυσικοί αριθµοί m 1, m 2,..., m τ της σχέσης (6.4.1) λέγονται αναλλοίωτοι παράγοντες (invariant factors) της G. Η α- νάλυση της οµάδας G, όπως δίνεται στη σχέση (6.4.1) λέγεται ανάλυση της G κατά τους αναλλοίωτους παράγοντές της (docomposition in invariant factors). Παραδείγµατα Θα υπολογίσουµε τις µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης p 2 q 4 και ϑα τις αναλύσουµε κατά τους αναλλοίωτους παράγοντες κάθε µίας. Οι προσθετικές αναλύσεις του 2 είναι : και του 4: (2), (1, 1) (4), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 3), (2, 2). Άρα σύµφωνα µε το Θεώρηµα οι µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες p 2 q 4 είναι οι :

14 160 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων i. Z p 2 Z q 4 Z p 2 q 4 ii. Z p 2 Z q Z q Z q Z q Z q Z q Z q Z p 2 q iii. Z p 2 Z q Z q Z q 2 Z q Z q Z p 2 q 2 iv. Z q 2 Z q 2 Z q 2 Z q Z p 2 q 2 v. Z p Z p Z q 4 Z p Z pq 4 vi. Z p Z p Z q Z q Z q Z q Z q Z q Z pq Z pq vii. Z p Z p Z q Z q Z q 2 Z q Z pq Z pq 2 viii. Z p Z p Z q2 Z q 2 Z pq 2 Z pq 2. Ας δούµε τώρα µία ενδιαφέρουσα εφαρµογή του Θεωρήµατος 6.4.1, που είναι το περιεχόµενο της επόµενης πρότασης. Πρόταση Η πολλαπλασιαστική οµάδα ενός πεπερασµένου σώµατος είναι κυκλική. Απόδειξη Εστω F ένα πεπερασµένο σώµα µε F = p n, όπου p είναι ένας πρώτος αριθµός για n 1 ϕυσικός αριθµός (ϐλ. Παράρτηµα Γ1). Η πολλαπλασιαστική οµάδα F του σώµατος F έχει p n 1 στοιχεία και ϐέβαια είναι αβελιανή. Εποµένως, σύµφωνα µε το Θεώρηµα αναλύεται κατά τους αναλλοίωτους παράγοντές της σε ευθύ γινόµενο κυκλικών οµάδων F α 1 α 2 α s, για κάποιον ϕυσικό αριθµό s και α i F, 1 i s, ώστε και α i = ord(α i ), 1 i s ord(α i ) ord(α i+1 ), 1 i s 1, δηλ. οι αναλλοίωτοι παράγοντες της F είναι οι ord(α i ), 1 i s. Αυτό, όµως, σηµαίνει ότι η τάξη κάθε στοιχείου του F διαιρεί την τάξη του στοιχείου α s. Εστω ord(α s ) = r. Αφού ord(α) r, για κάθε στοιχείο α F, έπεται ότι α r = 1. Άρα κάθε στοιχείο του F είναι ϱίζα του πολυωνύµου x r 1 F [x] και επειδή το x r 1 έχει το πολύ r ϱίζες στο F, προκύπτει ότι p 1 r. Οµως, ο r ως τάξη ενός στοιχείου της οµάδας F (του στοιχείου α s ) πρέπει να διαιρεί την τάξη της F, δηλ. r (p 1) και συνεπώς r p 1. Εποµένως r = p 1. Συµπεραίνουµε, λοιπόν, ότι υπάρχει ένα στοιχείο α s F µε ord(α s ) = F. Εποµένως, η F είναι κυκλική οµάδα και F = α s.

15 Κεφάλαιο 6 Εδάφιο 6.4 Ταξινόµηση των π.π. αβελιανών οµάδων 161 Ασκήσεις 1. Να υπολογίσετε τις µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης : i. 96, ii. 360, iii Να υπολογίσετε τους αναλλοίωτους παράγοντες των αβελιανών οµάδων µε τάξη Εστω n = t i=1 p e i i η ανάλυση του ϕυσικού αριθµού n σε γινόµενο διακεκριµένων πρώτων. Να αποδείξετε ότι Z n Z p e 1 1 Z p e t t. 4. Να αποδείξετε ότι αν η τάξη µίας πεπερασµένης αβελιανής οµάδας δεν διαιρείται από το τετράγωνο ϕυσικού αριθµού, τότε είναι κυκλική. 5. Να αποδείξετε ότι µία πεπερασµένη µη κυκλική αβελιανή οµάδα περιέχει µία υποοµάδα τύπου (p, p) για κάποιον πρώτο ϕυσικό αριθµό. 6. Να υπολογίσετε πόσα στοιχεία τάξης p 2 έχει η οµάδα Z p Z p 2, όπου p είναι ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός.

16 162 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p.

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p. Κεφάλαιο 9 Οµάδες συγκεκριµένης τάξης Στο κεφάλαιο αυτό ϑα εφαρµόσουµε τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κεφάλαια για να περιγράψουµε οµάδες τάξης pq, όπου p, q είναι διακεκριµένοι πρώτοι αριθµοί,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων.

Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων. Κεφάλαιο 4 Πεπερασµένα σώµατα Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων. 4.1 Βασικές Εννοιες Εστω F ένα

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Βασικές Εννοιες. 1.1 Ορισµός οµάδας - Παραδείγµατα

Κεφάλαιο 1. Βασικές Εννοιες. 1.1 Ορισµός οµάδας - Παραδείγµατα Κεφάλαιο 1 Βασικές Εννοιες 1.1 Ορισµός οµάδας - Παραδείγµατα Συχνά στα µαθηµατικά µας ενδιαφέρει να εξετάσουµε αν κάποια ϕαινόµενα που ισχύουν σε αριθµητικά συστήµατα ισχύουν σε ένα γενικότερο περιβάλλον,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2 A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Ευχαριστώ ιδιαίτερα τη ϕοιτήτριά µου Μαρίνα Παλαιστή για τη µεταφορά του χειρογράφου µου σε κείµενο "tex" Κεφάλαιο 1 Βασικές Ιδιότητες Ισοδυναµιών Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός

Εισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Σε περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα. 8.1 Το γενικό πολυώνυµο

Κεφάλαιο 8. Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα. 8.1 Το γενικό πολυώνυµο Κεφάλαιο 8 Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα Σε αυτό το κεφάλαιο αρχικά αποδεικνύουµε ότι υπάρχει επέκταση σωµάτων µε οµάδα Galois την S n. Για το σκοπό αυτό εξετάζουµε τα συµµετρικά πολυώνυµα.

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα. Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenius

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenius ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenus Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε τους επαγόµενους αρακτήρες µε τη βοήθεια των οποίων αποδεικνύουµε το θεώρηµα των συµπληρωµάτων του Frobenus Οι

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Η οµή των Κυκλικών Οµάδων

Η οµή των Κυκλικών Οµάδων Κεφάλαιο 4 Η οµή των Κυκλικών Οµάδων Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την κλάση των κυκλικών οµάδων, η οποία είναι η απλούστερη µη τετριµµένη κλάση οµάδων. Ιδιαίτερα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Χαρακτηρισµοί Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 233 4. Χαρακτηρισµοί

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html ευτέρα 30 Μαρτίου 2015 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλοι

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ CAYLEY-HAMILTON. Έστω A πίνακας ν ν. Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p( A)

ΘΕΩΡΗΜΑ CAYLEY-HAMILTON. Έστω A πίνακας ν ν. Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p( A) Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Μάθηµα 7 ο ΘΕΩΡΗΜΑ CYLEY-HMILTON Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ 60 Ασκήσεις :,,, σελ 6 Ελάχιστο πολυώνυµο πίνακα Έστω πίνακας ν ν Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Bursde a b Θα αποδείξουμε εδώ ότι κάθε ομάδα τάξης pq ( p, q πρώτοι) είναι επιλύσιμη Το θεώρημα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιμοποίησε τη νέα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Σειρές Οµάδων. 7.1 Σειρές σύνθεσης. G = G 0 G 1 G 2 G n... G = G 0 G 1 G r = {e}. (7.1.1)

Κεφάλαιο 7. Σειρές Οµάδων. 7.1 Σειρές σύνθεσης. G = G 0 G 1 G 2 G n... G = G 0 G 1 G r = {e}. (7.1.1) Κεφάλαιο 7 Σειρές Οµάδων Συχνά στα µαθηµατικά προκειµένου να µελετήσουµε ένα µαθηµατικό αντικείµενο το αναλύουµε σε απλούστερα συστατικά του. Οι ακέραιοι αριθµοί για παράδειγµα αναλύονται σε γινόµενο πρώτων

Διαβάστε περισσότερα

to Modern Number Theory των Kenneth Ireland και Michael Rosen, GTM 84, Springer - Verlag, New York 1982.

to Modern Number Theory των Kenneth Ireland και Michael Rosen, GTM 84, Springer - Verlag, New York 1982. Αθροισµατα Gauss και Jacobi και Εφαρµογες Κατερίνα Κούτα Πτυχιακή Εργασία Παρουσιάσθηκε στις 15-11-2004 Επιβλέπων Καθηγητής ΝΓ Τζανάκης Τµήµα Μαθηµατικών - Πανεπιστήµιο Κρήτης Φθινοπωρινό εξάµηνο 2004

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i) 6 Δακτύλιοι και Πρότυπα 016-17 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Περιοχές κυρίων ιδεωδών. 1. Θεωρούμε το δακτύλιο [ i]. a. Βρείτε ένα d [ i] με ( a, b) d, όπου a (4 i) (1 i), b 16 1 i.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 4 Νοεµβρίου 2014, 1/19 Το ϑεώρηµα Riemann-Roch Θεωρούµε µια επιφάνεια Riemann M και το σώµα των F των

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα