11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

Transcript

1 Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

2 Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου β Παραλληλία διανυσµάτων Από µία σχέση ηλαδή, αν για τα διανύσµατα α = λ β µε λ R συµπεραίνουµε ότι α // β ΑΒ, Γ αποδείξουµε ότι το ένα εξ αυτών γράφεται ως γινόµενο ενός αριθµού επί το άλλο διάνυσµα, τότε αυτά θα είναι παράλληλα. ηλαδή, αν φτάσουµε σε µία σχέση της µορφής ΑΒ = λ Γ, λ R, τότε ΑΒ // Γ Παράδειγµα Αν είναι τότε είναι Α + = Γ+ Β Α + Β = Γ+ ή πότε, τα διανύσµατα ΑΒ και ΑΒ = Γ Γ είναι παράλληλα. Αν α // β, θα υπάρχει λ R, ώστε α = λ β, µε την προϋπόθεση ότι β 0 Ας εξηγήσουµε γιατί στο θεώρηµα είναι αναγκαίο να είναι Κάθε διάνυσµα β 0 α 0 θεωρείται παράλληλο στο µηδενικό διάνυσµα β = 0 Όµως δε γίνεται να γράψουµε το α 0 ως α = λ β = λ 0 = 0 Άτοπο Ας προσέξουµε πρώτα την πιο κάτω βοηθητική πρόταση. Έστω τα µη παράλληλα διανύσµατα α, β = Αν κ α λ β, όπου κ, λ πραγµατικοί, τότε υποχρεωτικά θα είναι κ = λ = 0 Πραγµατικά Αν ήταν κ 0, από κ α = λ β, θα ήταν και λ α = β, δηλαδή κ Αν ήταν λ 0, από κ α = λ β, θα ήταν και κ β = α, δηλαδή λ πότε κ = λ = 0 α // β Άτοπο α // β Άτοπο

3 Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου 3 Παράδειγµα Έστω τα µη παράλληλα διανύσµατα α, β Θα δείξουµε ότι τα διανύσµατα Πραγµατικά Αν τα διανύσµατα επειδή το θα υπήρχε = v = α+ β και v = α+ β, u = α β είναι µη µηδενικό, αφού αν λ R u = α β δεν είναι παράλληλα. u = α β ήταν παράλληλα u = 0 = β α, άρα α // β Άτοπο ώστε v λ u α + β = λ(α β) α + β = λ α λ β ( λ + ) β = (λ ) α Σύµφωνα µε το κριτήριο που είδαµε, πρέπει λ = 0 ή λ = πότε, τα διανύσµατα v = α+ β και και λ + = 0 = 0 Άτοπο u = α β δεν είναι παράλληλα. Να παρατηρήσουµε ότι ένα διάνυσµα κινούµενο οµόρροπα προς τον εαυτό του δηµιουργεί ίσα διανύσµατα και συνεπώς δεν υφίσταται η έννοια του σταθερού διανύσµατος. Να παρατηρήσουµε ότι υπάρχουν µόνο διανύσµατα µε σταθερό µέτρο. Παράδειγµα 3 Αν τα διανύσµατα ο φορέας του της γωνίας των, β α είναι µοναδιαία v = α+ β είναι παράλληλος στη διχοτόµο α, β, αφού το ΑΣΒ είναι ρόµβος. Ας προσέξουµε τα πιο κάτω θέµατα: Θέµα φ φ α Α β Β Σ u Αν 3 Α 8 Β+ 5 Γ = 0, θα αποδείξουµε ότι ΑΒ // ΒΓ Απάντηση 3 Α 8 Β+ 5 Γ = 0 πότε, τα διανύσµατα ΑΒ, 3 Α 3 Β 5 Β+ 5 Γ = 0 3 Β+ Α 5 Γ+ Β = 0 3 ΒΑ 5ΓΒ = 0 ΑΒ ΒΓ είναι συγγραµµικά. 5 = ΒΓ 3 Α Β Γ

4 Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου 4 Θέµα 6 Έστω τα µη µηδενικά και µη συγγραµµικά διανύσµατα α και β Θα αποδείξουµε ότι ο φορέας του διανύσµατος u = β α + α β είναι παράλληλος στη διχοτόµο της γωνίας των διανυσµάτων α και β β α β α θ φ φ Β α β Α Γ u Απάντηση Έστω ω η γωνία των α και β, φ η γωνία των u, α, φ η γωνία των u, β Από u = β α + α β πολλαπλασιάζοντας µε α είναι α u = β α + α (α β) ή α u συνφ = β α + α ή u συνφ = α β ( + συνω) β συνω α β ή συνφ = ( + συνω) u α β Όµοια, καταλήγουµε ότι συνφ = ( + συνω) u πότε συν φ = συνφ και άρα φ = φ πότε, ο φορέας του u είναι παράλληλος στη διχοτόµο της γωνίας των α και β Προσοχή, είναι λάθος να πούµε ότι ο φορέας του u είναι διχοτόµος της γωνίας των α και β, αφού ένα διάνυσµα «κινείται στο επίπεδο». Θα µπορούσαµε να λύσουµε το θέµα και ως εξής: Επειδή β α = β α και α β = α β το παραλληλόγραµµο είναι και ρόµβος, οπότε είναι προφανές ότι φ = φ

5 Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου 5 Θέµα 7 Τα διανύσµατα α = (κ, λ) και β = (µ, ν) β ν είναι κάθετα και έχουν µέτρα ίσα µε τη µονάδα. λ α = Θα αποδείξουµε ότι (κν λµ) µ κ Απάντηση πορούµε να λύσουµε το θέµα ως εξής: Επειδή α β, έχουµε α β = 0 ( κ,λ)(µ,ν) = 0 κµ + λν = 0 Επειδή τα µέτρα των α και β είναι ίσα µε τη µονάδα είναι α = κ + λ = ή κ + λ = και β = µ + ν = ή µ + ν = Από την ταυτότητα Lagrange είναι ( κ + λ )(µ + ν ) (κµ + λν) = (κν λµ) θα έχουµε 0 = (κν λµ) (κν λµ) = Θα µπορούσαµε να λύσουµε το θέµα και ως εξής: ( κν λµ) = = κ + λ ν + µ συνω ((κ, λ) (ν, µ) ) = συν ω όπου ω είναι η γωνία των διανυσµάτων ( κ, λ) και ( ν, µ ) Όµως τα διανύσµατα ( κ, λ) και ( ν, µ ) είναι παράλληλα κ λ = µ αφού κµ λν ( κµ λν) 0 ν = Εποµένως συν ω = και έτσι θα έχουµε (κν λµ) Θα µπορούσαµε να λύσουµε το θέµα και ως εξής: + = και άρα συν ω = ±, αφού ω = 0 ή ω = π Αφού τα διανύσµατα α = (κ, λ) και β = (µ, ν) είναι κάθετα και µοναδιαία = αν τα τοποθετήσουµε σε σύστηµα αξόνων, πρέπει κ = ν και λ = µ πότε 4 ( κν λµ) = ( κ + λ ) = κ + λ =

6 Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου 6. Ευθεία. Κύκλος 33. Παραβολή 44. Έλλειψη 55. Υπερβολή 66. Κωνικές τοµές

7 Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου 7 Θέµα 7 Θα βρούµε την εξίσωση της ευθείας ( ε) που διέρχεται από το σηµείο (,) και τέµνει τις ευθείες ( ε ) : y = x + και ( ε ) : y = x + στα σηµεία Α και Β αντιστοίχως, ώστε το να είναι µέσο του ΑΒ Απάντηση ( ε ) y (ε) ( ε ) Α (x,y ) x B(x,y) Ας δούµε πρώτα τον πιο κάτω τρόπο. Έστω ότι η ευθεία ( ε) που διέρχεται από το τέµνει την ( ε ) στο (x, y ) Α και την ( ε ) στο (x, y ) B x + x y + y Επειδή το M (,) είναι το µέσο του ΑΒ, είναι = και = Επίσης, επειδή το Α(x, y) είναι και σηµείο της ( ε ), είναι ( ε ) : y = x + επειδή το Β(x, y ) είναι και σηµείο της ( ε ), είναι ( ε ) : y = x + x + x Θα λύσουµε τώρα το σύστηµα = y + y x + x + = = x = x y = x + y = x + x + x πότε, η σχέση = δίνει x = και έτσι είναι και x = πότε y = 3 και = πότε, πρόκειται για τα σηµεία Α (,3) και B(, ) Συνεπώς, η ευθεία του προβλήµατος είναι προφανώς η ευθεία ( ε) : x = Όµως µπορούµε να αντιµετωπίσουµε το θέµα και κλασικά όπως παρακάτω. y

8 Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου 8 Να τονίσουµε πρώτα κάτι σηµαντικό! Όταν ψάχνουµε ευθεία και δεν ξέρουµε την κλίση της, πρέπει να διακρίνουµε περιπτώσεις, αν είναι κατακόρυφη ή αν δεν είναι κατακόρυφη και έχει κλίση λ ι ευθείες που διέρχονται από το σηµείο (,) είναι η κατακόρυφη x = και οι µη κατακόρυφες ευθείες µε εξισώσεις ( ε λ ) : y = λ(x ), λ R Η ευθεία x = τέµνει την ( ε ) : y x + = στο σηµείο Κ (,3) και την ( ε ) : y = x + στο σηµείο Λ(, ) ( ε ) y ( ε ) Α Κ ( ) Άρα, η κατακόρυφη x = είναι µια από τις ζητούµενες ευθείες. Το ΚΛ έχει µέσο το σηµείο, (,) Λ (ε) Β x Η ευθεία ( ε λ ) : y = λ(x ), λ R, τέµνει τις ( ε ) : y = x +, ( ε ) : y = x + στα σηµεία Α και Β αντιστοίχως, που οι συντεταγµένες τους y = x + είναι οι λύσεις των συστηµάτων: ( Σ ) : και Σ y = λ(x ) ( y = x + ) : y = λ(x ) λ Από το πρώτο σύστηµα έχουµε x + = λx λ ( λ )x = λ x = λ λ 3λ λ 3λ οπότε y = x + = + = και τελικά συµπεραίνουµε ότι Α, λ λ λ λ Προφανώς είναι λ αφού, για λ =, πρόκειται για την ευθεία y = x, η οποία ταυτίζεται µε την ε ) µοίως, λύνοντας το δεύτερο σύστηµα, καταλήγουµε ότι Β Επειδή το (,) είναι µέσο του ΑΒ, είναι λ λ 4λ + = = 4 λ λ + λ 3λ λ 3λ + λ λ + = λ λ + λ το οποίο προφανώς είναι αδύνατο. λ, + λ + λ λ λ = λ και + λ = λ + 4λ = λ Η µόνη λύση του προβλήµατός µας είναι η κατακόρυφη ευθεία x = (

9 Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου 9 β Εξίσωση ευθείας Για να αποδείξουµε ότι µια εξίσωση της µορφής ( ε) : Ax + By + Γ = 0 είναι εξίσωση ευθείας, αρκεί να αποδείξουµε ότι οι µηδέν. ηλαδή αρκεί να αποδείξουµε ότι Α + Β 0 Α, Β δεν είναι ταυτόχρονα Παράδειγµα Έστω η εξίσωση (ε) : (µ )x + µy + µ 0 Θα αποδείξουµε ότι παριστάνει ευθεία, για κάθε πραγµατική τιµή του µ Πραγµατικά Η εξίσωση είναι της µορφής Α x + By + Γ = 0 µε Α = µ και Β = µ Επειδή οι συντελεστές µ και µ, των x και y αντίστοιχα δε µηδενίζονται συγχρόνως για καµία τιµή του µ, η δοθείσα εξίσωση παριστάνει για κάθε µ R µία ευθεία γραµµή. = Παράδειγµα Έστω η εξίσωση ( ε) : ( x y + 5) + λ( 3x + y + 7) = 0, όπου λ R Θα αποδείξουµε ότι, για κάθε τιµή του λ, αυτή παριστάνει ευθεία. Πραγµατικά Η εξίσωση ( ε) : ( x y + 5) + λ( 3x + y + 7) = 0 γράφεται ισοδύναµα x y λx + λy + 7λ = 0 ( ε) : ( + 3λ)x + ( + λ)y + (5 + 7λ) = 0 Η εξίσωση είναι της µορφής Α x + By + Γ = 0, µε Α = + 3λ και Β = + λ Αν ήταν Α = 0 + 3λ = 0 λ = και Β = 0 + λ = 0 λ = Άτοπο πότε, δεν υπάρχει τιµή του λ 3 που να µηδενίζεται συγχρόνως και ο συντελεστής του x και ο συντελεστής του y πότε, η εξίσωση παριστάνει εξίσωση ευθείας για κάθε τιµή του λ R

10 Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου 0 Ένα κλασικό θέµα είναι το θέµα σχετικά µε το να αποδείξουµε ότι οι ευθείας µιας οικογένειας ευθειών διέρχονται από σταθερό σηµείο δηλαδή αποτελούν όπως λέµε µία δέσµη ευθειών. y x Παράδειγµα 3 Έστω η εξίσωση ( ε λ ) : (λ + )x + (λ )y + ( λ) = 0 Θα αποδείξουµε ότι αυτή αποτελεί εξίσωση ευθείας και ότι όλες οι ευθείες που παράγονται διέρχονται από το ίδιο σηµείο. Πραγµατικά Έστω ότι λ + = 0 λ = και λ = 0 = 0 Άτοπο πότε, η πιο πάνω εξίσωση είναι µία οικογένεια ευθειών, για κάθε λ R Ας δούµε πώς θα αποδείξουµε ότι αυτές διέρχονται από σταθερό σηµείο. πορούσαµε όµως να κινηθούµε ως εξής: Για να δείξουµε ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας διέρχονται από το ίδιο σηµείο, αρκεί να βρούµε ένα σηµείο Σ(x ο, yο ) του οποίου οι συντεταγµένες να επαληθεύουν την αρχική εξίσωση για όλες τις τιµές του λ Ας θεωρήσουµε δύο συγκεκριµένες απ αυτές. Για λ = 0 προκύπτει η ευθεία ( ε ) : x y + = 0 Για λ = προκύπτει η ευθεία ( ε ) : x y = 0 Λύνοντας το σύστηµα αυτών, βρίσκουµε απλά ότι x = και y = ηλαδή οι ευθείες ( ε ) και ( ε ) τέµνονται στο σηµείο Σ (, ) πότε, αν όλες διέρχονται από σταθερό σηµείο, αυτό θα είναι το σηµείο Σ Ας το αποδείξουµε. Η εξίσωση ( ε λ ) : (λ + )x + (λ )y + ( λ) = 0 για x = και y = γίνεται ( λ + ) + (λ ) + ( λ) = 0 0 = 0 ηλαδή οι συντεταγµένες του Σ ικανοποιούν την ( ε λ ) πότε, όλες οι ευθείες ( ε λ ) διέρχονται από το σταθερό σηµείο Σ

11 Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου Θα µπορούσαµε όµως να κινηθούµε και ως εξής: Η εξίσωση ( ε λ ) : (λ + )x + (λ )y + ( λ) = 0 γίνεται ( ε λ ) : λx + x + λy y + λ = 0 ή ( x + y )λ + (x y + ) = 0, για κάθε λ R πότε, πρέπει x + y = 0 και x y = 0 Λύνοντας το πιο πάνω σύστηµα, βρίσκουµε απλά ότι x = και y = ηλαδή οι ευθείες ( ε ) και ( ε ) τέµνονται στο σηµείο Σ (, ) πότε, όλες διέρχονται από σταθερό σηµείο, το σηµείο Σ Θα µπορούσαµε όµως να κινηθούµε και όπως πιο κάτω: Έστω η εξίσωση ( ε λ ) : (λ + )x + (λ )y + ( λ) = 0 Θεωρούµε δύο τυχούσες απ αυτές, τις ε ) : (λ + )x + (λ )y + ( λ ) 0 ( = και ( ε ) : (λ + )x + (λ )y + ( λ ) = 0 που υποθέτουµε ότι είναι διαφορετικές, δηλαδή ότι λ λ Θα λύσουµε το σύστηµά τους. Είναι (Σ) : (λ (λ + )x + (λ + )x + (λ )y = λ )y = λ λ + λ Είναι D = = ( λ + )(λ ) (λ + )(λ ) λ + λ = ( λ λ λ + λ ) ( λλ λ + λ ) = ( λ λ ) 0 3 Επίσης, πολύ απλά, διαπιστώνουµε ότι D x λ λ = = 3( λ ) λ λ λ και D λ + λ y = = 3( λ λ ) λ + λ D D x y Συνεπώς, το σύστηµα δέχεται µοναδική λύση τη (x, y) =, = (, ) Επειδή οι τυχούσες ευθείες ( ε ), ε ) συµπεραίνουµε ότι και όλες οι ευθείες ε ) ( τέµνονται στο Σ (, ) ( λ διέρχονται από το σηµείο Σ (, ) D D

12 Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου Επίσης ένα κλασικό θέµα είναι το θέµα σχετικά µε το να εξετάσουµε αν κάποια ευθεία, είναι τελικά ευθεία µιας δέσµης ευθειών. Όπως είδαµε πριν, η εξίσωση ( ε λ ) : (λ + )x + (λ )y + ( λ) = 0 αποτελεί µία δέσµη ευθειών, δηλαδή ευθείες που διέρχονται από το ίδιο σηµείο και µάλιστα το σηµείο Σ (, ) Παράδειγµα 4 Θα εξετάσουµε αν η ευθεία ( δ) : 4x + y 3 = 0 είναι ευθεία της οικογένειας ( ε λ ) : (λ + )x + (λ )y + ( λ) = 0 Πραγµατικά Επειδή για x = και y =, αυτή δίνει = 0 αυτή δε διέρχεται από το Σ και άρα δεν είναι ευθεία της οικογένειας. Να τονίσουµε τώρα κάτι σηµαντικό! Αν τώρα κάποια ευθεία διέρχεται από το σταθερό σηµείο Σ (, ) δεν είναι κατά ανάγκη και ευθεία της οικογένειας. Για παράδειγµα, θα εξετάσουµε αν η ευθεία ( δ) : x + y = 0 είναι ευθεία της παραπάνω οικογένειας ( ε λ ) : (λ + )x + (λ )y + ( λ) = 0 Για x = και y =, αυτή δίνει + = 0, δηλαδή αυτή διέρχεται από το Σ (, ) Όµως, µε βάση αυτό το δεδοµένο δε διαπιστώνεται ότι αυτή είναι ευθεία της οικογένειας. Ας δούµε πρώτα το πιο κάτω παράδειγµα: Έστω η οικογένεια ευθειών ( ε ) : y = λ x + λ, λ R ι ευθείες διέρχονται προφανώς από το σηµείο Σ (, ) λ (ε) y Σ (ε ) (ε ) (ε 3 ) Επειδή όµως αυτές έχουν κλίση µη αρνητική και ίση µε σηµαίνει ότι οι εφαπτοµένες των γωνιών που σχηµατίζουν αυτές µε τον x x είναι θετικές, δηλαδή αυτές σχηµατίζουν µε τον x x γωνίες οξείες. πότε, ναι µεν η ευθεία ( ε) : y = x + διέρχεται από το σηµείο Σ (, ) αλλά, επειδή έχει αρνητική κλίση, προφανώς δεν είναι ευθεία της οικογένειας ( ε λ ) λ x

13 Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου 3 Ας δούµε τώρα περίπτωση κατά την οποία µία ευθεία που διέρχεται από ένα σηµείο από το οποίο διέρχονται οι ευθείες µιας οικογένειας ευθειών αν είναι µια ευθεία αυτής της οικογένειας. Γνωρίζουµε ότι οι ευθείες ε ) : A x + B y + Γ 0 ( = ( ε ) : A x + B y + Γ = 0 ταυτίζονται µόνο αν οι συντελεστές A,B, Γ είναι αντίστοιχα ανάλογοι των A,B, Γ Ας δούµε ξανά το προηγούµενο παράδειγµα. Έστω η οικογένεια ευθειών ( ε λ ) : (λ + )x + (λ )y + ( λ) = 0 και έστω και η ευθεία ( ε) : y = x + η οποία διέρχεται από το σηµείο Σ (, ) Για να είναι η ευθεία (ε) : y = x + ( ε) : x + y = 0 µια ευθεία της, αρκεί να υπάρχει λ R ώστε λ + = λ = λ Από λ + = λ είναι λ + = λ = Αδύνατο πότε, αυτή δεν είναι ευθεία της οικογένειας. Ας εξετάσουµε αν η ευθεία ( ζ) : 3x + y 4 = 0 είναι ευθεία της παραπάνω οικογένειας ( ε λ ) : (λ + )x + (λ )y + ( λ) = 0 Για x = και y =, αυτή δίνει + = 0, δηλαδή αυτή διέρχεται από το Σ (, ) Για να είναι η ευθεία ( ζ) : 3x + y 4 = 0 µια ευθεία της αρκεί να υπάρχει λ R, ώστε λ + = 3 λ = λ 4 Λύνοντας το σύστηµα αυτό, προκύπτει 7 λ = πότε, αυτή είναι µια ευθεία της οικογένειας αυτής.

14 Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου 4 Ασκήσεις λ = β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (ε ) : (λ )x + λy + λ 0 παράγει ευθείες. β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (α + α + 3)x + (α α + )y + (3α + ) = 0, α R παριστάνει ευθείες που διέρχονται από το σταθερό σηµείο Α(, ) λ = β.3 Έστω η εξίσωση (ε ) : (λ + λ )x + (λ λ )y + λ + 3λ 3 0 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ε λ ) είναι εξίσωση ευθείας, για κάθε λ R β) Όταν ο λ µεταβάλλεται στο R να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες ( ε λ ) διέρχονται από ένα συγκεκριµένο σηµείο. λ = β.4 Έστω η εξίσωση (ε ) : λ x y + λ 0, λ R α) Να αποδείξετε ότι παριστάνει ευθείες που διέρχονται από σταθερό σηµείο Σ β) Εξετάστε αν οι ευθείες ( δ) : y = x, ( δ ) : y = x και ( δ 3 ) : y = x + είναι ευθείες της πιο πάνω δέσµης ευθειών. +, λ,µ R β.5 Έστω η εξίσωση ( ε) : ( λ µ ) x + ( λ µ ) y + 3 3λ = 0 α) Να βρείτε τους λ,µ R, ώστε αυτή να αντιπροσωπεύει ευθείες. β) Να αποδείξετε ότι αυτές διέρχονται από σταθερό σηµείο Σ β.6 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ε) : (κ + λ )x + (3κ λ )y + (κ 3λ + ) = 0 µε κ λ αντιπροσωπεύει ευθείες οι οποίες διέρχονται από σταθερό σηµείο Σ β.7 Έστω οι εξισώσεις ( ε λ ) : λx + (λ + 3)y + (λ 6) = 0 και ( δ λ ) : (λ + )x + (λ )y + (λ ) = 0 α) Να αποδείξετε ότι αυτές είναι ευθείες. β) Να βρείτε την τιµή του λ, ώστε αυτές να τέµνονται πάνω στον άξονα y y β.8 Έστω η εξίσωση (ε) : x + ( λ) y λ 0, λ R Να αποδείξετε ότι παράγει ευθείες, οι οποίες όµως δεν αποτελούν δέσµη. = β.9 Έστω η εξίσωση ( ε φ ) : συνφx + 3ηµφy 6 = 0, όπου φ R α) Να αποδείξετε ότι αυτή παράγει ευθείες. β) Να αποδείξετε ότι τα Α ( 5,0) και ( 5,0) Β δεν ανήκουν σε καµία από αυτές. γ) Να αποδείξετε ότι το γινόµενο d(a,ε ) d(β,ε ) είναι σταθερό. φ φ

15 Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου 5

16 Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου 6 Α ξ ι ο λ ό γ η σ η 45 Θέµα Α) Να αποδείξετε ότι v+ u+ w v + u + w Β) Να αποδείξετε ότι α+ β γ + α β+ γ + α+ β+ γ α+ β+ γ Γ) Αν είναι α =, β =, να αποδείξετε ότι α β + 3 α β + α+ β Θέµα Έστω τα διανύσµατα a, o b, ώστε a =, b = και a, b = 60 Έστω και v ένας γραµµικός συνδυασµός των a, b, µε a v = 3 και b v = 9 Α) Να αποδείξετε ότι v = a+ b Β) Να βρείτε τις γωνίες a, v και b, v Θέµα 3 Έστω η συνάρτηση φ(x) = x + x, x R Α ) Να αποδείξετε ότι φ(x) = x 4 Α ) Να αποδείξετε ότι φ = 4 Α 3 ) Να αποδείξετε ότι η φ παρουσιάζει µέγιστο. 4 Β) Έστω τώρα και το τεταρτοκύκλιο (κ) : x + y =, x 0, y 0 Να βρείτε εκείνη την εφαπτοµένη ( ε) του ( κ) που σχηµατίζει µε τους ηµιάξονες ο στο τεταρτηµόριο τρίγωνο ελάχιστου εµβαδού. Θέµα 4 Έστω τα σηµεία (m, m), m R και N (α, β), ώστε α + β + α + β + = 0, α,β R Α ) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων Α ) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων Ν Β) Να αποδείξετε ότι τα και Ν δεν ταυτίζονται. Γ) Να βρείτε εκείνα τα σηµεία, Ν, ώστε το τµήµα Ν να γίνεται ελάχιστο και να βρείτε επίσης και αυτό το ελάχιστο µήκος.

17 Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου 7 Α ξ ι ο λ ό γ η σ η 46 Θέµα Έστω τα διανύσµατα α, β Να αποδείξετε ότι α Θέµα 0, µε α = x, β = x και α β = x x + Έστω τα µη παράλληλα µεταξύ τους διανύσµατα α, β και γ Γνωρίζουµε ότι α // β+ x γ και Α) Να αποδείξετε ότι xy 0 Β) Να αποδείξετε ότι Θέµα 3 β // γ+ y α, x, y R xy α+ β+ x γ = 0 Έστω τα σηµεία (x, y), ώστε x + y α β x α β y + α + β = 0 Τα α και β είναι µη µηδενικά, µε σταθερά µέτρα και σχηµατίζουν σταθερή γωνία. Α) Να αποδείξετε ότι τα κινούνται σε κύκλο, του οποίου να βρείτε την ακτίνα. Β) Αν είναι και α = β, να αποδείξετε ότι το κέντρο βρίσκεται στη ( δ) : y = x Θέµα 4 Έστω η παραβολή (π) : y = 4x Έστω και τα Α( x, y) (π), Α ( x, y ) (π), ώστε Α Α Α) Να υπολογίσετε τα γινόµενα y y και x x Β) Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία ( AB) διέρχεται από το Σ (4,0) Γ) Αν Α Α, να αποδείξετε ότι (κ) : (x ) + y = 4 (ε) Α Σ Α (π) Θέµα 5 Έστω το σηµείο (, ) = και η παραβολή (π) : y 4x (π) Φέρνουµε τις εφαπτοµένες MA και MB προς αυτή. Έστω και Σ ΑΒ Α) Να αποδείξετε ότι ( ΑΒ) : x + y 4 = 0 Β) Να αποδείξετε ότι Α Σ = ΒΣ = 8 5 Α Σ Β

18 Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου 8 Α ξ ι ο λ ό γ η σ η 47 Θέµα Έστω τα διανύσµατα + α, β, ώστε α β Α) Να αποδείξετε ότι β β + α + Β) Αν τώρα είναι και 3α + β, να αποδείξετε ότι α β Θέµα Έστω τα διανύσµατα α, β, γ του σχήµατος. Γνωρίζουµε ότι α =, β = και γ = 3 3 Α) Να προσδιορίσετε τα µέτρα α + β και β+ γ Β) Να αποδείξετε ότι α γ, α β =, β γ = β+ γ γ β α+ β α Θέµα 3 Α) Έστω το ισόπλευρο τρίγωνο ΚΛ µε βαρύκεντρο Να αποδείξετε ότι Κ + Λ+ = 0 Β) Έστω και το κανονικό εξάγωνο ΑΒΓ ΕΖ Να αποδείξετε ότι Α + Β+ Γ+ + Ε+ Ζ = 0 Θέµα 4 Έστω ο κύκλος (κ) : x + y = Θεωρούµε και το σηµείο ( m,0) M, m > Φέρνουµε την τέµνουσα MAB του κύκλου και θεωρούµε το µέσο N της χορδής AB Να αποδείξετε ότι το N κινείται στον κύκλο (c) : x + y mx = 0 Θέµα 5 Έστω ο κύκλος (κ) : x y = Έστω και το σηµείο N (3,4) + και έστω ( x, y) M σηµείο του. Να βρείτε τη θέση του, ώστε το Ν να γίνει µέγιστο. Κ Λ Ε Ζ Γ Α Β Β Ν Α Ν

19 Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου 9 Α ξ ι ο λ ό γ η σ η 48 Θέµα Έστω το οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και η διάµεσός του Α ο Ξέρουµε ότι ΑΒ =, ΑΓ = 4 και ΑΒ, ΑΓ = 60 Α) Να προσδιορίσετε το µέτρο του διανύσµατος Β) Να υπολογίσετε το γινόµενο ΑΒ Α 4 Γ) Να αποδείξετε ότι προβ ΑΒ = Α 7 Α Α Β Α Γ Θέµα Έστω ο κύκλος ( κ) : x + y = r και η παραβολή (π) : y = 4rx, r > 0 Η ( ε) είναι µία κοινή εφαπτοµένη αυτών στα σηµεία ( x, y ) Α) Να αποδείξετε ότι M και M o o o yo r = + yo r (ε) θ o Β) Να αποδείξετε ότι εφθ = 5 Θέµα 3 Έστω η παραβολή (π) : y = rx, r > 0 Έστω το τυχόν σηµείο της M ( a,b) Θεωρούµε το σηµείο Ν, ώστε Ν = Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Ν κινούνται σε παραβολή ( c) Ν (π ) (c ) Θέµα 4 Έστω η έλλειψη του διπλανού σχήµατος. Ξέρουµε ότι Λ = 4Κ Α) Να προσδιορίσετε τα µήκη των Κ, Λ Β) Να αποδείξετε ότι K 4 4m m Λ 5 5 4

20 Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου 0