Πρόλογος. Η µαθηµατική ανάλυση των οικονοµικών σχέσεων µπορεί να πάρει τη µορφή ποιοτικής, παραµετρικής και ποσοτικής ανάλυσης.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πρόλογος. Η µαθηµατική ανάλυση των οικονοµικών σχέσεων µπορεί να πάρει τη µορφή ποιοτικής, παραµετρικής και ποσοτικής ανάλυσης."

Transcript

1 1 Πρόλογος Σκοπός του παρόντος συγγράµµατος είναι να αναδείξει τη συµβολή των καθαρών µαθηµατικών στην ανάπτυξη και λειτουργία οποιουδήποτε οικονοµικού συστήµατος. Σε κάθε βήµα των µαθηµατικών µεθόδων που περιγράφονται, αντικατοπτρίζεται η σηµασία τους στην επίλυση των προβληµάτων της οικονοµικής θεωρίας. Ο προσδιορισµός και η µελέτη του συνόλου των σχέσεων αλληλεξάρτησης των διαφόρων οικονοµικών µεγεθών, όπως κόστος, έσοδα, τιµές, παραγωγή, κατανάλωση, επένδυση κ.ά., αποτελεί βασική επιδίωξη κάθε οικονοµικής ανάλυσης. Για την εφαρµογή της µαθηµατικής ανάλυσης στη µελέτη και επίλυση οικονοµικών προβληµάτων δεν είναι πάντα αναγκαίο να γνωρίζουµε την ακριβή µορφή των µαθηµατικών σχέσεων που συνδέουν τις οικονοµικές µεταβλητές. ηλαδή, η απόδειξη µιας πληθώρας οικονοµικών προτάσεων βασίζεται µόνο στην πληροφορία, ότι οι τιµές ενός οικονοµικού µεγέθους εξαρτώνται από τις τιµές ενός άλλου οικονοµικού µεγέθους και η συναρτησιακή αυτή σχέση εκφράζεται µε µια παραγωγίσιµη συνάρτηση. Η µαθηµατική ανάλυση των οικονοµικών σχέσεων µπορεί να πάρει τη µορφή ποιοτικής, παραµετρικής και ποσοτικής ανάλυσης. Η ποιοτική ανάλυση (qualitative analysis) αναφέρεται στον προσδιορισµό της κατεύθυνσης µεταβολής µιας ή περισσότερων οικονοµικών µεταβλητών σε σχέση µε τη µεταβολή µιας ή περισσότερων άλλων οικονοµικών µεταβλητών. Στην περίπτωση παραγωγίσιµων οικονοµικών συναρτήσεων, η κατεύθυνση µεταβολής εκφράζεται πλήρως µε το πρόσηµο της παραγώγου ή των µερικών παραγώγων.

2 2 Στο σηµείο αυτό θα πρέπει να τονίσουµε, ότι τα προβλήµατα ποιοτικής οικονοµικής ανάλυσης, από τη φύση τους είναι προβλήµατα συνδυαστικής ανάλυσης και βρίσκουν την πιο αποτελεσµατική τους αντιµετώπιση στα πλαίσια της θεωρίας των προσηµασµένων γραφηµάτων (signed graphs). Η παραµετρική ανάλυση (parametric analysis) αναφέρεται σε µια οικογένεια οικονοµικών σχέσεων ή συναρτήσεων που έχουν την ίδια µορφή έτσι ώστε κάθε µέλος της οικογένειας αυτής προκύπτει, όταν δώσουµε συγκεκριµένες τιµές στις παραµέτρους. Με την παραµετρική ανάλυση προσδιορίζονται διαστήµατα µεταβολής των παραµέτρων, έτσι ώστε να ενσω- µατώνονται οι πραγµατικές οικονοµικές συνθήκες που διαµορφώνουν τις τιµές των µεταβλητών του διαστήµατος. Εκφράζονται ακόµη τυχόν τυπικά ακρότατα ή σηµεία καµπής των συναρτήσεων αυτών σα συναρτήσεις των τιµών των παραµέτρων. Τέλος, η ποσοτική ανάλυση (quantitative analysis) µελετά τις ποσοτικοποιηµένες σχέσεις που προκύπτουν, όταν οι παράµετροι πάρουν συγκεκριµένες αριθµητικές τιµές. Έτσι µε την ανάλυση αυτή προσδιορίζονται συγκεκριµένες αριθµητικές τιµές των οικονοµικών µεταβλητών, που είναι οι βασικές για την επίλυση προβληµάτων οικονοµικής επιλογής και πιο γενικά για τη διαδικασία λήψης οικονοµικών αποφάσεων. Το είδος, η έκταση και η µορφή της µαθηµατικής ανάλυσης που χρησι- µοποιείται εξαρτάται κυρίως από τη φύση των οικονοµικών σχέσεων και µεταβλητών που µελετώνται. Έτσι η µελέτη οικονοµικών µεταβλητών που δεν συνδέονται µε συναρτησιακές σχέσεις µπορεί να γίνει πιο αποτελεσµατικά στα πλαίσια µιας περιοχής των µοντέρνων µαθηµατικών που ονοµάζεται θεωρία γραφηµάτων. Όταν όµως οι οικονοµικές µεταβλητές εκφράζονται µε συναρτήσεις πραγµατικών µεταβλητών, τότε η πιο κατάλληλη µαθηµατική ανάλυση για τη µελέτη των οικονοµικών αυτών σχέσεων είναι οι τεχνικές του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισµού. Εποµένως, η χρησιµοποίηση της µαθηµατικής ανάλυσης στην καλύτερη κατανόηση και επίλυση οικονοµικών προβληµάτων είναι θέµα αναγκαιότητας και όχι επιλογής.

3 3 Αναφορικά µε τη δοµή του βιβλίου αυτού, θα ήθελα να επισηµάνω ότι αναφέρεται σε διαφορετικούς τύπους αναγνωστών. Τα πρώτα κεφάλαια στοχεύουν πρωταρχικά σε αναγνώστες χωρίς µαθηµατικό υπόβαθρο, το οποίο θα αποκτηθεί πιθανόν µεταγενέστερα µε κατάλληλη σειρά µαθηµάτων. Τέτοιου είδους αναγνώστες θα πρέπει να συνηθίσουν στην εφαρµογή των στοιχειωδών µεθόδων, πριν προχωρήσουν σε πιο δυναµικές διαδικασίες που περιγράφονται στα τελευταία κεφάλαια. Ο πιο ενηµερωµένος αναγνώστης µπορεί να χρησιµοποιήσει τα πρώτα κεφάλαια για επανάληψη και να προχωρήσει αµέσως στην επόµενη εργασία. Ο έµπειρος µαθηµατικός οικονοµολόγος µπορεί να θεωρήσει το βιβλίο σαν εργαλείο αναφοράς και έρευνας νέων µεθόδων επίλυσης οικονοµικών προβληµάτων. Σε κάθε κεφάλαιο επισυνάπτεται ικανός αριθµός ασκήσεων, που θα εξοικειώσουν τον αναγνώστη µε τα µαθηµατικά εργαλεία και τις εφαρµογές τους σε διακριτά οικονοµικά προβλήµατα. Η µέθοδος θεραπείας τους θα καταδείξει την προσπάθεια µιας συστηµατικής ανάπτυξης της µαθηµατικής οικονοµικής θεωρίας, αλλά οι ουσιώδεις δοµές µιας τέτοιας θεωρίας θα βρεθούν είτε στο κείµενο είτε στις ασκήσεις. Σεπτέµβριος 2005 Α. Αλεξανδράκης

4 Αριθµοί και µεταβλητές 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 1.1. Το σύνολο των φυσικών αριθµών Φ Η έννοια του συνόλου είναι θεµελιώδους σηµασίας σε οποιαδήποτε περιοχή των µοντέρνων µαθηµατικών και ορίζεται ως εξής: Σύνολο είναι κάθε συλλογή διακριτών αντικειµένων που προέρχονται από τους χώρους της εµπειρίας ή της διανόησης και θεωρούνται ως µια ενότητα. Τα αντικείµενα που αποτελούν το σύνολο λέγονται στοιχεία x σε ένα σύνολο Χ και συµβολίζουµε: x X ή x X η άρνησή της. Όταν µπορούµε να δηµιουργήσουµε µια αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία µεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων Α και Β, λέµε ότι τα σύνολα είναι ισοδύναµα και γράφουµε A B. Πληθικός αριθµός ενός συνόλου S είναι ο αριθµός των στοιχειών του και συµβολίζεται µε η( S ) ή S. Τα ισοδύναµα σύνολα έχουν τον ίδιο πληθικό αριθµό. ύο σύνολα µεταξύ των οποίων δεν µπορεί να υπάρξει αµφιµονοσήµαντη (ένα - προς - ένα) αντιστοιχία έχουν διαφορετικούς πληθικούς αριθµούς. Η ακολουθία 1, 2, 3,..., ν,... λέγεται ακολουθία των φυσικών αριθµών και είναι απέραντη (δηλαδή δεν υπάρχει τελευταίος αριθµός). Φ= { 1,2,3,...,ν,... } Ένα σύνολο Χ είναι πεπερασµένο, αν είναι ισοδύναµο προς ένα αρχικό απόκοµµα της ακολουθίας των φυσικών αριθµών. ηλαδή αν x= 0 ή x= n για κάποιο θετικό ακέραιο αριθµό n.

5 6 Κεφάλαιο 1ο Η πλέον χαρακτηριστική ιδιότητα των πεπερασµένων συνόλων είναι η εξής: Κάθε πεπερασµένο σύνολο δεν είναι ισοδύναµο µε κανένα µέρος του, δηλαδή µε κανένα γνήσιο υποσύνολό του. Κάθε σύνολο που δεν είναι πεπερασµένο λέγεται απειροσύνολο, δηλαδή κάθε σύνολο που δεν είναι ισοδύναµο µε κανένα πεπερασµένο σύνολο. Το πλήθος των στοιχείων του λέµε ότι είναι άπειρο. Κάθε σύνολο ισοδύναµο προς ένα µέρος του, είναι απειροσύνολο. Παράδειγµα 1: Το σύνολο των φυσικών αριθµών είναι απειροσύνολο, A= 2,4,6,...,2v,..., γιατί είναι ισοδύναµο προς ένα µέρος του, π.χ. το { } αφού µεταξύ των Α και Φ υπάρχει αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία: Φ : ν... Α : ν... Παράδειγµα 2: Το σύνολο των σηµείων ενός ευθύγραµµου τµήµατος, είναι µη-πεπερασµένο, γιατί υπάρχει αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία µεταξύ των σηµείων του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ και των σηµείων του Γ. Το σηµειοσύνολο ΑΒ είναι ισοδύναµο µε το σηµειοσύνολο Γ, το Γ όµως ισοδυναµεί µε ένα µέρος του ΑΒ (το ΑΕ). Κ Γ Α Ε Β Σχήµα 1

6 Αριθµοί και µεταβλητές Το σύνολο Φ 0 των ακέραιων της Αριθµητικής Το σύνολο αυτό περιλαµβάνει και το 0, που είναι ο µικρότερος κάθε φυσικού αριθµού, γιατί το κενό σύνολο, θεωρείται υποσύνολο κάθε συνόλου. Έτσι έχουµε: Φ 0 = { 0, 1, 2, 3,..., ν,...} Θα αναφερθούµε τώρα στα συστήµατα αρίθµησης. α) εκαδικό σύστηµα αρίθµησης: κάθε φυσικός αριθµός µπορεί να παρασταθεί µε τη βοήθεια των 10 ψηφίων 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Για παράδειγµα, ο αριθµός που σχηµατίζεται από τα ψηφία y 1, y 2, y 3, y 4, δηλαδή ο αριθµός y 1 y 2 y 3 y 4 = y y y y 4 Για κάθε ν-ψήφιο αριθµό α του δεκαδικού συστήµατος, ισχύει: 10 ν-1 < α < 10 ν - 1 γιατί, ο µικρότερος ν-ψήφιος είναι εκείνος που έχει όλα τα ψηφία y 2, y 3,..., y v µηδενικά, αν α = y 1 10 ν-1 + y 2 10 ν-2 + y 3 10 ν y ν y ν και το y 1 = 1, δηλαδή είναι ο 10 ν-1 1. Ο µεγαλύτερος ν-ψήφιος είναι αυτός που έχει όλα τα ψηφία τον ίσο µε 9, δηλαδή ο: 9 10 ν ν = (10-1) 10 ν-1 + (10-1)10 ν (10-1) 10 + (10-1) = (10 ν -10 ν-1 ) + (10 ν-1-10 ν-2 ) ( ) + (10-1) = 10 ν -1 β) Σύστηµα αρίθµησης µε βάση β: Αν στην ισότητα α = y 1 y 2 y 3... y 4 = y v = y 1 +y 2 10+y y v 10 v-1 (1) όπου οι ακέραιοι y 1,..., y ν < 10, αντί του 10 υπάρχει ένας οποιοσδήποτε φυσικός αριθµός β > 1, όλα όµως τα y 1,..., y v < β, δηλαδή o αριθµός α γράφεται:

7 8 Κεφάλαιο 1ο α = y 1 y 2... y ν <β> = y 1 + y 2 β 2 + y 3 β 2 + y 4 β y v β v-1 (2) τότε ο α αναφέρεται στο σύστηµα αρίθµησης µε βάση β. Παράδειγµα 3. έχουµε: α = 3256 <7> = = = 1168 <10> Για την παράσταση αριθµών στο 7δικό σύστηµα χρειάζονται µόνο 7 ψηφία: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Στο δυαδικό σύστηµα χρειάζονται µόνο τα ψηφία 0, 1. Παράδειγµα 4. Έστω β = 5 και α = 723. Για να δώσουµε στον 723 τη µορφή (2) έχουµε: 723 = , 144 = , 28 = , δηλαδή διαιρούµε διαδοχικά µε το 5 τα πηλίκα που βρίσκουµε κάθε φορά. Έτσι, 723 = 5 (5 28+4) + 3 = = ( ) = = <5>. ιαφορετικά έχουµε: Το σύνολο των σύµµετρων αριθµών της Αριθµητικής Σ Κάθε σύµµετρος αριθµός µπορεί να πάρει τη µορφή: µ (1), όπου µ, ν ακέραιοι και ν 0 ν Αν ο σύµµετρος είναι φυσικός, γράφεται: 2α 3α 4α να α = = = =... = ν και ο = = = = =... = ν

8 Αριθµοί και µεταβλητές 9 ηλαδή το σύνολο των ακεραίων της αριθµητικής και το σύνολο των αριθµητικών κλασµάτων, όταν ενωθούν σε ένα σύνολο, αποτελούν το σύνολο των συµµέτρων αριθµών της Αριθµητικής. Αλλιώς οι σύµµετροι αριθµοί λέγονται και ρητοί αριθµοί. Αν δοθούν δυο σύµµετροι αριθµοί σ και σ, όπου σ 0, καλείται λόγος του σ προς τον σ, ο αριθµός λ, ο οποίος πολλαπλασιαζόµενος µε τον σ, δίνει γινόµενο ίσο µε τον σ. ηλαδή: σ = λ σ = λσ. σ Παράδειγµα 5. Ακέραιο µέρος αριθµητικού κλάσµατος. Έστω ένα αριθµητικό κλάσµα α α. Αν α > β, τότε > 1 γιατί: β β 1 1 α β α α > β α > β > > 1. β β β β β Αν εκτελέσουµε την αλγοριθµική διαίρεση του α δια β και είναι π το κατά προσέγγιση µονάδας πηλίκο και υ το υπόλοιπο, θα έχουµε: και α = βπ + υ, υ < β α βπ+ υ βπ υ υ = = + = π +, β β β β β α υ = π + ( υ < β). β β Το π είναι το ακέραιο µέρος του κλάσµατος α. β δηλαδή Ο ακέραιος π είναι ο µεγαλύτερος ακέραιος, από αυτούς που δεν ξεπερνούν το κλάσµα α β, γιατί π < α β, ενώ π + 1 > α β. Αν α < β, τότε το κλάσµα α β είναι µικρότερο του 1, και το ακέραιο µέρος του είναι ο µηδέν. π.χ. το ακέραιο µέρος του είναι ο 2, γιατί =

9 10 Κεφάλαιο 1ο 1.4. Το σύνολο των ασύµµετρων αριθµών της αριθµητικής Α Κάθε ασύµµετρος αριθµός είναι ένας δεκαδικός αριθµός µε άπειρα δεκαδικά ψηφία, µη περιοδικά, π.χ. 2 = 1, Αν α ασύµµετρος αριθµός και σ, σ σύµµετροι αριθµοί και ισχύει η σχέση α σ = σ, τότε θα είναι σ = 0 και σ = 0. Παράδειγµα 6. Αν ο αριθµός x είναι ασύµµετρος και ο λ είναι 3x+ 5 σύµµετρος και ο είναι σύµµετρος, να βρεθεί ο λ. λx+ 10 Λύση. Αν παραστήσουµε µε σ τον σύµµετρο (3x+5) / (λx + 10) θα έχουµε: 3x + 5 = σ 3x + 5 = σ(λx + 10) 3x + 5 = σλx + 10σ λx + 10 x(3 σλ ) = 10σ 5. Άρα: 3-6λ = 0 και 10σ - 5 = 0. Oπότε: 10σ-5 = 0 σ = 1 2 και 3-6λ = λ 2 = 0 λ = 6. Παράδειγµα 7. Να δειχθεί µε την εις άτοπον απαγωγή ότι η 3 2 είναι αριθµός ασύµµετρος. Λύση: Αν η 3 2 ήταν σύµµετρος αριθµός, τότε: 3 2 = µ ν µε (µ,ν) = 1, δηλαδή το κλάσµα µ ν είναι ανάγωγο. 3 3 Τότε: 2 = µ µ 3 3 = µ = 2ν. 3 ν ν Έχουµε: 2 / 2ν 3 2 / µ 3 2/µµµ (ο 2 πρώτος αριθµός) 2 / µ µ = 2ρ, όπου ρ φυσικός αριθµός. Οπότε η ισότητα: µ 3 = 2ν 3 γίνεται: (2ρ) 3 = 2ν 3 4ρ 3 = ν 3 αλλά 2/4ρ 3 2/ν 3 2/ν. ηλαδή, οι αριθµοί µ και ν έχουν διαιρέτη το 2, άτοπο, γιατί το κλάσµα µ 3 µ είναι ανάγωγο. Άρα, η ισότητα 2= ν ν είναι αδύνατη, και ο 3 2 είναι ασύµµετρος αριθµός.

10 Αριθµοί και µεταβλητές Τα σύνολα των ακέραιων της Άλγεβρας Z, των ρητών αριθµών Q και των άρρητων αριθµών R Q Το σύνολο Z των ακεραίων της άλγεβρας, περιλαµβάνει εκτός από τους ακέραιους της Αριθµητικής και τους σχετικούς ακέραιους αριθµούς (δηλαδή τους προσηµασµένους µε + ή -) θετικούς και αρνητικούς. Z = {..., ν,..., 2, 1, 0, 1, 2,...,ν,... } ένας ακέραιος ρ της Άλγεβρας 0 και ± 1, λέγεται πρώτος όταν έχει µοναδικούς διαιρέτες τους ± 1, ± p. ηλαδή, οι πρώτοι ακέραιοι της Άλγεβρας είναι οι ±2, ±3, ±5, ±7, ±11,... Παράδειγµα 8. Αριθµητικές ισοδυναµίες. ύο ακέραιοι α και β είναι ισοδύναµοι (ή ισότιµοι) κατά µέτρον (modulo) µ, όπου µ Z, όταν η διαφορά α-β είναι πολλαπλάσιο του µ, και γράφουµε α β (modµ). Έτσι έχουµε: 7-1 (mod 8), 7 1 (mod 2), - 35 (mod11), κάθε περιττός 1 (mod2), κάθε άρτιος 0 (mod2), γ γ (modµ), όπου γ Z. Παράδειγµα 9: (α) Να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο των διαφόρων δυνά- µεων του 2 και των διαφόρων δυνάµεων του 7, (β) να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο του αριθµού x Λύση: (α) Το τελευταίο ψηφίο x, ενός ακέραιου α είναι το υπόλοιπο της διαίρεσής του δια του 10 και έχουµε: α = x + πολλαπλάσιο του 10 α x (mod10). Έχουµε ως προς modulo 10: 2 1 2, 2 2 4, 2 3 8, 2 4 6, Από το 2 5 και µετά, τα υπόλοιπα επαναλαµβάνονται µε την ίδια σειρά, όπως αρχίζουν από το Άρα, γενικά, θα έχουµε, πάντοτε ως προς modulo 10: 2 4ν 6, 2 4ν+1 2, 2 4ν+2 4, 2 4ν+3 8 ( v Φ ) υνάµεις του 7: Έχουµε ως προς modulo 10: 7 1 7, 7 2 9, 7 3 3, 7 4 1

11 12 Κεφάλαιο 1ο και στη συνέχεια τα υπόλοιπα επαναλαµβάνονται µε την ίδια τάξη. Γενικά είναι: 7 4ν 1, 7 4ν+1 7, 7 4ν+2 9, 7 4ν+3 3 (mod 10) ( v Φ ) (β) Αρκεί να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο κάθε παράγοντα. Έχουµε: (mod 10), (mod10) 2 27 (mod 10) επειδή: και 2 3 8, έχουµε: (mod10) 8 (mod10). Άρα: (mod10). Αφού ο πρώτος παράγοντας λήγει σε 8 και ο δεύτερος σε 3, το γινόµενο λήγει στο 4. Κάθε ρητός αριθµός µπορεί να πάρει τη µορφή µ, όπου µ, ν ακέραιοι ν της Άλγεβρας και ν 0, και συµβολίζουµε µε Q το σύνολο των ρητών αριθµών: µ Q = / µ,ν Z, ν 0 ν Παράδειγµα 10: Αν οι αριθµοί α και β είναι πρώτοι µεταξύ τους, να α+ β α+β δειχτεί ότι τα κλάσµατα και είναι ανάγωγα. 2 2 αβ α +αβ+β α+ β Λύση: i) Αν οι όροι του κλάσµατος έχουν µ.κ.δ. (µέγιστο κοινό αβ διαιρέτη) 1, τότε θα έχουν και έναν κοινό διαιρέτη πρώτο δ 1. Τότε: δ/αβ δ/α. Αφού δ/α + β και δ/α δ/β, και άρα οι αριθµοί α και β θα έχουν κοινό διαιρέτη δ 1, άτοπο, γιατί υποθέσαµε (α,β) = 1 α+ β (πρώτοι προς αλλήλους). Άρα το κλάσµα είναι ανάγωγο. αβ α+ β ii) Aν οι όροι του κλάσµατος έχουν µ.κ.δ. 1, τότε θα 2 2 α + αβ+ β έχουν ένα κοινό διαιρέτη δ πρώτο, έστω δ 1. Θα έχουµε τότε: α+β = πολλαπλάσιο του δ (1) και α 2 + αβ + β 2 = πολλαπλάσιο του δ (2)

12 Αριθµοί και µεταβλητές 13 Από την (1) έχουµε (α+β) 2 = πολλαπλάσιο του δ ή α 2 + 2αβ + β 2 = πολλαπλάσιο δ (3). Από (3) - (2) παίρνουµε: αβ = πολ. δ (4) ηλαδή, ο δ είναι κοινός διαιρέτης των α+β και αβ, το οποίο είναι α+ β άτοπο, σύµφωνα µε το (i). Άρα το κλάσµα είναι ανάγωγο. 2 2 α + αβ+ β Το σύνολο των άρρητων αριθµών R Q είναι ουσιαστικά το σύνολο όλων των σχετικών ασύµµετρων αριθµών. 3 Έτσι, οι αριθµοί 2, + 3, + 5, -3 7 είναι ασύµµετροι ή άρρητοι, γιατί και οι απόλυτες τιµές τους είναι ασύµµετροι αριθµοί της Αριθµητικής. Εννοείται ότι το σύνολο των ασύµµετρων αριθµών της Άλγεβρας ή των άρρητων αριθµών είναι το συµπληρωµατικό του συνόλου των συµµέτρων της Άλγεβρας ή των ρητών αριθµών, ως προς το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών. Παράδειγµα 11: Να δειχτεί ότι ο λόγος της διαγωνίου τετραγώνου προς την πλευρά του είναι αριθµός άρρητος. Λύση: Γνωρίζουµε ότι, ο λόγος της διαγωνίου τετραγώνου προς την πλευρά του είναι 2. Αρκεί να δείξουµε ότι ο λ = 2 είναι άρρητος. Έχουµε: λ = 2 λ 2 = 2 (1). Έστω ο λ ακέραιος αριθµός, τότε από την (1) έχουµε: 2 / λ λ = 2κ, κ Z. Άρα, η (1) γίνεται: 4κ 2 = 2 2κ 2 = 1 2/1, άτοπο. Άρα, ο λ δεν είναι ακέραιος. Έστω ο λ κλάσµα, δηλαδή αν λ = µ, όπου µ ανάγωγο κλάσµα, τότε ν ν 2 µ 2 2 λόγω της (1) θα έχουµε: = 2 µ = 2ν (2). 2 ν Αλλά: 2 / 2ν 2 2 / µ 2 2 / µ µ = 2κ, οπότε η (2) γίνεται: 4κ 2 = 2ν 2 2κ 2 = ν 2 (3). Αλλά πάλι: 2 / 2κ 2 2/ν 2 2/ν. Άρα, οι µ και ν έχουν κοινό διαιρέτη το 2, άτοπο, γιατί το κλάσµα µ ν είναι ανάγωγο. Έτσι δείξαµε ότι η κλάσµα, και άρα είναι άρρητος. 2 δεν είναι ούτε ακέραιος, ούτε

13 14 Κεφάλαιο 1ο 1.6. Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών R To σύνολο των πραγµατικών αριθµών R είναι η ένωση του συνόλου των ρητών Q και του συνόλου των αρρήτων αριθµών Q. R = Q Q Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: (1) Οι αριθµοί µπορούν να διαταχθούν σε µια ορισµένη τάξη, την τάξη µεγέθους, του µεγαλύτερου και µικρότερου αριθµού. (2) Η τάξη των αριθµών µπορεί να επεκταθεί άπειρα και προς τις δυο κατευθύνσεις, δηλαδή οι αριθµοί σχηµατίζουν ένα διπλά άπειρο σύστηµα. (3) Η τάξη των αριθµών είναι άπειρης πυκνότητας και χωρίς "κενά", δηλαδή οι αριθµοί σχηµατίζουν ένα τέλεια συνεχές σύστηµα. Υπάρχει αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία µεταξύ του συνόλου R, και του συνόλου των σηµείων ενός άξονα. Έχουµε δηλαδή: i x Ρ 0 Α Μ x 1 Σχήµα 2 Παράδειγµα 12. Να δείξετε ότι ο αριθµός 0, γραµµένος 13 στο σύστηµα µε βάση x, ισούται µε το κλάσµα, όπου ο 13 είναι x 2 1 αριθµός του x-ιαδικού συστήµατος. Λύση. Ο αριθµός 0, γραµµένος στο σύστηµα µε βάση x γράφεται: Α = 13 v x + 13 x x +... (1) όπου 13 είναι αριθµός του x-αδικού συστήµατος. Πολλαπλασιάζοντας την (1) µε x 2, έχουµε: Αx 2 13 = 13 + v x + 13 x x +... (2) 2 4 2

14 Αριθµοί και µεταβλητές 15 Aπό (2) - (1) έχουµε: Α(x 2-1) = 13 (3), ή διαιρώντας τα µέλη της (3) µε το x έχουµε: Α = x Συνεχείς και ασυνεχείς µεταβλητές Σε ένα σύνολο X { x p x } = : ( ), x ονοµάζεται µεταβλητή (variable), Χ είναι το πεδίο ορισµού (domain) της x και τα στοιχεία του Χ, ονοµάζονται τι- 2 x : x = x = 0,1, x είναι η µε- µές (values) της x. Π.χ., για το σύνολο Β = { } { } ταβλητή, Β το πεδίο ορισµού της x, 0, 1 οι τιµές της x και x 2 = x η p(x) που ορίζει το Β. Γενικά, µια µεταβλητή ή µεταβλητός αριθµός είναι ένας οποιοσδήποτε µη-προκαθορισµένος αριθµός, από ένα δοσµένο σύνολο πραγµατικών αριθµών, που συµβολίζεται µε x, y ή t. Aν η µεταβλητή x µπορεί να πάρει σαν τιµές όλους τους πραγµατικούς αριθµούς που βρίσκονται µεταξύ δύο δοθέντων αριθµών a και b, τότε το πεδίο τιµών της λέγεται το διάστηµα (a,b). ηλαδή, πιο συγκεκριµένα το ανοικτό διάστηµα (a,b)={ x R: a< x< b}. To κλειστό διάστηµα [a,b] = { x R : a < x b}. Το ανοικτό από αριστερά διάστηµα (a,b] = { x a < x b} Το ανοικτό από δεξιά διάστηµα [a,b) = { x R : a x < b}. R :. Μια περιοχή ή γειτονιά ή γειτνίαση (neighbourhood) της τιµής x = α, ορίζεται σαν ένα διάστηµα τιµών του x που έχει την τιµή α σαν µέσον. ηλαδή, αν κ είναι ένας δοσµένος θετικός αριθµός, µια περιοχή του x = α, ορίζεται από το διάστηµα (a-k) < x < (a+k). Το συνολικό µήκος του διαστήµατος είναι 2k και x - a < k. Το k θεωρείται συνήθως πολύ µικρό. Μια µεταβλητή είναι συνεχής, αν το πεδίο τιµών της είναι είτε όλο το σύνολο των πραγµατικών αριθµών R, είτε οποιοδήποτε διάστηµα του συνόλου R. Οι τιµές µιας συνεχούς µεταβλητής µπορούν να διαταχθούν έτσι ώστε να είναι απροσδιόριστα πυκνές και χωρίς κενά. Πολύ συχνά θεωρούµε µια

15 16 Κεφάλαιο 1ο συνεχή µεταβλητή, παίρνοντας τιµές διαδοχικά κατά αύξουσα τάξη µεγέθους, και το περιγράφουµε αυτό, λέγοντας ότι "η µεταβλητή αυξάνει συνεχώς σε τιµή, όπως ακριβώς σε ένα διάστηµα". Μια ασυνεχής µεταβλητή (discontinuous variable) έχει πεδίο τιµών το οποίο δεν είναι ούτε το R ούτε οποιοδήποτε διάστηµα του R. Οι τιµές µιας τέτοιας µεταβλητής δεν µπορούν να διαταχθούν σε τάξη µεγέθους χωρίς κενά. Οποιοδήποτε σύνολο αριθµών ειδικού τύπου, π.χ. το σύνολο των ακέραιων ή των πολλαπλάσιων του 1, δίνει ένα πεδίο τιµών 2 της µεταβλητής, το οποίο είναι ασυνεχές Μεταβλητά σηµεία και οι συντεταγµένες τους Ένα µεταβλητό σηµείο στο χώρο (variable point), είναι ένα σηµείο που µπορεί να πάρει οποιαδήποτε θέση µέσα από ένα δοσµένο πεδίο δυνατών θέσεων. Για να παραστήσουµε ένα µεταβλητό σηµείο Ρ στο επίπεδο (δισδιάστατο χώρο) χαράσσουµε δύο κάθετες ευθείες Οx και Oy µε θετικές διευθύνσεις. Το σηµείο Ο, όπου οι δυο ευθείες τέµνονται λέγεται αρχή των συντεταγµενων και οι Οx και Oy άξονες συντεταγµένων ή άξονες αναφοράς. Παίρνουµε ένα οποιοδήποτε σηµείο Ρ του επιπέδου Οxy και φέρουµε τις κάθετες ΡΜ και ΡΝ στους άξονες. Έστω ΟΜ είναι x µονάδες µέτρησης και ΟΝ y µονάδες µέτρησης. Τότε γράφουµε ότι το σηµείο Ρ καθορίζεται από το ζεύγος (x,y) και λέµε ότι το Ρ έχει συντεταγµένες (x,y), όπου η x λέγεται τετµηµένη και η y τεταγµένη. y N P(x,y) y O x M x Σχήµα 3

ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝ ΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Α ΤΟΜΟΣ

ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝ ΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Α ΤΟΜΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝ ΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Α ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-516-026-9

Διαβάστε περισσότερα

ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Α ΤΟΜΟΣ

ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Α ΤΟΜΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Α ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-516-026-9

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN: 960-516-026-9 Copyright

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Α Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Α Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Μαθηματικών Α Γυμνασίου ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο είναι μια καλώς ορισμένη συλλογή διαφορετικών μεταξύ τους αντικειμένων. Τα αντικείμενα που αποτελούν ένα σύνολο λέγονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου. Για

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν.

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ν 1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. 3 Σ Λ. * Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. 3. * Αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Υποθέτουµε ότι ο είναι ρητός. ηλαδή, υποθέτουµε p ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p και q τέτoιοι ώστε : =, p και q δεν έχουν q κοινούς διαιρέτες. Παρατηρούµε ότι ο άρτιος αριθµός.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. 1 ο (ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ) Ο ρ ι σ µ ο ί Πείραµα τύχης (π.τ.) είναι το πείραµα για το οποίο δεν µπορούµε εκ των προτέρων να προβλέψουµε το αποτέλεσµά του αν και επαναλαµβάνεται

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ . A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Τα σύνολα των αριθµών Το σύνολο των φυσικών αριθµών. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών. N {0,,, 3 } Z { 3,,, 0,,, 3 } Το σύνολο των ρητών αριθµών. Q

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ποιος νοµίζετε ότι θα είναι ο αριθµός των διαγωνίων ενός πολυγώνου µε ν πλευρές; Να αποδειχθεί η σχέση που συµπεράνατε µε µαθηµατική επαγωγή.

Ποιος νοµίζετε ότι θα είναι ο αριθµός των διαγωνίων ενός πολυγώνου µε ν πλευρές; Να αποδειχθεί η σχέση που συµπεράνατε µε µαθηµατική επαγωγή. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Παρατηρούµε ότι: 1 11 ( + = 1 ) 1+ = ( + 1) 1 3 33 ( + + + = 1 ) Ποιο νοµίζετε ότι θα είναι το άθροισµα 1 + + 3 +... + ν; Αποδείξτε την ισότητα που συµπεράνατε µε επαγωγή.. * Μετράµε

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2 A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; Οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

5.1 ΣΥΝΟΛΑ. 2. Παράσταση συνόλου. 3. Εποπτική παράσταση συνόλου : Γίνεται µε το διάγραµµα Venn, δηλαδή µε

5.1 ΣΥΝΟΛΑ. 2. Παράσταση συνόλου. 3. Εποπτική παράσταση συνόλου : Γίνεται µε το διάγραµµα Venn, δηλαδή µε 1 5.1 ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ 1 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Η γενική µορφή του τριωνύµου µε µεταβλητή x R i) α x + βx + γ, α 0 ii) β α x + α 4α, α 0. Ειδικές µορφές του τριωνύµου Όταν > 0 τότε α x + βx + γ α(x x 1 )(x x ), όπου

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r

ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών ο a διαιρεί τον b: συµβολισµός: a b Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς a b και a c a (b + c) a b a bc, για κάθε c Z +

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x Σελίδα από 4 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Του Αντώνη Κυριακόπουλου Εισαγωγή Στην εργασία αυτή παραθέτω χρήσιµες επισηµάνσεις στις βασικές έννοιες των πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε ότι ακολουθεί συμβολίζουμε με το σύνολο των φυσικών αριθμών και με και R τα σύνολα των ακεραίων των ρητών και των πραγματικών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα