7.2 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f(x) = x

Transcript

1 7. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ () = α ΘΕΩΡΙΑ. Μορφή της συνάρτησης (Ισοσκελής υπερβολή) Ιδιότητες Πεδίο ορισµού g() = R = (, 0) (0, + ) Είναι περιττή, άρα συµµετρική ως προς την αρχή των αξόνων Είναι γν.φθίνουσα στο διάστηµα (, 0) και στο διάστηµα (0, + ) Όταν 0 από δεξιά, τότε g() +. Οπότε ο άξονας λέγεται κατακόρυφη ασύµπτωτη της C g προς τα πάνω. Όταν 0 από αριστερά, τότε g(). Οπότε ο άξονας λέγεται κατακόρυφη ασύµπτωτη της C g προς τα κάτω. Όταν, τότε g() 0. Οπότε ο άξονας λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της C g προς τα αριστερά. Όταν +, τότε g() 0. Οπότε ο άξονας λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της C g προς τα δεξιά. Έχει άξονες συµµετρίας τις ευθείες (διχοτόµους) = και = - - Προσπάθησε, από τη γρ.παράσταση να συµπεραίνεις τις ιδιότητες

2 . Μορφή της συνάρτησης h() = Ιδιότητες Πεδίο ορισµού (Ισοσκελής υπερβολή) R = (, 0) (0, + ) Είναι περιττή, άρα συµµετρική ως προς την αρχή των αξόνων Είναι γν.αύξουσα στο διάστηµα (, 0) και στο διάστηµα (0, + ) Όταν 0 από δεξιά, τότε h(). Οπότε ο άξονας λέγεται κατακόρυφη ασύµπτωτη της C g προς τα κάτω. - - Όταν 0 από αριστερά, τότε h() +. Οπότε ο άξονας λέγεται κατακόρυφη ασύµπτωτη της C g προς τα πάνω. Όταν, τότε h() 0. Οπότε ο άξονας λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της C g προς τα αριστερά. Όταν +, τότε h() 0. Οπότε ο άξονας λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της C g προς τα δεξιά. Έχει άξονες συµµετρίας τις ευθείες (διχοτόµους) = και = 3. Μορφή της συνάρτησης () = α (Ισοσκελής υπερβολή) Όταν α > 0 : Είναι σαν την, αλλά αλλάζει η καµπυλότητα. Όσο µεγαλώνει το α, τόσο η καµπύλη ανοίγει. Όταν α 0 : Είναι σαν την, αλλά αλλάζει η καµπυλότητα. Όσο το α µικραίνει, τόσο η καµπύλη ανοίγει.

3 3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης τις ασύµπτωτές της. Πεδίο ορισµού : Πρέπει 0, άρα D = (, 0) (0, + ) Θεωρούµε τη συνάρτηση φ() =, 0 Η C προκύπτει από τη µετατόπιση της C ϕ κατά µονάδα προς τα πάνω. Όταν 0 από δεξιά, τότε () +. Οπότε ο άξονας είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη της C προς τα πάνω. () = = - + και να βρείτε Όταν 0 από αριστερά, τότε (). Οπότε ο άξονας είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη της C προς τα κάτω. Όταν +, τότε (). Οπότε η ευθεία = είναι οριζόντια ασύµπτωτη της C προς τα δεξιά. Όταν, τότε (). Οπότε η ευθεία = είναι οριζόντια ασύµπτωτη της C προς τα αριστερά. C φ C 5

4 . Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης () = βρείτε τις ασύµπτωτές της. Πεδίο ορισµού : Πρέπει, άρα D = (, ) (, + ) Θεωρούµε τη συνάρτηση φ() =, 0 Η C προκύπτει από τη µετατόπιση της C ϕ κατά µονάδα προς τα δεξιά και κατά 3 µονάδες πάνω. Όταν από δεξιά, τότε () +. Οπότε η κατακόρυφη ευθεία από το σηµείο Α(, 0) είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη της C προς τα πάνω. = και να C φ A(, 0) Όταν από αριστερά, τότε (). Οπότε η κατακόρυφη ευθεία από το σηµείο Α(, 0) είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη της C προς τα κάτω. Όταν +, τότε () 3. Οπότε η ευθεία = 3 είναι οριζόντια ασύµπτωτη της C προς τα δεξιά. Όταν, τότε () 3. Οπότε η ευθεία = 3 είναι οριζόντια ασύµπτωτη της C προς τα αριστερά. C 5

5 5 3. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης () = µε πεδίο ορισµού το διάστηµα [, ]. Να εξετάσετε αν είναι γν.αύξουσα ή γν.φθίνουσα και αν παρουσιάζει µέγιστο ή ελάχιστο. Χαράζουµε τη γραφική παράσταση C της συνάρτησης () = µε πεδίο ορισµού το R. Από τα σηµεία Α(, 0) και Β(, 0) φέρνουµε κάθετες στον άξονα, που τέµνουν τη C στα σηµεία Λ, Μ αντίστοιχα. Η ζητούµενη γραφική παράσταση είναι το κοµµάτι της C που βρίσκεται µεταξύ των παραλλήλων ΑΛ, ΒΜ, συµπεριλαµβανοµένων των σηµείων Λ και Μ Σχηµατικά βλέπουµε ότι η είναι γν. φθίνουσα στο [, ], αλλά ας το αποδείξουµε. Για κάθε, [, ] µε (είναι > 0) ( ) ( ) ( ) > ( ) Σχηµατικά βλέπουµε ότι η παρουσιάζει µέγιστο το () και ελάχιστο το (), αλλά ας το αποδείξουµε. Αρκεί, για κάθε [, ] να αποδείξουµε ότι () () () - και Λ A και και που ισχύει, αφού [, ] Μ B

6 6. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης () = µε πεδίο ορισµού το διάστηµα (, ). Να εξετάσετε αν είναι γν.αύξουσα ή γν.φθίνουσα και αν παρουσιάζει µέγιστο ή ελάχιστο. Χαράζουµε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης () = µε πεδίο C ορισµού το R. Από τα σηµεία Α(, 0) και Β(, 0) φέρνουµε κάθετες στον άξονα, που τέµνουν τη C στα σηµεία Λ, Μ αντίστοιχα. Η ζητούµενη γραφική παράσταση είναι το κοµµάτι της C που βρίσκεται µεταξύ των παραλλήλων ΑΛ, ΒΜ, χωρίς τα σηµεία Λ και Μ Β Μ Α Λ - Σχηµατικά βλέπουµε ότι η είναι γν. φθίνουσα στο (, ), αλλά ας το αποδείξουµε. Για κάθε, (, ) µε (είναι > 0) ( ) ( ) ( ) > ( ) Η δεν παρουσιάζει ελάχιστο, αφού δεν υπάρχει συγκεκριµένο 0 (, ) τέτοιο, ώστε να ισχύει () ( 0 ) για κάθε. Οµοίως δεν παρουσιάζει µέγιστο.

7 7 5. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση () = Πεδίο ορισµού : Πρέπει 0, άρα D = (, 0) (0, + ), 0 Η συνάρτηση γράφεται () =, > 0 C ω C σ, 0 () =, > 0 Θεωρούµε τη συνάρτηση ω() = µε 0 Ο - 5 και τη συνάρτηση σ() = µε > 0