4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης"

Φαίδρος Πολίτης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι ίσα, οπότε = = Στο τρίγωνο το είναι ύψος και διάµεσος άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές επειδή επιπλέον ισχύει = = το τρίγωνο είναι και ορθογώνιο i Τα Ο και είναι µέσα των και άρα Ο = = = 4 Ο 3. Σε τρίγωνο µε <, τα και Ν είναι τα µέσα των και αντίστοιχα, η δε ευθεία Ν τέµνει την διχοτόµο της γωνίας στο. είξτε ότι Ν = Ν i = Τα και Ν είναι µέσα των και, άρα Ν //, οπότε = (εντός εναλλάξ). κόµα είναι και =, άρα = συνεπώς Ν = Ν Στο τρίγωνο η Ν είναι διάµεσος και Ν = Ν = ορθογώνιο µε υποτείνουσα την i = (Ν Ν) = = άρα το τρίγωνο είναι Ν

2 33. Σε παραλληλόγραµµο µε =, δείξτε ότι Οι διχοτόµοι των γωνιών και τέµνονται σε σηµείο πάνω στην ν η διχοτόµος της γωνίας τέµνει τη στο, τότε το είναι ρόµβος i ɵ = 90 ο iν) ν η τέµνει την στο και η την στο Ν, τότε το Ν είναι ορθογώνιο. Έστω ότι η διχοτόµος της γωνίας τέµνει την στο. Θα αποδείξουµε ότι η είναι διχοτόµος της γωνίας. ίναι = και = ɵ (εντός εναλλάξ), άρα = ɵ, οπότε = () πό την υπόθεση = προκύπτει ότι = = και λόγω της (), = = = φού = έχουµε ɵ = και επειδή ɵ = θα είναι =, δηλαδή η είναι διχοτόµος της γωνίας Οι διχοτόµοι και των διαδοχικών γωνιών και του παραλληλογράµµου είναι κάθετες, οπότε το τρίγωνο, αφού έχει την διχοτόµο και ύψος, θα είναι ισοσκελές, δηλαδή = φού λοιπόν τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή, στο τετράπλευρο οι διαγώνιες είναι κάθετες και διχοτοµούνται, συνεπώς αυτό είναι ρόµβος. i πειδή οι και είναι διχοτόµοι των διαδοχικών γωνιών και του παραλληλογράµµου, αυτές είναι κάθετες άρα ɵ = 90 ο iν) ύκολα διαπιστώνουµε ότι και η είναι διχοτόµος της γωνίας ɵ. Συνεπώς όλες οι γωνίες του Ν είναι ορθές οπότε αυτό είναι ορθογώνιο Ν

3 3 34. Ένα τρίγωνο είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, R) και µία διάµετρος Ρ του κύκλου είναι κάθετη στην πλευρά (το Ρ είναι στο τόξο ). Έστω ότι Κ και Λ είναι οι προβολές των Ρ και αντίστοιχα πάνω στην ευθεία. Να δείξετε ότι Κ =Λ Λ Κ = i Κ + Λ = Έστω Κ και Λ οι προβολές των Ρ και στην ευθεία. Φέρω το απόστηµα Ο της χορδής. Τότε = () και ΡΚ // Ο //Λ σαν κάθετα τµήµατα στην ίδια ευθεία Το τετράπλευρο ΡΚΛ είναι τραπέζιο και αφού Ο το µέσο της Ρ και Ο // ΡΚ //Λ, η Ο είναι διάµεσος του τραπεζίου, άρα Κ = Λ () φαιρώντας από την () την () έχουµε Κ = Λ Κ = Λ Λ Κ = λόγω του ( = Λ Λ = i Φέρω το. Τότε τα τρίγωνα Λ και είναι ίσα διότι είναι ορθογώνια, έχουν την κοινή και Λ = δεδοµένου ότι το είναι το µέσο του τόξου. Άρα Λ = (3) πίσης τα τρίγωνα Λ και είναι ίσα διότι είναι ορθογώνια µε = και Λ = (το ισαπέχει από τις, αφού η είναι διχοτόµος της. Άρα Λ= (4) πό (, (3) και (4) έχουµε Κ + Λ = Λ + = + = Λ Κ Ρ Ο 35. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο στο οποίο η υποτείνουσα είναι διπλάσια από την. πό το φέρνουµε τις κάθετες και στην εσωτερική και την εξωτερική διχοτόµο της γωνίας. Η προεκτεινόµενη τέµνει την στο Η. είξτε ότι // µέσο της Η και Η µέσο της i = πειδή οι και είναι διχοτόµοι εφεξής παραπληρωµατικών γωνιών θα είναι = 90 ο Στο τετράπλευρο έχουµε = 90 ο, Η

4 4 = 90 ο και = 90 ο, άρα αυτό είναι ορθογώνιο, οπότε =, εποµένως και = = φού όµως είναι και = θα είναι και =, άρα // To E είναι µέσο του και // Η, άρα το είναι µέσο του Η πίσης στο τρίγωνο Η, το είναι διχοτόµος και ύψος άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές, εποµένως Η = = από την υπόθεση =, άρα Η µέσο του i πό υπόθεση έχουµε ότι = και επειδή = θα είναι και = 36. Τρίγωνο είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο, ύψος αυτού και διάµετρος του κύκλου. πό το φέρνουµε τµήµα. Να αποδείξετε ότι Τα σηµεία,,, είναι οµοκυκλικά // i Και στα δύο σχήµατα είναι = 90 ο = οπότε τα τετράπλευρα στο αριστερά σχήµα και στο δεξιά είναι εγγράψιµα σε κύκλο, δηλαδή τα σηµεία,, και είναι οµοκυκλικά Στο αριστερά σχήµα, από το εγγράψιµο έχουµε ότι ɵ =. Όµως ɵ = ɵ σαν εγγεγραµµένες στο ίδιο τόξο, άρα = ɵ οπότε // Στο δεξιά σχήµα, από το εγγράψιµο έχουµε ότι ɵ = ɵ φ αλλά και ɵ = ɵ σαν εγγεγραµµένες στο ίδιο τόξο, οπότε ɵ φ = ɵ εποµένως // i πειδή η γωνία είναι εγγεγραµµένη σε ηµικύκλιο, αυτή είναι ορθή, συνεπώς, εποµένως και η παράλληλη της θα είναι κάθετη στην φ

5 5 37. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο και το ύψος στην υποτείνουσα. ν τυχαίο σηµείο του ύψους και η κάθετη στην στο τέµνει την προέκταση της στο, να αποδείξετε ότι = ɵ = πειδή ɵ = = 90 ο, το τετράπλευρο είναι εγγράψιµο άρα = πίσης = ɵ σαν συµπληρωµατικές της οπότε = ɵ. ίναι ω+ + = 90 ο και φ ɵ + + ɵ = 90 ο άρα ω+ + = φ ɵ + + ɵ Και δεδοµένου ότι = ɵ, έχουµε ω= φ ɵ δηλαδή = ω φ 38. Έστω τρίγωνο µε > ɵ και η διχοτόµος αυτού. πό το φέρνουµε κάθετο στην που τέµνει την στο και την στο Η, και από το φέρνουµε κάθετο στην που τέµνει την στο και την προέκταση της στο Θ. κόµα έστω το µέσο της. Να αποδείξετε ότι Το τρίγωνο είναι ισοσκελές = + ɵ i Το τετράπλευρο ΗΘ είναι ισοσκελές τραπέζιο Στο τρίγωνο Η η είναι διχοτόµος και ύψος, συνεπώς το τρίγωνο είναι ισοσκελές και το είναι µέσο του Η Στο τρίγωνο Η τα και είναι µέσα των Η και άρα // Η δηλαδή // οπότε ɵ Θ = () ως εντός εκτός των παραλλήλων και µε τέµνουσα την Οµοίως το τρίγωνο Θ είναι ισοσκελές και µέσο της Θ, οπότε // Θ δηλαδή // Θ, άρα = () ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων Θ και µε τέµνουσα την. Η Όµως = =, άρα από τις () και () έχουµε ότι ɵ = =, εποµένως το τρίγωνο είναι ισοσκελές

6 6 = 80 o ɵ = 80 o = 80 o = + ɵ i BH // Θ σαν κάθετα στην, εποµένως το ΗΘ είναι τραπέζιο. Και επειδή Θ = Η σαν διαφορές των ίσων τµηµάτων = Θ και Η =, το τραπέζιο είναι ισοσκελές. 39. Σε κύκλο (Ο, R) δίνονται τα διαδοχικά σηµεία,, και έτσι ώστε + = 80 ο και διάµετρος του κύκλου. Να αποδείξετε ότι Οι χορδές και είναι κάθετες // i = ν ω είναι η γωνία των δύο χορδών, γνωρίζουµε ότι το µέτρο της είναι ίσο µε ω= [ + ] = 80o = 90 ο Άρα πειδή διάµετρος θα είναι = 90 ο, εποµένως. φού λοιπόν και θα είναι // i πειδή //, είναι = =, άρα το τετράπλευρο είναι τραπέζιο και µάλιστα ισοσκελές, οπότε οι διαγώνιες του είναι Ίσες, δηλαδή = ω

7 7 40. Θεωρούµε κύκλο (Ο, R) µία διάµετρο αυτού, την εφαπτοµένη στο και ένα σηµείο του κύκλου. Η τέµνει την εφαπτοµένη στο Ρ, και πάνω στην παίρνουµε τµήµα = Ρ. ν η παράλληλη από το προς την τέµνει την Ρ στο Ν, να αποδείξετε ότι Η Ν είναι διχοτόµος της γωνίας Ρ Ν = πειδή η είναι διάµετρος, η γωνία ɵ είναι ορθή, οπότε το Ρ είναι ύψος στο τρίγωνο Ρ. κόµα x και έστω ότι το Ν τέµνει την x στο. φού Ν //, θα είναι και Ν x, οπότε το είναι το δεύτερο ύψος του τριγώνου Ρ, συνεπώς το Ν είναι το ορθόκεντρο του ισοσκελούς τριγώνου Ρ. Κατά συνέπεια το Ν θα είναι ο φορέας του τρίτου ύψους του ισοσκελούς τριγώνου Ρ οπότε η Ν είναι και διχοτόµος της γωνίας Ρ Η γωνία Ν είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΝΡ, άρα Ν = Ρ ɵ + ω () πίσης Ν = η ɵ + φ ɵ () Λόγω του ( ω= φ ɵ (3) Ρ ɵ = η ɵ σαν συµπληρωµατικές της (4) Οπότε από τις (), (), (3), (4) έχουµε Ν = Ν άρα Ν =. Ν ω φ η x Ρ

Σχετικά έγγραφα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =