- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να δείξετε ότι η συνάρτηση αντίστροφη. () = αντιστρέφεται και στη συνέχεια να βρείτε την + Πρέπει ( το οποίο ισχύει) 0και άρα το πεδίο ορισμού είναι το π. ο = A = D = [0, + ) ο Βήμα: Αν ( ) = ( ) = = άρα η είναι -. = + = y ο Βήμα: y = () = y + y = y = ( y) y + = y y y > y 0 y 0 y ( y) 0 y y, () = y y y = = y y ο Βήμα: Στην () στην θέση του y και y άρα η αντίστροφη είναι η y= ( ) = με πεδίο ορισμού το D = [0,), που είναι και το σύνολο τιμών της.

2 Άσκηση. + Να δείξετε ότι η συνάρτηση ( ) αντίστροφη. = e αντιστρέφεται και στη συνέχεια να βρείτε την Tο πεδίο ορισμού είναι το A= D =. = e = e e = e = άρα Αν ( ) ( ) Λύνουμε την ισότητα y ( ) εξίσωση y ( ) = σαν εξίσωση ως προς και παίρνουμε όλα τα y ώστε η = να έχει λύση στο πεδίο ορισμού της το D y+ + = ln y+ ln + + y+ = y = ( ) = e e = y+ > 0 y > Στην () στην θέση του yκαι y άρα η αντίστροφη είναι η + y = ( ) = ln με πεδίο ορισμού το D = (, + ), που είναι και το σύνολο τιμών της.

3 Άσκηση. Να δείξετε ότι η συνάρτηση () ln ( e e ) την αντίστροφη. = αντιστρέφεται και στη συνέχεια να βρείτε άσκησης Πρέπει e 0καιe e > 0 e και e> e e και e > e e και e > e > e άρα το πεδίο ορισμού είναι το A = D = [e,e ). ( ) = ( ) ln e e = ln e e e e = e e Αν ( ) ( ) e = e = άρα η είναι -. Λύνουμε την ισότητα y ( ) εξίσωση y ( ) = σαν εξίσωση ως προς και παίρνουμε όλα τα y ώστε η = να έχει λύση στο πεδίο ορισμού της ( ) ( ) y ln e e e e e e e e y y = = = = e e 0 e e y = = + = + y y y y e e e e e e e e e, () y ( ) ( ) ( ) y Η λύση ( ) = e + e e e, επίσης ( ) y y y y e ( e e) 0 e e 0 e e + = + < + < y y+ y e e e e e e 0 < < < το οποίο ισχύει γιατί y y e e < e Στην () στην θέση του ( ) ( ) y e e e e e e το σύνολο τιμών της. yκαι y έτσι έχουμε την αντίστροφη + = = + = + με πεδίο ορισμού το D = (,], που είναι και

4 Άσκηση 4. Δίνεται η συνάρτηση () =,να βρείτε την αντίστροφη της και να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις τους στο ίδιο σύστημα αξόνων. Πρέπει 0 άρα το πεδίο ορισμού είναι το A = D = [, + ) Αν ( ) = ( ) = = = άρα -. Λύνουμε την ισότητα y ( ) εξίσωση y ( ) = σαν εξίσωση ως προς και παίρνουμε όλα τα y ώστε η = να έχει λύση στο πεδίο ορισμού της. y 0 y 0 y = () = = + = Στην () στην θέση του y y, () yκαι y y άρα η αντίστροφη είναι η ( ) πεδίο ορισμού το D = [0, + ), που είναι και το σύνολο τιμών της. = = + με Σχεδιάζουμε την y = () = +,με βάση την g( ) = και παράλληλη μεταφορά της κατακόρυφα και προς τα πάνω κατά Η () = είναι συμμετρική της y = () ως προς την διχοτόμο της γωνίας του ου και ου τεταρτημορίου την y=, βλέπε σχήμα 4

5 Άσκηση 5. Να δείξετε ότι αν μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το είναι περιοδική δεν είναι -. Έχουμε ( ) ( ) ( ) T T + = = με T 0 > και επειδή T ± η συνάρτηση δεν είναι -. 5

6 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Δίνεται η συνάρτηση ( ) = + με πεδίο ορισμού A = [0, + ). α) Να την εξετάσετε ως προς την μονοτονία της. β) Να βρείτε τα ελάχιστο της. γ) Να βρείτε την αντίστροφη της. δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών. + α) Μετασχηματίζουμε την ( ) = = = Έστω > 0 > 0 + > + < + + > > ( ) > ( ) άρα η είναι γνησίως αύξουσα β) Έχουμε 0 ( ) = ( 0) ( ) + άρα η παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 = 0 το 0 γ) Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο [0, + ) η είναι - άρα έχει αντίστροφη. Λύνουμε την ισότητα y= ( ) σαν εξίσωση ως προς και παίρνουμε όλα τα y ώστε η εξίσωση y = () να έχει λύση στο πεδίο ορισμού της το A = [0, + ). y y y = = + = = =± + = y y y 0 y y ( ) y y y ( y) y, Επειδή 0 θα έχουμε y 0 y< y = y y = y y ( y) 0 άρα ( ) = με 0 <. δ) Το σύνολο τιμών της είναι το πεδίο ορισμού της y= ( ) δηλαδή το ( ) A = [0,) 6

7 Άσκηση. Να δείξετε ότι αν μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το είναι περιττή και - τότε και η είναι περιττή. Αν y (A) y= () τέτοιο ώστε A και επειδή () = ( ) y= () ( ) = y y (A) αφού A. Επίσης έχουμε ( ) = ( ) = y. Αν y ( ) ( y) ( y) = = = () Αν y ( ) y ( ) ( y) = = = () Από () και () έχουμε ( y) ( y) = = άρα η είναι περιττή. 7

8 Άσκηση. Δίνεται η συνάρτηση :, για την οποία ισχύει ( o )( ) = ( ) () για κάθε. α) Να δείξετε ότι ( 0) = 0 β) Αν ( ) 0για κάθε 0 τότε να δείξετε ότι η αντιστρέφεται. α) Για = 0 η () γίνεται ( o )( 0) = 0 ( 0) ή ( ( 0) ) = 0( ) ( ) Για = ( 0) η () γίνεται ( o) ( ( 0) ) = ( 0) ( ( 0) ) (( )( )) ( ) ( ) β) η περίπτωση:, 0 Αν ( ) ( ) ( ( )) ( ) γιατί ( ),( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) o 0 = 0 0= 0 0 = 0 = = = = και ( ) = ( ) η περίπτωση : = 0 = 0 = 0 = 0 Αν ( ) ( ) ( ) Άρα η είναι -, άρα αντιστρέφεται. 8

9 Άσκηση 4. Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) = + + με την αντίστροφη της. ( τρόποι επίλυσης) Α Τρόπος: y = () y = () y = () = (y) = + + = + + = + + = + y y y y y y y y = + + y = + + 0= y + y+ y + y 0= y + y+ y + ( )( ) ( ) ( )( ) y = + + = = + y 0 ή y y 0 (αδύνατη) ( )( ) + + = 0 = = 0 = + = y = y y = y = Β Τρόπος: Επειδή η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σαν άθροισμα των αυξουσών συναρτήσεων + και με βάσει την λυμένη άσκηση 7 αντί να λύσουμε την εξίσωση () = () θα λύσουμε την () = έτσι έχουμε = ή ( ) ( ) () 0 ( ) 0 = = = + + = = y=., 9

10 Άσκηση 5. = e + e Δίνεται η συνάρτηση ( ) α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται β) Να λυθεί η εξίσωση ( ) = ( ) γ) Να λυθεί η εξίσωση ( ln + ) = ( ln ) α) Tο πεδίο ορισμού είναι το A= D =. Η συνάρτηση e είναι γνησίως αύξουσα, η είναι γνησίως αύξουσα άρα και η σύνθεση τους e είναι γνησίως αύξουσα. Επίσης η e είναι γνησίως αύξουσα, άρα και το άθροισμα τους ( ) = e + e είναι γνησίως αύξουσα άρα και -. β) Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα τότε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων C, C βρίσκονται πάνω στην ευθεία y= Έτσι έχουμε () = () () = e + e = e = e = = 5 γ) πρέπει > 0, η εξίσωση γίνεται ( ) ( ) ln + = ln ln + = ln ln = t ln = t = t t = 0 t = ή t = ln ln 0 ln = ή ln = = e ή = e 0

11 Άσκηση 6. Δίνεται η συνάρτηση ( ) = α) Να βρείτε την αντίστροφη της. β) Να λυθεί η εξίσωση ( o )( ) =. α) Tο πεδίο ορισμού είναι το A= D = Η γίνεται () = = = + +. Επειδή οι συναρτήσεις + και ( ) είναι γνησίως αύξουσες άρα η σύνθεση τους είναι γνησίως αύξουσα άρα και η () = ( + ) + θα είναι γνησίως αύξουσα. Άρα θα είναι και - δηλαδή υπάρχει η αντίστροφη της. Λύνουμε την εξίσωση y= ( ) = ( + ) + ως προς y= ( + ) + ( + ) = y ( + ) θα Αν y έχουμε + = y = y άρα () = με Αν y< έχουμε + = y = y άρα () = με < Τελικά έχουμε () = <,, () β) Η ορίζεται στο,άρα ορίζεται η σύνθεση o με πεδίο ορισμού το. Η εξίσωση ( )( ) ( ) Από την () για ( ) ( ) ( ) o = = = () = έχουμε ( ) = = =. Η εξίσωση () ( ) ( ) () = + + = + = + = =.

12 Άσκηση 7. Αν για κάθε ισχύει ( ) 4 ( ) 9, ( ), να δείξετε ότι η δεν αντιστρέφεται. Η σχέση () ισχύει για κάθε = Για ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) =. = Για ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) 0 = Έτσι έχουμε ( 0) ( ) = = με 0 άρα η δεν - οπότε δεν αντιστρέφεται.

13 ΘΕΜΑ Δ Άσκηση. Δίνεται η συνάρτηση : α) Να δείξετε ότι ( ) ( ) * έτσι ώστε ( + y) = ( ) ( y ),( ) 0 =, =, για κάθε ( ) β) Να δείξετε ότι () > 0, για κάθε y = + y,,y> 0 γ) Αν η είναι - να δείξετε ότι ( ) ( ) ( ) α) Επειδή * () () 0 για κάθε Για y 0 0 = η () γίνεται ( + 0) = ( ) ( 0) ( ) = ( ) ( 0) ( ) = ( 0) β) Για Για και για y η () γίνεται ( ) = () ( ) (0) = () ( ) = () ( ) ( ) = επειδή () 0 () και για y η () γίνεται + = () = 0 () > 0 αφού () 0 για κάθε. γ) Θέτουμε ( ) ( ) ( ) = = ( ) = t = t y v y v ισχύει ( t v) ( t) ( v) + = ή ( ) t+ v = y ή + = ( ) ή ( ) + ( y) = ( y) t v y Ημερομηνία τροποποίησης: 4/8/0