SEMINARSKI RAD SENZORI DIGITALNIH KAMERA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "SEMINARSKI RAD SENZORI DIGITALNIH KAMERA"

Transcript

1 UNIVERZITET U ZENICI PEDAGOŠKI FAKULTET U ZENICI ODSJEK MATEMATIKA I INFORMATIKA SEMINARSKI RAD SENZORI DIGITALNIH KAMERA Zenica, februar 2007.

2 SADRŽAJ 1. UVOD ŠTA JE TO SENZOR? POJAM DIGITALNE KAMERE I DIGITALNE FOTOGRAFIJE PIKSEL SENZORI DIGITALNIH KAMERA CCD SENZORI CMOS SENZORI KVALITET SLIKE I PRIMJENA SENZORA LITERATURA

3 1. UVOD 1.1. ŠTA JE TO SENZOR? Senzori su uređaji koji 'preobličavaju' (engl. transducers) signal, iz veličine koja nas zanima (temperatura, magnetsko polje/indukcija, svjetlost...) u neku veličinu koja je pogodna za mjerenje (otpor, generirani napon ili struja,...). Postoji više vrsta senzora. Jedna podjela je prema ulaznoj veličini koju senzor preobličava u neku veličinu pogodnu za mjerenje. Tako imamo optičke senzore, akustičke, senzore pokreta i dr. Za svaki senzor treba da postoji i baždarna krivulja - tablica ili slika, na kojoj se može očitati npr. kojoj temperaturi odgovara otpor od 100 oma platinskog termometra. Nas će u nastavku zanimati optički senzori. Ovi senzori zapravo 'preobličavaju' intenzitet svjetlosti u induciranu struju, napon ili otpor, a zasnivaju se na funkcioniranju pn spoja. Naime, može se napraviti takav pn čije karakteristike ovise o intenzitetu i frekvenciji/boji svjetlosti kojom ga obasjavamo POJAM DIGITALNE KAMERE I DIGITALNE FOTOGRAFIJE Fotografija je tehnika digitalnog ili hemijskog zapisivanja prizora iz stvarnosti na sloju materijala koji je osjetljiv na svjetlost koja na njega pada. Riječ je grčkog porijekla i nastala je kao složenica dvije riječi phos ("svjetlo"), te γραφις graphis ("pero", "kist") ili γραφη graphê, koje zajedno znače crtanje pomoću svjetla. Već iz ove definicije se može vidjeti koliko fotografija ima ulogu u savremenom svijetu. Potreba da se slika iz stvarnog života prenese na neki papir i kasnije koristi je velika. Identifikacija osoba, video nadzori u većim objektima, satelitske fotografije reljefa i oblaka su samo neke od primjena fotografije. Za dobijanje fotografije se koriste uređaji koji se zovu fotoaparati i kamere. Moderne kamere su obično multifunkcionalne sa nekim uređajem koji može zapisivati zvuk i/ili video, kao i fotografiju. 3

4 Riječ kamera je latinskog porijekla (Camera obscura - lat. "mračna komora" ili "zamračena prostorija") i označava kutiju (svjetlonepropusna opna bilo kakvog oblika) čije unutrašnje plohe ne dopuštaju odraz svjetlosnih zraka (moraju biti obojene crnom mat bojom ili još bolje, prekrivene crnim filcom). Na stijenki kutije izbušena je rup(ic)a. Kroz taj sitan otvor ("mlaznicu svjetla") svjetlosne zrake izvana ulaze u mračnu komoru i projiciraju sliku motiva pred kamerom po čitavoj unutrašnjosti komore. Ukoliko se u mračnu komoru stavi fotoosjetljiva ploha, tj. list materijala koji je osjetljiv na svjetlo, a koji može biti hemijski (npr. "fotografski film" ili "foto papir") ili digitalni ("senzor"), može se napraviti snimka motiva. Tradicionalna fotografija poprilično je sputavala fotografe što su radili daleko na terenu (naročito novinarske dopisnike), jer nisu imali laboratorij za razvijanje filma u blizini, što je bilo nužno da bi se slika mogla vidjeti. Kako je televizija sve više napredovala i pružala sve veću konkurenciju, fotografije su se sve brže morale dostavljati u novine. Fotoreporteri na udaljenijim lokacijama nosili su minijaturni foto-laboratorij sa sobom; također i neka sredstva prenošenja slike preko telefonskih žica. Ovo je dovelo do pojave digitalnih fotografija i razvoj digitalnih kamera i fotoaparata koje danas možemo naći u različitim veličinama i oblicima - od laganih koje možemo nositi u džepu do onih čija masa iznosi nekoliko kilograma. Umjesto uobičajenih filmova, ove kamere koriste senzore slike za hvatanje podataka o slici. Postoje dvije vrste senzora za digitalne kamere: CCD (cherged-couple device uređaj sa spregnutim naelektrisanjem) i CMOS (Complementary Metal Oxide Semiconductor Sensor - komplementarni metaloksidni poluprovodnici). Svaki od senzorskih elemenata pretvara svjetlost u napon proporcionalan njenom sjaju; taj se napon onda propušta kroz analognodigitalni konvertor koji prevodi fluktuacije u CCD uređaju u diskretni binarni kôd (vidjeti sliku 1). Digitalni izlaz analogno-digitalnog konvertora se šalje u digitalni procesor signala (DSP - digital signal processor) koji podešava kontrast i detalje te komprimuje sliku prije nego što je uputi u memorijski medijum. Slika dobivena na ovaj način se naziva digitalna fotografija. Što je sjajnija svjetlost, koja pada na senzor, to je napon viši i odgovarajući piksel je svjetliji (o pikselu vidjeti narednu sekciju). Što ima više elemenata, veća je rezolucija i može da se registruje više detalja. Cijeli proces je vrlo udoban za korisnika. Rad je olakšan, jer nema potrebe za premotavanjem filma između dva kalema. CCD ili CMOS senzori fiksirani su na jednom mjestu, a broj pokretnih dijelova u kameri sveden je na najmanju mjeru. 4

5 Slika 1. Digitalni fotoaparati (slika 2.) se mogu priključiti na PC sa odgovarajućim kablom i konektorom. Najčešće je to USB. Snimljena slika se može obrađivati pomoću odgovarajućeg programa, kao što je Photoshop. Postoje i fotoaparati koji mogu da snimaju kratke video sekvence, pa oni mogu u izvesnom smislu zamijeniti web video kamere. Digitalni fotoaparati omogućuju pregled snimaka na licu mjesta (bez razvijanja), što znači da fotograf može lako uočiti greške kod snimanja i ispraviti ih dok još nije prekasno. Pošto se slike mogu i brisati, može se snimati mnogo uzastopnih slika s malim razlikama, izbrisati loše i sačuvati samo uspješne. Kod klasičnih fotoaparata to bi bilo preskupo. Možete i odabrati samo neke fotografije koje ćete ispisati na papir (ako ih uopće želite ispisivati). Ako imate računalo sa pisačem, nije potrebno fotografije nositi u foto-studio - one se mogu ispisati i kod kuće. Također, fotografije se na računalu mogu i obraditi te poboljšati (npr. pooštriti, kontrolirati kontrast, svjetloću, intenzitet boje...). Slika 2. 5

6 1.3. PIKSEL Piksel je kovanica od picture element, element slike, odnosno nositelj informacije. Piksel (Picture Element) je najmanja jedinica digitalne slike (Slika 3). Boja piksela određena je ''receptom'' koji koristi tri sastojka: crvenu, zelenu i plavu boju. Piksel započinje svoj život na senzoru kamere u onom kratkom trenutku kad je zatvarač objektiva otvoren. Veličina svake svjetloosjetljive površine (fotodiode) na senzoru (CCDu) je mjerljiva, ali pixel kao takav samo je naboj pretvoren u digitalni broj. Kako pikseli nemaju svoju fizičku veličinu ili oblik - veličina senzora se prikazuje kao broj koji opisuje ukupan iznos fotodioda na površini senzora (CCD-a ili CMOSa). Veličina se prikazuje na jedan od dva moguća načina - kao veličina senzora u pikselima ili kao ukupan broj piksela na senzoru. Krajnja slika se sastoji od milijona piksela koje spojene u cjelinu daju sliku snimljenog objekta. Slika 3. Primjer piksela U analognom, filmskom svijetu, također postoje takvi nositelji informacije, ali se tamo ne zovu pikseli, nego zrna (grain). Ta dva svijeta imaju više sličnosti nego razlika; i u jednom i u drugom, postoje ovisnosti između količine šuma (odnosno, zrnatosti filma) i osjetljivosti na svjetlost, i pravilo je da manja osjetljivost daje veću kvalitetu slike. U digitalnom svijetu se to postiže postavljanjem pojačala koje procesira signal sa senzora na manju osjetljivost, a u analognom svijetu izborom filma manje osjetljivosti i sitnije granulacije zrna. 6

7 2. SENZORI DIGITALNIH KAMERA 2.1. CCD SENZORI CCD tehnologija je otkrivena šezdesetih godina prošlog vijeka, kada je bio trend u tehnici traženje jeftinih rješenja za proizvodnju memorijskih uređaja. U Bellovim laboratorijama godine Willard Boyle i George Smith su uspeli da memorišu podatke pomoću CCD uređaja. Prvi CCD uređaj za stvaranje slike, u formatu 100x100 piksela, napravljen je godine u firmi Fairchild Electronics. Slijedeće godine, uređaj je upotrebljen u TV kamerama za komercijalno emitovanje i uskoro je zauzeo glavno mjesto u konstrukcijama teleskopa, digitalnih kamera i uređajima za rad sa slikama. CCD je poluvodički uređaj (Slika 4), senzor (čip) osjetljiv na svjetlo koji se koristi za hvatanje svjetla koje pada na njega tijekom fotografiranja. Sastavljen je od miliona fotoosjetljivih ćelija koje se nazivaju fotodiode i koje tvore piksele. Fotodiode su napravljene od silicijuma. Kada čestice svjetlosti (fotoni) padnu na fotodiode, one unesu dovoljne energije da se emituju negativno naelektrisani elektroni (faza eksplozije). Što više svjetlosti padne na fotodiodu, to je više slobodnih elektrona na raspolaganju. Svaka fotodioda ima na sebi električni kontakt i kada se na njega priključi napon, silicijum ispod fotodiode može da prihvata slobodne elektrone, pa se ponaša kao njihovo skladište. Na taj način, svaka fotodioda ima posebnu količinu naelektrisanja koja joj je pridružena; što je to naelektrisanje veće, veći je intenzitet sjaja odgovarajućeg piksela. Naelektrisane čestice ulaze i zatim izlaze iz registra za očitavanje (Slika 5). Registar ne može raditi sa milijonima električnih impulsa u isto vrijeme, već procesira samo jedan red piksela sa foto senzora. Nakon toga te se informacije brišu, a njihovo mjesto zauzima sljedeći red piksela, pošto je naelektrisanje svakog reda "spregnuto" sa sljedećim i to ima efekat povlačenja sljedećeg iza njega. To se ponavlja dok se god ne snime podaci od svakog reda piksela. Signali se zatim propuštaju kao analogni signal što je moguće više oslobođen od šuma - do pojačivača, a zatim na analogno-digitalni konvertor. Slika 4. 7

8 Slika 5. Postoje tri tipa arhitekture CCD senzora: full frame, full frame frame transfer i interline. Ako gore spomenuto slijedno pomicanje naelektrisanja nije dovoljno brzo, kod full frame-a mogu se javiti vertikalne mrlje na slici jer iako je ćelija trenutno "zaposlena" pomicanjem naboja, ona i dalje nastavlja skupljati fotone. To zapravo znači da CCD ne može skupljati svjetlost za vrijeme očitavanja. No za primjenu u npr. astronomiji koristi se frame transfer CCD. On ima skrivene ćelije kojih ima isti broj koliko i izloženih svjetlu. Kad završi faza ekspozicije, naboj se premješta u taj skriveni dio i tu u miru može biti pročitan. Za vrijeme očitavanja slobodne ćelije i dalje skupljaju fotone, a to znači da se faza ekspozicije i očitavanja odvijaju paralelno. No i taj tip CCD-a ima svoj nedostatak, a to je dvostruko veći senzor Ono što većina korisnika digitalnih fotoaparata i videokamera ne zna, svjetlosni senzor nije osjetljiv na boje, već samo na nijanse sivog. Da bi se dobila fotografija u boji, koriste se kolor filtri ispred svakog piksela, i to najčešće u RGB slijedu (crveni, zeleni, plavi). CCD uređaj radi na principu ljudskog oka, pa je udio zelenih filtera u odnosu na crvene i plave dva puta veći. Kako piksel može da predstavlja samo jednu boju, prava boja se pravi uprosječavanjem intenziteta svjetlosti na susjednim pikselima. Svaki piksel sakupi samo 1/3 informacije o bojama ali kako milijuni pixela rade zajedno tako je konačna fotografija normalna za ljudsko oko. Taj proces poznat je kao interpolacija boja. Izmjereni intenzitet svjetla po ćeliji dijeli se na 256 nivoa sjajnosti. Na taj način svaki kompozitni piksel daje nijansi boja, tako da je moguć istinski rad u boji. 8

9 FILTERSKA MREŽA Filter je zalijepljen na sloj fotosenzora tako da se svaki filter nalazi tačno iznad senzora. Slika 6. RAZDVAJANJE BOJA Filteri propuštaju uglavnom vlastitu boju, ali i nešto drugih boja. Npr. plavi filter uz plavu propušta malo zelene Slika 7. PODACI O BOJI PRIJE INTERPOLACIJE Kako bi se stvorila slika, softver analizira tri mreže boje i iz njih izračunava međuvrijednosti boja. To je proces interpolacije. Slika 8. Postoji dva tipa CCD-ova: jedan za video kamere i drugi za filmske kamere. CCD-ovi za video aplikacije imaju pravougaone ćelije i filtrirani su zelenoplavim (eng. cyan), svjetlo ljubičastim (eng. magenta) i žutim filtrima. Dodavanjem staklenog sloja konvencionalnoj konstrukciji uređaja sa spregnutim naelektrisanjem (CCD), firma Fujifilm je razvila nov, radikalno drugačiji CCD sa većim, osmougaono oblikovanim fotodiodama, smještenim pod uglovima od 45º, umjesto standardnog kvadratnog oblika. Ovaj nov raspored služi da bi se izbjegao šum signala koji je ranije postavljao ograničenje u gustini fotodioda u CCD uređaju, što obezbjeđuje poboljšanu 9

10 reprodukciju boja, širi dinamički opseg i povećanu osetljivost. Sve ovo ima za rezultat oštriju digitalnu sliku sa više boja. Već je rečeno da digitalna kamera stvara sliku pomoću senzora koji sadrži matricu osjetnih elemenata (fotodioda). Proizvod broja elemenata po horizontali i vertikali daje rezoluciju senzora. Na primjer, senzor koji ima rezoluciju 1280x1024 piksela ima piksela, odnosno 1.3 megapiksela (MP). Za kvalitetan otisak na foto-papiru u dimenzijama 12x9 cm, 300 DPI (tačaka po inču), dovoljna je rezolucija od 1400x1100 piksela, odnosno 1.5 MP. Za kvalitetan otisak na A4 formatu u 300 DPI, potrebno je otprilike 3500x2480 piksela, odnosno 8.7 MP. To su teoretske vrijednosti koje nešto znače jedino ako dajete sliku u offset tisak. Realno, s rezolucijom 800x600 moguće je dobiti pristojan otisak na 12x9 formatu, a s 3.2 MP dobit ćete sliku izvrsne kvalitete na A4 formatu. Za prikaz na ekranu, potrebna vam je zapravo prilično mala rezolucija, tako da će 2 MP zadovoljiti za prikaz na 1600x1200 ekranskoj rezoluciji 2.2. CMOS SENZORI CMOS je najznačajnij klasa integralnih kola. CMOS čip obuhvača mikroprocesor, mikrokontrolor, statički RAM i druga logička kola (Slika 9). CMOS je godine izumio Frank Wanlass iz tvrtke Fairchild Semiconductor. Prvi integrirani sklopovi s CMOS-om pojavili su se Nešto kasnije su se počeli primjenjivati kao senzori u fotoaparatima. To su zapravo bili pasivni senzori koji su patili od visokog šuma i sporog očitavanja signala. Od 1998 godine CMOS tehnologija se koristi za različita analogna kola kao senzori slika, konvertori podataka, i visoko integrisani transveri za mnoge tipove podataka. CMOS je skračenica od complementary-symmetry metal oxide semiconductor. Riječ complementary-symmetry se odnosi na činjenicu da dizajn koristi komplementarne i simetrične parove p-type i n-type MOSFETs-a za logičke funkcije. Slika 9. CMOS čip Slika 10. Statički CMOS izmjenjivački uređaj 10

11 Rad CMOS senzora je sličan radu CCD senzora. Osnovna razlika između CCD senzora i CMOS senzora se nalazi u fazi očitavanja. Naime, za razliku od CCD senzora, CMOS senzor za svaki piksel posebno ima ugrađeno pojačalo (slika 11). Ovaj senzor se naziva aktivni senzori (Active Pixel Sensor APS). Pasivni senzori su imali pojačala samo na svakom stupcu. Pošto svaki piksel ima svoje pojačalo, to se podaci sa svih piksela obrađuju u istom trenutku. Ovaj proces omogućava veću brzinu pohrane zapisa pa samim time i više snimljenih slika u sekundi. Budući da je kod CMOS senzora svakom pikselu pridruženo pojačalo, to poskupljuje proizvodnju pa se samim time takvi senzori ugrađuju u bitno skuplje polu profesionalne i profesionalne aparate. Zbog povećanja prodaje digitalnih aparata (masovne proizvodnje) cijena proizvodnje CMOS se smanjuje i sve više digitalnih aparata nižeg cjenovnog razreda koristi ove foto senzore. Slika 11. Dvije najvažnije karakteristike CMOS uređaja su visoka imunost na šumove i mala potrošnja energije. Za pretvorbu akumuliranog naboja s ćelije u električni signal CMOS troši i deset puta manje energije nego CCD, zbog čega je na ćelijama CMOS-a naboj manji. Zbog toga svaka ćelija CMOS-a sadrži i svojevrsno pojačalo koje CCD-u ne treba odmah, ali on zato mora sadržavati odvojeni modul za pojačavanje signala. Pojedinačno pojačalo kraj svake ćelije manji je potrošač od modula za pojačavanje kojeg koristi CCD, pa je s CMOS-om moguće uz manje energije proizvesti sliku jednake rezolucije, i uz to za manje vremena. CCD također mora imati i odvojeni modul za procesiranje signala, odvojeni modul za AD konverziju itd. Iz ovoga je vidljivo da je CCD puno veći potrošač energije od 11

12 CMOS-a, čak i do 100 puta, a i proces izrade cijelog fotoaparata je zbog tih modula skuplji. Iz prethodnog paragrafa smo mogli zaključiti da CCD uređaji imaju samo jednu funkciju registrovanja gdje je svjetlost pala na svaku od stotine hiljada fotodioda, dok CMOS može da obavlja i druge zadatke, na primer, analognodigitalna konverzija, obrada signala, podešavanje ravnoteže bijelog i upravljanje kamerom i sl. Moguće je, takođe, povećati gustinu CMOS uređaja i dubinu bitova bez rasta troškova. CMOS je bio skoro odbačen od fotografske industrije kao skoro neupotrebljiv standard. Perspektive ove tehnologije veoma su se povećale krajem godine, kada je firma Foveon Inc. iz Silicijumske doline objavila proizvodnju svog CMOS senzora za obradu slike od 16,8 miliona piksela (4096x4096) - oko tri puta veća rezolucije od bilo kog ranije objavljenog CMOS senzora za sliku i više od pedeset puta veće rezolucije nego najčešće proizvođeni CMOS senzori digitalnih kamera za najšire tržište u tom trenutku. Današnja vrhunska kvaliteta izrade svjetlosnih senzora CMOS tehnologijom ima još jednu prednost njegova relativno jeftina izrada smanjuje finalnu cijenu inače vrlo skupih profesionalnih uređaja. Manje zagrijavanje CMOS senzora za razliku od CCD-a omogućuje izradu većih senzora u manjim kućištima, pa tako omogućuje izradu tijela fotoaparata koji će u potpunosti biti kompatibilni s objektivima dizajniranim za 35-milimetarski filmski standard Iz tih i još nekih razloga mnogi industrijski analitičari veruju da će na kraju gotovo sve jednostavnije i jeftinije digitalne kamere biti zasnovane na CMOS tehnologiji, a da će samo one iz srednje klase i vrhunske koristiti CCD uređaje. Ostaju i problemi koje treba riješiti, na primer, slike sa šumom i nemogućnost korektnog registrovanja pokreta, pa je na početku novog milenijuma potpuno jasno kako CMOS treba da pređe izvjestan put prije nego što dostigne ravnopravnost sa CCD tehnologijom. 12

13 3. KVALITET SLIKE I PRIMJENA SENZORA Kvalitet slike digitalne kamere zavisi od više činilaca, kao što su optički kvalitet objektiva i čipa za registrovanje slike, kompresioni algoritmi i druge komponente. Međutim, najvažnija odrednica kvaliteta slike jeste vrsta senzora i rezolucija senzora. Što je više elemenata, viša je rezolucija i zato se može registrovati više detalja. CCD senzori su precizniji u detekciji svjetlosti, pa tako daju još uvijek nešto kvalitetniju sliku, ali su dosta sporiji, skuplji za izradu i zahtijevaju više energije za svoj rad. Kvaliteti slike dobivene CMOS senzorom je dugo bio dosta lošiji od slike dobivene CCD senzorom. Naime, CMOS senzor nije uspijevao svjetlosne signale "uhvaćene" na pojedinim ćelijama uvjerljivo pretvoriti u digitalni signal. Fotoni koji bi trebali udariti u fotodiodu ćelije, udarili bi u tranzistor pojačala. Zbog toga treba postojati neka tehnologija, tj. dodatni proces koji bi to korigovao. Bez te korekcije nastane fotografija koja je puna šumova, artefakata i ostalih nepravilnosti koje nisu nastale zbog loših optičkih svojstava aparata, već zbog loše elektroničke obrade primljenih signala. Canon je dosad najdalje došao u rješavanju tog problema. Kod njih su na površini CMOS-a poredane mikroleće konveksnog oblika i svaka se poklapa s pojedinim pikselom. Smanjenjem razmaka između tih konveksnih leća Canon je drastično poboljšao efikasnost senzorovog skupljanja svjetla i to je dovelo do proširenja izlaznog raspona signala za visoki ISO. Smanjenjem veličine piksela i povećanjem njihove gustoće, područje fotodiode ostaje konstantno i tako može biti skupljena ista količina svjetla kao i prije, bez obzira što je sa smanjenjem veličine piksela smanjena osjetljivost. To pak dovodi do proširenja izlaznog raspona signala za niski ISO. Slika

14 Također treba spomenuti i Canonovu tehniku redukcije šuma za CMOS. Postoje dva tipa šuma: s fiksnim uzorkom (pojavljuje se uvijek na istim pikselima) i sa slučajnim uzorkom (pojavljuje se na različitim pikselima). Šum s fiksnim uzorkom nastaje kod nejednakih pojačanja signala uz različita pojačala na pikselima. Canon je uspio suzbiti i obje vrste šuma korištenjem tehnologije za kompletni prijenos naboja piksela. CMOS i bez dodatne tehnologije za korekciju signala ima prostor za primjenu. Zbog malih dimenzija i niskih rezolucija idealan je za korištenje u uređajima u kojima visoka rezolucija nije prioritet, npr. u mobilnim telefonima, sigurnosnim kamerama, amaterskim skenerima, faks uređajima itd. 14

15 4. LITERATURA

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa Tranzistori s efektom polja Spoj zajedničkog uvoda U ovoj vježbi ispitujemo pojačanje signala uz pomoć FET-a u spoju zajedničkog uvoda. Shema pokusa Postupak Popis spojeva 1. Spojite pokusni uređaj na

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA

OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA MODUL: Tehnologija teleomuniacijsog rometa FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI Predavači: Doc.dr.sc. Štefica Mrvelj Maro Matulin, dil.ing. Zagreb, ožuja 2009. Oće informacije Konzultacije:

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje EuroCons Group Karika koja povezuje Filtracija vazduha Obrok vazduha 24kg DNEVNO Većina ljudi ima razvijenu svest šta jede i pije, ali jesmo li svesni šta udišemo? Obrok hrane 1kg DNEVNO Obrok tečnosti

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora. Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo

Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora. Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo Operacijsko Pojačalo Kod operacijsko pojačala izlazni napon je proporcionalan diferencijalu

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα