Αρχιμήδης ΙΙΙ- Υποέργο 5: Αριθμητική Ολοκλήρωση Διαφορικών Εξισώσεων, project No. MIS383583

Transcript

1 Αρχιμήδης ΙΙΙ- Υποέργο 5: Αριθμητική Ολοκλήρωση Διαφορικών Εξισώσεων, project No MIS383583

2 Προβλήματα Αρχικών και Συνοριακών Τιμών Το πρόβλημα αρχικών τιμών πρώτης τάξης y = f(x,y), y(a) = y 0, x [a,b] Το πρόβλημα αρχικών τιμών δεύτερης τάξης y = f(x,y), y(a) = y 0, y (a) = y 0, x [a,b] (1) Το πρόβλημα συνοριακών τιμών δεύτερης τάξης y = f(x,y), y(a) = y a, y(b) = y b, x [a,b] (2)

3 Μεθόδοι Runge-Kutta Ο Kuttaτο1901έγραψετιςμεθόδουςστημορφήπουσήμερα ονομάζουμε Runge-Kutta k 1 = f(x n, y n ) k 2 = f (x n +c 2 h, y n +ha 21 k 1 ) k 3 = f (x n +c 3 h, y n +h(a 31 k 1 +a 32 k 2 )) (3) k s = f (x n +c s h, y n +h(a s1 k 1 +a s2 k 2 + +a s,s 1 k s 1 )) y n+1 = y n + h(b 1 k 1 +b 2 k 2 + +b s k s ) Αυτήείναιμιαμέθοδος sσταδίωνο Kuttaέκανετηνυπόθεση c 2 = a 21 c 3 = a 31 +a 32 c s = a s1 +a s2 + +a s,s 1

4 Μεθόδοι Runge-Kutta Η θεωρητική τεκμηρίωση των μεθόδων Runge-Kutta έγινε από τον νεοζηλανδό μαθηματικό John Butcher με μια σειρά άρθρων που ξεκίνησε να δημοσιεύει από το 1963 Ο Butcher χρησιμοποίησε έναν πίνακα για την αναπαράσταση των μεθόδων γνωστό ως Butcher array ή Butcher tableau 0 c 2 a 21 c 3 a 31 a 32 c s a s1 a s2 a s,s 1 b 1 b 2 b s 1 b s

5 Μεθόδοι Runge-Kutta Η γενική μορφή της πεπλεγμένης μεθόδου είναι k i = f (x n +c s h, y n +h(a i1 k 1 +a i2 k 2 + +a i,s k s )) y n+1 = y n + h(b 1 k 1 +b 2 k 2 + +b s k s ) Butcher array c 1 a 11 a 12 a 1s c 2 a 21 a 22 a 2s c s a s1 a s2 a s,s b 1 b 2 b s

6 Μεθόδοι Runge-Kutta Διαγώνια πεπλεγμένη μέθοδος k 1 = f (x n +c 1 h, y n +ha 11 k 1 ) k 2 = f (x n +c 2 h, y n +ha 21 k 1 +ha 22 k 2 ) k 3 = f (x n +c 3 h, y n +h(a 31 k 1 +a 32 k 2 +a 33 k 3 )) (4) k s = f (x n +c s h, y n +h(a s1 k 1 +a s2 k 2 + +a s,s k s )) y n+1 = y n + h(b 1 k 1 +b 2 k 2 + +b s k s ) Butcher array c 1 a 11 c 2 a 21 a 22 c 3 a 31 a 32 a 33 c s a s1 a s2 a s,s 1 a ss b 1 b 2 b 3 b s 1 b s

7 Χαμιλτονιανά Συατήματα Χαμιλτονιανά συστήματα με χωριζόμενη χαμιλτονιανή H(p,q,x) = T(p,x)+V(q,x) όπου Tείναιηκινητικήενέργιακαι V ηδυναμικήενέργιαέχουντη μορφή: όπου p = f(q,x), q = g(p,x) f(q,x) = H (p,q,x) = V q q (q,x), g(p,x) = H T (p,q,x) = p p (p,x) Οι μέθοδοι Partitioned-Runge-Kutta είναι κατάλληλες για την αριθμητική ολοκλήρωση τέτοιων συστημάτων

8 Ιντροδυςτιον Στην ειδική περίπτωση που η κινητική ενέργια έχει τη μορφή το σύστημα γράφεται ή T(p,x) = 1 2 pt p p = V q (q,x), q = p q = V q (q,x) ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης στις οποίες δεν εμφανίζεται η πρώτη παράγωγος, τέτοια συστήματα λύνονται με μεθόδους Runge-Kutta-Nyström

9 Partitioned Runge Kutta methods Μια Partitioned Runge Kutta (PRK) μέθοδος ορίζεται s p n+1 = p n +h c i f(x n +C i h,p i,q i ), q n+1 = q n +h P i = p n +h Q i = q n +h i=1 s d i g(x n +D i h,p i,q i ), i=1 s a ij f(x+c j h,p j,q j ), j=1 s A ij f(x+c j h,p j,q j ), i = 1,,s j=1

10 Partitioned Runge Kutta methods Butcher arrays C 1 a 11 a 1s C s a s1 a ss c 1 c s D 1 A 11 A 1s D s A s1 A ss d 1 d s όπου s C i = a ij, ανδ D i = s j=1 j=1 A ij

11 Μέθοδοι Runge-Kutta-Nyström Η άμεση Runge-Kutta-Nyström μέθοδος Y i y n+1 i 1 = y n +c i hy n +h 2 a ij f(x n +c j h,y j ), i = 1,2,,s j=1 s = y n +hy n +h 2 b i f(x n +c i h,y i ), y n+1 = y n +h i=1 s b if(x n +c i h,y i ), i=1

12 Μέθοδοι Runge-Kutta-Nyström Butcher tableau c 1 c 2 a 21 c 3 a 31 a 32 c s a s1 a s2 a s,s 1 b 1 b 2 b s 1 b s b 1 b 2 b s 1 b s

13 Προβλήματα Δοκιμής The two-dimensional harmonic oscillator The following system of equations is known as two-dimensional harmonic oscillator p 1 = w 1 q 1, q 1 = p 1 p 2 = w 2 q 2, q 2 = p 2 with initial conditions p 1 (0) = 0, q 1 (0) = 1, p 2 (0) = 1, q 2 (0) = 0 The Hamiltonian of this problem is H(p 1,p 2,q 1,q 2 ) = T(p 1,p 2 )+V(q 1,q 2 ), T(p 1,p 2 ) = 1 2 (p2 1 + p 2 2), and V(q 1,q 2 ) = 1 2 (w 1q w 2 q 2 2) The exact solution is q 1 (x) = cosw 1 x, q 2 (x) = sinw 2 x, we choose w 1 = w 2 = 1 For this choise we use v = h

14 Προβλήματα Δοκιμής The two-body problem The following system of equations is known as the two-body problem and is a standard symplectic test case: q 1 p 1 = (q 2 1 +q2 2)3, q 1 = p 1 with initial conditions p 1(0) = 0, q 1(0) = 1 e, p 2(0) = The Hamiltonian of this problem is q 2 p 2 = (q 2 1 +q2 2)3, q 2 = p 2 1+e, q2(0) = 0 1 e H(p 1,p 2,q 1,q 2) = T(p 1,p 2)+V(q 1,q 2), T(p 1,p 2) = 1 2 (p2 1 +p 2 1 2), and V(q 1,q 2) = q 2 1 +q2 2 The exact solution is q 1(x) = cos(e) e, q 2(x) = 1 e 2 sin(e), where e is the eccentricity of the orbit and the eccentricity anomaly E is expressed as an implicit function of x by Kepler s equation x = E e sin(e)

15 Προβλήματα Δοκιμής The pendulum The Hamiltonian of this problem is given by H(p,q) = p2 2 The equations of motion are acos(q), a > 0 p = asin(q), q = p We consider the problem with initial conditions p(0) = 15, q(0) = 0

16 Προβλήματα Δοκιμής An orbit problem studied by Stiefel and Bettis We consider the following almost periodic orbit problem studied by Stiefel and Bettis [?]: p 1 = q cos(x), q 1 = p 1, p 2 = q sin(x), q 2 = p 2 with initial conditions p 1 (0) = 0 q 1 (0) = 1, p 2 (0) = 09995, q 2 (0) = 0 The analytical solution is given by q(x) = cos(x) x sin(x), p(x) = sin(x) 00005x cos(x)

17 Προβλήματα Δοκιμής Nonlinear oscillator I Consider the following oscillatory problem q 1 = ω 2 q 1 αq 1 (q 2 1 +q 2 2) 2, q 2 = ω 2 q 2 αq 2 (q 2 1 +q 2 2) 2, with initial conditions q 1 (0) = 1, q 1(0) = 0, q 2 (0) = 0 q 2(0) = ω +ǫ, where α = ǫ(2ω +ǫ) The exact solution is q 1 (x) = cos(ω +ǫ)x, q 2 (x) = sin(ω +ǫ)x We choose the parameter values ǫ = 001 and ω = 5

18 Προβλήματα Δοκιμής Nonlinear oscillator II Consider the following oscillatory problem y (x) = 100y(x)+99sin(x) with initial conditions y(0) = 1, y (0) = 11 The exact solution is y(x) = cos(10x)+sin(10x)+sin(x)

19 Προβλήματα Δοκιμής Inhomogeneous Equation We consider the following problem: y = v 2 y +(v 2 1)sinx, y(0) = 1, y (0) = v +1 where x 0 and v = 10 The exact solution is y(x) = cos(vx)+sin(vx)+sin(x),

20 Προβλήματα Δοκιμής Two coupled oscillators with different frequencies y 1 = y 1 +2ǫy 1 y 2, y 1 (0) = 1, y 1(0) = 0, y 2 = 2y 2 +ǫy1 2 +4ǫy2, 3 y 2 (0) = 1, y 2(0) = 0 We choose ǫ = 10 4 and use as reference solution y 1 (10 3 ) = and y 2 (10 3 ) = For this problem we use w 1 = 1 and w 2 = 2

21 Προβλήματα Δοκιμής Η μονοδιάστατη ανεξάρτητη του χρόνου εξίσωση του Schrödinger Η ανεξάρτητη του χρόνου εξίσωση του Schrödinger είναι μια από τις βασικότερες εξισώσεις στην κβαντομηχανική Η μονοδιάστατη μορφή της σε γενική μορφή είναι: 2 2m y +mω 2 V (x)y = Ey Η απλοποιημένη και αδιάστατη μορφή της, χωρίς βλάβη της γενικότηταςγια = m = ω = 1είναι: ή όπου y +2V (x)y = 2Ey y +B(x)y = 0 B(x) = 2[E V (x)] V τοδυναμικόκαι Eοιιδιοτιμέςτηςενέργειας

22 Δράση 1 Κατασκευή εκθετικά και τριγωνομετρικά προσαρμοσμένων μεθόδων Runge-Kutta Diagonally Implicit Symplectic Runge-Kutta methods, διεθνές συνέδριο ICNAAM 2012, Σεπτέμβριος 2012 Exponentially Fitted Symplectic Runge-Kutta-Nyström methods derived by Partitioned Runge-Kutta methods, διεθνές συνέδριο ICNAAM 2013, Σεπτέμβριος 2013 Diagonally Implicit Symplectic Runge-Kutta methods with special properties, έχει δημοσιευθεί στο επιστημονικό περιοδικό Applied Mathematics and Information Science (AMIS) 9(2015)11-17 Construction of Exponentially Fitted Runge-Kutta-Nyström Methods from Partitioned Runge Kutta Methods, έχει δημοσιευθεί στο επιστημονικό περιοδικό Mediterranean Journal of Mathematics (

23 Δράση 2 Κατασκευή εκθετικά και τριγωνομετρικά προσαρμοσμένων μεθόδων Runge-Kutta-Nyström A Trigonometrically fitted symplectic Runge-Kutta-Nyström method, διεθνές συνέδριο ICNAAM 2012, Σεπτέμβριος 2012 A fourth order Modified Trigonometrically Fitted Symplectic Runge-Kutta-Nyström method, διεθνές συνέδριο ICNAAM 2013, Σεπτέμβριος 2013 Exponentially fitted symplectic Runge-Kutta-Nyström methods, έχει δημοσιευθεί στο επιστημονικό περιοδικό Applied Mathematics and Information Science (AMIS) 7 (2013) A Fourth Order Modified Trigonometrically Fitted Symplectic Runge-Kutta-Nyström, έχει δημοσιευθεί στο επιστημονικό περιοδικό Computer Physics Communications 185(2014)

24 Δράση 3 Κατασκευή υβριδικών μεθόδων δύο βημάτων An optimized two-step hybrid block method for solving general second order initial-value problems of the form y = f(x,y,y ), διεθνές συνέδριο ICNAAM, Σεπτέμβριος 2014 Η έρευνα αυτή έγινε σε συνεργασία με τον αναπληρωτή καθηγητή Higinio Ramos του Πανεπιστημίου της Salamanca (Spain) An optimized two-step hybrid block method for solving general second order initial-value problems, έχει γίνει δεκτή για δημοσίευση στο επιστημονικό περιοδικό Numerical Algorithms

25 Δράση 4 Κατασκευή εκθετικά και τριγωνομετρικά προσαρμοσμένων υβριδικών μεθόδων δύο βημάτων A New Approach on the Construction of Trigonometrically Fitted Two Step Hybrid methods έχει γίνει δεκτή μετά από μικρές διορθώσεις(minor revisions) για δημοσίευση στο επιστημονικό περιοδικό Journal of Computational and Applied Mathematics Trigonometrically Fitted Two Step Hybrid Methods, παρουσιάστηκε στο Διεθνές Επιστημονικό Συνέδριο (International Conference for Academic Disciplines - International Journal of Arts and Sciences) στην Φλωρεντία τον Ιούνιο 2015 Modified Two Step Hybrid Methods for Oscillatory Initial Value Problems, παρουσιάστηκε στο Διεθνές Επιστημονικό Συνέδριο (International Conference for Academic Disciplines - International Journal of Arts and Sciences) στην Φλωρεντία τον Ιούνιο 2015

26 Δράση 6 Εφαρμογή στη μαθηματική μοντελοποίηση-ανάπτυξη ημιγραμμικών μεθόδων Χρησιμοποιήσαμε μαθηματικά υποδείγματα Voltera-Lotka που προέρχονται από τη μαθηματική βιολογία για την μοντελοποίηση με συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων μεγεθών από την οικονομική θεωρία Modeling Regional Employment An Application in High Technology Sectors in Greece Mathematical Models of competing species - An analytical and numerical approach παρουσιάστηκαν στο Διεθνές Επιστημονικό Συνέδριο International Conference on Applied Economics (ICOAE 2012) Upsala Sweden Modeling the Mobile Telecommunications Sector in Greece Modeling the Energy Sector in Greece παρουσιάστηκαν στο Διεθνές Επιστημονικό Συνέδριο ICOAE 2013, Κωνσταντινούπολη Η εργασία με τίτλο Numerical Integration Of the Chaplain and Stuart model παρουσιάστηκε στο διεθνές συνέδριο ICNAAM 2015, Σεπτέμβριος 2015

27 Δράση 7 Υπολογισμός των χαρακτηριστικών των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων για κινητές επικοινωνίες με χρήση των εξισώσεων Maxwell Η εργασία με τίτλο Numerical Integration of Maxwell equations with symplectic integrators παρουσιάστηκε στο διεθνές συνέδριο ICNAAM 2015, Σεπτέμβριος 2015