ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ

Transcript

1 i ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΡΑΟΥΛΗΣ ΜΑΡΙΟΣ Γεωλόγος MSc Γεωφυσικός ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΩΝ ΓΕΩΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ που υποβλήθηκε στο Τμήμα Γεωλογίας της Σχολής Θετικών Επιστημών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2009

2 ii

3 iii ΚΑΡΑΟΥΛΗΣ ΜΑΡΙΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΩΝ ΓΕΩΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Υποβλήθηκε στον Τομέα Γεωφυσικής του Τμήματος Γεωλογίας της Σχολής Θετικών Επιστημών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης Ημερομηνία Προφορικής Εξέτασης: 19 Ιανουαρίου 2010 ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΣΥΜΒΟΥΛΕΥΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Τσούρλος Παναγιώτης Επικ. Καθηγητής Α.Π.Θ. Τσόκας Γρηγόριος Καθηγητής Α.Π.Θ. Παπαζάχος Κωνσταντίνος Αναπ. Καθηγητής Α.Π.Θ. ΕΠΤΑΜΕΛΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Τσούρλος Παναγιώτης Επικ. Καθηγητής Α.Π.Θ. Τσόκας Γρηγόριος Καθηγητής Α.Π.Θ. Παπαζάχος Κωνσταντίνος Αναπ. Καθηγητής Α.Π.Θ. Βαργεμέζης Γεώργιος - Επικ. Καθηγητής Α.Π.Θ. Βουδούρης Κωνσταντίνος Επικ. Καθηγητής Α.Π.Θ. Αλεξόπουλος Γιάννης Λέκτορας ΕΚΠΑ Ραπτάκης Δημήτρης Επικ. Καθηγητής Τμ. Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. «Η έγκριση της παρούσας Διδακτορικής Διατριβής από το Τμήμα Γεωλογίας του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωμών του συγγραφέως» (Ν. 5343/1932, άρθρο 202, παρ. 2).

4 iv Καραούλης Μάριος Α.Π.Θ. ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΩΝ ΓΕΩΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ISBN

5 v Ποτέ μην ψάχνεις για ένα πιθανό λάθος εάν δεν είσαι σίγουρος ότι μπορείς να το διορθώσεις. STEINBACH Η παρούσα διδακτορική διατριβή χρηματοδοτήθηκε από τη Γενική Γραμματεία Έρευνας Και Τεχνολογίας για το πρόγραμμα: Τεχνολογία ηλεκτρικής τομογραφίας για την καταγραφή περιβαλλοντικών προβλημάτων σε γεωτρησεις (ΚΩΔ 82126) και από το Ευρωπαϊκό ερευνητικό πρόγραμμα: Αειφόρος διαχείριση υδατικών πόρων με αυτοματοποιημένη παρακολούθηση σε πραγματικό χρόνο (ΚΩΔ: GOCE CT ).

6 vi

7 vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή... 1 Σκοπιμότητα... 3 Μέθοδος που ακολουθήθηκε στη διατριβή. 4 Δομή της διατριβής... 5 Κεφάλαιο 2 Μετρήσεις μοντελοποίηση και αντιστροφή γεωηλεκτρικών Ηλεκτρικές διασκοπήσεις Βασικές σχέσεις Ροή ρεύματος Περίπτωση δύο ηλεκτροδίων Φαινόμενη ηλεκτρική αντίσταση Διατάξεις ηλεκτροδίων Μέθοδοι έρευνας Εξοπλισμός Σφάλματα μετρήσεων ειδικής αντίστασης Επίλυση ευθέος προβλήματος Σχηματισμός των εξισώσεων πεδίου Διακριτοποίηση Κριτήριο βελτιστοποίησης Δοκιμαστική λύση τριγωνικών στοιχείων Αριθμητικοί υπολογισμοί Συνολικό σύστημα Οριακές συνθήκες Εξαγωγή δυναμικού Υπολογισμός ιακωβιανού πίνακα Επίλυση αντιστρόφου προβλήματος Γενικά Υπολογισμός πολλαπλασιαστή Lagrange Κριτήρια τερματισμού της επαναληπτικής διαδικασίας Κατασκευή αλγορίθμου Κεφάλαιο 3 Αντιστροφή διαχρονικών γεωηλεκτρικών δεδομένων Εισαγωγή Παράδειγμα διαμόρφωσης μοντέλων διαχρονικών αλλαγών Διαφορές ανεξάρτητων αντιστροφών Αντιστροφή διαφορών Σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή (4D) Υλοποίηση σε λογισμικό Δοκιμές με συνθετικά παραδείγματα Παρουσίαση αποτελεσμάτων Μοντέλο Α Μοντέλο Β Μοντέλο Γ Συμπεράσματα. 83 Κεφάλαιο 4 Ενεργά χρονομεταβλητή εξομαλυμένη αντιστροφή Εισαγωγή Ενεργή χρονομεταβλητή αντιστροφή Προεκτίμηση χωροχρονικών αλλαγών Εφαρμογή του πίνακα διορθώσεων σε συνθετικά μοντέλα Ανάθεση τιμών πολλαπλασιαστή χωρικού Lagrange Προγραμματισμός αλγορίθμου

8 viii 4.4 Δοκιμές μες συνθετικά παραδείγματα Παρουσίαση των αποτελεσμάτων Μοντέλο Α Μοντέλο Β Μοντέλο Γ Μοντέλο Δ Μοντέλο Ε Μοντέλο Ζ Συμπεράσματα 140 Κεφάλαιο 5 Δοκιμές πεδίου Εισαγωγή Δοκιμές στην περιοχή της Σίνδου Εγκατάσταση ERT Μετρήσεις γεώτρησης γεώτρησης Διαχρονικά δεδομένα Πείραμα Α έλεγχος λειτουργίας αλγορίθμου Πείραμα Α διαχρονικά δεδομένα Αξιολόγηση σφάλματος αριθμού επαναλήψεων Ρύθμιση του πολλαπλασιαστή χρονικής μεταβολής με την αλλαγή από φάση σε φάση Υπόλοιποι λόγοι Συμπεράσματα Πείραμα Β Εικόνες αντιστροφής και λόγοι Πείραμα στην Ισπανία Εισαγωγή Εικόνες σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής Εικόνες ενεργής χρονομεταβλητής αντιστροφής Συμπεράσματα. 180 Κεφάλαιο 6 Γενικά συμπεράσματα Προτεινόμενος τρόπος επεξεργασίας διαχρονικών δεδομένων Μελλοντικές επεκτάσεις Κεφάλαιο 7 Κώδικας ενεργής χρονομεταβλητής αντιστροφής σε matlab Γενικά Σχηματισμός αρχικών πινάκων Υπολογισμός πίνακα Μ Υπολογισμός πίνακα διαφορών Εύρεση περιοχών μεγάλων αλλαγών Λύση συστήματος Διόρθωση μοντέλου ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Εγχειρίδιο χρήσης Βιβλιογραφία 211

9 ix ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κύριο επιβλέποντα της διατριβής κ. Παν. Τσούρλο, Επίκουρο Καθηγητή του Τομέα Γεωφυσικής του Α.Π.Θ., για την ανάθεση του θέματος, την καθοδήγησή του σε επιστημονικά θέματα, την παραχώρηση ολόκληρου του πηγαίου κώδικα του αλγορίθμου του και για τις ουσιαστικές παρατηρήσεις και συμβουλές του, καθώς επίσης και για την οικονομική υποστήριξη που μου παρείχε. Ευχαριστίες οφείλω και στον Dr Jung-Ho Kim, καθηγητή του Korea Institute of Geoscience and Mineral Resources για την ουσιαστική βοήθεια που παρείχε, ώστε να κατανοήσω τις τεχνικές διαχρονικής αντιστροφής. Μέρος της ιδέας αυτής της διατριβής οφείλεται σε αυτόν. Επίσης, ευχαριστώ θερμά τον κ. Γρηγ. Τσόκα, Καθηγητή του Τομέα Γεωφυσικής του Α.Π.Θ., για την καθοδήγηση και για τις ουσιαστικές παρατηρήσεις και υποδείξεις του, καθώς και για την οικονομική υποστήριξη που μου παρείχε. Επιπλέον ευχαριστώ θερμά τον κ. Κ. Παπαζάχο, Αναπληρωτή Καθηγητή του Τομέα Γεωφυσικής, για τις ουσιαστικές υποδείξεις και προτάσεις του σε επιστημονικά θέματα. Χωρίς την βοήθεια του η εργασία αυτή δεν θα μπορούσε να ολοκληρωθεί. Ιδιαίτερες ευχαριστίες οφείλω στον Γ. Βαργεμέζη, Επ. Καθηγητή του τομέα Γεωφυσικής του Α.Π.Θ. για τις συμβουλές του και την οικονομική υποστήριξη που μου παρείχε. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω όλα τα μέλη του Τομέα Γεωφυσικής καθώς και στους μεταπτυχιακούς-υποψήφιους διδάκτορες για τη βοήθεια που προσέφεραν, ο καθένας με το δικό του τρόπο.

10 x Τέλος (αλλά όχι τελευταία!) ιδιαίτερες ευχαριστίες οφείλω στη Μαρία Κολονιώτη για την υποστήριξη που μου παρείχε όλα αυτά τα χρόνια και την υπομονή που έδειξε, καθώς και για την συμβολή της στη διόρθωση του τελικού κειμένου.

11 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι γεωφυσικές μέθοδοι διασκόπησης χρησιμοποιούνται εκτενώς στην επίλυση προβλημάτων που περιλαμβάνουν τη διερεύνηση υπεδάφιων δομών και σχετίζονται με τη γεωλογία, τη υδρογεωλογία, την τεχνική γεωλογία, την κοιτασματολογία, τη φυσική γεωγραφία, το περιβάλλον και την αρχαιολογία. Μεταξύ των υφιστάμενων τεχνικών η γεωηλεκτρική μέθοδος (ή αλλιώς μέθοδος της ειδικής ηλεκτρικής αντίστασης) θεωρείται ευρέως προτιμητέα για την μελέτη του υπεδάφους. Εξέλιξη της γεωηλεκτρικής μεθόδου αποτελεί η ηλεκτρική τομογραφία, τεχνική στην οποία επικεντρώνεται η παρούσα διδακτορική διατριβή. Όπως σε κάθε γεωφυσική μέθοδο διασκόπησης, οι μετρήσεις που λαμβάνονται με την εφαρμογή της ηλεκτρικής τομογραφίας δε δίνουν μια άμεση γεωλογική εικόνα του υπεδάφους, αλλά μια έμμεση απεικόνιση των γεωφυσικών ιδιοτήτων του που μπορεί, σε περιπτώσεις πολύπλοκης δομής, να απέχει από την πραγματική. Όμως, η ανάπτυξη σύγχρονων οργάνων μέτρησης που επιτρέπουν την αυτοματοποιημένη και ταχεία λήψη μετρήσεων, καθώς και η ανάπτυξη αλγορίθμων που επιτρέπουν τη ρεαλιστική απεικόνιση των γεωηλεκτρικών ιδιοτήτων του υπεδάφους, αναβάθμισαν

12 2 την ηλεκτρική τομογραφία και την κατέστησαν την πλέον σημαντική νέα μέθοδο στην εφαρμοσμένη γεωφυσική. Μια τεχνική που κερδίζει συνεχώς το ενδιαφέρον στην παρακολούθηση μιας περιοχής ενδιαφέροντος είναι η γεωφυσική διαχρονική παρατήρηση. Αυτή η τεχνική έχει σαν στόχο τη διαρκή παρακολούθηση μιας περιοχής με τη λήψη μετρήσεων ανά τακτά χρονικά διαστήματα, ώστε να είναι δυνατή η απεικόνιση δυναμικών αλλαγών στη διάρκεια του χρόνου και την ερμηνεία αυτών. Μάλιστα μια από τις πιο συχνές γεωφυσικές μεθόδους παρακολούθησης είναι η μέθοδος της ηλεκτρικής αντίστασης. Στη μέθοδο της ηλεκτρικής αντίστασης γίνεται συλλογή δεδομένων στην υπό εξέταση περιοχή για όσο διάστημα διαρκεί η παρακολούθηση. Η συλλογή των δεδομένων γίνεται όπως και σε μια τυπική μέτρηση της ηλεκτρικής αντίστασης, με τη διαφορά ότι η λήψη των δεδομένων επαναλαμβάνεται σε τακτά χρονικά διαστήματα. Οι τεχνικές που εφαρμόζονται στην επεξεργασία των διαχρονικών δεδομένων αποτελούν τροποποιημένη εξέλιξη των τυπικών μεθόδων ερμηνείας (αντιστροφή) των γεωηλεκτρικών δεδομένων. Η μεγάλη διαφορά εντοπίζεται στο ότι με τις τεχνικές των διαχρονικών μεταβολών αναζητείται επιπρόσθετα να βρεθεί η αλλαγή των γεωηλεκτρικών ιδιοτήτων μεταξύ των χρονικών φάσεων. Οι αιτίες των δυναμικών αλλαγών μπορεί να είναι είτε φυσικές είτε ανθρωπογενείς. Αν ληφθούν μετρήσεις σε μια περιοχή στις τέσσερις εποχές ενός χρόνου είναι αναμενόμενο να υπάρχουν διαφορές στην ειδική αντίσταση (το φυσικό μέγεθος που μετράει η μέθοδος της ηλεκτρικής αντίστασης), λόγω διαφορών στην υγρασία του υπεδάφους. Τέτοιες αλλαγές είναι μακράς περιόδου και συνήθως δεν αποτελούν αντικείμενο μελέτης. Συχνότερα απαντάται η παρακολούθηση μιας περιοχής για τον εντοπισμό αλλαγών που οφείλονται σε ανθρωπογενείς παράγοντες. Κάποια συνήθη σενάρια θα μπορούσαν να αποτελέσουν και τα ακόλουθα: Περιοχή όπου γίνεται άντληση νερού, πετρελαίου ή κάποιου άλλου υγρούαερίου από κάποιο γεωλογικό στρώμα και ζητείτε η απεικόνιση των αποθεμάτων του υδροφορέα

13 3 Εισπίεση νερού σε γεώτρηση για αποταμίευση νερού και παρακολούθηση των αποθεμάτων. Πιθανές διαρροές τόσο γύρω από κάποια τεχνική κατασκευή, πχ αγωγό, όσο και από κάποιο ρήγμα στο υπόβαθρο και άλλες εφαρμογές πολιτικών μηχανικών (θεμελιώσεις, τοίχοι αντιστήριξης κτλ) σε γεωτεχνικά έργα. Μόλυνση από εισροή κάποιου ταμιευτήρα. Το εύρος εφαρμογών μιας διαχρονικής παρακολούθησης είναι πολύ μεγάλο και εφαρμόζεται τόσο με την μέθοδο της ηλεκτρικής αντίστασης, όσο και με μεθόδους σεισμικής διάθλασης ανάκλασης, ανάμεσα σε γεωτρήσεις κτλ. ΣΚΟΠΙΜΟΤΗΤΑ Η διαχρονική αντιστροφή έχει καταστεί πλέον αναγκαιότητα με ένα μεγάλο εύρος εφαρμογών. Αναφέρονται στη βιβλιογραφία πολλές εφαρμογές που σχετίζονται με: Ροή υπόγειου νερού, Μεταφορά ρύπων, Εύρεση υδρογεωλογικών παραμέτρων, Μελέτη διαρροής σε φράγματα κ.α. (LaBrecque, 1989, Berryman and Kohn, 1990, Ebraheem et al., 1990, Daily et al., 1992, Ramirez et al., 1993, Daily et al., 1995; 1995; Lumley; Dahlin, 1996, Park, 1998Lane et al., 2006; MacBeth et al., 2006;,Miller at al, 2008). Νέα όργανα που παρουσιάστηκαν έχουν επιταχύνει τη διαδικασία λήψης μετρήσεων και με χρήση μόνιμων ηλεκτροδίων είναι δυνατή η παρακολούθηση μιας περιοχής ενδιαφέροντος σε πραγματικό χρόνο.

14 4 Η αποτελεσματικότητα της μεθοδολογίας διαχρονικής καταγραφής με τη μέθοδο της ηλεκτρικής τομογραφίας εξαρτάται κυρίως από την ποιότητα της επεξεργασίας των παραγόμενων δεδομένων. Η συμβατική προσέγγιση της χρονικά ανεξάρτητης επεξεργασίας των δεδομένων που προέρχονται από διαφορετικά χρονικά παράθυρα και η απλή αφαίρεσή τους, ώστε να καταγραφούν οι αλλαγές, έχει σημαντικά προβλήματα θορύβου. Εναλλακτικά έχουν προταθεί τεχνικές που βασίζονται στην επεξεργασία των διαφορών των διαχρονικών δεδομένων. Επίσης έχουν προταθεί, πρόσφατα, αλγόριθμοι που αναφέρονται είτε στη συνολική αντιστροφή όλων των διαχρονικών δεδομένων είτε στην αντιστροφή τους με την εισαγωγή του χρόνου ως μεταβλητή. Με δεδομένη τη χρησιμότητα της διαχρονικής παρακολούθησης με τη μέθοδο της ηλεκτρικής τομογραφίας και την ιδιαίτερη σημασία του λογισμικού επεξεργασίας στην παραπάνω διαδικασία είναι απαραίτητη μια συστηματική συγκριτική μελέτη όλων των υπαρχόντων αλγορίθμων επεξεργασίας διαχρονικών τομογραφικών δεδομένων, αλλά και η ανάπτυξη νέων, ώστε να καταλήξουμε σε βέλτιστη στρατηγική επεξεργασίας των δεδομένων ανάλογα με τον τύπο και το γεωλογικό πρόβλημα που καλούνται να παρακολουθήσουν. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΗΘΗΚΕ ΣΤΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Η μεθοδολογία που ακολουθήθηκε για την υλοποίηση των στόχων της παρούσας διατριβής περιλάμβανε τα ακόλουθα βήματα: Ανασκόπηση της υπάρχουσας βιβλιογραφίας. Μελέτη εργασιών σχετικών με την αντιστροφή διαχρονικών δεδομένων. Ιδιαίτερη βαρύτητα δόθηκε στις πιο πρόσφατες εργασίες (όπως Kim et al., 2009; Loke et al., 1999). Αναπαραγωγή και προσαρμογή των υπαρχόντων αλγορίθμων σε μια κοινή πλατφόρμα, σε λογισμικό Matlab, για την επεξεργασία δισδιάστατων

15 5 διαχρονικών ηλεκτρικών δεδομένων. Με τη χρήση της κοινής πλατφόρμας πραγματοποιήθηκε σύγκριση με υπάρχοντες αλγορίθμους (πχ 2DINVS Tsourlos, Res2Dinv Loke, 4DInv Kim) για τον έλεγχο της καλής λειτουργίας του λογισμικού που αναπτύχθηκε στην διατριβή αυτή. Βελτιστοποίηση των τεχνικών αντιστροφής με χρήση μεθόδων ενεργής εξισορρόπησης με περιορισμούς (Yi et al, 2003). Μέσω της σύγκρισης των υπαρχόντων τεχνικών, εύρεση πιθανών αδυναμιών και περιορισμών αυτών. Πρόταση νέου αλγόριθμου αντιστροφής διαχρονικών δεδομένων και σύγκριση με τους υπάρχοντες αλγορίθμους, σε ένα πλήθος συνθετικών δεδομένων. Όλοι οι αλγόριθμοι αναπτύχθηκαν στην κοινή πλατφόρμα που αναπτύχθηκε για άμεση σύγκριση. Επιπλέον, πραγματοποιήθηκε συλλογή πραγματικών δεδομένων από τη μόνιμη πειραματική εγκατάσταση στην περιοχή της Σίνδου στο έργο εισπίεσης νερού της ΕΥΑΘ και δοκιμή και σύγκριση των αλγορίθμων με αυτά για την επαλήθευση του αποτελέμσατος. Δομή της διατριβής Η δομή της διατριβής που ακολουθήθηκε είναι η ακόλουθη Κεφάλαιο 2 : Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι βασικές αρχές της ηλεκτρικής διασκοπήσης και της ηλεκτρικής αντίστασης, καθώς και η βασική θεωρία επίλυσης του ευθέος προβλήματος για τη ροή ηλεκτρικού ρεύματος σε ανομοιογενή έδαφος, με τη βοήθεια των πεπερασμένων στοιχείων, στην οποία και αναλύονται οι βασικές αρχές της μεθόδου και η διαδικασία της μοντελοποίησης. Τέλος εξάγονται οι βασικές σχέσεις της λύσης των διαφορικών εξισώσεων και η μορφοποίησή τους σε πίνακες για την εύκολη χρησιμοποίησή τους σε αλγόριθμους ηλεκτρονικών υπολογιστών. Επιπλέον στο κεφάλαιο αυτό αναπτύσσονται οι βασικές αρχές της θεωρίας της αντιστροφής, καθώς και οι δυσκολίες που πηγάζουν από την επίλυση αυτών. Αναλύονται συνοπτικά οι μέθοδοι επίλυσης των

16 6 αντίστροφων προβλημάτων και τέλος παρουσιάζεται ο αλγόριθμος της μη γραμμικής αντιστροφής. Κεφάλαιο 3 : Στο κεφάλαιο αυτό αναλύονται οι τρεις υπάρχουσες τεχνικές αντιστροφής διαχρονικών δεδομένων, δηλαδή η απευθείας σύγκριση δεδομένων που προκύπτουν από κάθε φάση ξεχωριστά, η τεχνική της αντιστροφής διαφορών από τους (Labreque & Yang, 2001) και η τεχνική του 4D Inversion (Kim et al 2009). Οι τεχνικές αυτές δοκιμάστηκαν με ένα πλήθος συνθετικών μοντέλων για την αξιολόγηση και σύγκριση αυτών. Επίσης, στο κεφάλαιο αυτό γίνεται μια συνοπτική παρουσίαση του λογισμικού που κατασκευάστηκε στα πλαίσια της διατριβής αυτής. Κεφάλαιο 4 : Στο κεφάλαιο αυτό προτείνεται μία νέα τεχνική αντιστροφής, η χρονικά μεταβαλλόμενη αντιστροφή (4D-ATC). Η νέα αυτή τεχνική δοκιμάστηκε και συγκρίθηκε με τις υπάρχουσες τεχνικές προκειμένου να ελεγχθεί η απόδοσή της. Κεφάλαιο 5 : Στο κεφάλαιο αυτό προκειμένου να ελεγχθούν και να αξιολογηθούν οι αλγόριθμοι αντιστροφής που εξετάσθηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια, γίνεται εφαρμογή των τεχνικών αυτών σε δεδομένα πεδίου. Κεφάλαιο 6: Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφονται επιγραμματικά τα συμπεράσματα της διατριβής αυτής. Κεφάλαιο 7 : Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται τμήμα του κώδικα που αφορά τη χωρικά μεταβαλλόμενη αντιστροφή. Ο κώδικας μπορεί να εφαρμοστεί αυτούσιος σε κάθε είδους γεωφυσικό πρόβλημα πέρα από το γεωηλεκτρικό, όπως π.χ. σεισμικής διάθλασης. Παράτημα: Στο παράρτημα παρουσιάζεται το εγχειρίδιο χρήσης για το λογισμικό που αναπτύχθηκε στην διατριβή αυτή.

17 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετρήσεις - μοντελοποίηση και αντιστροφή γεωηλεκτρικών μετρήσεων Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται το βασικό θεωρητικό υπόβαθρο των ηλεκτρικών μεθόδων γεωφυσικής διασκόπησης και ειδικότερα της μεθόδου της ειδικής ηλεκτρικής αντίστασης. Παρατίθενται οι γενικές αρχές της θεωρίας των ηλεκτρικών διασκοπήσεων και οι παράγοντες που επηρεάζουν την ειδική ηλεκτρική αντίσταση και αναφέρονται συνοπτικά οι εφαρμογές των ηλεκτρικών διασκοπήσεων στον εντοπισμό υπεδάφιων δομών. Ακολούθως γίνεται περιγραφή των μεθόδων μέτρησης της φαινόμενης αντίστασης και αναφέρονται τα πιθανά σφάλματα που μπορεί να εντοπιστούν στις μετρήσεις της φαινόμενης αντίστασης. Παρουσιάζονται οι συνηθέστερα χρησιμοποιούμενες διατάξεις ηλεκτροδίων και εξετάζεται το βάθος διασκόπησης των ηλεκτρικών μεθόδων καθώς και οι μέθοδοι υπολογισμού του. Επίσης, περιγράφεται ο εξοπλισμός που είναι απαραίτητος για

18 8 την υλοποίηση μιας γεωφυσικής διασκόπησης. Τέλος, ακολουθεί μια συνοπτική παρουσίαση της θεωρίας που χρησιμοποιείται για την επεξεργασία των μετρήσεων και περιγράφονται οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την επίλυση του ευθέος και αντίστροφου γεωηλεκτρικού προβλήματος καθορισμού της κατανομής της αντίστασης του υπεδάφους Ηλεκτρικές διασκοπήσεις Η μέθοδος της ηλεκτρικής αντίστασης αποσκοπεί στην εύρεση της κατανομής της γεωηλεκτρικής αντίστασης στο έδαφος. Αυτό πραγματοποιείται με μετρήσεις διαφορών δυναμικού στην επιφάνεια μέσω εισαγωγής συνεχούς ηλεκτρικού ρεύματος στη γη. Η διαδικασία διενεργείται με τη βοήθεια 2 ηλεκτροδίων τοποθετημένων μέσα στο έδαφος και τη μέτρηση της διαφοράς δυναμικού σε άλλα 2 ηλεκτρόδια (σχήμα 2.1). Σχήμα 2.1 : Η βασική διάταξη γεωηλεκτρικών μετρήσεων Η μετρούμενη αυτή διαφορά του δυναμικού αντανακλά τη δυσκολία ροής ηλεκτρικού ρεύματος στο υπέδαφος, και χαρακτηρίζεται με το φυσικό μέγεθος της ειδικής ηλεκτρικής αντίστασης ρ. Έτσι η ειδική ηλεκτρική αντίσταση μιας κυλινδρικής περιοχής μήκους L επιφάνειας διατομής Α και ηλεκτρικής αντίστασης R, δίνεται από τη σχέση

19 9 ρ= RA L R 2.1 A L Σχήμα 2.2: Ειδική ηλεκτρική αντίσταση ενός κυλίνδρου μήκους L, διατομής S και ηλεκτρικής αντίστασης R Όπου R σε ohm, L σε μέτρα και Α σε τετραγωνικά μέτρα. Η μονάδα μέτρησης της ηλεκτρικής αντίστασης είναι το ohm.m. Ένας ισοδύναμος όρος, που περιγράφει τη συμπεριφορά του υπεδάφους στη διέλευση του ρεύματος, είναι η ειδική ηλεκτρική αγωγιμότητα σ, η οποία αποτελεί το αντίστροφο της ειδικής ηλεκτρικής αντίστασης (σ=1/ρ) και αντικατοπτρίζει την ευκολία με την οποία το ηλεκτρικό ρεύμα διαρρέεται στο υπέδαφος. Η μονάδα μέτρησης της ειδικής ηλεκτρικής αγωγιμότητας είναι το Siemens ανά μέτρο (S/m). Στην παρούσα διατριβή, για λόγους συντομίας, οι όροι ειδική ηλεκτρική αντίσταση και ειδική ηλεκτρική αγωγιμότητα, όπου αυτό δεν ορίζεται διαφορετικά, θα αναφέρονται ως αντίσταση και αγωγιμότητα, αντίστοιχα. Πρέπει να τονιστεί ότι δεν υφίσταται μονοσήμαντος συσχετισμός λιθολογίας και ηλεκτρικής αντίστασης. Το εύρος τιμών αντίστασης που μπορεί να λάβει ένας σχηματισμός είναι πολύ μεγάλος, όπως προκύπτει και από τον πίνακα 2.1, και εξαρτάται από τους εξής παράγοντες (Mc Neil, 1980 και Tagg, 1964) α) Την κατανομή του υπογείου νερού, που εξαρτάται τόσο από το πέτρωμα όσο και από την εποχή των μετρήσεων β) Τη χημική περιεκτικότητα του νερού σε άλατα γ) Το ενεργό πορώδες του πετρώματος, καθώς και από την ύπαρξη πιθανών σχηματισμών

20 10 δ) Τη θερμοκρασία και την πίεση Τύπος Πετρώματος Εύρος αντιστάσεων (Ohm.m) Πυριγενές Ασβεστόλιθος Ψαμμίτης Έδαφος Μεταλλικά ορυκτά Πίνακας 2.1: Τυπικές τιμές για το εύρος αντιστάσεων πετρωμάτων από Aitken 1974 Αποτέλεσμα των ανωτέρω είναι η δυσκολία της εξαγωγής ερμηνευτικού συμπεράσματος, το οποίο θα πρέπει να λαμβάνει πάντοτε υπόψη τη γεωλογία της περιοχής. Η μέθοδος της ειδικής ηλεκτρικής αντίστασης έχει χρησιμοποιηθεί με επιτυχία κυρίως στη χαρτογράφηση γεωλογικών στρωμάτων (Vandenberghe, 1982; Olesen et al., 1992; Griffiths and Barker, 1993; Calgar and Duvarci, 2001; Atzemoglou et al., 2003), στον εντοπισμό υδροφόρων στρωμάτων (Flathe, 1955; Van Dam, 1976; Rijo et al., 1977; Aubert et al., 1984; Olayinka and Barker, 1990; Dahlin and Owen, 1995), στην εύρεση του βάθους του μητρικού πετρώματος σε τοποθεσίες κατασκευής έργων υποδομής (Habberjam, 1975; Smith, 1986; Butler and Llopis, 1990; Dahlin et al., 1994), στην ανίχνευση γεωθερμικών πεδίων (Wright et al., 1985; Thanassoulas and Tsokas, 1987), στον εντοπισμό μολυσμένων υπόγειων υδάτων (Rodgers and Kean, 1980) και διαρροών αποβλήτων (Van et al., 1992), στην εύρεση στόχων αρχαιολογικού ενδιαφέροντος (Aitken, 1974; Hesse et al., 1986; Roka and Tsokas, 1987; Orlando et al., 1987; Szymanski and Dittmer, 1992; Papadopoulos et al., 2006) καθώς και σε ποικίλες άλλες εφαρμογές, όπως υδρογεωλογικά προβλήματα, καθιζήσεις (Athanasiou et al.; 2007; Jones and Cassidy, 2007) Βασικές σχέσεις Οι βασικές σχέσεις που διέπουν τη ροή του ρεύματος στη γη είναι οι ακόλουθες

21 11 Νόμος Ohm J=σ E 2.2 όπου J είναι η πυκνότητα του ρεύματος, σ είναι η αγωγιμότητα (1/ρ) Ε είναι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου είναι η βαθμίδα του δυναμικού V Ε = V 2.3 Η απόκλιση της πυκνότητας ρεύματος J είναι μηδέν, όταν δεν υπάρχουν πηγές στο χώρο, πράγμα που ισχύει γενικά για τη γη J=0 2.4 Από τις σχέσεις 2.2 και 2,3 προκύπτει ότι J= σ V 2.5 Από τις σχέσεις 2.4 και 2.5 προκύπτει ότι σ V =0 2.6 σ V σ 2 V =0 2.7 Η οποία μπορεί να ξαναγραφεί1 Η σχέση 2.7 είναι η εξίσωση Poisson, που δείχνει την ροή ηλεκτρικού ρεύματος σε ανομοιογενή γη. Σε περίπτωση ομογενούς γης, το πρώτο μέρος της σχέσης 2.7 είναι μηδενικό καθώς σ=0, οπότε 2 V =0 2.8 όπου η σχέση 2.8 είναι η εξίσωση Laplace και ισχύει μόνο για ομογενή γη. Η ίδια εξίσωση εκφρασμένη σε σφαιρικές συντεταγμένες έχει ως εξής: 2 V r 2 V 1 sin θ V 1 =0 r r θ r 2 sin 2 θ φ2 r 2 sin θ θ 1 Από την διανυσματική ανάλυση είναι γνωστό ότι για κάθε μονόμετρο πεδίο z και κάθε διανυσματικό πεδίο F, zf =z F z F 2.9

22 12 όπου (r,θ,φ) οι σφαιρικές συντεταγμένες (σχήμα 2.3) Σχήμα 2.3: Το σύστημα σφαιρικών συντεταγμένων (r,θ,φ) Ροή ρεύματος σε ομογενή γη λόγω ηλεκτροδίων στην επιφάνεια Στην περίπτωση που η σημειακή πηγή ρεύματος βρίσκεται στην επιφάνεια ομογενούς γης αγωγιμότητας σ (σχήμα 2.4), η εξίσωση του Laplace με σφαιρικές συντεταγμένες μπορεί να χρησιμοποιηθεί, για να βρεθεί το δυναμικό σε κάθε σημείο Ρ, σε σχέση με την απόσταση r αυτού από την πηγή. Λόγω συμμετρικότητας της ροής ρεύματος οι παράγωγοι ως προς θ και φ μπορούν να εξαλειφθούν από την σχέση 2.9, οπότε αυτή απλοποιείται σε Σχήμα 2.4: Ισοδυναμικές επιφάνειες και ροή ηλεκτρικού ρεύματος λόγω σημειακής πηγής r 2 V =0 r r Ολοκληρώνοντας την σχέση αυτή 2.10

23 13 r 2 V C = r r 2 V =C ή r 2.11 Με επιπλέον ολοκλήρωση η σχέση αυτή μορφοποιείται ως εξής V = και όταν V c C dr = 2 dr = D r r r 2.12 r, τότε V 0, οπότε D γίνεται μηδέν. Η ροή του ρεύματος λόγω της ομοιογένειας λειτουργεί σαν ημισφαιρική επιφάνεια. Η συνολική πυκνότητα του ρεύματος J, λόγω της έντασης Ι από τη σφαιρική επιφάνεια S, ακτίνας r δίνεται από τη σχέσηj=i/s, δηλαδή : J=σE= I V Ε= 2 καθώς r r V Ι = r 2πσr Από τις σχέσεις 2.11 και 2.13 η τιμή C μπορεί να ανευρεθεί C= I 2 πσ 2.14 και αντικαθιστώντας την τιμή αυτή στην σχέση 2.12 καθώς και την αγωγιμότητα σ με την αντίσταση (σ=1/ρ) προκύπτει ότι το δυναμικό σε κάθε σημείο ομογενούς γης δίνεται από τη σχέση V= Iρ 2π r 2.15α Όταν η σημειακή πηγή δε βρίσκεται στην επιφάνεια αλλά μέσα στο ομογενές έδαφος, τότε η σχέση (2.15α) μετατρέπεται στην: V= Iρ 4 πr 2.15β Περίπτωση δύο ηλεκτροδίων Σε περίπτωση δύο ηλεκτροδίων (σχήμα 2.5) όπου το Α ηλεκτρόδιο στέλνει ρεύμα

24 14 (θετικός πόλος) και το ηλεκτρόδιο Β λαμβάνει ρεύμα (αρνητικός πόλος) (δηλαδή ένα κύκλωμα ρεύματος), το δυναμικό που μετράται σε ένα σημείο Ρ που απέχει αποστάσεις r A και rb από τα ηλεκτρόδια Α και Β αντίστοιχα προκύπτει από το αλγεβρικό άθροισμα των επιμέρους δυναμικών, καθώς το δυναμικό είναι μονόμετρο μέγεθος και ισχύει η αρχή της επαλληλίας V P =V PA V PB = Iρ I ρ Iρ 1 1 η αλλιώς V P = 2 π ra 2 π rb 2 π ra rb A 2.16 B ra rb P Δυναμικό Σχήμα 2.5: Ισοδυναμικές επιφάνειες και ροή ηλεκτρικού ρεύματος λόγω δύο σημειακών πηγών και υπολογισμός δυναμικού σε σημείο Ρ. Για να είναι δυνατή η ροή του ηλεκτρικού ρεύματος μέσα στη γη χρησιμοποιούνται ένας θετικός (ηλεκτρόδιο ρεύματος Α) και ένας αρνητικός ηλεκτρικός πόλος (ηλεκτρόδιο ρεύματος Β). Τα δύο ηλεκτρόδια ρεύματος Α και Β μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για τη μέτρηση και του δυναμικού. Εξαιτίας όμως των υψηλών αντιστάσεων επαφής που παρατηρούνται μεταξύ των ηλεκτροδίων ρεύματος και του εδάφους, η διαφορά δυναμικού μετριέται σε δύο άλλα διαφορετικά ηλεκτρόδια. Από το σχήμα 2.5 μπορεί να εκτιμηθεί το βάθος διείσδυσης του ρεύματος σε ομογενή γη σε σχέση με την απόσταση των ηλεκτροδίων, ενώ απεικονίζονται και οι ισοδυναμικές επιφάνειες.

25 15 Στη πράξη λοιπόν απαιτούνται τέσσερα ηλεκτρόδια, για να γίνει μέτρηση της αντίστασης ενός ημιχώρου. Τα δύο εξ αυτών χρησιμεύουν για την εισαγωγή και κυκλοφορία του ρεύματος (ηλεκτρόδια Α και Β), ενώ με τη βοήθεια των άλλων μετράται η διαφορά δυναμικού στα αντίστοιχα σημεία (ηλεκτρόδια Μ και Ν). Έστω ότι ΑΜ είναι η απόσταση του ηλεκτροδίου Μ από το ηλεκτρόδιο Α, ΒΜ από το ηλεκτρόδιο Β και ΑΝ και ΒΝ οι αντίστοιχες αποστάσεις του ηλεκτροδίου Ν από τα ηλεκτρόδια του ρεύματος (Σχήμα 2.6). Στην περίπτωση αυτή, σύμφωνα με τη σχέση (2.16), η διαφορά δυναμικού μεταξύ των ηλεκτροδίων Μ και Ν για έναν ομογενή ημιχώρο με αντίσταση ρ και για μια διάταξη τεσσάρων ηλεκτροδίων, έχει ως ακολούθως: ΑΕΡΑΣ ΓΗ Σχήμα 2.6: Τυπική διάταξη τεσσάρων ηλεκτροδίων για την μέτρηση της διαφοράς δυναμικού ΔV =V M V N = Iρ Iρ = G 2 π ΑM ΒM ΑN ΒN 2 π 2.17α Στην γενικότερη περίπτωση που όλα ή κάποια από τα ηλεκτρόδια ρεύματος βρίσκονται μέσα στο έδαφος (π.χ. εγκατεστημένα μέσα σε γεωτρήσεις) ο γεωμετρικός παράγοντας της σχέσης (2.17α) θα πρέπει να λάβει υπόψη του και τις θέσεις των ειδώλων Α και Β των ηλεκτροδίων ρεύματος Α και Β αντίστοιχα, ως προς την επιφάνεια του εδάφους: ΔV = Iρ π ΑM Α' M ΒM Β' M ΑN Α ' N ΒN Β ' N Επιλύοντας την 2.17α ως προς ρ 2.17β

26 16 ρ=2π ΔV 1 R =2π I G G 2.18 όπου ΔV η πτώση τάσης Ι η ένταση του εισαγόμενου ρεύματος R η μετρούμενη αντίσταση (R=ΔV/I) ρ η αντίσταση ΑΜ, ΒΜ, ΑΝ, ΒΝ η αποστάσεις μεταξύ των ηλεκτροδίων G ο γεωμετρικός παράγοντας που σχετίζεται την διάταξη των ηλεκτροδίων ΦΑΙΝΟΜΕΝΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ Όταν η γη είναι ανομοιογενής, το οποίο κατά κανόνα ισχύει σε πραγματικές συνθήκες, τότε για να περιγραφεί αυτή η ανομοιογένεια, μέσω της εξίσωσης (2.18) εισάγεται μια φυσική ποσότητα που λέγεται φαινόμενη αντίσταση ρα. Η φαινόμενη αντίσταση δεν είναι η πραγματική αντίσταση του υπεδάφους, αλλά μια φαινόμενη τιμή ισοδύναμη με την πραγματική αντίσταση, την οποία θα είχε το υπέδαφος, εάν ήταν γεωηλεκτρικά ομογενές. Η τιμή της φαινόμενης αντίστασης ταυτίζεται με την πραγματική αντίσταση, στην περίπτωση της ομογενούς γης. Στην πράξη η φαινόμενη αντίσταση ρα αποτελεί ένα σταθμισμένο μέσο όρο των ηλεκτρικών αντιστάσεων του ανομοιογενούς υπεδάφους. Επομένως, δεν αποτυπώνει την πραγματική αλλά μια παραμορφωμένη εικόνα της γεωηλεκτρικής δομής του υπεδάφους. Εκ του λόγου αυτού, η απευθείας χρήση των μετρήσεων φαινόμενης αντίστασης για την εξαγωγή συμπερασμάτων και ερμηνείας είναι παρακινδυνευμένη. Η πραγματική αντίσταση μπορεί να ανευρεθεί μόνο μετά από κατάλληλη επεξεργασία. Ο καθορισμός της πραγματικής αντίστασης από τις τιμές της φαινόμενης αντίστασης είναι η λύση του αντίστροφου προβλήματος, για το οποίο γίνεται λόγος παρακάτω.

27 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΔΙΩΝ Υπάρχουν διάφοροι τρόποι κατά τους οποίους διατάσσονται τα ηλεκτρόδια του ρεύματος και του δυναμικού. Εν συνεχεία παρουσιάζονται οι ευρύτερα χρησιμοποιούμενες διατάξεις (Σχήμα 2.7), που είναι οι διατάξεις Wenner, Schlumberger, διπόλου-διπόλου, πόλου-διπόλου και πόλου-πόλου. Το κύριο χαρακτηριστικό μιας διάταξης είναι ο γεωμετρικός της παράγοντας, ο οποίος σχετίζεται μονοσήμαντα με τις σχετικές αποστάσεις μεταξύ των ηλεκτροδίων. Η χρήση μίας συγκεκριμένης διάταξης για τη διασκόπηση μιας συγκεκριμένης περιοχής εξαρτάται από τις ιδιαίτερες απαιτήσεις της έρευνας, το είδος των στόχων που αναζητούνται, το μέγιστο βάθος των υποψήφιων δομών, τη μέγιστη επιθυμητή κατακόρυφη και οριζόντια ανάλυση, τη διαφορετική ευαισθησία που επιδεικνύει κάθε διάταξη στα διαφορετικά περιβάλλοντα και το λόγο σήματος προς θόρυβο κάθε διάταξης (Ward, 1990). Σχήμα 2.7: Συνήθεις επιφανειακές διατάξεις γεωηλεκτρικών μετρήσεων

28 18 Όσο αφορά τις μετρήσεις που πραγματοποιούνται μέσα σε γεωτρήσεις δεν υπάρχουν κάποιες σταθερά χρησιμοποιούμενες διατάξεις που θα μπορούσαν να θεωρηθούν διατάξεις αναφοράς. Έχουν, όμως, κατά καιρούς προταθεί διατάξεις με συγκεκριμένη γεωμετρία, οι οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε μετρήσεις γεώτρησης δίνοντας ικανοποιητικά αποτελέσματα (σχήμα 2.8). Οι Zhou και Greenhalgh (2000) μελέτησαν διάφορες διατάξεις δύο, τριών και τεσσάρων ηλεκτροδίων σε συνθετικά μοντέλα (Σχήμα 2.8) και διαπίστωσαν ότι, εκτός από τη διάταξη πόλου-πόλου, κάποιες διατάξεις τριών και τεσσάρων ηλεκτροδίων (ΑΜ-Ν, ΑΜ-Β και ΑΜ-ΒΝ) μπορούν επίσης να εφαρμοσθούν με επιτυχία σε μετρήσεις γεώτρησης. Οι διατάξεις αυτές, συγκρινόμενες με τη διάταξη πόλου-πόλου, έχουν κάποια ξεκάθαρα πλεονεκτήματα, όταν πρόκειται για μετρήσεις πεδίου, με αποτέλεσμα να παράγουν αξιόπιστα γεωηλεκτρικά μοντέλα αντιστροφής ακόμα και όταν τα δεδομένα περιέχουν 20% θόρυβο (Zhou και Greenhalgh, 1997). Σχήμα 2.8: Συνήθεις διατάξεις μετρήσεων μεταξύ δύο γεωτρήσεων (Zhou και Greenhalgh, 2000). Ειδικότερα, η διάταξη διπόλου-διπόλου ΑΜ-ΒΝ έχει κατά τους Zhou et al τα ακόλουθα πλεονεκτήματα: α) είναι απαλλαγμένη από σφάλματα μετρήσεων που οφείλονται σε απομακρυσμένα ηλεκτρόδια (ηλεκτρόδια απείρου), β) η αντιμετάθεση των ηλεκτροδίων ρεύματος με τα ηλεκτρόδια δυναμικού (π.χ. ΑΜ-ΒΝ και ΑΜ-ΝΒ) είναι εφικτή και δίνει σχεδόν τα ίδια αποτελέσματα αντιστροφής, γ) η ευαισθησία των μετρήσεων προσαρμόζεται σε κάθε μεταβολή της απόστασης μεταξύ των ηλεκτροδίων, με αποτέλεσμα να λαμβάνονται αξιόπιστα αποτελέσματα σε κάθε περίπτωση και δ) η λήψη των μετρήσεων

29 19 είναι εύκολη ακόμα και σε αστικές περιοχές. Συνεπώς, όσο αφορά τις ηλεκτρικές τομογραφίες γεώτρησης-γεώτρησης, η διάταξη διπόλου-διπόλου ΑΜ-ΒΝ παρέχει στην πράξη τη μεγαλύτερη ευελιξία (Zhou και Greenhalgh, 2000). Η διάταξη αυτή επιλέχθηκε ως διάταξη αναφοράς στα πλαίσια της παρούσας εργασίας ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΕΥΝΑΣ Οι συνηθέστερα χρησιμοποιούμενες τεχνικές μέτρησης για τη συλλογή των δεδομένων της αντίστασης και την καταγραφή των ηλεκτρικών ιδιοτήτων του υπεδάφους είναι τρεις: η βυθοσκόπηση, η οριζοντιογραφία και η ηλεκτρική τομογραφία. Βυθοσκόπηση. Με τη μέθοδο της βυθοσκόπησης καθορίζεται η κατανομή της ειδικής ηλεκτρικής αντίστασης με το βάθος (Σχήμα 2.9Α), θεωρώντας ότι το υπέδαφος έχει οριζόντια στρωματογραφία (ερμηνεία σε μία διάσταση). Λαμβάνεται μια σειρά μετρήσεων με συνεχώς αυξανόμενες τις αποστάσεις των ηλεκτροδίων ρεύματος, ενώ τα ηλεκτρόδια δυναμικού παραμένουν σταθερά. Με τη συνεχή αύξηση της απόστασης των ηλεκτροδίων ρεύματος αυξάνεται και το βάθος διείσδυσης του ρεύματος, οπότε λαμβάνονται πληροφορίες για την κατακόρυφη κατανομή της ειδικής ηλεκτρικής αντίστασης σε μια στήλη κάτω από το κέντρο της διάταξης. Στην περίπτωση των βυθοσκοπήσεων χρησιμοποιείται σχεδόν αποκλειστικά η διάταξη Schlumberger. Κλασσικό πεδίο εφαρμογής της μεθόδου αυτής αποτελεί η έρευνα για τον εντοπισμό υδροφόρων σχηματισμών σε ιζηματογενείς λεκάνες. Οριζοντιογραφία. Με τη μέθοδο της οριζοντιογραφίας εντοπίζονται πλευρικές μεταβολές της ειδικής ηλεκτρικής αντίστασης (Σχήμα 2.9Β). Αντίθετα με τις βυθοσκοπήσεις, οι αποστάσεις των ηλεκτροδίων παραμένουν σταθερές και λαμβάνεται μια σειρά μετρήσεων με πλευρική μετακίνηση της διάταξης των ηλεκτροδίων με σταθερό βήμα. Έτσι, χαρτογραφούνται οι μεταβολές της αντίστασης σε σταθερό βάθος κατά μήκος μιας γραμμής μέτρησης και εντοπίζονται οι δομές που παρουσιάζουν διαφορετική αντίσταση με το περιβάλλον τους. Χρησιμοποιούνται κυρίως οι διατάξεις Wenner, διπόλου-διπόλου,

30 20 πόλου-διπόλου και πόλου-πόλου. Στη Γεωλογία η οριζοντιογραφία χρησιμοποιείται στον εντοπισμό ρηγμάτων, ενώ αποτελεί κλασσική μέθοδο χαρτογράφησης των αρχαιολογικών χώρων για τον εντοπισμό θαμμένων αρχαιοτήτων. Σχήμα 2.9.: Α) Χαρτογράφηση με τη μέθοδο της ηλεκτρικής βυθοσκόπησης ενός στρώματος πάνω από ημιχώρο. B) Χαρτογράφηση της πλευρικής μεταβολής της φαινόμενης αντίστασης πάνω από μία κατακόρυφη επαφή (Papadopoulos, 2007). Ηλεκτρική τομογραφία. Η μέθοδος της ηλεκτρικής τομογραφίας αποτελεί συνδυασμό των μεθόδων της βυθοσκόπησης και της οριζοντιογραφίας και παρέχει τη δυνατότητα λήψης πληροφοριών τόσο για την πλευρική όσο και για την κατακόρυφη μεταβολή της αντίστασης (δισδιάστατη διασκόπηση). Η ηλεκτρική τομογραφία μπορεί να περιγραφεί ως μία σειρά από συνεχόμενες ηλεκτρικές βυθοσκοπήσεις κατά μήκος της γραμμής έρευνας ή ως μία σειρά οριζοντιογραφιών πάνω από την ίδια περιοχή με διαδοχικά αυξανόμενες αποστάσεις ηλεκτροδίων. Με τον τρόπο αυτό και με κατάλληλη επεξεργασία είναι δυνατό να λυθεί μια δισδιάστατη εικόνα της περιοχής μελέτης. Ένα εκ των κύριων χαρακτηριστικών της ηλεκτρικής τομογραφίας είναι ότι, σε σύγκριση με τις άλλες δύο τεχνικές, λαμβάνεται ένας αρκετά μεγάλος αριθμός μετρήσεων (άρα και χρήσιμης πληροφορίας). Με αυτόν τον τρόπο αυξάνεται η διακριτική ικανότητα

31 21 και η χωρική ανάλυση της γεωηλεκτρικής μεθόδου. Παράλληλα όμως, λόγω του μεγάλου αριθμού τους, οι μετρήσεις είναι δύσκολο να ληφθούν με χειροκίνητη αλλαγή των ηλεκτροδίων, και γι αυτό χρησιμοποιούνται πλέον συστήματα αυτοματοποιημένων πολυπλεκτών. Στο σχήμα (2.10) αποτυπώνεται ο τρόπος διεξαγωγής μιας δισδιάστατης διασκόπησης με τη διάταξη διπόλου-διπόλου για μία διάταξη 8 ηλεκτροδίων, καθώς και η απεικόνιση των δεδομένων σε δύο διαστάσεις. Κάθε τιμή της αντίστασης θεωρείται ότι τοποθετείται στο σημείο τομής δύο ευθειών που έχουν ως αρχή το κέντρο των διπόλων ΑΒ και ΜΝ αντίστοιχα και σχηματίζουν γωνία 450 με το οριζόντιο επίπεδο. Πρόδρομος της ηλεκτρικής τομογραφίας είναι η μέθοδος της ψευδοτομής (Hallof, 1957), όπου τα δεδομένα απεικονίζονται σαν κατακόρυφες τομές του εδάφους με τη μορφή καμπύλων ίσης φαινόμενης αντίστασης. Η μέθοδος αυτή έχει χρησιμοποιηθεί εκτεταμένα στη χαρτογράφηση μεταλλευμάτων (Edwards, 1977) αλλά και σε διάφορες άλλες εφαρμογές (π.χ. υδρογεωλογικές, Griffiths et al. 1990). Στην διαδικασία της ψευδοτομής μπορούν να χρησιμοποιηθούν διάφορες διατάξεις ηλεκτροδίων (διπόλουδιπόλου, Wenner, πόλου-διπόλου). Η ηλεκτρική τομογραφία όμως είναι πιο γενικευμένος όρος που περιλαμβάνει και μετρήσεις με μη συμβατικές διατάξεις, καθώς επίσης και μετρήσεις που λαμβάνονται με ηλεκτρόδια σε γεωτρήσεις (π.χ. Shima 1992).

32 22 Σχήμα 2.10: Τρόπος πραγματοποίησης της ηλεκτρικής τομογραφίας με τη διάταξη διπόλου-διπόλου για διάταξη 8 ηλεκτροδίων και μέγιστη απόσταση μεταξύ των διπόλων ρεύματος και δυναμικού n = 4 (Tsourlos, 1995) ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΣ Ο εξοπλισμός που χρησιμοποιείται στην ηλεκτρική τομογραφία έχει εξελιχθεί πολύ τα τελευταία έτη. Τα πρώτα μηχανήματα αποτελούνταν από ένα απλό βολτόμετρο το οποίο κατέγραφε την διαφορά δυναμικού σε ηλεκτρόδια. Σε δεδομένα τομογραφίας, ο χρήστης συνέδεε το βολτόμετρο για κάθε μέτρηση με ένα διαφορετικό σετ ηλεκτροδίων, ώστε να λάβει όλο το πλήθος των μετρήσεων που απαιτούνταν για μια δύο διαστάσεων ερμηνεία.

33 23 Όλη η διαδικασία ήταν πολύ χρονοβόρα καθώς χρειαζόταν χειροκίνητη αλλαγή τόσο το σετ ηλεκτροδίων ρεύματος, όσο και το σετ ηλεκτροδίων δυναμικού μέχρι να επιτευχθούν οι συνδυασμοί θέσεων στην τομογραφία. Έτσι συνήθως λαμβανόταν μόνο ένας μικρός αριθμός μετρήσεων. Η επόμενη γενιά οργάνων διέθετε ενσωματωμένο πολυπλέκτη που αυτόματα, ανάλογα με το πρωτόκολλο μέτρησης, ρύθμιζε αντίστοιχα τα σετ ηλεκτρόδιων δυναμικού και ρεύματος, διαδικασία που επιτάχυνε το χρόνο λήψης και της έδινε τη δυνατότητα για μεγάλο αριθμό μετρήσεων. Αυτό είχε σαν αποτέλεσμα την πυκνότερη καταγραφή μετρήσεων και συνέπεια αυτού την ακριβέστερη εικόνα των τομογραφιών. Τελευταία εξέλιξη στο χώρο του εξοπλισμού αποτελούν τα πολυκάναλα όργανα, που έχουν δυνατότητα της ταυτόχρονης μέτρησης σε περισσότερα από ένα σετ ηλεκτροδίων δυναμικού με μόνο μία εισαγωγή ρεύματος στα ηλεκτρόδια ρεύματος, αντικείμενο που μείωσε δραματικά το χρόνο συλλογής δεδομένων. Για την εκτέλεση των γεωφυσικών μετρήσεων υπαίθρου χρησιμοποιήθηκε το όργανο SYSCAL Pro της εταιρείας IRIS INSTRUMENTS. Πρόκειται για ένα πλήρως αυτοματοποιημένο όργανο μέτρησης αντίστασης σχεδιασμένο για έρευνα με μεθόδους συνεχούς ρεύματος. Ο αυτοματοποιημένος έλεγχος της αντιστάθμισης του φυσικού δυναμικού, η ψηφιακή υπέρθεση για την ενίσχυση του σήματος και η προβολή του σφάλματος κατά την πραγματοποίηση των μετρήσεων που προσφέρονται από το συγκεκριμένο όργανο εξασφαλίζουν μετρήσεις υψηλής ακρίβειας (Iris Instruments, 2007). Το συγκεκριμένο όργανο διαθέτει μέγιστη ισχύ εξόδου 800V και επιτυγχάνει τη δημιουργία ρεύματος με ένταση που τυπικά φτάνει τα 2.5A. Είναι πολυκάναλο (10 κανάλια) και ως εκ τούτου παρέχει τη δυνατότητα ταυτόχρονης λήψης έως και 10 μετρήσεων πραγματοποιώντας αυτόματα την αλλαγή των ηλεκτροδίων. Επιπλέον χρησιμοποιεί τόσο εσωτερικές όσο και εξωτερικές μπαταρίες και παρουσιάζεται στο (Σχήμα 2.11).

34 24 Σχήμα 2.11: Όργανο μέτρησης γεωηλεκτρικών αντιστάσεων ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ Η ποιότητα των δεδομένων της αντίστασης που συλλέγονται σε μία περιοχή εξαρτάται από την αξιοπιστία του οργάνου μέτρησης της αντίστασης αλλά και από μία σειρά άλλων παραγόντων που προσδίδουν θόρυβο στα δεδομένα (Tsourlos, 1995). Οι κυριότεροι παράγοντες που μπορούν να προκαλέσουν θόρυβο στα δεδομένα της φαινόμενης αντίστασης είναι οι παρακάτω: Σφάλματα λόγω της τοποθέτησης των ηλεκτροδίων: Η εσφαλμένη τοποθέτηση των ηλεκτροδίων επηρεάζει την ακρίβεια των μετρήσεων, καθώς ο λανθασμένος υπολογισμός του γεωμετρικού παράγοντα θα επηρεάσει τις τιμές της φαινόμενης αντίστασης. Σφάλματα στις μετρήσεις του δυναμικού: Τα σφάλματα στις μετρήσεις του δυναμικού μπορούν να προκληθούν από πολλούς παράγοντες, όπως κακή επαφή ή/και υψηλές αντιστάσεις επαφής των ηλεκτροδίων με το έδαφος, καταστροφή των καλωδίων, εξωγενή περιβαλλοντικό θόρυβο (τελλουρικά ρεύματα και ηλεκτροφόρα καλώδια), δυσλειτουργία ή ακατάλληλη χρήση του οργάνου.

35 25 Ηλεκτρομαγνητική σύζευξη: Όποτε ένας πομπός ρεύματος αλλάξει ή διακοπεί, τότε εμφανίζεται το φαινόμενο της ζεύξης μεταξύ των καλωδίων που εκπέμπουν και λαμβάνουν το σήμα (Ward, 1989). Η σύζευξη αυξάνεται με τη συχνότητα, τη διάταξη ηλεκτροδίων, το μήκος των καλωδίων και την αγωγιμότητα του εδάφους. Διατάξεις που χρησιμοποιούν διαφορετικά καλώδια για την εκπομπή και τη λήψη του σήματος επηρεάζονται λιγότερο από το φαινόμενο (π.χ. διπόλου-διπόλου και πόλου-διπόλου). Επίδραση της τοπογραφίας: Οι έντονες τοπογραφικές μεταβολές μπορούν να προκαλέσουν διασπορά και συγκέντρωση των γραμμών ρεύματος, με αποτέλεσμα να δημιουργούνται τεχνητές περιοχές χαμηλής και υψηλής αντίστασης αντίστοιχα. Η επίδραση της τοπογραφίας, στο βαθμό που αυτό είναι εφικτό, μπορεί να μοντελοποιηθεί και να ληφθεί υπόψη κατά την επεξεργασία των δεδομένων (Fox et al., 1980; Holcombe and Jiracek,1984; Tong και Yang, 1990; Tsourlos et al., 1999; Loke, 2000). Πόλωση ηλεκτροδίων: Η πόλωση που παρατηρείται στα ηλεκτρόδια ρεύματος μπορεί σε ορισμένες περιπτώσεις να προκαλέσει μία ανώμαλη μέτρηση δυναμικού, όταν τα ίδια ηλεκτρόδια χρησιμοποιηθούν αμέσως μετά ως ηλεκτρόδια δυναμικού. Το φαινόμενο αυτό εντοπίζεται κυρίως στις μετρήσεις της αντίστασης που πραγματοποιούνται με ένα αυτοματοποιημένο σύστημα καταγραφής. Για να αντιμετωπιστεί αυτό το πρόβλημα. θα πρέπει ο σχεδιασμός της διάταξης που θα μετρηθεί με το πολυπλεκτικό όργανο μέτρησης της αντίστασης να είναι τέτοιος ώστε έτσι να αποφεύγεται να μετριέται το δυναμικό σε ένα ηλεκτρόδιο, το οποίο αμέσως προηγούμενα είχε χρησιμοποιηθεί, για να εισάγει ηλεκτρικό ρεύμα στο υπέδαφος (Dahlin, 2000) Επίλυση ευθέος προβλήματος Ως επίλυση του ευθέος προβλήματος χαρακτηρίζεται η διαδικασία κατά την οποία υπολογίζονται οι διαφορές δυναμικού λόγω εισαγωγής ρεύματος σε υπέδαφος με γνωστή κατανομή αντιστάσεων. Με άλλα λόγια, το ευθύ πρόβλημα είναι η επίλυση των εξισώσεων ροής ηλεκτρικού ρεύματος σε ανομοιογενή γη, με ώστε να υπολογιστεί η κατανομή του δυναμικού. Από την στιγμή που υπολογίζεται το δυναμικό, είναι δυνατόν να βρεθεί και η

36 26 φαινόμενη αντίσταση. Οι δύο μέθοδοι επίλυσης αυτών των εξισώσεων είναι οι ακόλουθες: Αναλυτική προσέγγιση : Σε αυτές τις μεθόδους η λύση εξάγεται απευθείας από τις εξισώσεις πεδίου. Στην πράξη όμως, μόνο για λίγες δομές (πχ. θαμμένα σφαιρικά σώματα) είναι γνωστή η λύση. Η χρησιμότητα αυτών των λύσεων εστιάζεται στον έλεγχο των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από άλλες μεθόδους. Αριθμητική προσέγγιση : Σε αυτές τις μεθόδους επιλύονται οι διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τη ροή ρεύματος σε ανομοιογενή γη αριθμητικά. Είναι απαραίτητο να γίνει διακριτοποίηση του προβλήματος, ώστε να είναι δυνατή η εύρεση του δυναμικού σε καθορισμένες θέσεις. Η κατηγορία αυτή διακρίνεται από δύο μεγάλες υποκατηγορίες, σε αυτές που βασίζονται σε μεθόδους ολοκλήρωσης (Keller 1970, Lee 1974, Furness 1992) και σε αυτές που βασίζονται σε μεθόδους διαφοροποίησης. Στις μεθόδους διαφοροποίησης υπάγονται οι μέθοδοι δικτύου αντιστάσεων RNAM (Madden 1965, Tripp et al 1984), μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών FDM (Mufti 1976, Dey and Morisson 1979a,b) και μέθοδοι πεπερασμένων στοιχείων (Day and Morisson 1979, Zienkiewicz and Taylor 1989, Cogon 1971, Rijp 1974, Dittmet et al 1992, Burnett 1989, Tsourlos 1995). Η επιλογή της μεθόδου που χρησιμοποιήθηκε, έλαβε υπ' όψη τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της κάθε μεθόδου. Όλες οι μέθοδοι μπορούν να ανταποκριθούν στην επίλυση δικτύων που περιέχουν στοιχεία με ποικίλα μεγέθη. Όμως, μόνο η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων μπορεί να επιλύσει περιορισμένες δομές ακανόνιστου σχήματος. Αυτό το πλεονέκτημα κρίνεται ως ιδιαίτερα σημαντικό, όταν πρέπει να επιλυθούν κατανομές αντίστασης, διότι η αντίσταση είναι ευαίσθητη σε τοπογραφικές ανωμαλίες. Με τη χρήση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων το δίκτυο των στοιχείων μπορεί να προσαρμοστεί στην τοπική γεωμορφολογία, δίνοντας έτσι τη δυνατότητα εντοπισμού και απομόνωσης του ψευδοθορύβου που οφείλεται σε τοπογραφικές ανωμαλίες (Fox et al., 1980; Molano et al., 1990). Στη συγκεκριμένη διατριβή επιλέχθηκε να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος των πεπερασμένων σημείων για την επίλυση του ευθέος γεωηλεκτρικού προβλήματος, ενώ η μοντελοποίηση του υπεδάφους ακολουθεί ένα μοντέλο δύο και μισής διαστάσεων (2.5D)

37 27 (σχήμα 2.12) (Tsourlos., 1995). Στην μοντελοποίηση 2.5 διαστάσεων οι διαφοροποιήσεις της αντίστασης θεωρούνται ότι γίνονται σε 2 διαστάσεις, αλλά η ροή του ρεύματος είναι 3 διαστάσεων (τρισδιάστατη κατανομή του δυναμικού πεδίου), μια τεχνική που είναι καλώς συμβιβασμός μεταξύ της ακρίβειας και υπολογιστικού χρόνου. (Tsourlos, 1995) Σχήμα 2.12 : 2.5 διαστάσεων παράμετρος (Tsourlos, 1995) Σχηματισμός των εξισώσεων πεδίου Με την παρουσία ηλεκτρικής πηγής η σχέση 2.6 δεν ισχύει. Αν J ή ένταση του ρεύματος, τότε η σχέση 2.6 τροποποιείται ως ακολούθως σ x, y, z V x, y, z = J όπου το 2.19 είναι τρισδιάστατος ελεστής και ο όρος J περιγράφει την πηγή. Στην πραγματικότητα το ρεύμα εισάγεται στην γη με χρήση ηλεκτροδίων πεπερασμένων διαστάσεων, αλλά για τις ανάγκες της μοντελοποίησης θεωρείται ότι εισάγεται από σημειακές πηγές, οπότε ο όρος J μπορεί να περιγραφεί από μια συνάρτηση Dirac και ένα σημειακό ρεύμα I (Coggon, 1971). Αν x s, ys και zs είναι οι συντεταγμένες της πηγής τότε J=Iδ x x s δ y y s δ z z s ή σ x, z V x, y, z =Iδ x x s δ y y s δ z z s 2.20

38 28 Επειδή το δυναμικό πεδίο ακολουθεί τρισδιάστατη κατανομή στων δυόμιση διαστάσης μοντελοποίηση, ενώ οι αντιστάσεις επιτρέπεται να διαφοροποίησης μόνο κατά τις δύο διαστάσεις, ένας τρόπος επίλυσης της σχέσης (2.20) είναι ο μετασχηματισμός Fourier του δυναμικού της y διάστασης στον κυματάριθμο χώρου (Coggon 1971). Λόγω της σταθερής αντίστασης στην κάθετη διάσταση το δυναμικό V(x,y,z) είναι περιττή συνάρτηση. Έτσι μπορεί να εφαρμοστεί ο συνημιτονοειδής μετασχηματισμός Fourier, δηλαδή V x, k, z = V x, y, z cos ky dy Συνεπώς η εξίσωση του πεδίου με τη χρήση του μετασχηματισμένου δυναμικού γίνεται σ x, z V x, k, z =Iδ x x s δ z z s Διακριτοποίηση Η βασική ιδέα των πεπερασμένων στοιχείων είναι η διακριτοποίηση του χώρου σε υποπεριοχές οι οποίες ονομάζονται στοιχεία (elements), στις οποίες κάθε στοιχείο είναι σταθερό ομογενής και ισότροπο. Τα στοιχεία αυτά σχηματίζονται με τέτοιο τρόπο ώστε να δημιουργείται ένα πλέγμα (mesh) το οποίο αποτυπώνεται στα σχήματα 2.13α και 2.13β. Έτσι για το κάθε στοιχείο η σχέση 2.22 γίνεται σ x,z 2 V x, y, z =Iδ x x s δ z z s 2.23 Και χρησιμοποιώντας τις συνημιτονοειδείς ιδιότητες Fourier2 η σχέση 2.23 διαμορφώνεται σ x,z 2 V x, y, z σ x, z k 2 V x, y, z =Iδ x x s δ z z s 2.24 (όπου ο τελεστής είναι δισδιάστατος). Η αρχική διαφορική εξίσωση έχει μορφοποιηθεί σε μια εξίσωση τύπου Helmhotz στον κυματάριθμο χώρου, οπότε μπορεί 2 Αν Uk είναι η μετασχηματισμένη συνάρτηση της Uy σε σχέση με το κ, μπορεί να δειχθεί ότι για τη δεύτερη παράγωγο ισχύει (Kreyszig 1992) Uk''=-k2Uk

39 29 πλέον να χρησιμοποιηθεί η γενική εξίσωση των πεπερασμένων στοιχείων. Για κάθε στοιχείο e το άγνωστο δυναμικό V (δοκιμαστική λύση) είναι ένα άθροισμα συναρτήσεων της μορφής N V x, k, z = a i φ i x, z 2.25 i=1 Το χ αντιπροσωπεύει όλες τις ανεξάρτητες μεταβλητές του προβλήματος. Οι συναρτήσεις φ0(χ), φ1(χ),... είναι γνωστές και ονομάζονται δοκιμαστικές. Και μπορούν να είναι οποιεσδήποτε συναρτήσεις. Για λόγους ευκολίας, συνήθως επιλέγονται απλές συναρτήσεις, όπως κάποια απλά πολυώνυμα ή τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Οι παράγοντες α0,α1,... είναι οι άγνωστοι του προβλήματος, που συχνά καλούνται και βαθμοί ελευθερίας και αποτελούν το μετασχηματισμένο δυναμικό. Μπορεί γενικά να ειπωθεί ότι η λύση Ua έχει Ν βαθμούς ελευθερίας. Η προσεγγιστική λύση αναζητείται στα συγκεκριμένα σημεία αυτά του στοιχείου, που ονομάζονται κόμβοι (nodes). Αναλόγως με τη μορφή του στοιχείου υπάρχει και ο αντίστοιχος αριθμός κόμβων, ενώ για στοιχεία ιδίου τύπου οι εξισώσεις είναι αλγεβρικά όμοιες. Σχήμα 2.13α :Τυπικό πλέγμα πεπερασμένων στοιχείων που χρησιμοποιήθηκε στη διατριβή

40 30 Σημεία που η λύση δίνει το δυναμικό Τριγωνικό στοιχείο Σχήμα 2.13β: Παράδειγμα διακριτοποίησης με πεπερασμένα στοιχεία Κριτήριο βελτιστοποίησης Η εφαρμογή ενός κριτηρίου βελτιστοποίησης στο στάδιο αυτό είναι απαραίτητο, καθώς γενικά το εύρος τιμών των αn είναι απεριόριστο ( a i ). Η εφαρμογή του κριτηρίου αναζητά την καλύτερη λύση, υπό την έννοια της εύρεσης λύσης που να βρίσκεται όσο πιο κοντά στην πραγματική. Η επιλογή του κριτηρίου Galerkin, που ανήκει στις μεθόδους παραγώγισης, αποτελεί τον πιο διαδεδομένο και γενικό τρόπο επιλύσεως της διαδικασίας βελτιστοποίησης. Στη γενική μορφή των εξισώσεων του πεδίου G(V)=F αντικαθιστώντας την λύση V με την προσεγγιστική λύση Va έχουμε G V a F, Οπότε το υπόλοιπο που προκύπτει από αυτήν την προσέγγιση είναι Ra=G(Va) F

41 31 Σύμφωνα με τη μέθοδο Galerkin για κάθε παράμετρο αi πρέπει ο σταθμισμένος μέσος όρος της Ra να ελαχιστοποιείται. Δηλαδή 2 R x ; a φ1 x dx=0 1 2 R x ; a φ2 x dx= R x ; a φn x dx= Χρησιμοποιώντας τα υπόλοιπα της βελτιστοποίησης Galerkin για το πεπερασμένο στοιχείο e προκύπτει [ ] V V σ φi φ i dx dz σ k 2 V φ i dx dz x x z z e e.= f φ i dx dz 2.27 i=1,... N Οι όροι ανώτερης τάξης (διπλά ολοκληρώματα) μπορούν να γραφούν με τη χρήση του κανόνα αλυσίδας3, οπότε η σχέση 2.27 γίνεται [ ] V φ i V φ i dx dz σ k 2 V φ i dx dz x x z z e e V V.= f φ i dx dz σ φ i φ i=1,... N z z i e x x σ [ ] 2.28 Ο τελευταίος όρος περιέχει παράγωγο, οπότε χρησιμοποιώντας το θεώρημα Green ο όρος αυτός μπορεί να γραφεί [ ] [ ] V V V V σ φ i φ i = σ φ i n x σ φ n ds= T n φi ds z z x z i z e x x e e 2.29 Τα σύμβολα nx και ny είναι τα x,y συστατικά της εξωτερικής μονάδας κάθετη στα όρια του στοιχείου. Ο όρος Tn μπορεί να περιγράφει την ενέργεια ροής στο σύστημα. Ο όρος αυτός αποτελεί την εφαρμογή των οριακών συνθηκών. Έτσι η σχέση 2.29 γίνεται 3 V V l l φi dx dz= l l e e φi dx dz e V φ i dx dz l l

42 32 σ e [ ] V φ i V φ i σ k 2 φ i dx dz x x z z e.= f φ i dx dz T n φ i ds e 2.30 i=1...n e Χρησιμοποιώντας και τη γενική μορφή της δοκιμαστικής λύσης (σχέση 2.25) η σχέση 2.30 γίνεται N [ ] φ φ i φ j φ i dx dz dx dz k 2 φ j φi dx dz α j x e z z e σ x j j=1 e f φi dx dz T n φi ds 2.31 i=1... N e Αν αντικαταστήσουμε Κ Εij =σ e φ j φ i x x dx dz σ e φ j φi z z dx dz σ k 2 φ j φ i dx dz 2.32 e e F i = f φ i d x d z T n φ i d s και 2.33 e Το σύστημα των εξισώσεων (2.31) μπορεί να γραφεί με την μορφή πινάκων ως [ ][ ] [ ] e e e e K 11 K K 1N α 1 K e21 K e22... K e2n α e e e e e K N1 K N2... K NN α N e F1 = F 2e... e FN 2.34 ή απλά με συμβολισμούς πινάκων K{e} A(e) = F(e) Δοκιμαστική λύση τριγωνικών στοιχείων Υπάρχουν πολλών ειδών στοιχεία που χρησιμοποιούνται σε εφαρμογές FEM. Στα γεωφυσικά προβλήματα για λόγους τόσο απλότητας, όσο και πρακτικούς, χρησιμοποιούνται τα τριγωνικά στοιχεία, αφού μπορούν να σχηματίσουν σχεδόν κάθε δομή της γης. Στην περίπτωση αυτή η γενική μορφή της δοκιμαστικής λύσης (σχέση 2.25) δίνεται

43 33 από την σχέση V =b cx dz 2.36 Αντί να εκφραστεί η λύση ως συνάρτηση των b,c,d, προτιμάται να εκφραστεί σε σχέση με τις τιμές της δοκιμαστικής λύσης στους κόμβους, ώστε να μπορούν να διασφαλιστούν ευκολότερα οι οριακές συνθήκες μεταξύ των στοιχείων. Πιο συγκεκριμένα, θεωρώντας δύο στοιχεία (e) και (f), με δύο κοινούς κόμβους (σχήμα 2.14b), οι δοκιμαστικές λύσεις V e, V f είναι γραμμικά πολυώνυμα και κατά μήκος των πλευρών τους θα υπάρχουν ευθείες γραμμές. Η επίτευξη της συνέχειας μεταξύ των (e) και (f) γίνεται αν αυτές οι γραμμές είναι ίδιες. Μια μέθοδος για την επίτευξη του αποτελέσματος αυτού είναι η υποχρέωση της λύσης στους κοινούς κόμβους να είναι η ίδια, διαδικασία που απαιτεί την έκφραση της δοκιμαστικής λύσης σε τιμές στους κόμβους αυτούς. Η έκφραση του δυναμικού σε σχέση με τιμές στους κόμβους (του στοιχείου) μπορεί να γίνει ως εξής : αν 1,2,3 είναι οι κόμβοι του στοιχείου με (x 1,z1), (x2,z2)(x3,z3) οι αντίστοιχες συντεταγμένες και α 1, α 2, α 3 οι αντίστοιχες λύσεις τότε από τη σχέση 2.34 b cx 1 dz1 =α 1 b cx 2 dz2 =α 2 b cx 3 dz3 =α Λύνοντας το παραπάνω σύστημα και αντικαθιστώντας τις λύσεις στη σχέση 2.25 προκύπτει 3 V = a i φ j x, z 2.38 i=1 φj= όπου, A j B jx C jz j=1,2,3 2Δ και A j =x k z l x l z k B j =z k z l C j =x l x k 1 x 1 z1 1 Δ= 1 x 2 z 2 =εμβαδό του στοιχείου 2 1 x 3 z3 2.39

44 34 Οι δείκτες j,k,l έχουν τις τιμές 1,2,3 για το φ1 και αλλάζουν κυκλικά για τα φ2 και φ3. Από την σχέση αυτή μπορεί να φανεί ότι η δοκιμαστική λύση φj για τους κόμβους είναι ίση με τη μονάδα όταν (x,z)=(xj,zj) και μηδέν για (x,z)=(xi,zi) και (x,z)=(xk,zk). Σχήμα 2.14 : a) Η δοκιμαστική λύση ενός στοιχείου b) η δοκιμαστική λύση δύο στοιχείων c) η δοκιμαστική λύση στον κόμβο 2 (Tsourlos 1995) Αριθμητικοί υπολογισμοί Οι όροι kij του συστήματος (2.32) μπορούν τώρα να υπολογιστούν, καθώς εξαρτώνται μόνο από τις συντεταγμένες των κόμβων. Ε Κ ij =σ e φ j φ i x x dx dz σ e φ j φi z z 2 dx dz σ k φ j φ i dx dz 2.40 e Από την σχέση 2.39 φj x φj y = = Bj 2Δ Bj 2Δ τα οποία είναι σταθερά. Άρα τα δυο πρώτα ολοκληρώματα του όρου Kij γίνονται 2.41

45 35 σ φ j φ i dx dz σ φ j φi dx dz x x e z z BB C C.=σ i 2j dx dz σ i 2j dx dz 4Δ 4Δ e e σ B B C C i, j=1,2,3 4Δ i j i j e Ο εναπομείνας όρος 2.42 σ k 2 φ j φ i dx dz i, j=1,2,3 2.43, μπορεί να υπολογιστεί e με τη χρήση της τριγωνικής ολοκλήρωσης της ανάλυσης των πεπερασμένων στοιχείων (Rao, 1985). Ο τύπος χρησιμοποιεί το εμβαδόν (ή το βαρύκεντρο) ενός τριγώνου που είναι τρεις τοπικές συντεταγμένες που σχετίζονται με την τριγωνική συμμετρία. Αν f 1,f2,f3 είναι οι συντεταγμένες του τριγώνου με εμβαδόν Δ, υψωμένο στις δυνάμεις l,m,n τότε l! m! n! f 1l f 2m f n3 dx dz= l m n 2! 2Δ 2.44 e Για το τρίγωνο οι συντεταγμένες του εμβαδού είναι όμοιες με αυτές τις δοκιμαστικής λύσης (Burnett 1989), με αποτέλεσμα ο τύπος ολοκλήρωσης να εφαρμόζεται άμεσα στον αριθμητικό υπολογισμό του ολοκληρώματος της σχέσης 2.43, οπότε { } Δ i= j 6 σ k 2 φ j φ i dx dz= Δ e k 2 i j 12 k2 Ο όρος 2.45 F ei = f φ i dx dz T n φ i ds 2.46, αποτελείται από δύο ολοκληρώματα. e Το πρώτο αντιπροσωπεύει τη ροή του ρεύματος σε ένα στοιχείο f φi dx dz= Iδ x x s δ z zs φi dx dz e e i=1,2, Αν υποτεθεί ότι η πηγή ρεύματος ταυτίζεται με ένα κόμβο, έτσι ώστε το ηλεκτρικό φορτίο να ανατεθεί μόνο στον κόμβο και όχι σε όλο το στοιχείο. Αν για παράδειγμα το ρεύμα εισαχθεί στον κόμβο 1, τότε, όπως αναπτύχθηκε στην προηγούμενη υποενότητα, η τιμή της συνάρτησης σχήματος φ1 στον κόμβο είναι ίση με ένα (φ1=1), ενώ είναι μηδέν στους υπόλοιπους κόμβους (φ2=φ3=0). Στην περίπτωση αυτή η σχέση (2.47) γίνεται (αν χ1,z1 οι συντεταγμένες του κόμβου 1)

46 36 f φ1 dx dz= Iδ x x 1 δ z z 1 φi dx dz=1 e e f φ2 dx dz= e f φ3 dx dz=0 e Καθώς το ρεύμα εισάγεται σε ένα κόμβο και οι κόμβοι είναι κοινοί για περισσότερα στοιχεία, το μέγεθος του ρεύματος πρέπει να μοιραστεί ίσα ανάμεσα σε αυτά τα στοιχεία. Αν θ η γωνία της κορυφής του στοιχείου που συμπίπτει με την πηγή το πραγματικό μέγεθος I s=i Is θα δίνεται (Rijo 1974) θ επομένως η γενική μορφή της εξίσωσης 2.47 θα είναι Iδ x x s δ z zs φi dx dz= e { I s i=s i s, i=1,2,3 } 2.50 όπου s είναι ο κόμβος πηγή. Το υπόλοιπο ολοκλήρωμα της σχέσης 2.46 T n φi ds 2.51 αντιπροσωπεύει εκφράσεις της βαθμίδας του δυναμικού στα όρια των στοιχείων. Αυτές οι εκφράσεις δε χρειάζεται να υπολογιστούν καθώς θα αποδοθούν τιμές κατά την εφαρμογή των οριακών συνθηκών. Λαμβάνοντας υπόψη όλους τους προηγούμενους υπολογισμούς το σύστημα των εξισώσεων για δισδιάστατο πρόβλημα γίνεται [ ] [ ][ ] [ ] Bi Bi C i C i Bi B j C i C j Bi B k C i C k δ i β i α i σ σk2 Δ B B C j C i B j B j C j C j B j B k C j C k α j =I s δ j β j 4Δ j i α k B k Bi C k C i Bk B j C k C j Bk B k C k C k δ k β k 2.52 όπου οι δείκτες i,j,k δείχνουν τους κόμβους του στοιχείου, οι όροι B,C είναι εκφράσεις των συντεταγμένων του στοιχείου (σχέση 2.39) Δ είναι το εμβαδόν του στοιχείου, I s το ρεύμα της πηγής, δi είναι μονάδα, όταν ο κόμβος i συμπίπτει με την προέλευση, και μηδέν αλλιώς (δj,δk παίρνουν ανάλογες εκφράσεις για τους κόμβους j,k αντίστοιχα) και βi,j,k είναι οριακοί

47 37 όροι που θα υπολογιστούν σε ύστερη φάση Συνολικό σύστημα Από την στιγμή που ο όρος kij έχει υπολογιστεί αριθμητικά για κάθε στοιχείο, οι εξισώσεις των στοιχείων σχηματίζουν απλές γραμμικές εξισώσεις, λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι τα στοιχεία μοιράζονται κοινούς κόμβους και η δοκιμαστική λύση έχει σχεδιαστεί να είναι όμοια για τους ίδιους κόμβους. Εάν το πλέγμα έχει Μ στοιχεία, τότε θα προκύψουν Μ εξισώσεις (Burnett 1989). Ο όρος kij του στοιχείου e θα προστεθεί στον όρο Kij του συνολικού πίνακα Κ, και ομοίως ο όρος Fie θα προστεθεί στον όρο Fi του συνολικού πίνακα F. Το συνολικό σύστημα θα έχει την μορφή KA=F Αν το πλέγμα έχει Ν κόμβους, ο πίνακας Κ (πίνακας δυσκαμψίας) θα είναι ΝxΝ διαστάσεων και θα είναι μερικώς συμμετρικός και οριοθετημένος, καθώς μόνο άμεσα συνδεδεμένη κόμβοι θα βρίσκονται στην ίδια γραμμή. Ο πίνακας του μετασχηματισμένου δυναμικού καθώς και ο πίνακας F έχουν διαστάσεις N. Στο σχήμα (2.16) παρουσιάζεται η γενική μορφή των εξισώσεων σε ένα παράδειγμα 4 στοιχείων με 6 κόμβους. Παρατηρείται η συμμετρία και οριοθέτηση του πίνακα Κ. Σχήμα 2.15: Το συνολικό σύστημα για 4 στοιχεία (Tsourlos 1995)

48 Οριακές συνθήκες Μετά τον σχηματισμό του πλήρους συστήματος για την εύρεση μιας μοναδικής λύσης, πρέπει να ληφθούν υπόψη οι οριακές συνθήκες. Οι τύποι οριακών συνθηκών διακρίνονται σε 2 κατηγορίες, στις οριακές συνθήκες χώρου και στις μεταξύ των στοιχείων οριακές συνθήκες. Οι οριακές συνθήκες χώρου μπορούν να διακριθούν σε φυσικές, Ds, μεταξύ αέρα εδάφους και τεχνητές, D, όπου εξομοιώνεται το δυναμικό σε άπειρη απόσταση από την πηγή (σχήμα 2.16). Σχήμα 2.16: Οι οριακές συνθήκες χώρου Δύο τύποι οριακών συνθηκών μπορούν να χρησιμοποιηθούν, η συνθήκη Dirichlet όπου ορίζεται μια τιμή δυναμικού σε κάποια σημεία του χώρου, και η συνθήκη Neumann όπου ορίζεται η πρώτη παράγωγος του δυναμικού σε κάποια σημεία του χώρου. Στο όριο αέρα-εδάφους Ds, η ροή του ρεύματος γίνεται κάθετα στο όριο και είναι μηδέν (Neumann). Ο σχεδιασμός του πλέγματος γίνεται έτσι ώστε τα όρια του να είναι πολύ μακριά από την πηγή D, δηλαδή το δυναμικό να είναι μηδέν (Dirichlet). Στις οριακές συνθήκες μεταξύ των στοιχείων οι εξισώσεις πρέπει να επαληθεύονται πλήρως, ώστε να προκύπτει μοναδική λύση. Έτσι στα προβλήματα αντίστασης υπάρχει

49 39 συνέχεια του δυναμικού στα συνορεύοντα στοιχεία, καθώς επίσης και συνέχεια μεταξύ της έντασης του ρεύματος. Για δύο στοιχεία (e) και (f) με αγωγιμότητες σe και σf αντίστοιχα, πού έχουν κοινό όριο ΙΒ και n είναι η μονάδα η κάθετη στο όριο αυτό, τότε για κάθε σημείο του ορίου θα ισχύει V eib=v IBf V eib V IBf σe =σ f n n 2.53 Αφού το σύστημα σχηματιστεί, η εφαρμογή των οριακών συνθηκών είναι απλή διαδικασία. Αν η μία πλευρά ενός στοιχείου βρίσκεται στο όριο Ds τότε ο όρος V της z σχέσης 2.29 είναι μηδέν. Η εφαρμογή των οριακών συνθηκών για στοιχεία που έχουν κόμβους στο όριο D γίνεται με την απόδοση της τιμής μηδέν στους κόμβους αυτούς. Με αυτό τον τρόπο οι οριακές συνθήκες εισάγονται εμμέσως στο σύστημα των εξισώσεων. Τέλος, οι οριακές συνθήκες για τα στοιχεία με κοινούς κόμβους, γίνεται με εφαρμογή τους στον πίνακα F, καθώς μετά την εφαρμογή τα γραμμικά ολοκληρώματα της έντασης του ρεύματος (σχέση 2.29) δυο στοιχείων με το ίδιο όριο θα εμφανίζονται σαν ένα άθροισμα σε μια γραμμή του πίνακα F. Καθώς είναι ίσα (σχέση 2.35) και αντίθετου πρόσημου το αποτέλεσμα θα είναι μηδέν Εξαγωγή του δυναμικού Μετά την εφαρμογή των οριακών συνθηκών το σύστημα μπορεί να λυθεί με διάφορες μεθόδους (σε αυτήν την διατριβή με την μέθοδο Gauss elimination). Η λύση θα δίνει το μετασχηματισμένο δυναμικό για διάφορες τιμές του κ. Για να ανευρεθεί το δυναμικό V(x,y,z) εφαρμόζεται ο αντίστροφος μετασχηματισμένος Fourier, δηλαδή V x, y, z = 2 cos ky dk V π 0 x,k, z 2.54

50 40 Αν το μετασχηματισμένο δυναμικό V x,k, z, έχει ανευρεθεί για διάφορα κ, το δυναμικό V(x,y,z) μπορεί να ανευρεθεί με αριθμητικές μεθόδους ολοκλήρωσης της παραπάνω σχέσης. Το διάγραμμα ροής των δυόμισι διαστάσεων ευθέος προβλήματος αλγόριθμου παρουσιάζεται στο σχήμα 2.17 (Tsourlos, 1995) Σχήμα 2.17: Διάγραμμα ροής του αλγόριθμου 2.5 διαστάσεων ευθέος προβλήματος (Tsourlos 1995)

51 Υπολογισμός ιακωβιανού πίνακα Το πρόβλημα της αντιστροφής περιλαμβάνει τον υπολογισμό της κατανομής της αντίστασης που παράγεται από ένα σύνολο συνθετικών δεδομένων, τα οποία προσομοιάζουν όσο το δυνατό περισσότερο στα παρατηρούμενα δεδομένα. Η κατανομή της αντίστασης αποτυπώνεται ως ένα σύνολο ομογενών παραμέτρων, όπου η τιμή της αντίστασης μιας παραμέτρου μπορεί να μεταβάλλεται ανεξάρτητα από τις τιμές αντίστασης των άλλων παραμέτρων του μοντέλου. Στις περισσότερες μεθόδους αντιστροφής είναι απαραίτητη η χρήση ενός πίνακα, που ονομάζεται Ιακωβιανός πίνακας J και ο οποίος συνδέει τις μεταβολές των αντιστάσεων των παραμέτρων με τις μεταβολές των μετρούμενων φαινόμενων αντιστάσεων. Ο Ιακωβιανός πίνακας είναι γνωστός και ως πίνακας ευαισθησίας, αφού εκφράζει την ευαισθησία των μετρήσεων της φαινόμενης αντίστασης σε μικρές μεταβολές των πραγματικών αντιστάσεων μιας παραμέτρου του μοντέλου. Η μέθοδος που χρησιμοποιείται στην παρούσα διδακτορική διατριβή για τον υπολογισμό του Ιακωβιανού πίνακα είναι η τεχνική συζυγούς εξίσωσης (Adjoint Equation Technique), η οποία στηρίζεται στη χρήση των ιδιοτήτων του συζυγούς τελεστή και των συζυγών συναρτήσεων Green (Lanczos, 1960). Η τεχνική συζυγούς εξίσωσης (McGillivray and Oldenburg, 1990) ενσωματώθηκε στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, έτσι ώστε να υπολογιστεί ο Ιακωβιανός πίνακας ή πίνακας ευαισθησίας J (Tsourlos, 1995). Μετά από πολύπλοκους μαθηματικούς μετασχηματισμούς (η παρουσίαση των οποίων είναι πέραν του σκοπού αυτής της διατριβής, Tsourlos 1995) μπορεί να αποδειχτεί ότι για την περίπτωση του ηλεκτρικού προβλήματος, η ευαισθησία αποτελεί μια συνάρτηση της αρχικής διαφορικής εξίσωσης και των συζυγών συναρτήσεων Green. Εφόσον η λύση του ηλεκτρικού προβλήματος είναι αυτοσυζυγής, η ίδια λύση του ευθέος προβλήματος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση τόσο των αρχικών όσο και των συζυγών συναρτήσεων. Οι McGillivray and Oldenburg (1990) εξήγαγαν την γενικευμένη μορφή της ευαισθησίας του αντίστοιχου μετασχηματισμένου δυναμικού για την περίπτωση

52 42 ηλεκτρικού προβλήματος 2.5 διαστάσεις. Η τελική εξίσωση που δίνει την ευαισθησία του μετασχηματισμένου δυναμικού παίρνει τελικά τη μορφή: V x 0, k, z 0, x s, z s σj D [. = 2 k ψ j V x, k, z, x s, z s ψ j 2 V x, k, z, x s, z s 2 x ψ j 2 V x, k, z, x s, z s 2 z V x, k, z, x 0, z 0 dxdz ] 2.55 V x 0, k, z 0, x s, z s / σ j είναι η παράγωγος του δυναμικού για ένα σημείο με συντεταγμένες (x0,z0), όταν η πηγή βρίσκεται στην επιφάνεια με συντεταγμένες (xs,zs) V x, k, z, x s, z s, V x, k, z, x 0, z 0 είναι τα μετασχηματισμένα δυναμικά σε σημείο (x,y,z), όταν η πηγή βρίσκεται στα σημεία (xs,zs) (x0,z0) αντίστοιχα. ψj είναι 1 όταν τα (x,y) αποτελούν συντεταγμένες της συγκεκριμένης παραμέτρου και 0 σε κάθε άλλη περίπτωση. Η μεταφορά της σχέσης 2.55 στην περίπτωση της εφαρμογής των πεπερασμένων στοιχείων απαιτεί τον υπολογισμό ολοκλήρωσης τριγωνικών στοιχείων (Zienkiewicz 2000) και έχει γίνει από τον Tsourlos, Δέκτης Πομπός m Αέρας n α1 α2 Γη e α3 Σχήμα 2.18: Υπολογισμός ιακωβιανού πίνακα αντιστάσεων Η έκφραση της 2.55 για κάθε πεπερασμένο στοιχείο είναι

53 43 3 V nm σ e 3 a a jne a e1 m a 1en a e2 m a 2en a e3 m a e3 n =K 2 Δ e j=1 e jm j = a j=1 e jm 3 B e j a j =1 3 e jn e jm B a C e j 4Δ j=1 e e j a j=1 e jn C e j Όπου α1-3,m-n το δυναμικό στα αντίστοιχα σημεία του πεπερασμένου στοιχείου, λόγω ρεύματος στην πηγή Μ ή Ν αντίστοιχα (σχήμα 2.18). Επομένως η παράγωγος του δυναμικού για μια συγκεκριμένη παράμετρο βρίσκεται από το άθροισμα των επιμέρους μερικών παραγώγων των δυναμικών των πεπερασμένων στοιχείων ως εξής q V V = σ p i=1 σ i 2.57 όπου q ο αριθμός των στοιχείων που αποτελούν την παράμετρο Επίλυση αντιστρόφου προβλήματος Στην ηλεκτρική μέθοδο με τη χρήση των οργάνων μέτρησης γίνεται καταγραφή των διαφορών δυναμικού (μετρήσεις) λόγω μιας άγνωστης κατανομής γεωηλεκτρικών αντιστάσεων στο υπέδαφος. Η πλέον δημοφιλής τεχνική για την αποκατάσταση της πραγματικής εικόνας της γεωηλεκτρικής αντίστασης του υπεδάφους είναι αυτή της αντιστροφής. Σκοπός της αντιστροφής είναι να βρεθεί ένα μοντέλο αντίστασης που να δίνει μετρήσεις, οι οποιές είναι όσο το δυνατό πιο κοντά στις πραγματικές. Μέσω της επιλύσεως του ευθέος προβλήματος είναι δυνατό να υπολογίσουμε τις μετρήσεις του δυναμικού (d) στα ηλεκτρόδια αν είναι γνωστό το μοντέλο αντιστάσεων X, σύμφωνα με τη σχέση της μορφής G(X)=d όπου G κατάλληλη συνάρτηση μετασχηματισμού. 2.58α

54 44 Η λύση του αντίστροφου προβλήματος είναι ακριβώς η αντίστροφη διαδικασία από αυτή του ευθέος προβλήματος που περιγράφηκε ανωτέρω. Δηλαδή, μετρώντας τη φαινόμενη αντίσταση που προκύπτει από μια γεωφυσική (δεδομένα, d) έρευνα προσδιορίζεται η κατανομή της αντίστασης του υπεδάφους (μοντέλο, Χ). Δηλαδή, X=G-1(d) 2.58β Η σχηματική αναπαράσταση του ευθέος-αντίστροφου προβλήματος φαίνεται στο παρακάτω σχήμα ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Μοντέλο X Δεδομένα d ΕΥΘΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σχήμα 2.19: Ευθύ-Αντίστροφο πρόβλημα Γενικά Λόγω της μη γραμμικότητας του μετασχηματισμού G, η εξίσωση 2.58β δεν μπορεί να λυθεί με απ ευθείας αντιστροφή. Όμως, οι τεχνικές αντιστροφής μπορούν να χειριστούν ένα μη γραμμικό πρόβλημα, ανάγοντάς το σε μια επαναληπτική διαδικασία επίλυσης των επιμέρους γραμμικών προβλημάτων. Ένας τυπικός αλγόριθμος επίλυσης του μη γραμμικού αντίστροφου γεωηλεκτρικού προβλήματος ξεκινάει υποθέτοντας ένα γραμμικό μοντέλο αντίστασης Xo, το οποίο συνεχώς βελτιώνεται μέσα από μια επαναληπτική διαδικασία, έως ότου οι συνθετικές φαινόμενες αντιστάσεις G(Xτρέχον), δηλαδή τα δεδομένα που ανταποκρίνονται στο τρέχον γεωηλεκτρικό μοντέλο, να ταιριάξουν με τις μετρήσεις d. Θεωρώντας μια πολύ μικρή μεταβολή της αντίστασης dx, η συνάρτηση G(X) μπορεί να αναπτυχθεί χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα Taylor (Meju, 1994):

55 45 G X i d X i =G X i 2 όπου O d X i G X i Xi 2 O d X i 2.59 είναι όροι μεγαλύτερης τάξης, οι οποίοι μπορούν να αγνοηθούν, εφόσον η μεταβολή dx είναι πολύ μικρή σε σχέση με το Χ, ενώ ο παράγοντας G X i Xi εκφράζει τον ιακωβιανό πίνακα. Επομένως η σχέση 2.59 μπορεί να γραφεί με τη γενικότερη μορφή G X i d X i =G X i J d X 2.60 Η δυσκολία των αντίστροφων προβλημάτων μπορεί να συνοψιστεί στους παρακάτω τρεις παράγοντες: α) Ύπαρξη. Είναι δυνατόν να μην υπάρχει κανένα μοντέλο που να επαληθεύει πλήρως τα δεδομένα. Αυτό μπορεί να οφείλεται στην προσεγγιστική μαθηματική λύση για την εύρεση του μοντέλου, στην ύπαρξη θορύβου στα δεδομένα και στο σφάλμα του μοντέλου. β) Μοναδικότητα. Εάν υπάρχει λύση, αυτή μπορεί να μην είναι και η μοναδική. Μπορεί να υπάρχουν και άλλα μοντέλα εκτός του πραγματικού Xtrue που να επαληθεύουν την εξίσωση G(X)=dtrue. γ) Αστάθεια - κακώς ορισμένο πρόβλημα. Η διαδικασία επίλυσης των εξισώσεων σε ένα αντίστροφο πρόβλημα, είναι εξαιρετικά ασταθής, με αποτέλεσμα μια μικρή αλλαγή στα δεδομένα (που μπορεί να οφείλεται στο θόρυβο) μπορεί να προκαλέσει τεράστιες αλλαγές στη λύση του εκτιμώμενου μοντέλου. Τα περισσότερα γεωφυσικά προβλήματα αντιστροφής πρέπει να λάβουν υπόψη αυτούς τους τρεις παράγοντες. Για το λόγο αυτό, έχουν αναπτυχθεί πολλές τεχνικές για την επίλυση αυτών των προβλημάτων. Επιγραμματικά αναφέρονται οι τεχνικές που συνήθως χρησιμοποιούνται για την επίλυση του αντίστροφου προβλήματος: η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων (Lines και Treitel, 1984), η μέθοδος των ιδιαζουσών τιμών (Lanczos, 1960; Golub και Reinsh, 1970; Lawson και Hanson, 1974; Strang, 1998), η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων απόσβεσης

56 46 (Levenberg, 1944, Marquadt, 1969) και η μέθοδος της εξομαλυσμένης αντιστροφής (Tikhonov, 1963; Tikhonov και Glasko, 1965; Constable et al., 1987; degroot-hedlin και Constable, 1990). Στην παρούσα διατριβή χρησιμοποιείται η μέθοδος της εξομαλυμένης αντιστροφής που είναι και η πιο δημοφιλής (Constable et al., 1987), καθώς συγκεντρώνει σημαντικά πλεονεκτήματα. Με την τεχνική αυτή το αντίστροφο πρόβλημα αντιμετωπίζεται με συντηρητικό τρόπο, καθώς ελλείψει άλλων πληροφοριών, αναζητείται ένα μοντέλο του υπεδάφους της γης που μπορεί να μην είναι το καλύτερο δυνατό, αλλά εγγυάται ότι θα αποτελεί μία απλοποιημένη και λογική αναπαράσταση της πραγματικότητας. Το βασικό πλεονέκτημα της τεχνικής αυτής συνίσταται στο ότι το τελικό μοντέλο δεν εξαρτάται από την αυθαίρετη επιλογή του αρχικού μοντέλου αλλά από τα χαρακτηριστικά που εξαρχής έχουν καθοριστεί (Constable, et al., 1987). Αναλυτικότερα με την αντιστροφή εξομάλυνσης διαλέγονται όλες οι λύσεις που ελαχιστοποιούν το σφάλμα σύμφωνα με τη σχέση G X d 2 δ (όπου δ το σφάλμα) και ταυτόχρονα ελαχιστοποιούν το μέτρο μιας παραγώγου του διανύσματος m (εξομάλυνση), δηλαδή το συνολικό σύστημα γίνεται min G X d 22 λ 2 CX όπου C είναι ο πίνακας εξομάλυνσης που ορίζει σχέσεις συνάφειας μεταξύ των γειτονικών παραμέτρων (σχήμα 2.20) και λ είναι ο πολλαπλασιαστής Lagrange. Όσο μεγαλύτερες τιμές παίρνει ο πολλαπλασιαστής Lagrange τόσο μεγαλύτερη είναι και η εξομάλυνση και αντίστροφα. Σχήμα 2.20:.: Σχηματισμός του πίνακα εξομάλυνσης C Η λύση της 2.61 με την βοήθεια των ελαχίστων τετραγώνων για την διόρθωση του μοντέλου είναι επαναληπτική, και σε κάθε επανάληψη η διόρθωση δίνεται από την σχέση

57 47 X i 1= X i d x i =X i J T J λc T C 1 d G X i 2.62 ή μια εναλλακτική διαδικασία διόρθωσης του μοντέλου με εξομάλυνση μεταξύ παρατηρήσεων και συνθετικών δεδομένων δίνεται από την σχέση X i 1= X i d X i =X i J T J λ C T C 1 d G X i λ C T C X i 2.63 Η επαναληπτική διαδικασία συνεχίζει μέχρι την πλήρωση των κριτηρίων τερματισμού Υπολογισμός πολλαπλασιαστή Lagrange Για την επίλυση της σχέσης 2.63 είναι απαραίτητη η εύρεση μιας τιμής για τον πολλαπλασιαστή Lagrange. Γενικότερα η εύρεση αυτού του πολλαπλασιαστή είναι ένα πρόβλημα σε κάθε εξομαλυμένη αντιστροφή. Μεγάλες τιμές οδηγούν σε εξομαλυμένα μοντέλα, ενώ μικρές τιμές οδηγούν σε αστάθεια της λύσης. Η συνηθέστερη μέθοδος που ακολουθείται είναι η αρχική υπόθεση μιας μεγάλης τιμής, για να αποτραπεί η αστάθεια και όσο η λύση πλησιάζει την πραγματική, να ελαττώνεται ο πολλαπλασιαστής. Μια γεωμετρική αναπαράσταση της τεχνικής αυτής (σχήμα 2.21), έγινε από τους Box και Kanemasu (1972). Η λύση αυτή συνήθως απαιτεί ένα πλήθος δοκιμών, καθώς δεν είναι δυνατή η εξαρχής γνώση της αρχικής τιμής. Ο Tsourlos (1995) προτείνει κάποια αρχική εμπειρική τιμή ανάλογα με το επιθυμητό επίπεδο εξομάλυνσης και σταδιακή ελάττωση σε κάθε νέα επανάληψη. Σχήμα 2.21: Αναπαράσταση της λύσης ελαχίστων τετραγώνων δύο παραμέτρων P1 και P2 (Box and Kanemasu 1977).

58 48 Έχουν προταθεί και άλλες μέθοδοι εύρεσης του πολλαπλασιαστή Lagrange (λχ LCurve, συνθήκη Piccard), που βασίζονται σε ανάλυση των ιδιοτιμών του αντίστροφου πίνακα με τη βοήθεια της ανάλυσης SVD. Οι τεχνικές αυτές εξασφαλίζουν μία μαθηματική λύση και δεν απαιτείται αρχική εμπειρική τιμή (Karaoulis, 2007). Οι Yi et al (2003) πρότειναν τη μέθοδο της ενεργού εξισορρόπησης με περιορισμούς (Active Constrained Balancing, ACB) με την εύρεση διαφορετικού πολλαπλασιαστή για κάθε παράμετρο, βασιζόμενοι σε μελέτη του πίνακα ανάλυσης του μοντέλου. Η μέθοδος αυτή βρίσκει πολύ καλή εφαρμογή σε όλα τα είδη μετρήσεων. Στην παρούσα διατριβή ακολουθήθηκε η μέθοδος αυτή καθώς από τις δοκιμές φαίνεται να έχει τα καλύτερα αποτελέσματα (Karaoulis, 2007). Ειδικότερα ως πίνακας ανάλυσης (resolution matrix) του μοντέλου R ορίζεται R=J+J 2.64 όπου J+ είναι ο ψευδοαντίστροφος ( J+=[ JTJ + λctc ]-1 JT ) 2.65 Ο πίνακας ανάλυσης δείχνει το πόσο καλά μια παράμετρος είναι προσδιορισμένη. Αν μια παράμετρος είναι τέλεια προσδιορισμένη, πρέπει η αντίστοιχη γραμμή του πίνακα ανάλυσης να έχει τιμή 1 για την παράμετρο αυτή (Rii=1) και μηδέν σε όλες τις άλλες θέσεις. Αντίθετα, αν μια παράμετρος δεν είναι καλά προσδιορισμένη η αντίστοιχη γραμμή του πίνακα ανάλυσης θα έχει τιμές σε όλες τις θέσεις χωρίς να παίρνει την τιμή 1 στην αντίστοιχη θέση (Rii), δηλαδή για ένα σύστημα 5 παραμέτρων (σχήμα 2.22) [ R= Σχήμα 2.22: Ο πίνακας ανάλυσης μοντέλου για 5 παραμέτρους ] 1η Παράμετρος (καλά ορισμένη) 3η Παράμετρος (κακώς ορισμένη) Γενικά το άθροισμα των στοιχείων κάθε γραμμής του πίνακα ανάλυσης πρέπει να είναι ίσο με 1. Οι Yi et al (2003) θεωρούν ότι μια καλά προσδιορισμένη παράμετρος χρειάζεται μικρή τιμή του πολλαπλασιαστή, ενώ αντίθετα μια όχι καλά προσδιορισμένη παράμετρος

59 49 απαιτεί μεγάλη τιμή του πολλαπλασιαστή, έτσι ώστε η αυξημένη εξομάλυνση να απαγορεύει στην παράμετρο να πάρει άκρως απαράδεκτες τιμές. Η ποσοτικοποίηση της παραπάνω έκφρασης γίνεται με τη συνάρτηση διασποράς Backus-Gilbert (Menke, 1984), η οποία υπολογίζει την πλευρική κατανομή των γραμμών του πίνακα ανάλυσης. Μεγάλη τιμή της συνάρτησης διασποράς σημαίνει ότι η παράμετρος είναι φτωχά προσδιορισμένη και το αντίστροφο. Ο υπολογισμός της συνάρτησης διασποράς για την i παράμετρο γίνεται ως εξής N SP i = W ij 1 S ij Rij j=1 όπου Ν ο αριθμός των παραμέτρων Wij ο παράγοντας βάρους, που υπολογίζεται από τις πλευρικές χωρικές αποστάσεις της παραμέτρου i με όλες τις υπόλοιπες j (απόσταση κέντρων παραμέτρων). Ο πίνακας S χρησιμοποιείται ώστε στον υπολογισμό να λαμβάνεται υπόψη και ο πίνακας συνάφειας. Το στοιχείο Sij είναι 1 όταν το αντίστοιχο στοιχείο του πίνακα συνάφειας Cij είναι μη μηδενικό και 0 σε όλες τις άλλες θέσεις. Στη προσέγγιση των Yi et al (2003) η βασική σχέση αντιστροφής τροποποιείται και γίνεται d x=[ J T J C T ΛC ] 1 J T d G X 2.67 Η διαδικασία υπολογισμού του διαγώνιου πίνακα Λ γίνεται με ένα αρχικό υπολογισμό του πίνακα ανάλυσης μοντέλου (σχέση 2.64) με κάποιο μικρό αρχικά πολλαπλασιαστή Lagrange (συνήθως 0.01). Εν συνεχεία μετατρέπεται η συνάρτηση διασποράς σε μεταβαλλόμενο πολλαπλασιαστή μεταξύ δύο προαποφασισμένων ορίων (λmin και λmax), σε λογαριθμική κλίμακα σύμφωνα με τον παρακάτω αλγόριθμο (Yi et al, 2003). log λ i =log λ min log λ max log λmin log SP max log SP min log SP i log SP min 2.68 όπου λι είναι ο πολλαπλασιαστής της παραμέτρου i, SPi είναι η συνάρτηση διασποράς της παραμέτρου i, λmin και λmax τα κάτω και άνω όρια των πολλαπλασιαστών (ενδεικτικές τιμές 0.01 και 0.5), και SPmin και SPmax το ελάχιστο και μέγιστο της συνάρτησης διασποράς.

60 50 Μια εφαρμογή της μεθόδου παρουσιάζεται στο σχήμα 2.23 και αφορά μετρήσεις γεώτρησης-επιφάνειας, με την γεώτρηση να βρίσκεται στο κέντρο του μοντέλου (σχήμα 2.24). Όπως είναι αναμενόμενο για τις παραμέτρους που βρίσκονται κοντά σε θέσεις ηλεκτροδίων (σχήμα 2.24), ο πίνακας ανάλυσης έχει τιμή κοντά στο 1 (σχήμα 2.23, πάνω αριστερά κόκκινο χρώμα) και για παραμέτρους που βρίσκονται σε μεγαλύτερη απόσταση ο πίνακας ανάλυσης μοντέλου έχει μικρότερες τιμές (μπλε χρώμα). Με βάση τον πίνακα ανάλυσης μοντέλου υπολογίζεται η συνάρτηση διασποράς κάθε παραμέτρου (σχήμα 2.23, πάνω κέντρο). Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δίνεται σε περιοχές που δεν υπάρχει καθόλου λύση (σχήμα 2.23 πάνω δεξιά μπλε και κόκκινο χρώμα), καθώς σε αυτές τις περιπτώσεις η συνάρτηση διασποράς έχει πολύ μικρές τιμές. Με τον έλεγχο που προτείνει ο Karaoulis (2007), για παραμέτρους που το άθροισμα των στοιχείων της γραμμής του πίνακα ανάλυσης μοντέλου είναι μικρότερο από 0.7, γίνεται αυτόματη ανάθεση, της μέγιστης τιμής της συνάρτησης διασποράς, ώστε και αντίστοιχα ο πολλαπλασιαστής Lagrange να είναι ο μέγιστος (όχι καλά ορισμένες παράμετροι).

61 51 Σχήμα 2.23: Χωρική κατανομή πολλαπλασιαστών σε ομογενή γη με μετρήσεις από γεώτρησης-επιφάνειας. Με κόκκινο παρουσιάζονται μεγάλες τιμές του πολλαπλασιαστή, καθώς σε αυτές δεν έχουμε καλή λύση. Ενδιαφέρον βρίσκεται στα κάτω αριστερά και δεξιά άκρα του χώρου, όπου η συνάρτηση διασποράς είναι μικρή αλλά εκεί δεν υπάρχει λύση. Σχήμα 2.24: Διακριτοποίηση χώρου για μετρήσεις γεώτρησης-επιφάνειας. Με κόκκινο σημειώνονται οι θέσεις των ηλεκτροδίων

62 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ Όπως προαναφέρθηκε, κάθε επαναληπτικός αλγόριθμος αντιστροφής τερματίζεται με βάση κάποια προκαθορισμένα κριτήρια σύγκλισης και τερματισμού. Τα κριτήρια αυτά αναφέρονται παρακάτω και στηρίζονται στην έκφραση του μέσου τετραγωνικού σφάλματος RMS μεταξύ των πραγματικών και των συνθετικών δεδομένων, το οποίο υπολογίζεται κάθε φορά που βρίσκεται το βελτιωμένο μοντέλο αντίστασης και είναι: k d obs d calc 2 1 i i RMS error =100 X 2 k i=1 d obs i 2.69 όπου k είναι ο αριθμός των μετρήσεων, είναι η dicalc υπολογιζόμενη μέτρηση και είναι η diobs παρατηρούμενη μέτρηση. Η αντιστροφή θα τερματιστεί, αν ισχύει ένα από τα παρακάτω κριτήρια: Απόκλιση. Ο αλγόριθμος τερματίζεται, αν το σφάλμα μεταξύ των πραγματικών δεδομένων και των δεδομένων που προκύπτουν από την αντιστροφή αυξάνεται. Η απόκλιση λαμβάνει χώρα σπάνια, σε περιπτώσεις που ο θόρυβος των δεδομένων είναι πολύ μεγάλος ή που η αρχική επιλογή του συντελεστή εξομάλυνσης ήταν ατυχής (πολύ μικρή τιμή). Μικρός ρυθμός σύγκλισης. Ο αλγόριθμος τερματίζεται, αν το σφάλμα μεταξύ των πραγματικών δεδομένων και των δεδομένων που προκύπτουν από την αντιστροφή ελαττώνεται με πολύ μικρούς ρυθμούς (λιγότερο από π.χ. 5%). Στην πραγματικότητα σε αυτή την περίπτωση θα μπορούσε να συνεχιστεί η διαδικασία της αντιστροφής, αλλά υπάρχει κίνδυνος να αρχίσουν τα δεδομένα να ερμηνεύουν το θόρυβο, κάτι που φυσικά μπορεί να συμβεί ακόμα και όταν ο ρυθμός σύγκλισης είναι μεγάλος. Σφάλμα σύγκλισης μικρότερο από σφάλμα δεδομένων. Αυτό το κριτήριο ενεργοποιείται, όταν είναι γνωστά τα σφάλματα των δεδομένων. Εάν το σφάλμα της αντιστροφής είναι μικρότερο από τα τυπικά σφάλματα των δεδομένων, τότε η διαδικασία της αντιστροφής τερματίζεται (καθώς τα δεδομένα αρχίζουν να ερμηνεύουν το θόρυβο) και η αντίσταση που υπολογίσθηκε από την προηγούμενη επανάληψη είναι το σωστό

63 53 αποτέλεσμα. Ολοκλήρωση του αριθμού των επαναλήψεων. Ο αλγόριθμος τερματίζεται όταν ο προκαθορισμένος αριθμός των επαναλήψεων έχει ολοκληρωθεί Κατασκευή αλγορίθμου. Με βάση τους υπάρχοντες αλγόριθμους του Εργαστηρίου Γεωφυσικής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης (2dinvs, br2srf Tsourlos 1995, 2000), αναπτύχθηκε μια βασική πλατφόρμα λογισμικού σε Matlab για τη μοντελοποίηση και ερμηνεία των γεωηλεκτρικών δεδομένων. Η πλατφόρμα αυτή περιλαμβάνει ένα ανεξάρτητο τμήμα για την επίλυση του ευθέος προβλήματος με τη δυνατότητα μοντελοποίησης επιφανειακών μετρήσεων, μετρήσεων βυθοσκοπήσεων ή με συνδυασμό αυτών, κάνοντας χρήση των 2.5 διαστάσεων πεπερασμένων στοιχείων. Το δεύτερο ανεξάρτητο τμήμα της πλατφόρμας είναι αυτό της αντιστροφής. Στο τμήμα αυτό έχουν ενσωματωθεί οι υπάρχοντες αλγόριθμοι εξομαλυμένης αντιστροφής, καθώς επίσης και οι αλγόριθμοι διαχρονικής αντιστροφής που θα αναπτυχθούν σε επόμενα κεφάλαια. Στο τμήμα αυτό της πλατφόρμας υπάρχει η δυνατότητα επιλογής μεθόδου υπολογισμού του πολλαπλασιαστή Lagrange (Constable, Tsourlos, Yi).

64 54 Σχήμα 2.25 : Διάγραμμα ροής αλγορίθμου επίλυσης του γεωηλεκτρικού αντιστρόφου προβλήματος Στο σχήμα 2.25 παρουσιάζεται το βασικό διάγραμμα ροής επιλύσεως του αντιστρόφου προβλήματος, όπως προτάθηκε στο αλγόριθμο 2dinvs (Tsourlos, 1995).

65 55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Αντιστροφή διαχρονικών γεωηλεκτρικών δεδομένων Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται και συγκρίνονται όλες οι γνωστές τεχνικές για την ερμηνεία των διαχρονικών γεωηλεκτρικών δεδομένων. Η μελέτη είχε δύο στόχους,. αφενός να καλύψει βιβλιογραφικά κενό συγκριτικής αξιολόγησης των τεχνικών διαχρονικής αντιστροφής και αφετέρου να εντοπιστούν πιθανά βήματα περεταίρω βελτίωσης των υπαρχόντων αλγορίθμων. Αναλυτικότερα οι τεχνικές αυτές είναι α) διαφορά ανεξάρτητης αντιστροφής, β) αντιστροφή διαφορών και γ) σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή (4D). Για να γίνει από κοινού σύγκριση των μεθόδων αντιστροφής γεωηλεκτρικών δεδομένων, όλοι οι αλγόριθμοι που μελετήθηκαν υλοποιήθηκαν ως ξεχωριστά τμήματα κοινής πλατφόρμας μοντελοποίησης και αντιστροφής. Για να αξιολογηθούν οι τεχνικές αυτές, δοκιμάστηκαν με ένα πλήθος συνθετικών μοντέλων με δεδομένα που έχει προστεθεί

66 56 τυχαίος θόρυβος. Τα αποτελέσματα συγκρίθηκαν μεταξύ τους, ώστε να αναδειχτούν τα προτερήματα και μειονεκτήματα της κάθε τεχνικής. 3.1 Εισαγωγή Η διαχρονική μελέτη των γεωηλεκτρικών ιδιοτήτων χρησιμοποιείται τα τελευταία χρόνια όλο και περισσότερο στη μελέτη δυναμικά μεταβαλλόμενων φυσικών διεργασιών στο υπέδαφος (υδρογεωλογική συμπεριφορά). Υπάρχει, λοιπόν, ανάγκη για ειδικά λογισμικά, ώστε να παράγουν αξιόπιστες εικόνες και συμπεράσματα. Οι τεχνικές που εφαρμόζονται στην επεξεργασία των διαχρονικών δεδομένων βασίζονται σε πολύ μεγάλο βαθμό στην τυπική μέθοδο της αντιστροφής που παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο 2. Η διαφορά βρίσκεται στο γεγονός ότι με τους αλγόριθμους των διαχρονικών γεωηλεκτρικών δεδομένων επιζητείται η εκτίμηση της αλλαγής των ιδιοτήτων, μεταξύ των χρονικών στιγμών της καταγραφής, που ονομάζονται φάσεις, και όχι μόνο η απεικόνιση των γεωηλεκτρικών ιδιοτήτων του υπεδάφους. Σε μια διαχρονική αντιστροφή γίνεται προσπάθεια ταύτισης ενός γεωλογικού μοντέλου με το μοντέλο των γεωαντιστάσεων που προκύπτει, αλλά και η εύρεση των μεταβολών μεταξύ των φάσεων, ώστε να εξαχθούν συμπεράσματα σε σχέση με τη φύση των μεταβολών. Τρεις τεχνικές έχουν αναπτυχθεί για την επεξεργασία διαχρονικών δεδομένων. Η απλούστερη μορφή ερμηνείας διαχρονικών δεδομένων είναι η απευθείας σύγκριση δεδομένων που προκύπτουν από κάθε φάση ανεξάρτητα (Loke 2001, Fikos et al 2008). Μια δεύτερη είναι η τεχνική της αντιστροφής διαφορών από τους (Labreque & Yang, 2001) και η τρίτη τεχνική είναι η σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή (4D Inversion Kim et al 2005). Ένα πρόβλημα που προκύπτει είναι ότι η επεξεργασία με την κάθε τεχνική υλοποιείται με διαφορετικό λογισμικό (Tomo-DC, Res2Dinv, 2DInvs), αντικείμενο που δυσκολεύει την αξιολόγηση των τεχνικών, καθώς αυτές εξαρτώνται σε μεγάλο βαθμό και από το λογισμικό. Έτσι στην διατριβή αυτή κατασκευάστηκε λογισμικό που είναι σε θέση

67 57 να χρησιμοποιήσει όλες τις γνωστές τεχνικές χρησιμοποιώντας όμως την ίδια πλατφόρμα, ώστε να είναι αντικειμενική η σύγκριση των αλγορίθμων. Είναι σημαντικό επίσης να αναφερθεί ότι ο μεγαλύτερος υπολογιστικός χρόνος κατά τη διαδικασία επίλυσης ενός αντίστροφου προβλήματος είναι η επίλυση του ευθέος προβλήματος. Ιδίως σε προβλήματα με μεγάλο αριθμό φάσεων η επιλογή μιας μεθόδου που απαιτεί τον ελάχιστο αριθμό επιλύσεων του ευθέος προβλήματος είναι κρίσιμη. 3.2 Παράδειγμα διαμόρφωσης μοντέλων διαχρονικών αλλαγών Για να γίνει κατανοητή η διαμόρφωση του προβλήματος στην αντιστροφή διαχρονικών γεωηλεκτρικών δεδομένων παρουσιάζεται ένα απλό παράδειγμα. Αν θεωρηθεί μοντέλο που αποτελείται από ένα χώρο με 16 παραμέτρους αντιστάσεων (ρ1,ρ2,.ρ16), (που καθορίζουν την κατανομή των αντιστάσεων του υπεδάφους), όπως φαίνεται στο σχήμα 3.1. Αυτές οι παράμετροι αντιστάσεων είναι οι άγνωστοι στο πρόβλημα της αντιστροφής και συμβολίζονται με το διάνυσμα X. Στο χώρο έχουν τοποθετηθεί ηλεκτρόδια με τη χρήση των οποίων θα ληφθούν οι μετρήσεις d. ρ1 ρ2 ρ3 ρ4 ρ5 ρ6 ρ7 ρ8 ρ9 ρ10 ρ11 ρ12 ρ13 ρ14 ρ15 ρ16 Σχήμα 3.1: Μοντέλο 16 παραμέτρων αντιστάσεων που χρησιμοποιείται για την ανάπτυξη των τεχνικών αντιστροφής διαχρονικών δεδομένων ηλεκτρικής τομογραφίας.

68 58 Αν θεωρηθεί ότι υπάρχει μια δυναμική αλλαγή στο μοντέλο που απεικονίζεται με αλλαγή στις τιμές των αντιστάσεων στις παραμέτρους, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.2. (π.χ. μεταξύ των φάσεων 1 και 2, η τιμή της αντίστασης αλλάζει για την παράμετρο ρ3) ρ1 ρ2 ρ3 ρ4 ρ1 ρ2 ρ3 ρ4 ρ1 ρ2 ρ3 ρ4 ρ1 ρ2 ρ3 ρ4 ρ5 ρ6 ρ7 ρ8 ρ5 ρ6 ρ7 ρ8 ρ5 ρ6 ρ7 ρ8 ρ5 ρ6 ρ7 ρ8 ρ9 ρ10 ρ11 ρ12 ρ9 ρ10 ρ11 ρ12 ρ9 ρ10 ρ11 ρ12 ρ9 ρ10 ρ11 ρ12 ρ13 ρ14 ρ15 ρ16 ρ13 ρ14 ρ15 ρ16 ρ13 ρ14 ρ15 ρ16 ρ13 ρ14 ρ15 ρ16 ΦΑΣΗ 1 ΦΑΣΗ 2 ΦΑΣΗ ΦΑΣΗ t Σχήμα 3.2: Σχηματική αναπαράσταση μιας δυναμικής αλλαγής. Με γκρι χρώμα παρουσιάζονται περιοχές που υπάρχει αλλαγή στην αντίσταση. Στη διαχρονική αντιστροφή απαιτείται ο υπολογισμός όλων των παραμέτρων αντιστάσεων κάθε φάσης ξεχωριστά. Οπότε το διάνυσμα των αγνώστων γίνεται XX 1 XX = XX tt X i οι άγνωστοι (αντιστάσεις των παραμέτρων) της φάσης i 3.1 μορφή είναι i=1 t (αριθμός φάσεων) Κάθε φάση έχει και τις αντίστοιχες ληφθείσες μετρήσεις, οι οποίες σε διανυσματική dd 1 DD = dd tt D i οι μετρήσεις της φάσης i 3.2 i=1 t (αριθμός φάσεων) Η περαιτέρω επεξεργασία σχετίζεται με την επιλογή της μεθόδου. Το κοινό χαρακτηριστικό όλων των τεχνικών είναι η εύρεση του μοντέλου αντιστάσεων X i για κάθε φάση μέσω της επιλύσεως του αντιστρόφου προβλήματος με τον αντίστοιχο αλγόριθμο κάθε τεχνικής.

69 59 Η συνηθέστερη τεχνική για την απεικόνιση των αλλαγών είναι ο υπολογισμός των λόγων μεταξύ των φάσεων, ώστε να αναδειχθεί σε ποιες παραμέτρους υπάρχει αλλαγή (αύξηση, ελάττωση ή σταθερή ειδική αντίσταση μεταξύ των φάσεων.). Αυτό γίνεται επιλέγοντας μια φάση σαν αναφορά και υπολογισμό του λόγου όλων των μεταγενέστερων φάσεων σε σχέση με τη φάση αναφοράς. Με αυτόν τον τρόπο σχηματίζεται ο παρακάτω διαγώνιος πίνακας R (διαστάσεων αριθμός φάσεων Χ αριθμό φάσεων). 1 RR iiii RR = 0 1 RR iiii = XX ii XX jj με i>j 3.3 i= φάση μελέτης, 1.t j= φάση αναφοράς,1...t Ο πίνακας R είναι κάτω διαγώνιος διότι δεν υπολογίζονται οι λόγοι για i<j, καθώς, αποτελούν τους αντίστροφους όλων των λόγων με i>j, λ.χ. RR 21 = 1 RR Διαφορές ανεξάρτητων αντιστροφών Στην τεχνική αυτή γίνεται ανεξάρτητη επεξεργασία για κάθε φάση ξεχωριστά, όπως θα γινόταν και σε μια τυπική αντιστροφή. Συγκεκριμένα, από τα δεδομένα κάθε φάσης εξάγεται το αντίστοιχο μοντέλο μέσω της λύσης των ελαχίστων τετραγώνων και γίνεται διερεύνηση από τη σύγκριση αυτών των μοντέλων και των σχετικών λόγων. Το διάγραμμα ροής παρουσιάζεται στο σχήμα 3.3. Ο συνολικός αριθμός απαιτούμενων επιλύσεων του ευθέος προβλήματος (ΑΕΕΠ) είναι : ΑΕΕΠ = Αριθμός φάσεων Χ αριθμό επαναλήψεων.

70 60 Για t=1 μέχρι αριθμό φάσεων DD Για i=1 μέχρι αριθμό επαναλήψεων Διόρθωση μοντέλου ΧΧ ii+1 = ΧΧ ii + (JJ TT JJ + CC TT ΛΛCC) 1 JJ TT (dd tt GG(XX ii )) Κριτήρια σύγκλισης ΟΧΙ ΝΑΙ ΧΧ tt Τελικά μοντέλα Σχήμα 3.3: Διάγραμμα ροής της διαφοράς ανεξάρτητων αντιστροφών. XX dd 1 DD = τα δεδομένα από όλες τις φάσεις dd tt d t τα δεδομένα της φάση t XX 1 ΧΧ = τα μοντέλα από όλες τις φάσεις XX tt X i το μοντέλο σε κάποια επανάληψη της φάσης t X t το τελικό μοντέλο της φάσης t

71 61 J ο ιακωβιανός πίνακας C ο πίνακας εξομάλυνσης Λ ο πίνακας ενεργούς εξισορρόπησης με περιορισμούς G(X) η επίλυση του ευθέος προβλήματος Αντιστροφή διαφορών Μια βελτιστοποιημένη τεχνική που στοχεύει στην ελαχιστοποίηση τεχνουργημάτων, τα οποία πιθανόν να δημιουργούνται, αποτελεί η τεχνική των Labreque & Yang (2001). Στην τεχνική αυτή, που είναι μια τροποποίηση της εξομαλυμένης αντιστροφής, χρησιμοποιείται σαν αρχικό μοντέλο αναφοράς το μοντέλο από οποιαδήποτε φάση και η αντιστροφή γίνεται για τη διαφορά των δεδομένων σε σχέση με τη διαφορά των παραμέτρων αντιστάσεων μεταξύ δύο φάσεων. ΔΔDD = (dd tt dd 0 ) ( GG(XX tt ) GG(XX 0 ) ) 3.5 Όπου D t και Χ t τα δεδομένα και οι παράμετροι αντιστάσεων της φάσης μελέτης Και D 0 τα δεδομένα της φάσης αναφοράς και Χ 0 το μοντέλο των αντιστάσεων που προκύπτει, αν στην εξομαλυμένη αντιστροφή χρησιμοποιηθούν σαν δεδομένα τα D κ-1. Η διόρθωση του μοντέλου με τη λύση των ελαχίστων τετραγώνων τροποποιείται αντίστοιχα (Labreque & Yang, 2001) ΧΧ ii+1 = ΧΧ ii + (JJ TT JJ + CC TT ΛΛCC) 1 JJ TT ΔΔDD 3.6 Η προσέγγιση που ακολουθήθηκε σε αυτήν την διατριβή είναι ο υπολογισμός με την τεχνική της ανεξάρτητης αντιστροφής των μοντέλων XX, τα οποία στη συνέχεια χρησιμοποιούνται στην αντιστροφή διαφορών σαν μοντέλα αναφοράς, επιτυγχάνοντας έτσι την απεικόνιση όλων των δυνατών συνδυασμών. Αυτό απαιτεί μεγαλύτερο υπολογιστικό χρόνο, καθώς θα χρειαστεί τόσο να υπολογιστούν τα μοντέλα από την ανεξάρτητη αντιστροφή με επιπλέον τον υπολογισμό των ευθέων προβλημάτων για την αντιστροφή διαφορών.

72 62 kk 1 ΑΑΑΑΑΑΑΑ = ΑΑΑΑΑΑΑΑ αααααααα άρρρρρρρρρρρρ αααααααααααααααααα ήςς + kk ii k = αριθμός φάσεων. Το διάγραμμα ροής για την αντιστροφή διαφορών παρουσιάζεται στο σχήμα 3.4. kk=1 Για t=2 μέχρι αριθμό φάσεων DD Για i=1 μέχρι αριθμό επαναλήψεων Διόρθωση μοντέλου ΧΧ ii+1 = ΧΧ ii + (JJ TT JJ + CC TT ΛΛCC) 1 JJ TT ((dd tt dd tt 1 ) ( GG(XX ii ) GG(XX tt 1 ) ) Κριτήρια σύγκλισης ΟΧΙ ΝΑΙ ΧΧ tt Τελικά μοντέλα XX Σχήμα 3.4: Διάγραμμα ροής της αντιστροφής διαφορών

73 63 dd 1 DD = dd tt d t τα δεδομένα της φάση t τα δεδομένα από όλες τις φάσεις d t-1 τα δεδομένα της φάσης αναφοράς XX 1 ΧΧ = τα μοντέλα από όλες τις φάσεις XX tt X i το μοντέλο σε κάποια επανάληψη της φάσης t X t το τελικό μοντέλο της φάσης t X t-1 το μοντέλο αναφοράς J ο ιακωβιανός πίνακας C ο πίνακας εξομάλυνσης Λ ο πίνακας ενεργούς εξισορρόπησης με περιορισμούς G(X) η επίλυση του ευθέος προβλήματος Σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή (4D) Μια καινούρια τεχνική που εισάγει την έννοια της ταυτόχρονης αντιστροφής όλων των διαχρονικών δεδομένων αναπτύχθηκε από τους Kim et al (2009). Στην τεχνική αυτή μαζί από την κανονικοποίηση στο χώρο εισάγεται και η κανονικοποίηση στο χρόνο, ώστε να ελαχιστοποιηθούν τα τεχνουργήματα και να σταθεροποιηθεί η αντιστροφή. Αν θεωρήσουμε ως ee = DD GG XX 3.7 το προβλεπόμενο σφάλμα μεταξύ των δεδομένων και των συνθετικών, όπου (GG XX η επίλυση του ευθέος προβλήματος) DD και ΧΧ τα δεδομένα και μοντέλα από όλες τις χρονικές στιγμές (φάσεις), δηλαδή XX 1 dd 1 DD = και XX = όπου t=1 αριθμό φάσεων 3.8 dd tt XX tt

74 64 Είναι προφανές ότι δεδομένα που έχουν μετρηθεί στις ίδιες χωρικές συντεταγμένες (δηλαδή χρησιμοποιώντας τα ίδια ηλεκτρόδια) αλλά σε διαφορετικές χρονικές στιγμές, αντιμετωπίζονται σαν ανεξάρτητα δεδομένα. Χρησιμοποιώντας τη λύση των ελαχίστων τετραγώνων αναζητείται η ελαχιστοποίηση του προβλεπόμενου σφάλματος e. Καθώς τα δεδομένα και το μοντέλο είναι ορισμένα στο χώρο και στο χρόνο, είναι δυνατόν να εφαρμοστούν δύο τύποι κανονικοποίησης, τόσο στο χώρο όσο και στο χρόνο, ώστε να σταθεροποιηθεί η αντιστροφή. Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση που ελαχιστοποιείται στην επίλυση του αντιστρόφου προβλήματος είναι η ακόλουθη SS = ee TT ee 2 + λλλλ + αααα 3.9 όπου Ψ και Γ είναι οι κανονικοποιήσεις στο χώρο και χρόνο αντίστοιχα, λ και α είναι οι πολλαπλασιαστές Lagrange για τον έλεγχο αυτών των κανονικοποιήσεων. Στη σχέση 3.9 χρησιμοποιείται ο σταθερός πολλαπλασιαστής λ και όχι ο πίνακας ενεργούς εξισορρόπησης Λ για λόγους απλότητας. Για την κανονικοποίηση στο χώρο οι Kim et al (2009) εφαρμόζουν ένα πίνακα εξομάλυνσης, όπως και στην τυπική αντιστροφή. Για την κανονικοποίηση στο χρόνο οι Kim (2009) θεωρούν ότι η αλλαγή στα μοντέλα μεταξύ δύο φάσεων δεν είναι σημαντική, οπότε Ψ και Γ ορίζονται ως ΨΨ = ( nn ddxx ) ΤΤ ( nn ddxx ) tt 1 ΓΓ = (XX ii + ddxx ii ) (XX ii+1 + ddxx ii+1) 2 ii=1 = {ΜΜ(XX + ddxx )} TT MM(XX + ddxx ) 3.10 t= αριθμός φάσεων όπου M τετραγωνικός πίνακας στον οποίο μόνο η διαγώνιος και μια υποδιαγώνιος έχουν τιμές 1 και -1. Αναλυτικότερα ο πίνακας Μ έχει διαστάσεις (αριθμός παραμέτρων Χ αριθμό φάσεων) Χ (αριθμό παραμέτρων Χ αριθμό φάσεων) και για το μοντέλο του σχήματος 3.5 οι διαστάσεις του είναι 64Χ64

75 65 Ο πίνακας Μ συσχετίζει τις ίδιες παραμέτρους στις δύο γειτονικές φάσεις και αν αριθμηθούν οι παραμέτροι κατά αύξουσα σειρά, ο πίνακας συσχετίζει τις παραμέτρους 1 και 17, 17 και 33, 33 και 49, 2 και 18 κτλ, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.5. Ο πολλαπλασιαστής α, που ρυθμίζει την κανονικοποίηση στο χρόνο, μπορεί να είναι σταθερός ή να αλλάζει από φάση σε φάση ΦΑΣΗ 1 ΦΑΣΗ 2 ΦΑΣΗ 3 ΦΑΣΗ 4 ii = 33 ii = 1111 ΜΜ = ii = 33 ii=11 ii= ii=6666 Σχήμα 3.5: Σχηματική αναπαράσταση του πίνακα Μ για τέσσερις φάσεις. Τα βέλη δείχνουν το συσχετισμό των παραμέτρων μεταξύ των φάσεων. Για την παράμετρο 3 της φάσης 1 γίνεται ανάθεση τιμής 1, ενώ για την ίδια παράμετρο στην φάση 2 (θέση παραμέτρου 19) γίνεται ανάθεση -1. Ελαχιστοποιώντας την σχέση 3.9 προκύπτει ότι η διόρθωση του μοντέλου ddxx σε κάθε επανάληψη δίνεται από τη σχέση XX ii+1 = XX ii + ddxx ddxx = (JJ TT JJ + CC TT ΛΛ CC + αα ΜΜ ΤΤ ΜΜ) 1 (JJ TT GG XX DD 3.11 aa MM TT MMXX )

76 66 όπου JJ είναι ο ιακωβιανός πίνακας και έχει μορφή JJ = JJ JJ JJ tt, t=1, αριθμός φάσεων. Είναι φανερό ότι χρειάζεται να υπολογίσει ο ιακωβιανός για κάθε φάση χωριστά. GG(XX ) η επίλυση του ευθέος προβλήματος (ή αλλιώς τα συνθετικά δεδομένα) CC ο πίνακας χωρικής εξομάλυνσης και έχει μορφή CC = CC CC CC tt κάθε φάση, δηλαδή C 1 =C 2 =.=C t t=1,.αριθμός φάσεων, και είναι ο ίδιος για O πίνακας ddxx περιέχει τις διορθώσεις για τα μοντέλα ταυτόχρονα από όλες ddxx 11 τις φάσεις, δηλαδή ddxx = ddxx tt t=1,.αριθμός φάσεων ΛΛ ο πίνακας ενεργούς χωρικής εξισορρόπησης (Yi et al, 2003), οπότε ο παράγοντας λ της σχέσης 3.9 έχει αντικατασταθεί από το διαγώνιο πίνακα ΛΛ = ΛΛ ΛΛ κεφάλαιο ΛΛ tt =1,.αριθμός φάσεων, όπως παρουσιάστηκε στο Ο πολλαπλασιαστής α ελέγχει την κανονικοποίηση στο χρόνο και επηρεάζει την επιτρεπτή αλλαγή του μοντέλου στο χρόνο. Μεγάλες τιμές του πολλαπλασιαστή α οδηγεί σε περισσότερο όμοια μοντέλα στο χρόνο (δεν επιτρέπουν την αλλαγή μεταξύ των φάσεων). Γενικά με δοκιμές σε διάφορα είδη δεδομένων φάνηκε ότι οι τιμές που μπορεί να έχει ο πολλαπλασιαστής είναι μεταξύ 0.05 και 0.2 αναλόγως με την αναμενόμενη αλλαγή μεταξύ των φάσεων (Kim, 2009). Σημειώνεται ότι ανάθεση τιμής α=0 μετατρέπει τη λύση της σχέσης 3.31 σε λύση τυπικής αντιστροφής. είναι : Ο συνολικός αριθμός απαιτούμενων επιλύσεων του ευθέος προβλήματος (ΑΕΕΠ)

77 67 ΑΕΕΠ = Αριθμός φάσεων Χ αριθμό επαναλήψεων. Το διάγραμμα ροής παρουσιάζεται στο σχήμα 3.6. Για i=1 μέχρι αριθμό επαναλήψεων Διόρθωση μοντέλου XX ii+1 = XX ii + (JJ TT JJ + CC TT ΛΛ CC + αα ΜΜ ΤΤ ΜΜ) 1 (JJ TT GG XX DD aa MM TT MMXX ) Κριτήρια σύγκλισης ΟΧΙ ΝΑΙ ΧΧ Σχήμα 3.6: Διάγραμμα ροής της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής (4D) 3.3 Υλοποίηση σε λογισμικό Όλοι οι παραπάνω αλγόριθμοι δοκιμάστηκαν σε κοινό λογισμικό που αναπτύχθηκε στα πλαίσια της διατριβής αυτής και προγραμματίστηκε σε Matlab (σχήμα 3.7). Η επιλογή της κάθε τεχνικής πραγματοποιείται από το μενού Inversion type (σχήμα 3.8), το οποίο περιέχει τις αντίστοιχες τεχνικές.

78 68 Σχήμα 3.7 : Κυρίως πρόγραμμα Σχήμα 3.8 : Παράθυρο ρύθμισης παραμέτρων αντιστροφής.

79 69 Επιλογή τεχνικής αντιστροφής Τεχνική αντιστροφής L2 Inversion εξομαλυμένη ανεξάρτητη αντιστροφή. L2 Inversion + Smoothness on Model Όπως προηγούμενο με επιλογή για κανονικοποίηση στο μοντέλο. Time Lapse Αντιστροφή διαφορών Time Lapse + Smoothness on Model Όπως προηγούμενο με επιλογή για κανονικοποίηση στο μοντέλο. Forward Επιλογή για επίλυση του ευθέος προβλήματος 4D Σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή (4D) 4D_ATC 4D χρονικά μεταβαλλόμενη αντιστροφή. Μια αναλυτικότερη παρουσίαση καθώς και ένα εγχειρίδιο χρήσης του λογισμικού, βρίσκεται στο υπόμνημα. 3.4 Δοκιμές με συνθετικά παραδείγματα. Οι παραπάνω τεχνικές δοκιμάστηκαν με ένα πλήθος συνθετικών δεδομένων, ώστε να αξιολογηθεί η αποτελεσματικότητά τους για διάφορα μοντέλα και να γίνει σύγκριση. Η αποτελεσματικότητα κρίνεται με την όσο δυνατόν καλύτερη απεικόνιση της αλλαγής τόσο ποσοτικά αλλά κυρίως όσο αφορά τη χωρική κατανομή αυτής της αλλαγής. Κρίσιμο στάδιο σε αυτό το σημείο είναι και η ελαχιστοποίηση των τεχνουργημάτων που δημιουργούνται από τη διαδικασία της αντιστροφής καθώς, σε αρκετές περιπτώσεις, δυσκολεύουν ή και ακόμα αλλοιώνουν τα τελικά αποτελέσματα. Η υπερβολική όμως και άκριτη ελαχιστοποίηση των τεχνουργημάτων πιθανόν σε κάποιες περιπτώσεις να εξομαλύνει και τις πραγματικές αλλαγές μεταξύ των φάσεων. Η εξάλειψη των τεχνουργημάτων εξαρτάται από την τεχνική που θα χρησιμοποιηθεί και θα αναλυθεί στις παρακάτω παραγράφους Παρουσίαση αποτελεσμάτων Για τις δοκιμές χρησιμοποιήθηκε ο παρακάτω τρόπος παρουσίασης: Στα σχήματα παρουσιάζονται οι λόγοι που προκύπτουν από κάθε τεχνική αντιστροφής που δοκιμάστηκε. Αναλυτικότερα κάθε σχήμα περιέχει 4 γραμμές και έναν

80 70 αριθμό στηλών που εξαρτάται από τη φάση που απεικονίζει. Δηλαδή για το μοντέλο του σχήματος 3.9, που αποτελείται από 6 φάσεις, υπολογίζονται οι λόγοι με βάση την φάση 1 οπότε υπάρχουν 5 στήλες (σχήμα 3.10) : (φάση 2)/(φάση 1) (φάση 3)/(φάση 1) (φάση 4)/(φάση 1) (φάση 5)/(φάση 1) (φάση 6)/(φάση 1) Συνοψίζοντας τα παραπάνω προκύπτει ο πίνακας 3.2 που αναπαριστά τον αριθμό των στηλών σε κάθε φάση ΑΡΙΘΜΟΣ ΦΑΣΕΩΝ ΦΑΣΗ 1 ΦΑΣΗ 2 ΦΑΣΗ 3 ΦΑΣΗ 4 ΦΑΣΗ 5 ΦΑΣΗ 6 ΣΥΝΟΛΟ ΣΤΗΛΩΝ ΦΑΣΗ 1 Χ 5 ΦΑΣΗ 2 Χ Χ 4 ΦΑΣΗ 3 Χ Χ Χ 3 ΦΑΣΗ 4 Χ Χ Χ Χ 2 ΦΑΣΗ 5 Χ Χ Χ Χ Χ 1 ΦΑΣΗ 6 Χ Χ Χ Χ Χ Χ 0 Πίνακας 3.2: Αριθμός στηλών-σχημάτων που απαιτούνται για την απεικόνιση των λόγων διαχρονικών δεδομένων 6 φάσεων. Με τικ παρουσιάζονται οι λόγοι που υπολογίζονται συνήθως, ενώ με Χ αυτοί που δεν υπολογίζονται. Οι λόγοι που απεικονίζονται επιλέχτηκαν και με βάση τη χρονική εξέλιξη του φαινομένου. Δηλαδή ενώ απεικονίζεται λ.χ. ο λόγος (φάση 3)/(φάση 2) δεν απεικονίζεται ο λόγος (φάση 2)/(φάση 3). Σε περιπτώσεις που αυτό είναι σκόπιμο η απεικόνιση λόγων με την αντίστροφη χρονική σειρά αρκεί να απεικονιστεί ο αντίστροφος για το χρονικό διάστημα αυτό (δηλαδή ο λόγος 1 / ( (φάση 3) / (φάση 2) ) ). Η κάθε γραμμή των σχημάτων των λόγων (π.χ. σχήμα 3.16) απεικονίζει την διαφορετική τεχνική που χρησιμοποιήθηκε. Αναλυτικότερα

81 71 Η πρώτη γραμμή απεικονίζει του λόγους των μοντέλων και αποτελούν το αποτέλεσμα αναφοράς και απουσιάζει από τα μοντέλα Α και Β, καθώς τα μοντέλα αυτά δοκιμάστηκαν για τη σύγκριση των τεχνουργημάτων. Η δεύτερη γραμμή απεικονίζει τους λόγους με την τεχνική της διαφοράς ανεξάρτητων αντιστροφών. Η τρίτη γραμμή απεικονίζει τους λόγους με την αντιστροφή διαφορών Η τέταρτη γραμμή απεικονίζει τους λόγους με την σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή. Η χρωματική κλίμακα υποδηλώνει τη διαφορά στις ειδικές αντιστάσεις μεταξύ των φάσεων (αδιάστατη μονάδα μέτρησης). Σε περιοχές που απεικονίζονται με λευκό χρώμα δεν υπάρχει αλλαγή των αντιστάσεων μεταξύ των φάσεων, σε περιοχές που υπάρχει κόκκινο χρώμα παρουσιάζεται αύξηση της ειδικής αντίστασης μεταξύ των φάσεων και σε περιοχές που υπάρχει μπλε χρώμα μείωση Μοντέλο Α Το μοντέλο αυτό αναπαριστά οριζόντια στρωματογραφία με στρώμα πάχους 12 μέτρων και φαινόμενης αντίστασης 100 (Ohm.m) υπερκείμενου ημιχώρου φαινόμενης αντίστασης 1000 (Ohm.m). Σε δύο γεωτρήσεις βάθους 40 μέτρων και απόσταση ανάμεσα τους 10 μέτρων, θεωρούνται τοποθετημένα ηλεκτρόδια ανά 2 μέτρων ορίζοντας ένα σύνολο 40 συνολικά ηλεκτροδίων (20 ανά γεώτρηση). Ένα σύνολο 334 μετρήσεων διπόλουδιπόλου (ΑΜ-ΒΝ) αποτελούν το σετ δεδομένων. Στο σύνολο δεδομένων έχει εισαχθεί τεχνητά τυχαίος θόρυβος (5% της μέσης τιμής δυναμικού, 50mV), για ρεαλιστικότερα αποτελέσματα. Σε οριζόντια απόσταση 12 έως 18 μέτρα και βάθος από 12 έως 18 μέτρα εμφανίζεται σώμα ειδικής αντίστασης 100 (Ohm.m) (φάση 1). Το σώμα παρουσιάζει χρονικά αύξηση της ειδικής του αντίστασης, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Το μοντέλο Α παρουσιάζεται στο σχήμα 3.9

82 72 ΦΑΣΗ (Ohm.m) ΦΑΣΗ (Ohm.m) Resistivity (log Ohm.m) ΦΑΣΗ 3 ΦΑΣΗ (Ohm.m) 400 (Ohm.m) ΦΑΣΗ (Ohm.m) ΦΑΣΗ (Ohm.m) Σχήμα 3.9 : Μοντέλο Α. Στο μαύρο πλαίσιο σημειώνεται η περιοχή που παρουσιάζει σταδιακή αλλαγή στις χρονικές φάσεις. Για το μοντέλο Α παρουσιάζονται οι διαχρονικές αλλαγές με βάση το μοντέλο 1 ώστε να αναπαρασταθούν μεγάλες αλλαγές και οι διαχρονικές αλλαγές με βάση το μοντέλο 3 για τις μικρότερες αλλαγές. Αναλυτικότερα η αλλαγή ως λόγος μοντέλων παρουσιάζεται στον πίνακα 3.2 ΛΟΓΟΙ Φάση 2 Φάση 3 Φάση 4 Φάση 5 Φάση 6 Φάση Φάση 3 Χ Χ Πίνακας 3.2: Οι τιμές των λόγων των μοντέλων.

83 73 α β γ δ meters Σχήμα 3.10: Λόγοι με φάση αναφοράς τη φάση 1 για τις τεχνικές α) μοντέλο β) διαφορές ανεξάρτητων αντιστροφών, γ) αντιστροφή διαφορών, δ) σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή. Οι λόγοι σε σχέση με τη φάση 3 παρουσιάζονται στο σχήμα 3.11

84 74 α β γ meters Σχήμα 3.11: Λόγοι με φάση αναφοράς τη φάση 3 για τις τεχνικές α) διαφορές ανεξάρτητων αντιστροφών, β) αντιστροφή διαφορών, γ) σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή. Σε γενικές γραμμές η κύρια αλλαγή παρουσιάζεται το ίδιο καλά σε όλες τις τεχνικές. Τα τεχνουργήματα όμως στις εικόνες της διαφοράς ανεξάρτητων αντιστροφών και αντιστροφής διαφορών, όπως φαίνεται στα σχήματα 3.10 και 3.11, είναι αρκετά έντονα με αποτέλεσμα να δυσκολεύει η ερμηνεία. Επίσης ενδιαφέρον έχει να αναφερθεί ότι σε αυτό το μοντέλο με την τεχνική της αντιστροφής διαφορών δεν παρατηρείται μείωση των

85 75 τεχνουργημάτων σε σχέση με την τυπική αντιστροφή. Παρατηρείται ότι η τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής εξαλείφει τα τεχνουργήματα, δίνοντας μια πιο πιστή εικόνα όσον αφορά την χωρική κατανομή της αλλαγής. Οι ζώνες που παρουσιάζονταν με χαμηλότερη αντίσταση πάνω και κάτω από την πραγματική αλλαγή έχουν σχεδόν πλήρως εξαλείφθει. Όμως η εικόνα παρουσιάζεται σαφώς πιο εξομαλυσμένη σε σχέση με τις άλλες τεχνικές, γεγονός που αντικατοπτρίζεται και στις τιμές των λόγων που είναι σημαντικά μικρότερες από αυτές των άλλων τεχνικών, λχ για το λόγο της (φάσης 6) / (φάση 1) η πραγματική τιμή είναι 6 (στην περιοχή της αλλαγής), ενώ η τεχνική της ανεξάρτητης αντιστροφής δίνει λόγο 3.1, η τεχνική της αντιστροφής διαφορών 2.7 και τέλος η τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής λόγο 2.3 (μικρότερος λόγος συνεπάγεται ποιό εξομαλυσμένη εικόνα) Μοντέλο Β Το μοντέλο αυτό αναπαριστά οριζόντια στρωματογραφία με στρώμα πάχους 12 μέτρων και φαινόμενης αντίστασης 100 (Ohm.m) υπερκείμενου ημιχώρου φαινόμενης αντίστασης 1000 (Ohm.m). Σε δύο γεωτρήσεις βάθους 40 μέτρων και απόστασης ανάμεσα τους 10 μέτρων, θεωρούνται τοποθετημένα ηλεκτρόδια ανά 2 μέτρα ορίζοντας ένα σύνολο 40 συνολικά ηλεκτροδίων (20 ανά γεώτρηση). Ένα σύνολο 334 μετρήσεων διπόλουδιπόλου (ΑΜ-ΒΝ) αποτελούν το σετ δεδομένων. Στο σύνολο δεδομένων έχει εισαχθεί τεχνητά τυχαίος θόρυβος (5% της μέσης τιμής δυναμικού, 50mV), για ρεαλιστικότερα αποτελέσματα. Σε οριζόντια απόσταση 12 έως 18 μέτρων και βάθους από 12 έως 18 μέτρα εμφανίζεται σώμα ειδικής αντίστασης 100 (Ohm.m) (φάση 1). Το σώμα παρουσιάζει χρονικά μείωση της ειδικής του αντίστασης, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Το μοντέλο Β παρουσιάζεται στο σχήμα 3.12.

86 76 ΦΑΣΗ (Ohm.m) ΦΑΣΗ 2 65 (Ohm.m) Resistivity (log Ohm.m) ΦΑΣΗ 3 ΦΑΣΗ 4 40 (Ohm.m) 20 (Ohm.m) ΦΑΣΗ 5 10 (Ohm.m) ΦΑΣΗ 6 5 (Ohm.m) Σχήμα 3.12: Μοντέλο Β. Στο μαύρο πλαίσιο σημειώνεται η περιοχή που παρουσιάζει αλλαγή στις φάσεις. Για το μοντέλο Β παρουσιάζονται οι διαχρονικές αλλαγές με βάση το μοντέλο 1, ώστε να αναπαρασταθούν μεγάλες αλλαγές και οι διαχρονικές αλλαγές με βάση το μοντέλο 3 για τις μικρότερες αλλαγές. Αναλυτικότερα η αλλαγή παρουσιάζεται στον πίνακα 3.4 ΛΟΓΟΙ Φάση 2 Φάση 3 Φάση 4 Φάση 5 Φάση 6 Φάση 1 0,65 0,4 0,2 0,1 0,05 Φάση 3 Χ Χ 0,5 0,25 0,125 Πίνακας 3.4: Οι τιμές των λόγων των μοντέλων.

87 77 α β γ δ meters Σχήμα 3.13: Λόγοι με φάση αναφοράς τη φάση 1 για τις τεχνικές α) μοντέλο β) διαφορές ανεξάρτητων αντιστροφών, γ) αντιστροφή διαφορών, δ) σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή Οι λόγοι σε σχέση με την φάση 3 παρουσιάζονται στο σχήμα 3.14.

88 78 α β γ meters Σχήμα 3.14 :Λόγοι με φάση αναφοράς τη φάση 3 για τις τεχνικές α) διαφορές ανεξάρτητων αντιστροφών, β) αντιστροφή διαφορών, γ) σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή. Σε γενικές γραμμές η κύρια αλλαγή παρουσιάζεται το ίδιο καλά σε όλες τις τεχνικές. Τα τεχνουργήματα όμως στις εικόνες της διαφοράς ανεξάρτητων αντιστροφών και αντιστροφής διαφορών, όπως φαίνεται στα σχήματα 3.13 και 3.14, είναι αρκετά έντονα με αποτέλεσμα να δυσκολεύει η ερμηνεία. Επίσης ενδιαφέρον έχει να αναφερθεί ότι σε αυτό

89 79 το μοντέλο με την τεχνική της αντιστροφής διαφορών δεν παρατηρείται μείωση των τεχνουργημάτων σε σχέση με την τυπική αντιστροφή Παρατηρείται ότι η τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής εξαλείφει τα τεχνουργήματα δίνοντας μια πιο πιστή εικόνα, όσον αφορά τη χωρική κατανομή της αλλαγής. Οι ζώνες που εμφανίζουν με τις προηγούμενες τεχνικές υψηλότερη αντίσταση πάνω και κάτω από την πραγματική αλλαγή έχουν σχεδόν πλήρως εξαλείφει. Όμως η εικόνα παρουσιάζεται πιο εξομαλυσμένη σε σχέση τις άλλες τεχνικές, γεγονός που αντικατοπτρίζεται και στις τιμές των λόγων που είναι σημαντικά μικρότερη από των άλλων τεχνικών, λχ για το λόγο της (φάσης 6) / (φάση 1) η πραγματική τιμή είναι 0.05, ενώ η τεχνική της ανεξάρτητης αντιστροφής δίνει λόγο 0.65, η τεχνική της αντιστροφής διαφορών 0.65 και τέλος η τεχνική σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής λόγο Μοντέλο Γ Στα μοντέλα Α και Β παρουσιάστηκαν διαχρονικές αλλαγές, οι οποίες περιορίστηκαν μόνο σε ποσοτικές αλλαγές. Στο μοντέλο Γ παρουσιάζεται μια χωρική αλλαγή μεταξύ των φάσεων. Αναλυτικότερα: Το Μοντέλο αποτελείται από εναλλαγές στρωμάτων χαμηλής αντίστασης 10 (Ohm.m) και 30 (Ohm.m). Θεωρούνται δύο γεωτρήσεις βάθους 102 μέτρων με μεταξύ τους απόσταση 30 μέτρα. Σε κάθε γεώτρηση θεωρούνται 17 ηλεκτρόδια ανά 6 μέτρα, δημιουργώντας ένα σύνολο 34 ηλεκτροδίων. Ένα σύνολο 822 μετρήσεων διπόλου-διπόλου (ΑΜ-ΒΝ) αποτελεί το σετ δεδομένων. Σε αυτό το σετ έχει εφαρμοστεί τυχαίος θόρυβος 5% για τη ρεαλιστικότερη αναπαράσταση των αποτελεσμάτων. Στο μοντέλο αυτό από τη φάση 2 έως και την φάση 6 έχουμε τη διείσδυση σώματος υψηλότερης αντίστασης 60 (Ohm.m) από αριστερά προς τα δεξιά μέσα στο στρώμα με αντίσταση 30 (Ohm.m). Το μοντέλο αυτό παρουσιάζεται στο σχήμα Ένα τέτοιο μοντέλο θα μπορούσε να αντιπροσωπεύει πίεση νερού ή διαρροή από κάποια άλλη αιτία μέσα σε ένα στρώμα που περιβάλλεται από αδιαπέραστα στρώματα αργίλου.

90 80 T1 T2 T3 T4 T5 T6 meters Resistivity (Ohm.m) Σχήμα 3.15: Μοντέλο Γ. Στο μοντέλο αυτό παρουσιάζεται η είσοδος σώματος υψηλής αντίστασης (60 ohm.m) μέσα σε σώμα 30 ohm.m και εξάπλωση του ανάμεσα στις φάσεις. Για την πληρέστερη ανάλυση των διαχρονικών δεδομένων απαιτείται ο υπολογισμός όλων των σχετικών λόγων μεταξύ τους (πχ με βάση τη φάση όλες οι επόμενες φάσεις, με βάση την φάση 2 όλες οι επόμενες φάσεις κτλ), καθώς δεν είναι δυνατή η εκ των προτέρων γνώση της αρχικής φάσης των μετρήσεων (πχ η πρώτη διαχρονική μέτρηση μπορεί να ξεκινήσει από την φάση 2). Παρόλα αυτά, σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζονται μόνο οι λόγοι σε σχέση με την φάση 1, καθώς η πληρέστερη ανάλυση θα γίνει στο επόμενο κεφάλαιο. Από το σχήμα 3.16 παρατηρείται ότι, ενώ τα τεχνουργήματα με την τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής εξαλείφονται, η πραγματική μεταβολή είναι πολύ εξομαλυσμένη με αποτέλεσμα να μην είναι δυνατή η διάκριση της αλλαγής ανάμεσα στις φάσεις. Αντίθετα η διαφορά ανεξάρτητων αντιστροφών και η αντιστροφή διαφορών παρουσιάζουν όμοια συμπεριφορά, όσον αφορά τα τεχνουργήματα (με την αντιστροφή διαφορών να είναι κάπως ελαττωμένα), αλλά πετυχαίνουν να αναπαραστήσουν την πραγματική αλλαγή καλύτερα.

91 81 α β γ meters δ Σχήμα 3.16: Λόγοι με φάση αναφοράς τη φάση 1 για τις τεχνικές α) Μοντέλο β) διαφορές ανεξάρτητων αντιστροφών, γ) αντιστροφή διαφορών, δ) σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή.

92 82 Μοντέλο α=0 α=0.01 meters α=0.1 α=1 Σχήμα 3.17: Δοκιμές με διαφορετικούς χρονικούς Lagrange. Παρατηρείται ότι αύξηση του πολλαπλασιαστή οδηγεί σε εικόνες μεγάλης εξομάλυνσης. Αντίθετα, όταν γίνεται ανάθεση τιμής μηδέν στον πολλαπλασιαστή, η τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής δίνει την ίδια ακριβώς εικόνα με τη διαφορά ανεξάρτητων αντιστροφών.

93 83 Στο σχήμα 3.17, παρουσιάζονται οι λόγοι αντιστροφής με την τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής για διάφορες τιμές του πολλαπλασιαστή Lagrange α. Όπως είναι αναμενόμενο, όταν ο πολλαπλασιαστής α έχει τιμή μηδέν, οι λόγοι που παράγονται είναι οι ίδιοι ακριβώς με αυτούς από τις διαφορές ανεξάρτητων αντιστροφών (σχήμα 3.16.β), με καλή αναπαράσταση της πραγματικής αλλαγής αλλά και πολλά τεχνουργήματα. Αντίθετα με ανάθεση στον πολλαπλασιαστή τιμή α=1, τα τεχνουργήματα εξαφανίζονται, όμως και η αλλαγή εμφανίζεται υπερβολικά εξομαλυμένη. Για τις τιμές που προτείνονται από τον Kim (2005), α=0.01 και α=0.1 παρατηρείται όμοια εικόνα με τα τεχνουργήματα σε ελαφρά μικρότερο βαθμό στην περίπτωση με α=0.1. Η αλλαγή απεικονίζεται με περίπου τον ίδιο τρόπο και για τους δύο πολλαπλασιαστές. Για το λόγο αυτό κρίθηκε σκόπιμο για όλα τα συνθετικά μοντέλα στο επόμενο κεφάλαιο να γίνει χρήση της τιμής α= Συμπεράσματα Κάθε τεχνική παρουσιάζει πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα. Γενικά η τεχνική της διαφοράς ανεξάρτητων αντιστροφών έχει τα περισσότερα τεχνουργήματα, αλλά επιτρέπει και τις περισσότερες αλλαγές από φάση σε φάση. Σε δεδομένα όμως κακής ποιότητας τα τεχνουργήματα αυτά αποκτούν πολύ σημαντικό ρόλο και αλλοιώνουν τη διαχρονική εικόνα και δεν επιτρέπουν το διαχωρισμό μεταξύ πραγματικών αλλαγών και τεχνουργημάτων. Η τεχνική της αντιστροφής διαφορών πετυχαίνει σε αρκετές περιπτώσεις τη μείωση των τεχνουργημάτων, ενώ ταυτόχρονα επιτρέπει να απεικονίζονται και σημαντικές αλλαγές μεταξύ των φάσεων (μέτρια εξομάλυνση). Όμως αυτή η τεχνική απαιτεί το μεγαλύτερο υπολογιστικό χρόνο, καθώς επίσης τα μοντέλα έχουν εξάρτηση από το αρχικό μοντέλο που θα χρησιμοποιηθεί, αφού αυτό χρησιμοποιείται σαν μοντέλο αναφοράς. Η σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή έχει τα λιγότερα τεχνουργήματα αλλά και τη μεγαλύτερη εξομάλυνση. Αυτό το γεγονός, ιδίως σε περιπτώσεις που έχουμε χωρικές αλλαγές μεταξύ των φάσεων, παρουσιάζεται σαν αδυναμία αναπαράστασης της πραγματικής αλλαγής. Παρατηρώντας τις τρεις γνωστές τεχνικές μπορεί να βρεθεί μια εμπειρική σχέση μεταξύ των τεχνουργημάτων και της εξομάλυνσης. Γενικότερα μείωση των τεχνουργημάτων οδηγεί σε αυξημένη εξομάλυνση του μοντέλου και αντίστροφα, Για τους λόγους αυτούς, σε αυτή

94 84 τη διατριβή αναπτύχθηκε μια βελτιστοποιημένη τεχνική σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής, όπου έχει ταυτόχρονα όλα τα πλεονεκτήματά της (λιγότερα τεχνουργήματα), αλλά ταυτόχρονα επιτρέπει και στις περιοχές που παρουσιάζουν τις μεγαλύτερες αλλαγές την ελάχιστη εξομάλυνση.

95 85 Κεφάλαιο 4 Ενεργά χρονομεταβλητή εξομαλυμένη αντιστροφή Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται μια βελτιστοποιημένη τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής, η ενεργή χρονομεταβλητή αντιστροφή. Όπως αναπτύχθηκε στο 3 ο κεφάλαιο, η τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής παρουσιάζει τα λιγότερα τεχνουργήματα, αλλά ταυτόχρονα και τη μεγαλύτερη εξομάλυνση. Στόχος της μεθόδου αυτής είναι η ενεργή ανάθεση τιμών του πολλαπλασιαστή Lagrange ανάλογα με τη μεταβολή των τιμών της αντίστασης μεταξύ των φάσεων. Σε περιοχές με μεγάλη αλλαγή της τιμής της αντίστασης μεταξύ δυο φάσεων ανατίθεται μικρή

96 86 τιμή του πολλαπλασιαστή και αντίστροφα. Για να επιτευχθεί αυτό, χρειάζεται να γίνει μια προεκτίμηση της περιοχής αλλαγής, με τον υπολογισμό των πινάκων διαφοράς, μια τεχνική που αναπτύχθηκε στην διατριβή αυτή. Με την τεχνική αυτή, επιτυγχάνεται μεγάλη εξομάλυνση (λίγα τεχνουργήματα) στις περιοχές που δεν παρουσιάζουν αλλαγή, (όπως και στη σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή), αλλά και μικρή εξομάλυνση στις περιοχές που παρουσιάζουν αλλαγή, (όπως και στην τεχνική των διαφορών αντιστροφής). Άμεσο αποτέλεσμα είναι η ανάδειξη της περιοχής της πραγματικής αλλαγής. Η νέα τεχνική δοκιμάστηκε και συγκρίθηκε με ένα πλήθος συνθετικών δεδομένων Εισαγωγή Η μελέτη του προηγούμενου κεφαλαίου έδειξε ότι η διαφορά αντιστροφών και η αντιστροφή διαφορών είναι γενικά επιρρεπής σε τεχνουργήματα. Η τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής (Kim et al, 2009) με την εισαγωγή του παράγοντα της χρονομεταβλητής εξομάλυνσης παρουσιάζει μεν πολύ λιγότερα τεχνουργήματα, αλλά γενικά παρουσιάζει σχετικά υψηλό βαθμό εξομάλυνσης. Το πρόβλημα της υπερβολικής εξομάλυνσης αντιμετωπίζεται με τη χρήση μικρότερου συντελεστή χρονοεξομάλυνσης. Αυτό όμως αυξάνει τα τεχνουργήματα με αποτέλεσμα να εξομοιώνει την τεχνική με τις υπάρχουσες προσεγγίσεις αντιστροφής διαχρονικών δεδομένων (πχ αντιστροφή διαφορών). Η αδυναμία αυτής της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής οδηγεί στην προσπάθεια βελτίωσής της. Ειδικότερα στην ιδανική περίπτωση η αντιστροφή θα έπρεπε να επιτρέπει αλλαγές στα σημεία όπου παρουσιάζεται πραγματική χρονομεταβολή των ιδιοτήτων και να μην επιτρέπει τη δημιουργία τεχνουργημάτων σε περιοχές μικρών αλλαγών. Για να γίνει αυτό δυνατό απατούνται δύο προϋποθέσεις. Η χρονομεταβλητή εξομάλυνση πρέπει να έχει τη δυνατότητα να καταστεί ενεργή, δηλαδή να μην είναι σταθερή στις παραμέτρους όλων των χρονικών φάσεων. Κάτι τέτοιο η τρέχουσα διαμόρφωση (Kim et al, 2009)

97 87 δεν το επιτρέπει, καθώς ο πολλαπλασιαστής Lagrange της χρονομεταβλητότητας, είναι ένας σταθερός αριθμός που εφαρμόζεται για όλες τις παραμέτρους μιας φάσης. Επομένως ο αλγόριθμος πρέπει να τροποποιηθεί ώστε ο πολλαπλασιαστής Lagrange να γίνει πίνακας, έτσι ώστε να πάρει τιμές διαφορετικές για κάθε παράμετρο και χρονική φάση. ΑΑ = [AA iiii ] ii = 1, ααααααααααόςς ππππππππππέττττττττ tt = 1, ααααααααααόςς φφάσσσσσσσσ 4.1. Καθιστώντας τον χρονοεξαρτημένο πολλαπλασιαστή ενεργό σημαίνει ότι πρέπει να αποδοθούν τιμές σε αυτόν, ώστε, όταν η αλλαγή μεταξύ της παραμέτρου I για τη φάση t αναμένεται να είναι σημαντική, η τιμή του Αit να είναι μικρή (θεωρητικά 0), και για την αντίθετη περίπτωση να είναι μεγάλη (θεωρητικά ). Αυτό σημαίνει ότι απαιτείται μια αξιόπιστη προεκτίμηση του μεγέθους των αναμενόμενων χωροχρονικών αλλαγών, αλλά και ένας μηχανισμός απόδοσης τιμών στον πίνακα Α. Στις επόμενες ενότητες θα παρουσιαστεί ο νέος αλγόριθμος ενεργούς χρονομεταβλητής αντιστροφής τόσο σε σχέση με τη διαμόρφωση των βασικών εξισώσεων, όσο και σε σχέση με το μηχανισμό εύρεσης τιμών του πίνακα Α. Ο αλγόριθμος δοκιμάστηκε με συνθετικά δεδομένα και συγκρίθηκε με τους υπολοίπους Ενεργή χρονομεταβλητή αντιστροφή (4D-ATC) Ακολουθώντας τη σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή (Kim, 2009) η ενεργή χρονομεταβλητή αντιστροφή αντιστρέφει ταυτόχρονα όλα τα διαχρονικά δεδομένα. Στην τεχνική αυτή πέρα από την κανονικοποίηση στο χώρο χρησιμοποιείται και η κανονικοποίηση στο χρόνο, ώστε να ελαχιστοποιηθούν τα τεχνουργήματα και να σταθεροποιηθεί η αντιστροφή. Αν θεωρήσουμε ως ee = DD GG XX 4.2.

98 88 το προβλεπόμενο σφάλμα μεταξύ των δεδομένων και των συνθετικών, όπου (GG XX η επίλυση του ευθέος προβλήματος) DD και ΧΧ τα δεδομένα και μοντέλα από όλες τις χρονικές στιγμές (φάσεις), δηλαδή XX 1 dd 1 DD = και XX = όπου t=1 αριθμός φάσεων 4.3. dd tt XX tt Είναι προφανές ότι δεδομένα που έχουν μετρηθεί στις ίδιες χωρικές συντεταγμένες (δηλαδή χρησιμοποιώντας τα ίδια ηλεκτρόδια) αλλά σε διαφορετικές χρονικές στιγμές, αντιμετωπίζονται σαν ανεξάρτητα δεδομένα. Χρησιμοποιώντας τη λύση των ελαχίστων τετραγώνων αναζητείται η ελαχιστοποίηση του προβλεπόμενου σφάλματος e. Καθώς τα δεδομένα και το μοντέλο είναι ορισμένα στο χώρο και στο χρόνο, είναι δυνατόν να εφαρμοστούν δύο τύποι κανονικοποίησης, τόσο στο χώρο όσο και στο χρόνο, ώστε να σταθεροποιηθεί η αντιστροφή, οπότε η συνάρτηση που ελαχιστοποιείται στην επίλυση του αντιστρόφου προβλήματος είναι η ακόλουθη SS = ee TT ee 2 + λλλλ + αααα 4.4. όπου Ψ και Γ είναι οι κανονικοποιήσεις στον χώρο και χρόνο αντίστοιχα, λ και α είναι οι πολλαπλασιαστές Lagrange για τον έλεγχο αυτών των κανονικοποιήσεων. Στη σχέση 4.4 χρησιμοποιούνται οι σταθεροί πολλαπλασιαστές λ και α και όχι οι πίνακες ενεργούς εξισορρόπησης Λ και ενεργούς χρονομεταβλητής αντιστροφής Α για λόγους απλότητας. Για την κανονικοποίηση στο χώρο οι Kim et al (2009) εφαρμόζουν έναν πίνακα εξομάλυνσης, όπως και στην τυπική αντιστροφή. Για την κανονικοποίηση στο χρόνο οι Kim et al (2009) θεωρούν ότι η αλλαγή στα μοντέλα μεταξύ δύο φάσεων δεν είναι σημαντική, οπότε οι πίνακες Ψ και Γ ορίζονται ως ΨΨ = ( nn ddxx ) ΤΤ ( nn ddxx ) tt 1 ΓΓ = XX ii + ddxx ii (XX ii+1 + ddxx ii+1) 2 ii=1 = {ΜΜ(XX + ddxx )} TT MM XX + ddxx, tt = ααααααααααόςς φφάσσσσσσσσ 4.5. όπου M τετραγωνικός πίνακας στον οποίο μόνο η διαγώνιος και μια υποδιαγώνιος έχουν τιμές 1 και -1. Αναλυτικότερα ο πίνακας Μ έχει διαστάσεις (αριθμός παραμέτρων Χ

99 89 αριθμό φάσεων) Χ (αριθμό παραμέτρων Χ αριθμό φάσεων) (πχ για το μοντέλο του σχήματος 4.1 οι διαστάσεις του είναι 64Χ64). Ο πίνακας Μ συσχετίζει τις ίδιες παραμέτρους στις δύο γειτονικές φάσεις και αν αριθμήσουμε τις παραμέτρους κατά αύξουσα σειρά, ο πίνακας θα συσχετίσει τις παραμέτρους 1 και 17, 17 και 33, 33 και 49, 2 και 18 κτλ, όπως φαίνεται στο σχήμα ΦΑΣΗ 1 ΦΑΣΗ 2 ΦΑΣΗ 3 ΦΑΣΗ 4 ii = 33 ii = 1111 ΜΜ = ii = 33 ii=11 ii= ii=6666 ΑΑ = ii = 33 ii=11 ii= ii= aa iiii Σχήμα 4.1: Σχηματική αναπαράσταση του πίνακα Μ για τέσσερις φάσεις. Τα βέλη δείχνουν το συσχετισμό των παραμέτρων μεταξύ των φάσεων. Για την παράμετρο 3 της φάσης 1, γίνεται ανάθεση τιμής 1, ενώ για την ίδια παράμετρο στην φάση 2 (θέση παραμέτρου 19) γίνεται ανάθεση -1. Για την παράμετρο 1 της φάσης 1 αποδίδεται μεγάλη τιμή του χρονοεξαρτημένου πολλαπλασιαστή (πχ 0.1, μεγάλη εξομάλυνση). Για την παράμετρο 3 της φάσης, αποδίδεται μικρή τιμή του πολλαπλασιαστή χρονοεξαρτημένου πολλαπλασιαστή (πχ 0, μικρή εξομάλυνση)

100 90 Ελαχιστοποιώντας την σχέση 4.5 προκύπτει ότι η διόρθωση του μοντέλου ddxx σε κάθε επανάληψη δίνεται από τη σχέση XX ii+1 = XX ii + ddxx ddxx = (JJ TT JJ + CC TT ΛΛ CC + ΜΜ ΤΤ ΑΑ ΜΜ) 1 (JJ TT GG XX DD MM TT ΑΑ MMXX ) 4.6. όπου JJ είναι ο ιακωβιανός πίνακας και έχει μορφή JJ = JJ JJ JJ tt, t=1, αριθμός φάσεων. Είναι φανερό ότι χρειάζεται να υπολογίσει ο ιακωβιανός για κάθε φάση χωριστά. GG(XX ) η επίλυση του ευθέος προβλήματος (ή αλλιώς τα συνθετικά δεδομένα) CC ο πίνακας χωρικής εξομάλυνσης και έχει μορφή CC = CC CC CC tt κάθε φάση, δηλαδή C 1 =C 2 =.=C t t=1,.αριθμός φάσεων, και είναι ο ίδιος για O πίνακας ddxx περιέχει τις διορθώσεις για τα μοντέλα ταυτόχρονα από όλες ddxx 11 τις φάσεις, δηλαδή ddxx = ddxx tt t=1,.αριθμός φάσεων ΛΛ ο πίνακας ενεργούς χωρικής εξισορρόπησης (ACB, Yi et al, 2003), οπότε ο παράγοντας λ της σχέσης 4.4 έχει αντικατασταθεί από τον διαγώνιο πίνακα ΛΛ = ΛΛ ΛΛ κεφάλαιο ΛΛ tt =1,.αριθμός φάσεων, όπως παρουσιάστηκε στο

101 91 ΑΑ = aa αντιστροφής 0 αα αα αα iiii ο πίνακας ενεργά χρονομεταβλητής i=1, αριθμός παραμέτρων t=1, αριθμός φάσεων και αντικαθιστά τον παράγοντα α της σχέσης 4.4. Προκειμένου να γίνει ανάθεση διαφορετικών τιμών στον πίνακα ενεργά εξομάλυνσης, πρέπει πρώτα να γίνει μια αξιόπιστη προεκτίμηση του μεγέθους των αναμενόμενων χωροχρονικών αλλαγών. Το διάγραμμα ροής του αλγόριθμου παρουσιάζεται στο σχήμα 4.2. Για i=1 μέχρι αριθμό επαναλήψεων Διόρθωση μοντέλου XX ii+1 = XX ii + (JJ TT JJ + CC TT ΛΛ CC + ΜΜ ΤΤ ΑΑ ΜΜ) 1 (JJ TT GG XX DD MM TT ΑΑ MMXX ) Κριτήρια σύγκλισης ΟΧΙ ΝΑΙ ΧΧ Σχήμα 4.2: Διάγραμμα ροής της ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής (4D)

102 Προεκτίμηση χωροχρονικών αλλαγών Η εύρεση των περιοχών μεγάλων αλλαγών γίνεται με τον υπολογισμό των διορθώσεων των μοντέλων για κάθε φάση χωριστά, χρησιμοποιώντας την τυπική λύση ελαχίστων τετραγώνων, πριν την πρώτη επανάληψη. Παρατηρώντας τη σχέση 4.6, έχουν ήδη υπολογιστεί οι ιακωβιανοί πίνακες κάθε φάσης καθώς επίσης και η διαφορά G(X)-d για κάθε φάση. Επομένως πριν την διόρθωση του συνολικού μοντέλου (σχέση 4.6), είναι δυνατόν να υπολογιστούν προσωρινά οι διορθώσεις dx t των μοντέλων κάθε φάσης t ξεχωριστά σύμφωνα με τη λύση της εξομαλυμένης αντιστροφής που παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο 2. ddxx tt = (JJ tt TT JJ tt + CC tt TT ΛΛ tt CC tt ) 1 JJ tt TT (dd tt GG(XX ii )) t=1, αριθμός φάσεων 4.7. Έχοντας υπολογίσει τη διόρθωση του μοντέλου κάθε φάσης χωριστά, υπολογίζεται ο πίνακας διαφορών K 2 ως εξής ΚΚ 22 = (XX οοοοοοοοοοοο ήςς + ddxx 2 )/(XX οοοοοοοοοοοο ήςς + ddxx 1 ) (XX οοοοοοοοοοοο ήςς + ddxx 3 )/(XX οοοοοοοοοοοο ήςς + ddχχ 2 ) (XX οοοοοοοοοοοο ήςς + ddxx tt )/(XX οοοοοοοοοοοο ήςς + ddxx tt 1 ) Καθώς το αρχικό μοντέλο είναι ομογενής γη, ο λόγος των ανεξάρτητων διορθώσεων μεταξύ δύο γειτονικών φάσεων, δείχνει μια προεκτίμηση της περιοχής που διαφέρουν αυτές οι φάσεις. Το πλεονέκτημα της τεχνικής αυτής είναι ότι ο υπολογισμός του πινάκα K 2 πραγματοποιείται κατά τη διάρκεια εκτέλεσης του αλγορίθμου, χωρίς την ανάγκη για επιπλέον υπολογισμούς και έχει τη δυνατότητα απεικόνισης σε πραγματικό χρόνο. Οι μέγιστες και ελάχιστες τιμές του πινάκα διαφορών αντιπροσωπεύουν και τις περιοχές των μεγαλύτερων αλλαγών.

103 Εφαρμογή του πίνακα διορθώσεων σε συνθετικά μοντέλα Η δυνατότητα απεικόνισης των χωροχρονικών αλλαγών με τη βοήθεια του πινάκα K 2 εξετάστηκε με ένα πλήθος συνθετικών μοντέλων. Στην συγκεκριμένη παράγραφο θα παρουσιαστεί ένα τμήμα αυτών των συνθετικών μοντέλων, καθώς στις μετέπειτα παραγράφους θα παρουσιαστούν οι πίνακες για κάθε μοντέλο. Ως παράδειγμα χρησιμοποιήθηκε ένα συνθετικό μοντέλο από δεδομένα γεώτρησης έξι φάσεων (σχήμα 4.3), στις οποίες θεωρούνται τοποθετημένα ηλεκτρόδια ανά 6 μέτρα και ένα σύνολο 822 μετρήσεων διπόλου-διπόλου. meters Ohm.m Σχήμα 4.3: Μοντέλο γεώτρησης-γεώτρησης 6 φάσεων Στο μοντέλο θεωρείται μια δυναμική αλλαγή όπως αυτή απεικονίζεται στο σχήμα 4.3. Για το μοντέλο αυτό υπολογίζεται ο πίνακας Κ 2 (σχήμα 4.4). Η πρώτη γραμμή σχηματίζεται από την πραγματική αλλαγή των δύο μοντέλων (πχ Τ2-Τ1), σχηματίζεται από την αφαίρεση της φάσης 2 από την φάση 1. Οπότε η μοναδική αλλαγή παρατηρείται στο κάτω τμήμα με μπλε χρώμα, δείχνοντας μια αλλαγή 15 Ohm.m (βλέπε σχήμα 4.4).Σε όλο το υπόλοιπο τμήμα (κόκκινο χρώμα) η αλλαγή είναι 0 Ohm.m.

104 94 Η δεύτερη γραμμή σχηματίζεται από τον πίνακα K 2. Είναι σημαντικό να τονιστεί ότι η κλίμακα δείχνει τις διαφορές των διορθώσεων αλλά έχει σχετική έννοια. Δηλαδή αυτό που ενδιαφέρει είναι η εύρεση των περιοχών που διαφέρουν από φάση σε φάση και παρουσιάζονται αισθητά διαφοροποιημένες από την τιμή 1. Για παράδειγμα, η μέγιστη τιμή 0.6 που παρατηρείται στη φάση Τ6-Τ5 πρέπει να ληφθεί υπόψη μεμονωμένα και όχι σαν γενικά μεγάλη τιμή, καθώς αντίστοιχα η μέγιστη τιμή που παρατηρείται στη φάση Τ4-T3 είναι περίπου 0.5 και αυτή πρέπει να ληφθεί υπόψη σαν μεγάλη αλλαγή στις φάσεις αυτές. Τέλος, να επισημανθεί ότι σκοπός του πίνακας δεν είναι η ποσοτική εύρεση της αλλαγής, αλλά μόνο η υπόδειξη της περιοχής της αλλαγής (λχ στην Τ6-Τ5 παρουσιάζεται αλλαγή στο μεσαίο στρώμα, που στο αριστερό τμήμα υπάρχει πτώση αντίστασης 15 Ohm.m, και στο δεξιό τμήμα 5 Ohm.m. Παρόλα αυτά, στόχος του πίνακα είναι η υπόδειξη της περιοχής των αλλαγών).

105 95 α β Σχήμα 4.4: Ο σχηματισμός του πινάκα Κ 2. Η α γραμμή περιέχει τις αλλαγές που προκύπτουν από τον λόγο των μοντέλων, και η β γραμμή τον πίνακα Κ 2. Παρατηρείται καλή ταύτιση της προεκτίμησης με την πραγματική αλλαγή. meters Ένα συνθετικό μοντέλο μετρήσεων επιφανειακών δεδομένων με 6 φάσεις παρουσιάζεται στο σχήμα 4.5. Στο μοντέλο αυτό θεωρούμε 34 ηλεκτρόδια ανά 3 μέτρα, σχηματίζοντας ένα σύνολο 802 μετρήσεων διπόλου διπόλου. Για το μοντέλο αυτό, αντίστοιχα σχηματίζεται ο πίνακας διαφορών (σχήμα 4.6)

106 96 meters Σχήμα 4.5: Μοντέλο επιφανειακών μετρήσεων 6 φάσεων.

107 α β 97 meters Σχήμα 4.6: Ο σχηματισμός του πινάκα Κ 2. Η α στήλη περιέχει τις αλλαγές που προκύπτουν από το λόγο των μοντέλων, και η β στήλη τον πίνακα Κ 1. Παρατηρείται καλή ταύτιση της προεκτίμησης με την πραγματική αλλαγή.

108 98 Στο σχήμα 4.7 παρουσιάζεται ένα μοντέλο επιφανειακών δεδομένων, όμοιο με αυτό του σχήματος 4.5. Στη φάση 2 στο πάνω στρώμα αντίστασης 100 Ohm.m εμφανίζεται μια πτώση αντίστασης κατά 70 Ohm, και στο κάτω στρώμα αντίστασης 1000 Ohm.m μια αύξηση αντίστασης κατά 100 Ohm.m. meters Σχήμα 4.7: Μοντέλο επιφανειακών μετρήσεων 3 φάσεων.

109 99 α β meters Σχήμα 4.8: Ο σχηματισμός του πινάκα Κ 2. Η α στήλη περιέχει τις αλλαγές που προκύπτουν από την αφαίρεση των μοντέλων, και η β στήλη τον πίνακα Κ 1. Παρατηρείται καλή ταύτιση της προεκτίμησης με την πραγματική αλλαγή στο επάνω τμήμα του μοντέλου. Αντίθετα υπάρχει αδυναμία εμφάνισης της αλλαγής στο κάτω τμήμα του μοντέλου.

110 100 Με την χρήση του πίνακα Κ 2, η αλλαγής της αντίστασης του κάτω στρώματος εμφανίζεται ελάχιστα στην περίπτωση των διαφορών Τ2-Τ1. Αντίθετα στην περίπτωση των λόγων Τ3-Τ2, η περιοχή εμφανίζεται με λόγο μικρότερο της μονάδας, υποδηλώνοντας μείωση της αντίστασης, πράγμα που δεν είναι αληθές. Παρόλα αυτά, με την χρήση των κριτηρίων που θα αναπτυχθούν στην επόμενη παράγραφο, η περιοχή αυτή δεν επιλέγεται ως περιοχή μεγάλων αλλαγών. Τέλος σε ένα μοντέλο γεώτρησης γεώτρησης που απεικονίζεται στο σχήμα 4.9, στις οποίες θεωρούνται τοποθετημένα ηλεκτρόδια ανά 6 μέτρα και ένα σύνολο 822 μετρήσεων διπόλου-διπόλου. Ohm.m meters Σχήμα 4.9: Μοντέλο γεώτρησης-γεώτρησης 6 φάσεων Στο μοντέλο αυτό παρατηρείται μια σταδιακή και μικρής έκτασης αλλαγή μεταξύ των φάσεων. Στο σχήμα 4.10, παρουσιάζονται ο πίνακας Κ 2. Παρατηρώντας τις σχετικές τιμές αυτών των πινάκων και συγκρίνοντας με τις τιμές των προηγουμένων μοντέλων, οι τιμές εμφανίζονται μικρότερες. Για το λόγο αυτό ο πίνακας Κ 2 δεν πετυχαίνει να αναπαραστήσει την πραγματική αλλαγή από τους λόγους Τ4-Τ3 και μετά. Μικρής έκτασης αλλαγές δεν είναι εύκολο να ανιχνευτούν, οπότε και η χρήση του πίνακα διαφορών δεν πρέπει να χρησιμοποιείται πάντοτε άκριτα.

111 101 α meters β Σχήμα 4.10: Ο σχηματισμός του πινάκα Κ 2. Η α γραμμή περιέχει τις αλλαγές που προκύπτουν από το λόγο των μοντέλων, και η β γραμμή τον πίνακα Κ 2. Συνοψίζοντας, μπορούμε να καταλήξουμε στα παρακάτω συμπεράσματα, όσον αφορά τη χρήση των πινάκων διαφοράς: Ο πίνακας Κ 2 πετυχαίνει να απεικονίσει σχετικά ικανοποιητικά τις περιοχές με τη μεγαλύτερη χρονική αλλαγή. Σε κάποιες περιπτώσεις όμως, μαζί με την περιοχή της πραγματικής αλλαγής, απεικονίζει και κάποιες λανθασμένες ή ακόμα και αποτυγχάνει να αναδείξει τις περιοχές αυτές.

112 102 Σε περιπτώσεις μικρών (αργών) διαχρονικών αλλαγών, η χρήση του πινάκα πρέπει να γίνεται με επιφύλαξη. Γενικά μια μελέτη του πινάκα Κ 2 και τους λόγους από την διαφορά αντιστροφών είναι απαραίτητη για την ορθότερη εξαγωγή συμπερασμάτων. Σε αυτές τις περιπτώσεις, αν υπάρχει έλλειψη χρόνου (π.χ. επεξεργασία in-situ) πρέπει να γίνεται συντηρητική προεκτίμηση της περιοχής αλλαγών Ανάθεση τιμών πολλαπλασιαστή χωρικού Lagrange Έχοντας υπολογίσει των πίνακα Κ 2, είναι απαραίτητο να οριστεί και ένα κατώφλι, πάνω από το οποίο θα θεωρηθούν οι αλλαγές μεγάλες. Χρησιμοποιώντας ένα συνθετικό μοντέλο από δεδομένα γεώτρησης έξι φάσεων (σχήμα 4.11), στις οποίες θεωρούνται τοποθετημένα ηλεκτρόδια ανά 6 μέτρα και ένα σύνολο 822 μετρήσεων διπόλου-διπόλου. meters Ohm.m Σχήμα 4.11: Μοντέλο γεώτρησης-γεώτρησης 6 φάσεων

113 103 α β γ δ meters Selected (blue) areas Σχήμα 4.12: α) Οι περιοχές με τις πραγματικές αλλαγές, β) ο πίνακας Κ 2, γ) το ιστόγραμμα του πινάκα Κ 2, δ) οι επιλεγμένες περιοχές (μπλε) με το κριτήριο 20%. Έχοντας υπολογίσει τον πίνακα Κ 2 για το μοντέλο του σχήματος 4.11 (σχήμα 4.12 β) είναι χρήσιμο να υπολογιστεί το ιστόγραμμά του (σχήμα 4.12 γ). Στο ιστόγραμμα απεικονίζεται ο αριθμός των παραμέτρων σε σχέση με το λόγο. Ένα μοντέλο που δεν παρουσιάζει αλλαγή μεταξύ δύο φάσεων, το σύνολο των παραμέτρων είναι θεωρητικά συγκεντρωμένο γύρω από την τιμή λόγου 1. Αντίθετα σε μοντέλα που παρουσιάζουν

114 104 διαχρονικές αλλαγές υπάρχουν παράμετροι με λόγο διάφορο του 1. Μεγαλύτερος λόγος του πίνακα διαφορών συνεπάγεται και μεγαλύτερη αλλαγή μεταξύ των φάσεων. Η ύπαρξη όμως τυχαίου θορύβου στα δεδομένα οδηγεί στην ανάγκη υιοθέτησης κάποιου ορίου, πάνω από το οποίο ο λόγος θα θεωρείται ότι αντιπροσωπεύει πραγματική αλλαγή. Γενικά η επιλογή αυτού του κριτηρίου πρέπει να γίνεται με βάση την ποιότητα των δεδομένων και τις αναμενόμενες αλλαγές. Καθώς ο υπολογισμός του πίνακα διαφορών Κ 2 πραγματοποιείται σε πραγματικό χρόνο, η επιλογή του κριτηρίου γίνεται και αυτή σε πραγματικό χρόνο. Γενικά, ανάλογα και με τις αναμενόμενες αλλαγές, το κριτήριο μπορεί να βασιστεί και σε γεωμετρικά χαρακτηριστικά, δηλαδή αν οι επιλεγμένες περιοχές παρουσιάζουν μια συνέχεια που να ταυτίζεται με κάποια πιθανή γεωλογική πληροφορία. Από τα συνθετικά δεδομένα που δοκιμάστηκαν στη διατριβή αυτή, στα οποία έχει εισαχθεί τυχαίος τεχνητός θόρυβος (5% της μέσης διαφοράς δυναμικού), φάνηκε ότι το κριτήριο επιλογής δεν πρέπει να είναι μικρότερο από 15% (ή μικρότερες του 1.15 και μεγαλύτερες του 0.85), καθώς σε αυτές τις περιπτώσεις επιλέγονται περιοχές, στις οποίες δεν υπάρχει πραγματική αλλαγή. Έτσι αλλαγές πάνω από 20% (ή μεγαλύτερες του 1.2 και μικρότερες του 0.8) θεωρήθηκαν μεγάλες και οι αλλαγές μεταξύ 15-20% ενδιάμεσες. Κάτω από το 15% οι τυχούσες αλλαγές αναμιγνύονται με το επίπεδο του θορύβου και προτιμήθηκε να εξομαλυνθούν. Το κριτήριο αυτό ονομάστηκε κριτήριο 20%, με επίπεδο θορύβου 5%. Στο σχήμα 4.13 παρουσιάζονται οι επιλεγμένες περιοχές για διάφορα όρια του κριτηρίου. Είναι προφανές ότι για μικρό όριο (πχ 10%) επιλέγονται περισσότερες περιοχές, ενώ αντίθετα για μεγάλο όριο (πχ 40%) οι επιλεγόμενες περιοχές είναι πολύ περιορισμένες. Είναι προφανές ότι το όριο μπορεί να είναι διαφορετικό από φάση σε φάση ( πχ από Τ2-Τ1 να είναι 10% και από Τ6-Τ5 20%), αν υπάρχουν πληροφορίες για συγκεκριμένες αλλαγές σε συγκεκριμένες φάσεις. Η χρήση ορίου 0% μετατρέπει τον αλγόριθμο της ενεργά χρονομεταβλητής εξομαλυμένης αντιστροφής σε αλγόριθμο διαφοράς αντιστροφών, και αντίθετα η χρήση ορίου 100% τον μετατρέπει σε αλγόριθμο σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής.

115 105 α β γ δ ε meters Σχήμα 4.13: Επιλεγμένες περιοχές μεγάλων αλλαγών για το μοντέλο του σχήματος 4.11 (μπλε χρώμα). Κάθε γραμμή παρουσιάζει διαφορετικό κατώφλι. Η α γραμμή δείχνει τις πραγματικές αλλαγές, η β για κατώφλι 40% (στο σχήμα Τ4-Τ3 δεν έχει επιλεχτεί καμία περιοχή), η γ για κατώφλι 30% η δ για κατώφλι 20% και η ε για κατώφλι 10%. Στο σχήμα 4.14 παρουσιάζεται ένα μοντέλο με μεγάλες χωρικές αλλαγές αντιστάσεων των περιοχών μεταξύ των φάσεων.

116 106 meters Σχήμα 4.14: Μοντέλο γεώτρησης-γεώτρησης 3 φάσεων α β γ δ meters Σχήμα 4.15: : α) Οι περιοχές με τις πραγματικές αλλαγές, β) ο πίνακας Κ 2, γ) το ιστόγραμμα του πινάκα Κ 2, δ) οι επιλεγμένες περιοχές(κόκκινο χρώμα) με το κριτήριο 20%.

117 107 Από το σχήμα 4.15 γ, χρησιμοποιώντας σαν κριτήριο επιλογής 20%, παρατηρείται ότι ο αριθμός των επιλεγμένων περιοχών διαφέρει μεταξύ των φάσεων, στοιχείο που επαληθεύει την ορθότητα χρήσης του πίνακα Κ 2. Βρίσκοντας τις περιοχές αυτές ο πολλαπλασιαστής Lagrange τώρα γίνεται από βαθμωτός διανυσματικός. Η τιμή του πολλαπλασιαστή πρέπει να είναι αντιστρόφως ανάλογη με τη διαφορά που παρουσιάζει μια παράμετρος ανάμεσα σε δύο διαδοχικές φάσεις, δηλαδή σε μεγάλη αλλαγή σε μια παράμετρο σε δυο διαδοχικές φάσεις γίνεται ανάθεση μικρής τιμής του πολλαπλασιαστή και αντίστροφα Διάφορες τεχνικές θα μπορούσαν να εφαρμοστούν όσον αφορά την κατανομή των πολλαπλασιαστών Α) Με μια συνάρτηση κατανομής τιμών ανάμεσα σε δύο όρια,( λχ από 0 έως 0.5) αναλόγως με την τιμή του πίνακα διαφορών. Μεγάλη τιμή πολλαπλασιαστή σημαίνει μεγάλη χρονική εξομάλυνση και αντίστροφα. Επομένως στις περιοχές που ο πίνακας διαφορών έχει μεγάλη απόλυτη τιμή γίνεται ανάθεση μικρής τιμής χωρικού πολλαπλασιαστή και αντίστροφα. Η τεχνική αυτή δε δοκιμάστηκε στην διατριβή αυτή. Β) Σε αυτή τη διατριβή, προτιμήθηκε μια ανάθεση πολλαπλασιαστών βηματικής μορφής: σε περιοχές με μεγάλη αλλαγή η μη κανονικοποίηση στο χρόνο (ανάθεση τιμής μηδέν στον πολλαπλασιαστή), η χρήση ενός μικρότερου πολλαπλασιαστή (0.01) για τις ενδιάμεσες τιμές και η χρήση μιας μεγάλης τιμής (0.1) για τις υπόλοιπες παραμέτρους. Η επιλογή αυτή έγινε, για να τονιστούν εντονότερα οι αλλαγές μεταξύ των διαδοχικών φάσεων. Φυσικά αναλόγως με τη φύση του προβλήματος η τεχνική μπορεί να τροποποιηθεί: Ποσοστό Αλλαγή Τιμή Lagrange [a ij ] >20% (>1.2 και <0.8) αξιόλογη % Ενδιάμεση 0.01 <15% Όχι σημαντική 0.1

118 108 Η τεχνική της βηματικής ανάθεσης επιλέγει με βάση ένα κατώφλι, πάνω από το οποίο θεωρεί ότι υπάρχει αλλαγή (ανεξάρτητα της ποσότητας της αλλαγής) και κάτω από αυτό εξομαλύνει τις αλλαγές. Έτσι αξιοποιεί πλεονέκτημα της 4D αντιστροφής (μεγάλη εξομάλυνση σε περιοχές που δεν παρουσιάζουν αλλαγή) και της τυπικής αντιστροφής (καθόλου εξομάλυνση σε περιοχές που παρουσιάζουν μεγάλη αλλαγή) Προγραμματισμός αλγορίθμου Η τεχνική της ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής (4D-ATC) προγραμματίστηκε και ενσωματώθηκε στο λογισμικό που αναπτύχτηκε στην διατριβή αυτή, ώστε όλα τα αποτελέσματα να είναι άμεσα συγκρίσιμα. Η επιλογή της τεχνικής αυτής γίνεται από το μενού ρυθμίσεων (σχήμα 4.16). Σχήμα 4.16 : Παράθυρο ρύθμισης παραμέτρων αντιστροφής

119 Δοκιμές με συνθετικά παραδείγματα Οι παραπάνω τεχνικές δοκιμάστηκαν με ένα πλήθος συνθετικών δεδομένων ώστε να αξιολογηθεί η αποτελεσματικότητά τους για διάφορα μοντέλα και να γίνει σύγκριση. Η αποτελεσματικότητα κρίνεται με την όσο δυνατόν καλύτερη απεικόνιση της αλλαγής τόσο σχετικά με τη χωρική κατανομή αυτής της αλλαγής, όσο και την ποσοτική. Κρίσιμο στάδιο σε αυτό το σημείο είναι και η ελαχιστοποίηση τεχνουργημάτων που δημιουργούνται από τη διαδικασία της αντιστροφής καθώς, σε αρκετές περιπτώσεις, δυσκολεύουν ή και ακόμα αλλάζουν την ερμηνεία. Όπως αναφέρθηκε στο κεφάλαιο 3 η ελάττωση των τεχνουργημάτων οδηγεί σε μια εξομαλυσμένη εικόνα που δεν ανταποκρίνεται στην πραγματική αλλαγή. Επομένως με την τεχνική της ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής επιδιώκεται η ταυτόχρονη ελάττωση των τεχνουργημάτων με την ανάδειξη όμως και των περιοχών που παρατηρείται η μεγαλύτερη αλλαγή Παρουσίαση των αποτελεσμάτων Για τις δοκιμές χρησιμοποιήθηκε μορφή όπως παρουσιάζεται παρακάτω: Στα σχήματα παρουσιάζονται οι λόγοι που προκύπτουν από κάθε τεχνική αντιστροφής που δοκιμάστηκε. Αναλυτικότερα κάθε σχήμα περιέχει 4 γραμμές και έναν αριθμό στηλών που εξαρτάται από τη φάση που απεικονίζει. Δηλαδή για το μοντέλο του σχήματος 4.11, που αποτελείται από 6 φάσεις, υπολογίζονται οι λόγοι με βάση την φάση 1 έχουμε 5 στήλες διότι οι λόγοι που υπολογίζονται είναι οι εξής: (φάση 2)/(φάση 1) (φάση 3)/(φάση 1) (φάση 4)/(φάση 1) (φάση 5)/(φάση 1) (φάση 6)/(φάση 1) Συνοψίζοντας τα παραπάνω προκύπτει ο πίνακας 4.1 που αναπαριστά τον αριθμό των στηλών σε κάθε φάση.

120 110 ΑΡΙΘΜΟΣ ΦΑΣΕΩΝ ΦΑΣΗ 1 ΦΑΣΗ 2 ΦΑΣΗ 3 ΦΑΣΗ 4 ΦΑΣΗ 5 ΦΑΣΗ 6 ΣΥΝΟΛΟ ΣΤΗΛΩΝ ΦΑΣΗ 1 Χ 5 ΦΑΣΗ 2 Χ Χ 4 ΦΑΣΗ 3 Χ Χ Χ 3 ΦΑΣΗ 4 Χ Χ Χ Χ 2 ΦΑΣΗ 5 Χ Χ Χ Χ Χ 1 ΦΑΣΗ 6 Χ Χ Χ Χ Χ Χ 0 Πίνακας 4.1: Αριθμός στηλών-σχημάτων που απαιτούνται για την απεικόνιση των λόγων διαχρονικών δεδομένων 6 φάσεων. Με τικ παρουσιάζονται οι λόγοι που υπολογίζονται συνήθως, ενώ με Χ αυτοί που δεν υπολογίζονται. Οι λόγοι που απεικονίζονται επιλέχτηκαν και με βάση τη χρονική εξέλιξη του φαινομένου. Δηλαδή ενώ απεικονίζεται λ.χ. ο λόγος (φάση 3)/(φάση 2) δεν απεικονίζεται ο λόγος (φάση 2)/(φάση 3). Σε περιπτώσεις που αυτό είναι σκόπιμο η απεικόνιση λόγων με την αντίστροφη χρονική σειρά αρκεί να απεικονιστεί ο αντίστροφος για το χρονικό διάστημα αυτό (δηλαδή ο λόγος 1 / ( (φάση 2) / (φάση 3) ) ). Η κάθε γραμμή των σχημάτων λόγων (εκτός και αναφέρεται διαφορετικά) απεικονίζει τη διαφορετική τεχνική που χρησιμοποιήθηκε. Αναλυτικότερα Η πρώτη γραμμή απεικονίζει του λόγους των μοντέλων και αποτελούν το αποτέλεσμα αναφοράς (απουσιάζει από τα μοντέλα Α και Β, καθώς αυτά μοντέλα αυτά δοκιμάστηκαν για την σύγκριση των τεχνουργημάτων). Η δεύτερη γραμμή απεικονίζει τους λόγους με την τεχνική της διαφοράς ανεξάρτητων αντιστροφών. Η τρίτη γραμμή απεικονίζει τους λόγους με την αντιστροφή διαφορών Η τέταρτη γραμμή απεικονίζει τους λόγους με την σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή. Η πέμπτη γραμμή απεικονίζει τους λόγους με την τεχνική της ενεργά χρονομεταβλητής εξομαλυμένης αντιστροφής. Η χρωματική κλίμακα υποδηλώνει την διαφορά στις ειδικές αντιστάσεις μεταξύ των φάσεων (αδιάστατη μονάδα μέτρησης). Σε περιοχές που απεικονίζονται με λευκό χρώμα δεν υπάρχει αλλαγή των αντιστάσεων μεταξύ των φάσεων, σε περιοχές που υπάρχει

121 111 κόκκινο χρώμα παρουσιάζεται αύξηση της ειδικής αντίστασης μεταξύ των φάσεων και σε περιοχές που υπάρχει μπλε χρώμα μείωση Μοντέλο Α Το μοντέλο αυτό αναπαριστά οριζόντια στρωματογραφία με στρώμα πάχους 12 μέτρων και φαινόμενης αντίστασης 100 (Ohm.m) υπερκείμενου ημιχώρου φαινόμενης αντίστασης 1000 (Ohm.m) (λόγος αντίθεσης 10). Σε δύο γεωτρήσεις βάθος 40 μέτρων και απόσταση ανάμεσα τους 10 μέτρων, θεωρούνται τοποθετημένα ηλεκτρόδια ανά 2 μέτρα φτιάχνοντας ένα σύνολο 40 συνολικά ηλεκτροδίων (20 ανά γεώτρηση). Ένα σύνολο 334 μετρήσεων διπόλου-διπόλου (ΑΜ-ΒΝ) αποτελούν το σετ δεδομένων. Στο σύνολο δεδομένων έχει εισαχθεί τεχνητά τυχαίος θόρυβος 5% (μέσης τιμής δυναμικού), για ρεαλιστικότερα αποτελέσματα. Σε οριζόντια απόσταση 12 έως 18 μέτρων και βάθους από 12 έως 18 μέτρα εμφανίζεται σώμα ειδικής αντίστασης 100 (Ohm.m) (φάση 1). Το σώμα παρουσιάζει χρονικά αύξηση της ειδικής του αντίστασης, όπως φαίνεται στον πίνακα του σχήματος Το μοντέλο Α παρουσιάζεται στο σχήμα 4.17 Για το μοντέλο Α παρουσιάζονται οι διαχρονικές αλλαγές με βάση το μοντέλο 1, ώστε να αναπαρασταθούν μεγάλες αλλαγές και οι διαχρονικές αλλαγές με βάση το μοντέλο 3 για τις μικρότερες αλλαγές. Αναλυτικότερα η αλλαγή παρουσιάζεται στον πίνακα 4.2. ΛΟΓΟΙ Φάση 2 Φάση 3 Φάση 4 Φάση 5 Φάση 6 Φάση Φάση 3 Χ Χ Πίνακας 4.2: Οι τιμές των λόγω των μοντέλων.

122 112 ΦΑΣΗ (Ohm.m) ΦΑΣΗ (Ohm.m) Log(Ohm.m) ΦΑΣΗ 3 ΦΑΣΗ (Ohm.m) 400 (Ohm.m) ΦΑΣΗ (Ohm.m) ΦΑΣΗ (Ohm.m) Σχήμα 4.17: Μοντέλο Α. Στο μαύρο πλαίσιο σημειώνεται η περιοχή που παρουσιάζει αλλαγή στις φάσεις. Σε γενικές γραμμές η κύρια αλλαγή παρουσιάζεται το ίδιο καλά σε όλες τις τεχνικές. Από τα σχήματα όμως 4.18 και 4.19 παρατηρείται ότι η τεχνική της ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής εξαλείφει τα τεχνουργήματα το ίδιο καλά, όπως και η τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής δίνοντας μια πιο πιστή εικόνα όσον αφορά τη χωρική κατανομή της αλλαγής. Ταυτόχρονα όμως η εικόνα παρουσιάζεται λιγότερο εξομαλυσμένη σε σχέση με τις άλλες τεχνικές, αντικείμενο που αντικατοπτρίζεται και στις τιμές των λόγων που είναι σημαντικά μεγαλύτερη και πλησιέστερα στην πραγματική από των άλλων τεχνικών, πχ για το λόγο της (φάσης 6) / (φάση 1) η πραγματική τιμή είναι 6, ενώ η τεχνική της αντιστροφής διαφορών δίνει μέγιστο λόγο 3.1, η τεχνική της αντιστροφής διαφοράς 2.7, η τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής λόγο 2.3 και η τεχνική της ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής μέγιστης τιμή κοντά στο 4.6 (μικρότερος λόγος συνεπάγεται πιο εξομαλυσμένη εικόνα).

123 113 α β γ δ ε meters Σχήμα 4.18: Λόγοι με φάση αναφοράς τη φάση 1 για τις τεχνικές α) μοντέλο βα) διαφορές ανεξάρτητων αντιστροφών, γ) αντιστροφή διαφορών, δ) σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή, ε) ενεργά χρονομεταβλητή εξομαλυμένη αντιστροφή Οι λόγοι σε σχέση με τη φάση 3 παρουσιάζονται στο σχήμα 4.19

124 114 α β γ δ meters Σχήμα 4.19: Λόγοι με φάση αναφοράς τη φάση 3 για τις τεχνικές α) διαφορές ανεξάρτητων αντιστροφών, β) αντιστροφή διαφορών, γ) σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή, δ) ενεργά χρονομεταβλητή εξομαλυμένη αντιστροφή

125 Μοντέλο Β Το μοντέλο αυτό αναπαριστά οριζόντια στρωματογραφία με στρώμα πάχους 12 μέτρων και φαινόμενης αντίστασης 100 (Ohm.m) υπερκείμενου ημιχώρου φαινόμενης αντίστασης 1000 (Ohm.m) (λόγος αντίθεσης 10). Σε δύο γεωτρήσεις βάθους 40 μέτρων και απόστασης ανάμεσα τους 10 μέτρων, θεωρούνται τοποθετημένα ηλεκτρόδια ανά 2 μέτρα φτιάχνοντας ένα σύνολο 40 συνολικά ηλεκτροδίων (20 ανά γεώτρηση). Ένα σύνολο 334 μετρήσεων διπόλου-διπόλου (ΑΜ-ΒΝ) αποτελούν το σετ δεδομένων. Στο σύνολο δεδομένων έχει εισαχθεί τεχνητά τυχαίος θόρυβος 5% (μέσης τιμής δυναμικού), για ρεαλιστικότερα αποτελέσματα. Σε οριζόντια απόσταση 12 έως 18 μέτρων και βάθους από 12 έως 18 μέτρων εμφανίζεται σώμα ειδικής αντίστασης 100 (Ohm.m) (φάση 1). Το σώμα παρουσιάζει χρονικά μείωση της ειδικής του αντίστασης, όπως φαίνεται στον πίνακα του σχήματος Το μοντέλο Β παρουσιάζεται στο σχήμα 4.20 ΦΑΣΗ (Ohm.m) ΦΑΣΗ 2 65 (Ohm.m) Log(Ohm.m) ΦΑΣΗ 3 40 (Ohm.m) ΦΑΣΗ 4 20 (Ohm.m) ΦΑΣΗ 5 10 (Ohm.m) ΦΑΣΗ 6 5 (Ohm.m) Σχήμα 4.20 Μοντέλο Β. Στο μαύρο πλαίσιο σημειώνεται η περιοχή που παρουσιάζει αλλαγή στις φάσεις.

126 116 Για το μοντέλο Β παρουσιάζονται οι διαχρονικές αλλαγές με βάση το μοντέλο 1, ώστε να αναπαρασταθούν μεγάλες αλλαγές και οι διαχρονικές αλλαγές με βάση το μοντέλο 3 για τις μικρότερες αλλαγές. Αναλυτικότερα η αλλαγή παρουσιάζεται στο ν πίνακα 4.3 ΛΟΓΟΙ Φάση 2 Φάση 3 Φάση 4 Φάση 5 Φάση 6 Φάση 1 0,65 0,4 0,2 0,1 0,05 Φάση 3 Χ Χ 0,5 0,25 0,125 Πίνακας 4.3: Οι τιμές των λόγων των μοντέλων. Σε γενικές γραμμές η κύρια αλλαγή παρουσιάζεται το ίδιο καλά σε όλες τις τεχνικές. Από τα σχήματα όμως 4.21 και 4.22 παρατηρείται ότι η τεχνική της ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής εξαλείφει τα τεχνουργήματα το ίδιο καλά με την τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής δίνοντας μια πιο πιστή εικόνα, όσον αφορά τη χωρική κατανομή της αλλαγής. Ταυτόχρονα όμως η εικόνα παρουσιάζεται λιγότερο εξομαλυσμένη σε σχέση με τις άλλες τεχνικές, αντικείμενο που αντικατοπτρίζεται και στις τιμές των λόγων που είναι σημαντικά μεγαλύτερες από των άλλων τεχνικών, λχ για το λόγο της (φάσης 6) / (φάση 1) η πραγματική τιμή είναι 0.05, ενώ η τεχνική της διαφοράς αντιστροφών δίνει λόγο 0.65, η τεχνική της αντιστροφής διαφοράς 0.65, η τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής λόγο 0.7 και τέλος η τεχνική της ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής δίνει λόγο 0.6 (μεγαλύτερος λόγος συνεπάγεται ποιό εξομαλυσμένη εικόνα).

127 117 α β γ δ ε meters Σχήμα 4.21: Λόγοι με φάση αναφοράς τη φάση 3 για τις τεχνικές α) μοντέλο β) διαφορές ανεξάρτητων αντιστροφών, γ) αντιστροφή διαφορών, δ) σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή, ε) ενεργά χρονομεταβλητή εξομαλυμένη αντιστροφή

128 118 Οι λόγοι σε σχέση με τη φάση 3 παρουσιάζονται στο σχήμα 4.22 α β γ δ meters Σχήμα 4.22 Λόγοι με φάση αναφοράς τη φάση 3 για τις τεχνικές α) διαφορές ανεξάρτητων αντιστροφών, β) αντιστροφή διαφορών, γ) σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή, δ) ενεργά χρονομεταβλητή εξομαλυμένη αντιστροφή

129 Μοντέλο Γ Το μοντέλο Γ αποτελείται από εναλλαγές στρωμάτων χαμηλής αντίστασης 10 (Ohm.m) και 30 (Ohm.m). Σε δύο γεωτρήσεις βάθους 102 μέτρων με μεταξύ τους απόσταση 30 μέτρα θεωρούνται τοποθετημένα 17 ηλεκτρόδια ανά 6 μέτρα, δημιουργώντας ένα σύνολο 34 ηλεκτροδίων. Ένα σύνολο 822 μετρήσεων διπόλου-διπόλου (ΑΜ-ΒΝ) αποτελεί το σετ δεδομένων. Σε αυτό το σετ έχει εφαρμοστεί τυχαίος θόρυβος 5% (μέσης τιμής δυναμικού) για τη ρεαλιστικότερη αναπαράσταση των αποτελεσμάτων. Στο μοντέλο αυτό από τη φάση 2 υπάρχει πτώση της φαινόμενης αντίστασης του στρώματος από τα 80 μέτρα έως 86 μέτρα από 30 (ohm.m) στα 15 (Ohm.m). Στη φάση 3 και φάση 4 σταδιακά σε όλο το στρώμα από τα 76 μέτρα έως τα 86 μέτρα πέφτει η φαινόμενη αντίσταση, έως ότου γίνει ίση με την αντίσταση του υποκείμενου και υπερκείμενου στρώματος. Στη φάση 5 και 6 υπάρχει πτώση της φαινόμενης αντίστασης του ενδιάμεσου στρώματος, αρχίζοντας από την κάτω δεξιά πλευρά και σταδιακά αυξανόμενο επεκτεινόμενο προς τα πάνω και αριστερά. Το μοντέλο αυτό αναπαριστάται στο σχήμα Ένα τέτοιο μοντέλο θα μπορούσε να αντιπροσωπεύει μια ξαφνική εισροή θαλάσσιων υδάτων από βαθύτερα στρώματα προς τα ανώτερα. meters (Ohm.m) Σχήμα 4.23: Μοντέλο Γ που αντιπροσωπεύει μια ξαφνική εισροή θαλάσσιων υδάτων από βαθύτερα στρώματα προς τα ανώτερα.

130 120 α β γ meters δ ε Σχήμα 4.24: Εικόνες αντιστροφής από α) Μοντέλο, β) διαφορές ανεξάρτητων αντιστροφών, γ) αντιστροφή διαφορών, δ) σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή, ε) ενεργά χρονομεταβλητή εξομαλυμένη αντιστροφή

131 121 α α β β γ γ δ δ ε ε meters Σχήμα 4.25: Λόγοι με φάση αναφοράς τη φάση 1(αριστερά) και 2(δεξιά) για τις τεχνικές α) Μοντέλο, β) διαφορές ανεξάρτητων αντιστροφών, γ) αντιστροφή διαφορών, δ) σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή, ε) ενεργά χρονομεταβλητή εξομαλυμένη αντιστροφή

132 122 α α α β β β γ γ γ δ δ δ ε ε ε meters Σχήμα 4.26: Λόγοι με φάση αναφοράς τη φάση 3(αριστερά), 4(μέση)και 5 (δεξιά) για τις τεχνικές α) Μοντέλο, β) διαφορές ανεξάρτητων αντιστροφών, γ) αντιστροφή διαφορών, δ) σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή, ε) ενεργά χρονομεταβλητή εξομαλυμένη αντιστροφή

133 123 Η σύγκριση των τεχνικών βασίζεται στην πλησιέστερη δυνατή ταύτιση των λόγων που προκύπτουν με τους λόγους της γραμμής α. Η τεχνική της διαφοράς αντιστροφών πετυχαίνει να απεικονίσει αρκετά καλά την αλλαγή μεταξύ των φάσεων και μάλιστα σε κάποιες περιπτώσεις να είναι πλησιέστερα στους λόγους των μοντέλων συγκριτικά με τις υπόλοιπες τεχνικές. Όμως τα τεχνουργήματα είναι αρκετά και πιθανόν να μπερδέψουν την τελική ερμηνεία. Ιδίως στους λόγους που πετυχαίνει την καλύτερη απεικόνιση (στους λόγους με αναφορά τη φάση 4 και φάση 5) το επίπεδο θορύβου των τεχνουργημάτων είναι συγκρίσιμο με εκείνο της πραγματικής αλλαγής, αντικείμενο που δυσκολεύει περισσότερο την ερμηνεία. Η τεχνική της αντιστροφής διαφοράς παρουσιάζει όμοια συμπεριφορά, όσον αφορά την απεικόνιση της πραγματικής αλλαγής με ταυτόχρονη μείωση των τεχνουργημάτων. Παρόλα αυτά το επίπεδο του θορύβου των τεχνουργημάτων (ιδίως σε αυτές της φάσης 3, 4 και 5) είναι σημαντικό. Η τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής πετυχαίνει να ελαχιστοποιήσει τα τεχνουργήματα, επιτρέποντας να απεικονιστεί αποκλειστικά η περιοχή με την αλλαγή. Όμως λόγω της μεγάλης εξομάλυνσης που περιέχεται, αδυνατεί να απεικονίσει με ακρίβεια τη μορφή της αλλαγής. Η τεχνική της ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής πετυχαίνει να ελαχιστοποιήσει τα τεχνουργήματα, όπως και η τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής. Όμως ταυτόχρονα πετυχαίνει να απεικονίσει με μεγάλη ακρίβεια την ακριβή μορφή της αντιστροφής ιδίως στους λόγους με αναφορά τη φάση 1, 2 και 3. Στους λόγους με αναφορά τη φάση 4 και 5 η πραγματική αλλαγή δεν απεικονίζεται το ίδιο καλά με την τεχνική της αντιστροφής διαφοράς, αλλά το επίπεδο θορύβου των τεχνουργημάτων είναι χαμηλό και ξεχωρίζει η περιοχή με την αλλαγή. Παρατηρώντας τις εικόνες αντιστροφής που προκύπτουν από κάθε τεχνική του σχήματος 4.24 εξάγονται όμοια συμπεράσματα. Στις τεχνικές της διαφοράς αντιστροφών και αντιστροφής διαφορών, παρουσιάζονται περιοχές (πάνω στρώμα μέχρι 30 μέτρα βάθος) που υπάρχει διαφοροποίηση τόσο μεταξύ των φάσεων όσο και του μοντέλου (γραμμή 1). Στις τεχνικές της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής και της ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής υπάρχει εξομάλυνση αλλαγών σε περιοχές που δεν υπάρχει

134 124 αλλαγή. Ταυτόχρονα στην τεχνική της ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής απεικονίζεται με καλή ακρίβεια η περιοχή της πραγματικής αλλαγής, αντικείμενο που φαίνεται και σχεδιάζοντας τον πίνακα διαφορών Κ 2, που δείχνει τις περιοχές με τις μεγαλύτερες αλλαγές. Παρατηρείται πολύ καλή ταύτιση επιλογής των παραμέτρων που αλλάζουν με την πραγματική αλλαγή (σχήμα 4.27). Στον λόγο Τ6-Τ5 (σχήμα 4.27) η περιοχή με πράσινο χρώμα (μέτρια εξομάλυνση) δεν δημιουργεί τεχνουργήματα, όπως φαίνεται και στους λόγους. α β γ δ meters Σχήμα 4.27: α) Οι περιοχές με τις πραγματικές αλλαγές, β) ο πίνακας Κ 2, γ) το ιστόγραμμα του πινάκα Κ 2, δ) οι επιλεγμένες περιοχές με το κριτήριο 20%.

135 Μοντέλο Δ Όλες οι τεχνικές που παρουσιάστηκαν δοκιμάστηκαν και σε ένα πλήθος μετρήσεων από επιφανειακά δεδομένα. Τα επιφανειακά δεδομένα στερούνται την ανάλυση αυτών των δεδομένων που έχουν συλλεχθεί με τη βοήθεια και των γεωτρήσεων, αλλά πλεονεκτούν στο κόστος και την ταχύτητα εφαρμογής, καθώς δεν απαιτούν μόνιμη εγκατάσταση. Στην περιοχή του μοντέλου θεωρούνται 34 ηλεκτρόδια στην επιφάνεια με ανά 3 μέτρα. Η διάταξη μέτρησης είναι διπόλου-διπόλου με μέγιστη απόσταση του διπόλου δυναμικού και διπόλου ρεύματος εφταπλάσια της απόστασης των ηλεκτροδίων, σχηματίζοντας ένα σύνολο 802 μετρήσεων. Στα δεδομένα έχει εισαχθεί 5% (μέσης τιμής δυναμικού) τυχαίος θόρυβος για την πιο ρεαλιστική αναπαράσταση. Το μοντέλο αποτελείται από στρώμα πάχους 9 μέτρων και φαινόμενης αντίστασης 100 (Ohm.m) υπερκείμενου ημιχώρου ειδικής αντίστασης 1000 (Ohm.m). Από τη φάση 2 έως τη φάση 6 υπάρχει μείωση της ειδικής αντίστασης σε 30 (Ohm.m) που ξεκινά από την επιφάνεια και σταδιακά διαδίδεται σε βαθύτερα στρώματα. Το μοντέλο αυτό αναπαριστάται στο σχήμα 4.28 α. Ένα τέτοιο μοντέλο θα μπορούσε να αναπαριστά πιθανή μόλυνση των επιφανειακών στρωμάτων λόγω ανθρωπογενών παραγόντων και μετέπειτα χωρική διασπορά αυτής της μόλυνσης.

136 126 α β γ δ meters ε Σχήμα 4.28: Εικόνες αντιστροφής από α) Μοντέλο, β) διαφορές ανεξάρτητων αντιστροφών, γ) αντιστροφή διαφορών, δ) σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή, ε) ενεργά χρονομεταβλητή εξομαλυμένη αντιστροφή

137 127 α β γ δ meters ε Σχήμα 4.29: Λόγοι με φάση αναφοράς τη φάση 1 για τις τεχνικές α) Μοντέλο, β) διαφορές ανεξάρτητων αντιστροφών, γ) αντιστροφή διαφορών, δ) σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή, ε) ενεργά χρονομεταβλητή εξομαλυμένη αντιστροφή

138 128 α β γ δ meters ε Σχήμα 4.30: Λόγοι με φάση αναφοράς τη φάση 2 για τις τεχνικές α) Μοντέλο, β) διαφορές ανεξάρτητων αντιστροφών, γ) αντιστροφή διαφορών, δ) σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή, ε) ενεργά χρονομεταβλητή εξομαλυμένη αντιστροφή

139 129 α β γ δ meters ε Σχήμα 4.31: Λόγοι με φάση αναφοράς τη φάση 3 για τις τεχνικές α) Μοντέλο, β)διαφορές ανεξάρτητων αντιστροφών, γ)αντιστροφή διαφορών, δ)σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή, ε) ενεργά χρονομεταβλητή εξομαλυμένη αντιστροφή α β γ δ ε meters Σχήμα 4.32: Λόγοι με φάση αναφοράς τη φάση 4 για τις τεχνικές α) Μοντέλο, β)διαφορές ανεξάρτητων αντιστροφών, γ)αντιστροφή διαφορών, δ)σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή, ε)ενεργά χρονομεταβλητή εξομαλυμένη αντιστροφή

140 130 α β γ δ ε meters Σχήμα 4.33: Λόγοι με φάση αναφοράς τη φάση 5 για τις τεχνικές α) Μοντέλο, β) διαφορές ανεξάρτητων αντιστροφών, γ)αντιστροφή διαφορών, δ)σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή, ε) ενεργά χρονομεταβλητή εξομαλυμένη αντιστροφή Η σύγκριση των τεχνικών βασίζεται στην πλησιέστερη δυνατή ταύτιση των λόγων που προκύπτουν με τους λόγους της γραμμής 1. Για το συγκεκριμένο παράδειγμα παρατηρούνται τα εξής: Η τεχνική της ανεξάρτητης αντιστροφής πετυχαίνει να απεικονίσει αρκετά καλά την αλλαγή μεταξύ των φάσεων και μάλιστα σε κάποιες περιπτώσεις να είναι πλησιέστερα στους λόγους των μοντέλων. Όμως η περιοχή της αλλαγής απεικονίζεται αρκετά εκτεταμένη, σε σχέση με αυτή του μοντέλου. Επίσης, παρατηρούνται αρκετά τεχνουργήματα που πιθανόν να μπερδεύουν την τελική ερμηνεία. Η τεχνική της αντιστροφής διαφοράς παρουσιάζει όμοια συμπεριφορά, όσον αφορά την απεικόνιση της πραγματικής αλλαγής με ταυτόχρονη μείωση των τεχνουργημάτων. Παρόλα αυτά το επίπεδο του θορύβου των τεχνουργημάτων (ιδίως σε αυτές τις φάσης 3 4 και 5) είναι σημαντικό.

141 131 Η τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής πετυχαίνει να ελαχιστοποιήσει τα τεχνουργήματα, επιτρέποντας να απεικονιστεί αποκλειστικά η περιοχή με την αλλαγή. Όμως λόγω της μεγάλης εξομάλυνσης που περιέχεται, αδυνατεί να απεικονίσει με ακρίβεια τη μορφή της αλλαγής. Η τεχνική της ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής πετυχαίνει να ελαχιστοποιήσει τα τεχνουργήματα, όπως και η τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής. Όμως ταυτόχρονα πετυχαίνει να απεικονίσει με μεγάλη ακρίβεια την ακριβή μορφή της αντιστροφής σε όλους τους λόγους με αναφορά τη φάση 1, 2 και 3. Στους λόγους με αναφορά τη φάση 4 και 5 παρατηρείται μια μικρή περιοχή τεχνουργημάτων πάνω από την πραγματική αλλαγή, αλλά είναι η μόνη τεχνική, σε κάποιες περιπτώσεις, που απεικονίζει την πραγματική αλλαγή στις σωστές χωρικές συντεταγμένες. Παρατηρώντας τις εικόνες αντιστροφής που προκύπτουν από κάθε τεχνική του σχήματος 4.18, απεικονίζεται η διαχρονική αλλαγή μεταξύ των φάσεων, αλλά δεν είναι δυνατόν να εξαχθούν ακριβή συμπεράσματα για την ακριβή περιοχή των αλλαγών. Γενικά, σε διαχρονικά δεδομένα είναι απαραίτητο να υπολογιστούν οι λόγοι μεταξύ των φάσεων, ώστε να είναι δυνατή η απεικόνιση των αλλαγών. Υπολογίζοντας το πίνακα διαφορών Κ 2 παρατηρείται μια καλή ταύτιση των επιλεγόμενων περιοχών με τις πραγματικές περιοχές αλλαγών. Εξαίρεση αποτελεί ο υπολογισμός του πίνακα Κ 2 για την φάση Τ2-Τ1, όπου μαζί με την περιοχή της πραγματικής αλλαγής (σχήμα 4.34δ μπλε χρώμα), επιλέγονται και λανθασμένες περιοχές (πράσινο χρώμα), στις οποίες όμως με το κριτήριο του 20% επιλέγονται ως περιοχές ενδιάμεσης εξομάλυνσης. Επίσης από τους υπολογισμούς των λόγων (σχήματα 4.29 έως 4.33), η περιοχή αυτή δεν δημιουργεί τεχνουργήματα.

142 132 α β γ δ meters Σχήμα 4.34: α) Οι περιοχές με τις πραγματικές αλλαγές β) ο πίνακας Κ 2 γ) το ιστόγραμμα του πινάκα Κ 2 δ) οι επιλεγμένες περιοχές με το κριτήριο 20% Μοντέλο Ε Στο μοντέλο Ε παρουσιάζεται μια χωρικά μεταβαλλόμενη αλλαγή μεταξύ των φάσεων. Το μοντέλο αποτελείται από εναλλαγές στρωμάτων χαμηλής αντίστασης 10 (Ohm.m) και 30 (Ohm.m). Σε δύο γεωτρήσεις βάθους 102 μέτρων με μεταξύ τους απόσταση 30 μέτρων θεωρούνται τοποθετημένα 17 ηλεκτρόδιο ανά 6 μέτρα, δημιουργώντας ένα σύνολο 34 ηλεκτροδίων. Ένα σύνολο 822 μετρήσεων διπόλου-διπόλου (ΑΜ-ΒΝ) αποτελεί το σετ δεδομένων. Σε αυτό το σετ έχει εφαρμοστεί τυχαίος θόρυβος 5% για τη ρεαλιστικότερη αναπαράσταση των αποτελεσμάτων. Στο μοντέλο αυτό από τη φάση 2 έως και τη φάση 3 υπάρχει μια διείσδυση σώματος υψηλότερης αντίστασης 60 (Ohm.m) με κατεύθυνση από αριστερά προς τα δεξιά μέσα στο στρώμα με αντίσταση 30 (Ohm.m). Το μοντέλο αυτό απεικονίζεται στο σχήμα 4.35

143 133 Ένα τέτοιο μοντέλο θα μπορούσε να αντιπροσωπεύει εισροή νερού ή διαρροή από κάποια άλλη αιτία μέσα σε ένα στρώμα που περιβάλλεται από αδιαπέραστα στρώματα αργίλου. meters Σχήμα 4.35: Μοντέλο Ε. Στο μοντέλο αυτό παρουσιάζεται η είσοδος σώματος υψηλής αντίστασης (60 ohm.m) μέσα σε σώμα 30 ohm.m και εξάπλωσή του ανάμεσα στις φάσεις. Από την μελέτη τoν πινάκα Κ 2, οι επιλεγόμενες περιοχές είναι σε πολύ καλή συμφωνία με τις πραγματικές. Επιπλέον, οι λόγοι που υπολογίζονται βρίσκονται σε πολύ καλή συμφωνία με αυτούς του μοντέλου (σχήμα 4.37). Στο σχήμα 4.38 απεικονίζονται οι εικόνες αντιστροφής από όλες τις τεχνικές.

144 134 α β γ δ meters Σχήμα 4.36: α) Οι περιοχές με τις πραγματικές αλλαγές, β) ο πίνακας Κ 2, γ) το ιστόγραμμα του πινάκα Κ 2, δ) οι επιλεγμένες περιοχές με το κριτήριο 20%.

145 135 α α β β γ γ δ δ ε meters ε meters Σχήμα 4.37: Λόγοι με φάση αναφοράς τη φάση 1(αριστερά) και 2(δεξιά) για τις τεχνικές α) Μοντέλο, β) διαφορές ανεξάρτητων αντιστροφών, γ) αντιστροφή διαφορών, δ) σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή, ε) ενεργά χρονομεταβλητή εξομαλυμένη αντιστροφή

146 136 α β γ δ ε meters Σχήμα 4.38: Εικόνες αντιστροφής από τις τεχνικές α) διαφορές ανεξάρτητων αντιστροφών, β) αντιστροφή διαφορών γ) σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή δ) ενεργά χρονομεταβλητή εξομαλυμένη αντιστροφή Η τεχνική της διαφοράς αντιστροφών πετυχαίνει να απεικονίσει αρκετά καλά την αλλαγή μεταξύ των φάσεων και μάλιστα σε κάποιες περιπτώσεις να είναι πλησιέστερα στους λόγους των μοντέλων. Όμως τα τεχνουργήματα είναι αρκετά και πιθανόν να

147 137 μπερδέψουν την τελική ερμηνεία. Ιδίως στους λόγους που πετυχαίνει την καλύτερη απεικόνιση (στο λόγο Τ3/Τ1) το επίπεδο θορύβου των τεχνουργημάτων είναι συγκρίσιμο με εκείνο της πραγματικής αλλαγής, αντικείμενο που δυσκολεύει περισσότερο την ερμηνεία. Η τεχνική της αντιστροφής διαφοράς παρουσιάζει όμοια συμπεριφορά, όσον αφορά την απεικόνιση της πραγματικής αλλαγής με ταυτόχρονη μείωση των τεχνουργημάτων. Παρόλα αυτά το επίπεδο του θορύβου των τεχνουργημάτων είναι σημαντικό. Εξαίρεση αποτελεί ο λόγο Τ3/Τ1, όπου η τεχνική της αντιστροφής διαφορών απεικονίζει τα λιγότερα τεχνουργήματα και συγχρόνως αναπαριστά με καλή ακρίβεια την περιοχή τα αλλαγής. Η τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής πετυχαίνει να ελαχιστοποιήσει τα τεχνουργήματα, επιτρέποντας να απεικονιστεί αποκλειστικά η περιοχή με την αλλαγή. Όμως λόγω της μεγάλης εξομάλυνσης που περιέχεται, αδυνατεί να απεικονίσει με ακρίβεια τη μορφή της αλλαγής. Η τεχνική της ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής (με Κ 1 ) πετυχαίνει να ελαχιστοποιήσει τα τεχνουργήματα όπως και η τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής. Όμως ταυτόχρονα πετυχαίνει να απεικονίσει με μεγάλη ακρίβεια την ακριβή μορφή της αντιστροφής ιδίως στους λόγους με αναφορά την φάση Τ3/Τ2 και Τ3/Τ1. Στο λόγο Τ3/Τ1 η πραγματική αλλαγή απεικονίζεται το ίδιο καλά με την τεχνική της αντιστροφής διαφοράς, αλλά το επίπεδο θορύβου των τεχνουργημάτων είναι όμοιο. Συνοπτικά με την τεχνική της ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής οι αλλαγές αναπαρίστανται πάντοτε με καλή ακρίβεια, ενώ σε κάποιες περιπτώσεις το επίπεδο των τεχνουργημάτων είναι υπαρκτό. Πάντως σε κάθε περίπτωση το αποτέλεσμα είναι συγκρίσιμο με τις υπάρχουσες τεχνικές. Παρατηρώντας τις εικόνες αντιστροφής που προκύπτουν από κάθε τεχνική του σχήματος 4.38 εξάγονται όμοια συμπεράσματα. Στις τεχνικές της διαφοράς αντιστροφών και αντιστροφής διαφοράς παρουσιάζονται περιοχές (πάνω αριστερά), που υπάρχει διαφοροποίηση τόσο μεταξύ των φάσεων όσο και του μοντέλου (γραμμή 1). Στις τεχνικές σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής και ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής υπάρχει εξομάλυνση αλλαγών σε περιοχές που δεν υπάρχει αλλαγή, ενώ ταυτόχρονα στην τεχνική της ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής απεικονίζεται με καλή ακρίβεια η

148 138 περιοχή της πραγματικής αλλαγής, αντικείμενο που φαίνεται και σχεδιάζοντας τον πίνακα διαφορών, που δείχνει τις αλλαγές με τις μεγαλύτερες αλλαγές Μοντέλο Ζ Στο σχήμα 4.39 παρουσιάζεται ένα μοντέλο επιφανειακών δεδομένων, όμοιο με αυτό του σχήματος 4.7. Στη φάση 2 στο πάνω στρώμα αντίστασης 100 Ohm.m εμφανίζεται μια πτώση αντίστασης κατά 70 Ohm, και στο κάτω στρώμα αντίστασης 1000 Ohm.m μια αύξηση αντίστασης κατά 100 Ohm.m. meters Σχήμα 4.39: Μοντέλο επιφανειακών μετρήσεων 3 φάσεων. Ο υπολογισμός του πίνακα Κ 2 ανιχνεύει την αλλαγή στο κάτω στρώμα, αλλά αναθέτει σε αυτήν την περιοχή ενδιάμεση τιμή πολλαπλασιαστή. Αποτέλεσμα είναι ότι στους παραγόμενους λόγους αυτή η περιοχή είναι οριακά εμφανής. Πάντως σε κάθε περίπτωση η τεχνική της ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής είναι η μόνη που ανιχνεύει

149 139 κάποια αλλαγή σε σύγκριση με τις υπόλοιπες τεχνικές. Στο μοντέλο αυτό, η τεχνική της αντιστροφής διαφορών παρουσιάζει τα λιγότερα τεχνουργήματα, αλλά και αδυναμία απεικόνισης της αλλαγής στο κάτω στρώμα. Αλλάζοντας το κριτήριο από 20% σε 15%, τότε η περιοχή της αλλαγής είναι εμφανής. Μαζί όμως με αυτήν εμφανίζονται και τεχνουργήματα. α β γ δ Σχήμα 4.40: α) Οι περιοχές με τις πραγματικές αλλαγές, β) ο πίνακας Κ 2, γ) το ιστόγραμμα του πινάκα Κ 2, δ) οι επιλεγμένες περιοχές με το κριτήριο 20%. α β γ δ ε Σχήμα 4.41: Λόγοι με φάση αναφοράς την φάση 1 α) Μοντέλο, β) διαφορές ανεξάρτητων αντιστροφών, γ) σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή, δ) ενεργά χρονομεταβλητή εξομαλυμένη αντιστροφή με 20% κριτήριο, ε) ενεργά χρονομεταβλητή εξομαλυμένη αντιστροφή με 15% κριτήριο

150 Συμπεράσματα. Όπως αναφέρθηκε στο κεφάλαιο 3, κάθε τεχνική παρουσιάζει πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα. Έτσι ενώ η αντιστροφή διαφορών αναδεικνύει τις περιοχές με τη μεγαλύτερη αλλαγή από φάση σε φάση, επιτρέποντας το μοντέλο να έχει απότομες αλλαγές, το πλήθος των τεχνουργημάτων είναι σημαντικό με αποτέλεσμα πολλές φορές να επηρεάζει την τελική εικόνα δυσκολεύοντας την ερμηνεία. Με την τεχνική της αντιστροφής διαφοράς σε κάποιες περιπτώσεις παρατηρείται μια ελάττωση των τεχνουργημάτων, αλλά δεν εξαλείφονται. Η τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής πετυχαίνει σε πολύ μεγάλο βαθμό την εξάλειψη των τεχνουργημάτων αναδεικνύοντας την περιοχή της πραγματικής αλλαγής, αλλά όμως οδηγεί σε μεγάλη εξομάλυνση της εικόνας. Αποτέλεσμα είναι πολλές φορές, ιδίως σε μοντέλα που έχουμε και χωρική αλλαγή μεταξύ των φάσεων, να αδυνατεί να αναπαραστήσει την πραγματική θέση και μορφή της αλλαγής. Με την τεχνική της ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής πετυχαίνεται ένας διττός ρόλος: υπάρχει μεγάλη εξομάλυνση σε περιοχές που δεν υπάρχουν αλλαγές, εξαλείφοντας έτσι τα τεχνουργήματα όπως συμβαίνει και με την τεχνική 4D. Αναδεικνύονται έντονα οι περιοχές με μεγάλη αλλαγή, καθώς σε αυτές ο αλγόριθμος δεν επιτρέπει εξομάλυνση. Έτσι τις περισσότερες φορές αναπαριστάνεται καλύτερα η θέση, η μορφή και η αλλαγή μεταξύ των φάσεων. Απαραίτητο στάδιο για τη χρήση της ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής είναι η προεκτίμηση της περιοχής μεγάλων αλλαγών. Από το σύνολο των συνθετικών μοντέλων που δοκιμάστηκαν, φάνηκε ότι η χρήση των πινάκων διαφοράς είναι σε θέση να αναπαραστήσει με ακρίβεια την περιοχή των αλλαγών, με αποτέλεσμα οι λόγοι που παράγονται να είναι πλησιέστερα στους πραγματικούς. Όμως ακόμα και σε περιπτώσεις που οι πίνακες διαφορών αδυνατούν να απεικονίσουν τις πραγματικές αλλαγές, οι παραγόμενοι λόγοι είναι άμεσα συγκρίσιμοι με αυτούς των άλλων τεχνικών.

151 141 Τέλος, στους λόγος που η διαφορά αντιστροφών πετυχαίνει να αναπαραστήσει την πραγματική αλλαγή καλύτερα (πχ σχήματα 4.37 με τους λόγους για τη φάση 3), το επίπεδο θορύβου των τεχνουργημάτων είναι τέτοιο που δεν είναι ξεκάθαρη η πραγματική αλλαγή από τον θόρυβο. Γενικά, η τεχνική της ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής μπορεί να εφαρμοστεί σε όλων των ειδών τα δεδομένα, ώστε να γίνει μια ασφαλής εκτίμηση των περιοχών αλλαγών.

152 142

153 143 Κεφάλαιο 5 ΔΟΚΙΜΕΣ ΠΕΔΙΟΥ Προκειμένου να αξιολογηθούν οι αλγόριθμοι αντιστροφής που εξετάσθηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια, δοκιμάστηκαν όλες οι τεχνικές σε μετρήσεις πεδίου. Τα γεωηλεκτρικά μοντέλα αντιστροφής καθώς και οι λόγοι που προκύπτουν από τη τεχνική ενεργής χρονομεταβλητής αντιστροφής συγκρίνονται με τα γεωηλεκτρικά μοντέλα αντιστροφής και λόγους που λαμβάνονται με τις υπόλοιπες τεχνικές, ώστε να διαπιστωθεί αν η τεχνική αυτή μπορεί να δώσει αξιόπιστα αποτελέσματα σε πραγματικές συνθήκες πεδίου. Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται κάποια παραδείγματα εφαρμογών πεδίου των αλγορίθμων διαχρονικής αντιστροφής, στα οποία χρησιμοποιούνται οι τεχνικές της αντιστροφής διαφορών, η τεχνική της διαφοράς αντιστροφής (Labreque & Yang, 2001), η τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής (Kim et al, 2009) καθώς και η τεχνική της ενεργής χρονομεταβλητής αντιστροφής που αναπτύχθηκε στη διατριβή αυτή. Τα παραδείγματα αυτά αφορούν μετρήσεις γεώτρησης γεώτρησης και επιφάνειας.

154 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως διαπιστώθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια της παρούσας διατριβής, με την εξέταση πολλών παραδειγμάτων συνθετικών δεδομένων, τα μοντέλα αντιστροφής και οι λόγοι που παράγονται με τη τεχνική ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής παράγουν αποτελέσματα που παρουσιάζουν την αλλαγή μεταξύ των φάσεων με μεγαλύτερη ακρίβεια, τις περισσότερες φορές σε σύγκριση με τα μοντέλα αντιστροφής και λόγων των υπολοίπων τεχνικών. Προκειμένου, όμως, να είναι ολοκληρωμένη η μελέτη των βέλτιστων διατάξεων, πρέπει να εξετασθεί και να επικυρωθεί η εφαρμογή τους και σε πραγματικά δεδομένα πεδίου. Στο παρόν κεφάλαιο δοκιμάζονται οι τεχνικές της διαφοράς αντιστροφών, η τεχνική της διαφοράς αντιστροφής (Labreque & Yang, 2001), η τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής (Kim et al, 2009) καθώς και η ενεργά χρονομεταβλητή αντιστροφή που αναπτύχθηκε στη διατριβή αυτή, ώστε να ελεγχθούν ως προς την αξιοπιστία τους. Παρακάτω παρουσιάζονται και συζητούνται μερικά παραδείγματα μετρήσεων επιφάνειας και γεώτρησης γεώτρησης που πραγματοποιήθηκαν τόσο σε διάφορες θέσεις Ελλάδα, όσο και στην Ισπανία Δοκιμές στην περιοχή της Σίνδου Στην ευρύτερη περιοχή της Σίνδου πραγματοποιήθηκαν ηλεκτρικές διασκοπήσεις με σκοπό τη διερεύνηση της γεωηλεκτρικής δομής του υπεδάφους και τη χαρτογράφηση των υδροφόρων στρωμάτων. Η μελέτη υπάγεται με την υποστήριξη ενός μεγαλύτερου προγράμματος για την εισπίεση ανακυκλωμένου νερού σε υπό πίεση υδροφόρο ορίζοντα στην περιοχή της Σίνδου, περίπου 12 χιλιόμετρα ανατολικά της Θεσσαλονίκης (σχήμα 5.1, ΙΓΜΕ). Η συνολική προσπάθεια αυτής της διαδικασίας εισπίεσης είναι να βελτιωθεί η ποιότητα του υποβαθμισμένου ποιοτικά υδροφόρου και να αυξηθεί η ποιότητα του νερού. Το έργο περιλαμβάνει την εισπίεση του νερού που προέρχεται από τα βιομηχανικά απόβλητα της Θεσσαλονίκης, αφότου έχει υποστεί επεξεργασία 4 ο βαθμού εκκαθάριση, πριν διοχετευτεί μέσα στο έδαφος. Από γεωλογική άποψη η περιοχή αποτελείται από

155 145 αδιαίρετες ολοκαινικές αποθέσεις που περιλαμβάνουν άμμους και αργιλώδεις έως ιλυώδεις αποθέσεις άμμων και οι οποίες σχηματίζουν ένα πολλαπλό σύστημα υδροφορίας. Η κατασκευή των εγκαταστάσεων περιλάμβανε μία κύρια γεώτρηση βάθους 100 μέτρων (Ρ0, σχήμα 5.2) για να πραγματοποιείται εισπίεση 13 m 3 /ώρα ανακυκλωμένου νερού και επιπλέον 4 γεωτρήσεις των 100 μέτρων (πιεζόμετρα) γύρω από την κεντρική (Ρ1- Ρ4, σχήμα 5.2) για την επίβλεψη της διαδικασίας εισπίεσης. Οι διαδικασίες που ακολούθησαν πριν, κατά τη διάρκεια και μετά τις γεωτρήσεις είναι οι εξής: (1ον) προκαταρκτική υδρογεωλογική μελέτη και επιφανειακή γεωφυσική διασκόπηση για τη θέση των γεωτρήσεων, (2ον) έλεγχος στάθμης νερού και δειγματοληψία και ανάλυση πετρωμάτων κατά τη διάρκεια ανόρυξης της γεώτρησης, (3ον) διαγραφία γεωτρήσεων, (4ον) ανάλυση δειγμάτων νερού, (5ον) πειράματα εισπίεσης. Συγχρόνως, μόνιμοι σταθμοί ελέγχου τοποθετήθηκαν μέσα σε τρεις γεωτρήσεις για τον έλεγχο της στάθμης του νερού, αγωγιμότητα και ph πριν και κατά τη διάρκεια της διαδικασίας εισπίεσης. Σχήμα 5.1: Απόσπασμα γεωλογικού χάρτη Ι.Γ.Μ.Ε. κλίμακας 1: Φύλλο Θεσσαλονίκη. Με μαύρο παραλληλόγραμμο σημειώνεται η περιοχή μελέτης.

156 146 RIVER P2 P0 P1 P3 P4 Σχήμα 5.2 :Οι θέσεις των γεωτρήσεων που χρησιμοποιήθηκαν για τη λήψη των μετρήσεων. Στις γεωτρήσεις Ρ0 και Ρ1 υλοποιήθηκαν οι διατάξεις γεώτρησης γεώτρησης, ενώ στη γεώτρηση Ρ2 υλοποιήθηκαν οι διατάξεις επιφάνειας γεώτρησης Εγκατάσταση ERT Για την εγκατάσταση του συστήματος ERT χρησιμοποιήθηκαν PVC σωλήνες, αντί των μεταλλικών, στη σωλήνωση των γεωτρήσεων και επιπλέον αποφεύχθηκε η χρήση μεταλλικών προστατευτικών καλυμμάτων που συνήθως χρησιμοποιούνται. Επίσης, κατασκευάστηκαν ειδικά ηλεκτρόδια, τα οποία τοποθετήθηκαν στους σωλήνες των γεωτρήσεων με ταινία αλουμινίου κατά τη διάρκεια της σωλήνωσής τους (εικόνα 5.3, Tsourlos 2008)

157 147 Εικόνα 5.3: Εγκατάσταση καλωδίων ERT Στο Σχήμα 5.4 απεικονίζονται τα αποτελέσματα που προέκυψαν από αντιστροφή δεδομένων διπόλου-διπόλου (470 δεδομένα) από τις γεωτρήσεις Ρ2 και Ρ3. Γενικά, οι χαμηλές αντιστάσεις που συνιστούν κυρίως αργιλικούς σχηματισμούς, απεικονίζονται μέχρι το βάθος των 40m ακολουθούμενοι από σχηματισμούς υψηλότερων αντιστάσεων ανταποκρινόμενες σε ανομοιογενή χαλίκι και άμμο. Οι λιθολογικές στήλες των γεωτρήσεων απεικονίζονται μαζί με τις εικόνες αντιστροφής, ώστε να μπορεί να γίνουν οι απαραίτητες συγκρίσεις (σχήμα 5.4).

158 148 Σχήμα 5.4 : Εικόνα αντιστροφής δεδομένων ERT απλής γεώτρησης για γεωτρήσεις Ρ2(αριστερά) και Ρ3(δεξιά) με την αντίστοιχη λιθολογική διαγραφία (Tsourlos et al, 2008) Τα αποτελέσματα ηλεκτρικής τομογραφίας είναι σε πολύ καλή συμφωνία με τις λιθολογικές διαγραφίες: χαμηλές αντιστάσεις αντιστοιχούν στους περισσότερο αργιλώδης σχηματισμούς, ενώ υψηλές τιμές στις αντιστάσεις αντιστοιχούν σε στρώματα με χαλίκια και άμμο. Οι εικόνες ηλεκτρικής τομογραφίας φαίνεται να είναι ευαίσθητες ακόμα και σε σχετικά τοπικές λιθολογικές μεταβολές και κυρίως παρέχουν εικόνα του σχηματισμού σε μία ακτίνα μεγαλύτερης από 10m, μακριά από τις γεωτρήσεις. Αυτή η πληροφορία χώρου δεν είναι εφικτό να ληφθεί από την διαγραφία ή τη δειγματοληψία.

159 149 Σχήμα 5.5: Εικόνα αντιστροφής μεταξύ γεωτρήσεων ηλεκτρικών τομογραφιών για γεωτρήσεις Ρ0-Ρ2 (αριστερά) και την αντίστοιχη αντίσταση διαγραφίας για τη Ρ0 (αριστερά) (Tsourlos et al, 2008) Στο σχήμα 5.5 απεικονίζονται τα αποτελέσματα που προέκυψαν από την αντιστροφή δεδομένων διπόλου-διπόλου μεταξύ των γεωτρήσεων Ρ0-Ρ3. Να σημειωθεί ότι σε αυτή τη περίπτωση χρησιμοποιήθηκε απόσταση ηλεκτροδίων ίση με 6 μέτρα. Η εικόνα δείχνει ξεκάθαρα τη στρωματογραφία και απεικονίζονται ξεκάθαρα οι κύριοι υδροφόροι ορίζοντες (στρώματα με χαλίκια και άμμο). Τα αποτελέσματα συσχετίζονται σε πολύ καλό βαθμό με τη διαγραφία αντίστασης, η οποία πραγματοποιήθηκε στη γεώτρηση Ρ0 πριν αυτή κλείσει (σχήμα 5.5 αριστερά).

160 Μετρήσεις γεώτρησης γεώτρησης Οι γεωτρήσεις που διανοίχθηκαν έφτασαν μέχρι το βάθος των 102m. Για την υλοποίηση των μετρήσεων γεώτρησης γεώτρησης (Ρ0-Ρ1) χρησιμοποιήθηκαν 17 ηλεκτρόδια σε κάθε γεώτρηση και συνολικά η τομογραφία του χώρου μεταξύ των γεωτρήσεων έγινε με 34 ηλεκτρόδια. Η απόσταση μεταξύ των ηλεκτροδίων ήταν α=6m, ενώ η απόσταση μεταξύ των δύο γεωτρήσεων ήταν 30m. Στο σχήμα 5.6 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της τομογραφίας του χώρου μεταξύ των γεωτρήσεων (Ρ0-Ρ1), στο οποίο φαίνεται η ομοιότητα, σε γενικές γραμμές, των γεωηλεκτρικών μοντέλων αντιστροφής όλων των διατάξεων. Γενικά, χαμηλές αντιστάσεις παραπέμπουν κυρίως σε αργιλικούς σχηματισμούς, ενώ οι υψηλότερες αντιστάσεις αντιπροσωπεύουν σχηματισμούς αποτελούμενους από άμμους και χαλίκια. Με βάση τα παραπάνω και μελετώντας τα γεωηλεκτρικά μοντέλα αντιστροφής του σχήματος 5.6 διαπιστώνεται ότι δείχνουν εναλλαγή των δύο παραπάνω σχηματισμών. Συνεπώς, μέχρι το βάθος των 40m περίπου εντοπίζεται ένας αργιλικός σχηματισμός, στη συνέχεια και μέχρι το βάθος των 85m εντοπίζεται ένας σχηματισμός αμμοχάλικων, ενώ μετά τα 85m εμφανίζεται πάλι ο αργιλικός σχηματισμός. Οι υψηλές αντιστάσεις που εμφανίζονται πολύ κοντά στην επιφάνεια της γεώτρησης σε κάποιες από τις γεωηλεκτρικές εικόνες αντιστροφής οφείλονται πιθανότατα στην έλλειψη υγρασίας στα πρώτα μέτρα των γεωτρήσεων. Τα αποτελέσματα της τομογραφίας μεταξύ των γεωτρήσεων είναι σε πολύ καλή συμφωνία με τη λιθολογική στήλη αυτών. Τα υδροφόρα στρώματα διακρίνονται σε βάθος μέτρων, μέτρων και μέτρων. Στο 5.6 γίνεται άμεση σύγκριση δύο εικόνων ηλεκτρικής τομογραφίας με δύο γεωλογικές τομές. Είναι φανερή η αντιστοιχία των στρωμάτων, κάτι που ενισχύει την αξιοπιστία της μεθόδου.

161 151 Σχήμα 5.6 : Εικόνες ηλεκτρικής τομογραφίας από δύο προγράμματα αντιστροφής σε άμεση σύγκριση με γεωλογικές τομές (Βαργεμέζης Γ.). Να ληφθεί υπόψη όσον αφορά τους χρωματισμούς των τιμών της ηλεκτρικής αντίστασης ότι κάθε πρόγραμμα αντιστροφής ηλεκτρικών δεδομένων χρησιμοποιεί τη δικιά του χρωματική κλίμακα. Πρέπει να σημειωθεί ότι οι εικόνες αντιστροφής του σχήματος 5.6 έχουν ληφθεί με τη χρήση των λογισμικών RES2DINV και TOMO-DC Διαχρονικά δεδομένα Για την παρακολούθηση των μεταβολών στην περιοχή πραγματοποιήθηκαν μετρήσεις γεώτρησης γεώτρησης καθώς και μετρήσεις επιφάνειας γεώτρησης και για το διάστημα από το 2006 έως το 2008 με ένα σύνολο 21 φάσεων. Επίσης, μετρήσεις από ένα σύνολο 11 φάσεων λήφθηκε σε μία μέρα, ξεκινώντας πριν την εισπίεση του νερού και μετρώντας κατά τη διάρκεια αυτής έως και το πέρας της εισπίεσης. Τα αποτελέσματα των δύο αυτών σετ διαχρονικών δεδομένων αναλύονται ξεχωριστά.

162 152 Η απευθείας επεξεργασία διαχρονικών δεδομένων είναι αδύνατη, καθώς τυχαία αίτια, όπως κακή σύνδεση κάποιου ηλεκτροδίου ή αποφόρτιση μπαταρίας κτλ, είναι δυνατόν να αλλοιώσουν τις μετρήσεις. Για το λόγο αυτό ένα αρχικό φιλτράρισμα τω μετρήσεων είναι απαραίτητο ώστε να εξαλείφουν μετρήσεις που διαφέρουν σημαντικά από μετρήσεις γειτονικών φάσεων (Σιμυρδάνης 2009). Τέτοιο είδους φιλτράρισμα είναι η σύγκριση των κοινών μετρήσεων για όλες τις χρονικές φάσεις(δηλαδή μετρήσεις που λήφθηκαν με τον ίδιο συνδυασμό ηλεκτροδίων σε διάφορες χρονικές στιγμές), και απόρριψη αυτών που διαφέρουν σημαντικά (πχ περισσότερο από 1.2 φορές του μέσου). Σε κάθε περίπτωση, όμως, το φιλτράρισμα πρέπει να γίνεται σε συνδυασμό με την ποιότητα των δεδομένων, και τις αναμενόμενες αλλαγές που δεν αποτελεί μέρος της έρευνας αυτής της διατριβής. Ακόμα, σε αρκετές περιπτώσεις, και μετά το φιλτράρισμα, το σύνολο των μετρήσεων μιας φάσης πρέπει να απορριφτεί, καθώς το μοντέλο αντιστροφής είναι αρκετά διαφορετικό από αυτό των γειτονικών. Τα κριτήρια απόρριψης μετρήσεων και φάσεων εξαρτώνται από τη φύση του προβλήματος και τις αναμενόμενες αλλαγές. Παρόλα αυτά υπεισέρχεται και το υποκειμενικό κριτήριο του ερευνητή Πείραμα Α έλεγχος λειτουργίας αλγορίθμου. Ένα σύνολο 11 φάσεων μετρήθηκαν στη διάρκεια της 5/03/2008, με την έναρξη της εισπίεσης νερού υψηλής αγωγιμότητας (1300 μs/cm) να ξεκινά 1 λεπτό μετά την έναρξη των μετρήσεων της φάσης 2 και να ολοκληρώνεται στο τέλος των μετρήσεων της φάσης 10. Το αντίστοιχο χρονοδιάγραμμα φάσεων και εισπίεσης παρουσιάζεται στο σχήμα 5.7. Κάθε φάση μετρήσεων αποτελούνταν από ένα σύνολο 829 μετρήσεων διάταξης bipole-bipole (AM-BN) και είχε διάρκεια περίπου 10 λεπτά. Το διάστημα μεταξύ των μετρήσεων έγινε προσπάθεια να ελαχιστοποιηθεί και κάθε φάση διαφέρει χρονικά η μία με την άλλη περίπου 2 λεπτά. Συγκρίνοντας τα μοντέλα αντιστροφής που προκύπτουν από τα προγράμματα Res2dinv, Tomo-DC και αυτό που αναπτύχθηκε στη διατριβή αυτή (σχήμα 5.8), παρατηρήθηκε ότι υπάρχει πολύ καλή συμφωνία αυτών, με αποτέλεσμα να κρίνεται αξιόπιστος ο αλγόριθμος. Οι εικόνες που παρουσιάζονται στο σχήμα 5.8 αποτελούν εικόνες

163 153 τυπικής αντιστροφής (ανεξάρτητης) και χρησιμοποιήθηκαν μόνο για την επαλήθευση της καλής αξιοπιστίας του αλγορίθμου και όχι για την εξαγωγή συμπερασμάτων. Φάση Έναρξη εισπίεσης Σχήμα 5.7 :Το χρονοδιάγραμμα μετρήσεων του πειράματος 1. Η εισπίεση ξεκινά από την φάση 2 και τελειώνει στην φάση 10. meters Σχήμα 5.8 :Εικόνες αντιστροφής για τα ίδια δεδομένα με τα διαθέσιμα λογισμικά (Res2dinv, Tomo-DC, και αυτό που αναπτύχθηκε στην διατριβή αυτή). Παρατηρούνται όμοιες εικόνες αντιστροφής. Με την αρχική ανάλυση ένα μικρό ποσοστό των μετρήσεων χρειάστηκε να φιλτραριστεί. Επίσης από την αρχική ανάλυση φάνηκε ότι υπήρχε μια προβληματική περιοχή υψηλών αντιστάσεων σε βάθος 96 μέτρων και αποστάσεις στον οριζόντια άξονα

164 μέτρων σε όλες τις φάσεις. Από την ανάλυση αποφασίστηκε να εξαιρεθούν όλες οι μετρήσεις που αφορούσαν το συγκεκριμένο ηλεκτρόδιο (βάθος 96 μέτρα). Μετά από τη συγκεκριμένη διαδικασία αξιολόγησης το τελικό σετ δεδομένων περιέχει 672 μετρήσεις από κάθε φάση (συνολικά 672Χ11 μετρήσεις), το οποίο χρησιμοποιήθηκε για την επεξεργασία. Είναι σκόπιμο να τονιστεί ότι στην τεχνική της αντιστροφής διαφορών χρειάζεται να γίνει συγχρονισμός των διαχρονικών δεδομένων, ώστε να περιέχουν ακριβώς τις ίδιες μετρήσεις (μετρήσεις με τους ίδιους συνδυασμούς ηλεκτροδίων). Στις υπόλοιπες τεχνικές (διαφορά αντιστροφών, σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή, ενεργά χρονοεξαρτημένη αντιστροφή) κάτι τέτοιο δεν είναι απαραίτητο. Όμως για λόγους σύγκρισης μεταξύ των τεχνικών, προτιμήθηκε σε όλα τα διαχρονικά δεδομένα να πραγματοποιηθεί ο συγχρονισμός Πείραμα Α διαχρονικά δεδομένα Όπως προαναφέρθηκε στη προηγούμενη παράγραφο μετά το απαραίτητο φιλτράρισμα το νέο σετ δεδομένων χρησιμοποιήθηκε για την παραγωγή εικόνων αντιστροφής και λόγων φάσεων με όλες τις γνωστές τεχνικές (διαφορά αντιστροφών, αντιστροφή διαφορών, σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή και ενεργή χρονομεταβλητή αντιστροφή). Στο σχήμα 5.9 παρουσιάζονται οι εικόνες αντιστροφής σε μια σειρά από σχήματα που αποτελούνται από τέσσερις γραμμές. Κάθε γραμμή απεικονίζει και τη διαφορετική τεχνική που χρησιμοποιήθηκε. Αναλυτικότερα Η πρώτη γραμμή εικόνες από τη διαφορά αντιστροφών Η δεύτερη γραμμή εικόνες από την αντιστροφή διαφορών Η τρίτη γραμμή εικόνες από τη σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή Η τέταρτη γραμμή εικόνες από την ενεργή χρονομεταβλητή αντιστροφή.

165 155 α β γ δ meters Σχήμα 5.9 :Εικόνες αντιστροφής από α) διαφορά αντιστροφών, β) αντιστροφή διαφοράς, γ) σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή, δ) ενεργά χρονομεταβλητή αντιστροφή Η διαφορά που παρουσιάζεται ανάμεσα στα σχήματα 5.8 και 5.9, αναφορικά με τις εικόνες της τυπικής αντιστροφής, οφείλονται αποκλειστικά και μόνο στην αφαίρεση των μετρήσεων που αφορούσαν το ηλεκτρόδιο σε βάθος 96 μέτρων. Οι εικόνες που προέκυψαν

166 156 είναι περισσότερο συμβατές με τη στρωματογραφική στήλη που παρουσιάστηκε στα σχήματα 5.4, 5.5 και Αξιολόγηση σφάλματος αριθμού επαναλήψεων Προκειμένου να αξιολογηθούν τα μοντέλα, είναι σημαντικό να υπολογιστεί το επί τοις εκατό % μέσο τετραγωνικό σφάλμα για κάθε μοντέλο. Σε μια τυπική αντιστροφή αυτό είναι συνήθως αρκετό, για να χαρακτηριστεί η ποιότητα των δεδομένων. Στα διαχρονικά δεδομένα μάλλον κρίνεται απαραίτητο να εισαχθεί και ένα ακόμα κριτήριο, ο αριθμός επαναλήψεων. Αναλυτικότερα για τα μοντέλα που προέκυψαν από την εικόνα 5.9 τα σχετικά σφάλματα παρουσιάζονται στο σχήμα ,8 6,6 6,4 6,2 6 RMS 5,8 5,6 5,4 5,2 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 Σχήμα 5.10 :Το % μέσο τετραγωνικό σφάλμα για κάθε φάση. Παρατηρείται ότι για τη φάση 1 και φάση 10 το σφάλμα διαφέρει από το σφάλμα των υπολοίπων φάσεων. Γενικά το % μέσο τετραγωνικό σφάλμα είναι μικρότερο από 6%, το οποίο για γεωηλεκτρικά δεδομένα κρίνεται αρκετά ικανοποιητικό. Παρόλα αυτά, παρατηρείται ότι για τη φάση 1 και 10 το σχετικό σφάλμα είναι της τάξης του 6.6%, και ότι η φάση 10

167 157 σταμάτησε στις 3 επαναλήψεις (με βάση τα κριτήρια τερματισμού της αντιστροφής που αναλύθηκαν στο 2 ο κεφάλαιο), ενώ για όλες τις υπόλοιπες φάσεις στις 4 επαναλήψεις. Ενώ αυτό, όπως φαίνεται και στο σχήμα 5.9, δεν είναι αντιληπτό στις εικόνες αντιστροφής, στην παραγωγή των λόγων είναι κρίσιμο. α β γ δ meters Σχήμα 5.10 :Λόγοι με φάση αναφοράς τη φάση 1 για τις τεχνικές α) διαφορά αντιστροφών, β) αντιστροφή διαφοράς, γ) σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή, δ) ενεργά χρονομεταβλητή αντιστροφή

168 158 Παρατηρώντας το σχήμα 5.10 σχετικά με τους λόγους της (φάσης 10)/(φάσης 1) για την τεχνική της διαφοράς αντιστροφών, παρατηρείται μεγάλη ασυμβατότητα σε σχέση με τους υπολοίπους λόγους. Λόγω της εξομάλυνσης που παρουσιάζουν οι υπόλοιπες τεχνικές (αντιστροφής διαφορών, σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής και ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής), αυτή η διαφορά όσον αφορά τη φάση 10, δεν επηρεάζει τις εικόνες, δηλαδή δεν εμφανίζεται η έντονα διαφορετικά εικόνας στα πρώτα 20 μέτρα. Περαιτέρω προσπάθεια βελτίωσης του % σφάλματος για τη φάση 10 γίνεται με την αύξηση των αριθμών επαναλήψεων για τη φάση αυτή (εισάγοντας ξεχωριστά διαφορετικό κριτήριο σύγκλισης για την φάση αυτή). Οι λόγοι με βάση αναφοράς τη φάση 2 (την φάση δηλαδή που έχει το ίδιο % σχετικό σφάλμα με τις υπόλοιπες), με αριθμό επαναλήψεων 4,5 και 6, ώστε το σφάλμα να φτάσει σε ένα επίπεδο περίπου στο 6%, δίνει τους λόγους που παρουσιάζονται στο σχήμα 5.11 RATIO meters Σχήμα 5.11: Λόγοι για τη διαφορά αντιστροφών με φάση αναφοράς τη φάση 2 και αριθμό επαναλήψεων για τη φάση 10 α) 4, β)5, γ)6. Τα σχετικά σφάλματα παρουσιάζονται δίπλα από κάθε σχήμα.

169 159 Παρατηρώντας το σχήμα 5.11 συμπεραίνεται ότι παρόλη την ελάττωση του επί τοις εκατό % μέσου τετραγωνικού σφάλματος της φάσης 10 με την αύξηση του αριθμού επαναλήψεων, οι λόγοι, που παράγονται χρησιμοποιώντας τη φάση 10 (πχ Τ10/Τ2), εξακολουθούν να διαφέρουν σημαντικά σε σχέση με τους υπόλοιπους (λχ Τ9/Τ2, Τ8/Τ2 κτλ). Συνοψίζοντας, η διαφορά αντιστροφών, λόγω της μη ύπαρξης συνάφειας μεταξύ των φάσεων, μπορεί πολλές φορές να οδηγήσει σε εσφαλμένα αποτελέσματα, ακόμα και αν τα σχετικά σφάλματα διαφέρουν σχετικά λίγο (6.6 % για την φάση 10 και 6% για τις υπόλοιπες). Ιδίως σε δεδομένα με μικρό αριθμό φάσεων (πχ 3 ή 4 φάσεις) αυτό μπορεί να οδηγήσει σε εσφαλμένη ερμηνεία. Σε αυτές τις περιπτώσεις είναι προτιμότερο να αποφεύγεται η τεχνική της διαφοράς αντιστροφών. Αντίθετα οι τεχνικές της αντιστροφής διαφορών και κυρίως οι τεχνικές της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής και ενεργής χρονομεταβλητής αντιστροφής παραμένουν ανεπηρέαστες από τέτοιου είδους προβλήματα Ρύθμιση του πολλαπλασιαστή χρονικής μεταβολής ανάλογα με την αλλαγή από φάση σε φάση Στο σχήμα 5.12 παρουσιάζεται ο πίνακας διαφορών για τις 11 φάσεις. Παρατηρείται ότι μόνο στις αρχικές φάσεις (μέχρι Τ5/Τ4) μετά την εισπίεση παρατηρούνται έντονες αλλαγές. Στο λόγο Τ2/Τ1 επιλέγονται περιοχές στο αριστερό άκρο, πιθανότατα λόγω της εισπίεσης νερού μέσα στη γεώτρηση. Οι υπόλοιπες περιοχές σε επόμενες φάσεις αφορούν κυρίως το κατώτερο στρώμα.

170 160 α β γ meters Σχήμα 5.12 : α)παρουσίαση του πίνακα διαφορών Κ 2 για τα πραγματικά δεδομένα, β) του ιστογράμματος του πίνακα Κ 2, γ) οι επιλεγμένες περιοχές Υπόλοιποι λόγοι διαχρονικών δεδομένων - Συμπεράσματα Στο σχήμα 5.10 παρουσιάστηκαν οι λόγοι με αναφορά τη φάση 1. Στα υπόλοιπα σχήματα παρουσιάζονται οι λόγοι με αναφορά τις υπόλοιπες φάσεις. Από τις εικόνες 5.11, 5.14α και 5.14β παρατηρούνται τα εξής: Στις εικόνες με την τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής και ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής οι αλλαγές παρατηρούνται στα βαθύτερα και μόνο στρώματα (από τα 60 και κάτω), πράγμα αναμενόμενο καθώς τα πρώτα 50 μέτρα της γεώτρησης δεν είχαν φίλτρο. Η αλλαγή αφορά μια αύξηση της αντίστασης, πιθανότατα λόγω εκτόπισης του υφάλμυρου νερό στο κάτω δεξιό μέρος (βάθη 85 και κάτω). Η περιοχή κάτω αριστερά που παρουσιάζει μείωση των λόγω της εισπίεσης αγώγιμου νερού και δημιουργία κώνου ανύψωσης λόγω εμπλουτισμού (σχήμα 5.13) (Voudouris et al, 2006) Σε βάθος 70 μέτρων και οριζόντιας απόστασης 30 μέτρων, μέσα στο στρώμα της αργίλου και κροκάλων παρατηρείται μια ζώνη μείωσης αντιστάσεων, πιθανότατα λόγω πλήρωσης των κενών του στρώματος με το νερό της εισπίεσης.

171 161 Από τη φάση 6 και μετά παρατηρείται σταθεροποίηση της κατάστασης του υπεδάφους, πράγμα που φαίνεται και από τις τιμές των αντιστάσεων που παραμένουν σταθερές. Γενικά οι εικόνες με τη τεχνική της διαφοράς αντιστροφών παρουσιάζουν προβληματικές εικόνες σε αρκετές περιπτώσεις, λόγω των διαφορετικών σφαλμάτων στα μοντέλα. Η χρήση λοιπόν της διαφοράς αντιστροφής πρέπει να γίνεται με μεγάλη προσοχή και αφού ελεγχθεί εξονυχιστικά η κάθε φάση χωριστά και πιθανά αποκλειστεί. Η τεχνική της αντιστροφής διαφοράς ελαττώνει την επιρροή προβληματικών φάσεων χωρίς όμως να τις εξαλείφει τελείως. Λχ στο σχήμα 5.14 ο λόγος Τ10-4 παρουσιάζει στα ανώτερα στρώματα μια περιοχή με μείωση της αντίστασης, που μάλλον δεν δικαιολογείται. Οι εικόνες που παράγονται από τις τεχνικές της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής και ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής φαίνεται να δίνουν εικόνες που είναι πιο κοντά στις αναμενόμενες. Η εικόνα όμως της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής είναι περισσότερο εξομαλυμένη, πράγμα αναμενόμενο όπως παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο 4. Σχήμα 5.13: Ανύψωση στάθμης νερού στο σημείο της εισπίεσης, και πτώση στάθμης σε σημεία που απέχουν από την θέση της εισπίεσης.(voudouris et al, 2006)

172 162 α α β β γ γ δ δ meters Σχήμα 5.14α: Λόγοι με φάση αναφοράς τη φάση 2(αριστερά) και φάση 3(δεξιά) για τις τεχνικές α) διαφορά αντιστροφών, β) αντιστροφή διαφοράς, γ) σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή, δ) ενεργά χρονομεταβλητή αντιστροφή

173 163 α α β β γ γ δ δ meters Σχήμα 5.14β: Λόγοι με φάση αναφοράς τη φάση 4(αριστερά) και φάση 5(δεξιά) για τις τεχνικές α) διαφορά αντιστροφών, β) αντιστροφή διαφοράς, γ) σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή, δ) ενεργά χρονομεταβλητή αντιστροφή

174 164 α β γ δ meters Σχήμα 5.15 Από αριστερά προς τα δεξιά λόγοι με φάση αναφοράς τη φάση 6, φάση 7, φάση 8 φάση9 και φάση 10 για τις τεχνικές α) διαφορά αντιστροφών, β) αντιστροφή διαφοράς, γ) σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή, δ) ενεργά χρονομεταβλητή αντιστροφή

175 Πείραμα Β Το πείραμα αυτό αποτελείται ένα σύνολο 22 φάσεων με έναρξη από τον Οκτώβριο 2006 έως καλοκαίρι Μετά από το απαραίτητο φιλτράρισμα, επιλέχθηκαν 8 φάσεις για την δημιουργία εικόνων αντιστροφής, καθώς τα δεδομένα των φάσεων αυτών είναι πλήρη και με το ίδιο πρωτόκολλο μέτρησης. Στο σχήμα 5.16, παρατηρούνται οι εικόνες αντιστροφής για τις 8 φάσεις. Η διαφορά που παρατηρείται στο βαθύτερο στρώμα, σε σχέση με τις εικόνες αντιστροφής του πειράματος Α, οφείλονται στη χρήση διαφορετικού πρωτοκόλλου μετρήσεων, με αυτό του πειράματος Β να έχει λιγότερες μετρήσεις με μικρότερη επικάλυψη. Για το λόγο αυτό παρουσιάζεται μια περιοχή χαμηλών αντιστάσεων στο κέντρο των βαθύτερων στρωμάτων συγκριτικά με τις εικόνες που παρουσιάστηκαν στο σχήμα Εικόνες αντιστροφής και λόγοι meters Σχήμα 5.16 : Εικόνες αντιστροφής που παράχθηκαν για τις 8 φάσεις με την τεχνική της χωρικά μεταβαλλόμενης αντιστροφής. Παρατηρείται μια γενικότερη αύξηση των αντιστάσεων στα μεγάλα βάθη, πιθανότατα λόγω ανάμειξης των θαλάσσιων υδάτων, συγκρίνοντας με τις αρχικές φάσεις Τ2 και Τ3 και Τ4. Σε μεταγενέστερες φάσεις το φαινόμενο αυτό παρατηρείται όλο και πιο ασθενές, και από τη φάση Τ8 και μετά σταματά.. Στα μικρότερα βάθη δεν παρατηρείται καμιά μεγάλη αλλαγή (σχήμα 5.18). Η μεγάλη αλλαγή που παρατηρείται στη φάση Τ8 στο κάτω αριστερό τμήμα, πιθανότατα να πρόκειται για λανθασμένες μετρήσεις, που δεν

176 166 φιλτραρίστηκαν, καθώς παρουσίαζαν τιμές όμοιες με τις γειτονικές. Για το λόγο αυτό και στους μεταγενέστερους λόγους με αναφορά τη φάση 10, η περιοχή αυτή παρουσιάζεται με χαμηλότερες αντιστάσεις. Στο σχήμα 5.19 παρουσιάζονται τα σφάλματα για κάθε φάση. Το μέγιστο σφάλμα παρατηρείται στη φάση 10 (περίπου 3.2%) και το ελάχιστο στη φάση 2 (περίπου 2.1 %). Αυτά τα σφάλματα είναι αρκετά χαμηλά για πραγματικά δεδομένα και προέκυψαν μετά από 5 επαναλήψεις. Δε διακρίνεται κάποια προβληματική φάση. α β γ meters Σχήμα 5.17 : α)παρουσίαση του πίνακα διαφορών Κ 2 για τα πραγματικά δεδομένα, β) του ιστογράμματος του πίνακα Κ 2, γ) οι επιλεγμένες περιοχές..

177 167 Φ2 Φ3 Φ4 Φ7 Φ8 meters Φ13 Σχήμα 5.18 : Λόγοι που παράχθηκαν με την τεχνική της χωρικά μεταβαλλόμενης αντιστροφής. Κάθε σειρά αντιπροσωπεύει και τη διαφορετική φάση αναφοράς, λχ 1 η σειρά λόγοι με φάση αναφοράς τη φάση 1 κτλ.

178 RMS RMS T2 T3 T4 T7 T10 T13 T16 Σχήμα 5.19 :Τα σχετικά σφάλματα για τη κάθε φάση. Το μέγιστο σφάλμα παρατηρείται στην φάση Πείραμα στην Ισπανία Εισαγωγή Στα πλαίσια του ευρωπαϊκού προγράμματος ALERT (Automated time-lapse Electrical Resistivity Tomography), αναπτύχθηκε ένα σύστημα για τη 4D παρακολούθηση των αλλαγών των υπεδάφιων ηλεκτρικών ιδιοτήτων με στόχο τη διαχρονική καταγραφή και μελέτη της επίδρασης των μετεωρολογικών μεταβολών και της χρήσης γης στον υπόγειο Τεταρτογενή υδροφορέα. Το ALERT χρησιμοποιεί μόνιμα τοποθετημένα ηλεκτρόδια και ο χειρισμός του συστήματος καταγραφής των αντιστάσεων γίνεται αυτοματοποιημένα και από απόσταση χρησιμοποιώντας ασύρματες τεχνολογίες, όπως (GSM, GPRS, WiFi ή δορυφορικές τηλεπικοινωνίες, σχήμα 5.20), επιτρέποντας τον χειρισμό από το γραφείο και την αποφυγή των χρονοβόρων και ακριβών μετρήσεων υπαίθρου (σχήμα 5.20). Η ανάπτυξη περιλάμβανε τη κατασκευή νέου μηχανήματος μετρήσεων και τη κατασκευή λογισμικού με δυνατότητα 4D αντιστροφής.

179 169 Το σύστημα ALERT έχει εγκατασταθεί στην ακόρεστη ζώνη του ποταμού Andarax, στην Almeria της Ισπανίας και στον επιφανειακό σχηματισμό των ποταμοχειμάρριων αποθέσεων με εξόδους ηλεκτροδίων σε διαστήματα 10 μέτρων. Τα θαμμένα ηλεκτρόδια επεκτείνονται σε ένα μήκος 1.6 χλμ από την ακτογραμμή (δεξιά σχήμα 5.21). Το βάθος της διασκόπησης είναι περίπου 150 μέτρα από την επιφάνεια του εδάφους. Η συλλογή των δεδομένων γίνεται αυτοματοποιημένα σε ημερήσια βάση και μεταδίδονται ασύρματα στη βάση δεδομένων στην BGS. Με αυτόν τον τρόπο αποκαθίσταται συνεχής ανίχνευση των υδρογεωλογικών ιδιοτήτων και της επιφάνειας αλμυρότητας. Η γρήγορη ανίχνευση και απεικόνιση των υπογείων αλλαγών μπορούν να βοηθήσουν στην έγκαιρη πρόληψη. Η τεχνολογία ALERT προσφέρει έγκαιρη προειδοποίηση από εν δυνάμει κινδύνους σε ευάλωτα συστήματα υπόγειου νερού, όπως είναι η υπεράντληση, η άνοδος της στάθμης του υφάλμυρου υδροφορέα, η ανθρωπογενούς προέλευσης ρύπανση, καθώς και η διείσδυση θαλασσινού νερού. Οι ηλεκτρικές εικόνες που παρήχθησαν (τόσο στο χώρο όσο και στον χρόνο) ερμηνεύτηκαν σε σχέση με τις υδρογεωλογικές συνθήκες της περιοχής και ιδιαίτερα με τη διεπιφάνεια θαλασσινού-γλυκού νερού. Ο εντοπισμός και η απεικόνιση χρονικών μεταβολών των χαρακτηριστικών του υπόγειου νερού μπορεί να βοηθήσει στον έλεγχο της άντλησης και της άρδευσης στην υπό έρευνα περιοχή. Σχήμα 5.20 Σχηματική αναπαράσταση τρόπου λειτουργίας του συστήματος ALERT (BGS)

180 170 Σχήμα 5.21 Σταθμός μετρήσεων και αναμεταδότης (BGS) Σχήμα 5.22 Τοποθέτηση των θαμμένων ηλεκτροδίων.(bgs)

181 Εικόνες σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής Κάθε φάση μετρήσεων αποτελείται από περίπου 5000 μετρήσεις διπόλου διπόλου, με συνολικό μήκος 1500 μέτρων και απόσταση ηλεκτροδίων 10 μέτρα. Λόγω του μεγάλου όγκου των μετρήσεων (5000 μετρήσεις Χ 2038 παράμετροι) επιλέχθηκε να χρησιμοποιηθούν ηλεκτρόδια ανά 20 μέτρα. Χρησιμοποιώντας τις κοινές μετρήσεις όλων των φάσεων ο αριθμός των μετρήσεων ελαττώθηκε σε 1300 περίπου, κάνοντας την επεξεργασία δύσκολη, καθώς ο αριθμός των αγνώστων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των μετρήσεων (υποκαθορισμένο πρόβλημα). Στο τμήμα από -300 έως -200 μέτρα δεν τοποθετήθηκαν ηλεκτρόδια. Οι εικόνες αντιστροφής παρουσιάζονται στο σχήμα 5.24 και τα σχετικά σφάλματα στο σχήμα RMS T5 T20 T21 T22 T24 T25 T26 RMS Σχήμα 5.23 :Τα σχετικά σφάλματα για την κάθε φάση. Στο χρονικό διάστημα που πραγματοποιήθηκαν οι μετρήσεις, μεταξύ της 21 ης και 22 ης Σεπτέμβρη, υπήρξε μία έντονη βροχόπτωση και αυτό είχε ως συνέπεια να πλημμυρίσει ο ποταμός, και την μείωση των αντιστάσεων στο πάνω μέρος του ποταμού (απόσταση από 400 μέτρα έως 1100 στα πρώτα 5 μέτρα βάθος) και αντίστοιχα μια παράλληλη ζώνη σε μεγαλύτερο βάθος που παρατηρείται αύξηση της αντίστασης. Το αποτέλεσμα της πλημμύρας φαίνεται να εξασθενίζει μετά την 24 η Σεπτέμβρη, καθώς παρατηρώντας τους λόγους δεν παρουσιάζεται κάποια αλλαγή.

182 172 Στο σχήμα 5.28 παρουσιάζονται οι λόγοι με τη χρονολογική σειρά εξέλιξης του φαινομένου, για τα πρώτα 60 μέτρα, όπου εκτιμήθηκε ότι θα επηρεαζόταν λιγότερο. Σχήμα 5.24: Οι εικόνες αντιστροφής για την τεχνική 4D. Αντιστοίχως στο σχήμα 5.25 έως 5.27 παρουσιάζονται οι λόγοι.

183 Σχήμα 5.25: Οι λόγοι με φάση αναφοράς α) τη φάση Τ5, β) Τ20 173

184 Σχήμα 5.26: Οι λόγοι με φάση αναφοράς α) τη φάση Τ21, β) Τ22 174

185 Σχήμα 5.27: Οι λόγοι με φάση αναφοράς α) τη φάση, Τ24 β) Τ25 175

186 176 Σχήμα 5.28: Οι λόγοι με χρονολογική εξέλιξη του φαινομένου της πλημμύρας μεταξύ της 21 ης και 22 ης Σεπτέμβρη. Αλλαγές που παρατηρούνται σε αποστάσεις από -200 έως -100 πιθανόν να οφείλονται στο κενό των ηλεκτροδίων.

187 Εικόνες ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής. Επιλέγοντας το χρονικό διάστημα από 19 Σεπτέμβρη έως 24 Σεπτέμβρη (για τις υπόλοιπες φάσεις ο πινάκας διαφορών δεν υποδεικνύει περιοχές μεγάλων αλλαγών) για την αντίστροφη δεδομένων με τη τεχνική της ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής, παρατηρήθηκε ότι o πίνακας διαφορών Κ 2 δεν εμφανίζει τις αναμενόμενες περιοχές μεγάλων αλλαγών (σχήμα 5.28). Σχήμα 5.29: α)παρουσίαση του πίνακα διαφορών Κ 2 για τα πραγματικά δεδομένα, β) του ιστογράμματος του πίνακα Κ 2, γ) οι επιλεγμένες περιοχές. Σε μετρήσεις που πραγματοποιήθηκαν την συγκεκριμένη (22 Σεπτέμβρη) μέρα σε δύο γεωτρήσεις βαθμονόμησης, αποδείχτηκε ότι το αποτέλεσμα της πλημμύρας στον υδροφόρο ήταν ελάχιστο : η μεταβολή του πάνω τμήματος του υδροφόρου (hydraulic heads variation) ήταν περίπου 20 cm (ρυθμό άντλησης = L/s). Παρόλα αυτά, στο σχήμα 5.29 παρατηρείται αλλαγή ακόμα και σε μεγαλύτερα βάθη (30-50 μέτρα). Πιθανότατα οι αλλαγές που παρατηρούνται σε βάθη μεγαλύτερα των 50 μέτρων (σε οριζόντια απόσταση 400 και 700 μέτρςν) να είναι περιοχές που λανθασμένα έχουν επιλεγεί ως περιοχές μεγάλων αλλαγών.

188 Σχήμα 5.30: Οι λόγοι με χρονολογική εξέλιξη του φαινομένου της πλημμύρας μεταξύ της 19 ης και 24 ης Σεπτέμβρη. 178

189 Σχήμα 5.31: Οι εικόνες αντιστροφής για τη τεχνική ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής. 179

190 Συμπεράσματα Από την μελέτη πραγματικών δεδομένων παρατηρήθηκε ότι είναι δυνατή η χρήση γεωηλεκτρικών δεδομένων για την εύρεση αλλαγών στο υπέδαφος. Συγκριτικά, από τις γνωστές τεχνικές, αυτές που θεωρούνται πιο αξιόπιστες είναι η τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής και ενεργά χρονομεταβλητής αντίστροφης. Τα πλεονεκτήματα που παρουσιάζουν επιγραμματικά είναι: Δεν επηρεάζονται από κακής ποιότητας μετρήσεις ή μετρήσεις από κάποιες φάσεις που είναι σημαντικά διαφοροποιημένες από τις χρονικά γειτονικά. Τα τεχνουργήματα ελαχιστοποιούνται με τους λόγους να αναδεικνύουν τις περιοχές αλλαγών. Ένα ενιαίο σύστημα για επίλυση, που δεν εξαρτάται από την προηγούμενη φάση (όπως συμβαίνει με την τεχνική της αντιστροφής διαφορών), με αποτέλεσμα κάθε φάση να μην επηρεάζεται από το μοντέλο της προηγούμενης. Συγκρίνοντας τις τεχνικές σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής και ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής εξάγονται τα εξής συμπεράσματα: Σε δεδομένα που δε παρατηρούνται μεγάλες και απότομες αλλαγές η τεχνική σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής αποτελεί τη βέλτιστη επιλογή, καθώς πετυχαίνει ρεαλιστικότερη απεικόνιση της αλλαγής. Η τεχνική της ενεργά χρονοεξαρτημένης αντιστροφής λειτουργεί σε περιπτώσεις που υπάρχουν αλλαγές μεγάλες και έντονες. Είναι ίσως προτιμότερο να χρησιμοποιείται για δεδομένα που απέχουν χρονικά μεταξύ τους. Σε κάθε άλλη περίπτωση, λόγω των μη επιλογών περιοχών αλλαγών με τη χρήση του πίνακα διαφορών, η τεχνική εξομοιώνεται με τη σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή. Γενικά, σε κάθε περίπτωση πάντως, δεν υπάρχει ενδεδειγμένος τρόπος χρήσης και ερμηνείας των διαχρονικών δεδομένων. Κάθε περίπτωση πρέπει να αντιμετωπίζεται διαφορετικά, καθώς τα όρια για να θεωρηθεί μια αλλαγή πραγματική ή τεχνούργημα πρέπει να γίνεται με βάση τη γεωλογία, την υδραυλική συμπεριφορά και άλλες άμεσες η έμμεσες παρατηρήσεις.

191 181 Στο επόμενο κεφάλαιο, προτείνεται ένας ενδεδειγμένος τρόπος λειτουργίας των αλγορίθμων για την ερμηνεία των αποτελεσμάτων.

192 182

193 183 Κεφάλαιο 6 ΓΕΝΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Ο στόχος της συγκεκριμένης διατριβής είναι η μελέτη διαχρονικών γεωηλεκτρικών δεδομένων. Τα γενικότερα συμπεράσματα έχουν αναλυθεί στα επιμέρους κεφάλαια, οπότε μόνο μια συνοπτική περιγραφή θα πραγματοποιηθεί σε αυτό το κεφάλαιο. Οι γνωστές τεχνικές για την αντιστροφή διαχρονικών δεδομένων (διαφορά αντιστροφών, αντιστροφή διαφορών, σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή), αναπτύχθηκαν σε μία κοινή πλατφόρμα προγραμματισμού, ώστε να συγκριθούν με συνθετικά δεδομένα. Στόχος όλων των μεθόδων είναι η ελαχιστοποίηση των τεχνουργημάτων και ταυτόχρονα η πιστότερη αναπαράσταση της ίδιας της αλλαγής. Συνοπτικά, η τεχνική της αντιστροφής διαφορών έχει τα περισσότερα τεχνουργήματα αλλά

194 184 και μια καλή αναπαράσταση της αλλαγής. Η τεχνική της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής έχει τα λιγότερα τεχνουργήματα, αλλά η αλλαγή, ιδίως σε περιπτώσεις όπου η αλλαγή είναι απότομη, δίνει την περισσότερο εξομαλυσμένη εικόνα. Η τεχνική της αντιστροφής διαφορών πετυχαίνει μείωση των τεχνουργημάτων και μια γενικά καλή αναπαράσταση της αλλαγής, αλλά κάθε μοντέλο αντιστροφής εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από την προηγούμενη φάση. Λόγω ότι κάθε τεχνική παρουσιάζει διαφορετικά πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα, για μια πλήρη ανάλυση πρέπει να χρησιμοποιηθούν, πιθανά, περισσότερες από μία τεχνικές. Στη διατριβή αυτή προτείνεται μια νέα τεχνική αντιστροφής διαχρονικών δεδομένων, η ενεργά χρονομεταβλητή αντίστροφη (4D-ATC), η οποία συγκεντρώνει τα πλεονεκτήματα από όλες τις τεχνικές. Βασίζεται στη σύγχρονη χρονοεξαρτημένη αντιστροφή, με τη διαφορά όμως ότι στις περιοχές που παρατηρούνται οι μέγιστες αλλαγές δε γίνεται εξομάλυνση. Πρόκειται για μια υβριδική μορφή αντιστροφής με την οποία πετυχαίνεται ελαχιστοποίηση των τεχνουργημάτων με τη ταυτόχρονη όμως επιτρεπτή αλλαγών στις περιοχές που αλλάζουν από φάση σε φάση. Η τεχνική αυτή δοκιμάστηκε και συγκρίθηκε με τις υπάρχουσες τεχνικές σε ένα πλήθος συνθετικών δεδομένων τόσο επιφανειακών όσο και εντός γεώτρησης, δίνοντας εικόνες που είναι πλησιέστερα στην πραγματική αλλαγή. Για την αξιολόγηση των τεχνικών, έγινε εφαρμογή αυτών σε δεδομένα υπαίθρου. Από την ερμηνεία των διαχρονικών δεδομένων είναι δυνατό να χρησιμοποιηθεί η τεχνική της ηλεκτρικής αντίστασης για τη διαχρονική παρακολούθηση των μεταβολών σε μια περιοχή. Από τη σύγκριση των τεχνικών προτείνεται η χρήση των τεχνικών της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής και ενεργά χρονομεταβλητής αντίστροφης, αναλόγως με την αναμενόμενη αλλαγή από φάση σε φάση. Γενικά, χρήσιμες πληροφορίες για την περιοχή της αλλαγής εξάγονται και από τον πίνακα διαφορών Κ 2 όπου μετά τον υπολογισμό του ορίζεται και ένα κατώφλι πάνω από το οποίο οι αλλαγές θεωρούνται μεγάλες.

195 Προτεινόμενος τρόπος επεξεργασίας διαχρονικών δεδομένων Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ένας προτεινόμενος τρόπος χρήσης των αλγορίθμων διαχρονικής αντιστροφής και επεξεργασίας των διαχρονικών δεδομένων. Είναι απαραίτητο να διευκρινιστεί ότι η επεξεργασία των διαχρονικών δεδομένων είναι μια χρονοβόρα διαδικασία που συνήθως δεν είναι δυνατό να διεξαχθεί στο πεδίο. Σε περιπτώσεις που κάτι τέτοιο είναι αναγκαίο θα πρέπει να ληφθεί ιδιαίτερη μέριμνα, όπως πχ η εκ των προτέρων πολύ καλή γνώση της κατανομής της αντίστασης, ώστε πιθανές μεταβολές να γίνονται άμεσα αισθητές, η προεπιλεγμένη χρήση συγκεκριμένων φάσεων ως φάσεις αναφοράς, μετάδοση δεδομένων σε ισχυρούς υπολογιστές κτλ... Για όλες τις άλλες περιπτώσεις, προτείνεται: Δοκιμαστικές τυπικές αντιστροφές για έλεγχο της ποιότητας των δεδομένων κάθε φάσης, ώστε να γίνει μια αρχική ταυτοποίηση της γεωηλεκτρικής εικόνας με δεδομένα από γεωτρήσεις, γεωλογικούς χάρτες κτλ. Επίσης, στο στάδιο αυτό μπορούν να αποκοπούν μετρήσεις με μεγάλο σφάλμα. Σε συνέχεια προτείνεται η χρήση επίσης της τυπικής αντιστροφής ώστε αρχικά να απορριφθούν δεδομένα που πιθανόν να προέρχονται από εξωγενείς παράγοντες ( πχ κακή τοποθέτηση κάποιων ηλεκτροδίων κτλ) και γενικότερα να γίνει εκτίμηση της ποιότητας των δεδομένων. Είναι επίσης χρήσιμο να καταγραφούν τα σχετικά σφάλματα κάθε φάσης, ώστε να ελεγχθεί και πιθανόν να αποκλειστούν δεδομένα από κάποια φάση. Τελευταίο στάδιο, προτείνεται να πραγματοποιηθεί ένα φιλτράρισμα στα δεδομένα, ώστε να κοπούν μετρήσεις που πιθανόν να δημιουργήσουν τεχνουργήματα. Το κριτήριο του φιλτραρίσματος προτείνεται να γίνεται με συντηρητικό τρόπο, με αποκοπή αρχικά λίγων μετρήσεων και στη συνέχεια αν απαιτείται επιπλέον φιλτράρισμα. Ένα κριτήριο που μπορεί να εφαρμοστεί είναι η αποκοπή μετρήσεων που πραγματοποιήθηκαν με τον ίδιο συνδυασμό ηλεκτροδίων σε διάφορες χρονικές τιμές, και αποκοπή αυτών που διαφέρουν σημαντικά. Αντικειμενικό κριτήριο δεν μπορεί να

196 186 υπάρξει, καθώς εξαρτάται από πολλούς παράγοντες (πχ αριθμός μετρήσεων, σφάλμα μοντέλου κτλ..) Μετά το αρχικό αυτό στάδιο για τη γνώση της ποιότητας των δεδομένων και την ταύτιση των γεωηλεκτρικών εικόνων με τις γεωλογικές, σειρά έχει η διαχρονική διαχείριση των δεδομένων. Αρχικά, προτείνεται η χρήση της σύγχρονης χρονοεξαρτημένης αντιστροφής για όλα τα διαχρονικά δεδομένα, ώστε να γίνει μια προεκτίμηση της περιοχής αλλαγής και σε ποιες φάσεις συναντάται. Εν συνεχεία, με τη χρήση της ενεργά χρονοεξαρτημένης αντιστροφής, προτείνεται ο υπολογισμός του πίνακα διαφορών Κ 2. Εν συνεχεία θα πρέπει να οριστεί ένα κατώφλι πάνω από το οποίο θα θεωρούνται μεγάλες οι αλλαγές. Το κατώφλι αυτό θα πρέπει να επιλέγεται με συντηρητικό τρόπο, με βάση αν οι περιοχές που υποδεικνύονται από τον πίνακα διαφορών Κ 2 είναι συμβατές με γεωλογικά ή/και υδρογεωλογικά δεδομένα. Τελευταίο στάδιο μετά τον ορισμό του κατωφλιού είναι η χρήση της ενεργά χρονομεταβλητής αντιστροφής και παραγωγής των λόγων. Φυσικά, αρκετές φορές είναι χρήσιμο να γίνεται μια κυκλική επανάληψη της διαδικασίας (πχ γυρνώντας στο αρχικό στάδιο του φιλτραρίσματος) και επανάληψη των υπολοίπων σταδίων, ώστε να εξαχθούν αξιόπιστα συμπεράσματα. 6.2 Μελλοντικές επεκτάσεις Η συγκεκριμένη διατριβή δεν είναι σε καμιά περίπτωση μια πλήρης μελέτη των διαχρονικών δεδομένων, καθώς πολλά επιπλέον θα μπορούσαν να γίνουν. Αναφέροντας επιγραμματικά τα σημαντικότερα: Επιπλέον αξιοποίηση του πίνακα διαφορών Κ 2, για την καλύτερη εύρεση περιοχών μεγάλων αλλαγών. Διάφορα αντικειμενικά κριτήρια θα

197 187 μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για τον ακριβή καθορισμό της περιοχής μεγίστης αλλαγής, που πχ να βασίζονται σε γεωμετρικά χαρακτηριστικά της περιοχής αλλαγής. Επιπλέον, η εύρεση μεγάλων αλλαγών θα μπορούσε να βασιστεί και σε κάποια άλλη τεχνική που να μην βασίζεται στον υπολογισμό του πίνακα διαφορών Κ 2 (πχ η υπόδειξη των περιοχών μεγάλων αλλαγών από τη χρήση της διαφοράς αντιστροφών). Στην παρούσα διατριβή οι διαχρονικές αλλαγές δοκιμάστηκαν μόνο με δεδομένα δύο διαστάσεων. Οι τεχνικές μπορούν εύκολα να επεκταθούν και σε δεδομένα τριών διαστάσεων. Δυνατότητα χρήσης τοπογραφίας στο μοντέλο. Βελτιστοποίηση του αλγορίθμου, ώστε να ελαττωθεί ο υπολογιστικός χρόνος με την εκμετάλλευση των πολυπύρηνων επεξεργαστών καθώς και καλύτερη διαχείριση της απαιτούμενη μνήμης. Καθώς ο αλγόριθμος της διαχρονικής αντιστροφής δεν εξαρτάται από την επιλογή της γεωφυσικής μεθόδου, θα μπορούσε να εφαρμοστεί σε ένα πλήθος γεωφυσικών δεδομένων, όπως λχ σεισμικής διάθλασης. Ανάπτυξη νέας τεχνικής διαχρονικών δεδομένων και νέων αλγορίθμων που να συνδυάζουν τα καλύτερα χαρακτηριστικά από τις γνωστές τεχνικές. Συνδυασμός δεδομένων από διάφορες γεωφυσικές μεθόδους, ώστε η εύρεση των περιοχών μεγάλων αλλαγών να επαληθεύεται και από διαφορετικές τεχνικές.

198 188

199 189 7 Κεφάλαιο Κώδικας ενεργής χρονομεταβλητής αντιστροφής σε MATLAB 7.1. Γενικά Στο παρόν κεφάλαιο, θα αναπτυχτεί τμήμα του κώδικα της ενεργής χρονομεταβλητής αντιστροφής που αναπτύχθηκε στη διατριβή αυτή. Ο κώδικας είναι γραμμένος σε περιβάλλον MATLAB και μπορεί να μεταφερθεί αυτούσιος για εκτέλεση. Το τμήμα του κώδικα που θα παρουσιαστεί, αφορά μόνο στο κομμάτι της αντιστροφής, καθώς η επίλυση του ευθέος προβλήματος και ο υπολογισμός του ιακωβιανού πίνακα μπορεί να γίνει με οποιοδήποτε γνωστό αλγόριθμο. Σκοπός της

200 190 αναλυτικής παρουσίασης είναι η πιθανή ενσωμάτωση αυτού του κώδικα σε κάποιον υπάρχον Σχηματισμός αρχικών πινάκων Αναλυτικότερα αν θεωρήσουμε ότι το μοντέλο που έχουμε αποτελεί ένα χώρο 4Χ4 μέτρα με 16 παραμέτρους διαστάσεων 1Χ1 μέτρο όπως φαίνεται στο σχήμα 7.1. Στο χώρο έχουν τοποθετηθεί 9 ηλεκτρόδια με τη χρήση τον οποίων θα ληφθούν οι μετρήσεις Σχήμα 7.1: Μοντέλο 16 παραμέτρων που χρησιμοποιείτε για την ανάπτυξη των τεχνικών αντιστροφής Αν υπάρχουν μετρήσεις από 4 φάσεις (κάθε φάση συμβολίζεται με πίνακα real_data_phase_j, j=1,2,3,4) τότε ο αντίστοιχος πίνακας δεδομένων για τη διαχρονική αντιστροφή είναι: d4_real_data(:,1)=real_data_phase1; d4_real_data(:,2)=real_data_phase2; d4_real_data(:,3)=real_data_phase3; d4_real_data(:,4)=real_data_phase4

201 191 Η αρίθμηση των παραμέτρων γίνεται σειριακά, ξεκινώντας από την πάνω αριστερή παράμετρο της 1 ης φάσης και συνεχίζοντας μέχρι κάτω δεξιά στην 1ή φάση. Εν συνεχεία ακολουθείται η ίδια λογική για τις επόμενες φάσεις, με αποτέλεσμα το συνολικό σύστημα αγνώστων (κάθε φάση συμβολίζεται με πίνακα res_param_phase_j, j=1,2,3,4) ΦΑΣΗ 1 ΦΑΣΗ 2 ΦΑΣΗ 3 ΦΑΣΗ 4 Σχήμα 7.2: Αρίθμηση των παραμέτρων για την διαχρονική αντίστροφη. d4_res_param(:,1)= res_param_phase1; d4_res_param(:,2)= res_param_phase2; d4_res_param(:,3)= res_param_phase3; d4_res_param(:,4)= res_param_phase4 Αν num_files είναι ο αριθμός των φάσεων, πρέπει για κάθε σετ δεδομένων να υπολογιστούν η διορθώσεις των μοντέλων Αν num_param είναι ο αριθμός των παραμέτρων ΚΑΘΕ ΦΑΣΗΣ ξεχωριστά (δηλαδή 16 παράμετροι). Αν num_mes ο αριθμός των μετρήσεων ΚΑΘΕ ΦΑΣΗΣ ξεχωριστά Αν itr ο τρέχον δείκτης επανάληψης G(real_data_phase_j) επίλυση του ευθεός προβλήματος C είναι ο πίνακας συνάφειας. LL είναι ο πίνακας ACB για κάθε φάση χωριστά

202 192 Πρέπει (με μορφή ψευδοκώδικα) για κάθε σετ δεδομένων να υπολογιστούν οι διορθώσεις καθώς και ο αντίστοιχος ιακωβιανός, όπως θα γινόταν σε μία τυπική αντιστροφή. For itr=1:max_iterations For i=1:num_files rrrrrr_pppppppppp_pphaaaaaa_jj iiiiii +1 = rrrrrr_pppppppppp_pphaaaaaa_jj iiiiii + dddd_pphaaaaaa_jj dddd_pphaaaaaa_jj = (JJ TT JJ + CC TT ΛΛCC) 1 JJ TT (rrrrrrrr_dddddddd_pphaaaaaa_jj GG(rrrrrrrr_dddddddd_pphaaaaaa_jj ii )) Όπου J=array_jacobian_phase_j e=_model_data_phase_j real_data_phase_j end end Οι τελικοί πίνακες που χρησιμοποιούνται στην διαχρονική αντιστροφή είναι: d4_dx(:,1)=dx_phase1; d4_dx(:,2)=dx_phase2; d4_dx(:,3)=dx_phase3; d4_dx(:,4)=dx_phase4; Τα συνθετικά δεδομένα (επίλυση του ευθέος προβλήματος) d4_array_model_data(:,1)=array_model_data_phase1; d4_array_model_data(:,2)=array_model_data_phase2; d4_array_model_data(:,3)=array_model_data_phase3; d4_array_model_data(:,4)=array_model_data_phase4; καθώς επίσης και ο ιακωβιανός από κάθε φάση d4_array_jacobian(:,:,1)=array_jacobian_phase1; d4_array_jacobian(:,:,2)=array_jacobian_phase2; d4_array_jacobian(:,:,3)=array_jacobian_phase3; d4_array_jacobian(:,:,4)=array_jacobian_phase4;

203 193 Τέλος ο πίνακας ACB για κάθε φάση είναι d4_ll(:,1)=ll_phase1; d4_ll(:,2)=ll_phase2; d4_ll(:,3)=ll_phase3; d4_ll(:,4)=ll_phase4; Τα τρόπος υπολογισμού των προαναφερομένων πινάκων δεν αναλύεται, καθώς αποτελεί τμήμα του αλγορίθμου που χρησιμοποιεί ο χρήστης. Αναφέρεται όμως αναλυτικά ο μετασχηματισμός αυτών των πινάκων για την διαχρονική αντιστροφή. if itr==1 A=zeros(num_files*num_mes,num_files*num_param); CC=zeros(num_files*num_param,num_files*num_param); M=eye(num_files*num_param,num_files*num_param); U=zeros(num_files*num_param,1); e=zeros(num_files*num_param,1); end for i=1:num_files e((i-1)*num_mes+1:i*num_mes,1)=log10(d4_real_data(:,i))- log10(d4_array_model_data(:,i)); U((i-1)*num_param+1:i*num_param,1)=d4_res_param1(:,i); A((i-1)*num_mes+1:i*num_mes,(i-1)*num_param+1:i*num_param) =d4_array_jacobian(:,:,i); CC( (i-1)*num_param+1 : i*num_param, (i-1)*num_param+1:i*num_param)=c'*d4_ll(:,:,i)*c; end

204 Υπολογισμός πίνακα Μ M=eye(num_files*num_param,num_files*num_param); for i=1:num_files*num_param for j=1:num_files*num_param if j-i==num_param M(i,j)=-1; end end end if i==j && i>(num_files-1)*num_param && j>(num_files-1)*num_param M(i,j)=0; end 7.4. Υπολογισμός πίνακα διαφορών if itr==1 DU_tmp=inv(A'*A + CC )*(A'*e); tact=zeros(num_files*num_param,1); for i=1:(num_files-1)*num_param tact(i)=du_tmp(i+num_param)-du_tmp(i); tact2(i)=(mean_res+du_tmp(i+num_param))/(mean_res+du_tmp(i);) end end

205 Εύρεση περιοχών μεγαλυτέρων αλλαγών Η παράμερος allowed_parameters δηλώνει το % ποσοστό επιτρεπτών αλλαγών από φάση σε φάση. if itr==1 for i=1:(num_files-1)*num_param end if tact(i) > 1.2 tact(i) < 0.8 tmp2(i,1)=1; ACT(i,i)=0; elseif (tact(i) > 1.15 && tact(i)<1.20) (tact(i) < 0.9 && tact(i) > 0.8) tmp2(i,1)=0.5; ACT(i,i)=0.01; else tmp2(i,1)=0; ACT(i,i)=0.1; end end 7.6. Λύση συστήματος DU=inv(A'*A + CC + M'*ACT*M)*(A'*e - M'*ACT*M*log10(U)); 7.7. Διόρθωση μοντέλου for i=1:num_files*num_param U2(i,1)=10^(log10(U(i)) + DU(i)); end

206 196

207 197 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Εγχειρίδιο Χρήσης Το 4D-ATC είναι ένα 2 διαστάσεων πρόγραμμα διαχρονικής αντιστροφής ηλεκτρικής αντίστασης. Μπορεί να χρησιμοποιήσει δεδομένα επιφάνειας, επιφάνειας- γεώτρησης καθώς και γεώτρησης-γεώτρησης. Χρησιμοποιεί τόσο αλγορίθμους τυπικής αντιστροφής όσο και αλγόριθμους διαχρονικής αντιστροφής. ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΤΕΧΝΙΚΗ TOMO_DC RES2DINV 2DINVS 4D-ATC Ανεξάρτητη Αντιστροφή διαφορών D + + 4D_ATC + Πίνακας 7.1: Τεχνικές αντιστροφής και υπάρχουσα λογισμικά Εγκατάσταση Ο προγραμματισμός έγινε σε περιβάλλον Mathworks Matlab version 2008a. Η μοναδική απαίτηση είναι υπολογιστής που τρέχει Matlab. Έχει δοκιμαστεί σε κάθε λειτουργικό που υποστηρίζεται από την matlab (windows, linux, Mac ox X, Solaris) Η εγκατάσταση πραγματοποιείται με την αποσυμπίεση του zip αρχείου. Εν συνεχεία με πλοήγηση μέσα στο φάκελο που έγινε η αποσυμπίεση γράψτε στην γραμμή εντολών start. Επίσης είναι δυνατή και η εκτέλεση προγράμματος και από υπολογιστές που δεν έχουν Matlab, τρέχοντας το αρχείο start.exe. Σε αυτήν την περίπτωση χρειάζεται η εγκατάσταση του MCRINSTALL.EXE. Αναμένεται μεγάλος υπολογιστικός χρόνο σε υπολογιστές με παλιά cpu.

208 198 Κυρίως πρόγραμμα. Σχήμα 7.3 : κυρίως πρόγραμμα Πληκτρολογήστε start στο Matlab's Command Window για να εκτελεστεί το πρόγραμμα. Το κύριο πρόγραμμα φαίνεται στο σχήμα 7.3. Τα βήματα που χρειάζεται να ακολουθήσει ο χρήστης είναι τα ακόλουθα. 1) Πρώτα διαβάστε το αρχείο δεδομένων (βλέπε παράγραφο για περισσότερες πληροφορίες), επιλέγοντας File Read File. Eπίσης είναι δυνατή η ανάγνωση αρχείων δεδομένων Res2dinv επιλέγοντας File Read Res2dinv File. 2) Το παράθυρο επιλογής δεδομένων ανοίγει (σχήμα 7.4).

209 199 Σχήμα 7.4: Επιλογή αρχείου δεδομένων 3) Μετά την επιλογή του αρχείου δεδομένων επιλέξτε τις ρυθμίσεις της αντιστροφής από το Inversion Change Parameters. Το παράθυρο ρυθμίσεων αντιστροφής εμφανίζεται (σχήμα 7.5) Σχήμα 7.5 : Παράθυρο ρύθμισης παραμέτρων αντιστροφής. Αν ο χρήστης πατήσει το Start, προτού να ρυθμίσει τις παραμέτρους αντιστροφής, εμφανίζεται το προειδοποιητικό παράθυρο του σχήματος 7.6

210 200 Σχήμα 7.6 : Προειδοποιητικό μήνυμα Το παράθυρο ρύθμισης των παραμέτρων αντιστροφής χωρίζεται σε επιμέρους τμήματα, όπως: Ρυθμίσεις αντιστροφής Σε αυτήν την ενότητα ρυθμίζονται τα Αριθμός επαναλήψεων αντιστροφής (αρχικός 5) Τεχνική αντιστροφής L2 Inversion Τυπική 2d αντιστροφή. L2 Inversion + Smoothness on Model Όπως προηγούμενο με επιλογή για κανονικοποίηση στο μοντέλο. Time Lapse Αντιστροφή διαφορών Time Lapse + Smoothness on Model Όπως προηγούμενο με επιλογή για κανονικοποίηση στο μοντέλο. Forward Επιλογή για επίλυση του ευθέος προβλήματος 4D 4D αντιστροφή. 4D_ATC 4D χρονικά μεταβαλλόμενη αντιστροφή. Υπολογισμός ιακωβιανού Full Jacobian Calculations Υπολογισμός ιακωβιανού σε κάθε επανάληψη. Quasi Newton Υπολογισμός ιακωνιανοού στην 1 η επανάληψη και μετά ανανέωση με quasi-newton. Use reference model Αν επιλεχθεί, τότε το κουμπί Select File γίνεται ενεργό. Χρήσης μοντέλου αναφοράς ως αρχικό μοντέλο Κλικ σto Select File για επιλογή αρχείου (όπως σχήμα 7.2)

211 201 ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ. Αν επιλεχθεί η Time Lapse, ή Time Lapse + Smoothness on Model, ή Forward is από την λίστα Inversion Type, τότε η επιλογή του Use Reference model είναι υποχρεωτική και πάντα ενεργή. Για L2 inversion ή L2 inversion + smoothness on model, η χρήση του use of reference model είναι προαιρετική. Για την αντίστροφη 4D και 4D-ATC δεν είναι δυνατή αυτή η επιλογή. Βλέπε παράγραφο για την μορφή αυτού του αρχείου.. Ρυθμίσεις κανονικοποίησης Σε αυτήν την ενότητα: Lagrange initial value. Η αρχική τιμή του Lagrange (0.05) Lagrange Reduction. Η αρχική τιμή είναι 2. (αυτό σημαίνει ότι μετά την 1 η επανάληψη ο πολλαπλασιαστής θα είναι ο ½ του αρχικού). Active Constrained Balancing (ACB). Επιλέγοντας το θα γίνει χρήση του ACB αντί για μια σταθερή τιμή (βλέπε Yi et al, 2003).Με αυτήν την επιλογή γίνεται κατανομή τιμών πολλαπλασιαστών ( ) ανάλογος την ανάλυση της κάθε παραμέτρου. Limit large-small values. Με την επιλογή αυτή, το πρόγραμμα περιορίζει τις πολύ μεγάλες ή πολύ μικρές τιμές φαινόμενων αντιστάσεων σε μία παράμετρο. Επιλογές πλέγματος διαστάσεων παραμέτρων

212 202 Σε αυτήν την ενότητα: Mesh Thickness Επιλογή 2 ή 4 στοιχεία μεταξύ της βασικής απόστασης. Parameters Thickness Επιλογή για 2 ή 4 παραμέτρους μεταξύ των ηλεκτροδίων. Custom Depth_n Ορισμός του πάχους κάθε στρώματος από χρήστη.. Επιλογές εμφάνισης γραφημάτων Σε αυτήν την ενότητα: Επιλέξτε ποιο ή ποια γραφήματα θέλετε να εμφανιστούν. Πατώντας OK σώζονται οι παράμετροι αντιστροφής και κλείνει το παράθυρο Πατώντας START στο κύριο παράθυρο ξεκινάει η αντιστροφή

213 203 Μετά το πέρας των επαναλήψεων, το πρόγραμμα σώζει αυτόματα τα αποτελέσματα σε αρχείο με όνομα την τρέχουσα ημερομηνία και ώρα. (λχ 01-Aug :01:25.mat ). Επεξεργασία Επιλέγοντας από το μενού Results Process, μπορείτε να επεξεργαστείτε τα αποτελέσματα.. Το παράθυρο επεξεργασία (σχήμα 7.7) (η 4D και 4D_ATC γραφική επεξεργασία είναι υπό κατασκευή) Σχήμα 7.7: Το παράθυρο επεξεργασίας των δεδομένων 1) Διαβάστε το αρχείο αντιστροφής επιλέγοντας, File Open. Εμφανίζεται το παράθυρο επιλογής αρχείου. Συνήθως τα αρχεία αντιστροφής έχουν κατάληξη *.mat. 2) Μετά την επιλογή του αρχείου εμφανίζονται πληροφορίες στο πάνω αριστερό τμήμα (σχήμα 3.12)

214 204 Σχήμα 7.8 : Πληροφορίες αρχείου αντιστροφής Αναλόγως με τον τύπο της αντιστροφής κάποιο ή κάποια κουμπιά του σχήματος 3.6 μπορεί να είναι ανενεργά. ΛΧ αν το ή αντιστροφή έγινε για την L2 αντιστροφή, τότε τα κουμπιά %Difference Ratio και Background δεν θα είναι ενεργά Επιλέγοντας από το δείκτη Iteration μπορείτε να εμφανίσετε το αντίστοιχο μοντέλο της επανάληψη (σχήμα 7.9). Σχήμα 7.9: Σχεδιάζοντας το μοντέλο της ζητούμενης επανάληψης Σημείωση : Ο τίτλος του γραφήματος εμφανίζει και το σχετικό % RMS σφάλμα της επανάληψης Πατώντας τα αντίστοιχα κουμπιά (αν είναι ενεργοποιημένα) ACB Resolution % Difference Ratio Background Model Εμφανίζονται και τα σχετικά γραφήματα. Επιλογές γραφήματος

215 205 Σε αυτήν την ενότητα: Log Values Επιλογή εμφάνισης των φαινόμενων αντιστάσεων σε γραμμική ή λογαριθμική κλίμακα. Colormap Επιλογή από μία προκαθορισμένη παλέτα χρωμάτων. Number of colors Επιλογή αριθμού χρωμάτων από την μικρότερη προς την μεγαλύτερη τιμή. Περισσότερα χρώματα οδηγεί σε ποίο εξομαλυσμένη εικόνα (σχήμα 3.14). Interpolation scale Επιλέξτε το βήμα για την δημιουργία του interpolation του γραφήματος. Color Editor Επιλογή για την ανάθεση χρωμάτων-τιμώς με επιλογές του χρήση. (Σημείωση, πρώτα πρέπει να επιλέξετε τον αριθμό των χρωμάτων) (σχήμα 7.11). Σχήμα 7.10: Εμφάνιση του ίδιου μοντέλου με (από αριστερά προς τα δεξιά) χρώματα