Γραμμική και διακλαδωμένη χρονική λογική
|
|
- Κλεόπας Πρωτονοτάριος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 CTL - Λογική Δένδρου Υπολογισμού Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Διακλαδωμένες Χρονικές λογικές CTL σύνταξη και ερμηνεία Έλεγχος μοντέλου για τη CTL Σύγκριση των PLTL και CTL Δικαιοσύνη ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 5-1 Γραμμική και διακλαδωμένη χρονική λογική Γραμμική χρονική λογική: οι ιδιότητες αναφέρονται σε (και ελέγχουν όλες τις δυνατές εκτελέσεις ενός μοντέλου π.χ. ηδομήkripke Μ ικανοποιεί την ιδιότητα x<15 U x=100 αν σε κάθε εκτέλεση της δομής ισχύει ότι x <15 μέχρις ότου το x πάρει την τιμή 100. Διακλαδωμένη χρονική λογική: οι ιδιότητες αναφέρονται και ελέγχουν τη δενδρική δομή του μοντέλου, π.χ. ηδομήkripke Μ ικανοποιεί την ιδιότητα Α (x < 15 U x=100 αν σε κάθε εκτέλεση της δομής ισχύει ότι x <15 μέχρις ότου το x πάρει την τιμή 100, και, ηδομήkripke Μ ικανοποιεί την ιδιότητα Ε (x < 15 U x=100 αν υπάρχει εκτέλεση της δομής όπου ισχύει ότι x <15 μέχρις ότου το x πάρει την τιμή 100. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 5-2 1
2 Γιατί διακλαδωμένη χρονική λογική; Εκφραστικότητα: μας δίνει τα μέσα να εκφράσουμε διαφορετική κατηγορία ιδιοτήτων. Για παράδειγμα τη δυνατότητα (και όχι την αναγκαιότητα να συμβεί κάτι. Ισχύει όμως και το αντίθετο: υπάρχουν ιδιότητες γραμμικών λογικών που δεν μπορούν να εκφραστούν σε διακλαδωμένη λογική. Πολυπλοκότητα μοντελοελέγχου: Διαφορετικοί αλγόριθμοι για αυτοματοποιημένη επαλήθευση με διαφορετική πολυπλοκότητα χρόνου και χώρου. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 5-3 Διακλαδωμένες χρονικές λογικές Διακλαδωμένες χρονικές λογικής που έχουν προταθεί περιλαμβάνουν Λογική Hennessy Milner (HML Λογική Δένδρου Υπολογισμού (Computation Tree Logic CTL Επεκταμένη Λογική Δένδρου Υπολογισμού CTL * (συνδυάζει σε ένα πρότυπο τις CTL και PLTL μ-calculus χωρίς εναλλαγή μ-calculus ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 5-4 2
3 Προτασιακή γραμμική χρονική λογική Η Προτασιακή Γραμμική Χρονική Λογική ορίζεται ως το μικρότερο σύνολο ιδιοτήτων που παράγονται από τους πιο κάτω κανόνες κάθε ατομική πρόταση p είναι ιδιότητα Αν οι Φ και Ψ είναι ιδιότητες, τότε και οι Φ και Φ Ψ είναι ιδιότητες Αν η Φ είναι μια ιδιότητα, τότε και η Χ Φ (next είναι ιδιότητα Αν οι Φ και Ψ είναι ιδιότητες, τότε και η Φ U Ψ (until είναι ιδιότητα Πως μπορούμε να εκφράσουμε ότι σε κάθε δυνατή εκτέλεση είναι πάντα δυνατή η επιστροφή στην αρχική κατάσταση; G F start; ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 5-5 Προτασιακή διακλαδωμένη χρονική λογική Επεκτείνουμε την PLTL με ποσοτικούς τελεστές μονοπατιών Α, όπου A φ σημαίνει ότι η ιδιότητα φ ικανοποιείται σε όλες τις εκτελέσεις (μονοπάτια του μοντέλου Ε, όπου Ε φ σημαίνει ότι υπάρχει εκτέλεση του μοντέλου που ικανοποιεί την ιδιότητα φ Ιδιότητες του τύπου A φ και E φ ονομάζονται ιδιότητες κατάστασης (state formulae. PLTL ιδιότητες ονομάζονται ιδιότητες εκτέλεσης (path formulae. Πως μπορούμε να εκφράσουμε ότι σε κάθε δυνατή εκτέλεση είναι πάντα δυνατή η επιστροφή στην αρχική κατάσταση; AG ΕF start! ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 5-6 3
4 CTL (Computation Tree Logic Η CTL ορίζεται ως το μικρότερο σύνολο ιδιοτήτων που παράγονται ως εξής: Φ,Ψ :: = p Φ Φ Ψ Α φ Ε φ φ :: = Χ Φ Φ U Ψ 1. Ιδιότητες κατάστασης Φ κάθε ατομική πρόταση p είναι ιδιότητα κατάστασης Αν οι Φ και Ψ είναι ιδιότητες κατάστασης, τότε και οι Φ και Φ Ψ είναι ιδιότητες κατάστασης Αν η φ είναι μια ιδιότητα εκτέλεσης, τότε οι Α φ και η Ε φ είναι ιδιότητες κατάστασης 2. Ιδιότητες εκτέλεσης φ Αν οι Φ και Ψ είναι ιδιότητες κατάστασης, τότε οι Χ Φ και Φ U Ψ είναι ιδιότητες εκτέλεσης ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 5-7 Παραγόμενοι τελεστές F Φ true U Φ G Φ F Φ ΕF Φ Ε(true U Φ δυνατόν Φ ΑG Φ ΕF Φ σταθερά Φ ΑF Φ A(true U Φ αναπόφευκτα Φ EG Φ AF Φ δυνατόν πάντα Φ ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 5-8 4
5 Παράδειγμα ΕF red ΕG red AF red AG red ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 5-9 Παραδείγματα Έστω ΑΠ οι ατομικές προτάσεις που αφορούν τη μεταβλητή x, τους τελεστές <,, και =, και η συνάρτηση x+c Οι πιο κάτω ιδιότητες είναι νόμιμες CTL ιδιότητες (x + 7 < 21 (x = 32 AF (x + 12 > 30 EG (x 0 x < 20 x = 10 AX E(x 11 U x = 0 Οι πιο κάτω ιδιότητες δεν είναι νόμιμες E ( F (x < 10 G (x + 12 > y E (x < 21 X (x = 32 ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων
6 Ερμηνεία της CTL Η τυπική ερμηνεία της CTL δίνεται (και πάλι σε σχέση με τις δομές Kripke. Μια δομή Kripke ορίζεται ως μια πλειάδα M = (S, R, I, Label όπου S είναι ένα αριθμήσιμο σύνολο από καταστάσεις Ι S είναι το σύνολο των αρχικών καταστάσεων R S S είναι μία σχέση μεταβάσεων, όπου (s, s R αν υπάρχει μετάβαση από την κατάσταση s στην κατάσταση s Label : S 2 AP είναι μια συνάρτηση η οποία συνδέει κάθε κατάσταση με τις ατομικές προτάσεις τις οποίες ικανοποιεί. Έστω μια κατάσταση s S. Τότε, Label(s είναιτοσύνολοτων ατομικών προτάσεων που ισχύουν στην κατάσταση s. Ονομάζουμε μια ακολουθία από καταστάσεις s 0 s 1 s 2 μονοπάτι αν s 0 είναι μια αρχική κατάσταση και (s i, s i+1 R για κάθε i 0. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 5-11 Σημασιολογία της CTL: ιδιότητες κατάστασης Ορίζουμε τη σχέση όπου Μ, s Φ αν και μόνο αν η ιδιότητα Φ ικανοποιείται στην κατάσταση s τηςδομήςμωςεξής: Μ, s p αν και μόνο αν p Label(s Μ, s Φ αν και μόνο αν δεν ισχύει ότι Μ,s Φ Μ, s ΦΨ αν και μόνο αν (Μ, s Φ ή (Μ, s Ψ Μ, s Ε φ αν και μόνο αν Μ,w φ για κάποιο μονοπάτι w που ξεκινά από την s Μ, s Α φ αν και μόνο αν Μ,w φ για κάθε μονοπάτι w που ξεκινά από την s ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων
7 Σημασιολογία της CTL: ιδιότητες εκτέλεσης Έστω μονοπάτι w = s 0 s 1 s 2 της δομής Kripke M και ιδιότητα φ. Ορίζουμε τη σχέση όπου M, w φ αν και μόνο αν η ιδιότητα φ ικανοποιείται στο μονοπάτι w της δομής Μ ως εξής: Μ, w X Φ αν και μόνο αν M, w[1] Φ Μ, w Φ U Ψ αν και μόνο αν υπάρχει j 0 τέτοιο ώστε M,w[j] Ψ και για κάθε 0k< j, M,w[k] Φ όπου αν w = s 0 s 1 s 2,w[k] είναι η κατάσταση s k. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 5-13 Παράδειγμα {p} {p,q} {p} 2 {q} Ποιες από τις πιο κάτω ιδιότητες ισχύουν; Μ, 0 E X p Μ, 0 A(p U q Μ, 0 EF EG p Μ, 0 AX EG p Μ, 0 A X p Μ, 0 A G p ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων
8 Ταυτολογίες της CTL PLTL κανόνες ανάπτυξης Φ U Ψ Ψ (Φ Χ(Φ U Ψ F Φ true U Φ G Φ false R Φ CTL κανόνες ανάπτυξης E(Φ U Ψ Ψ (Φ EΧ E(ΦUΨ A(Φ U Ψ Ψ (Φ AΧ A(ΦUΨ EF Φ Φ EΧ EF Φ ΑF Φ Φ AΧ AF Φ EG Φ Φ EΧ EG Φ AG Φ Φ AΧ AG Φ ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 5-15 Αμοιβαίος αποκλεισμός Turn=1 Ν1,N2 Turn=2 N1,N2 Turn=1 N1,T2 Turn=1 T1,N2 Turn=2 N1,T2 Turn=2 T1,N2 Turn=1 T1,T2 Turn=1 C1,N2 Turn=2 N1,C2 Turn=2 T1,T2 Turn=1 C1,T2 Turn=2 T1,C2 N i : η διεργασία i είναι εκτός της κρίσιμής της περιοχής Τ i : η διεργασία i προσπαθεί να εισέλθει στην κρίσιμη περιοχή C i : η διεργασία i είναιεντόςτηςκρίσιμήςτηςπεριοχής ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων
9 Αμοιβαίος Αποκλεισμός Ασφάλεια: οι δύο διεργασίες δεν βρίσκονται ποτέ ταυτόχρονα στην κρίσιμη τους περιοχή ΑG( (C1 C2 Ζωτικότητα: Κάθε φορά που η διεργασία 1 προσπαθεί να εισέλθει στην κρίσιμη της περιοχή θα το πράξει ΑG(Τ1 ΑF C1 Έλλειψη εμποδίων: Κάθε φορά που η διεργασία 1 βρίσκεται στη μη κρίσιμη της περιοχή, είναι δυνατόν, στην επόμενη χρονική στιγμή να προσπαθήσει να εισέλθει στην κρίσιμη της περιοχή ΑG(Ν1 ΕΧ Τ1 Έλλειψη αυστηρής διάταξης: Είναι δυνατόν, η διεργασία 1 να εισέλθει στην κρίσιμη της περιοχή δύο συνεχόμενες φορές χωρίς να παρεμβληθεί η διεργασία 2. ΕF(C1 Ε(C1 U ( C1 Ε( C2 U C1 ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 5-17 Ιδιότητες στη CTL Δυνατότητα προσέγγισης κατάστασης απλή EF Φ εξαρτώμενη E(Ψ U Φ από κάθε κατάσταση ΑG (EF Φ Ασφάλεια (κάτι κακό δεν συμβαίνει ποτέ απλή ΑG bad Ζωτικότητα (Liveness ΑG (Φ ΑF Ψ Δικαιοσύνη ΑG (EF Φ ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων
10 Έλεγχος Μοντελου της CTL Πως μπορούμε να ελέγξουμε κατά πόσο μια κατάσταση s ικανοποιεί μια CTL ιδιότητα Φ; Υπολογίζουμε αναδρομικά το σύνολο Sat(Φ των καταστάσεων που ικανοποιούν την Φ. Ελέγχουμε αν η s ανήκει στο Sat(Φ. Αναδρομικός υπολογισμός προσδιόρισε όλες τις υποιδιότητες της Φ υπολόγισε το σύνολο Sat(p για όλες τις ατομικές προτάσεις p της Φ συνέχισε με τις μικρότερες υποιδιότητες που περιέχουν ατομικές προτάσεις έλεγξε τις υποιδιότητες που περιέχουν αυτές τις ιδιότητες και ούτω καθεξής μέχρι να φτάσεις στην Φ. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 5-19 Αλγόριθμος Μοντελο-ελέγχου Αναδρομικός υπολογισμός από κάτω προς τα πάνω θεώρησε το δένδρο που αντιστοιχεί στην ιδιότητα Φ υπολόγισε το σύνολο Sat(p για τις ιδιότητες που βρίσκονται στα φύλλα του δένδρου της Φ συνέχισε με τις υποιδιότητες που βρίσκονται σε ύψος 1 στοδένδροτηςφ, στις υποιδιότητες που βρίσκονται σε ύψος 2 και ούτω καθεξής μέχρι να φτάσεις στη ρίζα του δένδρου, δηλαδή στην Φ. Το δένδρο που αντιστοιχεί στην ιδιότητα A[AΧ p U E[EΧ(p q U p ]] είναι το AU AΧ EΧ p p q ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 5-20 EU p 10
11 Επαρκή Σύνολα Τελεστών Ο αλγόριθμος βασίζεται στο γεγονός ότι το σύνολο των τελεστών,, Τ (true, ΕΧ, ΕU, AF είναι επαρκές για τη CTL. Δηλαδή όλοι οι υπόλοιποι τελεστές μπορούν να διατυπωθούν βάσει αυτών: ΑX Φ = EX Φ Α(Φ 1 UΦ 2 = (Ε[Φ 2 U(Φ 1 Φ 2 ] EG Φ 2 ΕF Φ = E(T U Φ ΕG Φ = AF Φ ΑG Φ 1 = EF Φ 1 ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 5-21 Αναδρομική Διαδικασία (1 SAT(Φ{ Case Φ = T return S Φ = return Φ = p return {s S p Label(s} Φ = Φ 1 return S SAT (Φ 1 Φ = Φ 1 Φ 2 return SAT(Φ 1 SAT(Φ 2 Φ = Φ 1 Φ 2 return SAT(Φ 1 SAT(Φ 2 Φ = Φ 1 Φ 2 return SAT(Φ 1 Φ 2 Φ = ΑX Φ 1 return SAT(EX Φ 1 ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων
12 Αναδρομική Διαδικασία (2 } Φ = ΕX Φ 1 return SAT ΕΧ (Φ 1 Φ = Α(Φ 1 UΦ 2 return SAT((Ε[Φ 2 U(Φ 1 Φ 2 ] EGΦ 2 Φ = E(Φ 1 U Φ 2 return SAT EU (Φ 1, Φ 2 Φ = ΕF Φ 1 return SAT(E(T U Φ 1 Φ = ΕG Φ 1 return SAT(AF Φ 1 Φ = ΑF Φ 1 return SAT AF (Φ 1 Φ = ΑG Φ 1 return SAT(EF Φ 1 ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 5-23 H διαδικασία SAT EX (Φ Υπολογίζει τις καταστάσεις που ικανοποιούν την Φ (SAT(Φ και μετά οπισθοδρομεί για να υπολογίσει το σύνολο των καταστάσεων που μπορούν να μεταβούν σ αυτές. SAT ΕΧ (Φ{ Χ = SAT(Φ; Υ = {s S υπάρχει s τ.ώ. s s, s X}; return Y; } ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων
13 H διαδικασία SAT AF (Φ Υπολογίζει τις καταστάσεις Χ που ικανοποιούν την Φ (SAT(Φ και μετά οπισθοδρομεί για να υπολογίσει το σύνολο των καταστάσεων των οποίων κάθε εκτέλεση φθάνει σε μία από τις καταστάσεις Χ σε ένα βήμα, δύο βήματα, κ.ο.κ.. SAT ΑF (Φ{ Χ = S; Y = SAT(Φ; while (X!= Y X = Y; Y = Y {s S αν, για κάθε s τ.ω. s s, τότε s X}; return Y; } ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 5-25 H διαδικασία SAT ΕU (Φ,Ψ Υπολογίζει τις καταστάσεις W και Υ που ικανοποιούν τις Φ και Ψ αντίστοιχα και μετά οπισθοδρομεί από τις καταστάσεις Υ προσθέτοντας στο σύνολο των αποδεκτών καταστάσεων εκείνες που ανήκουν στη W. SAT EU (Φ, Ψ{ Χ = S; W = SAT(Φ; Y = SAT(Ψ; while (X!= Y X = Y; Y = Y {s W υπάρχει s τ.ώ. s s και s X}; return Y; } ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων
14 Έλεγχος της E(yellow U blue Θα υπολογίσουμε το σύνολο Sat(E(yellow U blue yellow yellow blue white Sat(yellow = {0, 1} Sat(blue = {2} ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 5-27 Έλεγχος της E(yellow U blue Επανάληψη Υ 1 = {2} Επανάληψη Υ 2 = {1, 2} Επανάληψη Υ 3 = {0, 1, 2} Επανάληψη Υ 4 = {0, 1, 2} ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων
15 Αλγόριθμος: Μοντελο-έλεγχος στη CTL διάσχιση του δένδρου που αντιστοιχεί στην ιδιότητα από κάτω προς τα πάνω εύρεση σταθερού σημείου για ιδιότητες ΑF και ΕU Χρόνος εκτέλεσης χείριστης περίπτωσης είναι της τάξης O( Φ Ν 2 όπου Φ είναι το μήκος της ιδιότητας Φ και Ν ο αριθμός καταστάσεων τουμοντέλουτουσυστήματος. Υλοποιημένος σε εργαλεία όπως τα UPPAAL, SMV, Cadence, ΝuSMV ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 5-29 CTL στην πράξη Τυπικές ιδιότητες μπορούν να διατυπωθούν ως ψηλού επιπέδου προδιαγραφές. Σε τέτοιες προδιαγραφές ο χρήστης δεν χρειάζεται να γνωρίζει χρονική λογική απλά τοποθετεί τις ατομικές προτάσεις που τον ενδιαφέρουν στις προδιαγραφές που θέλει να ελέγξει Τέτοιου είδους προδιαγραφές μπορούν να χωριστούν σε τρεις βασικές κατηγορίες ολικές: αναφέρονται στο σύνολο της εκτέλεσης του συστήματος μετά: αναφέρονται σε εκτελέσεις μετά από κάποια κατάσταση ανάμεσα: αναφέρονται στους υπολογισμούς που λαμβάνουν χώρο ανάμεσα σε δύο καταστάσεις ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων
16 Τυπικές προδιαγραφές ψηλού επιπέδου Μελέτη 555 προδιαγραφών έδειξε τις πιο κάτω συχνότητες για τις δημοφιλέστερες προδιαγραφές προδιαγραφή τύπος CTL ιδιότητα συχνότητα ανταπόκριση ολική ΑG (p ΑF q 43.3% καθολικότητα ολική ΑG p 19.8% απουσία ολική ΑG p 7.4% προβάδισμα ολική ΑG p Α( p U q 4.5% απουσία ανάμεσα ΑG ((q r 3.2% Α(( p ΑG r W r απουσία μετά ΑG (p ΑF q 2.1% ύπαρξη ολική ΑF p 2.1% ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 5-31 CTL (Computation Tree Logic Η CTL ορίζεται ως το μικρότερο σύνολο ιδιοτήτων που παράγονται ως εξής: Φ,Ψ :: = p Φ Φ Ψ Α φ Ε φ φ :: = Χ Φ Φ U Ψ 1. Ιδιότητες κατάστασης Φ κάθε ατομική πρόταση p είναι ιδιότητα κατάστασης Αν οι Φ και Ψ είναι ιδιότητες κατάστασης, τότε και οι Φ και Φ Ψ είναι ιδιότητες κατάστασης Αν η φ είναι μια ιδιότητα εκτέλεσης, τότε οι Α φ και η Ε φ είναι ιδιότητες κατάστασης 2. Ιδιότητες εκτέλεσης φ Αν οι Φ και Ψ είναι ιδιότητες κατάστασης, τότε οι Χ Φ και Φ U Ψ είναι ιδιότητες εκτέλεσης ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων
17 PLTL Η PLTL μπορεί παρόμοια να οριστεί με βάση την πιο κάτω γραμματική Φ :: = Α φ φ :: = p φ φ ψ Χ φ φ U ψ 1. Ιδιότητες κατάστασης Φ Αν η φ είναι μια ιδιότητα εκτέλεσης τότε η Α φ είναι ιδιότητα κατάστασης 2. Ιδιότητες εκτέλεσης φ κάθε ατομική πρόταση p είναι ιδιότητα εκτέλεσης Αν οι φ και ψ είναι ιδιότητες εκτέλεσης, τότε και οι φ και φ ψ είναι ιδιότητες εκτέλεσης Αν οι φ και ψ είναι ιδιότητες εκτέλεσης, τότε οι Χ φ και φ U ψ είναι ιδιότητες εκτέλεσης ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 5-33 PLTL και CTL Οι δύο τύποι λογικής έχουν διαφορετική εκφραστικότητα: υπάρχουν ιδιότητες της CTL που δεν μπορούν να εκφραστούν στην PLTL, π.χ. ΑG EF p υπάρχουν ιδιότητες που δεν μπορούν να εκφραστούν στην CTL, π.χ. F (p X p H ιδιότητα αυτή εκφράζει ότι σε κάθε εκτέλεση η p θα ικανοποιηθεί για δύο συνεχόμενες χρονικές στιγμές. Οι ιδιότητες ΑF (p AX p και ΑF (p ΕX p εκφράζουν διαφορετικές προτάσεις. Η πολυπλοκότητα του μοντελο-ελέγχου για τους δύο τύπους λογικής είναι CTL : O( Formula System 2 PLTL : O(2 Formula System 2 Συχνά όμως ιδιότητες της CTL είναι μακρύτερες από ιδιότητες της PLTL. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων
18 CTL * Διακλαδωμένη χρονική λογική με μεγαλύτερη εκφραστικότητα. Η σύνταξη της δίνεται ως εξής: Φ :: = p Φ Φ Ψ Α φ Ε φ φ :: = Φ φ φ ψ Χ ψ φ U ψ Έτσι, γιαπαράδειγμαοιιδιότητες ΑΧΧ p, ΕGF p είναι νόμιμες CTL * ιδιότητες. Προσοχή: οι ιδιότητες ΑF ΑF p (CTL και ΑGF p (CTL * αν και συντακτικά διαφορετικές, εκφράζουν την ίδια προδιαγραφή. Η πολυπλοκότητα του μοντελο-ελέγχου για τη CTL * είναι PSPACE και O(2 System Formula. Μέχρι στιγμής δεν έχει διαδοθεί η χρήση εργαλείου για μοντελο-έλεγχο της CTL *. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 5-35 Εκφραστικότητα χρονικών λογικών Δύο ιδιότητες είναι ισοδύναμες αν και μόνο αν ικανοποιούνται από ακριβώς τις ίδιες καταστάσεις όλων των δομών Kripke. Μία χρονική λογική Λ είναι τουλάχιστον τόσο εκφραστική όσο και μια λογική Λ αν και μόνο αν για κάθε ιδιότητά της Λ υπάρχει ισοδύναμη ιδιότητα της Λ. Η εκφραστικότητα των λογικών PLTL, CTL και CTL * φαίνεται στο πιο κάτω διάγραμμα. CTL * AF (p X p AG EF p PLTL CTL AF (p X p A (p U q AG EF p ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων
19 Μοντελο-έλεγχος με δικαιοσύνη Εκφράζουμε τη ζητούμενη ιδιότητα δικαιοσύνης σαν μια ιδιότητα, έστω Φ και για να αποδείξουμε κάποια ιδιότητα Ψ ελέγχουμε τη ΦΨ. Αντιπαράδειγμα Bad ( Ψ Fair (Φ Program Εναλλακτικά, τροποποιούμε τον αλγόριθμο επαλήθευσης. Για παράδειγμα, για ελαφριά δικαιοσύνη διεργασιών: ψάξε για ισχυρά συνδεδεμένους υπογράφους, όπου για κάθε διεργασία P είτε ο υπογράφος περιέχει κάποια μετάβαση της P, ή περιέχει κατάσταση όπου η P δεν μπορεί να προχωρήσει. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 5-37 Ιδιότητες δικαιοσύνης Μη εξαρτώμενη δικαιοσύνη: ηιδιότηταrunning ικανοποιείται απείρως συχνά G F running Ελαφρά δικαιοσύνη: αν κάποια μετάβαση είναι συνεχώς έτοιμη για εκτέλεση από κάποια κατάσταση και μετά τότε θα τρέξει άπειρες φορές F G enabled G F running Ισχυρή δικαιοσύνη: αν κάποια μετάβαση είναι συνεχώς έτοιμη για εκτέλεση τότε θα τρέξει άπειρες φορές G F enabled G F running ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων
20 Παράδειγμα 3 Ισχύει η ιδιότητα Φ = AG(green AF red; 1 2 Όχι, αφού υπάρχει ένα πράσινο μονοπάτι. Το μονοπάτι αυτό όμως δεν είναι δίκαιο διότι η κόκκινη μετάβαση είναι έτοιμη για εκτέλεση άπειρες φορές στο μονοπάτι (από την κατάσταση 1 χωρίς ποτέ να εκτελείται. Γιανααποκλείσουμεαυτότομονοπάτιμπορούμεναπροσθέσουμεμια υπόθεση δικαιοσύνης, όπως την Φ δ = AG (redenabled AF red Τότε ελέγχουμε την ιδιότητα Φ δ Φ, ηοποίαισχύει. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων
CTL - Λογική Δένδρου Υπολογισμού
CTL - Λογική Δένδρου Υπολογισμού Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Διακλαδωμένες Χρονικές λογικές CTL σύνταξη και ερμηνεία Έλεγχος μοντέλου για τη CTL Σύγκριση των PLTL και CTL Δικαιοσύνη
Διαβάστε περισσότεραCTL - Λογική Δένδρου Υπολογισμού (ΗR Κεφάλαιο 3.4)
CTL - Λογική Δένδρου Υπολογισμού (ΗR Κεφάλαιο 3.4) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Διακλαδωμένες Χρονικές λογικές CTL σύνταξη και ερμηνεία Έλεγχος μοντέλου για τη CTL Σύγκριση των PLTL
Διαβάστε περισσότεραCTL Έλεγχος Μοντέλου (ΗR Κεφάλαιο 3.5 και 3.6.1)
CTL Έλεγχος Μοντέλου (ΗR Κεφάλαιο 3.5 και 3.6.1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Έλεγχος μοντέλου για τη CTL CTL* ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 8-1 Αλγόριθμος Μοντελο-ελέγχου Πως μπορούμε
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Σειράς Ασκήσεων 4
Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 4 Έστω το σύνολο ατομικών προτάσεων ΑΡ = {red, yellow, green}. Με βάση τις ατομικές προτάσεις ΑΡ διατυπώστε τις πιο κάτω προτάσεις που αφορούν την κατάσταση των φώτων της
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Θεωρήστε την ακόλουθη δομή Kripke. {entry} 0 1 {active} 2 {active, request} 3 {active, response} Να διατυπώσετε τις πιο κάτω προτάσεις στην LTL (αν αυτό είναι εφικτό)
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Ημερομηνία Παράδοσης: 13/11/13
Σειρά Προβλημάτων 4 Ημερομηνία Παράδοσης: 13/11/13 Άσκηση 1 (20 μονάδες) Οι ιδιότητες διατυπώνοντας στην PLTL ως εξής: (α) Αν ο καταχωρητής Κ 1 κάποια στιγμή πάρει την τιμή 1 θα διατηρήσει την τιμή αυτή
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Σειράς Ασκήσεων 4
Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 4 Θεωρήστε το σύνολο των ατομικών προτάσεων ΑΡ = {α, π, ε} που αντιστοιχούν στις ενέργειες αποστολής μηνύματος, παραλαβής μηνύματος και επιστροφής αποτελέσματος που εκτελούνται
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρες ιεργασιών και Τροπικές Λογικές
Άλγεβρες ιεργασιών και Τροπικές Λογικές Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Οι λογικές HML και WHML Ο λογικός χαρακτηρισµός των ~ και Η λογική CTL- ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Επανάληψης Λύσεις
Άσκηση 1 Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις (α) Το επακόλουθο (A (B C)) ((A C) (A B)) είναι ψευδές. Αυτό φαίνεται στην ανάθεση τιμών [Α] = Τ, [Β] = F, [C] = T. (β) Ακολουθεί η απόδειξη του επακόλουθου. 1. x(p(x)
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Σειράς Ασκήσεων 4
Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 4 i. FG φ GF ψ G (φ U (ψ φ)) Έστω δομή Μ και w κάποιο μονοπάτι της δομής. Θα δείξουμε ότι w FG φ GF ψ αν και μόνο αν w G (φ U (ψ φ)) Ξεκινώντας με το αριστερό σκέλος έχουμε:
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Επανάληψης Λύσεις
Άσκηση 1 Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις (α) Το επακόλουθο (A (B C)) ((A C) (A B)) είναι ψευδές. Αυτό φαίνεται στην ανάθεση τιμών [Α] = Τ, [Β] = F, [C] = T. (β) Ακολουθεί η απόδειξη του επακόλουθου. 1. x(p(x)
Διαβάστε περισσότεραΣτην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα:
Χρονικά αυτόµατα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Συστήµατα πραγµατικού Χρόνου ιακριτός και συνεχής χρόνος Χρονικά αυτόµατα Χρονική CTL ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 12-1 Συστήµατα
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις (α) Χρησιμοποιούμε τις επιπλέον μεταβλητές PC 1, PC 2, (program counters) οι οποίες παίρνουν ως τιμές ονόματα των γραμμών του κώδικα όπως φαίνεται πιο κάτω. bool y 1
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 664: Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : Πέμπτη, 21 Μαρτίου 2013 ΔΙΑΡΚΕΙΑ : 14:00 16:00 ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ : Άννα Φιλίππου Ονοματεπώνυμο:
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
ΕΠΛ664: Ανάλυση και Επαλθευση Συστημάτων Τμμα Πληροφορικς Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις (α) Χρησιμοποιούμε τις επιπλέον μεταβλητές PC0, PC1, (program counters) οι οποίες παίρνουν ως τιμές ονόματα
Διαβάστε περισσότεραΣτην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα:
Χρονικά αυτόματα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Συστήματα πραγματικού Χρόνου Διακριτός και συνεχής χρόνος Χρονικά αυτόματα Χρονική CTL ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 7-1 Συστήματα
Διαβάστε περισσότεραΑυτοματοποιημένη Επαλήθευση
Αυτοματοποιημένη Επαλήθευση Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Έλεγχος Μοντέλου Αλγόριθμοι γράφων Αλγόριθμοι αυτομάτων Αυτόματα ως προδιαγραφές ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 4-1
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ CTL/LTL
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ CTL/LTL ΑΣΚΗΣΗ 1 Θεωρήστε το μοντέλο Μ ενός συστήματος που δίνεται από το αυτόματο του σχήματος p, q s 0 s 1 s 2 q, και το (άπειρο) δέντρο του σχήματος s0 p, q s1 q, s0 p, q
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις (α) Χρησιμοποιούμε τις επιπλέον μεταβλητές PC 0, PC 1, (program counters) οι οποίες παίρνουν ως τιμές ονόματα των γραμμών του κώδικα όπως φαίνεται πιο κάτω. P[0] P[1]
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΗ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΧΡΟΝΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ι
ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΗ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΧΡΟΝΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ι Ιδιότητες προσεγγισιμότητας (reachability properties): αναφέρονται στο ενδεχόμενο προσέγγισης μιας συγκεκριμένης κατάστασης. Ιδιότητες ασφαλείας (safety properties):
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 3 Ημερομηνία Παράδοσης: 04/04/16
ΜΕΡΟΣ Α Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 3 Ημερομηνία Παράδοσης: 04/04/16 Δύο ιδιότητες φ και ψ είναι ισοδύναμες μεταξύ τους, φ ψ, αν, για κάθε δομή Kripke M, M φ αν και μόνο αν M ψ. Να αποφασίσετε ποια από
Διαβάστε περισσότεραΧΡΟΝΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ι ΤΥΠΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜ. ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Α.Π.Θ. ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Π. ΚΑΤΣΑΡΟΣ. 29 Ιουνίου 2007 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1
ΧΡΟΝΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ι ΗλογικήCTL* (Computation Tree Logic) χρησιμοποιείται από εργαλεία ελέγχου μοντέλων για την τυπική περιγραφή ιδιοτήτων καταστάσεων που αναφέρονται στις εκτελέσεις ενός συστήματος. Χρησιμοποιεί
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Σειράς Ασκήσεων 4
Άσκηση 0 (25 μονάδες) Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 4 (α) Θεωρήστε το πιο κάτω πρόγραμμα λογικού προγραμματισμού και χρησιμοποιήστε τη μέθοδο της SLD επίλυσης για να φθάσετε σε διάψευση του στόχου. concat([],
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Χρονική Λογική (Linear Temporal Logic) (ΗR Κεφάλαιο 3.1 και 3.2)
Γραμμική Χρονική Λογική (Linear Temporal Logic) (ΗR Κεφάλαιο 3.1 και 3.2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Επαλήθευση Συστημάτων και Μοντελοέλεγχος Σύνταξη της PLTL Δομές Kripke και Σημασιολογία
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις (α) Χρησιμοποιούμε τις επιπλέον μεταβλητές PC i, (program counters) οι οποίες παίρνουν ως τιμές ονόματα των γραμμών του κώδικα όπως φαίνεται πιο κάτω. Process P i :
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Επανάληψης Λύσεις
Άσκηση 1 Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις (α) Κανένα πιρούνι δεν χρησιμοποιείται ποτέ από περισσότερους από ένα φιλόσοφους. ΑG [ (l 0 r 2) (l 1 r 0) (l 2 r 1) (β) Ο φιλόσοφος i θα φάει τουλάχιστον μια φορά.
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Αντώνιος Δ. Γουγλίδης
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ Γραμμική και μη-γραμμική λογική: Σύγκριση και πρακτικές εφαρμογές
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4)
Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Η διαδικαστική γλώσσα προγραμματισμού WHILE Τριάδες Hoare Μερική και Ολική Ορθότητα Προγραμμάτων Κανόνες
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Χρονική Λογική (Linear Temporal Logic)
Γραμμική Χρονική Λογική (Linear Temporal Logic) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Γραμμική Χρονική Λογική - σύνταξη και ερμηνεία Διατύπωση ιδιοτήτων Δομές Kripke Μοντελοέλεγχος ΕΠΛ 664 Ανάλυση
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G,k η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική η οποία παράγει κάποια λέξη 1 n όπου n k } (β) { Μ,k η Μ είναι
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα
Διάλεξη Ε4: Επανάληψη Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή σε δενδρικές δομές δεδομένων, Δυαδικά Δένδρα Αναζήτησης Ισοζυγισμένα Δένδρα & 2-3 Δένδρα Διδάσκων: Κωνσταντίνος
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων
Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Η διαδικαστική γλώσσα προγραμματισμού WHILE Τριάδες Hoare Μερική και Ολική Ορθότητα Προγραμμάτων ΚανόνεςΑπόδειξηςΜερικήςΟρθότητας
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3)
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες (2.3) Λήμμα Άντλησης για Ασυμφραστικές Γλώσσες Παραδείγματα
Διαβάστε περισσότεραΔώστε έναν επαγωγικό ορισμό για το παραπάνω σύνολο παραστάσεων.
Εισαγωγή στη Λογική Α Τάξης Σ. Κοσμαδάκης Συντακτικό τύπων Α τάξης Α Θεωρούμε δεδομένο ένα λεξιλόγιο Λ, αποτελούμενο από (1) ένα σύνολο συμβόλων για σχέσεις, { R, S,... } (2) ένα σύνολο συμβόλων για συναρτήσεις,
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»
Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρες Διεργασιών και Σχέσεις Ισοδυναμίας
Άλγεβρες Διεργασιών και Σχέσεις Ισοδυναμίας Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Σχέσεις ισοδυναμίας trce equivlence filure equivlence strong isimultion wek isimultion ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση
Διαβάστε περισσότεραa n = 3 n a n+1 = 3 a n, a 0 = 1
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ
ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις
Διαβάστε περισσότεραΒρόχοι. Εντολή επανάληψης. Το άθροισμα των αριθμών 1 5 υπολογίζεται με την εντολή. Πρόβλημα. Πώς θα υπολογίσουμε το άθροισμα των ακέραιων ;
Εντολή επανάληψης Το άθροισμα των αριθμών 1 5 υπολογίζεται με την εντολή Πρόβλημα Πώς θα υπολογίσουμε το άθροισμα των ακέραιων 1 5000; Ισοδύναμοι υπολογισμοί του Ισοδύναμοι υπολογισμοί του Ισοδύναμοι υπολογισμοί
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 8-1
To εργαλείο UPPAAL Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Εισαγωγή στo εργαλείο UPPAAL Γλώσσα Μοντελοποίησης Ο προσομοιωτής Ο επαληθευτής ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 8-1 Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 Να διατυπώσετε τον πιο κάτω συλλογισμό στον Προτασιακό Λογισμό και να τον αποδείξετε χρησιμοποιώντας τη Μέθοδο της Επίλυσης. Δηλαδή, να δείξετε ότι αν ισχύουν οι πέντε
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Σειράς Ασκήσεων 1
Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Άσκηση 1 Έστω οι προτάσεις / προϋπόθεσεις: Π1. Σε όσους αρέσει η τέχνη αρέσουν και τα λουλούδια. Π2. Σε όσους αρέσει το τρέξιμο αρέσει και η μουσική. Π3. Σε όσους δεν αρέσει η
Διαβάστε περισσότερα(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις
(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης
Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 4. Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 4. Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων
Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Η διαδικαστική γλώσσα προγραμματισμού WHILE Τριάδες Hoare Μερική και Ολική Ορθότητα Προγραμμάτων Κανόνες Απόδειξης Μερικής
Διαβάστε περισσότερα(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις
(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΚατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων
ΕΠΛ Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 008 Κατ οίκον Εργασία Σκελετοί Λύσεων Άσκηση Παρατηρούμε ότι ο χρόνος εκτέλεσης μέσης περίπτωσης της κάθε εντολής if ξεχωριστά: if (c mod 0) for (k ; k
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων
Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΧρόνος και Άλγεβρες Διεργασιών
Χρόνος και Άλγεβρες Διεργασιών Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Συστήματα μεταβάσεων με χρόνος Η Χρονική CCS: σύνταξη και σημασιολογία ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 12-1 Συστήματα
Διαβάστε περισσότερα(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις
(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες:. Φωτάκης. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1 (ανακοινώθηκε στις 20 Μαρτίου 2017, προθεσμία παράδοσης: 24 Απριλίου 2017, 12 τα μεσάνυχτα).
Κ08 Δομές Δεδομένων και Τεχνικές Προγραμματισμού Διδάσκων: Μανόλης Κουμπαράκης Εαρινό Εξάμηνο 2016-2017. Άσκηση 1 (ανακοινώθηκε στις 20 Μαρτίου 2017, προθεσμία παράδοσης: 24 Απριλίου 2017, 12 τα μεσάνυχτα).
Διαβάστε περισσότεραO n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n
Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικός προγραμματισμός για δέντρα
ΘΕ5 Ιδιότητες Δέντρων και Αναδρομή για Δέντρα Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα Έστω ότι, για k=1,..., m, το γράφημα Γ k = (V k, E k ) είναι δέντρο. Έστω w V 1... V m, z k V k, για k=1,..., m. Συμβολίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΤεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/
Τεχνητή Νοημοσύνη 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (Ι) (εισαγωγικές έννοιες)
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2015-16 Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (Ι) (εισαγωγικές έννοιες) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Τι είναι
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότερα1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης
ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 4 ο. Κρίσιμα Τμήματα και Αμοιβαίος Αποκλεισμός
Μάθημα 4 ο Κρίσιμα Τμήματα και Αμοιβαίος Αποκλεισμός Εισαγωγή Σκοπός του μαθήματος αυτού είναι να εξηγήσει την έννοια του κρίσιμου τμήματος σε μία διεργασία και να δείξει τη λύση για ένα απλό πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 11: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 11: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά (2.3) Το Λήμμα της Άντλησης για ασυμφραστικές γλώσσες (2.3.1) Παραδείγματα 1 Πότε μια
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (1)
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ασυμφραστικές Γραμματικές (2.1) Τυπικός Ορισμός Σχεδιασμός Ασυμφραστικών Γραμματικών
Διαβάστε περισσότεραΚανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα
Κανονικές Γλώσσες Κανονικές Γλώσσες Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Κανονική γλώσσα αν παράγεται από κανονική γραμματική. Παραγωγές P (V Σ) Σ * ((V Σ) ε) Παραγωγές μορφής:
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης
Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι αλγόριθμος; Υποπρογράμματα (υποαλγόριθμοι) Βασικές αλγοριθμικές δομές
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2015-16 Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (Ι) (εισαγωγικές έννοιες) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Τι είναι
Διαβάστε περισσότεραDr. Garmpis Aristogiannis - EPDO TEI Messolonghi
Προϋποθέσεις για Αµοιβαίο Αποκλεισµό Μόνο µία διεργασία σε κρίσιµο τµήµασεκοινό πόρο Μία διεργασία που σταµατά σε µη κρίσιµο σηµείο δεν πρέπει να επιρεάζει τις υπόλοιπες διεργασίες εν πρέπει να υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 22: Δυαδικά Δέντρα. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου
Διάλεξη 22: Δυαδικά Δέντρα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Δυαδικά Δένδρα - Δυαδικά Δένδρα Αναζήτησης - Πράξεις Εισαγωγής, Εύρεσης Στοιχείου, Διαγραφής Μικρότερου Στοιχείου
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Παραδείγματα Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο n θρανία στη σειρά
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Ι
ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Ι Η τυπική επαλήθευση βάση μοντέλου είναι κατάλληλη για συστήματα επικοινωνούντων διεργασιών (π.χ. κατανεμημένα συστήματα) όπου το βασικό πρόβλημα είναι ο έλεγχος αλλά γενικά δεν
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Σημασιολογία μιας Απλής Προστακτικής Γλώσσας
Κεφάλαιο 4 Σημασιολογία μιας Απλής Προστακτικής Γλώσσας Προπτυχιακό μάθημα Αρχές Γλωσσών Προγραμματισμού Π. Ροντογιάννης 1 Εισαγωγή - 1 Μία κλασσική γλώσσα προγραμματισμού αποτελείται από: Εκφράσεις (των
Διαβάστε περισσότεραΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις
ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται
Διαβάστε περισσότεραα n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0
Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Η ύλη συνοπτικά... Γεννήτριες συναρτήσεις Τι είναι η γεννήτρια Στην
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα {w 1w 2 w 1 {0,1} * και w 2 = 0 k 1 m όπου k και m
Διαβάστε περισσότεραΑναδρομή Ανάλυση Αλγορίθμων
Αναδρομή Ανάλυση Αλγορίθμων Παράδειγμα: Υπολογισμός του παραγοντικού Ορισμός του n! n! = n x (n - 1) x x 2 x 1 Ο παραπάνω ορισμός μπορεί να γραφεί ως n! = 1 αν n = 0 n x (n -1)! αλλιώς Παράδειγμα (συνέχ).
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης 4.1. (α) Αποδείξτε ότι αν η h είναι συνεπής, τότε h(n
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου
Διάλεξη 6: ΠαραδείγματαΑνάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: -Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα -Γραμμική
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) ({ G η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική που δεν παράγει καμιά λέξη με μήκος μικρότερο του 2 } (β) { Μ,w
Διαβάστε περισσότεραΚανονικές Γλώσσες. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Κανονικές Γλώσσες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κανονικές Γλώσσες Κανονική γλώσσα αν
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 3ο μέρος σημειώσεων: Μέθοδος της Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια
Διαβάστε περισσότεραΟι εντολές ελέγχου της ροής ενός προγράμματος.
Κεφάλαιο ΙΙI: Οι εντολές ελέγχου της ροής ενός προγράμματος 31 Εντολές ελέγχου της ροής Στο παρόν κεφάλαιο ασχολούμαστε με την σύνταξη των εντολών της C οι οποίες εισάγουν λογική και ελέγχουν την ροή εκτέλεσης
Διαβάστε περισσότεραΜη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας
Μαθηματική Λογική Εξέταση Ιουλίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις σας
Διαβάστε περισσότεραΠληροφορική 2. Αλγόριθμοι
Πληροφορική 2 Αλγόριθμοι 1 2 Τι είναι αλγόριθμος; Αλγόριθμος είναι ένα διατεταγμένο σύνολο από σαφή βήματα το οποίο παράγει κάποιο αποτέλεσμα και τερματίζεται σε πεπερασμένο χρόνο. Ο αλγόριθμος δέχεται
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { D το D είναι ένα DFA το οποίο αποδέχεται όλες τις λέξεις στο Σ * } (α) Για να διαγνώσουμε το πρόβλημα μπορούμε
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 8: Πρόβλημα Αμοιβαίου Αποκλεισμού. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι
Διάλεξη 8: Πρόβλημα Αμοιβαίου Αποκλεισμού ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Τι θα δούμε σήμερα Μοντέλο Κοινόχρηστης Μνήμης Αλγόριθμοι Αμοιβαίου Αποκλεισμού με Ισχυρούς Καταχωρητές ΕΠΛ432: Κατανεµηµένοι
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3 Αλγόριθμοι Επιλογής Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Αλγόριθμοι Επιλογής Γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) 2010
ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) 2010 ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα
Διαβάστε περισσότεραn ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4
Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα
Διαβάστε περισσότεραΚατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων
ΕΠΛ 1 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 009 Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων Άσκηση 1 Αρχικά θα πρέπει να υπολογίσουμε τον αριθμό των πράξεων που μπορεί να εκτελέσει ο υπολογιστής σε μια ώρα,
Διαβάστε περισσότερα> μεγαλύτερο <= μικρότερο ή ίσο < μικρότερο == ισότητα >= μεγαλύτερο ή ίσο!= διαφορετικό
5 ο Εργαστήριο Λογικοί Τελεστές, Δομές Ελέγχου Λογικοί Τελεστές > μεγαλύτερο = μεγαλύτερο ή ίσο!= διαφορετικό Οι λογικοί τελεστές χρησιμοποιούνται για να ελέγξουμε
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 10 Λύσεις
Άσκηση 1 Φροντιστήριο 10 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {0,1} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι
ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι Για τον προτασιακό λογισμό παρουσιάσαμε την αποδεικτική θεωρία (natural deduction/λογικό συμπέρασμα) τη σύνταξη (ορίζεται με γραμματική χωρίς συμφραζόμενα και εκφράζεται με συντακτικά
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου
Διάλεξη 04: ΠαραδείγματαΑνάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: -Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα -Γραμμική
Διαβάστε περισσότεραΧρονικά Συστήματα και Σχέσεις Ισοδυναμίας
Χρονικά Συστήματα και Σχέσεις Ισοδυναμίας Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Σχέσεις ισοδυναμίας time bisimultion untime bisimultion wek time bisimultion region grphs ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Σειράς Ασκήσεων 5
Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 5 Να υπολογίσετε τις ασθενέστερες προσυνθήκες έτσι ώστε οι πιο κάτω προδιαγραφές να είναι ορθές σύμφωνα (i) με την έννοια της μερικής ορθότητας και (ii) με την έννοια της
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Διαβάστε περισσότεραΑναδρομή (Recursion) Πώς να λύσουμε ένα πρόβλημα κάνοντας λίγη δουλειά και ανάγοντας το υπόλοιπο να λυθεί με τον ίδιο τρόπο.
Αναδρομή (Recursion) Πώς να λύσουμε ένα πρόβλημα κάνοντας λίγη δουλειά και ανάγοντας το υπόλοιπο να λυθεί με τον ίδιο τρόπο. Πού χρειάζεται; Πολλές μαθηματικές συναρτήσεις ορίζονται αναδρομικά. Δεν είναι
Διαβάστε περισσότερα