Δώστε έναν επαγωγικό ορισμό για το παραπάνω σύνολο παραστάσεων.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Δώστε έναν επαγωγικό ορισμό για το παραπάνω σύνολο παραστάσεων."

Transcript

1 Εισαγωγή στη Λογική Α Τάξης Σ. Κοσμαδάκης Συντακτικό τύπων Α τάξης Α Θεωρούμε δεδομένο ένα λεξιλόγιο Λ, αποτελούμενο από (1) ένα σύνολο συμβόλων για σχέσεις, { R, S,... } (2) ένα σύνολο συμβόλων για συναρτήσεις, { f, g, h,... } (3) ένα σύνολο συμβόλων για σταθερές, { c, d,... }. Κάθε ένα από τα σύμβολα σχέσεων και κάθε ένα από τα σύμβολα συναρτήσεων, έχει συγκεκριμένο αριθμό ορισμάτων. Τα παραπάνω σύνολα συμβόλων είναι ξένα μεταξύ τους. Θεωρούμε επίσης δεδομένο ένα σύνολο μεταβλητών V = { x, y, z,... }, χωρίς κοινά στοιχεία με το λεξιλόγιο Λ 1. Ονομάζουμε ατομικό τύπο ως προς το λεξιλόγιο Λ και τις μεταβλητές V, οποιαδήποτε συμβολοσειρά ε(τ 1,..., τ k ) είτε (τ = τ ) 2, όπου (1) το ε είναι ένα από τα σύμβολα για σχέσεις, με ακριβώς k ορίσματα, και (2) τα τ 1,..., τ k, τ, τ είναι όροι (αλγεβρικές παραστάσεις), που σχηματίζονται με τα σύμβολα (, ), τα σύμβολα για συναρτήσεις, τα σύμβολα για σταθερές, και μεταβλητές από το σύνολο V. Ερώτημα 1 Δώστε έναν επαγωγικό ορισμό για το παραπάνω σύνολο παραστάσεων. Οι τύποι Α τάξης ως προς τa Λ, V, είναι συμβολοσειρές που σχηματίζονται με τα σύμβολα του λεξιλoγίου Λ, μεταβλητές από το σύνολο V, και τα σύμβολα (, ),,,,,,. Δίνουμε έναν επαγωγικό ορισμό για το σύνολο Σ των (συντακτικά σωστών) τύπων Α τάξης. Αρχικές περιπτώσεις Αν φ είναι ένας ατομικός τύπος ως προς τα Λ, V, τότε φ Σ. Επαγωγική κατασκευή Εστω φ, ψ οποιεσδήποτε συμβολοσειρές στο Σ, και u V. Οι συμβολοσειρές (φ ψ) (φ ψ) ( φ) (φ ψ) ( u φ) ( u φ) θα είναι στο Σ. Ερώτημα 2 Δώστε έναν επαγωγικό ορισμό για το υπο-σύνολο των τύπων Α τάξης που σχηματίζονται με ένα λεξιλόγιο Λ, χρησιμοποιώντας μόνο τις μεταβλητές στο σύνολο W = {x, y, z}, και τα σύμβολα (, ),,,. Β Τα parse-trees των τύπων Α τάξης που ορίστηκαν στο (Α) είναι δέντρα με ρίζα, με ετικέτες στους κόμβους. Κάθε κόμβος ενός parse-tree έχει το πολύ δύο -- διατεταγμένα -- παιδιά. Επίσης, κάθε φύλλο έχει σαν ετικέτα έναν ατομικό τύπο, και η ετικέτα ενός κόμβου που δεν φύλλο είναι: είτε ένα από τα σύμβολα,,,, είτε μία συμβολοσειρά της μορφής u, u, όπου u V. 1 Αυτός ο περιορισμός αποκλείει το παράδοξο του Russell. 2 Το σύμβολο = δεν περιέχεται στο λεξιλόγιο, ούτε στο σύνολο V.

2 Ερώτημα 3 Δώστε έναν επαγωγικό ορισμό για το σύνολο pt(σ) των parse-trees των τύπων Α τάξης που ορίστηκαν στο (Α). Παρατήρηση: Δύο διαφορετικά parse-trees που αντιστοιχούν στον ίδιο τύπο, είναι ισομορφικά. Γ Ένας ποσοδείκτης u είτε u δεσμεύει μιά εμφάνιση της μεταβλητής u σε ένα τύπο, αν η συγκεκριμένη εμφάνιση βρίσκεται στο scope του ποσοδείκτη. Μιά εμφάνιση της μεταβλητής u είναι ελεύθερη σε ένα τύπο, αν δεν υπάρχει ποσοδείκτης που να τη δεσμεύει. Παρατήρηση: Μιά εμφάνιση της μεταβλητής u στο φύλλο a του parse-tree ενός τύπου είναι ελεύθερη, αν και μόνο αν δεν υπάρχει πρόγονος του a με ετικέτα u είτε u. 1 Έστω τ ένα parse-tree ενός τύπου Α τάξης φ, a ένα φύλλο του τ, και u μία μεταβλητή που εμφανίζεται στην ετικέτα του a. Δίνουμε έναν επαγωγικό ορισμό μιάς συνάρτησης free(τ, a, u), όπου free(τ, a, u) = true αν και μόνο αν: oι εμφανίσεις της u στην ετικέτα του a, είναι ελεύθερες στον τύπο φ. Αρχικές περιπτώσεις Έστω τ ένα δέντρο με μοναδικό κόμβο το a. Τότε free(τ, a, u) = true. Επαγωγικό βήμα Έστω τ ένα δέντρο, με ρίζα ένα κόμβο b με ετικέτα λ(b), και με (ένα είτε δύο) υπο-δέντρα τ 1, τ 2. Αν λ(b)= u είτε λ(b)= u : τότε free(τ, a, u) = false. Αν λ(b) { w, w } όπου η μεταβλητή w δεν είναι η u, ή λ(b) {,,, } : αν a στο τ 1, τότε free(τ, a, u) = free(τ 1, a, u) αν a στο τ 2, τότε free(τ, a, u) = free(τ 2, a, u). Ερώτημα 4 Έστω τ ένα parse-tree ενός τύπου Α τάξης φ, και u μία μεταβλητή. Δώστε έναν επαγωγικό ορισμό μιάς συνάρτησης F(τ, u), όπου F(τ, u) = true αν και μόνο αν η μεταβλητή u εμφανίζεται ελεύθερη στον τύπο φ. 2 Έστω τ ένα parse-tree ενός τύπου Α τάξης φ, a ένα φύλλο του τ, u μία μεταβλητή που εμφανίζεται στην ετικέτα του a, και k ένας κόμβος του τ. Δίνουμε έναν επαγωγικό ορισμό μιάς συνάρτησης binds(τ, a, u, k), όπου binds(τ, a, u, k) = true αν και μόνο αν: oι εμφανίσεις της u στην ετικέτα του a, δεσμεύoνται στον τύπο φ, από κάποιο ποσοδείκτη στην ετικέτα του κόμβου k. Παρατήρηση: binds(τ, a, u, k) = true αν και μόνο αν: ο κόμβος k είναι ο πρώτος πρόγονος του a, με ετικέτα u είτε u, που συναντάμε στο μονοπάτι του δεντρου τ, από το φύλλο a ώς τη ρίζα του. Αρχικές περιπτώσεις Έστω τ ένα δέντρο με μοναδικό κόμβο το a. Τότε binds(τ, a, u, k) = false. Επαγωγικό βήμα Έστω τ ένα δέντρο, με ρίζα ένα κόμβο b με ετικέτα λ(b), και με (ένα είτε δύο) υπο-δέντρα τ 1, τ 2. Αν k=b και λ(b) { u, u} : τότε binds(τ, a, u, k) = free(τ 1, a, u). Αν k=b και λ(b) { u, u} : τότε binds(τ, a, u, k) = false.

3 Αν k b : αν k στο τ 1 και a στο τ 1, τότε binds(τ, a, u, k) = binds(τ 1, a, u, k) αν k στο τ 1 και a στο τ 2, τότε binds(τ, a, u, k) = false αν k στο τ 2 και a στο τ 1, τότε binds(τ, a, u, k) = false αν k στο τ 2 και a στο τ 2, τότε binds(τ, a, u, k) = binds(τ 2, a, u, k). Ερώτημα 5 Έστω φ ένας τύπος Α τάξης και u μία μεταβλητή. Επιβεβαιώστε ότι: στους τύπους ( u φ) είτε ( u φ), ο αρχικός ποσοδείκτης u / u δεσμεύει μιά εμφάνιση της μεταβλητής u, αν και μόνο αν αυτή η εμφάνιση είναι ελεύθερη στον τύπο φ. Δηλώσεις που αντιστοιχούν σε τύπους Α τάξης Θεωρούμε δεδομένο ένα ένα λεξιλόγιο Λ. Ένα μοντέλο M αντίστοιχο του Λ αποτελείται από (i) ένα σύνολο σχέσεων (ελέγχων) 3 {ρ, σ,... } (ii) ένα σύνολο συναρτήσεων {F, G, H,... } (iii) ένα σύνολο σταθερών {C, D,... }. Οι σχέσεις / συναρτήσεις / σταθερές του Μ αντιστοιχούν, μία προς μία, στα σύμβολα για σχέσεις / συναρτήσεις / σταθερές του Λ. Κάθε σχέση και κάθε συνάρτηση του Μ έχει συγκεκριμένο αριθμό ορισμάτων, ίσο με εκείνον του αντίστοιχου συμβόλου του Λ. Το πεδίο ορισμού U του μοντέλου M αποτελείται από: (i) τις τιμές που μπορούν να είναι ορίσματα των σχέσεων, (ii) τις τιμές που μπορούν να είναι ορίσματα ή αποτελέσματα των συναρτήσεων 4 και (iii) τις σταθερές του Μ. Έστω φ ένας τύπος Α τάξης, που σχηματίζεται χρησιμοποιώντας το λεξιλόγιο Λ. Υποθέτουμε ότι οι μεταβλητές u 1,, u m, είναι οι μόνες που εμφανίζονται ελεύθερες στον φ. Από τον τύπο φ κατασκευάζουμε μια μαθηματική δήλωση φ Μ (a 1,, a m ) : α) Αντικαθιστούμε κάθε σύμβολο για σχέση / συνάρτηση / σταθερά που εμφανίζεται στον τύπο φ, με την αντίστοιχη σχέση / συνάρτηση / σταθερά του Μ. Tο σύμβολο = παραμένει ως έχει. β) Αντικαθιστούμε τα σύμβολα,,,, με τις γνωστές πράξεις της άλγεβρας Boole and, or, not, implies. γ) Αντικαθιστούμε κάθε ένα ποσοδείκτη u / u με AND d U / OR d U. Αντικαθιστούμε με το d τις εμφανίσεις της μεταβλητής u που δεσμεύονται από τον ποσοδείκτη. Παρατήρηση: Ο αρχικός ποσοδείκτης του τύπου ( u φ) / ( u φ) δεσμεύει μιά εμφάνιση της μεταβλητής u, αν και μόνο αν η ίδια εμφάνιση είναι ελεύθερη στον τύπο φ (Ερώτημα 5). δ) αντικαθιστούμε τις ελεύθερες εμφανίσεις των μεταβλητών u 1,, u m, με τα στοιχεία a 1,, a m αντίστοιχα. Τα ονόματα (όπως d) που χρησιμοποιούμε στο (γ), επιλέγονται έτσι ώστε να αντιστοιχούν ένα-προς-ένα με τις μεταβλητές του V. Κάθε όνομα αντικαθιστά μόνο τις δεσμευμένες εμφανίσεις της μεταβλητής στην οποία αντιστοιχεί. Ανάλογα, τα ονόματα που χρησιμοποιούμε στο (δ) (a 1,, a m ) επιλέγονται έτσι ώστε να 3 Μια σχέση (έλεγχος) μπορεί να θεωρηθεί ως μια συνάρτηση με αποτέλεσμα true ή false. 4 Οι σχέσεις και οι συναρτήσεις είναι ολικές, δηλ. ορίζονται για όλα τα στοιχεία του U.

4 αντιστοιχούν ένα-προς-ένα με τις μεταβλητές του V. Kάθε όνομα αντικαθιστά μόνο τις ελεύθερες εμφανίσεις της μεταβλητής στην οποία αντιστοιχεί. Παρατήρηση: Η δήλωση φ Μ (a 1,, a m ) που κατασκευάζεται εκφράζει μια ιδιότητα του μοντέλου Μ, και των στοιχείων a 1,, a m του πεδίου ορισμού του Μ. Άν ο τύπος φ δεν έχει ελεύθερες μεταβλητές, η δήλωση φ Μ που κατασκευάζεται εκφράζει μια ιδιότητα του μοντέλου Μ. Αν η δήλωση φ Μ (a 1,, a m ) ισχύει, της αποδίδουμε την τιμή αλήθειας true. Αν όχι, αποδίδουμε στη δήλωση φ Μ (a 1,, a m ) την τιμή αλήθειας false. Παραδείγματα δηλώσεων Εξετάζοντας τις δηλώσεις που αντιστοιχούν σε ορισμένους απλούς τύπους Α τάξης, βρίσκουμε ποιές ιδιότητες εκφράζουν. Κάθε ιδιότητα αναφέρεται σε ένα μοντέλο Μ και στοιχεία a, b, b, c του πεδίου ορισμού του Μ το a αντικαθιστά τη μεταβλητή x, το b την y, το b την y και το c την z. 1 Έστω ψ 1 ο τύπος ( (x = y) (x = z) ) (y = z). Η δήλωση ψ 1 Μ (a, b, c) ισχύει για το μοντέλο Μ και τα στοιχεία a, b, c, αν και μόνο αν: τα a, b, c είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Έστω ψ ο τύπος x ( y ( z ψ 1 ) ). Η δήλωση ψ Μ ισχύει για το μοντέλο Μ, αν και μόνο αν: το πεδίο ορισμού του Μ περιέχει τουλάχιστον τρία στοιχεία. Έστω φ ο τύπος x ( y (x = y) ). Η δήλωση φ Μ ισχύει για το μοντέλο Μ, αν και μόνο αν: το πεδίο ορισμού του Μ περιέχει μόνο ένα στοιχείο. Έστω φ 0 ο τύπος ( x ( y (x = y) ) ). Η δήλωση φ 0 Μ έχει την ίδια τιμή αλήθειας με τη δήλωση φ Μ, για οποιοδήποτε μοντέλο Μ. Ερώτημα 6 Βρείτε τύπους που οι αντίστοιχές τους δηλώσεις έχουν την ίδια τιμή αλήθειας με την παραπάνω δήλωση ψ Μ, για οποιοδήποτε μοντέλο Μ. 2 Ένα μοντέλο Μ, με πεδίο ορισμού U και με μία διμερή σχέση ρ, παριστάνεται σαν ένας κατευθυνόμενος γράφος G = (U, Ρ), όπου: υπάρχει ακμή από την κορυφή u στην κορυφή v, αν και μόνο αν ρ(u, v) = true. Έστω φ 1 ο τύπος y R(x, y). Η δήλωση φ 1 Μ (a) ισχύει αν και μόνο αν: στον γράφο G η κορυφή a έχει έξω-βαθμό τουλάχιστον 1. Έστω φ 2 ο τύπος y ( y ( (R(x, y) R(x, y )) (y = y ) ) ). Η δήλωση φ 2 Μ (a) ισχύει αν και μόνο αν: στον γράφο G η κορυφή a έχει έξω-βαθμό τουλάχιστον 2. Έστω φ 3 ο τύπος y ( y ( R(x, y) R(x, y ) (y = y ) ) ) 5. Η δήλωση φ 3 Μ (a) έχει την αντίθετη τιμή αλήθειας από τη δήλωση φ 2 Μ (a), για οποιοδήποτε μοντέλο Μ και για οποιοδήποτε στοιχείο a. Επομένως, η δήλωση φ 3 Μ (a) ισχύει αν και μόνο αν: στον γράφο G η κορυφή a έχει έξω-βαθμό το πολύ 1. 5 Αποδίδουμε στο σύμβολο προτεραιότητα έναντι των,.

5 Ερώτημα 7 Έστω φ 4 ο τύπος y ( y ( (R(x, y) R(x, y )) (y = y ) ) ). Επιβεβαιώστε ότι η δήλωση φ 4 Μ (a) ισχύει αν και μόνο αν: στον γράφο G η κορυφή a έχει έξω-βαθμό το πολύ 1. 3 Έστω ψ 1 ο τύπος ( z ( R(x, z) ( (z = y) (z = y )) ) ). Η δήλωση ψ 1 Μ (a, b, b ) ισχύει αν και μόνο αν: στον γράφο G η κορυφή a δεν έχει ακμή προς κορυφή διαφορετική από τις b, b. Οι τύποι z ( R(x, z) ((z = y) (z = y )) ) και z ( R(x, z) ((z = y) (z = y )) ) αντιστοιχούν σε δηλώσεις που έχουν την ίδια τιμή αλήθειας με τη δήλωση ψ 1 Μ (a, b, b ), για οποιοδήποτε μοντέλο Μ και οποιαδήποτε στοιχεία a, b, b. Έστω ψ ο τύπος y ( y ψ 1 ). Η δήλωση ψ Μ (a) ισχύει αν και μόνο αν: στον γράφο G η κορυφή a έχει έξω-βαθμό το πολύ 2. Ερώτημα 8 Βρείτε ένα τύπο θ 1, με δύο ελεύθερες μεταβλητές x, y, έτσι ώστε η δήλωση θ 1 Μ (a, b) να ισχύει αν και μόνο αν: στον γράφο G η κορυφή a δεν έχει ακμή προς κορυφή διαφορετική από την b. Ερώτημα 9 Έστω θ ο τύπος y ( z (R(x, z) (z = y)) ). Επιβεβαιώστε ότι η δήλωση θ Μ (a) ισχύει αν και μόνο αν: στον γράφο G η κορυφή a έχει έξω-βαθμό το πολύ 1. Ελεύθερες μεταβλητές τύπων Α τάξης Έστω φ ένας τύπος Α τάξης, τ ένα parse-tree του φ, και u μία μεταβλητή που εμφανίζεται στην ετικέτα ενός φύλλου a του τ. Η εμφάνιση της u στον τύπο φ είναι ελεύθερη (δεν βρίσκεται στο scope κανενός ποσοδείκτη) αν και μόνο αν: στο δέντρο τ δεν υπάρχει πρόγονος του φύλλου a που να έχει ετικέτα u είτε u. Έστω FV(φ) το σύνολο των μεταβλητών που έχουν κάποια ελεύθερη εμφάνιση στον τύπο φ. Με βάση τον παραπάνω ορισμό της ελεύθερης εμφάνισης μιάς μεταβλητής, μπορούμε να παρατηρήσουμε τα εξής: Μια μεταβλητή u έχει ελεύθερη εμφάνιση σε ένα τύπο (φ 1 φ 2 ), όπου οποιοδήποτε από τα σύμβολα,,, αν και μόνο αν: η u έχει ελεύθερη εμφάνιση στον φ, είτε στον φ 2. Μια μεταβλητή u έχει ελεύθερη εμφάνιση σε ένα τύπο ( φ 1 ), αν και μόνο αν: η u έχει ελεύθερη εμφάνιση στον φ 1. Μια μεταβλητή u έχει ελεύθερη εμφάνιση σε ένα τύπο ( w φ 1 ) / ( w φ 1 ), αν και μόνο αν: η u δεν είναι η w, και επίσης η u έχει ελεύθερη εμφάνιση στον φ 1. Από αυτές τις παρατηρήσεις προκύπτουν οι παρακάτω αναδρομικές ιδιότητες για τα σύνολα FV(φ) : (1) FV(φ 1 φ 2 ) = FV(φ 1 ) FV(φ 2 ), όπου οποιοδήποτε από τα σύμβολα,, FV( φ 1 ) = FV(φ 1 ) (2) FV( w φ 1 ) = FV(φ 1 ) {w} FV( w φ 1 ) = FV(φ 1 ) {w}.

6 Ερώτημα 10 Από τα (1, 2) συμπεράνετε ότι: (1) FV(φ 1 ) FV(φ 1 φ 2 ) όπου οποιοδήποτε από τα σύμβολα,, FV(φ 2 ) FV(φ 1 φ 2 ) όπου οποιοδήποτε από τα σύμβολα,, FV(φ 1 ) = FV( φ 1 ) (2) FV(φ 1 ) FV( w φ 1 ) {w} FV(φ 1 ) FV( w φ 1 ) {w}. Επαγωγικός ορισμός τιμών αλήθειας τύπων Α τάξης Ένας τύπος Α τάξης φ αντιστοιχίζεται σε μια δήλωση φ Μ (a 1,, a m ), που εκφράζει μια ιδιότητα ενός μοντέλου Μ και στοιχείων a 1,, a m του πεδίου ορισμού του Μ. Στη δήλωση φ Μ (a 1,, a m ), οι σχέσεις κοκ του Μ θα αντικαταστήσουν τα αντίστοιχα σύμβολα στον φ, και κάθε ένα στοιχείο a i θα αντικαταστήσει τις ελεύθερες εμφανίσεις μιάς μεταβλητής u i στον τύπο φ. Συνοπτικά, για να μπορεί να κατασκευαστεί η δήλωση φ Μ (a 1,, a m ) είναι αναγκαία και ικανά τα εξής: (α) Tο μοντέλο Μ να αντιστοιχεί στο λεξιλόγιο του τύπου φ. (β) Nα ισχύει FV(φ) {u 1,, u m }. (γ) Nα δίνεται ένας πίνακας L που να καταχωρεί, για κάθε μεταβλητή u, ένα στοιχείο a του πεδίου ορισμού του Μ (συμβολικά, L[u] = a ). Παρατήρηση: Ο τύπος φ ορίζει μια συνάρτηση, με ορίσματα το μοντέλο Μ και τον πίνακα L, και αποτέλεσμα τη δήλωση φ Μ (L[u 1 ],, L[u m ]). Θα χρησιμοποιούμε και τον συνοπτικό συμβολισμό φ Μ (L) για τη δήλωση φ Μ (L[u 1 ],, L[u m ]). Εξετάζοντας τον τρόπο που κατασκευάζεται η δήλωση φ Μ (L[u 1 ],, L[u m ]), παρατηρούμε ότι μπορεί να οριστεί επαγωγικά, με αναδρομή στη δομή του φ : Αρχικές περιπτώσεις Ο τύπος φ είναι ατομικός: Για κάθε μοντέλο Μ και πίνακα L για τα οποία ισχύουν οι παραπάνω συνθήκες (α, β, γ), φ Μ (L) είναι η δήλωση που προκύπτει αντικαθιστώντας στον φ (1) κάθε σύμβολο του λεξιλογίου με την αντίστοιχη σχέση / συνάρτηση / σταθερά του Μ, και (2) τις ελεύθερες εμφανίσεις των μεταβλητών u 1,, u m, με τα L[u 1 ],, L[u m ] αντίστοιχα. Επαγωγικό βήμα (i) Ο τύπος φ είναι προτασιακός συνδυασμός των τύπων φ 1, φ 2 : Για κάθε μοντέλο Μ και πίνακα L για τα οποία ισχύουν οι συνθήκες (α, β, γ), (φ 1 φ 2 ) Μ (L) = ορσ φ 1 Μ (L) and φ 2 Μ (L) (φ 1 φ 2 ) Μ (L) = ορσ φ 1 Μ (L) or φ 2 Μ (L) (φ 1 φ 2 ) Μ (L) = ορσ φ 1 Μ (L) implies φ 2 Μ (L) ( φ 1 ) Μ (L) = ορσ not φ 1 Μ (L).

7 (ii) Ο τύπος φ είναι ( u φ 1 ) / ( u φ 1 ) : Για κάθε μοντέλο Μ και πίνακα L για τα οποία ισχύουν οι συνθήκες (α, β, γ), ( u φ 1 ) Μ (L) = ορσ AND d U φ 1 Μ (L ; u d) ( u φ 1 ) Μ (L) = ορσ OR d U φ 1 Μ (L ; u d) L ; u d είναι o πίνακας που περιέχει όλες τις καταχωρήσεις του πίνακα L, με μόνη τη διαφορά ότι για τη μεταβλητή u καταχωρεί το στοιχείο d. Σημείωση για το Επαγωγικό βήμα (i) Για να επιβεβαιώσουμε ότι μπορεί να εκτελεστεί το Επαγωγικό βήμα (i), πρέπει να ελέγξουμε ότι οι δηλώσεις φ 1 Μ (L), φ 2 Μ (L) που χρησιμοποιoύνται για το τελικό αποτέλεσμα μπορούν να κατασκευαστούν. Δηλαδή, ότι θα ισχύουν για αυτές τις δηλώσεις οι συνθήκες (α, β, γ), όταν οι ίδιες συνθήκες ισχύουν για τη δήλωση (φ 1 φ 2 ) Μ (L) ( όπου ένα από τα,, ), είτε για τη δήλωση ( φ 1 ) Μ (L). Οι συνθήκες (α) και (γ) είναι προφανείς, οπότε επιβεβαιώνουμε τη συνθήκη (β). Έστω ότι ισχύει FV(φ 1 φ 2 ) {u 1,, u m }, όπου ένα από τα σύμβολα,, (υπόθεση). Από τη σχέση (1) έχουμε ότι FV(φ 1 ) FV(φ 1 φ 2 ), άρα FV(φ 1 ) {u 1,, u m }. Όμοια, FV(φ 2 ) {u 1,, u m }. Έστω ότι ισχύει FV( φ 1 ) {u 1,, u m } (υπόθεση). Από τη σχέση (1) έχουμε ότι FV(φ 1 ) = FV( φ 1 ), άρα FV(φ 1 ) {u 1,, u m }. Σημείωση για το Επαγωγικό βήμα (ii) Για να επιβεβαιώσουμε ότι μπορεί να εκτελεστεί το Επαγωγικό βήμα (ii), πρέπει να ελέγξουμε ότι οι δηλώσεις φ 1 Μ (L ; u d) που χρησιμοποιoύνται για το τελικό αποτέλεσμα μπορούν να κατασκευαστούν. Δηλαδή, ότι θα ισχύουν για αυτές τις δηλώσεις οι συνθήκες (α, β, γ), όταν οι ίδιες συνθήκες ισχύουν για τη δήλωση ( u φ 1 ) Μ (L), είτε για τη δήλωση ( u φ 1 ) Μ (L). Οι συνθήκες (α) και (γ) είναι προφανείς, οπότε επιβεβαιώνουμε τη συνθήκη (β). Έστω ότι ισχύει FV( u φ 1 ) {u 1,, u m } (υπόθεση). Από τη σχέση (2) έχουμε ότι FV(φ 1 ) = FV( u φ 1 ) {u}, άρα FV(φ 1 ) {u 1,, u m } {u}. Όμοια για τη δήλωση ( u φ 1 ) Μ (L). Ερώτημα 11 Έστω φ ένας τύπος Α τάξης, όπου FV(φ) {u 1,, u m }. Έστω L, K δύο πίνακες όπως παραπάνω, όπου L[u j ] = Κ[u j ], j = 1,...,m. Επιβεβαιώστε ότι οι δηλώσεις φ Μ (L), φ Μ (Κ), έχουν την ίδια τιμή αλήθειας.

8 Επαγωγικές ιδιότητες των τιμών αλήθειας Εξετάζοντας τον παραπάνω επαγωγικό ορισμό της δήλωσης φ Μ (L) -- και χρησιμοποιώντας τον ίδιο συμβολισμό, φ Μ (L), για την τιμή αλήθειας της -- προκύπτουν οι παρακάτω ιδιότητες: (ι) Για κάθε (κατάλληλο) μοντέλο Μ και πίνακα L, (φ 1 φ 2 ) Μ (L) = φ Μ 1 (L) and φ Μ 2 (L) (φ 1 φ 2 ) Μ (L) = φ Μ 1 (L) or φ Μ 2 (L) (φ 1 φ 2 ) Μ (L) = φ Μ 1 (L) implies φ Μ 2 (L) ( φ 1 ) Μ (L) = not φ Μ 1 (L) (ιι) Για κάθε (κατάλληλο) μοντέλο Μ και πίνακα L, ( u φ 1 ) Μ (L) = AND d U φ Μ 1 (L ; u d) ( u φ 1 ) Μ (L) = OR d U φ Μ 1 (L ; u d) Συνεπαγωγή τύπων Α τάξης Ο τύπος ψ συνεπάγεται από τους τύπους φ 1,..., φ n (συμβολικά φ 1,..., φ n ψ ), αν: Για κάθε (κατάλληλο) μοντέλο Μ και πίνακα L, αν φ i Μ (L) = true για i=1,...,n, τότε ψ Μ (L) = true. Αντίστοιχα, ο τύπος ψ δεν συνεπάγεται από τους φ 1,..., φ n (συμβολικά φ 1,..., φ n ψ ), αν: Υπάρχει ένα μοντέλο M και πίνακας L, ώστε φ i Μ (L) = true για i=1,...,n, και ψ Μ (L) = false. Τα Μ, L αποτελούν αντιπαράδειγμα για τη συνεπαγωγή. Ένας τύπος ψ ονομάζεται έγκυρος (συμβολικά ψ ), αν: Για κάθε μοντέλο Μ και πίνακα L, ψ Μ (L) = true. Ο όρος «έγκυρος» είναι ταυτόσημος με τον όρο «ταυτολογία». Ο συμβολισμός ψ σημαίνει ότι ο τύπος ψ δεν είναι έγκυρος. Δύο τύποι φ, ψ ονομάζονται λογικά ισοδύναμοι (συμβολικά φ ψ ), αν: φ ψ και ψ φ. Ερώτημα 12 Επιβεβαιώστε ότι: φ 1,..., φ n ψ αν και μόνο αν (φ 1... (φ n 1 φ n )...) ψ. Ερώτημα 13 Επιβεβαιώστε ότι: ψ αν και μόνο αν u ψ. Ερώτημα 14 Ποιοί από τους τύπους στα παραδείγματα δηλώσεων είναι λογικά ισοδύναμοι;

9 Παραδείγματα συνεπαγωγών 1 Έστω φ ο τύπος x ( y (R(x, y) R(y, x)) ) και ψ ο τύπος x ( y (R(x, y) R(y, x)) ). Επιβεβαιώνουμε ότι φ ψ : Έστω Μ ένα μοντέλο -- με πεδίο ορισμού U και με μία διμερή σχέση ρ -- όπου φ Μ = true. Για οποιαδήποτε στοιχεία a, b του U, θα είναι ρ(a, b) = true και ρ(b, a) = true. Άρα θα είναι και (ρ(a, b) implies ρ(b, a)) = true, για οποιαδήποτε a, b στο U. Άρα ψ Μ = true. Επιβεβαιώνουμε ότι ψ φ : Έστω Μ το μοντέλο με πεδίο ορισμού U = {1, 2} και με διμερή σχέση ρ, όπου: ρ(a, b) = true αν και μόνο αν (a, b) = (1, 2) είτε (a, b) = (2, 1). Εξετάζοντας τις δυνατές περιπτώσεις, βλέπουμε ότι: για οποιαδήποτε a, b στο U θα είναι (ρ(a, b) implies ρ(b, a)) = true. Άρα ψ Μ = true. Όμως, για (a, b) = (1, 1) είτε (a, b) = (2, 2) θα είναι (ρ(a, b) and ρ(b, a)) = false. Άρα φ Μ = false. Ερώτημα 15 Έστω φ ο τύπος (R(x, y) R(y, x)) και ψ ο τύπος (R(x, y) R(y, x)). Επιβεβαιώστε ότι φ ψ και ότι ψ φ. Ερώτημα 16 Έστω θ ο τύπος w ( z ( S(z) (z = w) ) ). Έστω θ ο τύπος y ( y ( (S(y) S(y ) ) (y = y ) ) ). Επιβεβαιώστε ότι θ θ. 2 Έστω Δ ένα σύμβολο σχέσης με τρία ορίσματα, και Μ ένα μοντέλο με μία τριμερή σχέση δ, την οποία παριστάνουμε ως ένα πίνακα Τ με στήλες NAME, ADDR, ID : μία 3-άδα (n, a, i) θα περιέχεται στον πίνακα Τ αν και μόνο αν δ(n, a, i) = true. Από τον πίνακα Τ κατασκευάζουμε ένα πίνακα Τ 1 με στήλες NAME, ADDR, παραλείποντας τη στήλη ID. Έστω θ 1 ο τύπος z Δ(x, y, z), έστω ότι το στοιχείο n αντικαθιστά τη μεταβλητή x και το a την y. Η δήλωση θ 1 Μ (n, a) ισχύει, αν και μόνο αν η 2-άδα (n, a) περιέχεται στον πίνακα Τ 1. Από τον πίνακα Τ κατασκευάζουμε επίσης ένα πίνακα Τ 2 με στήλες ADDR, ID, παραλείποντας τη στήλη NAME. Έστω θ 2 ο τύπος x Δ(x, y, z), έστω ότι το στοιχείο i αντικαθιστά τη μεταβλητή z. Η δήλωση θ 2 Μ (a, i) ισχύει, αν και μόνο αν η 2-άδα (a, i) περιέχεται στον πίνακα Τ 2. Ο πίνακας join(τ 1, Τ 2 ) αποτελείται από τις 3-άδες (n, a, i), για τις οποίες (n, a) Τ 1 και (a, i) Τ 2. Έστω θ ο τύπος θ 1 θ 2. Η δήλωση θ Μ (n, a, i) ισχύει, αν και μόνο αν η 3-άδα (n, a, i) περιέχεται στον πίνακα join(τ 1, Τ 2 ). Ερώτημα 17 Επιβεβαιώστε ότι Δ(x, y, z) θ 1 θ 2. Συμπεράνετε ότι Τ join(τ 1, Τ 2 ). Ερώτημα 18 Επιβεβαιώστε ότι (θ 1 θ 2 ) Δ(x, y, z). Συμπεράνετε ότι υπάρχει πίνακας Τ, για τον οποίο join(τ 1, Τ 2 ) Τ. Έστω φ ο τύπος x y z x z ( (Δ(x, y, z) Δ(x, y, z )) (x = x ) ). Η δήλωση φ Μ ισχύει, αν και μόνο αν η στήλη ADDR του πίνακα Τ είναι κλειδί για τη στήλη NAME. Ερώτημα 19 Επιβεβαιώστε ότι φ (θ 1 θ 2 ) Δ(x, y, z).

10 Στοιχειώδεις συνεπαγωγές τύπων Α τάξης 1 Προτασιακοί συνδυασμοί Έστω φ, φ, θ, τύποι Α τάξης. Άν ισχύει φ φ, θα ισχύουν οι συνεπαγωγές (φ θ) (φ θ) (φ θ) (φ θ) (φ θ) (φ θ) (θ φ) ( θ φ ) ( φ ) ( φ). Οι παραπάνω συνεπαγωγές μπορούν να επιβεβαιωθούν χρησιμοποιώντας τις Eπαγωγικές ιδιότητες (ι) των τιμών αλήθειας. Επιβεβαιώνουμε τη συνεπαγωγή (φ θ) (φ θ) : Έστω Μ ένα μοντέλο και L ένας πίνακας, για τα οποία (φ θ) Μ (L) = true. Θα δείξουμε ότι (φ θ) Μ (L) = true. Από τις ιδιότητες (ι) έχουμε (φ θ) Μ (L) = φ Μ (L) and θ Μ (L), άρα φ Μ (L) = true και θ Μ (L) = true. Επειδή φ φ, από τη σχέση φ Μ (L) = true παίρνουμε (φ ) Μ (L) = true, οπότε (φ ) Μ (L) and θ Μ (L) = true. Από τις ιδιότητες (ι) παίρνουμε (φ ) Μ (L) and θ Μ (L) = (φ θ) Μ (L), άρα (φ θ) Μ (L) = true. 2 Ποσοδείκτες (Α) Έστω φ, φ τύποι Α τάξης για τους οποίους ισχύει φ φ. Θα ισχύουν οι συνεπαγωγές ( u φ) ( u φ ) ( u φ) ( u φ ). Οι παραπάνω συνεπαγωγές μπορούν να επιβεβαιωθούν χρησιμοποιώντας τις Eπαγωγικές ιδιότητες (ιι) των τιμών αλήθειας. Επιβεβαιώνουμε τη συνεπαγωγή ( u φ) ( u φ ) : Έστω Μ ένα μοντέλο και L ένας πίνακας, για τα οποία ( u φ) Μ (L) = true. Θα δείξουμε ότι ( u φ ) Μ (L) = true. Από τις ιδιότητες (ιι) έχουμε ( u φ) Μ (L) = OR d U φ Μ (L ; u d), άρα φ Μ (L ; u a) = true, για κάποιο στοιχείο a του πεδίου ορισμού του Μ. Επειδή φ φ, από τη σχέση φ Μ (L ; u a) = true παίρνουμε (φ ) Μ (L ; u a) = true, οπότε OR d U (φ ) Μ (L ; u d) = true. Από τις ιδιότητες (ιι) παίρνουμε ( u φ ) Μ (L) = true. (Β) Έστω φ τύπος Α τάξης. Ισχύουν οι λογικές ισοδυναμίες w ( u φ) u ( w φ) w ( u φ) u ( w φ ). (Γ) Έστω φ τύπος Α τάξης, και u FV(φ). Iσχύουν οι λογικές ισοδυναμίες ( u φ) φ ( u φ) φ Για τις συνεπαγωγές (Β, Γ) χρησιμοποιούνται οι Eπαγωγικές ιδιότητες (ιι) των τιμών αλήθειας, και επίσης το ότι: φ Μ (L ; u d) = φ Μ (L), όταν u FV(φ) (βλέπε και το Ερώτημα 11).

11 3 Μετακίνηση ποσοδεικτών (A) Έστω φ ένας τύπος Α τάξης. Iσχύουν οι λογικές ισοδυναμίες: ( u φ) ( u φ) ( u φ) ( u φ). (B) Έστω φ, θ τύποι Α τάξης, και u FV(θ). Iσχύουν οι λογικές ισοδυναμίες: u (φ θ) ( u φ) θ u (φ θ) ( u φ) θ u (φ θ) ( u φ) θ u (φ θ) ( u φ) θ Οι παραπάνω λογικές ισοδυναμίες μπορούν να επιβεβαιωθούν χρησιμοποιώντας τις Eπαγωγικές ιδιότητες (ι, ιι) των τιμών αλήθειας. Επιβεβαιώνουμε τη συνεπαγωγή u (φ θ) ( u φ) θ : Έστω Μ ένα μοντέλο και L ένας πίνακας, για τα οποία ( u (φ θ)) Μ (L) = true. Θα δείξουμε ότι (( u φ) θ) Μ (L) = true. Από τις ιδιότητες (ιι) έχουμε ( u (φ θ)) Μ (L) = OR d U (φ θ) Μ (L ; u d), άρα (φ θ) Μ (L ; u a) = true, για κάποιο στοιχείο a του πεδίου ορισμού του Μ. Από τις ιδιότητες (ι) έχουμε φ Μ (L ; u a) = true και θ Μ (L ; u a) = true. Από τη σχέση φ Μ (L ; u a) = true και τις ιδιότητες (ιι) παίρνουμε ( u φ) Μ (L) = true. Επειδή u FV(θ), οι πίνακες L και L ; u a συμφωνούν στις μεταβλητές του συνόλου FV(θ) επομένως, θ Μ (L ; u a) = θ Μ (L) (βλέπε και το Ερώτημα 11). Aπό τη σχέση θ Μ (L ; u a) = true, παίρνουμε θ Μ (L) = true. Από τις σχέσεις ( u φ) Μ (L) = true, θ Μ (L) = true, και τις ιδιότητες (ι), παίρνουμε (( u φ) θ) Μ (L) = true. Παρατήρηση: Η συνεπαγωγή u (φ θ) ( u φ) θ δεν ισχύει γενικά, για u FV(θ). Επιβεβαιώνουμε ότι u (R(u) S(u)) ( u R(u)) S(u) : Έστω Μ ένα μοντέλο με πεδίο ορισμού {1, 2}, και με σχέσεις ρ, σ, όπου: ρ(1) = true, σ(1) = true, σ(2) = false. Έστω L ένας πίνακας, όπου L(u) = 2. Επειδή ρ(1) = true και σ(1) = true, από τις ιδιότητες (ι, ιι) παίρνουμε ( u (R(u) S(u)) ) Μ (L) = true. Επειδή σ(2) = false, από τις ιδιότητες (ι) παίρνουμε ( ( u (R(u)) S(u) ) Μ (L) = false. Επομένως, u (R(u) S(u)) ( u R(u)) S(u). Ερώτημα 20 Επιβεβαιώστε ότι οι συνεπαγωγές u (φ θ) ( u φ) θ και ( u φ) θ u (φ θ), ισχύουν για οποιουσδήποτε τύπους φ, θ. Ερώτημα 21 Επιβεβαιώστε ότι: οι συνεπαγωγές (B) που δεν αναφέρονται στο Ερώτημα 20, δεν ισχύουν γενικά, για u FV(θ).

12 (Γ) Έστω φ, θ τύποι Α τάξης, και u FV(θ). Iσχύουν οι λογικές ισοδυναμίες: u (φ θ) ( u φ) θ u (θ φ) (θ u φ) u (φ θ) ( u φ) θ u (θ φ) (θ u φ) Οι παραπάνω λογικές ισοδυναμίες μπορούν να επιβεβαιωθούν χρησιμοποιώντας τις Eπαγωγικές ιδιότητες (ι, ιι) των τιμών αλήθειας. Επιβεβαιώνουμε την ισοδυναμία u (φ θ) ( u φ) θ : Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες (ι) παίρνουμε (φ θ) ( φ) θ, και εφαρμόζοντας την (2Α) παίρνουμε u (φ θ) u (( φ) θ). Από την (3Β) έχουμε u (( φ) θ) ( u φ) θ. Εφαρμόζοντας τις (3Α, 1) παίρνουμε ( u φ) θ ( u φ) θ. Χρησιμοποιώντας τις (ι) παίρνουμε ( u φ) θ ( u φ) θ. Από τις προηγούμενες ισοδυναμίες προκύπτει u (φ θ) ( u φ) θ. Παρατήρηση: Η συνεπαγωγή u (φ θ) ( u φ) θ δεν ισχύει γενικά, για u FV(θ). Επιβεβαιώνουμε ότι u (R(u) S(u)) ( u R(u)) S(u) : Έστω Μ το μοντέλο με πεδίο ορισμού {1, 2} και τις σχέσεις ρ, σ, όπου: ρ(1) = true, ρ(2) = true, σ(1) = true, σ(2) = false. Έστω L ένας πίνακας, όπου L[u] = 2. Επειδή ρ(1) = true και σ(1) = true, από τις ιδιότητες (ι, ιι) παίρνουμε ( u (R(u) S(u)) ) Μ (L) = true. Επειδή ρ(1) = true και ρ(2) = true, από τις ιδιότητες (ι, ιι) παίρνουμε ( u R(u)) Μ (L) = true. Επειδή σ(2) = false, από τις ιδιότητες (ι) παίρνουμε ( ( u (R(u)) S(u) ) Μ (L) = false. Επομένως, u (R(u) S(u)) ( u R(u)) S(u). Ερώτημα 22 Επιβεβαιώστε ότι οι συνεπαγωγές ( u φ) θ u (φ θ) και θ ( u φ) u (θ φ), ισχύουν για οποιουσδήποτε τύπους φ, θ. Ερώτημα 23 Επιβεβαιώστε ότι: οι συνεπαγωγές (Γ) που δεν αναφέρονται στο Ερώτημα 22, δεν ισχύουν γενικά, για u FV(θ).

Στοιχεία προτασιακής λογικής

Στοιχεία προτασιακής λογικής Σ. Κοσμαδάκης Στοιχεία προτασιακής λογικής Λογικές πράξεις and, or, not Για οποιεσδήποτε τιμές αλήθειας s, t στο σύνολο {true, false}, οι γνωστές πράξεις s and t, s or t, not s δίνουν αποτελέσματα στο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60 Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος. Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα

Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα ΘΕ5 Ιδιότητες Δέντρων και Αναδρομή για Δέντρα Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα Έστω ότι, για k=1,..., m, το γράφημα Γ k = (V k, E k ) είναι δέντρο. Έστω w V 1... V m, z k V k, για k=1,..., m. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017 Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017 Όλα τα γραφήματα είναι μη-κατευθυνόμενα, αν δεν αναφέρεται κάτι άλλο. ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις».

Διαβάστε περισσότερα

Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα

Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα ΘΕ4 Αναδρομή και Επαγωγή για Γραφήματα Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα Επαγωγή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα (με αφαίρεση κορυφής) Η αρχή της επαγωγής, με αφαίρεση κορυφής, για δεδομένη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις». Α 1 Έστω η παρακάτω σχέση Q(k) πάνω στο σύνολο {1, 2} όπου k τυχαίος

Διαβάστε περισσότερα

Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα

Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα ΘΕ4 Αναδρομή και Επαγωγή για Γραφήματα Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα Επαγωγή για συνεκτικά γραφήματα (με αφαίρεση κορυφής) Η αρχή της επαγωγής, με αφαίρεση κορυφής, για δεδομένη προτασιακή

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα δομικής επαγωγής Ορισμός δομικής επαγωγής Συμβολοσειρές Γλώσσες Δυαδικά δένδρα Μαθηματικά Πληροφορικής 3ο Μάθημα Αρχικός συγγραφέας: Ηλίας

Παράδειγμα δομικής επαγωγής Ορισμός δομικής επαγωγής Συμβολοσειρές Γλώσσες Δυαδικά δένδρα Μαθηματικά Πληροφορικής 3ο Μάθημα Αρχικός συγγραφέας: Ηλίας Μαθηματικά Πληροφορικής 3ο Μάθημα Αρχικός συγγραφέας: Ηλίας Κουτσουπιάς Τροποποιήσεις: Σταύρος Κολλιόπουλος Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Δομική επαγωγή Η ιδέα της μαθηματικής

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Κεφάλαιο 3

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Κεφάλαιο 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Κεφάλαιο 3 Δυαδική λογική Με τον όρο λογική πρόταση ή απλά πρόταση καλούμε κάθε φράση η οποία μπορεί να χαρακτηριστεί αληθής ή ψευδής με βάση το νόημα της. π.χ. Σήμερα

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Προτασιακός Λογισμός. Προηγούμενη φορά. Βάσεις της Μαθηματικής Λογικής. 02 Προτασιακός Λογισμός

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Προτασιακός Λογισμός. Προηγούμενη φορά. Βάσεις της Μαθηματικής Λογικής. 02 Προτασιακός Λογισμός HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen Προηγούμενη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen 08-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα δομικής επαγωγής Ορισμός δομικής επαγωγής Συμβολοσειρές Γλώσσες Δυαδικά δένδρα Μαθηματικά Πληροφορικής 3ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλ

Παράδειγμα δομικής επαγωγής Ορισμός δομικής επαγωγής Συμβολοσειρές Γλώσσες Δυαδικά δένδρα Μαθηματικά Πληροφορικής 3ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλ Μαθηματικά Πληροφορικής 3ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Δομική επαγωγή Η ιδέα της μαθηματικής επαγωγής μπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δομές εκτός από το σύνολο N

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 Να διατυπώσετε τον πιο κάτω συλλογισμό στον Προτασιακό Λογισμό και να τον αποδείξετε χρησιμοποιώντας τη Μέθοδο της Επίλυσης. Δηλαδή, να δείξετε ότι αν ισχύουν οι πέντε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 5η Προτασιακή Λογική

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 5η Προτασιακή Λογική ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 5η Προτασιακή Λογική Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η εξοικείωση µε τις έννοιες της Προτασιακής Λογικής. Η εργασία πρέπει να γραφεί ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Περιεχόμενα 1 Ορισμός της

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τα πρώτα μαθήματα, σχεδόν σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών, περιέχουν, ή θεωρούν γνωστές, εισαγωγικές έννοιες που αφορούν σύνολα, συναρτήσεις, σχέσεις ισοδυναμίας, αλγεβρικές δομές, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

Σχεσιακή Άλγεβρα και Σχεσιακός Λογισμός. Σχεσιακή Άλγεβρα Σχεσιακός Λογισμός

Σχεσιακή Άλγεβρα και Σχεσιακός Λογισμός. Σχεσιακή Άλγεβρα Σχεσιακός Λογισμός 7 Σχεσιακή Άλγεβρα και Σχεσιακός Λογισμός Σχεσιακή Άλγεβρα Σχεσιακός Λογισμός Σχεσιακή Άλγεβρα H Σχεσιακή Άλγεβρα (relational algebra) ορίζει ένα σύνολο πράξεων που εφαρμόζονται σε μία ή περισσότερες σχέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση: Έστω ότι έχουμε τους παίκτες Χ και Υ. Ο κάθε παίκτης, σε κάθε κίνηση που κάνει, προσπαθεί να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να κερδίσει. Ο Χ σε κάθε κίνηση που κάνει

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Διατάξεις Μεταθέσεις Συνδυασμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ψ φ2 = k χ φ2 = 4k χ φ1 = χ φ1 + χ φ2 + 3 = 4(k 1 + k 2 + 1) + 1 ψ φ1 = ψ φ1 + χ φ2 = k k = (k 1 + k 2 + 1) + 1

ψ φ2 = k χ φ2 = 4k χ φ1 = χ φ1 + χ φ2 + 3 = 4(k 1 + k 2 + 1) + 1 ψ φ1 = ψ φ1 + χ φ2 = k k = (k 1 + k 2 + 1) + 1 Ασκήσεις στο μάθημα της Λογικής 15 Οκτωβρίου 2015 Άσκηση 1. Να δειχτεί ότι δεν υπάρχουν τύποι μήκους 2,3,6 αλλά κάθε άλλο (θετικό ακέραιο) μήκος είναι δυνατό (άσκηση 2, σελίδα 39) Απόδειξη. Δείχνουμε πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτέμβριος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ664: Ανάλυση και Επαλθευση Συστημάτων Τμμα Πληροφορικς Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις (α) Χρησιμοποιούμε τις επιπλέον μεταβλητές PC0, PC1, (program counters) οι οποίες παίρνουν ως τιμές ονόματα

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Λογική Πρώτης Τάξης Γιώργος Κορφιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Νοέµβριος 2008 Σύνταξη Ορισµός (Σύνταξη της λογικής πρώτης τάξης) Λεξιλόγιο Σ = (Φ, Π, r) Συναρτήσεις f Φ Σχέσεις R Π r( ) η πληθικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Γ2.1 Στοιχεία Αρχιτεκτονικής. Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Γ2.1 Στοιχεία Αρχιτεκτονικής. Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Γ2.1 Στοιχεία Αρχιτεκτονικής Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Ορισμός άλγεβρας Boole Η άλγεβρα Boole ορίζεται, ως μία αλγεβρική δομή A, όπου: (α) Το Α είναι ένα σύνολο στοιχείων που περιέχει δύο τουλάχιστον στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική

Διαβάστε περισσότερα

(ii) X P(X). (iii) X X. (iii) = (i):

(ii) X P(X). (iii) X X. (iii) = (i): Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Λύσεις 1. Δείξτε ότι ισχύουν τα ακόλουθα: (i) ω / ω (με άλλα λόγια, το ω δεν είναι φυσικός αριθμός). (ii) Για κάθε n ω, ισχύει ω / n. (iii) Για κάθε n ω, το n

Διαβάστε περισσότερα

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική βαθμολογική εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Π(n) : 1 + a + + a n = an+1 1 a 1. a 1. + a k+1 = ak+2 1

Π(n) : 1 + a + + a n = an+1 1 a 1. a 1. + a k+1 = ak+2 1 Διακριτά Μαθηματικά [Rosen, κεφ. 5] Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών, ΕΚΠΑ Νοέμβριος 2018 Επαγωγή και Αναδρομή [Rosen, κεφ. 5] Μαθηματική επαγωγή [Rosen 5.1] Μέθοδος απόδειξης μιας μαθηματικής

Διαβάστε περισσότερα

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά καλή βαθμολογική εικόνα (

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια της συνάρτησης

Η Έννοια της συνάρτησης Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd www.ma8eno.gr 1 Η Έννοια της συνάρτησης Περιπτώσεις που έχετε συναντήσει στην καθημερινή σας ζωή εκφράζουν συναρτησιακές σχέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2 Λύσεις

Φροντιστήριο 2 Λύσεις Φροντιστήριο 2 Λύσεις Άσκηση 1 1. p ( p r) προϋπόθεση 2. r προϋπόθεση 3. q προσωρινή υπόθεση 4. p προσωρινή υπόθεση 5. p r ΜP 6. p προσωρινή υπόθεση r προσωρινή υπόθεση 7. i 4, 6 8. r e 9. r e 5, 8, 6

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Λογικά κυκλώματα

Κεφάλαιο 5. Λογικά κυκλώματα Κεφάλαιο 5 Λογικά κυκλώματα 5.1 Εισαγωγή Κάθε συνάρτηση boole αντιστοιχεί σε έναν και μοναδικό πίνακα αλήθειας. Εάν όμως χρησιμοποιήσουμε τα γραφικά σύμβολα των πράξεων, μπορούμε για κάθε συνάρτηση που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες (2.3) Λήμμα Άντλησης για Ασυμφραστικές Γλώσσες Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Εκλογή αρχηγού και κατασκευή BFS δένδρου σε σύγχρονο γενικό δίκτυο Παναγιώτα Παναγοπούλου Περίληψη Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Ορισμός του προβλήματος Ο αλγόριθμος FloodMax

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι Για τον προτασιακό λογισμό παρουσιάσαμε την αποδεικτική θεωρία (natural deduction/λογικό συμπέρασμα) τη σύνταξη (ορίζεται με γραμματική χωρίς συμφραζόμενα και εκφράζεται με συντακτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ0, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 014, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Πρόλογος 13. Πώς χρησιμοποείται αυτό το βιβλίο 17

Πρόλογος. Πρόλογος 13. Πώς χρησιμοποείται αυτό το βιβλίο 17 Πρόλογος Πρόλογος 13 Πώς χρησιμοποείται αυτό το βιβλίο 17 1 Η λογική σκέψη 19 1.1 Τυπική λογική 20 1.1.1 Διερευνητικά προβλήματα 21 1.1.2 Σύνδεσμοι και προτάσεις 21 1.1.3 Οι πίνακες αλήθειας 23 1.1.4 Λογικές

Διαβάστε περισσότερα

Π(n) : 1 + a + + a n = αν+1 1

Π(n) : 1 + a + + a n = αν+1 1 Διακριτά Μαθηματικά [Rosen, κεφ. 5] Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών, ΕΚΠΑ Νοέμβριος 2017 Επαγωγή και Αναδρομή [Rosen, κεφ. 5] Μαθηματική επαγωγή [Rosen 5.1] Μέθοδος απόδειξης μιας μαθηματικής

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου

Διαβάστε περισσότερα

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G Λύσεις Θεμάτων Θεμελίων των Μαθηματικών 1. Εστω A, B, C τυχόντα σύνολα. Να δειχθεί ότι A (B C) (A B) (A C). Απόδειξη. Εστω x τυχαίο στοιχείο του A (B C). Εξ ορισμού, το x ανήκει σε ακριβώς ένα από τα A,

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα 20 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Προηγούμενη διάλεξη Σύγχρονα Κατανεμημένα Συστήματα Μοντελοποίηση συστήματος Πρόβλημα εκλογής αρχηγού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Λογική Σχεδίαση

Κεφάλαιο 4. Λογική Σχεδίαση Κεφάλαιο 4 Λογική Σχεδίαση 4.1 Εισαγωγή Λογικές συναρτήσεις ονομάζουμε εκείνες για τις οποίες μπορούμε να αποφασίσουμε αν είναι αληθείς ή όχι. Χειριζόμαστε τις λογικές προτάσεις στην συγγραφή λογισμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ ενθαρρυντική εικόνα. Σαφώς καλύτερη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Σημασιολογία μιας Απλής Προστακτικής Γλώσσας

Κεφάλαιο 4 Σημασιολογία μιας Απλής Προστακτικής Γλώσσας Κεφάλαιο 4 Σημασιολογία μιας Απλής Προστακτικής Γλώσσας Προπτυχιακό μάθημα Αρχές Γλωσσών Προγραμματισμού Π. Ροντογιάννης 1 Εισαγωγή - 1 Μία κλασσική γλώσσα προγραμματισμού αποτελείται από: Εκφράσεις (των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Σημειωματάριο Δευτέρας 4 Δεκ. 2017

Σημειωματάριο Δευτέρας 4 Δεκ. 2017 Σημειωματάριο Δευτέρας 4 Δεκ. 2017 Ο αλγόριθμος Floyd-Warshall για την έυρεση όλων των αποστάσεων σε ένα γράφημα με βάρη στις ακμές Συνεχίσαμε σήμερα το θέμα της προηγούμενης Τετάρτης. Έχουμε ένα γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 18: Λήμμα Άντλησης για ΓΧΣ Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 : Λογική και Κυκλώματα

Κεφάλαιο 4 : Λογική και Κυκλώματα Κεφάλαιο 4 : Λογική και Κυκλώματα Σύνοψη Τα κυκλώματα που διαθέτουν διακόπτες ροής ηλεκτρικού φορτίου, χρησιμοποιούνται σε διατάξεις που αναπαράγουν λογικές διαδικασίες για τη λήψη αποφάσεων. Στην ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά (Τσικνο)Πέµπτη, 12/02/2015 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ ΗΥ8: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 07 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 4/06/07 ΛΥΣΕΙΣ Σημείωση: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές. Ενδεχομένως, υπάρχουν και άλλοι σωστοί τρόποι επίλυσης. Θέμα

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας

1.2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας .2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας Θέμα της δραστηριότητας Αυτή η δραστηριότητα εισάγει στην έννοια του Ορίου Ακολουθίας. Δυο φύλλα εργασίας οδηγούν τους μαθητές στον ορισμό της σύγκλισης μηδενικής

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 7η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 7η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 7η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 O πιο κάτω συλλογισμός (αποτελεί μικρή παραλλαγή συλλογισμού που) αποδίδεται στον Samuel Clarke και προέρχεται από την εργασία του Demonstration of the Being and Attributes

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική

Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική Ενότητα 3 Πέτρος Στεφανέας, Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Συνδετικότητα γραφήματος (graph connectivity)

Συνδετικότητα γραφήματος (graph connectivity) Συνδετικότητα γραφήματος (graph connectivity) Συνδετικότητα γραφήματος (graph connectivity) Υπάρχει μονοπάτι μεταξύ α και β; α Παραδείγματα: υπολογιστές ενός δικτύου ιστοσελίδες ισοδύναμες μεταβλητές ενός

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα Τι περιγράφει ένα ΣΔ ΣΔ και παραγωγές Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 15: Συντακτικά Δέντρα Επ. Καθ. Π. Κατσαρός Τμήμα Πληροφορικής Επ. Καθ. Π.

Περιεχόμενα Τι περιγράφει ένα ΣΔ ΣΔ και παραγωγές Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 15: Συντακτικά Δέντρα Επ. Καθ. Π. Κατσαρός Τμήμα Πληροφορικής Επ. Καθ. Π. Θεωρία Υπολογισμού νότητα 15: Συντακτικά Δέντρα Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

x < y ή x = y ή y < x.

x < y ή x = y ή y < x. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 011-1 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χ.Κουρουνιώτης Μ8 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Φυλλάδιο 1 Ανισότητες Οι πραγματικοί αριθμοί είναι διατεταγμένοι. Ενισχύουμε αυτήν την ιδέα με

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.0 Επιλογή Αλγόριθμοι Επιλογής Select και Quick-Select Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 20/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 20-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα