Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 4

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 4"

Γεώργιος Μανιάκης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 4 i. FG φ GF ψ G (φ U (ψ φ)) Έστω δομή Μ και w κάποιο μονοπάτι της δομής. Θα δείξουμε ότι w FG φ GF ψ αν και μόνο αν w G (φ U (ψ φ)) Ξεκινώντας με το αριστερό σκέλος έχουμε: w FG φ GF ψ ανν είτε w FG φ είτε w GF ψ ανν είτε όχι w FG φ είτε w GF ψ ανν είτε δεν υπάρχει i 0 τέτοιο ώστε w i G φ είτε για κάθε i 0, w i F ψ ανν είτε δεν υπάρχει i 0 τέτοιο ώστε για κάθε j i, w i φ είτε για κάθε i 0, w i F ψ ανν είτε για κάθε i 0 υπάρχει j i, w j φ είτε για κάθε i 0 υπάρχει j i τέτοιο ώστε w j ψ ανν για κάθε i 0 είτε υπάρχει j i, w j φ είτε υπάρχει j i τέτοιο ώστε w j ψ ανν για κάθε i 0 είτε υπάρχει j i, w j φ και για κάθε i k < j, w k φ είτε υπάρχει j i τέτοιο ώστε w j ψ και για κάθε i k < j, w k φ ανν κάθε i 0 υπάρχει j i τέτοιο ώστε είτε w j ψ και για κάθε i k < j w k φ είτε w j φ και για κάθε i k < j w k φ ανν κάθε i 0 υπάρχει j i τέτοιο ώστε είτε w j ψ φ και για κάθε i k < j w k φ είτε w j ψ φ και για κάθε i k < j w k φ ανν κάθε i 0 υπάρχει j i, w j ψ φ και για κάθε i k < j w k φ ανν κάθε i 0, w i φ U (ψ φ) ανν w G (φ U (ψ φ)) ii. GG (φ ψ ) F( φ ψ) Έστω δομή Μ με αρχική κατάσταση s, τότε

2 Μ, s GG (φ ψ ) ανν για κάθε μονοπάτι w, w GG (φ ψ ) ανν ανν για κάθε μονοπάτι w, i 0 w i G (φ ψ ) για κάθε μονοπάτι w, i 0 και j i w j φ ψ ανν για κάθε μονοπάτι w, j 0 w j φ ψ Μ, s F( φ ψ) ανν για κάθε μονοπάτι w, w F( φ ψ) ανν για κάθε μονοπάτι w, δεν ισχύει w F( φ ψ) ανν για κάθε μονοπάτι w, δεν υπάρχει j 0 τ.ω. w j = ( φ ψ) ανν για κάθε μονοπάτι w, δεν υπάρχει j 0 τ.ω. w j = (φ ψ) ανν για κάθε μονοπάτι w, j 0 δεν ισχύει w j = (φ ψ) ανν για κάθε μονοπάτι w, j 0 ισχύει w j = (φ ψ) Οι δύο ιδιότητες οδηγούν στον ίδιο χαρακτηρισμό και επομένως είναι ισοδύναμες. iii. F φ Χ G φ F φ Αντιπαράδειγμα φ Η δομή ικανοποιεί την πρόταση F φ αλλά όχι την πρόταση F φ Χ G φ. iv. G φ Χ F φ G φ Έστω δομή Μ με αρχική κατάσταση s, τότε Μ, s G φ Χ F φ αν και μόνο αν για κάθε μονοπάτι w, w G φ και w Χ F φ αν και μόνο αν για κάθε μονοπάτι w, i 0 w i φ και w 1 F φ αν και μόνο αν για κάθε μονοπάτι w, i 0 w i φ και υπάρχει j 1 τέτοιο ώστε w j = φ αν και μόνο αν για κάθε μονοπάτι w, k 0 w k φ αν και μόνο αν για κάθε μονοπάτι w, w G φ αν και μόνο αν Μ, s G φ

3 Άσκηση 2 (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) Το απόθεμα του καφέ, αναπόφευκτα κάποτε θα εξαντληθεί. AF empty Αν το απόθεμα του καφέ εξαντληθεί είναι δυνατό να ξαναγεμίσει μέσα σε δύο μονάδες χρόνου (δύο βήματα). AG (empty EX EX recharge) Είναι δυνατό κάποιος καθηγητής να ξεχάσει τον καφέ του στη μηχανή. EF p_forget Είναι πάντα δυνατό κάποιος καθηγητής να ξεχάσει τον καφέ του στη μηχανή. AG EF p_forget Ένας φοιτητής δεν ξεχνά ποτέ τον καφέ του στη μηχανή. EF s_forget Από τη στιγμή που κάποιος καθηγητής φτάσει στη μηχανή δεν θα εμφανιστεί κανένας φοιτητής μέχρις ότου ο καθηγητής να φύγει από τη μηχανή. AG (p_at.machine A ( s_at.machine U p_leave)) Δεν είναι δυνατόν, από τη στιγμή που η μηχανή γεμίσει με καφέ, το απόθεμα του καφέ να εξαντληθεί πριν να παραχθούν τουλάχιστον δύο ποτά. EF [recharge (E ( prepare_drink U empty) E( prepare_drink U (prepare_drink E (prepare_drink U ( prepare_drink E ( prepare_drink U empty))))] Άσκηση 3 Αρχικά μετασχηματίζουμε την ιδιότητα σε μια ισοδύναμη, όπου εμφανίζονται μόνο οι τελεστές του αλγόριθμου μοντελοελέγχου και στη συνέχεια δημιουργούμε το δέντρο που αντιστοιχεί στην ιδιότητα. Τέλος, χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο μοντελοελέγχου της CTL υπολογίζουμε τις καταστάσεις στις οποίες ικανοποιείται η ιδιότητα ξεκινώντας από τα φύλλα του δέντρου και προχωρώντας προς τα πάνω. i. EG [(b c) EF AG b] EG [(b c) EF ( EF b)] EG [(b c) E (true U ( E (true U b))] AF [(b c) E (true U ( E (true U b))]

4 {} AF {s 1,,s 5 } {s 1,,s 5 } {} {s 2, s 3, s 4, s 5 } EU {} {s 2, s 4, s 5 } b c {s 2, s 3, s 5 } {s 1,,s 5 } true {} EU {s 1,,s 5 } {s 1,,s 5 } true {s 1, s 2 } b {s 3,s 4,s 5 } Η δομή δεν ικανοποιεί την ιδιότητα αφού οι αρχικές της καταστάσεις δεν την ικανοποιούν. ii. a EG EX A (b U c) a EG EX A (b U c) a EG EX ( E[ c U ( b c)] EG c) a EG EX ( E[ c U ( b c)] AF c) a AF (EX ( E[ c U ( b c)] AF c))

5 {s 1,,s 5 } {s 2, s 3, s 4 } {s 1,,s 5 } a {s 1, s 5 } AF {} {} EX {s 1,,s 5 } {s 2, s 3, s 4, s 5 } {s 1 } EU {s 1 } {} {s 1, s 4 } {s 1 } {s 1,,s 5 } AF {s 2, s 3, s 5 } c {s 1, s 2, s 3 } {s 1, s 4 } {s 2, s 3, s 5 } c {s 4, s 5 } b c {s 2, s 3, s 5 } Όλες οι καταστάσεις της δομής, συμπεριλαμβανομένων των αρχικών, ικανοποιούν την ιδιότητα. Επομένως, η δομή ικανοποιεί την ιδιότητα.

Σχετικά έγγραφα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Θεωρήστε την ακόλουθη δομή Kripke. {entry} 0 1 {active} 2 {active, request} 3 {active, response} Να διατυπώσετε τις πιο κάτω προτάσεις στην LTL (αν αυτό είναι εφικτό)