Σειρά Προβλημάτων 4 Ημερομηνία Παράδοσης: 13/11/13

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σειρά Προβλημάτων 4 Ημερομηνία Παράδοσης: 13/11/13"

Ἀρίσταρχος Ζέρβας
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Σειρά Προβλημάτων 4 Ημερομηνία Παράδοσης: 13/11/13 Άσκηση 1 (20 μονάδες) Οι ιδιότητες διατυπώνοντας στην PLTL ως εξής: (α) Αν ο καταχωρητής Κ 1 κάποια στιγμή πάρει την τιμή 1 θα διατηρήσει την τιμή αυτή για πάντα. G (r 1 G r 1 ) (β) Ο καταχωρητής Κ 1 έχει αρχική τιμή 1 και δεν θα πάρει την τιμή 0 προτού εμφανιστεί στην έξοδο η τιμή 1. r 1 (r 1 U out 1 ) (γ) Οι καταχωρητές δεν μπορούν να έχουν ποτέ την ίδια τιμή. G [(r 1 r 2 ) (r 2 r 1 )] (δ) Η τιμή του καταχωρητή Κ 1 εναλλάσσεται ανάμεσα στο 0 και στο 1 σε διαδοχικές μονάδες χρόνου. G [(r 1 X r 1 ) (r 1 X r 1 )] (ε) Κάθε φορά που το κύκλωμα παίρνει ως είσοδο την τιμή 0, την επόμενη χρονική στιγμή η τιμή του καταχωρητή Κ 2 θα πάρει την τιμή 1 και θα διατηρηθεί τέτοια μέχρι που να λάβουμε την τιμή 1 στην έξοδο του κυκλώματος. G (in X (r 2 (r 2 U out))) Άσκηση 2 (20 μονάδες) Θεωρήστε την ακόλουθη δομή Kripke. 2 {c} {,,d} 1 3 {,,c} 4 {,c} (i) c X H ιδιότητα ικανοποιείται στις καταστάσεις 3 και 4 αφού οι καταστάσεις ικανοποιούν το c και σε κάθε μονοπάτι που ξεκινά από αυτές η επόμενη κατάσταση ικανοποιεί το. (ii) U (G (d c)) Η ιδιότητα ικανοποιείται σε όλες τις καταστάσεις: Στις 2, 3 και 4 το σκέλος G (d c) ικανοποιείται άμεσα αφού όλα τα μονοπάτια που ξεκινούν από αυτές ικανοποιούν συνεχώς τη G (d c) ενώ η κατάσταση 1 είναι τέτοια ώστε το είναι αληθές μέχρι να ικανοποιηθεί το G (d c) Σειρά Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Σελίδα 1

2 (iii) (d U G c) Η ιδιότητα δεν ικανοποιείται σε καμιά κατάσταση: Σε κάθε κατάσταση υπάρχει μονοπάτι στο οποίο ισχύει ότι d μέχρι να γίνει αληθές το G c. (iv) G GF d Η ιδιότητα ικανοποιείται σε όλες τις καταστάσεις: Σε κάθε κατάσταση και σε κάθε μονοπάτι αν ικανοποιείται το G (γεγονός που δεν ισχύει) ικανοποιείται και το GF d. (v) GF GF d Η ιδιότητα δεν ικανοποιείται σε καμιά κατάσταση: Σε κάθε κατάσταση υπάρχει μονοπάτι στο οποίο ενώ ικανοποιείται η συνθήκη GF δεν ικανοποιείται το συμπέρασμα GF d. Άσκηση 3 (20 μονάδες) (i) F X Η πιο κάτω δομή ικανοποιεί την ιδιότητα. Εντούτοις, η ιδιότητα δεν αποτελεί ταυτολογία αφού υπάρχουν δομές Kripke που δεν την ικανοποιούν: (ii) (F φ F ψ) F (φ ψ) Η πιο κάτω δομή ικανοποιεί την ιδιότητα. {φ,ψ} Εντούτοις, η ιδιότητα δεν αποτελεί ταυτολογία αφού υπάρχουν δομές Kripke που δεν την ικανοποιούν: {φ} {ψ } Σειρά Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Σελίδα 2

3 (iii) [G (φ Χ φ)] (φ Gφ) Η ιδιότητα αυτή είναι ταυτολογία. Οποιαδήποτε δομή ικανοποιεί τη συνθήκη [G (φ Χ φ)] ικανοποιεί και το συμπέρασμα (φ Gφ). Αυτό ισχύει γιατί αν γνωρίζουμε ότι κάθε φορά που η φ είναι αληθής είναι αληθής και στην αμέσως επόμενη κατάσταση (G (φ Χ φ)) αυτό σημαίνει ότι αν κάποια στιγμή η φ είναι αληθής τότε όλες οι επόμενες καταστάσεις ικανοποιούν την φ. Επομένως αν η φ είναι αληθής στην αρχική κατάσταση, τότε θα είναι αληθής σε όλες τις καταστάσεις της δομής. Για να αποδείξουμε αυστηρά ότι η πρόταση είναι ταυτολογία, θα δείξουμε ότι κάθε μονοπάτι την ικανοποιεί. Αφού η πρόταση ικανοποιείται από κάθε μονοπάτι τότε ικανοποιείται από κάθε δομή Kripke και το συμπέρασμα έπεται. Έχουμε τα εξής: (iv) w [G (φ Χ φ)] (φ Gφ) αν και μόνο αν w G (φ Χ φ) (φ Gφ) αν και μόνο αν w G (φ Χ φ) ή w (φ Gφ) αν και μόνο αν όχι w G (φ Χ φ] ή [ w φ ή w Gφ] αν και μόνο αν όχι i w i φ Χ φ ή [ w φ ή w Gφ] αν και μόνο αν i 0 όχι w i (φ Χ φ) ή [ w φ ή w Gφ] αν και μόνο αν i 0 όχι (w i φ ή w i Χ φ) ή [ w φ ή w Gφ] αν και μόνο αν i 0 [w i φ και όχι (w i Χ φ)] ή [w φ ή w Gφ] αν και μόνο αν i 0 [w i φ και w i+1 φ)] ή [ w φ ή w Gφ] αν και μόνο αν i>0 w i φ ή [ w φ ή w Gφ] αν και μόνο αν [ i>0 w i φ ή w φ ] ή w Gφ αν και μόνο αν i 0 w i φ ή w Gφ αν και μόνο αν w Gφ ή w Gφ αν και μόνο αν (v) F φ G (φ Χ φ) φ Η ιδιότητα αυτή δεν ικανοποιείται σε καμιά δομή Kripke: αν η φ είναι αληθής, τότε, αφού ισχύει ότι G (φ Χ φ), συμπεραίνουμε ότι η φ είναι αληθής σε κάθε κατάσταση της δομής. Επομένως είναι αδύνατο να ισχύει ταυτόχρονα και η F φ. Για να αποδείξουμε ότι η πρόταση δεν ικανοποιείται σε καμιά δομή Kripke αρκεί να δείξουμε ότι δεν ικανοποιείται σε κανένα μονοπάτι καμιάς δομής Kripke. Για να ισχύει αυτό η πρόταση πρέπει να είναι ισοδύναμη με Fle, ή, εναλλακτικά ότι η άρνηση της πρότασης είναι ισοδύναμη με True. Πιο κάτω ακολουθούμε την δεύτερη επιλογή και θα δείξουμε ότι για οποιοδήποτε μονοπάτι w [F φ G (φ Χ φ) φ] αν και μόνο αν w True: w [F φ G (φ Χ φ) φ] αν και μόνο αν w [F φ G (φ Χ φ) φ] αν και μόνο αν όχι w F φ ή όχι w G (φ Χ φ) ή όχι w φ αν και μόνο αν ( i 0 w i φ) ή ( i w i (φ Χ φ)) ή όχι w φ αν και μόνο αν ( i 0 w i φ) ή ( i 0 w i (φ Χ φ)) ή όχι w φ αν και μόνο αν ( i 0 w i φ) ή ( i 0 w i φ Χ φ) ή όχι w φ αν και μόνο αν ( i 0 w i φ) ή ( i 0 w i φ και w i Χ φ) ή όχι w φ αν και μόνο αν ( i 0 w i φ) ή ( i 0 w i φ και w i+1 φ) ή όχι w φ αν και μόνο αν ( i 0 w i φ) ή ( i 1 w i φ) ή όχι w 0 φ αν και μόνο αν ( i 0 w i φ) ή ( i 0 w i φ) αν και μόνο αν Σειρά Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Σελίδα 3

Άσκηση 4 (20 μονάδες) i. AG (p (q EX p)) p AG (p q) Οι προτάσεις δεν είναι ισοδύναμες αφού η πιο κάτω δομή ικανοποιεί την πρώτη πρόταση αλλά όχι τη δεύτερη. {p} {p } {q} ii.

4 Άσκηση 4 (20 μονάδες) i. AG (p (q EX p)) p AG (p q) Οι προτάσεις δεν είναι ισοδύναμες αφού η πιο κάτω δομή ικανοποιεί την πρώτη πρόταση αλλά όχι τη δεύτερη. {p} {p } {q} ii. AG (p (q AX p)) EF (p q AX p) Οι προτάσεις δεν είναι ισοδύναμες αφού η πιο κάτω δομή ικανοποιεί τη δεύτερη πρόταση αλλά όχι την πρώτη. {p} {p } {q} iii. AG (p (q AX p)) AG p AG (p q) Οι προτάσεις δεν είναι ισοδύναμες αφού η πιο κάτω δομή ικανοποιεί την πρώτη πρόταση αλλά όχι τη δεύτερη. {p} Άσκηση 5 (20 μονάδες) Θεωρείστε την ακόλουθη δομή Kripke. {} {, } Σειρά Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Σελίδα 4

5 Να αποφασίσετε κατά πόσο οι πιο κάτω CTL ιδιότητες ικανοποιούνται από τη δομή. Να εξηγήσετε τις απαντήσεις σας χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο μοντελοελέγχου της CTL. i. ΕF E [ U AG ] Ε [ U E [ U AG ]] Ε [ U E [ U EF ]] Ε [ U E [ U [ E ( U )]]] EU EU {4} {0, 3, 4} {4} EU {0, 1, 2, 3} Η πρόταση ικανοποιείται από τη δομή αφού ικανοποιείται στην αρχική κατάσταση. Σειρά Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Σελίδα 5

6 ii. EX ( ) EF [ A ( U ) AG ] EX ( ) E ( U (( E [ U ( )] EG ) EF )) EX ( ) E ( U (( E [ U ( )] AF ) E ( U ))) EX ( ) E ( U (( E [ U ( )] AF ) E ( U ))) {0, 1, 3, 4} EU {0, 1, 2, 3} EX {2} {0, 1} {3} {2, 3, 4} {0, 3, 4} {4} {0, 1, 4} EU {0, 1, 2, 3} {0, 1} EU {0, 1, 4} {1, 2} {0, 1, 4} {1} AF {0, 3, 4} {1, 2} {0, 1, 4} {0, 3, 4} Η πρόταση ικανοποιείται από τη δομή αφού ικανοποιείται στην αρχική κατάσταση. Σειρά Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Σελίδα 6

Σχετικά έγγραφα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 4

Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 4 Έστω το σύνολο ατομικών προτάσεων ΑΡ = {red, yellow, green}. Με βάση τις ατομικές προτάσεις ΑΡ διατυπώστε τις πιο κάτω προτάσεις που αφορούν την κατάσταση των φώτων της