APSORPCIJA ZRAČENJA (Ultravioletna i vidljiva oblast)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "APSORPCIJA ZRAČENJA (Ultravioletna i vidljiva oblast)"

Transcript

1 Analiza namirnica 37 APSORPIJA ZRAČENJA (Ultravioletna i vidljiva oblast) Kada zrak bele svetlosti prolazi kroz staklenu posudu ispunjenu tečnošću, intenzitet izlazne svetlosti je manji od intenziteta ulazne. To smanjenje intenziteta nije podjednako za elektromagnetne talase svih talasnih dužina: neki talasi apsorbovaće se više od drugih, tako da se spektri upadnog i propuštenog zračenja razlikuju, zbog čega tečnost izgleda obojena onom bojom koja odgovara spektru izlazne svetlosti. U Tablici 1 navedena su približna područja talasnih dužina vidljive svetlosti kojima se pripisuje određena boja, zajedno s njihovim komplementima (osnovna boja i njen komplement dopunjuju se do bele boje). Tablica je preuzeta iz National Bureau of Standards, USA (NBS). Ako zanemarimo refleksiju, boja rastvora u propuštenoj svetlosti uvek je komplement apsorbovane boje. Tako će rastvor, koji apsorbuje u plavoj oblasti, u propuštenoj svetlosti izgledati žut, a onaj koji apsorbuje zeleno, izgledati purpuran, itd. Za analitičara je od važnosti činjenica da je spektar apsorbovane svetlosti svojstvo supstance koja vrši apsorpciju. Rastvor koji sadrži hidratisani jon bakra (u 2+ ), apsorbuje žutu boju, a propušta plavu, pa se bakar u rastvoru može određivati merenjem stepena apsorpcije žute boje pod standardizovanim uslovima. Na taj način se u načelu može kvantitativno odrediti svaka obojena supstanca. Štaviše, ako je supstanca samo slabo obojena ili čak bezbojna, ona se ipak može odrediti ako joj se doda reagens koji će je pretvoriti u intenzivno obojeno jedinjenje. Na primer, dodatak amonijaka u pomenuti rastvor bakra intenzivira apsorpciju žute boje, pa on sam izgleda mnogo intenzivnije plav, što omogućuje osetljivije određivanje. Tablica 1. Boje spektra vidljive svetlosti Interval talasne dužine (nm) Boja Komplementarna boja Ljubičasta Žutozelena Plava Žuta Zelenoplava Narandžasta Plavozelena rvenonarandžasta Plavičastozelena rvena Zelena rvenopurpurna Žućkastozelena rvenkastopurpurna Žutozelena Purpurna Zelenkastožuta Ljubičasta Žuta Plava Žućkastonarandžasta Plava Narandžasta Zelenkastoplava rvenkastonarandžasta Plavozelena rvena Plavozelena

2 Analiza namirnica 38 Opšti naziv za hemijsku analizu koja se sprovodi merenjem apsorpcije zračenja bio bi apsorptometrija. Precizniji izraz kolorimetrija koristi se pri radu u vidljivoj oblasti spektra, dok se spektrofotometrija odnosi na upotrebu spektrofotometra. Sve što je rečeno u prethodnom primeru koji se odnosi na vidljivu oblast spektra važi takođe za njegov ultraljubičasti i infracrveni deo. Teorija Apsorpcija pri propuštanju monohromatskog zračenja kroz rastvor neke supstance kvantitativno je iskazana Lambert-Beerovim zakonom: P P P 0 dp = = P 0 k n Relativno smanjenje intenziteta upadnog zračenja (-dp/p) je proporcionalno (k=const) broju apsorbujućih molekula (n), koje zrak na svom putu sreće. Ovde P 0 označava intenzitet upadnog, a P intenzitet propuštenog zračenja. Izraz (1), iskazan u tzv. diferencijalnom obliku, integrisanjem i transformisanjem, dobija svoj upotrebni oblik: P0 1 log = log P T = A = a b c gde se T naziva transmitansa (ili %T=100 T propušteno zračenje kao procenat od upadnog), A apsorbansa, a je konstanta, b dužina puta zraka kroz rastvor, a c je koncentracija apsorbujućih molekula u rastvoru. (b x c je proporcionalno n!) Apsorbansa teorijski može da varira od 0 do. U praksi su apsorbanse čija je vrednost veća od 2 ili 3 skoro neupotrebljive, jer to znači da rastvor apsorbuje 99% (T=0,01), odnosno 99,9% (T=0,001) upadne svetlosti. Zbog potrebe za određenom preciznošću analitičke metode, interval upotrebljivih vrednosti apsorbanse je još uži, ali to, naravno, zavisi od korišćenog instrumenta za merenje intenziteta zračenja. Karakteristične veličine u apsorptometriji Konstanta "a" u izrazu (2) naziva se apsorptivnost. Ona je karakteristika konkretne kombinacije rastvarača i rastvorka pri zadatoj talasnoj dužini zračenja. U tom smislu možemo je grubo smatrati svojstvom supstance koja se analizira, za razliku od dužine (b), koncentracije (c), i apsorbanse (A), koje su sve karakteristike uzorka. Transmitansa (T=10 -A ) je veličina koju koristimo kada nas zanima propuštena svetlost. Na primer, bojeni filtri za kolorimetriju ili fotografiju često se dimenzionišu preko %T (procenta propuštene svetlosti). Ova veličina eksponencijalno opada s koncentracijom ispitivane supstance, pa je stoga za svrhe apsorptometrije pogodnija upotreba apsorbanse, čija je zavisnost od koncentracije (prema Lambert-Beerovom zakonu) linearna. Apsorptivnost (a) je veličina koja se koristi kada molekulska masa ispitivane supstance nije poznata, dok se molarna apsorptivnost (ε) koristi pri poređenju (1) (2)

3 Analiza namirnica 39 apsorpcije ekvimolarnih rastvora supstanci čije su molekulske mase poznate. Prema Lambert-Beerovom zakonu, apsorptivnost je konstanta nezavisna od koncentracije, dužine puta zraka kroz rastvor i intenziteta upadnog zračenja, jednom reči karakteristika supstance. Slika 1. Lambert-Beerov zakon Slika 2. Apsorpcioni spektar kalijumpermanganata u vodi. U intervalima A-F, B-E i -D molarna apsorptivnost (ε) ima vrednosti: 1750, 2300 i Iako iz Lambert-Beerovog zakona proizlazi linearna zavisnost apsorbanse od koncentracije, u nekim slučajevima (Sl. 1) se može zapaziti pozitivna (1) ili negativna (2) devijacija, što znači da apsorptivnost ipak nije potpuno konstantna. To, međutim, ne utiče na mogućnost korišćenja apsorptometrije u analitičke svrhe ukoliko se uz pomoć serije standarda snimi realna kalibraciona kriva. Prava vrednost apsorbanse uvek se odnosi na neku određenu talasnu dužinu. Međutim, kako praktični uređaji rade sa zračenjem koje prekriva neku užu ili širu oblast talasnih dužina, i apsorptivnost određena pomoću njih predstavlja srednju vrednost za tu oblast. Slika 2 prikazuje apsorpcioni spektar jona permanganata u vodi zavisnost njegove molarne apsorptivnosti (ε) od talasne dužine. Bilo bi poželjno raditi sa uskom trakom spektra (-D) i to pri maksimumu apsorpcije (oko 520 nm), što se može postići primenom skupog uređaja spektrofotometra. S druge strane, jeftiniji uređaji, namenjeni za rutinski rad kolorimetri, koji vrše izdvajanje talasnih dužina primenom bojenih filtara, rade sa znatno širim područjem talasnih dužina (npr. A-F), zbog čega su očito i manje osetljivi. Treba napomenuti da širina spektra upadne svetlosti ima direktnog uticaja na linearnost zavisnosti apsorbanse od koncentracije. Što je širina spektra upadne svetlosti veća, to je i veća verovatnoća odstupanja od Lambert-Beerovog zakona. I obrnuto, retko su registrovane devijacije pri primeni laserske svetlosti koja je potpuno monohromatska.

4 Analiza namirnica 40 Instrumenti Uređaji za merenje selektivne apsorpcije zračenja rastvorima, poznati su kao kolorimetri, apsorptometri ili spektrofotometri. Izraz kolorimetar, kako je pomenuto, rezervisan je za jednostavne vizuelne ili fotoelektrične uređaje, namenjene radu u vidljivoj oblasti spektra. Apsorptometri obuhvataju i kolorimetre, ali se mogu primeniti i na druge oblasti spektra. Spektrofotometri funkcionišu slično apsorptometrima, osim što rade sa znatno užim intervalom talasnih dužina, ostvarenim uz pomoć monohromatora. Navedene klase uređaja razlikuju se samo po stepenu složenosti, ali ne i suštinski. Kolorimetri Pre primene fotoelektričnih uređaja, kolorimetrijska analiza se obavljala isključivo vizuelnim putem. Mnoge od ovih metoda i dalje su u upotrebi zbog jednostavnosti, a tačnost od ±5%, koja se njima generalno postiže, dovoljna je za mnoge svrhe. Takvi vizuelni kolorimetri obično se nazivaju komparatorima, jer se intenzitet boje uzorka nepoznate koncentracije, upoređuje sa intenzitetom boje serije standardnih razređenja. Slika 4. Komparator s Nesslerovim cevima Slika 5. Duboscqov komparator Komparacija se može vršiti u Nesslerovim cevima: kalibrisanim epruvetama s ravnim poliranim dnom (Sl. 4). Nepoznati rastvor i razređenja standarda sipaju se u niz ovakvih epruveta do iste visine i sve postavi u specijalni stalak na mutno staklo kroz koje odozdo prodire difuzna bela svetlost. Boja se posmatra odozgo, kroz cevi, tako da je ovim načinom, moguće smestiti nepoznati uzorak (U) između dva standarda iz serije: po jednog s prvom intenzivnijom (S 1 ), odnosno prvom manje intenzivnom (S 2 ) bojom. Za njegovu koncentraciju se tada uzima srednja koncentracija između dva susedna standarda. Drugi, nešto složeniji uređaj je Duboscq-ov komparator (Sl. 5), kod koga je moguće varirati debljinu sloja uzorka, kroz koji svetlost treba da prođe do oka. Ova debljina se

5 Analiza namirnica 41 podešava sve dok se ne postigne izjednačenje vizuelnog utiska kroz uzorak (U) i standard (S). Tada se koncentracija nepoznatog uzorka može izračunati iz odnosa: b c = b' c' gde su b i b' - put svetlosti kroz standard, odnosno uzorak, a c i c' - koncentracija standada, odnosno uzorka. Fotoelektrični kolorimetri (filtar-fotometri) Primer ovakvog kolorimetra prikazan je na Sl. 6. Svetlost koja polazi iz kontinualnog izvora, deli se na dva snopa, prolazi kroz obojeni filter (koji propušta srazmerno širok spektar talasnih dužina) i pada na dve fotoelektrične ćelije proizvodeći u njima električni potencijal, čija je veličina proporcionalna intenzitetu upadne svetlosti. Ispred radne fotoćelije Slika 6. Šema fotoelektričnog kolorimetra se postavlja kiveta sa uzorkom, a druga fotoćelija je referentna. (Pošto intenzitet svetlosnog snopa varira od napona u električnoj mreži, ova varijacija se jednako odražava na obe fotoćelije.) U idealnom slučaju, kada ispred radne fotoćelije ne bi bilo kivete, obe fotoćelije bi pri jednakom osvetljavanju proizvodile isti električni potencijal. U realnom svetu dve fotoćelije nikada ne daju jednak električni odgovor, pa se pre početka rada one pomoću promenljivog otpornika uravnotežuju tako da između njih ne protiče nikakva struja. U praktičnom smislu to znači da kazaljku instrumenta koji meri struju između fotoćelija, a koji je direktno izbaždaren u %T, treba pomoću odgovarajućeg dugmeta doterati na vrednost 100 (100% transmitanse). To znači da u odsustvu uzorka uređaj propušta 100% svetlosti. (Obe fotoćelije primaju isti intenzitet svetlosti, struja između njih je nula.) Pri postavljanju kivete sa uzorkom u radni snop deo zračenja se apsorbuje, što rezultuje u manjem električnom potencijalu radne fotoćelije i remećenju električne ravnoteže: između dve fotoćelije poteče struja čiji se intenzitet očitava na instrumentu (na čijoj skali se direktno očitava %T ili A). Početna kalibracija na T=100% može se vršiti uz kivetu sa čistim rastvaračem, odnosno slepom probom (koja sadrži sve, osim obojene supstance), tako da se na ovaj način eliminišu uticaji nebitnih sastojaka na apsorpciju. Preciznost opisanih uređaja ne prelazi ±(3-4)%. Spektrofotometri Kod instrumenata iz ove klase koji su namenjeni za manuelan rad apsorpcija se pri svakoj talasnoj dužini meri prvo za slepu probu, pa onda za uzorak (Sl. 7).

6 Analiza namirnica 42 Slika 7. Šema funkcionisanja spektrofotometra Zrak iz svetlosnog izvora, na jednoj strani se direktno upućuje u referentnu fotoćeliju, a na drugoj, kroz kondenzator i ulazni prorez u fokusirajući uređaj. Taj zrak se potom razlaže na difrakcionoj rešetki pričvršćenoj za rotatabilni nosač, tako da se različite talasne dužine snopa izlazne svetlosti mogu usmeravati ka izlaznom prorezu i dalje, kroz kivetu sa uzorkom ili slepom probom, do radne fotoćelije. Uočljivo je postojanje dve fotoćelije, kao i kod kolorimetra sa slike 6. Ovakav sistem automatski kompenzuje fluktuacije intenziteta svetlosti izazvane variranjem napona u električnoj mreži. Postoje jeftiniji uređaji sa samo jednom fotoćelijom koji su, u srazmeri sa cenom, zbog toga nestabilniji i manje precizni. Spektrofotometar sa slike 7 može da radi i u vidljivoj i u ultraljubičastoj oblasti, uz promenu svetlosnog izvora i fotoćelije, što je danas najčešća izvedba. Donja granica u UV-oblasti je nm (zavisno od svetlosnog izvora), a gornja je oko 650 nm (u vidljivoj), odnosno do 1000 nm (u bliskoj infracrvenoj oblasti). Tipična spektralna širina svetlosnog snopa je nm. Složeniji uređaji, namenjeni za rad u široj oblasti spektra, pored difrakcione rešetke sadrže i dodatne filtre, odnosno prizme za efikasniju selekciju talasnih dužina zračenja, tako da rade sa spektralnim trakama, užim od 10 nm. Svi ovakvi uređaji rade i u vidljivoj i u UV-oblasti, što znači da im konstrukcija podrazumeva transparentnost u ultraljubičastoj oblasti (sočiva, kivete). Skuplje varijante ovakvih uređaja, namenjene automatskom snimanju apsorpcije uzoraka u širokoj oblasti talasnih dužina, snabdevene su odgovarajućim pogonom koji tokom rada ravnomerno rotira optičku rešetku i na odgovarajući način podešava ostale delove optičkog sistema, tako da se rezultat merenja dobija kao spektrogram zapis na pisaču.

7 Analiza namirnica 43 Primene apsorptometrije Kao što je navedeno, apsorpcija vidljivog i ultraljubičastog zračenja rezultat je interakcije zračenja s valentnim elektronima. Selektivna apsorpcija u nekom delu spektra može se očekivati od jedinjenja, koje ima slobodne elektronske parove ili nepopunjene niže elektronske ljuske. Razmotrimo, na primer, atom bakra, koji u elektronskim nivoima K, L, M i N sadrži 2, 8, 18 i 1 elektron. Njegov jednovalentni jon u + ima konfiguraciju 2, 8, 18, a dvovalentni, u 2+ : 2, 8, 17. Jon u 2+ se u vodenom rastvoru, gradeći kompleksno jedinjenje, koordinativno vezuje s ligandima koji imaju nepopunjen elektronski par (voda, amonijak, hlorni anjon, itd.). Konfiguracija takvog kompleksnog jona je: 2, 8, 17, 8. Dakle, najviši nivo (N) popunjen je stabilnim oktetom, ali u prethodnom nivou (M) ima 17 umesto 18 elektrona. Taj nepopunjeni elektronski nivo može da prihvati elektrone, pobuđene zračenjem, pa je u ovom slučaju to i razlog intenzivne plave boje jona u 2+ u rastvoru. Kod organskih jedinjenja, s druge strane, apsorpcija zračenja je vezana za postojanje relativno pokretnih elektronskih parova. Tako, potpuno zasićena jedinjenja ne pokazuju apsorpciju u vidljivom i ultraljubičastom delu spektra jer su atomi međusobno vezani čvrstim, kovalentnim σ-vezama. Jedinjenja koja sadrže izolovane dvostruke veze već jako apsorbuju u dalekoj UV-oblasti (195 nm za etilen). Međusobno konjugovanje dvostrukih veza čini njihove π-elektrone srazmerno pokretljivijim, tako da je potrebna manja energija za pobuđivanje molekula. Shodno tome, apsorpcija se pomera ka većim talasnim dužinama. Kod sistema od više konjugovanih dvostrukih veza, apsorpcija već ulazi u vidljivi deo spektra. Tako, na primer, β-karoten, sa sistemom od 11 konjugovanih dvostrukih veza, apsorbuje intenzivno između 420 i 480 nm, i stoga je sam žutozelene boje. Očigledno je da razvijenost sistema konjugovanih π-veza (dvostrukih i trostrukih) direktno doprinosi pokretljivosti elektrona, a samim tim i obojenosti jedinjenja (apsorpciji u vidljivom spektru), koja ih sadrže. Takav sistem se u nekom jedinjenju može prostirati i na ceo molekul i naziva se hromoforna grupa ili hromofor. Na primer, hemoglobin i mioglobin sadrže hromofornu grupu hem, u kojoj je nosilac boje kompleksno vezani jon gvožđa, dok ostatak molekula - proteinski deo - nije obojen i ne apsorbuje u vidljivom delu spektra. Talasna dužina pri kojoj jedinjenje maksimalno apsorbuje zračenje predstavlja sredstvo identifikacije hromoforne grupe u dotičnom molekulu. Pri tome se spektar u opštem slučaju unekoliko menja zbog prisustva različitih supstituenata na vodonikovim atomima hromoforne grupe (pomeranje maksimuma apsorpcije ka većim talasnim dužinama i promena vrednosti apsorbanse). Supstituenti sposobni da proizvedu takav efekat nazivaju se auksohromne grupe ili auksohromi. Dakle, auksohromi su modifikatori apsorpcionog ponašanja hromofora. U Tabeli 5 su ilustrativni primeri nekih tipičnih hromofora. Tu su navedeni i rastvarači u kojima je merenje vršeno, zbog toga što rastvarač menja fizičko polje oko molekula rastvorka utičući na energetsko stanje njegovih π-elektrona, što sve rezultuje u promeni talasne dužine maksimuma apsorpcije, ali ne i u promeni apsorptivnosti.

8 Analiza namirnica 44 Tabela 5 Reprezentativne hromoforne grupe λ max nm log ε Okten-3 Acetilen Aceton Diazoetilacetat Butadien Krotonaldehid Dimetilglioksi m Oktatrienol N N O N O N heksan 185 3, ,3 kao gas 173 3,8 heksan 188 2, ,2 etanol 252 3, ,1 heksan 217 4,3 etanol 217 4, ,3 etanol 226 4,2 etanol 265 4,7 Dekatetraenol [ ] etanol 300 4,8 4 Vitamin A [ ] etanol 328 3,7 5 Benzen heksan ,9 2,4 Jedinjenje Hromofor Rastvarač 1,4- Benzohinon O O heksan Naftalin etanol ,2 2,7 1,2 5,0 3,7 2,5 Difenil heksan 246 4,3 U homologom nizu aromatskih jedinjenja benzenov prsten je najjednostavniji konjugovani sistem. Iz Tabele 5 se vidi da kondenzovanje ili konjugovanje još jednog prstena (naftalin, difenil) pomera maksimum ka većim talasnim dužinama. Tabela 6 prikazuje efekat nekih auksohroma na apsorpciju benzena.

9 Analiza namirnica 45 Tablela 6 Efekat auksohroma na benzenski hromofor Etilenska traka Bezenska traka Jedinjenje Rastvarač λ max (nm) log ε λ max (nm) log ε Benzen ikloheksan 198 3, ,36 Anilinijum jon Sirć. kis , ,20 Hlorbenzen Etanol 210 3, ,23 Tiofenol Heksan 236 4, ,85 Fenol Voda 210,5 3, ,16 Anilin Voda 230 3, ,16 Fenolat jon Alkalni vodeni rastvor 235 3, ,42 Hinoidni prsten je mnogo efikasniji hromofor od benzenovog, što se može videti na primeru promene boje kiselo-baznog indikatora fenolftaleina (slika 9): Slika 9. Promena boje fenolftaleina u zavisnosti od ph rastvora. U kiselom rastvoru konjugacija ne prelazi granice individualnih benzenovih prstenova, izuzev što je jedan prsten konjugovan s karbonilnom grupom. Stoga ovaj oblik apsorbuje u UV-oblasti, ali ne i u vidljivoj, pa sam izgleda bezbojan. U baznoj sredini, rezultujući anjon sadrži jedan prsten, konvertovan u odgovarajući hinon, a konjugovani sistem se sada preko centralnog ugljenikovog atoma proteže i na ostala dva prstena. eo molekul postaje hromofor, jako apsorbuje u vidljivoj oblasti i stoga sâm ima crvenu boju.

10 Analiza namirnica 46 Kvalitativna analiza Ultraljubičasti i vidljivi apsorpcioni spektri pružaju korisne informacije o strukturi organskih jedinjenja. Selektivna apsorpcija je retko u toj meri karakteristična, da bi se na osnovu nje moglo nesumnjivo identifikovati neko konkretno jedinjenje, pa ipak ona može da posluži za isključivanje alternativa. Na primer, nepostojanje značajne apsorpcije u intervalu od nm nepobitan je dokaz da jedinjenje ne sadrži benzenov prsten. Ako apsorpcije nema od 210 nm pa do vidljive oblasti, jedinjenje sigurno ne sadrži nezasićen konjugovani sistem. Ako se, pak, transparentnost produžava sve do 180 nm, onda u jedinjenju nema ni izolovanih dvostrukih veza. Slični zaključci mogu se donositi na bazi apsorpcionih maksimuma različitih hromofora. Kvantitativna analiza Kvantifikovanje apsorbujuće supstance u rastvoru može se izvesti direktnom primenom Lambert-Beer-ovog zakona, tj. merenjem apsorbanse pri maksimumu apsorpcije dotičnog jedinjenja. Treba voditi računa o tome da u rastvoru nema ometajućih supstanci koje bi značajno apsorbovale pri istoj talasnoj dužini. Stoga je važan deo skoro svake fotometrijske analize prethodno prečišćavanje uzorka. Ukoliko se primenjuje neka rutinska, poznata metoda, za koju je od ranije utvrđeno važenje Lambert-Beerovog zakona, onda je dovoljno da se apsorbansa uzorka nepoznate koncentracije uporedi sa standardom. Pri razvijanju nove metode je, međutim, neophodno da se prethodno u to uverimo snimajući standardnu (kalibracionu) krivu pomoću serije standardnih rastvora ispitivane supstance. Kako je već pomenuto, supstance koje ne sadrže hromofore (i ne apsorbuju svetlost u značajnoj meri) ipak se mogu odrediti fotometrijski posle reakcije sa specifičnim reagensom, pri čemu se hromofor stvara u količini, proporcionalnoj količini ispitivane supstance. Zapravo ovakva situacija je verovatno najčešća, pa stoga u literaturi postoji niz uputstava za prevođenje neobojenih jedinjenja u obojene derivate u cilju njihovog kvantitativnog određivanja fotometrijskim putem. Aditivnost apsorbansi Prema Lambert-Beerovom zakonu apsorbansa je proporcionalna broju apsorbujućih entiteta koje zrak sreće na svom putu. Pri tom se nigde ne naglašava da ti entiteti moraju biti iste vrste. Stoga, ako imamo u rastvoru više hromofora koji apsorbuju u istoj oblasti spektra, važi: n A = A = b što znači da je apsorbansa aditivno svojstvo. 1 i Aditivnost apsorbansi leži u osnovi uobičajenog merenja apsorpcije uzorka prema tzv. slepoj probi ili rastvaraču, čime se vrši korekcija zbog eventualne apsorpcije koju ispoljavaju nebitni sastojci uzorka, odnosno nečistoče u rastvaraču. n 1 a c i i

11 Analiza namirnica 47 Na ovaj način, iz ukupne apsorpcije rastvora dve komponente može se odrediti jedna komponenta ako je poznata apsorpcija, odnosno koncentracija druge komponente. Na sličan način se u rastvoru može odrediti više komponenata, ukoliko su poznati njihovi pojedinačni spektri apsorpcije. Određivanje je sve tačnije što su maksimumi apsorpcije pojedinih komponenata više razdvojeni. Opisanom metodikom se, na primer, merenjem apsorpcije pri 3 talasne dužine određuje u mesu koncentracija pigmenata koji nastaju kao rezultat reakcija mioglobina. Diferencijalna spektrofotometrija Pri standardnoj proceduri pripreme uređaja za analizu skala instrumenta na kome se očitava intenzitet propuštene svetlosti podešava se na oba kraja. U odsustvu propuštene svetlosti (u mraku) podešava se jedan kraj skale (%T=0), a zatim, pri svetlosti propuštenoj kroz čist rastvarač (ili slepu probu), podešava se drugi kraj (%T=100). Na taj način se svaki efekat uzorka na transparentnost rastvora smešta u interval transmitanse od 0 do 100% (A = - 0). Opisani standardni postupak nije uvek podesan, naročito onda kada se radi u blizini jednog od dva kraja skale, na primer, ako je transmitansa standarda 10%, a ispitivanog uzorka 7%. Zbog toga se gubi na preciznosti merenja, jer se za očitavanje koristi samo deseti deo skale instrumenta. Desetostruko povećanje tačnosti postiglo bi se ako bismo gornju granicu transmitanse podesili prema standardu, umesto prema čistom rastvaraču (slepoj probi). Tada bi ispitivani uzorak pokazao transmitansu od 70%. Analognu situaciju imamo i kod vrlo slabo obojenih rastvora: na primer, kada je %T standarda 90, a uzorka 93. I tada se za merenje koristi samo deseti deo skale. U ovom slučaju tačnost očitavanja se povećava desetostruko ako se podešavanje donje granice transmitanse (%T=0) ne izvrši u mraku (pri potpunom odsustvu svetlosti), već prema standardu. Dva navedena primera omogućavaju da se opisani postupak uopšti i da se oba kraja skale podese prema standardnim rastvorima, odabranim tako da se koncentracija ispitivanog uzorka nađe između njih. Bilo koju oblast transmitanse, na primer, između 30 i 35%, možemo podesnom kalibracijom razvući na celu skalu (0-100%). Naglasimo da kod nekih uređaja nije moguće izvršiti ovakvu korekciju skale. Upravo obrnutu situaciju imamo kada kod jeftinijih uređaja radimo u blizini granice osetljivosti fotoćelije. (Fotoćelija proizvodi električni napon samo kada je obasja svetlost iz ograničenog intervala talasnih dužina!) Tada će se često desiti da se gornji kraj skale instrumenta (potpuno osvetljena fotoćelija) ne može doterati na T=100%, već na neku nižu vrednost %T aktuelno. Merenje (doduše, sa smanjenom tačnošću) ipak možemo izvesti, ako registrovanu transmitansu uzorka (T uzorka reg ) preračunamo na procentualni deo od T aktuelno : T uzorka stvarno = T uzorka reg 100 % T aktuelno

12 Analiza namirnica 48 Fotometrijska titracija Pri konvencionalnoj titrimetriji, završna tačka se utvrđuje na osnovu promene boje indikatora, što često postaje netačno u razređenim rastvorima, u veoma obojenim rastvorima ili ako se boje dva oblika indikatora malo razlikuju. Ukoliko se titracija vrši u kiveti fotometra i pri maksimumu apsorpcije boje indikatora, onda se završna tačka može objektivno utvrditi kao prelom na grafiku: apsorbansa dodata zapremina tečnosti. Pribor za fotometrijsku titraciju često se nudi kao dodatak uz spektrofotometar i obuhvata: titracionu ćeliju, biretu, mešalicu, a često su ovi dodaci tako spregnuti da se dodavanje tečnosti i merenje apsorbanse vrše automatski, a tok titracije registruje na pisaču u vidu grafika.

Spektroskopija u UV-Vis oblasti

Spektroskopija u UV-Vis oblasti Spektroskopija u UV-Vis oblasti APSORPCIONE METODE EMISIONE METODE Apsorpcija u vidljivom delu spektra zasniva se na stabilnim promenama u elektronskim energetskim nivoima. Apsorpcioni spektar nastaje

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Spektroskopske metode

Spektroskopske metode Spektroskopske metode 1 Spektroskopske metodezasnivaju se na analizi energije elektromagnetnog zračenja koju ispitivana supstanca apsorbuje odnosno emituje. Apsorpcionemetode analit apsorbuje energiju

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Kiselo bazni indikatori

Kiselo bazni indikatori Kiselo bazni indikatori Slabe kiseline ili baze koje imaju različite boje nejonizovanog i jonizovanog oblika u rastvoru Primer: slaba kiselina HIn(aq) H + (aq) + In (aq) nejonizovani oblik jonizovani oblik

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Kvantna optika Toplotno zračenje Apsorpciona sposobnost tela je sposobnost apsorbovanja energije zračenja iz intervala l, l+ l na površini tela ds za vreme dt. Apsorpciona moć tela je sposobnost apsorbovanja

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

SPEKTROSKOPIJA SPEKTROSKOPIJA

SPEKTROSKOPIJA SPEKTROSKOPIJA Spektroskopija je proučavanje interakcija elektromagnetnog zraka (EMZ) sa materijom. Elektromagnetno zračenje Proces koji se odigrava Talasna dužina (m) Energija (J) Frekvencija (Hz) γ-zračenje Nuklearni

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Testiranje statistiqkih hipoteza

Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1 OSNOVNI ZAKONI TERMALNOG ZRAČENJA Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine Ž. Barbarić, MS1-TS 1 Plankon zakon zračenja Svako telo čija je temperatura

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona.

Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona. Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona Prema osnovnoj formuli za dimenzionisanje maksimalni tangencijalni napon τ max koji se javlja u štapu mora biti manji

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

I Pismeni ispit iz matematike 1 I I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Mašinsko učenje. Regresija.

Mašinsko učenje. Regresija. Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα