ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΥΠΟΜΝΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΕΥΜΑΤΩΝ Χ. ΣΚΟΚΟΥ ΣΕ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΜΕ ΚΡΙΤΕΣ

Transcript

1 ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΥΠΟΜΝΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΕΥΜΑΤΩΝ Χ. ΣΚΟΚΟΥ ΣΕ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΜΕ ΚΡΙΤΕΣ P.1 Giorgilli A. & Skokos Ch. "On the stability of the Trojan asteroids" 1997, Astron. Astroph., 317, Μελετάται το πρόβλημα της πρακτικής ευστάθειας (effective stability) των Τρωικών αστεροειδών γύρω από το σημείο L 4 του Lagrange. Συγκεκριμένα μας ενδιαφέρει η εύρεση μιας περιοχής στο χώρο των φάσεων, γύρω από το σημείο L 4, τέτοιας ώστε οι τροχιές με αρχικές συνθήκες εντός της περιοχής αυτής να παραμένουν γύρω από το L 4 για πεπερασμένο αλλά πάρα πολύ μεγάλο χρόνο. Η κατάσταση αυτή ονομάζεται πρακτική ευστάθεια και αποτελεί τον πυρήνα της θεωρίας Nekhoroshev. Θεωρούμε το επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τριών σωμάτων (Ήλιος Δίας αστεροειδής) ως μια καλή πρώτη προσέγγιση για τη μελέτη μας, αν και δε λαμβάνει υπ όψη του την κίνηση του αστεροειδή εκτός του επιπέδου κίνησης του Δία. Η κίνηση του αστεροειδή στον τρισδιάστατο χώρο εξετάζεται στην εργασία Skokos & Dokoumetzidis, 2001, Astron. Astroph., 367, Κατασκευάζουμε την κανονική μορφή (normal form) της Χαμιλτονιανής σε πολικές συντεταγμένες χρησιμοποιώντας αναπτύγματα δυναμοσειρών μέχρι τάξη 34. Εκτιμώντας τα άνω φράγματα του χρονικού ρυθμού μεταβολής των προσεγγιστικών ολοκληρωμάτων που επιδέχεται η κανονική μορφή, υπολογίζουμε το μέγεθος της περιοχής πρακτικής ευστάθειας. Χρησιμοποιώντας δεδομένα για 98 πραγματικούς αστεροειδείς, βρίσκουμε ότι 4 εξ αυτών βρίσκονται εντός της περιοχής πρακτικής ευστάθειας, ενώ μια αύξηση του μεγέθους της περιοχής κατά έναν παράγοντα 10, θα εξασφάλιζε την ευστάθεια των μισών τουλάχιστον αστεροειδών. Το αποτέλεσμα αυτό είναι σημαντικό αφού για πρώτη φορά η εφαρμογή της θεωρίας Nekhoroshev δίνει ρεαλιστικά αποτελέσματα, άμεσα εφαρμόσιμα σε πραγματικά συστήματα, εξασφαλίζοντας την πρακτική ευστάθεια πραγματικών αστεροειδών, έστω και στην περιορισμένη περίπτωση όπου αυτοί βρίσκονται στο επίπεδο κίνησης του Δία. P.2 Skokos Ch., Contopoulos G. & Polymilis C. "Structures in the phase space of a four dimensional symplectic map" 1997, Cel. Mech. Dyn. Astron., 65, Εξετάζουμε τη σταδιακή μετάβαση ενός συστήματος δύο βαθμών ελευθερίας σε ένα σύστημα τριών βαθμών ελευθερίας και τις επιπτώσεις της μετάβασης αυτής στη μορφολογία του χώρου φάσης και στην τροχιακή συμπεριφορά του συστήματος. Συγκεκριμένα μελετάμε μια τετραδιάστατη (4D) απεικόνιση (που αντιστοιχεί σε Χαμιλτονιανό σύστημα τριών βαθμών ελευθερίας), η οποία προέρχεται από τη σύζευξη δύο διδιάστατων (2D) απεικονίσεων (που αντιστοιχούν σε Χαμιλτονιανά συστήματα δυο βαθμών ελευθερίας). Εξετάζουμε τη συμπεριφορά ασθενώς χαοτικών τροχιών καθώς η παράμετρος σύζευξης μ αυξάνει, οπότε η απεικόνιση γίνεται τετραδιάστατη μεταβαίνοντας από την κατάσταση των δυο ασύζευκτων διδιάστατων απεικονίσεων. Οι σχηματισμοί που δημιουργούν οι προβολές των τροχιών στα δυνατά επίπεδα προβολής, επηρεάζονται δραστικά από τα χαρακτηριστικά των 2D απεικονίσεων για σχετικά μικρές τιμές της παραμέτρου σύζευξης (μ 0.1). Στη θέση των συντονισμών των 2D απεικονίσεων εμφανίζονται "ζώνες συντονισμών" στην 4D απεικόνιση, στις οποίες τα διαδοχικά σημεία των τροχιών διατάσσονται με τέτοιο τρόπο ώστε να δημιουργούν συγκεκριμένους σχηματισμούς. Ο τρόπος δημιουργίας των σχηματισμών αυτών εξηγείται λεπτομερώς. Ακόμα και στις περιπτώσεις όπου οι προβολές δίνουν μια σχεδόν ομοιόμορφη κατανομή σημείων αποκαλύπτουμε τις υπάρχουσες κρυμμένες δομές, βασιζόμενοι στις ιδιότητες των 2D απεικονίσεων. Χρησιμοποιώντας έναν εμπειρικό τύπο για την εύρεση του εύρους των ζωνών συντονισμού προσδιορίζουμε με επιτυχία τη μέγιστη τάξη των εμφανιζόμενων συντονισμών. P.3 Polymilis C., Servizi G. & Skokos Ch. "A quantitative bifurcation analysis of Hénon-like 2D maps" Χ. Σκόκος 1

2 1997, Cel. Mech. Dyn. Astron., 66, Στην παρούσα εργασία μελετάμε λεπτομερώς τις διακλαδώσεις περιοδικών τροχιών δευτέρου είδους σε μονοπαραμετρικές διδιάστατες απεικονίσεις, οι οποίες έχουν ίδια γραμμικά μέρη αλλά διαφορετική μη γραμμική συμπεριφορά. Στις διακλαδώσεις δευτέρου είδους οι περιοδικές τροχιές διακλαδίζονται από μια ευσταθή περιοδική τροχιά, χωρίς όμως την ταυτόχρονη αλλαγή της ευστάθειας της τελευταίας. Συγκεκριμένα εξετάζουμε την τετραγωνική απεικόνιση του Hénon (Hénon quadratic map) και την απεικόνιση beam-beam. Σημειώνουμε εδώ ότι η απεικόνιση beam-beam έχει ιδιαίτερο πρακτικό ενδιαφέρον, επειδή περιγράφει την κίνηση ενός σωματιδίου μιας ασθενούς δέσμης όταν αυτή αλληλεπιδρά με φορτία μιας ισχυρής δέσμης σε έναν επιταχυντή. Οι δυο απεικονίσεις έχουν παρόμοια συμπεριφορά στην περιοχή γύρω από το κεντρικό σημείο ευσταθούς ισορροπίας, αλλά εντελώς διαφορετική συμπεριφορά μακριά από αυτό. Αυτό συμβαίνει γιατί η κίνηση στην απεικόνιση beam-beam είναι φραγμένη, λόγω της συνεχούς ύπαρξης αμετάβλητων καμπύλων μακριά από το κέντρο, ενώ στην απεικόνιση του Hénon είναι δυνατή η διαφυγή στο άπειρο. Στην απεικόνιση του Hénon εξετάζονται οι διακλαδώσεις δευτέρου είδους με αριθμό περιστροφής 1/n με nœ και 3 n 9, καθώς και οι διακλαδώσεις με διπλασιασμό περιόδου (period doubling bifurcations) που αυτές εμφανίζουν. Η διακλάδωση με αριθμό περιστροφής 1/3 παρουσιάζει μια ιδιαίτερη συμπεριφορά, καθώς εμφανίζεται μέσω μιας εφαπτομενικής διακλάδωσης (tangent bifurcation). Αυτή η συμπεριφορά έχει ως αποτέλεσμα την ύπαρξη πολλών αντίστροφων διακλαδώσεων (inverse bifurcations) στην περιοχή της διακλάδωσης 1/3. Παρόμοια συμπεριφορά εμφανίζεται και στην απεικόνιση beam-beam, αν και ορισμένες τροχιές που διακλαδίζονται κανονικά στην απεικόνιση beam-beam εμφανίζονται με αντίστροφη διακλάδωση στην απεικόνιση του Hénon. P.4 Founargiotakis M., Farantos S. C., Skokos Ch. & Contopoulos G. "Bifurcation diagrams of periodic orbits for unbound molecular systems : FH 2 " 1997, Chem. Phys. Let., 277, Μελετάμε τις περιοδικές τροχιές ενός ρεαλιστικού δυναμικού συστήματος, το οποίο περιγράφει την αλληλεπίδραση δυο ατόμων υδρογόνου και ενός ατόμου φθορίου, στην περίπτωση όπου τα τρία άτομα βρίσκονται σε γραμμική διάταξη. Πρόκειται για ένα πρόβλημα τριών σωμάτων, το δυναμικό αλληλεπίδρασης των οποίων έχει προέλθει από αριθμητικές προσαρμογές πειραματικών δεδομένων. Η κλασική μελέτη των περιοδικών τροχιών σε χημικά δυναμικά έχει ιδιαίτερο πειραματικό ενδιαφέρον, αφού συγκεκριμένες τροχιές αντιστοιχούν σε ορισμένες κβαντομηχανικές κυματοσυναρτήσεις, η ύπαρξη των οποίων μπορεί να ανιχνευθεί με φασματοσκοπικές μεθόδους. Το συγκεκριμένο δυναμικό σύστημα δυο βαθμών ελευθερίας μελετήθηκε χρησιμοποιώντας διαβαθμισμένες συντεταγμένες Jacobi. Σημαντικό στοιχείο της μελέτης μας είναι ότι λόγω της ασυμμετρίας του δυναμικού δεν χρησιμοποιήθηκε, όπως συνηθίζεται, ένα επίπεδο ως επιφάνεια τομής Poincaré, αλλά μια κατάλληλη επιφάνεια, η οποία τέμνει όσο το δυνατόν περισσότερες περιοδικές τροχιές. Βρέθηκαν οι βασικές περιοδικές τροχιές του συστήματος, οι οποίες εμφανίζονται στις περιοχές των ελαχίστων και του μέγιστου του δυναμικού, καθώς και οι κυριότερες διακλαδώσεις τους. Μελετήθηκε ιδιαίτερα μια ομάδα μη κανονικών περιοδικών τροχιών (irregular periodic orbits ή saddle node orbits), οι οποίες δεν προέρχονται από διακλάδωση προϋπαρχόντων τροχιών, αλλά εμφανίζονται ξαφνικά για μια τιμή της ενέργειας. Οι μορφολογικές αναλογίες που παρουσιάζουν οι τροχιές αυτές μας έδωσαν τη δυνατότητα να προσεγγίσουμε με διάφορες εμπειρικές σχέσεις τις αριθμητικές τιμές των συντεταγμένων τους και να προβλέψουμε με επιτυχία τις αρχικές συνθήκες νέων μη κανονικών περιοδικών τροχιών. P.5 Polymilis C., Skokos Ch., Kollias G., Servizi G. & Turchetti G. "Bifurcations of beam-beam like maps" 2000, J. Phys. A, 33, Στην παρούσα εργασία μελετάται η διαδικασία διακλαδώσεων περιοδικών τροχιών σε μονοπαραμετρικές διδιάστατες απεικονίσεις, στις οποίες δεν υπάρχουν διαφυγές, αφού εμφανίζουν αμετάβλητες καμπύλες τόσο γύρω από την κεντρική περιοδική τροχιά, όσο και στο άπειρο. Η μελέτη τέτοιων απεικονίσεων έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον γιατί προσομοιώνουν τη λειτουργία επιταχυντών σωματιδίων. Συγκεκριμένα εξετάζουμε την απεικόνιση beam-beam, μια προκαταρκτική μελέτη της οποίας έγινε στην εργασία Polymilis, Servizi & Skokos, 1997, Cel. Mech. Dyn. Astron., 66, Χ. Σκόκος 2

3 Εξετάζονται οι περιοδικές τροχιές που διακλαδίζονται από την κεντρική ευσταθή περιοδική τροχιά με διακλαδώσεις δευτέρου είδους. Υπολογίζονται όλες οι διακλαδώσεις με αριθμό περιστροφής m/n με m,nœ και 1 m<n, 3 n 9. Για κάθε ρητό m/n εμφανίζονται δυο ζεύγη ευσταθών και ασταθών τροχιών, ένα ζεύγος το οποίο προέρχεται από διακλάδωση από την κεντρική τροχιά και ένα το οποίο προέρχεται από το άπειρο. Το κύριο χαρακτηριστικό του συστήματος είναι ότι δεν εμφανίζεται η διαδικασία διπλασιασμού περιόδου (period doubling), αλλά αντίθετα, υπάρχει ένα πλήθος εφαπτομενικών διακλαδώσεων (tangent bifurcations) μέσω των οποίων συνδέονται οι τροχιές που προέρχονται από το άπειρο με αυτές που διακλαδίζονται από την κεντρική περιοδική τροχιά. Οι περιοδικές τροχιές με άρτιο και περιττό παρανομαστή n του αριθμού περιστροφής τους, ακολουθούν διαφορετικά σενάρια εφαπτομενικών διακλαδώσεων, τα οποία και μελετώνται λεπτομερώς. P.6 Skokos Ch. & Dokoumetzidis A. "Effective stability of the Trojan asteroids" 2001, Astron. Astroph., 367, Μελετάμε το πρόβλημα της πρακτικής ευστάθειας (effective stability) στο περιορισμένο χωρικό πρόβλημα των τριών σωμάτων, με εφαρμογή στην ευστάθεια των Τρωικών αστεροειδών γύρω από το σημείο L 4 του Lagrange. Η παρούσα εργασία αποτελεί επέκταση της εργασίας Giorgilli & Skokos, 1997, Astron. Astroph., 317, Η θεωρία ΚΑΜ γενικά εξασφαλίζει την ύπαρξη αμετάβλητων n-διάστατων τόρων γύρω από ένα σημείο ευσταθούς ισορροπίας ενός ολοκληρώσιμου συστήματος n βαθμών ελευθερίας, όταν αυτό διαταραχθεί κατάλληλα. Η παρουσία των τόρων εγγυάται την ύπαρξη τροχιών περιορισμένων στην περιοχή του σημείου ισορροπίας μόνο για n=2, ενώ σε όλες τις άλλες περιπτώσεις η διάχυση Arnold μπορεί να οδηγήσει τις τροχιές πολύ μακριά από το σημείο ισορροπίας. Ένας εναλλακτικός τρόπος αντιμετώπισης του ζητήματος είναι η εύρεση άνω φραγμάτων για την ταχύτητα της διάχυσης Arnold, τα οποία μας δίνουν τη δυνατότητα να εξασφαλίσουμε την παραμονή των τροχιών στη γειτονιά του σημείου ισορροπίας για πεπερασμένο αλλά πάρα πολύ μεγάλο χρόνο (πρακτική ευστάθεια). Στο πρόβλημα των Τρωικών αστεροειδών εκφράζουμε τη Χαμιλτονιανή του συστήματος σε κυλινδρικές συντεταγμένες, οι οποίες είναι κατάλληλες για την περιγραφή της περιοχής ευστάθειας (σχήματος μπανάνας) γύρω από το σημείο L 4 και κατασκευάζουμε την κανονική μορφή (normal form) της Χαμιλτονιανής ως ένα πολυώνυμο 6 μεταβλητών με όρους τάξης μέχρι και 29. Η κανονική μορφή δέχεται προσεγγιστικά ολοκληρώματα, το χρονικό ρυθμό μεταβολής των οποίων και υπολογίζουμε. Συνδυάζοντας αναλυτικές μεθόδους και αριθμητικές προσεγγίσεις αποδεικνύουμε, για χρόνο ίσο με την ηλικία του σύμπαντος, την ύπαρξη μιας ρεαλιστικής περιοχής πρακτικής ευστάθειας, αρκετά μεγάλης ώστε να περιέχει ένα πραγματικό αστεροειδή. Το αποτέλεσμα αυτό είναι ιδιαιτέρως ικανοποιητικό αφού βελτιώνει προηγούμενες εκτιμήσεις της ακτίνας της περιοχής πρακτικής ευστάθειας κατά τουλάχιστον 2 τάξεις μεγέθους και εξασφαλίζει για πρώτη φορά την ευστάθεια ενός πραγματικού αστεροειδή σε μοντέλο που λαμβάνει υπ όψη του την κίνηση του αστεροειδή εκτός του επιπέδου κίνησης του Δία. P.7 Skokos Ch. "On the stability of periodic orbits of high dimensional autonomous Hamiltonian systems" 2001, Physica D, 159, No 3-4, Αντικείμενο της εργασίας είναι η μελέτη της ευστάθειας περιοδικών τροχιών σε χρονοανεξάρτητα Χαμιλτονιανά δυναμικά συστήματα Ν+1 (Ν 1) βαθμών ελευθερίας, τα οποία αντιστοιχούν σε συμπλεκτικές απεικονίσεις 2Ν διαστάσεων. Οι ευσταθείς περιοδικές τροχιές αποτελούν τη "ραχοκοκαλιά" ενός δυναμικού συστήματος γιατί καθορίζουν τις περιοχές τάξης του συστήματος, αφού γύρω από αυτές η κίνηση είναι οργανωμένη. Γι αυτό το λόγο ένα από τα βασικά εργαλεία για τη μελέτη της χαοτικής ή μη συμπεριφοράς ενός δυναμικού συστήματος είναι η εύρεση των βασικών περιοδικών τροχιών του και ο προσδιορισμός της ευστάθειας τους. Λόγω της πολυπλοκότητας του ζητήματος ελάχιστη μελέτη έχει γίνει σε συστήματα με περισσότερους από τρεις βαθμούς ελευθερίας. Στην παρούσα εργασία καταγράφονται όλοι οι τύποι ευστάθειας (και αστάθειας) που μπορούν να εμφανιστούν σε ένα πολυδιάστατο δυναμικό σύστημα. Εισάγεται ένας νέος τρόπος ονοματολογίας αυτών των τύπων, κατάλληλος για πολυδιάστατα συστήματα, μιας και αντανακλά άμεσα τον τρόπο διευθέτησης στο μιγαδικό επίπεδο των ιδιοτιμών του μονόδρομου πίνακα. Διαφορετικοί τύποι ευστάθειας αντιστοιχούν σε διαφορετικές περιοχές του παραμετρικού χώρου S με συντεταγμένες τους συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του μονόδρομου πίνακα. Καταγράφονται όλες οι άμεσες μεταβάσεις μεταξύ διαφορετικών τύπων Χ. Σκόκος 3

4 ευστάθειας, καθώς και η διάσταση της υπερεπιφάνειας του χώρου S, μέσω της οποίας πραγματοποιούνται οι μεταβάσεις αυτές. Η διάσταση αυτή αποτελεί ένδειξη της ευκολίας πραγματοποίησης της μετάβασης και όσο μικρότερη είναι τόσο πιο δύσκολα πραγματοποιείται η αντίστοιχη μετάβαση. Τα αποτελέσματα της μελέτης εφαρμόστηκαν στις απλές περιπτώσεις των δύο και τριών βαθμών ελευθερίας. Τέλος, πραγματοποιήσαμε μια πλήρη και λεπτομερή μελέτη των τύπων ευστάθειας και αστάθειας, των δυνατών άμεσων μεταβάσεων και της διαμόρφωσης του παραμετρικού χώρου S σε ένα Χαμιλτονιανό σύστημα τεσσάρων βαθμών ελευθερίας. P.8 Skokos Ch. "Alignment indices: A new, simple method for determining the ordered or chaotic nature of orbits" 2001, J. Phys. A, 34, Το ζήτημα του γρήγορου και ασφαλούς καθορισμού της χαοτικής ή οργανωμένης συμπεριφοράς των τροχιών δυναμικών συστημάτων απασχολεί ιδιαιτέρως τη διεθνή επιστημονική κοινότητα τα τελευταία χρόνια. Στην παρούσα εργασία εισάγουμε μια νέα, απλή και ιδιαιτέρως αποτελεσματική μέθοδο για τη διάκριση των οργανωμένων και χαοτικών τροχιών: τον υπολογισμό των δεικτών ευθυγράμμισης (alignment indices) και την εφαρμόζουμε σε απεικονίσεις δυο, τεσσάρων και έξι διαστάσεων. Η μέθοδος βασίζεται στην παρατήρηση ότι σε απεικονίσεις περισσοτέρων των δυο διαστάσεων, δύο τυχαία διανύσματα εκτροπής από μια τροχιά, γίνονται εφαπτόμενα σε διαφορετικές διευθύνσεις πάνω στον τόρο όταν η τροχιά είναι οργανωμένη, ενώ η διεύθυνση τους ταυτίζεται με αυτή της ασταθέστερης γειτονικής πολλαπλότητας όταν η τροχιά είναι χαοτική. Συγκεκριμένα παρακολουθούμε τη χρονική εξέλιξη δυο διαφορετικών μεταξύ τους διανυσμάτων εκτροπής από την υπό έλεγχο τροχιά, υπολογίζοντας σε κάθε χρονικό βήμα το μέτρο d - της διαφοράς τους (δείκτης παράλληλης ευθυγράμμισης parallel alignment index) και d + του αθροίσματος τους (δείκτης αντιπαράλληλης ευθυγράμμισης antiparallel alignment index). Η χρονική εξέλιξη των δυο δεικτών μας βοηθάει να καθορίσουμε αν η τροχιά είναι χαοτική ή οργανωμένη. Στις διδιάστατες απεικονίσεις ο μικρότερος δείκτης ευθυγράμμισης (smaller alignment index SALI) τείνει στο μηδέν και για τις χαοτικές και για τις οργανωμένες τροχιές, αλλά με εντελώς διαφορετικό ρυθμό για κάθε περίπτωση. Η διαφοροποίηση αυτή μας είναι αρκετή για να διακρίνουμε με βεβαιότητα ανάμεσα στις δυο περιπτώσεις. Σε απεικονίσεις περισσοτέρων των δυο διαστάσεων ο μικρότερος δείκτης ευθυγράμμισης τείνει στο μηδέν για τις χαοτικές τροχιές, ενώ αντιθέτως τείνει σε ένα θετικό αριθμό για τις οργανωμένες. Ελέγχουμε επίσης την αποτελεσματικότητα της μεθόδου σε μια περίπτωση ασθενούς χάους. Συγκρίνοντας τη μέθοδο με άλλες γνωστές μεθόδους καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η χρήση των δεικτών ευθυγράμμισης διακρίνει ανάμεσα στις οργανωμένες και στις χαοτικές τροχιές γρηγορότερα και αποτελεσματικότερα. P.9 Skokos Ch., Patsis P. A. & Athanassoula E. "Orbital dynamics of three-dimensional bars - I. The backbone of three-dimensional bars. A fiducial case" 2002, MNRAS, 333, Στην εργασία αυτή γίνεται μια λεπτομερής μελέτη των οικογενειών των περιοδικών τροχιών στο δυναμικό μιας τρισδιάστατης ράβδου Ferrers. Οι ράβδοι Ferrers θεωρούνται τα ρεαλιστικότερα δυναμικά για την περιγραφή των παρατηρούμενων γαλαξιακών ράβδων. Συγκεκριμένα περιγράφονται όλες οι διδιάστατες και τρισδιάστατες τροχιές που μπορούν να επηρεάσουν τα μορφολογικά χαρακτηριστικά των τρισδιάστατων ράβδων. Η τροχιακή συμπεριφορά του μοντέλου καθορίζεται όχι μόνο από τη βασική διδιάστατη οικογένεια περιοδικών τροχιών x1 αλλά και από όλες τις διδιάστατες και τρισδιάστατες διακλαδώσεις της οικογένειας αυτής. Τονίζεται η σημασία οικογενειών οι οποίες διακλαδίζονται από την x1 αρχικά ως ασταθείς, αλλά για μεγαλύτερες τιμές της ενέργειας δίνουν σημαντικές ευσταθείς τροχιές. Πέρα από τις οικογένειες που σχετίζονται με την x1 και αποτελούν το ονομαζόμενο x1 δέντρο (x1-tree), μελετήθηκαν τροχιές σε σχήμα μπανάνας γύρω από τα ευσταθή σημεία Lagrange, καθώς και τρισδιάστατες τροχιές που διακλαδίζονται από την οικογένεια x2 και μπορούν αν υποστηρίξουν ραβδοειδείς σχηματισμούς κατά μήκος του μικρού άξονα της βασικής ράβδου. P.10 Skokos Ch., Patsis P. A. & Athanassoula E. "Orbital dynamics of three-dimensional bars - II. Investigation of the parameter space" 2002, MNRAS, 333, Χ. Σκόκος 4

5 Στην εργασία αυτή μελετάμε την τροχιακή συμπεριφορά στο δυναμικό μιας τρισδιάστατης ράβδου Ferrers, σε συνέχεια της εργασίας Skokos, Patsis & Athanassoula, 2002, MNRAS, 333, Η έρευνα δεν περιορίστηκε σε ένα μοντέλο, αλλά επεκτάθηκε σε πολλές περιπτώσεις, ούτως ώστε να διαπιστωθούν οι αλλαγές στην τροχιακή συμπεριφορά που συμβαίνουν όταν επιταχύνεται ή επιβραδύνεται η περιστροφή της ράβδου, όταν διπλασιάζεται η μάζα της ή όταν προστίθεται ή αφαιρείται μια επιπλέον κεντρική συγκέντρωση μάζας. Η μελέτη αυτή έδωσε πολύ ενδιαφέροντα αποτελέσματα για τη μορφολογία που παρατηρούμε στους ραβδωτούς γαλαξίες καθώς και για τους μηχανισμούς που οδηγούν σε αυτήν. Συγκεκριμένα οι ράβδοι των μοντέλων τελειώνουν στην περιοχή του ακτινικού συντονισμού 4:1, είναι πιο επιμήκεις όταν περιστρέφονται γρήγορα ενώ το πλήθος των κυκλικών τροχιών αυξάνει όταν επιβραδύνονται. Οι ράβδοι μπορούν να υποστηριχθούν και από άλλες οικογένειες περιοδικών τροχιών εκτός της x1 και των διακλαδώσεων της, όπως για παράδειγμα από τροχιές που διακλαδίζονται από την οικογένεια κατά μήκος του άξονα περιστροφής του γαλαξία. P.11 Patsis P. A., Athanassoula E., Grosbøl P. & Skokos Ch. "Edge-on boxy profiles in non-barred disc galaxies" 2002, MNRAS, 335, Στην παρούσα εργασία μελετάται η δυνατότητα εμφάνισης ισόπυκνων με μορφή παραλληλογράμμου (boxy isodensities) στις κεντρικές περιοχές ενός γαλαξιακού δίσκου, όταν αυτός παρατηρείται από το πλάι. Το βασικό αποτέλεσμα της εργασίας είναι η διαπίστωση ότι το χαρακτηριστικό αυτό δε συνεπάγεται αναγκαστικά την ύπαρξη ραβδοειδούς ή σπειροειδούς διαταραχής στο γαλαξία, αφού μπορεί να παρατηρηθεί και σε δισκοειδείς γαλαξίες με κυλινδρική συμμετρία. Συγκεκριμένα εξετάστηκε η παρουσία boxy ισόπυκνων σε μια αριθμητική προσομοίωση Ν σωμάτων με Ν 10 6, καθώς και σε ένα αναλυτικό δυναμικό με κυλινδρική συμμετρία. Στο αναλυτικό δυναμικό δείχθηκε ότι το χαρακτηριστικό των boxy ισόπυκνων οφείλεται στη μορφολογία των ευσταθών περιοδικών τροχιών που διακλαδίζονται από την επίπεδη τροχιά x1 στους κάθετους συντονισμούς χαμηλής τάξης. P.12 Patsis P. A., Skokos Ch. & Athanassoula E. "Orbital dynamics of three-dimensional bars - III. Boxy/Peanut edge-on profiles" 2002, MNRAS, 337, Η εργασία αυτή αναφέρεται στη φυστικοειδή δομή (peanut-shape) των κεντρικών περιοχών των γαλαξιακών δίσκων, η οποία εμφανίζεται σε πολλούς γαλαξίες, όταν έχουν κατάλληλο προσανατολισμό ώστε να τους παρατηρούμε από το πλάι. Η μελέτη της δομής αυτής πραγματοποιήθηκε σε αρκετά μοντέλα τρισδιάστατων ράβδων Ferrers, τα οποία εξετάστηκαν στις εργασίες Skokos, Patsis & Athanassoula, 2002, MNRAS, 333, και MNRAS, 333, Αναζητήθηκαν οικογένειες περιοδικών τροχιών, οι οποίες ενισχύουν τέτοιες δομές. Βρέθηκε ότι υπάρχουν διάφορες οικογένειες που μπορούν να υποστηρίξουν μια τέτοια μορφολογία, πέρα από τη γενικά αποδεκτή οικογένεια που σχετίζεται με τον κάθετο συντονισμό 2:1. Εξετάστηκε η γεωμετρία των peanuts καθώς και οι αναλογίες τους ως προς το γαλαξιακό δίσκο. Η σύγκριση των αριθμητικών αποτελεσμάτων με μια σειρά από πραγματικούς γαλαξίες έδειξε ότι αυτά προσεγγίζουν ικανοποιητικά την πραγματικότητα. Διαπιστώθηκε επίσης ότι για το σχηματισμό των παρατηρούμενων "Χ" στην κεντρική περιοχή των γαλαξιών συμβάλλουν περισσότερο οικογένειες περιοδικών τροχιών που διακλαδίζονται από την x1 στην περιοχή του κάθετου συντονισμού 4:1. P.13 Polymilis C., Servizi G., Skokos Ch., Turchetti G. & Vrahatis M. N. "Topological degree theory and local analysis of area preserving maps" 2003, Chaos, 13, 1, Στην παρούσα εργασία εξετάζεται το πρόβλημα του εντοπισμού όλων ή σχεδόν όλων των περιοδικών τροχιών σε συμπλεκτικές απεικονίσεις δυο διαστάσεων, οι οποίες αντιστοιχούν σε διατηρητικά Χαμιλτονιανά Χ. Σκόκος 5

6 δυναμικά συστήματα δυο βαθμών ελευθερίας. Αναλυτικές εκφράσεις για τον εντοπισμό περιοδικών τροχιών σε απεικονίσεις μπορούν να εξαχθούν μόνο για τροχιές με περιόδους p 4, ενώ οι τροχιές με p>4 εντοπίζονται με αριθμητικές μεθόδους. Συγκεκριμένα χρησιμοποιούμε μια ιδιαιτέρως αποτελεσματική αριθμητική μέθοδο, τη χαρακτηριστική μέθοδο διχοτόμησης (characteristic bisection method), που βασίζεται στην έννοια του τοπολογικού βαθμού ενός συστήματος μη-γραμμικών εξισώσεων, ο οποίος μας παρέχει πληροφορίες για το πλήθος των ριζών του συστήματος σε μια συγκεκριμένη περιοχή. Η μέθοδος αυτή μας επιτρέπει το γρήγορο και ακριβή υπολογισμό περιοδικών τροχιών μεγάλης περιόδου. Στη συγκεκριμένη περίπτωση υπολογίσαμε τις περιοδικές τροχιές με περίοδο p 40 σε τρεις διαφορετικές απεικονίσεις: α) την κανονική απεικόνιση (standard map), η οποία είναι μια απεικόνιση πάνω στον τόρο β) την απεικόνιση του Hénon (Hénon map) η οποία είναι μια μη φραγμένη απεικόνιση με διαφυγές στο άπειρο και γ) την απεικόνιση beam-beam, η οποία είναι μια μη φραγμένη απεικόνιση αλλά χωρίς διαφυγές. Εξετάσαμε επίσης τις διαφορές στην κατανομή των περιοδικών τροχιών στις τρεις απεικονίσεις καθώς και την αποτελεσματικότητα διαφόρων αριθμητικών μεθόδων που μας επιτρέπουν τον υπολογισμό του πλήθους των περιοδικών τροχιών χωρίς όμως την ταυτόχρονη εύρεση των αρχικών τους συνθηκών. P.14 Patsis P. A., Skokos Ch. & Athanassoula E. "Orbital dynamics of three-dimensional bars - IV. Boxy isophotes in face-on views" 2003, MNRAS, 342, Αυτή είναι η τέταρτη εργασία στην οποία μελετάμε τη σχέση των περιοδικών τροχιών σε δυναμικά μοντέλα τρισδιάστατων ράβδων Ferrers, με τη μορφολογία πραγματικών γαλαξιών. Η συγκεκριμένη εργασία αφορά την εξήγηση του φαινομένου της εμφάνισης ισόφωτων με μορφή παραλληλόγραμμου (boxy-isophotes) κοντά στο τέλος των ράβδων. To φαινόμενο αυτό παρατηρείται σε πολλές περιπτώσεις. Αυτό το χαρακτηριστικό μπορεί να παρατηρηθεί καλύτερα σε γαλαξίες, το επίπεδο συμμετρίας των οποίων είναι σχεδόν κάθετο στην οπτική ακτίνα του παρατηρητή. Δείχθηκε ότι η παρουσία οικογενειών που σχετίζονται με τον ακτινικό συντονισμό 4:1, δεν είναι αρκετή για να εξηγήσει αυτές τις ισόφωτες. Στα μοντέλα που εξετάσαμε, καταγράψαμε τους διάφορους μορφολογικούς σχηματισμούς που δημιουργούνται με την υπέρθεση διαφορετικών οικογενειών περιοδικών τροχιών, τόσο διδιάστατων, οι οποίες βρίσκονται εξ ολοκλήρου επί του γαλαξιακού επιπέδου, όσο και των προβολών τρισδιάστατων τροχιών. Δημιουργήσαμε επίσης χάρτες με ζυγισμένες τροχιές ανάλογα με την πυκνότητα των περιοχών που αυτές επισκέπτονται. Με αυτόν τον τρόπο αξιολογήσαμε τη σπουδαιότητα των διαφόρων οικογενειών και τη σημασία της μεταβολής κάθε παραμέτρου του δυναμικού στη δημιουργία των "boxy-isophotes". P.15 Skokos Ch., Antonopoulos Ch., Bountis T. C. & Vrahatis M. N. "How does the Smaller Alignment Index (SALI) distinguish order from chaos?" 2003, Prog. Theor. Phys. Supp., 150, Στην παρούσα εργασία μελετάται λεπτομερώς η συμπεριφορά του μικρότερου δείκτη ευθυγράμμισης (Smaller Alignment Index SALI) για την περίπτωση οργανωμένης κίνησης. Είναι γνωστό (Skokos, 2001, J. Phys. A, 34, ) ότι ο SALI τείνει στο μηδέν για τις χαοτικές τροχιές, ενώ αντιθέτως κυμαίνεται γύρω από ένα θετικό αριθμό για τις οργανωμένες τροχιές. Για να εξηγήσουμε τη συμπεριφορά του SALI για την περίπτωση της οργανωμένης κίνησης εστιάζουμε την προσοχή μας στη χρονική εξέλιξη ενός διανύσματος εκτροπής (deviation vector) από την οργανωμένη τροχιά. Συγκεκριμένα θεωρούμε ένα πλήρως ολοκληρώσιμο Χαμιλτονιανό σύστημα 2 βαθμών ελευθερίας για το οποίο εκτός της Χαμιλτονιανής H υπάρχει και ένα δεύτερο αναλυτικό ολοκλήρωμα της κίνησης F. Το σύστημα αυτό είναι κατάλληλο για τη μελέτη μας αφού δεν παρουσιάζει καθόλου χαοτική συμπεριφορά. Κάθε ολοκλήρωμα της κίνησης ορίζει μια πολλαπλότητα πάνω στην οποία εξελίσσεται η κίνηση. Για κάθε μια πολλαπλότητα ορίζουμε δύο διανύσματα, ένα εφαπτόμενο κατά μήκος της ροής και ένα κάθετο σε αυτήν. Τα τέσσερα αυτά διανύσματα είναι εν γένει γραμμικώς ανεξάρτητα οπότε μπορούν να αποτελέσουν βάση του τετραδιάστατου χώρου στον οποίο εξελίσσεται το διάνυσμα εκτροπής. Από τη χρονική εξέλιξη ενός τυχαίου διανύσματος εκτροπής παρατηρούμε ότι, ανεξαρτήτως της αρχικής επιλογής του διανύσματος οι συνιστώσες του στις κάθετες, ως προς τις δυο πολλαπλότητες διευθύνσεις, μηδενίζονται ακολουθώντας εξέλιξη αντιστρόφως ανάλογη του χρόνου. Αυτό σημαίνει ότι τελικά το διάνυσμα εκτροπής περιορίζεται στο διδιάστατο εφαπτόμενο χώρο των δυο πολλαπλοτήτων, δηλαδή στον εφαπτόμενο χώρο του τόρου πάνω στον οποίο Χ. Σκόκος 6

7 εξελίσσεται η κίνηση. Επομένως δυο τυχαία διανύσματα εκτροπής γίνονται εφαπτόμενα στον τόρο, έχοντας εν γένει διαφορετικές διευθύνσεις, πράγμα που εξηγεί το μη-μηδενισμό του SALI σε αυτήν την περίπτωση. P.16 Patsis P. A., Skokos Ch. & Athanassoula E. "On the 3D dynamics and morphology of inner rings" 2003, MNRAS, 346, Στην εργασία αυτή μελετώνται συστηματικά τα δυναμικά αίτια που προκαλούν την εμφάνιση των εσωτερικών δακτυλίων (inner rings) γύρω από τις γαλαξιακές ράβδους. Οι εσωτερικοί δακτύλιοι εμφανίζονται με διάφορα σχήματα, τόσο σε πραγματικούς γαλαξίες όσο και σε προσομοιώσεις Ν-σωμάτων. Οι περισσότεροι παρατηρούμενοι εσωτερικοί δακτύλιοι είναι σχήματος οβάλ ή εξαγώνου με πλευρές παράλληλες προς το μικρό ημιάξονα της ράβδου, όπως για παράδειγμα οι εσωτερικοί δακτύλιοι των γαλαξίών NGC 6782 και IC 4290 αντίστοιχα. Υπάρχουν όμως και σπάνιες μορφές εσωτερικών δακτυλίων με μορφή πενταγώνου (NGC 3367) και εξαγώνου με πλευρές παράλληλες προς το μεγάλο ημιάξονα της ράβδου (NGC 7020). Όλες αυτές οι μορφές των δακτυλίων αποδίδονται στην ύπαρξη ευσταθών περιοδικών τροχιών (επίπεδων και τρισδιάστατων) που εμφανίζονται στην περιοχή μεταξύ του τέλους της ράβδου και της περιοχής της συμπεριστροφής (corotation) στο δυναμικό μιας τρισδιάστατης ράβδου Ferrers. Συγκεκριμένα βρέθηκε ότι οι δακτύλιοι οφείλονται στην ύπαρξη δυο οικογενειών περιοδικών τροχιών, τις οποίες ονομάζουμε f και s, και στις διακλαδώσεις αυτών. Οι οικογένειες αυτές εμφανίζονται στο σύστημα μέσω εφαπτομενικών διακλαδώσεων (tangent bifurcations) χωρίς να σχετίζονται με τη βασική οικογένεια περιοδικών τροχιών x1, ενώ η μορφολογία τους επηρεάζεται από τους συντονισμούς 4:1, 6:1 και 8:1. Η υπέρθεση κατάλληλων ευσταθών περιοδικών τροχιών και από τις δυο οικογένειες, μας δίνει μια πρώτη εικόνα για τις μορφολογίες που θα ενίσχυε η παγίδευση ύλης γύρω από τις τροχιές αυτές. Βρέθηκε ότι οι περισσότερο συνηθισμένοι σχηματισμοί είναι οβάλ και εξάγωνα. Οι σχηματισμοί αυτοί ενισχύονται κυρίως από τρισδιάστατες τροχιές επειδή αυτές υπάρχουν για μεγαλύτερο εύρος ενεργειακών τιμών από τις αντίστοιχες επίπεδες τροχιές. Εξηγείται επίσης η σπανιότητα εμφάνισης άλλων σχηματισμών όπως πεντάγωνα και εξάγωνα όπως αυτό του NGC Συγκεκριμένα η δημιουργία δακτυλίων με μορφή πενταγώνου προϋποθέτει την ύπαρξη ενός εξωτερικού αιτίου το οποίο θα επιβάλει τη συγκέντρωση ύλης γύρω από τη μία εκ των δυο συμμετρικών περιοδικών τροχιών πενταγωνικής μορφής που διακλαδίζονται από την περιοδική τροχιά f. Επίσης, τα εξάγωνα όπως αυτό του NGC 7020 ενισχύονται από ευσταθείς περιοδικές τροχιές της οικογένειας s, οι οποίες όμως βρίσκονται σε ένα πολύ μικρό ενεργειακό εύρος γεγονός το οποίο εξηγεί τη σπανιότητα εμφάνισης τους. P.17 Skokos Ch., Antonopoulos Ch., Bountis T. C. & Vrahatis M. N. "Detecting order and chaos in Hamiltonian systems by the SALI method" 2004, J. Phys. A, 37, Στην παρούσα εργασία εφαρμόζουμε επιτυχώς τη μέθοδο του μικρότερου δείκτη ευθυγράμμισης (Smaller Alignment Index SALI) για τη διάκριση μεταξύ χαοτικών και οργανωμένων τροχιών σε αυτόνομα Χαμιλτονιανά συστήματα 2 και 3 βαθμών ελευθερίας. Επίσης εξετάζεται λεπτομερώς η συμπεριφορά του δείκτη στην περίπτωση της χαοτικής κίνησης και η σχέση του με τους χαρακτηριστικούς εκθέτες Lyapunov. Συγκεκριμένα εφαρμόζοντας τη μέθοδο του SALI σε τροχιές του διδιάστατου συστήματος των Hénon- Heils και ενός τρισδιάστατου δυναμικού μοντέλου, παρατηρούμε ότι ο SALI τείνει απότομα στο μηδέν για χαοτικές τροχιές ενώ παραμένει διάφορος του μηδενός στην περίπτωση των οργανωμένων τροχιών, όπως ακριβώς και στην περίπτωση των πολυδιάστατων συμπλεκτικών απεικονίσεων (Skokos, 2001, J. Phys. A, 34, ). Χρησιμοποιώντας με έναν κατάλληλο και συστηματικό τρόπο τη μέθοδο του SALI σε ένα πυκνό πλέγμα αρχικών συνθηκών δημιουργήσαμε λεπτομερή πορτραίτα του χώρου φάσεων των υπό μελέτη συστημάτων, στα οποία διακρίνονται εμφανώς ακόμα και πολύ μικρές περιοχές οργανωμένης κίνησης μέσα σε περιοχές χαοτικής συμπεριφοράς. Με αυτόν τον τρόπο έγινε φανερό ότι ο SALI αποτελεί μια εύχρηστη, γρήγορη και αποτελεσματική μέθοδο για τη χαρτογράφηση του χώρου των φάσεων πολυδιάστατων συστημάτων. Επίσης εξετάζοντας συστηματικά τη συμπεριφορά του SALI στην περίπτωση των χαοτικών τροχιών κατορθώσαμε να δώσουμε μια προσεγγιστική αναλυτική σχέση, η οποία περιγράφει τον τρόπο που ο SALI τείνει στο μηδέν. Συγκεκριμένα δείξαμε αναλυτικά και επιβεβαιώσαμε αριθμητικά ότι ο SALI τείνει εκθετικά στο μηδέν με ρυθμό ο οποίος εξαρτάται από τη διαφορά των δύο μεγαλύτερων εκθετών Lyapunov σ 1, σ 2, ως Χ. Σκόκος 7

8 -(σ1 σ2)t SALI e. Τέλος, μελετώντας την αποτελεσματικότητα της μεθόδου διαπιστώθηκε ότι ο δείκτης SALI έχει καλύτερη ή στη χειρότερη περίπτωση παραπλήσια απόδοση, με άλλες γνωστές μεθόδους ανίχνευσης χαοτικής συμπεριφοράς. P.18 Panagopoulos P., Bountis T. C. & Skokos Ch. "Existence and stability of localized oscillations in 1-dimensional lattices with soft spring and hard spring potentials" 2004, J. Vibration & Acoustics, 126, Στην παρούσα εργασία, μελετάμε την ύπαρξη και ευστάθεια διακριτών πνοών (breathers), δηλ. χωρικά εντοπισμένων και χρονικά περιοδικών ταλαντώσεων σε μια κλάση μονοδιάστατων (1D) µη γραμμικών πλεγμάτων. Στις διακριτές πνοές μόνο ένας μικρός αριθμός σωματιδίων στο κέντρο του πλέγματος συμμετέχει ουσιαστικά στην κίνηση, ενώ το πλάτος της ταλάντωσης των άλλων σωματιδίων μειώνεται εκθετικά με την αύξηση της απόστασης τους από το κέντρο του πλέγματος. Οι ευσταθείς εντοπισμένες ταλαντώσεις έχουν ιδιαίτερη σημασία για τα φυσικά συστήματα διότι επιδρούν δραστικά στις ιδιότητες της μεταφοράς ενέργειας του πλέγματος. Συγκεκριμένα, εξετάζουμε μονοδιάστατα πλέγματα, τα σωματίδια των οποίων έχουν γραμμική αλληλεπίδραση με τους πλησιέστερους γείτονες τους και βρίσκονται υπό την επίδραση ενός δυναμικού υποστρώματος της μορφής V(u)= Ku ± u 2 4 όπου το πρόσημο (+) αντιστοιχεί στην αλληλεπίδραση σκληρού ελατηρίου και το πρόσημο (-) στην αλληλεπίδραση μαλακού ελατηρίου. Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των ομοκλινικών τροχιών για τον εντοπισμό τέτοιων ταλαντώσεων και τη θεωρία Floquet για τη μελέτη της γραμμικής (τοπικής) ευστάθειας τους, κατά μήκος συγκεκριμένων καμπυλών του χώρου παραμέτρων (α, ω), όπου α είναι η σταθερά αλληλεπίδρασης μεταξύ πλησιέστερων γειτόνων και ω η συχνότητα των πνοών. Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του μικρότερου δείκτη ευθυγράμμισης (Smaller Alignment Index SALI) μελετάμε γενικότερα την οργανωμένη ή χαοτική συμπεριφορά του συστήματος σε περιοχές του χώρου των φάσεων στη γειτονιά συγκεκριμένων πνοών. Με αυτές τις μεθόδους βρίσκουμε ότι στο χώρο φάσεων οι περιοχές ύπαρξης και ευστάθειας των πνοών σε πλέγμα σκληρών ελατηρίων είναι σαφώς μεγαλύτερες από αυτές σε πλέγμα μαλακών ελατήριων. Επιπλέον, οι ιδιότητες των διακλαδώσεων των διακριτών πνοών καθώς μεταβάλλεται η παράμετρος α του συστήματος είναι διαφορετικές για τις δύο περιπτώσεις. Στην περίπτωση του πλέγματος σκληρών ελατηρίων ευσταθείς πνοές υπάρχουν σε μεγάλες περιοχές του χώρου παραμέτρων, ενώ η μετάβαση τους σε αστάθεια συνοδεύεται από τη γέννηση νέων ευσταθών πνοών. Αντίθετα στην περίπτωση του πλέγματος μαλακών ελατηρίων οι περιοχές ύπαρξης ευσταθών πνοών είναι περιορισμένες, ενώ η μετάβαση από ευστάθεια σε αστάθεια συνοδεύεται συχνά από την εμφάνιση μιγαδικής αστάθειας, οπότε και εμποδίζεται η δημιουργία νέων ευσταθών πνοών. P.19 Skokos Ch., Parsopoulos K. E., Patsis P. A. & Vrahatis M. N. "Particle Swarm Optimization: An efficient method for tracing periodic orbits in 3D galactic potentials" 2005, MNRAS, 359, Στην παρούσα εργασία εφαρμόζουμε τη μέθοδο Βελτιστοποίησης Σμήνους Σωματιδίων (Particle Swarm Optimization - PSO) για την εύρεση περιοδικών τροχιών στην περιοχή της συμπεριστροφής (corotation) σε μοντέλα τρισδιάστατων ράβδων τύπου Ferrers. Η PSO είναι μια στοχαστική μέθοδος εύρεσης των ελαχίστων μιας συνάρτησης, η οποία σχετίζεται με την προσομοίωση της δυναμικής συμπεριφοράς ομάδων ζωντανών οργανισμών όπως για παράδειγμα των σμηνών πουλιών. Η βασική ιδέα της μεθόδου είναι η χρήση ενός πλήθους σωματιδίων, τα οποία μετατοπίζονται στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης προσπαθώντας να εντοπίσουν τα ελάχιστά της. Ο τρόπος μετατόπισης των σωματιδίων καθορίζεται από πληροφορίες που ανταλλάσσουν αυτά μεταξύ τους, σχετικά με τη θέση του σωματιδίου όπου παρατηρήθηκε η χαμηλότερη τιμή της συνάρτησης. Επίσης κάθε σωματίδιο θυμάται τη θέση με τη χαμηλότερη τιμή της συνάρτησης από την οποία πέρασε και χρησιμοποιεί την πληροφορία αυτή στον καθορισμό της μελλοντικής του πορείας. Στη συγκεκριμένη εφαρμογή της PSO το πρόβλημα του εντοπισμού των αρχικών συνθηκών περιοδικών τροχιών περιόδου p του δυναμικού συστήματος, μετασχηματίστηκε στο ισοδύναμο πρόβλημα της εύρεσης των ελαχίστων μιας κατάλληλης συνάρτησης, ορισμένης στον τετραδιάστατο χώρο της επιφάνειας Χ. Σκόκος 8

9 τομής Poincaré του συστήματος. Η συνάρτηση αυτή πρακτικά ταυτίζεται με την απόσταση στην επιφάνεια τομής Poincaré, του αρχικού σημείου μιας τροχιάς και του σημείου της p-οστης τομής της με την επιφάνεια. Με τη συστηματική χρήση της μεθόδου PSO, σε συνδυασμό με κατάλληλο μετασχηματισμό των ελαχίστων που αυτή βρίσκει, σε μέγιστα της συνάρτησης, έγινε δυνατός ο εντοπισμός αρκετών περιοδικών τροχιών του συστήματος, πολλές εκ των οποίων βρέθηκαν για πρώτη φορά. Με τη μέθοδο PSO πέτυχαμε την εύρεση περιοδικών τροχιών σε περιπτώσεις όπου αλγόριθμοι βασιζόμενοι στην επαναληπτική μέθοδο του Newton είχαν αποτύχει. Συγκεκριμένα εντοπίστηκαν επίπεδες και τρισδιάστατες περιοδικές τροχιές η μορφολογία των οποίων επηρεάζεται από τους εσωτερικούς συντονισμούς 8:1, 10:1 και 12:1, και δε σχετίζονται με τη βασική οικογένεια περιοδικών τροχιών του συστήματος, την x1. Τα κύρια πλεονεκτήματα της μεθόδου είναι η απλότητα της καθώς και η ικανότητα εντοπισμού πολλών περιοδικών τροχιών σε κάθε εφαρμογή της. P.20 Bountis T. C. & Skokos Ch. "Application of the SALI chaos detection method to accelerator mappings" 2006, Nucl. Instr. Meth. Phys. Res. Sect. A, 561, Στην παρούσα εργασία εφαρμόζουμε τη μέθοδο του Μικρότερου Δείκτη Ευθυγράμμισης (Smaller Alignment Index - SALI) για τη διάκριση μεταξύ χαοτικής και οργανωμένης κίνησης σε μια τετραδιάστατη συμπλεκτική απεικόνιση, η οποία περιγράφει την κίνηση ενός σωματιδίου σε έναν επιταχυντή υπό την επίδραση ενός εξαπολικού μαγνητικού πεδίου. Με τη χρήση του δείκτη SALI καταφέραμε να εκτιμήσουμε με ακρίβεια την περιοχή του χώρου φάσεων γύρω από την ιδανική κυκλική τροχιά του σωματιδίου στον επιταχυντή, εντός της οποίας η κίνηση παραμένει φραγμένη (dynamical aperture). Είναι γνωστό ότι ο δείκτης SALI τείνει εκθετικά στο μηδέν στην περίπτωση χαοτικών τροχιών ενώ παραμένει διάφορος του μηδενός στην περίπτωση οργανωμένων τροχιών (Skokos, 2001, J. Phys. A, 34, 10029, Skokos et al., 2004, J. Phys. A, 37, 6269). Βασιζόμενοι στη διαφορετική συμπεριφορά του δείκτη για τα δυο είδη τροχιών, κατασκευάσαμε χάρτες του χώρου φάσεων του συστήματος στους οποίους φαίνονται καθαρά οι περιοχές τάξης και χάους. Επίσης υπολογίσαμε το ποσοστό των οργανωμένων τροχιών του συστήματος ως συνάρτηση της απόστασης τους από το κέντρο της βασικής νησίδας ευστάθειας. Με τον τρόπο αυτό κατορθώσαμε να εκτιμήσουμε τη μέγιστη ακτίνα μιας τετραδιάστατης υπερσφαίρας γύρω από την κεντρική ευσταθή περιοδική τροχιά, μέσα στην οποία οι τροχιές όχι μόνο δε διαφεύγουν στο άπειρο αλλά επιπροσθέτως είναι οργανωμένες. P.21 Bountis T. & Skokos Ch. "Space charges can significantly affect the dynamics of accelerator maps" 2006, Phys. Let. A, 358, Αντικείμενο της εργασίας είναι η μελέτη της επίδρασης της κατανομής των φορτίων μιας δέσμης σωματιδίων στη δυναμική συμπεριφορά της δέσμης, όταν αυτή διέρχεται σε έναν επιταχυντή από περιοχές επίδρασης εξαπολικού μαγνητικού πεδίου. Πρόσφατα οι Benedetti & Turchetti (2005, Phys. Let. A, 340, 461) χρησιμοποιώντας προσεγγίσεις πρώτης τάξης της κανονικής θεωρίας διαταραχών, κατέληξαν σε αναλυτικές εκφράσεις για τη μεταβολή της θέσης και της ταχύτητας της δέσμης όταν αυτή δέχεται εντοπισμένες επιδράσεις πολυπολικών μαγνητικών πεδίων. Συγκεκριμένα, κατάφεραν να περιγράψουν την κίνηση της δέσμης μέσω συμπλεκτικών απεικονίσεων, οι βασικές συχνότητες των οποίων μεταβάλλονται λόγω της κατανομής φορτίου. Ακολουθώντας αυτή τη θεωρητική προσέγγιση και χρησιμοποιώντας συγκεκριμένες συναρτησιακές μορφές για την κατανομή φορτίου (η οποία θεωρούμε ότι παραμένει παγωμένη κατά τη δυναμική εξέλιξη της δέσμης), οδηγηθήκαμε στην περιγραφή της δυναμικής της δέσμης μέσω απεικονίσεων οι εξισώσεις των οποίων δίνονται από σχετικά απλές αναλυτικές εκφράσεις. Συγκεκριμένα εξετάσαμε α) την απλή περίπτωση μιας επίπεδης δέσμης η οποία εμφανίζει μόνο οριζόντιες βητατρονικές ταλαντώσεις, και β) την γενικότερη περίπτωση μιας δέσμης με οριζόντιες και κατακόρυφες βητατρονικές ταλαντώσεις, καταλήγοντας αντίστοιχα σε δισδιάστατες (2D) και τετραδιάστατες (4D) απεικονίσεις. Στη συνέχεια μελετήσαμε αριθμητικά τις δυο αυτές απεικονίσεις για διάφορες τιμές της διαταραχής που επιφέρει η παρουσία της κατανομής φορτίου. Παρατηρήσαμε ότι ακόμα και για πολύ μικρές τιμές της διαταραχής η περιοχή των φραγμένων βητατρονικών ταλαντώσεων μειώνεται σημαντικά τόσο στην 2D όσο και στην 4D απεικόνιση. Συγκεκριμένα, στη δισδιάστατη περίπτωση η δέσμη πρακτικά καταστρέφεται όταν η τιμή της διαταραχής ξεπεράσει μια συγκεκριμένη τιμή, ενώ στην περίπτωση της τετραδιάστατης απεικόνισης η μείωση της περιοχής φραγμένης κίνησης, ως συνάρτηση της αύξησης της διαταραχής, είναι εξίσου σημαντική Χ. Σκόκος 9

10 χωρίς όμως να παρουσιάζει απότομες μεταβολές. Από τα παραπάνω αποτελέσματα γίνεται εμφανές ότι οι αλληλεπιδράσεις φορτίων στο εσωτερικό των πυκνών δεσμών σωματιδίων επηρεάζουν καταλυτικά τη δυναμική συμπεριφορά της δέσμης μειώνοντας σημαντικά την περιοχή ευστάθειάς της. P.22 Antonopoulos Ch., Bountis T. C. & Skokos Ch. "Chaotic dynamics of N-degree of freedom Hamiltonian systems" 2006, Int. J. Bifurc. Chaos, 16(6), Στην παρούσα εργασία μελετάμε τη σχέση ανάμεσα στην τοπική και την ολική δυναμική συμπεριφορά δυο πολυδιάστατων δυναμικών συστημάτων: α) του μονοδιάστατου μη γραμμικού πλέγματος Ν σωματιδίων των Fermi-Pasta-Ulam (FPU), όπου το δυναμικό αλληλεπίδρασης γειτονικών σωματιδίων εξαρτάται από τη δεύτερη και τέταρτη δύναμη της μεταξύ τους απόστασης και β) ενός Χαμιλτονιανού συστήματος το οποίο προκύπτει από μια κατάλληλη διακριτοποίηση της μερικής διαφορικής εξίσωσης Gross-Pitaevskii και σχετίζεται με το φαινόμενο της συμπύκνωσης Bose-Einstein (Bose-Einstein Condensation, BEC). Αρχικά εντοπίζουμε κάποιες απλές περιοδικές λύσεις των συστημάτων αυτών που αντιστοιχούν σε ορισμένους κανονικούς τρόπους ταλάντωσης (modes), όπου τα σωματίδια κινούνται σε συμφωνία φάσης (inphase mode, IPM) και αντίθεση φάσης (out-of-phase mode, OPM) και εξετάζουμε αναλυτικά και αριθμητικά την ευστάθεια τους. Η ενέργεια αποσταθεροποίησης ανά σωματίδιο, E c /N (όπου η περιοδική τροχιά γίνεται ασταθής), των OPMs τείνει να μηδενιστεί καθώς ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας Ν αυξάνει, ακολουθώντας -α ένα νόμο δύναμης της μορφής E/N c N όπου α=1 ή α=2, ενώ ο IPM του συστήματος BEC παραμένει πάντοτε ευσταθής. Το μέγεθος των περιοχών ευστάθειας των παραπάνω περιοδικών τροχιών εκτιμάται με τη βοήθεια του Μικρότερου Δείκτη Ευθυγράμμισης (Smaller Alignment Index, SALI). Παρατηρούμε ότι το μέγεθος των νησίδων ευστάθειας των OPMs μειώνεται με την αύξηση των βαθμών ελευθερίας Ν, όταν η τιμή της ενέργειας Ε παραμένει σταθερή. Στην περίπτωση του OPM του συστήματος BEC οι νησίδες ευστάθειας έχουν σημαντικό μέγεθος τουλάχιστον μέχρι την ενέργεια αποσταθεροποίησης E c, όταν ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας Ν παραμένει σταθερός. Στην περίπτωση όπου οι OPMs είναι ασταθείς υπολογίζουμε το φάσμα των εκθετών Lyapunov βρίσκοντας παράλληλα απλούς εμπειρικούς νόμους που περιγράφουν την κατανομή τους -3i/N ( L(N) i e, i=1,2,...,n-1) όταν πλησιάζουμε το θερμοδυναμικό όριο (N, E με σταθερό λόγο B Ε/Ν) καθώς και την αύξηση των τιμών των εκθετών Lyapunov L i συναρτήσει της ενέργειας ( Li E, B>0). Μπορέσαμε με αυτόν τον τρόπο να δείξουμε ότι και στα δυο Χαμιλτονιανά συστήματα η εντροπία Kolomogorov-Sinai είναι μια θερμοδυναμική ποσότητα η οποία αυξάνει γραμμικά συναρτήσει του πλήθους των σωματιδίων Ν. P.23 Skokos Ch., Bountis T. C. & Antonopoulos Ch. "Geometrical properties of local dynamics in Hamiltonian systems: the Generalized Alignment Index (GALI) method" 2007, Physica D, 231, Στην παρούσα εργασία εισάγουμε μια νέα μέθοδο για τη διάκριση τάξης και χάους σε διατηρητικά δυναμικά συστήματα: τον υπολογισμό του Γενικευμένου Δείκτη Ευθυγράμμισης τάξης k (Generalized Alignment Index of order k GALI k ). Ο δείκτης GALI k αποτελεί μια γενίκευση του Μικρότερου Δείκτη Ευθυγράμμισης SALI (Skokos, 2001, J. Phys. A, 34, 10029, Skokos et al., 2004, J. Phys. A, 37, 6269) αφού, όπως αποδεικνύεται SALI GALI 2, παρουσιάζοντας ταυτόχρονα καλύτερες επιδόσεις στη γρήγορη διάκριση τάξης και χάους ακόμα και στις περιπτώσεις που ο SALI αντιμετωπίζει δυσκολίες. Ξεκινώντας από την παρατήρηση ότι ο SALI είναι πρακτικά ανάλογος του εμβαδού του παραλληλογράμμου που ορίζουν δυο αρχικώς γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα εκτροπής από μια τροχιά ενός Χαμιλτονιανού συστήματος, μελετήσαμε τη δυναμική εξέλιξη του όγκου των γενικευμένων παραλληλεπιπέδων που σχηματίζονται από περισσότερα από 2 διανύσματα εκτροπής. Η χρονική εξέλιξη των όγκων αυτών επηρεάζεται καθοριστικά από τη χαοτική ή οργανωμένη συμπεριφορά της τροχιάς. Ο δείκτης GALI k ορίζεται ως ο όγκος του γενικευμένου παραλληλεπιπέδου που σχηματίζεται από k αρχικώς γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα εκτροπής, και υπολογίζεται ως η νόρμα του εξωτερικού τους γινομένου. Στη συνέχεια, αποδεικνύουμε αναλυτικά και επιβεβαιώνουμε αριθμητικά τη διαφορετική συμπεριφορά του GALI για χαοτικές και οργανωμένες τροχιές σε Χαμιλτονιανά συστήματα N (N 2) βαθμών ελευθερίας. Στην περίπτωση χαοτικών τροχιών ο δείκτης τείνει εκθετικά στο μηδέν ως Χ. Σκόκος 10

11 GALI e k -[(σ1 σ 2 ) + (σ1 σ 3 ) (σ1 σ k )]t όπου σ i, i=1,2,,k οι k μεγαλύτεροι εκθέτες Lyapunov. Αντίθετα για οργανωμένες τροχιές ο GALI k παραμένει διάφορος του μηδενός για 2 k N, ενώ τείνει στο μηδέν για Ν<k 2Ν ακολουθώντας νόμους δύναμης του χρόνου οι εκθέτες των οποίων εξαρτώνται από τα k, N και το πλήθος των αρχικών διανυσμάτων εκτροπής που ήταν εφαπτομενικά στον τόρο, στον οποίο γίνεται η κίνηση. P.24 Manos T., Skokos Ch., Athanassoula E. & Bountis T. "Studying the global dynamics of conservative dynamical systems using the SALI chaos detection method" 2008, Nonlin. Phenom. Complex Syst., 11, Στην παρούσα εργασία χρησιμοποιούμε τη μέθοδο του Μικρότερου Δείκτη Ευθυγράμμισης (Smaller Alignment Index - SALI) για τη μελέτη διατηρητικών δυναμικών συστημάτων. Συγκεκριμένα, μελετάμε την τυπική απεικόνιση (standard map), η οποία είναι μια συμπλεκτική απεικόνιση 2 διαστάσεων, και μια γενίκευση της στις τέσσερις διαστάσεις, καθώς και Χαμιλτονιανά συστήματα 2 και 3 βαθμών ελευθερίας, τα οποία περιγράφουν μοντέλα γαλαξιακών ράβδων. Εφαρμόζοντας τη μέθοδο SALI καταφέραμε να εκτιμήσουμε αποτελεσματικά και με ακρίβεια το ποσοστό των οργανωμένων και των χαοτικών τροχιών στο χώρο φάσεων των παραπάνω συστημάτων, καθώς και την εξάρτηση των ποσοστών αυτών από τις τιμές ορισμένων βασικών παραμέτρων των υπό εξέταση δυναμικών μοντέλων. Στην περίπτωση της τυπικής απεικόνισης χρησιμοποιώντας έναν ιδιαιτέρως αποτελεσματικό αλγόριθμο υπολογίσαμε το ποσοστό των οργανωμένων τροχιών για μεγάλες τιμές της παραμέτρου μη γραμμικότητας Κ (180<Κ<200) μειώνοντας το υπολογιστικό κόστος της αριθμητικής διαδικασίας κατά τουλάχιστον ένα παράγοντα 100 σε σχέση με προηγούμενες μελέτες (Dvorak et al. 2003). Στην περίπτωση των μοντέλων γαλαξιακών ράβδων μελετήσαμε την επίδραση διαφόρων φυσικών παραμέτρων του συστήματος όπως η μάζα και η ταχύτητα περιστροφής της ράβδου, καθώς και το πάχος αυτής εκτός του γαλαξιακού επιπέδου στη χαοτική συμπεριφορά του συστήματος. Τα αποτελέσματά μας έδειξαν ότι το ποσοστό των χαοτικών τροχιών αυξάνει με την αύξηση της μάζας της ράβδου και τη μείωση του πάχους και της ταχύτητας περιστροφής της. P.25 Skokos Ch., Bountis T. C. & Antonopoulos Ch. "Detecting chaos, determining the dimensions of tori and predicting slow diffusion in Fermi-Pasta-Ulam lattices by the Generalized Alignment Index method" 2008, Eur. Phys. J. Sp. Top., 165, Στην παρούσα εργασία εφαρμόζουμε τη μέθοδο του Γενικευμένου Δείκτη Ευθυγράμμισης τάξης k, Generalized Alignment Index of order k GALI k (Skokos et al., 2007, Physica D, 231, 30) για τη δυναμική μελέτη πολυδιάστατων Χαμιλτονιανών συστημάτων Ν βαθμών ελευθερίας. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιώντας ως δυναμικό μοντέλο το σύστημα ενός μονοδιάστατου μη γραμμικού πλέγματος Ν=8 σωματιδίων των Fermi- Pasta-Ulam (FPU), δείχνουμε ότι με τη μέθοδο του GALI μπορούμε: α) να διακρίνουμε αξιόπιστα και γρήγορα μεταξύ οργανωμένης και χαοτικής κίνησης, β) να προβλέψουμε τη διάχυση ασθενώς χαοτικών τροχιών πριν αυτή γίνει εμφανής στη μορφολογία της κίνησης και γ) στην περίπτωση οργανωμένων τροχιών να καθορίσουμε τη διάσταση του τόρου πάνω στον οποίο βρίσκεται η τροχιά. Αρχικά εισάγουμε μια ιδιαιτέρως αποτελεσματική και γρήγορη διαδικασία υπολογισμού των δεικτών GALI η οποία βασίζεται στη μέθοδο της Ανάλυσης Ιδιαζουσών Ιδιοτιμών (Singular Value Decomposition SVD). Συγκεκριμένα, αποδεικνύουμε ότι ο δείκτης GALI τάξης k ισούται με το γινόμενο των ιδιαζουσών ιδιοτιμών του πίνακα με στήλες τα k μοναδιαία διανύσματα εκτροπής από την τροχιά που μελετάμε. Στη συνέχεια αποδεικνύουμε αναλυτικά και επιβεβαιώνουμε αριθμητικά ότι στην περίπτωση οργανωμένων τροχιών, οι οποίες βρίσκονται πάνω σε τόρους διάστασης s, χαμηλότερης από αυτή που επιτρέπεται από το πλήθος Ν των βαθμών ελευθερίας του δυναμικού συστήματος (s Ν), ο δείκτης GALI k παραμένει διάφορος του μηδενός για 2 k s, ενώ τείνει στο μηδέν για s<k 2Ν ακολουθώντας νόμους δύναμης του χρόνου, οι εκθέτες των οποίων εξαρτώνται από τα s, k και N. Αυτή ακριβώς η εξάρτηση της συμπεριφοράς των δεικτών GALI k από την τιμή s, μας δίνει τη δυνατότητα, μελετώντας τη χρονική εξέλιξη των δεικτών, να καθορίσουμε τη διάσταση του τόρου. P.26 Flach S., Krimer D. O. & Skokos Ch. "Universal spreading of wave packets in disordered nonlinear systems" Χ. Σκόκος 11

12 2009, Phys. Rev. Let., 102, (Erratum: Phys. Rev. Let., 102, ). Στην παρούσα εργασία μελετήθηκε ο μηχανισμός εξάπλωσης ενός αρχικά εντοπισμένου κυματοπακέτου σε μονοδιάστατα διαταραγμένα (disordered) μη γραμμικά πλέγματα. Συγκεκριμένα εξετάστηκαν μονοδιάστατα πλέγματα Ν=1000 σωματιδίων (που αντιστοιχούν σε συστήματα Ν=1000 βαθμών ελευθερίας) η δυναμική των οποίων περιγράφεται α) από τη διακριτή μη γραμμική εξίσωση του Schrödinger (discrete nonlinear Schrödinger equation DNLS) και β) από ένα Χαμιλτονιανό σύστημα που αντιστοιχεί σε μια αλυσίδα Klein-Gordon (KG) συζευγμένων αναρμονικών ταλαντωτών. Και στα δυο συστήματα το δυναμικό κάθε σωματιδίου καθορίζεται από μια παράμετρο, η τιμή της οποίας κατανέμεται τυχαία και ομοιόμορφα σε ένα καθορισμένο διάστημα τιμών. Συγκεκριμένα, μελετήθηκε θεωρητικά και αριθμητικά, για διάφορες τιμές της μη γραμμικότητας, η εξάπλωση κυματοπακέτων που προκύπτουν από την αρχική διαταραχή του κεντρικού σωματιδίου του πλέγματος. Δείξαμε θεωρητικά ότι η ροπή δεύτερης τάξης (second moment m 2 ) του κυματοπακέτου θα πρέπει να αυξάνει χρονικά ακολουθώντας ένα νόμο δύναμης της μορφής t a με a=1/3. Τα αποτελέσματα των αριθμητικών προσομοιώσεων επιβεβαίωσαν τη θεωρητική αυτή πρόβλεψη. Συγκεκριμένα παρατηρήθηκαν τρία διαφορετικά είδη συμπεριφοράς ανάλογα με την τιμή της παραμέτρου μη γραμμικότητας: α) για μικρές τιμές της παραμέτρου παρατηρήθηκε χωρικός εντοπισμός του κυματοπακέτου για ένα μεταβατικό χρονικό διάστημα πριν την εξάπλωση, β) για μεγαλύτερες τιμές της παραμέτρου το κυματοπακέτο εξαπλώνεται αμέσως με τη ροπή δεύτερης τάξης να ακολουθεί το νόμο δύναμης με εκθέτη a=1/3, και γ) για μεγάλες τιμές της παραμέτρου ένα μέρος του κυματοπακέτου παραμένει εντοπισμένο και ένα μέρος αυτού εξαπλώνεται. Οι θεωρητικές εκτιμήσεις των ορίων των τιμών της παραμέτρου μη γραμμικότητας μεταξύ των τριών παρατηρούμενων συμπεριφορών, επαληθεύονται ικανοποιητικά από τα αποτελέσματα των αριθμητικών προσομοιώσεων και στα δυο υπό εξέταση μοντέλα. P.27 Skokos Ch., Krimer D. O., Komineas S. & Flach S. "Delocalization of wave packets in disordered nonlinear chains" 2009, Phys. Rev. E, 79, Το αντικείμενο της εργασίας είναι η λεπτομερής μελέτη της διάδοσης ενέργειας σε μονοδιάστατα διαταραγμένα (disordered) μη γραμμικά πλέγματα. Συγκεκριμένα εξετάστηκε η διάδοση κυματοπακέτων τα οποία δημιουργούνται από μια αρχική διέγερση ενός ή περισσοτέρων σωματιδίων ή μιας ιδιοκατάστασης του γραμμικού πλέγματος. Τα Χαμιλτονιανά συστήματα που μελετήθηκαν είναι αυτό της διακριτής μη γραμμικής εξίσωσης του Schrödinger (discrete nonlinear Schrödinger equation DNLS) και μιας αλυσίδας Klein-Gordon (KG) συζευγμένων αναρμονικών ταλαντωτών. Για όλες αυτές τις διεγέρσεις επιβεβαιώθηκε η ύπαρξη τριών διαφορετικών δυναμικών συμπεριφορών (σε συμφωνία με την εργασία Flach S., Krimer D. O. & Skokos Ch., 2009, Phys. Rev. Let., 102, ), ανάλογα με τη σχέση της αλλαγής δ των συχνοτήτων των ταλαντωτών που επιφέρει η μη γραμμικότητα με τη μέση απόσταση Δλ των ιδιοσυχνοτήτων και του εύρους Δ του φάσματός τους. Για μικρές τιμές της μη γραμμικότητας έχουμε δ<δλ και το κυματοπακέτο παραμένει αρχικά εντοπισμένο μέχρι κάποια χρονική στιγμή τ d (detrapping time) μετά την οποία εξαπλώνεται. Η αύξηση του χρόνου τ d με τη μείωση της μη γραμμικότητας μελετήθηκε θεωρητικά και επιβεβαιώθηκε αριθμητικά. Για μεγαλύτερες τιμές της μη γραμμικότητας, τέτοιες ώστε Δλ<δ<Δ, παρατηρούμε άμεση εξάπλωση του κυματοπακέτου, η ροπή δεύτερης τάξης (second moment m 2 ) του οποίου αυξάνει ακολουθώντας το νόμο t 1/3 σε συμφωνία με τις θεωρητικές μας προβλέψεις. Για ακόμα μεγαλύτερες τιμές της μη γραμμικότητας έχουμε δ>δ και το μεγαλύτερο μέρος του κυματοπακέτου παραμένει εντοπισμένο ενώ ένα μικρό του ποσοστό εξαπλώνεται ώστε και πάλι να έχουμε m 2 ~t 1/3. Για να μελετήσουμε τη δυναμική συμπεριφορά ενός κυματοπακέτου και κυρίως τη δημιουργία κενών σε αυτό κατά τη διάρκεια της εξάπλωσης του, ορίσαμε έναν κατάλληλο δείκτη συμπάγειας (compactness index), ο οποίος παρουσιάζει διαφορετική συμπεριφορά για τα τρία είδη δυναμικής. Συγκεκριμένα, στην περίπτωση όπου Δλ<δ<Δ, ο δέικτης αυτός μας πληροφορεί ότι το κυματοπακέτο δεν αραιώνει όταν εξαπλώνεται. Γενικά, η εξάπλωση ενός κυματοπακέτου οφείλεται στη χαοτική συμπεριφορά των συστημάτων που εξετάζουμε και στους συντονισμούς μεταξύ διαφορετικών ιδιοκαταστάσεων, τους οποίους και μελετήσαμε διεξοδικά. Επίσης δείξαμε ότι για μεγάλες τιμές της ισχύος της διαταραχής ή/και της μη γραμμικότητας δεν παρατηρείται αριθμητικά η εξάπλωση του κυματοπακέτου, είτε γιατί το ποσοστό που εξαπλώνεται είναι πολύ μικρό, είτε γιατί ο χρόνος τ d υπερβαίνει τις υπολογιστικές μας δυνατότητες. Τέλος, στο παράρτημα της εργασίας παρουσιάζεται αναλυτικά η συμπλεκτική μέθοδος ολοκλήρωσης που χρησιμοποιήθηκε στη μελέτη μας. Χ. Σκόκος 12