ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΕΝΤΟΠΙΣΜΕΝΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΛΕΓΜΑΤΑ ΜΕ ΥΝΑΜΙΚΟ ΣΚΛΗΡΟΥ ΚΑΙ ΜΑΛΑΚΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ. , Τάσος Μπούντης ()

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΕΝΤΟΠΙΣΜΕΝΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΛΕΓΜΑΤΑ ΜΕ ΥΝΑΜΙΚΟ ΣΚΛΗΡΟΥ ΚΑΙ ΜΑΛΑΚΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ. , Τάσος Μπούντης ()"

Transcript

1 Παναγόπουλος Μπούντης Σκόκος 1 ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΕΝΤΟΠΙΣΜΕΝΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΛΕΓΜΑΤΑ ΜΕ ΥΝΑΜΙΚΟ ΣΚΛΗΡΟΥ ΚΑΙ ΜΑΛΑΚΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ Παναγιώτης Παναγόπουλος ) ( a b Τάσος Μπούντης () b και Χαράλαµπος Σκόκος () ( a ) Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πολυτεχνειούπολη Αθήνα. ( b ) Τµήµα Μαθηµατικών και Κέντρο Έρευνας και Εφαρµογών Μη Γραµµικών Συστηµάτων Πανεπιστήµιο Πάτρας Πάτρα. Περίληψη Στην εργασία αυτή χρησιµοποιούµε την µέθοδο των οµοκλινικών τροχιών για την µελέτη της ύπαρξης και ευστάθειας των διακριτών πνοών (breathers) δηλ. χωρικά εντοπισµένων και χρονικά περιοδικών ταλαντώσεων σε µια κλάση µονοδιάστατων (1D) µη γραµµικών πλεγµάτων. Ο εντοπισµός µπορεί να είναι σε ένα η σε πολλά πλεγµατικά σηµεία και τα 1D πλέγµατα που µελετούµε στην εργασία έχουν γραµµική αλληλεπίδραση µεταξύ πλησιέστερων γειτόνων και δυναµικό πλεγµατικού σηµείου της µορφής: V ( u ) = Ku ± u 2 4 όπου το πρόσηµο ( + ) αντιστοιχεί στην αλληλεπίδραση σκληρού ελατηρίου και το πρόσηµο ( - ) στην αλληλεπίδραση µαλακού ελατηρίου. Αυτές οι εντοπισµένες ταλαντώσεις όταν είναι ευσταθείς για µικρές διαταραχές έχουν ιδιαίτερη σηµασία για τα φυσικά συστήµατα διότι επιδρούν δραστικά στις ιδιότητες της µεταφοράς ενέργειας του πλέγµατος [12]. ιακριτές πνοές έχουν δηµιουργηθεί και παρατηρηθεί σε πολλά πειράµατα όπως σε παρατάξεις (arrays) επαφών Josephson [34] οπτικούς κυµατοδηγούς [5] και σε επιφάνειες χαµηλής διάστασης [6]. Αφού κατασκευάσουµε τέτοιες εντοπισµένες ταλαντώσεις χρησιµοποιούµε θεωρία Floquet για να µελετήσουµε την γραµµική (τοπική) ευστάθεια τους κατα µήκος συγκεκριµένων καµπυλών του παραµετρικού χώρου (α ω) όπου α είναι η σταθερά αλληλεπίδρασης µεταξύ πλησιεστέρων γειτόνων και ω η συχνότητα των πνοών. Στη συνέχεια εφαρµόζουµε την µέθοδο του µικρότερου δείκτη ευθυγράµµισης (Smaller Alignment Index - SALI) [7-11] για να ερευνήσουµε τις ιδιότητες ευστάθειας πιο συνολικά στο χώρο των φάσεων. Συγκρίνοντας τα αποτελέσµατα για τις ± περιπτώσεις του V(u) βρίσκουµε ότι οι περιοχές ύπαρξης και ευστάθειας των πνοών σε πλέγµα µε σκληρά ελατήρια είναι σαφώς µεγαλύτερες από αυτές σε σύστηµα µε µαλακά ελατήρια. Αυτό οφείλεται κυρίως στο γεγονός ότι οι συνθήκες για συντονισµούς µεταξύ των πνοών και των γραµµικών τρόπων είναι λιγότερο περιοριστικές στην πρώτη περίπτωση από ότι στην δεύτερη. Επιπλέον οι ιδιότητες των διακλαδώσεων είναι διαφορετικές για τις δύο περιπτώσεις. Για παράδειγµα το φαινόµενο της µιγαδικής αστάθειας παρατηρήθηκε µόνο σε σύστηµα µε δυναµικό µαλακού ελατηρίου δηµιουργώντας αστάθεια στις πνοές χωρίς να δηµιουργεί νέες ενώ το σύστηµα µε σκληρά ελατήρια παρουσιάζει καµπύλες του παραµετρικού χώρου κατά µήκος των οποίων ο αριθµός των ιδιοτιµών του µονόδροµου πίνακα που βρίσκονται στο µοναδιαίο κύκλο είναι σταθερός και έτσι οι πνοές διατηρούν τον χαρακτήρα της ευστάθειάς τους. Στην εργασία [12] παρουσιάζουµε µια λεπτοµερέστερη µελέτη του προβλήµατος που εξετάζουµε στην παρούσα εργασία. 1. Εισαγωγή Θεωρούµε µονοδιάστατο (1D) πλέγµα που περιγράφεται από τις παρακάτω εξισώσεις κίνησης: u n + V ( un) = a( un+ 1+ un 1 2 un) < n<+ (1) όπου u n (t) είναι η µετατόπιση του n-στου πλεγµατικού σηµείου a η παράµετρος σύζευξης και V ( u) το δυναµικό πλεγµατικού σηµείου που έχει την παρακάτω µορφή: Vu ( ) = Ku ± u (2) 2 2 όπου K > 0 είναι µία σταθερή παράµετρος. Οι τελείες συµβολίζουν παραγώγιση ως προς χρόνο και ο τόνος παραγώγιση ως προς το όρισµα. Οι εξισώσεις (1) περιγράφουν τη δυναµική µιας άπειρης αλυσίδας ταλαντωτών στην οποία ο καθένας δέχεται γραµµικές δυνάµεις Hooke από τους δύο πλησιέστερους γείτονες και πεδιακή δύναµη µε δυναµικό V που παράγει ένα κατάλληλο υπόστρωµα. Το πρόσηµο (+) στην Εξ. (2) σηµαίνει ότι τα σωµατίδια αλληλεπιδρούν µε το υπόστρωµα µε δυνάµεις σκληρού ελατηρίου ενώ το πρόσηµο ( ) αναφέρεται στη περίπτωση του µαλακού ελατηρίου. Από τη δηµοσίευση του σηµαντικού άρθρου των MacKay και Aubry το 1994 [13] στο οποίο έχει θεµελιωθεί αυστηρά η ύπαρξη των χωρικά εντοπισµένων χρονικά περιοδικών λύσεων (γνωστών ως discrete breathers στα Ελληνικά: διακριτές πνοές) σε συστήµατα όµοια µε το (1) η βιβλιογραφία έχει εµπλουτισθεί µε πολλά αποτελέσµατα σχετικά µε τις ιδιότητες αυτών των λύσεων (βλ. [121415]). Υπάρχουν διάφορες µέθοδοι υπολογισµού σε κάθε επιθυµητή αριθµητική ακρίβεια των λύσεων τύπου διακριτών πνοών σε σύστηµα της µορφής (1) µε δυναµικό πλεγµατικού σηµείου (2). Με τον όρο αριθµητικά ακριβής διακριτή πνοή εννοούµε µία λύση η οποία είναι χωρικά εντοπισµένη και χρονικά περιοδική σε πλέγµα N σωµατιδίων και η οποία διατηρείται αναλλοίωτη καθώς το N αυξάνει. Στη παρούσα εργασία χρησιµοποιούµε την πρόσφατη µέθοδο οµοκλινικών τροχιών αντιστρεπτών απεικονίσεων [16-19] η οποία εφαρµόζεται ανεξάρτητα της τιµής της παραµέτρου σύζευξης α στον χώρο Fourier και δίνει πολύ καλές προσεγγίσεις για τις αρχικές συνθήκες των διακριτών πνοών. Στη συνέχεια µε τη χρήση ενός κατάλληλου αλγορίθµου Newton που αναπτύξαµε κατασκευάζουµε τις αριθµητικά ακριβείς διακριτές πνοές µε την επιθυµητή ακρίβεια. 2. Μέθοδος Οµοκλινικών Τροχιών Εφόσον οι λύσεις τύπου διακριτών πνοών της Εξ. (1) είναι χρονικά περιοδική µε περίοδο T και συχνότητα ω = 2 π /T µπορούν να αναπτυχθούν σε σειρά Fourier un( t) = An( k)exp( ikωt) (3) k =

2 Παναγόπουλος Μπούντης Σκόκος 2 µε συντελεστές * A ( k) = A ( k). n Λογω της συµµετρίας του δυναµικού (2) ισχύει ότι µόνον οι τρόποι ταλάντωσης µε περιττό δείκτη k είναι µη-µηδενικοί και ότι οι ταλαντώσεις έχουν µηδενική µέση µετατόπιση. Για αυτό το λόγο απαιτούµε Α n (0)=0. Επιπλέον τα σωµατίδια ταλαντώνονται σε φάση έτσι θεωρούµε τα Α n (k) πραγµατικούς αριθµούς. Για τη περίπτωση σκληρού ελατηρίου η µέθοδος αναπτύσσεται στη βιβλιογραφία [16-19]. Στην παρούσα εργασία εφαρµόζουµε τη µέθοδο για δυναµικό µαλακού ελατηρίου Vu ( ) = Ku u. 2 2 (5) Αντικαθιστώντας την Eξ. (3) στις εξισώσεις κίνησης (1) και εξισώνοντας τους συντελεστές του exp( ikω t) για κάθε k καταλήγουµε στο παρακάτω αλγεβρικό σύστηµα για τα A n ( k) : όπου k 1 + k2 + k3 = k και 1 A ( k) A ( k) C( k) A ( k) A ( k ) A ( k ) A ( k ) n+ 1 n 1 n n 1 n 2 n 3 α k1 k2 k3 n + = (6) 2 2 K k ω Ck ( ) = 2 +. α (7) Η αναδροµική σχέση (6) είναι µία απειροδιάστατη απεικόνιση των A n (k) µε τον δείκτη πλεγµατικού σηµείου n σαν παράµετρο επανάληψης. Ο χωρικός εντοπισµός απαιτεί ότι An ( k) 0 για n. Έτσι µια πνοή είναι µια οµοκλινική τροχιά στο χώρο των συντελεστών Fourier δηλαδή µια διπλά άπειρη ακολουθία σηµείων που ξεκινά από το 0 για n και τελειώνει στο 0 για n +. Για να εργαστούµε όµως µε οποιαδήποτε αριθµητική µέθοδο οφείλουµε να περιοριστούµε σε ένα πεπερασµένο υπόχωρο του χώρου συντελεστών Fourier µε δείκτες ( n k). Εάν θεωρήσουµε M αρµονικούς όρους της σειράς Fourier στην Εξ. (3) δηλαδή k=13.2m+1 για ( < n < + ) τότε η Εξ. (6) αναπαριστά µια απεικόνιση 2M-διαστάσεων όποτε και οι λύσεις τύπου διακριτών πνοών υπάρχουν στη γειτονιά της τετριµµένης λύσης (A n (k) = 0 για όλα τα n k) µε τη προϋπόθεση ότι αυτή η λύση είναι υπερβολική δηλαδή η τετριµµένη λύση είναι ένα σαγµατικό σηµείο της απεικόνισης. Για να εξετάσουµε εάν το σηµείο (A n (k) = 0 για όλα τα n k) είναι υπερβολικό και να προσδιορίσουµε τις διαστάσεις της ευσταθούς και ασταθούς πολλαπλότητας γραµµικοποιούµε την απεικόνιση της Εξ. (6) στη περιοχή του σηµείου. Η απαίτηση να είναι το σταθερό σηµείο (A n (k) = 0 για όλα τα n k) της απεικόνισης υπερβολικό συνεπάγεται ότι η βασική συχνότητα της διακριτής πνοής: ( ) ω = K α C(1) 2 και όλες οι αρµονικές της πρέπει να είναι εκτός της ζώνης των φωνονίων δηλαδή ότι ω < K η ω > K + 4α. (9) Για συστήµατα της µορφής (1) µε δυναµικό µαλακού ελατηρίου η βασική συχνότητα έχει τιµή µικρότερη των συχνοτήτων των φωνονίων ενώ συστήµατα µε δυναµικό σκληρού ελατηρίου η βασική συχνότητα έχει τιµή µεγαλύτερη των συχνοτήτων των φωνονίων. Στην παρούσα εργασία θεωρούµε την απλούστερη δυνατή προσέγγιση για την οποία η σειρά Fourier (3) αποτελείται από ένα µόνον όρο δηλαδή u (0) n () t = 2 An(1)cos ωt < n<+. (10) Αντικαθιστώντας την Εξ. (10) στην Εξ. (1) µε χρήση της Εξ. (5) και του µετασχηµατισµού για τον συντελεστή Fourier An(1) = α An (11) καταλήγουµε στην 2 διάστατη (2D) αντιστρεπτή απεικόνιση: 3 An+ 1+ An 1 + C(1) An = 3 An (12) Μια λύση της απεικόνισης (12) ονοµάζεται τροχιά της απεικόνισης. Εστιάζουµε το ενδιαφέρον µας σε οµοκλινικές τροχιές δηλαδή τροχιές που συνδέουν το σαγµατικό σηµείο (00) της απεικόνισης µε τον εαυτό του. Μια οµοκλινική τροχιά αποτελείται από σηµεία του επιπέδου ( A n + 1 An ) τα οποία ανήκουν στη τοµή της ευσταθούς πολλαπλότητας µε την ασταθή πολλαπλότητα του σαγµατικού σηµείου της απεικόνισης. Στο Σχ. 1 έχουµε σχεδιάσει στο επίπεδο ( A n + 1 An ) την ευσταθή και ασταθή πολλαπλότητα του σαγµατικού σηµείου (00) της 2 διάστατης απεικόνισης (12) για C ( 1) = 3 [12]. 3. Τοπική (γραµµική) και Ολική Ευστάθεια των ιακριτών Πνοών Μια περιοδική λύση { u n ( t)} της Εξ. (1) µε δυναµικό πλεγµατικού σηµείου (5) ονοµάζεται γραµµικά ευσταθής όταν όλες οι ιδιοτιµές του µονόδροµου πίνακα βρίσκονται επί του µοναδιαίου κύκλου. Όταν κάποιες ιδιοτιµές βρίσκονται εκτός του µοναδιαίου κύκλου τότε η αντίστοιχη περιοδική λύση ονοµάζεται γραµµικά ασταθής [1215]. Με τη µέθοδο των οµοκλινικών τροχιών κατασκευάσαµε ένα πλήθος λύσεων τύπου διακριτών πνοών της Εξ. (1) µε δυναµικό µαλακού ελατηρίου (5) και µελετήσαµε τα χαρακτηριστικά της γραµµικής ευστάθειας [12]. Για τη µελέτη της ολικής ευστάθειας των ευσταθών πνοών στις περιπτώσεις του σκληρού και του µαλακού ελατηρίου χρησιµοποιήσαµε τη µέθοδο του µικρότερου δείκτη ευθυγράµµισης (Smaller Alignment Index - SALI). Ο δείκτης SALI εισήχθη από τον Skokos [7] και εφαρµόστηκε επιτυχώς στη µελέτη συµπλεκτικών απεικονίσεων [7 8 9] και Χαµιλτονιανών συστηµάτων 2 και 3 βαθµών ελευθερίας [ ]. Το βασικό πλεονέκτηµα της µεθόδου είναι ότι ο δείκτης SALI διακρίνει σαφώς µεταξύ χαοτικής και (4) (8)

3 Παναγόπουλος Μπούντης Σκόκος 3 οργανωµένης συµπεριφοράς πολύ γρηγορότερα από ότι για παράδειγµα ο κλασικός υπολογισµός του µέγιστου χαρακτηριστικού εκθέτη Lyapunov. Συγκεκριµένα ο δείκτης SALI παραµένει διάφορος του µηδενός παρουσιάζοντας µικρές διακυµάνσεις για οργανωµένες τροχιές [10] ενώ τείνει εκθετικά στο µηδέν για χαοτικές τροχιές [11] φτάνοντας πολύ συχνά σε τιµές στα όρια ακρίβειας του υπολογιστή (10-16 ) οπότε και επιβεβαιώνεται πρακτικά η χαοτική συµπεριφοράς της τροχιάς πέρα από κάθε αµφιβολία. Σχήµα 1. Μέρος του οµοκλινικού πλέγµατος του σαγµατικού σηµείου (00) της απεικόνισης (12) για C(1)=3. Τα σηµεία τοµής της ευσταθούς (συνεχής γραµµή) και ασταθούς (διακεκοµµένη γραµµή) πολλαπλότητας αντιστοιχούν σε δυο διαφορετικές πνοές και σχεδιάζονται µε διαφορετικά χρώµατα (µαύρες και γκρι κουκίδες). Σχήµα 2. Κατανοµή στο µιγαδικό επίπεδο των ιδιοτιµών του µονόδροµου πίνακα της διακριτής πνοής (α) σε πλέγµα 21 σωµατιδίων µε C(1)=8 και Κ=2 για τις ακόλουθες τιµές της παραµέτρου σύζευξης α : (β) α=0015 (γ) α=005 και (δ) α=01. Σηµειώνουµε ότι µιγαδική αστάθεια εµφανίζεται για a 005. Για τον υπολογισµό του δείκτη SALI µιας τροχιάς ενός δυναµικού συστήµατος ακολουθούµε τη χρονική εξέλιξη της τροχιάς καθώς και δυο διανυσµάτων εκτροπής w 1 και w 2 από αυτή η χρονική εξέλιξη των οποίων διέπεται από τις εξισώσεις µεταβολών του συστήµατος. Σε

4 Παναγόπουλος Μπούντης Σκόκος 4 κάθε χρονικό βήµα Ν* τα διανύσµατα w 1 (N*) και w 2 (N*) κανονικοποιούνται ώστε να γίνουν µοναδιαία ενώ ο δείκτης SALI υπολογίζεται ως: * * * * * w1( N ) w2( N ) w1( N ) w2( N ) SALI ( N ) = min + * * * * (13) w1( N ) w2( N ) w1( N ) w2( N ) Για να σχηµατίσουµε µια πρώτη ιδέα του πόσο εύκολα ή δύσκολα διατηρείται η οργανωµένη συµπεριφορά των λύσεων του συστήµατος (1) στις περιπτώσεις του µαλακού και σκληρού ελατηρίου γύρω από ευσταθείς πνοές εξελίσσουµε διάφορες τροχιές οι αρχικές συνθήκες των οποίων διαφέρουν από τις ακριβείς αρχικές συνθήκες των ευσταθών πνοών µόνο ως προς τη θέση u 0 του κεντρικού σωµατιδίου κατά u 0. Για τις διάφορες τιµές της µεταβολής u 0 ο δείκτης SALI µας πληροφορεί για την χαοτική ή οργανωµένη συµπεριφορά της λύσης (Σχ. 3). Γενικά είδαµε ότι στην περίπτωση του σκληρού ελατηρίου οι περιοχές οργανωµένης κίνησης γύρω από ευσταθείς πνοές είναι µεγαλύτερες από ότι στην περίπτωση του µαλακού ελατηρίου αφού οδηγούµαστε σε χαοτική συµπεριφορά για µεγαλύτερες τιµές της µεταβολής u 0 [12]. Τα βασικά συµπεράσµατα της µελέτης της τοπικής και ολικής ευστάθειας των πνοών σε σύστηµα µαλακού και σκληρού ελατηρίου συνοψίζονται ως εξής (για περισσότερες λεπτοµέρειες ο αναγνώστης παραπέµπεται στην εργασία [12]): Στις περισσότερες περιπτώσεις καθώς η παράµετρος σύζευξης α αυξάνει οι διακριτές πνοές σε σύστηµα µαλακού ελατηρίου υφίστανται µετάπτωση µιγαδικής αστάθειας (Σχ. 2γ). Είναι σηµαντικό να σηµειώσουµε ότι αυτή η µετάπτωση αστάθειας σε αντίθεση µε άλλες διακλαδώσεις (π.χ. διπλασιασµού περιόδου) σηµαίνει τον τερµατισµό της οικογένειας των περιοδικών λύσεων καθώς δεν συνοδεύεται µε τη ταυτόχρονη εµφάνιση άλλων ευσταθών λύσεων [20]. Σε αντίθεση µε τη περίπτωση του σκληρού ελατηρίου όταν ακολουθούµε καµπύλες του παραµετρικού χώρου (ακω) που ορίζονται από την συνάρτηση: 2 K ω G( a K ω ) = 2 + = σταθερ ό a (14) οι διακριτές πνοές για σύστηµα µαλακού ελατηρίου δεν διατηρούν το πλήθος των ιδιοτιµών του µονόδροµου πίνακα µε µέτρο διάφορο της µονάδας. Στο Σχ. 2 (β) - (δ) έχουµε σχεδιάσει τη κατανοµή των ιδιοτιµών του µονόδροµου πίνακα µιας διακριτής πνοής µαλακού ελατηρίου για διάφορες τιµές της παραµέτρου σύζευξης α κρατώντας σταθερές τις τιµές των C (1) και K. Σε σύστηµα µε σκληρά ελατήρια δεν εµφανίζεται µετάπτωση µιγαδικής αστάθειας καθόσον οι πνοές γίνονται ασταθείς µόνον µε διαχωρισµό του ζευγαριού των ιδιοτιµών στο +1 και επί του πραγµατικού άξονα. Επίσης υπάρχουν καµπύλες του παραµετρικού χώρου (ακω) που ορίζονται προσεγγιστικά από την Εξ. (14) κατά µήκος των οποίων ο αριθµός των ιδιοτιµών του µονόδροµου πίνακα που βρίσκονται στο µοναδιαίο κύκλο είναι σταθερός και έτσι οι πνοές διατηρούν τον χαρακτήρα της ευστάθειάς τους. Σχήµα 3. Μεταβολή του λογαρίθµου του δείκτη SALI συναρτήσει του λογαρίθµου του αριθµού Ν* των χρονικών βηµάτων της εξέλιξης (α) µιας ευσταθούς πνοής µε εντοπισµένη ταλάντωση στο κεντρικό πλεγµατικό σηµείο πλέγµατος 21 σωµατιδίων και δυναµικό σκληρού ελατηρίου για C(1)=8 α= Κ=2 και (β) της χαοτικής λύσης για διαταραχή u 0 =1.9 της αρχικής συνθήκης του κεντρικού σωµατιδίου. Όπως δείχνουν τα παραπάνω αποτελέσµατα οι περιοχές ευστάθειας των διακριτών πνοών των σκληρών ελατηρίων φαίνεται ότι είναι πολύ µεγαλύτερες από εκείνες των µαλακών. Για παράδειγµα συγκρίνοντας τα Σχήµατα 3 και 4 βλέπουµε ότι το µεσαίο σωµατίδιο χρειάστηκε να µετατοπισθεί κατά u 0 =1.9 από την θέση του για να αποσταθεροποιηθεί η λύση διακριτής πνοής ενώ η αντίστοιχη µετατόπιση για τα µαλακά ελατήρια ήταν u 0 = Οι διαφορετικές αυτές δυναµικές ιδιότητες των εντοπισµένων ταλαντώσεων των ως άνω περιπτώσεων πρέπει να διερευνηθούν περισσότερο ακριβώς επειδή µπορεί να υποδηλούν διαφορετικές φυσικές ιδιότητες των πλεγµάτων σκληρών και µαλακών ελατηρίων οι οποίες ίσως να µπορούν να επιβεβαιωθούν και πειραµατικά.

5 Παναγόπουλος Μπούντης Σκόκος 5 Σχήµα 4. Η διπλά λογαριθµική µεταβολή του SALI ως προς τον αριθµό N * των χρονικών βηµάτων της εξέλιξης της ευσταθούς πνοής µε εντοπισµένη ταλάντωση στο κεντρικό πλεγµατικό σηµείο πλέγµατος 21 σωµατιδίων και δυναµικό µαλακού ελατηρίου για C(1)=8 α= K=2 (καµπύλη (α)) και για την ίδια λύση όταν πια έχει αποσταθεροποιηθεί µετά από διαταραχή u 0 =02207 της αρχικής θέσης του κεντρικού σωµατιδίου (καµπύλη (β)). Ευχαριστίες Οι συγγραφείς ευχαριστούν τον καθηγητή κ. Α. Βακάκη και τον ρ. J. Bergamin για τα χρήσιµα σχόλια τους σχετικά µε το θέµα της παρούσας εργασίας. Ο Χ. Σκόκος ενισχύθηκε οικονοµικά από το Πανεπιστήµιο Πατρών στο πλαίσιο της µεταδιδακτορικής υποτροφίας Καραθεοδωρή Νο Αναφορές [1] Flach S. and Willis C.R Discrete Breathers Physics Reports [2] Hennig D. and Tsironis G Wave Transmission in Nonlinear Lattices Physics Reports [3] Trias E. Mazo J. J. and Orlando T. P Discrete Breathers in Nonlinear Lattices: Experimental Detection in a Josephson Array Phys. Rev. Lett [4] Binder P. Abraimov D. Ustinov A. V. Flach S. and Zolotaryuk Y Observation of Breathers in Josephson Ladders Phys. Rev. Lett [5] Eisenberg H. S. Silberberg Y. Morandotti R. Boyd A. R. and Aitchison J. S Discrete Spatial Optical Solitons in Waveguide Arrays Phys. Rev. Lett [6] Swanson B. I. Brozik J.A. Love S.P. Strouse G.F. Shreve A. P. Bishop A. R. Wang W.-Z. and Salkola M. I Observation of intrinsically localized modes in a discrete low-dimensional material Phys. Rev. Lett [7] Skokos Ch Alignment indices: A new simple method for determining the ordered or chaotic nature of orbits J. Phys. A [8] Skokos Ch. Antonopoulos Ch. Bountis T. C. and Vrahatis M. N Smaller alignment index (SALI): Detecting order and chaos in conservative dynamical systems in "Proceedings of the 4th GRACM Congress on Computational Mechanics" ed. Tsahalis D. T. Vol. IV [9] Skokos Ch. Antonopoulos Ch. Bountis T. C. and Vrahatis M. N Smaller alignment index (SALI): Determining the ordered or chaotic nature of orbits in conservative dynamical system" in "Proceedings of the Conference Libration Point Orbits and Applications eds. Gómez G. Lo M. W. & Masdemont J. J. World Scientific 653. [10] Skokos Ch. Antonopoulos Ch. Bountis T. C. and Vrahatis M. N How does the Smaller Alignment Index (SALI) distinguish order from chaos? Prog. Theor. Phys. Supp [11] Skokos Ch. Antonopoulos Ch. Bountis T. C. and Vrahatis M. N Detecting order and chaos in Hamiltonian systems by the SALI method (submitted). [12] Panagopoulos P. Bountis T. Skokos Ch Existence and Stability of Localized Oscillations in 1-Dimensional Lattices with Soft Spring and Hard Spring Potentials Journal of Vibration and Acoustics (in press). [13] MacKay R. S. and Aubry S. Proof of Existence of Breathers in Time-Reversible or Hamiltonian Networks of Weakly Coupled Oscillators 1994 Nonlinearity [14] Bambusi D Exponential Stability of Breathers in Hamiltonian Networks of Weakly Coupled Oscillators Nonlinearity [15] Aubry S. Breathers in Nonlinear Lattices: Existence Stability and Quantization 1997 Physica D [16] Bountis T. Capel H.W. Kollmann M. Ross J. Bergamin J.M. and van der Weele J.P Multibreathers and Homoclinic Orbits in 1-Dimensional nonlinear Lattices Phys. Lett. A [17] Bergamin J.M. Bountis T. and Vrahatis M.N Homoclinic Orbits of Invertible Maps Nonlinearity

6 Παναγόπουλος Μπούντης Σκόκος 6 [18] Bountis T. Bergamin J.M. and Basios V Stabilization of Discrete Breathers Using Continuous Feedback Control Phys. Lett. A [19] Bergamin J.M Numerical Approximation of Breathers in Lattices with Nearest-Neighbor Interactions Phys. Rev. E 67 electronic page number [20] Contopoulos G Bifurcations in systems of three degrees of freedom Celest. Mech

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i. Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ 211 - Διαλ.31 1 r a I j = m a

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά Κυµατικής Είδη κυµάτων: ιαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της ιάδοσης κυµάτων ΗΕξίσωσητουΚύµατος Κανόνας

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΚΑΙ ΥΠΟΜΝΗΜΑ ΗΜΟΣΙΕΥΜΕΝΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΑΓΓΕΛΙΚΗΣ Ε. ΠΕΡ ΙΟΥ

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΚΑΙ ΥΠΟΜΝΗΜΑ ΗΜΟΣΙΕΥΜΕΝΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΑΓΓΕΛΙΚΗΣ Ε. ΠΕΡ ΙΟΥ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΚΑΙ ΥΠΟΜΝΗΜΑ ΗΜΟΣΙΕΥΜΕΝΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΑΓΓΕΛΙΚΗΣ Ε. ΠΕΡ ΙΟΥ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Επώνυµο Περδίου Όνοµα Αγγελική Όνοµα πατρός Ευστάθιος Ηµεροµηνία γέννησης 19 Απριλίου 1974

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Πολυπλοκότητα. Και µη γραµµικότητα στη φύση

Πολυπλοκότητα. Και µη γραµµικότητα στη φύση Πολυπλοκότητα Και µη γραµµικότητα στη φύση (και πώς να τις αντιµετωπίσουµε) του Τάσου Μπούντη Ολοι γνωρίζουµε ότι τα πουλιά δεν πετούν προς µία κατεύθυνση, τα αυτοκίνητα και οι άνθρωποι δεν κινούνται σχεδόν

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια:

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια: ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια (όπως ορίζεται στη μελέτη της μηχανικής τέτοιων σωμάτων): Η ενέργεια που οφείλεται σε αλληλεπιδράσεις και κινήσεις ολόκληρου του μακροσκοπικού σώματος, όπως η μετατόπιση

Διαβάστε περισσότερα

To SIMULINK του Matlab

To SIMULINK του Matlab ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Β ΧΗΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΘ. Κ. ΚΥΠΑΡΙΣΣΙΔΗΣ, ΛΕΚΤΟΡΑΣ Χ. ΧΑΤΖΗΔΟΥΚΑΣ Τ.Θ. 472 54 124 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Μάθημα: ΡΥΘΜΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ακαδ.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα:

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα: ΦΙΛΤΡΑ 6.. ΦΙΛΤΡΑ Το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων. Στο Σχήμα 6.6 δείχνουμε την απόκριση συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κυκλική κίνηση µίας σηµειακής µάζας και ιδιαίτερα την εξάρτηση της κεντροµόλου δύναµης από τη µάζα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

Είδη κυµάτων. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Σε κάποιο φυσικό µέσο προκαλείται µια διαταραχή. Το κύµα είναι η διάδοση της διαταραχής µέσα στο µέσο.

Είδη κυµάτων. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Σε κάποιο φυσικό µέσο προκαλείται µια διαταραχή. Το κύµα είναι η διάδοση της διαταραχής µέσα στο µέσο. Κεφάλαιο T2 Κύµατα Είδη κυµάτων Παραδείγµατα Ένα βότσαλο πέφτει στην επιφάνεια του νερού. Κυκλικά κύµατα ξεκινούν από το σηµείο που έπεσε το βότσαλο και αποµακρύνονται από αυτό. Ένα σώµα που επιπλέει στην

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση ,Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Καραδηµητρίου Ε. Μιχάλης http://perifysikhs.wordpress.com mixalis.karadimitriou@gmail.com Πρόχειρες Σηµειώσεις 2011-2012 1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση 1.1 Περιοδικά Φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο T3. Ηχητικά κύµατα

Κεφάλαιο T3. Ηχητικά κύµατα Κεφάλαιο T3 Ηχητικά κύµατα Εισαγωγή στα ηχητικά κύµατα Τα κύµατα µπορούν να διαδίδονται σε µέσα τριών διαστάσεων. Τα ηχητικά κύµατα είναι διαµήκη κύµατα. Διαδίδονται σε οποιοδήποτε υλικό. Είναι µηχανικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας

Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας ΔΥΝΑΜΗ ΕΡΓΟ ΕΝΕΡΓΕΙΑ µηχανική, χηµική, θερµότητα, βαρυτική, ηλεκτρική, µαγνητική, πυρηνική, ραδιοενέργεια, τριβής, κινητική, δυναµική Περιεχόµενα Κεφαλαίου 8 Συντηρητικές

Διαβάστε περισσότερα

Ήχος και φωνή. Τεχνολογία Πολυµέσων 04-1

Ήχος και φωνή. Τεχνολογία Πολυµέσων 04-1 Ήχος και φωνή Φύση του ήχου Ψηφιοποίηση µε µετασχηµατισµό Ψηφιοποίηση µε δειγµατοληψία Παλµοκωδική διαµόρφωση Αναπαράσταση µουσικής Ανάλυση και σύνθεση φωνής Μετάδοση φωνής Τεχνολογία Πολυµέσων 4-1 Φύση

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Ακρίβης. Προσωπικά στοιχεία. Εκπαίδευση. Ακαδημαϊκές Θέσεις. Ηράκλειο. Country, Ισπανία. Λευκωσία, Κύπρος. Rennes, Γαλλία.

Γεώργιος Ακρίβης. Προσωπικά στοιχεία. Εκπαίδευση. Ακαδημαϊκές Θέσεις. Ηράκλειο. Country, Ισπανία. Λευκωσία, Κύπρος. Rennes, Γαλλία. Γεώργιος Ακρίβης Προσωπικά στοιχεία Έτος γέννησης 1950 Τόπος γέννησης Χρυσοβίτσα Ιωαννίνων Εκπαίδευση 1968 1973,, Ιωάννινα. Μαθηματικά 1977 1983,, Μόναχο, Γερμανία. Μαθηματικά, Αριθμητική Ανάλυση Ακαδημαϊκές

Διαβάστε περισσότερα

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια 8 Κρούσεις Στην µηχανική µε τον όρο κρούση εννοούµε τη σύγκρουση δύο σωµάτων που κινούνται το ένα σχετικά µε το άλλο.το ϕαινόµενο της κρούσης έχει δύο χαρακτηριστικά : ˆ Εχει πολύ µικρή χρονική διάρκεια.

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ

ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ ΑΡΓΥΡΗΣ ΚΟΖΑΝΗ 2005 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ Για τον καλύτερο προσδιορισµό των µεγεθών που χρησιµοποιούµε στις εξισώσεις, χρησιµοποιούµε τους παρακάτω συµβολισµούς

Διαβάστε περισσότερα

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Σεµινάριο Αυτοµάτου Εέγχου Μάθηµα 9 Ευστάθεια κατά Lyaunv Η έννοια της ευστάθειας κατά Lyaunv Γενικό κριτήριο ευστάθειας Παραδείγµατα Καιγερόπουος 9 Ευστάθεια κατά Lyaunv Εισαγωγή Η έννοια της ευστάθειας

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 2 Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Γραμμικές Εξισώσεις Διαφορών με Σταθερούς Συντελεστές (Linear Constant- Coefficient

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Θέµα Α Στις ερωτήσεις 1-4 να βρείτε τη σωστή απάντηση. Α1. Για κάποιο χρονικό διάστηµα t, η πολικότητα του πυκνωτή και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων;

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων; ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ Είδαµε ότι η φυσική κίνηση ενός σωµατιδίου σε συντηρητικό πεδίο ικανοποιεί την αρχή ελάχιστης δράσης του Hamilton µε Λαγκρανζιανή, όπου η κινητική ενέργεια του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο T4. Υπέρθεση και στάσιµα κύµατα

Κεφάλαιο T4. Υπέρθεση και στάσιµα κύµατα Κεφάλαιο T4 Υπέρθεση και στάσιµα κύµατα Κύµατα και σωµατίδια Τα κύµατα είναι πολύ διαφορετικά από τα σωµατίδια. Τα σωµατίδια έχουν µηδενικό µέγεθος. Τα κύµατα έχουν ένα χαρακτηριστικό µέγεθος το µήκος

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ II-α Aπλό εκκρεµές

ΠΕΙΡΑΜΑ II-α Aπλό εκκρεµές ΠΕΙΡΑΜΑ II-α Aπλό εκκρεµές Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε το απλό ή µαθηµατικό εκκρεµές και θα µετρήσουµε την επιτάχυνση της βαρύτητας. Θα εξετάσουµε λοιπόν πειραµατικά τα εξής: Την

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 28. Μελέτη ακουστικών κυµάτων σε ηχητικό σωλήνα

Άσκηση 28. Μελέτη ακουστικών κυµάτων σε ηχητικό σωλήνα Άσκηση 28 Μελέτη ακουστικών κυµάτων σε ηχητικό σωλήνα 28.1 Σκοπός Σκοπός της άσκησης είναι η µελέτη των στάσιµων ακουστικών κυµάτων µέσα σε ηχητικό σωλήνα. Θα καταγραφεί το στάσιµο κύµα ακουστικής πίεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ Εργαστηριακή Άσκηση 1 Προσδιορισμός Τεχνικών Παραμέτρων Ταλαντωτή Ενός Βαθμού Ελευθερίας Ονοματεπώνυμο: Παριανού Θεοδώρα Όνομα Πατρός: Απόστολος Αριθμός μητρώου: 1000107 Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τις πιο κάτω οδηγίες:

Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τις πιο κάτω οδηγίες: Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τις πιο κάτω οδηγίες:. Η εξέταση διαρκεί 5 h (πέντε ώρες). Υπάρχουν τρεις ερωτήσεις και κάθε μια από αυτές βαθμολογείται με 0 βαθμούς.. Χρησιμοποιήστε μόνο το στυλό που υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ με τη χρήση του Maple

ΔΥΝΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ με τη χρήση του Maple ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ +- ΣΟΥΡΛΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΥΝΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ με τη χρήση του Maple 3 3 3 4 5 x 3 ΠΑΤΡΑ Email: dsourlas@physics.upatras.gr Ιστοσελίδα Τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην οικονοµία των µεταφορών

Εισαγωγή στην οικονοµία των µεταφορών 1 Εισαγωγή στην οικονοµία των µεταφορών Βασικές συνιστώσες της οικονοµικής ανάλυσης στις µεταφορές Ζήτηση, Προσφορά και αλληλεπίδραση προσφοράς και ζήτησης Εξωτερικές αλληλεπιδράσεις, κοινωνικό κόστος

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η χρονική απόκριση μπορεί να ληφθεί από αναλυτικά μέσα όπως η μέθοδος μετασχηματισμού Laplace, εναλλακτικά δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί εξομοίωση από Η/Υ. Η προσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να εκτελεί ένα σώµα ή ένα υλικό σηµείο Γ.Α.Τ. είναι: η συνισταµένη των δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα να έχει τη

Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να εκτελεί ένα σώµα ή ένα υλικό σηµείο Γ.Α.Τ. είναι: η συνισταµένη των δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα να έχει τη ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ (µερικές σηµειώσεις...) Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να εκτελεί ένα σώµα ή ένα υλικό σηµείο Γ.Α.Τ. είναι: η συνισταµένη των δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα να έχει τη διεύθυνση της κίνησης,

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη Σελήνη

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη Σελήνη Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης χολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη - - - - - - - - Διπλωματική Εργασία Αντωνιάδης Παναγιώτης Δημήτριος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Οι µεταβλητές µιας στατιστικής έρευνας αποτελούνται συνήθως από ένα µεγάλο πλήθος στοιχείων που αφορούν τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει. Για να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1 )

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1 ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 19/6/2015 ΠΕΜΠΤΗ 18/6/2015 ΤΕΤΑΡΤΗ 17/6/2015 ΤΡΙΤΗ 16/6/2015 ΔΕΥΤΕΡΑ 15/6/2015 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR.

Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR. Τα IIR φίλτρα είναι επαναληπτικά ή αναδροµικά, µε την έννοια ότι δείγµατα της εξόδου χρησιµοποιούνται από το σύστηµα για τον υπολογισµό τν νέν τιµών της εξόδου σε επόµενες χρονικές στιγµές. Για να επιτύχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

Πόλωση ηλεκτρικού πεδίου

Πόλωση ηλεκτρικού πεδίου ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 15 2. Άσκηση 2 Πόλωση ηλεκτρικού πεδίου 2.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την πόλωση των µικροκυµάτων και την

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώµατα µε αντίσταση και πυκνωτή ή αντίσταση και πηνίο σε σειρά και πηγή συνεχούς τάσης

Κυκλώµατα µε αντίσταση και πυκνωτή ή αντίσταση και πηνίο σε σειρά και πηγή συνεχούς τάσης Κυκλώµατα µε αντίσταση και πυκνωτή ή αντίσταση και πηνίο σε σειρά και πηγή συνεχούς τάσης Το κύριο χαρακτηριστικό των κυκλωµάτων αυτών είναι ότι ο χρόνος στον οποίο η τάση, ή η ένταση παίρνει ορισµένη

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Digital Image Processing

Digital Image Processing Digital Image Processing Intensity Transformations Πέτρος Καρβέλης pkarvelis@gmail.com Images taken from: R. Gonzalez and R. Woods. Digital Image Processing, Prentice Hall, 2008. Image Enhancement: είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το

Διαβάστε περισσότερα

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον Αφιέρωση Σταπαιδιάµας Στουςµαθητέςπουατενίζουν µεαισιοδοξίατοµέλλον Φίληµαθήτρια,φίλεµαθητή Τοβιβλίοαυτόέχειδιπλόσκοπό: Νασεβοηθήσειστηνάρτιαπροετοιµασίατουκαθηµερινούσχολικού µαθήµατος. Νασουδώσειόλατααπαραίτηταεφόδια,ώστενααποκτήσειςγερές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1 Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1.1 Ηλεκτρικά και Ηλεκτρονικά Συστήµατα Μετρήσεων Στο παρελθόν χρησιµοποιήθηκαν µέθοδοι µετρήσεων που στηριζόταν στις αρχές της µηχανικής, της οπτικής ή της θερµοδυναµικής.

Διαβάστε περισσότερα

Ήχος. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 04-1

Ήχος. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 04-1 Ήχος Χαρακτηριστικά του ήχου Ψηφιοποίηση με μετασχηματισμό Ψηφιοποίηση με δειγματοληψία Κβαντοποίηση δειγμάτων Παλμοκωδική διαμόρφωση Συμβολική αναπαράσταση μουσικής Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση Γεωµετρική θεώρηση του Φωτός Ανάκλαση ηµιουργίαειδώλουαπόκάτοπτρα. είκτης ιάθλασης Νόµος του Snell Ορατό Φάσµα και ιασπορά Εσωτερική ανάκλαση Οπτικές ίνες ιάθλαση σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ 1. Τι εννοούµε λέγοντας θερµοδυναµικό σύστηµα; Είναι ένα κοµµάτι ύλης που αποµονώνουµε νοητά από το περιβάλλον. Περιβάλλον του συστήµατος είναι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ (ΔΙΠΛΗΣ) ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015, ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2)

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ (ΔΙΠΛΗΣ) ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015, ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2) 1η ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ (ΔΙΠΛΣ) ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015, ΑΚΑΔΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘ ΕΠΑΝΑΛΨ 2) ΔΕΥΤΕΡΑ 2/2/2015 ΤΡΙΤ 3/2/2015 ΤΕΤΑΡΤ

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs.

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs. Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός hp://www.perifysikhs.com Αναζητώντας την αιτία των κινήσεων Η µελέτη των κινήσεων,

Διαβάστε περισσότερα