ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ 005

2 . Ένας εθύγραµµς αγωγός, απείρ θεωρητικά µήκς, παρσιάζει ανά µνάδα µήκς ωµική αντίσταση ρ και διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύµα σταθερής έντασης I. Να απδείξετε ότι η ηλεκτρµαγνητική ισχύς π εισέρχεται στν αγωγό είναι ίση µε τις απώλειες Jule. Από τ νόµ τ Ampere πρκύπτει ότι εθύγραµµς ρεµατφόρς αγωγός δηµιργεί µαγνητικό I πεδί, η ένταση τ πί στην παράπλερη επιφάνεια τ αγωγύ δίνεται από τη σχέση H φ πr e =, όπ r η ακτίνα τ αγωγύ. Τατόχρνα µέσα στν αγωγό επιδρά ηλεκτρικό πεδί έντασης ϕ ρi = ez = Iρe z. Τ διάνσµα Pynting στην επιφάνεια τ αγωγύ S = H = er, όπ z πr τ αρνητικό πρόσηµ δηλώνει ότι η ηλεκτρµαγνητική ενέργεια εισέρχεται στν αγωγό. Έτσι ανά P µνάδα µήκς τ αγωγύ εισέρχεται ηλεκτρµαγνητική ισχύς = S π rer = ρi, π είναι ίση z µε τις απώλειες Jule ανά µνάδα µήκς τ αγωγύ.. Όταν ένα ισταχώς κινύµεν φρτί βρεθεί µέσα σε ένα χρνικά σταθερό και µγενές µαγνητικό πεδί εκτελεί µαλή κκλική κίνηση. Εάν όµως λάβει κανείς πόψη τ ότι η κκλική κίνηση είναι επιταχνόµενη κίνηση τότε τ φρτί ακτινβλεί ηλεκτρµαγνητική ενέργεια. Να βρείτε τη σχέση π περιγράφει χρνικά τη µεταβλή τ µέτρ της ταχύτητας τ φρτί και θεωρώντας ότι η γωνιακή ταχύτητα τ φρτί παραµένει σταθερή να περιγράψετε πιτικά την τρχιά τ. Τ φρτί ακτινβλεί ηλεκτρµαγνητική ισχύ P = a (σελίδα 7 τ βιβλί), όπ a είναι τ 6πε c µέτρ της επιτάχνσης. Η απώλεια ενέργειας τ σωµατιδί λόγω της ακτινβλίας φέρει ως απτέλεσµα την ελάττωση της κινητικής τ ενέργειας. Έτσι πρκύπτει η σχέση T 6πε c m = P m = + = 0. Λύνντας την τελεταία διαφρική t t 6πε c t t /τ εξίσωση πρκύπτει ότι τ µέτρ της ταχύτητας τ φρτί =, όπ η αρχική τ ταχύτητα και τ =. Εφόσν ελαττώνεται η επιτρόχις ταχύτητα τ φρτί, ενώ η γωνιακή τ ταχύτητα 6πε c m παραµένει σταθερή, τότε η ακτίνα της τρχιάς τ θα ελαττώνεται διαρκώς µε απτέλεσµα τ φρτί να εκτελεί σπειρειδή κίνηση έως ότ σταµατήσει. e t. Τετραγωνικός αγώγιµς βρόχς πλεράς είναι τπθετηµένς κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια δύ χώρων. Στ χώρ (I) πάρχει διηλεκτρικό λικό µε σταθερές ε, µ, ενώ στ χώρ (II) τ λικό έχει σταθερές ε, µ, όπ ε > ε. Η διαχωριστική επιφάνεια βρίσκεται στ επίπεδ xy και βρόχς, π είναι παράλληλς πρς τ επίπεδ yz, βρίσκεται κατά τ ήµισ στν χώρ (Ι) και κατά τ ήµισ στν χώρ (ΙΙ). Επίπεδ ηλεκτρµαγνητικό κύµα i( t z) i e ω β y = = H H e x i( ω β t z) i Κ.Γ. Εθµιάδης, Αικ. Σιακαβάρα, Α.Π.Θ., Τµήµα Φσικής, 005

3 διαδιδόµεν στ χώρ (Ι) πρσπίπτει κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια. Να πλγιστεί η ηλεκτρεγερτική δύναµη π αναπτύσσεται στν αγωγό. Στν χώρ (Ι) πάρχει τ πρσπίπτν (, ) και τ ανακλώµεν ( r, i H i H r )στη διαχωριστική επιφάνεια ηλεκτρµαγνητικό πεδί ενώ στ χώρ (ΙΙ) πάρχει τ διερχόµεν( t, H t ). Η ηλεκτρεγερτική δύναµη στ πλαίσι θα αναπτύσσεται λόγω της χρνικά µεταβαλλόµενης µαγνητική ρής π διέρχεται από την επιφάνειά τ. Τα πεδία π αναπτύσσνται στς δύ χώρς είναι: i β i z i β i z i z i t r i z i t r i z i t β ω β ω R β ω = ye e, H = xh e e = x e e, = y Re e, H = x e e η η T t β i z t β i z = = η y Te e, H x e e όπ µ, µ η =, β η = = ω µ ε, β =ω µ ε και η η R = είναι σντελεστής ε ε η +η η ανάκλασης ενώ T = είναι σντελεστής διέλεσης. Στν χώρ (Ι) τ σνλικό µαγνητικό πεδί είναι η +η i H = H + H r. Η µαγνητική ρή π διέρχεται από τ µισό της επιφάνειας τ βρόχ( S S = ) φείλεται t στ H ενώ εκείνη π διέρχεται από τ πόλιπ µισό φείλεται στ H. Θεωρώντας φρά ρεύµατς τέτια ώστε τ S να έχει την ίδια φρά µε τν άξνα x η σνλική ρή είναι t S S S Φ= B S= µ H S+ µ H S= 0 0 / β i z iβz β i z =µ [ + + ] = η η η e y (e )x xz y e R( x) xz y (e T)x xz... 0 / 0 / 0 0 iβ/ iβ/ iβ / =µ e [ (e R+ Re ) (e )T] iβη iβη Η ΗΕ πλγίζεται Φ iβ/ iβ / iβ / ΗΕ = = iωµ e [ (e R + Re ) (e )T t µ i µ ω µ i ε ω µ ε ε ε = iβ/ iβ / iβ / e [ e + + R Re + Te T ] ] = Κ.Γ. Εθµιάδης, Αικ. Σιακαβάρα, Α.Π.Θ., Τµήµα Φσικής, 005

4 Επειδή R+=T τελικά ΗΕ e e i / Re i / Te i / = + ] [ β β β 4. Στ εσωτερικό ρθγωνικής κιλότητας µε διαστάσεις a x b x c και µεταλλικά τιχώµατα είναι δνατόν, για ρισµένες τιµές σχνότητας, να αναπτχθεί ηλεκτρµαγνητικό πεδί = c( mπx a )in(nπy b )in(lπz c )e x, H = H c( mπx a )in( nπy b )c(lπz c )e y όπ m,n,l ακέραιι αριθµί π µπρεί να λάβν τιµές m = 0,,,,... και ι n,l =,,,... T εσωτερικό της κιλότητας είναι πλήρες µε διηλεκτρικό λικό π έχει ηλεκτρική επιτρεπτότητα ε και µαγνητική διαπερατότητα µ. Να πρσδιριστύν ι τιµές π επιτρέπεται να λάβει η κκλική σχνότητα ω. Οι σναρτήσεις τ ηλεκτρικύ και µαγνητικύ πεδί π δίννται πρέπει να απτελύν λύσεις των αντίστιχων κµατικών εξισώσεων H = 0, H = 0 t t Όσν αφρά στ ηλεκτρικό πεδί (τ ίδι ισχύει και για τ µαγνητικό) πρέπει x x Εx Εx Εx x = 0 x µε = ω µεε x = 0 t t x y z mπx nπy πy mπ nπ π Εc( )in( )in( )e [ ( ) ( ) ( ) +ω µε ] = 0 a b c a b c mπ nπ π mπ nπ π ( ) + ( ) + ( ) =ω µε ω= [ ( ) + ( ) + ( ) ] a b c µε a b c και επµένως ι επιτρεπτές τιµές σχνότητας είναι mπ nπ π ω= [ ( ) + ( ) + ( ) ] µε a b c 5. ύ παράλληλι εθύγραµµι αγωγί απεριρίστ µήκς, π απέχν απόσταση D, διαρρένται από ρεύµατα της ίδιας έντασης I = I cωt αλλά αντίθετης φράς. Tετραγωνικός σρµάτινς βρόχς, πλεράς, τπθετείται ανάµεσα στς δύ αγωγύς στ επίπεδ π ρίζν. Να πλγιστεί η ηλεκτρεγερτική δύναµη π αναπτύσσεται στ βρόχ και σντελεστής της αµιβαίας επαγωγής µεταξύ τ βρόχ και τ σστήµατς των δύ αγωγών x z y D Κ.Γ. Εθµιάδης, Αικ. Σιακαβάρα, Α.Π.Θ., Τµήµα Φσικής, 005

5 4 Έστω ότι τ ρεύµα στν πρώτ αγωγό είναι I = zicω t και στν δεύτερ I = zicω t. Η µαγνητική επαγωγή π δηµιργεί τ καθένα σε τχόν σηµεί της επιφάνειας τ βρόχ είναι µ I c( t) I c( t) ω µ ω B = ( x), B = ( x). πy π(d y) Αν θεωρήσµε ότι τ ρεύµα π αναπτύσσεται στ βρόχ είναι αριστερόστρφ, η µαγνητική ρή π δηµιργύν τα B και B είναι: µ µ + Φ = B S = B (x)yz = I c( ω t) z y = I c( ωt)ln( ) π y π µ µ D Φ = = yz = I c( ω t) z y I c( t)ln( ) = ω D y D B S B (x) π π H σνλική ρή π διέρχεται από τ βρόχ είναι µ + D µ Φ =Φ +Φ = [ ln( ) + ln( )] Ic( ω t) = [ ln( ) I c( ωt) π D π (D ) ]. Ο σντελεστής αµιβαίας επαγωγής σύµφωνα µε τ απτέλεσµα π βρέθηκε είναι M = ln ]. Η π (D ) ηλεκτρεγερτική δύναµη π αναπτύσσεται πλγίζεται: Φ µ = = Iωin( ωt)[ln( )] t π D µ [ 6. Η ένταση τ ηλεκτρικύ πεδί ενός ηλεκτρµαγνητικύ κύµατς είναι i( t x 4y) = (8x 6y )e ω V/m. α) Να πρσδιριστύν η διεύθνση διάδσης, η σχνότητά και τ πλάτς της έντασης τ ηλεκτρικύ πεδί. β) Nα πλγιστεί η ένταση τ µαγνητικύ πεδί και να επιβεβαιωθεί ότι τ κύµα είναι επίπεδ. Η φάση τ είναι φ=ωt x 4y []. Σύµφωνα µε τη θεωρία φ =ωt k r ( όπ k τ διάνσµα τ κµατάριθµ), άρα k r = x+ 4y []. Αν k = k xx + k y + kz y z και r = xx + yy + zz από τη σχέση [] σνεπάγεται ότιk r = kxx+ kyy + kz z []. Σγκρίνντας τις [] και [] πρκύπτει ότι π kx =, ky = 4,kz = 0. Τ µέτρ τ k είναι k = kx + ky = 5και δεδµέν ότι k =, η λ 8 σχνότητα τ κύµατς πλγίζεται ότι είναι.8 0 Ηz. Η διεύθνση διάδσης τ κύµατς είναι k k = = 0.6x + 0.8y. Η µαγνητική επαγωγή πλγίζεται από την εξίσωση τ Maxwell k j j B= Ε= z ω ω Η διεύθνση τ είναι : j( t x 4y) 50e ω. = = 0.8x 0.6x Σύµφωνα µε την µαθηµατική περιγραφή των, B και k εύκλα απδεικνύεται ότι k = 0,Bk = 0, B = 0 και επµένως τ κύµα είναι επίπεδ. Κ.Γ. Εθµιάδης, Αικ. Σιακαβάρα, Α.Π.Θ., Τµήµα Φσικής, 005 4

6 5 7. Nα δείξετε ότι, η µέση τιµή τ διανύσµατς Pynting ενός ελλειπτικά πλωµέν ηλεκτρµαγνητικύ κύµατς, π διαδίδεται στ κενό, ισύται µε τ άθρισµα των µέσων τιµών των διανσµάτων Pynting των δύ επιµέρς γραµµικά πλωµένων κµάτων π τ σνθέτν. Έστω ότι η διεύθνση διάδσης τ κύµατς σµπίπτει µε ατή τ άξνα x. Oι εξισώσεις π περιγράφν την ένταση τ ηλεκτρικύ και τ µαγνητικύ πεδί είναι: = y + e z και i( ω t bx) i( ω t bx +φ) e όπ H = R και H = R. = y + He z, i( ω t bx +ϕ) i( ω t bx) H He x y z * i( t bx) i( t bx ) ω ω +φ S = Re[ H ] = Re 0 e e = x + x = S + S R R i( ωt bx +φ) i( ωt bx) 0 e e R R 8. Ένα ηλεκτρόνι εκτελεί ταλάντωση κατά την πία τ διάνσµα της θέσης τ περιγράφεται από τη σχέση re = x e( cω t)x. Nα πλγίσετε την ένταση τ ηλεκτρικύ πεδί και την µαγνητική επαγωγή στη θέση r p = x p x όπ x p >> x e. Χρησιµπιώντας σχέσεις π βρίσκνται στις σελ. & 4 τ βιβλί: xeω R = rp re = xp x e( cωt ) x p, β= = in ω t x, a = x eω cω tx, c c όπ t = t R c = t x p c = R β R = x p( β ), R Rβ = x p( β )x = x, β R = 0 και a R = 0 β = (R R β)( β ) = 4πε 4 πε (R a)(r R β) = [ Ra] = (Rax Rax ) = 0 a 4πεc 4πεc B = ( β R)( β 4πε c a πε ) = 0 (R a)( β R) B = [ + (a R)] = 0 4 c x xeω xp + in ω(t ) β +β Άρα = c c + a = x = x = x 4πε x x p ( β) 4πεxp β 4πεxp x eω in (t p ω ) c c και B= B + B = 0 a Κ.Γ. Εθµιάδης, Αικ. Σιακαβάρα, Α.Π.Θ., Τµήµα Φσικής, 005 5