Κεφάλαιο 2ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 2ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ"

Transcript

1 Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β). Σ Λ. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και R, τότε για κάθε R υπάρχει ξ R ώστε f () - f ( ) = f (ξ) ( - ). Σ Λ 3. * Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] και παραγωγίσιμη στο διάστημα (α, β), τότε υπάρχει ένα μόνο ξ (α, β) ώστε f (α) - f (β) = f (ξ) (α - β). Σ Λ 4. * Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β], παραγωγίσιμη στο διάστημα (α, β) και f (α) = f (β), τότε υ- πάρχει τουλάχιστον ένα σημείο εσωτερικό του διαστήματος [α, β], στο οποίο η εφαπτομένη του διαγράμματος της f είναι παράλληλη στον άξονα. Σ Λ 5. * Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] και παραγωγίσιμη στο διάστημα (α, β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο (α, β) στο οποίο η εφαπτομένη της C f είναι παράλληλη προς την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία (α, f (α)), (β, f (β)). Σ Λ 6. * Αν f είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση, τότε μεταξύ δύο ριζών της f, υπάρχει τουλάχιστον μια ρίζα της f. Σ Λ 7. ** Αν f είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση, τότε μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της f, υπάρχει το πολύ μια ρίζα της f. Σ Λ 8. * Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β], τότε υπάρχει εφαπτομένη της C f στο Α (, f ( )), με f (β) - f (α) (α, β), με συντελεστή διεύθυνσης λ =. β - α Σ Λ 97

2 9. * Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β], τότε ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής για την f. Σ Λ. * Υπάρχουν συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει το συμπέρασμα του θεωρήματος Rolle, χωρίς να ισχύουν (όλες) οι υποθέσεις του θεωρήματος. Σ Λ. * Αν για μια συνάρτηση ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος του Fermat, τότε υπάρχει ώστε η εφαπτομένη της C f στο (, f ( )) να είναι παράλληλη με τον άξονα. Σ Λ. * Αν για μια συνάρτηση f εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο [α, β], τότε εφαρμόζεται και το θεώρημα της μέσης τιμής, στο ίδιο διάστημα. Σ Λ 3. * Για τη συνάρτηση του σχήματος, υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ (ξ, f (ξ)) της C f με ξ (α, β), όπου η εφαπτομένη της f, να είναι παράλληλη με την ΑΒ. Σ Λ 4. * Αν f () = ( + 3), τότε το = - 3 είναι θέση τοπικού ελάχιστου. Σ Λ 5. * Για τη συνάρτηση f () = 3, [- 3, ], υπάρχει μόνο ένα τοπικό ακρότατο. Σ Λ 6. * Για τη συνάρτηση f () = ημ, R, υπάρχει τουλάχιστον ένα τοπικό ελάχιστο μεγαλύτερο από κάποιο τοπικό μέγιστο. Σ Λ 7. * Δίνεται μια συνεχής συνάρτηση f, με f () > για < < 7. Αν f (3) = 5, τότε μπορεί να ισχύει f (5) = 4. Σ Λ 8. * Η συνάρτηση f () = ημ + e, < < π, παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο = 9. * Αν f () = - e 6 π 3. Σ Λ, τότε η f δεν μπορεί να έχει τοπικά ακρότατα. Σ Λ 98

3 . * Η συνάρτηση του σχήματος έχει θετική παράγωγο για κάθε (, + ). 5 C f Σ Λ. * Δίνονται οι συναρτήσεις f, g που είναι παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους. Αν σ ένα σημείο παρουσιάζουν και οι δυο τοπικό μέγιστο, τότε και η συνάρτηση f + g, εφόσον ορίζεται, θα παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο. Σ Λ. * Αν μια άρτια συνάρτηση έχει στο τοπικό ελάχιστο, τότε στο - θα έχει τοπικό μέγιστο. Σ Λ 3. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, και η γραφική παράσταση C f της f είναι αυτή του σχήματος, τότε η f δεν είναι γνησίως μονότονη. Σ Λ 4. * Αν για τη συνάρτηση f ισχύει f () <, R, τότε f () <, R. Σ Λ 5. * Αν για τη συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο R, ισχύει f (5) =, τότε η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο = 5. Σ Λ 6. * Μια περιοδική συνάρτηση f μπορεί να έχει ένα μόνο τοπικό ακρότατο. Σ Λ 7. * Για τη συνάρτηση f () =,, ισχύει f () = - για κάθε. Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R *. Σ Λ 8. * Αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο R, τότε θα ισχύει f (). Σ Λ 9. * Αν για μια παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f, ισχύει f () = e ημ4, τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Σ Λ 3. * Ένα τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης f, μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο της f. Σ Λ < 99

4 3. * Μια συνάρτηση f μπορεί να έχει τοπικό ακρότατο και σε σημείο, στο οποίο δεν είναι συνεχής. 3. * Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο, τότε ισχύει f ( ) =. Σ Λ 33. * Αν η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι μηδέν σε ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση είναι σταθερή στο Δ. Σ Λ 34. * Αν στο εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της f ισχύει ότι f ( ) =, τότε το είναι τοπικό ακρότατο της f. Σ Λ 35. * Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β], τότε πιθανά ακρότατα της f είναι α) τα σημεία του διαστήματος (α, β) στα οποία η f μηδενίζεται β) τα σημεία του διαστήματος (α, β) στα οποία η f δεν παραγωγίζεται γ) τα άκρα του [α, β]. 36. * Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της f μιας συνάρτησης f. Τότε η f έχει δύο τουλάχιστον θέσεις τοπικών ακροτάτων. α β 37. * Αν f () = ( - ), τότε το σημείο = είναι θέση τοπικού ακροτάτου της f. Σ Λ 38. * Αν f () = -, τότε το σημείο = είναι τοπικό ακρότατο της f. Σ Λ 39. * Αν f () = +, τότε η εξίσωση f () = έχει το πολύ μια ρίζα. Σ Λ 4. * Αν f () = , τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [, 3]. Σ Λ 4. * Αν το διάγραμμα C f της παραγώγου μιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τότε η f έχει ακρότατο στο =. C f C f Σ Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Λ Λ 3

5 4. * Αν το διάγραμμα C f της παραγώγου μιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. 43. * Αν το διάγραμμα C f της παραγώγου μιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. C f 44. * Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) με f (α) = f (β) και f () >, για κάθε [α, β], Σ Λ C f Σ Λ τότε η εξίσωση f () = έχει μια μόνο ρίζα στο (α, β). Σ Λ 45. * Η γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Τότε: α) το είναι σημείο καμπής β) το είναι σημείο καμπής γ) το 3 είναι σημείο καμπής 3 Σ Λ C f Σ Λ 46. * Αν f () = ( - ), τότε η f έχει σημείο καμπής στο =. Σ Λ Σ Λ 47. * Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της Β (t), όπου Β (t) είναι η συνάρτηση του βάρους κάποιου ανθρώπου που βρίσκεται σε δίαιτα, μετά από χρόνο t. Τότε ο ρυθμός μείωσης του βάρους, στην αρχή μειώνεται και μετά αυξάνει. B (t) C B t Σ Λ 3

6 48. * Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Τότε ισχύει f () < για κάθε (, + ). Σ Λ 49. * Αν μια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, και η γραφική =f () παράσταση της f φαίνεται στο σχήμα, τότε η f στρέφει τα κοίλα α β προς τα πάνω. Σ Λ 5. * Μια πολυωνυμική συνάρτηση 3ου βαθμού έχει οπωσδήποτε σημείο καμπής. Σ Λ 5. * Μια πολυωνυμική συνάρτηση 4ου βαθμού έχει τουλάχιστον ένα σημείο καμπής. Σ Λ 5. * Η f παρουσιάζει στο σημείο C f καμπής. Σ Λ 53. * Αν μια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και η f είναι κυρτή στο Δ, τότε f () για κάθε Δ. Σ Λ 54. * Το σημείο Α (, f ( )) είναι σημείο καμπής μιας συνάρτησης f, όταν η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του. Σ Λ 55. * Η συνάρτηση f () = e - είναι κυρτή στο R. Σ Λ 56. * H ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, με f () = - 4 ( - ). Σ Λ 3

7 - 57. * H γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = 4 έχει μια πλάγια ασύμπτωτη. Σ Λ 58. * H γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = έχει δύο κατακόρυφες ασύμπτωτες. Σ Λ 59. * Ισχύει lim π συν π - = * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = e - έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο -. Σ Λ 6. * Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, τότε δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. Σ Λ 6. * Η συνάρτηση f () = ln έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία =. Σ Λ 63. * Η συνάρτηση f () = e έχει οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία =. Σ Λ Σ Λ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Έστω μια συνάρτηση f για την οποία ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα [α, β]. Τότε θα υπάρχει ξ (α, β), ώστε η εφαπτομένη της C f στο (ξ, f (ξ)) 33

8 Α. να είναι παράλληλη με τον άξονα Β. να έχει συντελεστή διεύθυνσης μηδέν Γ. να έχει συντελεστή διεύθυνσης ένα Δ. να είναι παράλληλη με την ευθεία = Ε. να μην ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης. * Μια συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το διάστημα [α, β]. Το θεώρημα μέσης τιμής ισχύει για την f, όταν Α. η f είναι συνεχής στο [α, β] Β. η f έχει ίσες τιμές στα σημεία α και β Γ. η f είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) Δ. η f είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) και συνεχής στα α και β Ε. η f είναι συνεχής στο (α, β) 3. * Δίνεται η συνάρτηση f () = c, με πεδίο ορισμού το [α, β]. Το πλήθος των σημείων ξ (α, β) που προκύπτουν από το θεώρημα του Rolle είναι Α. Β. Γ. το πολύ Δ. κανένα Ε. άπειρο 4. * Για τη συνάρτηση f () = - 4, [-, ], το πλήθος των αριθμών ξ (-, ) που προκύπτουν από το θεώρημα της μέσης τιμής είναι Α. τουλάχιστον τρεις Β. ακριβώς ένας Γ. τουλάχιστον δύο Δ. ακριβώς δύο Ε. κανένας 34

9 5. * Το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού για τη συνάρτηση f () = ln, για κάθε, >, εξασφαλίζει ένα ξ μεταξύ των, ώστε να ισχύει Α. ln = Γ. ln ( - ) = ξ - ξ E. ln ( - ) = ξ ( - ) Β. ln ( - ) Δ. ln = - ξ = ξ ( - ) 6. * Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, f, f 3, f 4. α β Cf α β Cf α β Cf3 α β Cf4 Αυτές που ικανοποιούν τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [α, β] είναι οι Α. f και f 4 Β. μόνο η f 4 Γ. μόνο η f Δ. f και f 3 Ε. f και f 4 7. * Οι συναρτήσεις f, g ορίζονται στο R και είναι δύο φορές παραγωγίσιμες σ αυτό. Αν f () = g () για όλα τα R, ποια από τις παρακάτω συνθήκες πρέπει να ισχύει επιπλέον, ώστε f () = g (), για όλα τα R; Α. f και g συνεχείς στο R B. f () = g () Γ. f () = g () + c Δ. f () = g () E. δεν χρειάζεται να προστεθεί άλλη συνθήκη 35

10 8. * Αν για τις παραγωγίσιμες στο R συναρτήσεις f, g ισχύει f () = g (), R, τότε Α. f () = g (- ) + c B. f () = - g () + c Γ. f () = g () - c Δ. f () + g (- ) = c E. f (- ) = g () + c 9. * Αν η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το (, + ) έχει παράγωγο την f () = ln +, τότε για τη μονοτονία της f ισχύει Α. + f() 8 B. f() - e + 8 Γ. f() - e + 8 Δ. - e - e 4 + f() 8 Ε. + f() 8. * Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και γνησίως φθίνουσα, τότε Α. f () >, για κάθε R Β. f (), για κάθε R Γ. f (), για κάθε R Δ. f () <, για κάθε R Ε. η f () δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. * Η παράγωγος f της συνάρτησης f είναι ένα πολυώνυμο τρίτου βαθμού. Η f έχει Α. τρία ακριβώς τοπικά ακρότατα Β. ένα ολικό μέγιστο και ένα ολικό ελάχιστο Γ. τουλάχιστον τρία τοπικά ακρότατα Δ. ένα μόνο τοπικό μέγιστο και ένα τοπικό ελάχιστο Ε. τρία το πολύ τοπικά ακρότατα 36

11 . ** H συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R και η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Η γραφική παράσταση της f θα μπορούσε να έχει τη μορφή Α. B. Γ. Δ. Ε. 37

12 3. * H γραφική παράσταση C f της παραγώγου μιας συνάρτησης φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η γραφική παράσταση της f μπορεί να είναι - C f Α. B. Γ. Δ. Ε. καμία από τις προηγούμενες 4. * H γραφική παράσταση C f της παραγώγου μιας συ- νάρτησης φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Τότε ισχύει ότι Α. η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-, ] B. η f είναι γνησίως φθίνουσα μόνο στο [, + ) Γ. η f έχει τοπικό μέγιστο το σημείο = C f Δ. η f έχει τοπικό ελάχιστο το σημείο = E. η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R 38

13 5. * Το διάγραμμα C f της παραγώγου μιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Τότε δεν ισχύει ότι Α. η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ] B. η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [, ] C f Γ. η f έχει τοπικό ελάχιστο στο σημείο με = Δ. η f έχει τοπικό μέγιστο στο σημείο με = E. η f έχει τοπικό μέγιστο στο σημείο με = 6. * Έστω μια συνεχής συνάρτηση f, η οποία στρέφει τα κοίλα προς τα άνω σ ένα διάστημα Δ. Τότε καθώς το αυξάνει, η κλίση της C f Α. αυξάνει B. ελαττώνεται Γ. μένει σταθερή Δ. είναι μηδέν E. δεν μπορούμε να απαντήσουμε 7. * Αν μια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω σ ένα διάστημα Δ, τότε Α. f () >, για κάθε Δ Β. f () <, για κάθε Δ Γ. f (), για κάθε Δ Δ. f (), για κάθε Δ Ε. δεν μπορούμε να αποφανθούμε για το πρόσημο της f () στο Δ 8. * Το διάγραμμα C f της δεύτερης παραγώγου μιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η f είναι 3 C f γνησίως φθίνουσα στο Α. (-, ] Β. [, 3] Γ. [3, + ) 3 Δ. R Ε. (-, - 3] 39

14 9. * H συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα Δ και Δ. Θεωρούμε τις προτάσεις: Ι. Η C f δέχεται εφαπτομένη στο Α (, f ( )) ΙI. Η f αλλάζει πρόσημο στο ΙΙΙ. Η f αλλάζει πρόσημο στο Τότε το Α (, f ( )) είναι σημείο καμπής της C f αν ισχύουν οι προτάσεις Α. Ι και ΙΙ Β. Ι και ΙΙΙ Γ. ΙΙ και ΙΙΙ Δ. μόνο η ΙΙΙ Ε. μόνο η Ι. * Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R, μπορεί να έχει πλήθος πλάγιων ασυμπτώτων Α. το πολύ τρεις Β. το πολύ δύο Γ. το πολύ μία Δ. εξαρτάται από το πλήθος των οριζοντίων ασυμπτώτων Ε. δεν υπάρχει περιορισμός για το πλήθος. * Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράστα- ση της συνάρτησης f () = e -α με α > και [, + ). Για όλες τις συναρτήσεις f ισχύει ότι Α. έχουν μόνο τοπικό ακρότατο Β. το είναι σημείο καμπής Γ. η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη Δ. η ευθεία = είναι οριζόντια ασύμπτωτη Ε. όλα τα παραπάνω. ** Η ευθεία (ε) είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f. Τότε ισχύει ότι Α. Γ. lim f () = Β. lim f () = Δ. lim f () = - lim f () = C f 45 - (ε) E. lim f () = - 3

15 3. ** Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, τότε η γραφική της παράσταση μπορεί να έχει Α. δύο πλάγιες ασύμπτωτες στο + B. οριζόντια και πλάγια ασύμπτωτη στο + Γ. κατακόρυφες ασύμπτωτες Δ. πλάγια ασύμπτωτη στο + και οριζόντια ασύμπτωτη στο - E. οριζόντια και πλάγια ασύμπτωτη στο - 4. * Η ευθεία = + είναι πλάγια ασύμπτωτη της Α. f () = Β. g () = Γ. h () = Δ. φ () = e - E. κ () = + ημ 5. * Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της f μιας συνάρτησης f στο R. Τότε για τη συνάρτηση f ισχύει Α. στο διάστημα [-, ] η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω - C f 3 4 Β. στο διάστημα [, 3] ισχύει f () = Γ. στο διάστημα [, ] η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω Δ. στο διάστημα [-, ] η f είναι γνησίως φθίνουσα E. όλα τα παραπάνω 3

16 6. * Αν μια συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω, τότε η γραφική παράσταση της f μπορεί να είναι η Α. B. - Γ. Δ. Ε. 3

17 7. * Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f. Η γραφική παράσταση της f μπορεί να είναι Α. B Γ. Δ Ε. καμία από αυτές 8. * Αν η γραφική παράσταση της παραγωγίσιμης συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τότε Α. η f έχει μόνο δύο τοπικά ακρότατα Β. η f δεν παραγωγίζεται σε όλα τα σημεία του διαστήματος [, 3 ] Γ. f () > για όλα τα (, 3 ) Δ. f () < για όλα τα (, ) E. η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, 3 ] 3 33

18 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R, η οποία έχει δύο τουλάχιστον ρίζες. α) Να αποδείξετε ότι μεταξύ δύο ριζών της f περιέχεται τουλάχιστον μια ρίζα της f. β) Αν η f έχει δύο τουλάχιστον ρίζες, να αποδείξετε ότι μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της f περιέχεται το πολύ μια ρίζα της f.. ** Δίνεται η συνάρτηση f () = log. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο [, ] για τη συνάρτηση f. 9 loge β) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε ξ =. log 3. ** Δίνεται η συνάρτηση g () = 3 + +, R. α) Να βρείτε μία τουλάχιστον συνάρτηση f για την οποία να ισχύει f () = g () (). β) Από όλες τις συναρτήσεις f οι οποίες έχουν την ιδιότητα () να βρείτε ε- κείνη της οποίας η C f διέρχεται από το σημείο (-, - ). γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση f με την ιδιότητα () της οποίας η C f να δέχεται οριζόντια εφαπτομένη. 4. ** α) Δίνεται η συνάρτηση f () = ( - α) μ ( - β) ν, μ, ν θετικοί ακέραιοι. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο ώστε ξ = να μβ. μ ν β) Να αποδείξετε ότι το παραπάνω ξ χωρίζει το διάστημα [α, β] σε λόγο δηλαδή ισχύει ξ - α β - ξ = μ ν. μ ν, 34

19 γ) Ένα πολυώνυμο P () είναι άρτιου βαθμού και έχει μοναδικές ρίζες τους αριθμούς 4 και 5 ενώ κάθε ρίζα έχει τον ίδιο βαθμό πολλαπλότητας. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη στην Cp στο σημείο με τετμημένη 5 είναι παράλληλη στον άξονα. Σημείωση: Αν ένα πολυώνυμο P () έχει ρίζα ρ με βαθμό πολλαπλότητας κ, τότε γράφεται P () = ( - ρ) κ Q (), με Q (ρ). 5. ** Να αποδειχθεί ότι ημ (α + h) < ημα + hσυνα, όπου < α < α + h < π. 6. ** Έστω f μια συνάρτηση, δυο φορές παραγωγίσιμη στο R και μια ευθεία (ε) με εξίσωση = α + β, η οποία τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε τρία διαφορετικά σημεία. Αν,, 3 οι τετμημένες των σημείων αυτών (με < < 3 ): α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει (, 3 ) τέτοιο ώστε f ( ) =, εφαρμόζοντας το θεώρημα της μέσης τιμής στα διαστήματα [, ] [, 3 ]. β) Να εξετάσετε αν ισχύει η πρόταση: Αν μια συνάρτηση είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R και δέχεται σε δυο σημεία της γραφικής της παράστασης παράλληλες εφαπτομένες, τότε η f έχει τουλάχιστον ένα πιθανό σημείο καμπής. 7. ** Η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] και οι αριθμοί f (α), f α ροι αριθμητικής προόδου. β, f (β) είναι, με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί ό- α β f ( ) - f (α) α) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α β - α σοι. α β f ( ) - f (β) και α β - β είναι ί- β) Να αποδείξετε ότι η δεύτερη παράγωγος της f μηδενίζεται σ ένα τουλάχιστον σημείο. 35

20 8. ** Με τη βοήθεια των παραγώγων να δείξετε ότι: ημ 6 + συν 6 + 3ημ συν =, για κάθε R. 9. ** Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και η f μηδενίζεται σε καθένα από τα διαστήματα (-, ), (, + ). Μπορούμε να αποφανθούμε ότι η f είναι σταθερή στο R; Αν τα σημεία, για τα οποία δεν γνωρίζουμε ότι έχουν παράγωγο μηδέν, είναι,,, κ, μπορούμε να καταλήξουμε στο ίδιο συμπέρασμα; Σημείωση: Η παραπάνω άσκηση μπορεί να αποτελέσει θέμα για διαπραγμάτευση μέσα στην τάξη.. ** Δίνεται μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το [- 8, 7], της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο σχήμα. α) Να μελετήσετε το πρόσημο της f (). β) Να λύσετε την ανίσωση f () > γ) Να βρείτε το πρόσημο της f () και να σχηματίσετε τον πίνακα μεταβολής της f (). δ) Αν g () = e f () και h () = ln [f ()], (- 6, ), να εξετάσετε τις g, h ως προς τη μονοτονία και το πρόσημο.. ** Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [, + ) με f () =. α) Να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση g () =, >, είναι παραγωγίσιμη στο (, + ). f () f () β) Να αποδείξετε ότι ισχύει g () = (f () - ). γ) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ), να αποδείξετε ότι και η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). 36

21 . ** Ένα πολυώνυμο Ρ () ικανοποιεί τη σχέση Ρ () = P () + 3. α) Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου. β) Να βρείτε το πολυώνυμο P (). γ) Να υπολογίσετε το πλήθος των πραγματικών ριζών του. δ) Να βρείτε το πρόσημο των ριζών του. 3. ** Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση ( - ) = +, R, έχει μία μόνο λύση. 4. ** Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ () και Q (), ώστε Ρ () Q () και Ρ () Q () για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση Ρ () = Q () έχει ακριβώς μια λύση, εξετάζοντας το βαθμό του S () = Ρ () - Q (). 5. ** Έστω ότι α α (α > ) για κάθε >. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Fermat να αποδείξετε ότι α = e. 6. ** Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση με πεδίο ορισμού το [, 6]. Αν η C f περνά από το σημείο Α (, ) και ισχύει: f () > για κάθε [, 6], να αποδείξετε ότι: α) η συνάρτηση g () = f () - β) g () >, [, 6]. γ) το σημείο Β (6, 8) δεν ανήκει στη C f. είναι γνησίως αύξουσα στο [, 6]. 7. ** Δίνονται οι συναρτήσεις f () = e, R και g () = ln, >. α) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις τους δεν τέμνονται. β) Να βρείτε τη μικρότερη απόσταση την οποία μπορεί να έχει ένα σημείο της C f από την ευθεία =. γ) Να βρείτε το σημείο της = e, το οποίο απέχει τη μικρότερη απόσταση από την =. δ) Ποια νομίζετε ότι είναι τα σημεία των C f και C g που να απέχουν την ελάχιστη απόσταση; 8. ** Δίνεται η συνάρτηση f () = 3 - α, α. 37

22 α) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα. β) Να δείξετε ότι τα σημεία που αντιστοιχούν στα τοπικά ακρότατα της f ανήκουν στην καμπύλη με εξίσωση = ** Σε έναν υποτασικό ασθενή με αρχική πίεση Π χορηγούνται δύο διαφορετικά φάρμακα για την υπόταση σε διαφορετικές ημερομηνίες, των οποίων οι δράσεις καθορίζονται από τις συναρτήσεις: Π (t) = Π + t e -t όπου t ο χρόνος δράσης και Π η πίεση Π (t) = Π + t e -t όπου t ο χρόνος δράσης και Π η πίεση Να βρείτε: α) Σε πόση ώρα το κάθε φάρμακο φτάνει στη μέγιστη απόδοσή του. β) Ποιο είναι το πιο αποτελεσματικό όσον αφορά στην άνοδο της πίεσης.. ** Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη δυο φορές στο R, για την οποία ισχύει: e f () + e (f ()) = e -, για κάθε R. α) Να αποδείξετε ότι αν η f έχει τοπικό ακρότατο στο, τότε αυτό θα είναι τοπικό ελάχιστο. β) Να αποδείξετε ότι αν η f έχει τοπικό ακρότατο στο =, τότε αυτό θα είναι τοπικό ελάχιστο.. ** Έστω ένα πολυώνυμο τρίτου βαθμού Ρ () = α 3 + β + γ + δ. α) Να αποδείξετε ότι έχει πάντοτε ένα σημείο καμπής. β) Να βρείτε τη συνθήκη μεταξύ των συντελεστών του, ώστε στο σημείο καμπής να δέχεται οριζόντια εφαπτομένη. γ) Αν έχει δύο θέσεις τοπικών ακροτάτων στα,, να αποδείξετε ότι P ( ) + P ( ) =.. ** Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f η ο- 38

23 ποία στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στο διάστημα [α, β]. Να αποδείξετε ότι η C f βρίσκεται στο [α, β], πάνω από την εφαπτομένη της σε οποιοδήποτε σημείο [α, β] με εξαίρεση το σημείο επαφής. f() α β 3. ** Δίνονται οι συναρτήσεις f () = ln α) Να αποδείξετε ότι ln < για κάθε (, + ). και g () = + f (). β) Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). γ) Να μελετήσετε τη g ως προς τα κοίλα - κυρτά και τα σημεία καμπής. δ) Να εξετάσετε τη θέση της g ως προς την ευθεία =. ε) Να βρείτε ένα σημείο, στο οποίο η εφαπτομένη της g είναι παράλληλη στην ευθεία =. 4. ** α) Αν η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ, παίρνει τιμές στο διάστημα (, + ) και ισχύει f () f () > (f ()), να δείξετε ότι η g () = lnf () στρέφει τα κοίλα άνω. β) Να βρεθεί το μέγιστο διάστημα στο οποίο η συνάρτηση g με g () = ln ( + ) στρέφει τα κοίλα άνω. 5. ** Να γίνει η γραφική παράσταση της = f () κοντά στο σημείο = - αν ισχύουν συγχρόνως: f (- ) =, f (- ) = -, f (- ) =, f () >. 6. ** Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει ασύμπτωτη στο + την ευθεία = 5 +, να βρεθεί το όριο: lim f () - 3 ημ. 3 f () ** Για ποιες τιμές του κ η συνάρτηση f () = 3 + κ + έχει σημείο καμπής για = ; 39

24 8. ** Για ποια χορδή ΒΓ παράλληλη προς την εφαπτομένη ενός κύκλου σ ένα σημείο του Α, το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι μέγιστο; 9. ** Δίνεται μια συνάρτηση f για την οποία ισχύει f (α) = f (β) = και f () <, για κάθε R. Να αποδείξετε ότι f () > για κάθε (α, β). 3. ** Ένα δοχείο γεμίζει με νερό. Ο όγκος V (t) του νερού στο δοχείο μετά t sec δίνεται από τον τύπο: V (t) = 3 (t - t 3 6 ), t α) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του όγκου, όταν t = sec. β) Πότε ο ρυθμός αυτός γίνεται μέγιστος; 3. ** Εξηγήστε γιατί η χρήση του κανόνα του L Hospital δεν δίνει την πραγματική τιμή του ορίου: (η πραγματική τιμή είναι lim ). = 3 lim - 5 = lim 6 = 3 3. ** Η ενέργεια, που καταναλώνεται κατά την κίνηση σωματιδίου, δίνεται από τον τύπο Ε (υ) = σωματιδίου. υ [ (υ - 35) + 75], υ >, όπου υ είναι η ταχύτητα του α) Να βρείτε την ταχύτητα που πρέπει να έχει το σωματίδιο ώστε να καταναλώνει την ελάχιστη ενέργεια. β) Πόση είναι η ελάχιστη αυτή ενέργεια; 3

25 33. ** Στο σχήμα φαίνεται τμήμα παραβολής με εξίσωση = 4 (48 - ), και το ισοσκελές τρίγωνο ΟΒΓ με Γ Β ΟΒ = ΟΓ. α) Να βρείτε τα σημεία Β, Γ για τα οποία το εμβαδόν του τριγώνου ΟΒΓ γίνεται μέγιστο. β) Ποιο είναι αυτό το μέγιστο εμβαδόν; 34. ** Έστω f η συνάρτηση της ποσότητας κάποιας ουσίας στο αίμα, σε σχέση με το χρόνο t. Αν ο ρυθμός μεταβολής της f είναι ίσος με α) Να βρείτε τον τύπο της f, αν ισχύει f (3) = 4. β) Μέχρι ποια χρονική στιγμή θα ισχύει f (t) > ; t -, t > : 35. ** Έστω f () = (3 - ), όπου η f μετρά την αντίδραση του οργανισμού σε ποσότητα μιας ουσίας (αύξηση πίεσης, πτώση θερμοκρασίας σώματος κ.λπ.). Να βρείτε την τιμή του για την οποία η αντίδραση έχει τη μέγιστη τιμή. Ποια είναι η μέγιστη τιμή; 36. ** Η γραφική παράσταση C f της παραγώγου μιας συνάρτησης f είναι η παραβολή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. α) Να κατασκευάσετε πίνακα μονοτονίας της f. β) Να βρείτε τον τύπο της f, αν f () = =f () γ) Να κάνετε πρόχειρη γραφική παράσταση της f. 3

26 37. ** Η γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να λυθούν: α) f () = β) f () < γ) f () > ** Έστω η συνάρτηση f () = α, α >. Στο σημείο Μ της C f με τετμημένη > φέρνουμε εφαπτομένη (ε) που τέμνει τον στο Τ. Θεωρούμε τα σημεία Ρ, Ν πάνω στον ώστε ΜΡ και ΜΝ (ε). α) Να δείξετε ότι: i) ΟΡ = ΤΡ ii) ΤΡ = iii) ΡΝ = f ( ) f ( ) iv) ΤΜ = f () f ( ) f () f ( ) f ( ) β) Να δείξετε ότι για τη συνάρτηση f () = e το ΤΡ είναι σταθερό. Για ποια εκθετική συνάρτηση ισχύει ΤΡ = γ) Το κομμάτι ΑΒ της πίστας δοκιμών αυτοκινήτων που αναπτύσσουν μεγάλες ταχύτητες είναι τμήμα παραβολής με κορυφή στο Α. Στο σημείο Κ, που απέχει 4 μέτρα από το προστατευτικό διάζωμα ΑΠ, το αυτοκίνητο Κ εκτρέπεται λόγω της πολύ μεγάλης oλισθη-. ρότητας, κινείται σχεδόν ευθύγραμμα κατά τη διεύθυνση της εφαπτομένης. και προσκρούει στο διάζωμα ΑΠ σε απόσταση 8 μέτρα από το Α. Ποια θα μπορούσε να είναι η εξίσωση του τμήματος ΑΒ; Σημείωση: Η προηγούμενη άσκηση μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν βάση για ανάπτυξη και άλλων ερωτημάτων όπως για παράδειγμα αν ισχύουν οι ίδιες σχέσεις και για παραβολή της μορφής = α ( = κ ). A B Κ Π 3

27 39. ** Στο σχήμα (α) να υπολογίσετε τη γωνία ω και στο σχήμα (β) να υπολογίσετε τον αριθμό α. (Σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα η (ε) είναι εφαπτομένη της C f ). A (ε) ω =ln A 45 =α (ε) (α) (β) 4. ** Ένα κέντρο έρευνας για την ασφάλεια των αυτοκινήτων εξετάζει το διάστημα s που διανύει ένα αυτοκίνητο από τη στιγμή που ο οδηγός θα διακρίνει ένα εμπόδιο μέχρι την ακινητοποίησή του. Οι ερευνητές κατέληξαν σε ds μια σχέση της μορφής 3Κ - et s = όπου t ο χρόνος που μεσολαβεί από dt τη στιγμή που ο οδηγός αντιλαμβάνεται το εμπόδιο μέχρι να πατήσει το φρένο, Κ μια σταθερά που εξαρτάται από το μοντέλο και παριστάνει το διάστημα που θα διανύσει το αυτοκίνητο από τη στιγμή που ο οδηγός θα πατήσει φρένο μέχρι την ακινητοποίησή του (υποτίθεται ότι στην έρευνα χρησιμοποιήθηκε για όλα τα αυτοκίνητα ταχύτητα 8 km/h). α) Να βρείτε τη συνάρτηση s (t) χρησιμοποιώντας μια κατάλληλη αρχική συνθήκη. β) Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης και να ερμηνεύσετε τα αποτελέσματα. γ) Κάποιος γνωρίζει ότι ο χρόνος αντίδρασής του είναι,8 sec. Πόση απόσταση πρέπει να κρατά από ένα προπορευόμενο αμάξι όταν τρέχει με υ = 8 km/h; 33

28 4. ** Ο W. Estes έχει ασχοληθεί με την καμπύλη εκμάθησης ενός πειραματόζωου. Το πειραματόζωο μέσα σε έναν ελεγχόμενο χώρο έπρεπε να επιλέξει τον κατάλληλο μοχλό ώστε να πάρει το φαγητό του. Με την πάροδο του χρόνου ο αριθμός των σωστών επιλογών r (σε μια εβδομάδα) βρέθηκε ότι δί- 3 νεται από τον τύπο r (t) = 5e -,4t (t εβδομάδες εκπαίδευσης). α) Να εξετάσετε αν το πειραματόζωο θα βελτιώνει συνεχώς τις επιδόσεις του. β) Τι θα συμβεί αν το πείραμα συνεχιστεί για μεγάλο χρονικό διάστημα; 4. ** Ο υπολογιστής τσέπης για να υπολογίσει τις δυνάμεις του αριθμού e, δηλαδή τις τιμές του e, χρησιμοποιεί το άθροισμα + + (στην ουσία χρησιμοποιεί πολύ περισσότερους προσθετέους). α) Να δείξετε ότι για κάθε > η προσέγγιση του υπολογιστή είναι μικρότερη από την πραγματική τιμή του e. β) Να εξετάσετε αν η εξίσωση 4e = , έχει λύση. γ) Να δείξετε ότι για ολοένα μεγαλύτερες τιμές του e, >, έχουμε ολοένα μεγαλύτερο σφάλμα ** Μια συνάρτηση f έχει f () = και f () =. Να βρείτε προσεγγιστικές τιμές για τα f (, ) και f (-,5). 34

29 44. ** Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = 3 + κ + + λ, κ, λ R. A Β Να δείξετε ότι = ** Δίνεται η συνάρτηση f () = + ( - ), R. α) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f. β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς και γ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f () = ( - α) ν + ν, α R και α >, ν Ν *, ν = ρ. Να συγκρίνετε τους αριθμούς και ** Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f και g με πεδίο ορισμού το ανοικτό διάστημα Δ. Να δείξετε ότι αν η h () = f () - g () έχει στο Δ μέγιστο, τότε η f και η g έχουν παράλληλες εφαπτομένες στο Δ. 35

30 47. ** Το παρακάτω σχήμα παριστάνει την είσοδο μιας σήραγγας του εθνικού οδικού δικτύου. Όταν η κίνηση είναι αυξημένη παρατηρείται «μποτιλιάρισμα» των αυτοκινήτων στη σήραγγα αυτή. Μια ομάδα συγκοινωνιολόγων μελέτησε τη ροή f των αυτοκινήτων για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα και κατέληξε σε έναν τύπο ο οποίος εκφράζει τη ροή (πλήθος αυτοκινήτων / sec) σαν συνάρτηση της ταχύτητας υ των αυτοκινήτων μέσα στη σήραγγα. Ο τύπος είναι f (υ) =. υ υ υ 73 Μήκος km 6 km/h α) Ποιες επεμβάσεις προτείνετε στη σήμανση που υπάρχει στην είσοδο της σήραγγας; β) Ποια είναι η μέγιστη δυνατή ροή αυτοκινήτων μέσα στη σήραγγα; 48. ** Να αποδείξετε με τη βοήθεια των παραγώγων ότι οι συναρτήσεις f () = (e + e - ) και g () = (e - e - ), R, διαφέρουν κατά μία σταθερά. Να βρεθεί αυτή η σταθερά. 49. ** Η κατανάλωση ενός φορτηγού που τρέχει με σταθερή ταχύτητα υ είναι υ + 3 lt πετρέλαιο την ώρα, το πετρέλαιο κοστίζει 5 δρχ. το lt και η αμοιβή του οδηγού είναι 4. δρχ. την ώρα. Να βρείτε την ταχύτητα του φορτηγού για να έχουμε το ελάχιστο δυνατό κόστος μεταφοράς, καθώς και τα έξοδα της μεταφοράς για μια απόσταση 5 km. 36

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f.

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f. Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, η οποία έχει δύο τουλάχιστον ρίζες. α) Να αποδείξετε ότι µεταξύ δύο ριζών της f περιέχεται τουλάχιστον µια ρίζα της f. β) Αν η f έχει δύο

Διαβάστε περισσότερα

ερµηνεύσετε τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (α).

ερµηνεύσετε τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (α). Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Για να υπολογίσει κάποιος την (0 ) χρησιµοποιεί για + προσέγγιση τον αριθµό +, ενώ ένας άλλος τον αριθµό. 3 α) Να εκτιµήσετε ποια από τις δύο προσεγγίσεις δίνει το ελάχιστο (απόλυτο)

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Έστω µια συνάρτηση f για την οποία ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήµατος του Rolle στο διάστηµα [α, β]. Τότε θα υπάρχει ξ (α, β), ώστε η εφαπτοµένη της C f στο (ξ, f (ξ))

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 3 598 Περιεχόμενα Συνδυαστικά Θέματα... Προβλήματα... 7 Επιμέλεια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». * Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) και f (α) = f (β), τότε υπάρχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Το θεώρηµα µέσης τιµής του διαφορικού λογισµού για κάθε α, β R και τη συνάρτηση f () = e εξασφαλίζει την ύπαρξη ενός αριθµού κ R, ώστε να ισχύει Α. e α-β = e κ (α - β) Β.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 34 Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017 Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για

Διαβάστε περισσότερα

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν η f διατηρεί πρόσημο στο α,,β ότι το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 94 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΘΕΜΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Συναρτήσεις Έστω συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι (), για κάθε R ( ) +, για κάθε R Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών το R και τέτοια ώστε ( ) ( ) e +,

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C f

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C στο σημείο της A, ( ; ( Έστω μια συνάρτηση και A, ( ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το ( ( ( lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφείο 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλέφωνο: 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν () στο (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

1, x > 0 η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε κάθε ένα από τα διαστήματα (, 0) και (0, + ) του πεδίου ορισμού της D f = R.

1, x > 0 η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε κάθε ένα από τα διαστήματα (, 0) και (0, + ) του πεδίου ορισμού της D f = R. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ: Όρια Συνέχεια Διαφορικός Λογισμός Ορισμένο Ολοκλήρωμα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Μαρτίου 8 Θερινά Τμήματα Απαντήσεις ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό Βιβλίο Σελίδα 33. (Μονάδες 5) Α. Σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

Πες το με μία γραφική παράσταση

Πες το με μία γραφική παράσταση Πες το με μία γραφική παράσταση Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου www askisopolisgr ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Να γράψετε και να σχεδιάσετε γραφικές παραστάσεις (ορισμένες σε διάστημα ή σε ένωση διαστημάτων):

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Σε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις αφού πρώτα σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασμένη), στη συνέχεια να δώσετε μια σύντομη τεκμηρίωση της όποιας απάντησή σας Αν για

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 3 598 Θε ματα ΟΕΦΕ - 5 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη e d g h g h Εκφωνήσεις 65, 6 Δίνονται η συνάρτηση και η σχέση g, 8 α) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών Ημερομηνία: Ιουνίου 08 Απαντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α.. Θεωρία σχολικού βιβλίου,

Διαβάστε περισσότερα

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x)

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x) . Έστω η συνάρτηση = + e. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.. Να λύσετε την εξίσωση e = 3. Θεωρούμε τη γνησίως μονότονη συνάρτηση g : R R η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση g() + e g() = +.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να μελετήσουμε και να χαράξουμε τη γραφική παράταση μιας συνάρτησης ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της.. Εξετάζουμε την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΦΥΛ 14 ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ a, 1 0 1. Δίνεται η συνάρτηση f (), 0 1 Να βρείτε τα α,β,γ έτσι ώστε για την συνάρτηση να ισχύουν οι προϋπόθεσης του θεωρήματος Rolle στο [-1,1]. 4. Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το ο Γενικό Λύκειο Χανίων [00-0 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το ήθος

Διαβάστε περισσότερα

lim lim lim f (x) δ) lim lim lim lim 1- x 1- lim lim lim lim lim Ερωτήσεις ανάπτυξης

lim lim lim f (x) δ) lim lim lim lim 1- x 1- lim lim lim lim lim Ερωτήσεις ανάπτυξης Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να βρεθούν τα παρακάτω όρια: α) γ) ε) ζ) - f () β) f () δ) f () f () στ) - - - f () f () f () - y

Διαβάστε περισσότερα

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. "ΑΙΧΜΗ" Κ. Καρτάλη 28 Βόλος τηλ. 242 32598 Φροντιστήριο Μ. Ε. «ΑΙΧΜΗ» Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διαβάστε περισσότερα

o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 010-011 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΚΕΦ1 1 Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Έστω η συνάρτηση f ( x,,1. Nα αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο. v v 1 και ισχύει : x vx A2. Να διατυπώσετε και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημα Bolzano.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ο Α. α) Έστω η συνάρτηση ( ) στο R και ισχύει: f '( ) ηµ f = συν. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α3. Ορισμός σελ. 73 Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ , δηλαδή αρκεί x 1 x

και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α3. Ορισμός σελ. 73 Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ , δηλαδή αρκεί x 1 x ΘΕΜΑ Α Α1. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 15 Α. α) Ψ β) Σχήμα 1 και μελέτη της f, όπου η f είναι συνεχής στο και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α. Ορισμός σελ. 7 Α. α) Λ β) Σ γ)

Διαβάστε περισσότερα

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* ********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε

Διαβάστε περισσότερα

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ] ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 3/3/6 ΘΕΜΑ ο : Α. Τι ονομάζουμε αρχική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενες λύσεις. f (x) f (x ) f (x) f (x ) f (x) f (x ) (x x ). f (x) f (x ) lim[f (x) f (x )] lim (x x ) lim[f (x) f (x )] 0 lim f (x) f (x ),

Προτεινόμενες λύσεις. f (x) f (x ) f (x) f (x ) f (x) f (x ) (x x ). f (x) f (x ) lim[f (x) f (x )] lim (x x ) lim[f (x) f (x )] 0 lim f (x) f (x ), Πανελλαδικές Εξετάσεις 8 Μαθηματικά Προσανατολισμού /6/8 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της, ισχύει ότι: Για κάθε έχουμε: Επομένως ισχύει ότι: Δηλαδή:

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( 3 ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) (( ) ( )) ( ) + = = και και και και. ζ να ταυτισθούν, δηλαδή θα πρέπει: f x ημ x. 6 x x x.

( ) ( ) ( 3 ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) (( ) ( )) ( ) + = = και και και και. ζ να ταυτισθούν, δηλαδή θα πρέπει: f x ημ x. 6 x x x. Ενδεικτικές Λύσεις Διαγωνίσματος (9--9) ΘΕΜΑ Α A. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 5 Α. α. ψ β. Αντιπαράδειγμα σχολικού βιβλίου σελ. 99 Α. Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ. 6 Α4. α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Λ ΛΥΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ενότητα 17 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ασκήσεις για λύση 1. Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ η πλευρά ΑΒ αυξάνεται με ρυθμό cm / s, ενώ η πλευρά ΒΓ ελαττώνεται με ρυθμό 3 cm / s. Να βρεθούν: i) ο ρυθμός μεταβολής

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις)

( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις) Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ ΤΗΛ : 777 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ ΤΗΛ : 99 9494 www.sygrono.gr Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ενδεικτικές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι παρουσιάζει στο o Α τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε f () f( o ) για κάθε A ( o δ, o δ ), όπου Α το πεδίο ορισμού της f. Το o λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα 0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Ζαχαράκης Δημήτρης Καρύμπαλης Νώντας Κλίτσας Γιώργος Κοτσώνης Γιώργος Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΠΙΚΑΙΡΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ www.apodeiis.gr ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 1 i. ii. 1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: i. 1 1 ii. ln. Δίνεται η συνάρτηση g, i. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση G () = F (α + β) είναι µια παράγουσα της h () = f (α + β), α α στο R. β + γ α+ γ. ** α) Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ., τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο x., τότε η f είναι συνεχής στο x.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ., τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο x., τότε η f είναι συνεχής στο x. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης 6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα