ΜΟΝΤΕΛΟ ΥΠΟΓΕΙΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑΣ (Groundwater Hydrology Model)

Transcript

1 ΜΟΝΤΕΛΟ ΥΠΟΓΕΙΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑΣ (Groudwater Hydrology Model) Το λογισμικό GMS (Groudwater Modelg Syste) που δημιουργήθηκε για τη μοντελοποίηση της υπόγειας υδρολογίας είναι ένα ολοκληρωμένο πρόγραμμα το οποίο χρησιμοποιείται ευρέως στην παγκόσμια ερευνητική κοινότητα για την υλοποίηση προσομοιώσεων. Το λογισμικό περιλαμβάνει λειτουργικότητες για γεω-στατιστικές εφαρμογές δύο και τριών διαστάσεων μοντελοποίηση επιπέδων (stratgrapc odelg) καθώς και τη δυνατότητα εισαγωγής προσομοιώσεων βασισμένες σε εννοιολογικά/εμπειρικά μοντέλα. Το Groudwater Modelg Syste έχει ένα περιεκτικότατο γραφικό περιβάλλον στο οποίο πραγματοποιούνται προσομοιώσεις υπόγειων ροών. Πρόκειται για ένα πλήρες σύστημα διαφορετικών τύπων μαθηματικών μοντέλων (δισδιάστατων ή τρισδιάστατων μοντέλων πεπερασμένων διαφορών). Τα ποιο διαδεδομένα μοντέλα τα οποία υποστηρίζονται μέσω του GMS είναι τα: MODFLOW 000 MODPATH MT3DMS/RT3D SEAM3D ART3D UTCHEM FEMWATER PEST UCODE MODAEM SEEPD και UTEXAS. Τα μοντέλα αυτά χωρίζονται στις παρακάτω ενότητες σύμφωνα με τις λειτουργίες τους: Δισδιάστατη ροή Το MODAEM βασιζόμενο σε αναλυτικές μεθόδους προσομοιώνει εύκολα και γρήγορα προβλήματα δισδιάστατης ροής. Το SEEPD βασιζόμενο στα πεπερασμένα στοιχεία προσομοιώνει τη δισδιάστατη διαρροή π.χ από φράγματα από αναχώματα κ.α Τρισδιάστατη ροή Το MODFLOW 000 βασιζόμενο στις πεπερασμένες διαφορές προσομοιώνει τη ροή του υπόγειου νερού στην κορεσμένη ζώνη. Το FEMWATER βασιζόμενο στα πεπερασμένα στοιχεία προσομοιώνει τη ροή του υπόγειου νερού στην κορεσμένη και στην ακόρεστη ζώνη. Μεταφορά ρύπανσης Το ART3D βασιζόμενο σε αναλυτικές μεθόδους προσομοιώνει απλά δισδιάστατα προβλήματα.

2 Τα MODPATH ή το FEMWATER βασιζόμενα στα πεπερασμένα στοιχεία προσομοιώνουν απλά τρισδιάστατα προβλήματα μεταφοράς. Τα RT3D ή SEAM3D βασιζόμενα στις πεπερασμένες διαφορές προσομοιώνουν πολύπλοκα τρισδιάστατα προβλήματα μεταφοράς Το UTCHEM βασιζόμενο στις πεπερασμένες διαφορές προσομοιώνει τρισδιάστατα προβλήματα μεταφοράς διαφορετικών φάσεων και στρωμάτων. Μοντέλα ρύθμισης PEST και UCODE η παρουσίαση των οποίων θα γίνει παρακάτω. Τα προηγούμενα αλληλοϋποστηρίζονται και καθένα παρέχει τη δυνατότητα να γίνεται κοινή χρήση της ίδιας πληροφορίας από διαφορετικά μοντέλα και διαφορετικούς τύπους δεδομένων. Τα παρεχόμενα εργαλεία των μοντέλων εκτελούν διαφορετικές λειτουργίες οι βασικότερες των οποίων είναι ο χαρακτηρισμός της θέσης η κατασκευή του εννοιολογικού μοντέλου η βαθμονόμηση η δημιουργία του καννάβου η τελική επεξεργασία και η αναπαράσταση. Σε ένα γραφικό περιβάλλον όπως αυτό του GMS (σε όλες τις σύγχρονες εκδόσεις του) ο χρήστης έχει τη δυνατότητα μέσω της απλής επιλογής ενός σημείου (κελιού) ή συνόλου σημείων να εισάγει ή/και να τροποποιεί υδρογεωλογικά χαρακτηριστικά και οριακές συνθήκες στα κατάλληλα πεδία των παραθύρων διαλόγου. Τα εκάστοτε δεδομένα είτε εισάγονται ως εγγραφές είτε εισάγονται ως σειρές δεδομένων τυχαίων σημείων που «διαβάζονται» από το χρησιμοποιούμενο πρόγραμμα. Τα εξαγόμενα τέλος αποτελέσματα είναι γενικευμένα με τέτοιο τρόπο από το GMS ώστε ο χρήστης να έχει στη διάθεσή του πλήθος επιλογών (μορφών αποτελεσμάτων) προκειμένου να συνδέει το προς επίλυση κάθε φορά πρόβλημα με την αντίστοιχη γραφική απεικόνιση της λύσης. Το «κτίσιμο» των μοντέλων και των προσομοιώσεων είναι βασισμένο σε εργαλεία λειτουργιών MS Wdows για γραφικά για αυτό το λόγο είναι εύκολη και κατανοητή η παρουσίαση των αποτελεσμάτων. Όλοι οι παράμετροι εισάγονται χρησιμοποιώντας γραφικά διάδρασης και εύκολα ως προς την κατανόηση παράθυρα διαλόγου. Ωστόσο το λογισμικό διαβάζει και γράφει συνήθως σε αρχεία τύπου ASCII ή TEXT_MODE επομένως είναι σχετικά εύκολη τόσο η φορητότητα των αρχείων εισόδου και αποτελεσμάτων σε περιπτώσεις που θέλουμε να μεταφέρουμε δεδομένα σε άλλη μηχανή.

3 Παρακάτω δείχνουμε και διαγραμματικά δύο από τις κυριότερες ενότητες λογισμικού (odules) στο GMS: Το Proect Explorer Wdow και το Grapcs ad Vsualzato Cavas. Ενδεικτικά στο odule του Proect Explorer Wdow δίνεται η δυνατότητα να δημιουργούνται στρώματα δεδομένων παρόμοια με τη λογική ομαδοποίησης δεδομένων στα συστήματα GIS με λειτουργικότητες όπως: Tur dsplay o/off Covert data to oter forats/types Proect data to a dfferet coordate syste Cotrol dsplay settgs Set te actve data set for edtg Το Proect Explorer Wdow επίσης μας επιτρέπει να έχουμε πρόσβαση σε παραμέτρους μοντελοποίησης και πίνακες δεδομένων με σκοπό να έχουμε τον έλεγχο του υπόγειου μοντέλου. Σχήμα 1: Το proect explorer wdow του λογισμικού GMS

4 Το GMS περιλαμβάνει επίσης ένα ισχυρό εργαλείο γραφικών για τη δημιουργία μοντέλων και την οπτικοποίηση των αποτελεσμάτων. Τα μοντέλα μπορούν να κατασκευαστούν χρησιμοποιώντας ψηφιακούς χάρτες και υψομετρικά μοντέλα για την αναφορά τη γεωδεσία και την πηγή των δεδομένων. Κατά τη διάρκεια της διαδικασίας οικοδόμησης ενός μοντέλου η γραφική αναπαράσταση του μοντέλου επιτρέπει την ανασκόπηση και παρουσίαση της ενδιάμεσης εργασίας. Το σύστημα αυτό πλαισιώνεται από 3D προβολές με περιγράμματα και της σκίασης που επιτρέπουν σε κάποιον να δει και να κατανοήσει το πεδίο και τις παραμέτρους της ανάλυσης. Το GMS χρησιμοποιεί μηχανές γραφικών τύπου OpeGL για όλες τις 3D απεικονίσεις. Αυτό σημαίνει ότι όλες οι παρουσιάσεις χαρτών και γραφικών που παρέχονται γίνονται με επιτάχυνση του επεξεργαστή της κάρτας γραφικών (GPU-Accelerato). Πολύπλοκα 3D αντικείμενα μπορούν με αυτό τον τρόπο να αποδοθούν άμεσα και να περιστρέφονται σε πραγματικό χρόνο. Στα παρακάτω δύο διαγράμματα παρουσιάζουμε παραδείγματα τέτοιων απεικονίσεων σε τρισδιάστατη μορφή. Σχήμα : Παραδείγματα τρισδιάστατων απεικονίσεων μέσω GMS Το GMS περιλαμβάνει επίσης ένα ολοκληρωμένο γραφικό περιβάλλον για το μοντέλο υπόγειων νερών MODFLOW 000. Το MODFLOW είναι ένα 3D μοντέλο κορεσμένης ροής που στηρίζεται σε πεπερασμένες διαφορές και το οποίο αναπτύχθηκε από το Γεωλογικό Ινστιτούτο των ΗΠΑ. Το MODFLOW μπορεί να εκτελέσει τόσο σταθερής κατάστασης όσο και παροδικές αναλύσεις και έχει μια ευρεία ποικιλία οριακών συνθηκών και επιλογές εισόδου.

5 Μια ειδική έκδοση του MODFLOW διανέμεται με το GMS. Τόσο ο πηγαίος κώδικας όσο και το εκτελέσιμο περιλαμβάνονται. Αυτή η έκδοση του MODFLOW είναι η ίδια με την έκδοση που διανέμεται από το USGS εκτός από μερικές μικρές αλλαγές που αφορούν κυρίως στο αρχείο εισόδου. Αυτές οι αλλαγές είναι σαφώς σημειωμένες στον κώδικα. 1.1 Ο Κώδικας MODFLOW Για την προσομοίωση της υδροδυναμικής κατάστασης των υδροφορέων χρησιμοποιείται από πολλούς ερευνητές ο κώδικας MODFLOW (Modular tree desoal fte dfferece groud water flow odel) της Αμερικανικής Υπηρεσίας Γεωλογικών Ερευνών (U.S.G.S.). Το πρόγραμμα στηρίζεται στην αριθμητική επίλυση μιας κύριας διαφορικής εξίσωσης η οποία προκύπτει από την εφαρμογή της εξίσωσης διατήρησης της μάζας και του νόμου του Darcy. Πρόκειται για ένα μοντέλο πεπερασμένων διαφορών με επίλυση των εξισώσεων στο κέντρο των κυψελίδων του καννάβου. Εφαρμόζεται τόσο σε μόνιμα όσο και σε μη μόνιμα προβλήματα ροής και υπολογίζει τις μεταβολές του φορτίου στα σημεία πεδίου σε όλη τη διάρκεια του χρόνου για ομογενή ετερογενή ισότροπο ή ανισότροπο υδροφορέα. Επίσης έχει τη δυνατότητα προσομοίωσης μεγάλου αριθμού πηγαδιών της κατείσδυσης της επίδρασης στραγγιστηριών και ποταμών και παρακάτω. λιμνών κ.λπ. όπως θα παρουσιαστούν 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο του Modflow Η τρισδιάστατη κίνηση των υπόγειων νερών υπό συνθήκες μη μόνιμης ροής διαμέσου ενός ετερογενούς και ανισότροπου πορώδους μέσου μπορεί να περιγραφεί από την εξίσωση (Aderso ad Woesser 199): όπου: ( ) ( ) ( zz ) W S (1) z z t

6 Κ χχ Κ yy Κ zz οι τιμές της υδραυλικής αγωγιμότητας κατά μήκος των χ y και z αξόνων συντεταγμένων οι οποίες θεωρούνται να είναι παράλληλοι προς τους κυρίους άξονες της υδραυλικής αγωγιμότητας [L Τ -1 ] H W S y T το υδραυλικό φορτίο [L] η παροχή ανά μονάδα χρόνου που προέρχεται από εισροές ή εκροές του νερού [Τ -1 ] η ειδική απόδοση του πορώδους μέσου και ο χρόνος [Τ] Η Εξ. 1 είναι η τρισδιάστατη διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους που περιγράφει την κίνηση του υπόγειου νερού σε υπό πίεση υδροφορείς και χρησιμοποιείται από μοντέλο MODFLOW. H εξίσωση αυτή περιγράφει την κίνηση του υπόγειου νερού κάτω από συνθήκες μη μόνιμης ροής σε ετερογενές και ανισότροπο μέσο με την προϋπόθεση ότι οι κύριοι άξονες της υδραυλικής αγωγιμότητας ταυτίζονται με τους άξονες του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Τα S s K xx K yy K zz στην Εξ. 3.1 μπορούν να είναι συναρτήσει του χώρου (S S = S S (xyz) K xx = K xx (xyz) K yy = K yy (xyz) K zz = K zz (xyz) ) και το W συναρτήση του χώρου όσο και του χρόνου ( W = W(xyzt)). Η Εξ. 1 σε συνδυασμό με τις οριακές συνθήκες στα όρια του υδροφορέα και με καθορισμό αρχικής συνθήκης πιεζομετρίας αποτελεί ένα μαθηματικό μοντέλο ενός υπόγειου υδροφορέα. Εκτός από περιπτώσεις πολύ απλών συστημάτων υδροφορέων αναλυτικές λύσεις της Εξ.1 είναι πολύ δύσκολο και τις περισσότερες φορές αδύνατο να επιτευχθούν. Γι αυτό το λόγο έχουν αναπτυχθεί τα τελευταία χρόνια μαθηματικά μοντέλα που στηρίζονται σε αριθμητικές μεθόδους επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων και δίνουν προσεγγιστικές λύσεις. Τέτοιες αριθμητικές μέθοδοι είναι οι πεπερασμένες διαφορές τα πεπερασμένα στοιχεία τα πολλαπλά κελιά τα οριακά στοιχεία κ.α. Το μοντέλο MODFLOW με τη βοήθεια του οποίου γίνεται η επίλυση της Εξ.1 χρησιμοποιεί τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών στις τρεις διαστάσεις όπου το συνεχές σύστημα που περιγράφεται από την Εξ.1 αντικαθίσταται από ένα πεπερασμένο αριθμό διακριτών σημείων τόσο ως προς το χρόνο όσο και ως προς το χώρο. Οι μερικές παράγωγοι αντικαθίστανται από όρους που υπολογίζονται ως διαφορές στην πιεζομετρία για τα

7 συγκεκριμένα αυτά σημεία και η διαδικασία αυτή τελικά οδηγεί σε συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές και συγκεκριμένα πίσω διαφορές. Η αριθμητική λύση των συστημάτων αυτών δίνει τιμές για το φορτίο σε συγκεκριμένα σημεία και για συγκεκριμένα χρονικά βήματα. Οι τιμές αυτές αποτελούν μία προσέγγιση της αναλυτικής λύσης της εξίσωσης η οποία σε αντίθεση με την αριθμητική λύση δίνει συνεχείς τιμές της κατανομής φορτίου για οποιοδήποτε σημείο και για οποιοδήποτε χρόνο. Διακριτοποίηση Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται η χωρική διακριτοποίηση ενός υδροφορέα με ένα πλέγμα ορθογώνιων υπο-περιοχών προσανατολισμένων προς το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένου που λέγονται κελιά (cells). Κάθε υπο-περιοχή αποτελείται από ένα χαρακτηριστικό σημείο το οποίο είναι το κέντρο βάρους του κελιού και στο οποίο ζητείται να υπολογιστεί η τιμή του. Χρησιμοποιούνται δείκτες () όπου : = 1.. row = 1.. col = 1.. lay αντιπροσωπεύει τον αριθμό των γραμμών αντιπροσωπεύει τον αριθμό των στηλών αντιπροσωπεύει τον αριθμό των επιπέδων στην κατακόρυφη διεύθυνση

8 Σχήμα 3: Χωρική διακριτοποίηση ενός τρισδιάστατου υδροφορέα. Κατά τον σχηματισμό των εξισώσεων του μοντέλου έγινε η σύμβαση ότι τα επίπεδα αντιπροσωπεύουν οριζόντιες υδρογεωλογικές μονάδες. Έτσι ο δείκτης σημαίνει αλλαγές πάνω στον κατακόρυφο άξονα z με φορά από πάνω προς τα κάτω. Το ίδιο ισχύει και για τους άλλους δύο άξονες. Τόσο οι γραμμές που είναι παράλληλες στον άξονα x όσο και οι στήλες που είναι παράλληλες στον y δίνουν μεταβολές κατά τη διεύθυνση y και x αντίστοιχα. Έτσι το μήκος ενός κελιού κατά τη διεύθυνση των γραμμών σε μια δεδομένη στήλη γράφεται Δr ενώ κατά τη διεύθυνση των στηλών σε μια δεδομένη γραμμή γράφεται Δc και το πάχος του κελιού για ένα δεδομένο επίπεδο Δv. Δηλαδή ένα κελί με συντεταγμένες () = (483) έχει όγκο ΔV = Δr 8 Δc 4 Δv 3. Εξίσωση Πεπερασμένων Διαφορών Η ανάπτυξη της Εξ. 1 υπό μορφή πεπερασμένων διαφορών απαιτεί την εφαρμογή της εξίσωσης συνέχειας. Με την προϋπόθεση ότι η πυκνότητα ρ του υπόγειου νερού είναι σταθερή η εξίσωση συνεχείας που εκφράζει το ισοζύγιο της ροής για ένα κελί δίνεται από την έκφραση : όπου: Q S S V t () Q το σύνολο των πραγματοποιούμενων εισροών ή εκροών στα όρια του κελιού που προέρχονται από γειτονικά κελιά [L 3 T -1 ]

9 S S η ειδική αποθηκευτικότητα ή το αποτελεσματικό πορώδες ανά μέτρο βάθους του υδροφορέα. Αυτή μπορεί να οριστεί και σαν ο όγκος του νερού που αντλείται ανά μονάδα όγκου του υδροφορέα και ανά μονάδα μεταβολής της πιεζομετρίας [L -1 ] ΔV ο όγκος του κελιού [L 3 ] Δ Δt η μεταβολή της πιεζομετρίας [L] το χρονικό βήμα [T] Οι όροι στο δεξί μέλος της Εξ. είναι ισοδύναμοι με τον όγκο του νερού που αποθηκεύεται σ ένα χρονικό διάστημα Δt κατά το οποίο παρατηρείται αλλαγή της στάθμης κατά Δ. Σύμφωνα με το Σχήμα 4 από την διακριτοποίηση της Εξ. προκύπτει ένα κεντρικό κελί () και έξι γειτονικά του τα (-1) (+1) (-1) (+1) (-1) (+1). Σχήμα 4: Το κελί () και τα γειτονικά του. Η εισροή στο (ι) λαμβάνεται με θετικό πρόσημο ενώ η εκροή με αρνητικό. Σύμφωνα με τo νόμο του Darcy για τις ροές των 6 γειτονικών κελιών προς το κεντρικό (ι) θα ισχύει : 1). Ροή από το κελί (-1) στο (ι) κατά τη διεύθυνση γραμμών (Σχ. 13) :

10 1 q KR c v (3) r όπου: -1 q - το φορτίο στον κόμβο (ι) [L] το φορτίο στον κόμβο (ι-1) [L] η παροχή στην κοινή πλευρά των ορθογώνιων στοιχείων (ι) και (ι- 1) [L 3 T -1 ] KR - η υδραυλική αγωγιμότητα κατά τη διεύθυνση των γραμμών στην κοινή πλευρά των στοιχείων (ι) και (ι-1) [LT -1 ] Δc Δv το εμβαδό της πλευράς του στοιχείου που είναι κάθετη στη διεύθυνση των γραμμών [L ] Δr - η οριζόντια απόσταση ανάμεσα στα κέντρα των στοιχείων (ι) και (ι1) [L] Σχήμα 5: Ροή από το κελί (ι) στο (ι-1) κατά τη διεύθυνση των γραμμών

11 Παρόμοιες εκφράσεις μπορούν να γραφούν προσομοιώνοντας τις ροές προς το κελί (ι) για τις υπόλοιπες 5 επιφάνειες ως εξής : ). Ροή από το κελί (+1) στο (ι) κατά τη διεύθυνση γραμμών : 1 r v c KR q (4) 3). Ροή από το κελί (-1) στο (ι) κατά τη διεύθυνση στηλών : 1 c v r KC q (5) 4). Ροή από το κελί (+1) στο (ι) κατά τη διεύθυνση στηλών : 1 c v r KC q (6) 5). Ροή από το κελί (-1) στο (ι) κατά τη κατακόρυφη διεύθυνση : 1 v c r KV q (7) 6). Ροή από το κελί (+1) στο (ι) κατά τη κατακόρυφη διεύθυνση : 1 v c r KV q (8) όπου οι παράγοντες των παραπάνω γινομένων δικαιολογούνται ανάλογα με την Εξ.3. Οι διαστάσεις των στοιχείων (Δr Δc και Δv) και η υδραυλική αγωγιμότητα Κ μπορούν να

12 εκφραστούν με μία σταθερή ποσότητα αγωγιμότητας με διαστάσεις μεταφορικότητας (trasssvty) [L T -1 ] ως εξής : CR CR KR KR c v r c v r CC CC KC KC r v c r v c (9) CV KV r c v CV KV r c v Οι Εξ.3-8 με τη βοήθεια της Εξ. 9 μετατρέπονται σε μια λιγότερο πολύπλοκη μορφή : q CR 1 q CR 1 q CC 1 q CC 1 (10) q CV 1

13 CV q 1 Οι Εξ.10 ισχύουν μόνο για εσωτερικές ροές από τα έξι στοιχεία προς το στοιχείο (). Για την περίπτωση κατά την οποία συμβαίνουν εισροές ή εκροές από εξωτερικές πηγές όπως ποτάμια λίμνες πηγάδια εξατμισοδιαπνοή και άλλα οι ροές αυτές αντιπροσωπεύονται από την έκφραση : a = p + q (11) όπου : a αντιπροσωπεύει τη ροή από τη -οστή εξωτερική πηγή στο κελί (ι) σε [L 3 T -1 ] p σταθερή ποσότητα σε μονάδες [L T -1 ] q σταθερή ποσότητα σε μονάδες [L 3 T -1 ] Για το σύνολο των πραγματοποιούμενων εξωτερικών εισροών ή εκροών από Ν εξωτερικές πηγές προς το κελί () μπορεί να γραφτεί : N N N q p a (1) όπου καθένας από τους όρους της Εξ.1 είναι ίσος με : N a QS 1 N p P 1 (13) N q Q 1 άρα για το σύνολο των εξωτερικών ροών θα ισχύει :

14 QS = P + Q (14) Εφαρμόζοντας την εξίσωση συνέχειας Εξ.9 για το στοιχείο () και λαμβάνοντας υπ όψη τις ροές από τα έξι γειτονικά του στοιχεία καθώς και το σύνολο των εξωτερικών ροών προκύπτει : q - + q + + q - + q + + q - + q + + QS = v c r t Ss (15) όπου : t η προσέγγιση της παραγώγου του φορτίου ως προς το χρόνο [LT -1 ] Ss η ειδική αποθηκευτικότητα του στοιχείου () [L -1 ] v c r ο όγκος του στοιχείου () [L 3 ] Αν αντικατασταθούν οι Εξ.10 και Εξ.14 στην Εξ.15 τότε η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών γράφεται : CR 1 + CR 1 + CC 1 / 1 + CC 1 / 1 + CV 1 + CV 1 + v c r t Ss Q P (16) όπου: το χρονικό βήμα Αν αντικατασταθεί η προσέγγιση της παραγώγου του φορτίου με διαφορές ανάμεσα σε μία συγκεκριμένη χρονική στιγμή t όπου το φορτίο είναι άγνωστο και ίσο με και σε μία χρονική στιγμή αμέσως προηγούμενη την t -1 όπου το φορτίο είναι γνωστό και ίσο με - 1 θα προκύψει ένα σχήμα πίσω διαφορών ή πεπλεγμένο υπολογιστικό σχήμα :

15 t t t 1 1 (17) Άλλο σχήμα που μπορεί εναλλακτικά να χρησιμοποιηθεί εναλλακτικά είναι το σχήμα των εμπρός διαφορών ( forward dffereces ) ή ρητό υπολογιστικό σχήμα : t 1 t 1 t (18) Στο σχήμα αυτό το φορτίο σε μία συγκεκριμένη χρονική στιγμή t +1 είναι άγνωστο και ίσο με +1 ενώ σε μια χρονική στιγμή αμέσως προηγούμενη την t είναι γνωστό και ίσο με. Το ρητό υπολογιστικό σχήμα είναι απλούστερο στην επίλυση γιατί σε κάθε εξίσωση υπάρχει μόνο ένας άγνωστος και μπορεί να λυθεί απευθείας δίνει όμως αστάθεια στις λύσεις με αποτέλεσμα η αριθμητική λύση να αποκλίνει τελείως από την αναλυτική. Αντίθετα το πεπλεγμένο υπολογιστικό σχήμα είναι μεν πιο πολύπλοκο αφού κάθε εξίσωση έχει 7 αγνώστους και η λύση απαιτεί την ταυτόχρονη επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων αλλά δίνει ευσταθείς αριθμητικές λύσεις έτσι ώστε τα αποτελέσματα να συγκλίνουν. Το πεπλεγμένο υπολογιστικό σχήμα ή πίσω διαφορών είναι ευσταθές άνευ όρων όπως αποδεικνύεται στην ανάλυση ευστάθειας και γι αυτό το λόγο χρησιμοποιείται στο μοντέλο MODFLOW. Ο καθορισμός των οριακών συνθηκών Στο MODFLOW για τις ανάγκες της εξομοίωσης των οριακών συνθηκών του εκάστοτε προβλήματος τα κελιά που χρησιμοποιούνται για το σκοπό αυτό κατατάσσονται στις ακόλουθες κατηγορίες: a. Κελιά σταθερού φορτίου όπου το υδραυλικό φορτίο καθορίζεται εκ των προτέρων και παραμένει σταθερό σε όλα τα βήματα της προσομοίωσης.

16 b. Ανενεργά ή αδιαπέρατα κελιά στα οποία η ροή δεν επιτρέπεται από ή προς αυτά καθ όλη τη διάρκεια της προσομοίωσης. c. Κελιά μεταβλητού φορτίου. Είναι όλα τα υπόλοιπα στα οποία τα φορτία δεν καθορίζονται αλλά μεταβάλλονται κατά τη διάρκεια της προσομοίωσης. Οι οριακές συνθήκες ενός προβλήματος προσεγγίζονται μόνο από κελιά σταθερού φορτίου και ανενεργά ή αδιαπέραστα. Τα πρώτα μπορεί να προσομοιώνουν την επικοινωνία του υδροφορέα με επιφανειακούς πόρους (όπως λίμνες ή ποτάμια) ενώ τα δεύτερα κελιά τα έξω όρια του υδροφορέα ή τα αδιαπέραστα όριά του. Όπου υπάρχουν όρια σταθερής εισροής ή μεταβαλλόμενης με το φορτίο μπορούν να προσομοιωθούν ως εξωτερικές πηγές ή ως συνδυασμός αδιαπέραστων κελιών και εξωτερικής πηγής. Στο αμέσως επόμενο σχήμα παρουσιάζεται η διακριτοποίηση ενός υποθετικού υδροφορέα με τις οριακές του συνθήκες.