F(z). y y. z 0 z z 0 z z 0 z. ( z) x iy z = = Re( z) Im( z) lim אז: arg. z z r ( ) ( ) ( ) z 0. i α ( ) ( ) אז. קיים אם: lim = lim = lim

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "F(z). y y. z 0 z z 0 z z 0 z. ( z) x iy z = = Re( z) Im( z) lim אז: arg. z z r ( ) ( ) ( ) z 0. i α ( ) ( ) אז. קיים אם: lim = lim = lim"

Transcript

1 כללי מספרים מרוכבים: הקבוצה לא כוללת מספרים אינסופיים הקבוצה כוללת מספרים אינסופיים (מיוצגת ע"י ספירת רימן { } שורש יחידה: כל Z שיקיים נקרא שורש יחידה מדרגה,, ( חוקי מספרים מרוכבים:, e iy y i θ r e r r e iθ e( I( osθ tθ e( re rg i ( r ( ( ( ארגומנט של מספר מרוכב: rg rg rg π ערך עיקרי של ארגומנט: Arg( π,,, נוסחת אויילר: i e os i si נוסחת דה מואבר: ( os i si ( os( i si ( ( e i i e פונקציה מרוכבת: f( uy (, i vy (,, uv, u e( f(, v I( f( < r r תחומים מישוריים מעגל פתוח: אוסף כל הנקודות המקיימות: מעגל סגור: אוסף כל הנקודות המקיימות: טבעת: אוסף כל הנקודות המקיים: < < r קבוצה פתוחה: קבוצה נקראת פתוחה אם לכל נקודה קיימת לפחות סביבה אחת שכולה מוכלת בקבוצה (ללא שפה קבוצה סגורה: קבוצה נקראת סגורה אם המשלים שלה הוא פתוח קבוצה חסומה: קבוצה נקראת חסומה אם ניתן לכלוא אותה בתוך מעגל כלשהו קבוצה קשירה: קבוצה נקראת קשירה אם ניתן לחבר כל נקודות בתחום בעזרת עקום שיעבור כולו בתוך התחום תחום: קבוצה פתוחה וקשירה (קו בין כולו בתוך התחום נקודות מהתחום יעבור תחום פשוט קשר (ללא חורים ניתן לכווץ כל עקומה סגורה לנקודה בודדת ולהשאר בתחום ספירת רימן: נגדיר אינסוף בקודקוד הספירה העליון ואפס בקודקוד הספירה התחתון (שמשיק למישור האינסופי כל נקודה על הספירה מועתקת לנקודה על המישור בצורה חדחד ערכית ההעתקה מתבצעת כך: מחברים את הנקודה שרוצים להעתיק למישור עם נקודת האינסוף בקו ישר, הנקודה שבה הישר חותך את המישור היא הנקודה אליה תועתק הנקודה מהספירה < δ גבולות הגדרת הגבול: אם לכל > ε קיים > δ כך שקיום קיום w אז: גורר li f ( w li f ( f( w < ε כתיב מתמטי לגבולות מסוגים שונים: ε > δ > : < δ f w < ε li f ( w ( ε > > : > f w < ε li f ( ( M > δ > : < δ f > M ( ניתן לשלול קיום של גבול לפונקציה מרוכבת ע"י: ואם הגבול תלוי ב אז הוא y מניחים ש לא קיים y, ופעם (בהקשר לנגזרות מניחים פעם ש, ואם לא מקבלים את אותו הגבול אז ש הוא לא קיים < δ δ φ רציפות לכל קיים כך שאם אז f( f( < ε רציפות v ו u אמ"מ רציפה בנקודה f פונקציה בנקודה נגזרות פונקציה U f : גזירה בנקודה אם: f( f( li f '( f f li f ( ( ( או אם קיים הגבול: f( f( li li li iφ re iφ re iφ re הגענו לתוצאה שאין ביכולתנו לפתור ישירות ידוע ש היא פונק' של נעלמים ע"מ לראות אם לפונק' נעלמים יש גבול ניתן לבחור אחד מהנעלמים כקבוע ולבצע אינטגרל ולחזור על התהליך עבור המשתנה השני אם נקבל תוצאות שונות ז"א שאין גבול אם נקבל תוצאות זהות זה לא אומר דבר בדוגמא פעם נבחר את הזווית אפס ופעם 9 מעלות ונקבל תוצאות שונות לכן אין גבול i 45 i φ re r, φ 45 re r כל נוסחאות הגזירה שמוכרות לנו לא השתנו משפט קושי רימן: אם פונקציה U f : גזירה בנק' אז הפונקציות,v u בעלות נגזרות חלקיות ביחס ל ול y, ומתקיימת משוואת קושי רימן משוואת קושי רימן :( ' ' ' ' ' ' uy v f '( u i v v u y y ' ' i u vy אם מתקיימת משוואת אז פונקציה f גזירה פונקציות אנליטיות (הולומורפית הגדרה: אם U f : גזירה (באופן מרוכב בכל נקודה U אנליטית ב f אז U אם פונקציות אנליטיות אז גם חיבור, חיסור, כפל, חילוק והרכבה של שתיהן ביחד יתנו פונקציות אנליטיות פונקציות לא אנליטיות פונקציה הכוללת או אינה אנליטית פונקציות שלמות: אם : f ואנליטית (בכל התחום אז f היא פונקציה שלמה: פונקציית אקספוננטה היא פונקציה שלמה: ep( e e (os i si פולינום הוא פונקציה שלמה f : U משפט לאוביל: אם פונקציה שלמה וחסומה אז f ost פונקציה חסומה כל התמונות יהיו בתוך עיגול עם רדיוס f( < M :M המשפט יסודי של אלגברה: לפולינום מסדר, כאשר יש לפחות שורש אחד משפט ביגו: הוא שורש של אמ"מ פולינום מתחלק ב הפולינום משפטים: ואנליטית, U קבוצה כשירה בתחום אם U f : U אז f פונקציה קבועה לכל ו f '( אנליטית אז יש לה אינסוף נגזרות U f : אם אנליטיות רציפה בתחום,U ולכל עקום סגור אם U f : 3 אז f אנליטית בתחום ב U, מתקיים: f( d פונקציות הרמוניות הגדרת פונקציה הרמונית: פונקציה ממשית U f : נקראת הרמונית אם נגזרות חלקיות עד וכולל סדר שני קיימות ורציפות ומקיימות את משוואת לפלס u u u ' ' yy משוואת לפלס (לפלסיאן: משפטים: בפונקציה אנליטית,u v הן פונקציות הרמוניות :u אם U תחום פשוט קשר אז U לפונקציה u קיימת פונקציה קדומה 3 בפונקציה אנליטית החלק הממשי הוא פונקציה הרמונית, וגם החלק המדומה הוא פונקציה הרמונית פונקציות צמודות: פונקציות המקיימות את משוואות קושי רימן ( אם U תחום פשוט אז לכל פונקציה הרמונית קיימת פונקציה הרמונית צמודה אם התחום לא פשוט קשר לא ידוע אם יש פונקציה צמודה או לא F( N

2 '( t '( t '( t L w dt u v dt אם U תחום מישורי ופונקציה U f : אנליטית בתחום U, אז אינטגרל על השפה החיצונית של עקומה שווה לסכום האינטגרלים על השפות הפינימיות 3 r r סד"פ מציאת פונקציה צמודה: בדיקה אם הפונקציה הנתונה היא הרמונית ע"י לפלס בדיקה אם התחום הוא פשוט קשר נמצא את הנגזרת של ע"פ אחת ממשואות 3 הפונקציה הצמודה נמצא את הפונקציה הקדומה של הנגזרת 4 פונקציית אקספוננטה e :, πi i y e e e ( osy i si y u e os y v e si y Arg( e y rg( e y π,,, e e y העתקת אקספוננטה: הנקודות הירוקות עוברות לנקודה במרכז הצירים ציר y עובר למעגל סביב ברדיוס ציר נשאר כמו שהוא לאחר ההעתקה log: w log w e ( θ π פונקציית לוגריתם פונק' לוג קטן רב ערכית: log( l( i l i rg( i y > Log( l i Arg( פונק' לוג קטן מוגדרת לכל פונק' לוג גדול חד ערכית: פונק' לוג גדול לא מוגדרת לערכים שליליים log( Log( π הפכנו את לוג לחד ערכית ואנליטית ע"י צמצום תחום ההגדרה שלה הצאנו את הציר השלילי של log( Log( π תכונות לוגריתם מרוכב: log( log( log( log( / log( log( d ( log ( d log( e לפונקציה, שהפונקציה הקדומה שלה רב ערכית לא ניתן לעשות אינטגרל חזקה עם מעריך מרוכב log( Log( π i e e e, כאשר מספר ממשי שלם: i e π כאשר שורש יחידה: i ( e π אז מספר ערכים של הוא פונקציות טריגונומטריות i i i i e e e e si, os i סינוס וקוסינוס: פונקציות שלמות בעלות מחזור של π si si( π os( os( π π os( si( (os ' si (si ' os si( si os si os os( osos sisi : t פונקציה אנליטית ב os (לא פונקציה שלמה : ot פונקציה אנליטית ב si (לא פונקציה שלמה פונקציות היפרבוליות (שלמות: e e 3 5 sih( (! 3! 5! e e 4 osh( (!! 4! sih ( osh ( th( sih( /osh( oth( osh( /sih( מחזור סינוס וקוסינוס היפרבולי i π כפל ה i מסובב צירים ב 9 מעלות: sih( i i si( סיבוב משתנה ואח"כ סיבוב סינוס: sih( i isi,osh( i os,sih( isi( i נגזרות: (sih( ' osh(, (osh( ' sih( אינטגרלים מרוכבים ( t ( t ( t ( t ( t ( t ( t ( t w u iv w dt u dt i v dt w dt w dt עקומות: נקודה כפולה: w w ( t ( t% t t% עקום פשוט: עקום ללא נקודות כפולות עקום סגור: יכול לכלול נקודות כפולות w w ( ( עקום סגור ופשוט: יש כפל נקודה רק בנקודות סיום והתחלה פרמטריזיציה פולרית של מעגל: it w r ( t e t π כיוון העקומה הוא חיובי נגד כיוון השעון it w( t r e אורך של עקום: אינטגרל קווי: נתון עקום ופונקציה U f : האינטגרל הקווי: f d f( w w' dt ( ( t ( t π / iθ iθ iθ π / iθ I d, e, π / θ π / d i e dθ I e i e dθ הוא U ו U, f : פונקציה קדומה: אם נתונה פונקציה רציפה תחום, אז 3 הטענות הבאות שקולות: קיימת פונקציה קדומה ל f אינטגרל לאורך עקומה תלוי רק בנקודות הקצה אינטגרל של f עבור כל עקום סגור הוא 3 אינטגרל על עקומה סגורה עם נקודת אירציפות, ייתן גם אם נשנה את צורת תמיד את אותה התוצאה, העקומה משפט קושי: אם U f : פונקציה אנליטית, אז עבור כל עקום סגור ופשוט, אשר כל הנקודות בתוכו ועל השפה מוכלות בתוך U, מתקיים: f( d (כלומר, קיימת פונקציה קדומה אם U f : פונקציה אנליטית ו U תחום פשוט קשר, אז עבור כל עקום סגור אשר כל הנקודות בתוכו ועל השפה מוכלות בתוך U, מתקיים: f( d (כלומר, קיימת פונקציה קדומה נוסחת קושי אם U f : פונקציה אנליטית (או בעלת נקודה סינגולרית מבודדת סליקה על עקום פשוט וסגור, ואנליטית גם בנקודות הפנים שלו, נקודת פנים של, אז: f( f( d π ( f ( d π (! f( I d? (9 ( i (9 ( i לא יכול להיות על השפה נקודה סינגולרית מבודדת f( f( I d π f( i i π π f( i π I (9 5 כיוון חיובי נגד כיוון השעון על כל העקומות f( d f( d f( d f( d 3 המשפט לא נכון במקרה שהעקומות הפנימיות הן נקודות t π כיוון העקומה הוא שלילי עם כיוון השעון, ומרכז המעגל ב ה באקספ' גורם לסיים סיבוב פי יותר מהר מבדוגמא הקודמת ענף y y v I{} 4π i π i π 4π i u e{}

3 < < (טבעת π ( אינטגרל ממשי לא אמיתי האינטגרל הוא על פונקציה ממשית מ עד! ניתן להעזר בנוסחאות פונקציה זוגית ע"מ להפוך את האינטגרל לתחום המבוקש מוסיפים לאינטגרל הקווי, קשת (בעל רדיוס אינסופי ע"מ שנוכל לעשות אינטגרל על עקומה סגורה ואז פותרים בעזרת משפט השארית: f( d f( d f( d π e sf( r 443 תנאים לבדיקה הערות חשובות: יש לבדוק שהמכנה של הפונקציה המקורית לא מתאפס לאף ממשי ע"מ שהגבול יהיה בטוח אפס, על הפולינום במונה סדרים בפונקציה המקורית צריך להיות קטן ב מהפולינום במכנה האינסופית האינטגרל על הקשת חובה להוכיח: 3 הוא אפס: f( d d d π שימו לב: האיברים במכנה מקבלים מינוס חוץ מהראשון L f d f d ( ( L N li Z N L Z פונקציה זוגית ואיזוגית: פונקציה זוגית: f( f( פונקציה איזוגית: f( f( פונקציה זוגית מקיימת: טורים התכנסות: טור מתכנס אם קיים הגבול: אם טור מתכנס אז האיבר הכללי בהכרח להיפך שואף ל (אך לא בתוך מעגל ההתכנסות ניתן לפתח טור חזקות עבור פונקציה קדומה, ולגזור את הטור איבר איבר ע"מ שנקבל את הטור של הפונקציה המקורית?, < d d ( ( Z התכנסות בהחלט: טור מתכנס בהחלט אם Z אם טור מתכנס בהחלט אז הוא מתכנס Z קריטריון קושי: תנאי הכרחי ומספיק להתכנסות הוא שלכל ולכל > N טבעי כך שעבור N קיים ε > מתקיים Z Z Z < ε, אז בכל < טור טיילור: נתונה פונקציה אנליטית בתחום נקודה בתוך התחום מתקיים: ( f( f( f '( ( f ( (! טורי לורן פונקציה f אנליטית בתחום אז מתקיים: f( ( (,,, f( d, f( ( d i πi החלק העיקרי: כל האיברים בעלי חזקות שליליות של בטור לורן נקראות החלק העיקרי מספר האיברים בחלק העיקרי של טור לורן נקבע לפי סדר הסינגולריות של f( (ראה נקודות סינגולריות נוסחאות פיתוח טורי חזקות: e!! l( ( si (! 3! 5! 7! 4 6 ( os (!! 4! 6! t ot נוסחה להכפלת טורים: כפי שנשתמש לפיתוח סכום של סדרה הנדסית טורים: S q q q q סכום של סדרה הנדסית נוסחה כללית: ( q q S q הסדרה תמיד מתכנסת כאשר >q > < התכנסות בהחלט של טורי חזקות: הגדרת מעגל התכנסות של טור חזקות: בכל נקודה בתוך המעגל הטור מתכנס בהחלט בכל נקודה מחוץ למעגל הטור מתבדר בכל נקודה על שפת המעגל לא ניתן לדעת טור חזקות מתכנס הוא פונקציה פונקציה זו אנליטית רק במעגל ההתכנסות של הטור ( אם טור החזקות מתכנס בנקודה גזירות איבר איבר: אם פונקציה ( s מתקיים: אנליטית במעגל ההתכנסות אז s ( ( s'( ( ( s (! אם יש נקודה ב כל הנגזרות הן אפס, אז כל המקדמים אפס, ואז הפונקציה היא תמיד נקודות סינגולריות הגדרות: נקודה סינגולרית: נקודה שבה הפונקציה מתבדרת נקודת סינגולרית שניתן מבודדת: נקודה סינגולרית ε לסגור מסביבה מעגל ברדיוס אפס :(Zero נקודה הגורמת למונה להתאפס קוטב: נקודה הגורמת למכנה להתאפס סדר האפס / הקוטב: גוזרים את הביטוי, ומציבים את הנקודה הסינגולרית סדר הנגזרת שבה הביטוי לא מתאפס הוא סדר האפס / הקוטב סדר סינגולריות של פונקציה: אם למונה יש אפס מסדר ולמכנה קוטב מסדר אז לפונקציה (המנה ביניהם יש אפס מסדר פחות מיון נקודות סינגולריות: קוטב מסדר נקודה היא קוטב אמ"מ: li f ( : > עבור כל f( ( (,,, ϕ( f(, ϕ( ( ( ϕ( e sf( (! קוטב מסדר : אנליטית ϕ( קוטב פשוט: אם שווה נקודה סינגולית עיקרית אינסוף מקדמים שונים מ במקרה זה נקראת נקודה סינגולית עיקרית של הפונקציה, אז נקודה סינגולית 3 נקודה סינגולרית סליקה לכל אם קיים הגבול: ( li f סליקה f(, F (, אם לפונקציה יש נקודה סינגולרית סליקה אז סדר הסינגולריות של הפונקציה הוא שארית פיתוח לורן סביב נקודה סינגולרית הוא: f( ( (,,, הגדרת השארית: e s f( f( d π ( נקודה סינגולרית מבודדת משפט השארית: פונקציה אנליטית על f( עקום פשוט וסגור, ו ובתוך פרט למספר סופי של נקודות מבודדות, אז: f( d π i e sf( שיטות למציאת השארית: ע"פ נוסחה (פירוק לגורמים במצב של מספר סופי של מקדמי : ( ϕ( ϕ( f( es ( f ( (! וחילוץ ע"י פיתוח לטור אז הוא מתכנס בהחלט בכל נקודה, המקיימת: <

4 si' os os' si sih' osh osh' sih rsi' ros' rt'( rot'( t'( os ot'( si ( e ' e (l ' ( ' l (log ' l d l ld l si os t os ot si td l(os ot d l(si d l d rt d rt d l d rsi d l ( ± ± A d A l( A ( d A ( שונות דוגמא פשוטה אך חשובה: e π i l π i l π i e e e e l π f ( f( ( (! 3 3 ( ( ( ( ( ( נוסחת טיילור: נוסחאות שונות: ( ( הבינום של ניוטון:!!(! ( 3 ( ( si( si os( os t( t t ot si os t /os ot /si si( sios os( os si os( os os( si t( t /( t 3 si(3 3si 4si 3 os(3 4os 3os זהויות טריגונומטריות: si si si( / /os( / / si si si( / /os( / / os os si( / /os( / / os os si( / /os( / / ( ( ( sios /si( si( sisi /os( os( osos /os( os( si( sios ossi si( sios ossi os( osos sisi os( osos sisi t( (t t /( t t t( (t t /( t t t( t t t( t t rsi ros π / ( ( ( ( f( g ( F g!!(! נגזרת מסדר גבוה: נגזרות מיידיות: אינטגרלים מיידים: נוסחאות שימושיות: (,,, si si si f( f( f '(, < < < 5 ost > 7 e li 8 li( y y e 9 y li e os(9 < os( < 9 l < > 3 4 לופיטל: f ( f '( : ±,, ± במצב של li li g( g'( ± אם ע"י לופיטל לא מקבלים גבול הדבר אינו אומר שבאמת אין גבול, אלא צריך לנסות אחרת 5 במצב של או בלבד: X li y l y l li l lil y l(li y l li y li li li li ( e li e l li e l X או: : כפונקציה של, 6 ( ' l 7 li ( 8 l l l( 9 l( <, l( < 3 l( >! < A B B Ap p rt p q 4q p 4q p

5 f( d f( מקרים ותגובות סד"פ מציאת שארית: מציאת סדר הקוטב בודקים אלו מהקטבים (שורשי המכנה מאפסים גם את המונה לגבי הקטבים שמאפסים את המונה: 3 של כל סדר הסינגולריות מחשבים את הפונקציה (סדר הקוטב פחות סדר האפס מוצאים את השארית ע"י הנוסחה: d ( f( ( es ( li d f (! לגבי קטבים שלא מאפסים את המונה, סדר הקוטב 4 ולכן פשוט הוא סדר הסינגולריות של הפונקציה, מוצאים את השארית ע"י הנוסחה הנ"ל f( ( e אינטגרלים: אינטגרל קווי שיטות לפתרון: לנקודה סינגולרית אחת נוסחת קושי g ( ( g ( ( d π g ( ( f( חלק אנליטי של הפונקציה g( למספר נק' מבודדות משפט השארית f( d π i e sf( פרמטיזציה / פרמטיזציה הפוכה אינטגרל ממשי לא אמיתי כללי: f( d f( d f( d π e sf( r 443 תנאים לבדיקה הערות חשובות: א יש לבדוק שהמכנה של הפונקציה המקורית לא מתאפס לאף ממשי ב ע"מ שהגבול יהיה בטוח אפס, על הפולינום במונה בפונקציה המקורית צריך להיות קטן ב סדרים מהפולינום במכנה ג חובה להוכיח: האינטגרל על הקשת האינסופית הוא אפס: f( d d d π שימו לב: האיברים במכנה מקבלים מינוס חוץ מהראשון פיתוח לטור סביב הנקודה : פירוק הפונקציה לגורמים סימון הנקודות הסינגולריות על מערכת צירים 3 חלוקה לתחומים אנליטיים הבעת כל איבר ע"י 4 לטור לורן או (בפירוק לגורמים פיתוח כל איבר 5 טיילור ע"פ התחום האנליטי ל אם אחד האיברים לא מוגדר ב אז: פיתוח עבור < יהיה פיתוח טיילור פיתוח עבור > יהיה פיתוח לורן ע"מ לפתח לטור טיילור יש להביא את האיבר לצורה: ( ( ( ( ( ע"מ לפתח לטור טיילור יש להביא את האיבר לצורה: אסור שהביטוי שאותו פותחים לטור לפי נוסחת סדרה הנדסית יהיה עם מסדר יותר גבוה מ קבוע כלשהו f( d f( d אם הפונקציה זוגית: אם הפונקציה לא זוגית: f( d π i e sf( ( π i e sf( ( ( e ' קוטב מסדר '' e ( ( d ( d ( e es f(! i θ e dθ d i π f( θ dθ f( d i π f( θ dθ f( θ dθ אינטגרל על θ: אם הפונקציה זוגית: 3