1) Γράφεις λοιπόν Γιάννη

Transcript

1 Γιάννη, ελπίζοντας ότι θα βοηθήσω να υλοποιηθεί η πρόταση που σου έκανε ο Νίκος «...Προτείνω στο Γιάννη Κυριακόπουλο που έχει ταλέντο να ανεβάσει ένα κόµιξ µε θέµα "Η αρχή της (µη) ανεξαρτησίας"!!!...» επανέρχοµαι για µια ακόµη φορά στο θέµα, ελπίζοντας ότι τώρα θα γίνω πιο σαφής. Αν δεν τα καταφέρω δε πειράζει. Θα ξαναπροσπαθήσω. 1) Γράφεις λοιπόν Γιάννη "...Πάντως αρχίζω να καταλαβαίνω τι συµβαίνει. Ανακατεύουµε (άλλοτε εύστοχα άλλοτε όχι) διαφορετικά "πράγµατα". Ανεξαρτησία κινήσεων, υπέρθεση και επαλληλία εξισώσεων (που απαιτεί γραµµικές εξισώσεις)..." Φράσεις όπως π.χ. "επαλληλία εξισώσεων κίνησης" δεν σηµαίνουν υποχρεωτικά (µαθη- µατική) επαλληλία λύσεων διαφορικής ή διαφορικών εξισώσεων. Ως εκ τούτου δεν απαιτεί γραµµικότητα στις διαφορικές εξισώσεις. (Αυτό θα το δούµε καλύτερα παρακάτω) Άλλο η επαλληλία λύσεων διαφορικής που είναι καθαρά µαθηµατικός όρος και άλλο η ε- παλληλία εξισώσεων κίνησης που είναι όρος για επικοινωνία µεταξύ των φυσικων. Η φράση "επαλληλία εξισώσεων κίνησης" είναι πολύ απλή φράση, ταπεινή, αλλά συνάµα πανίσχυρη, µιας και είναι απόλυτα «πλαστική», αφού επισηµαίνει τις δυνατότητες που έχει ο καθένας, ανάλογα µε τις ικανότητες, τις ανάγκες και τους επιδιωκόµενους σκοπούς του, να βλέπει σε µια εξίσωση κίνησης (σε µια συνάρτηση που περιγράφει κίνηση) χίλια δυο πράγ- µατα και να τα αξιοποιεί για ποικίλους σκοπούς. Η φράση "επαλληλία εξισώσεων κίνησης" δηλαδή, σηµαίνει χρηστικά τούτο το απλό: Παίρνεις την πιο πολύπλοκη γραµµική ή µη γραµµική διαφορική και ας πούµε ότι τη λύνεις και βγάζεις ότι το κινητό θα εκτελέσει την κίνηση που περιγράφεται από την πανδύσκολη εξίσωση κίνησης x=...(1) (2) (3) (4)...+ που, ας πούµε ότι, έχει 4 ή 1004 προσθετέους, τους (1), (2), (3), (4),... Τότε, αν θέλεις και αν µπορείς και αν υπάρχει κάποιος λόγος, λες ότι η προηγού- µενη πανδύσκολη εξίσωση κίνησης που προέκυψε από την πανδύσκολη µη γραµµική διαφορική ή από το πανδύσκολο µη γραµµικό σύστηµα διαφορικών, είναι επαλληλία των εξισώσεων κίνησης (1) και (2) και (3) και (4) και... Κάποιος άλλος µπορεί αν θέλει και µπορεί να συνδυάσει τις (1) και (3) σε µια εξίσωση κίνησης και να δει συνολικά επαλληλία τριών εξισώσεων κίνησης. Ένας τρίτος µπορεί να θέλει να τις δει όλες σαν µία. Να δει µε µιας την µία την πραγµατική κίνηση!!!! Ένας άλλος µπορεί στην παραπάνω πολύπλοκη εξίσωση να δει και εξισώσεις κίνησης που δεν είναι άµεσα εµφανείς ως ξεχωριστοί προσθετέοι και άρα να δει (να φτιάξει) εξισώσεις κίνησης που δεν είναι «ορατές» από όλους τους φυσικούς. 1

2 Ο καθένας βλέπει αν θέλει και µπορεί, οποιαδήποτε επαλληλία εξισώσεων κίνησης... Σα να λέµε ότι βλέπει και αξιοποιεί για δικούς του λόγους ένα άθροισµα συναρτήσεων... Βλέπει ό,τι θέλει και ό,τι µπορεί να δει... Η κίνηση όµως του κινητού είναι µόνο µία. Όσο καιρό θα επιµένουµε να βλέπουµε στη µια, τη µοναδική κίνηση του κινητού άλλες κινήσεις, απόλυτα καθορισµένες και ανεξάρτητες, θα συρόµαστε σε λάθη επί λαθών, όπου θα αναγκαζόµαστε να βάζουµε παράξενες δυνάµεις, µε παράξενες ανύπαρκτες ιδιότητες και ειδικότατες απόλυτα περιορισµένες και εξαρτη- µένες µεταξύ τους αρχικές συνθήκες. Πρέπει να το συνειδητοποιήσουµε τούτο. ε σπάµε την κίνηση ενός σώµατος σε κινήσεις και πολύ περισσότερο σε κινήσεις απόλυτα προσδιορισµένες. Παίζουµε µε προσθετέους που υπάρχουν ή που ανακαλύπτουµε στην εξίσωση κίνησης. Πόσους προσθετέους θα βρω, ποιους και µε ποιον τρόπο θα τους συνδυάσω είναι δικιά µου αποκλειστικά υπόθεση. Ούτε αντικειµενικό είναι, ούτε υποχρεωτικό να το κάνω είναι. Μια εξίσωση κίνησης, η κάθε εξίσωση κίνησης, µπορεί να γίνει επαλληλία χιλίων εξισώσεων κίνησης ή µε άλλα λόγια, µια συνάρτηση µπορεί να γίνει άθροισµα χιλίων άλλων συναρτήσεων. στη γλώσσα της «αρχής της ανεξαρτησίας των κινήσεων», το παραπάνω µεταφράζεται ως «το κινητό εκτελεί συγχρόνως χίλιες κινήσεις!!! Είναι δυνατό να επιµένουµε σε τέτοια υπερβολικά και εξωπραγµατικά πράγµατα; Θα πρέπει να τονίσουµε ότι η γραµµικότητα των µαθηµατικών µας εργαλείων και η γραµµική ανεξαρτησία διαφόρων µαθηµατικών «οντοτήτων», όπως π.χ. διανύσµατα που βρίσκονται σε διαφορετικούς άξονες, εγγυώνται την εύρεση και χρήση ε- παλληλίας εξισώσεων κίνησης. Αλλά η επαλληλία γραµµικώς ανεξαρτήτων «πραγµάτων», καθώς και η γραµµικότητα των µαθηµατικών, ούτε τη µοναδική επαλληλία εγγυώνται ούτε την υποχρεωτική. Κάποιος µπορεί να δει και συνδυασµούς που δεν προκύπτουν από γραµµικότητες. Για να γίνω πιο σαφής σε όσα είπα παραπάνω, ας δούµε το παρακάτω κοµµάτι που µας έ- δωσε ο Νίκος: Στο απόσπασµα αυτό ο Young, λέγοντας «αρχή της γραµµικής επαλληλίας», δεν εννοεί την επαλληλία των εξισώσεων κίνησης µε τη γενικότητα που την εννοούµε εµείς. 2

3 Εννοεί µια ειδική επαλληλία εξισώσεων κίνησης, που προκύπτει από την επαλληλία των λύσεων της ίδιας γραµµικής οµογενούς διαφορικής µε µερικές παραγώγους. Εννοεί δηλαδή µια συγκεκριµένη επαλληλία εξισώσεων κίνησης, που οφείλεται σε ένα συγκεκριµένο µαθηµατικό θεώρηµα, σύµφωνα µε το οποίο οποιαδήποτε γραµµική οµογενής διαφορική εξίσωση έχει ως λύσεις την y 1 και την y 2, θα έχει ως λύση και την y 1 + y 2. Έτσι αν κάποια κίνηση έχει ως εξίσωση κίνησης την y=y 1 +y 2 τότε µπορούµε να πούµε ότι η y είναι επαλληλία των εξισώσεων κίνησης y 1 και την y 2. Στα µη ελαστικά σώµατα οι εξισώσεις είναι µη γραµµικές και εποµένως δεν έχουν αυτή την ιδιότητα. Άρα δεν ισχύει η εν λόγω επαλληλία, όπως εξάλλου το τονίζει και ο ίδιος ο Young. Με άλλα λόγια, ο όρος «αρχή της γραµµικής επαλληλίας» που χρησι- µοποιεί ο Young, είναι µια ειδική κατηγορία επαλληλίας εξισώσεων κίνησης, που δηµιουργείται από µια πολύ περιορισµένη κατηγορία µαθηµατικών εργαλείων, τις γραµµικές οµογενείς διαφορικές. ( * ) Εµείς όµως µε την επαλληλία εξισώσεων κίνησης εννοούµε κάτι πολύ πιο γενικό: Όχι µόνο την επαλληλία που δηµιουργούν οι γραµµικές οµογενείς διαφορικές, αλλά και άλλα µαθηµατικά εργαλεία και γενικότερα εννοούµε το να µπορέσουµε να δούµε στην εξίσωση που περιγράφει τη µία, τη µοναδική κίνηση του υλικού σηµείου, κάποιες επιµέρους συναρτήσεις, που να µας «θυµίζουν» γνωστές εξισώσεις κίνησης. Να µας θυµίζουν γνωστές εξισώσεις κίνησης... Σκέτο να µας θυµίζουν... Αλλά δεν είναι κινήσεις και προπάντων δεν είναι ανεξάρτητες που το κινητό τις εκτελεί ταυτόχρονα ή διαδοχικά!!!! Ποτέ κινητό δεν εκτέλεσε ταυτόχρονα δύο ή περισσότερες ανεξάρτητες κινήσεις. Συµπέρασµα: Σε µια εξίσωση κίνησης βλέπω όποια επαλληλία µπορώ, θέλω και έχω λόγους να δω. Αν θέλω, δε βλέπω καµιά επαλληλία. Και αυτό δεν έχει απαραίτητα σχέση µε τη γραµµικότητα των µαθηµατικών µου εργαλείων (που σίγουρα οδηγεί σε επαλληλίες), αλλά µε τις δικές µου «µεταφραστικές» ικανότητες. 2) Γράφεις Γιάννη: "...Η γλώσσα έλεγε ο Ανδρέας Κασσέτας ξεκινά ως φίλος και καταλήγει αντίπαλος και νοµίζω ότι αυτό συµβαίνει τώρα. Συµφωνούµε διαφωνούντες και διαφωνούµε συµφωνούντες διότι έ- χουµε άλλο πράγµα στο µυαλό µας. Ένας πύργος της Βαβέλ ανάµεσά µας..." Είναι κρίµα για να σώσουµε το λάθος που µας παρέδωσαν και συντήρησαν κάποιοι, να κάνουµε λάθη επί λαθών και παρανοήσεις επί παρανοήσεων. Ας βρούµε το κουράγιο επιτέλους να πετάξουµε αυτή την ποµπώδη φράση «αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων». Να την ξεριζώσουµε από µέσα µας και στην πραγµατική της αξία να τη φέρουµε. ( * ) Το πώς τα µαθηµατικά µπορούν να δηµιουργήσουν επαλληλίες εξισώσεων κίνησης, αναπτύσσεται στις σελίδες του βιβλίου «Θέµατα Φυσικής-Παρανοήσεις και προτάσεις υπέρβασής τους» 3

4 Ούτε αρχή είναι, ούτε ανεξάρτητες, ούτε κινήσεις περιέχει. Μόνο λάθη και χάλασµα συλλογισµών περιέχει, όσο επιµένουµε να την ακούµε και να την υιοθετούµε έτσι. Η κίνηση είναι δυνάµεις, είναι Νεύτωνας, είναι διαφορικές εξισώσεις, είναι λύσεις των ή της διαφορικής. Και όταν λέω Νεύτωνας, εννοώ οποιασδήποτε µορφής θεµελίωση της κλασσικής µηχανικής. Όλα τα άλλα είναι παιδαγωγικοί χειρισµοί δικοί µας, που µόνο αν έχουν την ασφάλεια της διαφορικής στέκουν. Αλλιώς δεν είναι καθόλου αξιόπιστα εργαλεία. Έχουν σίγουρα παιδαγωγική αξία, αλλά δεν είναι ούτε µαθηµατική δοµή, ούτε κανόνες έ- χουν, ούτε αξιοπιστία διαθέτουν, ούτε κάποια υποχρεωτική αντικειµενικότητα. Τρυκ είναι Γιάννη και σα προσωπικό τρυκ πρέπει να αντιµετωπίζονται. Η γλώσσα πρέπει να φτιάχνει τη σκέψη και η σκέψη να βελτιώνει τη γλώσσα. Όταν χαλά η γλώσσα χαλά και η σκέψη και το αντίθετο. Η γλώσσα καταλήγει ως αντίπαλος της σκέψης, όταν επιχειρήσει να χαλάσει τη σκέψη και χαλασµένη να την τραβολογάει πίσω της σε λάθος συλλογισµούς και σε παραπλανητικές ορολογίες που σκοτεινιάζουν την πραγµατικότητα. Η γλώσσα καταντά αντίπαλος της σκέψης, όταν επιχειρήσει να χαλάσει συλλογισµούς ή συλλογιστικές προτεραιότητες τη στιγµή που η σκέψη αντιδράει. Γιάννη, δεν συµφωνούµε µεταξύ µας, όχι γιατί υπάρχει πύργος Βαβέλ, αλλά γιατί µας βαραίνουν σα πέτρα στο λαιµό µας παλιές δήθεν «αρχές». Με την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων επιχειρείται µια ολέθρια φραστική παραποίηση της πραγµατικότητας µε δανεικές λέξεις, που τίποτε από όσα λένε δεν ικανοποιείται µια αντιστροφή των συλλογιστικών προτεραιοτήτων, µιας και θέλουµε να δούµε την «αρχή της ανεξαρτησίας...» να προηγείται της λύσης της διαφορικής. Είναι δυνατό;;;; Είναι σα να προσδοκούµε να βρούµε τρόπο, ώστε µε κάποιο «τρυκ» να ξέρουµε τη λύση µιας διαφορικής εξίσωσης, πριν ξεκινήσουµε την επίλυσή της. Η συλλογιστική αυτή αντιστροφή που τόσο αναίτια επιβάλλεται, οδηγεί σε ξέφτισµα της σκέψης. Με την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων υπάρχει ο φανφαρονισµός ότι µε συνταγές µπορείς να δεις και να προφητεύσεις πράγµατα, χωρίς την ασφάλεια της διαφορικής. Με την επαλληλία εξισώσεων κίνησης τα πράµατα είναι εκεί που πρέπει να είναι. Ένα απλό ταπεινό άθροισµα συναρτήσεων και αυτό όχι αντικειµενικό, αλλά ό,τι θέλει και µπορεί ο καθένας. Η επαλληλία εξισώσεων κίνησης σου λέει, λύσε την πιο απλή γραµµική ή την πιο δύσκολη µη γραµµική διαφορική εξίσωση και κάνε τρυκ στο ή στα αθροίσµατα που βλέπεις ή µπορείς να εφεύρεις κοντά πάντα στην ασφάλεια της διαφορικής και της λύσης της. Σου λέει δηλαδή το αυτονόητο. Αυτό που σου είπε και ο Νεύτωνας. Αυτό που σου λένε όλοι οι νόµοι της φυσικής κάθε περιοχής. Λύσε τη διαφορική πρώτα. Γιάννη δε "...συµφωνούµε διαφωνούντες και διαφωνούµε συµφωνούντες..." Απλά διαφωνούµε απόλυτα, αλλά αγκιστρωµένοι σε παλιές συνήθειες νοµίζουµε ή προσπαθούµε να πούµε ότι όλα το ίδιο αλήθεια είναι. Όχι Γιάννη. Υπάρχει λάθος στα παλιά!!!!! 4

5 Υπάρχει απόλυτο φραστικό λάθος στην «αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων» και κίνδυνοι στην ανεξέλεγκτη εφαρµογή της και στην άνευ όρων παράδοση στις δυνατότητες και τις επαγγελίες της. Και αυτό το λάθος δε µπαλώνεται ούτε µε ευχές, ούτε µε καινούριους κανόνες για µια καινούρια «αρχή της...», αλλά µόνο µε απόλυτη συνειδητοποίηση ότι πρέπει άµεσα να αφήσουµε πίσω µας αυτή την ποµπώδη φράση και να δεχτούµε το καινούριο, το οποίο πρέπει να παραδώσουµε στους εαυτούς µας και σε αυτούς που έρχονται. Πρέπει να παραδώσουµε µια ταπεινή φράση απόλυτα οροθετηµένη, όπως π.χ. «επαλληλία εξισώσεων κίνησης». Και γι αυτό πρέπει να προσπαθήσουµε όλοι µας... Έτσι θα διαφωνήσω µε το Νίκο που δε θέλει άλλο να «ταλαιπωρηθεί». Προσωπικά νοµίζω ότι πρέπει να «ταλαιπωρηθώ» όσο γίνεται για να φύγει από κοντά µας αυτό που τόσο µου κόστισε. Σε λάθη, σε α-νοησίες, σε υπερφίαλους λανθασµένους συλλογισµούς, σε λάθος διδασκαλίες, σε..., σε... Αν Νίκο πιστεύεις ότι έχεις δίκιο και προσωπικά το πιστεύω ότι έτσι είναι, να πεις και να ξαναπείς τη γνώµη σου. Σάµατις εγώ τί καινούριο είπα σήµερα; Τα ίδια και τα ίδια. Ξέρεις πόσο µου στοίχισε σε χρόνο, σε σκέψη και σε συλλογιστική ικανότητα το γεγονός ότι οι καθηγητές µου µε πίεζαν µέχρι να παραδοθώ και να δεχτώ εκείνα τα απίθανα µε τις διαδοχικές κινήσεις που εκτελούσαν τα διάσηµα κινητά, αεροπλάνο και βάρκα «της αρχής της ανεξαρτησίας των κινήσεων»; «...Το αεροπλάνο βάζει µπρος τις µηχανές επί χρόνο t και ο αέρας σταµατά να φυσά για να κινηθεί το αεροπλάνο. Μετά το αεροπλάνο σβήνει τις µηχανές και ο αέρας παρασέρνει το αεροπλάνο για χρόνο t και...» Ξέρεις πόσο µου στοίχισε για να το ξεριζώσω; Εκατό φορές περισσότερο!!! Αυτές τις νοητικές κακοποιήσεις δε θα ήθελα να τις υποστούν οι καινούριοι φυσικοί... Ο Σταύρος ο Λέτης όταν το κουβεντιάζαµε µου είπε κάτι πολύ καλό: Ο σπόρος εύκολα φυτρώνει, αλλά όταν γίνει δέντρο, πλάτανος, δύσκολα ξεριζώνεται!!!!! 5

6 3) Γράφεις Γιάννη: "... Εγώ άσχετος από ιστορία Φυσικής δεν γνώριζα την τροποποίηση Αϊνστάιν που ανέφερε ο Ανδρέας Κασσέτας. Ότι πρόκειται δηλαδή για ανταλλαγή συµπερασµάτων µεταξύ παρατηρητών..." Ο Αϊνστάιν προσπαθούσε να δοµήσει στο µυαλό του τον αδρανειακό παρατηρητή, ως φυσικό που όχι µόνο δε θα καταργήσει τις εξισώσεις του Maxwell, αλλά θα µπορεί να τις δουλεύει ισάξια µε τους άλλους αδρανειακούς παρατηρητές. Ο Αϊνστάιν δεν προσπαθούσε να καταργήσει τη διαφορική. Κάνεις σχετικότητα χωρίς διαφορικές; Ούτε για φυσική ανταλλαγής εµπειριών που θα µπουν στην ίδια εξίσωση προσπαθούσε. Νοητικά πειράµατα µε δυο παρατηρητές έκανε, αλλά το έκανε για να εξασφαλίσει την ορθότητα της µιας εξίσωσης που θα έγραφε για τον ένα παρατηρητή. Σε ποια φυσική απαιτείται για να βρούµε βασικό νόµο και γενικά µια σηµαντική εξίσωση µαθηµατικά δοµηµένη να συνδυάσουµε τη γνώµη δύο ή τριών παρατηρητών που κάποιοι µάλιστα µπορεί να µην είναι και αδρανειακοί (βλέπε κυκλοειδές);;;; Από ό,τι ξέρω ή θυµάµαι τώρα που γράφω αυτές τις γραµµές, πάντα φυσική κάνει ένας παρατηρητής. Και αν θέλει βρίσκει και τι βλέπει κάποιος άλλος συνάδελφός του αδρανειακός ή µη. εν έχω υπόψη µου κανένα νόµο φυσικής όπου να καταγράφεται η συνδυασµένη εµπειρία δύο και περισσότερων παρατηρητών!!!!!! Αν κάποιος συνάδελφος έχει υπόψη του τέτοιο νό- µο ευχαρίστως να το δεχτώ. 4) "...Οι διαδοχικές κινήσεις είναι τελικά του αντικειµένου και του παρατηρητή και όχι του αντικειµένου και του αντικειµένου (γέρασα πριν το καταλάβω)...." Υπάρχει τέτοια φυσική;;; Συνήθως ο παρατηρητής θεωρεί τον εαυτό του ακίνητο και κάνει φυσική για τον εαυτό του ή για κάποιον συνάδελφό του για τον οποίο ξέρει σε τι κίνηση βρίσκεται. εν υπάρχουν µε την έννοια που το λες διαδοχικές κινήσεις. Μία είναι η κίνηση. ε γίνεται να µπει σε φορµαλισµό η επιθυµία µας, πρώτα να κινείται το σώµα, να κάνει ό,τι κάνει και µετά να περιµένει ακίνητο να κάνει και τις κινήσεις του ο παρατηρητής και µετά όλα αυτά να συνδυαστούν στην πραγµατικότητα!!!! Αυτά είναι τρυκ δικά µας... Με αιτία ή αναίτια... Και πάντα χοροπηδώντας γύρω από τη σιγουριά της λύσης που µας έδωσε κάποια σοβαρή µαθη- µατική επεξεργασία που προηγήθηκε... 5) "...Θα ήθελα να δω αυστηρή διατύπωση της «Αρχής της ανεξαρτησίας των κινήσεων» σχετιζόµενη µε παρατηρητές αντί της πρώιµης εκδοχής:..." Μακάρι Γιάννη, αλλά δε θα δεις, γιατί για να δεις αυστηρή διατύπωση πρέπει να υπάρχει και αυστηρή δοµή. Αν δε λύσεις, αν δεν έχεις λύσει ή αν δεν δεις τις ιδιότητες της 6

7 διαφορικής εξίσωσης που κατέστρωσες δε θα µάθεις ποια επαλληλία εξισώσεων κίνησης µπορείς να πάρεις. Ειλικρινά στεναχωριέµαι όταν για να γλιτώσουµε το λάθος των τόσων χρόνων, προσπαθούµε να κάνουµε «την αρχή της...» συνδυασµένη δήθεν εµπειρία πολλών παρατηρητών. Όπως εκείνο µε την οµαλή κυκλική κίνηση του πρωτονίου σε µαγνητικό πεδίο. Σε ποιο µαθητή ή φυσικό θα επιχειρήσουµε να του πούµε: Κινήσου πρώτα ευθύγραµµα οµαλά επί χρόνο t. Κάτσε τώρα ακίνητος και γράψε κάπου τι «είδες». Βάλε τώρα κάποιον άλλον παρατηρητή να πάει πίσω προς τα κει που ήσουνα πριν κινηθείς, ακολουθώντας κυκλοειδή τροχιά για χρόνο t Πες τώρα του άλλου παρατηρητή να κάτσει ακίνητος και να σου γράψει τι είδε Καθίστε µετά και οι δυο και συνδυάστε τις εµπειρίες σας Κάντε πράξεις και υπολογισµούς και µιλήστε µεταξύ σας για να διαπιστώσετε στο τέλος ότι το πρωτόνιο που εκτοξεύεται κάθετα σε µαγνητικό πεδίο εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση. Ξέρεις τι θα µας πει Γιάννη; Γιατί δεν καθόµασταν όλοι στα αυγά µας να το δούµε να εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση; Και το κυριότερο, θα µας ρωτήσει πώς µας ήρθε ο ένας παρατηρητής να πάει ευθύγραµµα οµαλά και ο άλλος να επιστρέψει µε κυκλοειδή, αν δεν βλέπαµε πρώτα τη λύση της διαφορικής εξίσωσης που έδειχνε ότι η τροχιά του πρωτονίου είναι κύκλος και έχει ως εξισώσεις αυτά που βάλαµε να κάνουν οι παρατηρητές; Πέµπτη, 8 Απριλίου 2010 Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας Φυσικός Άγιος Βλάσιος Πηλίου tmachairas@sch.gr 7