Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια."

Transcript

1 Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση η οποία αποφασίζει µεταξύ του να εισαγάγει ένα νέο προϊόν ή όχι. Και κατόπιν αποφασίζει αν θα κάνει διαφήµιση του προϊόντος οποιοδήποτε είναι αυτό, το παλιό ή το καινούριο, ή όχι. Η επιχείρηση Β δεν παρατηρεί την απόφαση της επιχείρησης Α σε σχέση µε την διαφήµιση αλλά ξέρει αν έχει εισαγάγει ένα νέο προϊόν ή όχι στην αγορά. Και παίρνει απόφαση µεταξύ διαφήµιση ή όχι. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια. 133

2 Γιατί το κοµµάτι. δεν αποτελεί υποπαίγνιο; Ποια συνθήκη από τις τρεις δεν πληρείται; Ότι το υποπαίγνιο πρέπει να ξεκινάει από ένα κόµβο µε ένα µόνο στοιχείο. Στο κόµβο αυτό έχουµε δύο στοιχεία πληροφόρησης. Άρα δεν µπορούµε να το θεωρήσουµε ως δύο υποπαίγνια το διπλανό. Σε αυτό το παίγνιο όταν θέλει κανείς να εφαρµόσει οπισθογενή επαγωγή όπως βλέπουµε δεν µπορεί να εφαρµοστεί βήµα προς βήµα. Θέλει κάτι παραπάνω. Γιατί; 134

3 ιότι στο Ο παίκτης Β πρέπει να πάρει µια απόφαση και στο ένα και στον άλλο κόµβο. Οπότε δεν µπορούµε να ξεκινήσουµε από το και να πούµε (διαφήµιση ή ΟΧΙ) και (διαφήµιση ή ΟΧΙ) και να πάµε πίσω ένα βήµα. Πρέπει να αποµονώσουµε όλο το υποπαίγνιο (1) και (2), να το αναλύσουµε από µόνο του και µετά να προχωρήσουµε προς τα πίσω. Τώρα στο ίδιο παίγνιο, αν σκεφτούµε ότι η επιχείρηση Β δεν ξέρει τίποτα: δεν µπορεί να διακρίνει αν έχει εισαχθεί ένα καινούριο προϊόν από την επιχείρηση Α ούτε αν έχει κάνει διαφήµιση ή όχι. Τι θα συµβεί; Πόσα υποπαίγνια θα υπάρχουν τώρα σε αυτό το παίγνιο; 135

4 εν υπάρχει κανένα υποπαίγνιο. Βασικά τι γίνεται; Προχωράει το υποπαίγνιο πάει κάπου. Μπορεί να πάει σε ένα από τους τέσσερις κόµβους: ο Β όµως δεν ξέρει που έχει φτάσει. Άρα δεν µπορεί να ξεχωρίσει µεταξύ των τεσσάρων κόµβων. Άρα οι τέσσερις κόµβοι ανήκουνε στο ίδιο σύνολο πληροφόρησης και γι αυτό το λόγο 136

5 δεν υπάρχει κανένα υποπαίγνιο, εφόσον τώρα αυτή η συνθήκη που δεν πληρείται είναι η τρία: τέµνει ένα σύνολο πληροφόρησης. (Στο πιο πάνω υποπαίγνιο ο Β δεν ξέρει ούτε αν η επιχείρηση Α εισήγαγε ή όχι το νέο προϊόν ούτε αν έκανε διαφήµιση ή όχι). Ένα άλλο σενάριο του πιο πάνω παιγνίου είναι ότι ο Β ξέρει αν ο Α έχει εισαγάγει ένα νέο προϊόν ή όχι αλλά ο ίδιος ο Α το ξεχνάει: Πάλι εδώ δεν υπάρχει κανένα υποπαίγνιο. Ας δούµε τώρα κάτι άλλο. Ο Α αποφασίζει µεταξύ του να εισέλθει στην αγορά ή όχι. Η φύση κινείται και εκλέγει µεταξύ υψηλής ζήτησης ή χαµηλής ζήτησης. 137

6 Β Ο Β ξέρει αν είναι υψηλή ή χαµηλή η ζήτηση δηλαδή µπορεί να διακρίνει µεταξύ υψηλής και χαµηλής ζήτησης. Αλλά αυτό που δεν ξέρει είναι αν έχει εισέλθει στην αγορά ο Α. Άρα πρέπει να πάρει τις αποφάσεις του γνωρίζοντας µόνο την κατάσταση ζήτησης. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουνε σε αυτό το υποπαίγνιο; εν υπάρχει κανένα υποπαίγνιο. Γιατί; Βλέπουµε ότι το υποπαίγνιο δεν µπορεί να ξεκινάει από τους κόµβους που παίρνει απόφαση ο Β γιατί περιέχουν δύο κόµβους το κάθε σύνολο πληροφόρησης. Οπότε οι µόνες περιπτώσεις που µένουνε είναι να ξεκινάει από τους κόµβους που κινείται η τύχη, είτε από τον 1 είτε από το

7 Το δεν αποτελεί υποπαίγνιο γιατί τέµνει σύνολο πληροφόρησης. Και µάλιστα τέµνει δύο σύνολα πληροφόρησης. Οπότε αυτό δεν είναι υποπαίγνιο. Ορισµός: Τέλεια Ισορροπία (κατά Nash) Υποπαιγνίων: είναι µια ισορροπία κατά Nash του παιγνιδιού του αρχικού που είναι επίσης ισορροπία κατά Nash σε κάθε ένα από τα υποπαίγνια. Απορία: ηλαδή αν έχουµε δύο υποπαίγνια η ίδια ισορροπία είναι και στα δύο υποπαίγνια; ΟΧΙ, η ίδια ισορροπία. Η ισορροπία κατά Nash είναι ένα πλήρες σχέδιο γιατί αποτελείται από στρατηγικές κάθε µια από τις οποίες είναι ένα πλήρες σχέδιο. Αυτό το πλήρες σχέδιο µας δίνει ακριβώς τη λύση σε κάθε υποπαίγνιο. Άρα για να δούµε τι σηµαίνει το δεύτερο µέρος του ορισµού θα πάρουµε από την ισορροπία το αντίστοιχο κοµµάτι που έχει σχέση µε το υποπαίγνιο και θα δούµε αν είναι µια ισορροπία κατά Nash σ αυτό το υποπαίγνιο. Αλλά δεν είναι το ίδιο. Απλώς το κοµµάτι που αντιστοιχεί σε ένα υποπαίγνιο αποτελεί ισορροπία στο υποπαίγνιο. 139

8 Επαναλαµβάνουµε: Είπαµε ότι µια στρατηγική είναι ένα πλήρες σχέδιο. Άρα µια ισορροπία κατά Nash είναι ένα διάνυσµα στρατηγικών που κάθε µια είναι ένα πλήρες σχέδιο. Παίρνουµε λοιπόν µια ισορροπία κατά Nash του αρχικού παιγνίου. Αυτή η ισορροπία κατά Nash µας λέει ακριβώς τι θα γίνει σε κάθε κόµβο. Απορία: Η ισορροπία που παίρνουµε είναι η τέλεια ισορροπία; Παίρνουµε µια ισορροπία κατά Nash κατά τύχη και λέµε είναι αυτή τέλεια ισορροπία κατά Nash; Για να είναι τέλεια ισορροπία κατά Nash πρέπει το κοµµάτι που αντιστοιχεί σε κάθε υποπαίγνιο να είναι γι αυτό το υποπαίγνιο µια ισορροπία κατά Nash. Σε κάθε ένα από τα υποπαίγνια. ηλαδή ο ορισµός της τέλειας ισορροπίας υποπαιγνίων απαιτεί κάτι παραπάνω. εν φτάνει να είναι µόνο ισορροπία κατά Nash. Πρέπει να είναι ισορροπία κατά Nash σε κάθε ένα υποπαίγνιο. Πιο επίσηµος ορισµός µπορούµε να πούµε είναι ότι: η προβολή της ισορροπίας κατά Nash πάνω στα υποπαίγνια είναι η ισορροπία κατά Nash στο υποπαίγνιο. Προβολή σηµαίνει ότι παίρνουνε ένα κοµµάτι από το διάνυσµα, το κοµµάτι που αντιστοιχεί στο υποπαίγνιο. Σε κάθε υποπαίγνιο δεν θα έχουµε την ίδια ισορροπία κατά Nash. Μια ισορροπία κατά Nash περιγράφει σε κάθε κόµβο τι θα συµβεί. Γιατί; Γιατί κάθε στρατηγική είναι ένα πλήρες σχέδιο. Άρα όταν έχουµε δύο στρατηγικές κάθε µια περιγράφει πλήρως τι θα κάνει κάθε ένας από τους δύο παίχτες. Άρα ξέρουµε σε κάθε κόµβο τι θα συµβεί. Αλλά µια ισορροπία κατά Nash δεν µας λέει µόνο τι θα συµβεί στο σηµείο που θα προχωρήσουµε το παίγνιο αλλά παντού. Άρα, παίρνουµε, λοιπόν, το αντίστοιχο κοµµάτι της στρατηγικής (αντίστοιχο σε κάθε ένα από τα υποπαίγνια) και βλέπουµε αν σε κάθε ένα από αυτά τα υποπαίγνια αυτό το κοµµάτι το αντίστοιχο της στρατηγικής είναι ισορροπία κατά Nash. Η προβολή της ισορροπίας κατά Nash στα υποπαίγνια είναι ισορροπία κατά Nash στο συγκεκριµένο υποπαίγνιο. Και αυτό είναι πολύ σηµαντικό. Κάθε στρατηγική είναι ένα πλήρες σχέδιο. Αν δεν ήτανε ένα πλήρες σχέδιο δεν θα µπορούσαµε να δώσουµε ένα τέτοιο ορισµό. Τι σηµαίνει τώρα αυτό; Μπορεί ένα παίγνιο να είναι πολύ πολύπλοκο και να έχει άπειρα υποπαίγνια. Προφανώς, ελάχιστα από αυτά θα παιχτούνε στην διαδροµή ισορροπίας. Όλα τα υπόλοιπα θα είναι εκτός της διαδροµής της ισορροπίας. Θα προχωρήσει το παίγνιο θα πάρει ο ένας απόφαση, θα πάρει ο άλλος απόφαση θα σταµατήσει κάπου. Όλα τα άλλα τα υποπαίγνια που είναι εκτός ισορροπίας είναι σαν να είναι άσχετα µε την εικόνα. Και όµως δεν πρέπει να είναι άσχετα. Πρέπει σε κάθε ένα από αυτά τα υποπαίγνια, το κοµµάτι της στρατηγικής που αντιστοιχεί από την ισορροπία κατά Nash που εξετάζουµε να είναι επίσης ισορροπία κατά Nash. Βέβαια στα απλά παίγνια τα οποία έχουµε δει µέχρι τώρα αυτό δεν είναι τίποτα άλλο παρά η οπισθογενής επαγωγή. 140

9 Και θα δούµε αµέσως τι σηµαίνει αυτό στο απλό παίγνιο το οποίο έχουµε δει παλιότερα. Έχουµε δυο επιχειρήσεις: ο Ε που είναι δυνάµει εισερχόµενος και ο Μ που είναι ο µονοπωλητής Ο µονοπωλητής είτε µπορεί να αποδεχτεί τον δυνάµει εισερχόµενο είτε να του κάνει πόλεµο τιµών. Ποια είναι τα υποπαίγνια αυτού του παιγνίου; Έχουµε µόνο ένα υποπαίγνιο. Ας πάρουµε λοιπόν τώρα µια στρατηγική κατά Nash. Αυτή η στρατηγική κατά Nash είναι η εξής. Απορία: Από τη στιγµή που ο δυνάµει εισερχόµενος (Ε) εισέλθει δεν ξέρουµε ότι ο µονοπωλητής θα τον αποδεχτεί; Ναι, αλλά χρησιµοποιήσαµε κάτι το οποίο ονοµάσαµε οπισθογενής επαγωγή. Και είπαµε ότι αυτή η οπισθογενής επαγωγή µας δίνει µια ισορροπία. Εµείς τώρα αυτό που θα δούµε είναι ότι η οπισθογενής επαγωγή θα µας δώσει την τέλεια ισορροπία κατά Nash. Γιατί η τέλεια ισορροπία κατά Nash έχει πολύ πιο γενικό ορισµό από την οπισθογενή επαγωγή. Σε αυτό το παίγνιο υπάρχει προφανώς ένα υποπαίγνιο. Και σε αυτό το υποπαίγνιο παίζει ένας µόνο παίκτης ο µονοπωλητής: 141

10 Και ο µονοπωλητής δεδοµένου ότι εισέλθει η εταιρεία στον κλάδο θα την αποδεχτεί (40, 50). Οπότε ξέρουµε ότι σε αυτό το υποπαίγνιο Αποδοχή είναι η ισορροπία κατά Nash. Το πιο πάνω υποπαίγνιο, είναι ένα υποπαίγνιο µε ένα µόνο παίχτη: το µονοπωλητή. Τι σηµαίνει τώρα αυτό: ένα υποπαίγνιο µε ένα παίχτη; Ποια ισορροπία κατά Nash έχουµε; Είναι η στρατηγική που µεγιστοποιεί τα κέρδη ( Θεωρία Αποφάσεων). Μπορεί το υποπαίγνιο να είναι κάτι περίπλοκο, να είναι µια ολόκληρη αλληλουχία αποφάσεων. Αλλά αφού έχει ένα παίκτη η λύση είναι η αλληλουχία αποφάσεων που µεγιστοποιεί το (αναµενόµενο) κέρδος του παίκτη. Οπότε αναλύσαµε το υποπαίγνιο και βάλαµε στη θέση του τη βέλτιστη απόφαση του παίκτη (αργότερα θα δούµε των παικτών), τα αποτελέσµατα που έχει η βέλτιστη απόφαση (40, 50) Κόψαµε το δέντρο εξαφανίστηκε το υποπαίγνιο: και πάµε ένα βήµα πιο µπροστά και βρίσκουµε την απόφαση της εταιρείας που είναι να εισέλθει ή όχι. Και βλέπουµε ότι η εταιρεία αυτή θα εισέλθει γιατί 40 > 0. Οπότε (Είσοδος, Αποδοχή) είναι η ισορροπία κατά Nash που είναι επίσης ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων. 142

11 µορφής: Τώρα αυτό το παίγνιο µπορούµε να το παραστήσουµε σε µορφή µήτρας 2 2, της πιο κάτω (Ε) (Μ) Αποδοχή Πόλεµος Τιµών Είσοδος όχι Και βλέπουµε ότι σε αυτό το υποπαίγνιο υπάρχουνε δύο ισορροπίες κατά Nash: (Είσοδος, Αποδοχή) (40, 50) (Όχι, Πόλεµος Τιµών) (0, 100) Όπως βλέπουµε η δεύτερη ισορροπία (όχι, πόλεµος τιµών) δεν µπορεί να είναι τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων. Γιατί; ιότι το κοµµάτι που αντιστοιχεί στο υποπαίγνιο που είναι πόλεµος τιµών δεν είναι ισορροπία κατά Nash στο υποπαίγνιο. Άρα είπαµε ότι έχουµε δύο ισορροπίες. Η ισορροπία (Είσοδος, Αποδοχή) είναι εντάξει γιατί την βγάλαµε και από την οπισθογενή επαγωγή και είναι αυτή που είναι η τέλεια ισορροπία κατά Nash. Για να εξετάσουµε την (Όχι, Πόλεµος τιµών). Αυτή η ισορροπία µας λέει ότι δεν µπαίνει µέσα η εταιρεία και ο µονοπωλητής κάνει πόλεµο τιµών. Και λέµε: «πάµε να δούµε τι συµβαίνει στο υποπαίγνιο»; Στο υποπαίγνιο αυτό: κινείται µόνο ο µονοπωλητής/ αποφασίζει ο µονοπωλητής. Τι απόφαση θα πάρει; Ο πόλεµος τιµών δεν είναι ισορροπία κατά Nash καθώς 0 < 50. Άρα προφανώς δεν θα πάρει µια τέτοια απόφαση. Άρα το (όχι, πόλεµος τιµών) δεν µπορεί να είναι µια τέλεια ισορροπία κατά Nash. 143

12 Θα µπορούσαµε να γράψουµε: Έχουµε δύο υποπαίγνια, τα αποµονώνουµε και βρίσκουµε για το καθένα την ισορροπία κατά Nash στο υποπαίγνιο. Πάλι το ίδιο αποτέλεσµα θα έχουµε. Ό,τι η τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων είναι η (40, 50) (Είσοδος, Αποδοχή). Γιατί το (πόλεµος τιµών) δεν είναι ισορροπία κατά Nash στο υποπαίγνιο; Γιατί το (Όχι, πόλεµος τιµών) δεν είναι τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων. Και σύµφωνα µε τον ορισµό το κοµµάτι (πόλεµος τιµών) που είναι η προβολή της ισορροπίας πάνω στο υποπαίγνιο δεν είναι ισορροπία κατά Nash στο υποπαίγνιο. Άρα το (πόλεµος τιµών) δεν είναι επίσης ισορροπία κατά Nash σε κανένα από τα υποπαίγνια. Απορία: Η ισορροπία κατά Nash δεν είναι µόνο η (αποδοχή) για το υποπαίγνιο; Αφού µια είναι η απόφαση του υποπαιγνίου; Όταν υπάρχει ένας µόνο παίχτης το υποπαίγνιο είναι αντίστοιχο µε τη βέλτιστη απόφαση του παίχτη. Άρα είναι µόνο η αποδοχή. Απορία: Τότε γιατί βάζουµε (Ε, αποδοχή) αφού η είσοδος είναι εκτός του υποπαιγνίου; Το (όχι, πόλεµος τιµών) είναι ισορροπία κατά Nash. Παίρνουµε το µέρος της ισορροπίας κατά Nash που είναι σχετικό µε το υποπαίγνιο. Και διερωτόµαστε. Αυτό το µέρος της ισορροπίας κατά Nash που είναι σχετικό µε το υποπαίγνιο είναι ισορροπία κατά Nash και για το υποπαίγνιο; Και λέµε ΟΧΙ. Αφού δεν είναι ισορροπία κατά Nash στο υποπαίγνιο δεν µπορεί να είναι τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων. 144

13 Απορία: Ο λόγος που το (ΟΧΙ, πόλεµος τιµών) δεν είναι ισορροπία στο υποπαίγνιο δεν είναι λόγω του ότι χρησιµοποιούµε την οπισθογενή επαγωγή; Τα δύο πράγµατα βασικά είναι ισοδύναµα. Αλλά τώρα προσπαθούµε να εξηγήσουµε πως εφαρµόζεται ο ορισµός που δώσαµε για την τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων, πάνω σε πράγµατα που έχουµε ήδη κάνει. Τότε τι παραπάνω µας προσφέρει αυτός ο ορισµός; Με την οπισθογενή επαγωγή δεν µπορούσαµε να λύσουµε εύκολα το παίγνιο που θα δούµε στη συνέχεια. (η µάχη των φύλων). Το παίγνιο: έχει µόνο ένα υποπαίγνιο. *Ολόκληρο το παίγνιο δεν είναι υποπαίγνιο εξ ορισµού* Αν ήταν ολόκληρο το παίγνιο υποπαίγνιο τότε θα είχαµε δύο υποπαίγνια. Με αυτό τον τρόπο µπορούµε να ελέγξουµε αν µια ισορροπία είναι τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων. Επίσης µπορούµε να κατασκευάσουµε µια τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων, αναλύοντας ένα-ένα τα υποπαίγνια, και συνθέτοντας την ισορροπία κατά Nash. ηλαδή µια τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων είναι και ισορροπία κατά Nash. To ανάποδο δεν ισχύει π. χ (όχι, πόλεµος τιµών) είναι ισορροπία κατά Nash, αλλά όχι τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων. Σηµείωση: η µέθοδος που ακολουθήσαµε είναι να προβάλουµε την ισορροπία κατά Nash στο υποπαίγνιο. Τι σηµαίνει προβάλουµε; Παίρνουµε µόνο τα σηµεία /τα κοµµάτια που έχουνε σχέση µε το υποπαίγνιο. Άρα από την ισορροπία (όχι, πόλεµος τιµών) αυτό που έχει σχέση µε το υποπαίγνιο είναι ο πόλεµος τιµών. 145

14 Το (όχι, αποδοχή) δεν είναι καν ισορροπία κατά Nash άρα ούτε και τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων µπορεί να είναι. Εµείς αυτό που κάνουµε είναι: δεδοµένου ότι το (όχι, πόλεµος τιµών) είναι ισορροπία κατά Nash, στο υποπαίγνιο κοιτάζουµε µόνο το πόλεµος τιµών). *τέλεια ισορροπία κατά Nash είναι ένας εκλεπτυσµός (refinement). Σηµαίνει ότι µπαίνουµε σε ένα σύνολο πραγµάτων και από αυτό το σύνολο παίρνουµε αυτό που είναι το πιο λογικό.* Ας δούµε τώρα το παίγνιο µε την µάχη των φύλων. Ποια είναι τα υποπαίγνια εδώ; Εδώ έχουµε δύο υποπαίγνια. Ποια είναι η ισορροπία κατά Nash κάθε ένα από τα υποπαίγνια; Στο 1 ο υποπαίγνιο η ισορροπία κατά Nash είναι το Τ και στο 2 ο υποπαίγνιο η ισορροπία κατά Nash είναι το Χ. Πάµε τώρα σε ολόκληρο το παίγνιο. εδοµένου µε το τι συµβαίνει στο υποπαίγνιο βλέπουµε ότι θα οδηγηθούµε στο (X, X). H ισορροπία κατά Nash είναι (X, TX). Γιατί το (X, TX) είναι µια τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων; ιότι το ΤΧ είναι ισορροπίες κατά Nash στα δύο υποπαίγνια. Μπορούµε επίσης να δούµε γιατί τα υπόλοιπα που είναι ισορροπίες κατά Nash, δεν είναι ισορροπίες υποπαιγνίων. 146

15 Το (Χ, ΤΧ) είναι δύο πράγµατα: είναι η λύση που προκύπτει από την οπισθογενή επαγωγή και είναι επίσης και µια τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων. Και είναι τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων γιατί το κοµµάτι το αντίστοιχο σε κάθε υποπαίγνιο που είναι το Τ και το Χ, είναι ισορροπίες κατά Nash, στα αντίστοιχα υποπαίγνια. Στα υποπαίγνια το Τ και το Χ αντίστοιχα είναι οι ισορροπίες. Γιατί στην ισορροπία κατά Nash για τον άντρα βάλαµε [(Χ, ΤΧ)] ΤΧ και όχι µόνο Χ; ιότι έχουµε δύο υποπαίγνια. Το (Χ, ΤΧ) είναι µια τέλεια ισορροπία κατά Nash (Χ για την γυναίκα και ΤΧ για τον άντρα). Γιατί είναι τέλεια ισορροπία κατά Nash; ιότι το Τ που είναι η προβολή της ισορροπίας κατά Nash στο 1 ο παίγνιο είναι η ισορροπία κατά Nash στο 1 ο παίγνιο. Το αντίστοιχο συµβαίνει και µε το Χ που είναι η προβολή της ισορροπίας κατά Nash στο 2 ο παίγνιο και είναι η ισορροπία κατά Nash στο 2 ο υποπαίγνιο. Επιστρέφουµε τώρα στο παίγνιο που είδαµε προηγουµένως µε τις δύο επιχειρήσεις όπου η επιχείρηση Α αποφασίζει αρχικά αν θα εισάγει ή όχι ένα νέο προϊόν 147

16 Εδώ τώρα η οπισθογενής επαγωγή τι θα µας κάνει; εν µπορούµε να την χρησιµοποιήσουµε άµεσα οπότε πρέπει να βρούµε κάτι το οποίο είναι ουσιαστικά η γενίκευση της οπισθογενούς επαγωγής. Τι κάνουµε τώρα εδώ πέρα. Αυτό που πρέπει να κάνουµε εδώ είναι να βρούµε τα δύο υποπαίγνια, να τα αποµονώσουµε και να τα λύσουµε. (*δεν µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε οπισθογενή επαγωγή γιατί ο Β αντιµετωπίζει αβεβαιότητα αναφορικά µε το αν ο Α έκανε διαφήµιση ή όχι. Οπότε ο Β πρέπει να πάρει την ίδια απόφαση είτε ο Α έκανε διαφήµιση είτε όχι. Πρέπει να πάρει µια απόφαση, είτε θα κάνει διαφήµιση είτε όχι. εν µπορεί να πάρει διαφορετική απόφαση στους δύο κόµβους που βρίσκονται µέσα στο ίδιο σύνολο πληροφόρησης: 148

17 Οπότε αυτό που χρειαζόµαστε βασικά είναι να αποµονώσουµε τα υποπαίγνια να βρούµε τις ισορροπίες κατά Nash στο υποπαίγνιο και από εκεί και πέρα να προχωρήσουµε προς τα πίσω. (Ι) Υποπαίγνιο: Ποια είναι η ισορροπία κατά Nash σε αυτό το υποπαίγνιο; Τι είναι το (Ι) υποπαίγνιο; Είναι ταυτόχρονο άρα µπορούµε να το εκφράσουµε σε µια µήτρα 2 2. Παίρνουµε, λοιπόν, το (Ι) υποπαίγνιο, το αποµονώνουµε και έχουµε: Α Β ιαφήµιση όχι ιαφήµιση 2, 1 14, 0 όχι 0, 7 10, 5 Η στρατηγική όχι για τον Β είναι αυστηρά κυριαρχούµενη 0 < 1 5 < 7 Άρα ο Β ποτέ δεν θα επιλέξει την στρατηγική όχι. Επίσης το όχι είναι κυριαρχούµενη στρατηγική για τον Α 0 < 2, 10 < 14 Άρα προκύπτει µια µόνο ισορροπία σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές (2, 1). Άρα έχουµε αµέσως την ισορροπία (, ) (2, 1) στο υποπαίγνιο (Ι). Άρα µπορούµε να αντικαταστήσουµε όλο το υποπαίγνιο µε (2, 1). 149

18 Όµως πρέπει να έχουµε υπόψη µας ότι το (, ) είναι κοµµάτι στρατηγικής και πρέπει µετά όταν συνθέτουµε την στρατηγική ισορροπίας να µπει αυτό το κοµµάτι µέσα. (ΙΙ) Υποπαίγνιο: Για να λύσουµε τώρα το δεύτερο υποπαίγνιο. Απορία: Το (2, 1) που βρήκαµε πιο πάνω αφού δεν περιλαµβάνεται στο δεύτερο υποπαίγνιο, µπορούµε να πούµε ότι δεν είναι τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων; ΟΧΙ. Αυτό που θέλουµε να κάνουµε, είναι να πάρουµε µια ισορροπία κατά Nash, να πάρουµε την προβολή της πάνω σε ένα υποπαίγνιο και να δούµε αν η προβολή της στο υποπαίγνιο είναι ισορροπία κατά Nash στο υποπαίγνιο. Τι σηµαίνει προβολή; Παίρνουµε το κοµµάτι που έχει σχέση µε το υποπαίγνιο. εν είναι ανάγκη να έχουµε το ίδιο αποτέλεσµα από τα διάφορα υποπαίγνια. Η προβολή είναι κοµµάτι της ισορροπίας). Το υποπαίγνιο (ΙΙ) µπορούµε να το παραστήσουµε σε µορφή µήτρας 2 2: Α Β ιαφήµιση όχι ιαφήµιση ½, ½ 2,0 Όχι 0, 2 1, 1 Το όχι είναι αυστηρά κυριαρχούµενη στρατηγική και για τον Β και για τον Α, γιατί ½ > 0 2 > 1 Οπότε έχουµε πάλι µια ισορροπία που είναι η (, ) (½, ½) 150

19 Οπότε ξέρουµε ότι αυτό το υποπαίγνιο έχει και αυτό µια ισορροπία σε αυστηρά κυριαρχούµενες στρατηγικές και άρα κατά Nash, µε αποτέλεσµα (½, ½). Και σε αυτή την περίπτωση, µπορούµε να κόψουµε το δέντρο και να βάλουµε στην άκρη του το αποτέλεσµα που είναι (½, ½). Οπότε συνολικά θα έχουµε: Άρα ποια είναι τώρα η τέλεια ισορροπία κατά Nash όλου του παιγνίου; [ ( Nέ ο,, ) ; (, ) ] Α Β Προσοχή! Ο Α παίρνει αποφάσεις σε τρία σύνολα πληροφόρησης /τρεις κόµβους (Νέο, ιαφ., ιαφ.). Και ο Β παίρνει αποφάσεις σε δύο σύνολα πληροφόρησης (, ). Αυτό συµβαίνει γιατί οποιαδήποτε στρατηγική είναι ένα πλήρες σχέδιο. Και η στρατηγική στην ισορροπία προφανώς είναι ένα πλήρες σχέδιο. Άρα η στρατηγική ισορροπίας πρέπει να προσδιορίζει µια επιλογή σε κάθε κόµβο 151

20 Το Νέο προσδιορίζει την επιλογή της Α στον κόµβο α. Το στον κόµβο b και το στον κόµβο C. Ο Β έχει δύο σύνολα πληροφόρησης. Το d και e όπου οι επιλογές του σε αυτά τα δύο σύνολα πληροφόρησης είναι (, ). Άρα η στρατηγική (Ν,, ) που παίκτη Α και η στρατηγική (, ) του παίκτη Β είναι µια τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαίγνιων. Αυτό που έχει σηµασία είναι ότι η προβολή της ισορροπίας [(Ν,, ) ; (, )] σε κάθε υποπαίγνιο αποτελεί µια ισορροπία κατά Nash. Για να προλάβουµε αυτή την ισορροπία στο υποπαίγνιο (Ι). Ποια είναι η προβολή της ισορροπίας για το υποπαίγνιο (Ι); [(Ν,, ) ; (, )] (, ) είναι η ισορροπία στο υποπαίγνιο (Ι). Τώρα ποια είναι η προβολή του [(Ν,, ) ; (, )] στο υποπαίγνιο (ΙΙ); [(Ν,, ) ; (, )] (, ) αποτελεί µια ισορροπία κατά Nash στο υποπαίγνιο (ΙΙ). Άρα είµαστε σωστοί. 152

21 Άρα όλο το [(Ν,, ) ; (, )] που περιγράψαµε είναι µια τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων. (Για να είναι τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων πρέπει να είναι ισορροπία κατά Nash σε κάθε υποπαίγνιο, είτε το υποπαίγνιο παίζεται κάποτε κατά µήκος του δρόµου ισορροπίας του παιγνίου, είτε δεν παίζεται). Τώρα αν έχουµε δύο ισορροπίες κατά Nash σε ένα υποπαίγνιο τι κάνουµε; ηλαδή έστω ότι είχαµε: Πόσες ισορροπίες κατά Nash θα είχατε; 4 ισορροπίες κατά Nash (2 2=4). Παίρνουµε µια οποιαδήποτε από αυτές τις ισορροπίες υποπαιγνίων και την βάζουµε στην µεγάλη ισορροπία κατά Nash του παιγνίου. Θα µπορούσαµε στη θέση της να είχαµε βάλει την άλλη ισορροπία. Οπότε αν έχουµε δύο ισορροπίες κατά Nash στο πάνω υποπαίγνιο και δύο ισορροπίες κατά Nash στο κάτω υποπαίγνιο, ο αριθµός των τέλειων ισορροπιών κατά Nash είναι 2 2=4. Είναι όλοι οι συνδυασµοί. 153

22 Εδώ έχουµε δύο παίχτες. Ο παίκτης Ι κινείται και εκλέγει µεταξύ µηδέν και ένα. Ο παίκτης ΙΙ γνωρίζοντας την απόφαση του Ι επιλέγει µεταξύ µηδέν και ένα. Στη συνέχεια ο Ι ξανά, χωρίς όµως να ξέρει την απόφαση του ΙΙ αλλά θυµούµενος τη δική του παίρνει απόφαση µεταξύ µηδέν και ένα. Αν το άθροισµα των αριθµών είναι µηδέν ή ζυγός πληρώνει ο Ι τον ΙΙ. Άρα ο Ι πληρώνει τον ΙΙ όποτε το άθροισµα των τριών επιλογών είναι µηδέν ή ζυγός. Και όταν το άθροισµα των επιλογών είναι µονός αριθµός πληρώνει ο ΙΙ τον Ι. Αυτό είναι το παίγνιο. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ; ύο υποπαίγνια. Άρα µπορούµε να τα αποµονώσουµε και να δούµε τι συµβαίνει. 154

23 (Α) Υποπαίγνιο: Έχουµε ταυτόχρονη επιλογή άρα µήτρα: I II p 0 1-p 1 q 0-1, 1 1, -1 1-q 1 1, -1-1, 1 Ποιες είναι οι ισορροπίες κατά Nash αυτού του υπoπαιγνίου; Σε αµιγείς στρατηγικές δεν έχουµε καµιά ισορροπία. Το ίδιο συµβαίνει και µε το υποπαίγνιο. (Β). (Β) Υποπαίγνιο I II , -1-1, 1 1-1, 1 1, -1 όπως στο (Α) απλώς αλλάζουν οι ρόλοι. Ο παίκτης Ι είναι ο ΙΙ και το αντίστροφο. Άρα εδώ τι κάνουµε; Καταφεύγουµε σε µεικτές στρατηγικές. Χρειάζεται να τις υπολογίσουµε ή την ξέρουµε εξ αρχής. Για το παίγνιο (Α) η στρατηγική/ η ισορροπία κατά Nash είναι: [(0, 1; ½, ½);(0, 1; ½, ½)] (0, 0) Αποτέλεσµα/ αναµενόµενα κέρδη: 1 1 (1) + ( 1) = (* Μπορούσαµε να το λύσουµε µε εξίσωση κερδών, αλλά επειδή είναι συµµετρικό βάλαµε το αποτέλεσµα απ ευθείας). Για το παίγνιο (Β) η ισορροπία κατά Nash είναι: [(0, 1; ½, ½);(0, 1; ½, ½)] (0, 0) 155

24 Για να δούµε τι γίνεται τώρα σε όλο το παίγνιο: Πόσες τέλειες ισορροπίες κατά Nash υπάρχουν εδώ; Βρήκαµε τις ισορροπίες κατά Nash σε κάθε υποπαίγνιο. Τώρα ζητάµε τις τέλειες ισορροπίες κατά Nash υποπαιγνίων για όλο το παίγνιο. Μια έχει απάνω και µια από κάτω. Τι θα κάνει ο παίχτης Ι; Ο παίκτης Ι είναι αδιάφορος άρα υπάρχουν άπειρες ισορροπίες. Ο Ι είναι αδιάφορος µεταξύ του να πει 0 ή 1. Άρα είναι αδιάφορος µεταξύ οποιουδήποτε συνδυασµού του µηδέν και του ένα. Άρα οποιαδήποτε µεικτή στρατηγική του Ι στην οποία βάζουµε κάποια πιθανότητα θετική ή και µηδέν σε οποιαδήποτε από τις αµιγείς στρατηγικές του είναι βέλτιστη απάντηση. Ποια θα είναι λοιπόν η τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων; παίκτης Ι [{( 0,1 ; p, (1 p) )( 0, 1, ; 1/ 2, 1/ 2)( 0, 1, ; 1/ 2, 1/ 2) }], [{(,1 ; 1/ 2, 1/ 2),( 0, 1, ; 1/ 2, 1/ 2) }] 0, 0# p# παίκτης ΙΙ αυτή είναι µια φόρµουλα που µας δίνει όλες τις ισορροπίες. Επειδή το p µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή µεταξύ 0 και 1, οι ισορροπίες είναι άπειρες. Μπορεί επίσης να υπάρχουν και άπειρες ισορροπίες επειδή κάποιος από τους παίκτες ήταν αδιάφορος σε κάποιο υποπαίγνιο. Απορία: Οπότε έχουµε µεικτές στρατηγικές θα έχουµε και άπειρες λύσεις; Όχι πάντα. Π. χ αν αποκλείαµε τον παίκτη Ι στον κόµβο α, από του να ακολουθήσει µια µεικτή στρατηγική, τότε πόσες ισορροπίες θα είχαµε; 156

25 Θα είχαµε δύο τέλειες ισορροπίες υποπαιγνίων, αν απαγορευόταν στον παίκτη Ι να κάνει τυχαία επιλογή µεταξύ µηδέν και ένα. π. χ Αν το παιγνίδι ήταν: τότε θα είχαµε µία και µοναδική ισορροπία κατά Nash. Στο ο παίκτης Ι είναι αδιάφορος µεταξύ του να εκλέξει µηδέν και ένα. Άµα είναι αδιάφορος σηµαίνει ότι µπορεί να εκλέξει µηδέν, ένα ή οποιαδήποτε συνδυασµό των δύο. Αν αποκλείσουµε από τον παίχτη Ι να εκλέξει στον κόµβο α µια µεικτή στρατηγική τότε πόσες τέλειες ισορροπίες κατά Nash θα είχαµε; ύο: είτε µηδέν είτε ένα. Οι δύο ισορροπίες είναι: [{0, (0, 1 ; ½, ½),(0, 1 ; ½, ½)},{(0, 1 ; ½, ½),(0, 1 ; ½, ½)}] και [{1, (0, 1 ; ½, ½),(0, 1 ; ½, ½)},{(0, 1 ; ½, ½),(0, 1 ; ½, ½)}] εν αλλάζουµε τίποτα στα υποπαίγνια. Τα υποπαίγνια µένουν τα ίδια. Το µόνο που λέµε είναι ότι απαγορεύουµε στον παίκτη Ι να εκλέξει µια µεικτή στρατηγική στην αρχή. Τίποτα άρα στην 157

26 αρχή θα εκλέξει είτε µηδέν είτε ένα. εν µπορεί να εκλέξει τυχαία µεταξύ µηδέν και ένα. Βέβαια δεν είναι λογικό να απαγορεύσουµε σε κανένα παίκτη. Άρα δεν είναι λογικό να έχουµε δύο ισορροπίες. Έχουµε άπειρες ισορροπίες. Το συµπέρασµα που βγάζουµε από αυτό το παίγνιο είναι ότι σηµασία είναι ότι υπάρχουνε συνδυασµοί στρατηγικών. Στο [{(0, 1 ; p, (1 p)), (0, 1 ; ½, ½),(0, 1 ; ½, ½)}{(0, 1 ; ½, ½),(0, 1 ; ½, ½)}] έχουµε άπειρες στρατηγικές στην αρχή και από µια στη συνέχεια. Άρα βγήκαν άπειρες ισορροπίες γιατί πολλαπλασιάσαµε το άπειρο επί το 1 [1 x 1 x 4]. Αν στα υποπαίγνια είναι δύο απάνω ισορροπίες και 5 κάτω ισορροπίες, τότε θα έχουνε δέκα. ηλαδή αν είχαµε Υποπαίγνιο (Α) 2 ισορροπίες Υποπαίγνιο (Β) 5 ισορροπίες και βασικά υπήρχε µια επιλογή στην αρχή τότε θα βγαίναµε 10 ισορροπίες τέλειες κατά Nash. 158

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία

Κεφάλαιο 4. Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία Κεφάλαιο 4 Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία κατά Nash είναι: (α) ένα διάνυσµα από στρατηγικές, έτσι ώστε δεδοµένων των υπολοίπων στρατηγικών, ο παίκτης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0)

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0) Κεφάλαιο 5 Θα ξεκινήσουµε το κεφάλαιο αυτό βλέποντας ένα ακόµη παράδειγµα αναφορικά µε την ισορροπία που προκύπτει από την οπισθογενή επαγωγή (backwards induction) και την ισορροπία κατά Nash στην στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν

Διαβάστε περισσότερα

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ Kεφάλαιο 11 Θα επαναλάβουµε αυτά που είχαµε πει την προηγούµενη φορά. Παραστατικά αν έχουµε το εξής παίγνιο όπου οι δύο παίχτες παίρνουν ταυτόχρονα τις αποφάσεις τους αφού αποφασίσει ο Ι, θα δούµε πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 ο Τ 3, 1-1, -1 Χ -1, -1 1, 3

Κεφάλαιο 8 ο Τ 3, 1-1, -1 Χ -1, -1 1, 3 Κεφάλαιο 8 ο Συνεχίζουµε µε τις µεικτές στρατηγικές. Θα δούµε τώρα ένα παράδειγµα στο οποίο υπάρχουνε ισορροπίες κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές αλλά πέρα από αυτό υπάρχει και µια ισορροπία κατά Nash

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο (α) Αµιγείς Στρατηγικές (β) Μεικτές Στρατηγικές (α) Αµιγείς Στρατηγικές. Επαναλαµβάνουµε:

Κεφάλαιο 2ο (α) Αµιγείς Στρατηγικές (β) Μεικτές Στρατηγικές (α) Αµιγείς Στρατηγικές. Επαναλαµβάνουµε: Κεφάλαιο 2 ο Μέχρι τώρα δώσαµε τα στοιχεία ενός παιγνίου σε µορφή δέντρου και σε µορφή µήτρας. Τώρα θα ορίσουµε τη στρατηγική στην αναλυτική µορφή του παιγνίου (η στρατηγική ορίζεται από κάθε στήλη ή γραµµή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7ο. max(p 1 c)(α bp 1 +dp 2 )

Κεφάλαιο 7ο. max(p 1 c)(α bp 1 +dp 2 ) Κεφάλαιο 7ο Μιλήσαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο για το τι θα συµβεί αν οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται σε τιµές. Επιπλέον µιλήσαµε για το πως αποδεικνύεται το παράδοξο του Bertrand και καθώς επίσης και για

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ EKΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ II ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ EKΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ II ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ EKΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ II ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Προηγούμενα Μαθήματα: Παίχτες: είναι αυτοί που λαμβάνουν τις αποφάσεις. Ένα παίγνιο πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 10. Λύση. π/ P1 =0 => P1+P2+4=0 => 4P1=1004+P2 => P1= 1004+P2 = R1(P2) 4 P2= 1004+P1 = R2(P1) 4

ΑΣΚΗΣΗ 10. Λύση. π/ P1 =0 => P1+P2+4=0 => 4P1=1004+P2 => P1= 1004+P2 = R1(P2) 4 P2= 1004+P1 = R2(P1) 4 ΑΣΚΗΣΗ 10 Στον κλάδο υπάρχουν δύο επιχειρήσεις που παράγουν ατελώς υποκατάστατα αγαθά. Οι καµπύλες ζήτησης των προϊόντων τους είναι q 1 = 1000 2p1 +p2 και q 2 = 1000 2p2 +p1. Οι δύο επιχειρήσεις έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές.

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β 2 Β 3 1, -1 0, 0-1, 0 0, 0 0, 6 10, -1 2, 0 10, -1-1, -1 Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΕΜΠΤΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΕΜΠΤΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΕΜΠΤΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Προηγούµενα Μαθήµατα: Παίχτες: είναι αυτοί που λαµβάνουν τις αποφάσεις. Ένα παίγνιο πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Παρασκευή 16 Οκτωβρίου 2007 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1

Διαβάστε περισσότερα

3. Παίγνια Αλληλουχίας

3. Παίγνια Αλληλουχίας 3. Παίγνια Αλληλουχίας Τα παίγνια αλληλουχίας πραγµατεύονται περιπτώσεις όπου οι κινήσεις των παικτών διαδέχονται η µια την άλλη, σε αντίθεση µε τα παίγνια όπου οι αποφάσεις των παικτών γίνονται ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

Α2 Β2 Γ2 2 Α1 1,0 5,-1-1,-2 9,-2 Β1 2,1-2,0 0,2 0,-1 Γ1 0,3 14,2 2,1 8,1 1 1,2 0,1 3,0-1,0

Α2 Β2 Γ2 2 Α1 1,0 5,-1-1,-2 9,-2 Β1 2,1-2,0 0,2 0,-1 Γ1 0,3 14,2 2,1 8,1 1 1,2 0,1 3,0-1,0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ιδάσκων: Ε. Πετράκης. Επαναληπτική Εξέταση: 15/09/99 Απαντήστε στα τρία από τα τέσσερα θέµατα. Όλα τα υποερωτήµατα βαθµολογούνται το ίδιο. 1. Θεωρήσατε ένα ολιγοπωλιακό κλάδο όπου τρεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Τρίτη 15 Ιανουαρίου 2008 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (13:00-16:00) ΘΕΜΑ 1 ο (2,5

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά Παίγνια. ιαµόρφωση Παιγνίων. Θέµατα σε Πάιγνια Μηδενικού Αθροίσµατος

Συνδυαστικά Παίγνια. ιαµόρφωση Παιγνίων. Θέµατα σε Πάιγνια Μηδενικού Αθροίσµατος Συνδυαστικά Παίγνια 1. Σε ένα παιγνίδι 2 παικτών µηδενικού αθροίσµατος οι παίκτες αναγγέλουν εναλλάξ ένα αριθµό µεταξύ {2,3,4}. Ο παίκτης που κάνει το άθροισµα των αριθµών που έχουν αναγγελθεί να φθάσει

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Α Κ Α Η Μ Α Ι Κ Ο Ε Τ Ο Σ 2 0 1 1-2 0 1 2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT Ο συγκεκριµένος οδηγός για το πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

B 1 A 1 B 2 A 2. t 1. t 3 w. t 2 A 3 B 3. t 4. t 5

B 1 A 1 B 2 A 2. t 1. t 3 w. t 2 A 3 B 3. t 4. t 5 Κεφάλαιο 3 Δυναμικά παίγνια 3.1 Εισαγωγή Μέχρι στιγμής έχουμε αναλύσει παίγνια στα οποία όλοι οι παίκτες επιλέγουν τις στρατηγικές τους ταυτόχρονα. Αυτή η υπόθεση όμως δεν είναι πάντα κατάλληλη. Σε πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

10/3/17. Μικροοικονομική. Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων. Μια σύγχρονη προσέγγιση. Εφαρµογές της θεωρίας παιγνίων. Τι είναι τα παίγνια;

10/3/17. Μικροοικονομική. Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων. Μια σύγχρονη προσέγγιση. Εφαρµογές της θεωρίας παιγνίων. Τι είναι τα παίγνια; HA. VAIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Θεωρία παιγνίων Η θεωρία παιγνίων βοηθά στην ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς από φορείς που κατανοούν ότι οι

Διαβάστε περισσότερα

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη Θεωρία παιγνίων: Μεικτές στρατηγικές και Ισορροπία Nash Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 18 Μαρτίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 1 / 9 Κυριαρχία και μεικτές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Η ταχύτητα συνήθως δεν παραµένει σταθερή Ας υποθέσουµε ότι ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραµµο δρόµο µε ταχύτητα k 36. Ο δρόµος είναι ανοιχτός και ο οδηγός αποφασίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 7: Τέλεια ισορροπία Nash για υποπαίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 7: Τέλεια ισορροπία Nash για υποπαίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 7: Τέλεια ισορροπία Nash για υποπαίγνια Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα. Υπαρξη ϐαλρασιανής ισορροπίας. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς.

Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα. Υπαρξη ϐαλρασιανής ισορροπίας. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 19 Απριλίου 2013 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 1 / 44 ύο Ϲητήµατα

Διαβάστε περισσότερα

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Θεωρία παιγνίων Η θεωρία παιγνίων βοηθά στην ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς από φορείς που κατανοούν ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 2 η Διάλεξη Παίγνια ελλιπούς πληροφόρησης Πληροφοριακά σύνολα Κανονική μορφή παιγνίου Ισοδύναμες στρατηγικές Παίγνια συνεργασίας και μη συνεργασίας Πεπερασμένα και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Générateurs et groupes cycliques

Générateurs et groupes cycliques Γεννήτορες και κυκλικές οµάδες - Générateurs et groupes cycliques N. Lygeros Νοµίζω πως τώρα είµαστε αρκετά προετοιµασµένοι για να δούµε µερικά πράγµατα από το βιβλίο. Άρα το Η θα είναι η υποοµάδα. Οπότε

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

Γυµ.Ν.Λαµψάκου Α Γυµνασίου Γεωµ.Β2.6 γωνίες από 2 παράλληλες + τέµνουσα 19/3/10 Φύλλο εργασίας

Γυµ.Ν.Λαµψάκου Α Γυµνασίου Γεωµ.Β2.6 γωνίες από 2 παράλληλες + τέµνουσα 19/3/10 Φύλλο εργασίας Φύλλο εργασίας Mπορείτε να βρείτε τη γωνία κάβων; ραστηριότητα Ένα δεξαµενόπλοιο που στο σχήµα είναι στο σηµείο Β, πλέει προς την είσοδο µιας διώρυγας µε την βοήθεια δύο ρυµουλκών που απεικονίζονται µε

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

2. Δυναμικό και χωρητικότητα αγωγού.

2. Δυναμικό και χωρητικότητα αγωγού. . Δυναμικό και χωρητικότητα αγωγού. Σε όλα τα σηµεία ενός αγωγού, σε ηλεκτροστατική ισορροπία, το δυναµικό είναι σταθερό. Για παράδειγµα, στην φορτισµένη σφαίρα του διπλανού σχήµατος τα σηµεία Α και Β

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον Θεωρία Παιγνίων Αβεβαιότητα παρουσία άλλου πράκτορα Μια άλλη πηγή αβεβαιότητας είναι η παρουσία άλλου πράκτορα στο περιβάλλον, ακόμα κι όταν ένας πράκτορας είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 8 Σεπτεµβρίου 005 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (:00-4:00 ΘΕΜΑ ο (.5 Το παράδοξο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν Επαναληπτικές δοµές Η λογική των επαναληπτικών διαδικασιών εφαρµόζεται όπου µία ακολουθία εντολών εφαρµόζεται σε ένα σύνολο περιπτώσεων που έχουν κάτι κοινό. Όταν ψάχνουµε θέση για να παρκάρουµε κοντά

Διαβάστε περισσότερα

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση;

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; ή Η επιτάχυνση και ο ρυθµός µεταβολής του µέτρου της ταχύτητας. Ένα σώµα Σ ηρεµεί, δεµένο στο άκρο ενός ελατηρίου. Σε µια στιγµή συγκρούεται µε ένα άλλο κινούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Point to Point Navigation Using RMI only

Point to Point Navigation Using RMI only Point to Point Navigation Using RMI only Γειά χαρά, κατόπιν συζητήσεων που εχουν γίνει σε συναντήσεις Ελλήνων FlightSimmers έκρινα σκόπιµο να γίνει µια παρουσίαση του πως γινεται η point-to-point αεροναυτιλία

Διαβάστε περισσότερα

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος.

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος. σώματος αλλά και συστήματος. Μια καλοκαιρινή περιπλάνηση. Τα δυο σώµατα Α και Β µε ίσες µάζες g, ηρεµούν όπως στο σχήµα, ό- που το ελατήριο έχει σταθερά 00Ν/, ενώ το Α βρίσκεται σε ύψος h0,45 από το έδαφος.

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Ισορροπία-Ευηµερία. 2ο Θεµελιώδες Θεώρηµα των Οικονοµικών της ευηµερίας. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς.

Γενική Ισορροπία-Ευηµερία. 2ο Θεµελιώδες Θεώρηµα των Οικονοµικών της ευηµερίας. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. Γενική Ισορροπία-Ευηµερία Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 19 Απριλίου 2013 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία-Ευηµερία 19 Απριλίου 2013 1 / 20 Το πρώτο Θ.Θ.Ο.Ε. µας λέει ότι κάθε Βαλρασιανή

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ-ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΤΑ NASH ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ-ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΤΑ NASH ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ-ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΤΑ NASH ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Συνέχεια από πριν.. Στο προηγούμενο μάθημα είδαμε ότι μπορούμε να επιλύσουμε παίγνια με την μέθοδο της απαλοιφής

Διαβάστε περισσότερα

Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #02 ==============================================================

Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #02 ============================================================== Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #0 www.maths.gr www.facebook.com/maths.gr Tηλ.: 69790 e-mail: maths@maths.gr Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα Λυµένες Ασκήσεις Βοήθεια στη λύση Εργασιών ==============================================================

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Η θεωρία αποφάσεων έχει ως αντικείμενο την επιλογή της καλύτερης στρατηγικής. Τα αποτελέσματα κάθε στρατηγικής εξαρτώνται από παράγοντες, οι οποίοι μπορεί να είναι καταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΣΗ µε λογισµικό PheT ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Πείραµα. (εικονικό). http://phet.colorado.edu/sims/density-and-buoyancy/buoyancy_el.html

ΑΝΩΣΗ µε λογισµικό PheT ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Πείραµα. (εικονικό). http://phet.colorado.edu/sims/density-and-buoyancy/buoyancy_el.html ΑΩΣΗ µε λογισµικό PheT ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Πείραµα. (εικονικό). http://phet.colorado.edu/sims/density-and-buoyancy/buoyancy_el.html Παίρνω στο ένα µου χέρι τα 2 kg σίδερο και στο άλλο τα 2 kg ξύλο. Αισθάνοµαι

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Διάλεξη 7 Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Θεωρία παιγνίων Στη θεωρία παιγνίων χρησιμοποιούμε υποδείγματα για τη στρατηγική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων που καταλαβαίνουν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 3/2001 Μηχανική ΙI Λαγκρανζιανή συνάρτηση Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι ο δυναµικός νόµος του Νεύτωνα είναι ισοδύναµος µε την απαίτηση η δράση ως το ολοκλήρωµα της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς Μάθηµα : Overview Of The Algorithmic Game Theory Ηµεροµηνία : 007/04/19 Σηµειώσεις : Ελενα Χατζηγιωργάκη,

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 2: Ισορροπία Nash. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 2: Ισορροπία Nash. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 2: Ισορροπία Nash Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

- Q T 2 T 1 + Q T 1 T T

- Q T 2 T 1 + Q T 1 T T oς ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ. oς Θερµοδυναµικός νόµος σχετίζεται ιστορικά µε τις προσπάθειες για τη βελτίωση των θερµικών µηχανών. Ποιοτικά: ιατυπώνεται µε τι προτάσεις Kelvin-Plank και Clausius Ποσοτικά: ιατυπώνεται

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 3 (θεωρία παιγνίων) Οι δύο μεγαλύτερες τράπεζες μιας χώρας, Α και Β, εκτιμούν ότι μια άλλη τράπεζα, η Γ, θα κλείσει στο προσεχές διάστημα και πρόκειται να προχωρήσουν σε διαφημιστικές εκστρατείες

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Σκοπός του κειµένου είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις εν έχουν κανένα απολύτως νόηµα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

Το άθροισµα των εισερχόµενων σηµάτων είναι:

Το άθροισµα των εισερχόµενων σηµάτων είναι: 7. ίκτυα Hopfeld Σε µία πολύ γνωστή εργασία το 982 ο Hopfeld παρουσίασε µια νέα κατηγορία δικτύων, τα οποία έχουν µεγάλες υπολογιστικές ικανότητες και είναι χρήσιµα σε δύο κατηγορίες προβληµάτων. Πρώτα,

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή.

Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή. Στροφορµή Έστω ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ και έστω ένα σηµείο Ο. Ορίζουµε στροφορµή του υλικού σηµείου ως προς το Ο, το εξωτερικό γινόµενο: L= r p= m r υ Όπου r η απόσταση του υλικού σηµείου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΒΑΣΕΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΤΕΤΑΡΤΟ Insert, Update, Delete, Ένωση πινάκων Γιώργος Μαρκοµανώλης Περιεχόµενα Group By... 1 Having...1 Οrder By... 2 Εντολή Insert...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΑΓΟΡΩΝ ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός A1. Το υπόδειγµα των εγχειριδίων Στον Πλούτο των Εθνών (1776) ο Adam Smith παρουσίασε το φηµισµένο πλέον επιχείρηµά του

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κέντρο µάζας. + m 2. x 2 x cm. = m 1x 1. m 1

Κέντρο µάζας. + m 2. x 2 x cm. = m 1x 1. m 1 ΦΥΣ 3 - Διαλ. Κέντρο µάζας Μέχρι τώρα είδαµε την κίνηση υλικών σηµείων µεµονωµένα. Όταν αρχίσουµε να θεωρούµε συστήµατα σωµάτων ή στερεά σώµατα κάποιων διαστάσεων είναι πιο χρήσιµο και ευκολότερο να ορίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΛΛΙΠΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 67 Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΟ ΠΑΡOΝ ΚΕΦAΛΑΙΟ ξεκινά η ανάλυση των παιγνίων ελλιπούς πληροφόρησης, τα οποία ονομάζονται και μπεϋζιανά παίγνια (bayesa

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΚΟΙΝΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Players-Παίκτες Rules- Κανόνες. Τιµωρείσαι εάν τους παραβιάσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση

Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση Παρακολουθώντας τη συζήτηση που έχει αναπτυχθεί, σχετικά µε το «... Αν η αποµάκρυνση x του σώµατος δίνεται από τη σχέση x=αηµ(ωt+φ) η κίνηση του σώµατος ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Πολίτη Όλγα Α.Μ. 4528 Εξάµηνο 8ο Υπεύθυνος Καθηγητής Λυκοθανάσης

Διαβάστε περισσότερα

Αφινική Γεωµετρία. Κεφάλαιο Ορισµός και απλά παραδείγµατα

Αφινική Γεωµετρία. Κεφάλαιο Ορισµός και απλά παραδείγµατα Κεφάλαιο 3 Αφινική Γεωµετρία 3.1 Ορισµός και απλά παραδείγµατα Η κλασική Γεωµετρία που µαθαίνουµε στο σχολείο, ϐασισµένη στον Ευκλείδη, δεν αναφέρεται σε διανύσµατα, συντεταγµένες κοκ (ο όρος που χρησιµοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Δευτέρα 3 Σεπτεμβρίου 2012 Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (16:30-19:30)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ ΣΧΟΛΗ Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ Σ.Α.Ε. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 3 ) Αρχικό σήµα ( ) Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται ένα περιοδικό σήµα ( ), το οποίο έχει ληφθεί από

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ . Η ΕΝΝΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση πρώτου βαθµού µε αγνώστους και νοµάζεται κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ. Άγνωστοι είναι το και το. Τα α, β και γ λέγοντα συντελεστές. Ειδικότερα το γ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση α Στους µιγαδικούς δεν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις Το σύνολο C διατηρεί ισοτικά όλες τις ιδιότητες του R εν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις, υφίστανται µόνο στο

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 18/02/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/18/2016

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Η προσδοκώµενη χρησιµότητα του κέρδους όταν η πιθανότητα η τιµή του προϊόντος Ρ1 είναι ψ, χ το επίπεδο παραγωγής και c(x) η συνάρτηση κόστους, είναι

Η προσδοκώµενη χρησιµότητα του κέρδους όταν η πιθανότητα η τιµή του προϊόντος Ρ1 είναι ψ, χ το επίπεδο παραγωγής και c(x) η συνάρτηση κόστους, είναι 3. Θεωρία της Επιχείρησης 3. Η Ανταγωνιστική Επιχείρηση. Το τµήµα αυτό έχει δύο στόχους. Πρώτα να δείξει ότι αν υπάρχει ουδετερότητα απέναντι στον κίνδυνο, τότε η µέση αξία ενός αβέβαιου γεγονότος είναι

Διαβάστε περισσότερα

Η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων

Η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων Η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων Την διετύπωσε ο Γαλιλαίος εξετάζοντας την περίπτωση της οριζόντιας βολής. «Η µετά χρόνο t θέση ενός κινητού που συµµετέχει σε δύο κινήσεις προσδιορίζονται, εάν φανταστούµε

Διαβάστε περισσότερα