Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων"

Σκύλλα Ελευθεριάδης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Αν κάναμε ένα τεστ νοημοσύνης στους μαθητές και θέταμε την ερώτηση: Πως μπορεί να μετρηθεί το βάρος ενός λεπτού του ευρώ με ακρίβεια 0,01 του γρ. όταν διαθέτω ζυγό που μετρά με ακρίβεια 1γρ; αναμφίβολα θα υπήρχαν κάποιοι μαθητές που θα έδιναν την απάντηση: θα βάλω 100 λεπτά πάνω στο ζυγό και θα διαιρέσω το βάρος που θα μετρήσω δια 100. Τι γίνεται όμως αν διαθέτω ένα μόνο αντικείμενο του είδους, πχ ένα πετραδάκι που μάζεψα απ την αυλή του σχολείου μου, και θέλω να το ζυγίσω με ακρίβεια 0,01 του γρ; Η απάντηση δεν διαφέρει από την προηγούμενη: θα μαζέψω 100 πετραδάκια απ την αυλή. Είμαι σίγουρος ότι οι περισσότεροι δεν μπορούν να καταλάβουν τι ακριβώς εννοώ. Αυτό ακριβώς θα προσπαθήσω να εξηγήσω στη συνέχεια αυτού του άρθρου. Ας υποθέσω ότι έχω δύο αντικείμενα που ζυγίζουν λίγα γραμμάρια το καθένα καθώς και ένα ψηφιακό ζυγό που μετρά με ακρίβεια γραμμαρίου. Βάζοντας στο ζυγό το πρώτο αντικείμενο, μετρώ βάρος έστω 7 γρ. Βάζοντας το δεύτερο, έστω ότι μετρώ 9 γρ. Οι μετρήσεις αυτές με οδηγούν στα εξής συμπεράσματα: το πρώτο αντικείμενο έχει βάρος μεταξύ 6,5 γρ. και 7,5 γρ. και η πιθανότητα το βάρος του να είναι μικρότερο των 7 γρ. είναι ίση με την πιθανότητα να είναι μεγαλύτερο. Ανάλογο συμπέρασμα θα βγάλω και για το δεύτερο αντικείμενο. Έστω ότι κάνω μια νέα μέτρηση βάζοντας τώρα και τα δύο αντικείμενα στο ζυγό. Ο ζυγός μπορεί να μου δώσει μια από τρεις δυνατές τιμές: 15 γρ., 16 γρ. και 17 γρ. Αν η νέα μέτρηση μου δώσει 15 γρ., έχω αντλήσει νέα πληροφορία. Η νέα αυτή πληροφορία μπορεί να με οδηγήσει σε βελτίωση των εκτιμήσεων που είχα κάνει για τα επιμέρους βάρη. Τα καθένα απ αυτά έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να είναι κάτω από την μετρημένη τιμή του παρά πάνω. Αν, όμως, η νέα μέτρηση μου δώσει 17 γρ., η πληροφορία αυτή με οδηγεί να συμπεράνω ότι το καθένα από τα σώματα έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να είναι πάνω από την μετρημένη τιμή του παρά κάτω. Υπάρχει νέα πληροφορία όταν το ταυτόχρονο ζύγισμα των δύο σωμάτων μου δώσει 16 γρ.; Υπάρχει. Όπως προηγουμένως τα σώματα περιμένω να έχουν βάρη γύρω στα 7 γρ. και 9 γρ. αντίστοιχα και με την ίδια πιθανότητα το βάρος του καθενός να είναι πάνω ή κάτω από την τιμή του ζυγού, αλλά περιμένω να είναι καλύτερα «κεντραρισμένα» σ αυτές τις τιμές, να έχουν δηλαδή μικρότερη αβεβαιότητα. Τίθεται λοιπόν το εξής πρόβλημα: με ποιο τρόπο μπορώ να αξιοποιήσω ποσοτικά τη νέα πληροφορία ώστε να εκτιμήσω καλύτερα τα δύο βάρη; Η μαθηματική μέθοδος που θα χρησιμοποιήσω υπάρχει και λέγεται μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων (ΜΕΤ). Ας δούμε πως εφαρμόζεται αυτή η μέθοδος στην περίπτωσή μας. Στο εξής θα χρησιμοποιώ το σύμβολο για να δηλώσω την τιμή που μου έδωσε το όργανο μέτρησης για την ποσότητα που μέτρησα με αυτό. Πχ η έκφραση θα διαβάζεται: η 1

2 μετρημένη τιμή για τη μάζα είναι. Θα χρησιμοποιώ τέλος το σύμβολο για να δηλώσω την βέλτιστη προσέγγιση μιας ποσότητας με χρήση της ΜΕΤ. Έστω λοιπόν ότι έχω δύο μάζες και, τις ζυγίζω, και βρίσκω τιμή για τη μια και για την άλλη (1) Ας θεωρήσω τώρα τις μάζες σαν δύο μεταβλητές ποσότητες, και, και ας σχηματίσω την παράσταση των ελαχίστων τετραγώνων:. Οι βέλτιστες τιμές για τις μάζες είναι αυτές που ελαχιστοποιούν την παραπάνω παράσταση: (2) Είναι προφανές ότι η ελάχιστη τιμή της παράστασης είναι το 0 και συμβαίνει όταν και. Επομένως η καλύτερη προσέγγιση για τις μεταβλητές και είναι: (3) Δηλαδή η καλύτερη προσέγγιση για τις δύο μάζες είναι οι μετρημένες τιμές. Έστω τώρα ότι βάζω και τις δύο μάζες στο ζυγό. Υπάρχουν δύο ενδεχόμενα: Έστω Το αποτέλεσμα της μέτρησης να είναι Το αποτέλεσμα της μέτρησης να είναι το αποτέλεσμα της μέτρησης και έστω Και (4) Θεωρώ πάλι τις μεταβλητές και και σχηματίζω την εξίσωση: (5) 2

3 Είναι πάλι προφανές ότι η ελάχιστη τιμή είναι το 0 και συμβαίνει όταν και. Άρα έχω πάλι (6) Δηλαδή, πάλι, η καλύτερη προσέγγιση για την κάθε μάζα είναι η μετρημένη τιμή της. Ο νέος όρος, όμως, που έβαλα στο άθροισμα των ελαχίστων τετραγώνων έχει παίξει κάποιο ρόλο. Στο άθροισμα τετραγώνων της (2) η δεύτερη παράγωγος ως προς ή ως προς είναι 2. Όμως, η δεύτερη παράγωγος ως προς ή ως προς στην (5) είναι 4. Αυτό σημαίνει ότι η (5) έχει καλύτερα ελάχιστα ως προς τις μεταβλητές που με τη σειρά του σημαίνει ότι οι μάζες που προσδιορίζονται απ αυτές έχουν μικρότερη αβεβαιότητα. Ας πάρουμε τώρα την περίπτωση. Η εξίσωση των ελαχίστων τετραγώνων είναι, πάλι, η (5). Τώρα όμως το ελάχιστο δεν συμβαίνει για και. Αν αντικαταστήσουμε αυτές τις τιμές στην (5) παίρνουμε (7) Ας υπολογίσουμε το ελάχιστο της παράστασης με τη μέθοδο των μερικών παραγωγίσεων. Αν μηδενίσουμε την παράγωγο ως προς παίρνουμε την εξίσωση (8) Αν μηδενίσουμε την παράγωγο ως προς παίρνουμε την εξίσωση (9) Η λύση ( ) του παραπάνω συστήματος αποτελεί ακρότατο για το άθροισμα τετραγώνων. Επειδή οι δεύτερες παράγωγοι είναι θετικές, το ακρότατο αυτό είναι ελάχιστο. Η λύση είναι (10) Το άθροισμα των τετραγώνων που προκύπτει με τις τιμές που βρήκα για το και είναι (11) 3

4 Δηλαδή είναι το του αθροίσματος της (7) που προέκυψε βάζοντας για και! Η (10) λοιπόν μου δίνει τις βέλτιστες τιμές για το και : (12) Παράδειγμα: Στην 1 η σελίδα θεώρησα δύο μάζες 7 g και 9 g. Έστω ότι όταν τις ζυγίσω μαζί ο ζυγός μου δίνει 15 g αντί για 16 g. Ποια είναι η καλύτερη προσέγγιση των ελαχίστων τετραγώνων για τις μάζες αυτές; Έχω, και. Εφαρμόζοντας τις (12) βρίσκω: Βρίσκω δηλαδή τιμές χαμηλότερες από τις μετρούμενες, όπως περίμενα. Για το άθροισμα όμως βρίσκω 15,33 g, δηλ. τιμή λίγο μεγαλύτερη από τη μετρούμενη. Η πρόσθετη πληροφορία, η ένδειξη του ζυγού όταν και τα δύο σώματα είναι επάνω, με βοήθησε να προσεγγίσω καλύτερα τις τιμές των μαζών τους. Η πρόσθετη αυτή πληροφορία είναι πολύ μεγαλύτερη όταν έχω να κάνω με τρία ή περισσότερα σώματα. Για παράδειγμα, αν έχω τρία σώματα, η βασική πληροφορία για τις μάζες τους είναι αυτή που παίρνω ζυγίζοντας το καθένα χωριστά, ενώ η πρόσθετη είναι αυτή που παίρνω όταν τα ζυγίζω ανά 2 ή ανά 3. Υπάρχουν 3 τρόποι να τα ζυγίσω ανά 2 και ένας να τα ζυγίσω ανά 3. Έχω επομένως 4 τιμές πρόσθετης πληροφορίας. Όταν έχω να ζυγίσω 4 σώματα και τα ζυγίζω με όλους τους δυνατούς τρόπους ανά 1, ανά 2, ανά 3 και ανά 4, έχω 4 τιμές βασικής πληροφορίας και 11 τιμές πρόσθετης πληροφορίας. Για 5 σώματα έχω 5 τιμές βασικής και 26 τιμές πρόσθετης πληροφορίας. Παρατηρώ ότι η πρόσθετη πληροφορία αυξάνει γρήγορα με τον αριθμό των προς ζύγιση σωμάτων. Επομένως, εφαρμόζοντας την ΜΕΤ, αυξάνει γρήγορα και η ακρίβεια στην μέτρηση της μάζας τους ή, γενικά, της προς μέτρηση ποσότητας. Ας μελετήσουμε τώρα την περίπτωση τριών σωμάτων. Οι μετρήσεις των μαζών τους ανά 1, ανά 2 και ανά 3 έστω ότι έδωσαν 4

5 (13) Ας σχηματίσουμε το παρακάτω άθροισμα ελαχίστων τετραγώνων (14) Παραγωγίζοντας διαδοχικά ως προς, και, παίρνουμε τις εξισώσεις (15) Λύνοντας το σύστημα, βρίσκουμε (16) Άρα, η βέλτιστη προσέγγιση των μαζών τριών σωμάτων με την ΜΕΤ είναι: 5

6 (17) Καταλήγουμε, δηλαδή, πάντα στην επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων που το πλήθος των εξισώσεων είναι όσο και ο αριθμός των σωμάτων. Όπως βλέπουμε η πολυπλοκότητα της διαδικασίας αυξάνει όσο αυξάνει ο αριθμός των σωμάτων. Αυξάνει, όμως, και η ακρίβεια του υπολογισμού των μαζών τους ή όποιας άλλης εκτατικής ποσότητας επιθυμούμε (όπως πχ ο όγκος). Φυσικά, αν όλη αυτή η διαδικασία γινόταν μέσω αλγορίθμου, θα είχαμε μόνο να δώσουμε το πλήθος των σωμάτων και τα αποτελέσματα των μετρήσεων ανά ένα, ανά δύο κλπ σώματα. Ο αλγόριθμος θα έκανε τους υπολογισμούς και θα μας έδινε τις τιμές των ποσοτήτων που μας ενδιαφέρουν. Να λοιπόν πως μπορώ να ζυγίσω με ακρίβεια ένα μικρό πετραδάκι από την αυλή: μαζεύω πολλά τέτοια πετραδάκια, έστω n, εφαρμόζω την ΜΕΤ και λύνω ένα σύστημα n εξισώσεων με n αγνώστους. Εκτός από το μικρό πετραδάκι που ξεκίνησα, θα ζυγίσω με ακρίβεια και τα υπόλοιπα n-1. 6

Σχετικά έγγραφα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη