ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο. Μάντεψε το µυστικό κανόνα µου. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο. Μάντεψε το µυστικό κανόνα µου. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο Κριτήρια διαιρετότητας Μάντεψε το µυστικό κανόνα µου Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: 1. Να µάθεις να ξεχωρίζεις ποιοι αριθµοί διαιρούνται µε το 2, το 3, το 5, το 9, το 10 ή το Να βρεις τα κριτήρια µε τα οποία θα ξεχωρίζεις αν ένας αριθµός διαιρείται µε το 2, το 3, το 5, το 9, το 10 ή το 25 (κριτήρια διαιρετότητας). 3. Να λύνεις προβλήµατα χρησιµοποιώντας τα κριτήρια διαιρετότητας. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 59

2 ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ραστηριιότητα 1η Ένα σχολείο έχει 165 κορίτσια και 132 αγόρια. Είναι δυνατό τα κορίτσια να παραταχθούν σε δυάδες, τριάδες ή πεντάδες χωρίς να περισσεύει κανένα; Μπορεί να συµβεί το ίδιο και µε τα αγόρια; Ποια πράξη θα κάνεις για να χωρίσεις τα παιδιά σε δυάδες και να διαπιστώσεις αν χωρίζονται ακριβώς ή αν περισσεύει κανένα;... Κάνε την πράξη για τα κορίτσια:... Κάνε το ίδιο για τα αγόρια:... Κάνε την πράξη για τα κορίτσια σε τριάδες:... Κάνε το ίδιο για τα αγόρια:... Κάνε την πράξη για τα κορίτσια σε πεντάδες:... Κάνε το ίδιο για τα αγόρια:... Μπορείς να βρεις έναν κανόνα για τη διαίρεση ενός αριθµού µε το 5;... Έναν κανόνα για τη διαίρεση ενός αριθµού µε το 2; Έναν κανόνα για τη διαίρεση ενός αριθµού µε το 3; Πώς θα αντιµετωπίσω αποτελεσµατικά τη δραστηριότητα αυτή; 60 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

3 - Βρίσκεις δυσκολίες στη δραστηριότητα αυτή; - Όχι, είναι πολύ εύκολη! Θα προσπαθήσω να βρω σε πόσες οµάδες των 2 των 3 ή των 5 ατόµων µπορώ να χωρίσω τα παιδιά, ώστε κάθε οµάδα να έχει ίσο αριθµό παιδιών. Στο προηγούµενο κεφάλαιο µάθαµε ότι η πράξη που κάνουµε είναι η διαίρεση. Απαντώ στις ερωτήσεις της δραστηριότητας Ποια πράξη θα κάνεις για να χωρίσεις τα παιδιά σε δυάδες και να διαπιστώσεις αν χωρίζονται ακριβώς ή αν περισσεύει κανένα; Θα κάνω διαίρεση του 165 µε το 2 και του 132 µε το 2. Κάνε την πράξη για τα κορίτσια: Η διαίρεση του 165 µε το 2 είναι ατελής. Μας δίνει πηλίκο 82 και υπόλοιπο 1. ηλαδή τα κορίτσια δεν µπορούν να παραταχθούν σε δυάδες, χωρίς να περισσεύει κανένα Κάνε το ίδιο για τα αγόρια: Η διαίρεση του 132 µε το 2 είναι τέλεια. Μας δίνει πηλίκο 66 και υπόλοιπο 0. ηλαδή τα αγόρια µπορούν να παραταχθούν σε 66 δυάδες, χωρίς να περισσεύει κανένα Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 61

4 Κάνε την πράξη για τα κορίτσια σε τριάδες: Η διαίρεση του 165 µε το 3 είναι τέλεια. Μας δίνει πηλίκο 55 και υπόλοιπο 0. ηλαδή τα κορίτσια µπορούν να παραταχθούν σε 55 τριάδες, χωρίς να περισσεύει κανένα Κάνε το ίδιο για τα αγόρια: Η διαίρεση του 132 µε το 3 είναι τέλεια. Μας δίνει πηλίκο 44 και υπόλοιπο 0. ηλαδή τα αγόρια µπορούν να παραταχθούν σε 44 τριάδες, χωρίς να περισσεύει κανένα Κάνε την πράξη για τα κορίτσια σε πεντάδες: Η διαίρεση του 165 µε το 5 είναι τέλεια. Μας δίνει πηλίκο 33 και υπόλοιπο 0. ηλαδή τα κορίτσια µπορούν να παραταχθούν σε 33 τριάδες, χωρίς να περισσεύει κανένα Κάνε το ίδιο για τα αγόρια: Η διαίρεση του 132 µε το 5 δεν είναι τέλεια. Μας δίνει πηλίκο 26 και υπόλοιπο 2. ηλαδή τα αγόρια δεν µπορούν να παραταχθούν σε πεντάδες, χωρίς να περισσεύει κανένα Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

5 Μπορείς να βρεις έναν κανόνα για τη διαίρεση ενός αριθµού µε το 5; Ένας αριθµός διαιρείται µε το 5 όταν τελειώνει σε 0 ή σε 5. Όταν δηλαδή είναι πολλαπλάσιο του 5. π.χ. οι αριθµοί 30, 45, 145, 680, κ.λπ., διαιρούνται µε το 5. Έναν κανόνα για τη διαίρεση ενός αριθµού µε το 2; Ένας αριθµός διαιρείται µε το 2 όταν τελειώνει σε 0, ή σε 2, ή σε 4, ή σε 6, ή σε 8, όταν δηλαδή είναι άρτιος (ζυγός) αριθµός, δηλαδή πολλαπλάσιο του 2. π.χ. οι αριθµοί 30, 42, 164, 686, 1.458, κ.λπ., διαιρούνται µε το 2. Έναν κανόνα για τη διαίρεση ενός αριθµού µε το 3; Ένας αριθµός διαιρείται µε το 3 όταν το άθροισµα των ψηφίων του είναι αριθµός που διαιρείται µε το 3. Όλα τα πολλαπλάσια του 3 διαιρούνται µε το 3. π.χ. οι αριθµοί 30, 42, 201, 165 (κορίτσια) και 132 (αγόρια), διαιρούνται µε το 3, γιατί: = 3 (διαιρείται µε το 3) = 6 (διαιρείται µε το 3) = 3 (διαιρείται µε το 3) = 12 (διαιρείται µε το 3) = 6 (διαιρείται µε το 3) Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 63

6 ραστηριιότητα 2η Στη Γεωργική Σχολή Θεσσαλονίκης συσκευάζουν τα αβγά σε αβγοθήκες 4 θέσεων. Τα αβγά που έχουν να συσκευάσουν σήµερα είναι 104. Μπορούν να συσκευαστούν σε τετράδες χωρίς να περισσέψει κανένα; Μπορεί να βρεθεί κανόνας, ώστε οι υπεύθυνοι να γνωρίζουν αν τα αβγά κάθε ηµέρας συσκευάζονται σε τετράδες ακριβώς; Κάνοντας τη διαίρεση, διαπιστώνετε αν υπάρχει υπόλοιπο. Τα πολλαπλάσια του 104 θα διαιρούνται ακριβώς µε το 4; Γράψτε µερικά από αυτά: Τι κοινό έχουν τα τελευταία ψηφία των αριθµών αυτών; ιατυπώστε έναν κανόνα. Πώς θα αντιµετωπίσω αποτελεσµατικά τη δραστηριότητα αυτή; - Τι θα κάνουµε στη δραστηριότητα αυτή; - Θα εργαστούµε όπως και στην προηγούµενη. Κάνοντας τη διαίρεση του 104 µε το 4 θα δούµε αν µπορούµε να µοιράσουµε τα αβγά σε τετράδες χωρίς να περισσεύει κανένα. Απαντώ στις ερωτήσεις της δραστηριότητας Κάνοντας τη διαίρεση, διαπιστώνετε αν υπάρχει υπόλοιπο. Η διαίρεση του 104 µε το 4 είναι τέλεια. Μας δίνει πηλίκο 26 και υπόλοιπο ηλαδή τα αβγά µπορούν να µπουν σε 26 αβγοθήκες και να µην περισσεύει κανένα. 64 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

7 Τα πολλαπλάσια του 104 θα διαιρούνται ακριβώς µε το 4; - Ποια είναι τα πολλαπλάσια ενός αριθµού; - Είναι όλοι αριθµοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τον αριθµό αυτόν µε το 1, το 2, το 3, το 4, κ.λπ. Για παράδειγµα, τα πολλαπλάσια του 4 είναι οι αριθµοί 4, 8, 12, 16, 20, κ.λπ. Όλα τα πολλαπλάσια του 4 διαιρούνται ακριβώς µε το 4. Εποµένως: Τα πολλαπλάσια του 104 θα διαιρούνται και αυτά µε το 4. Γράψτε µερικά από αυτά: Μερικά πολλαπλάσια του 104 είναι οι αριθµοί: 208 (2 104 = 208) 312 (3 104 = 312) 416 (4 104 = 416) 520 (5 104 = 520) 624 (6 104 = 624) κ.λπ. Τι κοινό έχουν τα τελευταία ψηφία των αριθµών αυτών; Το τελευταίο διψήφιο τµήµα τους διαιρείται ακριβώς µε το 4. Και το 8 και το 12 και το 16 και το 20 και το 24, διαιρούνται ακριβώς µε το 4. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 65

8 ιατυπώστε έναν κανόνα. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 4 αν το τελευταίο διψήφιο τµήµα του διαιρείται µε το 4. Ερώτηση (εκτός βιβλίου) Πότε ένας αριθµός διαιρείται µε το 9; Ένας αριθµός διαιρείται µε το 9 όταν το άθροισµα των ψηφίων του είναι αριθµός που διαιρείται µε το 9. Όλα τα πολλαπλάσια του 9 διαιρούνται µε το 9. Για παράδειγµα: Οι αριθµοί 27, 54, 126, 468, κ.λπ., διαιρούνται µε το 9, γιατί: = 9 (διαιρείται µε το 9) = 9 (διαιρείται µε το 9) = 9 (διαιρείται µε το 9) = 18 (διαιρείται µε το 9) Ερώτηση (εκτός βιβλίου) Πότε ένας αριθµός διαιρείται µε το 25; Ένας αριθµός διαιρείται µε το 25 όταν το τελευταίο διψήφιο τµήµα του διαιρείται ακριβώς µε το 25. Όλα τα πολλαπλάσια του 25 διαιρούνται µε το 25. Για παράδειγµα: 66 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

9 Οι αριθµοί 125, 350, 1.250, , , κ.λπ., διαιρούνται µε το 25, γιατί το τελευταίο διψήφιο τµήµα τους (που είναι συνήθως το 25, το 50 ή το 00), διαιρείται µε το 25. Ερώτηση (εκτός βιβλίου) Πότε ένας αριθµός διαιρείται µε το 10, το 100, το 1000, κ.λπ.; Ένας αριθµός διαιρείται µε το 10 όταν τελειώνει σε ένα µηδενικό. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 100 όταν τελειώνει σε δύο µηδενικά. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 1000 όταν τελειώνει σε τρία µηδενικά, κ.λπ. Για παράδειγµα: Οι αριθµοί 20, 50, 120, 4.650, κ.λπ., διαιρούνται µε το 10. Οι αριθµοί 400, 700, 1.200, 4.600, κ.λπ., διαιρούνται µε το 100. Οι αριθµοί 3.000, , , κ.λπ., διαιρούνται µε το Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 67

10 Τι µάθαµε µέχρι τώρα; Μέχρι τώρα µάθαµε τα εξής κριτήρια διαιρετότητας: Ένας αριθµός διαιρείται µε το 2 όταν τελειώνει σε 0, ή σε 2, ή σε 4, ή σε 6, ή σε 8. Κάθε αριθµός που διαιρείται µε το 2 ονοµάζεται άρτιος ή ζυγός αριθµός. π.χ. οι αριθµοί 30, 42, 164, 686, 1.458, κ.λπ., διαιρούνται µε το 2. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 5 όταν τελειώνει σε 0 ή σε 5. π.χ. οι αριθµοί 30, 45, 145, 680, , κ.λπ., διαιρούνται µε το 5. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 3 όταν το άθροισµα των ψηφίων του είναι αριθµός που διαιρείται µε το 3. π.χ. οι αριθµοί 30, 42, 201, 165, 132, κ.λπ., διαιρούνται µε το 3. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 9 όταν το άθροισµα των ψηφίων του είναι αριθµός που διαιρείται µε το 9. π.χ. οι αριθµοί 27, 54, 126, 468, κ.λπ., διαιρούνται µε το 9. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 4 αν το τελευταίο διψήφιο τµήµα του διαιρείται µε το 4. π.χ. οι αριθµοί 32, 140, 204, 160, 1.032, κ.λπ., διαιρούνται µε το 4. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 25 όταν το τελευταίο διψήφιο τµήµα του διαιρείται ακριβώς µε το 25. π.χ. οι αριθµοί 125, 350, 1.250, , , κ.λπ., διαιρούνται µε το 25. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 10, το 100, το 1000, όταν τελειώνει σε ένα, δύο, τρία,. µηδενικά αντιστοίχως. Για παράδειγµα: Οι αριθµοί 20, 50, 120, 4.650, κ.λπ., διαιρούνται µε το 10. Οι αριθµοί 400, 700, 1.200, 4.600, κ.λπ., διαιρούνται µε το 100. Οι αριθµοί 3.000, , , κ.λπ., διαιρούνται µε το Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

11 Εφαρµογές Εφαρρµµοογγήή 1ηη Οι µαθητές ενός σχολείου είναι περισσότεροι από 283 και λιγότεροι από 293. Είναι δυνατό να παραταχθούν σε τριάδες ή πεντάδες χωρίς να περισσεύει κανένας. Πόσοι είναι; Απαντώ στην εφαρµογή Έχουµε µάθει ότι: Αφού οι µαθητές µπορούν να παραταχθούν σε τριάδες, αυτό σηµαίνει ότι ο αριθµός τους διαιρείται ακριβώς µε το 3. Αφού οι µαθητές µπορούν να παραταχθούν και σε πεντάδες, αυτό σηµαίνει ότι ο αριθµός τους διαιρείται ακριβώς και µε το 5. Εποµένως, για να βρούµε πόσοι είναι οι µαθητές, αρκεί να βρούµε έναν αριθµό ανάµεσα στο 283 και στο 293 (οι µαθητές είναι περισσότεροι από 283 και λιγότεροι από 293) που να διαιρείται ταυτόχρονα και µε το 3 και µε το 5. - Ποιοι αριθµοί είναι ανάµεσα στο 283 και στο 293; - Οι αριθµοί: 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291 και Ποιοι από αυτούς διαιρούνται µε το 5; - Με το 5 διαιρούνται οι αριθµοί 285 και 290 (αφού τελειώνουν σε 0, ή σε 5). - Και ποιος από αυτούς διαιρείται και µε το 3; - Ο αριθµός 285 γιατί το άθροισµα των ψηφίων του είναι: = 15 (που διαιρείται µε το 3). Ο αριθµός 290 δεν διαιρείται µε το 3 ( = 11). - Τι συµπεραίνουµε λοιπόν; Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 69

12 Οι µαθητές του σχολείου είναι 285. Εφαρρµµοογγήή 2ηη Στην παρέλαση τα παιδιά προσπάθησαν να µετρήσουν τα άρµατα. Στο τέλος όµως διαφώνησαν, καθώς άλλοι έλεγαν ότι ήταν 57 και άλλοι 59. Μπορείς να βρεις ποιος έχει δίκιο, αν ξέρεις ότι τα άρµατα περνούσαν σε τριάδες; Απαντώ στην εφαρµογή Έχουµε µάθει ότι: Αφού τα άρµατα περνούσαν σε τριάδες, αυτό σηµαίνει ότι ο αριθµός τους διαιρείται ακριβώς µε το 3. Εποµένως, για να βρούµε πόσα είναι τα άρµατα, αρκεί να βρούµε ποιος από τους αριθµούς 57 και 59 διαιρείται ακριβώς µε το 3. - Ο αριθµός 57 διαιρείται µε το 3; - Ελέγχω: = 12 και απαντώ: Ναι, διαιρείται µε το 3, γιατί το 12 διαιρείται µε το 3 ακριβώς (το 3 χωράει 4 φορές στο 12). - Ο αριθµός 59 διαιρείται µε το 3; - Ελέγχω: = 14 και απαντώ: Όχι, δεν διαιρείται µε το 3, γιατί το 14 δεν διαιρείται µε το 3 ακριβώς. 70 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

13 - Τι συµπεραίνουµε λοιπόν; ίκιο έχουν τα παιδιά που υποστηρίζουν ότι τα άρµατα ήταν 57. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 71

14 Ερωτήσειις γιια αυτοέλεγχο καιι συζήτηση Στο κεφάλαιο αυτό µάθαµε τα κριτήρια διαιρετότητας. Θυµήσου κάθε κριτήριο αναφέροντας ένα δικό σου παράδειγµα για κάθε περίπτωση. : Ένας αριθµός διαιρείται µε το 2 όταν τελειώνει σε 0, ή σε 2, ή σε 4, ή σε 6, ή σε 8. π.χ. Ο αριθµός 456 διαιρείται µε το 2 γιατί τελειώνει σε 6. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 5 όταν τελειώνει σε 0 ή σε 5. π.χ. Ο αριθµός 105 διαιρείται µε το 5 γιατί τελειώνει σε 5. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 3 όταν το άθροισµα των ψηφίων του είναι αριθµός που διαιρείται µε το 3. π.χ. Ο αριθµός 201 διαιρείται µε το 3 γιατί: = 3. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 9 όταν το άθροισµα των ψηφίων του είναι αριθµός που διαιρείται µε το 9. π.χ. Ο αριθµός 729 διαιρείται µε το 9 γιατί: = 18. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 4 αν το τελευταίο διψήφιο τµήµα του διαιρείται µε το 4. π.χ. Ο αριθµός 516 διαιρείται µε το 4, γιατί το τελευταίο διψήφιο τµήµα του είναι το 16 που διαιρείται µε το 4. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 25 όταν το τελευταίο διψήφιο τµήµα του διαιρείται ακριβώς µε το 25. π.χ. Ο αριθµός 850, διαιρείται µε το 25, γιατί το τελευταίο διψήφιο τµήµα του είναι το 50 που διαιρείται µε το 25. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 10, το 100, το 1000, όταν τελειώνει σε ένα, δύο, τρία,. µηδενικά αντιστοίχως. Για παράδειγµα: 72 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

15 Ο αριθµός διαιρείται µε το 10. Ο αριθµός διαιρείται µε το 100. Ο αριθµός διαιρείται µε το Σηµειώστε αν είναι σωστές ή λάθος και συζητήστε τις παρακάτω εκφράσεις: Σωστό Λάθος Ο αριθµός 309 διαιρείται µε το 3 και µε το 9. Όποιος αριθµός διαιρείται ακριβώς µε το 2 είναι ζυγός αριθµός. Μπορώ να πω αν θα έχω υπόλοιπο σε µια διαίρεση µε το 5 χωρίς να κάνω την πράξη. : Η έκφραση «Ο αριθµός 309 διαιρείται µε το 3 και µε το 9» είναι Λάθος. Ο αριθµός 309 διαιρείται µε το 3 (αφού = 12, που διαιρείται µε το 3), αλλά δεν διαιρείται µε το 9 (αφού το 12 δεν διαιρείται µε το 9). Η έκφραση «Όποιος αριθµός διαιρείται ακριβώς µε το 2 είναι ζυγός αριθµός» είναι Σωστή. Η έκφραση «Μπορώ να πω αν θα έχω υπόλοιπο σε µια διαίρεση µε το 5 χωρίς να κάνω την πράξη» είναι Σωστή. Θα ελέγξω αν ο αριθµός τελειώνει σε 0 ή σε 5. Αν δεν τελειώνει, τότε θα έχω υπόλοιπο. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 73

16 Συµπληρώνουµε λοιπόν: Σωστό Λάθος Ο αριθµός 309 διαιρείται µε το 3 και µε το 9. Όποιος αριθµός διαιρείται ακριβώς µε το 2 είναι ζυγός αριθµός. Μπορώ να πω αν θα έχω υπόλοιπο σε µια διαίρεση µε το 5 χωρίς να κάνω την πράξη. 74 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

17 ΤΕΤΡΑ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο ΑΣΚΗΣΗ 1ηη Εξέτασε σύµφωνα µε τα κριτήρια διαιρετότητας τις παρακάτω διαιρέσεις και σηµείωσε ΝΑΙ ή ΟΧΙ σε κάθε στήλη. ιαιρέτης Αριθµοί Γράψε αυτούς που διαιρούνται συγχρόνως µε το 2, το 3 και το 5:... Γράψε αυτούς που διαιρούνται συγχρόνως µε το 4, το 10 και το 25:... Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; - Τι έχεις στην άσκηση αυτή; - Έχω έναν πίνακα µε αριθµούς και πρέπει να εξετάσω αν διαιρούνται µε το 2, το 3, το 4, το 5, το 9, το 10 και το Και πώς θα το εξετάσεις αυτό; Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 75

18 - Θα θυµηθώ τα κριτήρια διαιρετότητας: Ένας αριθµός διαιρείται µε το 2 όταν τελειώνει σε 0, ή σε 2, ή σε 4, ή σε 6, ή σε 8. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 3 όταν το άθροισµα των ψηφίων του είναι αριθµός που διαιρείται µε το 3. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 4 αν το τελευταίο διψήφιο τµήµα του διαιρείται µε το 4. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 5 όταν τελειώνει σε 0 ή σε 5. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 9 όταν το άθροισµα των ψηφίων του είναι αριθµός που διαιρείται µε το 9. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 10, το 100, το 1000, όταν τελειώνει σε ένα, δύο, τρία,. µηδενικά αντιστοίχως. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 25 όταν το τελευταίο διψήφιο τµήµα του διαιρείται ακριβώς µε το 25. Λύση ιαιρείται µε το 2, µε το 5 και το 10 γιατί τελειώνει σε 0. ιαιρείται µε το 3 και το 9, γιατί: = Το τελευταίο διψήφιο τµήµα είναι το 50, άρα διαιρείται µε το 25, αλλά όχι µε το 4. ιαιρείται µε το 5 γιατί τελειώνει σε εν διαιρείται µε το 3 και το 9, γιατί: = 20. Το τελευταίο διψήφιο τµήµα είναι το 45, άρα δεν διαιρείται µε το 4 ή το 25. εν διαιρείται µε το 2 ή το 5. εν διαιρείται µε το 3 ή το 9, γιατί: = εν διαιρείται µε το 4 ή το 25. Το τελευταίο διψήφιο τµήµα είναι το 31. Επίσης δεν διαιρείται µε το Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

19 ιαιρείται µε το 2, µε το 5 και το 10 γιατί τελειώνει σε ιαιρείται µε το 3 και το 9, γιατί: = 18. Το τελευταίο διψήφιο τµήµα είναι το 90, άρα δεν διαιρείται µε το 4 ή το 25 (το 4, όπως και το 25 δεν διαιρούν το 90). ιαιρείται µε το 2, γιατί τελειώνει σε 2. εν διαιρείται µε το 3 και το 9, γιατί: = Το τελευταίο διψήφιο τµήµα είναι το 42, άρα δεν διαιρείται µε το 4 ή το 25 (το 4, όπως και το 25 δεν διαιρούν το 42). ιαιρείται µε το 2, µε το 5 και το 10 γιατί τελειώνει σε 0. ιαιρείται µε το 3 (αλλά όχι µε το 9), γιατί: = Το τελευταίο διψήφιο τµήµα είναι το 10, άρα δεν διαιρείται µε το 4 ή το 25 (το 4, όπως και το 25 δεν διαιρούν το 10). ιαιρείται µε το 2, γιατί τελειώνει σε 4. εν διαιρείται µε το 3 ή το Το τελευταίο διψήφιο τµήµα είναι το 84, άρα διαιρείται µε το 4 αλλά όχι µε το 25 (το 4 διαιρεί το 84 αλλά το 25 δεν το διαιρεί. Οπότε, ο πίνακας συµπληρωµένος θα είναι: Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 77

20 ιαιρέτης Αριθµοί ΝΑΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ ΝΑΙ ΝΑΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ 131 ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΝΑΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ ΝΑΙ ΝΑΙ ΟΧΙ 842 ΝΑΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΝΑΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ Γράψε αυτούς που διαιρούνται συγχρόνως µε το 2, το 3 και το 5: , 4.590, (όπως προκύπτει από τον πίνακα). Γράψε αυτούς που διαιρούνται συγχρόνως µε το 4, το 10 και το 25:... Κανείς δεν διαιρείται (όπως προκύπτει από τον πίνακα). ΑΣΚΗΣΗ 2ηη Γράψε 5 αριθµούς που διαιρούνται µε: Το 2:... Το 3:... Το 4:... Το 5:... Λύση Όταν ένας αριθµός τελειώνει σε 0, 2, 4, 6, ή 8, τότε διαιρείται µε το 2. Τέτοιοι αριθµοί είναι: 78 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

21 82, 116, 3.454, , Όταν ένας αριθµός έχει ψηφία που το άθροισµά τους διαιρείται µε το 3, τότε ο αριθµός αυτός διαιρείται µε το 3. Τέτοιοι αριθµοί είναι: 81, 114, 5.484, , Όταν το τελευταίο διψήφιο τµήµα ενός αριθµού διαιρείται µε το 4, τότε αυτός ο αριθµός διαιρείται µε το 4. Τέτοιοι αριθµοί είναι: 84, 116, 2.000, 3.452, Όταν ένας αριθµός τελειώνει σε 0, ή 5, τότε διαιρείται µε το 5. Τέτοιοι αριθµοί είναι: 85, 110, 5.690, , ΑΣΚΗΣΗ 3ηη Κύκλωσε όσους από τους παρακάτω αριθµούς διαιρούνται ταυτόχρονα µε το 2, το 4 και το 9: Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; Έχουµε µάθει ότι: Ένας αριθµός διαιρείται µε το 2 όταν τελειώνει σε 0, ή σε 2, ή σε 4, ή σε 6, ή σε 8. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 4 αν το τελευταίο διψήφιο τµήµα του διαιρείται µε το 4. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 9 όταν το άθροισµα των ψηφίων του είναι αριθµός που διαιρείται µε το 9. Εποµένως, θα βρω πρώτα αυτούς που διαιρούνται µε το 2 (που είναι πολύ εύκολο). Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 79

22 Στη συνέχεια, θα εξετάσω ποιοι από αυτούς διαιρούνται και µε το 4. Τέλος, θα εξετάσω ποιοι διαιρούνται και µε το 9. Γιατί οι αριθµοί που θα επιλέξω, πρέπει να διαιρούνται ταυτόχρονα και µε το 2 και µε το 4 και µε το 9. Λύση Οι αριθµοί που διαιρούνται µε το 2 (δηλαδή αυτοί που τελειώνουν σε 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8) είναι οι: Από αυτούς, οι αριθµοί που διαιρούνται και µε το 4 (δηλαδή αυτοί που το τελευταίο διψήφιο τµήµα τους διαιρείται µε το 4) είναι οι: Τέλος, από αυτούς, οι αριθµοί που διαιρούνται και µε το 9 (δηλαδή αυτοί που έχουν ψηφία που το άθροισµά τους διαιρείται µε το 9) είναι οι: Κυκλώνουµε λοιπόν µόνο τους αριθµούς και ΠΡΡΟΒΛΗΜΑ 1 ο ο Στο σχολείο µας φοιτούν 153 µαθητές και θα πάρουν όλοι µέρος στην κατάθεση στεφάνου. Πώς είναι δυνατόν να παραταχθούν; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω το πρόβληµα; - Πώς θα λύσεις το πρόβληµα αυτό; - Θα σκεφτώ ότι πρέπει να χωρίσω τους 153 µαθητές σε δυάδες, τριάδες, τετράδες, κ.λπ., έτσι ώστε να µην περισσεύει κανείς. Έχουµε µάθει ότι: 80 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

23 Για να µπορέσουµε να µοιράσουµε έναν αριθµό σε ίσα µέρη, χωρίς να µένει υπόλοιπο, βρίσκουµε τους διαιρέτες του. Εποµένως, για να κάνουµε τους 153 µαθητές οµάδες των δύο, των τριών, των τεσσάρων, κ.λπ., χωρίς να περισσεύει κανένας, πρέπει να βρούµε τους διαιρέτες του 153. Λύση Ποιοι αριθµοί χωρούν ακριβώς στο 153; Ο αριθµός 1 διαιρεί το 153 (αλλά δεν είναι συνηθισµένο να παρατάσσονται οι µαθητές ένας ένας). Ο αριθµός 2 δεν διαιρεί το 153 (δεν τελειώνει σε 0, 2, 4, 6, 8). Ο αριθµός 3 διαιρεί το 153 (άθροισµα ψηφίων: = 9). Κάνουµε τη διαίρεση 153 : 3 = 51, εποµένως: Ο αριθµός 51 διαιρεί το 153. Ο αριθµός 4 δεν διαιρεί το 153 (το τελευταίο διψήφιο τµήµα, το 53, δεν διαιρείται µε το 4). Ο αριθµός 5 δεν διαιρεί το 153 (δεν τελειώνει σε 0 ή 5). Ο αριθµός 9 διαιρεί το 153 (άθροισµα ψηφίων: = 9). Κάνουµε τη διαίρεση 153 : 9 = 17, εποµένως: Ο αριθµός 17 διαιρεί το 153. Τέλος, ο αριθµός 153 διαιρεί το 153. Άρα: Οι διαιρέτες του αριθµού 153 είναι οι αριθµοί: 1, 3, 9, 17, 51 και 153 Όµως δεν συνηθίζεται οι µαθητές να παρατάσσονται ένας ένας ή σε 17άδες, κ.λπ. Εποµένως, συµπεραίνω ότι: Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 81

24 Οι µαθητές µπορούν να παραταχθούν σε τριάδες (τρεις τρεις) ή σε εννιάδες (εννιά εννιά). ΠΡΡΟΒΛΗΜΑ 2 ο ο Αν έχουµε να βάλουµε 355 κιλά κρασιού σε δοχεία των 3 κιλών, θα γεµίσουν όλα τελείως; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω το πρόβληµα; - Ποια είναι τα δεδοµένα στο πρόβληµα αυτό; - Στο πρόβληµα αυτό ξέρουµε πόσα κιλά κρασί έχουµε να µοιράσουµε στα δοχεία των 3 κιλών. - Και ποιο είναι το ζητούµενο στο πρόβληµα αυτό; - Πρέπει να βρούµε αν θα γεµίσουν όλα τα δοχεία τελείως. Με άλλα λόγια πρέπει να βρούµε αν τα 355 κιλά µπορούµε να τα µοιράσουµε ακριβώς σε δοχεία των 3 κιλών. Πρέπει λοιπόν να διαπιστώσουµε αν ο αριθµός 355 διαιρείται ακριβώς µε το 3. Έχουµε όµως µάθει ότι: Ένας αριθµός διαιρείται µε το 3 όταν το άθροισµα των ψηφίων του είναι αριθµός που διαιρείται µε το 3. Λύση Το άθροισµα των ψηφίων του αριθµού 355 είναι: = 13 Ο αριθµός 13 όµως δεν διαιρείται µε το Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

25 εν θα γεµίσουν όλα τα δοχεία. Ερώτηση (εκτός βιβλίου) Πόσα δοχεία θα γεµίσουµε και πόσα κιλά κρασί θα περισσέψει; Κάνουµε τη διαίρεση: Εποµένως θα γεµίσουµε 118 δοχεία των 3 κιλών και θα περισσέψει 1 κιλό κρασί. ΠΡΡΟΒΛΗΜΑ 3 ο ο Έχω µια κλειδαριά που έχει 40 αριθµούς από το 0 έως το 39 και λειτουργεί µε συνδυασµό τριών αριθµών. Για να ξεκλειδώσει πρέπει να ξεκινήσω από το µηδέν, να γυρίσω δεξιά στον πρώτο αριθµό, µετά αριστερά στο δεύτερο και τέλος δεξιά στον τρίτο. Για να θυµάµαι τους αριθµούς µου έχω γράψει πίσω από την κλειδαριά τον εξής µυστικό κανόνα: , δηλαδή: πρώτος αριθµός είναι µονοψήφιος (1) και διαιρείται µε τους αριθµούς 2 και 3. δεύτερος αριθµός είναι διψήφιος (2) και διαιρείται µε τους αριθµούς 2, 3 και 5. τρίτος αριθµός είναι διψήφιος (2) και διαιρείται µε τους αριθµούς 4 και 9. Μπορείς να βρεις τους τρεις αριθµούς του συνδυασµού; Λύση Πρώτος αριθµός µονοψήφιος που διαιρείται µε το 2 και το 3 ταυτόχρονα. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 83

26 - Ποιοι αριθµοί µονοψήφιοι (µε ένα ψηφίο) διαιρούνται µε το 2; - Οι αριθµοί 2, 4, 6 και 8 - Από αυτούς ποιος αριθµός διαιρείται και µε το 3; - Ο αριθµός 6. Βρήκαµε λοιπόν ότι ο πρώτος αριθµός του συνδυασµού είναι το 6. εύτερος αριθµός διψήφιος που διαιρείται µε τους αριθµούς 2, 3 και 5 ταυτόχρονα. - Ποιοι αριθµοί διψήφιοι µέχρι το 39 διαιρούνται µε το 5; - Οι αριθµοί 10, 15, 20, 25, 30 και Από αυτούς ποιοι διαιρούνται µε το 2; - Οι αριθµοί 10, 20 και Και από αυτούς ποιος διαιρείται µε το 3; - Ο αριθµός 30. Βρήκαµε λοιπόν ότι ο δεύτερος αριθµός του συνδυασµού είναι το 30. Τρίτος αριθµός διψήφιος που διαιρείται µε τους αριθµούς 4 και 9 ταυτόχρονα. - Ποιοι αριθµοί διψήφιοι µέχρι το 39 διαιρούνται µε το 4; - Οι αριθµοί 12, 16, 20, 24, 28, 32 και Από αυτούς ποιος διαιρείται µε το 9 (το άθροισµα των ψηφίων του να διαιρείται µε το 9); - Ο αριθµός 36 (3 + 6 = 9). Βρήκαµε λοιπόν ότι ο τρίτος αριθµός του συνδυασµού είναι το 36. Οι τρεις αριθµοί του συνδυασµού της κλειδαριάς είναι οι: 6, 30 και Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

27 ραστηριιότητα µε προεκτάσειις: «Κατασκευή αφίίσας µε τα κριιτήριια διιαιιρετότητας» Σε χαρτί κανσόν διαστάσεων 70x100 εκατοστά γράφουµε τα κριτήρια διαιρετότητας ως εξής: Κάθε οµάδα ετοιµάζει σε ένα χαρτόνι διαστάσεων 50x23 εκατοστά ένα κριτήριο διαιρετότητας. Η οµάδα εκφράζει το κριτήριο µε δικά της λόγια και δίνει τη δική της εικαστική άποψη στην απόδοση του κριτηρίου αυτού. Τα χαρτόνια των οµάδων θα κολληθούν στο µεγάλο χαρτόνι και το σύνολο θα κρεµαστεί στην αίθουσα. Απαντώ στην ερώτηση της δραστηριότητας Πώς κατά τη γνώµη σου θα µπορούσες να κατασκευάσεις ένα χαρτόνι µε ένα κριτήριο διαιρετότητας; Σου δίνουµε ένα δικό µας παράδειγµα το οποίο δεν είναι ανάγκη να το ακολουθήσεις. Προσπάθησε να κατασκευάσεις εσύ ο ίδιος ένα δικό σου. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 85

28 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΤΟΣ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο ΑΣΚΗΣΗ 1ηη Γράψε 5 αριθµούς που διαιρούνται µε: Το 2 και το 3 ταυτόχρονα:... Το 3 και το 4 ταυτόχρονα:... Το 2 και το 5 ταυτόχρονα:... Λύση Όταν ένας αριθµός τελειώνει σε 0, 2, 4, 6, ή 8, τότε διαιρείται µε το 2. Για να διαιρείται και µε το 3, θα πρέπει το άθροισµα των ψηφίων του να είναι αριθµός που διαιρείται µε το 3. Τέτοιοι αριθµοί είναι: 72, 102, 504, 2.070, Όταν ένας αριθµός έχει ψηφία που το άθροισµά τους διαιρείται µε το 3, τότε ο αριθµός αυτός διαιρείται µε το 3. Για να διαιρείται και µε το 4 θα πρέπει το τελευταίο διψήφιο τµήµα του να διαιρείται µε το 4. Τέτοιοι αριθµοί είναι: 804, 216, 48, 1.164, Για να διαιρείται ένας αριθµός µε το 2 και µε το 5 ταυτόχρονα πρέπει να τελειώνει σε 0. Τέτοιοι αριθµοί είναι: 80, 110, 2.000, 3.450, Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

29 ΑΣΚΗΣΗ 2ηη Το κρασί που έβγαλε ο κυρ Γιώργος από το αµπέλι του το έβαλε σε 50 δοχεία των 5 λίτρων και περίσσεψαν και 2 λίτρα. Αν το έβαζε σε δοχεία των 3 λίτρων θα περίσσευε; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω το πρόβληµα; - Ποια είναι τα δεδοµένα στο πρόβληµα αυτό; Τι ξέρουµε; - Στο πρόβληµα αυτό ξέρουµε ότι ο κυρ Γιώργος έβαλε το κρασί σε 50 δοχεία των 5 λίτρων και περίσσεψαν 2 λίτρα. - Και ποιο είναι το ζητούµενο; - Αν έβαζε το κρασί σε δοχεία των 3 λίτρων θα περίσσευε; - Τι θα κάνεις λοιπόν; - Θα βρω πόσα λίτρα ήταν το κρασί. Θα πολλαπλασιάσω το 50 µε το 5 και στο γινόµενο θα προσθέσω το 2. Αυτό που θα βρω θα είναι η συνολική ποσότητα του κρασιού. Στη συνέχεια, θα ελέγξω αν ο αριθµός αυτός διαιρείται ακριβώς µε το 3. Λύση 50 5 = 250 λίτρα = 252 λίτρα ήταν όλο το κρασί. Το 252 διαιρείται µε το 3 (γιατί = 9). : Εποµένως, δεν θα περισσέψει καθόλου κρασί αν το βάλει σε δοχεία των 3 λίτρων. Σηµείωση: Στην περίπτωση αυτή θα χρειαστούν 252 : 3 = 84 δοχεία. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 87

30 ΑΣΚΗΣΗ 3ηη Οι µαθητές ενός σχολείου είναι περισσότεροι από 200 και λιγότεροι από 240. Μπορούν να παρελάσουν σε τετράδες ή πεντάδες χωρίς να περισσεύει κανένας. Πόσοι είναι; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; Έχουµε µάθει ότι: Αφού οι µαθητές µπορούν να παραταχθούν σε τετράδες, αυτό σηµαίνει ότι ο αριθµός τους διαιρείται ακριβώς µε το 4. Αφού οι µαθητές µπορούν να παραταχθούν και σε πεντάδες, αυτό σηµαίνει ότι ο αριθµός τους διαιρείται ακριβώς και µε το 5. Εποµένως, για να βρούµε πόσοι είναι οι µαθητές, αρκεί να βρούµε έναν αριθµό ανάµεσα στο 200 και στο 240 (οι µαθητές είναι περισσότεροι από 200 και λιγότεροι από 240) που να διαιρείται ταυτόχρονα και µε το 4 και µε το 5. Λύση - Οι αριθµοί που είναι ανάµεσα στο 200 και στο 240 και διαιρούνται µε το 5 είναι οι: 205, 210, 215, 220, 225, 230 και Από αυτούς µε το 4 διαιρείται µόνον ο αριθµός 220 (το 20 διαιρείται µε το 4). - Τι συµπεραίνουµε λοιπόν; Οι µαθητές του σχολείου είναι Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 37ο. Παίρνοντας αποφάσεις! Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 37ο. Παίρνοντας αποφάσεις! Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 37ο Λύνω προβλήµατα µε αντιστρόφως ανάλογα ποσά Παίρνοντας αποφάσεις! Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: 1. Να εξασκηθείς στην αναγνώριση δύο ποσών που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. Ασκήσεις και προβλήματα στα κεφάλαια

Ασκήσεις. Ασκήσεις και προβλήματα στα κεφάλαια Ασκήσεις και προβλήματα στα κεφάλαια - Διαιρέτες, ΜΚΔ - Κριτήρια διαιρετότητας - Πρώτοι και σύνθετοι - Παραγοντοποίηση αριθμών - Πολλαπλάσια ΕΚΠ - Δυνάμεις - Δυνάμεις του 10 Οι ασκήσεις είναι προσφορά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 43ο. Από πού έρχοµαι; Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 43ο. Από πού έρχοµαι; Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 43ο Σίγουρα την αρχική τιµή! Λύνω προβλήµατα µε ποσοστά: Βρίσκω την αρχική τιµή Από πού έρχοµαι; Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: Να µάθεις να λύνεις προβλήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 12+ 7 = 19 Οι αριθμοί 12 και 7 ονομάζονται ενώ το 19 ονομάζεται.. 3+5 =, 5+3 =...

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ 1 1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΜΚ ΕΚΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πολλαπλάσια του α : Είναι οι αριθµοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τον α µε όλους τους φυσικούς. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αθανασίου Ανδρέας, Αντωνιάδης Μ., Γιασουµής Ν., Ιωάννου Ι., Ματθαίου Κ., Μουσουλίδου M., Παπαγιάννης Κ., Φιλίππου Α. (2013). Μαθηµατικά Α Γυµνασίου,

Αθανασίου Ανδρέας, Αντωνιάδης Μ., Γιασουµής Ν., Ιωάννου Ι., Ματθαίου Κ., Μουσουλίδου M., Παπαγιάννης Κ., Φιλίππου Α. (2013). Μαθηµατικά Α Γυµνασίου, Αθανασίου Ανδρέας, Αντωνιάδης Μ., Γιασουµής Ν., Ιωάννου Ι., Ματθαίου Κ., Μουσουλίδου M., Παπαγιάννης Κ., Φιλίππου Α. (2013). Μαθηµατικά Α Γυµνασίου, ISBN: 978-9963-0-4611-9) Και Βανδουλάκης Ι., Καλλιγάς

Διαβάστε περισσότερα

Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1 - Οι φυσικοί αριθμοί

Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1 - Οι φυσικοί αριθμοί Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1 - Οι φυσικοί αριθμοί Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρο Α - Κεφάλαιο 1 Α. 1.2. Οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... 98, 99, 100... 1999, 2000, 2001,... ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Κριτήρια διαιρετότητας. Κριτήριο για το 2. Κριτήριο για το 5. Κριτήριο για το 10,100, Θεωρία. Όνομα: Μαθηματικά Κεφάλαιο 11.

Κριτήρια διαιρετότητας. Κριτήριο για το 2. Κριτήριο για το 5. Κριτήριο για το 10,100, Θεωρία. Όνομα: Μαθηματικά Κεφάλαιο 11. Μαθηματικά Κεφάλαιο 11 Κριτήρια διαιρετότητας Όνομα: Ημερομηνία: / / Θεωρία Κριτήρια διαιρετότητας Κριτήρια διαιρετότητας λέγονται οι κανόνες με τους οποίους μπορώ να συμπεράνω χωρίς να κάνω τη διαίρεση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΗΝΩΣΗ. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΗΝΩΣΗ. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Υπενθύµιση Τάξης ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΗΝΩΣΗ Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: Να θυµηθείς πώς αντιµετωπίζουµε προβλήµατα της καθηµερινής µας ζωής µε τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών Οι Φυσικοί Αριθμοί Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί είναι ποσοτικές έννοιες και για να τους γράψουμε χρησιμοποιούμε τα αριθμητικά σύμβολα. Οι αριθμοί μετρούν συγκεκριμένα πράγματα και φανερώνουν το πλήθος της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Οι Έλληνες της διασποράς. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Οι Έλληνες της διασποράς. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Οι αριθµοί µέχρι το 1..000..000..000 Οι Έλληνες της διασποράς Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: Να γράφουµε µεγάλους αριθµούς µε λέξεις, µε ψηφία και µε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ ( 1 ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = 3 + 23 + 19 Β = 8 +13 +45-7 Γ = 3 + 0 Α = 3+23 +19 =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Ορισμός Ευκλείδεια διαίρεση ονομάζεται η πράξη κατά την οποία ένας αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι τα πολλαπλάσια ;

Τι είναι τα πολλαπλάσια ; Μαθηματικά Κεφάλαιο 10 Πολλαπλάσια και διαιρέτες Όνομα: Ημερομηνία: / / Θεωρία Πώς τα βρίσκουμε; Τι είναι τα πολλαπλάσια ; Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού ονομάζονται οι αριθμοί που προκύπτουν όταν τον

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο. Στο εργαστήρι πληροφορικής. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο. Στο εργαστήρι πληροφορικής. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο εκαδικά κλάσµατα δεκαδικοί αριθµοί Στο εργαστήρι πληροφορικής Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: Να διαβάζουµε, να γράφουµε και να συγκρίνουµε δεκαδικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο. Στην ιχθυόσκαλα. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο. Στην ιχθυόσκαλα. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο Υπενθύµιση - Οι αριθµοί µέχρι το 1..000..000 Στην ιχθυόσκαλα Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: Να εκτιµάς το αποτέλεσµα πριν κάνεις την αριθµητική πράξη.

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10: Πολλαπλάσια και διαιρέτες

Κεφάλαιο 10: Πολλαπλάσια και διαιρέτες Ονοματεπώνυμο: «Όνομα» «Επώνυμο» Ημ/νία: Δευτέρα, 19 Νοεμβρίου 018 Κεφάλαιο 10: Πολλαπλάσια και διαιρέτες Διαιρέτες (Δ) ενός ακέραιου αριθμού λέγονται οι ακέραιοι αριθμοί που διαιρούν ακριβώς αυτό τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης; Ποιες είναι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού; Τι ονομάζουμε νιοστή δύναμη του άλφα; Ποια είναι η βάση και ποιος ο εκθέτης; Ποια είναι η προτεραιότητα των πράξεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν.

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ν 1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. 3 Σ Λ. * Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. 3. * Αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 25. Δεκαδικά Κλάσματα - Δεκαδικοί Αριθμοί ΟΛΑ ΟΣΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΡΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 25. Δεκαδικά Κλάσματα - Δεκαδικοί Αριθμοί ΟΛΑ ΟΣΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΡΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 25 Δεκαδικά Κλάσματα - Δεκαδικοί Αριθμοί ΟΛΑ ΟΣΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΡΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Πως μπορούμε να χωρίσουμε Η ακέραια μονάδα μπορεί να χωριστεί σε 10, 100, 1.000 κλπ. ίσα μέρη. 1 = 10

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΟΝΕΜΒΑΣΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑΣ-λύσεις

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΟΝΕΜΒΑΣΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑΣ-λύσεις ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΟΝΕΜΒΑΣΙΑΣ 2016-17 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑΣ-λύσεις Άσκηση 1. Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω ισότητες παριστάνουν Ευκλείδειες διαιρέσεις α) 80 = 9 8 +8 β)

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ. Διαιρετότητα. Πρώτοι αριθμοί

ΒΑΣΙΚΕΣ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ. Διαιρετότητα. Πρώτοι αριθμοί ΟΜΙΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013-14 Mathematics knows no races or geographic boundaries; for mathematics, the cultural world is one country. David Hilbert ΒΑΣΙΚΕΣ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ Διαιρετότητα

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò ÊåöÜëáéï 1 ï Öõóéêïß êáé Äåêáäéêïß áñéèìïß âéâëéïììüèçìá 1: -Öõóéêïß áñéèìïß -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí âéâëéïììüèçìá : -Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôþò -Ç Ýííïéá

Διαβάστε περισσότερα

1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1 1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ταυτότητα Ευκλείδειας διαίρεσης : Για δύο οποιαδήποτε πολυώνυµα (x) και δ(x) µε δ(x) µπορούµε να βρούµε δύο άλλα πολυώνυµα π(x) και υ(x) τέτοια ώστε να ισχύει (x) = δ(x)π(x)

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ & ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΤ & ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΘΕΜ 1. α) Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες. α+0=.. α 1=. α-α=.. α:α=. 0 α=. 0:α=. Το α είναι ένας αριθµός διαφορετικός του 0. β) Στις παρακάτω προτάσεις να

Διαβάστε περισσότερα

2. Ένας μαθητής έγραψε = 9 3 = 27. Συμφωνείτε μαζί του ; Αν όχι γιατί ;

2. Ένας μαθητής έγραψε = 9 3 = 27. Συμφωνείτε μαζί του ; Αν όχι γιατί ; Άλγεβρα κεφάλαιο Α.1 Α.1.2. Οι Φυσικοί Αριθμοί 1. Να γίνουν οι πράξεις : α) 37 (12 5 ) β) 37-12 +5 γ) (37 12) +5. Τι παρατηρείτε; 2. Ένας μαθητής έγραψε 7 +2 3 = 9 3 = 27. Συμφωνείτε μαζί του ; Αν όχι

Διαβάστε περισσότερα

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Πηγή πληροφόρησης: e-selides ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗΣ 1η ΕΝΟΤΗΤΑ (ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ) Δεν μπορώ να βρω το ζητούμενο ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

1+ 1. Α Γυμνασίου. Πρόβλημα 1 ο α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = Β = Α= 9 1 : : 5 = 9 1 : 9 5 = (2 μονάδες)

1+ 1. Α Γυμνασίου. Πρόβλημα 1 ο α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = Β = Α= 9 1 : : 5 = 9 1 : 9 5 = (2 μονάδες) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΡΚΥΡΑΣ 2 ος όροφος Δημοτικού Θεάτρου 400 Κέρκυρα e-mail emekerkyra@dide.ker.sch.gr Greek Mathematical Society Branch of Corfu 2 nd floor Public Theater of Corfu

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Μια πρακτική συμβουλή για τη λύση του σταυρόλεξου:

Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Μια πρακτική συμβουλή για τη λύση του σταυρόλεξου: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Όλα τα κενά τετράγωνα με ροζ χρώμα πρέπει συμπληρωθούν είτε με μονοψήφιους αριθμούς είτε με ένα από τα μαθηματικά σύμβολα: +, -, >,

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού)

Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού) Μιχάλης Λάµπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού) Ερωτήσεις 3 πόντων: 1) Αν όπου είναι κάποιος συγκεκριµένος αριθµός, τότε ο αριθµός αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ

1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ 1 1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση : Είναι µία πράξη, µε την οποία όταν µας δώσουν δύο φυσικούς αριθµούς α και β βρίσκουµε έναν τρίτο αριθµό γ που τον συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

(x) = δ(x) π(x) + υ(x)

(x) = δ(x) π(x) + υ(x) Μάθηµα 12 Κεφάλαιο 4ο: Πολυώνυµα Πολυωνυµικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες: Α. ιαίρεση Πολυωνύµων Β. Σχήµα Horner Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης Αν ( χ), δ ( χ) δύο πολυώνυµα µε δ ( χ) 0 και βαθµούς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Τάξη:ΣΤ Ονοματεπώνυμο:. Σχολείο:.. Η εκτύπωση Η Άννα εκτύπωσε 135 σελίδες στον εκτυπωτή της. Πόσα ψηφία τύπωσε ο εκτυπωτής για την αρίθμηση των σελίδων από το 1 ως το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ενότητα 1: Σύνολα 1. Με τη βοήθεια του πιο κάτω διαγράμματος να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: Ω A 5. 1. B Ω =. 6. 4. 3. 7. 8.. Από το διπλανό διάγραμμα, να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: 3. Δίνεται το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 13 ΔΙΑΙΡΕΣΗ. Αρ2.12 Κατανοούν την προπαίδεια του πολλαπλασιασμού και τη διαίρεση ως αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού.

ΕΝΟΤΗΤΑ 13 ΔΙΑΙΡΕΣΗ. Αρ2.12 Κατανοούν την προπαίδεια του πολλαπλασιασμού και τη διαίρεση ως αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ2.11 Αναπαριστούν καταστάσεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, τέλειας και ατελούς διαίρεσης, χρησιμοποιώντας υλικό όπως κύβους Dienes,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητής = Παρονομαστής

Αριθμητής = Παρονομαστής Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ To κλάσμα κ εκφράζει τα κ μέρη από τα ν ίσα μέρη στα οποία έχει χωριστεί μία ποσότητα ν Αριθμητής = Παρονομαστής Το ν α = 0 = α κ ν = κ ν ονομάζεται κλασματική μονάδα 8 = α α = Άρα

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Η ιδιότητα α+ β = β+ α λέγεται.. 2. Η ιδιότητα α ( β γ) ( ) + + = α+ β + γ λέγεται. 3. Ο αριθμός 0 είναι το..της πρόσθεσης φυσικών αριθμών αφού ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου;

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου; ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου; 2. Τι ξέρετε για το υπόλοιπο που προκύπτει από μια Ευκλείδεια διαίρεση; 3. Τι ονομάζουμε τέλεια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Τεύχος Α. Φύλλα εργασίας. Για παιδιά ΣΤ ΗΜΟΤΙΚΟΥ. Συµπληρωµατικές ασκήσεις & Προβλήµατα Ανάλυση θεωρίας µε ασκήσεις και παραδείγµατα

Μαθηµατικά Τεύχος Α. Φύλλα εργασίας. Για παιδιά ΣΤ ΗΜΟΤΙΚΟΥ. Συµπληρωµατικές ασκήσεις & Προβλήµατα Ανάλυση θεωρίας µε ασκήσεις και παραδείγµατα Παίζω, Σκέφτοµαι, Μαθαίνω Φύλλα εργασίας Μαθηµατικά Τεύχος Α Για παιδιά ΣΤ ΗΜΟΤΙΚΟΥ Συµπληρωµατικές ασκήσεις & Προβλήµατα Ανάλυση θεωρίας µε ασκήσεις και παραδείγµατα 116 σελίδες Περιεχόµενα 1η ενότητα:

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΔΑΜΑΝΤΙΟΣ ΣΧΟΛΗ ΤΑΞΗ Δ ΟΝΟΜΑ α. Αντιμεταθετική ιδιότητα 1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Π Ρ Ο Σ Θ Ε Σ Η Α. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ 8 + 7 = 15 ή 7 + 8 = 15 346 ή 517 ή 82 + 517 + 82 + 346 82 346 517 945 945

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν Επαναληπτικές δοµές Η λογική των επαναληπτικών διαδικασιών εφαρµόζεται όπου µία ακολουθία εντολών εφαρµόζεται σε ένα σύνολο περιπτώσεων που έχουν κάτι κοινό. Όταν ψάχνουµε θέση για να παρκάρουµε κοντά

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ)

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις και δραστηριότητες

Ασκήσεις και δραστηριότητες Ασκήσεις και δραστηριότητες 1. Ποιος είναι ο Ευκλείδης, συγγραφέας των Στοιχείων; Πότε έζησε; Τι γνωρίζουμε γι αυτόν και για το έργο του; Από πού; Να διαβάσεις σχετικά σε μιαν εγκυκλοπαίδεια ή ένα βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα στα Μαθηματικά

Το πρόβλημα στα Μαθηματικά Το πρόβλημα στα Μαθηματικά από το ΣΔΕ Γιαννιτσών Δημήτρης Πολυτίδης (Μαθηματικός) Στα Μαθηματικά το πρόβλημα θα πρέπει να είναι μια κατάσταση η επίλυση της οποίας, από το μαθητή, δεν είναι αυτόματη και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας. Περιεχόμενα. 2.1 Αριθμητικά Συστήματα. Εισαγωγή

Κεφάλαιο 2. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας. Περιεχόμενα. 2.1 Αριθμητικά Συστήματα. Εισαγωγή Κεφάλαιο. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας Περιεχόμενα. Αριθμητικά συστήματα. Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα σε άλλο.3 Πράξεις στο δυαδικό σύστημα.4 Πράξεις στο δεκαεξαδικό σύστημα.5

Διαβάστε περισσότερα

Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2 - Κλάσματα

Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2 - Κλάσματα Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2 - Κλάσματα Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρο Α - Κεφάλαιο 2 Α. 2.1. Όταν ένα μέγεθο ή ένα σύνολο ομοειδών αντικειμένων χωρισθεί σε ν ίσα μέρη, το κάθε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α Τι συμβαίνει όταν η περίοδος δεν ξεκινάει αμέσως μετά το κόμμα όπως συμβαίνει με τον αριθμό 3,4555 και θέλουμε να γραφεί σαν κλάσμα; 345 Υπήρχαν πολλές

Διαβάστε περισσότερα

B. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ

B. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ Τα Mαθηματικά παίζουν κυρίαρχο ρόλο σε όλους τους χώρους της σύγχρονης κοινωνίας. Όλα σχεδόν τα επιτεύγματα της τεχνολογίας και της ε- πιστήμης στηρίζονται στην ανάπτυξη των Μαθηματικών. Αλλά και τα προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Σύστημα αρίθμησης. Τρόπος αναπαράστασης αριθμών Κάθε σύστημα αρίθμησης έχει μία βάση R

Σύστημα αρίθμησης. Τρόπος αναπαράστασης αριθμών Κάθε σύστημα αρίθμησης έχει μία βάση R Συστήματα αρίθμησης Σύστημα αρίθμησης Τρόπος αναπαράστασης αριθμών Κάθε σύστημα αρίθμησης έχει μία βάση R Η βάση δείχνει πόσες μονάδες μιας τάξης φτιάχνουν μια μονάδα της επόμενης τάξης Μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και ασκήσεις στα κλάσματα

Θεωρία και ασκήσεις στα κλάσματα Θεωρία Θεωρία και ασκήσεις στα κλάσματα. Πως λέγονται οι όροι ενός κλάσματος. Ο αριθμός που βρίσκεται πάνω από την γραμμή του κλάσματος λέγεται αριθμητής ενώ ο αριθμός που βρίσκεται κάτω από αυτήν λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Α'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Α'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Α'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος Κεφάλαιο 1o : Οι Φυσικοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 1 Υποενότητα 1.1: Φυσικοί Αριθµοί ιάταξη Φυσικών - Στρογγυλοποίηση Θεµατικές Ενότητες: 1. Φυσικοί Αριθµοί - ιάταξη Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ Ονομ/μο:.... Τμήμα: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ Πώς θα μετρήσουμε την επιφάνεια ενός θρανίου, ενός φύλλου, ή του πουκάμισου που φοράμε; Την έννοια της «επιφάνειας» τη συναντάμε στα αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π.

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π. Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, 1.000 δέντρα κ.λ.π. Εκτός από πλήθος οι αριθμοί αυτοί μπορούν να δηλώσουν και τη θέση

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 1

Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 1 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 1 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1: ΟΓΚΟΣ Εισαγωγή Παρατήρησε τις δύο εικόνες. Σε τι διαφέρουν; Παρατηρείς ότι το δεύτερο αυτοκίνητο έχει περισσότερο χώρο για τις αποσκευές. Μια χαρακτηριστική

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 1

Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 1 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 1 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1: ΟΓΚΟΣ Εισαγωγή Παρατήρησε τις δύο εικόνες. Σε τι διαφέρουν; Παρατηρείς ότι το δεύτερο αυτοκίνητο έχει περισσότερο χώρο για τις αποσκευές. Μια χαρακτηριστική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν ένα μέγεθος ή ένα σύνολο χωριστεί σε ν ίσα μέρη, το κάθε ένα από αυτά ονομάζεται.. και συμβολίζεται : 2. Κάθε τμήμα του μεγέθους ή του συνόλου αντικειμένων,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôþò Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò

Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôþò Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò ÂéâëéïìÜèçìá Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôþò Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò Τι ονοµάζεται µεταβλητή; Γράψτε µε τη βοήθεια µιας µεταβλητής τις εκφράσεις: α. το πενταπλάσιο ενός αριθµού β. το διπλάσιο ενός αριθµού αυξηµένο

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ THE G C SCHOOL OF CAREERS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΚΑΝΟΤΗΤΩΝ ΧΡΟΝΟΣ: 1 ΩΡΑ 3 ΛΕΠΤΑ Το δοκίμιο αυτό αποτελείται από δύο μέρη. Το πρώτο μέρος αποτελείται από 15 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.)

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Ε.Κ.Π. (Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο) Κοινό όταν δύο άτομα έχουν ένα κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ 3 ΚΑΙ 4

ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ 3 ΚΑΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ 3 ΚΑΙ 4 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ1.7 Αναπαριστούν εναδικά κλάσματα ( 1, 1, 1, 1, 1 ) ενός συνόλου ή μιας επιφάνειας, 2 3 4 6 8 χρησιμοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Α) 474,3 : 18,6 = Β) 394,8 : 15 = Γ) 999,4 : 26,3 = ) 28748,96 : 752 = Ε) 5,88 : 0,245 = Ι Α Ι Ρ Ε Σ Ε Ι Σ Ε Κ Α Ι Κ Ω Ν 85,25 : 6,2 = 8 5, 2 5 6, 2 0

Α) 474,3 : 18,6 = Β) 394,8 : 15 = Γ) 999,4 : 26,3 = ) 28748,96 : 752 = Ε) 5,88 : 0,245 = Ι Α Ι Ρ Ε Σ Ε Ι Σ Ε Κ Α Ι Κ Ω Ν 85,25 : 6,2 = 8 5, 2 5 6, 2 0 Ι Α Ι Ρ Ε Σ Ε Ι Σ Ε Κ Α Ι Κ Ω Ν Να λύσετε τις παρακάτω πράξεις σύµφωνα µε τo παράδειγµα : 85,25 : 6,2 = 8 5, 2 5 6, 2 0 8 5 2 ' 5 ' 6 2 0 6 2 0 2 1 3 1 2 5 1 3, 7 5 1 8 6 0 = 4 6 5 0 4 3 4 0 = 3 1 0 0

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΛΛΕΓΙΟ. το ξεκίνηµα των µοντέρνων µαθηµατικών. Οι πρώτες του µελέτες πάνω στη θεωρία των συνόλων χρονολογούνται από το 1879.

ΚΟΛΛΕΓΙΟ. το ξεκίνηµα των µοντέρνων µαθηµατικών. Οι πρώτες του µελέτες πάνω στη θεωρία των συνόλων χρονολογούνται από το 1879. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ 1. ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Θεωρία Συνόλων Τα σύνολα είναι οµάδες στοιχείων, διαφορετικά µεταξύ τους, τα οποία έχουν κάποιες συγκεκριµένες κοινές ιδιότητες και οι οποίες είναι καλά ορισµένες.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΤΑ ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Γ ΤΑΞΗ) ΟΝΟΜΑ:. (ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΤΟΥΣ ΔΕΚΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ) ΤΑ ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΑΤΕ ΝΑ ΣΚΕΦΤΟΥΜΕ ΜΑΖΙ: Υπάρχουν άραγε αριθμοί ανάμεσα στο 0 και

Διαβάστε περισσότερα

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης.

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. Τα κόκκινα κομμάτια αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 234 Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Απαντήσεις στις ερωτήσεις «Σωστό - Λάθος» 1. Λ 17. Σ 32. Σ 47. Σ 62. Σ 2. Σ 18. Σ 33. Λ 48. Λ 63. Σ 3. Λ 19. Λ 34. Σ 49. Σ 64. Λ 4.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΑΡΙΘΜΟΙ. Υπολογισμοί και εκτίμηση

ΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΑΡΙΘΜΟΙ. Υπολογισμοί και εκτίμηση ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ2.11 Αναπαριστούν καταστάσεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, τέλειας και ατελούς διαίρεσης, χρησιμοποιώντας υλικό όπως κύβους Dienes,

Διαβάστε περισσότερα

1.Παρατηρώντας τις παρακάτω εικόνες, αντιστοίχισε ποιες εκφράζουν

1.Παρατηρώντας τις παρακάτω εικόνες, αντιστοίχισε ποιες εκφράζουν 1.Παρατηρώντας τις παρακάτω εικόνες, αντιστοίχισε ποιες εκφράζουν φυσικά μεγέθη και ποιες μη μετρήσιμα φυσικά μεγέθη και συμπλήρωσε τον παρακάτω πίνακα: α). β). γ). δ). ε). στ). ζ). η). θ). Εικόνες Φυσικά

Διαβάστε περισσότερα

ονομασία αριθμός ψηφίων αριθμοί έχουν 1 ψηφίο έχουν 2 ψηφία έχουν 3 ψηφία έχουν 4 ψηφία...

ονομασία αριθμός ψηφίων αριθμοί έχουν 1 ψηφίο έχουν 2 ψηφία έχουν 3 ψηφία έχουν 4 ψηφία... Μαθηματικά Κεφάλαιο 1 Φυσικοί αριθμοί Όνομα: Ημερομηνία: / / Θεωρία Φυσικός αριθμός είναι οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να γραφεί μόνο με τη βοήθεια των ψηφίων 0,1,2,3,4,5,6,7,8 και 9. Οι αριθμοί 0,1,2,3,,9,10,11,,100,101,,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι: μονάδα, δεκάδα και εκατοντάδα

Τι είναι: μονάδα, δεκάδα και εκατοντάδα Α ΠΕΡΙΟ ΟΣ - ΕΝΟΤΗΤΑ 1 η Κεφάλαιο 1ο Παιχνίδια στην κατασκήνωση Υπενθύμιση τάξης Τι είναι: μονάδα, δεκάδα και εκατοντάδα Τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 αντιστοιχούν στις μονάδες, λέμε δηλαδή ανήκουν

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

1.4 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ Ισότητα Ευκλείδειας διαίρεσης : Αν, δ φυσικοί αριθµοί µε δ 0, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθµοί π και υ έτσι ώστε να ισχύει = δ π + υ όπου υ < δ Η διαίρεση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ. Γράφω καλά. στο τεστ των. Μαθηματικών

ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ. Γράφω καλά. στο τεστ των. Μαθηματικών ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ Γράφω καλά στο τεστ των Μαθηματικών E, ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Ανακεφαλαίωση της θεωρίας με πίνακες και παραδείγματα Διαγωνίσματα Αναλυτικές απαντήσεις με έμφαση στα δύσκολα

Διαβάστε περισσότερα

Ποιος νοµίζετε ότι θα είναι ο αριθµός των διαγωνίων ενός πολυγώνου µε ν πλευρές; Να αποδειχθεί η σχέση που συµπεράνατε µε µαθηµατική επαγωγή.

Ποιος νοµίζετε ότι θα είναι ο αριθµός των διαγωνίων ενός πολυγώνου µε ν πλευρές; Να αποδειχθεί η σχέση που συµπεράνατε µε µαθηµατική επαγωγή. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Παρατηρούµε ότι: 1 11 ( + = 1 ) 1+ = ( + 1) 1 3 33 ( + + + = 1 ) Ποιο νοµίζετε ότι θα είναι το άθροισµα 1 + + 3 +... + ν; Αποδείξτε την ισότητα που συµπεράνατε µε επαγωγή.. * Μετράµε

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι: μονάδα, δεκάδα και εκατοντάδα

Τι είναι: μονάδα, δεκάδα και εκατοντάδα Α ΠΕΡΙΟ ΟΣ - ΕΝΟΤΗΤΑ 1 η Κεφάλαιο 1ο Παιχνίδια στην κατασκήνωση Υπενθύμιση τάξης Τι είναι: μονάδα, δεκάδα και εκατοντάδα Τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 αντιστοιχούν στις μονάδες, λέμε δηλαδή ανήκουν

Διαβάστε περισσότερα