Εφαρμογές αλυσίδων και μονοπατιών Euler
|
|
- Φῆλιξ Λιακόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Εφαρμογές αλυσίδων και μονοπατιών Euler
2 Ορισμοί και βασικά θεωρήματα Μια αλυσίδα (chain) σε ένα γράφημα G λέγεται αλυσίδα Euler αν χρησιμοποιεί κάθε ακμή του G ακριβώς μία φορά Ένα μονοπάτι (path) σε ένα κατευθυνόμενο γράφημα D λέγεται μονοπάτι Euler αν χρησιμοποιεί κάθε τόξο του D ακριβώς μία φορά Οι αλυσίδες Euler προέκυψαν από το πρόβλημα γεφυρών στο Königsberg Μπορούσαν οι άνθρωποι στην πόλη Königsberg να διασχίσουν μια σειρά από γέφυρες περνώντας από κάθε μία ακριβώς μία φορά και να επιστρέψουν στο σημείο από όπου ξεκίνησαν; Ο Euler απέδειξε ότι κάτι τέτοιο δεν ήταν δυνατό και εν τω μεταξύ ανέπτυξε τεχνικές πολύ σημαντικές για τη θεωρία γραφημάτων Πλέον, οι ιδέες των αλυσίδων και μονοπατιών Euler βρίσκουν εφαρμογές σε προβλήματα όπως δρομολόγηση (routing) σάρωσης οδών (street sweeping) και εκχιονιστικών μηχανημάτων, διαλεύκανση γενετικών πληροφοριών σχεδιασμός τηλεπικοινωνιακών συστημάτων
3 Ορισμοί και βασικά θεωρήματα Πολυγραφήματα (multigraphs): επιτρέπονται πολλαπλές ακμές μεταξύ των κορυφών τους καθώς και ανακυκλώσεις Κατευθυνόμενα πολυγραφήματα (multidigraphs): επιτρέπονται πολλαπλά τόξα μεταξύ των κορυφών τους καθώς και ανακυκλώσεις Αν πολυγράφημα περιέχει κλειστή αλυσίδα Euler πρέπει να είναι συνεκτικό Επειδή μια αλυσίδα Euler πρέπειναεξέρχεταιαπόκάθε κορυφή στην οποία εισέρχεται κάθε κορυφή πρέπει να έχει άρτιο βαθμό Βαθμός κορυφής: πλήθος προσκείμενων ακμών
4 Ορισμοί και βασικά θεωρήματα Ένα πολυγράφημα G περιέχει κλειστή αλυσίδα Euler αν και μόνον αν είναι συνεκτικό και κάθε κορυφή του έχει άρτιο βαθμό ΑΠΟΔΕΙΞΗ [Harary (1969)] Μια κλειστή αλυσίδα Euler είναι: a, b, c, b, c, d, a, e, d, f, a
5 Ορισμοί και βασικά θεωρήματα Ένα πολυγράφημα G περιέχει αλυσίδα Euler ανκαιμόνονανείναι συνεκτικό και το πλήθος κορυφών περιττού βαθμού είναι 0 ή 2 Στο σχήμα υπάρχει αλυσίδα Euler a, b, c, d, a, c, d αλλά δεν υπάρχει κλειστή αλυσίδα Euler αφού οι κορυφές a και d έχουν περιττό βαθμό
6 Ορισμοί και βασικά θεωρήματα Αν D κατευθυνόμενο πολυγράφημα Έξω βαθμός (outdegree) μιας κορυφής od: πλήθος εξερχόμενων τόξων Έσω βαθμός (indegree) μιας κορυφής id: πλήθος εισερχόμενων τόξων Αν ένα κατευθυνόμενο πολυγράφημα περιέχει κλειστό μονοπάτι Euler πρέπει να είναι ασθενώς συνεκτικό δηλ., να είναι συνεκτικό αν αγνοήσουμε την κατεύθυνση στις ακμές [Good (1947)] Ένα κατευθυνόμενο πολυγράφημα D περιέχει κλειστό μονοπάτι Euler αν και μόνον αν είναι ασθενώς συνεκτικό και για κάθε κορυφή του ο έξω βαθμός ισούται με τον έσω βαθμό [Good (1947)] Ένα κατευθυνόμενο πολυγράφημα D περιέχει κλειστό μονοπάτι Euler αν και μόνον αν είναι ασθενώς συνεκτικό γιαόλεςτιςκορυφέςεκτόςίσωςαπό2 ο έσω βαθμός ισούται με τον έξω βαθμό για το πολύ 2 κορυφές ο έσω βαθμός και ο έξω βαθμός διαφέρουν κατά 1
7 Ορισμοί και βασικά θεωρήματα Το πρώτο πολυγράφημα δεν περιέχει μονοπάτι Euler αφού υπάρχουν κορυφές που indegree και outdegree διαφέρουν κατά 2 Το δεύτερο πολυγράφημα δεν περιέχει μονοπάτι Euler γιατί υπάρχουν 4 κορυφές όπου indegree και outdegree διαφέρουν κατά 1
8 Ορισμοί και βασικά θεωρήματα Επειδή το άθροισμα των indegrees ισούται με το άθροισμα των outdegrees αν υπάρχει 1 ιδιάζουσα κορυφή θα υπάρχουν 2 Η μία θα έχει id = od + 1 Η άλλη θα έχει id = od 1 Τα προηγούμενα συμπεράσματα ισχύουν και όταν υπάρχουν ανακυκλώσεις (loops) Μια ανακύκλωση (loop) συνεισφέρει 1 και στο indegree και στο outdegree ιας κορυφής οι ανακυκλώσεις δεν παίζουν ρόλο στην ύπαρξη αλυσίδων, μονοπατιών, κλειστών αλυσίδων και κλειστών μονοπατιών Euler
9 Το πρόβλημα μεταφοράς The transportation problem Το πρόβλημα ανακύπτει σε διάφορες εφαρμογές και καλείται: Το πρόβλημα μεταφοράς the transportation problem Υποθέτουμε ότι υπάρχει συγκεκριμένος αριθμός αποθηκών και συγκεκριμένος αριθμός αγορών a ij : κόστος για μεταφορά μιας μονάδας ενός προϊόντος από την αποθήκη i στην αγορά j Έστω x i ο αριθμός των μονάδων του προϊόντος στην αποθήκη i και y j ο αριθμός των μονάδων του προϊόντος που χρειάζεται η αγορά j Ποιο απόθεμα σε κάθε αποθήκη πρέπει να μεταφερθεί σε κάθε αγορά ώστε να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος μεταφοράς; Είναι πολυμελετημένο πρόβλημα και υπάρχουν πολύ σχετικοί πρακτικοί αλγόριθμοι Hillier & Lieberman (1974) Wagner (1975) Θα δούμε πώς χρησιμοποιούμε αλγόριθμους για το transportation problem για να βρίσκουμε συγκεκριμένα είδη κλειστών μονοπατιών Euler
10 Οδοκαθαρισμός Οι δήμοι ξοδεύουν μεγάλα ποσά για οδοκαθαρισμό, εκχιονισμό κτλ Πώς η έννοια των κλειστών μονοπατιών Euler συμμετέχει στον καθορισμό βέλτιστων διαδρομών για οδοκαθαρισμό ή εκχιονισμό; Tucker& Bodin (1976) Liebling (1970)
11 Οδοκαθαρισμός curb multidigraph: πολυγράφημα που αντιστοιχεί στους δρόμους μιας πόλης Κορυφές: γωνίες οδών Τόξα: κράσπεδα πεζοδρομίων (curbs) Υπάρχει τόξο από τη γωνία x στη γωνία y αν υπάρχει κράσπεδο πεζοδρομίου από τη x στην y Κατασκευάζουμε πολυγράφημα επειδή σε έναν μονόδρομο υπάρχουν 2 κράσπεδα πεζοδρομίου που μπορούν να καθαριστούν διασχίζοντας την οδό στην ίδια κατεύθυνση Κάθε τόξο του πολυγραφήματος συσχετίζεται με 2 αριθμούς: sweeping time: δηλώνει το χρόνο που απαιτείται για τον καθαρισμό του συγκεκριμένου κράσπεδου deadheading time: δηλώνει το χρόνο που απαιτείται για τη διάσχιση του κράσπεδου χωρίς την εκτέλεση καθαρισμού
12 Οδοκαθαρισμός Σε μεγάλες πόλεις κατά τη διάρκεια της ημέρας απαγορεύεται η στάθμευση σε συγκεκριμένα κράσπεδα πεζοδρομίων για να μπορεί να εκτελεστεί οδοκαθαρισμός sweep subgraph: το υπογράφημα (κατευθυνόμενο υπογράφημα) του curb multidigraph που ορίζουν τα κράσπεδα που είναι άδεια σε κάποια χρονική Ενδιαφέρουσα ερώτηση: πώς να επιλέγουμε αυτά τα υπογραφήματα για εξοικονόμηση κόστους οδοκαθαρισμού; Ζητούμενο: να βρούμε τρόπο να καθαριστεί κάθε κράσπεδο στο sweep subgraph και να ολοκληρωθεί η διαδικασία στο λιγότερο δυνατό χρόνο Ταοχήματαξεκινούναπόκάποιονχώροστάθμευσηςκαιεπιστρέφουνεκεί αναζητούμε κλειστό μονοπάτι στο curb multidigraph Ο χρόνος που σχετίζεται με αυτό το μονοπάτι είναι το άθροισμα των χρόνων καθαρισμού (sweeping times) πάνω στα τόξα συν το άθροισμα των χρόνων διάσχισης (deadheading times) ακμών που δεν καθαρίζονται Αν ένα τόξο χρησιμοποιείται πολλές φορές υποθέτουμε ότι καθαρίζεται την πρώτη από αυτές (αν καθαρίζεται) και μετά χρησιμοποιείται ο χρόνος διάσχισης (deadheading time)
13 curb multidigraph Κανονικές γραμμές: sweep subgraph sweeping times: σε κυκλάκια deadheading times: σε τετραγωνάκια Φαίνονταιοιβαθμοίτωνκορυφώνστο sweep subgraph και το transportation problem Η λύση του συνίσταται στον εντοπισμό ενός βέλτιστου μονοπατιού Euler Οδοκαθαρισμός
14 Οδοκαθαρισμός Αν υπάρχει κλειστό μονοπάτι Euler στο sweep subgraph τότε αυτό το κλειστό μονοπάτι πρέπει να αποτελεί βέλτιστη λύση Τι γίνεται αν δεν υπάρχει τέτοιο μονοπάτι; Στο προηγούμενο παράδειγμα υπάρχουν 4 κορυφές όπου indegrees και outdegrees δεν είναι ίσοι στο sweep subgraph δεν υπάρχει κλειστό μονοπάτι Euler
15 Οδοκαθαρισμός Φανταζόμαστε ότι κάθε κλειστό μονοπάτι στο curb multidigraph που χρησιμοποιεί κάθε ακμή του sweep subgraph τουλάχιστον 1 φορά παράγεται από το sweep subgraph με πρόσθεση τόξων ώστε να πετύχουμε κατευθυνόμενο πολυγράφημα με κλειστό μονοπάτι Euler Τα τόξα που προσθέτουμε μπορεί να είναι: τόξα του curb multidigraph που δεν περιέχονται στο sweep subgraph ή τόξα στο sweep subgraph που ξαναχρησιμοποιούνται Τα τόξα μπορούν να χρησιμοποιηθούν παραπάνω από 1 φορά
16 Παράδειγμα Ένα κατευθυνόμενο πολυγράφημα με ένα κλειστό μονοπάτι Euler που κατασκευάζεται με την πρόσθεση των διακεκομμένων τόξων στο sweep subgraph Το κλειστό μονοπάτι f, e, b, a, f, e, d, c, d, c, b, a, f είναι κλειστό μονοπάτι Euler στο κατευθυνόμενο πολυγράφημα Τα τόξα που προστέθηκαν (deadheading arcs) φαίνονται διακεκομμένα Προσθέτουμε τόξα στο sweep subgraph ώστε στο κατευθυνόμενο πολυγράφημα που προκύπτει κάθε κορυφή να έχει ίσο outdegree και indegree το άθροισμα των deadheading times στατόξαναελαχιστοποιείται
17 Οδοκαθαρισμός [Tucker & Bodin (1976)] προτείνουν την εξής λύση Έστω d(i) = outdegree της κορυφής i στο sweep subgraph indegree της κορυφής i στο sweep subgraph Διατυπώνουμε το transportation problem ως εξής: Αποθήκες = κορυφές του sweep subgraph με αρνητικό d(i) Αγορές = κορυφές του sweep subgraph με θετικό d(i) Η ποσότητα x i του προϊόντος στην αποθήκη i είναι d(i) Η ποσότητα y j του προϊόντος για την αγορά j είναι d(j) Το κόστος μεταφοράς a ij είναι το μήκος του συντομότερου μονοπατιού στο curb multidigraph από την i στην j Μήκος μονοπατιού = άθροισμα των deadheading times στο μονοπάτι Τα deadheading τόξα που πρέπει να προστεθούν για να επιτύχουμε βέλτιστη διαδρομή οδοκαθαρισμού αντιστοιχούν στη λύση του προβλήματος μεταφοράς Αν b ij μονάδες προϊόντος μεταφέρονται από την i στη j στη λύση τότε το συντομότερο μονοπάτι από την i στην j περιέχεται b ij φορές
18 Δίνονται οι βαθμοί d(i), ο πίνακας (aij) καιοιποσότητεςx i και y j Μια βέλτιστη λύση είναι να στείλουμε 1 μονάδα προϊόντος από τη b στη c, από τη d στην eκαι από τη d στη c Τα αντίστοιχα συντομότερα μονοπάτια είναι: b, c, d, e και d, e, b, c Οδοκαθαρισμός
19 Δίνονται οι βαθμοί d(i), ο πίνακας (aij) καιοιποσότητεςx i και y j Μια βέλτιστη λύση είναι να στείλουμε 1 μονάδα προϊόντος από τη b στη c, από τη d στην eκαι από τη d στη c Τα αντίστοιχα συντομότερα μονοπάτια είναι: b, c, d, e και d, e, b, c Προσθέτουμε κάθε μονοπάτι 1 φορά και παίρνουμε το διπλανό πολυγράφημα με deadheading τόξα τα διακεκομμένα Ένα κλειστό μονοπάτι Euler είναι το a, f, e, d, e, b, c, b, c, d, e, b, a Το άθροισμα των deadheading times είναι 10 (< 24 στη διαφάνεια 16) Οδοκαθαρισμός
20 Αλυσίδες RNA Το DNA είναι το βασικό δομικό block κληρονομικότητας Το DNA είναι μια αλυσίδα που αποτελείται από βάσεις που είναι 1 από 4 χημικές ενώσεις: Θυμίνη Thymine (T) Κυτοσίνη Cytosine (C) Αδενίνη Adenine (A) Γουανίνη Guanine (G) Το RNA είναι ένα μόριο αγγελιοφόρος του οποίου οι σύνδεσμοι καθορίζονται από το DNA Οι πιθανές βάσεις είναι οι ίδιες εκτός από τη Θυμίνη που αντικαθίσταται με την Ουρακίλη Uracil (U Μια ακολουθία βάσεων κωδικοποιεί συγκεκριμένη γενετική πληροφορία
21 Αλυσίδες RNA Ποιος είναι ο αριθμός των πιθανών αλυσίδων RNA με συγκεκριμένη σύσταση; Π.χ., ποιος είναι ο αριθμός αλυσίδων RNA που περιέχουν 3 C, 2 U και 2 A; Έχουμε 7 θέσεις Διαλέγουμε 3 από αυτές για τα C με C(7,3)=7!/3!*4!=35 τρόπους Διαλέγουμε 2 από τις 4 θέσεις που μένουν για τα U με C(4,2)=4!/2!*2!=6 τρόπους Χρησιμοποιούμε τις 2 θέσεις που μένουν για τα A συνολικά προκύπτουν 35*6=210 πιθανές αλυσίδες RNA με 3 C, 2 U και 2 A Μια τέτοια αλυσίδα είναι η CUACUAC Γενικά, ο αριθμός των αλυσίδων RNA με k 1 C, k 2 U, k 3 A και k 4 G είναι: (k 1 +k 2 +k 3 +k 4 )!/k 1!k 2!k 3!k 4!
22 Αλυσίδες RNA Μπορούμε να μάθουμε καλύτερα πώς είναι μια αλυσίδα RNA μελετώντας το πώς σπάει η αλυσίδα μετα την εφαρμογή συγκεκριμένων ενζύμων [Mosimann (1968), Hutchinson (1969)] κάποιαένζυμασπάνεμιααλυσίδα RNA μετά από κάθε σύνδεσμο G και άλλα σπάνε την αλυσίδα μετά από κάθε σύνδεσμο U και μετά από κάθε σύνδεσμο C Π.χ., φανταστείτε την αλυσίδα RNA GAUGGACC Υπάρχουν άλλες 8!/(2!1!2!3!)= 1680 αλυσίδες με την ίδια σύσταση Εφαρμόζοντας τις 2 προηγούμενες κατηγορίες ενζύμων η αλυσίδα σπάει Μετά από κάθε σύνδεσμο G: G AUG G ACC» Πόσες αλυσίδες RNA υπάρχουν με τα συγκεκριμένα τμήματα αν δεν γνωρίζουμε τη σειρά εμφάνισής τους;» 4!/2!=12» Προσοχή: το τμήμα ACC μπορεί να είναι μόνο τελευταίο υπάρχουν μόνο 3!/2! = 3 αλυσίδες με τα συγκεκριμένα συστατικά: GAUGGACC, GGAUGACC, AUGGGACC Μετά από κάθε σύνδεσμο U και μετά από κάθε σύνδεσμο C: GAU GGAC C» Πόσες αλυσίδες RNA υπάρχουν με τα συγκεκριμένα τμήματα αν δεν γνωρίζουμε τη σειρά εμφάνισής τους;» 3!=6
23 Αλυσίδες RNA Επειδή γνωρίζουμε τα U,C τμήματα και τα G τμήματα μειώνεται πολύ ο αριθμός των πιθανών αλυσίδων G τμήματα: G, AUG, G, ACC U,C τμήματα: GAU, GGAC, C Από τις 3 πιθανές αλυσίδες που εντοπίσαμε ότι περιέχουν τα κατάλληλα G τμήματα, μόνον η GAUGGACC περιέχει τα κατάλληλα U,C τμήματα Η GGAUGACC περιέχει το GGAU σαν U,C τμήμα Η AUGGGACC περιέχει το AU σαν U,C τμήμα Αλλά κανένα από αυτά δεν εμφανίζεται μεταξύ των δοσμένων U,C τμημάτων Επομένως, ανακαλύψαμε τη σωστή αλυσίδα RNA από 1680 πιθανές αλυσίδες με συγκεκριμένη σύσταση εφαρμόζοντας κατάλληλα ένζυμα Θα δούμε πώς να εκτελέσουμε την παραπάνω διαδικασία χρησιμοποιώντας κλειστά μονοπάτια Euler σε συγκεκριμένο κατευθυνόμενο πολυγράφημα
24 Αλυσίδες RNA Υποθέστε ότι μετά την εφαρμογή ενζύμων G και U,C εντοπίζουμε τα εξής τμήματα: G: AUCG, G, CCG, AG, UAC U,C: C, C, C, GAU, GGAGU, AC Σπάμε κάθε τμήμα σε ακόμα μικρότερα μετά από κάθε G, U ή C Π.χ., το τμήμα AUCG χωρίζεται σε AU C G Κάθε τμήμα από αυτά καλείται εκτεταμένη βάση (extended base) Κάθε τμήμα από αυτά εκτός από το πρώτο και το τελευταίο καλείται εσωτερική εκτεταμένη βάση (interior extended base) Πώς ανακαλύπτουμε την αρχή και το τέλος της αλυσίδας; Φτιάχνουμε 2 λίστες Λίστα 1: περιέχει όλες τις εσωτερικές εκτεταμένες βάσεις από όλα τα τμήματα που προκύπτουν από την εφαρμογή και των 2 τύπων ενζύμων» Interior extended bases: C, C, G, AG Λίστα 2: περιέχει όλα τα τμήματα που περιέχουν μία εκτεταμένη βάση» G, AG, C, C, C, AC
25 Αλυσίδες RNA Οι δύο τελευταίες εσωτερικές εκτεταμένες βάσεις προέρχονται από το τμήμα GGAGU Συγκρίνοντας τις 2 λίστες παρατηρούμε ότι υπάρχουν 2 βάσεις στη Λίστα 2 που δεν υπάρχουν στη Λίστα 1: C, AC Αυτό θα συμβαίνει πάντα Επιπλέον, εύκολα αποδεικνύεται ότι μία από αυτές θα είναι η πρώτη εκτεταμένη βάση της αλυσίδας RNA και η άλλη θα είναι η τελευταία Πώς καταλαβαίνουμε ποια είναι η τελευταία; Αυτή που προέρχεται από κάποιο ανώμαλο τμήμα η τελευταία εκτεταμένη βάση ενός G τμήματος που δεν καταλήγει σε G ή ενός U,C τμήματος που δεν καταλήγει σε U ή C Στο παράδειγμα: η AC είναι η τελευταία εκτεταμένη βάση του ανώμαλου G τμήματος UAC ηαλυσίδαξεκινάειμεc και καταλήγει με AC
26 Αλυσίδες RNA Φτιάχνουμε τώρα ένα κατευθυνόμενο πολυγράφημα ως εξής: Όταν υπάρχει κανονικό τμήμα με περισσότερες από μία εκτεταμένες βάσεις χρησιμοποιούμε την πρώτη και την τελευταία εκτεταμένη βάση του τμήματος σαν κορυφές προσθέτουμε τόξο από την πρώτη στην τελευταία εκτεταμένη βάση Επιγράφουμε το τόξο με το όνομα του αντίστοιχου τμήματος
27 Αλυσίδες RNA Φτιάχνουμε τώρα ένα κατευθυνόμενο πολυγράφημα ως εξής: Όταν υπάρχει κανονικό τμήμα με περισσότερες από μία εκτεταμένες βάσεις χρησιμοποιούμε την πρώτη και την τελευταία εκτεταμένη βάση του τμήματος σαν κορυφές προσθέτουμε τόξο από την πρώτη στην τελευταία εκτεταμένη βάση Επιγράφουμε το τόξο με το όνομα του αντίστοιχου τμήματος Προσθέσαμε τόξο από την AU στη G με επιγραφή το όνομα του αντίστοιχου τμήματος AUCG Μπορεί να υπάρχουν πολλαπλά τόξα από κάποια εκτεταμένη βάση σε κάποια άλλη αν υπάρχουν αρκετά τμήματα που ξεκινάνε και καταλήγουν με τις δοσμένες εκτεταμένες βάσεις Π.χ., αν υπήρχαν τμήματα AUCG και AUAUG θα προσθέταμε 2 τόξα από την κορυφή AU προς την κορυφή G και θα επιγράφαμε το καθένα με το όνομα του αντίστοιχου τμήματος Τέλος, προσθέτουμε ένα τελευταίο τόξο στο κατευθυνόμενο πολυγράφημα: εντοπίζουμε το μεγαλύτερο ανώμαλο τμήμα και προσθέτουμε τόξο από την πρώτη εκτεταμένη βάση του στην πρώτηεκτεταμένηβάσητηςαλυσίδας Στο παράδειγμα: το μεγαλύτερο ανώμαλο τμήμα είναι το UAC προσθέτουμε τόξο από τη U στη C Επιγράφουμε το τόξο αυτό ως: X* Y, όπου X είναι το μεγαλύτερο ανώμαλο τμήμα, * επισημαίνει ότι πρόκειται για ιδιάζον τμήμα και Y είναι η πρώτη εκτεταμένη βάση της αλυσίδας Στο παράδειγμα: επιγράφουμε το τόξο από τη U στη C με UAC*C
28 Αλυσίδες RNA Από αυτό το κατευθυνόμενο πολυγράφημα εντοπίζεται κάθε πιθανή αλυσίδα RNA με τα συγκεκριμένα G και U,C τμήματα Κάθε τέτοια αλυσίδα αντιστοιχεί σε ένα κλειστό μονοπάτι Euler που καταλήγει στο ιδιάζον τμήμα X*Y Στο παράδειγμα: τομοναδικότέτοιοκλειστόμονοπάτοeuler περνάει από τις C G AU G U C Χρησιμοποιώντας τις αντίστοιχες επιγραφές στα τόξα λαμβάνουμε την αλυσίδα CCGAUCGGAGUAC η οποία όντως περιέχει τα κατάλληλα G και U,C τμήματα
29 Αλυσίδες RNA Δεν υπάρχει πάντα μοναδικό κλειστό μονοπάτι Euler στο κατευθυνόμενο πολυγράφημα ούτε μοναδική αλυσίδα RNA με δοσμένα G και U,C τμήματα Μπορεί να εφαρμοστούν αμφίλογα ένζυμα ώστε να μην είναι δυνατόν να ανασυσταθεί η αλυσίδα με μοναδικό τρόπο από τα G και U,C τμήματά της Ερευνητική προσέγγιση: διαχωρισμός αλυσίδων DNA με ένζυμα και συγκόλληση τμημάτων από διαφορετικά είδη π.χ., ανθρώπους και βακτήρια Εφαρμογή: παραγωγή ινσουλίνης Αρνητικό: δημιουργία επιβλαβών ατόμων
30 Κλειστά μονοπάτια Euler, DNA και κωδικοποίηση [Hutchinson& Wilf (1975)] Κάθε μόριο DNA ή RNA είναι μια λέξη και οι βάσεις (όχιοιεκτεταμένεςβάσεις) είναι τα γράμματα Απλουστευτική υπόθεση: όλη η πληροφορία μεταφέρεται μόνο μέσω του πλήθους των γραμμάτων κάθε τύπου και μέσω της συχνότητας διατεταγμένων ζευγών γραμμάτων συχνότητα με την οποία κάποιο γράμμα ακολουθεί κάποιο άλλο Ερώτηση: δεδομένων μη αρνητικών ακεραίων v i,v j,i,j=1,2,, n μπορεί μια λέξη να οριστεί σε αλφάβητο με n γράμματα με το i ό γράμμα να εμφανίζεται v i φορές και με το i να ακολουθείται από το j v ij φορές; Αν ναι, πόσες είναι όλες αυτές οι λέξεις; Η ερώτηση αυτή παρουσιάζει γενικότερο ενδιαφέρον στη δημιουργία κωδίκων
31 Κλειστά μονοπάτια Euler, DNA και Έστω v 1 =2, v 2 =v 3 = 1 vij δίνεται από τον πίνακα κωδικοποίηση Μια λέξη που ακολουθεί το προκαθορισμένο μοτίβο είναι η ABCA A αντιστοιχεί στο 1 ο γράμμα B αντιστοιχεί στο 2 ο γράμμα C αντιστοιχεί στο 3 ο γράμμα Έστω v 1 =2, v 2 =4, v 3 = 3 vij δίνεται από τον πίνακα Μια λέξη που ακολουθεί το προκαθορισμένο μοτίβο είναι η BBCBACBAC
32 Κλειστά μονοπάτια Euler, DNA και κωδικοποίηση Κατασκευάζουμε κατευθυνόμενο πολυγράφημα D με κορυφές τα n γράμματα Ai 1, Ai 2,, Ai q και τόξα v ij από το A i στο A j Επιτρέπονται ανακυκλώσεις Τα γραφήματα που αντιστοιχούν στα προηγούμενα παραδείγματα είναι v 1 =2, v 2 =v 3 = 1 v 1 =2, v 2 =4, v 3 = 3
33 Κλειστά μονοπάτια Euler, DNA και κωδικοποίηση Έστωότιηλύσηείναιηλέξηw =Ai 1, Ai 2,, Ai q ηλέξηw αντιστοιχεί σε μονοπάτι Euler στο κατευθυνόμνεο πολυγράφημα D που ξεκινάει από την Ai 1 και καταλήγει στην Ai q Δείτε το για τις λέξεις ABCA και BBCBACBAC στα αντίστοιχα πολυγραφήματα v 1 =2, v 2 =v 3 = 1 v 1 =2, v 2 =4, v 3 = 3
34 Κλειστά μονοπάτια Euler, DNA και κωδικοποίηση Αν υπάρχει λέξη λύση το D πρέπει να είναι συνεκτικό Αν i 1 i q : Για κάθε i i 1, i q έχουμε στην κορυφή A i indegree=outdegree Για i = i 1 ισχύει outdegree = 1 + indegree Για i = i q ισχύει indegree = 1 + outdegree Χρησιμοποιώντας τη σταθερά Kronecker δ: Η σχέση αυτή δηλώνει ότι στον πίνακα (v ij ) τα αθροίσματα των γραμμών ισούνται με τα αθροίσματα των στηλών εκτός από 2 σημεία που διαφοροποιούνται κατά 1 Η παρακάτω σχέση συσχετίζει τα v i και v ij
35 Κλειστά μονοπάτια Euler, DNA και κωδικοποίηση Αν για κάποια i 1 i q ισχύουν οι συνθήκες και αν το D είναι ασθενώς συνεκτικό υπάρχει λέξη λύση και κάθε λέξη λύση αντιστοιχεί σε μονοπάτι Euler που ξεκινάει στην Ai 1 και καταλήγει στην Ai q
36 Κλειστά μονοπάτια Euler, DNA και κωδικοποίηση Στο παράδειγμα: ισχύουν οι συνθήκες για i 1 =2, i q =3 Υπάρχουν διάφορα μονοπάτια Euler από τη B=Ai 1 στη C=Ai q και το καθένα δίνει μια λέξη λύση Π.χ., BACBBCBAC v 1 =2, v 2 =4, v 3 = 3
37 Κλειστά μονοπάτια Euler, DNA και κωδικοποίηση Τι συμβαίνει αν η λέξη λύση αρχίζει και τελειώνει με το ίδιο γράμμα; Υπάρχει κλειστό μονοπάτι Euler και ισχύει ότι στον πίνακα (v ij ) το άθροισμα κάθε γραμμής ισούται με το άθροισμα της αντίστοιχης στήλης Επίσης ισχύει για i 1
38 Κλειστά μονοπάτια Euler, DNA και κωδικοποίηση Αν υπάρχει λέξη λύση το D είναι ασθενώς συνεκτικό και για κάποιο i 1 ισχύει Και είτε ισχύει και Είτε για i 1 και i q με i 1 i q ισχύει
39 Κλειστά μονοπάτια Euler, DNA και κωδικοποίηση Αντίστροφα, έστω D ασθενώς συνεκτικό Αν για κάποιο i 1 ισχύει Και για κάποια i 1 και i q με i 1 i q ισχύει Τότε υπάρχει λύση και όλες οι λέξεις λύσεις αντιστοιχούν σε μονοπάτια Euler που ξεκινάνε στην Αi 1 και καταλήγουν στην Ai q
40 Κλειστά μονοπάτια Euler, DNA και κωδικοποίηση Αντίστροφα, έστω D ασθενώς συνεκτικό Αν για κάποιο i 1 ισχύει Καιισχύεικαι Τότε υπάρχει λύση και όλες οι λέξεις λύσεις αντιστοιχούν σε κλειστά μονοπάτια Euler που ξεκινάνε στην Αi 1
41 Τηλεπικοινωνίες [Liu (1968)]: Ένα περιστρεφόμενο τύμπανο έχει 8 τομείς Ερώτηση: μπορούμε να πούμε ποια είναι η θέση του τύμπανου χωρίς να το κοιτάξουμε; Λύση Τοποθετούμε αγώγιμο υλικό σε κάποιους τομείς και μη αγώγιμο υλικό στους υπόλοιπους Τοποθετούμε 3 τερματικά κοντά στο τύμπανο έτσι ώστε σε κάθε θέση του τύμπανου τα τερματικά να εφάπτονται σε 3 διαδοχικούς τομείς Κάθε τερματικό ενεργοποιείται όταν εφάπτεται σε τομέα με αγώγιμο υλικό ΕΞΥΠΝΑΔΑ: το μοτίβο χρήσης αγώγιμου και μη αγώγιμου υλικού επιλέγεται κατάλληλα ώστε το μοτίβο ενεργοποιημένων και μη ενεργοποιημένων τερματικών να μας υποδεικνύει τη θέση του τύμπανου
42 Τηλεπικοινωνίες Αναδιατυπώνουμε το πρόβλημα ως εξής: Κάθε τομέας επιγράφεται με 1 ή 0 Επιθυμούμε να τοποθετήσουμε 8 O και 1 κυκλικά έτσι ώστε κάθε ακολουθία 3 διαδοχικών ψηφίων να είναι διαφορετική Γενικότερα: επιθυμούμε να τοποθετήσουμε 2 n O και 1 κυκλικά έτσι ώστε κάθε ακολουθία n διαδοχικών ψηφίων να είναι διαφορετική Είναι εφικτό αυτό και αν ναι πώς; ΛΥΣΗ Ορίζουμε ένα κατευθυνόμενο γράφημα D ως εξής Κορυφές: συμβολοσειρές από O και 1 με μήκος n 1 Υπάρχει τόξο από τη συμβολοσειρά a 1 a 2 a 3 a n 1 στις λέξεις a 2 a 3 a n 1 0 και a 2 a 3 a n 1 1 Επιγράφουμε κάθε τόξο με το νέο ψηφίο που προστίθεται Για n = 3 προκύπτει το κατευθυνόμενο γράφημα
43 Τηλεπικοινωνίες Στο D κάθε κορυφή έχει indegree = outdegree υπάρχει κλειστό μονοπάτι Euler Κάθε τέτοιο μονοπάτι δίνει μία λύση αν ακολουθήσουμε τις επιγραφές των τόξων Στο παράδειγμα: ένα κλειστό μονοπάτι Euler είναι το Οι αντίστοιχες επιγραφές των τόξων είναι Τις τοποθετούμε κυκλικά και αντίστροφα προς τη φορά του ρολογιού λαμβάνουμε τις εξής ακολουθίες διαδοχικών ψηφίων: 011, 111, 110, 101, 010, 100, 000, 001 που είναι διαφορετικές μεταξύ τους
Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα και μη κατευθυνόμενα γραφήματα
Εισαγωγικά στοιχεία Κατευθυνόμενα και μη κατευθυνόμενα γραφήματα Κατευθυνόμενο γράφημα (directed graph ή digraph): (V,A) V: πεπερασμένο σύνολο κορυφών που σημειώνονται ως σημεία A: σύνολο διατεταγμένων
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα
Διαβάστε περισσότεραΤο πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)
Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας
Διαβάστε περισσότερα2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler.
Διαβάστε περισσότεραu v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4
Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία και Κυριαρχία (Independence and Domination)
Ανεξαρτησία και Κυριαρχία (Independence and Domination) Κανονικό γινόμενο (normal product) Έστω γραφήματα G και H Κατ αναλογία με το λεξικογραφικό γινόμενο (lexicographic product) ορίζουμετοκανονικόγινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Κατανεμημένα Συστήματα Ι Εκλογή αρχηγού και κατασκευή BFS δένδρου σε σύγχρονο γενικό δίκτυο Παναγιώτα Παναγοπούλου Περίληψη Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Ορισμός του προβλήματος Ο αλγόριθμος FloodMax
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 9: : Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE & Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός Προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.
Γράφοι Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο πλευρές (ακµές) και κορυφές (κόµβους). Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Graph Drawing 4 πιθανές αναπαραστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Πληροφορικής
Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενα γραφήματα Ορισμός Κατευθυνόμενογράφημα Gείναιέναζεύγος (V,E)όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Εύρεση ελάχιστων μονοπατιών Αλγόριθμος του ijkstra Θέματα μελέτης Πρόβλημα εύρεσης ελάχιστων μονοπατιών σε γραφήματα (shortest path problem) Αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. 25 -Γράφοι. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Παρασκευή, 12/05/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Υπογράφημα Συμπληρωματικά γραφήματα Ισομορφισμός γράφων Υπολογιστική πολυπλοκότητα
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΘΕΜΑ: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Επίκουρος Καθηγητής ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ
Διαβάστε περισσότερα(elementary graph algorithms)
(elementary graph algorithms) Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα γραφήματα αναπαραστάσεις οριζόντια διερεύνηση καθοδική διερεύνηση 2 ΓΡΑΦΉΜΑΤΑ 3 αναπαράσταση δύο καθιερωμένοι τρόποι: πίνακας γειτνίασης συλλογή
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα 20 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Προηγούμενη διάλεξη Σύγχρονα Κατανεμημένα Συστήματα Μοντελοποίηση συστήματος Πρόβλημα εκλογής αρχηγού
Διαβάστε περισσότερα... a b c d. b d a c
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ιδάσκοντες: Φωτάκης, Σούλιου η Γραπτή Εργασία Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) α) Σε ένα διάστηµα
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9 Απριλίου 2009 1 / 0 Παραδείγµατα γράφων
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1
ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 Θέματα μελέτης Πρόβλημα αναζήτησης σε γραφήματα Αναζήτηση κατά βάθος (Depth-first search DFS) Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth-first search BFS) 2 Γράφημα (graph) Αναπαράσταση συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη
Διαβάστε περισσότεραΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ, Sanjoy Dasgupta, Christos Papadimitriou, Umesh Vazirani, Κεφάλαιο 4 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Κεφάλαιο 4) 1 Θέματα
Διαβάστε περισσότεραΜη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.
Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) σύνολο κορυφών / κόµβων V, Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότερα4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 12/05/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 12-May-17 1 1 Θεωρία γράφων / γραφήματα 12-May-17 2 2 Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Υπογράφημα Συμπληρωματικά
Διαβάστε περισσότεραΓράφηµα (Graph) Εργαστήριο 10. Εισαγωγή
Εργαστήριο 10 Γράφηµα (Graph) Εισαγωγή Στην πληροφορική γράφηµα ονοµάζεται µια δοµή δεδοµένων, που αποτελείται από ένα σύνολο κορυφών ( vertices) (ή κόµβων ( nodes» και ένα σύνολο ακµών ( edges). Ενας
Διαβάστε περισσότεραΔρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026
Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.
Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη
Διαβάστε περισσότεραβασικές έννοιες (τόμος Β)
θεωρία γραφημάτων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα βασικές έννοιες (τόμος Α) βασικές έννοιες (τόμος Β) 2 Θεωρία Γραφημάτων Βασική Ορολογία Τόμος Α, Ενότητα 4.1 Βασική Ορολογία Γραφημάτων Γράφημα Γ = (E,V)
Διαβάστε περισσότεραd(v) = 3 S. q(g \ S) S
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο
Διαβάστε περισσότεραq(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S.
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος & Σ. Κ. Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε
Διαβάστε περισσότεραjτο πλήθος των ταξιδιών που κάνει η αεροσυνοδός µέχρι την j ηµέρα. Σχηµατίζω µία ακολουθία που αποτελείται από τα a.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ιδάσκοντες: Φωτάκης, Σούλιου, Θ Λιανέας η Γραπτή Εργασία Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) α)
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,
Διαβάστε περισσότεραΧρωματισμός γραφημάτων
Χρωματισμός γραφημάτων Χρωματισμός γραφημάτων Έστω γράφημα G Αποδίδουμε 1 ακριβώς χρώμα σε κάθε κορυφή του G έτσι ώστε κορυφές που συνδέονται με ακμή να λαμβάνουν διαφορετικά χρώματα Χρωματισμός γραφημάτων
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστο Γεννητικό Δένδρο. Παράδειγμα - Αλγόριθμος Prim. Γιατί δουλεύουν αυτοί οι αλγόριθμοι;
Άπληστοι Αλγόριθμοι ΙΙI Αλγόριθμοι γραφημάτων Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο Παράδειγμα Κατασκευή δικτύων Οδικά, επικοινωνίας Έχουμε ένα συνεκτικό γράφημα (V,E) και ένας βάρος we σε κάθε ακμή e. Να βρεθεί υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Πληροφορικής
Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενα γραφήματα Ορισμός Κατευθυνόμενογράφημα Gείναιέναζεύγος (V,E)όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΕιδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων
Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 α) Η δομή σταθμισμένης ένωσης με συμπίεση διαδρομής μπορεί να τροποποιηθεί πολύ εύκολα ώστε να υποστηρίζει τις
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές Ασκήσεις. Ρίζου Ζωή
Επαναληπτικές Ασκήσεις Ρίζου Ζωή email: zrizou@ee.duth.gr Άσκηση 1 Τι πραγματεύεται το θεώρημα Euler; Απάντηση Ψευδογραφήματα που περιέχουν ένα κύκλωμα στο ψευδογραφήματα, των οποίων ο βαθμός κάθε κορυφής
Διαβάστε περισσότερα(β) Θεωρούµε µια ακολουθία Nθετικών ακεραίων η οποία περιέχει ακριβώς
Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) (α) Επιλέγουµε αυθαίρετα φυσικούς αριθµούς από το σύνολο {,,3,, 3, } Να δείξετε ότι µεταξύ των αριθµών που έχουµε επιλέξει υπάρχει πάντα ένα ζευγάρι όπου ο µεγαλύτερος
Διαβάστε περισσότεραΣημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.
ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που
Διαβάστε περισσότερα1 Η εναλλάσσουσα ομάδα
Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων/ γραφήματα. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Συνεκτικότητα. 25 -Γράφοι
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Θεωρία γράφων/ γραφήματα Πέμπτη, 17/05/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 17-May-18 1 1 17-May-18 2 2 Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Ισομορφισμός γράφων Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 4 η Διάλεξη Κύκλοι και μονοπάτια Hamilton Ικανές ή αναγκαίες συνθήκες για ύπαρξη κύκλων Αλγόριθμος κατασκευής μονοπατιών Hamilton
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση
Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.
Διαβάστε περισσότεραΓραφήματα. Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό Γραφήματα
Γραφήματα Θεωρία γραφημάτων Παλιό αντικείμενο 18 ος αιώνας Leonhard Euler (Ελβετός μαθηματικός): πρόβλημα γεφυρών της πόλης Königsberg Με πολλές σύγχρονες εφαρμογές Μελέτη ιδιοτήτων ηλεκτρονικών κυκλωμάτων
Διαβάστε περισσότεραΑριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί
Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Διατάξεις Μεταθέσεις Συνδυασμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος
Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr
Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks)
Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο Ορισμοί Παραδείγματα Δικτυακή Simplex (προβλήματα με και χωρίς φραγμούς). Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum ost Flow Networks) Ένα δίκτυο μεταφόρτωσης αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραEdge-coloring σε διμερή πολυγραφήματα
Edge-coloring σε διμερή πολυγραφήματα σε Ο(ED) χρόνο από Alexander Schrijver σε Ο(ElogD) χρόνο από Richard Cole Kristin Ost Stefan Schirra Μαρίνου Μαργαρίτα Μ.Π.Λ.Α Βασικοί Ορισμοί: Edge-coloring σε ένα
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα
Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων
Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής
Διαβάστε περισσότεραΝα υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.
Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία γραφημάτων. Παλιό αντικείμενο 18 ος αιώνας Leonhard Euler (Ελβετός μαθηματικός): πρόβλημα γεφυρών της πόλης Königsberg
Γραφήματα Θεωρία γραφημάτων Παλιό αντικείμενο 18 ος αιώνας Leonhard Euler (Ελβετός μαθηματικός): πρόβλημα γεφυρών της πόλης Königsberg Με πολλές σύγχρονες εφαρμογές Μελέτη ιδιοτήτων ηλεκτρονικών κυκλωμάτων
Διαβάστε περισσότεραΟι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών
Οι Φυσικοί Αριθμοί Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί είναι ποσοτικές έννοιες και για να τους γράψουμε χρησιμοποιούμε τα αριθμητικά σύμβολα. Οι αριθμοί μετρούν συγκεκριμένα πράγματα και φανερώνουν το πλήθος της
Διαβάστε περισσότεραΕλληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας
1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΔοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο. Γραφήµατα. (Graphs)
Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο Γραφήµατα (Grphs) http://tos.it.tith.gr/~mos/thing_gr.html Δηµοσθένης Σταµάτης Τµήµα Πληροφορικής ATEI ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Γράφημα (Grph) Oρισμός 1: Έστω το µη
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΤομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα
Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ
ÌïëëÜ Ì. Á μýô Á.Ì. : 5 moll@moll.r ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ (ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ) Ε ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ: Χαϊδόγιαννος Χαράλαμπος ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2. Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων. ηµήτρης Ψούνης
ΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2 Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων ηµήτρης Ψούνης 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α. Σκοπός του Μαθήµατος Β.Θεωρία 1. Πίνακας Γειτνίασης 1. Ορισµός για µη κατευθυνόµενα γραφήµατα 2.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 10 η Διάλεξη Κατευθυνόμενοι Γράφοι Βασικά χαρακτηριστικά Αλγόριθμοι διάσχισης κατευθυνόμενων γράφων Λίγα Λόγια για Αλυσίδες Markov
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 10 η Διάλεξη Κατευθυνόμενοι Γράφοι Βασικά χαρακτηριστικά Αλγόριθμοι διάσχισης κατευθυνόμενων γράφων Λίγα Λόγια για Αλυσίδες Markov Βασικά Χαρακτηριστικά
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 5 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Συνεκτικότητα Έννοια της συνδεσμικότητας: «Ποσότητα συνδεσμικότητας»...
Διαβάστε περισσότερα5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ
5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9-3 A Oμάδας.i) Να βρείτε το ν-οστό όρο της αριθμητικής προόδου 7, 0, 3,... = + (ν ) ω = 7 + (ν ) 3 = 7 + 3ν 3 = 3ν + 4.ii) Να βρείτε το ν-οστό όρο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε
Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { n 3 } (α) H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να διατυπωθεί ως την επτάδα Q,
Διαβάστε περισσότεραΟργά νωση Γενετικού Υλικού
Βιολογία Γ Γυμνασίου: Διατήρηση και Συνέχεια της Ζωής Οργά νωση Γενετικού Υλικού Γονίδιο: Η μονάδα της κληρονομικότητας. Ουσιαστικά είναι ένα κομμάτι από το DNA που αποθηκεύει πληροφορίες για κάποιο συγκεκριμένο
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 2η <Αλγόριθµοι, Θεωρία Γραφηµάτων>
ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 2η Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η εξοικείωση µε τις σηµαντικότερες µεθόδους και ιδέες της Θεωρίας Γραφηµάτων
Διαβάστε περισσότεραΔιαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k
Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση επιλύουμε αναδρομικά τα υποπροβλήματα πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήµατα Μοντελοποίηση πολλών σηµαντικών προβληµάτων (π.χ. δίκτυα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.
ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήματα Μεταφορών (Transportation)
Προβλήματα Μεταφορών (Transportation) Παραδείγματα Διατύπωση Γραμμικού Προγραμματισμού Δικτυακή Διατύπωση Λύση Γενική Μέθοδος Simplex Μέθοδος Simplex για Προβλήματα Μεταφοράς Παράδειγμα: P&T Co ΗεταιρείαP&T
Διαβάστε περισσότεραΒΙΟΛΟΓΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ_ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΕΙΚΟΝΑ_1.1 In vivo πειράματα απόδειξης της έννοιας του μετασχηματισμού και in vitro απόδειξη ότι το DNA είναι αυτό που προκαλεί το μετασχηματισμό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Γιατί πιστεύετε ότι θανατώνονται τα βακτήρια
Διαβάστε περισσότερα