Ανεξαρτησία και Κυριαρχία (Independence and Domination)

Transcript

1 Ανεξαρτησία και Κυριαρχία (Independence and Domination)

2 Κανονικό γινόμενο (normal product) Έστω γραφήματα G και H Κατ αναλογία με το λεξικογραφικό γινόμενο (lexicographic product) ορίζουμετοκανονικόγινόμενο G H ως εξής: Κορυφές: ζεύγη του καρτεσιανού γινομένου V(G) X V(H) Υπάρχει ακμή μεταξύ των κορυφών (a, b) και (c, d) ανκαιμόνοναν ισχύουν τα παρακάτω: {a, c} E(G) και {b, d} E(H) a = c και {b, d} E(H) b = d και {a, c} E(G) Ο όρος κανονικό γινόμενο (normal product) χρησιμοποιείται από το Berge (1973) εναλλακτικός όρος είναι το ισχυρό γινόμενο (strong product)

3 Κανονικό γινόμενο (normal product) Παρατήρηση: τοκανονικόγινόμενοδιαφέρειαπότολεξικογραφικό γινόμενο επειδή το δεύτερο επιτρέπει ακμές ανάμεσα στις (a, b) και (c, d) όταν {a, c} E(G), ακόμα και αν b d και {b, d} Ε(H)

4 Στη θεωρία επικοινωνιών, ένα κανάλι με θόρυβο αποτελείται από ένα αλφάβητο μετάδοσης (transmission alphabet) T ένα αλφάβητο λήψης (receiving alphabet) R πληροφορία για το ποια γράμματα του T μπορούν να ληφθούν σαν ποια γράμματα του R Παράδειγμα: Έστω εκπομπός που μπορεί να εκμπέμψει 5 σήματα a, b, c, d, e τα γράμματα αυτά αποτελούν το σύνολο T Ένας δέκτης λαμβάνει τα σήματα α, β, γ, δ, ε Λόγω θορύβου, υπάρχει ενδεχόμενο σύγχυσης το γράμμα a μπορεί να ληφθεί σαν α ή β το γράμμα b μπορεί να ληφθεί σαν β ή γ το γράμμα c μπορεί να ληφθεί σαν γ ή δ, το γράμμα d μπορεί να ληφθεί σαν δ ή ε το γράμμα e μπορεί να ληφθεί σαν ε ή α

5 Προκύπτει έτσι το παρακάτω κατευθυνόμενο γράφημα D που δείχνει πώς μπορεί να ληφθεί κάποιο εκπεμπόμενο γράμμα Στο D αντιστοιχεί ένα γράφημα σύγχυσης (confusion graph) G Κορυφές: στοιχεία του T Υπάρχει ακμή ανάμεσα σε δύο γράμματα του T αν και μόνον αν μπορούν να ληφθούν σαν το ίδιο γράμμα

6 ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθε γράφημα είναι το γράφημα σύγχυσης (confusion graph) για κάποιο κανάλι με θόρυβο ΑΠΟΔΕΙΞΗ Για κάθε ακμή a = {a, b} του γραφήματος G προσθέτουμε μια κορυφή x α στοαλφάβητολήψης προσθέτουμε τόξα από τις a και b προς την x α στο κατευθυνόμενο γράφημα D που δείχνει πώς λαμβάνονται τα εκπεμπόμενα γράμματα x α x β x γ x δ x ε

7 Δεδομένου ενός καναλιού με θόρυβο, επιθυμούμε να αποφύγουμε εντελώς τα σφάλματα μετάδοσης επιλέγοντας σύνολο σημάτων που να μπορεί να ληφθεί χωρίς αμφιλογία Να μην υπάρχει ποτέ σύγχυση ανάμεσα σε δύο σύμβολα Πρέπει να επιλέξουμε ένα ανεξάρτητο σύνολο στο γράφημα σύγχυσης G Στο γράφημα G του σχήματος το μεγαλύτερο ανεξάρτητο σύνολο περιέχει 2 κορυφές Μπορούμε να διαλέξουμε 2 γράμματα σε κάποιο ανεξάρτητο σύνολο, π.χ., a και c, και να τα χρησιμοποιήσουμε σαν αλφάβητο κωδικοποίησης χωρίς αμφιλογία για την αποστολή μηνυμάτων

8 Δεδομένου ενός καναλιού με θόρυβο, μπορούμε να βρούμε μεγαλύτερο αλφάβητο κωδικοποίησης χωρίς αμφιλογία; ΝΑΙ επιτρέποντας συνδυασμούς γραμμάτων του αλφαβήτου μετάδοσης στο αλφάβητο κωδικοποίησης Θεωρήστε όλα τα διατεταγμένα ζεύγη στοιχείων του T ή όλα τις λέξεις μήκους 2 από στοιχεία του T Υπάρχουν 4 τέτοιες λέξεις αα, αc, cα, cc, χωρίς να μπορεί να προκληθεί σύγχυση μεταξύ τους Γενικά, μπορεί να υπάρξει σύγχυση μεταξύ δύο συμβολοσειρών γραμμάτων από το αλφάβητο μετάδοσης αν και μόνον αν μπορούν να ληφθούν σαν την ίδια συμβολοσειρά δεν μπορεί να υπάρξει σύγχυση για τις λέξεις αα και αc: ηλέξηααμπορείναληφθείσαναα, αβ, βα, ββ ηλέξηαc μπορεί να ληφθεί σαν aγ, aδ, βγ, βδ Προκύπτειένανέογράφημασύγχυσηςμεκορυφέςτιςλέξειςμήκους2 του αλφαβήτου Τ με την εξής ιδιότητα: Μπορεί να υπάρξει σύγχυση μεταξύ λέξεων xy και uv αν και μόνον αν ισχύει κάποια από τις παρακάτω συνθήκες: μπορεί να υπάρξει σύγχυση μεταξύ των x και u και y και v x = u και μπορεί να υπάρξει σύγχυση μεταξύ των y και v y = v και μπορεί να υπάρξει σύγχυση μεταξύ των x και u

9 Σε σχέση με το αρχικό γράφημα σύγχυσης G, το νέο γράφημα σύγχυσης είναι το κανονικό γινόμενο G G Γενικά: Αν έχουμε δύο κανάλια με θόρυβο και εξετάσουμε λέξεις μήκους 2 με το πρώτο γράμμα τους να προέρχεται από το πρώτο αλφάβητο μετάδοσης και το δεύτερο γράμμα τους να προέρχεται από το δεύτεροαλφάβητομετάδοσηςκαι Αν στείλουμε το πρώτο γράμμα της λέξης πάνω από το πρώτο κανάλι και το δεύτερο γράμμα της λέξης πάνω από το δεύτερο κανάλι το γράφημα σύγχυσης που προκύπτει είναι το κανονικό γινόμενο των γραφημάτων σύγχυσης των δύο καναλιών

10 Στο γράφημα σύγχυσης G ένα ανεξάρτητο σύνολο ή αλφάβητο κωδικοποίησης χωρίς αμφιλογία στο G G προκύπτει χρησιμοποιώντας τις λέξεις aa, ac, ca, cc Όμως υπάρχει μεγαλύτερο ανεξάρτητο σύνολο που περιέχει τιςλέξειςαα, bc, ce, db, ed Γενικά: εξετάζοντας λέξεις μήκους k από το αλφάβητο μετάδοσης ενός προκαθορισμένου καναλιού με θόρυβο το γράφημα σύγχυσης είναι το κανονικό γινόμενο G k =G G G με k όρους Αναζητούμε ανεξάρτητο σύνολο στο G k Έστω a(g) το μέγεθος του μέγιστου ανεξάρτητου συνόλου στο G Τι ισχύει για την τιμή a(g k );

11 ΛΗΜΜΑ a(g H) a(g)a(h) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν I και J ανεξάρτητα σύνολα στα γραφήματα G και H αντίστοιχα το καρτεσιανό γινόμενο I x J είναι ένα ανεξάρτητο σύνολο στο γράφημα G H Επομένως: a(g k ) [a(g)] k

12 ΑΛΛΑ είναι μη αποδοτικό να βρούμε μεγαλύτερο ανεξάρτητο σύνολο στου G k και επομένως μεγαλύτερο αλφάβητο κωδικοποίησης χωρίς αμφιλογία Επειδή οι λέξεις στο αλφάβητο που θα προέκυπτε θα είχαν μεγαλύτερο μήκος Η παρατήρηση αυτή οδήγησε το Shannon (1956) να υιοθετήσειτον αριθμό σα μέτρο της χωρητικότητας ενός καναλιού για τη δημιουργία αλφάβητου κωδικοποίησης χωρίς αμφιλογία με λέξεις μήκους k να θεωρήσει a*(g): χωρητικότητα γραφήματος ή χωρητικότητα καναλιού χωρίς σφάλματα Συμβολίζεται συνήθως c(g) στη βιβλιογραφία Αν a*(g)=a(g) ο κώδικας δεν μπορεί να βελτιωθεί με χρήση λέξεων μεγαλύτερου μήκους

13 Ο υπολογισμός της χωρητικότητας γραφήματος και ο καθορισμός των γραφημάτων των οποίων η χωρητικότητα ισούται με τον αριθμό ανεξαρτησίας είναι υπολογιστικά δύσκολα προβλήματα Ακόμα και η χωρητικότητα του γραφήματος G = Z 5 δεν ήταν γνωστή μέχρι που ο Lovász (1977) απέδειξε ότι ισούται με δηλ., Ακόμα δεν έχει υπολογιστεί η τιμή c(z 7 ) Ένα γενικό άνω φράγμα για τη χωρητικότητα αυθαίρετου γραφήματος δίνεται από τον Rosenfeld (1967) Ακολουθούν μερικές επαρκείς συνθήκες για να ισχύει a*(g)=a(g) Έστω θ(g) ο ελάχιστος αριθμός (όχι απαραίτητα κυρίαρχων) κλικών που διαμερίζουν το V(G) Π.χ., Για το διπλανό σχήμα θ(g)=2 και δύο κλίκες που επαρκούν είναι οι {a, b, c} και {d, e}» Στο παράδειγμα αυτό a(g) = Θ(G)

14 ΛΗΜΜΑ a(g) θ(g) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν I είναιέναανεξάρτητοσύνολοστοg κάθε κορυφή πρέπειναανήκεισεδιαφορετικήκλίκασεκάθεδιαμέριση

15 Εύκολα προκύπτουν παραδείγματα όπου a < θ Στο γράφημα Z 5 είναι a=2 ενώ θ=3 αφού απαιτούνται δύο ακμές και μία κορυφή Ησυνθήκηa=θ αρκεί για να συμπεράνουμε ότι a* = a ΛΗΜΜΑ θ(g H) θ(g)θ(h) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω K1, K2,, Kr κλίκες που διαμερίζουν το V(G) και L1, L2,, Ls κλίκες που διαμερίζουν το V(H) Τότε {Ki x Lj} είναι σύνολο κλικών του G H που διαμερίζουν το V(G H)

16 Γράφημα G λέγεται ασθενώς α πλήρες (weakly α perfect) αν a(g) = θ(g) Γράφημα G λέγεται α πλήρες (α perfect) αν κάθε γεννητικό υπογράφημα του G είναι ασθενώς α πλήρες [Shannon (1956)] Αν γράφημα G είναι ασθενώς α πλήρες a*(g)= a(g) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Με βάση τα τρία προηγούμενα Λήμματα: a(g) k a(g k ) θ(g k ) θ(g) k Αφού το G είναι ασθενώς a πλήρες οπρώτοςκαιοτελευταίοςόρος είναι ίσοι

17 Υπάρχουν πολλά παραδείγματα γραφημάτων που είναι ασθενώς α πλήρη [Lovász(ΘΕΩΡΗΜΑ 6.2)] Ένα γράφημα G είναι γ πλήρες αν και μόνον αν το συμπληρωματικό του είναι γ πλήρες a(g) = ω(g c ) Ισχύει θ(g) = χ(g c ) επειδή ο χρωματικός αριθμός είναι ο μικρότερος αριθμός ανεξάρτητων συνόλων που διαμερίζουν τις κορυφές ενός γραφήματος Θεώρημα Lovász κάθε γράφημαg είναι α πλήρες αν και μόνον αν είναι γ πλήρες για όλα τα ανελαστικά (rigid) κυκλώματα και επομένως για όλα τα γραφήματα διαστημάτων που είναι γ πλήρη ισχύει a*=a κανάλια με γραφήματα σύγχυσης που είναι ανελαστικά κυκλώματα και συγκεκριμένα γραφήματα διαστημάτων δεν μπορούν να βελτιωθούν με χρήση λέξεων μεγαλύτερου μήκους Κανάλια με γραφήματα σύγχυσης που είναι γραφήματα διαστημάτων προκύπτουν όταν ένα σήμα καθορίζεται από τη συχνότητα διαμόρφωσής του και υπάρχει σύγχυση μεταξύ δύο σημάτων αν και μόνον αν τα διαστήματα που τους αντιστοιχούν επικαλύπτονται Η κατάσταση αυτή καλείται γραμμικός θόρυβος (linear noise) Αν ο θόρυβος είναι γραμμικός τότε όπως υποδεικνύει ο Berge (1973) ένας κώδικας δεν μπορεί να βελτιωθεί με χρήση λέξεων μεγαλύτερου μήκους

18 Το θεώρημα του Shannon 7.2 είναι ανάλογο με το αποτέλεσμα του Θεωρήματος 6.6 σύμφωνα με το οποίο: αν το γράφημα G είναι ασθενώς γ πλήρες τότε χ*(g)= χ(g) Θεώρημα 7.3 [Rosenfeld (1970)] Για κάθε θετικό αριθμό k, υπάρχει γράφημα G k τέτοιο ώστε a*(g k ) = ka(g k ) η χωρητικότητα μπορεί να γίνει αυθαίρετα μεγαλύτερη από το μέγιστο ανεξάρτητο σύνολο [Rosenfeld (1970)] Ένα γράφημα G είναι αυτό συμπληρούμενο (selfcomplemented) αν είναι ισομορφικό με το G c Ενδεικτικό παράδειγμα: Z5 Ο ισομορφισμός φαίνεται στο σχήμα

19 ΛΗΜΜΑ 4 Αν γράφημα G είναι αυτο συμπληρούμενο a(g 2 ) V(G) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω I ={(x, x):x V(G)} Ι είναι ανεξάρτητο σύνολο στο G G c Επειδή το G G είναι ισομορφικό με το G G c υπάρχει ανεξάρτητο σύνολο στο G 2 με τουλάχιστον I στοιχεία Παρατήρηση: στο Z5, το ανεξάρτητο σύνολο στην παραπάνω απόδειξη είναι το ανεξάρτητο σύνολο αα, bc, ce, db, ed του G G υπό τον ισομορφισμό του προηγούμενου σχήματος Αυτό το ανεξάρτητο σύνολο είναι το ίδιο με αυτό που εντοπίσαμε νωρίτερα Το επόμενο Λήμμα σχετίζεται με το λεξικογραφικό γινόμενο G[H] ΛΗΜΜΑ 5 Αν G και H αυτο συμπληρούμενα γραφήματα G[H] είναι αυτό συμπληρούμενο γράφημα ΑΠΟΔΕΙΞΗ Μέσω του πρώτου μέρους του Θεωρήματος 6.4

20 Έστω G 0 αυτό συμπληρούμενο γράφημα με α(g 0 ) 2 < V(G 0 ) = n Π.χ., G 0 = Z 5 Δεδομένου του k, υπάρχει m > 0 τέτοιο ώστε n m k 2 α(g 0 ) 2m Έστω G k = G 0 [G 0 [G 0 ]]: το λεξικογραφικό γινόμενο λαμβάνεται m φορές ΛΗΜΜΑ 5 G k είναι αυτό συμπληρούμενο ΛΗΜΜΑ 4 a(g k2 ) V(G k ) =n m Από το μέρος 3 του Θεωρήματος 6.4 α(g k )=α(g 0 ) m Επιπλέον: Έτσι αποδεικνύεται το ΘΕΩΡΗΜΑ 7.3 [Rosenfeld (1970)]: Για κάθε k > 0, υπάρχει γράφημα G k so that a*(g k ) ka(g k )

21 Σύνολα κυριαρχίας (Dominating Sets) Έστω κατευθυνόμενο γράφημα D Ένα σύνολο κορυφών B λέγεται σύνολο κυριαρχίας dominating set) αν οποτεδήποτε x B, υπάρχει y B τέτοιο ώστε (y, x) να είναι τόξο στο D Παράδειγμα: στο κατευθυνόμενο γράφημα του σχήματος το σύνολο {a, c} είναι σύνολο κυριαρχίας Αριθμός κυριαρχίας (domination number) ενός κατευθυνόμενου γραφήματος είναι το μέγεθος του μικρότερου συνόλου κυριαρχίας

22 Σύνολα κυριαρχίας (Dominating Sets) Τα σύνολα κυριαρχίας εμφανίζονται σε διάφορα προβλήματα [Berge (1973)]: Τοποθέτηση radar Ένα πλήθος στρατηγικών θέσεων πρέπει να βρίσκεται υπό παρακολούθηση Radar πρέπει να τοποθετηθούν σε όσο το δυνατόνλιγότερεςαπότιςθέσεις αυτές Πώς αποφασίζουμε σε ποιες θέσεις να τοποθετηθεί radar; Κατασκευάζουμε κατευθυνόμενο γράφημα D Κορυφές: στρατηγικά σημεία για παρακολούθηση Υπάρχει τόξο από την κορυφή x στην y ανείναιδυνατόνναπαρακολουθούμε τη θέση y μέσω radar στη θέση x Ένα σύνολο κυριαρχίας στο D υποδεικνύει τις θέσεις στις οποίες πρέπει να τοποθετηθεί radar Επιθυμούμε να βρούμε σύνολο κυριαρχίας με ελάχιστο μέγεθος

23 Σύνολα κυριαρχίας (Dominating Sets) Παραπλήσιο πρόβλημα ανακύπτει και σε σταθμούς παραγωγής πυρηνικής ενέργειας Εισάγουμε τόξο από τη θέση x στη θέση y αν είναι δυνατόν φύλακας στη θέση x να παρακολουθεί προειδοποιητική λυχνία στη θέση y Πόσοι φύλακες απαιτούνται για την παρατήρηση όλων προειδοποιητικών λυχνιών και σε ποιες θέσεις πρέπει να τοποθετηθούν; Ηαπάντησηδίνεταιαπόέναελάχιστοσύνολοκυριαρχίας Έστω υπάρχοντες τηλεπικοινωνιακοί σύνδεσμοι μεταξύ πόλεων Επιθυμούμε να τοποθετήσουμε σταθμούς μετάδοσης σε κάποιες πόλεις έτσι ώστε κάθε πόλη να μπορεί να λάβει κάποιο μήνυμα από τουλάχιστον ένα σταθμό μετάδοσης [Liu (1968)]: αναζητούμε ένα σύνολο κυριαρχίας

24 Σύνολα κυριαρχίας (Dominating Sets) [Harary, Norman, Cartwright (1965)] Τασύνολακυριαρχίας βρίσκουν εφαρμογή σε ψηφοφορίες Έστω ομάδα ατόμων που προσπαθεί να δημιουργήσει μια επιτροπή αντιπροσώπων Κάθε μέλος της ομάδας επιλέγει το άτομο που κατανοεί καλύτερα τις ανάγκες του και θα μπορούσε είναι καλός αντιπρόσωπος Κατασκευάζουμε κατευθυνόμενο γράφημα Κορυφές: μέλη της ομάδας Υπάρχει τόξο από μια κορυφή x σε μια κορυφή y αν το μέλος x επέλεξε ως αντιπρόσωπο το μέλος y Τότε ένα ελάχιστο σύνολο κυριαρχίας θα υποδείκνυε τη ζητούμενη επιτροπή αντιπροσώπων

25 Σύνολα κυριαρχίας (Dominating Sets) Η έννοια του συνόλου κυριαρχίας μπορεί να τροποποιηθεί με διάφορους τρόπους, π.χ.: Μπορεί να αναζητούμε ένα k σύνολο κυριαρχίας ή k κάλυψη (kcover): σύνολο C από κορυφές ενός κατευθυνόμενου γραφήματος D στο οποίο κάθε κορυφή του D να είναι προσβάσιμη μέσω μονοπατιού με μήκος το πολύ k από κάποια κορυφή του C Ενδιαφέρουσα παραλλαγή αν οι κορυφές είναι τοποθεσίες σε πόλη και η k κάλυψη που αναζητούμε είναι σύνολο θέσεων για τοποθέτηση αστυνομικών ή πυροσβεστικών υποσταθμών Μπορεί να διαθέτουμε ένα επιλεγμένο υποσύνολο S του V(D) και να αναζητούμε σύνολο κορυφών που κυριαρχεί σε κάθε κορυφή του S Ενδιαφέρουσα παραλλαγή για τα προβλήματα τοποθέτησης radar και επίβλεψης σταθμού παραγωγής πυρηνικής ενέργειας

26 Σύνολα κυριαρχίας (Dominating Sets) [Landau (1955)] Τουρνουά (Τournaments) Αν x είναι ο νικητής ενός τουρνουά round robin tournament Δηλ., x ο παίκτης με το μέγιστο αριθμό νικών τότε το σύνολο {x} είναι ένα 2 σύνολο κυριαρχίας στο κατευθυνόμενο γράφημα που προκύπτει με την τοποθέτηση τόξου από τον παίκτη α στον παίκτη b αν ο α κερδίζει τον b

27 Ευσταθή σύνολα (stable sets) Το ανεξάρτητο σύνολο έχει νόημα και για κατευθυνόμενα και για απλά γραφήματα Ένα σύνολο κορυφών σε ένα κατευθυνόμενο γράφημα D είναι ανεξάρτητο αν δεν υπάρχει τόξο μεταξύ οποιωνδήποτε δύο κορυφών του Σύνολο κορυφών που είναι ταυτόχρονα και ανεξάρτητο σύνολο και σύνολο κυριαρχίας λέγεται ευσταθές σύνολο (stable set) ή πυρήνας (kernel) ενός κατευθυνόμενου γραφήματος Το σύνολο {a, c} στο κατευθυνόμενο γράφημα του σχήματος είναι ευσταθές σύνολο

28 Ευσταθή σύνολα (stable sets) Τα ευσταθή σύνολα εισήχθησαν στη θεωρία παιγνίων από τους von Neumann και Morgenstern (1944) Τα χρησιμοποίησαν για τον καθορισμό των δυνατών λύσεων ενός παιγνίου Κορυφές ενός κατευθυνόμενου γραφήματος: πιθανές εκβάσεις ενός παιγνίου Υπάρχει τόξο από την κορυφή x στην κορυφή y ανκαιμόνονανκάποιοσύνολο παικτών «προτιμά αποτελεσματικά» την έκβαση x από την y Δηλ., δεν προτιμά απλώς την έκβαση x από την y αλλά έχει επαρκή ισχύ για να κάνει αποτελεσματική αυτή την προτίμηση Οι von Neumann και Morgenstern αναζητούν σύνολο εκβάσεων με τις ιδιότητες: Καμία έκβαση του παιγνίου δεν είναι αποτελεσματικά προτιμώμενη από καμία άλλη (ανεξαρτησία) Για κάθε έκβαση y που δεν ανήκει στο σύνολο αυτό υπάρχει έκβαση x που ανήκει στο σύνολο έτσι ώστε η έκβαση x να είναι αποτελεσματικά προτιμώμενη από την y (κυριαρχία) Στη θεωρία παιγνίων τα ευσταθή σύνολα έχουν χρησιμοποιηθεί σαν «λύσεις" σε παίγνια που αναπαριστούν καταστάσεις διαπραγμάτευσης (bargaining) Ψηφοφορίες Αγορές (οικονομικά) Διεθνείς σχέσεις (καρτέλ πετρελαίου, αποτροπή, αφοπλισμό, κτλ)

29 Ευσταθή σύνολα (stable sets) [Liu (1968)] Τα ευσταθή σύνολα έχουν ενδιαφέρον και για εντοπισμό αναφορών (cross referencing) σε ηλεκτρονικά συστήματα αυτοματισμού βιβλιοθηκών Κατασκευάζουμε κατευθυνόμενο γράφημα Κορυφές: βιβλία στο σύστημα Υπάρχει τόσο από το βιβλίο x στο βιβλίο y αν το x αναφέρει το y Ένα ευσταθές σύνολο σε αυτό το κατευθυνόμενο γράφημα αντιστοιχεί σε σύνολο βιβλίων από το οποίο υπάρχουν αναφορές προς όλα τα υπόλοιπα βιβλία στη συλλογή και έχει την ιδιότητα κανένα βιβλίο του να μην αναφέρει άλλο βιβλίο εντός του συνόλου

30 Ευσταθή σύνολα (stable sets) Δεν περιέχουν όλα τα κατευθυνόμενα γραφήματα ευσταθή σύνολα Π.χ., ένας κύκλος μεγέθους 3 δεν περιέχει τέτοιο σύνολο Π.χ., άλλα κατευθυνόμενα γραφήματα όπως αυτό του σχήματος περιέχουν περισσότερα από ένα ευσταθή σύνολα έχει υπάρξει σημαντικό ενδιαφέρον για τη μελέτη της ύπαρξης και της μοναδικότητας ευσταθών συνόλων

31 Ευσταθή σύνολα (stable sets) Μερικά σχετικά αποτελέσματα: Κάθε ευσταθές σύνολο είναι μέγιστο ανεξάρτητο σύνολο και ελάχιστο σύνολο κυριαρχίας Κάθε συμμετρικό κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ευσταθές σύνολο και σε ένα τέτοιο γράφημα ένα σύνολο είναι ευσταθές αν και μόνον αν είναι μέγιστο ανεξάρτητο σύνολο [von Neumann and Morgenstern (1944)] Κάθε κατευθυνόμενο που δεν περιέχει κύκλους περιέχει μοναδικό ευσταθές σύνολο [Harary, Norman, Cartwright (1965)] Κάθε ισχυρά συνεκτικό κατευθυνόμενο γράφημα D με περισσότερες από μία κορυφές που δεν περιέχει περιττούς κύκλους περιέχει τουλάχιστον 2 ευσταθή σύνολα [Richardson (1946)] Κάθε κατευθυνόμενο γράφημα που δεν περιέχει περιττούς κύκλους περιέχει ευσταθές σύνολο

32 Ευσταθή σύνολα (stable sets) Το σύνολο {a, b, c, d, e} είναι το μοναδικό ευσταθές σύνολο στο κατευθυνόμενο γράφημα του σχήματος Το σύνολο {a, b, c, d, e} είναιμέγιστοανεξάρτητοσύνολοκαιελάχιστο σύνολο κυριαρχίας Υποθέτοντας ότι το γράφημα του σχήματος είναι συμμετρικό τότε τα σύνολα {a, d}, {b, d}, {b, e}, {c} είναι μέγιστα ανεξάρτητα σύνολα Τα σύνολα {a, d}, {b, d}, {b, e}, {c} είναιόλαταευσταθήσύνολα Το κατευθυνόμενο γράφημα του σχήματος περιέχει 2 ευσταθή σύνολα: {a, c} και {b, d}