ΕΞΕΛΙΞΗ ΥΒΡΙΔΙΚΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Εργαστήριο Εργαλειομηχανών και Διαμορφωτικής Μηχανολογίας Διευθυντής: Καθ. Κ.-Δ. Μπουζάκης ΕΞΕΛΙΞΗ ΥΒΡΙΔΙΚΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ Διπλωματική Εργασία ΤΣΙΑΦΗΣ ΧΡΙΣΤΟΣ Α.Ε.Μ.: 4975 Επιβλέπων: ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΓΚΑΜΠΡΙΕΛ ΜΑΝΣΟΥΡ Αριθμός Διπλωματικής: 2 /2012 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ, Απρίλιος 2012

2

3 Ευχαριστίες Πολλές ευχαριστίες οφείλω στον επιβλέποντα της εργασίας, κ. Μανσούρ Γκαμπριέλ, Αναπληρωτή Καθηγητή του Τμήματος Μηχανολόγων Μηχανικών, για όλη του την επιστημονική βοήθεια, συμπαράσταση και ηθική ενίσχυση σε όλη την διάρκεια της προσπάθειας. Επίσης θα ήταν παράληψη αν δεν ευχαριστούσα τον Διευθυντή του Εργαστηρίου Καθηγητή κ. Κ.-Δ. Μπουζάκη και την Καθηγήτρια κ. Σεβαστή Μήτση για την συμπαράστασή τους σε όλα τα βήματα της εν λόγω προσπάθειας. Τέλος ευχαριστώ θερμά τον επιβλέποντα Διδάκτορα Μηχανολόγο Μηχανικό Δημήτριο Σαγρή, τόσο για την αμέριστη αρωγή και καθοδήγηση κατά την υλοποίηση της διπλωματικής εργασίας όσο και για τις γενικότερες και πολύπλευρες γνώσεις που μου μετέδωσε όλο το διάστημα εκπονήσεως της παρούσας εργασίας. Χρίστος Τσιάφης

4 Περιεχόμενα ΕΞΕΛΙΞΗ ΥΒΡΙΔΙΚΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ... 5 EVOLUTION OF HYBRID METHOD FOR OPTIMIZATION OF SPATIAL RR MANIPULATOR Στάθμη γνώσεων Κινηματική ανάλυση χωρικών μηχανισμών Ανάλυση θέσεων Μητρώο θέσης Παράσταση Denavit-Hartenberg Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση Μέθοδοι βελτιστοποίησης Εξελικτικοί αλγόριθµοι Ορολογία εξελικτικών αλγορίθµων Κατηγορίες εξελικτικών αλγόριθµων Γενετικοί αλγόριθμοι Έννοια γενετικών αλγόριθμων Δομή γενετικού αλγόριθμου Παράμετροι βελτιστοποίησης Τεχνικές κωδικοποίησης Χειρισμός περιορισμών Εφαρμογές των Γενετικών Αλγορίθμων Πλεονεκτήματα Γενετικών Αλγορίθμων Σκοπός της εργασίας Προσδιορισμός βέλτιστων γεωμετρικών παρα-μέτρων βιομηχανικού βραχίονα, με την βοήθεια υβριδικού γενετικού αλγορίθμου Μαθηματική διατύπωση προβλήματος Προτεινόμενος αλγόριθμος Αριθμητική εφαρμογή σε βραχίονα 2 βαθμών ελευθερίας (RR) Σύγκριση αποτελεσμάτων Αποτελέσµατα σε Fortran Σύγκριση χρόνων ολοκλήρωσης διαδικασίας Σύγκριση τιµών αντικειµενικής συνάρτησης Συμπεράσματα Βιβλιογραφία

5 Ονοµατεπώνυµο / Name Τσιάφης Χρίστος Tsiafis Christos Όνοµα πατρός / Father s name Ιωάννης Ioannis ΕΞΕΛΙΞΗ ΥΒΡΙΔΙΚΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ Λέξεις Κλειδιά: Βελτιστοποίηση, Γενετικός Αλγόριθμος, Σχεδιασμός βιομηχανικού βραχίονα Περίληψη Στην παρούσα διπλωματική εργασία αναπτύσσεται μια υβριδική μέθοδος βελτιστοποίησης για τον προσδιορισμό των παραμέτρων του γεωμετρικού σχεδιασμού και των γωνιών των αρθρώσεων ενός βιομηχανικού βραχίονα όταν έχει προκαθορισθεί ένα πλήθος τοποθετήσεων του άκρους του. Το πρόβλημα επιλύεται μέσω της ελαχιστοποίησης του αθροίσματος των τετραγώνων των αποκλίσεων μεταξύ των υπολογιζόμενων και προκαθορισμένων θέσεων του άκρου. Ο προτεινόμενος υβριδικός αλγόριθμος επίλυσης αυτού του προβλήματος αναπτύχθηκε σε ΜΑΤLΑΒ και συνδυάζει έναν γενετικό αλγόριθμο, μια μέθοδο "αναρρίχησης" με κλίση (gradient) και μια μέθοδο ελέγχου των ορίων των μεταβλητών. Η αναπτυχθείσα μέθοδος εφαρμόζεται σε χωρικό βραχίονα δύο βαθμών ελευθερίας με αρθρώσεις περιστροφής RR, σε εφαρμογές με ένα έως τρία προκαθορισμένα σημεία. Για να γίνουν εμφανή τα πλεονεκτήματα της προτεινόμενης μεθοδολογίας, γίνεται σύγκριση τεσσάρων μεθόδων σε κάθε μια εκ των τριών αριθμητικών εφαρμογών. Η πρώτη μέθοδος χρησιμοποιεί ένα γενετικό αλγόριθμο, η δεύτερη συνδυάζει γενετικό αλγόριθμο με μέθοδο ελέγχου των ορίων των μεταβλητών, ενώ η τρίτη συνδυάζει γενετικό αλγόριθμο με μέθοδο αναρρίχησης και η τέταρτη είναι ο συνδυασμός όλων. Στην συνέχεια γίνεται σύγκριση των αποτελεσμάτων της προτεινόμενης διαδικασίας με αντίστοιχο προηγούμενο αλγόριθμο και διαπιστώνεται η βελτίωση των αποτελεσμάτων όσο αφορά την ελάχιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης και του χρόνου επεξεργασίας. 5

6 EVOLUTION OF HYBRID METHOD FOR OPTIMIZATION OF SPATIAL RR MANIPULATOR Key words: Optimization, Genetic algorithm, Design of industrial manipulators Abstract In the present paper a hybrid optimization method is developed to determinate the geometric design parameters and the articulation angles when the end-effector poses are pre-determinate. The problem is solved by minimizing the sum of the deviation squares between the pre-determinate poses and the real poses of the end-effector. The proposed hybrid algorithm to solve this problem developed on MATLAB and combines a genetic algorithm with a hill climbing method and a constrains handling method. The developed method is applied in two degrees of freedom spatial RR manipulator, in three numerical examples, where one, two or three end-effector poses are pre-determinate. To make evident of the advantages of the proposed method, we compare four methods in each of the three numerical examples. The first method uses a genetic algorithm, the second combines a genetic algorithm with a constrains handling method, while the third combines genetic algorithm with a hill climbing method and the fourth is a combination of all. Then we compare the results of the proposed procedure with a previous hybrid algorithm. As results we have minimize the fitness function value and the processing time. 6

7 Εισαγωγή Από την εποχή της βιομηχανικής επανάστασης και έπειτα, άρχισε για τον άνθρωπο μια συνεχής προσπάθεια για μεγαλύτερη, γρηγορότερη, ποιοτικότερη και κυρίως φθηνότερη παραγωγή προϊόντων. Έτσι, δημιουργήθηκαν ειδικά εργαλεία, γρήγορες και δυνατές μηχανές ή πιο σύνθετοι μηχανισμοί /1/. Γρήγορα άρχισε και η εξέλιξη αυτών, η αυτοματοποίησή τους που σε συνδυασμό με την εξέλιξη των υπολογιστών οδήγησε σε ανάπτυξη μονάδων ελέγχου και προγραμματισμού των μηχανών αυτών. Έτσι, στο χώρο της βιομηχανίας εμφανίστηκαν οι πρώτοι βιομηχανικοί βραχίονες ή ρομπότ, σε μορφή ανοικτής κινηματικής αλυσίδας, οι αναφερόμενοι ως σειριακοί βραχίονες /2/. Η χρήση των βιομηχανικών ρομπότ στην παραγωγική διαδικασία σήμερα είναι πλέον καθιερωμένη, ειδικά σε ορισμένες εργασίες, όπως συναρμολόγηση, βαφή, συγκολλήσεις, παραγωγή σύρματος και χαλυβφόφυλλων, η κοπή ή η διάτρηση, κτλ. Επίσης χρησιμοποιούνται σαν συστήματα αλλαγής εργαλείων ή τεμαχίων σε αυτόματες εργαλειομηχανές. Τα μεγάλα τους πλεονεκτήματα είναι η πολύ μεγάλη ακρίβεια, η ταχύτητα, η αδιάκοπη λειτουργία τους. Η αντικατάσταση του ανθρώπου στις επικίνδυνες και ανθυγιεινές εργασίας έχει επιβάλει την χρησιμοποίηση σε ευρεία κλίμακα των βιομηχανικών ρομπότ. Μεγάλο πλεονέκτημά τους είναι το ότι δεν επηρεάζονται από τον χώρο εργασίας και συνεπώς χρησιμοποιούνται σε ανθυγιεινό περιβάλλον όπως πολύ υψηλών θερμοκρασιών, με εκρηκτικές ύλες, με τοξικά ή ραδιενεργά υλικά, υποθαλάσσια και γενικότερα, όπου ο άνθρωπος θα κινδύνευε. Επίσης, όπου η εργασία είναι μονότονη ή ιδιαίτερα κουραστική, τότε οι βιομηχανικοί βραχίονες επιλέγονται κατά κύριο λόγο, αφού ούτε πλήττουν, ούτε κουράζονται. Ακόμη ένας λόγος για την ραγδαία εξάπλωση της Ρομποτικής, ιδιαίτερα τις τελευταίες τρεις δεκαετίες, εντοπίζεται στην στενή αλληλεπίδραση της με τεχνολογίες αιχμής, όπως κύρια η πληροφορική, η ηλεκτρονική και η τεχνολογία των αισθητήρων, αλλά και των σύγχρονων συστημάτων αυτομάτου ελέγχου και της 7

8 τεχνητής νοημοσύνης. Αυτή η αλληλεπίδραση λειτουργεί ως καταλύτης για κάθε μια τεχνολογία χωριστά, πυροδοτώντας αλυσιδωτές εξελίξεις. Ο κύριος χώρος που αναζητά και υποστηρίζει όλες αυτές τις εξελίξεις όλων των τεχνολογιών είναι η βιομηχανία, με κύριο πυρήνα δράσης την αυτοκινητοβιομηχανία, τόσο σε εφαρμογές κατεργασίας με αφαίρεση υλικού /4/, όσο και σε κατεργασίες πλαστικής παραμόρφωσης /5/. Έτσι, με αυτή την συνεχή ώθηση, επήλθε η εξέλιξη από τους απλούς βραχίονες των λίγων βαθμών ελευθερίας, σε βραχίονες προγραμματιζόμενους off line, με πολλούς πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας, συνεργαζόμενους σε ομάδες, με αισθητήρες περιβάλλοντος και κεντρικές μονάδες λήψης αποφάσεων, σε συνδυασμό με τεχνητή νοημοσύνη. Στις σύγχρονες βιομηχανικές εφαρμογές γίνεται περιορισμένη χρήση μεθόδων και συστημάτων βελτιστοποίησης βασισμένων σε κριτηριακή ή πολυκριτηριακή βελτιστοποίηση. Η έννοια της βελτιστοποίησης γενικότερα, βρισκόταν πάντα στις προτεραιότητες μιας παραγωγικής διαδικασίας και ιδιαίτερα αυτών που βασίζονται στη χρήση ρομποτικών συστημάτων. Τις τελευταίες δεκαετίες η ραγδαία εξέλιξη των υπολογιστών ενίσχυσε την χρήση αριθμητικών μεθόδων και ταυτόχρονα δημιούργησε την ανάγκη για εμφάνιση νέων, ταχύτερων και πιο αξιόπιστων μεθόδων βελτιστοποίησης. Πρόσφορο έδαφος εφαρμογής αυτών, αποτελούν τα προβλήματα που άπτονται της περιοχής των ρομποτικών βραχιόνων, στους οποίους η βελτιστοποίηση του κύκλου παραγωγής κρίνεται επιτακτική /5/,/6/,/7/,/8/. 8

9 9

10 1. Στάθμη γνώσεων 1.1. Κινηματική ανάλυση χωρικών μηχανισμών Ανάλυση θέσεων Τα μέλη χωρικών μηχανισμών γενικής διατάξεως ολισθαίνουν και/ή περιστρέφονται χωρίς να έχουν ακίνητα σημεία η ακίνητους άξονες περιστροφής. Γι' αυτό η κινηματική ανάλυση αυτών των μηχανισμών απαιτεί ειδικές μαθηματικές μεθόδους/2/. Το πρώτο βήμα της κινηματικής ανάλυσης έχει σαν σκοπό τον προσδιορισμό των θέσεων και προσανατολισμών όλων των μελών του μηχανισμού ως προς ένα ακίνητο σύστημα αναφοράς σαν συνάρτηση των μεταβλητών εισόδου (θέση κινητηρίων μελών) και των παραμέτρων του μηχανισμού. Για την περιγραφή της θέσεως και του προσανατολισμού κάθε μέλους ως προς ένα ακίνητο σύστημα αναφοράς, χρησιμοποιείται μια γενικευμένη μέθοδος υπό μητρωϊκή μορφή. Σ' αυτή τη μέθοδο στο κάθε μέλος του μηχανισμού θεωρείται ένα σύστημα αναφοράς συντεταγμένων, ακίνητο εν σχέσει με το μέλος και χρησιμοποιούνται τα μητρώα θέσεων (μετασχηματισμών). Το μητρώο θέσεως (μετασχηματισμού) είναι το μητρώο στο οποίο μετασχηματίζει τις συντεταγμένες ενός σημείου από ένα σύστημα αναφοράς με συντεταγμένες ως προς ένα άλλο σύστημα. 10

11 1.1.2 Μητρώο θέσης Για τον προσδιορισμό του μητρώου θέσεως, θεωρείται ότι το μέλος i ενός χωρικού μηχανισμού κινείται εν σχέσει με το γειτονικό μέλος j του ίδιου μηχανισμού. Το καρτεσιανό σύστημα αναφοράς Oixiyizi είναι ακίνητο εν σχέσει με το μέλος i και κινείται μαζί με το μέλος i. Αντίστοιχα το σύστημα Ojxjyjzj είναι ακίνητο εν σχέσει με το μέλος j και κινείται μαζί με το μέλος j. Οι συντεταγμένες ενός σημείου Ρ του μέλους i ως προς τα δυο συστήματα αναφοράς (σχήμα 2.1) είναι: pi = [xi yi zi] t pj = [xj yj zj] t (2.1) όπου [ ] t -ανάστροφο μητρώο. Σχήμα 2.1: Σχέση μεταξύ καρτεσιανών συστημάτων συντεταγμένων δυο γειτονικών μελών 11

12 Συμβολίζοντας rij = [x0 y0 z0] t το άνυσμα OjOi, oι συντεταγμένες του pj μπορούν να προσδιοριστούν από τις συντεταγμένες pi από τις σχέσεις: xj= x0+ a11xi+ a12yi+ a13z i yj= y0+ a21xi+ a22yi+ a23z i (2.2) zj= z0+ a31xi+ a32yi+ a33z i όπου οι συντελεστές alk (l,k= 1,2,3) είναι χα συνημίτονα των χωνιών μεταξύ των αντίστοιχων αξόνων των δυο συστημάτων. Η σχέση (2.2), λαμβάνοντας υπόψη και τις σχέσεις (2.1) γράφεται υπό μητρωϊκή μορφή όπου το μητρώο R είναι: pj= rji + Rp i (2.3) a 11 a12 a13 cos(xx j i) cos(xy j i) cos(xz) j i Rj= a21 a22 a23 = cos(yx j i) cos(yy j i) cos(yz) j i a 31 a32 a33 cos(zx j i) cos(zy j i) cos(zz) j i (2.4) και τα 9 στοιχεία του, είναι συνδεδεμένα μεταξύ τους με τις παρακάτω έξι σχέσεις: a a + a a + a a = a a + a a + a a = a a + a a + a a = και a + a + a = a + a + a = a + a + a = Η ορίζουσα του μητρώου R είναι 1, εάν το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων είναι δεξιόστροφο και -1 για αριστερόστροφο σύστημα. Επίσης για το μητρώο R ισχύει: R -1 = R t Έχοντας αυτές τις ιδιότητες το μητρώο R είναι ένα ορθογωνικό μητρώο. Από τις σχέσεις (2.5) προκύπτει ότι μόνο 3 από τα 9 συνημίτονα κατεύθυνσης είναι ανεξάρτητα, άρα με τρεις διαδοχικές περιστροφές το σύστημα συντεταγμένων Oixiyizi θα έχει την ίδια κατεύθυνση με το σύστημα συντεταγμένων Ojxjyjzj. Γι' αυτό το λόγο το μητρώο R καλείται μητρώο περιστροφής. Εάν τα διανύσματα pj, pi, εκφράζονται σε ομογενείς συντεταγμένες 12

13 pi = [xi yi zi 1] t pj = [xj yj zj 1] t (2.6) τότε η σχέση (2.3) παίρνει την περιορισμένη μορφή: pj = Api (2.7) όπου το μητρώο μετασχηματισμού Α 4x4 a11 a12 a13 x0 = a21 a22 a23 y0 A a31 a32 a33 z (2.8) καλείται μητρώο θέσεως. Το μητρώο μετασχηματισμού (θέσεως) Α αποτελείται από δυο υπομητρώα : το μητρώο περιστροφής και το μητρώο μεταφοράς. Μητρώο Μητρώο περιστροϕ ς µεταϕορ ς ή ά = = R P A 3x3 3x (2.9) Το μητρώο-στήλη μεταφοράς Ρ περιέχει τις συντεταγμένες της αρχής του συστήματος Οixiyizi ως προς το σύστημα συντεταγμένων 0jxjyjzj Στο μητρώο θέσεως Α υπάρχουν έξι ανεξάρτητοι παράμετροι, τρεις της περιστροφής και τρεις της μεταφοράς. Μεταξύ τους καθορίζονται σχέσεις που επιβάλλονται από το είδος του ζεύγους που συνδέει τα μέλη i και j. Εάν η αρχή του συστήματος συντεταγμένων Οixiyizi συμπίπτει με την αρχή του συστήματος συντεταγμένων 0jxjyjzj (Oi = Oj) και το σύστημα Οixiyizi περιστραφεί με τη γωνία α γύρω από τον άξονα Ojxj (=Oixi) (σχήμα 2.2), το μητρώο μετασχηματισμού Α(x,α) καλείται μητρώο περιστροφής γύρω από τον άξονα x με τη γωνιά α και έχει τη μορφή: α α α = 0 cos sin 0 A(x, ) 0 sin α cos α (2.10) 13

14 Σχήμα 2.2: Περιστροφή καρτεσιανών συστημάτων συντεταγμένων Επίσης τα μητρώα μετασχηματισμού για περιστροφή με γωνία β γύρω από τον άξονα Oj yj και αντίστοιχα με γωνία γ γύρω από τον άξονα Oj yj (σχήμα 2.2) είναι: cosβ 0 sinβ 0 β = A(y, ) sin β 0 cos β cosγ sinγ 0 0 γ γ γ = sin cos 0 0 A(z, ) (2.11) (2.12) Τα μητρώα Α(x,α), A(y,β) και Α(z,γ) καλούνται βασικά ομογενές μητρώα περιστροφής. 14

15 Το μητρώο το οποίο υποδηλώνει τη μεταφορά του συστήματος Oixiyizi που έχει τους άξονες του παράλληλους με τους άξονες του συστήματος Ojxjyjzj και η αρχή του Oi ως προς το σύστημα 0jxjyjzj έχει τις συντεταγμένες (x0 y0 z0) είναι: x0 = y0 A(x 0,y 0,z 0) z και καλείται βασικό ομογενές μητρώο μεταφοράς. 15

16 1.1.3 Παράσταση Denavit-Hartenberg Η αρκετά πολύπλοκη μορφή του μητρώου μετασχηματισμού Α μπορεί να απλοποιηθεί με την κατάλληλη εκδοχή των συστημάτων συντεταγμένων που θεωρούνται στο κάθε μέλος του μηχανισμού. Κατά τη μέθοδο Denavit-Hartenberg η εκλογή του συστήματος συντεταγμένων xiyizi του μέλους i γίνεται ως εξής (σχήμα 2.3): α) ο άξονας zi είναι κατά το μήκος του άξονα κινήσεως του ζεύγους i+1 β) ο άξονας xi είναι η κοινή κάθετος των αξόνων zi-1 και zi. Εάν αυτοί οι άξονες τέμνονται, o προσανατολισμός του άξονα xi, είναι αυθαίρετος με θετική φορά από τον άξονα zi-1, προς τον άξονα zi γ) ο άξονας yi εκλέγεται έτσι ώστε το σύστημα συντεταγμένων xiyizi να είναι δεξιόστροφο. Βάσει αυτής της μεθόδου, ο αριθμός των ανεξαρτήτων μεταβλητών του μητρώου μετασχηματισμού Α μειώνεται από έξι σε τέσσερα. Οι τέσσερεις παράμετροι ορίζονται όπως παρακάτω (σχήμα 2.3): Σχήμα 2.3: Σύστημα συντεταγμένων μέλους i κατά Denavit-Hartenberg θi: είναι η γωνία μεταξύ των αξόνων xi-1 και xi με θετική φορά κατά το μήκος του άξονα zi-1 di: είναι η απόσταση από την αρχή του συστήματος συντεταγμένων (i-1) μέχρι το σημείο τομής του άξονα zi-1 με τον άξονα xi κατά το μήκος του άξονα: zi-1 a i : είναι το µήκος της κοινής καθέτου µεταξύ των αξόνων z i-1, και z i α i : είναι η γωνία µεταξύ των αξόνων z i-1 και z i, θετική κατά το µήκος του άξονα x i 16

17 Οι παράµετροι d i και θ i προσδιορίζουν την σχετική θέση των γειτονικών µελών, ενώ οι παράµετροι α i a i προσδιορίζουν τη δοµή του µέλους i. Eαv αυτοί οι τέσσερις παράµετροι έχουν καθοριστεί για κάθε ζεύγος του µηχανισµού τότε η γεωµετρία του είναι πλήρως προσδιορισµένη. Λαµβάνοντας υπόψη τα παραπάνω, προκύπτει ότι το µητρώο µετασχηµατισµού των συντεταγµένων ενός σηµείου p i,ως προς το σύστηµα συντεταγµένων του µέλους i στις συντεταγµένες p i-1 του ίδιου σηµείου ως προς το σύστηµα συντεταγµένων του µέλους i-1,προκύπτει εκτελώντας τους ακόλουθους διαδοχικούς µετασχηµατισµούς: α) περιστροφή γύρω από τον άξονα z i-1 µε γωνιά θ i,έτσι ώστε ο άξονας x i-1 να είναι παράλληλος µε τον άξονα x i β) µεταφορά κατά το µήκος του άξονα z i-1 µε την απόσταση d i για να συµπίπτουν οι άξονες x i-1 και x i γ) µεταφορά κατά το µήκος του άξονα x i µε την απόσταση a i,έτσι ώστε οι αρχές των δυο συστηµάτων να συµπίπτουν. δ) περιστροφή γύρω από τον άξονα x i µε την γωνία α i έτσι ώστε τα δυο συστήµατα συντεταγµένων να συµπίπτουν. Το κάθε ένα από αυτά τα βήµατα, µπορούν να εκφραστούν µε τα βασικά οµογενή µητρώα µετασχηµατισµού περιστροφής και/ή µεταφοράς. Πολλαπλασιάζοντας τα τέσσερα αντίστοιχα βασικά οµογενή µητρώα µετασχηµατισµού προκύπτει το σύνθετο οµογενές µητρώο µετασχηµατισµού A i i 1 δυο γειτονικά συστήµατα συντεταγµένων. Έτσι: γνωστό σαν το µητρώο µετασχηµατισµού Denavit- Hartenberg για 17

18 i A = θ i 1 A(z, i) A(0,0,d) i A(a i,0,0) A(x,a i) cosθi sinθi θ θ α α = sin i cos i cos i sin i 0 = d α α i sin i cos i cosθi cosαisinθi sinαisinθi ai cosθi θ α θ α θ θ = sin i cos icos i sin isin i ai sin i 0 sinα α i cos i di (2.14) i Χρησιμοποιώντας το μητρώο Ai 1η σχέση μεταξύ των συντεταγμένων του σημείου pi του μέλους i ως προς το σύστημα συντεταγμένων i και των συντεταγμένων pi-1 του ιδίου σημείου ως προς το σύστημα συντεταγμένων i-1 του γειτονικού μέλους i-1 είναι: Όπου: p A p (2.15) = i i 1 i 1 i = [ ] t [ ] p x y z 1 i 1 i 1 i 1 i 1 p = x y z 1 i i i i t Προφανώς τα συστήματα συντεταγμένων i, i-1 δεν αλλάζουν τη θέση τους ως προς τα αντίστοιχα μέλη κατά τη διάρκεια της λειτουργίας του μηχανισμού. 18

19 2. Βελτιστοποίηση 2.1. Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση Ο όρος βελτιστοποίηση αναφέρεται στην εύρεση μίας ή και περισσότερων εφικτών λύσεων, οι οποίες ανταποκρίνονται στις απαιτήσεις ενός ή περισσοτέρων κριτηρίων. Η ανάγκη εύρεσης βέλτιστων λύσεων σε ένα πρόβλημα πηγάζει είτε από την προσπάθεια σχεδίασης μιας λύσης για την επίλυση του με το ελάχιστο κατασκευαστικό κόστος είτε από τη ζήτηση για μέγιστη αξιοπιστία. Λόγω των σημαντικών ιδιοτήτων των βέλτιστων λύσεων, οι μέθοδοι βελτιστοποίησης έχουν μεγάλη σημασία στην πρακτική εφαρμογή, ειδικά στον μηχανολογικό σχεδιασμό, σε επιστημονικά πειράματα και στην λήψη αποφάσεων στην εργασία./26/ Η γενική μορφή ενός προβλήματος βελτιστοποίησης ορίζεται μαθηματικά ως η εύρεση ενός διανύσματος T x = [x1, x 2,...,x n ] S όπου Si, i= 1,2,...,n είναι ο χώρος αναζήτησης και το οποίο ελαχιστοποιεί τις συναρτήσεις ( ) περιορισμούς T = [ 1( ), 2 ( ),..., M ( )] και ταυτόχρονα ικανοποιεί τους f x f x f x f x g j(x) 0, j=1,2, m l k (x) = 0, k=1,2, p Οι συναρτήσεις f(x) καλούνται αντικειμενικές συναρτήσεις. Δεδομένου ότι η μεγιστοποίηση μιας συνάρτησης f(x) ισοδυναμεί με την ελαχιστοποίηση της συνάρτησης f(x), ο παραπάνω ορισμός καλύπτει όλα τα δυνατά προβλήματα βελτιστοποίησης /34/. Η μετατροπή ενός προβλήματος μεγιστοποίησης σε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης γίνεται πολλαπλασιάζοντας τη συνάρτηση f(x) με -1 /26/. Οι περιορισμοί στους οποίους υπόκειται το πρόβλημα, είναι δυνατό να αποτελούνται από ανισότητες ή ισότητες οι οποίες αφορούν ορισμένες ή όλες τις ανεξάρτητες μεταβλητές (x 1,x 2,...,x n ) του προβλήματος /34/. Τα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι δυνατό να κατηγοριοποιηθούν σε διάφορες κλάσεις. Η κατηγοριοποίηση τους μπορεί να γίνει με βάση /34/ : 19

20 1. Ύπαρξη περιορισμών Χωρίς περιορισμούς. Όταν οι μεταβλητές μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή, τότε το πρόβλημα καλείται πρόβλημα ελαχιστοποίησης χωρίς περιορισμούς (unconstrained minimization problem). /32/ Με περιορισμούς. Σε πολλά πραγματικά προβλήματα, οι μεταβλητές πρέπει να ικανοποιούν συγκεκριμένες συνθήκες. Αυτά τα προβλήματα καλούνται προβλήματα ελαχιστοποίησης με περιορισμούς (constrained minimization problems) και είναι πιο δύσκολο να επιλυθούν από τα αντίστοιχα προβλήματα χωρίς τους περιορισμούς /32/ 2. Πλήθος αντικειμενικών συναρτήσεων Μιας αντικειμενικής συνάρτησης. Όταν ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης περιέχει μια αντικειμενική συνάρτηση, τότε ονομάζεται πρόβλημα μονοκριτηριακής βελτιστοποίησης (single-objective optimization problem) και η διαδικασία βελτιστοποίησης λέγεται μονοκριτηριακή βελτιστοποίηση (single-objective optimization)./26/ Πολλαπλών αντικειμενικών συναρτήσεων. Όταν ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης περιέχει περισσότερες από μια αντικειμενικές συναρτήσεις, τότε η διαδικασία εύρεσης βέλτιστων λύσεων, ονομάζεται πρόβλημα πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης (multi-objective ή multicriteria optimization problem) και η διαδικασία βελτιστοποίησης λέγεται πολυκριτηριακή βελτιστοποίηση (multi-objective optimization). Τα περισσότερα πραγματικά προβλήματα περιλαμβάνουν περισσότερες από μια αντικειμενικές συναρτήσεις. Η πολυκριτηριακή βελτιστοποίηση ονομάζεται και διανυσματική βελτιστοποίηση (vector optimization) επειδή βελτιστοποιείται ένα διάνυσμα αντικειμενικών συναρτήσεων και όχι μία αντικειμενική συνάρτηση./26/ 20

21 2.2. Μέθοδοι βελτιστοποίησης Οι μέθοδοι βελτιστοποίησης ονομάζονται και τεχνικές μαθηματικού προγραμματισμού, οι οποίες έχουν μελετηθεί από τον κλάδο των μαθηματικών. Η ύπαρξη πολλών διαφορετικών κατηγοριών προβλημάτων έχει ως αποτέλεσμα την ανάπτυξη μιας πλειάδας μεθόδων βελτιστοποίησης. Οι μέθοδοι βελτιστοποίησης κατηγοριοποιούνται ανάλογα με το θεωρούμενο κάθε φορά ως κύριο χαρακτηριστικό τους. Η πιο συνηθισμένη κατηγοριοποίηση των μεθόδων βελτιστοποίησης, είναι ανάλογα με τον αριθμό των ανεξάρτητων μεταβλητών του προβλήματος στις μεθόδους που αφορούν προβλήματα μιας ανεξάρτητης μεταβλητής και σε αυτές που αφορούν προβλήματα περισσότερων ανεξάρτητων μεταβλητών. Ωστόσο η μεγάλη πλειονότητα των προβλημάτων που αντιμετωπίζει ο μηχανικός αφορούν προβλήματα πολλών μεταβλητών και για τους λόγους αυτούς η παραπάνω κατηγοριοποίηση σπανίως αναφέρεται. Μια πιθανή κατηγοριοποίηση των μεθόδων βελτιστοποίησης βάση του τρόπου λειτουργίας τους είναι :/34/ Γραμμική βελτιστοποίηση (Linear optimization). Οι μέθοδοι γραμμικής βελτιστοποίησης επιλύουν προβλήματα που διέπονται από γραμμικές εξισώσεις και οι μεταβλητές των οποίων λαμβάνουν πραγματικές τιμές. Μεικτή ακέραια γραμμική βελτιστοποίηση (Mixed integer linear optimization). Οι μέθοδοι μεικτής ακέραιας γραμμικής βελτιστοποίησης επιλύουν προβλήματα που διέπονται από γραμμικές εξισώσεις αλλά ορισμένες από τις μεταβλητές τους λαμβάνουν μόνο ακέραιες τιμές. Μη γραμμική βελτιστοποίηση (Non linear optimization). Οι μέθοδοι μη γραμμικής βελτιστοποίησης επιλύουν προβλήματα που διέπονται από μη γραμμικές εξισώσεις και οι μεταβλητές των οποίων λαμβάνουν πραγματικές τιμές. Μεικτή ακέραια μη γραμμική βελτιστοποίηση (Mixed integer nonlinear optimization). Οι μέθοδοι μικτής ακέραιας μη γραμμικής βελτιστοποίησης επιλύουν προβλήματα που διέπονται από μη γραμμικές εξισώσεις αλλά ορισμένες από τις μεταβλητές τους λαμβάνουν μόνο ακέραιες τιμές. 21

22 Μέθοδοι λογισμού (Calculus methods). Oι μέθοδοι αυτοί στηρίζονται κατά κύριο λόγω στη χρήση παραγώγων και μπορούν να χωριστούν περαιτέρω σε άμεσες (direct) και έμμεσες (indirect). Οι άμεσες αναζητούν τοπικά ακρότατα της συνάρτησης κάνοντας μικρά άλματα (hill-climbing), ενώ οι έμμεσες συνήθως αξιοποιούν την τοπική πληροφορία και ασχολούνται με την εύρεση τοπικών ακρότατων επιλύνοντας συνήθως ένα σύνολο μη γραμμικών συναρτήσεων. Το βασικό τους μειονέκτημα είναι η ισχυρή εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες και η εμφάνιση τοπικότητας στην εμβέλεια. /31/,/32/. Δυναμική βελτιστοποίηση (Dynamic optimization). Η κύρια ιδέα της δυναμικής βελτιστοποίησης ή αλλιώς δυναμικού προγραμματισμού είναι η διάσπαση του αρχικού προβλήματος σε επιμέρους υποπροβλήματα τα οποία συνδέονται με τη βοήθεια κατάλληλων σχέσεων. Αφού επιλυθούν, οι λύσεις τους καταγράφονται σε ένα πίνακα ώστε το κάθε υποπρόβλημα να επιλύεται μόνο μία φορά. Η τελική λύση λαμβάνεται στην τελική κατάσταση του πίνακα./35/ Μέθοδοι τυχαίας αναζήτησης (Random search methods). Στις μεθόδους αυτές παράγονται τυχαία σημεία τα οποία αξιολογούνται και αποφασίζεται αν είναι επιθυμητά ή όχι. Σπάνια χρησιμοποιούνται μόνες τους λόγω της μειωμένης αποδοτικότητάς τους. Συνήθως χρησιμοποιούνται συνδυασμένες με μεθόδους τοπικής αναζήτησης στις οποίες παρέχουν τυχαία αρχικά σημεία για τις επανεκκινήσεις του αλγορίθμου, δίνοντας την επόμενη κατηγορία μεθόδων. /32/ Μέθοδοι επαναλαμβανόμενης αναζήτησης (Iterated search methods). Αυτές οι μέθοδοι συνδυάζουν τις μεθόδους hill-climbing με τις μεθόδους τυχαίας αναζήτησης. Έτσι όταν η μέθοδος hill-climbing φτάσει σε μία κορυφή (τοπικό ελάχιστο ή μέγιστο), ενεργοποιείται η δεύτερη, η οποία παρέχει ένα νέο αρχικό σημείο στον αλγόριθμο, από το οποίο ξεκινάει ένα νέο hill-climbing. Αυτό γίνεται αρκετές φορές κρατώντας πάντα την καλύτερη τιμή που έχει βρεθεί. Αυτές οι μέθοδοι έχουν το πλεονέκτημα της απλότητας, αλλά η απόδοση τους μειώνεται δραματικά όσο αυξάνεται ο αριθμός των τοπικών μέγιστων. /31/,/32/. Μέθοδοι προσομοιωμένης ανόπτησης (Simulated annealing methods). Αποτελούν τροποποίηση των μεθόδων hill-climbing, οπού τα άλματα πραγματοποιούνται βάση ενός σχήματος δανεισμένου από τις φυσικές διαδικασίες ανόπτησης στα μέταλλα. Οι εφαρμογές των μεθόδων προσομοιωμένης ανόπτησης 22

23 είναι πολλές. Βασικά τους μειονεκτήματα είναι ότι μελετάται μια λύση σε κάθε βήμα και δεν αξιοποιεί πλήρως τις πληροφορίες που έχουν επεξεργαστεί στα προηγούμενα βήματα. Ευρετικές μέθοδοι (Heuristic methods). Αυτές οι μέθοδοι δεν είναι αλγοριθμικές και η διαδικασία επίλυσης στηρίζεται σε μία σειρά διαδοχικών προσεγγιστικών αποτελεσμάτων του προβλήματος. Οι λύσεις που λαμβάνονται είναι απλές και ικανοποιητικές λύσεις σε μερικά προβλήματα, όμως δεν είναι βέβαιο ότι είναι οι καλύτερες δυνατές. Γεωμετρική βελτιστοποίηση (Geometrical optimization). Η γεωμετρική βελτιστοποίηση εφαρμόζεται σε προβλήματα υπολογισμού γεωμετρικών αντικειμένων, τα οποία είναι αντικείμενα βελτιστοποίησης και υπόκεινται σε περιορισμούς. /36/ Τετραγωνική βελτιστοποίηση (Quadratic optimization). Στο πρόβλημα τετραγωνικής βελτιστοποίησης, η συνάρτηση κόστους έχει μια τετραγωνική μορφή f(x) T = x Sx συν κάποια γραμμική εξάρτηση των στοιχείων του διανύσματος x, ενώ όλοι οι περιορισμοί είναι γραμμικοί. Λόγω της μορφής της, η συνάρτηση κόστους έχει ως πεδίο ορισμού ολόκληρο τον χώρο. Το ίδιο ισχύει και για τους περιορισμούς ισότητας και ανισότητας. Επομένως μόνο οι απαιτήσεις του προβλήματος ορίζουν το σύνολο ενός προβλήματος τετραγωνικού προγραμματισμού χωρίς να υπάρχουν επιπλέον περιορισμοί που να προκύπτουν από την ανάγκη ορισμού των πραγματικών συναρτήσεων f(x),g j(x),l k (x). /33/ Ακέραια βελτιστοποίηση (Integer optimization). Στα προβλήματα όπου εφαρμόζεται η ακέραια βελτιστοποίηση οι μεταβλητές παίρνουν όχι πραγματικές τιμές αλλά μόνο ακέραιες τιμές. Αυτή είναι η μόνη διαφορά ανάμεσα στην ακέραια και γραμμική βελτιστοποίηση. Παρά αυτή τη διαφορά, οι δυο μέθοδοι είναι παρόμοιες. /37/ Νευρωνικά δίκτυα (Neural networks). Η μοντελοποίηση των νευρωνικών δικτύων έχει γίνει σύμφωνα με το μηχανισμό του εγκεφάλου. Θεωρητικά, έχουν μια παράλληλη κατανεμημένη δομή επεξεργασίας πληροφοριών. Υπάρχουν τέσσερα χαρακτηριστικά που είναι άρρηκτα συνδεδεμένα με τα νευρωνικά δίκτυα. Πρώτο είναι η ικανότητα τους να μαθαίνουν μέσω παραδειγμάτων. Δεύτερο, η δυνατότητα 23

24 θεώρησης τους ως κατανεμημένη μνήμη επειδή η πληροφορία που κωδικοποιούν είναι κατανεμημένη σε όλα τα βάρη της συνδεσμολογίας τους, τα οποία αποδίδονται σε συνδέσεις που προέρχονται από άλλους κόμβους του δικτύου και καταλήγουν σε κομβικά σημεία και ως μνήμη συσχέτισης επειδή αποθηκεύουν πληροφορίες συσχετίζοντας αποθηκευμένα δεδομένα μεταξύ τους. Τρίτο, η μεγάλη τους ανοχή σε σφάλματα και τέταρτο, η ικανότητα τους για αναγνώριση προτύπων. /30/ Μέθοδοι ελέγχου ορίων μεταβλήτων. Οι μέθοδοι ελέγχου των ορίων των μεταβλητών αποτελούν μεθόδους υποστήριξης Αριθμητικών μεθόδων βελτιστοποίησης. Δεν είναι διαδικασίες, οι οποίες μπορούν να λειτουργήσουν ανεξάρτητα οδηγώντας σε κάποιο είδος βελτιστοποίησης, παρά μόνο να υποβοηθήσουν κάποια μέθοδο βελτιστοποίησης, που λειτουργεί με πεπερασμένα όρια στις μεταβλητές της. Έχουν ως αποτέλεσμα, να επιταχύνουν την διαδικασία βελτιστοποίησης ή να επιτυγχάνουν την εστίαση της διαδικασίας αναζήτησης σε ορισμένη περιοχή των δυνατών λύσεων. Βασίζονται στον αναπροσδιορισμό των ορίων των ανεξάρτητων μεταβλητών, που εμπλέκονται σε κάποιο πρόβλημα, έτσι ώστε σε κάθε νέο βήμα, ιδίως σε επιλύσεις βασιζόμενες σε εξελικτικούς αλγόριθμους, να περιορίζεται η αναζήτηση σε περισσότερο «κρίσιμες» περιοχές. Οι εργασίες που άπτονται της περιοχής αυτής είναι ποικίλες και συνεργάζονται και με τις τρεις μορφές εξελικτικών αλγορίθμων σε διάφορα πεδία εφαρμογής. Ενδεικτικά, αναφέρεται η μέθοδος ελέγχου των ορίων των μεταβλητών συνεργαζόμενη με στρατηγική εξέλιξης /22/, η οποία φέρνει καλύτερα αποτελέσματα από αυτά που προέκυπταν με την χρήση του καθιερωμένου «σχήματος απόρριψης». Αντίστοιχα, με χρήση εξελικτικού προγραμματισμού βελτιστοποιείται ο σχεδιασμός εξαρτημάτων με χρήση μεθόδου ελέγχου ορίων μεταβλητών /23/. Γενικευμένες μορφές μεθόδων ελέγχου ορίων μεταβλητών, σε συνδυασμό με γενετικούς αλγόριθμους /24/,/25/, λειτουργούν με μείωση, αύξηση ή επαναπροσδιορισμό των ορίων, που οδηγούν σε αποδοτικότερες μεθόδους αναζήτησης. Εξελικτικοί αλγόριθμοι. Θα αναλυθούν παρακάτω. 24

25 2.3. Εξελικτικοί αλγόριθμοι O C. R. Darwin το 1858, διατύπωσε τη θεωρία ότι από κάθε είδος τα άτομα εκείνα που τροποποιούν τον εαυτό τους κατά τρόπο ώστε να υπερέχουν έναντι των υπολοίπων ατόμων του ιδίου είδους, έχουν μεγαλύτερη πιθανότητα να επιζήσουν. Η αρχή αυτή αποτελεί τη βάση πάνω στην οποία λειτουργεί μια ομάδα μεθόδων βελτιστοποίησης, οι εξελικτικοί αλγόριθμοι (evolutionary algorithms). Δύο από τα βασικότερα χαρακτηριστικά των εξελικτικών αλγορίθμων είναι η μη αντίσταση τους σε αλλαγές, επεκτάσεις, μετεξελίξεις ανάλογα με την κρίση του σχεδιαστή και οι περιορισμένες απαιτήσεις τους ως προς τη φύση του προβλήματος. Ένα τρίτο εξ ίσου σημαντικό χαρακτηριστικό τους είναι το γεγονός ότι αναζητούν τις βέλτιστες τιμές μέσα από ένα σύνολο πιθανών λύσεων (πληθυσμό). Το γεγονός αυτό έχει ως αποτέλεσμα οι εξελικτικοί αλγόριθμοι να παρέχουν σε μια μόνο εκτέλεση τους περισσότερες από μία πιθανές λύσεις. Συχνά ένα πρόβλημα επιλύεται γρηγορότερα χρησιμοποιώντας συμβατικές μεθόδους, λόγω της ποικιλίας τους. Ωστόσο οι περισσότερες από τις συμβατικές μεθόδους εφαρμόζονται μόνο σε μια συγκεκριμένη κατηγορία προβλημάτων όπως οι μέθοδοι επίλυσης γραμμικών προβλημάτων που εφαρμόζονται αποκλειστικά σε γραμμικά προβλήματα. Αντιθέτως οι εξελικτικοί αλγόριθμοι εφαρμόζονται σε όλα τα προβλήματα ανεξαρτήτως και επιπλέον η φύση του προβλήματος δεν επηρεάζει σημαντικά την ταχύτητα σύγκλισής τους. Υπάρχει το ενδεχόμενο το προς επίλυση πρόβλημα να παρουσιάζει διάφορες ιδιοτυπίες, όπως η ύπαρξη ασυνεχειών ή έντονης μη-γραμμικότητας. Τέτοιες ιδιοτυπίες καθιστούν την επίλυση του προβλήματος με συμβατικές μεθόδους, πολύ δύσκολη. Ωστόσο οι ιδιοτυπίες αυτές δεν επηρεάζουν την εφαρμογή των εξελικτικών αλγόριθμων και κατά συνέπεια τέτοιου είδους προβλήματα θεωρούνται οι πιο κατάλληλες περιπτώσεις για την εφαρμογή τους. Επίσης οι εξελικτικοί αλγόριθμοι εφαρμόζονται σε τα προβλήματα που εμφανίζουν υψηλή πυκνότητα τοπικών ακρότατων, δηλαδή σημείων τα οποία είναι ακρότατα αν θεωρηθεί μόνο μία μικρή περιοχή του χώρου λύσεων, αλλά δεν αποτελούν βέλτιστες λύσεις. Σε αυτά τα προβλήματα, η πλειοψηφία των συμβατικών μεθόδων συγκλίνει σε ένα από τα τοπικά ακρότατα και η συμπεριφορά τους εξαρτάται σημαντικά από το σημείο όπου ξεκινά η αναζήτηση του ακρότατου. Αντίθετα οι εξελικτικοί αλγόριθμοι μπορούν να 25

26 καταλήξουν στο ολικό ακρότατο με ρυθμισμένες κατάλληλα τις παραμέτρους τους αλλά και να βρουν περισσότερα του ενός ή και σε αρκετές περιπτώσεις όλα τα υπάρχοντα τοπικά ακρότατα. /34/ Ορολογία εξελικτικών αλγορίθμων Σε έναν εξελικτικό αλγόριθμο, ένα σύνολο ατόμων που ονομάζεται πληθυσμός (population of individuals) εξελίσσεται προς τη λύση ενός προβλήματος βελτιστοποίησης χρησιμοποιώντας τελεστές (operators) στα άτομα του πληθυσμού. Οι τελεστές αυτοί επιφέρουν μεταβολές στα άτομα, εισάγουν νέα άτομα στο πληθυσμό ή αφαιρούν άτομα από αυτόν. Ένα άτομο (individual) είναι η αναπαράσταση μιας πιθανής λύσης του προβλήματος βελτιστοποίησης, δηλαδή αναπαριστά τις μεταβλητές της λύσης αυτής. Το άτομο κατά συνέπεια περιέχει πληροφορίες για τη θέση της πιθανής λύσης στο χώρο λύσεων του προβλήματος. Επίσης περιέχει πληροφορίες για την καταλληλότητα της λύσης αυτής, κατά πόσο δηλαδή η λύση αυτή πλησιάζει τη βέλτιστη. Οι τελεστές που εφαρμόζονται στον πληθυσμό συχνά χωρίζονται σε δύο κατηγορίες. Στην πρώτη ανήκουν οι τελεστές που τροποποιούν τα άτομα του πληθυσμού, αυξάνοντας την ποικιλία του και ως αποτέλεσμα δημιουργούν νέες πιθανές λύσεις και στη δεύτερη εκείνοι που προσθέτουν ή αφαιρούν άτομα από το πληθυσμό. Στην πρώτη κατηγορία ανήκουν οι τελεστές μετάλλαξης (mutation) και διασταύρωσης (crossover). Ο τελεστής της μετάλλαξης προσομοιώνει την αντίστοιχη φυσική διαδικασία. Ο τελεστής αυτός τροποποιεί τις παραμέτρους ενός ατόμου όπως η φυσική μετάλλαξη αλλάζει το γενετικό κώδικα των οργανισμών. Ο τελεστής της διασταύρωσης παράγει μέσω δύο ή και περισσοτέρων ατόμων (γονείς), έναν ή περισσότερους απογόνους (offsprings). Οι απόγονοι κληρονομούν κάποια από τα χαρακτηριστικά των γονέων. Στη δεύτερη κατηγορία ανήκει ο τελεστής της επιλογής (selection). Ο συγκεκριμένος τελεστής επιλέγει τα καλύτερα άτομα του πληθυσμού τα οποία θα εισαχθούν στον τελεστή διασταύρωσης. Η καταλληλότητα (fitness) ή η συνάρτηση κόστους (pay-off function) του ατόμου καθορίζει την επιλογή ενός ατόμου από τον τελεστή επιλογής. Η συνάρτηση κόστους είναι ένα μέτρο του πόσο κοντά στη βέλτιστη λύση βρίσκεται το κάθε άτομο του πληθυσμού. 26

27 Η ποικιλία (diversity) του πληθυσμού είναι ένα μέτρο της διασποράς των ατόμων του στο χώρο λύσεων του προβλήματος. Η σύγκλιση του εξελικτικού αλγόριθμου σε σχεδόν βέλτιστες λύσεις (near optimal solutions) εξασφαλίζεται από τους πληθυσμούς με μεγάλη ποικιλία ενώ η έλλειψη ποικιλίας εγκλωβίζει τον εξελικτικό αλγόριθμο σε λύσεις που δεν είναι βέλτιστες. Σε πρακτικά προβλήματα βελτιστοποίησης γίνεται αναφορά σε σχεδόν βέλτιστες λύσεις και όχι σε βέλτιστες λύσεις επειδή δεν μπορεί να υπάρξει σαφής μαθηματική απόδειξη ότι μια λύση είναι βέλτιστη και αυτό λόγω του γεγονότος ότι τα προβλήματα είναι περίπλοκα και ότι δεν υπάρχουν εξισώσεις οι οποίες να τα εκφράζουν μαθηματικά. Η βελτιστότητα μιας λύσης επαληθεύεται κυρίως με πρακτικούς τρόπους, διότι όλες οι άλλες λύσεις του προβλήματος υστερούν σε σχέση με αυτή. Η ορολογία που παρουσιάστηκε είναι κοινή για όλες τις κατηγορίες των εξελικτικών αλγορίθμων. /34/ Κατηγορίες εξελικτικών αλγόριθμων Ο τρόπος βάσει του οποίου αφαιρούνται άτομα από τον πληθυσμό αποτελεί άλλη μία κατηγοριοποίηση των εξελικτικών αλγορίθμων, η οποία διαχωρίζει τις ακόλουθες ομάδες: /34/ 1) Γενεολογικοί εξελικτικοί αλγόριθμοι (Generational evolutionary algorithms). Στους γενεολογικούς εξελικτικούς αλγόριθμους, ο αριθμός των απογόνων που δημιουργούνται, ισούται με τον αριθμό των γονέων οι οποίοι αντικαθίστανται ολοκληρωτικά από τους απογόνους και κατά συνέπεια ο αριθμός των ατόμων στο πληθυσμό παραμένει σταθερός. Σε αυτή τη κατηγορία εξελικτικών αλγόριθμων, η σύγκλιση εξαρτάται αποκλειστικά από την επιλογή των καταλληλότερων γονέων από τους οποίους θα προκύψουν καλοί απόγονοι που θα οδηγήσουν τον πληθυσμό στη βέλτιστη λύση. 2) Επιλεκτικοί ή ελιτιστικοί εξελικτικοί αλγόριθμοι (Elitist evolutionary algorithms). Στους επιλεκτικούς εξελικτικούς αλγόριθμους, ένας αριθμός βέλτιστων ατόμων παράγει περισσότερους απογόνους σε σχέση με τα υπόλοιπα άτομα του πληθυσμού ώστε να διατηρείται από γενιά σε γενιά και να βοηθάει στη σύγκλιση προς τη βέλτιστη λύση. Ο αριθμός των ατόμων στον πληθυσμό των επιλεκτικών εξελικτικών αλγόριθμων, μπορεί να είναι σταθερός ή μεταβλητός. 27

28 3) Εξελικτικοί αλγόριθμοι μόνιμης κατάστασης (Steady-state evolutionary algorithms). Οι εξελικτικοί αλγόριθμοι μόνιμης κατάστασης συνδυάζουν τις δύο παραπάνω κατηγορίες. Στους εξελικτικούς αλγόριθμους μόνιμης κατάστασης ο αριθμός των ατόμων του πληθυσμού παραμένει σταθερός. Τα άτομα κάθε γενιάς απαρτίζονται από γονείς και απογόνους της προηγούμενης γενιάς, οι οποίοι επιλέγονται με βάση την καταλληλότητά τους. Οι κυριότεροι αλγόριθμοι που περιλαμβάνονται στους εξελικτικούς αλγόριθμους είναι οι εξής : Εξελικτικός προγραμματισμός (Evolutionary programming). Ο εξελικτικός προγραμματισμός αναπτύχθηκε από τον J. Fogel το Αρχικά επιλέγεται τυχαία ένας πληθυσμός. Στον πληθυσμό αυτόν εφαρμόζεται ο τελεστής μετάλλαξης και τα άτομα που προκύπτουν αποτελούν τον καινούργιο πληθυσμό, από τον οποίο επιλέγονται τα καλύτερα άτομα. Ο τελεστής διασταύρωσης δεν εφαρμόζεται στον εξελικτικό προγραμματισμό. Το μέγεθος του πληθυσμού δεν είναι υποχρεωτικά σταθερό και επίσης υπάρχει η δυνατότητα δημιουργίας περισσότερων από ένα απογόνων, από κάθε άτομο του πληθυσμού. Εξελικτικές στρατηγικές (Evolutionary strategies). Οι εξελικτικές στρατηγικές αναπτύχθηκαν τη δεκαετία του 1970 από τους Rechnberg και Schwefel. Στην αρχική μορφή των εξελικτικών στρατηγικών, εφαρμόζεται ο τελεστής μετάλλαξης σε ένα άτομο το οποίο εμπεριέχει ένα διάνυσμα των παραμέτρων σχεδιασμού, δημιουργώντας ένα απόγονο, ο οποίος εάν είναι καλύτερος από το γονέα τότε τον αντικαθιστά στον πληθυσμό αλλιώς απορρίπτεται. Ο τελεστής μετάλλαξης λειτουργεί εισάγοντας μια κανονικά (Gaussian) κατανεμημένη τιμή, με μέση τιμή μηδέν και διασπορά σ κοινή σε όλες τις διαστάσεις, στο διάνυσμα των παραμέτρων σχεδιασμού. Μια εξελικτική στρατηγική είναι η εξελικτική στρατηγική (1+1). Ο συμβολισμός αυτός υποδηλώνει ότι ο πληθυσμός αποτελείται από ένα άτομο, από τον οποίο παράγεται ένας απόγονος. Από το σύνολο του προηγούμενου πληθυσμού και των απογόνων επιλέγεται ο καινούργιος πληθυσμός που αποτελείται επίσης από ένα άτομο. O τελεστής διασταύρωσης δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε αυτόν τον αλγόριθμο λόγω της ύπαρξης μόνο ενός άτομο σε κάθε πληθυσμό. Σε μία άλλη εξελικτική στρατηγική, ένας πληθυσμός αποτελούμενος από μ άτομα παράγει έναν απόγονο. Από το σύνολο του προηγούμενου πληθυσμού και του απογόνου 28

29 επιλέγεται ο νέος πληθυσμός που έχει πλήθος μ ατόμων. Αυτή η εξελικτική στρατηγική ονομάζεται εξελικτική στρατηγική (μ+1). Για τη δημιουργία απογόνου σε αυτή τη στρατηγική χρησιμοποιείται ο τελεστής της μετάλλαξης και ο τελεστής της διασταύρωσης. Οι δυο αυτές στρατηγικές αναπτύχθηκαν από τον Rechnberg. Η παραπάνω εξελικτική στρατηγική επεκτάθηκε από τον Schwefel δημιουργώντας την εξελικτική στρατηγική (μ+λ) και την εξελικτική στρατηγική (μ,λ). Στην πρώτη, δημιουργούνται λ απόγονοι από ένα πληθυσμό μ ατόμων και από το σύνολο του πληθυσμού και των απογόνων επιλέγεται ο καινούργιος πληθυσμός, που περιέχει μ άτομα. Στη δεύτερη, από ένα πληθυσμό μ ατόμων δημιουργούνται λ απόγονοι και από τους απογόνους επιλέγονται οι μ καλύτεροι οι οποίοι αποτελούν τον καινούργιο πληθυσμό. Πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη λ<μ. αιτών Γενετικός προγραμματισμός (Genetic programming). Ο γενετικός προγραμματισμός αναπτύχθηκε για τη δημιουργία προγραμμάτων υπολογιστών (λογισμικού) με σκοπό την επίλυση ενός προβλήματος ή μιας οικογένειας προβλημάτων. Ο γενετικός προγραμματισμός χρησιμοποιώντας την επιλογή, τη διασταύρωση, τη μετάλλαξη καθώς και διαδικασίες αλλαγής της αρχιτεκτονικής δομής, αναπαράγει γενετικά έναν πληθυσμό προγραμμάτων υπολογιστών και εκτελεί αυτόματο προγραμματισμό (επίσης γνωστό ως σύνθεση προγράμματος ή επαγωγή προγράμματος). Η διαδικασία του γενετικού προγραμματισμού αρχίζει δημιουργώντας έναν αρχικό πληθυσμό αποτελούμενο από προγράμματα υπολογιστών που παράγονται τυχαία. Το σύνολο των λειτουργιών, οι οποίες μπορούν να εμφανιστούν στη δομή ενός προγράμματος, περιλαμβάνει τις συνηθισμένες αριθμητικές λειτουργίες και τους τελεστές ελέγχου ροής του προγράμματος. Επίσης κάθε πρόγραμμα περιλαμβάνει τις μεταβλητές καθώς και διάφορες σταθερές. Τα προγράμματα του αρχικού πληθυσμού του γραμμικού προγραμματισμού, τα οποία δημιουργούνται τυχαία, προκύπτουν συνδυάζοντας τυχαία τα παραπάνω στοιχεία. Αφού έχει δημιουργηθεί ο αρχικός πληθυσμός, ξεκινά το επαναληπτικό μέρος του γραμμικού προγραμματισμού. Αυτό το μέρος απαρτίζεται από την αξιολόγηση ικανότητας, την επιλογή και την εφαρμογή των γενετικών τελεστών. Κάθε μεμονωμένο πρόγραμμα στον πληθυσμό αξιολογείται ώστε να καθοριστεί η καταλληλότητά του για την επίλυση του προβλήματος. Έπειτα τα προγράμματα επιλέγονται με πιθανότητα ανάλογη της καταλληλότητας του για 29

30 να εισαχθούν σε έναν ενδιάμεσο πληθυσμό στον οποίο γίνεται εφαρμογή των υπόλοιπων τελεστών. Οι τελεστές που εφαρμόζονται κατά τη λειτουργία του γραμμικού προγραμματισμού είναι όμοιοι με αυτούς που χρησιμοποιούνται στους υπόλοιπους εξελικτικούς αλγόριθμους, με εξαίρεση τον τελεστή της αλλαγής αρχιτεκτονικής ο οποίος δεν χρησιμοποιείται στους υπόλοιπους εξελικτικούς αλγόριθμους. Ο τελεστή της αλλαγής αρχιτεκτονικής δομής (architecture-altering operator) παρέχει ένα τρόπο ώστε κατά τη διάρκεια της εκτέλεσης του γενετικού προγραμματισμού να προσθέτει και να διαγράφει υπορουτίνες στα προγράμματα υπολογιστών που παράγονται τυχαία, τα οποία με τη σειρά τους να προσθέτουν και να διαγράφουν ανεξάρτητες μεταβλητές συναρτήσεων στις υπορουτίνες. Γενετικοί αλγόριθμοι (Genetic algorithms). Η έρευνα πάνω στους γενετικούς αλγόριθμους ξεκίνησε από τον John Holland το 1960 και το 1967 ο J. D. Bagley τους βάφτισε με το σημερινό τους όνομα. Οι γενετικοί αλγόριθμοι παρουσιάζονται αναλυτικά στο παρακάτω τμήμα. 30

31 3. Γενετικοί αλγόριθµοι Οι γενετικοί αλγόριθμοι είναι η πλέον διαδεδομένη και συνεχώς εξελισσόμενη μορφή των εξελικτικών αλγορίθμων, όπως αποδεικνύεται και από το πλήθος των άρθρων που δημοσιεύονται σε επιστημονικά περιοδικά κάθε ειδικότητας. Την πρώτη απόπειρα γενετικού αλγορίθμου αποτέλεσε η προσομοίωση του μηχανισμού εξέλιξης των ειδών από τον βιολόγο Frazer (1960). Η βασική και πλέον διαδεδομένη μορφή τους διατυπώθηκε από τον Holland (1975), ο οποίος επισήμανε τις ομοιότητες φυσικής εξέλιξης των ειδών και των διαδικασιών βελτιστοποίησης. Στη βασική τους μορφή, κύρια χαρακτηριστικά τους είναι η αναπαράσταση των παραμέτρων σε δυαδικό σύστημα, καθώς επίσης και ο στοχαστικός τελεστής επιλογής. 3.1 Έννοια γενετικών αλγόριθμων Για τον προσδιορισμό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβλημα με γενετικό αλγόριθμο, οι μεταβλητές από τις οποίες αποτελείται μια πιθανή λύση του προβλήματος ονομάζονται χρωμοσώματα (chromosomes). Το σύνολο των χρωμοσωμάτων που αναπαριστούν μια πιθανή λύση ονομάζεται άτομο (individual), ενώ το σύνολο των ατόμων που αποτελούν πιθανές λύσεις ονομάζεται πληθυσμός. Τα άτομα αυτά εξελίσσονται μέσω της επιλογής (selection), της διασταύρωσης (crossover) και της μετάλλαξης (mutation). Η επιλογή είναι η εφαρμογή της θεωρίας του Darwin για επιβίωση του καταλληλότερου (survival of the fittest). Η διασταύρωση προσομοιάζει την αναπαραγωγή των έμβιων όντων κατά την οποία δημιουργούνται καινούργια άτομα στα οποία ενέχεται μέρος του γενετικού υλικού των δύο γονέων τους. Η μετάλλαξη προσομοιάζει τη διαδικασία τροποποίησης του γενετικού υλικού των ατόμων από εξωγενείς παράγοντες. Η επανάληψη των παραπάνω διαδικασιών γίνεται μέχρι να ικανοποιηθεί το κριτήριο τερματισμού. Κάθε επανάληψη ονομάζεται γενιά (generation). Τα άτομα-λύσεις που υφίστανται διασταύρωση και μετάλλαξη ονομάζονται γονείς και το αποτέλεσμα που προκύπτει από αυτές τις λειτουργίες καλείται απόγονοι (offsprings). Οι γενετικοί και γενικότερα οι εξελικτικοί αλγόριθμοι έχουν τέσσερις χαρακτηριστικές διαφορές από τις υπόλοιπες τεχνικές βελτιστοποίησης, οι οποίες είναι /34/: 31

32 Οι γενετικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούν τη συνάρτηση κόστους (pay-off function αναφερόμενη και ως συνάρτηση καταλληλότητας fitness function) και όχι τις παραγώγους κάποιας συνάρτησης. Οι γενετικοί αλγόριθμοι επιδρούν σε ένα πληθυσμό σημείων (πιθανών λύσεων) και όχι σε ένα σημείο (πιθανή λύση). Έτσι η απόδοση των γενετικών αλγόριθμων αυξάνεται σημαντικά, σε σχέση με τις μεθόδους που ερευνούν ένα σημείο, σε προβλήματα τα οποία έχουν πολλά τοπικά ακρότατα. Σε τέτοια προβλήματα οι μέθοδοι ενός σημείου παγιδεύονται εύκολα σε ένα από τα ακρότατα και συχνότατα χάνουν τα ολικά ακρότατα. Επιπρόσθετα η επίδραση σε πολλά σημεία ταυτόχρονα δίνει στους γενετικούς αλγόριθμους τη δυνατότητα να παρέχουν σε κάθε εκτέλεση τους περισσότερες από μία λύσεις κοντά στη βέλτιστη λύση. Η δυνατότητα αυτή χρησιμεύει σε προβλήματα μηχανικών για το λόγο της παροχής της δυνατότητας επιλογής ανάμεσα σε ισοδύναμες λύσεις, στο χρήστη των γενετικών αλγόριθμων. Οι γενετικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούν πιθανολογικούς (στοχαστικούςprobabilistic) και όχι αιτιοκρατικούς (ντετερμινιστικούς) κανόνες για να μεταβούν από ένα σημείο σε άλλα. Έτσι οι εξελικτικοί αλγόριθμοι αποκτούν τη δυνατότητα έρευνας σε περισσότερες περιοχές του χώρου λύσεων, ενισχύοντας τη δυνατότητα εύρεσης λύσης. Οι γενετικοί επιδρούν σε μια κωδικοποιημένη αναπαράσταση των παραμέτρων και όχι στις παραμέτρους καθ εαυτές. Οι γενετικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούν κωδικοποιημένες αναπαραστάσεις των μεταβλητών, αποκτώντας τη δυνατότητα εξερεύνησης με τον καλύτερο τρόπο των πληροφοριών που περιέχονται σε κάθε άτομο του πληθυσμού. Η θεωρία των σχημάτων που αναπτύχθηκε από τον Holland θεμελιώνει μαθηματικά την χρηστική αξία των κωδικοποιημένων μεταβλητών. Οι διαφορές αυτές καθιστούν τους γενετικούς αλγόριθμους μία από τις ισχυρότερες μεθόδους βελτιστοποίησης και έρευνας, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε οποιοδήποτε πρόβλημα. 32

33 3.2 Δομή γενετικού αλγόριθμου Αρχικά σε ένα γενετικό αλγόριθμο καθορίζεται η κωδικοποίηση και η κατάλληλη συνάρτηση κόστους που είναι από τα πιο σημαντικά συστατικά για ένα γενετικό αλγόριθμο και τα οποία τον συνδέουν με το πρόβλημα που λύνει. Για τον ορισμό ενός προβλήματος βελτιστοποίησης είναι απαραίτητο να οριστούν οι μεταβλητές που θα βελτιστοποιηθούν, το πεδίο ορισμού τους και οι περιορισμοί στους οποίους υπόκεινται. Προκειμένου να εφαρμοστούν οι αλγόριθμοι σε ένα τέτοιο πρόβλημα βελτιστοποίησης, κάθε μια από τις μεταβλητές πρέπει να κωδικοποιηθεί (coding). Η κωδικοποίηση αφορά ένα σύνολο πιθανών λύσεων του προβλήματος. Για να είναι δυνατή η επεξεργασία από τον υπολογιστή, η αναπαράσταση των λύσεων πρέπει να γίνει με μαθηματικά. Εκτός αυτού, κωδικοποίηση υπάρχει και στο φυσικό μοντέλο (χρωμοσώματα) όπου όλες οι αλλαγές στους οργανισμούς γίνονται πάνω στα κωδικοποιημένα χαρακτηριστικά των χρωμοσωμάτων. Κύριος στόχος της κωδικοποίησης είναι η ικανοποιητικά αναπαράσταση των επιμέρους χαρακτηριστικών των λύσεων, ώστε να διευκολύνει τις επόμενες λειτουργίες του αλγορίθμου, κυρίως την επιλογή. Αποτέλεσμα της κωδικοποίησης πρέπει να είναι η ύπαρξη ομοιοτήτων ανάμεσα στα άτομα με πρόθεση την κατάλληλη εκμετάλλευση τους, επειδή οι ομοιότητες βοηθούν την κατεύθυνση της αναζήτησης./31/ Υπάρχουν διάφορα είδη κωδικοποίησης που μπορούν να γίνουν από πρόβλημα σε πρόβλημα. Η πιο απλή είναι η δυαδική κωδικοποίηση όπου τα χρωμοσώματα μπορεί να αναπαρίστανται δυαδικά λαμβάνοντας ως τιμές τα ψηφία (bits) 0 ή 1 και ονομάζονται γονίδια. Η δυαδική αναπαράσταση προτάθηκε από τον Ηolland και έχει πλεονέκτημα της ευκολότερης αναπαραγωγής ατόμων με διασταύρωση και μετάλλαξη, μειονεκτεί όμως στην εύκολη κατανόηση των αποτελεσμάτων. Κάθε λύση αναπαρίσταται από μια δυαδική συμβολοσειρά (binary string) καθορισμένου μήκους. Η κωδικοποίηση είναι ένα κρίσιμο βήμα στην εφαρμογή του γενετικού αλγόριθμου και αν δεν είναι προσεκτική, πιθανότατα θα αποβεί μοιραία για την επιτυχία του. Η καταλληλότητα της κωδικοποίησης εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τη διαίσθηση και την πείρα του εκπονητή του προγράμματος. Μερικές φορές, προφανείς τρόποι κωδικοποίησης μπορεί να είναι λίγο ή και καθόλου αποτελεσματικοί. /31,/28/ 33

34 Το δεύτερο βασικό στοιχείο της σύνδεσης ενός γενετικού αλγόριθμου με το πρόβλημα που λύνει, είναι η συνάρτηση κόστους. Η τιμή της συνάρτησης κόστους βασίζεται στις τιμές των αντικειμενικών συναρτήσεων του προβλήματος. Η συνάρτηση αυτή αποτελεί τη συνάρτηση που γίνεται η βελτιστοποίηση και καθορίζει το χώρο των λύσεων προς τον οποίο θα κινηθεί ο γενετικός αλγόριθμος για να φτάσει στη βέλτιστη λύση. Επίσης δείχνει πόσο κατάλληλη είναι κάθε λύση που παράγεται στη διάρκεια των επαναληπτικών διαδικασιών. Η επιλογή της συναρτήσεως κόστους γίνεται με τέτοιο τρόπο ώστε να έχει μόνο θετικές τιμές, με κατάλληλο μετασχηματισμό των αντικειμενικών συναρτήσεων. Σε περίπτωση που το πρόβλημα διέπεται μόνο από μια αντικειμενική συνάντηση, η συνάρτηση κόστους είναι η ίδια η αντικειμενική συνάντηση ή ένας μετασχηματισμός αυτής. Η χρησιμοποίηση μόνο μιας συνάρτησης κόστους, καθιστά τον γενετικό αλγόριθμο μια μέθοδο η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε περιπτώσεις όπου το προς επίλυση πρόβλημα δεν διέπεται από κάποια συνάρτηση. Επίσης η συνάρτηση αυτή δεν είναι γνωστή, όπου το προς επίλυση πρόβλημα διέπεται από συνάρτηση η οποία δεν είναι παραγωγίσιμη και όπου ο χώρος στον οποίο επιλύεται το πρόβλημα δεν είναι συνεχής. Η αντικειμενική συνάρτηση, η οποία συνδέεται με τη συνάρτηση κόστους, παίρνει ως είσοδο μία αποκωδικοποιημένη συμβολοσειρά και επιστρέφει μια τιμή, συνήθως πραγματική, που είναι ανάλογη του πόσο καλά λύνει το πρόβλημα η συγκεκριμένη συμβολοσειρά. Η τιμή αυτή αποτελεί και τον καθοριστικό παράγοντα επιβίωσης και πολλαπλασιασμού ή όχι του ατόμου. Η αντικειμενική συνάρτηση αντιπροσωπεύει το περιβάλλον στο τεχνικό μοντέλο. Ουσιαστικά, είναι η μόνη πληροφορία που δέχεται ο αλγόριθμος για το πρόβλημα που λύνει. Είναι σημαντικό η αντικειμενική συνάρτηση να υπολογίζεται εύκολα, ώστε να μην επιβραδύνονται οι ρυθμοί της διαδικασίας. Με τον καθορισμό της κωδικοποίησης και της συνάρτησης κόστους πραγματοποιείται πλέον ο ορισμός του προβλήματος και η ολοκλήρωση του πρώτου σταδίου εφαρμογής ενός γενετικού αλγόριθμου. Το στάδιο αυτό είναι ανεξάρτητο και αυτόνομο από τα επόμενα μέρη. Οι λειτουργίες που ακολουθούν από εδώ και πέρα δεν εξαρτώνται από τον τρόπο της αναπαράστασης των ατόμων στο τεχνητό περιβάλλον και της αξιολόγησης των ικανοτήτων τους. Αυτό το σπουδαίο 34

35 χαρακτηριστικό, επιτρέπει την αντιμετώπιση πολλών προβλημάτων αλλάζοντας απλά κάτι στην συνάρτηση κόστους, ίσως και στην κωδικοποίηση. Η κωδικοποίηση και η συνάρτηση κόστους υπάρχουν πάντα σε κάθε γενετικό αλγόριθμο, ανεξαρτήτως του προβλήματος. Στο επόμενο στάδιο περιλαμβάνονται λειτουργίες που ανήκουν στην εκτέλεση του γενετικού αλγόριθμου. Εδώ γίνεται ο κύριος όγκος της εργασίας και παράγεται το αποτέλεσμα της βελτιστοποίησης. Η δομή της λειτουργίας ενός γενετικού αλγόριθμου αποτελείται από τα παρακάτω βήματα: Δημιουργία αρχικού πληθυσμού (Initialization). Υπολογισμός της καταλληλότητας (fitness calculation) των ατόμων του πληθυσμού, με χρήση της συνάρτησης κόστους. Αναπαραγωγή Επιλογή γονέων (Selection). Διασταύρωση ζευγαριών ατόμων (Crossover). Μετάλλαξη μεμονωμένων ατόμων (Mutation). Δημιουργία νέας γενιάς, επιστροφή στο βήμα 2. Ο αλγόριθμος τερματίζεται, αφού ικανοποιηθούν τα κριτήρια τερματισμού. Σχήμα 3.1: Δομή λειτουργίας γενετικού αλγόριθμου κατά τη φάση εκτέλεσης του, με ένα συνολικό πληθυσμό 35

36 3.3. Παράμετροι βελτιστοποίησης Οι γενετικοί αλγόριθμοι είναι στοχαστικές, επαναληπτικές μέθοδοι, που δεν εγγυώνται τη σύγκληση στο γενικό βέλτιστο, παρά μόνο προσεγγίζουν διακριτές θέσεις (λύσεις) στο χώρο αναζήτησης, που μέσω των επαναλήψεων και των εφαρμοζόμενων τελεστών τείνουν να ωθούν τις λύσεις προς τις πλέον ποιοτικές. Οι διαδικασίες και οι τελεστές που ενεργοποιούνται σε κάθε γενιά γενετικού αλγορίθμου, αναλύονται στη συνέχεια. Οι διάφορες φάσεις που ανήκουν στο επαναληπτικό μέρος ενός γενετικού αλγόριθμου υλοποιούνται με ποικίλες συναρτήσεις και μαθηματικές μεθόδους. Παρακάτω περιγράφονται οι κυριότερες από αυτές καθώς και οι παράγοντες που καθορίζουν τη σύσταση του πληθυσμού : 1. Συναρτήσεις επιλογής (Selection functions) Υπάρχουν πολλές μέθοδοι επιλογής που παρουσιάζονται παρακάτω, με απλούστερη αλλά και συνηθέστερη την προτεινόμενη από τον Holland (roulette-wheel selection). α) Επιλογή ρουλέτας (Roulette-wheel selection). Διαμορφώνεται ένας εικονικός τροχός, με πλήθος εγκοπών ανάλογο με το μέγεθος του πληθυσμού. Το πλάτος κάθε εγκοπής είναι ανάλογο της καταλληλότητας κάθε ατόμου, έτσι ώστε ακόμα και το πλέον αδύναμο μέλος να έχει μη μηδενική πιθανότητα επιλογής Χρωμόσωμα με μεγαλύτερη καταλληλότητα θα επιλεγεί περισσότερες φορές. /6/. β) Στοχαστική γενική δειγματοληψία (Stochastic universal sampling). Δημιουργείται μία ευθεία και κάθε άτομο αντιστοιχεί σε συνεχές τμήμα αυτής, τέτοιο ώστε κάθε τμήμα να είναι ανάλογο σε μέγεθος με την πιθανότητα επιλογής του 36

37 fi ατόμου p, i η οποία υπολογίζεται από την σχέση pi = N f i i= 1. Έπειτα τοποθετούνται δείκτες σε ίσες αποστάσεις πάνω στη γραμμή τόσοι όσα είναι τα άτομα τα οποία θα επιλεχθούν. Θεωρώντας το ΝP ότι είναι ο αριθμός των ατόμων που θα επιλεχθούν και ο οποίος προκύπτει από το γινόμενο του αριθμού του πληθυσμού ή του κάθε υποπληθυσμού με το χάσμα γενεών το οποίο ορίζεται από τον χρήστη, η απόσταση μεταξύ των δεικτών είναι 1/ΝP και η απόσταση της θέση του πρώτου δείκτη από την αρχή της ευθείας, επιλέγεται τυχαία ανάμεσα στο μέγεθος [0,1/NP]. Έτσι βλέποντας σε πιο κομμάτι αντιστοιχεί ο κάθε δείκτης, επιλέγονται και τα αντίστοιχα άτομα. Για να γίνει πιο κατανοητή η μέθοδος δίνεται το παράδειγμα του πίνακα 2.5.1, όπου από τα 11 άτομα θα επιλεχθούν 6. Πίνακας 3.1 Πιθανότητες επιλογής και τιμές καταλληλότητας /7/. Αριθμός ατόμων Τιμή καταλληλότητας 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 Πιθανότητα επιλογής 0,18 0,16 0,15 0,13 0,11 0,09 0,07 0,06 0,03 0,02 0 Η απόσταση ανάμεσα στους δείκτες είναι 1/6=0,167. Το σχήμα δείχνει την επιλογή. Επιλέγεται 0,1 η απόσταση του πρώτου δείκτη από την αρχή της ευθείας. Σχήμα 3.2 Στοχαστική γενική επιλογή. Μετά την επιλογή ο πληθυσμός ζευγαρώματος περιέχει τα άτομα 1, 2, 3, 4, 6, 8. /27/ 37

38 γ) Επιλογή με διαγωνισμό (Tournament selection). Επιλέγονται τυχαία άτομα που συγκροτούν μία ομάδα (το πλήθος των ατόμων έχει οριστεί από το χρήστη) και έπειτα γίνεται η αντιγραφή του πιο ισχυρού ατόμου από την παραπάνω σχηματισθείσα ομάδα, στο βοηθητικό σύνολο. Το ρόλο του γονέα αναλαμβάνει το άτομο με την καλύτερη απόδοση στην εκάστοτε ομάδα. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται τόσες φορές όσες απαιτείται για να συμπληρωθεί το μέγεθος του πληθυσμού. δ) Ομοιόμορφη επιλογή (Uniform Selection). Στη μέθοδο αυτή, κάθε φορά επιλέγεται ένα τυχαίο άτομο, χωρίς να λαμβάνονται υπ' όψη οι τιμές καταλληλότητας (δηλαδή η πιθανότητα επιλογής ενός ατόμου είναι ίση με το λόγο 1/N, όπου N το μέγεθος του πληθυσμού), δηλαδή ο γενετικός αλγόριθμος ισοδυναμεί με τυχαίο ψάξιμο στο χώρο λύσεων./27/ ε) Επιλογή Κατάταξης (Rank Selection). Η προηγούμενη επιλογή θα έχει προβλήματα όταν η καταλληλότητα διαφέρει πάρα πολύ. Η επιλογή κατάταξης πρώτα βαθμολογεί τον πληθυσμό και στη συνέχεια κάθε χρωμόσωμα λαμβάνει βαθμό καταλληλότητας. Το χειρότερο θα έχει βαθμό 1, το επόμενο 2 κ.λπ. και τα καλύτερα θα έχουν βαθμό Ν (αριθμός των χρωμοσωμάτων του πληθυσμού). Μπορείτε να δείτε στην παρακάτω εικόνα, πως η κατάσταση αλλάζει μετά την αλλαγή καταλληλότητας στον αύξοντα αριθμό. Κατάσταση πριν από την κατάταξη Κατάσταση μετά την κατάταξη 38

39 Μετά από αυτό όλα τα χρωμοσώματα έχουν την ευκαιρία να επιλεγούν. Αλλά αυτή η μέθοδος μπορεί να οδηγήσει σε πιο αργή σύγκλιση, επειδή τα καλύτερα χρωμοσώματα δεν διαφέρουν τόσο πολύ από τα άλλα. ζ) Κατάσταση σταθερής επιλογής (Steady-State Selection). Αυτό δεν αποτελεί συγκεκριμένη μέθοδο για την επιλογή των γονέων. Κύρια ιδέα αυτής της μεθόδου είναι ότι μεγάλο μέρος των χρωμοσωμάτων θα πρέπει να επιβιώσουν στην επόμενη γενιά. Ο GA στην συνέχεια λειτουργεί με τον ακόλουθο τρόπο. Σε κάθε γενιά επιλέγονται μερικά (με υψηλή ικανότητα) χρωμοσώματα για τη δημιουργία ενός νέου απογόνου. Στη συνέχεια, μερικά (με χαμηλή ικανότητα) χρωμοσώματα αφαιρούνται κα ο νέος απόγονος τοποθετείται στη θέση τους. Το υπόλοιπο του πληθυσμού επιβιώνει στην νέα γενιά. 2. Συναρτήσεις διασταύρωσης (Crossover functions) Η διασταύρωση εφαρμόζεται σε ζεύγη επιλεγμένων ατόμων που ονομάζονται γονείς, μεταφέροντας τμήματα των χρωμοσωμάτων τους με σκοπό τον σχηματισμό δύο νέων χρωμοσωμάτων, που ονομάζονται απόγονοι. Η πιθανότητα διασταύρωσης εκφράζει το ποσοστό πραγματοποίησης ενός ανασυνδυασμού μεταξύ δύο γονέων. Οι Συναρτήσεις διασταύρωσης παρουσιάζονται παρακάτω: α) Διασταύρωση μονού σημείου (Single point crossover). Επιλέγεται στη τύχη μία θέση διασταύρωσης κ μεταξύ [1, Νvar-1], όπου Νvar είναι ο αριθμός των μεταβλητών. Το γενετικό υλικό ανταλλάσσεται ανάμεσα στα άτομα από το επιλεγμένο σημείο και πέρα και παράγονται δυο νέοι απόγονοι. Επιλέγεται όταν χρησιμοποιείται δυαδική κωδικοποίηση μεταβλητών = β) Διασταύρωση διπλού σημείου (Two point crossover). Πρόκειται για την εφαρμογή της διασταύρωσης μονού σημείου δύο φορές, αφού πρώτα επιλεγούν με τυχαίο τρόπο δύο θέσεις διασταύρωσης. Το γενετικό υλικό 39

40 ανταλλάσσεται μόνο ανάμεσα στα δύο σημεία. Έπειτα παράγονται δυο νέοι απόγονοι. Επιλέγεται όταν χρησιμοποιείται δυαδική κωδικοποίηση μεταβλητών. γ) Διασκορπισμένη διασταύρωση (Scattered crossover). Δημιουργείται τυχαία ένα διάνυσμα δυαδικών αριθμών. Στις θέσεις του διανύσματος με τιμή 1 επιλέγεται το αντίστοιχο γονίδιο από τον πρώτο γονέα και στις θέσεις με τιμή 0 από τον δεύτερο. Τα δυο γονίδια συνδυάζονται για να σχηματιστεί ένας απόγονος. Επιλέγεται όταν χρησιμοποιείται δυαδική κωδικοποίηση μεταβλητών. δ) Αριθμητική διασταύρωση (Arithmetic crossover). Ενεργεί πάνω σε δυο γονείς, παράγοντας ένα νέο άτομο, το οποίο απορρέει από τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου των γονέων του. Μερικές φορές, οι δυο γονείς δεν μετέχουν ισότιμα, αλλά χρησιμοποιώντας συντελεστές βάρους. Η αριθμητική διασταύρωση δουλεύει πολύ καλά όσο αφορά την πραγματική κωδικοποίηση = (AND) ε) Ομοιόμορφη διασταύρωση (Uniform crossover). Δύο συμβολοσειρές-γονείς ανταλλάσουν γενετικό υλικό και έτσι προκύπτουν δύο απόγονοι. Η διαδικασία πραγματοποιείται βασιζόμενη σε μια συμβολοσειρά που επιλέγεται τυχαία και ανάλογα με την τιμή του δυαδικού ψηφίου της κάθε θέσης της γίνεται ο καθορισμός του γονέα κάθε παιδιού, από τον οποίο θα προέλθει το γενετικό υλικό για τη συγκεκριμένη θέση. Επιλέγεται όταν χρησιμοποιείται δυαδική κωδικοποίηση μεταβλητών 40

41 = ζ) Δέντρο διασταύρωσης (Tree crossover). Και στους δύο γονείς επιλέγεται ένα σημείο διασταύρωσης,οι γονείς χωρίζονται σε εκείνο το σημείο και ανταλλάσουν το μέρος που βρίσκεται κάτω από αυτό το σημείο για την παραγωγή νέων απογόνους 3. Συναρτήσεις μετάλλαξης (Mutation functions) Η δημιουργία τροποποιημένων ατόμων κατά την εξελικτική διαδικασία, με σκοπό να αποτραπεί η σύγκλιση σε τοπικά βέλτιστα, επιτυγχάνεται με τον συντελεστή μετάλλαξης. Ο τελεστής μετάλλαξης επιλέγει τυχαία χαρακτήρες μέσα στη συμβολοσειρά και τροποποιεί την τιμή τους, οδηγώντας έτσι στην επίτευξη νέου σημείου στον χώρο αναζήτησης. Η τροποποίηση αυτή περιγράφεται και πάλι από μια πιθανότητα πραγματοποίησης της. Όταν η κωδικοποίηση γίνεται με χαρακτήρες του δυαδικού συστήματος, τότε η μετάλλαξη γίνεται με αλλαγή του 0 σε 1 και αντίστροφα. Στην κωδικοποίηση πραγματικών αριθμών γίνεται με την πρόσθεση ή αφαίρεση ενός μικρού αριθμού στους επιλεγμένους προς μετάλλαξη χαρακτήρες. α) Gaussian μετάλλαξη (Gaussian mutation). 41

42 Αφορά χρωμοσώματα πραγματικών ακέραιων αριθμών. Ένας τυχαίος αριθμός που προκύπτει από μια κατανομή Gauss, προστίθεται σε κάθε γονίδιο ενός επιλεγμένου ατόμου. Η κατανομή αυτή έχει κεντρική τιμή το 0 και απόκλιση καθορισμένη από το χρήστη, η οποία φθίνει από γενιά σε γενιά με συγκεκριμένο ρυθμό. β) Ομοιόμορφη μετάλλαξη (Uniform mutation). Από κάποιο άτομο επιλέγονται τα γονίδια τα οποία θα μεταλλαχθούν. Υπάρχει μικρή πιθανότητα για κάθε γονίδιο να επιλεγεί. Στα επιλεγμένα γονίδια δίνεται μία τυχαία τιμή από το πεδίο ορισμού τους. γ) Πραγματική μετάλλαξη (Real mutation). Η μετάλλαξη των μεταβλητών, οι οποίες είναι κωδικοποιημένες με πραγματική κωδικοποίηση, σημαίνει ότι τυχαία δημιουργημένες τιμές προστίθενται στις μεταβλητές με χαμηλή ποιότητα. Κατά τη διαδικασία της μετάλλαξης, πρέπει να καθορίζεται η πιθανότητα της μετάλλαξης μιας μεταβλητής που λέγεται ποσοστό μετάλλαξης (mutation rate) και υπολογίζεται από τον τύπο 1/n όπου n o αριθμός των μεταβλητών ενός ατόμου. Δηλαδή το ποσοστό μετάλλαξης ορίζει πόσες μεταβλητές ανά άτομο θα μεταλλαχθούν. Επίσης πρέπει να καθορίζεται το μέγεθος των τροποποιήσεων για κάθε μεταβλητή που μεταλλάσσεται, το οποίο λέγεται βήμα μετάλλαξης (mutation step). Η πιθανότητα της μετάλλαξης μιας μεταβλητής είναι αντιστρόφως ανάλογη με τον αριθμό των μεταβλητών (διαστάσεις). Μέσω πειραμάτων έχει επισημανθεί ότι σε κάθε επανάληψη της γενετικής διαδικασίας, ανά μια μετάλλαξη μόνο μια μεταβλητή ανά άτομο μεταλλάσσεται. Όσες περισσότερες διαστάσεις έχει ένα άτομο, τόσο μικρότερη είναι η πιθανότητα μετάλλαξης. Το μέγεθος του βήματος μετάλλαξης είναι δύσκολο να επιλεχθεί. Το βέλτιστο μέγεθος εξαρτάται από το εξεταζόμενο πρόβλημα και μπορεί να ποικίλει κατά τη διάρκεια της βελτιστοποίησης. Τα μικρότερα βήματα μετάλλαξης είναι συνήθως επιτυχή, ιδίως όταν το άτομο είναι προσαρμόζεται εύκολα. Τα μεγαλύτερα βήματα μπορούν να παράγουν καλύτερα αποτελέσματα γρηγορότερα. Έτσι ένας καλός τελεστής μετάλλαξης πρέπει να παράγει βήματα μετάλλαξης μικρού μεγέθους με μεγάλη πιθανότητα μετάλλαξης και βήματα μεγάλου μεγέθους με μικρή πιθανότητα μετάλλαξης. 42

43 Ένας τέτοιος τελεστής μετάλλαξης υπολογίζεται ως εξής: Var όπου: = Var + sr α Mut i i i i i i: παίρνει τιμές από 1 έως n n: αριθμός μεταβλητών Var: i τιμή μεταβλητής i s i: παράμετρος που παίρνει τυχαία τιμή από το διάστημα [-1, +1] r: υπολογίζεται από τον εξής τύπο: r = rdomain. i i i r: περιοχή μετάλλαξης (mutation range). Η παράμετρος r καθορίζει την περιοχή των βημάτων μετάλλαξης για κάθε μεταβλητή και εξαρτάται από το μέγεθος του πεδίου ορισμού της αντίστοιχης μεταβλητής. Επίσης καθορίζει την τιμή του αρχικού βήματος μετάλλαξης σε σχέση με το πεδίο ορισμού της αντίστοιχης μεταβλητής. domain i: πεδίο ορισμού της μεταβλητής i. Υπολογίζεται από τον εξής τύπο: ανώτερο όριο μεταβλητής i κατώτερο όριο μεταβλητής i. α: i παράμετρος που υπολογίζεται από τον εξής τύπο: u: παράμετρος που παίρνει τιμές μεταξύ [0, 1] α = uk i 2. domain= i κ: παράμετρος που εκφράζει την ακρίβεια της μετάλλαξης, δηλαδή την ακρίβεια των βημάτων μετάλλαξης τα οποία εξαρτώνται από την περιοχή όπου γίνεται η μετάλλαξη (mutation precision). Παίρνει τιμές μεταξύ του διαστήματος [4, 20]. Η παράμετρος κ καθορίζει έμμεσα το μέγεθος του ελάχιστου βήματος μετάλλαξης και τη διανομή των βημάτων μετάλλαξης μέσα στην περιοχή όπου γίνεται η μετάλλαξη /26/, /27/. δ) Δυαδική μετάλλαξη (Binary mutation). Για τα άτομα με τις δυαδικά κωδικοποιημένες μεταβλητές, η μετάλλαξη σημαίνει τη γρήγορη αλλαγή των τιμών των μεταβλητών, επειδή κάθε μεταβλητή έχει δυο καταστάσεις. Έτσι, το μέγεθος του βήματος μετάλλαξης είναι πάντα 1. 43

44 4. Συναρτήσεις επαναεισαγωγής(reinsetion functions) Υπάρχουν αρκετά σχήματα της ολικής επαναεισαγωγής, τα οποία είναι /27/: α) Αγνή επαναεισαγωγή (Pure reinsertion). Παράγονται τόσοι απόγονοι όσοι είναι οι γονείς και αντικαθίστανται όλοι οι γονείς από τους απογόνους. Η αγνή επαναεισαγωγή είναι πιο απλό σχήμα επαναεισαγωγής και κάθε άτομο ζει μόνο μία γενιά. Υπάρχει η πιθανότητα, πολύ καλά άτομα να αντικαθίστανται χωρίς να παράγουν καλύτερα άτομα και έτσι να χάνονται οι σημαντικές πληροφορίες. β) Ομοιόμορφη επαναεισαγωγή (Uniform reinsertion). Παράγονται λιγότεροι απόγονοι από τους γονείς και αντικαθίστανται οι γονείς ομοιόμορφα με τυχαίο τρόπο. Στην ομοιόμορφη επαναεισαγωγή υπάρχουν οι εξής επιλογές: Επαναεισαγωγή όλων των απογόνων και τυχαία αντικατάσταση των γειτονικών ατόμων. Επαναεισαγωγή όλων των απογόνων και αντικατάσταση των αδύναμων γειτονικών ατόμων. γ) Ελιτιστική επαναεισαγωγή (Elitist reinsertion). Παράγονται λιγότεροι απόγονοι από τους γονείς και αντικαθιστούν τους χειρότερους γονείς. Όταν η πιθανότητα επιλογής ενός ατόμου εκφράζεται ανάλογα με την ποιότητά του, υπάρχει πάντα η πιθανότητα, το καλύτερο άτομο μιας γενιάς να μην επιλεγεί στην επόμενη γενιά και συνεπώς να χαθεί, οδηγώντας σε βραδυπορία της εξελικτικής διαδικασίας. Αυτό το παράδοξο έρχεται να καταργήσει ο ελιτισμός, ο οποίος επιβάλει την μεταφορά του καλύτερου ατόμου στην επόμενη γενιά. δ) Επαναεισαγωγή βασισμένη στην καταλληλότητα (Fitness-based reinsertion). Παράγονται περισσότεροι απόγονοι από όσους χρειάζονται για την επαναεισαγωγή και επαναεισάγωνται μόνο οι καλύτεροι απόγονοι. Στην επαναεισαγωγή βασισμένη στην καταλληλότητα υπάρχουν οι εξής επιλογές: Επαναεισαγωγή των απογόνων που είναι καταλληλότεροι σε σχέση με τα γειτονικά αδύναμα άτομα και αντικατάσταση των γειτονικών αδύναμων ατόμων. Επαναεισαγωγή των απογόνων που είναι καταλληλότεροι σε σχέση με τα γειτονικά αδύναμα άτομα και αντικατάσταση των γονέων. 44

45 Επαναεισαγωγή των απογόνων που είναι καταλληλότεροι σε σχέση με τα γειτονικά αδύναμα άτομα και τυχαία αντικατάσταση των γειτονικών ατόμων. Επαναεισαγωγή των απογόνων που είναι καταλληλότεροι σε σχέση με τους γονείς και αντικατάσταση των γονέων. Επαναεισαγωγή όλων των απογόνων και αντικατάσταση των γονέων. 5. Συναρτήσεις μετανάστευσης (Migration functions) Οι μέθοδοι επιλογής ατόμων για μετανάστευση είναι οι εξής: α) Ομοιόμορφη επιλογή στην τύχη (uniformly at random). Επιλέγονται άτομα για μετανάστευση με ένα τυχαίο τρόπο. β) Επιλογή βασισμένη στην καταλληλότητα (fitness-based). Επιλέγονται τα καλύτερα άτομα για μετανάστευση. Οι διατάξεις της μετανάστευσης, δηλαδή οι διατάξεις των υποπληθυσμών είναι οι εξής: Διάταξη δικτύου (Net topology). Η μετανάστευση παίρνει μέρος μεταξύ όλων των υποπληθυσμών. Διάταξη δαχτυλιδιού (Ring topology). Η μετανάστευση παίρνει μέρος μεταξύ των πλησιέστερων υποπληθυσμών Διάταξη γειτονιάς (Neighborhood topology). Η μετανάστευση παίρνει μέρος μεταξύ των πλησιέστερων υποπληθυσμών. 6. Σύνθεση πληθυσμού Η σύνθεση ενός πληθυσμού μπορεί να καθοριστεί, μεταβάλλοντας τους παράγοντες elite count που είναι ο αριθμός των ατόμων που μπορούν να περάσουν από τη μια γενιά στην άλλη χωρίς να υποστεί αλλαγές το γονίδιο τους και crossover fraction ο οποίος καθορίζει το κλάσμα του πληθυσμού εκτός από τους ελιτιστικούς απογόνους που παράγονται κατά τη διασταύρωση. Συγκεκριμένα, τα άτομα ενός πληθυσμού προκύπτουν από αυτά της προηγούμενης γενιάς είτε με διασταύρωση, είτε με μετάλλαξη, είτε από τα καλύτερα μέλη της που αντιγράφονται χαριστικά (ελιτισμός) 45

46 3.4 Τεχνικές κωδικοποίησης Στο βασικό σχήμα των γενετικών αλγορίθμων χρησιμοποιήθηκε κατ αρχάς η δυαδική κωδικοποίηση, η οποία όμως δεν θεωρείται εφαρμόσιμη σε όλους του τύπους προβλημάτων. Μετά από εκτεταμένη έρευνα και προγραμματισμό ανεπτύχθησαν και άλλες τεχνικές κωδικοποίησης, που θεωρούνται κατάλληλες για ορισμένους τύπους προβλημάτων. Πολλά πεδία από τα πεδία εφαρμογής γενετικών αλγορίθμων, όπως η βελτιστοποίηση μηχανολογικού σχεδιασμού (engineering design optimization) ή η συνδυαστική βελτιστοποίηση (combinatorial optimization) από τη φύση τους επιβάλουν διαφορετικές κωδικοποιήσεις. Δύο είναι οι κανόνες, οι οποίοι ξεχωρίζουν μέσα από την πληθώρα των κωδικοποιήσεων και υποδεικνύουν την επιτυχημένη κατασκευή μιας κωδικοποίησης: Η αρχή της σημασίας των σταδίων δόμησης (Meaningful building blocks principle). Η αρχή του ελάχιστου αλφάβητου (Minimal alphabet principle). H αρχή της σημασίας των σταδίων δόμησης συνοψίζεται ως εξής: Οι ομοιότητες ανάμεσα σε άτομα μέσα στο περιβάλλον του προβλήματος, που συνεπάγονται παραπλήσιες επιδόσεις, πρέπει να είναι ο κύριος στόχος της κωδικοποίησης. Η δυαδική κωδικοποίηση, η οποία είναι και η επικρατέστερη στους γενετικούς αλγορίθμους αποτελεί το βασικό εκφραστή αυτής της τάσης. Το χαρακτηριστικό, πάνω στο οποίο οικοδομείται όλη η φιλοσοφία της αρχής, είναι η ύπαρξη ομοιοτήτων και κατά συνέπεια σταδίων δόμησης. Με τις κωδικοποιήσεις αυτής της κατηγορίας αναπτύχθηκε η θεωρεία των σχημάτων και βεβαίως το θεμελιώδες συμπέρασμα των γενετικών αλγορίθμων. Στην αρχή του ελάχιστου αλφάβητου βασικός στόχος, είναι η αποδοχή του μικρότερου δυνατού αλφάβητου. Αυτό αναδεικνύει ευκολότερα τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά των δυαδικών συμβολοσειρών και την πληρέστερη εκμετάλλευση των ομοιοτήτων τους Το δυαδικό είναι το ελάχιστο αλφάβητο που μπορεί να υπάρξει αποδεικνύοντας έτσι και τη μεγάλη αξία της δυαδικής κωδικοποίησης. Εύκολα μπορεί να δειχθεί μαθηματικά, ότι ανεξάρτητα με τις όποιες επιμέρους σχεδιαστικές λεπτομέρειες της κωδικοποίησης, που μπορεί να υπάρχουν, με το δυαδικό αλφάβητο επιτυγχάνεται ο μέγιστος αριθμός σχημάτων ανά δυαδικό ψηφίο. 46

47 Άλλες μορφές κωδικοποίησης που χρησιμοποιούνται συχνά είναι η πραγματική (real) και η κωδικοποίηση ταξινομημένης λίστας (ordinal ή order-based list). Η πρώτη χρησιμοποιείται ως επί το πλείστον στο μηχανολογικό σχεδιασμό (engineering design), κάνοντας το γενετικό αλγόριθμο πιο κατανοητό και ελκυστικότερο στους μηχανικούς. Η κωδικοποίηση βασίζεται στο γεγονός ότι κάθε άτομο θα αποτελείται από ένα σύνολο πραγματικών αριθμών. Σημαντικό πλεονέκτημα είναι η βέλτιστη απόδοση σε περιπτώσεις που ο χώρος αναζήτησης είναι τεράστιος και η δυαδική κωδικοποίηση δεν δύναται να παράγει ικανοποιητικά αποτελέσματα. Η συμμετοχή του αλγόριθμου σε υβριδικά σχήματα επιτυγχάνεται με μεγαλύτερη άνεση λόγω της απλότητας, που χαρακτηρίζει την πραγματική (real) κωδικοποίηση. Η κωδικοποίηση ταξινομημένης λίστας εφαρμόζεται ευρέως στα συνδυαστικά προβλήματα (πχ. Traveling Salesman Problem, Graph Coloring Problem), των οποίων η φύση δεν επιτρέπει την εφαρμογή των προηγούμενων κωδικοποιήσεων. Κάθε πιθανή λύση γίνεται με αναπαράσταση διατάξεων κόμβων, ώστε να περιγράφουν πλήρως τον τρόπο επίλυσης (πχ. για το TSP με τρεις πόλεις μια πιθανή λύση θα μπορούσε να είναι η ΧΨΩ, δηλώνοντας ότι η σειρά επίσκεψης των πόλεων πρέπει να είναι: πρώτη η Χ δεύτερη η ψ και τρίτη η Ω). Πρέπει να δοθεί προσοχή στις άλλες λειτουργίες του γενετικού αλγόριθμου (διασταύρωση, μετάλλαξη) που πλέον δε μπορούν να δράσουν με τη γνωστή τους μορφή και απαιτείται να προσαρμοστούν στα δεδομένα της κωδικοποίησης. Μεγάλο ενδιαφέρον για την Τεχνητή Νοημοσύνη παρουσιάζουν κωδικοποιήσεις στις οποίες τα άτομα είναι Νευρωνικά Δίκτυα. Γενικά αν σε κάποιο πρόβλημα δεν είναι εμφανές το είδος της κωδικοποίησης και γίνει μη σωστή επιλογή δεν έπεται ότι ο αλγόριθμος θα οδηγηθεί οπωσδήποτε σε αποτυχία. Οι γενετικοί αλγόριθμοι επιδέχονται αλλαγές και λάθη, που δε ξεφεύγουν κατά πολύ από τα όριά τους, όπως επίσης έχουν και το πλεονέκτημα της εύκολης αλλαγής της κωδικοποίησης. Όταν οι μεταβλητές ενός προβλήματος είναι πάνω εφαρμόζεται η συνένωσή (concatenation) τους σε μια συμβολοσειρά. Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στο ποια επακριβώς θα είναι η θέση κάθε μεταβλητής μέσα στη συμβολοσειρά. Σημαντικό ρόλο ανάμεσα στις μεταβλητές παίζει το είδος των αλληλεπιδράσεων. Στις γραμμικά 47

48 ανεξάρτητα μεταβλητές δεν παίζει ρόλο η σχετική θέση τους μέσα στη συμβολοσειρά. Σε περίπτωση όμως εξάρτησης είναι προτιμότερο, να τοποθετούνται οι ανεξάρτητες μεταβλητές η μία κοντά στην άλλη, ώστε να είναι σε θέση ο γενετικός αλγόριθμος να προσδιορίσει τα στάδια δόμησης και κατά συνέπεια να αναδείξει τα καλύτερα άτομα. Αυτό μπορεί να το αντιληφθεί κανείς ευκολότερα αν σκεφτεί ότι η διασταύρωση θα χώριζε με μεγαλύτερες πιθανότητες μεταβλητές, που απέχουν αρκετά μέσα στην δομή της συμβολοσειράς. 48

49 3.5 Χειρισμός περιορισμών Συχνά γενετικοί αλγόριθμοι καλούνται να λύσουν τα προβλήματα βελτιστοποίησης, των οποίων οι αντικειμενικές συναρτήσεις έχουν κάποιους περιορισμούς, όσον αφορά το πεδίο ορισμού τους, που πρέπει να ικανοποιούνται αυστηρά. Στο σχεδιασμό ενός γενετικού αλγόριθμου αυτό πρέπει να λαμβάνεται υπ' όψη για την επίτευξη επιτρεπτών λύσεων. Οι περιορισμοί στις αντικειμενικές συναρτήσεις εκφράζονται συνήθως με δύο τρόπους: με ισότητες και ανισότητες. Επειδή κάθε ισότητα μπορεί να μετατραπεί σε δύο ανισότητες όπως η ικανοποίηση της ισότητας g(x)=0, που μπορεί να μετατραπεί στην ταυτόχρονη ικανοποίηση των ανισοτήτων g(x)>0 και g(x)<0, οι παραπάνω δύο κατηγορίες μπορούν να αναχθούν σε μία. Οπότε, χρησιμοποιώντας τον όρο περιορισμούς εννοούμε ανισότητες. Εκ πρώτης όψεως, ίσως να δημιουργείται η απορία γιατί προκαλεί αναστάτωση ο χειρισμός των περιορισμών. Η άποψη ότι, όταν προκύπτουν λύσεις που είναι έξω από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης κόστους, να αγνοούνται από τον αλγόριθμο (αφού δεν ορίζεται γι' αυτές τιμή απόδοσης) και στη θέση τους να παράγονται άλλες, που είναι αποδεκτές, αποδεικνύεται ανεπαρκής για περιπτώσεις προβλημάτων με πολύ μεγάλο αριθμό περιορισμών, στα οποία ο εντοπισμός των ζητούμενων βέλτιστων λύσεων είναι πολύ δύσκολος. Έτσι για τον χειρισμό των περιορισμών προτείνονται δυο μέθοδοι: Μέθοδος συνάρτησης ποινής (penalty function) Σε τέτοιου είδους προβλήματα είναι συμφέρον οι μη βέλτιστες λύσεις να αντιμετωπίζονται ως λύσεις χαμηλής απόδοσης και να μην αγνοούνται εντελώς. Αντιμετωπίζονται δηλαδή ως φορείς πληροφορίας, που αξιοποιείται αποδοτικά από τον γενετικό αλγόριθμο. Αυτό υλοποιείται με την εκχώρηση χαμηλών αποδόσεων σε αυτές, η οποία είναι ανάλογη του βαθμού παραβίασης των περιορισμών. Η μέθοδος αυτή ενσωμάτωσης των περιορισμών σε ένα γενετικό αλγόριθμο ονομάζεται μέθοδος της συνάρτησης ποινής (penalty function). Με την εφαρμογή αυτής της μεθόδου ένα πρόβλημα με περιορισμούς εύκολα μετατρέπεται σε ένα ισοδύναμο χωρίς περιορισμούς συσχετίζοντας κάθε παραβίαση περιορισμού με ένα κόστος (μια ποινή), το οποίο ανατίθεται στις μη βέλτιστες λύσεις. 49

50 Πριν υπολογιστεί η παραβίαση του περιορισμού, όλοι οι περιορισμοί πρέπει να κανονικοποιηθούν. Η κανονικοποίηση των περιορισμών της μορφής gj( x) bj και l (x) = c, γίνεται ως εξής: k j g(x) j g(x) = 1 j b j l k(x) και l k(x) = 1 c j Έτσι προκύπτουν οι κανονικοποιημένοι περιορισμοί ( i) g x 0 j ( ) για j=1,.., m και ( i) lk x 0 ( )= για κ=1,.,p. Για κάθε λύση περιορισμό, υπολογίζεται ως εξής: i x ( ), η παραβίαση του περιορισμού για κάθε ω = εάν i i j ( x ( ) ) g ( x ( ) ) j ( i) g ( x )< 0 j i i vk x ( ) = lk x ( ) ( ) ( ) Εάν δεν ισχύει η προϋπόθεση είναι μηδέν. ( i) g x 0 j ( )<, τότε η παράβαση του περιορισμού ω ( ) i j x ( ) Έπειτα όλες οι παραβάσεις των περιορισμών αθροίζονται μαζί ώστε να υπολογισθεί η γενική παράβαση, η οποία υπολογίζεται από τον παρακάτω τύπο: ( m i ) i = ωj x ( ) j= 1 Ω ( x ) ( ) και p ( i) ( i) = k k= 1 V( x ) v ( x ) Οι γενικές παραβάσεις πολλαπλασιάζονται με παραμέτρους ποινής R και r και τα γινόμενο προστίθενται σε κάθε μια από τις αντικειμενικές συναρτήσεις και προκύπτει μια ποινικοποιημένη συνάρτηση: F ( x ) = f ( x ) + R Ω ( x ) + r V( x ) ( i ) ( i ) ( i ) ( i ) M M M M όπου: Μ: αριθμός αντικειμενικών συναρτήσεων Η ποινικοποιημένη συνάρτηση F M παίρνει υπόψη της τις παραβιάσεις των περιορισμών. Για μια εφικτή λύση, οι όροι Ω και V μηδενίζονται και η F M ισούται με την πραγματική αντικειμενική συνάρτηση. Για μια μη εφικτή λύση ισχύει FM > f. Οι παράμετροι R M και rm πρέπει να διαφέρουν από αντικειμενική συνάρτηση σε αντικειμενική συνάρτηση. M 50

51 Αφού όλες οι ποινικοποιημένες συναρτήσεις θα ελαχιστοποιηθούν, ο γενετικός αλγόριθμος μπορεί να προχωρήσει στην περιοχή των εφικτών λύσεων και να φτάσει στο σύνολο των βέλτιστων λύσεων κατά Pareto /26/. 2) Μέθοδος ανισοτήτων (methods of inequalities) Επίσης για τον χειρισμό των περιορισμών της μορφής gj( x) bj και l k ( x)= c j χρησιμοποιείται και η μέθοδος των ανισοτήτων (methods of inequalities). Οι περιορισμοί gj( x) bj που ικανοποιούνται δηλαδή η αντικειμενική συνάρτηση gj( x) είναι μεγαλύτερη του ορίου του περιορισμού b j, μηδενίζονται. Οι περιορισμοί που δεν ικανοποιούνται, πολλαπλασιάζονται με τη διαφορά ανάμεσα στη gj( x)και στο όριο του περιορισμού και έπειτα πολλαπλασιάζονται με -1. Ο πολλαπλασιασμός με το -1 γίνεται επειδή ο περιορισμός του τύπου gj( x) bjμεγιστοποιείται και μόνο εάν στο πρόβλημα γίνεται ελαχιστοποίηση. Έτσι, λαμβάνεται μια επιπλέον αντικειμενική συνάρτηση η οποία αντιπροσωπεύει την παραβίαση του περιορισμού. Με αυτόν τον τρόπο η πολυκριτηριακή βελτιστοποίηση αποκτά μια υπόδειξη να ψάξει για μικρότερη αντικειμενική συνάρτηση gj( x), ελαχιστοποιώντας έτσι την τιμή της gj( x) και επιπρόσθετα την παραβίαση του περιορισμού. Μόλις ο περιορισμός ικανοποιηθεί, η αντίστοιχη αντικειμενική συνάρτηση gj( x) μηδενίζεται. Με αυτό τον τρόπο, αυτές οι αντικειμενικές συναρτήσεις δεν επηρεάζουν πια την πολυκριτηριακή βελτιστοποίηση, ο στόχος του μηδενός επιτυγχάνεται και δεν αλλάζει όσο ο περιορισμός είναι ικανοποιημένος. Στους περιορισμούς του τύπου gj( x) bj, οι περιορισμοί που δεν ικανοποιούνται πολλαπλασιάζονται με τη διαφορά ανάμεσα στη gj( x)και στο όριο του περιορισμού αλλά δεν πολλαπλασιάζονται με -1 γιατί ο περιορισμός του τύπου gj( x) b ελαχιστοποιείται και στο πρόβλημα γίνεται ελαχιστοποίηση. Όσο αφορά τις ισότητες l k ( x)= c j οι οποίες γίνονται l k ( x) c j = 0, είναι αδύνατο να επιτευχθεί απόλυτη ισότητα. Ως όριο περιορισμού δεν χρησιμοποιείται το 0 αλλά μια ελάχιστη τιμή το 0,005 ή 0,001. j 51

52 Οι περιορισμοί που ικανοποιούνται μηδενίζονται και για τους περιορισμούς που δεν ικανοποιούνται, η διαφορά της απόλυτης τιμής του lk ( x) c j με το όριο του περιορισμού, η οποία πρέπει να είναι θετική, πολλαπλασιάζεται με την απόλυτη τιμής του lk ( x) c j. 52

53 3.6 Εφαρμογές των Γενετικών Αλγορίθμων Οι γενετικοί αλγόριθμοι έχουν χρησιμοποιηθεί για δύσκολα προβλήματα, για τη μάθηση των μηχανών, αλλά και για την εξέλιξη απλών προγραμμάτων. Έχουν επίσης χρησιμοποιηθεί σε τέχνες, για εξέλιξη εικόνας και ήχου. Το πλεονέκτημα των GA είναι ο παραλληλισμό τους. Οι GA ταξιδεύουν σε χώρο αναζήτησης με περισσότερα άτομα, έτσι ώστε να είναι λιγότερο πιθανό να κολλήσουν σε ένα τοπικό ακρότατο, όπως κάποιες άλλες μεθόδους. Επίσης, είναι εύκολο να προσαρμοστούν. Όταν έχετε κάποιον έτοιμο GA, πρέπει απλά να γράψετε νέα χρωμοσώματα (μόνο ένα αντικείμενο) για να λύσετε ένα άλλο πρόβλημα. Με την ίδια κωδικοποίηση αλλάζοντας μόνο την συνάρτηση καταλληλότητας. Μειονέκτημα των GA είναι ο υπολογιστικό χρόνο τους. Είναι πιο αργή από άλλες μεθόδους. Αλλά με τους υπολογιστές του σήμερα δεν είναι τόσο μεγάλο πρόβλημα. Για να πάρετε μια ιδέα από προβλήματα που λύνονται με χρήση GA, παραθέτω μια λίστα αυτών: Μη Γραμμικά Δυναμικά συστήματα - πρόβλεψη, ανάλυση δεδομένων Σχεδιασμός νευρωνικών δικτύων, τόσο αρχιτεκτονικά όσο και στατικά ρομπότ γενετικού προγραμματισμού Ο στρατηγικός σχεδιασμό Η εύρεση σχήματός πρωτεϊνικών μορίων TSP και προγραμματισμός ακολουθίας Λειτουργίες για τη δημιουργία εικόνων 53

54 3.7. Πλεονεκτήματα Γενετικών Αλγορίθμων Η χρήση των GA σε διάφορες εφαρμογές είναι ελκυστική για αρκετούς λόγους. Οι κυριότεροι, ίσως, είναι οι εξής : 1) Μπορούν να λύσουν δύσκολα προβλήµατα γρήγορα και αξιόπιστα. Ένας από τους σημαντικούς λόγους χρήσης των GA είναι η μεγάλη τους αποδοτικότητα. Τόσο η θεωρία, όσο και η πράξη έχουν δείξει ότι προβλήµατα που έχουν πολλές, δύσκολα προσδιορισμένες, λύσεις μπορούν να αντιμετωπιστούν καλύτερα από GA. Είναι δε αξιοσημείωτο ότι συναρτήσεις που παρουσιάζουν μεγάλες διακυμάνσεις και καθιστούν ανεπαρκείς άλλες μεθόδους στην εύρεση των ακρότατων τους, για τους GA αυτές οι διακυμάνσεις δεν αποτελούν σημεία δυσχέρειας. 2) Μπορούν εύκολα να συνεργαστούν µε τα υπάρχοντα μοντέλα και συστήματα. Οι GA προσφέρουν το σημαντικό πλεονέκτημα της χρήσης τους µε προσθετικό τρόπο στα μοντέλα που χρησιμοποιούνται σήμερα, µη απαιτώντας την επανασχεδίαση τους. Μπορούν εύκολα να συνεργαστούν µε τον υπάρχοντα κώδικα, χωρίς μεγάλο κόπο. Αυτό συμβαίνει, διότι χρησιμοποιούν µόνο πληροφορίες της διαδικασίας ή συνάρτησης που πρόκειται να βελτιστοποιήσουν, δίχως να ενδιαφέρει άμεσα ο ρόλος της μέσα στο σύστημα ή η όλη δομή του συστήματος. 3) Είναι εύκολα επεκτάσιμοι και εξελίξιμοι. Οι GA δεν αντιστέκονται σε αλλαγές, επεκτάσεις και μετεξελίξεις, ανάλογα µε την κρίση του σχεδιαστή. Σε πολλές εφαρμογές, έχουν αναφερθεί λειτουργίες των GA, που δεν είναι αντιγραμμένες από τη φύση ή που έχουν υποστεί σημαντικές αλλαγές, πάντα προς όφελος της απόδοσης. Παραλλαγές στο βασικό σχήμα δεν είναι απλά ανεκτές, αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις επιβάλλονται. 4) Μπορούν να συμμετέχουν σε υβριδικές μορφές µε άλλες μεθόδους. Αν και ισχύς των GA είναι μεγάλη, σε μερικές ειδικές περιπτώσεις προβλημάτων, όπου άλλες μέθοδοι συμβαίνει να έχουν πολύ υψηλή αποδοτικότητα, λόγω εξειδίκευσης, υπάρχει η δυνατότητα χρησιμοποίησης ενός υβριδικού σχήματος GA µε άλλη μέθοδο. Αυτό είναι αποτέλεσμα της μεγάλης ευελιξίας των GA 5) Εφαρμόζονται σε πολύ περισσότερα πεδία από κάθε άλλη μέθοδο. 54

55 Το χαρακτηριστικό, που τους εξασφαλίζει αυτό το πλεονέκτημα, είναι η ελευθερία επιλογής των κριτηρίων που καθορίζουν την επιλογή μέσα στο τεχνικό περιβάλλον. Έτσι, GA μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην οικονομία, στο σχεδιασμό μηχανών, στην επίλυση μαθηματικών εξισώσεων, στην εκπαίδευση Νευρωνικών Δικτύων και σε πολλούς άλλους τομείς. 6) Δεν απαιτούν περιορισμούς στις συναρτήσεις που επεξεργάζονται. Ο κύριος λόγος που καθιστά τις παραδοσιακές μεθόδους δύσκαμπτες και ακατάλληλες για πολλά προβλήµατα είναι η απαίτησή τους για ύπαρξη περιορισμών, όπως ύπαρξη παραγώγων, συνέχεια, όχι «θορυβώδεις» συναρτήσεις κτλ. Τέτοιου είδους ιδιότητες είναι αδιάφορες για τους GA πράγμα που τους κάνει κατάλληλους για μεγάλο φάσμα προβλημάτων. 7) Δεν ενδιαφέρει η σημασία της υπό εξέταση πληροφορίας. Η μόνη «επικοινωνία» του GA µε το περιβάλλον του είναι η αντικειμενική συνάρτηση. Αυτό εγγυάται την επιτυχία του ανεξάρτητα από τη σημασία του προβλήματος. Βέβαια αυτό δε σημαίνει ότι δεν υπάρχουν άλυτα προβλήµατα για τους GA. Όπου όμως, δεν τα καταφέρνουν, η αιτία είναι η φύση του χώρου που ερευνούν και όχι το πληροφοριακό περιεχόμενο του προβλήματος. 8) Έχουν από τη φύση τους το στοιχείο του παραλληλισμού. Οι GA σε κάθετους βήμα επεξεργάζονται μεγάλες ποσότητες πληροφορίας, αφού κάθε άτομο θεωρείται αντιπρόσωπος πολλών άλλων. Έχει υπολογιστεί ότι ηαναλογία αυτή είναι της τάξεως, δηλαδή 10 άτομα αντιπροσωπεύουν περίπου Είναι, λοιπόν, προφανές ότι μπορούν να καλύψουν µε αποδοτικό ψάξιμο μεγάλους χώρους σε μικρούς χρόνους. 9) Είναι η μόνη μέθοδος που κάνει ταυτόχρονα εξερεύνηση του χώρου αναζήτησης και εκμετάλλευση της ήδη επεξεργασμένης πληροφορίας. Ο συνδυασμός αυτός σπάνια συναντάται σε οποιαδήποτε άλλη μέθοδο. Με το τυχαίο ψάξιμο γίνεται καλή εξερεύνηση του χώρου, αλλά δεν γίνεται εκμετάλλευση της πληροφορίας. Αντίθετα, µε την αναζήτηση µε μικρά άλματα στη συνάρτηση (hillclimbing) γίνεται καλή εκμετάλλευση της πληροφορίας, αλλά όχι καλή εξερεύνηση. Συνήθως τα δύο αυτά χαρακτηριστικά είναι ανταγωνιστικά και το επιθυμητό είναι να συνυπάρχουν και τα δύο προς όφελος της όλης διαδικασίας. Οι 55

56 GA επιτυγχάνουν το βέλτιστο συνδυασμό εξερεύνησης και εκμετάλλευσης, πράγμα που τους κάνει ιδιαίτερα αποδοτικούς και ελκυστικούς. 10) Επιδέχονται παράλληλη υλοποίηση. Οι GA μπορούν να εκμεταλλευτούν τα πλεονεκτήματα των παράλληλων μηχανών, αφού λόγω της φύσης τους, εύκολα μπορούν να δεχτούν παράλληλη υλοποίηση. Το χαρακτηριστικό αυτό αυξάνει ακόμη περισσότερο την απόδοσή τους, ενώ σπάνια συναντάται σε ανταγωνιστικές μεθόδους 56

57 4. Σκοπός της εργασίας Σκοπός της εργασίας είναι η ανάπτυξη υβριδικού γενετικού αλγορίθμου, σε matlab και η σύγκριση των αποτελεσμάτων με αποτελέσματα άλλων υβριδικών αλγορίθμων σε Fortran /3/, και των επιμέρους μεθόδων (βημάτων) βελτιστοποίησης. Εν προκειμένω αναπτύχθηκε στα πλαίσια της παρούσας εργασίας ένας υβριδικός αλγόριθμος που συνδυάζει έναν γενετικό αλγόριθμο (ga), μια μέθοδο αναρρίχησης quasi-newton (fmincon) και μια μέθοδο ελέγχου των ορίων των μεταβλητών. Κύριο πρόβλημα, στο οποίο επιζητείται βέλτιστη λύση, είναι ο προσδιορισμός των Γεωμετρικών χαρακτηριστικών των μελών ενός βιομηχανικού βραχίονα και της τοποθέτησης της βάσης του, έτσι ώστε το άκρο του να επιτύχει την προσέγγιση ορισμένων θέσεων, υπό το πρίσμα κριτηρίων βελτιστοποίησης, αναφορικά με τον σχηματισμό και την λειτουργικότητα του βραχίονα. Σκοπός είναι η ανάπτυξη μιας ολοκληρωμένης και αποτελεσματικής μεθοδολογίας με χρήση εργαλείων βελτιστοποίησης της γεωμετρίας, της τοποθέτησης, των σχηματισμών και της κίνησης οποιουδήποτε ρομποτικού βραχίονα, με ενσωμάτωσή τους σε ένα σύστημα off line χειρισμού και ελέγχου του βραχίονα, ώστε να επιτευχθεί η αποδοτικότερη χρήση του, μέσω ενός εύχρηστου και δυναμικού περιβάλλοντος επικοινωνίας. Απώτερος σκοπός είναι η χρήση του αλγόριθμου βελτιστοποίησης, σε μηχανές ελέγχου γεωμετρίας (CMM) αντίστροφής μηχανολογίας, ώστε να βελτιστοποιούμε τις κινήσεις της ακίδας για να ελαχιστοποιήσουμε τον χρόνο μέτρησης τυχαίων γεωμετριών (σειρά σημείων) καθώς και τις συντεταγμένες τοποθέτησης τους στον χώρο μετρήσεων. 57

58 5. Προσδιορισμός βέλτιστων γεωμετρικών παραμέτρων βιομηχανικού βραχίονα, με την βοήθεια υβριδικού γενετικού αλγορίθμου 5.1. Μαθηματική διατύπωση προβλήματος Στην παρούσα ενότητα ο βραχίονας θεωρείται ως μια ανοικτή χωρική κινηματική αλυσίδα, με δύο αρθρώσεις περιστροφής (Σχήμα 5.1), στον οποίο σε σύγκριση με την προηγούμενη ενότητα άγνωστες μεταβλητές δεν είναι μόνο οι αρθρώσεις περιστροφής, αλλά και τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των μελών του βραχίονα, όπως αναλύεται στη συνέχεια. Ορίζεται ένα σύστημα αναφοράς Pi σε κάθε μέλος (i=0,1 2), καθώς και ένα σύστημα στο άκρο του εργαλείου P3. Επίσης, ορίζεται ένα σταθερό σύστημα συντεταγμένων PS, ως προς το οποίο μετρώνται τα προκαθορισμένα σημεία εργασίας. Η σχετική θέση μεταξύ δύο διαδοχικών συστημάτων περιγράφεται με την χρήση των 4x4 ομογενών μητρώων μετασχηματισμού και των παραμέτρων Denavit-Hartenberg /10/. Στον πίνακα του σχήματος 5.1 παρατίθενται οι παράμετροι Denavit-Hartenberg του συγκεκριμένου βραχίονα. Χρησιμοποιώντας τα ομογενή μητρώα μετασχηματισμού, η τοποθέτηση του συστήματος του εργαλείου P3 σε σχέση με το απόλυτο σύστημα συντεταγμένων PS, υπολογίζεται από τη σχέση: S r S A = A A A A (5.1) όπου το μητρώο σύστημα i-1. i Ai 1περιγράφει την τοποθέτηση του συστήματος i ως προς το Το δεξιό τμήμα της σχέσης (5.1) περιλαμβάνει όλες τις άγνωστες παραμέτρους, οι οποίες είναι οι παράμετροι Denavit-Hartenberg θi, αi, ai και di (i=0,1,2) στα μητρώα AS0, A01, A12,A23 εκ των οποίων τα θi είναι οι γωνίες περιστροφής των αρθρώσεων. Ειδικά το μητρώο A23 περιλαμβάνει μόνο τις παραμέτρους θ3 και d3, ενώ οι παράμετροι α3 και a3 είναι σταθερά μηδέν. Για κάθε προκαθορισμένη τοποθέτηση του εργαλείου χρησιμοποιούνται διαφορετικές τιμές των γωνιών θ1 και θ2. Έτσι, για μια 58

59 προκαθορισμένη θέση του άκρου κατεργασίας απαιτούνται 14 άγνωστες παράμετροι, ενώ για δυο και τρεις θέσεις 16 και 18 παράμετροι αντίστοιχα. Για τον προσδιορισμό αυτών των παραμέτρων ορίζεται η αντικειμενική συνάρτηση (F), που λαμβάνει υπόψη την απόκλιση τοποθέτησης μεταξύ προκαθορισμένων και υπολογιζόμενων θέσεων: 3 3 ( Sr( ) Spr( )) n F= A i, j A i, j (5.2) k= 1 i= 1 j= 1 k 3 όπου n είναι το πλήθος των προκαθορισμένων σημείων, ( ) υπολογισμένη τιμή του στοιχείου (i,j) του μητρώου 3 S A i, j είναι η Sr 3 A και A ( ) προκαθορισμένη τιμή του στοιχείου (i,j). Τα στοιχεία του μητρώου S pr i, j είναι η 3 A S pr είναι γνωστά για κάθε προκαθορισμένη τοποθέτηση του άκρου, λόγω του ότι ορίζουν τη θέση και τον προσανατολισμό του συστήματος του εργαλείου P3, σε σχέση με το απόλυτο σύστημα συντεταγμένων PS και προσδιορίζονται από τον χρήστη ως οι θέσεις στις οποίες πρέπει να φτάσει το άκρο του βραχίονα. Από την ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης προκύπτουν οι βέλτιστες τιμές των αρχικά αγνώστων παραμέτρων. Κατά τη διάρκεια της διαδικασίας βελτιστοποίησης, τα αρχικά καθορισμένα όρια των αγνώστων αυτών μεταβλητών περιγράφονται από τη σχέση: x <x <x, l=1,2, m (5.3) l min l l max όπου m είναι το πλήθος των μεταβλητών και x l min και x l max είναι το κάτω και άνω όριο της μεταβλητής l, αντίστοιχα. Οι περιορισμοί αυτοί λαμβάνουν υπόψη τα όρια των μεταβλητών των γεωμετρικών χαρακτηριστικών σχεδιασμού του βραχίονα, καθώς και τη γεωμετρία του χώρου εργασίας του./3/ 59

60 Σχήμα 5.1: Παράμετροι Denavit-Hartenberg βραχίονα 2 DOF 60

61 5.2. Προτεινόμενος αλγόριθμος Το μαθηματικό μοντέλο που περιγράφηκε, επιλύεται με μια υβριδική μέθοδο που συνδυάζει έναν γενετικό αλγόριθμο (GA), έναν αλγόριθμο βελτιστοποίησης quasi- Newton (QNA) και μια μέθοδο ελέγχου των ορίων των μεταβλητών (CHM). Δεδομένα εισόδου του αλγορίθμου αποτελούν το πλήθος και το είδος των αρθρώσεων, το πλήθος των ανεξαρτήτων μεταβλητών και τα άνω και κάτω όρια αυτών, οι προκαθορισμένες θέσεις κατεργασίας του άκρου και οι παράμετροι του αλγορίθμου. Σε αυτές τις παραμέτρους περιλαμβάνονται οι αρχικές παράμετροι του γενετικού αλγόριθμου (GA), όπως ο αρχικός πληθυσμός των ατόμων, η πιθανότητα διασταύρωσης, η πιθανότητα μετάλλαξης, καθώς επίσης και το πλήθος των επαναλήψεων του γενετικού αλγόριθμου (GA), της μεθόδου αναρρίχησης (QNA) και της μεθόδου ελέγχου των ορίων των μεταβλητών (CHM). Με βάση την εξίσωση (5.1) ορίζεται η αντικειμενική συνάρτηση, η οποία χρησιμοποιείται σε όλα τα βήματα του αλγορίθμου (Σχήμα 5.3), όπως αυτά αναλύονται παρακάτω: Στο πρώτο βήμα του προτεινόμενου αλγορίθμου, δημιουργούνται τυχαία αρχικοί πληθυσμοί ατόμων, για να ορίσουν τις τιμές των μεταβλητών, οι οποίες χρησιμοποιούνται, για να υπολογιστεί η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Ο γενετικός αλγόριθμος χρησιμοποιεί συγκεκριμένες διαδικασίες για την δημιουργία νέων γενεών, οι οποίες είναι η επιλογή, ο ελιτισμός, η διασταύρωση και η μετάλλαξη. Οι νέες γενιές με διαδοχικές επαναλήψεις συγκλίνουν προς κάποιο ελάχιστο, το οποίο δεν είναι απαραίτητα το γενικό. Το πλήθος των επαναλήψεων περιορίζεται, είτε από κάποιο μέγιστο πλήθος επαναλήψεων, είτε από την επίτευξη μιας κρίσιμης τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης, προκαθορισμένα και τα δύο από τον χρήστη. Η ελάχιστη υπολογισμένη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης επιλέγεται, ως τελική τιμή του γενετικού αλγορίθμου και έτσι προσδιορίζεται και το βέλτιστο διάνυσμα των ανεξαρτήτων μεταβλητών σε αυτό το βήμα. 61

62 Σχήμα 5.2: Διάγραμμα ροής του προτεινόμενου αλγόριθμου. Αυτές οι βέλτιστες τιμές των ανεξαρτήτων μεταβλητών εισάγονται στο δεύτερο βήμα στη μέθοδο αναρρίχησης (QNA), ως διάνυσμα αρχικής εκτίμησης μεταβλητών. Η μέθοδος Αναρρίχησης (QNA) τροποποιεί τις τιμές των μεταβλητών σε αυτό το διάνυσμα, χρησιμοποιώντας μια μέθοδο κλίσης πεπερασμένων διαφορών, με τρόπο που η αντικειμενική συνάρτηση να κινείται προς την μεγαλύτερη κλίση, που εντοπίζει στην περιοχή αναζήτησης. Αυτές οι τροποποιήσεις στις τιμές των μεταβλητών εσωτερικά της μεθόδου αναρρίχησης επαναλαμβάνονται είτε ως το προκαθορισμένο μέγιστο πλήθος επαναλήψεων, είτε έως ότου εντοπιστεί τοπικό ελάχιστο. Αυτό το βήμα επαναλαμβάνεται κάποιες ορισμένες φορές, συμπεριλαμβανομένων των επαναλήψεων του 1ου βήματος, με σκοπό τον εντοπισμό διαφόρων τοπικών ελαχίστων, μέσω του γενετικού αλγορίθμου και την προσέγγιση του γενικού ελαχίστου, με την χρήση της μεθόδου αναρρίχησης (QNA). Το πλήθος αυτών των επαναλήψεων περιορίζεται, είτε από κάποιο μέγιστο πλήθος επαναλήψεων, είτε από την επίτευξη μιας κρίσιμης τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης, που είναι επίσης ορισμένα και τα δύο από τον χρήστη. Η ελάχιστη υπολογισμένη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης επιλέγεται ως τελική τιμή της μεθόδου αναρρίχησης (QNA) και έτσι, προσδιορίζεται και το βέλτιστο διάνυσμα των ανεξαρτήτων μεταβλητών σε αυτό το βήμα. Μετά από κάποιο ορισμένο πλήθος επαναλήψεων του 2ου βήματος (στο οποίο περιλαμβάνονται επαναλήψεις του 1ου βήματος), οι βέλτιστες τιμές των μεταβλητών χρησιμοποιούνται στο 3 ο βήμα για τον περιορισμό των ορίων των 62