"Μεθοδολογίες εναλλακτικού δρόμου στην ανάλυση δυσαναλογικής κατάρρευσης μεταλλικών κατασκευών με αξιοποίηση άμεσων μεθόδων πλαστικότητας"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τομέας Επιστήμης και Τεχνολογίας των Κατασκευών Σίμου Γερασιμίδη ιπλωματούχου Πολιτικού Μηχανικού, Α.Π.Θ. Master of Engineering, M.I.T. "Μεθοδολογίες εναλλακτικού δρόμου στην ανάλυση δυσαναλογικής κατάρρευσης μεταλλικών κατασκευών με αξιοποίηση άμεσων μεθόδων πλαστικότητας" ιδακτορική ιατριβή Θεσσαλονίκη 2011

2

3 Σίμου Γερασιμίδη "Μεθοδολογίες εναλλακτικού δρόμου στην ανάλυση δυσαναλογικής κατάρρευσης μεταλλικών κατασκευών με αξιοποίηση άμεσων μεθόδων πλαστικότητας" ιδακτορική ιατριβή Υποβλήθηκε στο τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Τομέας Επιστήμης και Τεχνολογίας των Κατασκευών Εξεταστική Επιτροπή Χ. Μπανιωτόπουλος, Καθ. Τμ. Πολ. Μηχ. Α.Π.Θ., Επιβλέπων Χ. Μπίσμπος, Καθ. Τμ. Πολ. Μηχ. Α.Π.Θ., Μέλος Τριμελούς Συμβ. Επ. Γ. εοδάτης, Καθ. Department of Civil Engineering and Engineering Mechanics, Columbia University in the city of New York, Μέλος Τριμελούς Συμβ. Επ. Α.-Α. Αβδελάς, Καθ. Τμ. Πολ. Μηχ. Α.Π.Θ., Μέλος Επτ. Εξ. Επ. Κ. Θωμόπουλος, Καθ. Τμ. Πολ. Μηχ. Α.Π.Θ., Μέλος Επτ. Εξ. Επ. Ε. Κολτσάκης, Επ. Καθ. Τμ. Πολ. Μηχ. Α.Π.Θ., Μέλος Επτ. Εξ. Επ. Λ. Πιτσούλης, Επ. Καθ. Γεν. Τμ. Α.Π.Θ., Μέλος Επτ. Εξ. Επ.

4

5 Στους γονείς μου και στους δασκάλους μου

6

7 Εγώ είμ εδώ ανυπόταχτος και παραστρατισμένος, εγώ δαγκώνω με θυμό της φτώχιας το ψωμί, νόθος της Τέχνης είμ εγώ και της ιδέας διωγμένος, από μιαν έγνοια ο νους θολός, δαρμένο το κορμί. Ο λύχνος μου στης ιερής μελέτης το τραπέζι σαν ένα νεροκάντηλο στα μάτια μου αχνοπαίζει όλα πολέμια κρύα βιβλία, κοντύλια και χαρτιά. Με καίει κακιά φωτιά. Εμέ η ζωή μου πλάνεμα και η γέννησή μου λάθος, το λόγο δεν ορέγομαι, δεν ξέρω το ρυθμό σέρνουν εμένα δύο άλογα, τ αράπικο το Πάθος και τ αφροστάλαχτο Ονειρο... μπορεί και στο γκρεμό Κωστής Παλαμάς, Τα παράκαιρα, 1919

8

9 Πρόλογος - Ευχαριστίες Την άνοιξη του 2007, μετά από δύο χρόνια στην Αμερική, πήρα την απόφαση να συνεχίσω τις σπουδές μου με την εκπόνηση της διδακτορικής μου διατριβής. Η επιστροφή σε ακαδημαϊκό περιβάλλον και η γνωστική πρόκληση είχε δυναμώσει πολύ μέσα μου μετά από την επαγγελματική μου δραστηριότητα στην Νέα Υόρκη. Το καλοκαίρι του ίδιου χρόνου ο καθηγητής κ. Χαράλαμπος Μπανιωτόπουλος μου πρότεινε την εκπόνηση διδακτορικού στο αντικείμενο της δυσαναλογικής κατάρρευσης των μεταλλικών κατασκευών, στο Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών. Καρπός της ερευνητικής αναζήτησης των τελευταίων χρόνων είναι η παρούσα διδακτορική διατριβή. Θερμά ευχαριστώ τον επιβλέποντα της διδακτορικής μου διατριβής κ. Χαράλαμπο Μπανιωτόπουλο για την συνεχή ηθική και ουσιαστική υποστήριξη του καθ ολη την διάρκεια της γνωριμίας μας από την εκπόνηση της διπλωματικής μου εργασίας μέχρι την εκπόνηση της διδακτορικής μου διατριβής. Η ανελλιπής συμβολή του αποτελεί καθοριστικό καθοδηγητικό κριτήριο στην πορεία μου. Θερμά ευχαριστώ τον καθηγητή κ. Χρήστο Μπίσμπο για την ανένδοτη, συνεκτική και ανεκτίμητα παραγωγική καθοδήγηση του κατά τη διάρκεια της εκπόνησης της διατριβής. Η επιστημονική μύησή μου στα προβλήματα της οριακής ανάλυσης, στις τεχνικές βελτιστοποίησης καθώς και σε πολλούς άλλους γενικότερους μαθηματικούς προβληματισμούς, λογισμούς και ϑεωρίες είναι αποτέλεσμα της ακούραστης και πεισματικής προσπάθειάς του. Θερμά ευχαριστώ τον καθηγητή κ. Γιώργο εοδάτη για την ουσιαστική βοήθειά του κατά τη διάρκεια της εκπόνησης της διατριβής. Παρ ολη την απόσταση, την διαφορά ώρας και τις προφανείς δυσκολίες, η άμεση, εγκάρδια ανταπόκρισή του και οι δημιουργικές απαντήσεις του σε πολλές απορίες και ερωτήσεις αποτέλεσαν καθοριστικό οδηγό σε δύσκολα προβλήματα και έθεσαν τις βάσεις για επόμενες αναζητήσεις. Ευχαριστώ τους συναδέλφους υποψήφιους διδάκτορες για το φιλικό κλίμα στο εργαστήριο, καθώς και το σύνολο του διδακτικού και επιστημονικού προσωπικού του Εργαστηρίου Μεταλλικών Κατασκευών του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Α.Π.Θ. για την καλή διάθεση που έδειχναν κατά τη διάρκεια εκπόνησης της διατριβής μου. Τέλος, οφείλω τα πάντα στην οικογένειά μου στην οποία εκφράζω ευγνωμοσύνη για την αμέριστη συμπαράσταση καθώς και στους κοντινούς μου ανθρώπους που με την πίστη τους δυνάμωσαν τις προσπάθειές μου.

10

11 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Γενικά για την δυσαναλογική κατάρρευση Στιβαρότητα κατασκευών Αντικείμενο και στόχοι διατριβής Κεντρικό αντικείμενο της διατριβής Στόχοι της διατριβής ιάρθρωση της διατριβής Επισκόπηση της δυσαναλογικής κατάρρευσης και στιβαρότητας κατασκευών Η εμφάνιση του φαινομένου της δυσαναλογικής κατάρρευσης Το κτίριο Ronan Point (Λονδίνο, Ηνωμένο Βασίλειο, 1968) Παγκόσμιο Κέντρο Εμπορίου (Νέα Υόρκη, ΗΠΑ, 2001) Ομοσπονδιακό κτίριο Alfred P. Murrah (Oklahoma, ΗΠΑ, 1995) Το κτίριο της Deutsche Bank (Νέα Υόρκη, ΗΠΑ, 2001) Η κατάρρευση της γέφυρας I-35W (Μινεσότα, ΗΠΑ, 2007) Σύντομη ερευνητική επισκόπηση Περιβάλλον στον ορισμό της στατικής στιβαρότητας Περιβάλλον στην εκτίμηση της στατικής στιβαρότητας Σύντομη επισκόπηση σε κανονιστικό επίπεδο Ευρωκώδικες [EN02], [EN06] Κριτήρια για δημόσια κτίρια των ΗΠΑ [DoD09] Κριτήρια για πολιτικά - ιδιωτικά κτίρια των ΗΠΑ [ASC05]

12 Περιεχόμενα Βρετανικοί κανονισμοί [Ins00], [Ins96], [Org98] Κανονισμός Καναδά [NRC95] Κτιριοδομικός Κανονισμός Νέας Υόρκης [Cou98] Σουηδικός Κανονισμός [Bov99a], [Bov99b] Άμεσες μέθοδοι πλαστικότητας για χωρικά μεταλλικά πλαίσια Ανάλυση χωρικών πλαισίων με πεπερασμένα στοιχεία Το πρόβλημα της ελαστικής προσαρμογής Το πρόβλημα της οριακής ανάλυσης Το πρόβλημα του ελαστικού ορίου Άμεσες μέθοδοι πλαστικότητας για χωρικά μεταλλικά πλαίσια με βλάβη - ανάλυση φορτίου κατάρρευσης και μεγέθη στιβαρότητας Εισαγωγή Μέθοδος εναλλακτικού δρόμου Γραμμική ανάλυση κατασκευών με βλάβη Γραμμικοποιημένα κριτήρια διαρροής του διακριτοποιημένου φορέα με βλάβη Το πρόβλημα της οριακής ανάλυσης και του ελαστικού ορίου Ανάλυση φορτίου κατάρρευσης και μεγέθη στιβαρότητας για κατασκευές με βλάβη Συντελεστές φορτίων κατάρρευσης και ελαστικού ορίου Μεγέθη στιβαρότητας Ανάλυση δυσαναλογικής κατάρρευσης μεταλλικών πλαισίων σε αστοχία υποστυλώματος Εισαγωγή Υπολογιστική αντιμετώπιση Γενικά ιαδικασία προσομοίωσης και εφαρμογής της μεθόδου Συντελεστές επαύξησης του φορτίου Αποτελέσματα

13 Περιεχόμενα Γενικά Σύγκριση κριτηρίου αστοχίας AISC και ρομβικού κριτηρίου Σχόλια Ανάλυση δυσαναλογικής κατάρρευσης μεταλλικών πλαισίων σε μερική αστοχία μεμονωμένων ή συνδυασμών υποστυλωμάτων Εισαγωγή στη μερικότητα της βλάβης Υπολογιστική αντιμετώπιση Γενικά Εισαγωγή μερικής βλάβης Συντελεστές επαύξησης του φορτίου Σύνολο αναλύσεων Αποτελέσματα Μερική βλάβη μεμονωμένων υποστυλωμάτων Μερική βλάβη συνδυασμών υποστυλωμάτων Επιρροή της δομικής μορφολογίας μεταλλικών πλαισίων στην στιβαρότητα και στο φορτίο κατάρρευσης Εισαγωγή Κατακόρυφη μη-κανονικότητα Γενικά Ευρωκώδικας ιεθνής Κτιριοδομικός Κανονισμός Κατακόρυφη γεωμετρική μη-κανονικότητα μεταλλικών πλαισίων Περιγραφή συνόλου μεταλλικών πλαισίων ομική μορφολογία μεταλλικών πλαισίων ιαστασιολόγηση Περιγραφή συνόλου αναλύσεων Συνδυασμοί φόρτισης Περιπτώσεις απώλειας υποστυλωμάτων Συντελεστές επαύξησης φορτίων

14 Περιεχόμενα 7.5 Αποτελέσματα Αποτελέσματα των αναλύσεων για τα πλαίσια χωρίς βλάβη Αποτελέσματα των αναλύσεων για τα πλαίσια με βλάβη Γενικά σχόλια για τους συντελεστές ελαστικού ορίου και οριακής ανάλυσης Επιρροή διαστασιολόγησης στα αποτελέσματα των συντελεστών ε- λαστικού ορίου και οριακής ανάλυσης Σχόλια για τα αποτελέσματα της στιβαρότητας των πλαισίων Συμπεράσματα Επιτεύγματα της διατριβής Μελλοντικές επεκτάσεις της διατριβής Βιβλιογραφία 135 Ευρετήριο πινάκων 160 Ευρετήριο σχημάτων 163 Ελληνική περίληψη 167 English Summary

15 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή To conquer fear is the beginning of wisdom Bertrand Russell 1.1 Γενικά για την δυσαναλογική κατάρρευση Η δυσαναλογική κατάρρευση ενός κτιρίου ορίζεται ως η καταστροφική μερική ή ολική αστοχία του κτιρίου, ως επακόλουθο ενός γενεσιουργού γεγονότος τοπικής βλάβης, η οποία δεν μπορεί να απορροφηθεί από την εσωτερική συνέχεια και πλαστιμότητα του στατικού συστήματος του κτιρίου. Απόρροια της αρχικής τοπικής αστοχίας ή βλάβης, μία αλυσίδα νέων αστοχιών προκαλείται οριζοντίως ή κατακορύφως μέσα στο στατικό σύστημα, εξελισσόμενη σε μία εκτεταμένη μερική ή ολική αστοχία του κτιρίου, έτσι ώστε η τελικώς παραγόμενη τελική βλάβη να είναι δυσανάλογη της τοπικής αστοχίας που προκλήθηκε από το αρχικό γεγονός. Τέτοιες καταρρεύσεις μπορούν να προκληθούν από πολλές αιτίες, συμπεριλαμβανομένων των κατασκευαστικών ή μελετητικών λαθών, οι οποίες ξεπερνούν την κοινά αποδεκτή κανονιστική βάση διαστασιολόγησης. Αρχικά, γενεσιουργά γεγονότα μπορεί να είναι μη κανονικά φορτία που δεν συνυπολογίζονται στη διαστασιολόγηση, για παράδειγμα εκρήξεις αερίου, συγκρούσεις οχημάτων, εκτεταμένη φωτιά ή ακραίες τιμές περιβαλλοντικών φορτίων, τα οποία επιπονούν το στατικό σύστημα πολύ πέρα από την περιβάλλουσα των αντοχών του. Σε αυτό το πλαίσιο, όλα τα κτίρια είναι ευάλωτα σε δυσαναλογική κατάρρευση σε διάφορα επίπεδα. Μέχρι σήμερα, η κανονική διαδικασία διαστασιολόγησης ενός κτιρίου προσφέρει μία συγκεκριμένη ποσότητα αντοχής και πλαστιμότητας, διαθέσιμης για την παραλαβή μη κανονικών φορτίων, για τις περιπτώσεις δυσαναλογικής κατάρρευσης. Παρ όλα αυτά, η εξέλιξη των κτιριακών στατικών συστημάτων, λόγω της ευρείας χρήσης των εμπορικών

16 1.2 Στιβαρότητα κατασκευών λογισμικών, επέτρεψε στους μηχανικούς την αφαίρεση μεγάλου μέρους της εσωτερικής στιβαρότητας από το στατικό σύστημα. Το γεγονός αυτό, παράλληλα με την χρήση υλικών υψηλής απόδοσης, οδήγησε σε κτιριακά στατικά συστήματα που είναι ελαφριά και εύκαμπτα, αλλά ταυτόχρονα τρωτά σε φορτιστικές καταστάσεις που βρίσκονται εκτός της περιβάλλουσας διαστασιολόγησης, με μικρή ικανότητα απορρόφησης ενέργειας. Τεχνολογίες κατασκευής με στόχο την ελαχιστοποίηση του κόστους ανέγερσης οδήγησαν σε κατασκευές με μικρή αντοχή σε δυσαναλογική κατάρρευση. Κοινωνικοί και πολιτικοί παράμετροι οδήγησαν επίσης στην αύξηση γεγονότων που μπορούν να προκαλέσουν τέτοιες αστοχίες. Τέλος, η απόδοση των κτιρίων και των υποδομών σε φυσικές, αν- ϑρώπινες ή τεχνολογικές καταστροφές έχει ως συνακόλουθο αποτέλεσμα την σημαντική εντατικοποίηση της δημόσιας συνειδητοποίησης των ϑεμάτων ασφαλείας των κτιρίων οι στατικές αστοχίες, από οποιαδήποτε αιτία, εξετάζονται διεξοδικά στη δημόσια συζήτηση. Σε αυτό το περιβάλλον, η δυσαναλογική κατάρρευση έχει ήδη μετατραπεί σε ένα αυξανόμενου ενδιαφέροντος αναφαινόμενο κανονιστικό ϑέμα. Γενικά, κανένα κτιριακό σύστημα δεν μπορεί να διαστασιολογηθεί και να κατασκευαστεί ώστε να είναι απόλυτα μηδενικής διακινδύνευσης, λόγω των αβεβαιοτήτων στις απαιτήσεις του συστήματος, στις μηχανικές ιδιότητες των δομικών υλικών και στις προβλέψεις της συμπεριφοράς των κτιριακών συστημάτων από τα σημερινά λογισμικά διαστασιολόγησης. Η φυσική αιτία της αβεβαιότητας είναι η διακινδύνευση μόνο όταν υπάρχει βεβαιότητα δεν υπάρχει διακινδύνευση. Επομένως, η διακινδύνευση δεν μπορεί να εξαλειφθεί, πρέπει να τεθεί υπό διαχείριση. Οι μηχανικοί και η κοινωνία, ως σύνολο, καλούνται να αποδεχτούν αποδεκτά όρια διακινδύνευσης ώστε να πετύχουν τους στόχους τους και το επίπεδο ασφάλειας που επιθυμούν για τις κατασκευές τους. Σε αυτό το πλαίσιο οι σημερινοί, διαθέσιμοι κτιριοδομικοί κανονισμοί είναι μεταξύ των εργαλείων των πολιτικών μηχανικών, χρησιμοποιούμενοι για την διαχείριση της διακινδύνευσης προς όφελος της δημόσιας ασφάλειας. Παρ ολα αυτά, οι σχετικές διατάξεις στατικής διαστασιολόγησης κανονισμών και προτύπων αναφέρονται σε συνδυασμούς φόρτισης και αντοχές και επιλαμβάνονται την διακινδύνευση της συμπεριφοράς των κτιρίων, όπως ακριβώς έχουν γίνει αντιληπτοί από τους συγγραφείς τους. Οι δυσαναλογικές καταρρεύσεις, παρόλο που εμφανίζονται σπάνια, αναπόφευκτα αφυπνίζουν την δημόσια αντίδραση λόγω του αιφνίδιου και απρόσμενου χαρακτηριστικού τους καθώς και τις καταστροφικές ανθρώπινες ή οικονομικές συνέπειές τους. Επομένως, η ανάγκη για σχετικό κανονιστικό πλαίσιο γίνεται ολοένα και πιο άμεση. 1.2 Στιβαρότητα κατασκευών Οι περισσότερες κτιριακές κατασκευές είναι, σε διαφορετικούς βαθμούς, τρωτές σε δυσαναλογική κατάρρευση λόγω τοπικής βλάβης. Ενώ όλες οι κατασκευές βρίσκονται σε 16

17 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή περιβάλλον διακινδύνευσης, η παρουσία συγκεκριμένων ιδιοτήτων καθιστούν ένα κτιριακό στατικό σύστημα τρωτό ή όχι σε δυσαναλογική κατάρρευση. Μερικές από αυτές τις ιδιότητες είναι εγγενείς του στατικού συστήματος, ενώ άλλες καθορίζονται από τη φύση της χρήσης του κτιρίου ή της παρουσίας του στο κοινωνικό σύνολο. Σημαντικοί ενισχυτικοί παράγοντες της αυξημένης στατικής τρωτότητας ενός κτιρίου σε δυσαναλογική κατάρρευση είναι η απουσία συνέχειας μέσα στο σύστημα και η απουσία πλαστιμότητας των υλικών, στοιχείων και συνδέσεων. Συστήματα με τα παραπάνω χαρακτηριστικά εμφανίζουν έλλειψη "στιβαρότητας" και είναι ανεπαρκώς εφοδιασμένα ώστε να απορροφούν ή να εκλύουν ενέργεια που προκαλείται από μία τοπική βλάβη. 1.3 Αντικείμενο και στόχοι διατριβής Κεντρικό αντικείμενο της διατριβής Η παρούσα διατριβή επιλαμβάνεται τον καθορισμό του φορτίου κατάρρευσης μεταλλικών πλαισίων για το ενδεχόμενο βλάβης δομικών στοιχείων στο πνεύμα της οριακής και της υπερωθητικής ανάλυσης κατασκευών υπό βλάβη (βλ. [LD05]). Επιπλέον, ορίζονται καθολικά μεγέθη στιβαρότητας μεταλλικών κατασκευών ως οι λόγοι των συντελεστών του φορτίου κατάρρευσης της κατασκευής υπό βλάβη, προς τους συντελεστές του φορτίου κατάρρευσης της κατασκευής χωρίς βλάβη. Η βλάβη εισάγεται στο σύστημα με απλούς δείκτες βλάβης Kachanov και εφαρμόζεται σε δομικά στοιχεία των πλαισίων. Για τον υπολογισμό των φορτίων κατάρρευσης της κατασκευής υπό βλάβη, χρησιμοποιούνται εκφράσεις κοινών γραμμικών κριτηρίων διαρροής τροποποιημένα με την εισαγωγή της βλάβης, ανάγοντας το πρόβλημα βελτιστοποίησης σε πρόβλημα μαθηματικού προγραμματισμού. Καθ ολη τη διατριβή, έχει μελετηθεί το πρόβλημα της οριακής ανάλυσης καθώς και το πρόβλημα του ελαστικού ορίου έτσι ώστε να μελετηθούν πλάστιμες και μη-πλάστιμες αστοχίες. Με αυτό τον τρόπο, ο συντελεστής του φορτίου κατάρρευσης υπολογίζεται με τις λεγόμενες άμεσες μεθόδους πλαστικότητας συζευγμένες με πεπερασμένα στοιχεία, δηλαδή με την λύση ενός προβλήματος βελτιστοποίησης χρησιμοποιώντας διατυπώσεις μαθηματικού προγραμματισμού και κατάλληλου λογισμικού βελτιστοποίησης (βλ. [CME77], [Smi93], [JB02], [WE02]) Στόχοι της διατριβής Κεντρικός στόχος της διατριβής είναι η ποσοτικοποίηση της "στιβαρότητας" των μεταλλικών κατασκευών με την χρήση άμεσων μεθόδων πλαστικότητας και την αξιοποίηση ήδη αποδεκτών μεθοδολογιών ανάλυσης δυσαναλογικής κατάρρευσης όπως η μέθοδος 17

18 1.4 ιάρθρωση της διατριβής του εναλλακτικού δρόμου (βλ. [DoD09]). Η επέκταση αυτή μπορεί να ϑεωρηθεί πρωτότυπη, καθώς το πρόβλημα της δυσαναλογικής κατάρρευσης δεν έχει ακόμα αντιμετωπιστεί υπολογιστικά στη γενική μορφή του, ούτε έχει συνδυαστεί η ποσοτικοποίηση της στιβαρότητας των κατασκευών με καταστάσεις αρχικής βλάβης και άμεσες μεθόδους πλαστικότητας. Σε αυτό το πλαίσιο οι στόχοι της διατριβής είναι οι εξής: Η διατύπωση του προβλήματος οριακής ανάλυσης και ελαστικού ορίου με τροποποιημένα κριτήρια διαρροής με βλάβη ως υπολογιστικά διαχειρίσιμα προβλήματα μαθηματικού προγραμματισμού, η διατύπωση καθολικών μεγεθών στιβαρότητας μεταλλικών πλαισιακών κατασκευών υπό αρχική βλάβη, η αξιοποίηση τεχνικών βελτιστοποίησης στα ανωτέρω πλαίσια. 1.4 ιάρθρωση της διατριβής Η διάρθρωση της διατριβής πέρα από το τρέχον εισαγωγικό κεφάλαιο απαρτίζεται από άλλα επτά κεφάλαια, όπως συνοπτικά παρουσιάζεται παρακάτω. Το δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζει μια εκτενή επισκόπηση του φαινομένου της δυσαναλογικής κατάρρευσης. Το πρώτο μέρος του κεφαλαίου επιλαμβάνεται την εμφάνιση του φαινομένου μέσα από πραγματικά περιστατικά καταρρεύσεων δυσανάλογων σε σχέση με την αρχική βλάβη ή το αρχικό αίτιο. Το δεύτερο μέρος του κεφαλαίου παρουσιάζει μία σύντομη ερευνητική επισκόπηση σχετικά με την δυσαναλογική κατάρρευση και την στατική στιβαρότητα των κατασκευών, ενώ τέλος το τελευταίο μέρος του δευτέρου κεφαλαίου ασχολείται με την επισκόπηση του φαινομένου στους κυριότερους κτιριοδομικούς κανονισμούς ανά τον κόσμο, ξεχωρίζοντας τους κανονισμούς που περιλαμβάνουν ιδιαίτερη αναφορά στο φαινόμενο. Ιδιαίτερη μνεία πραγματοποιείται σε αμερικανικούς κανονισμούς που επιλαμβάνονται του προβλήματος της δυσαναλογικής κατάρρευσης και της στιβαρότητας των κατασκευών. Το τρίτο κεφάλαιο περιλαμβάνει την γενική διατύπωση των προβλημάτων της οριακής ανάλυσης και του ελαστικού ορίου για χωρικά πλαίσια με την χρήση των πεπερασμένων στοιχείων. Το πρόβλημα διατυπώνεται έτσι ώστε να αποτελεί πρόβλημα μαθηματικού προγραμματισμού και βελτιστοποίησης. Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται η επέκταση της γενικής διατύπωσης των προβλημάτων της οριακής ανάλυσης και του ελαστικού ορίου του τρίτου κεφαλαίου, ώστε να συμπεριληφθεί η αρχική βλάβη μεμονωμένων στοιχείων των πλαισίων. Παρουσιάζεται επίσης 18

19 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή αναλυτικά η ευρέως αποδεκτή μεθοδολογία του εναλλακτικού δρόμου ως μέσο για την αντιμετώπιση της ανάλυσης της δυσαναλογικής κατάρρευσης. Τέλος, παρουσιάζεται η προσαρμογή της διατύπωσης των προβλημάτων της οριακής ανάλυσης και του ελαστικού ορίου στις απαιτήσεις της μεθοδολογίας του εναλλακτικού δρόμου, με τον ορισμό των καθολικών μεγεθών στιβαρότητας. Το πέμπτο κεφάλαιο περιλαμβάνει την εφαρμογή της διατύπωσης των προβλημάτων του ελαστικού ορίου και της οριακής ανάλυσης για την περίπτωση ενός μεταλλικού πλαισίου και την μεμονωμένη ολική απώλεια των υποστυλωμάτων του. Παρουσιάζονται συγκριτικά αποτελέσματα στιβαρότητας για διάφορες απώλειες υποστυλωμάτων του πλαισίου. Το έκτο κεφάλαιο περιλαμβάνει την εφαρμογή της διατύπωσης των προβλημάτων του ελαστικού ορίου και της οριακής ανάλυσης για την περίπτωση ενός μεταλλικού πλαισίου και την μερική απώλεια των υποστυλωμάτων του. Παρουσιάζονται συγκριτικά αποτελέσματα στιβαρότητας για διάφορους συνδυασμούς μεμονωμένης ή συνδυασμένης μερικής απώλειας των υποστυλωμάτων του πλαισίου. Το έβδομο κεφάλαιο περιλαμβάνει μία εκτενή παραμετρική μελέτη 15 μεταλλικών πλαισίων εφαρμόζοντας την διατύπωση των προβλημάτων του ελαστικού ορίου και της οριακής ανάλυσης για όλες τις περιπτώσεις απώλειας των υποστυλωμάτων τους. Μορφολογικά, τα πλαίσια είναι δομημένα ώστε να παρουσιάζουν κατακόρυφη γεωμετρική μη-κανονικότητα. Στο πρώτο μέρος του κεφαλαίου παρουσιάζεται αναλυτικά η περιγραφή των διαφόρων μορφών μη-κανονικότητας πλαισιακών φορέων. Η διατριβή ολοκληρώνεται με το όγδοο κεφάλαιο το οποίο περιλαμβάνει τα συνολικά συμπεράσματα της διατριβής καθώς και μελλοντικές προεκτάσεις της. 19

20 1.4 ιάρθρωση της διατριβής 20

21 Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση της δυσαναλογικής κατάρρευσης και στιβαρότητας κατασκευών We make guilty of our disasters the sun, the moon and the stars: as if we were villains by necessity; fools by heavenly compulsion William Shakespeare 2.1 Η εμφάνιση του φαινομένου της δυσαναλογικής κατάρρευσης Η πρώτη επαφή της παγκόσμιας κοινότητας των πολιτικών μηχανικών με τον όρο προοδευτική ή δυσαναλογική κατάρρευση πραγματοποιήθηκε αμέσως μετά από το ατύχημα στο Ronan Point, στις 16 Μαΐου, Εκτοτε, ο μηχανισμός της δυσαναλογικής κατάρρευσης έχει υποσκάψει την στατική ακεραιότητα αρκετών κατασκευών, έχοντας ο- δηγήσει σε κάποιες από τις πιο εντυπωσιακές, αναπάντεχες και τραγικές αστοχίες όπως το Παγκόσμιο Κέντρο Εμπορίου στην Νέα Υόρκη των ΗΠΑ (2001) ή την γέφυρα I-35W στην Μινεσότα των ΗΠΑ (2007). Κυριότερος λόγος της διατύπωσης της ϑεωρίας της δυσαναλογικής κατάρρευσης είναι η ολοένα αυξανόμενη συχνότητα εμφάνισης αστοχιών τέτοιου τύπου. εν είναι τυχαίο ότι οι Leyendecker και Burnett το 1976 [LB76] εκτίμησαν ότι το 15-20% των καταρρεύσεων κτιριακών φορέων συμβαίνουν με αυτό τον τρόπο. Γενικά, ως δυσαναλογική κατάρρευση μπορεί να περιγραφεί το δυσαναλογικό αποτέλεσμα που προκαλείται από κάποιο αρχικό γεγονός, όπως μία τοπική φόρτιση ή μία τοπική αστοχία. Η δυσκολία σχεδιασμού στατικών συστημάτων με μεγάλη αντοχή σε δυσαναλογική

22 2.1 Η εμφάνιση του φαινομένου της δυσαναλογικής κατάρρευσης κατάρρευση πηγάζει από την ασάφεια των κυριοτέρων παραμέτρων προσομοίωσης των συνθηκών της δυσαναλογικής κατάρρευσης. Η στοχαστική αβεβαιότητα των φορτιστικών καταστάσεων και η επιλογή κρίσιμων τοπικών αστοχιών παραμένουν προβλήματα προς επίλυση, καθώς το φαινόμενο μέχρι σήμερα αντιμετωπίζεται σε κάθε φορέα σαν ξεχωριστό πρόβλημα. Επιπρόσθετα, η απουσία λεπτομερών κανονιστικών διατάξεων σχετικά με το φαινόμενο (από τους εθνικούς κανονισμούς αλλά και από τους Ευρωκώδικες), οδηγεί τον μηχανικό να αντιμετωπίζει το πρόβλημα με εμπειρικό τρόπο. Υπό αυτές τις συνθήκες, παρατηρείται το φαινόμενο πληθώρας μεθοδολογιών διαστασιολόγησης για δυσαναλογική κατάρρευση, με κύριο όμως μειονέκτημα την απουσία ευρέως αποδεκτών κανονισμών και διατάξεων. Στις επόμενες παραγράφους παρουσιάζονται μερικά από τα χαρακτηριστικότερα, καταγεγραμμένα παραδείγματα του φαινομένου της δυσαναλογικής κατάρρευσης Το κτίριο Ronan Point (Λονδίνο, Ηνωμένο Βασίλειο, 1968) Η γέννηση της ϑεωρίας της δυσαναλογικής κατάρρευσης και όλων των μετέπειτα προσεγγίσεων της ϑεωρείται από πολλούς ερευνητές συνώνυμη με την αστοχία του 22όροφου κτιρίου διαμερισμάτων στο Newham του ανατολικού Λονδίνου στις 16 Μαΐου, Σχήμα 2.1: Το κτίριο Ronan Point μετά από την αστοχία 22

23 Κεφάλαιο 2. Επισκόπηση της δυσαναλογικής κατάρρευσης και στιβαρότητας κατασκευών Το κτίριο είχε συνολικό ύψος 64μ, με διαστάσεις κάτοψης 24,4μ x 18,3μ, ενώ ήταν σχεδιασμένο και κατασκευασμένο με προκατασκευασμένα στοιχεία. Το σύστημα των προκατασκευασμένων τοιχωμάτων και πλακών συνδεόταν μέσω οπών και κοχλιών, ενώ οι δυνάμεις στις συνδέσεις παραλαμβάνονταν μόνο από τριβή και φορτία βαρύτητας. Στις 16 Μαΐου, 1968, ύστερα από την απροσεξία ενός εκ των ενοίκων του κτιρίου, προκλήθηκε μία τοπική έκρηξη αερίου (14kPa - 83kPa σύμφωνα με τους [ESD + 07]) στον 18ο όροφο, η οποία είχε ως αποτέλεσμα να εκτοξεύσει, προς τα έξω, το εξωτερικό φέρον τοίχωμα του διαμερίσματος καθώς και ένα μη φέρον τοίχωμα της νοτιοανατολικής γωνίας της κάτοψης. Η απώλεια στήριξης των υπερκείμενων ορόφων οδήγησε στην συντριπτική αστοχία τους, ενώ τα ϑραύσματα από την αστοχία, στην καθοδική τους πορεία συνέτριψαν και όλους τους υποκείμενους 18 ορόφους. Προς μεγάλη έκπληξη των μηχανικών, η έρευνα που διεξήχθη μετά από την αστοχία, δεν ανέδειξε καμία παράβαση των ισχυόντων κανονισμών της εποχής ή κάποια άλλη ατέλεια κατασκευαστικής εφαρμογής της μελέτης (παρόλο που μερικοί ερευνητές, [Vla07], αναφέρουν κατασκευαστικά λάθη, είναι κοινώς αποδεκτό ότι δεν ήταν αυτή η πηγή της αστοχίας). Αντιθέτως, αποκαλύφθηκε, για πρώτη φορά, ότι οι κανονισμοί της εποχής, ενώ παρείχαν τις απαραίτητες πληροφορίες για την διαστασιολόγηση μεμονωμένων στοιχείων, παρείχαν πολύ μικρή καθοδήγηση για τον καθολικό σχεδιασμό ευστάθειας του συνόλου του στατικού συστήματος. Η ανεπάρκεια αυτή είχε ως αποτέλεσμα οι υ- περκείμενες της αστοχίας συνδέσεις, που είχαν σχεδιαστεί για παραλαβή μόνο φορτίων ϑλίψης, μετά την έκρηξη και την εμφάνιση φορτίων εφελκυσμού να μην είναι ικανές να λειτουργήσουν με ασφάλεια και ως εκ τούτου να αστοχήσουν. Το ατύχημα στο κτίριο Ronan Point συνοδεύτηκε από τον ϑάνατο 4 ανθρώπων και τον τραυματισμό άλλων Παγκόσμιο Κέντρο Εμπορίου (Νέα Υόρκη, ΗΠΑ, 2001) Το συγκλονιστικότερο και ταυτόχρονα αιματηρότερο παράδειγμα εμφάνισης του φαινομένου της δυσαναλογικής κατάρρευσης αποτελεί η κατάρρευση των δίδυμων πύργων του Παγκόσμιου Κέντρου Εμπορίου στην Νέα Υόρκη. Το Παγκόσμιο Κέντρο Εμπορίου περιελάμβανε ένα συγκρότημα 7 κτιρίων, προσφέροντας συνολικά 1.24εκ. τ.μ. χώρων γραφείων στο νότιο Μανχάταν, της πόλης της Νέας Υόρκης. Τα δύο ψηλότερα κτίρια του συγκροτήματος ήταν δύο πανομοιότυπα κτίρια ύψους 417μ το βόρειο κτίριο και 415μ το νότιο κτίριο. Η κατασκευή τους είχε ολοκληρωθεί το , με το στατικό σύστημα ψηλών κτιρίων tube-frame, φτάνοντας το κάθε ένα τους 110 ορόφους. Στις 11 Σεπτεμβρίου, 2001, ένα Boeing συγκρούστηκε στον Βόρειο Πύργο στις 8:46πμ, από την βόρεια πλευρά, στο ύψος του 96ου ορόφου. Ο Νότιος Πύργος 23

24 2.1 Η εμφάνιση του φαινομένου της δυσαναλογικής κατάρρευσης χτυπήθηκε στις 9:03πμ από ένα ακόμη Boeing , κοντά στην νοτιοανατολική γωνία του κτιρίου, στο ύψος του 80ου ορόφου. Και στις δύο περιπτώσεις τα αεροσκάφη φάνηκαν να «σκίζουν» κατά την είσοδό τους τα κτίρια και να ανατινάσσονται αμέσως μετά την σύγκρουση, όμως η καταστροφή φάνηκε στην αρχή τοπική χωρίς να απειλεί την συνολική ασφάλεια και την ευστάθεια των κτιρίων. Παρ όλα αυτά, ο βόρειος πύργος κατέρρευσε στις 9:59πμ, 56 λεπτά μετά την σύγκρουση, σε μόλις δευτερόλεπτα, ενώ ο νότιος πύργος στις 10:28πμ, 102 λεπτά μετά την σύγκρουση, με τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Σχήμα 2.2: Οι δίδυμοι πύργοι της Νέας Υόρκης, ΗΠΑ σε παλαιότερη φωτογραφία Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει το γεγονός ότι οι πύργοι είχαν διαστασιολογηθεί για το φορτίο σύγκρουσης με ένα Boeing 707 (το πιο διαδεδομένο αεροσκάφος της εποχής της μελέτης των κτιρίων) και όντως ανταποκρίθηκαν στο φορτίο της σύγκρουσης. Αυτό όμως που κρίθηκε μοιραίο για την ασφάλεια των πύργων δεν ήταν το φορτίο της σύγκρουσης, αλλά οι διαδοχικές προοδευτικές συνέπειές του στο στατικό σύστημα, μετά τη σύγκρουση. Σύμφωνα με τον καθηγητή Eduardo Kausel του MIT και την ομάδα που συνέταξε το πολύ γνωστό The Towers Lost and Beyond, ([MIT02]), ο μηχανισμός κατάρρευσης ήταν προοδευτικός, με 3 ξεχωριστά στάδια: 24

25 Κεφάλαιο 2. Επισκόπηση της δυσαναλογικής κατάρρευσης και στιβαρότητας κατασκευών Στάδιο 1: Σύγκρουση του αεροσκάφους Στάδιο 2: Αστοχία του υπερκείμενου της σύγκρουσης συστήματος Στάδιο 3: υναμική κατάρρευση της κατασκευής Εν ολίγοις, ο μηχανισμός αστοχίας ενεργοποιήθηκε στο σημείο της σύγκρουσης, αμέσως μετά την σύγκρουση. Οι δοκοί-δικτυώματα που υπερθερμάνθηκαν από την φωτιά που επικράτησε στην περιοχή της σύγκρουσης, λόγω της ανατίναξης των αεροσκαφών και της καύσης των καυσίμων τους, αστόχησαν πριν από τα υποστυλώματα και μάλλον κατέρρευσαν πρώτα. Ετσι, ενώ κομμάτια των πλακών κατέρρεαν και συντρίβονταν προς τα κάτω, το βάρος των αυξανόμενα συγκεντρωμένων ϑραυσμάτων αυξήθηκε πάνω από το φορτίο αντοχής των υποκείμενων δοκών με αποτέλεσμα να αστοχούν και αυτές. Ταυτόχρονα, τοπικές αστοχίες των πλακών, προκάλεσαν την απώλεια πλευρικών στηρίξεων στα ήδη ϑερμικά εξασθενημένα υποστυλώματα, τα οποία λόγω του αυξημένου φορτίου των ϑραυσμάτων λύγισαν και αστόχησαν. Σε αυτό το χρονικό σημείο, οι υπερκείμενοι της σύγκρουσης όροφοι άρχισαν να καταρρέουν προς τα κάτω και ενόσω αποκτούσαν αυξανόμενη ορμή, συνέτριβαν έναν-έναν τους υποκείμενους ορόφους που συναντούσαν στην πορεία τους (pancake effect). Το δυναμικό μοντέλο του καθηγητή Kausel απέδειξε ότι το δυναμικό φορτίο που δημιουργείται από την αστοχία του, υπερκείμενου της σύγκρουσης, τμήματος του κτιρίου και την πτώση του κατά ένα μόνο όροφο, είναι παραπάνω από 10 φορές το βάρος του. Αυτό εξηγεί επίσης την πολύ μικρή διάρκεια κατάρρευσης (12secs), η οποία ουσιαστικά ισοδυναμεί με ελεύθερη πτώση. Ο καθηγητής Kausel προσπαθώντας να εξηγήσει την προοδευτική κατάρρευση των κτιρίων παρατηρεί: «Ενα σημαντικό μάθημα που μπορεί να μας διδαχθεί από την κατάρρευση του Παγκόσμιου Κέντρου Εμπορίου είναι ότι τα κτίρια είναι σαν αλυσίδες, με την έννοια ότι είναι όσο ανθεκτικά όσο ο πιο αδύναμος κρίκος τους.» Αυτόν τον τρόπο σχεδιασμού καλείται η ϑεωρία της προοδευτικής-δυσαναλογικής κατάρρευσης να αντιμετωπίσει, αποσυνδέοντας την συνολική ευστάθεια ενός συστήματος από ένα μόνο κρίκο της αλυσίδας και δημιουργώντας εναλλακτικούς δρόμους παραλαβής των φορτίων. Το ατύχημα στο Παγκόσμιο Κέντρο Εμπορίου συνοδεύτηκε από τον ϑάνατο 2995 ανθρώπων και τον τραυματισμό περισσότερων από Ομοσπονδιακό κτίριο Alfred P. Murrah (Oklahoma, ΗΠΑ, 1995) Μέχρι σήμερα, οι κανονισμοί που έχουν καλύψει το ϑέμα της δυσαναλογικής κατάρρευσης και παρέχουν προτάσεις για την διαστασιολόγηση ενάντια του φαινομένου προέρχονται από τις ΗΠΑ και αφορούν ομοσπονδιακά δημόσια κτίρια. Η ανάπτυξη αυτών 25

26 2.1 Η εμφάνιση του φαινομένου της δυσαναλογικής κατάρρευσης των κανονισμών ξεκίνησε μετά από την κατάρρευση, λόγω τρομοκρατικής επίθεσης του ομοσπονδιακού κτιρίου Alfred P. Murrah, στο κέντρο της πόλης της Oklahoma, στην πολιτεία της Oklahoma. Το κτίριο ήταν ένα 9-όροφο τυπικό σύστημα πλαισίων οπλισμένου σκυροδέματος Σχήμα 2.3: Το κτίριο Alfred P. Murrah μετά από την επίθεση με διαστάσεις κάτοψης 67μ x 30.5μ. Σημαντικό στοιχείο του στατικού συστήματος που ενίσχυσε την τρωτότητά του σε δυσαναλογική κατάρρευση ήταν η παρουσία μιας υπερισχυρής περιμετρικής δοκού στον τρίτο όροφο με ανοίγματα μεταξύ των στύλων ίσα με 12.2μ, υποστηρίζοντας υπερκείμενα (φυτευτά) υποστυλώματα με μεταξύ τους αποστάσεις 6.1μ. Στις 19 Απριλίου, 1995 η έκρηξη ενός μηχανισμού μέσα σε ένα μικρό όχημα περίπου 5μ μακριά από την είσοδο του κτιρίου προκάλεσε την καταστροφή των υποστυλωμάτων της εισόδου ενεργοποιώντας ένα κρίσιμο μηχανισμό δυσαναλογικής κατάρρευσης με αποτέλεσμα την κατάρρευση μεγάλου μέρους του κτιρίου. Ο μηχανισμός ενεργοποιήθηκε από την αστοχία της υπερισχυρής δοκού του τρίτου ορόφου και την κατάρρευση όλων των υπερκείμενων υποστυλωμάτων. Ο μηχανικός W. Gene Corley, που ηγήθηκε της ομάδας έρευνας, αναφέρει για τα αίτια κατάρρευσης του κτιρίου ([ST98]): «Η πλειοψηφία των ϑυμάτων δεν προκλήθηκε από την δύναμη της βόμβας, αλλά από την προοδευτική κατάρρευση των ορόφων του κτιρίου που εξαρτιόνταν από την υποστήριξη μερικών σημαντικών υποστυλωμάτων του κτιρίου που καταστράφηκαν από την βόμβα». Το ατύχημα στο ομοσπονδιακό κτίριο Alfred P. Murrah συνοδεύτηκε από τον ϑάνατο 26

27 Κεφάλαιο 2. Επισκόπηση της δυσαναλογικής κατάρρευσης και στιβαρότητας κατασκευών 168 ανθρώπων και τον τραυματισμό άλλων Το κτίριο της Deutsche Bank (Νέα Υόρκη, ΗΠΑ, 2001) Το κτίριο της Deutsche Bank στην Νέα Υόρκη βρισκόταν στην οδό Liberty 130, απέναντι από την νότια πλευρά του Παγκόσμιου Κέντρου Εμπορίου. Το κτίριο ήταν μία 42όροφη μεταλλική κατασκευή αποτελούμενη από μεταλλικά πλαίσια με τετραγωνική σχεδόν κάτοψη, πλευράς 56μ. Το σύστημα της κατασκευής ήταν ένας μεταλλικός πυρήνας κεντρικού συνδέσμου γύρω από τον οποίο συνδέονταν μεγάλα μεταλλικά πλαίσια. Ολες οι συνδέσεις των πλαισίων ήταν συνδέσεις ροπής, ενώ τα πλαίσια απείχαν 8μ μεταξύ τους. Το κτίριο υπέστη μεγάλες ζημιές στην πλευρά ακριβώς απέναντι από το Παγκό- Σχήμα 2.4: Το κτίριο της Deutsche Bank μετά από την σύγκρουση των ϑραυσμάτων σμιο Κέντρο Εμπορίου την ημέρα κατάρρευσής του τελευταίου. Κατά την πτώση των τεραστίων ϑραυσμάτων του δεύτερου πύργου του Παγκόσμιου Κέντρου Εμπορίου, ένα μεγάλο κομμάτι των περιμετρικών υποστυλωμάτων καθώς και του εσωτερικού του κτιρίου της Deutsche Bank καταστράφηκε, συμπεριλαμβανομένων κεντρικών δοκών, πλακών 27

28 2.1 Η εμφάνιση του φαινομένου της δυσαναλογικής κατάρρευσης καθώς και ενός περιμετρικού υποστυλώματος μεταξύ του 9ου και του 24ου ορόφου. Παρ όλες τις εκτεταμένες βλάβες, η κατασκευή δεν κατέρρευσε λόγω της ύπαρξης εναλλακτικών δρόμων των φορτίων μέσω της ανακατανομής των εντάσεων. Για αυτό το λόγο το κτίριο αυτό αποτελεί παράδειγμα ανθεκτικότητας σε δυσαναλογική κατάρρευση αφού ακόμη και με την απώλεια σημαντικών δομικών στοιχείων, η κατασκευή είχε το περιθώριο ασφαλείας να μην καταρρεύσει Η κατάρρευση της γέφυρας I-35W (Μινεσότα, ΗΠΑ, 2007) Η γέφυρα I-35W του ποταμού Μισισιπή ήταν μία μεταλλική γέφυρα τοξοτών δικτυωμάτων με 8 λωρίδες κυκλοφορίας, η οποία στις 1 Αυγούστου, 2007 κατέρρευσε ξαφνικά κατά τη διάρκεια της συνήθους κυκλοφοριακής συμφόρησης και ενώ ήταν σε χρήση από πλήθος οχημάτων. Σχήμα 2.5: Η γέφυρα I-35W πριν την κατάρρευση Τα αίτια της κατάρρευσης σύμφωνα με τον κ. Μανώλη Βεληβασάκη, διευθυντικό στέλεχος της εταιρείας Thornton Tomasetti, η οποία ανέλαβε την διερεύνηση της κατάρρευσης από την πλευρά των ϑυμάτων, ήταν η λανθασμένη διαστασιολόγηση των πλακών ενίσχυσης των συνδέσεων καθώς και η αλόγιστη αποθήκευση δομικών υλικών πάνω στο κατάστρωμα της γέφυρας για τους σκοπούς κατασκευαστικών εργασιών. Το πόρισμα του National Transportation Safety Board ([Boa08]) αναφέρει ότι το γεγονός που ενεργοποίησε την κατάρρευση υπήρξε η πλευρική αστάθεια δύο διαγώνιων στοιχείων και η προκαλούμενη αστοχία των αντίστοιχων συνδέσεών τους. Αναφέρεται α- 28

29 Κεφάλαιο 2. Επισκόπηση της δυσαναλογικής κατάρρευσης και στιβαρότητας κατασκευών Σχήμα 2.6: Η γέφυρα I-35W αμέσως μετά την κατάρρευση κόμα ότι το δικτύωμα του καταστρώματος της γέφυρας δεν είχε εναλλακτικούς δρόμους που ϑα μπορούσαν να ακολουθήσουν τα φορτία και έτσι μία μικρή αστοχία μπόρεσε και προκάλεσε την ολική κατάρρευση της γέφυρας. Αν η γέφυρα είχε διαστασιολογηθεί με μέθοδο που ϑα διασφάλιζε την ύπαρξη εναλλακτικών δρόμων φορτίου, τότε δεν ϑα είχε προκληθεί κατάρρευση από την αστοχία ενός μόνο στοιχείου της. Η κατάρρευση της γέφυρας I-35W του ποταμού Μισισιπή συνοδεύτηκε από τον ϑάνατο 13 ανθρώπων και τον τραυματισμό άλλων Σύντομη ερευνητική επισκόπηση Την τελευταία δεκαετία, ένα από τα πιο κρίσιμα σημεία που αναδείχτηκαν από την διεθνή ερευνητική κοινότητα των μηχανικών σχετικά με την ποιότητα των υφιστάμενων κατασκευών και υποδομών, αποτελεί η αξιοπιστία τους κατά τη διάρκεια ζωής τους καθώς και η αντοχή τους σε ατυχηματικά ή όχι φορτία, έχοντας υποστεί βλάβες. Το πρόβλημα της αξιοπιστίας των υφιστάμενων κατασκευών υπό φθορά έχει αναλυθεί από πολλούς ερευνητές μεταξύ των οποίων οι Frangopol και Curley [FC87a], ο Lind [Lin95], οι Ghosn και Moses [GM98], οι Backer et al. [BSF08] κ.α. Το γεγονός αυτό είναι συνέπεια του διαρκώς αυξανόμενου κόστους συντήρησης των κατασκευών, το οποίο αναμένεται να αυξηθεί περαιτέρω τα επόμενα χρόνια. Το σκεπτικό είναι ϑεμελιώδες σε μεγάλο αριθμό κατασκευών για παράδειγμα σε γέφυρες αυτοκινητοδρόμων οι οποίες έχουν εξαντλήσει ή είναι κοντά στην εξάντληση του ορίου ζωής τους. Σύμφωνα με τον Costs [Cos02], το άμεσο κόστος που σχετίζεται με την φθορά των γεφυρών στις ΗΠΑ φτάνει τα 8,3 εκ. δολάρια ετησίως και εκτιμάται ότι 29

30 2.2 Σύντομη ερευνητική επισκόπηση τα έμμεσα κόστη που σχετίζονται με τους χρήστες μπορεί να είναι μέχρι και 10 φορές παραπάνω. Η φθορά και η επιδείνωση της κατάστασης των υφιστάμενων κατασκευών, ειδικότερα των μεταλλικών κατασκευών, συμβαίνει κυρίως λόγω τοπικών αστοχιών ή βλαβών που μπορεί να προκληθούν από φθορά, ανθρώπινα σφάλματα ή αυξημένα τοπικά φορτία λόγω κρούσης, έκρηξης κτλ. Σε αυτό το πλαίσιο, ιδιαίτερη έμφαση έχει δοθεί από την ερευνητική κοινότητα στην ανάλυση των κατασκευών με ολική η μερική απώλεια ενός δομικού στοιχείου π.χ. υποστυλώματος ή στήριξης. Επιπλέον, ο στατικός έλεγχος σε ατυχηματική φθορά ή ανθρώπινα σφάλματα παρουσιάζει αυξημένο ενδιαφέρον λόγω του αυξανόμενου ενδεχομένου τρομοκρατικών ε- πιθέσεων, το οποίο είναι συνακόλουθο αποτέλεσμα μιας σειράς γεγονότων από την 11η Σεπτεμβρίου (Νέα Υόρκη, ΗΠΑ, 2001), την μερική κατάρρευσης του κτιρίου Alfred P. Murrah (Oklahoma, ΗΠΑ, 1995) ή την κατάρρευση της γέφυρας I-35W στον ποταμό Μισισιπή (Μινεάπολις, ΗΠΑ, 2007) κ.α. Από την σκοπιά της στατικής κατάρρευσης, η κοινή ιδιότητα που μοιράζονται όλα αυτά τα σενάρια είναι η εμφάνιση δυσανάλογων καταρρεύσεων σε σύγκριση με το αρχικό αίτιο ή φθορά (Eagar και Musso [EM01], Pearson et al. [PD05]). Οι περισσότεροι σύγχρονοι κανονισμοί παρέχουν σήμερα λεπτομερείς οδηγίες για την εκτίμηση της ασφάλειας μεμονωμένων στοιχείων, με περιορισμένη βλάβη. Παρόλα αυτά, οι ίδιοι κανονισμοί είναι πολύ λιγότερο συγκεκριμένοι σχετικά με τις απαιτήσεις πρόληψης της αστοχίας ή απώλειας ευστάθειας του στατικού συστήματος ως σύνολο, καθώς και για τις πιθανές συνέπειες ενός τέτοιου γεγονότος. Η ανοχή σε βλάβες και η στιβαρότητα είναι ανερχόμενες έννοιες και σίγουρα επιθυμητές ιδιότητες μιας κατασκευής. Σε κάθε περίπτωση, σήμερα, στην σχετική παγκόσμια επιστημονική κοινότητα, η στιβαρότητα δεν είναι ακόμα επαρκώς ορισμένη ενώ υπάρχει μεγάλη αντιπαράθεση πάνω στην προσέγγιση του φαινομένου. Ευρέως αποδεκτές μέθοδοι για τον ορισμό της στιβαρότητας των κατασκευών είναι ακόμα υπό εξέλιξη (στον Ευρωπαϊκό χώρο μέσα από την πρόσφατη ερευνητική δράση COST Action TU Robustness of structures). Παρ όλο που η στιβαρότητα (robustness) φαίνεται μία περισσότερο ενδιαφέρουσα έννοια όταν εφαρμόζεται σε καταστάσεις τρομοκρατικών επιθέσεων και άλλων ακραίων γεγονότων, μπορεί να είναι επίσης χρήσιμη όταν εφαρμόζεται στο πλαίσιο κάποιων περισσότερο πιθανών φορτίσεων όπως μεταξύ άλλων τα φορτία σχεδιασμού συνδυασμένα με σενάρια βλαβών. Παρόμοια εργαλεία με αυτά που χρησιμοποιούνται στην ανάλυση της στιβαρότητας των κατασκευών υπό ακραία φαινόμενα μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην μελέτη της επιρροής των βλαβών ενός στατικού συστήματος στην καθολική ασφάλεια του συστήματος. Ουσιαστικά, μία βλάβη είναι συνήθως ένα τοπικό φαινόμενο που έχει διαφορετική επιρροή στην ασφάλεια του συνολικού συστήματος, εξαρτώμενο μεταξύ άλλων από την τοπικότητα της βλάβης, την στατική μορφολογία του συστήματος, τα 30

31 Κεφάλαιο 2. Επισκόπηση της δυσαναλογικής κατάρρευσης και στιβαρότητας κατασκευών υλικά που χρησιμοποιούνται και το επίπεδο των τάσεων Περιβάλλον στον ορισμό της στατικής στιβαρότητας Ενας μεγάλος αριθμός συγγραφέων έχει προσπαθήσει να ορίσει την στατική στιβαρότητα. Μερικοί συγγραφείς έχουν προτείνει ντετερμινιστικά μεγέθη βασισμένα στην στατική συμπεριφορά, ενώ άλλοι συγγραφείς έχουν προτείνει ευρύτερες έννοιες βασισμένες πάνω σε πιθανοθεωρητικά μεγέθη και εκτίμηση διακινδύνευσης (risk assessment). Παρ όλα αυτά, μία γενική ομοφωνία στον ορισμό της στιβαρότητας δεν έχει ακόμη επιτευχθεί, αφού υπάρχουν απόλυτα διαφορετικές προσεγγίσεις στον υπολογισμό της. Αλλά ακόμα και αν δεν υπάρχει ένας τελικός ορισμός, είναι πλέον αναμφίβολο ότι η ασφάλεια (και κατ επέκταση ο έλεγχος) μεμονωμένων δομικών στοιχείων δεν μπορεί να είναι ικανή να προσφέρει την απαιτούμενη ασφάλεια ενός στατικού συστήματος. Επομένως, μία καθολική ιδιότητα του συστήματος που ϑα περιγράφει την συνολική ασφάλεια του, είναι επιθυμητή. Οι συνεισφορές των Callaway et al. [Cal00], Agarwal et al. [ABW01], [AE08], [AEB06], Wisniewski et al. [WCG06], Starossek και Haberland [SH08b], [SH08a], [ASC03a], Baker et al. [BSF08] του Ευρωκώδικα 1 [CEN06] καθώς και το Recommendations for Designing Collapse-Resistant Structures (draft) της ASCE, προσφέρουν ένα ευρύ φάσμα ορισμών της στατικής στιβαρότητας. Σχετικές σημαντικές έννοιες εμφανίζονται μεταξύ αυτών των κειμένων, οι οποίες μπορούν να συνοψιστούν στις ακόλουθες: αιτίες (causes) ακεραιότητα (integrity) άμεση διαστασιολόγηση (direct design) αντοχή κατάρρευσης (collapse resistance) απαιτήσεις διαστασιολόγησης (design requirements) αρχική βλάβη - φθορά (initial damage) αυξημένη τοπική αντοχή (increased local resistance) βλάβη (damage) γεγονός (event) διαδιδόμενη δράση (propagating action) διαστασιολογημένη τοπική αντοχή (specific local resistance) διαστασιολόγηση βάσει συγκεκριμένων απειλών (threat-specific design) 31

32 2.2 Σύντομη ερευνητική επισκόπηση δράση (action) δυσαναλογική κατάρρευση (disproportionate collapse) έκθεση (exposure) έλεγχος γεγονότων (event control) έμμεση διαστασιολόγηση (indirect design) εναλλακτικοί δρόμοι φορτίων (alternative load paths) κριτήρια διαστασιολόγησης (design criteria) μέθοδοι διαστασιολόγησης (design methods) μη-κανονικό γεγονός (abnormal event) όριο τμήματος (segment border) περιβάλλον (environment) πλαστιμότητα (ductility) πλεόνασμα ή υπερστατικότητα (redundancy) προοδευτική κατάρρευση (progressive collapse) προστασία (protection) σενάρια - ενδεχόμενα κινδύνου (hazard scenarios) στατική απόδοση ή λειτουργία (structural performance or function) στιβαρότητα (robustness) στοιχείο κλειδί (key element) στόχοι διαστασιολόγησης (design objectives) στόχοι λειτουργικότητας (performance objectives) συνέπειες (consequences) συνέχεια (continuity) συνιστώμενη τοπική αντοχή (prescribed local resistance) συνιστώμενοι κανόνες διαστασιολόγησης (prescriptive design rules) τμηματοποίηση (segmentation) 32

33 Κεφάλαιο 2. Επισκόπηση της δυσαναλογικής κατάρρευσης και στιβαρότητας κατασκευών τρωτότητα (vulnerability) Αρκετοί συγγραφείς ορίζουν την στιβαρότητα των κατασκευών ως μία ιδιότητα της κατασκευής, ανεξάρτητη του περιβάλλοντος στο οποίο η κατασκευή εισέρχεται (Wisniewski et al. [WCG06], Starossek και Haberland [SH08b]). Σε αυτή την περίπτωση, η στιβαρότητα αφορά την άμεση σχέση μεταξύ βλάβης και μείωσης της στατικής λειτουργικότητας. Ακολουθώντας διαφορετική προσέγγιση, κάποιοι συγγραφείς (Callaway et al. [Cal00], Agarwal et al. [ABW01], Baker et al. [BSF08]) καθώς και ο Ευρωκώδικας 1 [CEN06], αναλύουν το περιβάλλον της κατασκευής και κάνουν αναφορά σε επιπλέον ζητήματα όπως η έκθεση (exposure) και/είτε συνέπειες (consequences). Σε αυτή τη περίπτωση, η στιβαρότητα ποσοτικοποιείται συγκρίνοντας το μέγεθος του αρχικού γεγονότος με το εύρος των συνεπειών με την παραδοχή ότι η στιβαρότητα ορίζεται ως μία ιδιότητα τόσο της κατασκευής όσο και του περιβάλλοντος της. Ετσι, ανάλογα με την υιοθετούμενη οπτική, σημαντικά σημεία της έννοιας της στιβαρότητας είναι τα ακόλουθα: 1. Σύμφωνα με την πρώτη οπτική, η στιβαρότητα ϑεωρείται ως μία στατική ιδιότητα και σχετίζεται με την συμπεριφορά της κατασκευής μετά από την εμφάνιση μίας βλάβης. Ο ορισμός αυτός οδηγεί σε μία αρκετά συγκεκριμένη έννοια. 2. Σύμφωνα με την δεύτερη οπτική γωνία, η στιβαρότητα ορίζεται ως μία ιδιότητα της κατασκευής και του περιβάλλοντός της και είναι μία πολύ ευρύτερη και σύν- ϑετη έννοια. Ουσιαστικά, όταν λαμβάνονται υπόψη ακραία γεγονότα και έμμεσες συνέπειες της απώλειας της στατικής λειτουργίας, η εκτίμηση της στιβαρότητας α- ποτελεί ένα εξαιρετικά σύνθετο πρόβλημα, εξαρτώμενο από περίπλοκα φαινόμενα συμπεριλαμβανομένων μεταξύ άλλων του κοινωνικού και οικονομικού περιβάλλοντος. Το μεγάλο πλεονέκτημα της πρώτης προσέγγισης είναι ότι η ποσοτικοποίησή της στιβαρότητας, μπορεί να πραγματοποιηθεί κυρίως λαμβάνοντας υπόψη το κομμάτι της στατικής μηχανικής. Παρόλα αυτά σημαντική παράμετρος είναι και ο καθορισμός της έκ- ϑεσης του φορέα, καθώς η απόκρισή του σε διαφορετικά είδη έκθεσης (φορτίων) μπορεί να οδηγήσει σε διαφορετικά επίπεδα στιβαρότητας. Επιπρόσθετα, μία κατασκευή που έχει χαρακτηριστεί ως στιβαρή, μπορεί να μην είναι στιβαρή λόγω πιθανών αλλαγών του περιβάλλοντός έκθεσής της. Για παράδειγμα, αν η κυκλοφορία οχημάτων πάνω σε μία γέφυρα αυξηθεί, ακόμα και αν το στατικό σύστημα μείνει αναλλοίωτο, η στιβαρότητα μειώνεται λόγω της αύξησης των συνεπειών της κατάρρευσης ή της αστοχίας. Με βάση την πρώτη προσέγγιση, η παρούσα διατριβή ορίζει την στιβαρότητα ως μία στατική ιδιότητα άμεσα εξαρτημένη όμως από την έκθεση του στατικού συστήματος, 33

34 2.2 Σύντομη ερευνητική επισκόπηση χωρίς να λαμβάνει υπόψη το κοινωνικό ή οικονομικό περιβάλλον. Άλλωστε, το πρώτο απαραίτητο βήμα προς την ποσοτικοποίηση της στιβαρότητας είναι να προκύψει ένα αξιόπιστο εργαλείο που ϑα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την περαιτέρω ενσωμάτωση όλων των επιπλέον σύνθετων οικονομικών και κοινωνικών προβλημάτων Περιβάλλον στην εκτίμηση της στατικής στιβαρότητας Παρακάτω ακολουθούν η περιγραφή και η ανάλυση των πιο σημαντικών υπολογιστικών πλαισίων (computational frameworks) που έχουν προταθεί από διάφορους συγγραφείς για την εκτίμηση της στατικής στιβαρότητας, ή άλλες συναφείς έννοιες. Οι Frangopol και Curley [FC87a] αναλύουν την επιρροή της βλάβης και του στατικού πλεονάσματος (redundancy) των στατικών συστημάτων, προτείνοντας τόσο ντετερμινιστικά όσο και πιθανοθεωρητικά μεγέθη. Σύμφωνα με την ντετερμινιστική προσέγγιση, το μέγεθος του στατικού πλεονάσματος, R, ορίζεται ως το απόθεμα αντοχής μεταξύ της βλάβης των στοιχείων και την κατάρρευση του συστήματος και μπορεί να εκτιμηθεί ως εξής: R L intact L intact -L damaged (2.1) L intact είναι το καθολικό στατικό φορτίο κατάρρευσης χωρίς βλάβη και L damaged είναι το καθολικό στατικό φορτίο κατάρρευσης λαμβάνοντας υπόψη κάποια βλάβη σε ένα ή περισσότερα δομικά στοιχεία της κατασκευής. Ο συντελεστής αποθέματος R είναι ίσος με 1 όταν η κατασκευή με βλάβη δεν έχει καθόλου απόθεμα αντοχής, ενώ είναι άπειρο όταν η βλάβη δεν έχει καθόλου επιρροή στο απόθεμα αντοχής. Επιπλέον, για να μπορεί να ληφθεί υπόψη η τυχαία φύση ασφάλειας οι Frangopol και Curley [FC87a] πρότειναν ένα πιθανοθεωρητικό μέγεθος αποθέματος αντοχής β R ως εξής: β R β intact β intact -β damaged (2.2) Οπου β intact είναι ο δείκτης αξιοπιστίας (reliability index) του ανέπαφου συστήματος και β damaged είναι το μέγεθος αξιοπιστίας του συστήματος με βλάβη. Η κατασκευή είναι πολύ στιβαρή αν το πιθανοθεωρητικό μέγεθος αποθέματος αντοχής είναι κοντά στο άπειρο. Από την άλλη πλευρά, αν το πιθανοθεωρητικό μέγεθος αποθέματος αντοχής παίρνει τιμές κοντά στο 1, αυτό σημαίνει ότι η στιβαρότητα τείνει προς το 0. Ο Lind [Lin95] πρότεινε ποσοτικά μεγέθη για την τρωτότητα συστημάτων και την ανοχή σε βλάβες. Η τρωτότητα και η ανοχή σε βλάβες λαμβάνονται υπόψη, από τον 34

35 Κεφάλαιο 2. Επισκόπηση της δυσαναλογικής κατάρρευσης και στιβαρότητας κατασκευών συγγραφέα, ως συμπληρωματικές έννοιες. Αν ένα σύστημα είναι τρωτό, δεν έχει ανοχή σε βλάβες και αντίστροφα. Η τρωτότητα ενός συστήματος ορίζεται ως: V P(r d, S) P(r 0, S) (2.3) Στην ανωτέρω σχέση r d είναι η αντοχή του συστήματος με βλάβη και r 0 είναι η αντοχή του ανέπαφου συστήματος και S είναι η φόρτιση. P(r 0, S) είναι η πιθανότητα κατάρρευσης του συστήματος ως συνάρτηση τόσο του φορτίου όσο και των στοιχείων αντοχής. Η τρωτότητα V ενός συστήματος μπορεί να μεταβάλλεται από 1 όπου η βλάβη δεν έ- χει καθόλου επιρροή στην αντοχή του συστήματος, μέχρι το άπειρο όπου η βλάβη έχει τεράστια επιρροή στο σύστημα. Εναλλακτικά, η ανοχή για βλάβη T d ενός συστήματος ορίζεται από τον Lind (1995) ως το αντίστροφο (j) της τρωτότητας V : T d P(r 0, S) P(r d, S) (2.4) Εστιάζοντας σε γέφυρες αυτοκινητοδρόμων, οι Ghosn και Moses [GM98] πρότειναν μία συνολική μεθοδολογία για την εκτίμηση της στιβαρότητας, όχι μόνο ενός στοιχείου, αλλά ολόκληρης της κατασκευής. Από την οπτική του συστήματος, μία γέφυρα ϑεωρείται ασφαλής, αν 1. Παρέχει υψηλό επίπεδο ασφάλειας σε μία πρώτη αστοχία δομικού στοιχείου, 2. δεν παράγει μεγάλες παραμορφώσεις υπό κανονικές συνθήκες κυκλοφοριακής φόρτισης, 3. δεν φτάνει την οριακή ικανότητα του συστήματος υπό ακραίες καταστάσεις φόρτισης, 4. είναι ικανή να μεταφέρει κάποια φορτία κυκλοφορίας μετά από βλάβη ή απώλεια ενός κύριου δομικού στοιχείου. Επομένως, οι παρακάτω προϋποθέσεις εφόσον ελεγχθούν, διασφαλίζουν μία ικανοποιητική ανοχή της γέφυρας παρέχοντας την επιθυμητή ασφάλεια του συστήματος: 1. Οριακή κατάσταση αστοχίας μέλους: αποτελεί την παραδοσιακή εξασφάλιση της ασφάλειας μεμονωμένων μελών. Το αντίστοιχο επίπεδο ασφάλειας μπορεί να οριστεί με το δείκτη αξιοπιστίας β member. 2. Οριακή κατάσταση λειτουργικότητας: ορίζεται ως η μέγιστη μετακίνηση από κινητό φορτίο που μπορεί να ποσοτικοποιηθεί από το δείκτη β serv. 3. Οριακή κατάσταση αστοχίας: ορίζεται ως η οριακή ικανότητα του συστήματος της γέφυρας, που μπορεί να ποσοτικοποιηθεί από το δείκτη β ult. 35

36 2.2 Σύντομη ερευνητική επισκόπηση 4. Κατάσταση με βλάβη: ορίζεται ως η οριακή ικανότητα του συστήματος της γέφυρας μετά την ολική απώλεια ενός εκ των κύριων δομικών στοιχείων του συστήματος και μπορεί να ποσοτικοποιηθεί από το δείκτη β damaged. Ακολουθώντας αυτή τη μεθοδολογία, η εισαγωγή της συμπεριφοράς του συστήματος στην εκτίμηση της ασφάλειας πραγματοποιείται από τα σχετικά μεγέθη αξιοπιστίας δβ i, τα οποία ορίζονται ως οι διαφορές μεταξύ των μεγεθών ασφάλειας του συστήματος και των μεγεθών ασφάλειας του μέλους. Για να επιτευχθεί η ασφάλεια της γέφυρας, τα σχετικά μεγέθη αξιοπιστίας που προκύπτουν πρέπει να είναι μεγαλύτερα από τις αντίστοιχες τιμές στόχους. Ταυτόχρονα, πρέπει να εξασφαλιστεί η ασφάλεια των μεμονωμένων μελών. Οι Baker et al. [BSF08] πρότειναν ένα υπολογιστικό πλαίσιο για την στιβαρότητα βασισμένο στην διακινδύνευση (risk). Η στιβαρότητα εκτιμάται από τον υπολογισμό: 1. της άμεσης διακινδύνευσης R dir που αντιστοιχεί στις άμεσες συνέπειες των πιθανών βλαβών του συστήματος και 2. της έμμεσης διακινδύνευσης R ind που αντιστοιχεί στις έμμεσες συνέπειες που προκύπτουν από ένα σύστημα σε αστοχία. Η έμμεση διακινδύνευση μπορεί να μεταφραστεί ως η διακινδύνευση από δυσανάλογες συνέπειες σε σχέση με την αιτία της βλάβης και έτσι, η στιβαρότητα ενός συστήματος καθορίζεται από την συμβολή αυτού του μέρους στη συνολική διακινδύνευση. Το μέγε- ϑος της στιβαρότητας ορίζεται λοιπόν ως: I rob R dir R dir +R ind (2.5) και μετράει τον λόγο μεταξύ άμεσης και συνολικής διακινδύνευσης. Το μέγεθος I rob μπορεί να πάρει τιμές μεταξύ 0 και 1. Αν το σύστημα είναι απόλυτα στιβαρό, τότε το I rob είναι ίσο με 1. Αν όλη η διακινδύνευση οφείλεται σε έμμεσες συνέπειες, τότε το I rob είναι ίσο με 0. Για τον υπολογισμό της άμεσης και έμμεσης διακινδύνευσης χρησιμοποιείται η ϑεωρία αποφάσεων και ο υπολογισμός γεγονότων μέσω υπολογιστικών δέντρων. Ακόμα, για την εκτίμηση της άμεσης και έμμεσης διακινδύνευσης του συστήματος, οι συνέπειες που σχετίζονται με κάθε σενάριο πολλαπλασιάζονται με την πιθανότητα εμφάνισής του και μετέπειτα ολοκληρώνονται σε όλο το event space και το event tree. Οι Biondini και Restelli [BR08] παρουσίασαν μία παρόμοια προσέγγιση για την έννοια της στιβαρότητας σε σχέση με κοινά γεγονότα όπως η έκθεση σε φθορά. Οι συγγραφείς μελέτησαν δικτυώματα με διάβρωση κάποιων μελών τους η διάβρωση προσομοιώθηκε με απομείωση της διατομής των μελών. Για την εκτίμηση της στιβαρότητας, αρκετά μεγέθη λειτουργικότητας συγκρίθηκαν λαμβάνοντας υπόψη την αρχική κατάσταση και 36

37 Κεφάλαιο 2. Επισκόπηση της δυσαναλογικής κατάρρευσης και στιβαρότητας κατασκευών ποσοστά φθοράς από 0% εώς 100%. Για κάθε επίπεδο διάβρωσης, το ντετερμινιστικό μέγεθος στιβαρότητας ορίστηκε ως εξής: ρ f 0 f d (2.6) Οπου ρ είναι το μέγεθος της στιβαρότητας και f o και f d είναι οι δείκτες στατικής λειτουργίας της αρχικής - ανέπαφης κατάστασης και της κατάστασης με βλάβη αντίστοιχα. Οι δείκτες περιλαμβάνουν τις ιδιότητες του μητρώου δυσκαμψίας, μετακινήσεις συγκεκριμένων σημείων και ψευδοφορτία η βλάβη έχει ϑεωρηθεί ως μία συνεχής μεταβλητή. Σε αυτή τη περίπτωση δεν υπάρχει μία μοναδική τιμή για την στιβαρότητα. Ετσι, προκύπτουν διφορούμενοι ορισμοί για την στιβαρότητα λόγω της ύπαρξης διαφορετικών τιμών της, για διαφορετικές τιμές διάβρωσης και για δοσμένο τύπο βλάβης. Οι Starossek και Haberland [SH08a] μελέτησαν αρκετούς τύπους στατικών καταρρεύσεων και πρότειναν αρκετά μεγέθη στιβαρότητας. Κάθε ένα από αυτά προσαρμόζεται στον τύπο της κατάρρευσης που μελετάται. Αρκετή έμφαση έχει δοθεί στο Damaged Based Robustness Measure II, το οποίο σχετίζεται με τις άμεσες συνέπειες που προκαλούνται από μία αρχική βλάβη. Το μέγεθος αυτό μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: 1 R d,int 1-2 [d(i)-i] di 0 Οπου R (d,int) είναι το μέγεθος της στιβαρότητας με βάση την βλάβη και d(i) είναι η μέγιστη συνολική βλάβη που προκαλείται από μία αρχική βλάβη i συμπεριλαμβανομένης και της i. Το μέγεθος i είναι αδιάστατο. Μία τιμή της R (d,int) ίσης με 1 δηλώνει την μέγιστη δυνατή στιβαρότητα και μια τιμή 0 δηλώνει την ολική απουσία στιβαρότητας. Προφανώς, αντίθετα από τους Biondini και Restelli [BR08], οι Starossek και Haberland [SH08a] ϑεωρούν μία συγκεκριμένη τιμή στιβαρότητας. 2.3 Σύντομη επισκόπηση σε κανονιστικό επίπεδο Ευρωκώδικες [EN02], [EN06] Το ϑέμα της δυσαναλογικής κατάρρευσης καλύπτεται από δύο Ευρωκώδικες: τον Ευρωκώδικα 0 Βάσεις Σχεδιασμού (EN 1990 Basis of structural design) και τον Ευρωκώδικα 1, μέρος 1-7 Ατυχηματικές ράσεις (EN Eurocode 1: Accidental actions). Η βασική αρχή σχεδιασμού που παρέχεται από τους Ευρωκώδικες είναι ότι μία τοπική βλάβη είναι αποδεκτή, με δεδομένο ότι δεν ϑα ϑέσει την κατασκευή σε κίνδυνο και ότι η συνολική αντοχή διατηρείται για ένα επαρκές χρονικό διάστημα, ώστε να επιτρέψει αναγκαία μέτρα αποκατάστασης. 37

38 2.3 Σύντομη επισκόπηση σε κανονιστικό επίπεδο Ο EN 1990 ορίζει τις ατυχηματικές δράσεις σαν δράσεις μικρής διάρκειας, με μικρή πιθανότητα εμφάνισης αλλά με σοβαρές συνέπειες αστοχίας. Χαρακτηριστικά παραδείγματα είναι η φωτιά, οι εκρήξεις, η σύγκρουση, η πλημμύρα, οι κατολισθήσεις κτλ. Παράλληλα με τον ορισμό αυτών των δράσεων ο κώδικας αναφέρει ότι δομικά στοιχεία μιας κατασκευής μπορούν να υποστούν βλάβη και από μία σειρά λιγότερο αναγνωρισμένων δράσεων όπως ανθρώπινα λάθη, κακή χρήση, αστοχία εξοπλισμού, τρομοκρατικές επιθέσεις κτλ. Οι Ευρωκώδικες αντιμετωπίζουν το φαινόμενο της δυσαναλογικής κατάρρευσης ξεχωριστά για τις δύο κατηγορίες δράσεων. Για τις αναγνωρισμένες δράσεις, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η κλασσική, καθ ολα προηγμένη στατική ανάλυση, ενώ για τις μη αναγνωρισμένες δράσεις εισάγονται γενικότερες απαιτήσεις στατικής στιβαρότητας των κατασκευών. Γενικά, η φιλοσοφία του Ευρωπαϊκού κανονισμού κατευθύνεται προς τον ορισμό των συνεπειών από μία πιθανή εμφάνιση δυσαναλογικής κατάρρευσης. Για αυτό το λόγο, οι κτιριακοί φορείς, αλλά και ξεχωριστά δομικά στοιχεία κατατάσσονται σε 4 διαφορετικές κατηγορίες ανάλογα με τις συνέπειες που μπορεί να εμφανιστούν από την εμφάνιση του φαινομένου σε αυτά. Οι συνέπειες αφορούν απώλεια ζωής ή τραυματισμό ανθρώπων, καταστροφή στο περιβάλλον δομικό σύστημα ή ακόμα γενικότερες οικονομικές απώλειες. Σε αυτό το πλαίσιο εισάγεται η έννοια της μέτρησης των συνεπειών που ορίζεται ως διακινδύνευση (risk) και βασίζεται στο συνδυασμό της πιθανότητας εμφάνισης μιας αστοχίας με τις πιθανές συνέπειες που μπορεί να προκύψουν από αυτή. Με βάση τον ορισμό της διακινδύνευσης, προτείνονται με γενικό τρόπο, μέτρα προς δύο διαφορετικές κατευθύνσεις: 1. Μέτρα αύξησης στατικής αντοχής, όπου η κατασκευή και τα δομικά της στοιχεία ϑα έχουν σχεδιαστεί ώστε να έχουν αποθέματα αντοχής ή εναλλακτικούς δρόμους παραλαβής των φορτίων σε περίπτωση τοπικών αστοχιών ή βλαβών και 2. γενικότερα μη στατικά μέτρα, όπου περιλαμβάνονται π.χ. μέτρα μείωσης της πιθανότητας εμφάνισης του γεγονότος που ϑα προκαλούσε μία τοπική αστοχία ή βλάβη ή μέτρα μείωσης των συνεπειών από μία τοπική αστοχία ή βλάβη. Παρ όλα αυτά πρέπει να σημειωθεί ότι ο κανονισμός κινείται ακόμη σε αρκετά γενικές προτάσεις και δεν παρέχει λεπτομερείς κανόνες σχεδιασμού για το φαινόμενο της δυσαναλογικής κατάρρευσης Κριτήρια για δημόσια κτίρια των ΗΠΑ [DoD09] Τα τελευταία χρόνια και μετά από σειρά τρομοκρατικών επιθέσεων και άλλων συμβάντων, τα δημόσια κτίρια των ΗΠΑ μελετούνται και διαστασιολογούνται σύμφωνα με τους 38

39 Κεφάλαιο 2. Επισκόπηση της δυσαναλογικής κατάρρευσης και στιβαρότητας κατασκευών επιπλέον κανονισμούς σχετικούς με την δυσαναλογική κατάρρευση ([DoD09], [GSA03]). Από τους δύο κανονισμούς, ο επικρατέστερος και πιο πρόσφατος παρέχεται από το Υπουργείο Άμυνας των ΗΠΑ και καλύπτει τις ανάγκες διαστασιολόγησης των κατασκευών για την μείωση της πιθανότητας δυσαναλογικής κατάρρευσης για καινούργιες και υφιστάμενες κατασκευές που υπόκεινται τοπικές βλάβες από μη αναγνωρισμένα συμβάντα. Ο κανονισμός εφαρμόζεται σε καινούργιες κατασκευές, σημαντικές ανακαινίσεις και αλλαγές, καθώς και σε οποιοδήποτε κτίριο χρησιμοποιείται από δημόσια υπηρεσία των ΗΠΑ. Επιπλέον, για καινούργια ή υφιστάμενα κτίρια άνω των 3 ορόφων, όλα τα μέρη των κτιρίων πρέπει να διαστασιολογούνται για την αποφυγή δυσαναλογικής κατάρρευσης. Ο κανονισμός βασίζεται πάνω στην αποδοχή ότι η δυσαναλογική κατάρρευση είναι ένα φαινόμενο που εμφανίζεται σπάνια στις ΗΠΑ και στα υπόλοιπα υτικά κράτη, επειδή χρειάζεται τόσο ένα ακραίο φορτίο για την δημιουργία τοπικής αστοχίας, όσο και μία κατασκευή που δεν εμφανίζει συνέχεια, πλαστιμότητα και περιθώριο να αντέξει την τοπική βλάβη. Παρ όλα αυτά, όταν το φαινόμενο εμφανιστεί, σημαντικές απώλειες και συνέπειες εμφανίζονται. Χαρακτηριστικά αναφέρεται η περίπτωση του κτιρίου Alfred P. Murrah, καθώς και η αυξανόμενη τρομοκρατική απειλή με αποτέλεσμα την αυξανόμενη πιθανότητα επίθεσης σε δημόσια κτίρια των ΗΠΑ. Ο κανονισμός δεν στοχεύει να εξαφανίσει ή να περιορίσει, μέσω της διαστασιολόγησης, την οποιαδήποτε εμφάνιση βλάβης, αλλά να περιορίσει τις στατικές και τις γενικότερες συνέπειες μιας τοπικής βλάβης. Οι κατηγορίες μεθοδολογιών που προτείνονται μέσα στον κανονισμό είναι δύο και παρουσιάζονται στο σχήμα 2.7. Οι άμεσες μέθοδοι περιλαμβάνουν αρχικά την μεθοδολογία του εναλλακτικού δρόμου (Alternate Path Method), η οποία έχει υιοθετηθεί και μελετηθεί στην παρούσα διδακτορική διατριβή και απαιτεί την κατασκευή ικανή να αντέχει "γεφυρώνοντας" πάνω από ένα απόν δομικό στοιχείο, περιορίζοντας έτσι το εύρος της βλάβης. Περαιτέρω, οι άμεσες μέθοδοι συναποτελούνται από την μεθοδολογία της τοπικής αντοχής (Specific Local Resistance Method), η οποία απαιτεί την κατασκευή, ή μέρη της κατασκευής, να παρέχουν την απαραίτητη αντοχή έναντι σε μία τοπική αστοχία ή βλάβη. Οι έμμεσες μέθοδοι, όπως αναφέρεται και στο [ASC05], επιδιώκουν την κάλυψη της αντίστασης στην δυσαναλογική κατάρρευση μέσω διατάξεων για ελάχιστα επίπεδα αντοχής, συνέχειας και πλαστιμότητας. Μεταξύ άλλων, αυτές περιλαμβάνουν: 1. καλή διάταξη κάτοψης, 2. λεπτομέρειες πλαστιμότητας, 3. εσωτερικά φέροντα στοιχεία πλήρωσης 39

40 2.3 Σύντομη επισκόπηση σε κανονιστικό επίπεδο Σχήμα 2.7: Μεθοδολογίες ανάλυσης δυσαναλογικής κατάρρευσης των κριτηρίων για δημόσια κτίρια των ΗΠΑ από το DoD 4. λειτουργία catenary των πλακών κτλ Κριτήρια για πολιτικά - ιδιωτικά κτίρια των ΗΠΑ [ASC05] Το μέρος των σχολίων του [ASC05] περιλαμβάνει μία εκτεταμένη συζήτηση πάνω στην γενική στατική ακεραιότητα. Παρέχονται οι άμεσες μέθοδοι (μέθοδος εναλλακτικού δρόμου ή μέθοδος τοπικής αντοχής) καθώς και οι έμμεσες μέθοδοι. Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι έμμεσες μέθοδοι αφορούν γενικούς κανόνες για ελάχιστα επίπεδα αντοχής, συνέχειας και πλαστιμότητας. Επίσης, το [ASC05] προτείνει συνδυασμούς φόρτισης που περιλαμβάνουν ακραία φορτία επεξηγώντας τις αντίστοιχες πιθανότητες εμφάνισης τους Βρετανικοί κανονισμοί [Ins00], [Ins96], [Org98] Αμέσως μετά την κατάρρευση στο Ronan Point, ξεκίνησε στην Βρετανία η πρωτοβουλία για λεπτομερείς κανόνες διαστασιολόγησης έναντι στην δυσαναλογική κατάρρευση. Τα Βρετανικά στάνταρντ δίνουν έμφαση στην σύνδεση (tying) διάφορων δομικών στοιχείων του κτιρίου για την ανάπτυξη συνέχειας και ανοχής σε τοπικές αστοχίες. Οι σύνδεσμοι από την μία πλευρά αυξάνουν την αντίσταση των τοιχωμάτων πλήρωσης σε εκτόξευση από το ενδεχόμενο έκρηξης, αλλά και από την άλλη δίνουν την δυνατότητα στην κατα- 40

41 Κεφάλαιο 2. Επισκόπηση της δυσαναλογικής κατάρρευσης και στιβαρότητας κατασκευών σκευή να υποστηριχθεί σε περίπτωση απώλειας μιας στήριξης. Η διαστασιολόγηση για αυτή την περίπτωση ϑεωρεί ότι διάφορα δομικά στοιχεία αστοχούν, ένα κάθε φορά. Ε- πιπλέον, δομικά στοιχεία που ϑεωρούνται σημαντικά για την ευστάθεια της κατασκευής, διαστασιολογούνται σαν στοιχεία - κλειδιά, ικανά να αντέξουν ατυχηματικά φορτία, π.χ. μία πίεση 34kPa Κανονισμός Καναδά [NRC95] Ο Εθνικός Κανονισμός του Καναδά περιλαμβάνει μία γενική διατύπωση για την ανάγκη στατικής ακεραιότητας, αλλά ο σχολιασμός που περιλαμβάνεται στον κανονισμό παρέχει αναλυτική συζήτηση πάνω στο ϑέμα. Ο σχολιασμός καλύπτει προτάσεις για καλό σχεδιασμό κάτοψης, συνέχεια των οπλισμών καθώς και μηχανισμούς που μπορεί να α- ποτρέψουν την δυσαναλογική κατάρρευση μετά από μία τοπική απώλεια στήριξης. Παρ όλα αυτά δεν δίνονται συγκεκριμένες τιμές για ατυχηματικές δράσεις για στοιχεία - κλειδιά Κτιριοδομικός Κανονισμός Νέας Υόρκης [Cou98] Ο κτιριοδομικός κανονισμός της Νέας Υόρκης είναι ένα τυπικό παράδειγμα διαστασιολόγησης με άμεσες μεθόδους. Αναφέρεται μόνο στην μεθοδολογία του εναλλακτικού δρόμου και την μεθοδολογία της τοπικής αντοχής Σουηδικός Κανονισμός [Bov99a], [Bov99b] Οι κανονισμοί διαστασιολόγησης της Σουηδίας περιλαμβάνουν διατάξεις για τον καθορισμό 3 κλάσεων ασφάλειας των κτιρίων. Συνήθως, οι απαιτήσεις σχετικά με ατυχηματικά φορτία και δυσαναλογική κατάρρευση εφαρμόζονται μόνο στα κτίρια με Κλάση Ασφάλειας 3. Οι απαιτήσεις αυτές δίνονται σε λεπτομέρεια σε ένα επιπλέον ένθετο και αποτελούν τα εξής: 1. έλεγχο της ευστάθειας ενός κτιρίου με βλάβη υπό μόνιμα και κινητά φορτία και 2. έλεγχο ότι σώματα σε πτώση μετά από αστοχία δεν προκαλούν διαδοχική αστοχία των ορόφων (pancake), εξασφαλίζοντας την μεταφορά των φορτίων μεταξύ των μηχανισμών των πλακών και μεταξύ ορόφων και τοιχωμάτων πλήρωσης (δυνάμεις εφελκυσμού και διάτμησης περίπου 20kN/m). 41

42 2.3 Σύντομη επισκόπηση σε κανονιστικό επίπεδο 42

43 Κεφάλαιο 3 Άμεσες μέθοδοι πλαστικότητας για χωρικά μεταλλικά πλαίσια Men argue, nature acts Voltaire Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζεται η γενική διατύπωση των άμεσων μεθόδων της πλαστικότητας χωρικών πλαισίων με γραμμικοποιημένα κριτήρια διαρροής, στην οποία βασίζεται η παρούσα διατριβή. 3.1 Ανάλυση χωρικών πλαισίων με πεπερασμένα στοιχεία Εστω ένα χωρικό πλαίσιο Θ, διακριτοποιημένο με μία γεωμετρική - γραμμική μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων (FEM), η οποία εντάσσεται στις μεθόδους μετακινήσεων. Εστω NU οι βαθμοί ελευθερίας του (DOFs) και έστω NE ο αριθμός των ραβδωτών στοιχείων στύλου - δοκού που συνθέτουν το Θ. Εστω ακόμη ότι κάθε τέτοιο στοιχείο έχει NGE σημεία αριθμητικής ολοκλήρωσης (numerical integration points ή Gauss points). Επομένως το Θ περιέχει NG NGE NE σημεία Gauss. Υποθέτουμε ακόμη ότι το πεδίο των τάσεων μπορεί να χαρακτηριστεί απόλυτα από το διάνυσμα s, με διαστάσεις NS 6 NG, το οποίο και περιέχει τα NG κανονικά τοπικά 6-διάστατα διανύσματα s j. Τα τελευταία περιέχουν τις αξονικές/διατμητικές δυνάμεις και τις στρεπτικές/καμπτικές ροπές: s j (N, V y, V z, M t, M y, M z ) T, k 1, 2,..., NG (3.1) Εστω K το κλασσικό NU NU στατικό μητρώο δυσκαμψίας και έστω T το κλασσικό

44 3.1 Ανάλυση χωρικών πλαισίων με πεπερασμένα στοιχεία μητρώο που χρησιμοποιείται για την εξαγωγή των ελαστικών τάσεων από τις μετακινήσεις u. Εστω φ ext το δοσμένο NU - διάστατο διάνυσμα επικόμβιων εξωτερικών φορτίων. Τότε οι ελαστικές τάσεις s el, μπορούν να υπολογιστούν με κλασσικές εξισώσεις πεπερασμένων στοιχείων: Ku φ ext, s el Tu (3.2) Αναλογικά με το K, το μητρώο ισορροπίας H [H 1, H 2,... H NG ] διαστάσεων NU NS παράγεται από τα μητρώα ισορροπίας των εκάστοτε στοιχείων (elements) H (e) για τα j αντίστοιχα σημεία Gauss. Κάθε H (e) δίνεται από την σχέση: j H (e) j w (e) B (e)t j j (3.3) όπου w (e) j είναι το τοπικό βάρος αριθμητικής ολοκλήρωσης στο j GP και B (e)t j μητρώο τοπικών παραμορφώσεων - καθολικών μετατοπίσεων. Σε περίπτωση στοιχείων σταθερής παραμόρφωσης (constant strain), τότε w j 1 και επομένως H B T, όπου B το μητρώο τοπικών παραμορφώσεων - καθολικών μετατοπίσεων για όλο το φορέα. Ενα στατικά αποδεκτό πεδίο τάσεων (ελαστικό ή ανελαστικό), πρέπει να ικανοποιεί τις εξισώσεις ισορροπίας του πλαισίου Θ υπό τα εξωτερικά φορτία φ (ext) : το καθώς και τα τοπικά γραμμικοποιημένα κριτήρια διαρροής: Hs φ (ext) (3.4) f j (s j ) k oj, f j (s j ) L T j s j, j 1, 2,..., NG (3.5) όπου k oj είναι ένα διάνυσμα διάστασης MJ, με ϑετικές τιμές, που εκφράζει την φέρουσα ικανότητα (capacity vector), ενώ οι στήλες του 6 MJ μητρώου L j είναι οι κάθετες προς τα επιμέρους γραμμικά ευθύγραμμα τμήματα του συνόρου του κριτηρίου διαρροής που κανονικοποιούν την ένταση s j. Η διάσταση MJ εξαρτάται από τη χρησιμοποιούμενη προσέγγιση του τοπικού κριτηρίου διαρροής της διατομής του στοιχείου στο υπόψη σημείο Gauss. Οι ελαστικές τάσεις δεν είναι απαραίτητο να πληρούν τα ανισοτικά κριτήρια διαρροής της (3.5), τα οποία πληρούνται όμως από τις ελαστοπλαστικές τάσεις s (ep) : s (ep) s (el) + ρ (3.6) Οι ρ είναι οι διορθωτικές τάσεις ενός αυτοϊσορροπούμενου εντατικού πεδίου που πληρούν την ομογενή εξίσωση: 44

45 Κεφάλαιο 3. Άμεσες μέθοδοι πλαστικότητας για χωρικά μεταλλικά πλαίσια Hρ 0 (3.7) Στην οριακή ανάλυση, το πλαίσιο Θ υπόκειται σε μία αμετάβλητη, δηλαδή μόνιμη και σε μία μεταβλητή φόρτιση (permanent and variable loading) η οποία δίνεται αντίστοιχα από τα διανύσματα φ p και φ v διαστάσεων NU. Η μόνιμη φόρτιση, φ p, παράγει τις μόνιμες ελαστικές τάσεις p, οι οποίες μπορούν να παραχθούν από την εξίσωση (3.2). Υποθέτουμε ότι οι p πληρούν τα κριτήρια διαρροής: k pj k oj L T j p j 0 j 1, 2,... NG (3.8) Το διάνυσμα των μεταβλητών φορτίων φ v υπόκειται στον περιορισμό να ανήκει σε δοσμένη συμπαγή περιοχή L v (compact set) από την οποία, μέσω της εξίσωσης (3.2) μπορεί να απεικονιστεί το αντίστοιχο σύνολο ελαστικών εντατικών πεδίων V: V {ν R NS : ν TK 1 φ ν, φ ν L ν } (3.9) 3.2 Το πρόβλημα της ελαστικής προσαρμογής Το πρόβλημα της ελαστικής προσαρμογής (elastic shakedown) είναι το παρακάτω πρόβλημα βελτιστοποίησης με αγνώστους τον συντελεστή ασφαλείας a και την αυτένταση ρ: (P 1 ) : max a subjected to: a 0, Hρ 0, L T j (av j + p j + ρ j ) k oj, j 1, 2,..., NG, ν V (3.10) όπου: a συντελεστής ασφάλειας ελαστικής προσαρμογής v j ελαστικό εντατικό πεδίο από μεταβλητή φόρτιση p j ελαστικό εντατικό πεδίο από μόνιμη φόρτιση ρ j εντατικό πεδίο αυτέντασης 45

46 3.3 Το πρόβλημα της οριακής ανάλυσης k oj τοπικό διάνυσμα αντοχών L T j μητρώο γραμμικοποιημένου τοπικού κριτηρίου διαρροής Η λύση του προβλήματος της ελαστικής προσαρμογής P1 παρέχει τον συντελεστή α- σφαλείας α ESD, ο οποίος αντιστοιχεί στην περίπτωση της σταθεροποίησης των πλαστικών αρθρώσεων της κατασκευών υπό αυξανόμενη φόρτιση. Ο συντελεστής ασφαλείας α ESD είναι πάντα ϑετικός αφού το σημείο (α ESD, ρ) (0, 0) είναι ένα ικανό σημείο λύσης για το πρόβλημα P1. Τα τοπικά κριτήρια διαρροής πρέπει να πληρούνται από όλα τα σημεία του V. 3.3 Το πρόβλημα της οριακής ανάλυσης Αν προσδιορίσουμε την μεταβλητή φόρτιση φ v σε κάποιο συγκεκριμένο σημείο φ (F) v του L v, δηλαδή συρρικνώνοντας το V στο μονομελές σύνολο v, τότε το P1 μεταπίπτει στο πρόβλημα της οριακής ανάλυσης που διατυπώνεται σαν ένα συνηθισμένο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού (LP): (P 2 ) : max a subjected to: Hρ 0, L T j (av(f) j + ρ j ) k pj, j 1, 2,..., NG (3.11) Επομένως κάθε λύση του P1 είναι ικανό σημείο του P2, άρα: α ESD α LMT φ (F) v L v (3.12) όπου α ESD και α LMT δηλώνουν λύσεις των P1 και P2, αντίστοιχα. Η φυσική σημασία των προβλημάτων P1 και P2 είναι διαφορετική: Ο συντελεστής α ESD που προκύπτει από το P1 προσδιορίζει τη μέγιστη περιοχή μεταβλητής φόρτισης α ESD L v, στην οποία η συμπεριφορά του πλαισίου Θ προσαρμόζεται μετά από μία πρώτη, προσωρινή φάση, π.χ. οι πλαστικές παραμορφώσεις σταματούν να εξαπλώνονται, το εκλυόμενο έργο παραμένει περιορισμένο και η συμπεριφορά του Θ γίνεται ελαστική. Ο συντελεστής α LMT που προκύπτει από το πρόβλημα της οριακής ανάλυσης είναι ο κλασσικός συντελεστής του φορτίου κατάρρευσης για φόρτιση φ (F) v, για την οποία οι μετατοπίσεις της κατασκευής αυξάνονται πάνω από κάθε όριο. 46

47 Κεφάλαιο 3. Άμεσες μέθοδοι πλαστικότητας για χωρικά μεταλλικά πλαίσια 3.4 Το πρόβλημα του ελαστικού ορίου Το πρόβλημα P1 μεταπίπτει στο πρόβλημα του ελαστικού ορίου P3, αν η συνθήκη του μηδενικού υποχώρου αντικατασταθεί από την πιο αυστηρή ρ 0. (P 3 ) : max a subjected to: g αv + p, f j (g j ) 0, j 1, 2,..., NG (3.13) Το πρόβλημα του ελαστικού ορίου αντιστοιχεί σε χαμηλές στάθμες φόρτισης για τις οποίες το πλαίσιο αποκρίνεται απολύτως ελαστικά. Η λύση του προβλήματος του ελαστικού ορίου P3 παρέχει τον συντελεστή ασφαλείας ελαστικού ορίου α ELM, ο οποίος αντιστοιχεί στην δημιουργία της πρώτης πλαστικής άρθρωσης του πλαισίου. Προφανώς ισχύει: α ELM α ESD α LMT (3.14) 47

48 3.4 Το πρόβλημα του ελαστικού ορίου 48

49 Κεφάλαιο 4 Άμεσες μέθοδοι πλαστικότητας για χωρικά μεταλλικά πλαίσια με βλάβη - ανάλυση φορτίου κατάρρευσης και μεγέθη στιβαρότητας The world itself is pregnant with failure, is the perfect manifestation of imperfection, of the consciousness of failure Henry Miller 4.1 Εισαγωγή Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζεται, αρχικά, η περιγραφή του προβλήματος της οριακής ανάλυσης χωρικών μεταλλικών πλαισίων συμπεριλαμβανομένης αρχικής βλάβης, ενώ διατυπώνονται ακόμη τα προτεινόμενα μεγέθη στιβαρότητας μεταλλικών πλαισίων. Γενικά, το αντικείμενο με το μεγαλύτερο ενδιαφέρον για τον πολιτικό μηχανικό, σχετικά με το πρόβλημα της δυσαναλογικής κατάρρευσης είναι το επίπεδο του φορτίου κατάρρευσης. Στην πραγματικότητα, η ευρέως αποδεκτή, για τα προβλήματα δυσαναλογικής κατάρρευσης, μέθοδος ανάλυσης του εναλλακτικού δρόμου μπορεί να ϑεωρηθεί ως μία εφαρμογή της μεθόδου οριακής ανάλυσης, μέσα στην ευρύτερη περιοχή των κλασσικών βηματικών μη-γραμμικών αναλύσεων. Με αυτό τον τρόπο, ο συντελεστής

50 4.2 Μέθοδος εναλλακτικού δρόμου του φορτίου κατάρρευσης μπορεί να υπολογιστεί μέσω των λεγόμενων άμεσων μεθόδων πλαστικότητας, σε συνδυασμό με ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων, δηλαδή με την λύση ενός προβλήματος βελτιστοποίησης, χρησιμοποιώντας μαθηματικό προγραμματισμό και σχετικό λογισμικό βελτιστοποίησης (βλ. κεφ. 3 και [CME77], [Smi93], [JB02], [WE02]). Η παρούσα προσέγγιση παρουσιάζει τον υπολογισμό του φορτίου κατάρρευσης μεταλλικών πλαισίων, στο πνεύμα της οριακής ανάλυσης και ανάλυσης προσαρμογής των κατασκευών υπό βλάβη (βλ. [LD05]). Επιπλέον, σε συμφωνία με τους συντελεστές στιβαρότητας που έχουν προταθεί από τον Frangopol (βλ. [FC87a]), νέα μεγέθη στιβαρότητας ορίζονται ως οι λόγοι του συντελεστή του φορτίου κατάρρευσης του φορέα υπό βλάβη, προς το συντελεστή του φορτίου κατάρρευσης του ανέπαφου φορέα. Η βλάβη εισάγεται στον φορέα μέσω απλών τοπικών δεικτών Kachanov, οι οποίοι εφαρμόζονται στα υποστυλώματα του φορέα. Πρέπει να σημειωθεί σε αυτό το σημείο ότι στη γενική διατύπωση της μεθόδου που ακολουθεί, η εισαγωγή της βλάβης μπορεί να εισαχθεί σε οποιοδήποτε μέλος του στατικού συστήματος και όχι μόνο στα υποστυλώματα. Για την επίλυση του προβλήματος χρησιμοποιούνται τροποποιημένα γραμμικοποιημένα κριτήρια διαρροής, περιλαμβάνοντας τη βλάβη, μετατρέποντας το πρόβλημα σε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού. Τα προτεινόμενα μεγέθη στιβαρότητας αφορούν δύο προβλήματα: το κλασσικό πρόβλημα κατάρρευσης μεταλλικών πλαισίων καθώς και το πρόβλημα της πρώτης διαρροής της κατασκευής (πρόβλημα ελαστικού ορίου), με στόχο την προσέγγιση πλάστιμων αλλά και μη-πλάστιμων, ψαθυρών αστοχιών, αντίστοιχα. 4.2 Μέθοδος εναλλακτικού δρόμου Με βάση τον ορισμό της δυσαναλογικής κατάρρευσης ως την διάδοση μιας αρχικής τοπικής αστοχίας από στοιχείο σε στοιχείο, που οδηγεί τελικά στην κατάρρευση ολόκληρης της κατασκευής ή ενός δυσανάλογα μεγάλου μέρους της, ο κανονισμός για τα δημόσια κτίρια των ΗΠΑ [DoD09] προτείνει την μέθοδο του εναλλακτικού δρόμου φορτίου (alternate load path method), ως μία άμεση μέθοδο ανάλυσης των κατασκευών, για έλεγχο σε δυσαναλογική κατάρρευση. Σε αυτό το πλαίσιο, η μέθοδος απαιτεί ότι η κατασκευή είναι ικανή να σχηματίσει μία γέφυρα πάνω από ένα απόν δομικό στοιχείο, ώστε να αποφευχθεί η επέκταση της αστοχίας. Το τελικό αποτέλεσμα επιτυγχάνεται με την εξής διαδικασία: αρχικά, το στατικό σύστημα μιας κατασκευής διαστασιολογείται σύμφωνα με το κανονιστικό πλαίσιο που ισχύει για όλα τα κτίρια των ΗΠΑ. Επειτα, πραγματοποιείται η ανάλυση που περιγράφεται από τη μέθοδο του εναλλακτικού δρόμου (διαδοχική αφαίρεση ενός μόνον στύλου κάθε φορά) και εφόσον προκύψει ανεπάρκεια, πρέπει να γίνει η επαναδιαστασιολόγηση του φορέα σύμφωνα με τα αποτελέσματα της ανάλυσης. 50

51 Κεφάλαιο 4. Άμεσες μέθοδοι πλαστικότητας για χωρικά μεταλλικά πλαίσια με βλάβη - ανάλυση φορτίου κατάρρευσης και μεγέθη στιβαρότητας Ενα κεντρικό σημείο στην μέθοδο του εναλλακτικού δρόμου αποτελεί ο ορισμός των συνδυασμών φόρτισης που πρέπει να συμπεριληφθούν στην ανάλυση. Το [DoD09] ακολουθώντας το [ASC07], κάνει σαφή διαχωρισμό μεταξύ δύο διαφορετικών κατηγοριών συνδυασμών φόρτισης: τις δράσεις που κυριαρχούνται από τις μετατοπίσεις (deformation controlled actions) και τις δράσεις που κυριαρχούνται από τις δυνάμεις (force controlled actions). Η πρόθεση για αυτό τον διαχωρισμό, αφορά τον τύπο αστοχίας που στοχεύουν να συμπεριλάβουν οι εκάστοτε συνδυασμοί φόρτισης. Ετσι, οι δράσεις που κυριαρχούνται από τις μετατοπίσεις αφορούν σχετικά πλάστιμες αστοχίες, ενώ οι δράσεις που κυριαρχούνται από τις δυνάμεις αφορούν πιο ψαθυρές αστοχίες, βλ. σχ Σχήμα 4.1: α. ράσεις κυριαρχούμενες από μετατοπίσεις, β. ράσεις κυριαρχούμενες από δυνάμεις Οι συνδυασμοί φόρτισης που προτείνονται από το [DoD09], στα πλαίσια της μεθόδου του εναλλακτικού δρόμου, μπορούν να περιγραφούν ως εξής. Αρχικά καθορίζεται ένα σύνολο τεσσάρων βασικών συνδυασμών φόρτισης φ i, i 1,..., 4. Εστω B το αντίστοιχο B σύνολο δεικτών i: B {1, 2, 3, 4} Στους αναφερόμενους συνδυασμούς φόρτισης εμπεριέχονται φορτιστικές καταστάσεις όπως το μόνιμο, κινητό και φορτία χιονιού. Σε αυτά προστίθενται και πλευρικά φορτία ατελειών. Οι τέσσερις συνδυασμοί έχουν ένα καθολικό χαρακτήρα για τον φορέα, 51

52 4.2 Μέθοδος εναλλακτικού δρόμου δεν εξαρτώνται από το στοιχείο που παρουσιάζει βλάβη και τα σχετικά συνακόλουθα φαινόμενα και χρησιμοποιούνται τόσο για τις δράσεις που κυριαρχούνται από δυνάμεις όσο και για τις δράσεις που κυριαρχούνται από μετατοπίσεις. Αν υποθέσουμε ότι εισάγεται βλάβη με την αφαίρεση του k υποστυλώματος του φορέα από το στατικό σύστημα, κάθε βασικός συνδυασμός φόρτισης φ (i) B, i B παράγει τους αντίστοιχους συνδυασμούς φόρτισης φ (i) D μετατοπίσεις και φ (i) F (k) για τις δράσεις που κυριαρχούνται από (k) για τις δράσεις που κυριαρχούνται από δυνάμεις: φ (i) (k) φ(i) D B + (Ω D(k) 1) φ (i) (k) B (4.1) φ (i) (k) φ(i) F B + (Ω F 1) φ (i) (k) B (4.2) όπου, φ (i) (k) είναι ένα μέρος του φ(i), που αντιστοιχεί στις περιοχές των ορόφων B B πάνω από τον όροφο του k υποστυλώματος. Οι συντελεστές Ω D (k) και Ω F ονομάζονται συντελεστές αύξησης του φορτίου (Load Increase Factors - LIFs) και αντιπροσωπεύουν τα δυναμικά φαινόμενα που συνοδεύουν την αστοχία του υποστυλώματος k. Ενα σχετικό διάγραμμα αυτής της τοπικής επαύξησης των φορτίων φαίνεται στο σχήμα 4.2 παρακάτω. Σχήμα 4.2: Επαύξηση φορτίου πάνω από εισαγόμενη βλάβη Οι προαναφερθέντες συντελεστές επαύξησης των φορτίων εξαρτώνται από τον τύπο της κατασκευής και από το υλικό της και αφορούν κυρίως γραμμικές στατικές αναλύσεις. 52

53 Κεφάλαιο 4. Άμεσες μέθοδοι πλαστικότητας για χωρικά μεταλλικά πλαίσια με βλάβη - ανάλυση φορτίου κατάρρευσης και μεγέθη στιβαρότητας Πρέπει να σημειωθεί εδώ, ότι για το επίπεδο και τις τιμές αυτών των συντελεστών έχει ξεκινήσει και βρίσκεται υπό εξέλιξη αναλυτική έρευνα από διάφορους ερευνητές. Στην περίπτωση που το υλικό κατασκευής είναι χάλυβας, ο συντελεστής Ω D εξαρτάται από τον τύπο των συνδέσεων των υπερκείμενων δομικών στοιχείων του υποστυλώματος k, γεγονός που εκφράζεται από την εξάρτηση του συντελεστή από την μεταβλητή k. Αντίθετα ο συντελεστής Ω F δεν εξαρτάται από τις συνδέσεις, παρά μόνο από το υλικό και για αυτό είναι ανεξάρτητος του k. Για μη-γραμμικές αναλύσεις, όπως αυτές που ϑα ακολουθηθούν από εδώ και παρακάτω στην παρούσα διατριβή, το [DoD09] προτείνει την χρήση ενός δυναμικού συντελεστή επαύξησης (dynamic increase factor - DIF) Ω N και επομένως η εξίσωση (1) παίρνει την μορφή: φ (i) (k) φ(i) D B + (Ω N(k) 1) φ (i) (k) (4.3) B Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι ο συντελεστής Ω N προκύπτει πάντα μικρότερος από τον συντελεστή Ω D. Συμπερασματικά, αξίζει να αναφερθεί ότι τα φαινόμενα που συνδέονται με κατάρρευση είναι από τη φύση τους μη-γραμμικά λόγω της ανακατανομής των πλαστικών τάσεων μέσα σε ολόκληρο τον φορέα. Επομένως, για τις ανάγκες των αναλύσεων της παρούσας διατριβής χρησιμοποιήθηκε ο συντελεστής Ω N για τις δράσεις που κυριαρχούνται από μετατοπίσεις και αφορούν ως επί το πλείστον πλάστιμες αστοχίες. Μηπλάστιμες αστοχίες καλύπτονται από τις δράσεις που κυριαρχούνται από δυνάμεις και εντάσσονται στο πρόβλημα της πρώτης πλαστικοποίησης (ή ελαστικού ορίου). Σε αυτή την περίπτωση η πλαστική ανακατανομή αφορά μόνον τις διατομές και έτσι χρησιμοποιήθηκε ο συντελεστής Ω F. 4.3 Γραμμική ανάλυση κατασκευών με βλάβη Εστω Θ ένας χωρικός πλαισιωτός φορέας με βλάβη, διακριτοποιημένος στο πλαίσιο της κλασσικής, γεωμετρικά γραμμικής μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων και έστω NU το πλήθος των ελεύθερων βαθμών ελευθερίας του. Ο Θ περιέχει NG σημεία αριθμητικής ολοκλήρωσης (Gauss points), τα οποία ϑα χρησιμοποιηθούν παρακάτω ως σημεία ελέγχου των τάσεων. Τοπικές ποσότητες, πάντα αναφερόμενες στο j σημείο Gauss υποδηλώνονται από τον αντίστοιχο δείκτη. Η βλάβη εισάγεται μέσω ενός δείκτη Kachanov δ j που ικανοποιεί την σχέση: 0 δ j 1, j 1,..., NG (4.4) 53

54 4.4 Γραμμικοποιημένα κριτήρια διαρροής του διακριτοποιημένου φορέα με βλάβη και ο οποίος καθορίζει το επίπεδο της τοπικής βλάβης. Το κάτω όριο δ j 0 περιγράφει την ανέπαφη κατάσταση (μηδενική βλάβη) της ϑέσης j και το πάνω όριο δ j 1 περιγράφει την κατάσταση με απόλυτη τοπική αστοχία. Ενα στοιχείο αφαιρείται από το στατικό σύστημα, αν η κατάσταση της απόλυτης τοπικής αστοχίας (δ j 1) ισχύει για όλα τα σημεία Gauss του. Από εδώ και παρακάτω ορίζεται ως δ, το διάνυσμα διάστασης NG, που ϑα περιέχει όλα τα δ j του φορέα. Το μητρώο δυσκαμψίας K διάστασης NU NU του φορέα με βλάβη εκφράζεται ως: K NG j 1 w j B T j C d j B j with: C d j (1 δ j ) C j όπου οι ανέπαφες ποσότητες w j, C j και B j είναι το κλασσικό βάρος ολοκλήρωσης, το μέτρο υλικού -διατομής (modulus matrix) και το μητρώο παραμόρφωσης-μετακίνησης. Παρακάτω, το μητρώο ισορροπίας H j w j B T έχει επίσης χρησιμοποιηθεί. j Το γραμμικό διάνυσμα επικόμβιων μετακινήσεων u, καθώς και τα τοπικά διανύσματα των ελαστικών τάσεων s (el) υπό ορισμένο εξωτερικό επικόμβιο διάνυσμα φόρτισης φ, j μπορούν να υπολογιστούν από τις συνήθεις εξισώσεις πεπερασμένων στοιχείων: K u φ, s (el) j C d j B j u, j 1,..., NG. (4.5) Στην οριακή ανάλυση, η φόρτιση αποτελείται από ένα μόνιμο επικόμβιο διάνυσμα φόρτισης φ p και από ένα μονοτονικά αυξανόμενο μεταβλητό διάνυσμα αφ v, όπου α είναι ο συντελεστής φόρτισης. Το ζεύγος (φ p, φ v ) περιγράφει τον εφαρμοζόμενο συνδυασμό φόρτισης και έστω p j, v j οι ελαστικές τάσεις λόγω του φ p, φ v οι οποίες υπολογίζονται από την εξίσωση (4.5). 4.4 Γραμμικοποιημένα κριτήρια διαρροής του διακριτοποιημένου φορέα με βλάβη Οι τοπικές ελαστοπλαστικές τάσεις υπό την φόρτιση φ p + αφ v μπορούν να εκφραστούν ως το άθροισμα των ελαστικών τάσεων και των τάσεων αυτεντατικών τάσεων ρ j : s j p j + αv j + ρ j (4.6) Στην χωρική ανάλυση πλαισίων, οι τάσεις s j περιέχουν τις αξονικές - διατμητικές δυνάμεις καθώς και τις στρεπτικές - καμπτικές ροπές: s j (N, V y, V z, M t, M y, M z ) T 54

55 Κεφάλαιο 4. Άμεσες μέθοδοι πλαστικότητας για χωρικά μεταλλικά πλαίσια με βλάβη - ανάλυση φορτίου κατάρρευσης και μεγέθη στιβαρότητας Μπορούμε τώρα να συλλέξουμε τις αντίστοιχες πλαστικές ανέπαφες αντοχές N pl και V pl.y, V pl.z, M pl.t, M pl.y, M pl.z σε ένα διαγώνιο, 6 6 μητρώο N j. Οι συνιστώσες του s j πρέπει να ικανοποιούν τα τοπικά κριτήρια διαρροής, τροποποιημένα με την βλάβη, τα οποία εμπεριέχουν τα όρια που ϑέτουν οι φέρουσες ικανότητες καθώς και η αλληλεπίδραση πλαστικών συνθηκών. Παρακάτω, λαμβάνονται υπ όψη αλληλεπιδράσεις N M y M z, οι οποίες εμπεριέχουν τα αντίστοιχα ξεχωριστά όρια φερουσών ικανοτήτων. Επομένως, ο παρακάτω διαμερισμός του s j μπορεί να πραγματοποιηθεί: όπου τα αδιάστατα διανύσματα y j, z j του s j είναι: s j N j (P y y j + P z z j ) (4.7) y j (m y, m z, n) T, z j (v y, v z, m t ) T και τα μητρώα P y, P z δίνονται από: P y , P z Τα κριτήρια διαρροής της j διατομής με βλάβη μπορούν να δοθούν τώρα με την διαμερισμένη μορφή: y j F j, z j C j (4.8) όπου το μη αλληλεπιδρόν μέρος z j ικανοποιεί τα όρια που ϑέτονται από τις πλαστικές φέρουσες ικανότητες: C j {z R 3 : z k (1 δ j ), k 1, 2, 3} (4.9) και το αλληλεπιδρόν μέρος y j πρέπει να εμπεριέχεται από ένα φραγμένο πολύεδρο (γραμμική αλληλεπίδραση) με MJ πλευρές: F j {y R 3 : L T j y (1 δ j) κ j } (4.10) όπου οι MJ στήλες του L j είναι οι μοναδιαίες κάθετοι στις πλευρές του πολυέδρου, ενώ το διάνυσμα των ανέπαφων φερουσών ικανοτήτων κ j καταγράφει τις αντίστοιχες 55

56 4.4 Γραμμικοποιημένα κριτήρια διαρροής του διακριτοποιημένου φορέα με βλάβη ϑετικές αποστάσεις των πλευρών από την αρχή. Για τις ανάγκες της συγκεκριμένης διατριβής, δύο διαφορετικοί τύποι F j λαμβάνονται υπ όψη, όπως φαίνονται στο σχήμα 4.3. Ο πρώτος τύπος F (AISC) περιέχει την πλαστική αλληλεπίδραση για ανέπαφη κατάσταση j που περιγράφεται από την AISC, [AIS05b], με MJ 16 πλευρές: AISC: n + (8/ 9)( m y + m z ) 1 δ j, 0.5 n + m y + m z 1 δ j (4.11) και ο δεύτερος τύπος F (Rhomb) j με MJ 8 πλευρές: έχει ανέπαφη κατάσταση το κλασσικό ρομβικό κριτήριο Rhombic (EC3): n + m y + m z 1 δ j (4.12) Το τελευταίο λαμβάνεται ως ένα συντηρητικό κριτήριο από τον Ευρωκώδικα 3. Σχήμα 4.3: Κριτήρια διαρροής Πρέπει να σημειωθεί εδώ ότι, στην απλή διατύπωση των εξισώσεων (4.9) - (4.12), η βλάβη εισέρχεται μόνο στην πλευρά των σταθερών όρων σε όλες τις ανισότητες των κριτηρίων. Η αρχική μορφή των κριτηρίων αντιστοιχεί στην περίπτωση που δ j 0. Αντίστοιχα, όλα τα κριτήρια περιορίζονται στο μηδέν στην περίπτωση που δ j 1 (ολική αστοχία). 56

57 Κεφάλαιο 4. Άμεσες μέθοδοι πλαστικότητας για χωρικά μεταλλικά πλαίσια με βλάβη - ανάλυση φορτίου κατάρρευσης και μεγέθη στιβαρότητας 4.5 Το πρόβλημα της οριακής ανάλυσης και του ελαστικού ορίου Το παρακάτω πρόβλημα βελτιστοποίησης συνιστά το πρόβλημα της οριακής ανάλυσης ενός πλαισίου Θ με βλάβη: P LMT (δ, φ p, φ v ) Maximize α, subjected to: NG H j s j φ p + αφ v, s j N j (P y y j + P z z j ), y j F j, z j C j, j 1,..., NG. (4.13) όπου οι εξαρτήσεις του προβλήματος από το διάνυσμα της βλάβης δ, καθώς και από τον συνδυασμό φόρτισης έγιναν ειδικά για τις απαιτήσεις της διατριβής. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (4.6), μπορούμε να ορίσουμε το παρακάτω ισοδύναμο πρόβλημα βελτιστοποίησης: P LMT (δ, φ p, φ v ) subjected to: Maximize α NG H j ρ j 0, p j + αv j + ρ j N j (P y y j + P z z j ), y j F j, z j C j, j 1,..., NG. (4.14) Θέτοντας ρ j 0, διατυπώνουμε το πρόβλημα του ελαστικού ορίου: P ELM (δ, φ p, φ v ) Maximize α, subjected to: p j + αv j N j (P y y j + P z z j ), y j F j, z j C j, j 1,..., NG. (4.15) που αποτελεί το πρόβλημα της πρώτης πλαστικοποίησης του πλαισίου Θ. Το P LMT είναι πρόβλημα της ελαστοπλαστικότητας, με απεριόριστη πλαστιμότητα, επιτρέποντας μη-ελαστική ανακατανομή των τάσεων εκφραζόμενη μέσω του ρ j. Το 57

58 4.6 Ανάλυση φορτίου κατάρρευσης και μεγέθη στιβαρότητας για κατασκευές με βλάβη πρόβλημα P ELM μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε περιπτώσεις μη-πλάστιμης συμπεριφοράς, αφού απαγορεύεται η ανακατανομή των μη-ελαστικών τάσεων μεταξύ του Θ. Στην τελευταία περίπτωση, τα ανέπαφα μητρώα των φερουσών ικανοτήτων N j μπορούν να τροποποιηθούν ανάλογα, π.χ. με τη συνεισφορά φαινομένων δευτέρας τάξης. Από την υπολογιστική οπτική, όλα τα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, τα οποία μπορούν επιλυθούν με κατάλληλο λογισμικό. Ο διαμερισμός, σύμφωνα με την εξίσωση (4.7), επιτρέπει την άμεση εκμετάλλευση κλασσικών επιλογών των λογισμικών για την αντιμετώπιση ξεχωριστών απλών ορίων. Η εξίσωση (4.13) προτιμάται από την εξίσωση (4.14), αφού αποφεύγεται η λύση της ε- ξίσωσης (4.5) και η βλάβη εμφανίζεται μόνο στην πλευρά των φερουσών ικανοτήτων των ανισοτήτων των κριτηρίων. Το πρόβλημα P ELM της εξίσωσης (4.15), είναι ένα απλό πρόβλημα minmax. Παρακάτω, οι εξαγόμενοι συντελεστές ασφαλείας από την αναφερόμενη οριακή α- νάλυση και ανάλυση του ελαστικού ορίου, ϑα περιγράφονται ως α LMT (δ, φ p, φ v ) και α ELM (δ, φ p, φ v ). 4.6 Ανάλυση φορτίου κατάρρευσης και μεγέθη στιβαρότητας για κατασκευές με βλάβη Συντελεστές φορτίων κατάρρευσης και ελαστικού ορίου Μετά από τα παραπάνω, η ανάλυση του φορτίου κατάρρευσης για κατασκευές με βλάβη μέσω της οριακής ανάλυσης είναι πλέον σαφής. Εστω K το σύνολο των υποστυλωμάτων του φορέα από τα οποία κάποια ϑα ϑεωρηθούν ότι έχουν υποστεί βλάβη. Μπορούμε να ορίσουμε σε κάθε υποστύλωμα, μέσα στο K, ένα καθολικό διάνυσμα βλάβης δ k, έτσι ώστε: k K δ k R NG (4.16) Αυτό το διάνυσμα βλάβης έχει όλα τα στοιχεία του ίσα με το μηδέν (ανέπαφη κατάσταση), εκτός από εκείνα τα οποία αντιστοιχούν στα σημεία Gauss των υποστυλωμάτων με βλάβη: τα στοιχεία αυτά έχουν τιμές από μηδέν (ανέπαφη κατάσταση) έως ένα (απόλυτη βλάβη - αστοχία). Με αυτό το τρόπο η φιλοσοφία και ο σκοπός της μεθόδου του εναλλακτικού φορτίου του [DoD09] επεκτείνεται δίνοντας την δυνατότητα για εισαγωγή ολικής ή μερικής βλάβης ενός υποστυλώματος ή ακόμη και συνδυασμένης ολικής ή μερικής βλάβης διπλανών ή όχι υποστυλωμάτων. Μπορούμε πλέον να ορίσουμε τα παρακάτω μεγέθη: 58

59 Κεφάλαιο 4. Άμεσες μέθοδοι πλαστικότητας για χωρικά μεταλλικά πλαίσια με βλάβη - ανάλυση φορτίου κατάρρευσης και μεγέθη στιβαρότητας όπου: α LMT (i, 0) α LMT (0, 0, φ(i) B ) (4.17) α ELM (i, 0) α ELM (0, 0, φ(i) B ) (4.18) α LMT (i, k) α LMT (δ k, 0, φ (i) (k)) D (4.19) α ELM (i, k) α ELM (δ k, 0, φ (i) (k)) F (4.20) A LMT (i) min LMT(i, k) k K (4.21) A ELM (i) min ELM(i, k) k K (4.22) α LMT (i, 0) συντελεστής οριακής ανάλυσης για το αρχικό, ανέπαφο σύστημα α ELM (i, 0) συντελεστής ελαστικού ορίου για το αρχικό, ανέπαφο σύστημα α LMT (i, k) συντελεστής οριακής ανάλυσης για το σύστημα με βλάβη k α ELM (i, k) συντελεστής ελαστικού ορίου για το σύστημα με βλάβη k A LMT (i) ο ελάχιστος συντελεστής οριακής ανάλυσης του συστήματος για το σύνολο των βλαβών A ELM (i) ο ελάχιστος συντελεστής ελαστικού ορίου του συστήματος για το σύνολο των βλαβών Ως σύνολο βλαβών μπορεί να ϑεωρηθεί για παράδειγμα η αφαίρεση όλων των υποστυλωμάτων ενός συστήματος ή εναλλακτικά μπορεί να ϑεωρηθούν διάφοροι συνδυασμοί μερικών απωλειών υποστυλωμάτων του συστήματος που κρίνονται ως οι πιο κρίσιμοι. Σε κάθε περίπτωση, ο στόχος των παραπάνω συντελεστών είναι ο υπολογισμός του κρισιμοτέρου (ελάχιστου) συντελεστή οριακής ανάλυσης και ελαστικού ορίου, ώστε να εξαχθεί η στιβαρότητα του συστήματος, η οποία αντιστοιχεί στα ελάχιστα όρια. Επομένως, οι εξισώσεις (4.17)-(4.18) αφορούν τον ανέπαφο φορέα (χωρίς καμία εισαγωγή βλάβης). Η σχέση: A LMT (i) 1 (4.23) εκφράζει την επιβίωση έναντι κατάρρευσης του φορέα για όλες τις βλάβες και τις αστοχίες των υποστυλωμάτων για την i φόρτιση. Αντίστοιχα η σχέση για την "πρώτη πλαστικοποίηση" είναι: A ELM (i) 1 (4.24) 59

60 4.6 Ανάλυση φορτίου κατάρρευσης και μεγέθη στιβαρότητας για κατασκευές με βλάβη Μεγέθη στιβαρότητας Ο γενικός ορισμός οποιουδήποτε συντελεστή ασφαλείας, βασίζεται στην ϑεμελιώδη αρχή: Συντελεστής ασφαλείας Φέρουσα ικανότητα Επιβαλλόμενο φορτίο Με βάση τα παραπάνω, οι συντελεστές του φορτίου α LMT, α ELM είναι οι στατικές φέρουσες ικανότητες μετρημένες σε σχέση με το εφαρμοζόμενο φορτίο. Με αυτό το σκεπτικό, οι λόγοι : r LMT (i, k) α LMT (i, k) / α LMT (i, 0) (4.25) r ELM (i, k) α ELM (i, k) / α ELM (i, 0) (4.26) αποτελούν ουσιαστικά μέρη των αρχικών φερουσών ικανοτήτων του φορέα, τα οποία παραμένουν μετά από την εισαγόμενη βλάβη στο k υποστύλωμα. Και οι δύο λόγοι είναι αδιάσταστοι, εκφράζουν απομένουσες φέρουσες ικανότητες και ικανοποιούν την συνθήκη: 0 r 1 (4.27) ενώ η αντίστοιχη απώλεια φέρουσας ικανότητας εκφράζεται ως 1 r. Για τις ανάγκες της διατριβής, τα μεγέθη r LMT (i, k) και r ELM (i, k) ορίζονται ως μεγέθη ποσοτικοποίησης της στιβαρότητας των κατασκευών. Η μέγιστη δυνατή τους τιμή r 1 υποδηλώνει μέγιστη στιβαρότητα (μηδενική απώλεια φέρουσας ικανότητας), ενώ η ελάχιστη δυνατή τους τιμή r 0 χαρακτηρίζει ένα σύστημα με μηδενική στιβαρότητα (μεγιστοποίηση της απώλειας της φέρουσας ικανότητας), πάντα σε σχέση με την βλάβη k. Προφανώς, τα κρίσιμα μεγέθη στιβαρότητας που αντιστοιχούν στα A LMT (i) και A ELM (i) υπό τον συνδυασμό φόρτισης i δίνονται από τις σχέσεις: R LMT (i) A LMT (i) / α LMT (i, 0) min LMT(i, k) k K (4.28) R ELM (i) A ELM (i) / α ELM (i, 0) min ELM(i, k) k K (4.29) Το εύρος των συντελεστών ασφαλείας περιγράφεται επαρκώς από τις αντίστοιχες μέγιστες τιμές: 60

61 Κεφάλαιο 4. Άμεσες μέθοδοι πλαστικότητας για χωρικά μεταλλικά πλαίσια με βλάβη - ανάλυση φορτίου κατάρρευσης και μεγέθη στιβαρότητας A LMT (i) max k K α LMT(i, k) (4.30) A ELM (i) max k K α ELM(i, k) (4.31) και τα σχετικά μεγέθη στιβαρότητας δίνονται από τις σχέσεις: R LMT (i) A LMT (i) / α LMT (i, 0) max k K r LMT(i, k) (4.32) R ELM (i) A ELM (i) / α ELM (i, 0) max k K r ELM(i, k) (4.33) 61

62 4.6 Ανάλυση φορτίου κατάρρευσης και μεγέθη στιβαρότητας για κατασκευές με βλάβη 62

63 Κεφάλαιο 5 Ανάλυση δυσαναλογικής κατάρρευσης μεταλλικών πλαισίων σε αστοχία υποστυλώματος Firm in our free beliefs without dismay, In any game the nations want to play. A golden age of poetry and power Of which this noonday s the beginning hour. Robert Frost 5.1 Εισαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο παρουσιάστηκε μία νέα μεθοδολογία υπολογισμού της αντοχής ενός φορέα σε δυσαναλογική κατάρρευση, καθώς και ποσοτικοποίησης της στιβαρότητας μεταλλικών πλαισίων. Η μέθοδος, χρησιμοποιώντας εργαλεία άμεσων μεθόδων πλαστικότητας όπως η οριακή ανάλυση, ορίζει συγκεκριμένους συντελεστές ασφαλείας και αντίστοιχα μεγέθη στιβαρότητας περιγράφοντας ένα στατικό σύστημα σε σχέση με τη δυσαναλογική κατάρρευση. Ενα σημαντικό πλεονέκτημα της μεθόδου είναι ότι οι συντελεστές ασφαλείας μπορούν να υπολογιστούν για πληθώρα στατικών φορέων καθώς και για πληθώρα καταστάσεων βλάβης. Σε αυτό το κεφάλαιο, η μέθοδος εφαρμόζεται μέσω ενός αριθμητικού παραδείγματος το οποίο αποτελεί το επόμενο βήμα για την περαιτέρω αξιοποίηση της μεθόδου. Για αυτό το λόγο η εφαρμογή περιλαμβάνει την ανάλυση δυσαναλογικής κατάρρευσης

64 5.2 Υπολογιστική αντιμετώπιση ενός στατικού συστήματος μετά από ολική βλάβη των υποστυλωμάτων του, η οποία πραγματοποιείται με την αφαίρεση τους το στατικό σύστημα του φορέα. Οι αναλύσεις πραγματοποιούνται για κάθε περίπτωση βλάβης - αφαίρεσης υποστυλώματος ξεχωριστά, χωρίς να υπάρχει συνδυασμός απωλειών διαφορετικών υποστυλωμάτων. Με δεδομένη την συμμετρία και την ομοιομορφία του στατικού συστήματος, η ε- φαρμογή αναδεικνύει την υπολογιστική δύναμη της μεθόδου υπολογισμού της στατικής στιβαρότητας που παρουσιάστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο. 5.2 Υπολογιστική αντιμετώπιση Γενικά Το στατικό σύστημα του τρέχοντος κεφαλαίου αποτελεί μία απλοποιημένη εκδοχή του παραδείγματος που αντιστοιχεί σε μεταλλικούς φορείς από το [DoD09], και αναλύεται μέσα στο παράρτημα Ε του ιδίου εγγράφου. Πρόκειται για ένα μεταλλικό πλαίσιο με "βελτιωμένες συνδέσεις ροπής", συγκολλημένων, μη-ενισχυμένων πελμάτων (welded unreinforced flange connection, WUF), όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα (βλ. σχ. 5.1 και 5.2). Σχήμα 5.1: Στατικό σύστημα του πλαισίου Ο φορέας προσομοιώνει μία κατασκευή που εντάσσεται στον χώρο των κατασκευών υγείας, για 50 ή παραπάνω ασθενείς, ενώ η αρχική διαστασιολόγηση πραγματοποιήθηκε με τις προδιαγραφές του ιεθνούς Κτιριοδομικού Κανονισμού του 2006 (International Building Code 2006, [Cou06]). Οι διατομές επιλέχθηκαν από τα πρότυπα του Αμερικανικού Ινστιτούτου Μεταλλικών Κατασκευών (AISC, [AIS05b]) και παρουσιάζονται στον πίνακα 5.1. Η φόρτιση που χρησιμοποιήθηκε κατά τη διαστασιολόγηση του συστήματος περιλάμβανε το μόνιμο φορτίο, το κινητό και το φορτίο ανέμου. Θεωρείται, ότι φορτία σεισμού και χιονιού δεν επηρεάζουν την διαστασιολόγηση. Το μόνιμο φορτίο περιλαμβάνει σύμμικτες πλάκες βάρους 3, 6kN/ m 2 καθώς και το 64

65 Κεφάλαιο 5. Ανάλυση δυσαναλογικής κατάρρευσης μεταλλικών πλαισίων σε αστοχία υποστυλώματος Σχήμα 5.2: Σύνδεση WUF Οροφος Ακραία υποστυλώματα Κεντρικά υποστυλώματα οκοί 1 W18 40 W18 55 W W18 40 W18 55 W W18 86 W18 86 W W18 86 W18 86 W24 68 Πίνακας 5.1: ιατομές του φορέα βάρος του μεταλλικού φύλλου 0, 15kN/ m 2, ενώ 0, 24kN/ m 2 είναι το βάρος της μεταλλικής στέγης. Τα κινητά φορτία ορίστηκαν σε 3, 83kN/ m 2 + 1kN/ m 2 για πιθανά πρόσθετα στοιχεία στους ορόφους 1, 2, 3 και 1kN/ m 2 για την στέγη. Τα φορτία ανέμου, τα οποία δεν χρησιμοποιούνται για τις αναλύσεις της δυσαναλογικής κατάρρευσης που ακολου- ϑούν, ορίστηκαν από το [Cou06] χρησιμοποιώντας 110mph, έκθεση B και συντελεστή σπουδαιότητας της κατασκευής 1, 15. Οπως αναφέρθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, οι συνδυασμοί φόρτισης που προτείνονται από το [DoD09], για την ανάλυση της δυσαναλογικής κατάρρευσης είναι συνολικά τέσσερις και παρουσιάζονται αναλυτικά στον πίνακα 5.1. Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι οι συνδυασμοί δεν αποτελούν την βάση διαστασιολόγησης του φορέα, αλλά την αντίστοιχη βάση για την ανάλυση σε δυσαναλογική κατάρρευση. Συνδυασμός Μόνιμα Κινητά Χιόνι 1 0, 9 0, , 9 0 0, 2 3 1, 2 0, , 2 0 0, 2 Πίνακας 5.2: Συνδυασμοί φόρτισης 65

66 5.2 Υπολογιστική αντιμετώπιση Για τις ανάγκες της ανάλυσης δυσαναλογικής κατάρρευσης εξετάστηκαν 12 ξεχωριστές περιπτώσεις ολικής απώλειας υποστυλώματος, τέσσερις (μία για κάθε όροφο) σε κάθε γραμμή του καννάβου A, C και E (βλ. σχήμα 5.3) ιαδικασία προσομοίωσης και εφαρμογής της μεθόδου Ο φορέας προσομοιώθηκε ως ένα επίπεδο πλαίσιο αποτελούμενο από 726 κόμβους, όπως παρουσιάζεται στο σχήμα 5.3. Οι στηρίξεις των υποστυλωμάτων στο έδαφος ϑεωρούνται αρθρωτές με αποτέλεσμα οι συνολικοί βαθμοί ελευθερίας του φορέα να α- νέρχονται σε NU Το μοντέλο των πεπερασμένων στοιχείων περιλαμβάνει 356 κλασσικά, τρίκομβα, ισοπαραμετρικά, στοιχεία Timoshenko δοκού - υποστυλώματος με δύο σημεία Gauss ανά στοιχείο (βλ. [SB10]). Ο συνολικός αριθμός των σημείων Gauss ανέρχεται σε NG 752. Για την ανάλυση του πλαισίου χρησιμοποιήθηκε ένας απλός γραμμικός κώδικας πεπερασμένων στοιχείων που παρέχει την δυνατότητα εξαγωγής των μητρώων ισορροπίας H j του φορέα, κάτι που συνήθως δεν παρέχεται από εμπορικούς κώδικες πεπερασμένων στοιχείων. Ακόμη, ο συγκεκριμένος κώδικας προσφέρει τα απαραίτητα στοιχεία εισαγωγής για την αξιοποίηση του εμπορικού λογισμικού μα- ϑηματικού προγραμματισμού MOSEK [ART03]. Μία σύνδεση μεταξύ των λογισμικών πραγματοποιήθηκε μέσω ενός απλού κώδικα, γραμμένου σε MATLAB [Inc03a], ο οποίος παρέχει την δυνατότητα αλλαγής των πλαστικών κριτηρίων. Σχήμα 5.3: Στατικό μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων και τα σημεία Gauss Συντελεστές επαύξησης του φορτίου Οπως αναφέρθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, οι συντελεστές επαύξησης του φορτίου εξαρτώνται από το υλικό της κατασκευής για την περίπτωση του Ω F, ενώ από τις συνδέσεις μεταξύ των υπερκείμενων της βλάβης δομικών στοιχείων για την περίπτωση του Ω N. Η περιοχή στην οποία εφαρμόζεται ο συντελεστής επαύξησης φορτίου παρουσιάζεται ενδεικτικά στο σχήμα 5.4 και αποτελείται από τα υπερκείμενα συνοριακά ανοίγματα του υποστυλώματος με βλάβη. 66

67 Κεφάλαιο 5. Ανάλυση δυσαναλογικής κατάρρευσης μεταλλικών πλαισίων σε αστοχία υποστυλώματος Σχήμα 5.4: α. Φορτία στον φορέα στην αρχική κατάσταση, β. Φορτία στον φορέα μετά την βλάβη και την εφαρμογή των συντελεστών επαύξησης φορτίου Υπολογισμός συντελεστή Ω N Ο συντελεστής Ω N για μεταλλικές πλαισιωτές κατασκευές υπολογίζεται ως εξής: Ω N θ pra /θ y (5.1) όπου θ pra είναι η πλαστική στροφή κάθε δομικού στοιχείου ή σύνδεσης και δίνεται από τους πίνακες με τα επιτρεπόμενα κριτήρια του ASCE 41, [ASC07], και του [DoD09], ενώ ο συντελεστής θ y είναι η στροφή διαρροής, η οποία υπολογίζεται από την εξίσωση 5.1 του ASCE 41, [ASC07], όπως παρουσιάζεται παρακάτω: Για δοκούς: Για υποστυλώματα: θ y ZF yel b 6EI b (5.2) θ y ZF yel b 6EI b (1 P P ye ) (5.3) όπου: E μέτρο ελαστικότητας του υλικού f ye αντοχή διαρροής του υλικού I ροπή αδράνειας 67

68 5.2 Υπολογιστική αντιμετώπιση l b μήκος δοκού l c μήκος υποστυλώματος Z πλαστικό μέτρο αντίστασης P ye Af ye, αξονική δύναμη αντοχής διαρροής μέλους P αξονική δύναμη μέλους τη στιγμή της μετακίνησης στόχου για μη-γραμμικές αναλύσεις Για τις αναλύσεις του παρόντος κεφαλαίου, έγινε η παραδοχή P 0, έτσι ώστε να προκύψει ο μεγαλύτερος συντελεστής Ω N. Στους παρακάτω πίνακες (5.1 και 5.2) ακολουθούν οι υπολογισμοί και οι συντελεστές όλων των στοιχείων (δοκών - υποστυλωμάτων). Γραμμή Οροφος ιατομή l c (in.) E(ksi) f y (ksi) P ye (k) θ y θ pra Ω N A 1 W18x Ε A 2 W18x Ε A 3 W18x Ε A 4 W18x Ε B 1 W18x Ε B 2 W18x Ε B 3 W18x Ε B 4 W18x Ε C 1 W18x Ε C 2 W18x Ε C 3 W18x Ε C 4 W18x Ε D 1 W18x Ε D 2 W18x Ε D 3 W18x Ε D 4 W18x Ε E 1 W18x Ε E 2 W18x Ε E 3 W18x Ε E 4 W18x Ε Πίνακας 5.3: Υπολογισμός συντελεστή Ω N για υποστυλώματα Γραμμή Οροφος ιατομή l b (in.) E(ksi) f y (ksi) θ y θ pra Ω N A μέχρι J 1 W24x A μέχρι J 2 W24x A μέχρι J 3 W24x A μέχρι J 4 W24x Πίνακας 5.4: Υπολογισμός συντελεστή Ω N για δοκούς Λόγω της ομοιομορφίας των αποτελεσμάτων των παραπάνω υπολογισμών, επιλέχθη- 68

69 Κεφάλαιο 5. Ανάλυση δυσαναλογικής κατάρρευσης μεταλλικών πλαισίων σε αστοχία υποστυλώματος κε τελικά η καθολική εφαρμογή της μέγιστης τιμής, Ω N 1, 43, για οποιαδήποτε βλάβη υποστυλώματος. Υπολογισμός συντελεστή Ω F Οπως προαναφέρθηκε, τα φαινόμενα που σχετίζονται με την κατάρρευση του φορέα είναι εν γένει μη-γραμμικά λόγω της πλαστικής ανακατανομής που πραγματοποιείται μέσα σε ολόκληρο τον φορέα. Παρόλα αυτά, ψαθυρά φαινόμενα που κυριαρχούνται από δυνάμεις και όχι μετατοπίσεις καλύπτονται από το πρόβλημα που προαναφέρθηκε ως πρόβλημα του ελαστικού ορίου ή πρώτης πλαστικοποίησης. Σε αυτή την περίπτωση χρησιμοποιείται ο συντελεστής Ω F, ο οποίος σύμφωνα με το [DoD09] για μεταλλικές πλαισιωτές κατασκευές ισούται με Αποτελέσματα Γενικά Τα αποτελέσματα των αναλύσεων και οι αντίστοιχοι συντελεστές οριακής ανάλυσης και ελαστικού ορίου για τους τέσσερις συνδυασμούς φόρτισης, για τις 12 διαφορετικές περιπτώσεις ολικής απώλειας υποστυλώματος και για τα δύο κριτήρια αστοχίας (AISC, Rhombic) περιέχονται στους πίνακες 5.5 και 5.6. Τα μεγέθη στιβαρότητας όπως ορίστηκαν από τις εξισώσεις (4.25) και (4.26) περιέχονται στους πίνακες 5.7 και 5.8. Συνολικά ο αριθμός των αναλύσεων που πραγματοποιήθηκαν ανέρχεται σε 208. Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι ο υπολογιστικός κόπος είναι σχετικά μικρός, αφού τα εμπλεκόμενα πακέτα λογισμικών κατά την διαδικασία εκτέλεσης της μεθόδου αποτελούνται από τρία μέρη, συνδεόμενα με απλό κώδικα: το εμπορικό λογισμικό βελτιστοποίησης MOSEK, το εμπορικό λογισμικό μαθηματικού υπολογισμού MATLAB και το λογισμικό ανάλυσης με πεπερασμένα στοιχεία, το οποίο έχει αναπτυχθεί τα τελευταία χρόνια στο εργαστήριο των μεταλλικών κατασκευών του Α.Π.Θ. Με αυτό τον τρόπο, ελαχιστοποιείται ο απαιτούμενος υπολογιστικός χρόνος Σύγκριση κριτηρίου αστοχίας AISC και ρομβικού κριτηρίου Από τους πίνακες των αποτελεσμάτων, ένα πρώτο, άμεσα εξαγόμενο συμπέρασμα προκύπτει από την σύγκριση των δύο εφαρμοζόμενων κριτηρίων αστοχίας, του κριτηρίου AISC και του κριτηρίου του Ευρωκώδικα (Rhombic). Οπως είναι προφανές, το συντηρητικό κριτήριο του Ευρωκώδικα οδηγεί σε μικρότερες τιμές των συντελεστών οριακής ανάλυσης και ελαστικού ορίου. Παρ όλα αυτά, οι διαφορές στα αποτελέσματα μεταξύ 69

70 5.3 Αποτελέσματα i 1 i 2 LMT ELM LMT ELM k AISC Rhombic AISC Rhombic AISC Rhombic AISC Rhombic A A A A C C C C E E E E Πίνακας 5.5: Συντελεστές φορτίου a, για i 1 και i 2 των δύο κριτηρίων είναι πολύ μικρές και ευρύνονται από 0% μέχρι 6.57% στην μέγιστη τιμή τους. Πρέπει να σημειωθεί ότι σε πολλές περιπτώσεις οι αντίστοιχοι συντελεστές μεταξύ των κριτηρίων ταυτίζονται. Είναι επίσης αξιοσημείωτο το γεγονός ότι οι μεγαλύτερες διαφορές στα αποτελέσματα παρουσιάζονται για τις αναλύσεις που αφορούν το ελαστικό όριο της κατασκευής και ιδιαίτερα για τα ανέπαφα συστήματα (χωρίς καμία εισαγωγή βλάβης). Αν δε, εξαιρεθούν οι περιπτώσεις μηδενικής βλάβης, οι διαφορές στα αποτελέσματα μεταξύ των δύο κριτηρίων για τα συστήματα με βλάβη ξεκινούν από 0% και φτάνουν μέχρι και 2.21%. Οι διαφορές για τα αποτελέσματα της οριακής ανάλυσης είναι από 0% μέχρι 1.82%, ενώ για τα αποτελέσματα της οριακής ανάλυσης από 0% μέχρι 2.21%. Η ίδια εικόνα εμφανίζεται και στα αποτελέσματα των μεγεθών στιβαρότητας όπου οι διαφορές κυμαίνονται από 0% εώς 6.05%. Οι τιμές για τα μεγέθη στιβαρότητας της οριακής ανάλυσης έχουν μέγιστη διακύμανση 1.51%, ενώ τα μεγέθη στιβαρότητας του ελαστικού ορίου 6.05%. Σε κάθε περίπτωση, τα δύο κριτήρια παράγουν σχεδόν ταυτόσημα αποτελέσματα, αφού σε πολλές από τις περιπτώσεις οι τιμές των συντελεστών είναι ίσες Σχόλια Σημαντική παρατήρηση σχετικά με τα αποτελέσματα αποτελεί η μεγάλη διαφορά που παρουσιάζεται στην απόκριση του φορέα με την εισαγωγή της βλάβης σε ένα υποστύλωμα. Η εμφάνιση ενός τέτοιου φαινομένου, όπως η ολική απώλεια ενός υποστυλώματος του πλαισίου, έχει τεράστια επιρροή στα αποτελέσματα τόσο της οριακής ανάλυσης όσο και του ελαστικού ορίου. 70

71 Κεφάλαιο 5. Ανάλυση δυσαναλογικής κατάρρευσης μεταλλικών πλαισίων σε αστοχία υποστυλώματος i 3 i 4 LMT ELM LMT ELM k AISC Rhombic AISC Rhombic AISC Rhombic AISC Rhombic A A A A C C C C E E E E Πίνακας 5.6: Συντελεστές φορτίου a, για i 3 και i 4 Η ελάχιστη ποσοστιαία μείωση του συντελεστή οριακής ανάλυσης εμφανίζεται για την περίπτωση απώλειας του υποστυλώματος του τετάρτου ορόφου της γραμμής Ε, η οποία είναι 32%. Η μέγιστη αντίστοιχη μείωση εμφανίζεται για την απώλεια του υποστυλώματος του πρώτου ορόφου της γραμμής Α και είναι 80.7%. Οι αντίστοιχες μειώσεις για τους συντελεστές του ελαστικού ορίου είναι 24.5% η ελάχιστη και 81.06% η μέγιστη. Γενικά, η συμπεριφορά του συστήματος με την εισαγωγή της απώλειας ενός υποστυλώματος επηρεάζεται σημαντικά. Είναι επίσης εύκολα αντιληπτό ότι ο δυσμενέστερος συνδυασμός φόρτισης για τον φορέα είναι ο συνδυασμός i 3, αφού οι συντελεστές είναι οι χαμηλότεροι συγκριτικά με τους υπόλοιπους συνδυασμούς. Το γεγονός αυτό μπορεί να εξηγηθεί εύκολα, αφού ο συνδυασμός i 3 συνδυάζει τις δύο δυσμενέστερες φορτιστικές καταστάσεις (μόνιμο και κινητό φορτίο) με τους υψηλότερους συντελεστές, 1.2 και 0.5 αντίστοιχα. Μία άλλη σημαντική παρατήρηση είναι ότι οι συντελεστές οριακής ανάλυσης και ελαστικού ορίου είναι πολύ μικρότεροι όσο χαμηλότερα (σε όροφο) συμβαίνει η απώλεια του υποστυλώματος. Αυτό μπορεί να γίνει αντιληπτό και από τα διαγράμματα 5.5, 5.6 και 5.7, τα οποία παρουσιάζουν γραφικά τα αποτελέσματα των πινάκων. Οπως φαίνεται στα διαγράμματα, όταν η απώλεια του υποστυλώματος συμβεί σε χαμηλούς ορόφους, η επιρροή του είναι πολύ μεγάλη για την κατασκευή. Ακόμη, η επιρροή φαίνεται να μειώνεται όσο η απώλεια του υποστυλώματος συμβαίνει σε ψηλότερο όροφο. Ειδικά όταν υποστυλώματα του τετάρτου ορόφου αφαιρεθούν από το σύστημα, η επιρροή της απώλειας είναι σχετικά μικρή για το πλαίσιο. Μπορεί ακόμη να παρατηρηθεί ότι η μορφή των διαγραμμάτων είναι παρόμοια για τις τρεις γραμμές του καννάβου του πλαισίου για τις οποίες πραγματοποιήθηκαν οι αναλύ- 71

72 5.3 Αποτελέσματα i 1 i 2 LMT ELM LMT ELM k AISC Rhombic AISC Rhombic AISC Rhombic AISC Rhombic A A A A C C C C E E E E Πίνακας 5.7: Μεγέθη στιβαρότητας r, για i 1 και i 2 σεις. Η μόνη σημαντική διαφορά παρουσιάζεται στην γραμμή A, η οποία εμφανίζει τους μικρότερους συντελεστές οριακής ανάλυσης, ελαστικού ορίου αλλά και τα μικρότερα μεγέθη στιβαρότητας. Αυτό καθιστά την απώλεια υποστυλώματος στην ακραία γραμμή του καννάβου την πλέον κρίσιμη για την συμπεριφορά της κατασκευής. Οι γραμμές C και E παρουσιάζουν, όπως είναι λογικό, μεγάλες ομοιότητες στα αποτελέσματα τους. Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι στο ίδιο συμπέρασμα οδηγήθηκαν και οι Foley, Martin και Schneeman, σημειώνοντας στο [FMS07] ότι τα ακραία υποστυλώματα, σε περίπτωση βλάβης τους, είναι τα πιο κρίσιμα για πλαισιακούς φορείς. Ενα ακόμα σημαντικό συμπέρασμα προκύπτει από τους πίνακες και τα διαγράμματα σχετικά με τα μεγέθη στιβαρότητας r ELM (i, k) και r LMT (i, k). Οι τιμές των μεγεθών στιβαρότητας έχουν πολύ μικρές διαφορές μεταξύ των συνδυασμών φόρτισης. Οι διαφορές αυτές, στις περισσότερες περιπτώσεις, περιορίζονται στο τρίτο δεκαδικό ψηφίο υποδηλώνοντας μία αντιστοιχία στα αποτελέσματα, η οποία καθορίζει τα μεγέθη στιβαρότητας του πλαισίου ως ανεξάρτητα του συνδυασμού φόρτισης. Μπορεί να σημειωθεί, λοιπόν, ότι τα μεγέθη στιβαρότητας εξαρτώνται μόνο από το υποστύλωμα στο οποίο εισέρχεται βλάβη και όχι από τους συνδυασμούς i. Για αυτό το λόγο το διάγραμμα του σχήματος 5.7 παρουσιάζει τα αποτελέσματα των μεγεθών στιβαρότητας, τα οποία είναι μοναδικά για κάθε αστοχία υποστυλώματος k. Οπως και προηγουμένως, τα αποτελέσματα για την γραμμή A εμφανίζονται ως τα πιο κρίσιμα, ενώ ο πρώτος όροφος παραμένει η δυσμενέστερη ϑέση απώλειας υποστυλώματος για το πλαίσιο, αφού τα αποτελέσματα βελτιώνονται όσο η αστοχία του υποστυλώματος ανεβαίνει ορόφους. Πρέπει στο σημείο αυτό να σημειωθεί η σχέση μεταξύ των φορτιστικών καταστάσεων του [DoD09]. Τα φορτία που χρησιμοποιήθηκαν για τις αναλύσεις της δυσαναλογικής 72

73 Κεφάλαιο 5. Ανάλυση δυσαναλογικής κατάρρευσης μεταλλικών πλαισίων σε αστοχία υποστυλώματος i 1 i 2 LMT ELM LMT ELM k AISC Rhombic AISC Rhombic AISC Rhombic AISC Rhombic A A A A C C C C E E E E Πίνακας 5.8: Μεγέθη στιβαρότητας r, για i 3 και i 4 κατάρρευσης του πλαισίου αποτελούνται αποκλειστικά από φορτία βαρύτητας εκτός από ένα πολύ μικρό πλευρικό φορτίο εφαρμοζόμενο στο επίπεδο κάθε ορόφου, για λόγους ατελειών του φορέα, το οποίο εξαρτάται γραμμικά από τα φορτία βαρύτητας. Η εφαρμογή αυτών των φορτιστικών καταστάσεων, καθώς και το γεγονός ότι τα παραγόμενα μεγέθη στιβαρότητας είναι σχεδόν πανομοιότυπα για όλους τους διαφορετικούς συνδυασμούς φόρτισης i, μπορεί να οδηγήσει σε μία απλούστερη μέθοδο ανάλυσης και σε γρηγορότερη επαναδιαστασιολόγηση του φορέα. Επομένως, ακόμη και αν πραγματοποιηθεί η ανάλυση μόνο για ένα συνδυασμό φόρτισης, μπορεί να εξαχθεί μία καλή εκτίμηση για την στιβαρότητα της κατασκευής, εξαρτώμενη μόνο από την απώλεια των υποστυλωμάτων k. Για το συγκεκριμένο παράδειγμα, μία συντομότερη διαδικασία εύρεσης της ελάχιστης στιβαρότητας της κατασκευής ϑα περιελάμβανε αρχικά την ανάλυση του ανέπαφου πλαισίου (χωρίς εισαγωγή βλάβης), την μετέπειτα εύρεση του συνδυασμού φόρτισης που αντιστοιχεί στα ελάχιστα α ELM (i, 0) και α LMT (i, 0) και την ανάλυση του πλαισίου για ό- λες τις απώλειες των υποστυλωμάτων του, μόνο για τον κρίσιμο συνδυασμό φόρτισης. Τελικά, μετά και από την εύρεση της κρίσιμης απώλειας υποστυλώματος, η επαναδιαστασιολόγηση ϑα μπορούσε να επιτευχθεί βηματικά, μέχρι ο συντελεστής οριακής ανάλυσης να ξεπεράσει την τιμή 1. Για λόγους πληρότητας, το αποτέλεσμα της επαναδιαστασιολόγησης ϑα ελεγχόταν για όλες τις υπόλοιπες απώλειες υποστυλωμάτων και για όλους τους υπόλοιπους συνδυασμούς φόρτισης. Τέλος, στα σχήματα 5.8, 5.9 και 5.10 παρουσιάζονται οι μηχανισμοί κατάρρευσης για κάθε απώλεια υποστυλώματος. 73

74 5.3 Αποτελέσματα Σχήμα 5.5: Συντελεστές ελαστικού ορίου α ELM (i, k) ανά γραμμή καννάβου και όροφο Σχήμα 5.6: Συντελεστές οριακής ανάλυσης α LMT (i, k) ανά γραμμή καννάβου και όροφο Σχήμα 5.7: Μεγέθη στιβαρότητας οριακής ανάλυσης και ελαστικού ορίου ανά γραμμή καννάβου και όροφο 74

75 Κεφάλαιο 5. Ανάλυση δυσαναλογικής κατάρρευσης μεταλλικών πλαισίων σε αστοχία υποστυλώματος Σχήμα 5.8: Μηχανισμοί κατάρρευσης για απώλειες υποστυλωμάτων γραμμής A 75

76 5.3 Αποτελέσματα Σχήμα 5.9: Μηχανισμοί κατάρρευσης για απώλειες υποστυλωμάτων γραμμής C 76

77 Κεφάλαιο 5. Ανάλυση δυσαναλογικής κατάρρευσης μεταλλικών πλαισίων σε αστοχία υποστυλώματος Σχήμα 5.10: Μηχανισμοί κατάρρευσης για απώλειες υποστυλωμάτων γραμμής E 77

78 5.3 Αποτελέσματα 78

79 Κεφάλαιο 6 Ανάλυση δυσαναλογικής κατάρρευσης μεταλλικών πλαισίων σε μερική αστοχία μεμονωμένων ή συνδυασμών υποστυλωμάτων Πρώτος το αναγνώρισε ο Νίκος, άπλωσε το χέρι του και έδειξε βαθιά, λέγοντας: "Εκεί είναι". Πράγματι, εκεί ήταν και δε φαινόταν τίποτα, μήτε πόλη, μήτε χωριό, μήτε κολόνες κι απ την απόσταση εκείνη ούτε καν κάποιες πεζούλες πέτρες που είχαμε αφήσει. " εν υπάρχει τίποτα", είπε ο Νίκος σαν να λεγε εκεί είναι μαζεμένα όλα. Κι εγώ του είπα: "Αρκεί να υπάρχουν χτίστες και όλα γίνονται". "Χτίστες και όνειρα", μου ανταπάντησε. Η αναζήτηση. Νίκος Θέμελης 6.1 Εισαγωγή στη μερικότητα της βλάβης Ο υπολογισμός της ευαισθησίας ή της μη ευαισθησίας των κατασκευών σε τοπική βλάβη αποτελεί ένα αντικείμενο με αυξανόμενο ερευνητικό ενδιαφέρον τελευταία, κυρίως λόγω των ολοένα γηρασκώμενων υποδομών και κτιρίων. Πολλοί ερευνητές έχουν ορίσει την ιδιότητα αυτή ως ανοχή ή πλεονασμό (redundancy), άλλοι ως αντοχή σε φαινόμενα

80 6.1 Εισαγωγή στη μερικότητα της βλάβης δυσαναλογικής κατάρρευσης ή στιβαρότητα (robustness) και άλλοι ως την ικανότητα των στατικών συστημάτων να εμφανίσουν εναλλακτικούς δρόμους φορτίων σε περίπτωση τοπικής βλάβης. Σε κάθε περίπτωση, το ενδιαφέρον για πρόβλημα υπολογισμού αυτής της ιδιότητας των κατασκευών είναι αυξανόμενα ανεγειρόμενο, αφού πολλά συστήματα παρουσιάζουν παρόμοιες αστοχίες και καταρρεύσεις. Μία από τις πιο σημαντικές προσεγγίσεις για την ποσοτικοποίηση αυτής της ιδιότητας των κατασκευών ενάντια σε δυσαναλογική κατάρρευση έχει παρουσιαστεί από τους Frangopol και Curley ([FC87b]). Οροι όπως redundancy ή damage ορίζονται με ακρίβεια, ενώ η συσχέτισή τους πραγματοποιείται μέσω προτεινόμενων μεγεθών που χρησιμοποιούνται για να καθορίσουν επίπεδα στιβαρότητας, πλεονάσματα στιβαρότητας κτλ. Σε όλες τις περιπτώσεις η βλάβη ορίζεται από την μία πλευρά ως μία ανεπάρκεια του συστήματος, εισαγόμενη κατά τη διάρκεια της διαστασιολόγησης ή της κατασκευής και από την άλλη πλευρά ως ένα φαινόμενο που προκαλείται από εξωτερικές φορτίσεις. Μεγάλη προσοχή έχει δοθεί στον όρο ανοχή ή πλεονασμός (redundancy), ο οποίος εμπεριέχει a priori πολλές στατικές ιδιότητες αντοχής της κατασκευής σε κατάρρευση, πέρα από την αστοχία μεμονωμένου μέλους. Μέχρι στιγμής, οι περισσότεροι ερευνητές έχουν αποδεχθεί την μέθοδο εναλλακτικού δρόμου ως το πιο χρήσιμο εργαλείο σχετικά με προβλήματα δυσαναλογικής κατάρρευσης. Ο πυρήνας της μεθόδου ανάλυσης του εναλλακτικού δρόμου βασίζεται στο δομικό σκεπτικό της απώλειας υποστυλώματος ως το εναρκτήριο γεγονός λειτουργίας ενός μηχανισμού δυσαναλογικής κατάρρευσης. Παρ όλα αυτά, πολλές παρατηρήσεις σχετικά με το σκεπτικό της απώλειας υποστυλώματος έχουν διατυπωθεί τελευταία ϑέτοντας εν αμφιβόλω την σχέση του με πραγματικά γεγονότα στατικής αστοχίας. Ο Ellingwood στο [Ellte] παρουσιάζει την προβληματική περί του σκεπτικού της ϑεωρητικής απώλειας ενός δομικού στοιχείου καταλήγοντας ότι δεν είναι αρκετά ρεαλιστικό και δεν αντιστοιχεί σε πραγματικές καταστάσεις αστοχίας. Αφενός, εξηγείται ότι η απόλυτη (100%) αστοχία ενός δομικού στοιχείου είναι ένα πολύ απίθανο γεγονός και αφετέρου, αν ακόμα υποτεθεί ότι συμβαίνει ένα ακραίο συμβάν προκαλώντας την απόλυτη αστοχία ενός δομικού στοιχείου, είναι πολύ απίθανο ένα μόνο στοιχείο να επηρεαστεί από το συμβάν και όχι άλλα γειτονικά δομικά στοιχεία κοντά του. Για αυτό το λόγο, παρ όλο που οι μηχανικοί και οι ερευνητές απλοποιητικά ϑεωρούν ότι η απώλεια υποστυλώματος παρέχει ένα εύκολο μηχανισμό προσομοίωσης εισαγωγής βλάβης στην κατασκευή, στην πραγματικότητα ο τρόπος αυτός δεν είναι ακριβής και δεν ανταποκρίνεται σε πραγματικά γεγονότα. Το τρέχον κεφάλαιο παρουσιάζει μία επέκταση της εφαρμογής του προηγούμενου κεφαλαίου εφαρμόζοντας μία υπολογιστική εφαρμογή της ϑεωρίας του Κεφαλαίου 4, εισάγοντας το σκεπτικό της μερικής βλάβης δομικών στοιχείων. Καθολικά μεγέθη στιβαρότητας προκύπτουν για την περίπτωση συνδυασμών μερικών βλαβών γειτονικών 80

81 Κεφάλαιο 6. Ανάλυση δυσαναλογικής κατάρρευσης μεταλλικών πλαισίων σε μερική αστοχία μεμονωμένων ή συνδυασμών υποστυλωμάτων στοιχείων. Η ανάλυση εφαρμόζεται στο στατικό σύστημα του πλαισίου του προηγούμενου κεφαλαίου, με στόχο την καλύτερη εποπτική κατανόηση των αποτελεσμάτων. 6.2 Υπολογιστική αντιμετώπιση Γενικά Το στατικό σύστημα του τρέχοντος κεφαλαίου έχει ήδη παρουσιαστεί στο προηγούμενο κεφάλαιο. Για λεπτομερή περιγραφή του στατικού συστήματος, φορτίσεων κτλ. βλ. κεφ και Εισαγωγή μερικής βλάβης Ο δείκτης δ j των στοιχείων Gauss (βλ. κεφ. 4.3) ενός υποστυλώματος με βλάβη επηρεάζει τόσο το κριτήριο αστοχίας όσο και τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του δομικού στοιχείου. Για τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του δομικού στοιχείου, η μερική βλάβη των υ- ποστυλωμάτων εισάγεται με την αντίστοιχη απομείωση της ενεργού διατομής A του δομικού στοιχείου καθώς και με την αντίστοιχη απομείωση του μέτρου ελαστικότητας E του δομικού στοιχείου. Με αυτό τον τρόπο, επιτυγχάνεται η πραγματική μερική βλάβη των υποστυλωμάτων τόσο από την πλευρά της ενεργού διατομής αλλά και από την πλευρά της δυσκαμψίας του στοιχείου. Οσο αφορά την επιρροή του δείκτη βλάβης στο κριτήριο αστοχίας, έχει ήδη περιγραφεί στο Κεφάλαιο Συντελεστές επαύξησης του φορτίου Για τον υπολογισμό των συντελεστών επαύξησης του φορτίου έχει ακολουθηθεί η διαδικασία της παραγράφου Υπενθυμίζεται, ότι η επαύξηση του φορτίου καλείται να υποκαταστήσει δυναμικά φαινόμενα, τα οποία εμφανίζονται σε καταστάσεις απώλειας δομικών στοιχείων σύμφωνα με το σκεπτικό της απώλειας υποστυλωμάτων. Παρ όλα αυτά, πρέπει να ληφθεί υπόψη, ότι για την περίπτωση της μερικής βλάβης, τα συνοδεύοντα δυναμικά φαινόμενα είναι σημαντικά ηπιότερα χωρίς την ίδια δυναμική επιρροή όπως για την περίπτωση της ολικής απώλειας υποστυλώματος. Ετσι, οι συντελεστές επαύξησης του φορτίου μειώνονται από τις τιμές της παραγράφου , αφού το εναπομένον μέρος του υποστυλώματος επηρεάζει την απόκριση της κατασκευής προς πιο πλάστιμη συμπεριφορά. Πρέπει να σημειωθεί ότι, παρ όλο ότι ο καθορισμός των συντελεστών επαύξησης του φορτίου είναι ένα πολύ σημαντικό σημείο στην εφαρμογή 81

82 6.2 Υπολογιστική αντιμετώπιση της μεθόδου για μερική αστοχία, ο επακριβής υπολογισμός τους δεν είναι μέσα στους στόχους της παρούσας διατριβής. Στις αναλύσεις του τρέχοντος κεφαλαίου έχει εφαρμοστεί για τον υπολογισμό των συντελεστών ασφαλείας οριακής ανάλυσης εκτός από την τιμή Ω N, μία ακόμα τιμή Ω 1.25, για λόγους σύγκρισης Σύνολο αναλύσεων Ο στόχος των αναλύσεων του τρέχοντος κεφαλαίου είναι η σύγκριση της περίπτωσης δομικών στοιχείων με μερική αστοχία, με την περίπτωση δομικών στοιχείων με ολική αστοχία (απώλεια υποστυλώματος). Για αυτό το λόγο, ϑεωρήθηκε δόκιμο να πραγματοποιηθούν αναλύσεις αρχικά για την περίπτωση μερικής αστοχίας για κάθε υποστύλωμα ξεχωριστά και μετέπειτα για την περίπτωση αστοχίας συνδυασμών υποστυλωμάτων όπου ϑα ήταν απλούστερος ο συνδυασμός υποστυλωμάτων με μερική αστοχία. Πρέπει επίσης να σημειωθεί εδώ, ότι οι αναλύσεις που ακολουθούν παρουσιάζονται μόνο για τον κρίσιμο συνδυασμό φόρτισης, ο οποίος όπως προέκυψε από το προηγούμενο κεφάλαιο αντιστοιχεί στην περίπτωση i 3. Τα αποτελέσματα των αναλύσεων επιβεβαιώνουν, ότι για το συγκεκριμένο στατικό σύστημα και τις συγκεκριμένες φορτίσεις, ο συνδυασμός i 3 παράγει τα δυσμενέστερα αποτελέσματα στιβαρότητας. Μερική βλάβη μεμονωμένων υποστυλωμάτων Για την πρώτη περίπτωση, οι αναλύσεις που πραγματοποιήθηκαν περιλαμβάνουν τις περιπτώσεις μερικής βλάβης μεμονωμένων υποστυλωμάτων, όπου περιλαμβάνονται οι περιπτώσεις για 4 διαφορετικά επίπεδα βλάβης (20%, 40%, 60%, 80%). Τα αποτελέσματα του προηγούμενου κεφαλαίου παρέχουν την δυνατότητα συγκρίσεων αφού περιλαμβάνουν τις περιπτώσεις ολικής αστοχίας και ανέπαφης κατάστασης (0% και 100% αντίστοιχα). Ολες οι αναλύσεις έχουν πραγματοποιηθεί με την εφαρμογή του Ω N (όπως έχει υπολογιστεί στο προηγούμενο κεφάλαιο), αλλά και της τιμής Ω Μερική βλάβη συνδυασμών υποστυλωμάτων Για την περίπτωση της μερικής βλάβης συνδυασμών υποστυλωμάτων, οι αναλύσεις επεκτάθηκαν για την αστοχία των υποστυλωμάτων στις γραμμές A, C, και E του καννάβου (βλ. σχ. 5.3) συνδυαζόμενων με την αστοχία των παρακείμενων υποστυλωμάτων. Για τις ανάγκες των αναλύσεων, ορίζεται ως πρωτεύουσα βλάβη (dominent) η βλάβη στις γραμμές A, C, και E, ενώ ως δευτερεύουσα βλάβη (secondary) ορίζεται η βλάβη στις γραμμές B, D και F αντίστοιχα. Για παράδειγμα αν η μερική βλάβη του υποστυ- 82

83 Κεφάλαιο 6. Ανάλυση δυσαναλογικής κατάρρευσης μεταλλικών πλαισίων σε μερική αστοχία μεμονωμένων ή συνδυασμών υποστυλωμάτων λώματος A1 (υποστύλωμα στην γραμμή A, στον πρώτο όροφο) είναι 80%, συνδυάζεται με την μερική βλάβη του υποστυλώματος B1 κατά 20% (υποστύλωμα στην γραμμή B, στον πρώτο όροφο). Ολες οι περιπτώσεις συνδυασμών μερικών βλαβών παρουσιάζονται στον πίνακα 6.1. Ομοίως με την μερική βλάβη μεμονωμένων υποστυλωμάτων όλες οι αναλύσεις πραγματοποιήθηκαν με την εφαρμογή του Ω N (όπως έχει υπολογιστεί στο προηγούμενο κεφάλαιο) αλλά και της τιμής Ω Dominent Secondary 1 0 A1 0.8 B A2 0.8 B A3 0.8 B A4 0.8 B Dominent Secondary 1 0 C1 0.8 D C2 0.8 D C3 0.8 D C4 0.8 D Dominent Secondary 1 0 E1 0.8 F E2 0.8 F E3 0.8 F E4 0.8 F Πίνακας 6.1: Σύνολο περιπτώσεων συνδυασμών υποστυλωμάτων με μερικές βλάβες 6.3 Αποτελέσματα Μερική βλάβη μεμονωμένων υποστυλωμάτων Παρουσίαση αποτελεσμάτων Τα αποτελέσματα για μερική βλάβη μεμονωμένων υποστυλωμάτων παρουσιάζονται στους πίνακες 6.2, 6.3 και 6.4. Για την καλύτερη εποπτεία των αποτελεσμάτων, ο πίνακας 6.2 παρουσιάζει τα αποτελέσματα των αναλύσεων για ολική απώλεια υποστυλώματος και Ω N 1.43, τόσο για οριακή ανάλυση όσο και για ελαστικό όριο. Ο πίνακας 6.3 παρουσιάζει τα αποτελέσματα για μερική βλάβη πέντε διαφορετικών επιπέδων βλάβης (συμπεριλαμβανομένης και της ανέπαφης κατάστασης), για Ω N Επεξηγηματικά, αναφέρεται ότι η πρώτη γραμμή του πίνακα παρέχει το ποσοστό του υποστυλώματος που απομένει στην κατασκευή μετά από την εισαγωγή της βλάβης. Για παράδειγμα η τιμή 0.2 υποδεικνύει ότι το 20% του υποστυλώματος είναι ενεργό μέσα στο στατικό σύστημα, επομένως το 1 υποδηλώνει ότι το 100% του υποστυλώματος είναι ενεργό μέσα στο στατικό σύστημα, οπότε πρόκειται για την ανέπαφη κατάσταση (intact). Ο πίνακας 6.4 παρουσιάζει τα αποτελέσματα για μερική βλάβη πέντε διαφορετικών 83

84 6.3 Αποτελέσματα επιπέδων βλάβης (συμπεριλαμβανομένης και της ανέπαφης κατάστασης), για Ω Υποστ. Elastic Limit Limit Analysis A A A A C C C C E E E E Πίνακας 6.2: Ολική απώλεια υποστυλώματος, Ω N 1.43 Απομένον μέρος υποστυλώματος (int.) (int.) Υποστ. Elastic Limit Limit Analysis A A A A C C C C E E E E Πίνακας 6.3: Μερική βλάβη μεμονωμένων υποστυλωμάτων, Ω N

85 Κεφάλαιο 6. Ανάλυση δυσαναλογικής κατάρρευσης μεταλλικών πλαισίων σε μερική αστοχία μεμονωμένων ή συνδυασμών υποστυλωμάτων Απομένον μέρος υποστυλώματος (int.) (int.) Υποστ. Elastic Limit Limit Analysis A A A A C C C C E E E E Πίνακας 6.4: Μερική βλάβη μεμονωμένων υποστυλωμάτων, Ω 1.25 Σχόλια Αρχικά, είναι προφανές από τα αποτελέσματα των πινάκων ότι η μερική βλάβη των υποστυλωμάτων του πλαισίου παράγει σημαντικές διαφορές σε σχέση με την ολική απώλεια υποστυλωμάτων. Η σύγκριση μεταξύ των τιμών του πίνακα 6.2 και του πίνακα 6.3 είναι κατατοπιστική σχετικά με την επιρροή της μερικής βλάβης στην συμπεριφορά του πλαισίου. Ακόμα και όταν το απομένον μέρος του υποστυλώματος είναι μόνο 20% παρατηρείται σημαντική άνοδος στους συντελεστές του ελαστικού ορίου και της οριακής ανάλυσης. Από την επεξεργασία των αποτελεσμάτων των πινάκων προκύπτουν τα σχήματα 6.1 και 6.2 τα οποία παρουσιάζουν τα αποτελέσματα της στιβαρότητας της οριακής ανάλυσης τόσο για Ω N 1.43, όσο και για Ω Η μορφή των διαγραμμάτων είναι ίδια παρ όλο που οι διαφορές μεταξύ των τιμών των δύο διαγραμμάτων είναι σημαντικές. Παρατηρούμε ξανά το ίδιο φαινόμενο όπου τα υποστυλώματα των χαμηλών ορόφων αποδεικνύονται ως τα πιο κρίσιμα, ενώ η στιβαρότητα αυξάνεται όσο η βλάβη εισέρχεται σε υψηλότερους ορόφους. Ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι τιμές για τα ακραία υποστυλώματα, οι οποίες είναι σχετικά υψηλές και σε αρκετές περιπτώσεις υψηλότερες των τιμών των αντίστοιχων υποστυλωμάτων άλλων γραμμών του καννάβου. Για παράδειγμα η στιβαρότητα για 40% απομένον υποστύλωμα A2 είναι 0.646, ενώ για 40% απομένον υποστύλωμα C2 και E2, είναι και αντίστοιχα. Η μερική βλάβη ακραίων υποστυλωμάτων επηρεάζει περισσότερο την απόκριση της κατασκευής, από την μερική βλάβη των αντίστοιχων υποστυλωμάτων των γραμμών C και E. Είναι επίσης ενδεικτικό ότι για απομένουν μέρος των υποστυλωμάτων ίσο με 20% 85

86 6.3 Αποτελέσματα η αύξηση του συντελεστή ελαστικού ορίου είναι κατά μέσο όρο 35%, σε σύγκριση με την ολική απώλεια του υποστυλώματος, ενώ είναι πολύ μεγαλύτερη για τις περιπτώσεις των ακραίων υποστυλωμάτων (στην γραμμή καννάβου A). Η αντίστοιχη αύξηση για τους συντελεστές της οριακής ανάλυσης είναι πολύ μεγαλύτερη και αγγίζει το 98%. Τα ευρήματα αυτά οδηγούν στο συμπέρασμα ότι αν μετά από την εισαγωγή βλάβης παραμείνει ένα υποστύλωμα ακόμα και 20% ενεργό μέσα στο στατικό σύστημα, η συμπεριφορά του φορέα είναι σημαντικά βελτιωμένη σε σχέση με την περίπτωση ολικής απώλειάς του. Για την περίπτωση που απομείνει το 40% του υποστυλώματος, η αύξηση για τους συντελεστές του ελαστικού ορίου είναι 114% και για τους συντελεστές οριακής ανάλυσης 146%. Για 60%, οι αυξήσεις είναι 170% και 177%, ενώ για 80% οι αντίστοιχες αυξήσεις φτάνουν μέχρι 186% και 191%. Για καλύτερη επισκόπηση των συγκριτικών στοιχείων που προαναφέρθηκαν παρουσιάζονται στα σχήματα 6.3 και 6.4, η ποσοστιαία αύξηση των συντελεστών του ελαστικού ορίου καθώς και η αντίστοιχη αύξηση των μεγεθών στιβαρότητας που προκύπτουν από τους συντελεστές της οριακής ανάλυσης. Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι οι συγκρίσεις γίνονται με βάση τα αποτελέσματα που έχουν προκύψει από αναλύσεις για Ω N Από τα σχήματα, προκύπτει ότι η αύξηση των μεγεθών στιβαρότητας είναι σχεδόν μηδενική για βλάβες υποστυλωμάτων του τετάρτου ορόφου, ενώ είναι σημαντικά μεγαλύτερη για τους υπόλοιπους ορόφους. Αυτό οφείλεται κυρίως λόγω του ότι η εισερχόμενη βλάβη σε υποστύλωμα του τετάρτου ορόφου, όπως φαίνεται και από τα σχήματα που δείχνουν τους μηχανισμούς αστοχίας (τέλος Κεφαλαίου 5), οδηγεί σε αστοχία της υπερκείμενης δοκού η οποία πραγματοποιείται ακόμη και με μικρή βλάβη του υποστυλώματος που την υποστηρίζει στο μέσο της. Αντίθετα, για βλάβες υποστυλωμάτων χαμηλότερων ο- ρόφων, ο μηχανισμός αστοχίας δεν είναι τόσο άμεσος και για αυτό η μερική βλάβη των υποστυλωμάτων οδηγεί σε μεγάλη διαφορά αποτελεσμάτων από περιπτώσεις ολικής τους αστοχίας. Ακόμη, παρατηρείται ότι η αύξηση της στιβαρότητας για τα ακραία υποστυλώματα είναι εμφανώς μεγαλύτερη από τις υπόλοιπες γραμμές του καννάβου, επεξηγώντας τις υψηλές τιμές στιβαρότητας που προαναφέρθηκαν. Σε κάθε περίπτωση προκύπτει το συμπέρασμα ότι η εισαγωγή μερικής βλάβης μεμονωμένων υποστυλωμάτων του πλαισίου αντί της ολικής απώλειάς τους, έχει ως α- ποτέλεσμα την σημαντικά ηπιότερη επιρροή της βλάβης στην απόκριση του πλαισίου. Ακόμα και όταν η βλάβη κινείται σε υψηλά επίπεδα, τα αποτελέσματα είναι σημαντικά ευνοϊκότερα για την κατασκευή, συγκρινόμενα με τις αντίστοιχες περιπτώσεις ολικής απώλειας υποστυλωμάτων. 86

87 Κεφάλαιο 6. Ανάλυση δυσαναλογικής κατάρρευσης μεταλλικών πλαισίων σε μερική αστοχία μεμονωμένων ή συνδυασμών υποστυλωμάτων Σχήμα 6.1: Στιβαρότητα οριακής ανάλυσης, Ω N 1.43 Σχήμα 6.2: Στιβαρότητα οριακής ανάλυσης, Ω

88 6.3 Αποτελέσματα Σχήμα 6.3: Αύξηση συντελεστή ελαστικού ορίου Σχήμα 6.4: Αύξηση μεγεθών στιβαρότητας 88

89 Κεφάλαιο 6. Ανάλυση δυσαναλογικής κατάρρευσης μεταλλικών πλαισίων σε μερική αστοχία μεμονωμένων ή συνδυασμών υποστυλωμάτων Μερική βλάβη συνδυασμών υποστυλωμάτων Παρουσίαση αποτελεσμάτων Τα αποτελέσματα για μερική βλάβη συνδυασμών υποστυλωμάτων παρουσιάζονται στους πίνακες 6.5 και 6.6. Ο πίνακας 6.5 παρουσιάζει τους συντελεστές ελαστικού ορίου και οριακής ανάλυσης για τους συνδυασμούς μερικών βλαβών υποστυλωμάτων του πλαισίου, για την περίπτωση Ω N Επεξηγηματικά, αναφέρεται ότι η πρώτη γραμμή του πίνακα παρέχει το ποσοστό των υποστυλωμάτων που αφαιρούνται από την κατασκευή μετά από την εισαγωγή της βλάβης. Για παράδειγμα η τιμή 80/ 20 υποδεικνύει ότι το 80% του κυρίου υποστυλώματος και το 20% του δευτερεύοντος υποστυλώματος έχουν αφαιρεθεί από το στατικό σύστημα. Επομένως η περίπτωση 100/ 0 για πρωτεύον υποστύλωμα A1 και δευτερεύον υποστύλωμα B1, αποτελεί την περίπτωση ολικής απώλειας του υποστυλώματος A1. Ο πίνακας 6.4 παρουσιάζει τα αντίστοιχα αποτελέσματα, για Ω Προφανώς οι περιπτώσεις ολικής απώλειας των υποστυλωμάτων που υποδηλώνονται από την περίπτωση 100/ 0, είναι αδόκιμες και για αυτό δεν εμφανίζονται. Elastic Limit Limit Analysis Dominent /Secondary 100/ 0 80/ 20 60/ / 0 80/ 20 60/ 40 A1 / B A2 / B A3 / B A4 / B C1 / D C2 / D C3 / D C4 / D E1 / F E2 / F E3 / F E4 / F Πίνακας 6.5: Μερική βλάβη συνδυασμών υποστυλωμάτων, Ω N

90 6.3 Αποτελέσματα Elastic Limit Limit Analysis Dominent /Secondary 100/ 0 80/ 20 60/ / 0 80/ 20 60/ 40 A1 / B1 NA NA A2 / B2 NA NA A3 / B3 NA NA A4 / B4 NA NA C1 / D1 NA NA C2 / D2 NA NA C3 / D3 NA NA C4 / D4 NA NA E1 / F1 NA NA E2 / F2 NA NA E3 / F3 NA NA E4 / F4 NA NA Πίνακας 6.6: Μερική βλάβη συνδυασμών υποστυλωμάτων, Ω 1.25 Σχόλια Από τα αποτελέσματα των πινάκων προκύπτει ότι οι συντελεστές ελαστικού ορίου και οριακής ανάλυσης αυξάνονται σημαντικά από την εισαγωγή μερικής βλάβης σε συνδυασμούς υποστυλωμάτων αντί για μεμονωμένα υποστυλώματα. Για Ω N 1.43, ο μέσος όρος της αύξησης των συντελεστών ελαστικού ορίου από την ολική απώλεια του πρωτεύοντος υποστυλώματος μέχρι την περίπτωση πρωτεύουσα/δευτερεύουσας βλάβης 80/ 20 είναι 43%, ενώ η αντίστοιχη σύγκριση με την περίπτωση πρωτεύουσα/δευτερεύουσας βλάβης 60/ 40 είναι 125%. Οι αντίστοιχες τιμές για τους συντελεστές οριακής ανάλυσης είναι 106% για την περίπτωση 80/ 20 και 153% για την περίπτωση 60/ 40. Παρατηρείται επομένως σημαντικότερα ευνοϊκότερη απόκριση της κατασκευής όταν η βλάβη εμφανίζεται σε περισσότερα του ενός υποστυλώματα, συγκριτικά με την περίπτωση της ολικής απώλειας ενός μεμονωμένου υποστυλώματος. Σημαντικό στοιχείο αποτελεί επίσης το γεγονός ότι η αύξηση στους συντελεστές είναι μεγαλύτερη για χαμηλούς ορόφους, ενώ όσο οι βλάβες εισέρχονται σε υψηλότερους ορόφους η αύξηση μειώνεται. Ειδικά για την περίπτωση της εισαγωγής μερικής βλάβης στα υποστυλώματα του ορόφου 4, η αύξηση είναι σχεδόν μηδενική. Για καλύτερη επισκόπηση των αποτελεσμάτων παρουσιάζονται στα σχήματα 6.5 και 6.6 οι τιμές και η διακύμανση των μεγεθών στιβαρότητας για τις τρεις περιπτώσεις κατανομής της βλάβης μεταξύ των υποστυλωμάτων για Ω N 1.43 και για Ω 1.25, αντίστοιχα. Στην περίπτωση των μεγεθών στιβαρότητας, η αύξηση είναι ξανά σημαντική και αγγίζει το 106% για την περίπτωση κατανομής της βλάβης κατά 80/ 20, ενώ για την περίπτωση 60/ 40 η αύξηση είναι 154% (βλ. σχ. 6.8 και 6.8). Σε κάθε περίπτωση προκύπτει το συμπέρασμα ότι η εισαγωγή μερικής βλάβης σε συνδυασμό υποστυλωμάτων του πλαισίου αντί της ολικής απώλειας μεμονωμένων υ- 90

91 Κεφάλαιο 6. Ανάλυση δυσαναλογικής κατάρρευσης μεταλλικών πλαισίων σε μερική αστοχία μεμονωμένων ή συνδυασμών υποστυλωμάτων ποστυλωμάτων ή την εισαγωγή μερικής βλάβης μεμονωμένων υποστυλωμάτων έχει ως αποτέλεσμα την σημαντικά ηπιότερη επιρροή της βλάβης στην απόκριση του πλαισίου. Ακόμα και όταν η βλάβη κινείται σε υψηλά επίπεδα, τα αποτελέσματα είναι σημαντικά ευνοϊκότερα για την κατασκευή, συγκρινόμενα με τις αντίστοιχες περιπτώσεις βλάβης μεμονωμένων υποστυλωμάτων. Σχήμα 6.5: Στιβαρότητα οριακής ανάλυσης, Ω N

92 6.3 Αποτελέσματα Σχήμα 6.6: Στιβαρότητα οριακής ανάλυσης, Ω 1.25 Σχήμα 6.7: Αύξηση συντελεστή ελαστικού ορίου 92

93 Κεφάλαιο 6. Ανάλυση δυσαναλογικής κατάρρευσης μεταλλικών πλαισίων σε μερική αστοχία μεμονωμένων ή συνδυασμών υποστυλωμάτων Σχήμα 6.8: Αύξηση μεγεθών στιβαρότητας 93

94 6.3 Αποτελέσματα 94

95 Κεφάλαιο 7 Επιρροή της δομικής μορφολογίας μεταλλικών πλαισίων στην στιβαρότητα και στο φορτίο κατάρρευσης Gentlemen, συνεχίζουμε την περιοδεία μας πολλές οργιές κάτω απ την επιφάνεια του Αιγαίου Ιούλιος 42 Γιώργος Σεφέρης, Ημερολόγιο Καταστρώματος Β, Εισαγωγή Οπως παρουσιάστηκε στα προηγούμενα Κεφάλαια, σημαντική συνιστώσα της υπολογιστικής δύναμης της μεθόδου του εναλλακτικού δρόμου σε συνδυασμό με τους συντελεστές της οριακής ανάλυσης και του ελαστικού ορίου αποτελεί η δυνατότητα ευρείας εφαρμογής της μεθόδου σε πληθώρα μεταλλικών πλαισίων και η εξαγωγή συγκριτικών αποτελεσμάτων και συμπερασμάτων για το επίπεδο στιβαρότητάς τους. Η μέθοδος παρέχει συγκρίσιμα αποτελέσματα, σχετικά με την αντοχή μεταλλικών πλαισίων έναντι σε δυσαναλογική κατάρρευση, δίνοντας την δυνατότητα στον μηχανικό να γνωρίζει εάν ένα πλαίσιο είναι περισσότερο ανθεκτικό σε μία αρχική βλάβη από ένα άλλο. Το τρέχον κεφάλαιο παρουσιάζει μία εκτεταμένη παραμετρική μελέτη της απόκρισης μεταλλικών πλαισίων σε περιπτώσεις αρχικής βλάβης, εκφραζόμενης με την ολική απώλεια όλων, μεμονωμένα, των υποστυλωμάτων τους. Η μελέτη περιλαμβάνει ένα σύ-

96 7.2 Κατακόρυφη μη-κανονικότητα νολο 15 μεταλλικών πλαισίων, διαστασιολογημένων σύμφωνα με τους Ευρωκώδικες και τους Ελληνικούς αντισεισμικούς κανονισμούς. Μορφολογικά, τα πλαίσια παρουσιάζουν γεωμετρική, κατακόρυφη μη-κανονικότητα, οδηγώντας σε χρήσιμα συμπεράσματα της επιρροής της ιδιότητας αυτής στην αντοχή τους σε δυσαναλογική κατάρρευση. Στο τέλος του κεφαλαίου παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των αναλύσεων των πλαισίων για την οριακή ανάλυση, το ελαστικό τους όριο καθώς και τα αντίστοιχα μεγέθη στιβαρότητας τους, για κάθε απώλεια υποστυλώματος ξεχωριστά. Ξεχωριστή σημασία δίνεται στην επιρροή της κατακόρυφης μη-κανονικότητας με την συγκριτική παρουσίαση και εξαγωγή συμπερασμάτων από τα αποτελέσματα. 7.2 Κατακόρυφη μη-κανονικότητα Γενικά Πολλές κατασκευές σχεδιάζονται σήμερα με κατακόρυφες μη-κανονικότητες λόγω λειτουργικών, αισθητικών ή και οικονομικών λόγων. Οι κατακόρυφες μη-κανονικότητες συμβαίνουν με απότομες αλλαγές στην δυσκαμψία, αντοχή ή/και μάζα μεταξύ διαδοχικών ορόφων. Οι απότομες αλλαγές σε δυσκαμψία και αντοχή εκφράζονται από αλλαγές στο στατικό σύστημα καθ υψος του κτιρίου, αλλαγές του ύψους των ορόφων, αλλαγές στην κάτοψη καθ υψος, αλλαγές στο υλικό κ.α. Πολλές κατασκευές έχουν εμφανίσει σημαντικές και απρόσμενες βλάβες λόγω της μη-κανονικότητάς τους. Οι ισχύοντες κανονισμοί έχουν ήδη μεριμνήσει για την ένταξη ειδικών διατάξεων ορισμού μη-κανονικών κτιρίων, αφού σε πολλές περιπτώσεις η διαστασιολόγησή τους ακολουθεί ειδικά καθορισμένα βήματα Ευρωκώδικας 8 Σε αυτό το πλαίσιο, ο Ευρωκώδικας 8 περιλαμβάνει κριτήρια για τον χαρακτηρισμό κατακόρυφων κανονικών και μη-κανονικών κατασκευών τόσο σε κάτοψη όσο και σε όψη. Μη-κανονική κατασκευή ορίζεται η κατασκευή για την οποία η διαφορά που εμφανίζεται σε μία από τις παραπάνω ιδιότητες (δυσκαμψία, αντοχή, μάζα) μεταξύ διαδοχικών ορόφων, ξεπερνά ένα καθορισμένο όριο. Για να ϑεωρείται ένα κτίριο κανονικό σε όψη, πρέπει όλα τα στατικά συστήματα της κατασκευής υπό οριζόντια φόρτιση, όπως τοιχώματα, πλαίσια ή πυρήνες να συνεχίζονται αδιάκοπα καθ υψος της κατασκευής από την ϑεμελίωση μέχρι την κορυφή του κτιρίου. Θα πρέπει επίσης να τηρούνται οι παρακάτω όροι, (παρ ) του κανονισμού [EN04]: 96

97 Κεφάλαιο 7. Επιρροή της δομικής μορφολογίας μεταλλικών πλαισίων στην στιβαρότητα και στο φορτίο κατάρρευσης Η πλευρική δυσκαμψία και η μάζα των επιμέρους ορόφων παραμένουν σταθερές ή ϑα μειώνονται βαθμιαία, χωρίς απότομες αλλαγές, από τη βάση προς την κορυφή ενός κτιρίου. Σε κτίρια με πλαισιακό σύστημα, ο λόγος της πραγματικής αντοχής ορόφων προς την αντοχή που απαιτείται από την ανάλυση δεν πρέπει να διαφέρει δυσανάλογα μεταξύ συνεχόμενων ορόφων. Οταν υπάρχουν εσοχές, πρέπει, για βαθμιδωτές εσοχές που διατηρούν την αξονική συμμετρία του φορέα, η εσοχή σε οποιονδήποτε όροφο να μην είναι μεγαλύτερη από το 20% της προηγούμενης διάστασης σε κάτοψη, στην διεύθυνση της εσοχής. Ακόμη για μια μεμονωμένη εσοχή σε ύψος μικρότερο από 15% του συνολικού ύψους του κύριου στατικού συστήματος, η εσοχή δεν ϑα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το 50% της προηγούμενης διάστασης σε κάτοψη. Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι σε περίπτωση που οι εσοχές δεν διατηρούν τη συμμετρία του φορέα, το άθροισμα των εσοχών όλων των ορόφων σε κάθε όψη δεν ϑα πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το 30% της διάστασης της κάτοψης στο ισόγειο επάνω από την ϑεμελίωση ή επάνω από την άνω επιφάνεια άκαμπτου υπογείου, και κάθε επιμέρους εσοχή δεν ϑα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το 10% τηςπροηγούμενης διάστασης κάτοψης ιεθνής Κτιριοδομικός Κανονισμός Μία περισσότερο κατηγοριοποιημένη προσέγγιση μη-κανονικών κτιρίων μπορεί να βρε- ϑεί στον διεθνή κτιριοδομικό κανονισμό [Cou06], ο οποίος σε απόλυτη συμφωνία με το [ASC05] ορίζει τους διάφορους τύπους μη-κανονικότητας των κτιρίων ως εξής: Μη-κανονικότητα λόγω δυσκαμψίας, μαλακός όροφος Η μη-κανονικότητα λόγω δυσκαμψίας εμφανίζεται όταν υπάρχει ένας όροφος στο κτίριο η πλευρική δυσκαμψία του οποίου είναι κατά 70% μικρότερη του υπερκείμενου ή του υποκείμενου ορόφου ή κατά 80% μικρότερη του μέσου όρου των δυσκαμψιών των τριών υπερκείμενων ορόφων. Μη-κανονικότητα λόγω δυσκαμψίας, ακραία μαλακός όροφος Η μη-κανονικότητα λόγω δυσκαμψίας εμφανίζεται όταν υπάρχει ένας όροφος στο κτίριο η πλευρική δυσκαμψία του οποίου είναι κατά 60% μικρότερη του υπερκείμενου ή του υποκείμενου ορόφου ή κατά 70% μικρότερη του μέσου όρου των δυσκαμψιών των τριών υπερκείμενων ορόφων. Κατακόρυφη γεωμετρική μη-κανονικότητα 97

98 7.2 Κατακόρυφη μη-κανονικότητα Η κατακόρυφη γεωμετρική μη-κανονικότητα ϑεωρείται ότι υπάρχει όταν η οριζόντια διάσταση του πλευρικού στατικού συστήματος ενός ορόφου είναι μεγαλύτερη από το 130% του υποκείμενου ή του υπερκείμενου ορόφου. Εντός επιπέδου μη-κανονικότητα Η εντός επιπέδου μη-κανονικότητα ϑεωρείται ότι υπάρχει όταν η απόσταση μεταξύ του πλευρικού στατικού συστήματος ενός ορόφου από το πλευρικό στατικό σύστημα του υποκείμενου ή του υπερκείμενου του είναι μεγαλύτερη από το οριζόντιο μήκος του στατικού συστήματος. Ασυνέχεια σε αντοχή, μαλακός όροφος Ο μαλακός όροφος λόγω αντοχής ϑεωρείται ότι υπάρχει όταν η πλευρική αντοχή ενός ορόφου είναι μικρότερη κατά 80% από την πλευρική αντοχή του υπερκείμενου ορόφου. Ανάλογα με το επίπεδο της μη-κανονικότητας η κάθε κατασκευή εντάσσεται στην ειδική κατηγορία για την οποία ισχύουν αντίστοιχοι συντελεστές υπολογισμού των φορτίων Κατακόρυφη γεωμετρική μη-κανονικότητα μεταλλικών πλαισίων Ολες οι παραπάνω περιπτώσεις μη-κανονικότητας των κτιρίων, ορίζονται με κεντρική αναφορά τα στατικά συστήματα των κτιρίων που καλούνται να παραλάβουν οριζόντιες φορτίσεις όπως σεισμό, άνεμο κτλ. Οι μη-κανονικές κτιριακές δομές επηρεάζουν περισσότερο την απόκριση των κτιρίων σε περιπτώσεις πλευρικών φορτίων παρά κατακόρυφων. Παρ ολα αυτά ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η μελέτη μη-κανονικών κτιρίων σε περίπτωση απώλειας των υποστυλωμάτων τους. Με δεδομένη την προσέγγιση του εναλλακτικού δρόμου για προβλήματα δυσαναλογικής κατάρρευσης, οι συνδυασμοί φόρτισης που περιγράφονται από τους κανονισμούς μέχρι σήμερα περιλαμβάνουν μόνο κατακόρυφα φορτία. Για την περίπτωση κατακόρυφων φορτίων, είναι προφανές ότι η πιο ενδιαφέρουσα περίπτωση κατακόρυφης μη-κανονικότητας είναι η περίπτωση της κατακόρυφης γεωμετρικής μηκανονικότητας. Ειδικά δε για μεταλλικά πλαίσια, ακολουθώντας τον ορισμό της γεωμετρικής μη-κανονικότητας του [Cou06], ένα μεταλλικό πλαίσιο ϑεωρείται μη-κανονικό όταν υπάρχει διαφορά στην οριζόντια διάσταση μεταξύ δύο διαδοχικών ορόφων, λόγω εσοχής, κατά 30%. Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι ιδιαίτερο ενδιαφέρον ϑα παρουσίαζε, σε μελλοντικές επεκτάσεις, η απόκριση μεταλλικών μη-κανονικών πλαισίων και λόγω άλλων αιτιών μηκανονικότητας συμπεριλαμβανομένης της επιβολής πλευρικών φορτίων. Ηδη κάποιοι 98

99 Κεφάλαιο 7. Επιρροή της δομικής μορφολογίας μεταλλικών πλαισίων στην στιβαρότητα και στο φορτίο κατάρρευσης ερευνητές [Ellte], ϑεωρούν ότι η απουσία πλευρικού φορτίου στην μέθοδο του εναλλακτικού δρόμου δεν ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα και ότι κάποιο, έστω μικρό, πλευρικό φορτίο κυρίως λόγω ανέμου πρέπει να εφαρμόζεται στην ανάλυση για δυσαναλογική κατάρρευση. Στην περίπτωση αυτή, η μη-κανονικότητα πλαισίων είναι πολύ πιθανόν να παίζει καταλυτικό ρόλο στην απόκριση των κατασκευών με την επιβολή κάποιας αρχικής βλάβης, όπως ολικής ή μερικής απώλειας υποστυλώματος. Πρέπει ακόμα να επισημανθεί ότι σύμφωνα με τους παραπάνω ορισμούς για την κανονικότητα των πλαισιακών κατασκευών, ακόμη και για τα κανονικά πλαίσια, η ολική ή μερική απώλεια ενός υποστυλώματος έχει ως άμεσο αποτέλεσμα να μεταβάλλει την κατηγοριοποίηση του πλαισίου από κανονικό σε μη κανονικό, αφού καλύπτονται άμεσα κάποιοι από τους όρους που παρουσιάστηκαν παραπάνω. 7.3 Περιγραφή συνόλου μεταλλικών πλαισίων Με βάση τα παραπάνω, στο τρέχον κεφάλαιο μελετάται ένα σύνολο 15 διαφορετικών μεταλλικών πλαισίων τα οποία ανήκουν στην περίπτωση της κατακόρυφης γεωμετρικής μη-κανονικότητας ομική μορφολογία μεταλλικών πλαισίων Τα μεταλλικά πλαίσια που χρησιμοποιήθηκαν παρακάτω είναι επίπεδα και ορθογωνικά με ύψος ορόφων 3μ και πλάτος ανοιγμάτων 5μ. Πρέπει να αναφερθεί ότι οι διαστάσεις αυτές είναι τυπικές διαστάσεις για μεταλλικές κατασκευές. Τα πλαίσια έχουν 4 ανοίγματα και μεταβαλλόμενο αριθμό ορόφων όπως φαίνεται στο σχήμα 7.1. Κάθε πλαίσιο έχει χωριστεί κατακόρυφα σε δύο μέρη. Το πρώτο περιλαμβάνει τα δύο πρώτα ανοίγματα του πλαισίου και το δεύτερο που περιλαμβάνει τα δύο τελευταία ανοίγματα. Ως n S1 και n S2 ορίζεται ο αριθμός των ορόφων που αντιστοιχούν στο πρώτο και στο δεύτερο τμήμα του κάθε πλαισίου, αντίστοιχα. Οι συντελεστές n S2 και n S2 ανήκουν στο παρακάτω σύνολο S. n S1, n S2 S, S {3, 6, 9, 12, 15} Η ανάπτυξη της παραπάνω διατύπωσης φαίνεται στο σχήμα 7.1, όπου παρουσιάζονται τα 15 διαφορετικά πλαίσια τα οποία ϑα αναλυθούν στην συνέχεια. Τα πλαίσια είναι πλαίσια ροπής, έτσι ώστε το πλευρικό στατικό σύστημα να αποτελείται από ο- λόκληρο τον φορέα. Οπως προαναφέρθηκε σχετικά με την κατακόρυφη γεωμετρική μη-κανονικότητα, η μεταβολή της οριζόντιας διάστασης του πλευρικού στατικού συστήματος των πλαισίων είναι μεγαλύτερη από το 30% μεταξύ διαδοχικών ορόφων. Πρέπει 99

100 7.3 Περιγραφή συνόλου μεταλλικών πλαισίων να σημειωθεί ότι για λόγους ποληρότητας και σύγκρισης των αποτελεσμάτων, τα πλαίσια 1, 6, 10, 13, 15 διατηρήθηκαν (βλ. σχ. 7.1). 100

101 Κεφάλαιο 7. Επιρροή της δομικής μορφολογίας μεταλλικών πλαισίων στην στιβαρότητα και στο φορτίο κατάρρευσης Σχήμα 7.1: Μορφολογία των 15 πλαισίων 101