ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Π. ΨΩΝΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2010

2 .

3 Στους γονείς μου

4 .

5 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Αισθάνομαι την ανάγκη να εκφράσω τις ευχαριστίες μου προς όλους όσους βοήθησαν στην εκπόνηση της παρούσας διατριβής και ιδιαίτερα το ρ. κ. Κ. Χατζησάββα για την άψογη συνεργασία. Θερμές ευχαριστίες θα ήθελα να εκφράσω και στα μέλη της επταμελούς εξεταστικής επιτροπής: Καθηγητή κ. Ι. Αντωνίου, Αναπλ. Καθηγητή κ. Ν. Βλάχο, Καθηγητή κ. Γ. Λαζαρίδη και Αναπλ. Καθηγήτρια κα. Ε. Μαυρομάτη-Φούντου, τα οποία με βοήθησαν στην ορθή συγγραφή της παρούσας διατριβής με τις παρατηρήσεις και υποδείξεις τους. Ενα πολύ μεγάλο ευχαριστώ οφείλω στα μέλη της τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής: Καθηγητή κ. Γ. Λαλαζήση και Αναπλ. Καθηγητή κ. Χ. Πάνο για την υποστήριξή τους κατά τη διάρκεια των σπουδών μου και για την πολύτιμη καθοδήγηση στην πραγματοποίηση της παρούσας διατριβής. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω το Λέκτορα κ. Χ. Μουστακίδη που με την υποστήριξη, τη συμπαράσταση, τις συμβουλές και την υπομονή του, κατέστει δυνατή η ολοκλήρωση της διατριβής αυτής. Ιδιαίτερες ευχαριστίες ανήκουν δικαιωματικά στον επιβλέπων Καθηγητή κ. Σ.Μάσεν, πουαπόταφοιτητικάμουακόμαχρόνιαήτανδίπλαμου όποτε τον χρειάστηκα, βοηθώντας, με τις πολλές εύστοχες παρατηρήσεις, υποδείξεις και συμβουλές του, τόσο σε επιστημονικό όσο και κοινωνικό επίπεδο, δίνοντας μου τα απαραίτητα εφόδια για να συνεχίσω την πορεία μουστηζωή. Τέλος, θέλω να ευχαριστήσω τους γονείς μου, Παναγιώτη και Βασιλική Ψώνη και την αδερφή μου Λευκή για τη συνολική και ουσιαστική υποστήριξητουςκαιτηγυναίκαμου, Βαλένα,ηοποίαήτανηδύναμήμουόλο αυτό το χρονικό διάστημα.

6 .

7 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στη διατριβή αυτή γίνεται εφαρμογή τριών πληροφοριακών μεγεθών, της πληροφοριακής εντροπίας κατά Shannon S, της ανισορροπίας D και της πολυπλοκότητας C στην πυρηνική φυσική και στη σκέδαση. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια παρουσίαση των πληροφοριακών μεγεθών που χρησιμοποιήθηκαν. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετήθηκε η πληροφοριακή εντροπία S των πυρήνων στο χώρο των θέσεων και στο χώρο των ορμών καθώς και το άθροισμα αυτών. Η μελέτη έγινε με τη βοήθεια τριών προσεγγίσεων χρησιμοποιώντας φαινομενολογικές κατανομές πυκνότητας και ορμής των πυρήνων που προκύπτουν από πειράματα σκέδασης ηλεκτρονίων και από το CDFM(Coherence Density Fluctuation Model). Βρέθηκε ότι οι πληροφοριακές εντροπίες και στις τρεις προσεγγίσεις εξαρτώνται γραμμικά από το λογάριθμο του μαζικού αριθμού των πυρήνων. Το συμπέρασμα που εξάγεται είναι ότι η αύξηση της ποιότητας των κατανομών της πυκνότητας και της ορμής οδηγεί σε αύξηση του πληροφοριακού αθροίσματος στο χώρο των θέσεων και στο χώρο των ορμών, σύμφωνα με την αρχή της μέγιστης εντροπίας. Στο τρίτο κεφάλαιο ορίστηκε η πληροφοριακή εντροπία των αντιδράσεων (n, A) και (p, A), αναδιατάσσοντας την έκφραση της ολικής ενεργού διατομής και εξετάστηκε η εξάρτηση της από την ενέργεια σκέδασης και το μαζικό αριθμό των πυρήνων. Η ολική ενεργός διατομή της αντίδρασης και οι ολικές ενεργές διατομές των μερικών κυμάτων βρέθηκαν αριθμητικά για διάφορα δυναμικά νουκλεονίου-νουκλεονίου χρησιμοποιώντας τη μέθοδο τουπίνακαgκαιτημέθοδοτουπίνακαμεταφοράςt. Βρέθηκεότιηπληροφοριακή εντροπία εξαρτάται γραμμικά από το λογάριθμο του μαζικού αριθμού A των πυρήνων και από το λογάριθμο της ενέργειας σκέδασης. Επειδή διαπιστώθηκε ότι υπάρχει σύνδεση της πληροφοριακής εντροπίας μετηνακτίνατηςπυρηνικήςύληςτωνπυρήνων,ημελέτηαυτήμπορείνα βοηθήσει στην εξαγωγή πληροφοριών για αυτήν την ακτίνα, για την οποία

8 δεν υπάρχουν πολλά πειραματικά δεδομένα. Στο τέταρτο κεφάλαιο, έγινε μια συστηματική μελέτη της επίδρασης του δυναμικού όρου της ενέργειας συμμετρίας στις ιδιότητες των αστέρων νετρονίων(μάζα, ακτίνα). Για το λόγο αυτό, ο δυναμικός όρος της ενέργειας συμμετρίας παραμετροποιήθηκε με δύο διαφορετικούς τρόπους, με στόχο την επιτυχή αναπαραγωγή αποτελεσμάτων μικροσκοπικών υπολογισμών πυκνής πυρηνικής ύλης. Με τη βοήθεια των προτεινόμενων παραμετροποιήσεων κατασκευάστηκαν οι αντίστοιχες καταστατικές εξισώσεις. Για να υπολογιστεί η μάζα και η ακτίνα ενός αστέρα νετρονίων επιλύθηκαν οι διαφορικές εξισώσεις των Tolman Oppenheimer Volkoff(TOV). Εχοντας υ- πολογίσει τη μάζα και την ακτίνα ενός αστέρα νετρονίων, έγινε μελέτη με βάση το πληροφοριακό περιεχόμενο τους. Τέλος μελετήθηκε η επίδραση της δυναμικής παραμέτρου της ενέργειας συμμετρίας και της βαρυτικής σταθεράς G στην πληροφοριακή εντροπία S και την πολυπλοκότητα C. Στο πέμπτο κεφάλαιο υπολογίστηκαν η πληροφοριακή εντροπία, η ανισορροπία και η πολυπλοκότητα C στο χώρο των ορμών, για ρεαλιστικά συστήματα Fermi, δηλαδή την πυρηνική ύλη, το αέριο ηλεκτρονίων και το υγρό 3 He. Αναλύθηκεηεξάρτησητωνπαραπάνωμεγεθώναπότηνένταση των συσχετίσεων και έγινε σαφές ότι οι παραπάνω ποσότητες μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως μέτρο των συσχετίσεων των σωματιδίων για ένα σύστημα Fermi. Για καλύτερη σύγκριση, χρησιμοποιήθηκε και το χάσμα ασυνέχειας (1 Z F ). Γιατιςίδιεςτιμέςτου (1 Z F )τόσοοιτιμέςόσοκαι η συμπεριφορά των παραπάνω πληροφοριακών μεγεθών ήταν διαφορετικές στα συστήματα Fermi που μελετήθηκαν. Τέλος, μελετήθηκε η εξάρτηση της πολυπλοκότητας C από τη θερμοκρασία στην περίπτωση αερίου ηλεκτρονίων. ΒρέθηκεότιείναιπαρόμοιαμεεκείνητηςειδικήςθερμότηταςC V σε ιδανικό αέριο Fermi, κάτι που δίνει μια ένδειξη ότι μπορεί να γίνει σύνδεση της C με πειραματικά μετρούμενα μεγέθη. Συνοψίζοντας, η διατριβή συμβάλει στην προσπάθεια εύρεσης εφαρμογών της θεωρίας της πληροφορίας και της πολυπλοκότητας σε προβλήματα του μικρόκοσμου και του μεγάκοσμου με τη βοήθεια της Κβαντικής Φυσικής.

9 SUMMARY In this thesis, Shannon information entropy S, disequilibrium D and LMC complexity C, were calculated and applied to nuclear physics and scattering. In the first chapter we presented a short review of various information measures. In the second chapter we studied information entropy S in conjugate position and momentum spaces and their sum for various nuclei. We employed phenomenological density and momentum distributions following three approaches. In allcasesweobtainedtheempiricalpropertys =a+blna,whereaisthemass number. The various cases can be classified either according to the quantity of experimental datausedinourresearchorthevalueofsofthenuclei. In the third chapter, we defined and calculated information entropy S in various (n, A) and(p, A) reactions, by rearranging the expression for the total cross section. ItturnedoutthatSdependslinearlyon lnaandthelogarithmofthescattering energy. That dependence could be useful to extract information for the matter radius of the nuclei, for which there is little experimental data. The fourth chapter contains a systematic study of the impact of the symmetry energy on the properties of neutron stars (mass, radius). For this reason, the dynamic part of the symmetry energy was parameterized in two different ways to successfully reproduce the results of microscopic calculations of dense nuclear matter. Using the proposed configuration we built the corresponding equations of state and solved the Tolman Oppenheimer Volkoff differential equations in order to calculate the mass and radius of a neutron star. Having calculated the massandradius,weperformedastudybasedontheinformationcontentofa neutron star. Finally, we investigated the effect of the dynamic parameter of the symmetry energy and the gravitational constant G on the information entropy S and complexity C. In the fifth chapter we calculated information entropy S, disequilibrium D and complexity C in momentum space for three realistic Fermi systems(nuclear matter, electron gas and liquid helium). We analyzed the dependence of these quantities on the correlation parameter and it became clear that these quantities could

10 be used as a measure of particle correlations in a Fermi system. For better comparison,wealsousedthediscontinuityparameter(1 Z F ).Finally,westudied thedependenceofconthetemperatureofanelectrongas. In summary, this thesis contributes towards information theoretic application to specific problems of the microcosm and macrocosm employing quantum physics.

11 Περιεχόμενα 1 Πληροφοριακά μεγέθη ΠληροφοριακήΕντροπίακατάShannon Ανισορροπία Πολυπλοκότητα Πληροφοριακή εντροπία και συσχετίσεις νουκλεονίων στους πυρήνες Ηπληροφοριακήεντροπίαμιαςδοσμένηςκατανομής CDFM Αριθμητικάαποτελέσματακαιανάλυση Σύγκριση πειραμάτων διαφορετικού εύρους μεταφερόμενηςορμής Η εξάρτηση της πληροφοριακής εντροπίας από το μέσο όγκοενόςπυρήνα Συμπεράσματα Η πληροφοριακή εντροπία των αντιδράσεων (n,a) και (p,a) Στοιχείασκέδασης-πληροφοριακήεντροπία Ηπληροφοριακήεντροπίατωναντιδράσεων (n,a), (p,a) Η εξάρτηση της πληροφοριακής εντροπίας από την ενέργεια Η εξάρτηση της πληροφοριακής εντροπίας από το μαζικόαριθμό

12 3.2.3 Η σύνδεση της πληροφοριακής εντροπίας με την α- κτίνατηςπυρηνικήςύληςτωνπυρήνων Αστέρες νετρονίων και πληροφορία Εισαγωγή Πληροφοριακάμεγέθηκαιαστέρεςνετρονίων Τομαθηματικόπρότυπο ΑποτελέσματαΙ ΑποτελέσματαΙΙ Συμπεράσματα Στατιστικό μέτρο της πολυπλοκότητας και συσχετισμένη συμπεριφορά συστημάτων Fermi Κατανομή της ορμής, πληροφοριακή εντροπία και πολυπλοκότητα Πυρηνικήύλη Αέριοηλεκτρονίων Υγρό 3 He Επίδραση της θερμοκρασίας στην πολυπλοκότητα ενός αερίουηλεκτρονίων Κβαντικήπεριοχή(T T F ) Κλασικήπεριοχή(T T F ) Συμπεράσματα

13 Κεφάλαιο 1 Πληροφοριακά μεγέθη Οι μέθοδοι της θεωρίας της πληροφορίας άρχισαν τα τελευταία χρόνια να βρίσκουν εφαρμογή στη μελέτη κβαντομηχανικών συστημάτων. Ενα παράδειγμα είναι η εφαρμογή της αρχής της μέγιστης εντροπίας[1] για τον υπολογισμό της κυματοσυνάρτησης σε ένα δυναμικό[2] χρησιμοποιώντας ως περιορισμούς τις αναμενόμενες τιμές απλών παρατηρήσιμων μεγεθών και κατασκευάζοντας την κυματοσυνάρτηση με τη βοήθεια ενός περιορισμένου αριθμού αναμενόμενων τιμών των μεγεθών αυτών. Η ιδέα πίσω από την αρχή της μέγιστης εντροπίας είναι να επιλέξουμε το πιο ανεπηρέαστο αποτέλεσμα, το οποίο όμως είναι συμβατό με τους περιορισμούς του προβλήματος μας. Ετσι η αρχή της μέγιστης εντροπίας δίνει την πιο ανεπηρέαστη περιγραφή η οποία όμως συμφωνεί με τη διαθέσιμη σχετική πληροφορία. Αυτό επιτυγχάνεται με την εφαρμογή μιας κατάλληλα ορισμένης πληροφοριακής εντροπίας, η οποία υπολογίζει την έλλειψη πληροφορίας που σχετίζεται με την κατανομή μιας κβαντικής κατάστασης. Στη διατριβή αυτή θα χρησιμοποιηθούν τρία πληροφοριακά μεγέθη. Η πληροφοριακή εντροπία κατά Shannon S, η ανισορροπία D(disequilibrium) καιηπολυπλοκότηταc LMC πουεισήγαγανοιlópez Ruiz, CalbetκαιMancini(LMC). Τα μεγέθη αυτά θα εφαρμοστούν σε μια σειρά από πυρηνικά συστήματα με σκοπό την καλύτερη κατανόηση τους. 3

14 1.1 Πληροφοριακή Εντροπία κατά Shannon Για μια διακριτή κατανομή η πληροφοριακή εντροπία κατά Shannon [3] ορίζεται ως εξής S = N i=1 p i lnp i, N i=1 p i =1 (1.1) Η πληροφοριακή εντροπία κατά Shannon μετριέται σε nats εφόσον χρησιμοποιηθεί ο φυσικός λογάριθμος log e = ln, ενώ σε bits αν στον ορισμό χρησιμοποιηθεί οδυαδικόςλογάριθμος log 2 = log. Γιαμιαδιακριτήκατανομήπιθανοτήτων {p i } = {p 1,p 2,...,p N },ηπληροφοριακήεντροπίαsείναι ελάχιστη (S min =0)γιατηνκατανομήενόςσυστήματος,όπουμίααπότις πιθανότητεςp i γίνεταιίσημετηνμονάδαενώοιυπόλοιπεςμηδενίζονται. Ημέγιστητιμή (S max = lnn)επιτυγχάνεταιγιαμιαομοιόμορφηκατανομή πιθανοτήτων,όπουp i =1/N,i =1,...,N. Για μια συνεχή κατανομή πιθανοτήτων p(x), κανονικοποιημένη στη μονάδα ( p(x)dx =1), η πληροφοριακή εντροπία κατά Shannon παίρνει τη μορφή S = p(x) ln p(x)dx. (1.2) Η πληροφοριακή εντροπία κατά Shannon παίζει σημαντικό ρόλο στη μελέτη κβαντομηχανικών συστημάτων, βοηθώντας στην επεξήγηση βασικών αρχών της κβαντικής μηχανικής και στη σύνθεση πυκνοτήτων πιθανότητας στο χώρο των θέσεων και στο χώρο των ορμών[4]-[16]. Ενα σημαντικό βήμα είναι η δημιουργία μιας εντροπικής σχέσης αβεβαιότητας[4]. Στις τρεις διαστάσεις η σχέση αυτή παίρνει τη μορφή όπου S =S r +S k 3(1+lnπ) (k =p/ ), (1.3) S r = ρ(r)lnρ(r)dr, S k = n(k) ln n(k)dk, (1.4) είναι οι πληροφοριακές εντροπίες κατά Shannon στο χώρο των θέσεων και στο χώρο των ορμών και ρ(r) και n(k) οι κανονικοποιημένες στη μονάδα κατανομές της πυκνότητας και της ορμής αντιστοίχως. 4

15 Η ανισότητα(1.3) είναι μια θεωρητική σχέση αβεβαιότητας πιο ισχυρή από την αρχή αβεβαιότητας του Heisenberg[4] και είναι ανεξάρτητη των μονάδων μέτρησης κατά τον υπολογισμό των ρ(r) και n(k). Για παράδειγματοάθροισμαs =S r +S k παραμένειαναλλοίωτοσεμετασχηματισμό κλίμακαςτωνσυντεταγμένωνενώοιεντροπίεςs r καιs k μεταβάλλονται. Η φυσική σημασία της S είναι ότι αποτελεί ένα μέτρο της κβαντομηχανικής αβεβαιότητας και αναπαριστά το πληροφοριακό περιεχόμενο μιας κατανομής πιθανοτήτων που στην περίπτωση μας είναι οι πυρηνικές κατανομές πυκνότητας και ορμής. Η ανισότητα(1.3) δίνει και το ελάχιστο όριο για την S που αντιστοιχεί στη γκαουσιανή κατανομή. Όπως λέει και ο March Χρειάζεται περαιτέρω δουλειά για να μπορέσει ναεκτιμηθείησημασίατωνs r καιs k στηνατομικήθεωρία [17,18]. Η πρόταση αυτή μπορεί να επεκταθεί εν γένει για τα φερμιονικά συστήματα και τα συζευγμένα μποζονικά συστήματα. ΗπληροφοριακήεντροπίακατάShannon,S r καιs k,έχειμελετηθείπρόσφατα για πυκνότητες διαφόρων συστημάτων[9, 11, 12], όπως είναι η κατανομή πυκνότητας νουκλεονίων σε πυρήνες, ηλεκτρονίων σθένους σε μεταλλικά συσσωματώματα και συσχετισμένων μποζονίων σε αλκαλικά ά- τομα. Βρέθηκε ότι η ίδια συναρτησιακή σχέση S =a+blna, όπου το άθροισμα της εντροπίας είναι συνάρτηση του μαζικού αριθμού A, ισχύει για τα παραπάνω συστήματα και είναι σε συμφωνία με τα ατομικά συστήματα της αναφοράς[5]. Στις αναφορές[14, 15] βρέθηκε η εξάρτηση της S από την παράμετρο συσχετίσεων μικρής εμβέλειας(short range correlations ή SRC) των νουκλεονίων σε ένα πυρήνα και από την αλληλεπίδραση σωματιδίων σε διάφορα ομογενή συστήματα φερμιονίων(πυρηνική ύλη, υ- γρό 4 Heκαιαέριοηλεκτρονίων). Ηεξάρτησηαυτήκαθώςκαιηγραμμική εξάρτηση της S από το λογάριθμο του μαζικού αριθμού χρησιμοποιήθηκε στην αναφορά [14] για τον προσδιορισμό της παραμέτρου των SRC των πυρήνων σε s, p, και sd φλοιούς στην περίπτωση που δεν υπάρχουν 5

16 πειραματικά δεδομένα. 1.2 Ανισορροπία Την ανισορροπία εισήγαγε ο Onicescu[20] ως ένα πιο ευαίσθητο μέτρο της διασποράς των κατανομών σε σχέση με την πληροφοριακή εντροπία S του Shannon. Η ανισορροπία D για μια συνεχή κατανομή πιθανοτήτων p(x), κανονικοποιημένηστημονάδα( p(x)dx =1),ορίζεταιωςεξής D(p) = p 2 (x)dx. (1.5) Στην περίπτωση διακριτής κατανομής η ανισορροπία γράφεται D = N i=1 (1/N p i ) 2 (1.6) καιγίνεταιμέγιστηd max =1 1/N 1γιαένασύστημαόπουμίααπότις πιθανότητεςp i γίνεταιίσημετημονάδαενώόλεςοιυπόλοιπεςμηδενίζονται καιελάχιστηd min =0γιαμιαομοιόμορφηκατανομή. Η(1.5)γράφεταιστοχώροτωνθέσεωνκαιτοχώροτωνορμών,ως εξής D r = ρ 2 (r)4πr 2 dr (1.7) και D k = n 2 (k)4πk 2 dk. (1.8) όπου ρ(r) και n(k) οι κανονικοποιημένες στη μονάδα κατανομές της πυκνότητας και της ορμής αντιστοίχως. Η D r (1.7) έχει διαστάσεις αντίστροφου όγκου, ενώ η D k (1.8) έχει διαστάσειςόγκου. ΕπομένωςτογινόμενοD r D k είναιαδιάστατο. 6

17 1.3 Πολυπλοκότητα ΤοστατιστικόμέτροτηςπολυπλοκότηταςC LMC,πουεισήγαγανοιLópez Ruiz, Calbet και Mancini (LMC)[21], ορίζεται ως το γινόμενο της πληροφοριακής εντροπίας S ή της πληροφορίας που είναι αποθηκευμένη σε ένα σύστημα επί την απόσταση της κατανομής πιθανοτήτων από την κατάσταση ισορροπίας. Εχουν προταθεί αρκετοί ορισμοί της πολυπλοκότητας ως δείκτες της πολύπλοκης συμπεριφοράς διάφορων συστημάτων, οι οποίοι, ως επί το πλείστον, προέρχονται από τη φυσική και κυρίως τις υπολογιστικέςεπιστήμες. ΤομέτροC LMC τηςστατιστικήςπολυπλοκότηταςμπορείνα υπολογιστεί σχετικά εύκολα(σε σύγκριση με τους άλλους ορισμούς όπως του Kolmogorov), και ορίζεται με τη σχέση C LMC =SD (1.9) συνδυάζοντας την πληροφοριακή εντροπία S και την ανισορροπία D. Η πολυπλοκότηταc LMC παρουσιάζεικάποιαδιαισθητικάαναμενόμεναχαρακτηριστικά, αφού μηδενίζεται εντελώς στις δύο ακραίες περιπτώσεις, του τέλειου κρυστάλλου(απόλυτη τάξη) και του ιδανικού αερίου(απόλυτη α- ταξία). Ο αρχικός ορισμός της C LMC έχει ελαφρώς τροποποιηθεί με τον κατάλληλο τρόπο από τους Catalan et al[22], φτάνοντας έτσι στη μορφή C = e S D =HD, (1.10) η οποία εφαρμόζεται σε συστήματα που περιγράφονται είτε με διακριτή είτε με συνεχή κατανομή πιθανότητας. Αποδείχθηκε ότι τα αποτελέσματα και στις δύο περιπτώσεις παρουσιάζουν την ίδια συμπεριφορά: Ακραίες τιμές της C παρατηρήθηκαν για κατανομές που χαρακτηρίζονται από ένα έντονο μέγιστο που βρίσκεται σε ένα ομογενές υπόβαθρο. Επιπλέον, η C ελαττώνεται, όταν το σύστημα φτάνει σε ισορροπία και η ελάχιστη τιμή της C επιτυγχάνεται για ομοιόμορφη κατανομή πιθανοτήτων με τιμή C = 1. Τέλος, η C δεν είναι άνω φραγμένη με αποτέλεσμα να μπορεί να γίνει απείρως μεγάλη. 7

18 ΗπολυπλοκότηταC LMC αναφέρεταιστηβιβλιογραφίαωςπολυπλοκότητα σχήματος(shape complexity), δεδομένου ότι οι τιμές της είναι ανάλογες του πόσο σύνθετη είναι η κυματομορφή της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας. Η πρώτη έρευνα της C LMC σε κβαντικά συστήματα πολλών σωμάτων έγινε στα άτομα, σε συνεχείς[25]-[28] και διακριτές κατανομές [29]. Ενας εναλλακτικός ορισμός της πολυπλοκότητας είναι το μέτρο SDL (Shiner,Davison,Landsberg) Γ αβ [23],πουορίζεταικαιυπολογίζεταιμεένα ανάλογοτρόποόπωςκαιηc LMC. Σεγενικέςγραμμές,εάνκάποιοςμεταβάλει κάποιες από τις παραμέτρους του συστήματος ή εισάγει συσχετίσεις και αυτό οδηγεί σε αύξηση του χρησιμοποιούμενου μέτρου της πολυπλοκότητας, τότε θα μπορούσε να υποστηριχθεί ότι το μέτρο αυτό περιγράφει σωστά την πολυπλοκότητα του συστήματος[25]-[28]. ΗτροποποιημένηεκδοχήC = e S Dτηςπολυπλοκότητας,πληρείορισμένα πρόσθετα και επιθυμητά μαθηματικά χαρακτηριστικά, όπως η θετικότητα και η διατήρηση σε μετασχηματισμούς μεταφοράς(translations), μετατοπίσεις κλίμακας(rescaling transformations) και αναπαραγωγή(replication). Η χρησιμότητα αυτής της βελτιωμένης έκδοσης έχει αποδειχθεί σε πολλούς τομείς [24]-[40]. Επιπλέον, το μέγεθος αυτό είναι κατάλληλα προσαρμοσμένο για τα συστήματα κβαντικής μηχανικής, τα οποία περιγράφονται από την ίδια τους τη φύση με τη βοήθεια πιθανοτήτων, μέσω της πυκνότητας πιθανότηταςστοχώροτωνθέσεωνκαιστοχώροτωνορμών. 8

19 Κεφάλαιο 2 Πληροφοριακή εντροπία και συσχετίσεις νουκλεονίων στους πυρήνες Το κίνητρο για την παρούσα μελέτη[41] είναι να επεκταθούν οι προηγούμενες εργασίες που έχουν γίνει στη μελέτη της πληροφοριακής εντροπίας στους πυρήνες, χρησιμοποιώντας όσο το δυνατόν περισσότερα πειραματικά δεδομένα υπάρχουν στη βιβλιογραφία. Με τον τρόπο αυτό είναι δυνατό να μελετηθούν σημαντικές ιδιότητες πυρηνικών συστημάτων, για παράδειγμα η επίδραση των συσχετίσεων μεταξύ των νουκλεονίων στους πυρήνες και βασικά πυρηνικά χαρακτηριστικά όπως οι κατανομές της πυκνότητας και τηςορμήςτωννουκλεονίων.γιατολόγοαυτόαντίναγίνειημελέτημεένα συγκεκριμένο πυρηνικό δυναμικό, ξεκινήσαμε από πειραματικές κατανομές πυκνότητας πιθανότητας που είναι γνωστές από σκέδαση ηλεκτρονίων από πυρήνες και μιονικά άτομα[42, 43]. Η μελέτη μπορεί να ξεκινήσει επίσης χρησιμοποιώντας πειραματικές εκτιμήσεις της κατανομής των νουκλεονίων [44, 45] από superscaling ανάλυση σκέδασης ηλεκτρονίων[46] που βασίζεται στο πρότυπο διακύμανσης της πυκνότητας συνοχής(coherence Density Fluctuation Model CDFM)[47, 48, 49, 50]. Το πρότυπο αυτό παρέχει 9

20 επίσης τη δυνατότητα υπολογισμού της κατανομής της πυκνότητας από την κατανομή της ορμής και αντιστρόφως. Η μελέτη αυτή μπορεί να βοηθήσει με διαφόρους τρόπους: Πρώτον, στο να χαρακτηριστεί η εμπειρική σχέση S =a+blna, (2.1) όπουaοαριθμόςτωνφερμιονίων,πουβρέθηκεστιςαναφορές[5,9,11,12] ότι ισχύει για φερμιονικά συστήματα ως ανεξάρτητη του προτύπου αφού θα έχει επαληθευθεί με τη χρήση διαφόρων μεθόδων και προτύπων. Επιπλέον να ενισχύσει το συμπέρασμα της αναφοράς[10], σύμφωνα με την οποία όσο περισσότερα πειραματικά δεδομένα χρησιμοποιήσουμε σε μια θεωρία, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της πληροφοριακής εντροπίας. ηλαδή όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της πληροφοριακής εντροπίας τόσο καλύτερη είναι η ποιότητα της κατανομής της πυκνότητας και της ορμής των νουκλεονίων. Στις πέντε μεθόδους-πρότυπα που χρησιμοποιήθηκαν σε διάφορους πυρήνες απότο 4 Heμέχριτο 238 Uβρέθηκεότιισχύειηίδιασυναρτησιακήεξάρτηση γιατηνs,ενώοιτιμέςτωνπαραμέτρωνaκαιbεξαρτώνταιαπότημέθοδο. Τα αποτελέσματα με το πρότυπο του αρμονικού ταλαντωτή[9] είναι πιο κοντά στο κατώτερο όριο της ανισότητας(1.3) που λαμβάνεται μόνογιατονπυρήνα 4 He. Τααποτελέσματατωνάλλωνπιορεαλιστικών προτύπων αποκλίνουν αρκετά από αυτά του αρμονικού ταλαντωτή. Η διαφορά αυτή μεγαλώνει στα πρότυπα που γίνεται χρήση περισσότερων πειραματικών δεδομένων. ηλαδή οι διάφορες περιπτώσεις που εξετάστηκαν μπορούν να ταξινομηθούν ανάλογα με την ποσότητα των πειραματικών δεδομένων που χρησιμοποιήθηκαν ή ανάλογα με τις τιμές της S. Ετσι μπορούμε να ισχυριστούμε ότι οι ρεαλιστικότερες κατανομές της πυκνότητας και της ορμής οδηγούν σε μεγαλύτερες τιμές της S. Επειδή οι κατανομές της πυκνότητας και της ορμής που βασίζονται σε πολλά πειραματικά δεδομένα θεωρούνται πιο ρεαλιστικές, τα αποτελέσματα είναι σε συμφωνία με την αρχή της μέγιστης εντροπίας. Ενα άλλο χαρακτηριστικό των αποτελεσμάτωνείναιότιοιευθείεςs model =a model +b model lnaείναιπερίπουπαράλληλες 10

21 μεταξύ τους, δηλαδή υπάρχει ένα είδος κλιμάκωσης (scaling) μεταξύ των τιμώντηςsγιαταδιάφοραπρότυπαπουκαθορίζεταιαπότιςτιμέςτης παραμέτρουa model. εύτερον, επιτυγχάνεται η σύνδεση της πληροφοριακή εντροπίας με άλλες φυσικές ποσότητες όπως τη μέση τετραγωνική ακτίνα(rms) ενός πυρήναήτομέσοόγκοστονοποίοεντοπίζονταιτανουκλεόνιασεέναπυρήνα. Τέλος η παρούσα μεθοδολογία μπορεί να βοηθήσει στην επιλογή της πιο αξιόπιστης ανάλυσης διαφόρων πειραμάτων σκέδασης ηλεκτρονίων από τον ίδιο πυρήνα. 2.1 Η πληροφοριακή εντροπία μιας δοσμένης κατανομής Όπως αναφέρθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, για τον υπολογισμό της πληροφοριακής εντροπίας των πυρήνων πρέπει να είναι γνωστές οι κατανομές της πυκνότητας και της ορμής των νουκλεονίων. Οι κατανομές αυτές μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια διαφόρων προτύπων. Ενας εναλλακτικός τρόπος είναι η χρησιμοποίηση φαινομενολογικών κατανομών πυκνότητας και κατανομών της ορμής των νουκλεονίων. Στη βιβλιογραφία υπάρχουν φαινομενολογικές κατανομές πυκνότητας α- πό την ανάλυση πειραμάτων σκέδασης ηλεκτρονίων από πυρήνες και τη μελέτη μιονικών ατόμων [42, 43]. Για μερικούς πυρήνες υπάρχουν φαινομενολογικές κατανομές της ορμής των νουκλεονίων που βασίζονται τόσο στην superscaling ανάλυση πειραμάτων σκέδασης ηλεκτρονίων από πυρήνες [44,45,46], όσοκαιστοcdfm.επειδήτοπρότυποαυτόβοηθάει και στην εύρεση της κατανομής της ορμής από την κατανομή της πυκνότητας και αντίστροφα θα γίνει μια σύντομη παρουσίαση του. 11

22 2.1.1 CDFM Το CDFM[47, 48, 49, 50] συνδέεται τη μέθοδο των γεννητριών συντεταγμένων(generator coordinate method GCM), στην οποία η κυματοσυνάρτηση των A νουκλεονίων ενός πυρήνα γράφεται με τη μορφή Ψ(r 1,r 2,...,r A ) = F(x 1,x 2,...)Φ(r 1,r 2,...,r A ;x 1,x 2,...)dx 1 dx 2..., (2.2) όπουησυνάρτηση Φ({r i };x 1,x 2,...)εξαρτάταιαπότιςσυντεταγμένεςτων νουκλεονίων(διανύσματα θέσης, σπιν και ισοσπίν) και από τις γεννήτριες συντεταγμένεςx 1,x 2,...καιμιασυνάρτησηβάρουςF(x 1,x 2,...). Η Φεκλέγεται ως η ορίζουσα Slater κυματοσυναρτήσεων ανεξάρτητων σωματιδίων, που προκύπτει από ένα μονοσωματιδιακό δυναμικό που εξαρτάται από έναναριθμόπαραμέτρωνx 1,x 2,...(όπωςτομέγεθος,τοσχήμακ.λ.π),τις γεννήτριες συντεταγμένες. Η κυματοσυνάρτηση(2.2) μπορεί να εκφραστεί ως μια επαλληλία οριζουσών Slater και επομένως περιγράφει τον πυρήνα πέρα από την προσέγγιση μέσου πεδίου. ΗσυνάρτησηβάρουςF(x 1,x 2,...)μπορείναπροσδιοριστείμετηβοήθεια της αρχής των μεταβολών. Με τη βοήθεια της(2.2) το συναρτησοειδές της ενέργειας E[Ψ] = Ψ H Ψ Ψ Ψ, (2.3) όπου H ο τελεστής του Hamilton του συστήματος, γίνεται συναρτησοειδές τηςσυνάρτησηςβάρουςfπουπρέπειναεκλεγείέτσιώστεναισχύει δe =0. (2.4) Η εξίσωση(2.4) οδηγεί στην ολοκληρωτική εξίσωση της συνάρτησης βάρους [H(x,x ) EI(x,x )]F(x )dx =0, (2.5) όπου 12

23 H(x,x ) = Φ({r i },x) Ĥ Φ({r i},x ), (2.6) I(x,x ) = Φ({r i },x) Φ({r i },x ) (2.7) καιxτοσύνολοτωνπαραμέτρωνx 1,x 2,... Το CDFM εισάγεται χρησιμοποιώντας την κύρια υπόθεση του GCM για την κυματοσυνάρτηση των A-νουκλεονίων(2.2) και την προσέγγιση με τη συνάρτηση δ του ολοκληρώματος επικάλυψης(2.7) και του ολοκληρώματος της ενέργειας(2.6) όπου και I(x,x ) δ(x x ), (2.8) H(x,x ) 2 δ 2m (x x )+δ(x x )V ( x+x ), (2.9) eff 2 m eff = 2 / V(x) = Φ({r i },x) Ĥ Φ({r i},x) (2.10) Φ({r i },x) Ĥ E Φ({r i},x ) (x x) 2 dx (2.11) Η προσέγγιση της συνάρτησης δ (σχέσεις (2.8) και (2.9)) σχετίζεται με το γεγονός ότι για ένα πολυ-φερμιονικό σύστημα όπως οι πυρήνες, τα I(x,x )και H(x,x )έχουνέναμεγάλομέγιστογιαx =x. Αν η δοκιμαστική κυματοσυνάρτηση (2.2) είναι κανονικοποιημένη στο μαζικό αριθμό A, οπότε για τη συνάρτηση βάρους ισχύει η συνθήκη 0 F(x) 2 dx =1, (2.12) προκύπτει ότι η προσέγγιση με τη συνάρτηση δ οδηγεί στη σχέση Φ ({r i },x )Φ({r i },x)dr 1...dr A =Aδ(x x ). (2.13) 13

24 Οι σχέσεις(2.12) και(2.13) βοηθούν να θεωρηθεί η παρακάτω προσέγγιση στην περίπτωση ενός πολυ-φερμιονικού συστήματος Φ (r,r 2,...,r A,x)Φ(r,r 2,...,r A,x )dr 2...dr A ρ x (r,r )δ(x x ), (2.14) όπουρ x (r,r )οπίνακαςπυκνότηταςενόςσωματιδίουπουαντιστοιχείστην κυματοσυνάρτηση Φ({r i },x). Σημειώνεταιότιηολοκλήρωσητης(2.14)ωςπρος rγια r = rοδηγεί σεμιασχέσητηςμορφής(2.13). ηλαδήηκύριαπροσέγγισητουcdfm πουείναιησχέση(2.14)σχετίζεταιμετοgcmστηνπροσέγγισημετη συνάρτηση δ. Ανθεωρηθείότιηκυματοσυνάρτηση Φ({r i },x)περιγράφειένασύστημα με ομοιόμορφη κατανομή ρ x (r) =ρ x (r,r) =ρ 0 (x)θ(x r ), (2.15) όπου ρ 0 (x) = 3A 4πx 3 και η γεννήτρια συντεταγμένη x είναι η ακτίνα μιας σφαίρας που περιέχει τα A νουκλεόνια, ομοιόμορφα κατανεμημένα σε αυτήν, ένα τέτοιο σύστημα περιγράφεται με πίνακα πυκνότητας της μορφής ρ x (r,r ) =3ρ 0 (x) j 1(k F (x) r r ) k F (x) r r ( r+r Θ x 2 ), (2.16) όπουj 1 είναιησφαιρικήσυνάρτησηbesselπρώτηςτάξηςκαιk F (x)είναιη ορμήfermiτηςπυρηνικήςύληςμεακτίναx k F (x) = ( 3π 2 2 ρ ) 1/3 a 0(x) = x, a ( = 9πA) 1/3. 8 Με τη βοήθεια των σχέσεων(2.2) και(2.14) ο πίνακας πυκνότητας ενός σώματοςσφαιρικώντμημάτωνπυρηνικήςύληςμεπυκνότηταρ 0 (x)γράφεται ως εξής ρ(r,r ) = F(x) 2 ρ x (r,r )dx, (2.17) 0 14

25 όπουηρ x (r,r )δίνεταιαπότην(2.16). Τελικάοιεκφράσειςτηςκατανομής της πυκνότητας και της κατανομής της ορμής, που είναι ο μετασχηματισμός Fourier του πίνακα πυκνότητας ενός σωματιδίου, παίρνουν τη μορφή 3A ρ(r) = 0 4πx 3 F(x) 2 Θ(x r )dx (2.18) και n(k) = 4 4πx 3 (2π) F(x) 2 Θ(k F (x) k )dx, (2.19) όπου και οι δύο είναι κανονικοποιημένες στο μαζικό αριθμό Α. Στην περίπτωση που η κατανομή της πυκνότητας είναι μια μονότονα φθίνουσα συνάρτηση(dρ/dr 0)απότησχέση(2.18)οδηγούμαστεσεμιασχέση της συνάρτησης βάρους F(x) και της κατανομής της πυκνότητας F(x) 2 = 1 ρ 0 (x) dρ dr r=x. (2.20) Αντικαθιστώντας την F(x) 2 από την εξίσωση (2.20) στην (2.19), η κατανομή της ορμής παίρνει την μορφή n(k) = 8 [ α/k 6 r 9πA 5 ρ(r)dr ( α) 6ρ ( α) ], (2.21) 0 k k που είναι κανονικοποιημένη στο μαζικό αριθμό A. Επομένως με τη βοήθεια του CDFM μπορεί να βρεθεί μια προσεγγιστική έκφραση της κατανομής της ορμής των νουκλεονίων όταν είναι γνωστή η κατανομή της πυκνότητας και στη συνέχεια να υπολογιστούν οι πληροφοριακές εντροπίες S r = ρ(r)lnρ(r)dr, S k = n(k) ln n(k)dk (2.22) καιτοάθροισμάτουςs =S r +S k. Στιςπαραπάνωσχέσειςοικατανομέςτης πυκνότητας και της ορμής είναι κανονικοποιημένες στη μονάδα. Σημειώνεται ότι επειδή υπάρχουν φαινομενολογικές κατανομές της πυκνότητας για πάρα πολλούς πυρήνες[42], η παραπάνω μέθοδος μπορεί ναχρησιμοποιηθείγιαμιασυστηματικήμελέτητωνs r,s k καιsγιαένα μεγάλο εύρος τιμών του μαζικού αριθμού A. 15

26 Η ίδια μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση της κατανομής της πυκνότητας, αν είναι γνωστή η κατανομή της ορμής των νουκλεονίων. Η πειραματική κατανομήτηςορμήςτωννουκλεονίωντωνπυρήνων 4 He, 12 C, 27 Al, 56 Fe,και 197 Auέχειβρεθείσχετικάπρόσφαταστηναναφορά[45] χρησιμοποιώντας την ανάλυση του φαινομένου superscaling των Donnelly και Sick[46]. Χρησιμοποιώντας το CDFM η κατανομή της ορμής σχετίζεται με τη συνάρτησητηςψ scaling,f(ψ ),μέσωτηςσχέσης[45] n(k) = 1 f(ψ ) 3πk 2 k F ( ψ ). (2.23) ψ =k/k F Από την πειραματική κατανομή n(k) μπορεί να υπολογιστεί η συνάρτηση βάρους F(x) F(x) 2 = 1 dn n 0 (x) dk, (2.24) k=x όπουn 0 (x) = 4πx 3A καιηn(k)ικανοποιείτονπεριορισμό dn 3 dk 0. Ηαντικατάστασητης F(x) 2 απότηνεξίσωση(2.24)στην(2.18),δίνει την κατανομή της πυκνότητας ρ(r) = 8 9πA [ α/r 6 k 5 n(k)dk 0 ( α r ) 6n ( α) ]. (2.25) r Επομένως χρησιμοποιώντας την ανάλυση του φαινομένου superscaling μπορεί να βρεθεί η πειραματική κατανομή της ορμής και με τη βοήθεια του CDFM η κατανομή της πυκνότητας. 2.2 Αριθμητικά αποτελέσματα και ανάλυση Στηριζόμενοι στην ανάλυση του προηγούμενου εδαφίου υπολογίστηκαν οι πληροφοριακέςεντροπίεςs r,s k καιsδιάφορωνπυρήνωνχρησιμοποιώντας τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις. Τα αποτελέσματα αυτά συγκρίνονται με τα αντίστοιχα που λαμβάνονται όταν χρησιμοποιούνται κατανομές της 16

27 πυκνότητας και της ορμής με το πρότυπο του αρμονικού ταλαντωτή και όταν εισάγονται συσχετίσεις μικρής εμβέλειας. Στην πρώτη προσέγγιση χρησιμοποιήθηκαν φαινομενολογικές κατανομές τηςπυκνότηταςγιαδιάφορουςπυρήνεςαπό 4 Heμέχρι 238 Uαπότιςαναφορές[42, 43]. Από τις διάφορες κατανομές πυκνότητας που υπάρχουν στη βιβλιογραφία συμπεριλήφθηκαν μόνο κατανομές Fermi με δύο ή τρεις παραμέτρους(2pf, 3pF) από την αναφορά[42] ρ(r) =ρ 0 1+wr 2 /c 2 1+exp[(r c)/α] (2.26) με w = 0 στις 2pF κατανομές. Επίσης χρησιμοποιήσαμε τις συμμετρικές κατανομές Fermi από την αναφορά[43] ρ(r) =ρ 0 sinh(c/α) cosh(r/α)+cosh(c/α). (2.27) Ο λόγος που αποφύγαμε άλλες φαινομενολογικές κατανομές είναι ότι εμφανίζονται συνήθως ταλαντώσεις στην κεντρική περιοχή της πυκνότητας τουπυρήναμεαποτέλεσμαναμηνισχύειοπεριορισμόςdρ/dr 0. Αυτό δεν συμβαίνει με τις κατανομές Fermi. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, ο περιορισμός αυτός είναι αναγκαίος για να εξαχθεί η κατανομή της ορμής από την κατανομή της πυκνότητας με τη βοήθεια του CDFM. Από τις κατανομές αυτές και την εξίσωση(2.21) υπολογίστηκαν οι κατανομές των ορμών των ίδιων πυρήνων και στη συνέχεια οι πληροφοριακές εντροπίες S r,s k καιsαπότιςσχέσεις(2.22). ΟιτιμέςτωνS r,s k καιsφαίνονται στο σχήμα(2.1). Στη δεύτερη προσέγγιση χρησιμοποιήθηκαν οι πειραματικές τιμές της κατανομήςτηςορμήςγιατουςπυρήνες 4 He, 12 C, 27 Al, 56 Fe,και 197 Au[45] και με τη βοήθεια της σχέσης(2.25) οι αντίστοιχες κατανομές της πυκνότητας. Χρησιμοποιώντας στη συνέχεια τις σχέσεις(2.22) υπολογίστηκαν οι πληροφοριακές εντροπίες που φαίνονται στο σχήμα(2.1). 17

28 12 (a) (b) S Approach 1 Approach 2 Approach 3 SRC HO Sr 7 Approach 1 Approach 2 Approach 3 SRC HO S= ln A ln A 4,5 (c) Sk 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 Approach 1 Approach 2 Approach 3 SRC HO ln A Σχήμα 2.1: Η πληροφορική εντροπίασεnats:(a)s =S r +S k, (b)s r και(c)s k γιαδιάφορους πυρήνες σε συνάρτηση του φυσικού λογαρίθμου του μαζικού αριθμού A. Οι γραμμές αντιστοιχούν στις ευθείες ελαχίστωντετραγώνωνs =a+blna καιs r,k =a rk +b r,k lnaαντίστοιχα. Στοσχήμα(a)φαίνεταιεπίσης το κατώτατο όριο S = 6.434(Γκαουσιανή). 18

29 Στην τρίτη προσέγγιση χρησιμοποιήθηκαν οι φαινομενολογικές κατανομέςτηςπυκνότηταςγιατουςπυρήνες 4 He, 12 C, 27 Al, 56 Fe,και 197 Auόπως στην πρώτη προσέγγιση και οι αντίστοιχες κατανομές της ορμής όπως στη δεύτερηπροσέγγιση. ΜετιςκατανομέςαυτέςυπολογίστηκανταS r,s k και S που φαίνονται στο σχήμα(2.1). ΑπότιςτιμέςτουπληροφοριακούαθροίσματοςS =S r +S k πουυπολογίστηκαν με τις τρεις προσεγγίσεις και φαίνονται στο σχήμα(2.1) βγαίνει το συμπέρασμα ότι υπάρχει μία γραμμική εξάρτηση της S από το λογάριθμο του μαζικού αριθμού Α των πυρήνων S =S r +S k =a+blna. (2.28) ΗίδιασχέσηισχύειγιατιςεπιμέρουςπληροφοριακέςεντροπίεςS r καιs k S r,k =a r,k +b r,k lna. (2.29) Πίνακας2.1: Οιτιμέςτωνπαραμέτρωνa,b,a r,k,b r,k,a V,καιb V τωνεξισώσεων (2.28),(2.29), και(2.30) για τις διάφορες περιπτώσεις. Περίπτωση a b a r b r HO SRC Προσέγγιση Προσέγγιση Προσέγγιση Περίπτωση a k b k a V b V HO SRC Προσέγγιση Προσέγγιση Προσέγγιση

30 Οιπαράμετροιa, bκαιa r,k, b r,k τωνγραμμικώνσχέσεωνβρέθηκανμε τη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων μεταξύ των τιμών που μας δίνουν οι εξισώσεις(2.28) και(2.29) και των αντίστοιχων τιμών που προέκυψαν από τις τρεις προσεγγίσεις. Οι βέλτιστες τιμές των παραμέτρων αυτών φαίνονται στον πίνακα(2.1) ενώ οι αντίστοιχες γραμμές στο σχήμα(2.1). Για να υπάρχει μια πιο ολοκληρωμένη εικόνα, παρατίθενται στον πίνακα (2.1)οιαντίστοιχεςτιμέςτωνπαραμέτρωνaκαιbκαιστοσχήμα(2.1)οι αντίστοιχες καμπύλες των γραμμικών σχέσεων(2.28) και(2.29) για την περίπτωση του προτύπου του αρμονικού ταλαντωτή και των συσχετισμένων πινάκων πυκνότητας ενός σωματιδίου[19]. Σε όλες τις περιπτώσεις οι κατανομές της πυκνότητας και της ορμής είναι κανονικοποιημένες στη μονάδα. Οι διάφορες περιπτώσεις που εξετάστηκαν μπορούν να ταξινομηθούν με βάση την ποσότητα των πειραματικών δεδομένων που χρησιμοποιήθηκαν ήμετηντιμήτηςπληροφοριακήςεντροπίαςs =S r +S k πουυπολογίστηκε. Στο πρότυπο του αρμονικού ταλαντωτή υπάρχει μία ελεύθερη παράμετρος, που μπορεί να υπολογισθεί ή με την απαίτηση η υπολογιζόμενη μέση τετραγωνική ακτίνα του φορτίου να συμπίπτει με την αντίστοιχη πειραματική τιμή ή με προσαρμογή του θεωρητικού παράγοντα μορφής (form factor)f ch (q)στααντίστοιχαπειραματικάδεδομένα. Στηνπερίπτωσηπου εξετάζουμε, η παράμετρος υπολογίστηκε με το δεύτερο τρόπο[19]. Στις δύο δυνατότητες προσδιορισμού της παραμέτρου του αρμονικού ταλαντωτή αναπαράγονται μόνο δεδομένα για μικρές τιμές της μεταφερόμενης ορμής καικανένα(όπωςστο 4 He)ήμόνοτοέναελάχιστοπερίθλασηςκατάτη σκέδαση ηλεκτρονίων από πυρήνες. Η εισαγωγή των συσχετίσεων μικρής εμβέλειας στο πρότυπο του αρμονικού ταλαντωτή εισάγει μια επιπλέον παράμετρο. Οι δύο ελεύθερες παράμετροι, δηλαδή η παράμετρος του αρμονικού ταλαντωτή και η παράμετρος των συσχετίσεων, προσδιορίζονται με προσαρμογή του F ch (q) στα πειραματικά δεδομένα. Στην περίπτωση αυτή αναπαράγονται περισσότερα ελάχιστα περίθλασης από ότι στην περίπτωση του αρμονικού ταλαντωτή. Το γεγονός αυτό αντικατοπτρίζεται 20

31 καιστιςτιμέςτηςs =S r +S k. Ηανισότητα S SRC >S HO ισχύει για όλους τους πυρήνες s, p, και sd φλοιών που εξετάστηκαν. Στην πρώτη προσέγγιση που αναφέρθηκε στην αρχή του εδαφίου, ως κατανομές πυκνότητας των νουκλεονίων χρησιμοποιήθηκαν φαινομενολογικές κατανομές Fermi που προκύπτουν από την ανάλυση πειραμάτων σκέδασης ηλεκτρονίων από πυρήνες. Οι κατανομές αυτές, που δίνουν τη δυνατότηταμελέτηςπυρήνωναπό 4 Heμέχρι 238 U,περιγράφουνταπειραματικά δεδομένα καλύτερα από ότι οι κατανομές πυκνότητας που προκύπτουν από τις δύο προηγούμενες περιπτώσεις. Αυτό αντικατοπτρίζεται και στις τιμές τηςs =S r +S k. Ηανισότητα S approach1 >S SRC ισχύει για όλους τους πυρήνες s, p, και sd φλοιών που εξετάστηκαν. Στην δεύτερη προσέγγιση χρησιμοποιήθηκαν πειραματικές τιμές της κατανομής της ορμής των νουκλεονίων. Στην περίπτωση αυτή η φαινομενολογική μελέτη των πειραμάτων σκέδασης ηλεκτρονίων από πυρήνες γίνεται όχι μόνο για χαμηλές και ενδιάμεσες τιμές της μεταφερόμενης ορμής, όπως και στις δύο προηγούμενες μεθόδους, αλλά και για μεγάλες τιμές της μεταφερόμενης ορμής [45]. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η συνεισφορά της S k στο άθροισμα S r +S k να είναι αυξημένη. Παρατηρείται ότι ισχύει η ανισότητα S approach2 >S approach1 για τους πέντε πυρήνες που εξετάστηκαν και για τους οποίους υπάρχουν πειραματικά δεδομένα της κατανομής της ορμής. Στην τρίτη προσέγγιση χρησιμοποιήθηκαν φαινομενολογικές κατανομές τόσο της πυκνότητας όσο και της ορμής [42, 43, 45]. Οι υπολογισμοί δείχνουν (βλέπε σχήμα 2.1a) ότι οι τιμές της πληροφοριακής εντροπίας S =S r +S k είναιμεγαλύτερεςαπόότιστηνπροηγούμενηπροσέγγισηόπου χρησιμοποιήθηκαν μόνο πειραματικές τιμές της κατανομής της ορμής. 21

32 Επομένως μπορεί να συμπεράνουμε με ασφάλεια ότι η αύξηση των πειραματικών δεδομένων ή η ποιότητα των κατανομών της πυκνότητας και της ορμής οδηγούν σε αύξηση της πληροφοριακής εντροπίας. Εφόσον οι κατανομές της πυκνότητας και της ορμής που προκύπτουν από περισσότερα πειραματικά δεδομένα μπορούν να θεωρηθούν ως ανεπηρέαστες (unbiased), το παραπάνω συμπέρασμα βρίσκεται σε συμφωνία με την αρχή τηςμέγιστηςεντροπίας.μιαακόμαχαρακτηριστικήιδιότητατηςs =S r +S k προκύπτειαπότοσχήμα(2.1a). ΌλεςοιευθείεςS model =a model +b model lna είναι σχεδόν παράλληλες, έχουν σχεδόν την ίδια κλίση. Αυτό φαίνεται και απότονπίνακα(2.1),όπουφαίνεταιότιοιτιμέςτηςπαραμέτρουbπου καθορίζουν την κλίση των γραμμών μεταβάλλονται στο διάστημα Οι τιμές της παραμέτρου a μεταβάλλονται από 5.24 στο πρότυπο του αρμονικού ταλαντωτή μέχρι 6.88 στην τρίτη προσέγγιση. ΠαρατηρείταιεπομένωςότιυπάρχειμιακλιμάκωσηστιςτιμέςτηςS =S r +S k που οφείλεται στην αύξηση των πειραματικών δεδομένων ή διαφορετικά στην ποιότητα-ποσότητα των συσχετίσεων μεταξύ των νουκλεονίων του πυρήνα που εισάγουμε. Η εισαγωγή των επιπλέον συσχετίσεων σε σχέση με το πλήρες ασυσχέτιστο πρότυπο του αρμονικού ταλαντωτή επηρεάζει κυρίως τις τιμές της παραμέτρου a. Απότασχήματα(2.1b)και(2.1c)καιαπότιςτιμέςτωνπαραμέτρων b r καιb k,μπορούμενασυμπεράνουμεότιηs r εξαρτάταιισχυράαπότον lnaενώηs k δενεξαρτάται.επομένωςηγραμμικήεξάρτησητηςsαπότο lnaπροέρχεταικυρίωςαπότοχώροτωνθέσεων. Ηισχυρήεξάρτησητης S r απότο lnaπρέπεινασχετίζεταιμετονόγκοτουπυρήναστονοποίο είναι εγκλωβισμένα τα νουκλεόνια. Η ασθενής εξάρτηση της S k από το lnaσχετίζεταιμετογεγονόςότιηκατανομήτηςορμήςγιαμεγάλεςτιμές τουk(k 1.5fm 1 )είναιανεξάρτητητουμαζικούαριθμούaτουπυρήνα [44, 45, 49]. Είναι χρήσιμο να γίνουν και οι παρακάτω παρατηρήσεις. Από το σχήμα (2.1b)φαίνεταιότιοιτιμέςτηςS r δενεξαρτώνταιισχυράαπότοπρότυπο πουχρησιμοποιήθηκε. ΗσχετικήδιαφοράτωντιμώντηςS r μεταξύτων 22

33 διαφόρωνπροτύπωνείναιμικρότερητου10%.αντίθεταηs k όπωςφαίνεται απότοσχήμα(2.1c)εξαρτάταιισχυράαπότοπρότυπο.ηs k αυξάνειόταν λαμβάνονται υπόψη πειραματικά δεδομένα, από τη σκέδαση ηλεκτρονίων από πυρήνες, μεγάλης τιμής μεταφερόμενης ορμής, τα οποία συνδέονται με τις συσχετίσεις μικρής εμβέλειας. Η σχετική διαφορά των τιμών της S k μεταξύ των διαφόρων προτύπων που χρησιμοποιήθηκαν είναι της τάξεως του50%. Τέλος από το σχήμα (2.1a) φαίνεται ότι η προσαρμογή της σχέσης S =a+blnaστασημείαπουαντιστοιχούνστουςπέντεπυρήνεςπουεξετάστηκαν στις προσεγγίσεις 2 και 3 είναι πολύ καλή. Αυτό δεν συμβαίνει στην προσέγγιση 1. Στην περίπτωση αυτή, ενώ τα περισσότερα σημεία συμπίπτουν με την καμπύλη S = S(A), υπάρχουν και κάποια που αντιστοιχούν στους πυρήνες 14 N, 27 Al και 209 Bi, τα οποία είναι σχετικά μακρυά από την καμπύλη. Αυτές όμως οι αποκλίσεις είναι μέσα στα αποδεκτά σφάλματα των παραμέτρων των αντιστοίχων κατανομών Fermi. Επίσης πρέπεινασημειωθείότιηκατανομή2pfτουπυρήνα 209 Biαναπαράγειτα δεδομένα ενός πειράματος σκέδασης χαμηλής μεταφερόμενης ορμής με εύρος q fm 1 [42] Σύγκριση πειραμάτων διαφορετικού εύρους μεταφερόμενης ορμής Είναι χρήσιμο να συνεχιστεί η προηγούμενη συζήτηση εξετάζοντας τις υ- πολογιζόμενεςτιμέςτηςs =S r +S k πουπροκύπτουναπόδιαφορετικέςφαινομενολογικές κατανομές της πυκνότητας για διαφορετικά πειράματα για τον ίδιο πυρήνα. Στην[42] υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες διάφορες κατανομές 2pF και 3pF προκύπτουν από την ανάλυση διαφορετικών πειραμάτων σκέδασης ηλεκτρονίων από τον ίδιο πυρήνα. Οι αποκλίσεις κάποιων σημείων από τηνευθείαs =a+blnaτουσχήματος(2.1a)στηνπερίπτωσητηςπρώτης προσέγγισης οδηγούν στην εξέταση διαφόρων κατανομών της πυκνότητας 23

34 για τον ίδιο πυρήνα, συγκρίνοντας τις υπολογιζόμενες τιμές της S. Στον πίνακα(2.2) φαίνονται οι υπολογιζόμενες τιμές της S για διάφορους πυρήνες με κατανομές Fermi από την ανάλυση διαφόρων πειραμάτων σκέδασης και οι αντίστοιχες τιμές του εύρους της μεταφερόμενης ορμής. Σχεδόν σε όλες τις περιπτώσεις βρέθηκε ότι όσο μεγαλύτερο είναι το εύρος των τιμών του q(της μεταφερόμενης ορμής), τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της S του ίδιου πυρήνα. Από όλες τις περιπτώσεις που εξετάστηκαν βρέθηκανμόνοτρειςεξαιρέσειςστουςπυρήνες 24 Mg, 150 Ndκαι 238 U,που μπορούν να ερμηνευτούν ως εξής: Στονπυρήνα 150 Nd,οιτιμέςτηςSπουαντιστοιχούνσεq fm 1 είναιμεγαλύτερεςαπόαυτέςπουαντιστοιχούνσεq fm 1,ενώ θαέπρεπενασυμβείτοαντίθετο.ολόγοςείναιότιηανάλυσητωνδεδομένων της σκέδασης στη δεύτερη περίπτωση έγινε με μία παραμορφωμένη κατανομή Fermi[42] κάτι το οποίο δεν πήραμε υπόψη στους υπολογισμούς μας. Τονίδιολόγομπορούμενααναφέρουμεγιατηνεξαίρεσηαπότονκανόναστηνπερίπτωσητουπυρήνα 238 U,όπουητιμήτηςSγιαq fm 1 είναιμικρότερηαπότηντιμήτηςsγιαq fm 1,ενώ έπρεπε να συμβεί το αντίθετο. Στο 24 MgηκατανομήFermiτριώνπαραμέτρωνπουχρησιμοποιήθηκε στην ανάλυση των πειραμάτων με μεταφερόμενη ορμή εύρους q fm 1 και q fm 1 δίνει κατανομές ηλεκτρικού φορτίου που μηδενίζονταιγιασχετικάμικρές τιμέςτηςακτίνας(r 7fm 1 ). Αυτόδεν συμβαίνει για την κατανομή Fermi δύο παραμέτρων με μεταφερόμενη ορμή q fm 1. Σε αυτή την περίπτωση η κατανομή μηδενίζεται σε πολύ μεγαλύτερες τιμές της r. Η ύπαρξη του λογαρίθμου στο ολοκλήρωμα, κάνει την πληροφοριακή εντροπία ευαίσθητη στην ουρά της κατανομής της πυκνότητας. Αυτή η διαφορά θα μπορούσε να εξαλειφθεί αν χρησιμοποιούνταν τα σφάλματα των παραμέτρων. Από την παραπάνω συζήτηση αλλά και από αυτήν του προηγούμενου εδάφιου συμπεραίνεται ότι το πληροφοριακό άθροισμα μπορεί να χρησιμο- 24

35 Πίνακας 2.2: Οι τιμές της πληροφοριακής εντροπίας για διάφορους πυρήνες κατά την προσέγγιση 1. Οι υπολογισμοί έγιναν με τις φαινομενολογικές κατανομές 2pF ή/και 3pF της[42]. Πυρήνας S q range Πυρήνας S q range [nats] [fm 1 ] [nats] [fm 1 ] 19 F Zn F Zn Ne Zn Ne Zn Ne Zn Mg Zn Mg Mg Zn Zn Cr Cr Nd Nd Cr Nd Cr Nd Cr Nd Cr Nd Fe Nd Fe Nd Fe U Fe U

36 ποιηθεί για την σύγκριση της ανάλυσης των πειραμάτων σκέδασης ηλεκτρονίων από τον ίδιο πυρήνα και να προτιμηθεί ως πιο αξιόπιστη αυτή που οδηγεί σε μεγαλύτερο πληροφοριακό άθροισμα. 2.3 Η εξάρτηση της πληροφοριακής εντροπίας από το μέσο όγκο ενός πυρήνα Επειδή για μία δοσμένη κατανομή πυκνότητας αντιστοιχεί συγκεκριμένος μέσος όγκος και συγκεκριμένη πληροφοριακή εντροπία είναι ενδιαφέρον να εξεταστεί γραφικά η εξάρτηση της πληροφοριακής εντροπίας από τον όγκο του συστήματος, που στην περίπτωση σφαιρικής κατανομής δίνεται από τη σχέση V = 4π 3 r2 3/2 = 4π [ 4π r 3 4 ρ(r)dr ] 3/2. 0 Στοσχήμα(2.2)φαίνεταιηεξάρτησητηςSωςσυνάρτησητουόγκου του πυρήνα για τις διάφορες μεθόδους που εξετάστηκαν. Παρατηρείται ότι υπάρχει μία γραμμική σχέση της πληροφοριακής εντροπίας με το λογάριθμο του όγκου του συστήματος S =a V +b V lnv. (2.30) Οισταθερέςa V καιb V πουφαίνονταιστονπίνακα(2.1)προσδιορίστηκαν με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Η ίδια περίπου κλίση των ευθειών που προκύπτουν από τις προσεγγίσεις 1 και 3 οφείλεται στο γεγονός ότι χρησιμοποιήθηκαν οι ίδιες κατανομές πυκνότητας από τις αναφορές[42, 43]. Η διαφορετική κλίση της ευθείας που προκύπτει από την προσέγγιση 2 οφείλεται στον προσδιορισμό της κατανομής της πυκνότητας από την κατανομή της ορμής των πέντε πυρήνωνμετηβοήθειατουcdfm. Είναι γνωστό[51] ότι για οποιαδήποτε κατανομή(κλασική ή κβαντική, διακριτή ή συνεχή) υπάρχει ένα μέτρο του όγκου που καταλαμβάνεται 26

37 S Approach 1 Approach 2 Approach 3 SRC HO Σχήμα 2.2: Οι πληροφορικές εντροπίες σε nats για διάφορους πυρήνες σε συνάρτηση με τον μέσο όγκο του πυρήνα. Οι ευθείες γραμμές αντιστοιχούν στην έκφραση S = a V +b V lnv ln V από το στατιστικό σύνολο, το οποίο είναι συμβατό με τις βασικές γεωμετρικές ιδιότητες. Ο όγκος αυτός ονομάζεται όγκος του στατιστικού συνόλου και δίνει μία καθολική επιλογή ή ένα απευθείας μέτρο της αβεβαιότητας του συστήματος. Το μέτρο αυτό παρουσιάζει πλεονεκτήματα όταν γίνεται σύγκριση του εύρους δύο στατιστικών συνόλων του ίδιου τύπου. Μπορεί να δειχθεί ότι ο όγκος του στατιστικού συνόλου είναι ανάλογος του εκθετικού της εντροπίας του στατιστικού συνόλου V ensemble =Ke S. (2.31) Η σταθερά K είναι μία σταθερά κανονικοποίησης και σχετίζεται με το γεγονός ότι μόνο σχετικοί όγκοι παρουσιάζουν ενδιαφέρον όταν συγκρίνονται διαφορετικά στατιστικά σύνολα. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση(2.31), η σχέση του Gibbs S therm =ks ανάμεσα στη θερμοδυναμική εντροπία και την εντροπία ενός στατιστικού 27

38 συνόλου σε ισορροπία μπορεί να γραφεί S therm =kln[v ensemble /K]. (2.32) ηλαδή, η θερμοδυναμική εντροπία, μαζί με μία πρόσθετη σταθερά, είναι ανάλογη του λογαρίθμου του στατιστικού όγκου. Με τη βοήθεια της εξίσωσης(2.30) μπορεί να επεκταθεί η πρόταση αυτή μεταξύ της πληροφοριακής εντροπίας ενός πυρήνα και του μέσου όγκου του. ΑνθεωρηθείηπληροφοριακήεντροπίαSενόςπυρήναωςηS ensemble του πυρήνα και αντικατασταθεί το θέτοντας K = 1, παίρνουμε S =S r +S k =a+blna (2.33) V ensemble =ca b, c =e a. (2.34) ηλαδήοv ensemble ενόςπυρήναείναιανάλογοςτουa b. ΑπόπροηγούμενεςμελέτεςείναιγνωστόότιηεξίσωσηS =a+blnaείναι μία ιδιότητα των φερμιονικών συστημάτων(ηλεκτρόνια σε άτομα ή μεταλλικά συσσωματώματα και νουκλεόνια σε πυρήνες) καθώς και σε συζευγμένα μποζόνια σε παγίδα δυναμικού[5, 9, 11, 12]. Επομένως η εξίσωση(2.34) θα ισχύει στα συστήματα αυτά. ΑπότηγραμμικήεξάρτησητηςSαπότολογάριθμοτουμέσουόγκου τουπυρήνακαιαπότηνεξίσωση(2.31)μπορείναβρεθείμίασχέσημεταξύ τουv ensemble καιτουμέσουόγκουτουπυρήνα V ensemble =c V V b V, cv =e a V. (2.35) ηλαδή,οv ensemble είναιανάλογοςτουv b V. Από τις τρεις προσεγγίσεις που εξετάστηκαν η πρώτη και η τρίτη είναι οι περισσότερο αξιόπιστες επειδή βασίζονται σε πειραματικές κατανομές της πυκνότητας. Επειδή σε αυτές τις προσεγγίσεις οι τιμές της παραμέτρουb V είναικοντάστημονάδα(βλέπεπίνακα(1.1))μπορείναβγειτο συμπέρασμα ότι οv ensemble τουπυρήνα είναιανάλογοςτουμέσουόγκου του. 28

39 2.4 Συμπεράσματα Στο κεφάλαιο αυτό μελετήθηκαν η πληροφοριακή εντροπία των πυρήνων στοχώροτωνθέσεωνκαιστοχώροτωνορμώνκαθώςκαιτοάθροισμά τους. Η μελέτη έγινε με τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις χρησιμοποιώντας φαινομενολογικές κατανομές πυκνότητας ή/και ορμής των πυρήνων. Στην πρώτη προσέγγιση χρησιμοποιήθηκαν κατανομές πυκνότητας τύπου Fermi, που προκύπτουν από πειράματα σκέδασης ηλεκτρονίων από διάφορουςπυρήνες( 4 Heμέχρι 238 U)[42,43]. Οικατανομέςτηςορμήςγια τουςπυρήνεςαυτούςβρέθηκανμετηβοήθειατουcdfm[47,48,49,50]. Στη δεύτερη προσέγγιση χρησιμοποιήθηκαν φαινομενολογικές κατανομές τηςορμήςπέντεπυρήνων( 4 He, 12 C, 27 Al, 56 Fe,και 197 Au)[45]πουπροκύπτουν από την ανάλυση του φαινομένου superscaling και εφαρμογή του CDFM. Στην τρίτη προσέγγιση χρησιμοποιήθηκαν οι κατανομές πυκνότητας των πέντε πυρήνων όπως στην πρώτη προσέγγιση και οι κατανομές της ορμής όπως στη δεύτερη προσέγγιση. Βρέθηκε ότι και στις τρεις προσεγγίσεις οι πληροφοριακές εντροπίες εξαρτώνται γραμμικά από το λογάριθμο του μαζικού αριθμού των πυρήνων S r,k =a r,k +b r,k lna, S =a+blna. Το αποτέλεσμα αυτό βρίσκεται σε συμφωνία με προηγούμενες μελέτες σε φερμιονικά συστήματα. Οι τιμές της πληροφοριακής εντροπίας που βρέθηκαν στις τρεις προσεγγίσεις συγκρίθηκαν με τις αντίστοιχες που προκύπτουν με το πρότυπο του αρμονικού ταλαντωτή και με συσχετισμένους (με συσχετίσεις μικρής εμβέλειας) πίνακες πυκνότητας. Για όλους τους πυρήνες που μελετήθηκαν και για όλες τις μεθόδους ισχύει: S HO <S SRC <S approach1 <S approach2 <S approach3. ηλαδή οι διάφορες περιπτώσεις που μελετήθηκαν μπορούν να ταξινομηθούν είτε με την ποσότητα των πειραματικών δεδομένων που αναπαρά- 29

40 γονται είτε με τις τιμές του πληροφοριακού αθροίσματος. Το συμπέρασμα στο οποίο καταλήγουμε είναι ότι η αύξηση της ποιότητας των κατανομών της πυκνότητας και της ορμής οδηγεί σε αύξηση του πληροφοριακού αθροίσματοςs =S r +S k σύμφωναμετηναρχήτηςμέγιστηςεντροπίας. ΒρέθηκεεπίσηςότιενώηS k εξαρτάταιισχυράαπότοπρότυποπου χρησιμοποιήθηκεγιατηνεύρεσητηςκατανομήςτηςορμής,ηs r είναισχεδόν ανεξάρτητη του προτύπου. ΩςαποτέλεσματηςιδιότηταςαυτήςπροκύπτειότιηS =S r +S k εξαρτάται γραμμικά από το μέσο όγκο στον οποίο είναι εγκλωβισμένα τα νουκλεόνια. Αυτό βρίσκεται σε συμφωνία με το γεγονός ότι για στατιστικά συστήματα σε ισορροπία η θερμοδυναμική εντροπία είναι ανάλογη του στατιστικού όγκου του συστήματος. Ετσι αν θεωρηθεί η πληροφοριακή εντροπία S ωςs ensemble μπορείναγίνεισύνδεσητουv ensemble μετομαζικόαριθμότου πυρήναήμετομέσοόγκοτουπυρήνα. ΤέλοςησύγκρισητωντιμώντηςSγιατονίδιοπυρήνα,γιατονοποίο οι φαινομενολογικές κατανομές πυκνοτήτων προκύπτουν από διαφορετικές αναλύσεις πειραμάτων σκέδασης, μπορεί να οδηγήσει στην επιλογή της πιο αξιόπιστης ανάλυσης. 30

41 Κεφάλαιο 3 Η πληροφοριακή εντροπία των αντιδράσεων (n,a) και (p,a) Η κατανομή της πυκνότητας του ηλεκτρικού φορτίου του πυρήνα και ε- πομένως η κατανομή της πυκνότητας των πρωτονίων των πυρήνων είναι γνωστές με ακρίβεια από την ανάλυση της ελαστικής σκέδασης (e, A) και από τα μιονικά άτομα[42]. Μπορούν επίσης να υπολογιστούν με θεωρητικές μεθόδους(μέθοδος Hartree Fock). Η κατανομή όμως της πυκνότητας της πυρηνικής ύλης(πρωτονίων και νετρονίων) των πυρήνων είναι λιγότερο γνωστή κυρίως λόγω της μη καλής γνώσης των πυρηνικών δυνάμεων σε σύγκριση με την ηλεκτρομαγνητική δύναμη. Υπάρχουν όμως πειραματικές κατανομές της πυρηνικής ύλης που προέρχονται από την ανάλυση αντιδράσεων (n,a), (p,a)καιa(γ,π 0 )A[52,53,54,55,56]. Όπως διαπιστώθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο η πληροφοριακή εντροπία κατά Shannon συνδέεται με το μέσο όγκο ενός πυρήνα. Είναι επομένως χρήσιμο να οριστεί μια αντίστοιχη πληροφοριακή εντροπία στην περίπτωσητωναντιδράσεων (n,a)και (p,a). καιναεξεταστείανείναιδυνατόνα βγουνσυμπεράσματαγιατομέσοόγκοτουπυρήνα. Σεαυτήντηνπερίπτωση θα έχει βρεθεί μια μέθοδος υπολογισμού της ακτίνας της πυρηνικής ύλης. 31

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate Κατηγορίες οφέλους και κόστους που προέρχονται από τις δημόσιες δαπάνες Για την αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό.

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. 1 ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate, εισηγητής Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές

Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές 1.Σκοποί: Οι μαθητές Να κατανοήσουν τις έννοιες της περιοδικής κίνησης και της ταλάντωσης Να κατανοήσουν ότι η περιοδική κίνηση δεν είναι ομαλή Να γνωρίσουν τα μεγέθη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ Επιμέλεια Άγγελου Αργυρακόπουλου

Διαβάστε περισσότερα

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα!

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα! Βελτίωση Εικόνας Σήμερα! Υποβάθμιση εικόνας Τεχνικές Βελτίωσης Restoration (Αποκατάσταση) Τροποποίηση ιστογράμματος Ολίσθηση ιστογράμματος Διάταση (stretching) Ισοστάθμιση του ιστογράμματος (histogram

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας

Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας Γ. Η. Πανάγος 1195 ΟΡΘΗ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΚΛΙ ΝΙΚΩΝ ΜΕΛΕΤΏΝ Η ορθή πρακτική διεξαγωγής των κλινικών δοκιμών (GCP) είναι ένα διεθνές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανεξάρτητα δείγματα: Αφορά δύο κανονικούς πληθυσμούς με παραμέτρους

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός gior.panagopoulos@gmail.com Βουλδής Άγγελος Φυσικός angelos_vouldis@hotmail.com Μεντζελόπουλος Λευτέρης Φυσικός MSc Περιβαλλοντολογία

Διαβάστε περισσότερα

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται 1. Ο πληθωρισμός ορίζεται ως εξής: (Δ= μεταβολή, Ρ= επίπεδο τιμών, Ρ e = προσδοκώμενο επίπεδο τιμών): α) Δ Ρ e /Ρ β) Ρ e / Ρ γ) Δ Ρ/Ρ δ) (Ρ Ρ e )/Ρ 2. Όταν οι εξαγωγές αυξάνονται: α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα

Διαβάστε περισσότερα

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται 1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται από: α) Τη ροπή για αποταμίευση β) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος και τη ροπή για αποταμίευση γ) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming)

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 1 Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Μηχανικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής ΜΜΚ 452: Μηχανικές Ιδιότητες και Κατεργασία Πολυμερών Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 2 Εισαγωγή: Η

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1

Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) ύο καράβια αναχωρούν από το ίδιο λιµάνι. Το ένα κινείται µε 5 Km/h προς τα νότια και το άλλο µε Km/h προς τα ανατολικά. Να εκϕράσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ. Μορφές δημόσιου δανεισμού. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ. Μορφές δημόσιου δανεισμού. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ Μορφές δημόσιου δανεισμού Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate 1 Ανάλογα με την πηγή προελεύσεως των πόρων Με βάση το κριτήριο αυτό, ο δανεισμός διακρίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20

Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20 A Πανεπιστήμιο Αιγαίου Σχολή Επιστημών της ιοίκησης Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και ιοίκησης Εργαστήριο Στατιστικής Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20 26Επιμέλεια:

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρωμένη Χωρική Ανάπτυξη. Ειδική Υπηρεσία Στρατηγικής, Σχεδιασμού Και Αξιολόγησης (ΕΥΣΣΑ) Μονάδα Α Στρατηγικής και Παρακολούθησης Πολιτικών

Ολοκληρωμένη Χωρική Ανάπτυξη. Ειδική Υπηρεσία Στρατηγικής, Σχεδιασμού Και Αξιολόγησης (ΕΥΣΣΑ) Μονάδα Α Στρατηγικής και Παρακολούθησης Πολιτικών Ολοκληρωμένη Χωρική Ανάπτυξη Ειδική Υπηρεσία Στρατηγικής, Σχεδιασμού Και Αξιολόγησης (ΕΥΣΣΑ) Μονάδα Α Στρατηγικής και Παρακολούθησης Πολιτικών Ξάνθη, 12 Μαΐου 2015 Χωρική Συνοχή σύνολο αρχών για την αρμονική,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΑΝΤΙΟΠΗ ΓΙΓΑΝΤΙ ΟΥ Τοµεάρχης Λειτουργίας Κέντρων Ελέγχου Συστηµάτων Μεταφοράς ιεύθυνσης ιαχείρισης Νησιών ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΡΗΤΗΣ 2009 Εγκατεστηµένη Ισχύς (Ατµοµονάδες, Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γεώργιος Κ. Πατρίκιος, Δικηγόρος, ΜΔΕ Δημοσίου Δικαίου, Υπ. Διδάκτωρ Νομικής Σχολής Πανεπιστημίου Αθηνών. ΘΕΜΑΤΙΚΗ : Η αρμοδιότητα των διοικητικών

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων 1

Αναγνώριση Προτύπων 1 Αναγνώριση Προτύπων 1 Σημερινό Μάθημα Βασικό σύστημα αναγνώρισης προτύπων Προβλήματα Πρόβλεψης Χαρακτηριστικά και Πρότυπα Ταξινομητές Classifiers Προσεγγίσεις Αναγνώρισης Προτύπων Κύκλος σχεδίασης Συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

Συμπληρωματικές σημειώσεις στις Ασκήσεις

Συμπληρωματικές σημειώσεις στις Ασκήσεις Άσκηση 1 Συμπληρωματικές σημειώσεις στις Ασκήσεις 30-4-2010 Στο δυναμόμετρο μονάδα μέτρησης της δύναμης είναι το 1 kp ή 1 kgr * η οποία είναι μονάδα βάρους ίση με 9.80665 Ν. Το kp ορίζεται έτσι ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει

Διαβάστε περισσότερα

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σημειώσεις για το μάθημα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Παπάνα Αγγελική http://users.auth.gr/~agpapana/statlogistics E mail: papanagel@yahoo.gr, agpapana@gen.auth.gr Α.Τ.Ε.Ι. Θεσσαλονίκης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες 20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε

Διαβάστε περισσότερα

www.cslab.ece.ntua.gr

www.cslab.ece.ntua.gr Ε ό Μ ό Π ί Σ ή Η ό Μ ώ Μ ώ Η/Υ Τ έ Τ ί Π ή Υ ώ Εργαστήριο Υπολογιστικών Συστημάτων www.cslab.ece.ntua.gr Διπλωματική εργασία Συγκριτική μελέτη μεθόδων αποθήκευσης αραιών πινάκων σε μπλοκ για την βελτιστοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να - 1 - Ο παράξενος πραματευτής Ανθολόγιο Ε & Στ τάξης: 277-279 Οικονομικές έννοιες Ανταλλαγή Αντιπραγματισμός Εμπόριο Ερωτήσεις Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης (β) Η απόλυτη υπεραξία Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Στο κεφάλαιο για την αγορά και την πώληση της εργατικής δύναμης (ελληνική έκδοση: τόμος

Διαβάστε περισσότερα

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0, Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Περιοχής. Σήμερα!

Περιγραφή Περιοχής. Σήμερα! Περιγραφή Περιοχής Σήμερα! Υφή (texture) Ιστόγραμμα & Ροπές Ιστογράμματος Πίνακες συνεμφάνισης Φασματική περιγραφή Ροπές (moments) Στροφορμή (angular momentum) 1 Υφή (texture) Ο ορισμός της έννοιας της

Διαβάστε περισσότερα

«Απόδοση φωτοβολταϊκών στοιχείων και φωτοβολταϊκών συστημάτων υπό συνθήκες σκίασης και χαμηλής έντασης ακτινοβολίας»

«Απόδοση φωτοβολταϊκών στοιχείων και φωτοβολταϊκών συστημάτων υπό συνθήκες σκίασης και χαμηλής έντασης ακτινοβολίας» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Κατεύθυνση Εφαρμοσμένης Φυσικής «Απόδοση φωτοβολταϊκών στοιχείων και φωτοβολταϊκών συστημάτων υπό συνθήκες σκίασης και χαμηλής έντασης ακτινοβολίας»

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Παραμετρικά Μοντέλα Επιβίωσης που προκύπτουν από μεταβολές

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το

Διαβάστε περισσότερα

Ο όρος εισήχθηκε το 1961 από τον Bellman Αναφέρεται στο πρόβλημα της ανάλυσης δεδομένων πολλών μεταβλητών καθώς αυξάνει η διάσταση.

Ο όρος εισήχθηκε το 1961 από τον Bellman Αναφέρεται στο πρόβλημα της ανάλυσης δεδομένων πολλών μεταβλητών καθώς αυξάνει η διάσταση. Αναγνώριση Προτύπων Η κατάρα της διαστατικότητας Ο όρος εισήχθηκε το 1961 από τον Bellman Αναφέρεται στο πρόβλημα της ανάλυσης δεδομένων πολλών μεταβλητών καθώς αυξάνει η διάσταση. Η κατάρα της διαστατικότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΑΡΧΕΙΑ Ο πιο γνωστός τρόπος οργάνωσης δεδομένων με τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών είναι σε αρχεία. Ένα αρχείο μπορούμε να το χαρακτηρίσουμε σαν ένα σύνολο που αποτελείται από οργανωμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ : ΕΞΙ

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα. στο μάθημα. Αρχές οργάνωσης και διοίκησης επιχειρήσεων. ΟΜΑΔΑ Α: Ερωτήσεις Σωστού Λάθους.

Προτεινόμενα θέματα. στο μάθημα. Αρχές οργάνωσης και διοίκησης επιχειρήσεων. ΟΜΑΔΑ Α: Ερωτήσεις Σωστού Λάθους. Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές οργάνωσης και διοίκησης επιχειρήσεων ΟΜΑΔΑ Α: Ερωτήσεις Σωστού Λάθους Στις παρακάτω προτάσεις να γράψετε δίπλα στον αριθμό της καθεμιάς τη λέξη Σωστό αν κρίνετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΤΡΟΧΟΥ MAXWELL

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΤΡΟΧΟΥ MAXWELL ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ &ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΤΡΟΧΟΥ MAXWELL ΒΑΡΗ 01-013 Μπίλιας Κων/νος Φυσικός

Διαβάστε περισσότερα

I. Η ΦΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΠΥΡΚΑΓΙΑΣ

I. Η ΦΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΠΥΡΚΑΓΙΑΣ I. Η ΦΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΠΥΡΚΑΓΙΑΣ Στο Κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται μόνο βασικά στοιχεία σχετιζόμενα με την πυρκαγιά στο εσωτερικό ενός κτιρίου (ενδο οικιακή), κύρια πηγή των οποίων αποτέλεσε η έκδοση Εργ. Ω.Σ./

Διαβάστε περισσότερα

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Τεχνική φλοπ Φορά Σκοπός της φοράς είναι να αναπτυχθεί μια ιδανική για τον κάθε αθλητή ταχύτητα και ταυτόχρονα να προετοιμάσει το πάτημα. Το είδος της φοράς του Fosbury ήτα, μια

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ : ΜΙΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ : ΜΙΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΡΟΦΙΜΩΝ & ΓΕΩΡΓΙΑΣ ΣΥΝΕΡΓΑΖΟΜΕΝΟ ΤΜΗΜΑ: ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΠΗΛΑΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ από τον Κοσμά Γαζέα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΠΗΛΑΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ από τον Κοσμά Γαζέα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΠΗΛΑΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ από τον Κοσμά Γαζέα Πραγματοποιήθηκε με επιτυχία το προγραμματισμένο Εργαστήρι Χαρτογράφησης της Ελληνικής Σπηλαιολογικής Εταιρείας από τις 26 Νοεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Συγκέντρωση Κίνησης. 6.1. Εισαγωγή. 6.2. Στατική Συγκέντρωση Κίνησης

Συγκέντρωση Κίνησης. 6.1. Εισαγωγή. 6.2. Στατική Συγκέντρωση Κίνησης Συγκέντρωση Κίνησης 6.1. Εισαγωγή Σε ένα οπτικό WDM δίκτυο, οι κόμβοι κορμού επικοινωνούν μεταξύ τους και ανταλλάσουν πληροφορία μέσω των lightpaths. Ένα WDM δίκτυο κορμού είναι υπεύθυνο για την εγκατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και

Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Περίληψη Κεφαλαίου: Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και αφετέρου η σωστή εφαρμογή του Επιχειρηματικού

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα 11.1. Εισαγωγή Τα τηλεπικοινωνιακά δίκτυα είναι διαιρεμένα σε μια ιεραρχία τριών επιπέδων: Στα δίκτυα πρόσβασης, τα μητροπολιτικά δίκτυα και τα δίκτυα κορμού. Τα δίκτυα κορμού

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 16 Απριλίου, 2006 Ώρα: 10:30-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίµιο αποτελείται από τρία (3) µέρη µε σύνολο δώδεκα (12) θέµατα. 2) Επιτρέπεται

Διαβάστε περισσότερα

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι:

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: 1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: α) Ανεξάρτητα από το ύψος της τιμής των οσπρίων, ο καταναλωτής θα δαπανά πάντα ένα σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

3. Με βάση τη βραχυχρόνια καμπύλη Phillips η σχέση πληθωρισμού και ανεργίας είναι:

3. Με βάση τη βραχυχρόνια καμπύλη Phillips η σχέση πληθωρισμού και ανεργίας είναι: 1. Σε περίπτωση που το κράτος φορολογεί τους πολίτες το διαθέσιμο εισόδημα του κάθε ατόμου είναι: α) το σύνολο του εισοδήματός του β) το σύνολο του εισοδήματός του, αφού προηγουμένως αφαιρέσουμε τους φόρους

Διαβάστε περισσότερα

1. Η Μακροοικονομική ασχολείται με τη λειτουργία και τα προβλήματα: α) των δημοσίων επιχειρήσεων και των οργανισμών. β) των ιδιωτικών επιχειρήσεων

1. Η Μακροοικονομική ασχολείται με τη λειτουργία και τα προβλήματα: α) των δημοσίων επιχειρήσεων και των οργανισμών. β) των ιδιωτικών επιχειρήσεων 1. Η Μακροοικονομική ασχολείται με τη λειτουργία και τα προβλήματα: α) των δημοσίων επιχειρήσεων και των οργανισμών. β) των ιδιωτικών επιχειρήσεων γ) του στενού δημόσιου τομέα. δ) της συμπεριφοράς ολόκληρης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.3: Marketing Κοινωνικών Επιχειρήσεων. Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται εν τάχει τα βασικά

Κεφάλαιο 2.3: Marketing Κοινωνικών Επιχειρήσεων. Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται εν τάχει τα βασικά Κεφάλαιο 2.3: Marketing Κοινωνικών Επιχειρήσεων Περίληψη Κεφαλαίου: Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται εν τάχει τα βασικά χαρακτηριστικά του μείγματος Marketing (Μ.Κ.Τ.), στο πλαίσιο της εύρυθμης λειτουργίας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών 1/56 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

«Εξατομικεύοντας την επιλογή των πόρων των ψηφιακών βιβλιοθηκών για την υποστήριξη της σκόπιμης μάθησης» Άννα Μαρία Ολένογλου

«Εξατομικεύοντας την επιλογή των πόρων των ψηφιακών βιβλιοθηκών για την υποστήριξη της σκόπιμης μάθησης» Άννα Μαρία Ολένογλου ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΣΕ ΨΗΦΙΑΚΌ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Εργασία στο μάθημα «Ψηφιακές Βιβλιοθήκες» Παρουσίαση του άρθρου (ECDL, 2008, LNCS,

Διαβάστε περισσότερα

23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος

23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος 23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος Μια βραδιά στο λούκι με τους αστέγους «Έχετε ποτέ σκεφτεί να κοιμηθείτε μια χειμωνιάτικη νύχτα στο δρόμο;» Με αυτό το ερώτημα απευθύναμε και φέτος την πρόσκληση στους

Διαβάστε περισσότερα

Opinion Mining. Χριστίνα Αραβαντινού aravantino@ceid.upatras.gr. Χριστίνα Αραβαντινού Opinion Mining Μάιος 2014 1 / 26

Opinion Mining. Χριστίνα Αραβαντινού aravantino@ceid.upatras.gr. Χριστίνα Αραβαντινού Opinion Mining Μάιος 2014 1 / 26 Opinion Mining Χριστίνα Αραβαντινού aravantino@ceid.upatras.gr Μάιος 2014 Χριστίνα Αραβαντινού Opinion Mining Μάιος 2014 1 / 26 Περιεχόμενα Εισαγωγή Εφαρμογές ομή μιας άποψης Είδη απόψεων Προσεγγίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Διδαγμένο Κείμενο ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Επομένως οι αρετές δεν υπάρχουν μέσα μας εκ φύσεως ούτε αντίθετα προς τη φύση μας, αλλά έχουμε από τη φύση την ιδιότητα να τις δεχτούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΕ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια σύνταξης απαντήσεων: Μαρία Πέτρα ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Επιμέλεια σύνταξης απαντήσεων: Μαρία Πέτρα ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Κλάδος: ΠΕ 60 ΝΗΠΙΑΓΩΓΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Ειδική Διδακτική και Παιδαγωγικά Γενική Διδακτική) Κυριακή 1-2-2009 ΕΡΩΤΗΜΑ 2ο: Την τελευταία περίπου πενταετία εφαρμόζεται στα νηπιαγωγεία

Διαβάστε περισσότερα