τους στην Κρυπτογραφία και τα
|
|
|
- Λυσάνδρα Ηλιόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Οι Ομάδες των Πλεξίδων και Εφαρμογές τους στην Κρυπτογραφία και τα Πολυμερή Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΕΜΠ Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: Λαμπροπούλου Σοφία Ιούλιος, 2013
2 Περιεχόμενα Η Ομάδα των Πλεξίδων
3 Περιεχόμενα Η Ομάδα των Πλεξίδων Η κανονική μορφή του Garside
4 Περιεχόμενα Η Ομάδα των Πλεξίδων Η κανονική μορφή του Garside Η μέθοδος handle reduction του Dehornoy
5 Περιεχόμενα Η Ομάδα των Πλεξίδων Η κανονική μορφή του Garside Η μέθοδος handle reduction του Dehornoy Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
6 Περιεχόμενα Η Ομάδα των Πλεξίδων Η κανονική μορφή του Garside Η μέθοδος handle reduction του Dehornoy Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Εφαρμογή στα Πολυμερή
7 Η Ομάδα των Πλεξίδων Η πρώτη καταγεγραμμένη μαθηματική μορφή συναντάται στα γραπτά του Gauss
8 Η Ομάδα των Πλεξίδων Η πρώτη καταγεγραμμένη μαθηματική μορφή συναντάται στα γραπτά του Gauss Ο πρώτος αυστηρός μαθηματικός τους ορισμός έγινε από τον Artin στο άρθρο του Theorie der Zöpfe.
9 Η Ομάδα των Πλεξίδων Η πρώτη καταγεγραμμένη μαθηματική μορφή συναντάται στα γραπτά του Gauss Ο πρώτος αυστηρός μαθηματικός τους ορισμός έγινε από τον Artin στο άρθρο του Theorie der Zöpfe. Εκτοτε μελετώνται εκτενώς από τοπολόγους και αλγεβριστές
10 Η Ομάδα των Πλεξίδων Από το σημειωματάριο του Gauss
11 Η Ομάδα των Πλεξίδων A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6
12 Η Ομάδα των Πλεξίδων Ορισμός Για n 2 η Ομάδα των Πλεξίδων (braid group), που στο εξής θα την συμβολίζουμε με B n ορίζεται από την παράσταση: B n = σ σ 1,..., σ i σ j = σ j σ i για i j 2 n 1 σ i σ j σ i = σ j σ i σ j για i j = 1 (1)
13 Η Ομάδα των Πλεξίδων
14 Η Ομάδα των Πλεξίδων
15 Η Ομάδα των Πλεξίδων i
16 Η Ομάδα των Πλεξίδων i i + 1
17 Η Ομάδα των Πλεξίδων i i + 1 Ο γεννήτορας σ i
18 Η Ομάδα των Πλεξίδων
19 Η Ομάδα των Πλεξίδων
20 Η Ομάδα των Πλεξίδων i + 1
21 Η Ομάδα των Πλεξίδων i i + 1
22 Η Ομάδα των Πλεξίδων i i + 1 και ο γεννήτορας σ 1 i
23 Η Ομάδα των Πλεξίδων Η πρώτη σχέση πλεξίδων σ i σ j = σ j σ i για i j 2.
24 Η Ομάδα των Πλεξίδων Η δεύτερη σχέση πλεξίδων σ i σ j σ i = σ j σ i σ j για i j = 1.
25 Word Problem Αλγοριθμικά Προβλήματα της Θεωρίας Ομάδων
26 Word Problem Αλγοριθμικά Προβλήματα της Θεωρίας Ομάδων 1 Προβλήματα Απόφασης (Decision Problems)
27 Word Problem Αλγοριθμικά Προβλήματα της Θεωρίας Ομάδων 1 Προβλήματα Απόφασης (Decision Problems) 2 Προβλήματα Εύρεσης(Search Problems)
28 Word Problem Αλγοριθμικά Προβλήματα της Θεωρίας Ομάδων 1 Προβλήματα Απόφασης (Decision Problems) οθείσης μιάς ιδιότητας P και ενός αντικειμένου O να βρείτε εάν το αντικείμενο έχει την παραπάνω ιδιότητα. 2 Προβλήματα Εύρεσης(Search Problems)
29 Word Problem Αλγοριθμικά Προβλήματα της Θεωρίας Ομάδων 1 Προβλήματα Απόφασης (Decision Problems) οθείσης μιάς ιδιότητας P και ενός αντικειμένου O να βρείτε εάν το αντικείμενο έχει την παραπάνω ιδιότητα. 2 Προβλήματα Εύρεσης(Search Problems) οθείσης μιάς ιδιότητας P και της πληροφορίας ότι υπάρχουν αντικείμενα με την παραπάνω ιδιότητα, βρείτε τουλάχιστον ένα αντικείμενο με αυτήν.
30 Word Problem Ορισμός Εστω μια ομάδα G. ύο στοιχεία g, h στην G θα καλούνται συζυγή αν υπάρχει στοιχείο x G με: xgx 1 = h
31 Προβλήματα Συζηγίας ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΖΥΓΙΑΣ:
32 Προβλήματα Συζηγίας ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΖΥΓΙΑΣ: 1 Conjugacy Decision Problem Εστω δύο στοιχεία g, h G βρείτε έαν υπάρχει κάποιο στοιχείο x G τέτοιο ώστε: xgx 1 = h.
33 Προβλήματα Συζηγίας ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΖΥΓΙΑΣ: 1 Conjugacy Decision Problem Εστω δύο στοιχεία g, h G βρείτε έαν υπάρχει κάποιο στοιχείο x G τέτοιο ώστε: xgx 1 = h. 2 Conjugacy Search Problem Εστω δύο στοιχεία g, h G, τα οποία είναι συζυγή. Βρείτε ένα x G τέτοιο ώστε: xgx 1 = h.
34 Προβλήματα Συζηγίας ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΖΥΓΙΑΣ: 1 Conjugacy Decision Problem Εστω δύο στοιχεία g, h G βρείτε έαν υπάρχει κάποιο στοιχείο x G τέτοιο ώστε: xgx 1 = h. 2 Conjugacy Search Problem Εστω δύο στοιχεία g, h G, τα οποία είναι συζυγή. Βρείτε ένα x G τέτοιο ώστε: xgx 1 = h. 3 Generalized Conjugacy Search Problem Εστω δύο πλεξίδες β 1, β 2 B n, τέτοιες ώστε β 2 = β β 1 β 1 για κάποια β B m με m n. Βρείτε μια πλεξίδα β B m τέτοια ώστε β 2 = β β 1 β 1.
35 Κανονικές Μορφές Ορισμός Κανονική μορφή μιάς ομάδας G, με ένα σύνολο γεννητόρων S, είναι μια επιλογή μιας συγκεκριμένης λέξης για κάθε στοιχείο g G.
36 Κανονικές Μορφές Ορισμός Κανονική μορφή μιάς ομάδας G, με ένα σύνολο γεννητόρων S, είναι μια επιλογή μιας συγκεκριμένης λέξης για κάθε στοιχείο g G. 1 Κάθε στοιχείο της ομάδας πρέπει να έχει μία ακριβώς κανονική μορφή.
37 Κανονικές Μορφές Ορισμός Κανονική μορφή μιάς ομάδας G, με ένα σύνολο γεννητόρων S, είναι μια επιλογή μιας συγκεκριμένης λέξης για κάθε στοιχείο g G. 1 Κάθε στοιχείο της ομάδας πρέπει να έχει μία ακριβώς κανονική μορφή. 2 ύο οποιαδήποτε στοιχεία που έχουν την ίδια κανονική μορφή πρέπει να είναι ίσα.
38 Word Problem
39 Word Problem Word Problem (1) Εστω G μια ομάδα και έστω ένα στοιχείο g G, βρείτε αν ισχύει: g = ε.
40 Word Problem Word Problem (1) Εστω G μια ομάδα και έστω ένα στοιχείο g G, βρείτε αν ισχύει: g = ε. ΙΣΟ ΥΝΑΜΑ:
41 Word Problem Word Problem (1) Εστω G μια ομάδα και έστω ένα στοιχείο g G, βρείτε αν ισχύει: g = ε. ΙΣΟ ΥΝΑΜΑ: Word Problem (2) Εστω g 1, g 2 στοιχεία στην G. Βρείτε αν ισχύει: g 1 = g 2.
42 Word Problem Word Problem (1) Εστω G μια ομάδα και έστω ένα στοιχείο g G, βρείτε αν ισχύει: g = ε. ΙΣΟ ΥΝΑΜΑ: Word Problem (2) Εστω g 1, g 2 στοιχεία στην G. Βρείτε αν ισχύει: g 1 = g 2. Προφανώς τα δύο προβλήματα είναι ισοδύναμα θέτοντας g = g 1 g 1 2.
43 Κανονική Μορφή Garside Θεώρημα (Garside-1969) Στην ομάδα B n+1, κάθε λέξη W μπορεί να εκφρασθεί μοναδικά στην μορφή mā
44 Κανονική Μορφή Garside Θεώρημα (Garside-1969) Στην ομάδα B n+1, κάθε λέξη W μπορεί να εκφρασθεί μοναδικά στην μορφή mā όπου: η θεμελιώδης λέξη
45 Κανονική Μορφή Garside Θεώρημα (Garside-1969) Στην ομάδα B n+1, κάθε λέξη W μπορεί να εκφρασθεί μοναδικά στην μορφή mā όπου: η θεμελιώδης λέξη m Z
46 Κανονική Μορφή Garside Θεώρημα (Garside-1969) Στην ομάδα B n+1, κάθε λέξη W μπορεί να εκφρασθεί μοναδικά στην μορφή mā όπου: η θεμελιώδης λέξη m Z Ā θετική λέξη, μοναδικά εκφρασμένη.
47 Χρήσιμοι Ορισμοί-Η Θεμελιώδης Λέξη Ορισμός Ορίζουμε με r Π r Π r 1... Π 1 τη θεμελιώδη λέξη τάξης r+1, όπου με Π s συμβολίζουμε την αύξουσα ακολουθία γεννητόρων (σ 1 σ 2... σ s ). Όταν αναφερόμαστε στην B n+1 θα συμβολίζουμε την n με.
48 Χρήσιμοι Ορισμοί-Η Θεμελιώδης Λέξη = (σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 )(σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 )(σ 1 σ 2 σ 3 )(σ 1 σ 2 )σ 1
49 Χρήσιμοι Ορισμοί Θετική Λέξη Μια λέξη W που αποτελείται από μια ακολουθία γεννητόρων όπου κανένας αντίστροφος γεννήτορας δεν εμφανίζεται θα καλείται θετική λέξη.
50 Χρήσιμοι Ορισμοί Θετική Λέξη Μια λέξη W που αποτελείται από μια ακολουθία γεννητόρων όπου κανένας αντίστροφος γεννήτορας δεν εμφανίζεται θα καλείται θετική λέξη. D(W) Εστω W μια θετική λέξη και έστω W 1, W 2,..., W m το σύνολο όλων των διακεκριμένων θετικών λέξεων που είναι ίσες με την W. Το σύνολο αυτό θα το συμβολίζουμε με D(W).
51 Χρήσιμοι Ορισμοί Ορισμός Εστω W μια λέξη μήκους l στην B n+1 και έστω ότι το D(W) αποτελείται από m λέξεις: W 1 σ i σ j σ k..., W 2 σ p σ q σ r...,..., W m σ x σ y σ z... Τότε υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των λέξεων: W 1, W 2,..., W m και των αριθμών: P 1 ijk..., P 2 pqr...,..., P m xyz... Οι αριθμοί P i, i {1,..., m} είναι διακεκριμένοι μεταξύ τους. Εστω P r ο μικρότερος εξ αυτών, τότε η αντίστοιχη λέξη W r θα καλείται βάση του D(W).
52 Χρήσιμοι Ορισμοί Ορισμός Εστω A, B, W θετικές λέξεις. Αν για κάποια W i D(W) ισχύει W i = A B θα λέμε ότι η είναι παράγοντας της W, διαφορετικά θα λέμέ ότι η W είναι πρώτη ως προς την. Συμβολισμός Αν B είναι πρώτη ως προς την και B είναι βάση του D(B) θα την συμβολίζουμε με B.
53 Κανονική Μορφή Garside - Σκιαγράφηση Απόδειξης
54 Κανονική Μορφή Garside - Σκιαγράφηση Απόδειξης Εστω W B n+1,
55 Κανονική Μορφή Garside - Σκιαγράφηση Απόδειξης Εστω W B n+1, όπου: W W 1 (x 1 ) 1 W 2 (x 2 ) 1... W s (x s ) 1 W s+1
56 Κανονική Μορφή Garside - Σκιαγράφηση Απόδειξης Εστω W B n+1, όπου: W W 1 (x 1 ) 1 W 2 (x 2 ) 1... W s (x s ) 1 W s+1 σ r γεννήτορα, X r B n+1 : σ r X r = (σ r ) 1 = X r 1
57 Κανονική Μορφή Garside - Σκιαγράφηση Απόδειξης Εστω W B n+1, όπου: W W 1 (x 1 ) 1 W 2 (x 2 ) 1... W s (x s ) 1 W s+1 σ r γεννήτορα, X r B n+1 : σ r X r = (σ r ) 1 = X r 1 W = W 1 X 1 1 W 2 X W s X s 1 W s+1
58 Κανονική Μορφή Garside - Σκιαγράφηση Απόδειξης Εστω W B n+1, όπου: W W 1 (x 1 ) 1 W 2 (x 2 ) 1... W s (x s ) 1 W s+1 σ r γεννήτορα, X r B n+1 : σ r X r = (σ r ) 1 = X r 1 W = W 1 X 1 1 W 2 X W s X s 1 W s+1 Επίσης σ i έχουμε: σ i 2m+1 = 2m+1 σ n+1 i
59 Κανονική Μορφή Garside - Σκιαγράφηση Απόδειξης Εστω W B n+1, όπου: W W 1 (x 1 ) 1 W 2 (x 2 ) 1... W s (x s ) 1 W s+1 σ r γεννήτορα, X r B n+1 : σ r X r = (σ r ) 1 = X r 1 W = W 1 X 1 1 W 2 X W s X s 1 W s+1 Επίσης σ i έχουμε: σ i 2m+1 = 2m+1 σ n+1 i W = s P, όπου P μια θετική λέξη
60 Κανονική Μορφή Garside - Σκιαγράφηση Απόδειξης Αν P πρώτη ως προς τότε W = s P
61 Κανονική Μορφή Garside - Σκιαγράφηση Απόδειξης Αν P πρώτη ως προς τότε W = s P Αν όχι γράφουμε P = t A, με t μέγιστο για όλες τις P i D(P).
62 Κανονική Μορφή Garside - Σκιαγράφηση Απόδειξης Αν P πρώτη ως προς τότε W = s P Αν όχι γράφουμε P = t A, με t μέγιστο για όλες τις P i D(P). W = s t Ā = m Ā με t s = m
63 Κανονική Μορφή Garside Θεώρημα (Garside, 1969) Στην B n+1 κάθε λέξη W μπορεί να εκφρασθεί μοναδικά στην μορφή mā
64 Κανονική Μορφή Garside Θεώρημα (Garside, 1969) Στην B n+1 κάθε λέξη W μπορεί να εκφρασθεί μοναδικά στην μορφή mā Ειναι μοναδική η γραφή.
65 Κανονική Μορφή Garside Θεώρημα (Garside, 1969) Στην B n+1 κάθε λέξη W μπορεί να εκφρασθεί μοναδικά στην μορφή mā Ειναι μοναδική η γραφή. Αποτελεί λύση του word problem
66 Κανονική Μορφή Garside Θεώρημα (Garside, 1969) Στην B n+1 κάθε λέξη W μπορεί να εκφρασθεί μοναδικά στην μορφή mā Ειναι μοναδική η γραφή. Αποτελεί λύση του word problem Όλες οι βελτιωμένες λύσεις ακολουθούν τη λογική του Garside (πλην του Dehornoy)
67 Κανονική Μορφή Garside Θεώρημα (Garside, 1969) Στην B n+1 κάθε λέξη W μπορεί να εκφρασθεί μοναδικά στην μορφή mā Ειναι μοναδική η γραφή. Αποτελεί λύση του word problem Όλες οι βελτιωμένες λύσεις ακολουθούν τη λογική του Garside (πλην του Dehornoy) Η 2 παράγει το κέντρο της B n.
68 Κανονική Μορφή Garside Θεώρημα (Garside, 1969) Στην B n+1 κάθε λέξη W μπορεί να εκφρασθεί μοναδικά στην μορφή mā Ειναι μοναδική η γραφή. Αποτελεί λύση του word problem Όλες οι βελτιωμένες λύσεις ακολουθούν τη λογική του Garside (πλην του Dehornoy) Η 2 παράγει το κέντρο της B n. Ελυσε το conjugacy problem.
69 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Πρώτο άρθρο "A Fast Method for Comparing Braids", (1997)
70 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Πρώτο άρθρο "A Fast Method for Comparing Braids", (1997) Λύνει το word problem
71 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Πρώτο άρθρο "A Fast Method for Comparing Braids", (1997) Λύνει το word problem Αποδεικνύει την ύπαρξη μιας γραμμικής διάταξης στην Ομάδα των Πλεξίδων
72 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Πρώτο άρθρο "A Fast Method for Comparing Braids", (1997) Λύνει το word problem Αποδεικνύει την ύπαρξη μιας γραμμικής διάταξης στην Ομάδα των Πλεξίδων εν δίνει λύση στο conjugacy problem
73 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Ορισμός Εστω w μία μη-κενή λέξη. Θα λέμε ότι το σ m είναι το κύριο γράμμα (main letter) της w αν το σ ±1 m εμφανίζεται στην w αλλά κανένα άλλο γράμμα σ ±1 i με i >m δεν εμφανίζεται. Ορισμός Θα λέμε ότι η w είναι σ-θετική (αντ. σ-αρνητική) αν το κύριο γράμμα σ m της w εμφανίζεται μόνο θετικά (αντ. αρνητικά). ηλ. το σ m εμφανίζεται αλλά όχι το σ 1 m.
74 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Το Βασικό Θεώρημα, 1997 Κάθε λέξη πλεξίδας είναι ισοδύναμη με μία λέξη w η οποία είναι είτε η κενή, είτε σ-θετική είτε σ-αρνητική
75 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Το Βασικό Θεώρημα, 1997 Κάθε λέξη πλεξίδας είναι ισοδύναμη με μία λέξη w η οποία είναι είτε η κενή, είτε σ-θετική είτε σ-αρνητική Λύνει το word problem
76 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Το Βασικό Θεώρημα, 1997 Κάθε λέξη πλεξίδας είναι ισοδύναμη με μία λέξη w η οποία είναι είτε η κενή, είτε σ-θετική είτε σ-αρνητική Λύνει το word problem Επάγει μια ολική διάταξη στην B n
77 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Το Βασικό Θεώρημα, 1997 Κάθε λέξη πλεξίδας είναι ισοδύναμη με μία λέξη w η οποία είναι είτε η κενή, είτε σ-θετική είτε σ-αρνητική Λύνει το word problem Επάγει μια ολική διάταξη στην B n Η ιάταξη στην B n Για δύο οποιεσδήποτε πλεξίδες β, β θα λέμε ότι β <β αν και μόνο αν η λέξη που αναπαριστά την β 1 β είναι σ-θετική
78 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Θα λέμε ότι μια λέξη πλεξίδας v είναι μια σ i -λαβή προσήμου + (αντ. -) αν η v είναι της μορφής σ i uσ 1 i (αντ. σ 1 i uσ i ) με την u να μην περιέχει κανένα γράμμα σ ±1 j με j i.
79 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Θα λέμε ότι μια λέξη πλεξίδας v είναι μια σ i -λαβή προσήμου + (αντ. -) αν η v είναι της μορφής σ i uσ 1 i (αντ. σ 1 i uσ i ) με την u να μην περιέχει κανένα γράμμα σ ±1 j με j i. Θα λέμε ότι η v είναι μια καλή σ i -λαβή αν επιπλέον τουλάχιστον ένα από τα γράμματα σ i 1, σ 1 i 1 δεν εμφανίζεται. ηλ. αν η v δεν περιέχει καμία σ i 1 -λαβή.
80 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Μια σ i -λαβή προσήμου
81 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Το Βασικό Θεώρημα Κάθε λέξη πλεξίδας είναι ισοδύναμη με μία λέξη w η οποία είναι είτε η κενή, είτε σ-θετική είτε σ-αρνητική
82 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Το Βασικό Θεώρημα Κάθε λέξη πλεξίδας είναι ισοδύναμη με μία λέξη w η οποία είναι είτε η κενή, είτε σ-θετική είτε σ-αρνητική 1 η Ισοδύναμη πρόταση Κάθε λέξη πλεξίδας w με κύριο γράμμα το σ m είναι ισοδύναμη με μιά λέξη w που δεν περιέχει σ m -λαβή.
83 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Κάθε λέξη που περιέχει μία λαβή, περιέχει και μία καλή λαβή
84 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Κάθε λέξη που περιέχει μία λαβή, περιέχει και μία καλή λαβή Η πρώτη λαβή σε μια λέξη w είναι αυτή που ολοκληρώνεται πρώτη όταν κανείς ξεκινήσει να διαβάζει την w από τα αριστερά
85 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Κάθε λέξη που περιέχει μία λαβή, περιέχει και μία καλή λαβή Η πρώτη λαβή σε μια λέξη w είναι αυτή που ολοκληρώνεται πρώτη όταν κανείς ξεκινήσει να διαβάζει την w από τα αριστερά Εστω w μια λέξη πλεξίδας που περιέχει τουλάχιστον μια λαβή. Τότε η πρώτη λαβή της w είναι καλή λαβή
86 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Το Βασικό Θεώρημα Κάθε λέξη πλεξίδας είναι ισοδύναμη με μία λέξη w η οποία είναι είτε η κενή, είτε σ-θετική είτε σ-αρνητική
87 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Το Βασικό Θεώρημα Κάθε λέξη πλεξίδας είναι ισοδύναμη με μία λέξη w η οποία είναι είτε η κενή, είτε σ-θετική είτε σ-αρνητική 1 η Ισοδύναμη πρόταση Κάθε λέξη πλεξίδας w με κύριο γράμμα το σ m είναι ισοδύναμη με μιά λέξη w που δεν περιέχει σ m -λαβή.
88 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Το Βασικό Θεώρημα Κάθε λέξη πλεξίδας είναι ισοδύναμη με μία λέξη w η οποία είναι είτε η κενή, είτε σ-θετική είτε σ-αρνητική 1 η Ισοδύναμη πρόταση Κάθε λέξη πλεξίδας w με κύριο γράμμα το σ m είναι ισοδύναμη με μιά λέξη w που δεν περιέχει σ m -λαβή. 2 η Ισοδύναμη πρόταση Κάθε λέξη πλεξίδας είναι ισοδύναμη με μια λέξη που δεν περιέχει καλή λαβή
89 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Η κεντρική ιδέα της μεθόδου free group reduction (αναγωγή ελεύθερων ομάδων): Η αντικατάσταση των σ i σ 1 i = σ 1 i σ i με την κενή λέξη
90 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Η κεντρική ιδέα της μεθόδου free group reduction (αναγωγή ελεύθερων ομάδων): Η αντικατάσταση των σ i σ 1 i = σ 1 i σ i με την κενή λέξη Μπορούμε να επεκτείνουμε την αναγωγή των ελεύθερων ομάδων;
91 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Handle Reduction Εστω ότι η v είναι μια καλή σ i -λαβή, v = σ e i uσ e i. Η αναγωγή (reduct) της v ορίζεται ως η λέξη που λαμβάνουμε από την u αντικαθιστώντας κάθε γράμμα σ i 1 με σ e i 1 σ iσ e i 1 και κάθε γράμμα σ 1 i 1 με σ e i 1 σ 1 i σ e i 1, όπου e = ±1
92 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy handle reduction
93 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Εστω w μια λέξη που περιέχει τουλάχιστον μια λαβή. Θα συμβολίζουμε με red(w) τη λέξη που προκύπτει από την w αν αντικαταστήσουμε την πρώτη λαβή της w με την ανάγωγή της.
94 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Εστω w μια λέξη που περιέχει τουλάχιστον μια λαβή. Θα συμβολίζουμε με red(w) τη λέξη που προκύπτει από την w αν αντικαταστήσουμε την πρώτη λαβή της w με την ανάγωγή της. Θα γράφουμε red k (w) για red(red(...red(w))...) }{{} k φορές
95 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Το Βασικό Θεώρημα Κάθε λέξη πλεξίδας είναι ισοδύναμη με μία λέξη w η οποία είναι είτε η κενή, είτε σ-θετική είτε σ-αρνητική
96 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Το Βασικό Θεώρημα Κάθε λέξη πλεξίδας είναι ισοδύναμη με μία λέξη w η οποία είναι είτε η κενή, είτε σ-θετική είτε σ-αρνητική 1 η Ισοδύναμη πρόταση Κάθε λέξη πλεξίδας w με κύριο γράμμα το σ m είναι ισοδύναμη με μιά λέξη w που δεν περιέχει σ m -λαβή.
97 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Το Βασικό Θεώρημα Κάθε λέξη πλεξίδας είναι ισοδύναμη με μία λέξη w η οποία είναι είτε η κενή, είτε σ-θετική είτε σ-αρνητική 1 η Ισοδύναμη πρόταση Κάθε λέξη πλεξίδας w με κύριο γράμμα το σ m είναι ισοδύναμη με μιά λέξη w που δεν περιέχει σ m -λαβή. 2 η Ισοδύναμη πρόταση Κάθε λέξη πλεξίδας είναι ισοδύναμη με μια λέξη που δεν περιέχει καλή λαβή.
98 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy Το Βασικό Θεώρημα Κάθε λέξη πλεξίδας είναι ισοδύναμη με μία λέξη w η οποία είναι είτε η κενή, είτε σ-θετική είτε σ-αρνητική 1 η Ισοδύναμη πρόταση Κάθε λέξη πλεξίδας w με κύριο γράμμα το σ m είναι ισοδύναμη με μιά λέξη w που δεν περιέχει σ m -λαβή. 2 η Ισοδύναμη πρόταση Κάθε λέξη πλεξίδας είναι ισοδύναμη με μια λέξη που δεν περιέχει καλή λαβή. 3 η Ισοδύναμη πρόταση Για κάθε λέξη w υπάρχει k τέτοιο ώστε η red k (w) να μην περιέχει καμμία λαβή.
99 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy 3 η Ισοδύναμη πρόταση Για κάθε λέξη w υπάρχει k τέτοιο ώστε η red k (w) να μην περιέχει καμμία λαβή.
100 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy 3 η Ισοδύναμη πρόταση Για κάθε λέξη w υπάρχει k τέτοιο ώστε η red k (w) να μην περιέχει καμμία λαβή. 3 Κεντρικά Λήμματα
101 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy 3 η Ισοδύναμη πρόταση Για κάθε λέξη w υπάρχει k τέτοιο ώστε η red k (w) να μην περιέχει καμμία λαβή. 3 Κεντρικά Λήμματα Πολλές βοηθητικές προτάσεις
102 Η μέθοδος Handle Reduction του Dehornoy 3 η Ισοδύναμη πρόταση Για κάθε λέξη w υπάρχει k τέτοιο ώστε η red k (w) να μην περιέχει καμμία λαβή. 3 Κεντρικά Λήμματα Πολλές βοηθητικές προτάσεις Πολλούς και τεχνικούς ορισμούς
103 Η παράσταση των Birman, Ko και Lee Ορισμός Εστω η ομάδα B n και οι κλωστές της t, s με 1 s <t n, ορίζουμε τον γεννήτορα α ts της B n ως εξής: α ts = (σ t 1 σ t 2... σ s+1 )σ s (σ 1 s+1... σ 1 t 2 σ 1 t 1 ) στο εξής θα αναφερόμαστε στους παραπάνω γεννήτορες ως BKL-γεννήτορες.
104 Η παράσταση των Birman, Ko και Lee 1 s t n 1 s t n α ts α 1 ts
105 Η παράσταση των Birman, Ko και Lee α ts α rq = α rq α ts αν (t r)(t q)(s r)(s q) >0.
106 Η παράσταση των Birman, Ko και Lee α ts α rq = α rq α ts αν (t r)(t q)(s r)(s q) >0. s q r t s q r t =
107 Η παράσταση των Birman, Ko και Lee α ts α rq = α rq α ts αν (t r)(t q)(s r)(s q) >0. s q r t s q r t = Η σχέση α ts α rq = α rq α ts για 1 s <q <r t.
108 Η παράσταση των Birman, Ko και Lee α ts α sr = α tr α ts = α sr α tr για 1 r <s <t n.
109 Η παράσταση των Birman, Ko και Lee α ts α sr = α tr α ts = α sr α tr για 1 r <s <t n. r s t r s t r s t
110 Η παράσταση των Birman, Ko και Lee α ts α sr = α tr α ts = α sr α tr για 1 r <s <t n. r s t r s t r s t Η σχέση α ts α sr = α tr α ts = α sr α tr για 1 r <s <t n.
111 Η παράσταση των Birman, Ko και Lee Ορισμός Θα ορίσουμε ως BKL-θεμελιώδη λέξη στην ομάδα πλεξίδων B n, με γεννήτορες τους BKL-γεννήτορες, την λέξη που ορίζεται ώς: δ n = α n,n 1 α n 1,n 2 α 2,1 = σ n 1 σ n 2 σ 1 και θα την συμβολίζουμε με δ n
112 Η παράσταση των Birman, Ko και Lee Ορισμός Θα ορίσουμε ως BKL-θεμελιώδη λέξη στην ομάδα πλεξίδων B n, με γεννήτορες τους BKL-γεννήτορες, την λέξη που ορίζεται ώς: δ n = α n,n 1 α n 1,n 2 α 2,1 = σ n 1 σ n 2 σ 1 και θα την συμβολίζουμε με δ n
113 Η παράσταση των Birman, Ko και Lee Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ δ n
114 Η παράσταση των Birman, Ko και Lee Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ δ n 1 2 n = δ n n
115 Η παράσταση των Birman, Ko και Lee Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ δ n 1 2 n = δ n n 2 δ n = α ts A = Bα ts για κάθε a ts B n
116 Η παράσταση των Birman, Ko και Lee Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ δ n 1 2 n = δ n n 2 δ n = α ts A = Bα ts για κάθε a ts B n 3 α ts δ n = δ n α t+1,s+1 για κάθε a ts B n
117 Η παράσταση των Birman, Ko και Lee Θεώρημα Κάθε στοιχείο στην B n που αναπαρίσταται από μία λέξη w μπορεί να γραφεί μοναδικά στην μορφή: w = δ j na 1 A 2... A k όπου το A = A 1 A 2... A k είναι θετικό, το j είναι μέγιστο και το k ελάχιστο για κάθε τέτοια αναπαράσταση. Επίσης, τα A i είναι θετικές πλεξίδες που προσδιορίζονται μοναδικά μέσω των μεταθέσεων που τις αντιστοιχούν.
118 Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Κρυπτογραφία
119 Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Κρυπτογραφία Ιστορικά
120 Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Κρυπτογραφία Ιστορικά Ορισμοί
121 Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Κρυπτογράφηση Συμμετρικού κλειδιού:
122 Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Κρυπτογράφηση Ασύμμετρου κλειδιού:
123 Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Γιατί οι ομάδες των πλεξίδων;
124 Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Γιατί οι ομάδες των πλεξίδων; Τα στοιχεία της περιγράφονται ως δεδομένα εύκολα διαχειρίσιμα από τους υπολογιστές
125 Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Γιατί οι ομάδες των πλεξίδων; Τα στοιχεία της περιγράφονται ως δεδομένα εύκολα διαχειρίσιμα από τους υπολογιστές Η πράξη της ομάδας είναι απλή. Το γινόμενο δύο στοιχείων a, b είναι η αλληλουχία ab
126 Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Γιατί οι ομάδες των πλεξίδων; Τα στοιχεία της περιγράφονται ως δεδομένα εύκολα διαχειρίσιμα από τους υπολογιστές Η πράξη της ομάδας είναι απλή. Το γινόμενο δύο στοιχείων a, b είναι η αλληλουχία ab Για τις ανάγκες της κρυπτογραφίες μπορούμε να κρύψουμε τους παράγοντες του ab μετετρέποντας το στην κανονική του μορφή
127 Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Γιατί οι ομάδες των πλεξίδων; Τα στοιχεία της περιγράφονται ως δεδομένα εύκολα διαχειρίσιμα από τους υπολογιστές Η πράξη της ομάδας είναι απλή. Το γινόμενο δύο στοιχείων a, b είναι η αλληλουχία ab Για τις ανάγκες της κρυπτογραφίες μπορούμε να κρύψουμε τους παράγοντες του ab μετετρέποντας το στην κανονική του μορφή Υπάρχουν ακόμα άλυτα ή και δύσκολα προβλήματα να χρησιμοποιηθούν
128 Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία 1999, I. Anshel, M. Anshel, D. Goldfeld
129 Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία 1999, I. Anshel, M. Anshel, D. Goldfeld Κρυπτογραφικό πρωτόκολλο για μη αβελιανές ομάδες
130 Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία 1999, I. Anshel, M. Anshel, D. Goldfeld Κρυπτογραφικό πρωτόκολλο για μη αβελιανές ομάδες Υπόθεση: Το conjugacy problem είναι δύσκολο
131 Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία 1999, I. Anshel, M. Anshel, D. Goldfeld Κρυπτογραφικό πρωτόκολλο για μη αβελιανές ομάδες Υπόθεση: Το conjugacy problem είναι δύσκολο Εφαρμόζεται και σε άλλες ομάδες
132 Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία 2000, Ko, Lee, Cheon, Han, Kang και Park
133 Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία 2000, Ko, Lee, Cheon, Han, Kang και Park Μοιάζει με το κρυπτοσύστημα El Gamal
134 Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία 2000, Ko, Lee, Cheon, Han, Kang και Park Μοιάζει με το κρυπτοσύστημα El Gamal Βασίζεται στην δυσκολία επίλυσης του Generalized Conjugacy Search Problem
135 Εφαρμογή στα Πολυμερή
136 Εφαρμογή στα Πολυμερή ιαπλοκές
137 Εφαρμογή στα Πολυμερή ιαπλοκές Μοντέλο σωλήνα
138 Εφαρμογή στα Πολυμερή ιαπλοκές Μοντέλο σωλήνα Πρωταρχικό μονοπάτι
139 Εφαρμογή στα Πολυμερή ιαπλοκές Μοντέλο σωλήνα Πρωταρχικό μονοπάτι Αλγόριθμος CReTA
140 Εφαρμογή στα Πολυμερή (α) Αντιπροσωπευτικό ατομιστικό δείγμα PE (πολυαιθυλενίου) και (b) το αντίστοιχο παραγόμενο δίκτυο
141 Εφαρμογή στα Πολυμερή Ευχαριστώ πολύ για τον χρόνο σας
Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.
Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα
Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού
Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία
1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν
Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)
Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα
21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου
Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο
{ i f i == 0 and p > 0
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων
5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις
5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο
Σχέσεις και ιδιότητές τους
Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση
«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»
HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος
Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος
ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου
Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο.
2 Μέτρα 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο χώρο Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. Ορισμός 2.1. Μέτρο στον (X, A) λέμε κάθε συνάρτηση µ : A [0, ] που ικανοποιεί τις
ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27
ιάσταση του Krull Χ. Χαραλάμπους Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος, 2017 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 1 / 27 Ορισμοί Εστω R (αντιμεταθετικός) δακτύλιος. Ορισμός Η διάσταση του Krull
ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα
ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα
Μαθηματικά Πληροφορικής
Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...
Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων
Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α 1η σειρά ασκήσεων Ονοματεπώνυμο: Αριθμός μητρώου: Ημερομηνία παράδοσης: Μέχρι την Τρίτη 2 Απριλίου 2019 Σημειώστε τις ασκήσεις για τις οποίες έχετε παραδώσει λύση: 1
Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ
15 Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε κάποιες ειδικές μορφές ΣΔΕ για τις οποίες υπάρχει μέθοδος επίλυσης. Περισσότερες μπορεί να δει κανείς στο Kloeden and Plaen (199), 4.-4.4. Θα
HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.
HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων
Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις
Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε
1. Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί 2 2 πίνακες, δηλαδή, a 21 a, και ανάλογα για τους B, C. Υπολογίστε τους πίνακες (A B) C και A (B C) και
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Εαρινό Εξάμηνο 0 Ασκήσεις για προσωπική μελέτη Είναι απολύτως απαραίτητο να μπορείτε να τις λύνετε, τουλάχιστον τις υπολογιστικές! Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί πίνακες,
Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance
Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2
12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει
Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss
Κεφάλαιο 1 Πίνακες και απαλοιφή Gauss Γύρω απ το γινομένου πινάκων Κάτι σαν τυπολόγιο Αν AB = C, τότε: 1 (C) i j = (i-γραμμή A) ( j-στήλη B) Το συμβολίζει εσωτερικό γινόμενο 2 (i-γραμμή C) = k(a) ik (k-γραμμή
Εφαρμογές στην κίνηση Brown
13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε
Αναλυτικές ιδιότητες
8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ31: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 017-018 Φροντιστήριο 5 1. Δικαιολογήστε όλες τις απαντήσεις σας. i. Δώστε τις 3 βασικές ιδιότητες ενός AVL δένδρου.
Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα
3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,
Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading
Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ
Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.
A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με
17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης
Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»
( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε
Επιχειρησιακή Ερευνα Ι
Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.
Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών
1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε
Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός
602. Συναρτησιακή Ανάλυση. Υποδείξεις για τις Ασκήσεις
602. Συναρτησιακή Ανάλυση Υποδείξεις για τις Ασκήσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 2018 Περιεχόμενα 1 Χώροι με νόρμα 1 2 Χώροι πεπερασμένης διάστασης 23 3 Γραμμικοί τελεστές και γραμμικά
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά
Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο
4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς
Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης
Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης 9 Φεβρουαρίου 2015 2 Περιεχόμενα I ΑΡΙΘΜΟΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7 1 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΩΤΟΙ
Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0.
Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση f(x) = λe λx αν x, αν x
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ
ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 07 08 ΛΕΥΚΑΔΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ
Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.
2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία
Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις
14 Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14.1 Γενικά Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέμε μια εξίσωση της μορφής dx = µ(, X ) d + σ(, X ) db, X = x, (14.1) με µ, σ : [, ) R R μετρήσιμες συναρτήσεις, x R, και B
ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.
ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το
ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Αθήνα, 12 Απριλίου 2016.
Αλγεβρική Γεωμετρία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος Κεφάλαιο 1. Αλγεβρικές ποικιλότητες 1 1. Αλγεβρικά Σύνολα 1 2. Το Θεώρημα Ριζών του Hilbert 7 3. Συγγενείς Αλγεβρικές Ποικιλότητες 14 4. Πολλαπλότητα και Πολλαπλότητα
Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή)
Εισαωή στη Μιαδική Ανάλυση Σημειώσεις (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Ε. Στεφανόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιαίου Καρλόβασι Καλοκαίρι 26 Πρόλοος Οι σημειώσεις αυτές είναι αποτέλεσμα επεξερασίας
Επίλυση δικτύων διανομής
ΑστικάΥδραυλικάΈργα Υδρεύσεις Επίλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατύπωση του προβλήματος Δεδομένου ενός δικτύου αγωγών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 - Λύσεις 1. Εστω ο πίνακας Α = [12, 23, 1, 5, 7, 19, 2, 14]. i. Να δώσετε την κατάσταση
ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο
ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ------------------------------------------------------------------------------------- H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει αντικείμενο
Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ/ΕΤΥ: Μεταπτυχιακό Μάθημα 8η Ενότητα: Γραμμικός Προγραμματισμός ως Υπορουτίνα για Επίλυση Προβλημάτων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr)
Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης
Ring Routing and Wavelength Conversion. Γιώργος Ζώης
Ring Routing and Wavelength Conversion Γιώργος Ζώης Ενότητες της παρουσίασης 1. Directed Ring Routing Wavelength Conversion σε WDM δίκτυα. 2. Wavelength Conversion σε shortest path δρομολογήσεις. 3. Επιπλέον
Η εξίσωση Black-Scholes
8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το
Η κατανομή του Euler επί των αυτοαντίστροφων στοιχείων της
Ε Κ Π Α Τ Μ Η κατανομή του Euler επί των αυτοαντίστροφων στοιχείων της υπεροκταεδρικής ομάδας Μ Ε Μουστάκας Βασίλης - Διονύσης : Χ Α. Α Αθήνα Ιούνιος 07 Στον πρώτο μου δάσκαλο, μαθηματικό Γιάννη Καρρά.
Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ
Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα
17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη
Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον
ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών.
ΘΕΩΡΙ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. 1. ΣΥΝΟΛ: το σκεπτικό. σύνολο = πολλά στοιχεία ως «ένα», ως «μία» ολότητα. τα στοιχεία ανήκουν στο σύνολο, ή είναι μέλη του συνόλου το σύνολο περιέχει
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.
(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις
(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις Είναι πράγματι τα «προβλήματα» τόσο δύσκολα; Είδαμε (σύντομα) στα προηγούμενα
Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν
1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή
Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:
Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ
ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.
ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 2. Σάμης Τρέβεζας
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 2 Σάμης Τρέβεζας ii ΣΑΜΗΣ ΤΡΕΒΕΖΑΣ Λέκτορας Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Πιθανότητες ΙΙ Σημειώσεις σε εξέλιξη... (02/03) Περιεχόμενα 1 Δομές σε Οικογένειες
ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ
ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γεώργιος Κ. Πατρίκιος, Δικηγόρος, ΜΔΕ Δημοσίου Δικαίου, Υπ. Διδάκτωρ Νομικής Σχολής Πανεπιστημίου Αθηνών. ΘΕΜΑΤΙΚΗ : Η αρμοδιότητα των διοικητικών
Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Ενα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες Ενα δεύτερο
Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα
Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) Τετάρτη 8 Μαΐου 26 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων η LaT E X-έκδοση ( 22/5/26)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 1. Εστω η στοίβα S και ο παρακάτω αλγόριθμος επεξεργασίας της. Να καταγράψετε την κατάσταση
"Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ".
"Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ". "Ότι ανόητο είπα μπορεί και να είναι ένα ρέψιμο κάποιου ξεχασμένου αστέρα..." "Δεν κάνει
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ / ΕΤΥ : Μεταπτυχιακό Μάθημα 4η Ενότητα: Γραμμικά Συστήματα Εξισωσεων και Pivots Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr) Τμήμα Μηχανικών
Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!
Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη
Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.
Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
Σημειώσεις Μαθηματικών Μεθόδων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Σημειώσεις Μαθηματικών Μεθόδων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Φεβρουαρίου 08 Κεφάλαιο Το Μιγαδικό Εκθετικό Είναι γνωστό ότι η εκθετική συνάρτηση e x έχει το ανάπτυγμα
Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann
Κ Ε Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann Διπλωματική Εργασία Ειδίκευσης στα Θεωρητικά Μαθηματικά Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα 2011 Αφιερώνεται στην οικογένεια μου ii Περίληψη
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες
CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα
Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 10η Ενότητα: Χρονικά Εξελισσόμενες ικτυακές Ροές Σπύρος Κοντογιάννης kntg@cse.ui.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ &
( ) Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ
Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ Ενδιαφερόμαστε μεν για τους αλγορίθμους αλλά εντός ενός συγκεκριμμένου πλαισίου: (α) ως λύσεις προβλημάτων,
Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά
1/35 Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά Νίκος Γιαννακόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2014-2015 Εαρινό Εξάμηνο Τι γνωρίζουμε; 2/35 Αγορά αγαθών και
Περίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2
Το Μέτρο και η Διάσταση Hausdorff Γεωργακόπουλος Νίκος Τερεζάκης Αλέξης Περίληψη Αναπτύσσουμε τη ϑεωρία του μέτρου και της διάστασης Hausdorff με εφαρμογές στον υπολογισμό διαστάσεων συνόλων fractal (Θεώρημα
Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 01: ΕΞΑΝΤΛΗΤΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ
Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 01: ΕΞΑΝΤΛΗΤΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ Δεδομένου ενός προβλήματος Q, ο πρώτος σκοπός μιας εξαντλητικής αναζήτησης είναι να μας εφασφαλίσει
Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ
Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη
Μία χρονοσειρά (time serie) είναι μια ακολουθία
Matching Βάση Χρονοσειρών Μία χρονοσειρά (time serie) είναι μια ακολουθία πραγματικών αριθμών, που αντιπροσωπεύουν μετρήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής σε ίσα χρονικά διαστήματα πχ Οι τιμές των μετοχών
Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016
Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα
α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,
Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,
ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ
ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate Κατηγορίες οφέλους και κόστους που προέρχονται από τις δημόσιες δαπάνες Για την αξιολόγηση
Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες
5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 51 Ορισμός, ύπαρξη, και μοναδικότητα Ορισμός 51 Μια στοχαστική ανέλιξη { : t } ορισμένη σε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και με τιμές στο R λέγεται (μονοδιάστατη)
Περιεχόμενα. 3 Γεννήτριες συναρτήσεις Συνήθεις γεννήτριες συναρτήσεις Βασικές γεννήτριες συναρτήσεις
Περιεχόμενα Γραφήματα 5. Εισαγωγή ιστορικό....................................... 5. Γραφήματα δεσμών........................................ 6.. Βασικοί ορισμοί...................................... 6..
Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε (X = = (X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων αριθμών
Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2011-12 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες