HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ."

Transcript

1 HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων υτομάτων.

2 Α ΜΕΡΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΑΥΤΟΜΑΤΑ & ΟΜΑΛΕΣ ΓΡΑΜΜΑΤΙΚΕΣ Τ ερωτήμτ είνι πλά κι με λυμμέν πρδείγμτ. Προσπθείστε ν δώσετε τ περισσότερ που μπορείτε. Βθμολογικά θ μετρήσουν τ εξής: το πόση «ύλη» κλύψτε, (με στόχο πάνω πό το 70%, κι έν τουλάχιστον υπο ερώτημ πό κάθε ερώτημ), η ποιότητ των πντήσεων (ζητείτι σφήνει, κρίει, εξηγήσεις, κι «σωστή γλώσσ»/ορολογί). Η διορί πράδοσης είνι: στο μάθημ της 23 ης / 11 ου / 2015 (#1) ΟΜΑΛΕΣ ΓΡΑΜΜΑΤΙΚΕΣ: Το εάν μι γρμμτική είνι ομλή ή όχι, φίνετι στην μορφή της, στον τρόπο με τον οποίο είνι γρμμένη: πρέπει (i) τ πργωγικά σύμολ («κεφλί») ν μεττρέποντι μόνον σε μι λέξη λ πό τερμτικά σύμολ («πεζά»), κολουθούμενη πό κριώς έν πργωγικό σύμολο, ή κνέν. ΕΡΩΤΗΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Ποιές πό τις εξής γρμμτικές είνι ομλές; I Κ Κ Λ Μ Λ Κ Μ γ Μ Λ I Κ Κ Λ Κ Λ γ Κ Μ γ Μ Λ I Κ Κ Λ Μ Λ Κ Μ Λ Ι I Λ Κ γ Λ γ γ Κ Λ Μ Μ γ Λ () () (γ) (δ) () Είνι ομλή: τηρούντι οι κνόνες μορφής: ριστερά του έχουμε =1 πργωγικό σύμολο, κι δεξιά μι λέξη (λ.χ. ) κι κριώς 1 ή 0 πργωγικά σύμολ. Προσέξτε ότι ένς κνόνς «Χ» περιέχει (τρόπος του λέγειν) την κενή λέξη κι κνέν (επόμενο) πργωγικό σύμολο. () Είνι ομλή. Προσέξτε ότι δεν μς πειράζει που δεν περιέχει πλειφές της μορφής Χ πλά η γρμμτική δεν πράγει κμμί λέξη (δηλδή δεν πράγει ούτε κάν την κενή λέξη, δηλδή πράγει την κενή γλώσσ). (γ) Δεν είνι ομλή. Ο 2 ος κνόνς δεν έχει έν (κι κριώς) πργωγικό σύμολο ριστερά του. (δ) Δεν είνι ομλή. Ο 4 ος κνόνς έχει τ τερμτικά σύμολ μετά το πργωγικό. Θ πρέπει ν είνι πντού πριν πό υτό (ή πντού μετά, λλά όχι τ δύο νάμεικτ). ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣ ΠΑΡΑΔΟΣΗ (#1) (1) Ποιές πό τις εξής γρμμτικές είνι ομλές; I γ Λ I Μ I γ Λ I Κ Κ Μ Κ Ι γ Κ Λ Μ Κ γ Κ Λ Κ Λ γ γ Κ Λ Λ Ι Κ Λ γ Κ γ Μ Ι Λ Μ Κ Μ Λ Ι (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) (#2) ΟΜΑΛΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΚΛΕΙΣΤΟΤΗΤΑ: Το εάν μι γλώσσ είνι ομλή ή όχι, εξρτάτι πό το εάν μπορούμε ή όχι ν ρούμε μι ομλή γρμμτική που ν την πράγει. Στις πλές περιπτώσεις υτό το κάνουμε «κτ ευθείν». Στις πιο σύνθετες χρησιμοποιούμε τους κνόνες κλειστότητς.

3 ΕΡΩΤΗΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Δείξτε ότι οι εξής γλώσσες Λ (επί του Σ = {,, γ } ν δεν δίδετι κάτι άλλο) είνι ομλές: () Λ = «όλες οι λέξεις που περιέχουν ως υπόλεκτο το» () Λ = «όλες οι λέξεις που _δεν_ περιέχουν το υπόλεκτο» (γ) Λ = «όλες οι λέξεις που _ν_ περιέχουν το γ τότε περιέχουν κι το γ» (δ) Λ = «οι λέξεις που έχουν την μορφή μις σειράς φυσικών δεκδικών ριθμών ( 1), χωρισμένων με πύλες κι εγκλεισμένων σε γκύλες, π.χ. [ ]» (ε) Λ = «οι δεκδικοί γρμμένοι σε επιστημονική γρφή, λ.χ Ε+2» Έστω ότι μι γλώσσ L επί του λφήτου Σ είνι ομλή, κι Μ Σ*. Δείξτε ότι κι οι εξής γλώσσες θ είνι ομλές: (στ) Πρόθεμ(L) { λ: λ L, κι υπάρχει τέλος τ Σ* γι τη λ ώστε λ τ L } (ζ) Maximum(L) { λ: λ L, κι γι κάθε επέκτση τ Σ* της λ (τ ), λ τ L } () Η πιο πλή κι θεμελική περίπτωση: Λ = Σ* {} Σ*, δηλδή η πράθεση τριών προφνώς ομλών γλωσσών. () Η χρησιμότητ της «άρνησης» ή «συμπληρώμτος»: πίρνουμε την γλώσσ που έχει το υπόλεκτο κι εξ υτής το συμπλήρωμ: Λ = Σ* (Σ* {} Σ*). (γ) Αυτό είνι πιο πονηρό: πιτεί πλά στοιχεί προτσικού λογισμού: έχουμε την συνθήκη (P Q), όπου P = «περιέχει γ», Q = «περιέχει γ». Επειδή η έκφρση (P Q) ισοδυνμεί με την έκφρση ( P Q) έχουμε ισοδυνάμως την ένωση [(δεν «έχει γ») ή «έχει γ»]. Έστω οι γλώσσες Λγ = (Σ* {γ} Σ*), Λγ = (Σ* {γ} Σ*), κι Λ = (Σ* Λγ) Λγ. Οι Λγ, Λγ είνι εμφνώς ομλές κι το ζητούμενο γι την προκύπτει πό την κλειστότητ ως προς συμπλήρωμ «Σ*», κι την ένωση. Στ πρπάνω εφρμόζουμε κυρίως τους κνόνες κλειστότητς ως προς τομή, ένωση, συμπλήρωμ, γι ν νλύσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι λέξεις της γλώσσς. Έχουμε όμως στη διάθεσή μς κι τους «γρμμτικούς» κνόνες κλειστότητς ως προς πράθεση, επνάληψη κι κτοπτρισμό. (δ) Η γλώσσ Φ των φυσικών δεκδικών είνι (εύκολ) ομλή, κι μι σειρά σν την πρπάνω ρχίζει με [ Φ (πράθεση) συνεχίζει με μι όριστη επνάληψη ( Φ )* κι τελειώνει με ]. Η όλη γλώσσ είνι ομλή πό την κλειστότητ ως προς πράθεση κι όριστη επνάληψη. (ε) Οι ριθμοί υτοί ποτελούντι πό 7 μέρη: έν προιρετικό πρόσημο, έν κέριο μέρος, μι τελεί, έν δεκδικό μέρος, τον εκθέτη «Ε», έν προιρετικό πρόσημο, κι ένν φυσικό ριθμό. Όλ υτά εκφράζοντι εύκολ με ομλές γλώσσες κι ο όλος ριθμός δίδετι πό την πράθεσή τους. Τ «προιρετικά» μέρη μπορούν ν εκφρστούν πό την κενή λέξη (κι σε επίπεδο υτομάτου) πό κενές μετάσεις. Τέλος, πό την τροποποίηση ενός διγράμμτος μετάσεων, μπορούμε ν πάρουμε κι άλλες ομλές γλώσσες. Τ δύο τελευτί ερωτήμτ πντώντι με υτόν τον τρόπο. (στ) Έστω Α έν υτόμτο που ποδέχετι την Λ, κι Τ το σύνολο των ποδεκτικών κτστάσεων του. Ελέγχουμε κάθε κτάστση Κ γι το εάν υπάρχει διδρομή πό υτήν προς κάποι ποδεκτική κτάστση εντός του Τ, κι εάν νι την σημειώνουμε. Στο τέλος χρκτηρίζουμε κάθε σημειωμένεη κτάστση ως ποδεκτική. (ζ) Έστω Α έν υτόμτο που ποδέχετι την Λ, κι Τ το σύνολο των ποδεκτικών κτστάσεων του. Ελέγχουμε εάν πό μι κτάστση Κ του Τ υπάρχει διδρομή που οδηγεί σε κτάστση του Τ (σε άλλη ή κόμ κι στον ευτό της) κι ν νι τότε την σημειώνουμε. Στο τέλος χρκτηρίζουμε τις σημειωμένες κτστάσεις ως πορριπτικές. ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣ ΠΑΡΑΔΟΣΗ (#2) Δείξτε ότι οι εξής γλώσσες είνι ομλές. (2.1) L = { λ {, }* : η λέξη λ δεν περιέχει το υπόλεκτο, εκτός, ίσως, ν περιέχει το }. (2.2) L = { λ {, }* : η λέξη λ περιέχει άρτιο πλήθος πό κι περιττό πό }. (2.3) Κτάληξη(L) { λ: λ L, κι υπάρχει ρχή Σ* γι τη λ ώστε λ L }

4 (2.4) L προ M { λ: λ L, κι υπάρχει τ Μ ώστε λ τ L } (#3) ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΜΕΤΑΒΑΣΕΩΝ: Σε πλές περιπτώσεις μπορούμε ν σχεδιάσουμε έν διάγρμμ μετάσης ώστε ν δέχετι μι πλή γλώσσ. Σε πλές περιπτώσεις μπορούμε επίσης ν νγνώσουμε έν διάγρμμ μετάσης, κι ν κτλάουμε τί γλώσσ ποδέχετι. ΕΡΩΤΗΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: () Σχεδιάστε (μέσω διγρμμάτων μετάσης) ιτιοκρτικό υτόμτ τέτοι ώστε ν δέχοντι τις εξής γλώσσες: { λ {, }* : κάθε στην λέξη λ εμφνίζετι μόνον μετά κι πρίν πό έν } () Περιγράψτε (σε πλά κι σφή Ελληνικά) το ποιές γλώσσες επί του Σ = {, } ποδέχοντι τ πρκάτω υτόμτ:, () () () Οι εμφνίσεις των κι νοίγουν κι κλείνουν σν πρενθέσεις, κι δεν έχουμε πάνω πό τρί διδοχικά. () Η μετάση πό την 2 η κτάστση στην 3 η οδηγεί σε πόρριψη, λλά είνι περιττή. Χωρίς υτήν κι την 3 η κτάστση το υτόμτο ποδέχετι κάθε λέξη, φού σε κτάστση διάζει οποιοδήποτε σύμολο, κι όλες οι κτστάσεις του είνι ποδεκτικές. Το υτόμτο ποδέχετι λοιπόν κάθε λέξη πλά δεν χρησιμοποιούμε ποτέ την μετάση πό την 2 η κτάστση στην 3 η. ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣ ΠΑΡΑΔΟΣΗ (#3) (3.1) Σχεδιάστε (μέσω διγρμμάτων μετάσης) ιτιοκρτικά υτόμτ τέτοι ώστε ν δέχοντι τις εξής γλώσσες: (3.1.1) { λ {, }* : η λέξη λ δεν περιέχει ούτε την (υπο)λέξη ούτε την }. (3.1.2) { λ {, }* : η λέξη λ περιέχει άρτιο πλήθος πό κι περιττό πό } (3.2) Περιγράψτε (σε πλά κι σφή Ελληνικά) το ποιές γλώσσες επί του Σ = {, } ποδέχοντι τ πρκάτω υτόμτ: γ (1), γ (2) (#4) Διάγνωση ποδοχή: Γι την ποδοχή μις λέξης πό έν υτόμτο ρκεί ένς ποδκετικός περίπτος στο ντίστοιχο διάγρμμ μετάσεων. Πώς νκλύπτουμε κάτι τέτοιο; Σε πλές περιπτώσεις ρκεί η πρτήρηση. Σε πιο σύνθετες θ πρέπει ν εφρμόσουμε την μέθοδο της επόμενης ενότητς (5).

5 Κ Μ Κ Τ 2 Ι Λ, Τ Ι Λ, Τ 1 () () ΕΡΩΤΗΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: () Ελέγξτε εάν το υτόμτο ριστερά, ποδέχετι τη λέξη λ =. () Ελέγξτε εάν το υτόμτο δεξιά, ποδέχετι τη λέξη λ =. () Αρκεί η διδρομή Ι Μ Κ Λ Ι Ι Ι. () Αρκεί η διδρομή Ι Κ Λ Ι Κ Τ2 Τ1 Τ1. ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣ ΠΑΡΑΔΟΣΗ (#4) (4.1) Ελέγξτε εάν το υτόμτο ριστερά, ποδέχετι τη λέξη λ =. (4.2) Ελέγξτε εάν το υτόμτο δεξιά, ποδέχετι τη λέξη λ =. (#5) ΔΙΑΓΝΩΣΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ: Γι ν δείξουμε ότι μι λέξη _δεν_ νήκει σε μι ομλή γλώσσ πρέπει ν πιστοποιήσουμε ότι δεν υπάρχει κμμί διδρομή πό την φετηρική κτάστση σε μι ποδεκτική κτάστση η οποί σχημτίζει υτή την λέξη. Αυτό σημίνει ότι πρέπει ν εξετάσουμε μέ κάποιο ολικό κι σωστό τρόπο όλες τις δυντές διδρομές γι υτή την λέξη. Αυτό είνι πολύ εύκολο στ ιτιοκρτικά υτόμτ, λλά όχι στ μη ιτιοκρτικά. Γι τ δεύτερ ένς τρόπος είνι το ν σημειώνουμε σε κάθε ήμ όλες τις κτστάσεις στις οποίες θ μπορούσμε ν είχμε ρεθεί διάζοντς άλλο έν γράμμ πό την λέξη. Αν στο τέλος θ μπορούσμε ν είχμε φθάσει σε έστω μί ποδεκτική κτάστση τότε κι μόνον τότε η λέξη νήκει στη γλώσσ. ΕΡΩΤΗΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Δείξτε ότι το εξής (μη ιτιοκρτικό) υτόμτο _δεν_ ποδέχετι τη λέξη:., γ Τ, γ Ι M Κ γ Λ Γι ν γίνει ποδεκτή η λέξη ρκεί ν υπάρχει έστω ένς περίπτος πό την φετηρική κτάστση Ι σε μι ποδεκτική κτάστση (εδώ την Τ) που ν σχημτίζει υτή τη λέξη. Πρέπει λοιπόν ν δείξουμε ότι δεν υπάρχει κνένς τέτοιος περίπτος άρ θ πρέπει ν ελέγξουμε μεθοδικά όλες τις δυντές διδρομές που θ μπορούσε ν κολουθήσει το υτόμτο. Προς τούτο υπάρχει πλός κι τχύς συστημτικός τρόπος: Σχημτίζουμε ένν πίνκ με τόσες στήλες όσες οι κτστάσεις του υτομάτου, κι τόσες γρμμές όσες μί γι την ρχή κι πό μί γι κάθε σύμολο που θ διάσουμε.

6 Συμπληρώνουμε την πρώτη γρμμή σημειώνοντς με τις κστάσεις στις οποίες θ μπορούσε ν ρεθεί το υτόμτο φετηρικά δηλδή την φετηρική κι συνεχίζοντς με μί ή περισσότερες κενές μετάσεις. Συμπληρώνουμε κάθε γρμμή που ντιστοιχεί σε σύμολο σ, εξετάζοντς το σε ποιές κτστάσεις θ μπορούσε ν ήτν το υτόμτο (πό την προηγούμενη γρμμή) κι σημειώνοντς όσες θ μπορούσε ν ρεθεί σε υτές διάζοντς σ κι συνεχίζοντς με μί ή περισσότερες κενές μετάσεις. Ελέγχουμε εάν στην τελική γρμμή υπάρχει έστω μί ποδεκτική κτάστση. Στο πράδειγμ θ είχμε τ εξής: Ι Κ Λ Μ Τ ρχή γ : Σημειώνουμε την φετηρική Ι κι την Τ, διότι πό Ι πάμε Τ με κενή μετάση. : Από Ι μέσω πάμε στην Μ κι πό εκεί με κενή στην Λ // Από Τ μέσω στην Τ, κι στη Κ. // Σημειώνουμε τις Κ, Λ, Μ, Τ. : Από Κ μέσω στην Μ κι πό εκεί με κενή/κενές στην Λ // Από Λ μέσω δεν πάμε πουθενά. // Από Μ μέσω δεν πάμε πουθενά // Από Τ μέσω στην Τ κι στην Κ Σημειώνουμε τις Κ, Λ, Μ, Τ. : Από Κ μέσω στην Κ κι στην Ι, κι πό εκεί με κενή στην Τ. // Από Λ μέσω δεν πάμε πουθενά. // Από Μ μέσω δεν πάμε πουθενά. // Από Τ μέσω στην Μ κι πό εκεί με κενή στην Λ. // Σημειώνουμε Ι, Κ, Λ, Μ, Τ (όλες...). : Από Ι μέσω στην Μ κι πό εκεί με κενή στην Λ. // Από Κ μέσω στην Μ κι πό εκεί με κενή την Λ. // Από Λ μέσω δεν πάμε πουθενά. // Από Μ μέσω δεν πάμε πουθενά. // Από Τ μέσω στην Τ κι στην Κ. // Σημειώνουμε τις Κ, Λ, Μ, Τ. γ: Από Κ μέσω γ δεν πάμε πουθενά. // Από Λ μέσω γ στην Κ. // Από Μ μέσω γ δεν πάμε πουθενά. // Από Τ μέσω γ στην Μ κι πό εκεί με κενή στην Λ. // Σημειώνουμε τις Κ, Λ, Μ. Η ποδεκτική κτάστση Τ δεν περιλμάνετι στην σημειωμένες κτστάσεις της τελευτίς γρμμής, άρ όποι διδρομή κι ν κολουθούσε το υτόμτο δεν θ ποδεχότν την λέξη γ. ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣ ΠΑΡΑΔΟΣΗ (#5) (5.1) Δείξτε ότι η λέξη δεν γίνετι δεκτή πό το πρκάτω υτόμτο. (5.2) Δείξτε ότι η λέξη δεν γίνετι δεκτή πό το πρκάτω υτόμτο. Κ Λ I T, M

7 (#6) ΛΗΜΜΑ ΑΝΤΛΗΣΗΣ ΑΝΩΜΑΛΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ Γι ν δείξουμε όμως ότι _δεν_ είνι ομλή πρέπει ν δείξουμε ότι _κμμί_ ομλή γρμμτική Γ δεν την πράγει κριώς, ότι δηλδή η Γ, είτε (i) προσθέτει λέξεις που δεν έχει η Λ, είτε (ii) δεν πράγει λέξεις που έχει η Λ. Το εργλείο εδώ γι το (i) είνι το λήμμ άντλησης: δείχνουμε ότι (λόγω πείρου πλήθους λέξεων) ν η Λ ήτν ομλή τότε θ έπρεπε ν περιέχει (μετξύ άλλων) κι όλες λέξεις της μορφής x μ (κ) y, γι κάποιες συγκεκριμμένες στθερές λέξεις x, μ, y, μ, κ = 0, 1, 2, 3,... κι δείχνουμε ότι (οποιδήποτε μορφή κι εάν είχν τ x, μ, y), γι κάποιο κ θ συνέινε x μ (κ) y Λ πράγμ που οδηγεί σε άτοπο. Προσέξτε ότι μερικές φορές ολεύει ν δείξουμε όχι ότι η Λ είνι νώμλη, λλά ότι έν κομμάτι της Λ είνι νώμλο τέτοιο όμως που θ έπρεπε ν ήτν ομλό εάν ήτν κι η Λ. ΕΡΩΤΗΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Δείξτε ότι οι εξής γλώσσες δεν είνι ομλές. () η γλώσσ Λ επί του Σ = {, } όπου πλήθος = πλήθος. () η γλώσσ Λ επί του Σ = {, } όλων των λ γι τ οποί λ = λ (R) (κτοπτρικό). () Η Λ έχει οσοδήποτε μεγάλες λέξεις επομένως, πό οποιδήποτε ομλή γρμμτική κι εάν πργότν, θ έπρεπε γι κάποι συγκεκριμμέν x, μ, y όλες οι λέξεις x μ (κ) y, κ 0, ν νήκουν στην Λ, δηλδή ν έχουν ίσο πλήθος πό κι. Αλλά υτό είνι δυντόν! Αρκεί λ.χ. τ x κι y ν έχουν ίσο πλήθος πό κι, κι το ίδιο ν ισχύει γι το μ. Δεν είνι η επνάληψη του μ που μπορεί ν κάνει (εδώ) ζημιά στο πλήθος των κι. Γι υτό χρησιμοποιούμε την γλώσσ { (κ) (λ) : κ, λ 0 }. Αυτή είνι ομλή (εύκολ), κι η τομή της Λ με την Λ είνι η γλώσσ { (κ) (λ) : κ, λ 0, κ = λ}. Αυτή γνωρίζουμε ότι δεν είνι ομλή λλά ς επνλάουμε το επιχείρημ: Η Λ έχει οσοδήποτε μεγάλες λέξεις, επομένως, πό οποιδήποτε ομλή γρμμτική κι εάν πργότν, θ έπρεπε γι κάποι συγκεκριμμέν x, μ, y όλες οι λέξεις x μ (κ) y, κ 0, ν νήκουν στην Λ, δηλδή ν έχουν ίσο πλήθος πό κι, με όλ τ στην ρχή κι όλ τ στο τέλος. Αλλά υτό είνι (τώρ) δύντον: (i) ν το μ έχει ίσο πλήθος πό κι τότε η επνάληψη του θ τ νεμίγνυε κι δεν θ είχμε όλ τ στην ρχή κι όλ τ στο τέλος. (ii) ν το μ έχει διφορετικό πλήθος πό κι τότε η επνάληψη του έστω κι μί φορά θ κτέστρεφε το ισοζύγιο κι δεν θ είχμε ίσο πλήθος πό κι. Επομένως η Λ δεν πράγετι πό κμμί ομλή γρμμτική, άρ ούτε κι η Λ (διότι τότε κι η Λ θ ήτν ομλή (πό θ. κλειστότητς τομής)). () Έστω Χ η γλώσσ των λέξεων με έν κι μόνον. Η Χ είνι προφνώς ομλή. Εάν η Λ ήτν ομλή θ ήτν κι η Λ = Λ Χ. Αλλά εάν λ = λ (R) κι η λ έχει έν κριώς, τότε λ = (κ) (κ), κ 0. Γνωρίζουμε ότι υτή τη γλώσσ δεν είνι ομλή λλά ς επνλάουμε το επιχείρημ: Η Λ έχει οσοδήποτε μεγάλες λέξεις, επομένως, πό οποιδήποτε ομλή γρμμτική κι εάν πργότν, θ έπρεπε γι κάποι συγκεκριμμέν x, μ, y όλες οι λέξεις x μ (κ) y, κ 0, ν νήκουν (μετξύ άλλων) στην Λ, δηλδή ν έχουν έν κι ίσο πλήθος πό πριν κι μετά πό το. Αλλά υτό είνι δύντον. Έστω ότι η λ = x μ y νήκει στην Λ, ότι έχει δηλδή την μορφή λ = (κ) (κ). (i) ν το μ περιέχει το τότε η x μ μ y θ είχε 2 κι η λέξη λ δεν θ ήτν στην Λ. (ii) ν το μ δεν περιέχει τότε νήκει όλο στο 1 ο μέρος πριν το, είτε όλο στο 2 ο μέρος, κι η επνάληψη του στην λέξη x μ μ y θ κτέστρεφε το ισοζύγιο των νάμεσ στο 1 ο κι 2 ο μέρος της λέξης λ. Επομένως η Λ δεν πράγετι πό κμμί ομλή γρμμτική, άρ ούτε κι η Λ (διότι τότε κι η Λ θ ήτν ομλή (πό θ. κλειστότητς τομής)). ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣ ΠΑΡΑΔΟΣΗ (#6) (6.1) Το λήμμ άντλησης λέει το εξής: «εάν η γλώσσ L(Α) ενός ιτιοκρτικού υτομάτου Α έχει άπειρο πλήθος λέξεων,

8 τότε υπάρχουν λέξεις, μ, τ Σ*, ώστε κάθε λέξη μ (i) τ, i 0, νήκει στην L(A).». Δείξτε ότι το λήμμ μπορεί ν ενισχυθεί κτά τον εξής τρόπο: «... τότε υπάρχουν λέξεις, μ, τ Σ*, ώστε τ ΣΚ, κι κάθε λέξη μ (i) τ, i 0, νήκει στην L(A).» (6.2) Δείξτε ότι οι εξής γλώσσες δεν είνι ομλές. Μπορείτε ν χρησιμοποιείστε το (1) είτε το ποδείξτε είτε ή όχι. (6.1.1) L = { λ λ R : λ {, }* } ( λ R : η λέξη λ γρμμένη «νάποδ» (ή κτοπτρικά) ) (6.2.2) L = { λ λ: λ {, }* } (#7) ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ: ΕΡΩΤΗΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Σχεδιάστε υτόμτο (όχι κτ νάγκη ιτιοκρτικό) που δέχετι τη γλώσσ της εξής ομλής έκφρσης: R = * {,, } ()* Φτιάχνουμε τ επί μέρους υτόμτ, γι τις επί μέρους γλώσσες *, {,, }, ()*, κι τ συνδέουμε όπως εξηγείτι στην ενότητ περί ομλών εκφράσεων κι κλειστότητς. Στο τέλος πολλές πλοπλοιήσεις ίσως ν είνι εφικτές. Προσέξτε ότι η επνάληψη εκφράζετι με «νκυκλώσεις», η πράθεση με «λληλουχί» κι η ένωση με «δικλδώσεις»: ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣ ΠΑΡΑΔΟΣΗ (#7) (7.1) Σχεδιάστε τ υτόμτ (όχι κτ νάγκη ιτιοκρτικά) που δέχοντι τις γλώσσες των εξής ομλών εκφράσεων: (1) R = ( { {, }*, (, γ)* } )* (2) R = { (), (γ) + } γ (7.2) Έστω Μ μι ομλή έκφρση που περιγράφει τ ονόμτ μετλητών που χρησιμοποιούντι σε μι γλώσσ προγρμμτισμού. Μι συνάρτηση ή διδικσί, με τις πρμέτρους της, έχει την εξής μορφή: μ 0 ( μ 1, μ 2,..., μ κ ) όπου τ μ i είνι λέξεις της L(Μ) κι κ > 0. Δώστε μι ομλή έκφρση που ν πράγει όλες κι μόνον τις λέξεις της πρπάνω μορφής. (#8) ΘΕΩΡΗΜΑ MYHILL NERODE: ΕΡΩΤΗΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: «ποιά είνι η κλάση ισοδυνμίς της λέξης λ ως προς την γλώσσ L;» Στην σημειώσεις, στην ενότητ γι το θ. Myhill Nerode, υπάρχει έν εκτενές πράδειγμ υπολογισμού της κλάσης ισοδυνμίς μις λέξης λ ως προς μί γλώσσ L, κι ρκεί γι τ πρκάτω: ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣ ΠΑΡΑΔΟΣΗ (#8) (8.1.1) Δείξτε με άση το θ. Myhill Nerode ότι η εξής γλώσσ δεν είνι ομλή: L = { σ (ν) μ σ (ν) : μ Σ*, σ Σ, μ δεν περιέχει σ, κι ν 0 }. (8.1.2) Η γλώσσ L = { λ {, }* : η λέξη λ δεν περιέχει την (υπο)λέξη } είνι ομλή γλώσσ. (1) Ποιές είνι οι κλάσεις ισοδυνμίς της σχέσης L ; (Υπόδειξη: εξετάστε το με ποιό τρόπο μπορεί ν κτλήγει μι λέξη λ, κι το εάν περιέχει ήδη ή όχι την υπολέξη.)

9 (2) Κι ως ποτέλεσμ του (1) ποιό είνι το μικρότερο (σε πλήθος κτστάσεων) ιτιοκρτικό υτόμτο που την ποδέχετι;

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία 1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος Μέρος B Βασικά στοιχεία περί ασυμφραστικών

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 3 ο Κεφάλαιο Ηλεκτρικό Πεδίο. Ηλεκτρικό πεδίο. Παρασύρης Κώστας Φυσικός Ηράκλειο Κρήτης

Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 3 ο Κεφάλαιο Ηλεκτρικό Πεδίο. Ηλεκτρικό πεδίο. Παρασύρης Κώστας Φυσικός Ηράκλειο Κρήτης Φσική Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθνσης Β Λκείο 3 ο Κεφάλιο Ηλεκτρικό Πεδίο 3 Ηλεκτρικό πεδίο Πρσύρης Κώστς Φσικός Ηράκλειο Κρήτης Φσική Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθνσης Β Λκείο 3 ο Κεφάλιο Ηλεκτρικό Πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

( ) Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ

( ) Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ Ενδιαφερόμαστε μεν για τους αλγορίθμους αλλά εντός ενός συγκεκριμμένου πλαισίου: (α) ως λύσεις προβλημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές στην κίνηση Brown

Εφαρμογές στην κίνηση Brown 13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών.

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. ΘΕΩΡΙ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. 1. ΣΥΝΟΛ: το σκεπτικό. σύνολο = πολλά στοιχεία ως «ένα», ως «μία» ολότητα. τα στοιχεία ανήκουν στο σύνολο, ή είναι μέλη του συνόλου το σύνολο περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις

(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις (3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις Είναι πράγματι τα «προβλήματα» τόσο δύσκολα; Είδαμε (σύντομα) στα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 01: ΕΞΑΝΤΛΗΤΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ

Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 01: ΕΞΑΝΤΛΗΤΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 01: ΕΞΑΝΤΛΗΤΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ Δεδομένου ενός προβλήματος Q, ο πρώτος σκοπός μιας εξαντλητικής αναζήτησης είναι να μας εφασφαλίσει

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές ιδιότητες

Αναλυτικές ιδιότητες 8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ Eugene T. GENDLIN University of Chicago, U.S.A Αυτό το άρθρο είναι μια αναθεωρημένη έκδοση της πλήρους

Διαβάστε περισσότερα

(20 ο ) ΣΤΑΔΙΑΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Ι: ΑΠΛΗΣΤΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ

(20 ο ) ΣΤΑΔΙΑΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Ι: ΑΠΛΗΣΤΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ (20 ο ) ΣΤΑΔΙΑΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Ι: ΑΠΛΗΣΤΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Σταδιακές κατακευές: από μερικά αποτελέματα ε περιότερα. Το ημείο όπου έχουμε φθάει προφέρεται για μια μικρή ανακόπηη. Το κεπτικό μας ήταν εξ αρχής ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΤΜΤΡΗΣΗ ΘΜΛΙΚΩΝ ΣΥΝ ΥΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: η μορφολογία. Όλες οι συνδυαστικές μορφές που θα εξετάσουμε είναι διαφόρων ειδών συναρτήσεις. Οι «παράμετροι» που παραλλάσονται είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή: Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα 17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη

Διαβάστε περισσότερα

Οι Τρείς «Διαστάσεις» για το Σώμα (Eugene T. Gendlin)

Οι Τρείς «Διαστάσεις» για το Σώμα (Eugene T. Gendlin) Οι Τρείς «Διαστάσεις» για το Σώμα (Eugene T. Gendlin) Εισαγωγή: Θα ξεκινήσουμε με την ερώτηση: Πού στηρίζεται θεωρητικά η Διαδικασία Εστίασης (ΔΕ); και στην συνέχεια θα προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε πώς

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος Μέρος B Βασικά στοιχεία περί ασυμφραστικών γραμματικών

Διαβάστε περισσότερα

(13 ο ) ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΙII: «βέλτιστο στατικό ευρετήριο»

(13 ο ) ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΙII: «βέλτιστο στατικό ευρετήριο» (13 ο ) ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΙII: «βέλτιστο στατικό ευρετήριο» Βέλτιστο στατικό «μεροληπτικό» ευρετήριο «Ευρετήρια» ονομάζουμε δομές οι οποίες μας διευκολύνουν να εντοπίζουμε τα καταχωρισμένα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης

Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης 9 Φεβρουαρίου 2015 2 Περιεχόμενα I ΑΡΙΘΜΟΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7 1 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΩΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

( μ, λ ) ( i ) ( ii ) ( iii ) ( iv ) ( v )

( μ, λ ) ( i ) ( ii ) ( iii ) ( iv ) ( v ) Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 08: ΟΡΘΟΤΗΤΑ: ΤΟ ΖΗΤΗΜΑ ΤΗΣ «ΠΡΟΟΔΟΥ» ΤΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Το ζήτημα της προόδου εισαγωγικά σχόλια. Κάθε αλγόριθμος από τα δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα

(1 ο ) Γιατί «αλγόριθμοι» (υποχρεωτικά);

(1 ο ) Γιατί «αλγόριθμοι» (υποχρεωτικά); (1 ο ) Γιατί «αλγόριθμοι» (υποχρεωτικά); Γιατί πρέπει να μελετήσουμε την περιοχή των «αλγορίθμων»; Ο φοιτητής και η φοιτήτρια που καλείται να παρακολουθήσει ένα μάθημα σαν το «αλγόριθμοι & πολυπλοκότητα»

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Black-Scholes

Η εξίσωση Black-Scholes 8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

(14 ο,15 ο,16 ο ) ΟΡΘΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ: ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΙΙ ΙΙΙ

(14 ο,15 ο,16 ο ) ΟΡΘΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ: ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΙΙ ΙΙΙ (14 ο,15 ο,16 ο ) ΟΡΘΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ: ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΙΙ ΙΙΙ Το πρόβλημα της «ορθότητας» ενός αλγορίθμου. Θεωρούμε συχνότατα τους αλγορίθμους, (όπως και σε αυτές τις σημειώσεις), ως προγράμματα γραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

(19 ο ) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΓΩΓΗ IΙΙ: «εντοπισμός σημείου σε τριγωνοποίηση»

(19 ο ) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΓΩΓΗ IΙΙ: «εντοπισμός σημείου σε τριγωνοποίηση» λγόριθμοι & πολυπλοκότητα» σημειώσεις ακ. έτους 2010 2011 (19 ο ) ΛΣΜΤΙ ΝΩ IΙΙ: «εντοπισμός σημείου σε τριγωνοποίηση» Το πρόβλημα του «εντοπισμού» σημείου σε διαμέριση. Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή)

Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Εισαωή στη Μιαδική Ανάλυση Σημειώσεις (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Ε. Στεφανόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιαίου Καρλόβασι Καλοκαίρι 26 Πρόλοος Οι σημειώσεις αυτές είναι αποτέλεσμα επεξερασίας

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016 Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα

Διαβάστε περισσότερα

23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος

23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος 23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος Μια βραδιά στο λούκι με τους αστέγους «Έχετε ποτέ σκεφτεί να κοιμηθείτε μια χειμωνιάτικη νύχτα στο δρόμο;» Με αυτό το ερώτημα απευθύναμε και φέτος την πρόσκληση στους

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το

Διαβάστε περισσότερα

Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά

Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά 1/35 Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά Νίκος Γιαννακόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2014-2015 Εαρινό Εξάμηνο Τι γνωρίζουμε; 2/35 Αγορά αγαθών και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΚΕΙΜΕΝΟ. Πέµπτη 19 Νοεµβρίου 1942. Αγαπητή Κίττυ,

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΚΕΙΜΕΝΟ. Πέµπτη 19 Νοεµβρίου 1942. Αγαπητή Κίττυ, ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΝΕΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΚΦΡΑΣΗ - ΕΚΘΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Αγαπητή

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης (β) Η απόλυτη υπεραξία Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Στο κεφάλαιο για την αγορά και την πώληση της εργατικής δύναμης (ελληνική έκδοση: τόμος

Διαβάστε περισσότερα

(5 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: η βάση μιας αξιολόγησης Ι (6 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: ο Ο Ω Θ συμβολισμός ΙΙ

(5 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: η βάση μιας αξιολόγησης Ι (6 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: ο Ο Ω Θ συμβολισμός ΙΙ (5 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: η βάση μιας αξιολόγησης Ι (6 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: ο Ο Ω Θ συμβολισμός ΙΙ Έχουμε συγκεκτρώσει τα στοιχεία που χρειαζόμαστε για να μπορέσουμε να πούμε περί αλγορίθμων

Διαβάστε περισσότερα

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο 4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει

Διαβάστε περισσότερα

Δίκαιο και Οικονομικά: Οι Εξετάσεις

Δίκαιο και Οικονομικά: Οι Εξετάσεις Δίκαιο και Οικονομικά: Οι Εξετάσεις Το κείμενο αυτό ανανεώνεται με τη δική σας παρέμβαση, τις ερωτήσεις, τα σχόλια και τις παρατηρήσεις σας. Θα συνεχίζει να ανανεώνεται μέχρι την ημέρα των εξετάσεων. Αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και

Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Περίληψη Κεφαλαίου: Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και αφετέρου η σωστή εφαρμογή του Επιχειρηματικού

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις & Κλάσεις

Συναρτήσεις & Κλάσεις Συναρτήσεις & Κλάσεις Overloading class member συναρτήσεις/1 #include typedef unsigned short int USHORT; enum BOOL { FALSE, TRUE}; class Rectangle { public: Rectangle(USHORT width, USHORT

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

G περιέχει τουλάχιστον μία ακμή στο S. spanning tree στο γράφημα G.

G περιέχει τουλάχιστον μία ακμή στο S. spanning tree στο γράφημα G. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 2014-2015 Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 16 Απριλίου, 2006 Ώρα: 10:30-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίµιο αποτελείται από τρία (3) µέρη µε σύνολο δώδεκα (12) θέµατα. 2) Επιτρέπεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει ΕΙΣΑΓΩΓΗ ------------------------------------------------------------------------------------- H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Projects για το εργαστήριο. των Βάσεων Δεδομένων

Projects για το εργαστήριο. των Βάσεων Δεδομένων Projects για το εργαστήριο των Βάσεων Δεδομένων Θεσσαλονίκη, Νοέμβριος Δεκέμβριος 2013 1. Το πολυκατάστημα Το πολυκατάστημα έχει ένα σύνολο από εργαζομένους. Κάθε εργαζόμενος χαρακτηρίζεται από έναν κωδικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss

Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss Κεφάλαιο 1 Πίνακες και απαλοιφή Gauss Γύρω απ το γινομένου πινάκων Κάτι σαν τυπολόγιο Αν AB = C, τότε: 1 (C) i j = (i-γραμμή A) ( j-στήλη B) Το συμβολίζει εσωτερικό γινόμενο 2 (i-γραμμή C) = k(a) ik (k-γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Επιλέγοντας τις κατάλληλες γλάστρες

Επιλέγοντας τις κατάλληλες γλάστρες Επιλέγοντας τις κατάλληλες γλάστρες Το τι γλάστρες θα χρησιμοποιήσετε εξαρτάται κυρίως από το πορτοφόλι σας αλλά και το προσωπικό σας γούστο. Οι επιλογές σας είναι αμέτρητες, τόσο σε ποιότητες όσο και

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΕΠΙΛΟΓΗΣ. Παράλληλα, ο συνεντευξιαζόμενος προβάλλει τον εαυτό του και παίρνει περισσότερες πληροφορίες για τη θέση.

ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΕΠΙΛΟΓΗΣ. Παράλληλα, ο συνεντευξιαζόμενος προβάλλει τον εαυτό του και παίρνει περισσότερες πληροφορίες για τη θέση. ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Σκοπός της Συνέντευξης είναι η αναζήτηση του καλύτερου υποψηφίου που θα στελεχώσει την προκηρυσσόμενη θέση. Η Συνέντευξη έχει διττό χαρακτήρα, όπου λόγο έχουν και οι αξιολογητές και

Διαβάστε περισσότερα

Βιωματική Απόκριση. (Άρθρο του Eugene Gendlin) ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ. Βιωμένο νόημα

Βιωματική Απόκριση. (Άρθρο του Eugene Gendlin) ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ. Βιωμένο νόημα Βιωματική Απόκριση (Άρθρο του Eugene Gendlin) ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ Βιωμένο νόημα Τα προσωπικά προβλήματα και οι δυσκολίες της ζωής δεν είναι ποτέ μόνο γνωσιακού επιπέδου, δεν είναι ποτέ μόνο θέμα του

Διαβάστε περισσότερα

Γιάννης Ι. Πασσάς. Γλώσσα. Οι λειτουργίες της γλώσσας Η γλωσσική 4εταβολή και ο δανεισ4ός

Γιάννης Ι. Πασσάς. Γλώσσα. Οι λειτουργίες της γλώσσας Η γλωσσική 4εταβολή και ο δανεισ4ός Γιάννης Ι. Πασσάς Γλώσσα Οι λειτουργίες της γλώσσας Η γλωσσική 4εταβολή και ο δανεισ4ός Αρχή πάντων ορισµός εστί Γλώσσα: Κώδικας ση4είων ορισ4ένης 4ορφής (γλωσσικής), 4ε τα ο

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Ενα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες Ενα δεύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0.

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0. Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση f(x) = λe λx αν x, αν x

Διαβάστε περισσότερα

τεσσάρων βάσεων δεδομένων που θα αντιστοιχούν στους συνδρομητές

τεσσάρων βάσεων δεδομένων που θα αντιστοιχούν στους συνδρομητές Σ Υ Π Τ Μ Α 8 Ιουνίου 2010 Άσκηση 1 Μια εταιρία τηλεφωνίας προσπαθεί να βρει πού θα τοποθετήσει τις συνιστώσες τηλεφωνικού καταλόγου που θα εξυπηρετούν τους συνδρομητές της. Η εταιρία εξυπηρετεί κατά βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΟΜΑΔΙΚΗΣ ΜΑΘΗΣΗ. «Χαρακτηριστικά των ενήλικων εκπαιδευομένων και εμπόδια στη μάθηση»

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΟΜΑΔΙΚΗΣ ΜΑΘΗΣΗ. «Χαρακτηριστικά των ενήλικων εκπαιδευομένων και εμπόδια στη μάθηση» ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΟΜΑΔΙΚΗΣ ΜΑΘΗΣΗ «Χαρακτηριστικά των ενήλικων εκπαιδευομένων και εμπόδια στη μάθηση» Τετάρτη, 26 Φεβρουαρίου 2014 Παιδαγωγικό Ινστιτούτο Κύπρου Νικολέττα Ιωάννου, Λειτουργός ΠΙ Στόχοι Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1α ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Οι επιστήμονες ταξινομούν τους οργανισμούς σε ομάδες ανάλογα με τα κοινά τους χαρακτηριστικά. Τα πρώτα συστήματα ταξινόμησης βασιζόταν αποκλειστικά στα μορφολογικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Διδαγμένο Κείμενο ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Επομένως οι αρετές δεν υπάρχουν μέσα μας εκ φύσεως ούτε αντίθετα προς τη φύση μας, αλλά έχουμε από τη φύση την ιδιότητα να τις δεχτούμε

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming)

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 1 Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Μηχανικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής ΜΜΚ 452: Μηχανικές Ιδιότητες και Κατεργασία Πολυμερών Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 2 Εισαγωγή: Η

Διαβάστε περισσότερα

Το δεντροπλάτος και το γνήσιο δεντροπλάτος.

Το δεντροπλάτος και το γνήσιο δεντροπλάτος. Διπλωματική Εργασία Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών μπλ : Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα στη Λογική και Θεωρία Αλγορίθμων και Υπολογισμού Το δεντροπλάτος και το γνήσιο δεντροπλάτος.

Διαβάστε περισσότερα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα 3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: Βουδούρη Καλλιρρόη ΙΑΓ%ΝΙΣΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΝΟΜΑ:.. ΘΕΜΑ Α Α. Να ση)ειώσετε στο γρα1τό σας δί1λα α1ό τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Διδάσκων : Βασίλειος Σταματόπουλος, Δικηγόρος, Δ.Μ.Σ. Συνάντηση 4 η ΕΝΟΧΕΣ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΕΣ Εννοιολογική προσέγγιση. Διαζευκτική είναι η ενοχή που έχει ως αντικείμενο δύο ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2

Περίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2 Το Μέτρο και η Διάσταση Hausdorff Γεωργακόπουλος Νίκος Τερεζάκης Αλέξης Περίληψη Αναπτύσσουμε τη ϑεωρία του μέτρου και της διάστασης Hausdorff με εφαρμογές στον υπολογισμό διαστάσεων συνόλων fractal (Θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27

ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27 ιάσταση του Krull Χ. Χαραλάμπους Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος, 2017 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 1 / 27 Ορισμοί Εστω R (αντιμεταθετικός) δακτύλιος. Ορισμός Η διάσταση του Krull

Διαβάστε περισσότερα