HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ."

Transcript

1 HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων υτομάτων.

2 Α ΜΕΡΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΑΥΤΟΜΑΤΑ & ΟΜΑΛΕΣ ΓΡΑΜΜΑΤΙΚΕΣ Τ ερωτήμτ είνι πλά κι με λυμμέν πρδείγμτ. Προσπθείστε ν δώσετε τ περισσότερ που μπορείτε. Βθμολογικά θ μετρήσουν τ εξής: το πόση «ύλη» κλύψτε, (με στόχο πάνω πό το 70%, κι έν τουλάχιστον υπο ερώτημ πό κάθε ερώτημ), η ποιότητ των πντήσεων (ζητείτι σφήνει, κρίει, εξηγήσεις, κι «σωστή γλώσσ»/ορολογί). Η διορί πράδοσης είνι: στο μάθημ της 23 ης / 11 ου / 2015 (#1) ΟΜΑΛΕΣ ΓΡΑΜΜΑΤΙΚΕΣ: Το εάν μι γρμμτική είνι ομλή ή όχι, φίνετι στην μορφή της, στον τρόπο με τον οποίο είνι γρμμένη: πρέπει (i) τ πργωγικά σύμολ («κεφλί») ν μεττρέποντι μόνον σε μι λέξη λ πό τερμτικά σύμολ («πεζά»), κολουθούμενη πό κριώς έν πργωγικό σύμολο, ή κνέν. ΕΡΩΤΗΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Ποιές πό τις εξής γρμμτικές είνι ομλές; I Κ Κ Λ Μ Λ Κ Μ γ Μ Λ I Κ Κ Λ Κ Λ γ Κ Μ γ Μ Λ I Κ Κ Λ Μ Λ Κ Μ Λ Ι I Λ Κ γ Λ γ γ Κ Λ Μ Μ γ Λ () () (γ) (δ) () Είνι ομλή: τηρούντι οι κνόνες μορφής: ριστερά του έχουμε =1 πργωγικό σύμολο, κι δεξιά μι λέξη (λ.χ. ) κι κριώς 1 ή 0 πργωγικά σύμολ. Προσέξτε ότι ένς κνόνς «Χ» περιέχει (τρόπος του λέγειν) την κενή λέξη κι κνέν (επόμενο) πργωγικό σύμολο. () Είνι ομλή. Προσέξτε ότι δεν μς πειράζει που δεν περιέχει πλειφές της μορφής Χ πλά η γρμμτική δεν πράγει κμμί λέξη (δηλδή δεν πράγει ούτε κάν την κενή λέξη, δηλδή πράγει την κενή γλώσσ). (γ) Δεν είνι ομλή. Ο 2 ος κνόνς δεν έχει έν (κι κριώς) πργωγικό σύμολο ριστερά του. (δ) Δεν είνι ομλή. Ο 4 ος κνόνς έχει τ τερμτικά σύμολ μετά το πργωγικό. Θ πρέπει ν είνι πντού πριν πό υτό (ή πντού μετά, λλά όχι τ δύο νάμεικτ). ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣ ΠΑΡΑΔΟΣΗ (#1) (1) Ποιές πό τις εξής γρμμτικές είνι ομλές; I γ Λ I Μ I γ Λ I Κ Κ Μ Κ Ι γ Κ Λ Μ Κ γ Κ Λ Κ Λ γ γ Κ Λ Λ Ι Κ Λ γ Κ γ Μ Ι Λ Μ Κ Μ Λ Ι (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) (#2) ΟΜΑΛΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΚΛΕΙΣΤΟΤΗΤΑ: Το εάν μι γλώσσ είνι ομλή ή όχι, εξρτάτι πό το εάν μπορούμε ή όχι ν ρούμε μι ομλή γρμμτική που ν την πράγει. Στις πλές περιπτώσεις υτό το κάνουμε «κτ ευθείν». Στις πιο σύνθετες χρησιμοποιούμε τους κνόνες κλειστότητς.

3 ΕΡΩΤΗΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Δείξτε ότι οι εξής γλώσσες Λ (επί του Σ = {,, γ } ν δεν δίδετι κάτι άλλο) είνι ομλές: () Λ = «όλες οι λέξεις που περιέχουν ως υπόλεκτο το» () Λ = «όλες οι λέξεις που _δεν_ περιέχουν το υπόλεκτο» (γ) Λ = «όλες οι λέξεις που _ν_ περιέχουν το γ τότε περιέχουν κι το γ» (δ) Λ = «οι λέξεις που έχουν την μορφή μις σειράς φυσικών δεκδικών ριθμών ( 1), χωρισμένων με πύλες κι εγκλεισμένων σε γκύλες, π.χ. [ ]» (ε) Λ = «οι δεκδικοί γρμμένοι σε επιστημονική γρφή, λ.χ Ε+2» Έστω ότι μι γλώσσ L επί του λφήτου Σ είνι ομλή, κι Μ Σ*. Δείξτε ότι κι οι εξής γλώσσες θ είνι ομλές: (στ) Πρόθεμ(L) { λ: λ L, κι υπάρχει τέλος τ Σ* γι τη λ ώστε λ τ L } (ζ) Maximum(L) { λ: λ L, κι γι κάθε επέκτση τ Σ* της λ (τ ), λ τ L } () Η πιο πλή κι θεμελική περίπτωση: Λ = Σ* {} Σ*, δηλδή η πράθεση τριών προφνώς ομλών γλωσσών. () Η χρησιμότητ της «άρνησης» ή «συμπληρώμτος»: πίρνουμε την γλώσσ που έχει το υπόλεκτο κι εξ υτής το συμπλήρωμ: Λ = Σ* (Σ* {} Σ*). (γ) Αυτό είνι πιο πονηρό: πιτεί πλά στοιχεί προτσικού λογισμού: έχουμε την συνθήκη (P Q), όπου P = «περιέχει γ», Q = «περιέχει γ». Επειδή η έκφρση (P Q) ισοδυνμεί με την έκφρση ( P Q) έχουμε ισοδυνάμως την ένωση [(δεν «έχει γ») ή «έχει γ»]. Έστω οι γλώσσες Λγ = (Σ* {γ} Σ*), Λγ = (Σ* {γ} Σ*), κι Λ = (Σ* Λγ) Λγ. Οι Λγ, Λγ είνι εμφνώς ομλές κι το ζητούμενο γι την προκύπτει πό την κλειστότητ ως προς συμπλήρωμ «Σ*», κι την ένωση. Στ πρπάνω εφρμόζουμε κυρίως τους κνόνες κλειστότητς ως προς τομή, ένωση, συμπλήρωμ, γι ν νλύσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι λέξεις της γλώσσς. Έχουμε όμως στη διάθεσή μς κι τους «γρμμτικούς» κνόνες κλειστότητς ως προς πράθεση, επνάληψη κι κτοπτρισμό. (δ) Η γλώσσ Φ των φυσικών δεκδικών είνι (εύκολ) ομλή, κι μι σειρά σν την πρπάνω ρχίζει με [ Φ (πράθεση) συνεχίζει με μι όριστη επνάληψη ( Φ )* κι τελειώνει με ]. Η όλη γλώσσ είνι ομλή πό την κλειστότητ ως προς πράθεση κι όριστη επνάληψη. (ε) Οι ριθμοί υτοί ποτελούντι πό 7 μέρη: έν προιρετικό πρόσημο, έν κέριο μέρος, μι τελεί, έν δεκδικό μέρος, τον εκθέτη «Ε», έν προιρετικό πρόσημο, κι ένν φυσικό ριθμό. Όλ υτά εκφράζοντι εύκολ με ομλές γλώσσες κι ο όλος ριθμός δίδετι πό την πράθεσή τους. Τ «προιρετικά» μέρη μπορούν ν εκφρστούν πό την κενή λέξη (κι σε επίπεδο υτομάτου) πό κενές μετάσεις. Τέλος, πό την τροποποίηση ενός διγράμμτος μετάσεων, μπορούμε ν πάρουμε κι άλλες ομλές γλώσσες. Τ δύο τελευτί ερωτήμτ πντώντι με υτόν τον τρόπο. (στ) Έστω Α έν υτόμτο που ποδέχετι την Λ, κι Τ το σύνολο των ποδεκτικών κτστάσεων του. Ελέγχουμε κάθε κτάστση Κ γι το εάν υπάρχει διδρομή πό υτήν προς κάποι ποδεκτική κτάστση εντός του Τ, κι εάν νι την σημειώνουμε. Στο τέλος χρκτηρίζουμε κάθε σημειωμένεη κτάστση ως ποδεκτική. (ζ) Έστω Α έν υτόμτο που ποδέχετι την Λ, κι Τ το σύνολο των ποδεκτικών κτστάσεων του. Ελέγχουμε εάν πό μι κτάστση Κ του Τ υπάρχει διδρομή που οδηγεί σε κτάστση του Τ (σε άλλη ή κόμ κι στον ευτό της) κι ν νι τότε την σημειώνουμε. Στο τέλος χρκτηρίζουμε τις σημειωμένες κτστάσεις ως πορριπτικές. ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣ ΠΑΡΑΔΟΣΗ (#2) Δείξτε ότι οι εξής γλώσσες είνι ομλές. (2.1) L = { λ {, }* : η λέξη λ δεν περιέχει το υπόλεκτο, εκτός, ίσως, ν περιέχει το }. (2.2) L = { λ {, }* : η λέξη λ περιέχει άρτιο πλήθος πό κι περιττό πό }. (2.3) Κτάληξη(L) { λ: λ L, κι υπάρχει ρχή Σ* γι τη λ ώστε λ L }

4 (2.4) L προ M { λ: λ L, κι υπάρχει τ Μ ώστε λ τ L } (#3) ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΜΕΤΑΒΑΣΕΩΝ: Σε πλές περιπτώσεις μπορούμε ν σχεδιάσουμε έν διάγρμμ μετάσης ώστε ν δέχετι μι πλή γλώσσ. Σε πλές περιπτώσεις μπορούμε επίσης ν νγνώσουμε έν διάγρμμ μετάσης, κι ν κτλάουμε τί γλώσσ ποδέχετι. ΕΡΩΤΗΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: () Σχεδιάστε (μέσω διγρμμάτων μετάσης) ιτιοκρτικό υτόμτ τέτοι ώστε ν δέχοντι τις εξής γλώσσες: { λ {, }* : κάθε στην λέξη λ εμφνίζετι μόνον μετά κι πρίν πό έν } () Περιγράψτε (σε πλά κι σφή Ελληνικά) το ποιές γλώσσες επί του Σ = {, } ποδέχοντι τ πρκάτω υτόμτ:, () () () Οι εμφνίσεις των κι νοίγουν κι κλείνουν σν πρενθέσεις, κι δεν έχουμε πάνω πό τρί διδοχικά. () Η μετάση πό την 2 η κτάστση στην 3 η οδηγεί σε πόρριψη, λλά είνι περιττή. Χωρίς υτήν κι την 3 η κτάστση το υτόμτο ποδέχετι κάθε λέξη, φού σε κτάστση διάζει οποιοδήποτε σύμολο, κι όλες οι κτστάσεις του είνι ποδεκτικές. Το υτόμτο ποδέχετι λοιπόν κάθε λέξη πλά δεν χρησιμοποιούμε ποτέ την μετάση πό την 2 η κτάστση στην 3 η. ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣ ΠΑΡΑΔΟΣΗ (#3) (3.1) Σχεδιάστε (μέσω διγρμμάτων μετάσης) ιτιοκρτικά υτόμτ τέτοι ώστε ν δέχοντι τις εξής γλώσσες: (3.1.1) { λ {, }* : η λέξη λ δεν περιέχει ούτε την (υπο)λέξη ούτε την }. (3.1.2) { λ {, }* : η λέξη λ περιέχει άρτιο πλήθος πό κι περιττό πό } (3.2) Περιγράψτε (σε πλά κι σφή Ελληνικά) το ποιές γλώσσες επί του Σ = {, } ποδέχοντι τ πρκάτω υτόμτ: γ (1), γ (2) (#4) Διάγνωση ποδοχή: Γι την ποδοχή μις λέξης πό έν υτόμτο ρκεί ένς ποδκετικός περίπτος στο ντίστοιχο διάγρμμ μετάσεων. Πώς νκλύπτουμε κάτι τέτοιο; Σε πλές περιπτώσεις ρκεί η πρτήρηση. Σε πιο σύνθετες θ πρέπει ν εφρμόσουμε την μέθοδο της επόμενης ενότητς (5).

5 Κ Μ Κ Τ 2 Ι Λ, Τ Ι Λ, Τ 1 () () ΕΡΩΤΗΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: () Ελέγξτε εάν το υτόμτο ριστερά, ποδέχετι τη λέξη λ =. () Ελέγξτε εάν το υτόμτο δεξιά, ποδέχετι τη λέξη λ =. () Αρκεί η διδρομή Ι Μ Κ Λ Ι Ι Ι. () Αρκεί η διδρομή Ι Κ Λ Ι Κ Τ2 Τ1 Τ1. ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣ ΠΑΡΑΔΟΣΗ (#4) (4.1) Ελέγξτε εάν το υτόμτο ριστερά, ποδέχετι τη λέξη λ =. (4.2) Ελέγξτε εάν το υτόμτο δεξιά, ποδέχετι τη λέξη λ =. (#5) ΔΙΑΓΝΩΣΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ: Γι ν δείξουμε ότι μι λέξη _δεν_ νήκει σε μι ομλή γλώσσ πρέπει ν πιστοποιήσουμε ότι δεν υπάρχει κμμί διδρομή πό την φετηρική κτάστση σε μι ποδεκτική κτάστση η οποί σχημτίζει υτή την λέξη. Αυτό σημίνει ότι πρέπει ν εξετάσουμε μέ κάποιο ολικό κι σωστό τρόπο όλες τις δυντές διδρομές γι υτή την λέξη. Αυτό είνι πολύ εύκολο στ ιτιοκρτικά υτόμτ, λλά όχι στ μη ιτιοκρτικά. Γι τ δεύτερ ένς τρόπος είνι το ν σημειώνουμε σε κάθε ήμ όλες τις κτστάσεις στις οποίες θ μπορούσμε ν είχμε ρεθεί διάζοντς άλλο έν γράμμ πό την λέξη. Αν στο τέλος θ μπορούσμε ν είχμε φθάσει σε έστω μί ποδεκτική κτάστση τότε κι μόνον τότε η λέξη νήκει στη γλώσσ. ΕΡΩΤΗΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Δείξτε ότι το εξής (μη ιτιοκρτικό) υτόμτο _δεν_ ποδέχετι τη λέξη:., γ Τ, γ Ι M Κ γ Λ Γι ν γίνει ποδεκτή η λέξη ρκεί ν υπάρχει έστω ένς περίπτος πό την φετηρική κτάστση Ι σε μι ποδεκτική κτάστση (εδώ την Τ) που ν σχημτίζει υτή τη λέξη. Πρέπει λοιπόν ν δείξουμε ότι δεν υπάρχει κνένς τέτοιος περίπτος άρ θ πρέπει ν ελέγξουμε μεθοδικά όλες τις δυντές διδρομές που θ μπορούσε ν κολουθήσει το υτόμτο. Προς τούτο υπάρχει πλός κι τχύς συστημτικός τρόπος: Σχημτίζουμε ένν πίνκ με τόσες στήλες όσες οι κτστάσεις του υτομάτου, κι τόσες γρμμές όσες μί γι την ρχή κι πό μί γι κάθε σύμολο που θ διάσουμε.

6 Συμπληρώνουμε την πρώτη γρμμή σημειώνοντς με τις κστάσεις στις οποίες θ μπορούσε ν ρεθεί το υτόμτο φετηρικά δηλδή την φετηρική κι συνεχίζοντς με μί ή περισσότερες κενές μετάσεις. Συμπληρώνουμε κάθε γρμμή που ντιστοιχεί σε σύμολο σ, εξετάζοντς το σε ποιές κτστάσεις θ μπορούσε ν ήτν το υτόμτο (πό την προηγούμενη γρμμή) κι σημειώνοντς όσες θ μπορούσε ν ρεθεί σε υτές διάζοντς σ κι συνεχίζοντς με μί ή περισσότερες κενές μετάσεις. Ελέγχουμε εάν στην τελική γρμμή υπάρχει έστω μί ποδεκτική κτάστση. Στο πράδειγμ θ είχμε τ εξής: Ι Κ Λ Μ Τ ρχή γ : Σημειώνουμε την φετηρική Ι κι την Τ, διότι πό Ι πάμε Τ με κενή μετάση. : Από Ι μέσω πάμε στην Μ κι πό εκεί με κενή στην Λ // Από Τ μέσω στην Τ, κι στη Κ. // Σημειώνουμε τις Κ, Λ, Μ, Τ. : Από Κ μέσω στην Μ κι πό εκεί με κενή/κενές στην Λ // Από Λ μέσω δεν πάμε πουθενά. // Από Μ μέσω δεν πάμε πουθενά // Από Τ μέσω στην Τ κι στην Κ Σημειώνουμε τις Κ, Λ, Μ, Τ. : Από Κ μέσω στην Κ κι στην Ι, κι πό εκεί με κενή στην Τ. // Από Λ μέσω δεν πάμε πουθενά. // Από Μ μέσω δεν πάμε πουθενά. // Από Τ μέσω στην Μ κι πό εκεί με κενή στην Λ. // Σημειώνουμε Ι, Κ, Λ, Μ, Τ (όλες...). : Από Ι μέσω στην Μ κι πό εκεί με κενή στην Λ. // Από Κ μέσω στην Μ κι πό εκεί με κενή την Λ. // Από Λ μέσω δεν πάμε πουθενά. // Από Μ μέσω δεν πάμε πουθενά. // Από Τ μέσω στην Τ κι στην Κ. // Σημειώνουμε τις Κ, Λ, Μ, Τ. γ: Από Κ μέσω γ δεν πάμε πουθενά. // Από Λ μέσω γ στην Κ. // Από Μ μέσω γ δεν πάμε πουθενά. // Από Τ μέσω γ στην Μ κι πό εκεί με κενή στην Λ. // Σημειώνουμε τις Κ, Λ, Μ. Η ποδεκτική κτάστση Τ δεν περιλμάνετι στην σημειωμένες κτστάσεις της τελευτίς γρμμής, άρ όποι διδρομή κι ν κολουθούσε το υτόμτο δεν θ ποδεχότν την λέξη γ. ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣ ΠΑΡΑΔΟΣΗ (#5) (5.1) Δείξτε ότι η λέξη δεν γίνετι δεκτή πό το πρκάτω υτόμτο. (5.2) Δείξτε ότι η λέξη δεν γίνετι δεκτή πό το πρκάτω υτόμτο. Κ Λ I T, M

7 (#6) ΛΗΜΜΑ ΑΝΤΛΗΣΗΣ ΑΝΩΜΑΛΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ Γι ν δείξουμε όμως ότι _δεν_ είνι ομλή πρέπει ν δείξουμε ότι _κμμί_ ομλή γρμμτική Γ δεν την πράγει κριώς, ότι δηλδή η Γ, είτε (i) προσθέτει λέξεις που δεν έχει η Λ, είτε (ii) δεν πράγει λέξεις που έχει η Λ. Το εργλείο εδώ γι το (i) είνι το λήμμ άντλησης: δείχνουμε ότι (λόγω πείρου πλήθους λέξεων) ν η Λ ήτν ομλή τότε θ έπρεπε ν περιέχει (μετξύ άλλων) κι όλες λέξεις της μορφής x μ (κ) y, γι κάποιες συγκεκριμμένες στθερές λέξεις x, μ, y, μ, κ = 0, 1, 2, 3,... κι δείχνουμε ότι (οποιδήποτε μορφή κι εάν είχν τ x, μ, y), γι κάποιο κ θ συνέινε x μ (κ) y Λ πράγμ που οδηγεί σε άτοπο. Προσέξτε ότι μερικές φορές ολεύει ν δείξουμε όχι ότι η Λ είνι νώμλη, λλά ότι έν κομμάτι της Λ είνι νώμλο τέτοιο όμως που θ έπρεπε ν ήτν ομλό εάν ήτν κι η Λ. ΕΡΩΤΗΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Δείξτε ότι οι εξής γλώσσες δεν είνι ομλές. () η γλώσσ Λ επί του Σ = {, } όπου πλήθος = πλήθος. () η γλώσσ Λ επί του Σ = {, } όλων των λ γι τ οποί λ = λ (R) (κτοπτρικό). () Η Λ έχει οσοδήποτε μεγάλες λέξεις επομένως, πό οποιδήποτε ομλή γρμμτική κι εάν πργότν, θ έπρεπε γι κάποι συγκεκριμμέν x, μ, y όλες οι λέξεις x μ (κ) y, κ 0, ν νήκουν στην Λ, δηλδή ν έχουν ίσο πλήθος πό κι. Αλλά υτό είνι δυντόν! Αρκεί λ.χ. τ x κι y ν έχουν ίσο πλήθος πό κι, κι το ίδιο ν ισχύει γι το μ. Δεν είνι η επνάληψη του μ που μπορεί ν κάνει (εδώ) ζημιά στο πλήθος των κι. Γι υτό χρησιμοποιούμε την γλώσσ { (κ) (λ) : κ, λ 0 }. Αυτή είνι ομλή (εύκολ), κι η τομή της Λ με την Λ είνι η γλώσσ { (κ) (λ) : κ, λ 0, κ = λ}. Αυτή γνωρίζουμε ότι δεν είνι ομλή λλά ς επνλάουμε το επιχείρημ: Η Λ έχει οσοδήποτε μεγάλες λέξεις, επομένως, πό οποιδήποτε ομλή γρμμτική κι εάν πργότν, θ έπρεπε γι κάποι συγκεκριμμέν x, μ, y όλες οι λέξεις x μ (κ) y, κ 0, ν νήκουν στην Λ, δηλδή ν έχουν ίσο πλήθος πό κι, με όλ τ στην ρχή κι όλ τ στο τέλος. Αλλά υτό είνι (τώρ) δύντον: (i) ν το μ έχει ίσο πλήθος πό κι τότε η επνάληψη του θ τ νεμίγνυε κι δεν θ είχμε όλ τ στην ρχή κι όλ τ στο τέλος. (ii) ν το μ έχει διφορετικό πλήθος πό κι τότε η επνάληψη του έστω κι μί φορά θ κτέστρεφε το ισοζύγιο κι δεν θ είχμε ίσο πλήθος πό κι. Επομένως η Λ δεν πράγετι πό κμμί ομλή γρμμτική, άρ ούτε κι η Λ (διότι τότε κι η Λ θ ήτν ομλή (πό θ. κλειστότητς τομής)). () Έστω Χ η γλώσσ των λέξεων με έν κι μόνον. Η Χ είνι προφνώς ομλή. Εάν η Λ ήτν ομλή θ ήτν κι η Λ = Λ Χ. Αλλά εάν λ = λ (R) κι η λ έχει έν κριώς, τότε λ = (κ) (κ), κ 0. Γνωρίζουμε ότι υτή τη γλώσσ δεν είνι ομλή λλά ς επνλάουμε το επιχείρημ: Η Λ έχει οσοδήποτε μεγάλες λέξεις, επομένως, πό οποιδήποτε ομλή γρμμτική κι εάν πργότν, θ έπρεπε γι κάποι συγκεκριμμέν x, μ, y όλες οι λέξεις x μ (κ) y, κ 0, ν νήκουν (μετξύ άλλων) στην Λ, δηλδή ν έχουν έν κι ίσο πλήθος πό πριν κι μετά πό το. Αλλά υτό είνι δύντον. Έστω ότι η λ = x μ y νήκει στην Λ, ότι έχει δηλδή την μορφή λ = (κ) (κ). (i) ν το μ περιέχει το τότε η x μ μ y θ είχε 2 κι η λέξη λ δεν θ ήτν στην Λ. (ii) ν το μ δεν περιέχει τότε νήκει όλο στο 1 ο μέρος πριν το, είτε όλο στο 2 ο μέρος, κι η επνάληψη του στην λέξη x μ μ y θ κτέστρεφε το ισοζύγιο των νάμεσ στο 1 ο κι 2 ο μέρος της λέξης λ. Επομένως η Λ δεν πράγετι πό κμμί ομλή γρμμτική, άρ ούτε κι η Λ (διότι τότε κι η Λ θ ήτν ομλή (πό θ. κλειστότητς τομής)). ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣ ΠΑΡΑΔΟΣΗ (#6) (6.1) Το λήμμ άντλησης λέει το εξής: «εάν η γλώσσ L(Α) ενός ιτιοκρτικού υτομάτου Α έχει άπειρο πλήθος λέξεων,

8 τότε υπάρχουν λέξεις, μ, τ Σ*, ώστε κάθε λέξη μ (i) τ, i 0, νήκει στην L(A).». Δείξτε ότι το λήμμ μπορεί ν ενισχυθεί κτά τον εξής τρόπο: «... τότε υπάρχουν λέξεις, μ, τ Σ*, ώστε τ ΣΚ, κι κάθε λέξη μ (i) τ, i 0, νήκει στην L(A).» (6.2) Δείξτε ότι οι εξής γλώσσες δεν είνι ομλές. Μπορείτε ν χρησιμοποιείστε το (1) είτε το ποδείξτε είτε ή όχι. (6.1.1) L = { λ λ R : λ {, }* } ( λ R : η λέξη λ γρμμένη «νάποδ» (ή κτοπτρικά) ) (6.2.2) L = { λ λ: λ {, }* } (#7) ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ: ΕΡΩΤΗΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Σχεδιάστε υτόμτο (όχι κτ νάγκη ιτιοκρτικό) που δέχετι τη γλώσσ της εξής ομλής έκφρσης: R = * {,, } ()* Φτιάχνουμε τ επί μέρους υτόμτ, γι τις επί μέρους γλώσσες *, {,, }, ()*, κι τ συνδέουμε όπως εξηγείτι στην ενότητ περί ομλών εκφράσεων κι κλειστότητς. Στο τέλος πολλές πλοπλοιήσεις ίσως ν είνι εφικτές. Προσέξτε ότι η επνάληψη εκφράζετι με «νκυκλώσεις», η πράθεση με «λληλουχί» κι η ένωση με «δικλδώσεις»: ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣ ΠΑΡΑΔΟΣΗ (#7) (7.1) Σχεδιάστε τ υτόμτ (όχι κτ νάγκη ιτιοκρτικά) που δέχοντι τις γλώσσες των εξής ομλών εκφράσεων: (1) R = ( { {, }*, (, γ)* } )* (2) R = { (), (γ) + } γ (7.2) Έστω Μ μι ομλή έκφρση που περιγράφει τ ονόμτ μετλητών που χρησιμοποιούντι σε μι γλώσσ προγρμμτισμού. Μι συνάρτηση ή διδικσί, με τις πρμέτρους της, έχει την εξής μορφή: μ 0 ( μ 1, μ 2,..., μ κ ) όπου τ μ i είνι λέξεις της L(Μ) κι κ > 0. Δώστε μι ομλή έκφρση που ν πράγει όλες κι μόνον τις λέξεις της πρπάνω μορφής. (#8) ΘΕΩΡΗΜΑ MYHILL NERODE: ΕΡΩΤΗΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: «ποιά είνι η κλάση ισοδυνμίς της λέξης λ ως προς την γλώσσ L;» Στην σημειώσεις, στην ενότητ γι το θ. Myhill Nerode, υπάρχει έν εκτενές πράδειγμ υπολογισμού της κλάσης ισοδυνμίς μις λέξης λ ως προς μί γλώσσ L, κι ρκεί γι τ πρκάτω: ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣ ΠΑΡΑΔΟΣΗ (#8) (8.1.1) Δείξτε με άση το θ. Myhill Nerode ότι η εξής γλώσσ δεν είνι ομλή: L = { σ (ν) μ σ (ν) : μ Σ*, σ Σ, μ δεν περιέχει σ, κι ν 0 }. (8.1.2) Η γλώσσ L = { λ {, }* : η λέξη λ δεν περιέχει την (υπο)λέξη } είνι ομλή γλώσσ. (1) Ποιές είνι οι κλάσεις ισοδυνμίς της σχέσης L ; (Υπόδειξη: εξετάστε το με ποιό τρόπο μπορεί ν κτλήγει μι λέξη λ, κι το εάν περιέχει ήδη ή όχι την υπολέξη.)

9 (2) Κι ως ποτέλεσμ του (1) ποιό είνι το μικρότερο (σε πλήθος κτστάσεων) ιτιοκρτικό υτόμτο που την ποδέχετι;

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος Μέρος B Βασικά στοιχεία περί ασυμφραστικών

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών.

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. ΘΕΩΡΙ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. 1. ΣΥΝΟΛ: το σκεπτικό. σύνολο = πολλά στοιχεία ως «ένα», ως «μία» ολότητα. τα στοιχεία ανήκουν στο σύνολο, ή είναι μέλη του συνόλου το σύνολο περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΤΜΤΡΗΣΗ ΘΜΛΙΚΩΝ ΣΥΝ ΥΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: η μορφολογία. Όλες οι συνδυαστικές μορφές που θα εξετάσουμε είναι διαφόρων ειδών συναρτήσεις. Οι «παράμετροι» που παραλλάσονται είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ Eugene T. GENDLIN University of Chicago, U.S.A Αυτό το άρθρο είναι μια αναθεωρημένη έκδοση της πλήρους

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Οι Τρείς «Διαστάσεις» για το Σώμα (Eugene T. Gendlin)

Οι Τρείς «Διαστάσεις» για το Σώμα (Eugene T. Gendlin) Οι Τρείς «Διαστάσεις» για το Σώμα (Eugene T. Gendlin) Εισαγωγή: Θα ξεκινήσουμε με την ερώτηση: Πού στηρίζεται θεωρητικά η Διαδικασία Εστίασης (ΔΕ); και στην συνέχεια θα προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε πώς

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

(1 ο ) Γιατί «αλγόριθμοι» (υποχρεωτικά);

(1 ο ) Γιατί «αλγόριθμοι» (υποχρεωτικά); (1 ο ) Γιατί «αλγόριθμοι» (υποχρεωτικά); Γιατί πρέπει να μελετήσουμε την περιοχή των «αλγορίθμων»; Ο φοιτητής και η φοιτήτρια που καλείται να παρακολουθήσει ένα μάθημα σαν το «αλγόριθμοι & πολυπλοκότητα»

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος Μέρος B Βασικά στοιχεία περί ασυμφραστικών γραμματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

(14 ο,15 ο,16 ο ) ΟΡΘΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ: ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΙΙ ΙΙΙ

(14 ο,15 ο,16 ο ) ΟΡΘΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ: ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΙΙ ΙΙΙ (14 ο,15 ο,16 ο ) ΟΡΘΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ: ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΙΙ ΙΙΙ Το πρόβλημα της «ορθότητας» ενός αλγορίθμου. Θεωρούμε συχνότατα τους αλγορίθμους, (όπως και σε αυτές τις σημειώσεις), ως προγράμματα γραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης (β) Η απόλυτη υπεραξία Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Στο κεφάλαιο για την αγορά και την πώληση της εργατικής δύναμης (ελληνική έκδοση: τόμος

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος

23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος 23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος Μια βραδιά στο λούκι με τους αστέγους «Έχετε ποτέ σκεφτεί να κοιμηθείτε μια χειμωνιάτικη νύχτα στο δρόμο;» Με αυτό το ερώτημα απευθύναμε και φέτος την πρόσκληση στους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΚΕΙΜΕΝΟ. Πέµπτη 19 Νοεµβρίου 1942. Αγαπητή Κίττυ,

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΚΕΙΜΕΝΟ. Πέµπτη 19 Νοεµβρίου 1942. Αγαπητή Κίττυ, ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΝΕΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΚΦΡΑΣΗ - ΕΚΘΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Αγαπητή

Διαβάστε περισσότερα

Projects για το εργαστήριο. των Βάσεων Δεδομένων

Projects για το εργαστήριο. των Βάσεων Δεδομένων Projects για το εργαστήριο των Βάσεων Δεδομένων Θεσσαλονίκη, Νοέμβριος Δεκέμβριος 2013 1. Το πολυκατάστημα Το πολυκατάστημα έχει ένα σύνολο από εργαζομένους. Κάθε εργαζόμενος χαρακτηρίζεται από έναν κωδικό

Διαβάστε περισσότερα

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει

Διαβάστε περισσότερα

Δίκαιο και Οικονομικά: Οι Εξετάσεις

Δίκαιο και Οικονομικά: Οι Εξετάσεις Δίκαιο και Οικονομικά: Οι Εξετάσεις Το κείμενο αυτό ανανεώνεται με τη δική σας παρέμβαση, τις ερωτήσεις, τα σχόλια και τις παρατηρήσεις σας. Θα συνεχίζει να ανανεώνεται μέχρι την ημέρα των εξετάσεων. Αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και

Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Περίληψη Κεφαλαίου: Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και αφετέρου η σωστή εφαρμογή του Επιχειρηματικού

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 16 Απριλίου, 2006 Ώρα: 10:30-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίµιο αποτελείται από τρία (3) µέρη µε σύνολο δώδεκα (12) θέµατα. 2) Επιτρέπεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΕΠΙΛΟΓΗΣ. Παράλληλα, ο συνεντευξιαζόμενος προβάλλει τον εαυτό του και παίρνει περισσότερες πληροφορίες για τη θέση.

ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΕΠΙΛΟΓΗΣ. Παράλληλα, ο συνεντευξιαζόμενος προβάλλει τον εαυτό του και παίρνει περισσότερες πληροφορίες για τη θέση. ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Σκοπός της Συνέντευξης είναι η αναζήτηση του καλύτερου υποψηφίου που θα στελεχώσει την προκηρυσσόμενη θέση. Η Συνέντευξη έχει διττό χαρακτήρα, όπου λόγο έχουν και οι αξιολογητές και

Διαβάστε περισσότερα

Βιωματική Απόκριση. (Άρθρο του Eugene Gendlin) ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ. Βιωμένο νόημα

Βιωματική Απόκριση. (Άρθρο του Eugene Gendlin) ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ. Βιωμένο νόημα Βιωματική Απόκριση (Άρθρο του Eugene Gendlin) ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ Βιωμένο νόημα Τα προσωπικά προβλήματα και οι δυσκολίες της ζωής δεν είναι ποτέ μόνο γνωσιακού επιπέδου, δεν είναι ποτέ μόνο θέμα του

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

Γιάννης Ι. Πασσάς. Γλώσσα. Οι λειτουργίες της γλώσσας Η γλωσσική 4εταβολή και ο δανεισ4ός

Γιάννης Ι. Πασσάς. Γλώσσα. Οι λειτουργίες της γλώσσας Η γλωσσική 4εταβολή και ο δανεισ4ός Γιάννης Ι. Πασσάς Γλώσσα Οι λειτουργίες της γλώσσας Η γλωσσική 4εταβολή και ο δανεισ4ός Αρχή πάντων ορισµός εστί Γλώσσα: Κώδικας ση4είων ορισ4ένης 4ορφής (γλωσσικής), 4ε τα ο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ Δρ Φασουλάς Χαράλαμπος Συντονιστής, Υπεύθυνος του Τμήματος Γεωποικιλότητας του Μουσείο Φυσικής Ιστορίας Κρήτης

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ Δρ Φασουλάς Χαράλαμπος Συντονιστής, Υπεύθυνος του Τμήματος Γεωποικιλότητας του Μουσείο Φυσικής Ιστορίας Κρήτης 2 ιά ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ Δρ Φασουλάς Χαράλαμπος Συντονιστής, Υπεύθυνος του Τμήματος Γεωποικιλότητας του Μουσείο Φυσικής Ιστορίας Κρήτης ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ Δρ Αμπαρτζάκη Μαρία, Παιδαγωγικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΟΜΑΔΙΚΗΣ ΜΑΘΗΣΗ. «Χαρακτηριστικά των ενήλικων εκπαιδευομένων και εμπόδια στη μάθηση»

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΟΜΑΔΙΚΗΣ ΜΑΘΗΣΗ. «Χαρακτηριστικά των ενήλικων εκπαιδευομένων και εμπόδια στη μάθηση» ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΟΜΑΔΙΚΗΣ ΜΑΘΗΣΗ «Χαρακτηριστικά των ενήλικων εκπαιδευομένων και εμπόδια στη μάθηση» Τετάρτη, 26 Φεβρουαρίου 2014 Παιδαγωγικό Ινστιτούτο Κύπρου Νικολέττα Ιωάννου, Λειτουργός ΠΙ Στόχοι Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Διδαγμένο Κείμενο ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Επομένως οι αρετές δεν υπάρχουν μέσα μας εκ φύσεως ούτε αντίθετα προς τη φύση μας, αλλά έχουμε από τη φύση την ιδιότητα να τις δεχτούμε

Διαβάστε περισσότερα

Επιλέγοντας τις κατάλληλες γλάστρες

Επιλέγοντας τις κατάλληλες γλάστρες Επιλέγοντας τις κατάλληλες γλάστρες Το τι γλάστρες θα χρησιμοποιήσετε εξαρτάται κυρίως από το πορτοφόλι σας αλλά και το προσωπικό σας γούστο. Οι επιλογές σας είναι αμέτρητες, τόσο σε ποιότητες όσο και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.3: Marketing Κοινωνικών Επιχειρήσεων. Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται εν τάχει τα βασικά

Κεφάλαιο 2.3: Marketing Κοινωνικών Επιχειρήσεων. Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται εν τάχει τα βασικά Κεφάλαιο 2.3: Marketing Κοινωνικών Επιχειρήσεων Περίληψη Κεφαλαίου: Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται εν τάχει τα βασικά χαρακτηριστικά του μείγματος Marketing (Μ.Κ.Τ.), στο πλαίσιο της εύρυθμης λειτουργίας

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming)

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 1 Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Μηχανικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής ΜΜΚ 452: Μηχανικές Ιδιότητες και Κατεργασία Πολυμερών Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 2 Εισαγωγή: Η

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι η (ατρίδα,ας

Τι είναι η (ατρίδα,ας Müller, Vincent C. (2005), Τι είναι η πατρίδα μας; [What is our fatherland?], Cogito, 3, 8-10. [This is the original draft. The published version is shorter and polished.] http://www.nnet.gr/cogito/cogitoindex.htm

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Διδάσκων : Βασίλειος Σταματόπουλος, Δικηγόρος, Δ.Μ.Σ. Συνάντηση 4 η ΕΝΟΧΕΣ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΕΣ Εννοιολογική προσέγγιση. Διαζευκτική είναι η ενοχή που έχει ως αντικείμενο δύο ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate Κατηγορίες οφέλους και κόστους που προέρχονται από τις δημόσιες δαπάνες Για την αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα 11.1. Εισαγωγή Τα τηλεπικοινωνιακά δίκτυα είναι διαιρεμένα σε μια ιεραρχία τριών επιπέδων: Στα δίκτυα πρόσβασης, τα μητροπολιτικά δίκτυα και τα δίκτυα κορμού. Τα δίκτυα κορμού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Α. Μετάφραση 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επομένως η ηθική αρετή κινείται γύρω από τις ηδονές και τις λύπες, αφού κάνουμε τα τιποτένια εξαιτίας

Διαβάστε περισσότερα

Η διαδικασία της ανάγνωσης

Η διαδικασία της ανάγνωσης Η ΑΝΑΓΝΩΣΗ ΜΕ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ BRAILLE Η διαδικασία της ανάγνωσης Όλα τα παιδιά, βλέποντα ή μη, μαθαίνουν «αυθόρμητα» να μιλούν, μέσα στο οικογενειακό τους περιβάλλον και αν δεν υπάρχουν προβλήματα ακοής ή άλλα,

Διαβάστε περισσότερα

HY-280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY-280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY-280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος Μέρος B Βασικά στοιχεία περί ασυμφραστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2011-12 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

Ελένη Δημητρίου ΑΝΤΙΓΟΝΗ ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ. Μετάφραση. Ελένη Δημητρίου. Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων

Ελένη Δημητρίου ΑΝΤΙΓΟΝΗ ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ. Μετάφραση. Ελένη Δημητρίου. Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων ΑΝΤΙΓΟΝΗ ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ Μετάφραση Ελένη Δημητρίου Μετάφραση στίχων 1 99 Προλόγου ΑΝΤΙΓΟΝΗ Πολυαγαπημένη μου αδερφή Ισμήνη, άραγε ξέρεις αν υπάρχει καμιά συμφορά που μας κληροδότησε ο Οιδίποδας και να μην την

Διαβάστε περισσότερα

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0, Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ποια έντομα είναι εχθροί των φυτών και πώς θα τα αντιμετωπίσετε

Ποια έντομα είναι εχθροί των φυτών και πώς θα τα αντιμετωπίσετε Ποια έντομα είναι εχθροί των φυτών και πώς θα τα αντιμετωπίσετε Δυστυχώς είναι μια πραγματικότητα της ζωής ότι αν διατηρείτε στο σπίτι σας φυτά, υπάρχει πάντα η πιθανότητα να υποστούν ζημίες από βλαβερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

ΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 1 ΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Οι τάξεις της Β και Γ Λυκείου είναι χωρισμένες σε τρείς Κατευθύνσεις Θεωρητική, Θετική, Τεχνολογική Οι Σχολές είναι ταξινομημένες σε πέντε επιστημονικά πεδία 1 ο ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΑΡΧΕΙΑ Ο πιο γνωστός τρόπος οργάνωσης δεδομένων με τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών είναι σε αρχεία. Ένα αρχείο μπορούμε να το χαρακτηρίσουμε σαν ένα σύνολο που αποτελείται από οργανωμένα

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΑΛΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ FOUCAULT ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΟΥΣΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΣΤΑ ΜΕΣΑ ΜΑΖΙΚΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ

ΠΡΟΒΑΛΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ FOUCAULT ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΟΥΣΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΣΤΑ ΜΕΣΑ ΜΑΖΙΚΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ ΠΡΟΒΑΛΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ FOUCAULT ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΟΥΣΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ Εργασία για το µάθηµα του εαρινού εξαµήνου του µεταπτυχιακού προγράµµατος του τµήµατος Επικοινωνίας & Μέσων Μαζικής Ενηµέρωσης του Εθνικού

Διαβάστε περισσότερα

Καλλιεργήστε φρέσκα μυρωδικά στο μπαλκόνι

Καλλιεργήστε φρέσκα μυρωδικά στο μπαλκόνι Καλλιεργήστε φρέσκα μυρωδικά στο μπαλκόνι Ο άνηθος χρειάζεται βαθιά γλάστρα. Ο μαϊντανός θέλει συχνό πότισμα. Το κάρδαμο σε 40 μέρες από τη σπορά θα το απολαύσετε στη σαλάτα σας. Όλα αυτά συμβαίνουν στο

Διαβάστε περισσότερα

ª ƒ À π : ÌÈ Ô 1, Ï ÙÂ Ï. Ù ıìô, Τηλ 210. 80.22.751, 210. 80.53.315 Η ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ : ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΗ ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ª ƒ À π : ÌÈ Ô 1, Ï ÙÂ Ï. Ù ıìô, Τηλ 210. 80.22.751, 210. 80.53.315 Η ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ : ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΗ ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 1 Η ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ : ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΗ ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Συμβουλές για εποικοδομητικό και αποδοτικό διάβασμα / Η «τελική ευθεία» Ουσιαστικά «τελική ευθεία» αποτελούν οι δυο τελευταίες τάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Η διπλωματική εργασία

Η διπλωματική εργασία Η διπλωματική εργασία Αριστείδης Χατζής * Το κείμενο αυτό ανανεώνεται συνέχεια με τη δική σας παρέμβαση, τις ερωτήσεις, τα σχόλια και τις παρατηρήσεις σας. Αυτή η εκδοχή ανανεώθηκε στις 12 Δεκεμβρίου 2006.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες 20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό.

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. 1 ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate, εισηγητής Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΣΕΙΣ ΑΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΕΚΘΕΣΕΙΣ ΑΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΕΚΘΕΣΕΙΣ ΑΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΥΠΟΒΟΛΗ ΑΠΟΔΟΧΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Αθήνα, 16 Οκτωβρίου 2009 Παναγιάρη Μαρία, Πολυμερή Σχέδια «Μεταφορά Καινοτομίας» ΥΠΟΒΟΛΗ ΕΚΘΕΣΕΩΝ ΑΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ (1) ΠΟΤΕ; Στη μέση της υλοποίησης (άρθρο V

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 1. Κριτήριο για ολιγόλεπτη εξέταση 91 (15 ) Στοιχεία µαθητή Ονοµατεπώνυµο:... Εξεταζόµενο µάθηµα: Αρχαία Ελληνική Γραµµατεία (µάθηµα κατεύθυνσης) Τάξη:... Ηµεροµηνία

Διαβάστε περισσότερα

BACCALAURÉATS GÉNÉRAL ET TECHNOLOGIQUE

BACCALAURÉATS GÉNÉRAL ET TECHNOLOGIQUE BACCALAURÉATS GÉNÉRAL ET TECHNOLOGIQUE SESSION 2015 GREC MODERNE MARDI 23 JUIN 2015 LANGUE VIVANTE 2 Séries ES et S Durée de l épreuve : 2 heures coefficient : 2 Série L Langue vivante obligatoire (LVO)

Διαβάστε περισσότερα

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Αναζητώντας την αλήθεια στη ζωή μας Το βιβλίο των Θρησκευτικών της Στ τάξης του Δημοτικού σχολείου είναι το αποτέλεσμα της τρίχρονης συνεργασίας της συγγραφικής ομάδας, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Το συγκεκριμένο άρθρο βασίσθηκε στη έρευνα γύρω από την σημασία της πλευράς του πελάτη, στην θεραπευτική διαδικασία.

Το συγκεκριμένο άρθρο βασίσθηκε στη έρευνα γύρω από την σημασία της πλευράς του πελάτη, στην θεραπευτική διαδικασία. Ο «πελάτης» του πελάτη... (Eugene Gendlin) Ξεκινώντας από τον Τίτλο... Ποιός είναι αυτός (ο «πελάτης»); Tο «σύνορο της συνειδητής/ ασυνείδητης» γνώσης, ή το «σύνορο της συνειδητότητας» μιας κατάστασης,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΝΑΥΤΙΛΟΣ

ΕΚΠΑ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΝΑΥΤΙΛΟΣ ΣΧΟΛΙΑ Οι κληρούχοι συντάκτες της αίτησης και οι εμπλεκόμενοι Πτολεμαϊκοί αξιωματούχοι Η αίτηση υποβάλλεται από δύο κληρούχους ιππείς, το Μακεδόνα Αντίμαχο, γιο του Αριστομήδη, και το Θράκα Ηρακλείδη,

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων

Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων 28 Μαΐου 2012 Αρχαία Ελληνικά Θεωρητικής Κατεύθυνσης Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων Α1. Και αυτά, επειδή η ηθική αρετή συνδέεται με τα ευχάριστα και τα δυσάρεστα συναισθήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Ι. Ο ΣΩΚΡΑΤΗΣ, Κεφ. Δ2, Δ3, σελ. 34-39 σχολικού βιβλίου ΑΣΚΗΣΗ 1 Με ποιον τρόπο ελέγχει ο Σωκράτης τον χρησμό που του δόθηκε από το μαντείο, σύμφωνα με το απόσπασμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Επειδή βλέπουμε κάθε πόλη κράτος να είναι ένα είδος κοινότητας και κάθε κοινότητα να έχει συσταθεί για χάρη κάποιου

Διαβάστε περισσότερα

Φεβρουάριος. Φυτά εσωτερικού χώρου

Φεβρουάριος. Φυτά εσωτερικού χώρου Φεβρουάριος Ακόμα κάνει κρύο, οι μέρες είναι ακόμη μικρές και βροχερές, ο καιρός είναι καταθλιπτικός, όμως ο Φλεβάρης δεν παύει να είναι (τυπικά τουλάχιστον) ο τελευταίος χειμωνιάτικος μήνας. Συν τοις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΚΘΕΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια θεμάτων: Μεταξά Ελευθερία. www.epignosi.edu.gr. Κείμενο

ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΚΘΕΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια θεμάτων: Μεταξά Ελευθερία. www.epignosi.edu.gr. Κείμενο ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΚΘΕΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια θεμάτων: Μεταξά Ελευθερία Κείμενο (δημοσίευμα) Στον 21 ο αιώνα συνεχίζουν να υπάρχουν όχι μόνο εκατομμύρια παιδιά ενός κατώτερου Θεού, αλλά και χιλιάδες παιδιά κανενός

Διαβάστε περισσότερα

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται 1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται από: α) Τη ροπή για αποταμίευση β) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος και τη ροπή για αποταμίευση γ) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα