Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Save this PDF as:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος"

Transcript

1 ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου 2013, Βόλος

2 Εξαναγκασμένες Ταλαντώσεις ~x = A~x + ~ F cos ω t. (1)

3 Εξαναγκασμένες Ταλαντώσεις Μαντεψιά ~x = A~x + ~ F cos ω t. (1) ~x p = ~c cos ω t,

4 Εξαναγκασμένες Ταλαντώσεις Μαντεψιά ~x = A~x + ~ F cos ω t. (1) ~x p = ~c cos ω t, ~x p = ω 2 ~c cos ω t.

5 Εξαναγκασμένες Ταλαντώσεις Μαντεψιά ~x = A~x + ~ F cos ω t. (1) ~x p = ~c cos ω t, ~x p = ω 2 ~c cos ω t. ω 2 ~c cos ω t = A~c cos ω t + ~ F cos ω t

6 Εξαναγκασμένες Ταλαντώσεις Μαντεψιά ~x = A~x + ~ F cos ω t. (1) ~x p = ~c cos ω t, ~x p = ω 2 ~c cos ω t. ω 2 ~c cos ω t = A~c cos ω t + ~ F cos ω t Οπότε (A + ω 2 I)~c = ~ F. ~c = (A + ω 2 I) 1 ( ~ F).

7 Παράδειγμα k 1 m 1 k 2 m 2 m 1 = 2, m 2 = 1, k 1 = 4, και k 2 = 2

8 Παράδειγμα k 1 m 1 k 2 m 2 m 1 = 2, m 2 = 1, k 1 = 4, και k 2 = 2 [ [ ~x = ~x + cos 3t

9 Παράδειγμα k 1 m 1 k 2 m 2 m 1 = 2, m 2 = 1, k 1 = 4, και k 2 = 2 [ [ ~x = ~x + cos 3t ~x c = [ 1 2 (a 1 cos t + b 1 sin t) + [ 1 1 (a 2 cos 2t + b 2 sin 2t).

10 Παράδειγμα k 1 m 1 k 2 m 2 m 1 = 2, m 2 = 1, k 1 = 4, και k 2 = 2 [ [ ~x = ~x + cos 3t ~x c = [ 1 2 (a 1 cos t + b 1 sin t) + [ 1 1 (a 2 cos 2t + b 2 sin 2t). ηλαδή ([ ) I ~c = (A + ω 2 I)~c = ~ F [ [ ~c = ~c = [

11 Παράδειγμα (η λύση) Η γενική λύση της εξίσωσης ~x = A~x + ~ F cos ω t

12 Παράδειγμα (η λύση) Η γενική λύση της εξίσωσης ~x = A~x + ~ F cos ω t ~x = ~x c + ~x p =

13 Παράδειγμα (η λύση) Η γενική λύση της εξίσωσης ~x = A~x + ~ F cos ω t ~x = ~x c + ~x p = [ [ [ (a 2 1 cos t + b 1 sin t)+ (a 1 2 cos 2t + b 2 sin 2t)+ 20 cos 3t. 3 10

14 Πολλαπλότητες Παράδειγμα A = [

15 Πολλαπλότητες Παράδειγμα ιδιοτιμή 3 με A = [

16 Πολλαπλότητες Παράδειγμα A = [ ιδιοτιμή 3 με αλγεβρική πολλαπλότητα 2

17 Πολλαπλότητες Παράδειγμα A = [ ιδιοτιμή 3 με αλγεβρική πολλαπλότητα 2 γεωμετρική πολλαπλότητα 2 επειδή υπάρχουν δύο γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα της ιδιοτιμής αυτής

18 Πολλαπλότητες Παράδειγμα A = [ ιδιοτιμή 3 με αλγεβρική πολλαπλότητα 2 γεωμετρική πολλαπλότητα 2 επειδή υπάρχουν δύο γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα της ιδιοτιμής αυτής (τα [ 1 0 και [ 01 ).

19 Πολλαπλότητες Παράδειγμα A = [ ιδιοτιμή 3 με αλγεβρική πολλαπλότητα 2 γεωμετρική πολλαπλότητα 2 επειδή υπάρχουν δύο γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα της ιδιοτιμής αυτής (τα [ [ 1 0 και 01 ). Το ~x = A~x έχει την εξής γενική λύση ~x = c 1 [ 1 0 e 3t + c 2 [ 0 1 e 3t.

20 Θεώρημα - Λύσεις με αρνητικές ιδιοτιμές Εστω ο n n πίνακας A ο οποίος έχει n διαφορετικές μεταξύ τους αρνητικές ιδιοτιμές ( ω 2 1 > ω2 2 > > ω2 n), με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα ~v 1, ~v 2,..., ~v n. Αν ο A είναι αντιστρέψιμος (οπότε και έχουμε ότι ω 1 >0), τότε n ~x(t) = i=1 είναι η γενική λύση του ~x = A~x, ~v i (a i cos ω i t + b i sin ω i t),

21 Θεώρημα - Λύσεις με αρνητικές ιδιοτιμές Εστω ο n n πίνακας A ο οποίος έχει n διαφορετικές μεταξύ τους αρνητικές ιδιοτιμές ( ω 2 1 > ω2 2 > > ω2 n), με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα ~v 1, ~v 2,..., ~v n. Αν ο A είναι αντιστρέψιμος (οπότε και έχουμε ότι ω 1 >0), τότε n ~x(t) = i=1 ~v i (a i cos ω i t + b i sin ω i t), είναι η γενική λύση του ~x = A~x, Αν ο A έχει μια μηδενική ιδιοτιμή, (ω 1 = 0), ενώ όλες οι άλλες ιδιοτιμές είναι αρνητικές και διαφορετικές μεταξύ τους τότε η γενική λύση είναι ~x(t) = ~v 1 (a 1 + b 1 t) + n i=2 ~v i (a i cos ω i t + b i sin ω i t).

22 Θεώρημα - Λύσεις με πολλαπλότητα Εστω ~x = P~x. Αν P είναι ένα n n πίνακας ο οποίος έχει τις εξής n πραγματικές ιδιοτιμές (οι οποίες δεν είναι απαραίτητα διαφορετικές μεταξύ τους), λ 1,..., λ n, και αν σε αυτές αντιστοιχούν τα εξής n γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα ~v 1,..., ~v n, τότε η γενική λύση του συστήματος Σ Ε μπορεί να γραφθεί ως εξής ~x = c 1 ~v 1 e λ 1t + c2 ~v 2 e λ 2t + + cn ~v n e λnt.

23 Θεώρημα - Λύσεις με αρνητικές ιδιοτιμές Εστω ο n n πίνακας A ο οποίος έχει n διαφορετικές μεταξύ τους αρνητικές ιδιοτιμές ( ω 2 1 > ω2 2 > > ω2 n), με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα ~v 1, ~v 2,..., ~v n. Αν ο A είναι αντιστρέψιμος (οπότε και έχουμε ότι ω 1 >0), τότε n ~x(t) = i=1 είναι η γενική λύση του ~x = A~x, ~v i (a i cos ω i t + b i sin ω i t),

24 Θεώρημα - Λύσεις με αρνητικές ιδιοτιμές Εστω ο n n πίνακας A ο οποίος έχει n διαφορετικές μεταξύ τους αρνητικές ιδιοτιμές ( ω 2 1 > ω2 2 > > ω2 n), με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα ~v 1, ~v 2,..., ~v n. Αν ο A είναι αντιστρέψιμος (οπότε και έχουμε ότι ω 1 >0), τότε n ~x(t) = i=1 ~v i (a i cos ω i t + b i sin ω i t), είναι η γενική λύση του ~x = A~x, Αν ο A έχει μια μηδενική ιδιοτιμή, (ω 1 = 0), ενώ όλες οι άλλες ιδιοτιμές είναι αρνητικές και διαφορετικές μεταξύ τους τότε η γενική λύση είναι ~x(t) = ~v 1 (a 1 + b 1 t) + n i=2 ~v i (a i cos ω i t + b i sin ω i t).

25 Ατελείς ιδιοτιμές ατελής ιδιοτιμή κάθε ιδιοτιμή με αλγεβρική πολλαπλότητα μεγαλύτερη από την γεωμετρική.

26 Ατελείς ιδιοτιμές ατελής ιδιοτιμή κάθε ιδιοτιμή με αλγεβρική πολλαπλότητα μεγαλύτερη από την γεωμετρική. Παράδειγμα [

27 Ατελείς ιδιοτιμές ατελής ιδιοτιμή κάθε ιδιοτιμή με αλγεβρική πολλαπλότητα μεγαλύτερη από την γεωμετρική. Παράδειγμα [ [ [ v1 v2 = ~ 0.

28 Ατελείς ιδιοτιμές ατελής ιδιοτιμή κάθε ιδιοτιμή με αλγεβρική πολλαπλότητα μεγαλύτερη από την γεωμετρική. Παράδειγμα [ [ v10. [ [ v1 v2 = ~ 0.

29 ~x = A~x, A = [ Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα

30 Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα ~x = A~x, A = [ λ = 3 (αλγεβρικής) πολλαπλότητας 2 και ατέλεια 1 με ιδιοδιάνυσμα ~v 1 = [ 1 0

31 Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα ~x = A~x, A = [ λ = 3 (αλγεβρικής) πολλαπλότητας 2 και ατέλεια 1 με ιδιοδιάνυσμα ~v 1 = [ 1 0 Μία λύση ~x 1 = ~v 1 e 3t. Άλλη λύση ~x 2 = (~v 2 + ~v 1 t) e 3t.

32 Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα ~x = A~x, A = [ λ = 3 (αλγεβρικής) πολλαπλότητας 2 και ατέλεια 1 με ιδιοδιάνυσμα ~v 1 = [ 1 0 Μία λύση ~x 1 = ~v 1 e 3t. Άλλη λύση ~x 2 = (~v 2 + ~v 1 t) e 3t. ~x 2 = ~v 1 e 3t + 3(~v 2 + ~v 1 t) e 3t = (3~v 2 + ~v 1 ) e 3t + 3~v 1 te 3t.

33 Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα ~x = A~x, A = [ λ = 3 (αλγεβρικής) πολλαπλότητας 2 και ατέλεια 1 με ιδιοδιάνυσμα ~v 1 = [ 1 0 Μία λύση ~x 1 = ~v 1 e 3t. Άλλη λύση ~x 2 = (~v 2 + ~v 1 t) e 3t. ~x 2 = ~v 1 e 3t + 3(~v 2 + ~v 1 t) e 3t = (3~v 2 + ~v 1 ) e 3t + 3~v 1 te 3t. A~x 2 = A(~v 2 + ~v 1 t) e 3t = A~v 2 e 3t + A~v 1 te 3t.

34 Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα ~x = A~x, A = [ λ = 3 (αλγεβρικής) πολλαπλότητας 2 και ατέλεια 1 με ιδιοδιάνυσμα ~v 1 = [ 1 0 Μία λύση ~x 1 = ~v 1 e 3t. Άλλη λύση ~x 2 = (~v 2 + ~v 1 t) e 3t. ~x 2 = ~v 1 e 3t + 3(~v 2 + ~v 1 t) e 3t = (3~v 2 + ~v 1 ) e 3t + 3~v 1 te 3t. A~x 2 = A(~v 2 + ~v 1 t) e 3t = A~v 2 e 3t + A~v 1 te 3t. 3~v 2 + ~v 1 = A~v 2 και 3~v 1 = A~v 1.

35 Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα ~x = A~x, A = [ λ = 3 (αλγεβρικής) πολλαπλότητας 2 και ατέλεια 1 με ιδιοδιάνυσμα ~v 1 = [ 1 0 Μία λύση ~x 1 = ~v 1 e 3t. Άλλη λύση ~x 2 = (~v 2 + ~v 1 t) e 3t. ~x 2 = ~v 1 e 3t + 3(~v 2 + ~v 1 t) e 3t = (3~v 2 + ~v 1 ) e 3t + 3~v 1 te 3t. A~x 2 = A(~v 2 + ~v 1 t) e 3t = A~v 2 e 3t + A~v 1 te 3t. 3~v 2 + ~v 1 = A~v 2 και 3~v 1 = A~v 1. (A 3I)~v 1 = ~ 0, και (A 3I)~v 2 = ~v 1.

36 Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα ~x = A~x, A = [ λ = 3 (αλγεβρικής) πολλαπλότητας 2 και ατέλεια 1 με ιδιοδιάνυσμα ~v 1 = [ 1 0 Μία λύση ~x 1 = ~v 1 e 3t. Άλλη λύση ~x 2 = (~v 2 + ~v 1 t) e 3t. ~x 2 = ~v 1 e 3t + 3(~v 2 + ~v 1 t) e 3t = (3~v 2 + ~v 1 ) e 3t + 3~v 1 te 3t. A~x 2 = A(~v 2 + ~v 1 t) e 3t = A~v 2 e 3t + A~v 1 te 3t. 3~v 2 + ~v 1 = A~v 2 και 3~v 1 = A~v 1. (A 3I)~v 1 = ~ 0, και (A 3I)~v 2 = ~v 1. (A 3I)(A 3I)~v 2 = ~ 0, ή (A 3I) 2 ~v 2 = ~ 0.

37 Παράδειγμα (A 3I) 2 = 0. Το κάθε ~v 2 είναι λύση του (A 3I) 2 ~v 2 = ~ 0. Άρα αρκεί (A 3I)~v 2 = ~v 1.

38 Παράδειγμα (A 3I) 2 = 0. Το κάθε ~v 2 είναι λύση του (A 3I) 2 ~v 2 = ~ 0. Άρα αρκεί (A 3I)~v 2 = ~v 1. [ [ [ 0 1 a 1 =. 0 0 b 0

39 Παράδειγμα (A 3I) 2 = 0. Το κάθε ~v 2 είναι λύση του (A 3I) 2 ~v 2 = ~ 0. Άρα αρκεί (A 3I)~v 2 = ~v 1. [ [ [ 0 1 a 1 =. 0 0 b 0 Εστω a = 0 b = 1. Άρα ~v 2 = [ 0 1.

40 Παράδειγμα (A 3I) 2 = 0. Το κάθε ~v 2 είναι λύση του (A 3I) 2 ~v 2 = ~ 0. Άρα αρκεί (A 3I)~v 2 = ~v 1. [ [ [ 0 1 a 1 =. 0 0 b 0 Εστω a = 0 b = 1. Άρα ~v 2 = [ 0 1. Η γενική λύση του ~x = A~x είναι ~x = c 1 [ 1 0 e 3t + c 2 ([ 0 1 [ ) 1 + t e 0 3t = [ c1 e 3t + c 2 te 3t c 2 e 3t.

41 Αλγόριθμος - λ πολλαπλότητας 2 ατέλειας 1 Βρες το ιδιοδιάνυσμα ~v 1 του λ.

42 Αλγόριθμος - λ πολλαπλότητας 2 ατέλειας 1 Βρες το ιδιοδιάνυσμα ~v 1 του λ. Μετά πρέπει να βρούμε ένα ~v 2 τέτοιο ώστε (A 3I) 2 ~v 2 = ~ 0, (A 3I)~v 2 = ~v 1.

43 Αλγόριθμος - λ πολλαπλότητας 2 ατέλειας 1 Βρες το ιδιοδιάνυσμα ~v 1 του λ. Μετά πρέπει να βρούμε ένα ~v 2 τέτοιο ώστε (A 3I) 2 ~v 2 = ~ 0, (A 3I)~v 2 = ~v 1. ύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις ~x 1 = ~v 1 e λt, ~x 2 = (~v 2 + ~v 1 t) e λt.

44 Αλγόριθμος - λ πολλαπλότητας m Βρες τα γενικευμένα ιδιοδιανύσματα (A λi) k ~v = ~ 0, αλλά (A λi) k 1 ~v ~ 0.

45 Αλγόριθμος - λ πολλαπλότητας m Βρες τα γενικευμένα ιδιοδιανύσματα (A λi) k ~v = ~ 0, αλλά (A λi) k 1 ~v ~ 0. Για κάθε ιδιοδιάνυσμα ~v 1 βρες μια σειρά γενικευμένων ιδιοδιανυσμάτων ~v 2... ~v k τέτοια ώστε: (A λi)~v 1 = ~ 0, (A λi)~v 2 = ~v 1,. (A λi)~v k = ~v k 1.

46 Αλγόριθμος - λ πολλαπλότητας m Βρες τα γενικευμένα ιδιοδιανύσματα (A λi) k ~v = ~ 0, αλλά (A λi) k 1 ~v ~ 0. Για κάθε ιδιοδιάνυσμα ~v 1 βρες μια σειρά γενικευμένων ιδιοδιανυσμάτων ~v 2... ~v k τέτοια ώστε: (A λi)~v 1 = ~ 0, (A λi)~v 2 = ~v 1,. (A λi)~v k = ~v k 1. Οι γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις ~x 1 = ~v 1 e λt, ~x 2 = (~v 2 + ~v 1 t) e λt,.

47 Εκθετικά μαντεψιά ~x = P~x, ~x = e Pt.

48 Εκθετικά μαντεψιά ~x = P~x, ~x = e Pt. e at = 1 + at + (at)2 2 + (at)3 6 + (at) = k=0 (at) k. k!

49 Εκθετικά μαντεψιά ~x = P~x, ~x = e Pt. e at = 1 + at + (at)2 2 + (at)3 6 + (at) = k=0 (at) k. k! a+a 2 t+ a3 t 2 2 +a4 t = a ( 1 + at + (at)2 2 + (at)3 6 + ) = ae at

50 Εκθετικά Πινάκων e A ορισμός = I + A A A k! Ak +

51 Εκθετικά Πινάκων e A ορισμός = I + A A A k! Ak + d ( e tp ) = Pe dt tp.

52 Θεώρημα Εάν P είναι ένας n n πίνακας, τότε η γενική λύση του ~x = P~x είναι ~x = e tp ~c, όπου ~c είναι ένα οποιοδήποτε σταθερό διάνυσμα. Μάλιστα ισχύει η σχέση ~x(0) = ~c.

53 Πρόβλημα Εάν AB = BA τότε e A+B = e A e B. Ειδάλλως έχουμε e A+B e A e B.

54 Απλές περιπτώσεις ιαγώνιοι πίνακες Πίνακες τ.ω. A k = 0 για k >2.

55 Απλές περιπτώσεις - ιαγώνιοι Πίνακες Εστω D = [ a 0 0 b

56 Απλές περιπτώσεις - ιαγώνιοι Πίνακες Εστω D = [ a 0 0 b D k = [ a k 0 0 b k.

57 Απλές περιπτώσεις - ιαγώνιοι Πίνακες Εστω D = [ a 0 0 b D k = [ a k 0 0 b k. e D = I + D D D3 +

58 Απλές περιπτώσεις - ιαγώνιοι Πίνακες Εστω D = [ a 0 0 b e D = [ D k = [ a k 0 0 b k. e D = I + D D D3 + [ a b 2 [ a b [ a b 3 +

59 Απλές περιπτώσεις - ιαγώνιοι Πίνακες Εστω D = [ a 0 0 b e D = [ D k = [ a k 0 0 b k. e D = I + D D D3 + [ a b 2 e D = [ a b 2 [ e a 0 0 e b [ a b 3 +

60 Απλές περιπτώσεις - ιαγώνιοι Πίνακες Εστω D = [ a 0 0 b e D = [ και παρεμπιπτόντως [ e I e 0 = 0 e D k = [ a k 0 0 b k. e D = I + D D D3 + [ a b 2 e D = [ a b 2 [ e a 0 0 e b. και e ai = [ a b 3 + [ e a 0 0 e a.

61 Απλές περιπτώσεις - μη- ιαγώνιοι Πίνακες Εστω A = [

62 Απλές περιπτώσεις - μη- ιαγώνιοι Πίνακες Εστω A = [ = [ I = B + 2I

63 Απλές περιπτώσεις - μη- ιαγώνιοι Πίνακες [ [ Εστω A = = I = B + 2I Οι tb και 2tI αντιμετατίθενται, άρα e ta = e tb+2ti

64 Απλές περιπτώσεις - μη- ιαγώνιοι Πίνακες [ [ Εστω A = = I = B + 2I Οι tb και 2tI αντιμετατίθενται, άρα e ta = e tb+2ti = e tb e 2tI =

65 Απλές περιπτώσεις - μη- ιαγώνιοι Πίνακες [ 5 3 [ I = B + 2I Εστω A = 3 1 = 3 3 Οι tb και 2tI αντιμετατίθενται, [ άρα e ta = e tb+2ti = e tb e 2tI = e tb e 2t 0 0 e 2t

66 Απλές περιπτώσεις - μη- ιαγώνιοι Πίνακες [ [ Εστω A = = I = B + 2I Οι tb και 2tI αντιμετατίθενται, [ άρα e ta = e tb+2ti = e tb e 2tI = e tb e 2t 0 0 e 2t Όμως B 2 = 0

67 Απλές περιπτώσεις - μη- ιαγώνιοι Πίνακες [ [ Εστω A = = I = B + 2I Οι tb και 2tI αντιμετατίθενται, [ άρα e ta = e tb+2ti = e tb e 2tI = e tb e 2t 0 0 e 2t Όμως B 2 = 0 B k = 0 k 2

68 Απλές περιπτώσεις - μη- ιαγώνιοι Πίνακες [ [ Εστω A = = I = B + 2I Οι tb και 2tI αντιμετατίθενται, [ άρα e ta = e tb+2ti = e tb e 2tI = e tb e 2t 0 0 e 2t Όμως[ B 2 = 0 B k = 0 k 2 άρα e ta e 2t [ t 3t = 0 e 2t = 3t 1 3t [ (1 + 3t) e 2t 3te 2t 3te 2t (1 3t) e 2t.

69 Γενική περίπτωση Βασικό εργαλείο e BAB 1 = Be A B 1

70 Γενική περίπτωση Βασικό εργαλείο e BAB 1 = Be A B 1 (BAB 1 ) k = BA k B 1.

71 Γενική περίπτωση Βασικό εργαλείο e BAB 1 = Be A B 1 (BAB 1 ) k = BA k B 1. e BAB 1 = I + BAB (BAB 1 ) (BAB 1 ) 3 + = BB 1 + BAB BA2 B BA3 B 1 + = B ( I + A A2 + 1 )B 6 A3 + 1 = Be A B 1.

72 Η λύση με εκθετικά Εστω λ 1,..., λ n οι ιδιοτιμές και ~v 1,..., ~v n τα (γραμμικά ανεξάρτητα) ιδιοδιανύσματα του A.

73 Η λύση με εκθετικά Εστω λ 1,..., λ n οι ιδιοτιμές και ~v 1,..., ~v n τα (γραμμικά ανεξάρτητα) ιδιοδιανύσματα του A. Εστω E ο πίνακας ο οποίος έχει σαν στήλες τα ιδιοδιανύσματα του A.

74 Η λύση με εκθετικά Εστω λ 1,..., λ n οι ιδιοτιμές και ~v 1,..., ~v n τα (γραμμικά ανεξάρτητα) ιδιοδιανύσματα του A. Εστω E ο πίνακας ο οποίος έχει σαν στήλες τα ιδιοδιανύσματα του A. Τότε e ta = Ee td E 1 = E e λ 1t e λ 2t e λnt E 1.

75 [ x y = Παράδειγμα [ [ 1 2 x, x(0) = 4 y(0) = y

76 Παράδειγμα [ x [ [ 1 2 x =, x(0) = 4 y(0) = 2. y 2 1 y [ Ιδιοτιμές: 3 και 1, ιδιοδιανύσματα: 11 [ και 1 1.

77 Παράδειγμα [ x [ [ 1 2 x =, x(0) = 4 y(0) = 2. y 2 1 y [ Ιδιοτιμές: 3 και 1, ιδιοδιανύσματα: 11 [ και 1 1. e ta = = [ [ [ 1 1 e 3t e t 1 1 [ [ [ 1 1 e 3t e t [ e 3t e t e 3t + e t = 1 2 e 3t + e t e 3t e t [ e 3t +e t = 2 e 3t e t 2 e 3t e t 2 e 3t +e. t 2

78 Παράδειγμα [ x [ [ 1 2 x =, x(0) = 4 y(0) = 2. y 2 1 y [ Ιδιοτιμές: 3 και 1, ιδιοδιανύσματα: 11 [ και 1 1. e ta = = [ [ [ 1 1 e 3t e t 1 1 [ [ [ 1 1 e 3t e t [ e 3t e t e 3t + e t = 1 2 e 3t + e t [ [ x e 3t +e t = 2 y e 3t e t 2 e 3t e t e 3t e [4 t 2 e 3t +e t = 2 2 [ e 3t +e t = 2 e 3t e t 2 [ 3e 3t + e t 3e 3t e t e 3t e t 2 e 3t +e. t 2.

79 Ολοκληρωτικός παράγοντας - Γενικευμένη λύση ~x (t) = A~x(t) + ~ f(t)

80 Ολοκληρωτικός παράγοντας - Γενικευμένη λύση ~x (t) = A~x(t) + ~ f(t) ~x (t) + P~x(t) = ~ f(t),

81 Ολοκληρωτικός παράγοντας - Γενικευμένη λύση ~x (t) = A~x(t) + ~ f(t) ~x (t) + P~x(t) = ~ f(t), Όμως Pe tp = e tp P e tp ~x (t) + e tp P~x(t) = e tp ~ f(t).

82 Ολοκληρωτικός παράγοντας - Γενικευμένη λύση ~x (t) = A~x(t) + ~ f(t) ~x (t) + P~x(t) = ~ f(t), e tp ~x (t) + e tp P~x(t) = e tp ~ f(t). Όμως Pe tp = e tp P και d dt ( e tp ) = Pe tp

83 Ολοκληρωτικός παράγοντας - Γενικευμένη λύση ~x (t) = A~x(t) + ~ f(t) ~x (t) + P~x(t) = ~ f(t), e tp ~x (t) + e tp P~x(t) = e tp ~ f(t). Όμως Pe tp = e tp P και d dt ( e tp ) = Pe tp άρα d ( e tp ~x(t)) = e dt tp ~ f(t).

84 Ολοκληρωτικός παράγοντας - Γενικευμένη λύση ~x (t) = A~x(t) + ~ f(t) ~x (t) + P~x(t) = ~ f(t), e tp ~x (t) + e tp P~x(t) = e tp ~ f(t). Όμως Pe tp = e tp P και d dt ( e tp ) = Pe tp άρα d ( e tp ~x(t)) = e dt tp ~ f(t). e tp ~x(t) = e tp ~ f(t) dt + ~c.

85 Ολοκληρωτικός παράγοντας - Γενικευμένη λύση ~x (t) = A~x(t) + ~ f(t) ~x (t) + P~x(t) = ~ f(t), e tp ~x (t) + e tp P~x(t) = e tp ~ f(t). Όμως Pe tp = e tp P και d dt ( e tp ) = Pe tp άρα d ( e tp ~x(t)) = e dt tp ~ f(t). e tp ~x(t) = ~x(t) = e tp e tp ~ f(t) dt + ~c. e tp ~ f(t) dt + e tp ~c.

86 Ολοκληρωτικός παράγοντας - Αρχικές συνθήκες ~x (t) + P~x(t) = ~ f(t), ~x(0) = ~ b.

87 Ολοκληρωτικός παράγοντας - Αρχικές συνθήκες ~x (t) + P~x(t) = ~ f(t), ~x(0) = ~ b. ~x(t) = e tp t 0 e sp ~ f(s) ds + e tp ~ b.

88 Ολοκληρωτικός παράγοντας - Αρχικές συνθήκες ~x (t) + P~x(t) = ~ f(t), ~x(0) = ~ b. ~x(t) = e tp t ~x(0) = e 0P e sp ~ f(s) ds + e tp ~ b. e sp ~ f(s) ds + e 0P ~ b = I ~ b = ~ b.

89 Παράδειγμα x 1 + 5x 1 3x 2 = e t, x 2 + 3x 1 x 2 = 0, x 1 (0) = 1, x 2 (0) = 0

90 Παράδειγμα x 1 + 5x 1 3x 2 = e t, x 2 + 3x 1 x 2 = 0, x 1 (0) = 1, x 2 (0) = 0 ~x + [ 5 3 ~x = 3 1 [ e t [ 1, ~x(0) =. 0 0

91 Παράδειγμα x 1 + 5x 1 3x 2 = e t, x 2 + 3x 1 x 2 = 0, x 1 (0) = 1, x 2 (0) = 0 [ 5 3 ~x + ~x = 3 1 [ (1 + 3t) e 2t 3te 2t e tp = 3te 2t [ e t [ 1, ~x(0) =. 0 0 (1 3t) e 2t.

92 Παράδειγμα t 0 x 1 + 5x 1 3x 2 = e t, x 2 + 3x 1 x 2 = 0, x 1 (0) = 1, x 2 (0) = 0 [ 5 3 ~x + ~x = 3 1 [ (1 + 3t) e 2t 3te 2t e tp = e sp ~ f(s) ds = t 0 t = 0 [ e t [ 1, ~x(0) = te 2t (1 3t) e 2t [ (1 + 3s) e 2s 3se 2s 3se 2s [ (1 + 3s) e 3s 3se 3s. (1 3s) e 2s ds = [ [ e s 0 te 3t (3t 1) e 3t +1 3 ds.

93 Παράδειγμα (συνέχεια) ~x(t) = e tp t = = = 0 e sp ~ f(s) ds + e tp ~ b [ (1 3t) e 2t 3te 2t [ [ et 3te 2t te 2t ( t ) e 2t (1 2t) e 2t (1 + 3t) e 2t et 3 + ( 13 2t ) e 2t +. [ te 3t (3t 1) e 3t +1 3 [ (1 3t) e 2t 3te 2t [ (1 3t) e 2t + 3te 2t

94 Παράδειγμα (συνέχεια) ~x(t) = e tp t 0 e sp ~ f(s) ds + e tp ~ b = [ (1( 2t) e 2t et t ) e 2t.

95 Παράδειγμα (συνέχεια) ~x(t) = e tp t = = = 0 e sp ~ f(s) ds + e tp ~ b [ (1 3t) e 2t 3te 2t [ [ et 3te 2t te 2t ( t ) e 2t (1 2t) e 2t (1 + 3t) e 2t et 3 + ( 13 2t ) e 2t +. [ te 3t (3t 1) e 3t +1 3 [ (1 3t) e 2t 3te 2t [ (1 3t) e 2t + 3te 2t

96 Παραγοντοποίηση ιδιοδιανυσμάτων ~x (t) = A~x(t) + ~ f(t). (2)

97 Παραγοντοποίηση ιδιοδιανυσμάτων ~x (t) = A~x(t) + ~ f(t). (2) ~v 1,...,~v n γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα του A.

98 Παραγοντοποίηση ιδιοδιανυσμάτων ~x (t) = A~x(t) + ~ f(t). (2) ~v 1,...,~v n γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα του A. Εστω ~x(t) = ~v 1 ξ 1 (t) + ~v 2 ξ 2 (t) + + ~v n ξ n (t). (3) και ~ f(t) = ~v 1 g 1 (t) + ~v 2 g 2 (t) + + ~v n g n (t). (4)

99 Παραγοντοποίηση ιδιοδιανυσμάτων ~x (t) = A~x(t) + ~ f(t). (2) ~v 1,...,~v n γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα του A. Εστω και ~x(t) = ~v 1 ξ 1 (t) + ~v 2 ξ 2 (t) + + ~v n ξ n (t). (3) ~ f(t) = ~v 1 g 1 (t) + ~v 2 g 2 (t) + + ~v n g n (t). (4) ~x = ~v 1 ξ 1 + ~v 2 ξ ~v n ξ n = A (~v 1 ξ 1 + ~v 2 ξ ~v n ξ n ) + ~v 1 g 1 + ~v 2 g ~v n g n = A~v 1 ξ 1 + A~v 2 ξ A~v n ξ n + ~v 1 g 1 + ~v 2 g ~v n g n = ~v 1 λ 1 ξ 1 + ~v 2 λ 2 ξ ~v n λ n ξ n + ~v 1 g 1 + ~v 2 g ~v n g n = ~v 1 (λ 1 ξ 1 + g 1 ) + ~v 2 (λ 2 ξ 2 + g 2 ) + + ~v n (λ n ξ n + g n ).

100 Παραγοντοποίηση ιδιοδιανυσμάτων (συνέχεια) ξ 1 = λ 1 ξ 1 + g 1, ξ 2 = λ 2 ξ 2 + g 2,. ξ n = λ n ξ n + g n.

101 Παραγοντοποίηση ιδιοδιανυσμάτων (συνέχεια) ξ 1 = λ 1 ξ 1 + g 1, ξ 2 = λ 2 ξ 2 + g 2,. ξ n = λ n ξ n + g n. ξ k (t) λ k ξ k (t) = g k (t).

102 Παραγοντοποίηση ιδιοδιανυσμάτων (συνέχεια) ξ 1 = λ 1 ξ 1 + g 1, ξ 2 = λ 2 ξ 2 + g 2,. ξ n = λ n ξ n + g n. ξ k (t) λ k ξ k (t) = g k (t). d [ ξk (t) e dx λ kt = e λkt g k (t).

103 Παραγοντοποίηση ιδιοδιανυσμάτων (συνέχεια) ξ 1 = λ 1 ξ 1 + g 1, ξ 2 = λ 2 ξ 2 + g 2,. ξ n = λ n ξ n + g n. ξ k (t) λ k ξ k (t) = g k (t). d [ ξk (t) e dx λ kt = e λkt g k (t). ξ k (t) = e λ kt e λ kt g k (t) dt + C k e λ kt.

104 Παραγοντοποίηση ιδιοδιανυσμάτων (συνέχεια) t ξ k (t) = e λ kt e λks g k (s) dt + a k e λkt, 0

105 Παραγοντοποίηση ιδιοδιανυσμάτων (συνέχεια) t ξ k (t) = e λ kt e λks g k (s) dt + a k e λkt, 0 ~x(t) = ~v 1 ξ 1 (t) + ~v 2 ξ 2 (t) + + ~v n ξ n (t) η οποία ικανοποιεί την ~x(0) = ~ b, επειδή ξ k (0) = a k.

106 Παράδειγμα ~x = [ ~x + ~ f όπου ~ f(t) = [ 2e t 2t για ~x(0) = [ 3/16 5/16.

107 ~x = [ Παράδειγμα ~x + ~ f όπου ~ f(t) = [ 2e t 2t για ~x(0) = [ 3/16 5/16. Ιδιοτιμές 2 και 4 ιδιοδιανύσματα [ 1 1 και [ 11.

108 Παράδειγμα ~x = [ ~x + ~ f όπου ~ f(t) = [ 2e t 2t Ιδιοτιμές 2 και 4 ιδιοδιανύσματα [ 1 E = για ~x(0) = [ 1 1, E = 1 2 [ 3/16 5/16. [ 1 και 11. [

109 Παράδειγμα ~x = [ ~x + ~ f όπου ~ f(t) = [ 2e t 2t Ιδιοτιμές 2 και 4 ιδιοδιανύσματα [ 1 E = [ ~x = 1 1 ξ1 + [ 1 1 ξ2, [ ~x(0) = 3/16 5/16 = για ~x(0) = [ 1 1, E = 1 2 ~ f = [ 2e t 2t [ 1 1 a1 + [ 1 1 a2, [ 3/16 5/16. [ 1 και 11. [ = [ 1 1 g1 + [ 1 1 g2 και

110 Παράδειγμα ~x = [ ~x + ~ f όπου ~ f(t) = [ 2e t 2t Ιδιοτιμές 2 και 4 ιδιοδιανύσματα [ 1 E = [ ~x = 1 1 ξ1 + [ 1 1 ξ2, [ ~x(0) = 3/16 5/16 = [ g1 g 2 για ~x(0) = [ 1 1, E = 1 2 ~ f = [ 2e t 2t [ 1 1 a1 + [ 1 1 a2, όπου [ = E 1 2e t = 1 2t 2 [ 3/16 5/16. [ 1 και 11. [ = [ 1 1 g1 + [ 1 1 g2 και [ [ 2e t 2t = [ e t t e t + t

111 Παράδειγμα ~x = [ ~x + ~ f όπου ~ f(t) = [ 2e t 2t Ιδιοτιμές 2 και 4 ιδιοδιανύσματα [ 1 E = [ ~x = 1 1 ξ1 + [ 1 1 ξ2, [ ~x(0) = 3/16 5/16 = [ g1 g 2 για ~x(0) = [ 1 1, E = 1 2 ~ f = [ 2e t 2t [ 1 1 a1 + [ 1 1 a2, όπου [ = E 1 2e t = 1 2t 2 [ 3/16 5/16. [ 1 και 11. [ = [ 1 1 g1 + [ 1 1 g2 και [ [ [ a1 316 = E a [ 2e t 2t [ 14 = = [ e t t e t + t

112 Παράδειγμα (συνέχεια) Αντικαθιστούμε, εξισώνουμε τους συντελεστές των ιδιοδιανυσμάτων και παίρνουμε ξ 1 = 2ξ 1 + e t t, όπου ξ 1 (0) = a 1 = 1 4, ξ 2 = 4ξ 2 + e t + t, όπου ξ 2 (0) = a 2 = 1 16.

113 Παράδειγμα (συνέχεια) Αντικαθιστούμε, εξισώνουμε τους συντελεστές των ιδιοδιανυσμάτων και παίρνουμε ξ 1 = 2ξ 1 + e t t, όπου ξ 1 (0) = a 1 = 1 4, ξ 2 = 4ξ 2 + e t + t, ξ 1 = e 2t ξ 2 = e 4t όπου ξ 2 (0) = a 2 = e 2t (e t t) dt + C 1 e 2t = et 3 t C 1e 2t. e 4t (e t + t) dt + C 2 e 4t = et 3 t C 2e 4t.

114 Παράδειγμα (συνέχεια) Αντικαθιστούμε, εξισώνουμε τους συντελεστές των ιδιοδιανυσμάτων και παίρνουμε ξ 1 = 2ξ 1 + e t t, όπου ξ 1 (0) = a 1 = 1 4, ξ 2 = 4ξ 2 + e t + t, ξ 1 = e 2t ξ 2 = e 4t όπου ξ 2 (0) = a 2 = e 2t (e t t) dt + C 1 e 2t = et 3 t C 1e 2t. e 4t (e t + t) dt + C 2 e 4t = et 3 t C 2e 4t. Επειδή ξ 1 (0) = 1/4 και ξ 2 (0) = 1/16 έχουμε C 1 = 1 /3 και C 2 = 1/3

115 Παράδειγμα (συνέχεια) Αντικαθιστούμε, εξισώνουμε τους συντελεστές των ιδιοδιανυσμάτων και παίρνουμε ξ 1 = 2ξ 1 + e t t, όπου ξ 1 (0) = a 1 = 1 4, ξ 2 = 4ξ 2 + e t + t, ξ 1 = e 2t ξ 2 = e 4t όπου ξ 2 (0) = a 2 = e 2t (e t t) dt + C 1 e 2t = et 3 t C 1e 2t. e 4t (e t + t) dt + C 2 e 4t = et 3 t C 2e 4t. Επειδή ξ 1 (0) = 1/4 και ξ 2 (0) = 1/16 έχουμε C 1 = 1 /3 και C 2 = 1/3 και η λύση είναι ~x(t) = [ e 4t e 2t t 16 e 2t +e 4t +2e t 3 + 4t 5 16.

116 ~x = [ Απροσδιόριστοι Συντελεστές ~x + [ e t t.

117 [ Απροσδιόριστοι Συντελεστές. ~x = ~x + [ e t t Ιδιοτιμές 1, 1. Ιδιοδιανύσματα [ [ 1 1 και 01 Άρα ~x c = α 1 [ 1 1 e t + α 2 [ 0 1 e t,

118 [ Απροσδιόριστοι Συντελεστές. ~x = ~x + [ e t t Ιδιοτιμές 1, 1. Ιδιοδιανύσματα [ [ 1 1 και 01 Άρα ~x c = α 1 [ 1 1 e t + α 2 [ 0 1 Μαντεψιά ~x = ~ae t + ~ bte t + ~ct + ~d όπου ~a = [ a 1 [ a 2, ~ b b1 = b 2, ~c = [ c 1 c2, και ~d = [ d 1 e t, d 2,

119 [ Απροσδιόριστοι Συντελεστές. ~x = ~x + [ e t t Ιδιοτιμές 1, 1. Ιδιοδιανύσματα [ [ 1 1 και 01 Άρα ~x c = α 1 [ 1 1 e t + α 2 [ 0 1 Μαντεψιά ~x = ~ae t + ~ bte t + ~ct + ~d όπου ~a = [ a 1 [ a 2, ~ b b1 = b 2, ~c = [ c 1 c2, και ~d = [ d 1 ~x = [ a 1 2a 1 + a 2 [ e t + b 1 2b 1 + b 2 e t, d 2, [ te t c + 1 2c 1 + c 2 [ t+ d 1 2d 1 + d 2

120 [ Απροσδιόριστοι Συντελεστές. ~x = ~x + [ e t t Ιδιοτιμές 1, 1. Ιδιοδιανύσματα [ [ 1 1 και 01 Άρα ~x c = α 1 [ 1 1 e t + α 2 [ 0 1 Μαντεψιά ~x = ~ae t + ~ bte t + ~ct + ~d όπου ~a = [ a 1 [ a 2, ~ b b1 = b 2, ~c = [ c 1 c2, και ~d = [ d 1 ~x = [ ~x = a 1 2a 1 + a 2 [ e t + b 1 2b 1 + b 2 e t, d 2, [ te t c + 1 2c 1 + c 2 [ t+ [ 120 [ [ [ [ e t 0 + te 1 t t + = et te t t 1 d 1 2d 1 + d 2.

121 Εξισώσεις 1ης τάξης με μεταβλητούς συντελεστές ~x = A(t)~x + ~ f(t)

122 Εξισώσεις 1ης τάξης με μεταβλητούς συντελεστές ~x = A(t)~x + ~ f(t) ~x p = X(t)~u(t), (5)

123 Εξισώσεις 1ης τάξης με μεταβλητούς συντελεστές ~x = A(t)~x + ~ f(t) ~x p = X(t)~u(t), (5) ~x p (t) = X (t)~u(t) + X(t)~u (t) = A(t) X(t)~u(t) + ~ f(t).

124 Εξισώσεις 1ης τάξης με μεταβλητούς συντελεστές ~x = A(t)~x + ~ f(t) ~x p = X(t)~u(t), (5) ~x p (t) = X (t)~u(t) + X(t)~u (t) = A(t) X(t)~u(t) + ~ f(t). X (t)~u(t) + X(t)~u (t) = X (t)~u(t) + ~ f(t).

125 Εξισώσεις 1ης τάξης με μεταβλητούς συντελεστές ~x = A(t)~x + ~ f(t) ~x p = X(t)~u(t), (5) ~x p (t) = X (t)~u(t) + X(t)~u (t) = A(t) X(t)~u(t) + ~ f(t). X (t)~u(t) + X(t)~u (t) = X (t)~u(t) + ~ f(t). ~x p = X(t) [X(t) 1 ~ f(t) dt.

126 ~x = 1 t Παράδειγμα [ [ t 1 t ~x + (t 1 t ). (6)

127 X = ~x = 1 t [ 1 t t 1 Παράδειγμα [ [ t 1 t ~x + (t 1 t ). (6)

128 X = ~x = 1 t [ 1 t t 1 Παράδειγμα [ [ t 1 t ~x + (t 1 t ). (6) [X(t) 1 = 1 t [ 1 t. t 1

129 X = ~x = 1 t [ 1 t t 1 [ 1 t ~x p = t 1 [ 1 t = t 1 [ 1 t = t 1 [ Παράδειγμα [ [ t 1 t ~x + (t 1 t ). (6) [X(t) 1 = 1 t [ [ 1 1 t t t t 1 1 2t t 2 dt + 1 [ t t3 + t = [ 13 t t 3 + t [ 1 t. t 1 (t 2 + 1) dt.

130 ~x = X = ~x = 1 t [ 1 t t 1 [ 1 t ~x p = t 1 [ 1 t = t 1 [ 1 t = t 1 [ 1 t t 1 [ c1 c2 [ Παράδειγμα [ [ t 1 t ~x + (t 1 t ). (6) [X(t) 1 = 1 t [ [ 1 1 t t t t 1 1 2t t 2 dt + 1 [ t 2 [ 13 t t3 = + t [ 13 t 4 [ t3 = + t 2 3 t 3 + t [ 1 t. t 1 (t 2 + 1) dt. c 1 c 2 t t4 c 2 + (c 1 + 1) t t3.

131 Απροσδιόριστοι συντελεστές ~x = A~x + ~ F(t),

132 Απροσδιόριστοι συντελεστές ~x = A~x + ~ F(t), Αν ~ F(t) είναι της μορφής ~ F 0 cos ω t,

133 Απροσδιόριστοι συντελεστές ~x = A~x + ~ F(t), Αν ~ F(t) είναι της μορφής ~ F 0 cos ω t, μαντεψιά ~x p = ~c cos ω t.

134 Απροσδιόριστοι συντελεστές ~x = A~x + ~ F(t), Αν ~ F(t) είναι της μορφής ~ F 0 cos ω t, μαντεψιά ~x p = ~c cos ω t. Αν ~ F(t) = ~ F 0 cos ω 0 t + ~ F 1 cos ω 1 t,

135 Απροσδιόριστοι συντελεστές ~x = A~x + ~ F(t), Αν ~ F(t) είναι της μορφής ~ F 0 cos ω t, μαντεψιά ~x p = ~c cos ω t. Αν ~ F(t) = ~ F 0 cos ω 0 t + ~ F 1 cos ω 1 t, μαντεψιά ~a cos ω 0 t και βρίσκουμε μια λύση του ~x = A~x + ~ F 0 cos ω 0 t, μαντεψιά ~ b cos ω 1 t και βρίσκουμε μια λύση του ~x = A~x + ~ F 0 cos ω 1 t.

136 Απροσδιόριστοι συντελεστές ~x = A~x + ~ F(t), Αν ~ F(t) είναι της μορφής ~ F 0 cos ω t, μαντεψιά ~x p = ~c cos ω t. Αν ~ F(t) = ~ F 0 cos ω 0 t + ~ F 1 cos ω 1 t, μαντεψιά ~a cos ω 0 t και βρίσκουμε μια λύση του ~x = A~x + ~ F 0 cos ω 0 t, μαντεψιά ~ b cos ω 1 t και βρίσκουμε μια λύση του ~x = A~x + ~ F 0 cos ω 1 t. Προσθέσουμε τις λύσεις.

137 Ανάλυση ιδιοδιανυσμάτων ~x = A~x + ~ F(t), ιδιοτιμές λ 1,..., λ n ιδιοδιανύσματα ~v 1,..., ~v n και E = [~v 1 ~v n

138 Ανάλυση ιδιοδιανυσμάτων ~x = A~x + ~ F(t), ιδιοτιμές λ 1,..., λ n ιδιοδιανύσματα ~v 1,..., ~v n και E = [~v 1 ~v n ~x(t) = ~v 1 ξ 1 (t) + ~v 2 ξ 2 (t) + + ~v n ξ n (t).

139 Ανάλυση ιδιοδιανυσμάτων ~x = A~x + ~ F(t), ιδιοτιμές λ 1,..., λ n ιδιοδιανύσματα ~v 1,..., ~v n και E = [~v 1 ~v n ~x(t) = ~v 1 ξ 1 (t) + ~v 2 ξ 2 (t) + + ~v n ξ n (t). ~ F(t) = ~v 1 g 1 (t) + ~v 2 g 2 (t) + + ~v n g n (t). οπότε έχουμε ~g = E 1~ F.

140 Ανάλυση ιδιοδιανυσμάτων ~x = A~x + ~ F(t), ιδιοτιμές λ 1,..., λ n ιδιοδιανύσματα ~v 1,..., ~v n και E = [~v 1 ~v n ~x(t) = ~v 1 ξ 1 (t) + ~v 2 ξ 2 (t) + + ~v n ξ n (t). ~ F(t) = ~v 1 g 1 (t) + ~v 2 g 2 (t) + + ~v n g n (t). οπότε έχουμε ~g = E 1~ F. ~x = ~v 1 ξ 1 + ~v 2 ξ ~v n ξ n = A (~v 1 ξ 1 + ~v 2 ξ ~v n ξ n ) + ~v 1 g 1 + ~v 2 g ~v n g n = A~v 1 ξ 1 + A~v 2 ξ A~v n ξ n + ~v 1 g 1 + ~v 2 g ~v n g n = ~v 1 λ 1 ξ 1 + ~v 2 λ 2 ξ ~v n λ n ξ n + ~v 1 g 1 + ~v 2 g ~v n g n = ~v 1 (λ 1 ξ 1 + g 1 ) + ~v 2 (λ 2 ξ 2 + g 2 ) + + ~v n (λ n ξ n + g n ).

141 ~x = Παράδειγμα [ [ ~x + cos 3t Ιδιοτ. 1 και 4, ιδιοδ. [ [ [ 1 2 και 1 1, E = 1 1 E 1 = 1 3 [ ,

142 ~x = Παράδειγμα [ [ ~x + cos 3t Ιδιοτ. 1 και 4, ιδιοδ. [ [ [ 1 2 και 1 1, E = 1 1 E 1 = 1 3 [ g1 g 2 [ = E 1 ~ F(t) = 1 3 [ [ cos 3t = 2 1, [ 23 cos 3t. 2 3 cos 3t

143 ~x = Παράδειγμα [ [ ~x + cos 3t Ιδιοτ. 1 και 4, ιδιοδ. [ [ [ 1 2 και 1 1, E = 1 1 E 1 = 1 3 [ g1 g 2 [ = E 1 ~ F(t) = 1 3 [ [ cos 3t = 2 1, [ 23 cos 3t. 2 3 cos 3t ξ 1 = ξ cos 3t, 3 ξ 2 = 4 ξ 2 2 cos 3t. 3

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος

14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εισαγωγή Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος ιαδικαστικά Θέματα Ο τελικός βαθμός προτείνω να υπολογισθεί

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Μετασχηματισμοί Laplace. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ιαφορικές Εξισώσεις Μετασχηματισμοί Laplace Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Βόλος, 11 Μαΐου 2015 Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace Ορισμός μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία 1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ

Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ 15 Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε κάποιες ειδικές μορφές ΣΔΕ για τις οποίες υπάρχει μέθοδος επίλυσης. Περισσότερες μπορεί να δει κανείς στο Kloeden and Plaen (199), 4.-4.4. Θα

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

1. Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί 2 2 πίνακες, δηλαδή, a 21 a, και ανάλογα για τους B, C. Υπολογίστε τους πίνακες (A B) C και A (B C) και

1. Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί 2 2 πίνακες, δηλαδή, a 21 a, και ανάλογα για τους B, C. Υπολογίστε τους πίνακες (A B) C και A (B C) και ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Εαρινό Εξάμηνο 0 Ασκήσεις για προσωπική μελέτη Είναι απολύτως απαραίτητο να μπορείτε να τις λύνετε, τουλάχιστον τις υπολογιστικές! Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 - Λύσεις 1. Εστω ο πίνακας Α = [12, 23, 1, 5, 7, 19, 2, 14]. i. Να δώσετε την κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Black-Scholes

Η εξίσωση Black-Scholes 8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss

Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss Κεφάλαιο 1 Πίνακες και απαλοιφή Gauss Γύρω απ το γινομένου πινάκων Κάτι σαν τυπολόγιο Αν AB = C, τότε: 1 (C) i j = (i-γραμμή A) ( j-στήλη B) Το συμβολίζει εσωτερικό γινόμενο 2 (i-γραμμή C) = k(a) ik (k-γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ / ΕΤΥ : Μεταπτυχιακό Μάθημα 4η Ενότητα: Γραμμικά Συστήματα Εξισωσεων και Pivots Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr) Τμήμα Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών Μεθόδων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Σημειώσεις Μαθηματικών Μεθόδων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Σημειώσεις Μαθηματικών Μεθόδων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Φεβρουαρίου 08 Κεφάλαιο Το Μιγαδικό Εκθετικό Είναι γνωστό ότι η εκθετική συνάρτηση e x έχει το ανάπτυγμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες

Διαβάστε περισσότερα

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή: Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο 4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς

Διαβάστε περισσότερα

E n. (, ) Η χρονοεξαρτώµενη εξίσωση Schrödinger, έχει την µορφή ˆ

E n. (, ) Η χρονοεξαρτώµενη εξίσωση Schrödinger, έχει την µορφή ˆ Πρόβλημα ΓενικέςΈννοιεςΚβαντομηχανικήςα(ΓΕΚα Σε ένα μονοδιάστατο κβαντικό σύστημα να δειχθεί ότι η γενική λύση της χρονοεξαρτώμενης εξίσωσης Schrödiger είναι της μορφής Ψ ( x,t c ( x e i E t, όπου τα E

Διαβάστε περισσότερα

602. Συναρτησιακή Ανάλυση. Υποδείξεις για τις Ασκήσεις

602. Συναρτησιακή Ανάλυση. Υποδείξεις για τις Ασκήσεις 602. Συναρτησιακή Ανάλυση Υποδείξεις για τις Ασκήσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 2018 Περιεχόμενα 1 Χώροι με νόρμα 1 2 Χώροι πεπερασμένης διάστασης 23 3 Γραμμικοί τελεστές και γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0, Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων

Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α 1η σειρά ασκήσεων Ονοματεπώνυμο: Αριθμός μητρώου: Ημερομηνία παράδοσης: Μέχρι την Τρίτη 2 Απριλίου 2019 Σημειώστε τις ασκήσεις για τις οποίες έχετε παραδώσει λύση: 1

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις

Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14 Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14.1 Γενικά Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέμε μια εξίσωση της μορφής dx = µ(, X ) d + σ(, X ) db, X = x, (14.1) με µ, σ : [, ) R R μετρήσιμες συναρτήσεις, x R, και B

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο Αλυσίδες Markov

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Ερευνα Ι

Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0.

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0. Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση f(x) = λe λx αν x, αν x

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ31: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 017-018 Φροντιστήριο 5 1. Δικαιολογήστε όλες τις απαντήσεις σας. i. Δώστε τις 3 βασικές ιδιότητες ενός AVL δένδρου.

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης (β) Η απόλυτη υπεραξία Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Στο κεφάλαιο για την αγορά και την πώληση της εργατικής δύναμης (ελληνική έκδοση: τόμος

Διαβάστε περισσότερα

https://github.com/kongr45gpen/ece-notes

https://github.com/kongr45gpen/ece-notes Σημειώσεις Διαφορικές Εξισώσεις https://github.com/kongr45gpen/ece-notes ο εξάμηνο, 6 Περιεχόμενα I Σεβαστιάδης 3 Διαφορική εξίσωση ης τάξης 3. Χωριζόμενες διαφορικές εξισώσεις.................................

Διαβάστε περισσότερα

τους στην Κρυπτογραφία και τα

τους στην Κρυπτογραφία και τα Οι Ομάδες των Πλεξίδων και Εφαρμογές τους στην Κρυπτογραφία και τα Πολυμερή Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΕΜΠ Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: Λαμπροπούλου Σοφία Ιούλιος, 2013 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο.

Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. 2 Μέτρα 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο χώρο Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. Ορισμός 2.1. Μέτρο στον (X, A) λέμε κάθε συνάρτηση µ : A [0, ] που ικανοποιεί τις

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27

ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27 ιάσταση του Krull Χ. Χαραλάμπους Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος, 2017 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 1 / 27 Ορισμοί Εστω R (αντιμεταθετικός) δακτύλιος. Ορισμός Η διάσταση του Krull

Διαβάστε περισσότερα

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες

Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 51 Ορισμός, ύπαρξη, και μοναδικότητα Ορισμός 51 Μια στοχαστική ανέλιξη { : t } ορισμένη σε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και με τιμές στο R λέγεται (μονοδιάστατη)

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές ιδιότητες

Αναλυτικές ιδιότητες 8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι

Διαβάστε περισσότερα

(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις

(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις (3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις Είναι πράγματι τα «προβλήματα» τόσο δύσκολα; Είδαμε (σύντομα) στα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα

Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα Συναρτήσεις Σημερινό μάθημα C++ Συναρτήσεις Δήλωση συνάρτησης Σύνταξη συνάρτησης Πρότυπο συνάρτησης & συνάρτηση Αλληλο καλούμενες συναρτήσεις συναρτήσεις μαθηματικών Παράμετροι συναρτήσεων Τοπικές μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να - 1 - Ο παράξενος πραματευτής Ανθολόγιο Ε & Στ τάξης: 277-279 Οικονομικές έννοιες Ανταλλαγή Αντιπραγματισμός Εμπόριο Ερωτήσεις Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά

Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά 1/35 Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά Νίκος Γιαννακόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2014-2015 Εαρινό Εξάμηνο Τι γνωρίζουμε; 2/35 Αγορά αγαθών και

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

"Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ".

Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ. "Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ". "Ότι ανόητο είπα μπορεί και να είναι ένα ρέψιμο κάποιου ξεχασμένου αστέρα..." "Δεν κάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές στην κίνηση Brown

Εφαρμογές στην κίνηση Brown 13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή)

Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Εισαωή στη Μιαδική Ανάλυση Σημειώσεις (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Ε. Στεφανόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιαίου Καρλόβασι Καλοκαίρι 26 Πρόλοος Οι σημειώσεις αυτές είναι αποτέλεσμα επεξερασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ. ΘΕΜΑ 1ο

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ. ΘΕΜΑ 1ο ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1ο ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

9η Ενότητα: Προβλήματα ικτυακών Ροών

9η Ενότητα: Προβλήματα ικτυακών Ροών Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 9η Ενότητα: Προβλήματα ικτυακών Ροών Σπύρος Κοντογιάννης kontog@cse.uoi.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση δικτύων διανομής

Επίλυση δικτύων διανομής ΑστικάΥδραυλικάΈργα Υδρεύσεις Επίλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατύπωση του προβλήματος Δεδομένου ενός δικτύου αγωγών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει ΕΙΣΑΓΩΓΗ ------------------------------------------------------------------------------------- H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις & Κλάσεις

Συναρτήσεις & Κλάσεις Συναρτήσεις & Κλάσεις Overloading class member συναρτήσεις/1 #include typedef unsigned short int USHORT; enum BOOL { FALSE, TRUE}; class Rectangle { public: Rectangle(USHORT width, USHORT

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Αθήνα, 12 Απριλίου 2016.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Αθήνα, 12 Απριλίου 2016. Αλγεβρική Γεωμετρία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος Κεφάλαιο 1. Αλγεβρικές ποικιλότητες 1 1. Αλγεβρικά Σύνολα 1 2. Το Θεώρημα Ριζών του Hilbert 7 3. Συγγενείς Αλγεβρικές Ποικιλότητες 14 4. Πολλαπλότητα και Πολλαπλότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Ενα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες Ενα δεύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα 17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1α ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Οι επιστήμονες ταξινομούν τους οργανισμούς σε ομάδες ανάλογα με τα κοινά τους χαρακτηριστικά. Τα πρώτα συστήματα ταξινόμησης βασιζόταν αποκλειστικά στα μορφολογικά

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.

Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. 2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 3 ο Κεφάλαιο Ηλεκτρικό Πεδίο. Ηλεκτρικό πεδίο. Παρασύρης Κώστας Φυσικός Ηράκλειο Κρήτης

Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 3 ο Κεφάλαιο Ηλεκτρικό Πεδίο. Ηλεκτρικό πεδίο. Παρασύρης Κώστας Φυσικός Ηράκλειο Κρήτης Φσική Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθνσης Β Λκείο 3 ο Κεφάλιο Ηλεκτρικό Πεδίο 3 Ηλεκτρικό πεδίο Πρσύρης Κώστς Φσικός Ηράκλειο Κρήτης Φσική Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθνσης Β Λκείο 3 ο Κεφάλιο Ηλεκτρικό Πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Διανυσματικές Συναρτήσεις

Διανυσματικές Συναρτήσεις Κεφάλαιο 5 Διανυσματικές Συναρτήσεις 51 Διανυσματατικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση με τιμές στοr n, n>1 λέγεται διανυσματική συνάρτηση Τις διανυσματικές συναρτήσεις ϑα τις συμβολίζουμε με παχειά γράμματα,

Διαβάστε περισσότερα

CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα

CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 10η Ενότητα: Χρονικά Εξελισσόμενες ικτυακές Ροές Σπύρος Κοντογιάννης kntg@cse.ui.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ &

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γεώργιος Κ. Πατρίκιος, Δικηγόρος, ΜΔΕ Δημοσίου Δικαίου, Υπ. Διδάκτωρ Νομικής Σχολής Πανεπιστημίου Αθηνών. ΘΕΜΑΤΙΚΗ : Η αρμοδιότητα των διοικητικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή : Θετικών Επιστημών Τμήμα : Μαθηματικών Μ.Δ.Ε. : Μαθηματικά των Φυσικών και Βιομηχανικών Εφαρμογών Ακαδημαϊκό Έτος

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

d 2 y dt 2 xdy dt + d2 x

d 2 y dt 2 xdy dt + d2 x y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα 3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

(5 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: η βάση μιας αξιολόγησης Ι (6 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: ο Ο Ω Θ συμβολισμός ΙΙ

(5 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: η βάση μιας αξιολόγησης Ι (6 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: ο Ο Ω Θ συμβολισμός ΙΙ (5 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: η βάση μιας αξιολόγησης Ι (6 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: ο Ο Ω Θ συμβολισμός ΙΙ Έχουμε συγκεκτρώσει τα στοιχεία που χρειαζόμαστε για να μπορέσουμε να πούμε περί αλγορίθμων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 1. Εστω η στοίβα S και ο παρακάτω αλγόριθμος επεξεργασίας της. Να καταγράψετε την κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ/ΕΤΥ: Μεταπτυχιακό Μάθημα 8η Ενότητα: Γραμμικός Προγραμματισμός ως Υπορουτίνα για Επίλυση Προβλημάτων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Π. ΨΩΝΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ-ΕΤΥ : Μεταπτυχιακό Μάθημα

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ-ΕΤΥ : Μεταπτυχιακό Μάθημα Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ-ΕΤΥ : Μεταπτυχιακό Μάθημα 9η Ενότητα: Προβλήματα ικτυακών Ροών Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cse.uoi.gr) Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2

Περίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2 Το Μέτρο και η Διάσταση Hausdorff Γεωργακόπουλος Νίκος Τερεζάκης Αλέξης Περίληψη Αναπτύσσουμε τη ϑεωρία του μέτρου και της διάστασης Hausdorff με εφαρμογές στον υπολογισμό διαστάσεων συνόλων fractal (Θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες 20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2011-12 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστικές συναρτήσεις

Χαρακτηριστικές συναρτήσεις 13 Χαρακτηριστικές συναρτήσεις 13.1 Μετασχηματισμός Fourier μέτρου πιθανότητας στο R Εστω (Ω, F, µ) χώρος μέτρου και f : Ω C Borel-μετρήσιμη συνάρτηση. Το πραγματικό και φανταστικό μέρος της f, που τα

Διαβάστε περισσότερα

σε ευκλείδειους χώρους και σε πολλαπλότητες Riemann

σε ευκλείδειους χώρους και σε πολλαπλότητες Riemann Κ Ε Ο μετασχηματισμός Riesz σε ευκλείδειους χώρους και σε πολλαπλότητες Riemann Διπλωματική Εργασία στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα 213 Αφιερώνεται

Διαβάστε περισσότερα