Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος"

Transcript

1 ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου 2013, Βόλος

2 Εξαναγκασμένες Ταλαντώσεις ~x = A~x + ~ F cos ω t. (1)

3 Εξαναγκασμένες Ταλαντώσεις Μαντεψιά ~x = A~x + ~ F cos ω t. (1) ~x p = ~c cos ω t,

4 Εξαναγκασμένες Ταλαντώσεις Μαντεψιά ~x = A~x + ~ F cos ω t. (1) ~x p = ~c cos ω t, ~x p = ω 2 ~c cos ω t.

5 Εξαναγκασμένες Ταλαντώσεις Μαντεψιά ~x = A~x + ~ F cos ω t. (1) ~x p = ~c cos ω t, ~x p = ω 2 ~c cos ω t. ω 2 ~c cos ω t = A~c cos ω t + ~ F cos ω t

6 Εξαναγκασμένες Ταλαντώσεις Μαντεψιά ~x = A~x + ~ F cos ω t. (1) ~x p = ~c cos ω t, ~x p = ω 2 ~c cos ω t. ω 2 ~c cos ω t = A~c cos ω t + ~ F cos ω t Οπότε (A + ω 2 I)~c = ~ F. ~c = (A + ω 2 I) 1 ( ~ F).

7 Παράδειγμα k 1 m 1 k 2 m 2 m 1 = 2, m 2 = 1, k 1 = 4, και k 2 = 2

8 Παράδειγμα k 1 m 1 k 2 m 2 m 1 = 2, m 2 = 1, k 1 = 4, και k 2 = 2 [ [ ~x = ~x + cos 3t

9 Παράδειγμα k 1 m 1 k 2 m 2 m 1 = 2, m 2 = 1, k 1 = 4, και k 2 = 2 [ [ ~x = ~x + cos 3t ~x c = [ 1 2 (a 1 cos t + b 1 sin t) + [ 1 1 (a 2 cos 2t + b 2 sin 2t).

10 Παράδειγμα k 1 m 1 k 2 m 2 m 1 = 2, m 2 = 1, k 1 = 4, και k 2 = 2 [ [ ~x = ~x + cos 3t ~x c = [ 1 2 (a 1 cos t + b 1 sin t) + [ 1 1 (a 2 cos 2t + b 2 sin 2t). ηλαδή ([ ) I ~c = (A + ω 2 I)~c = ~ F [ [ ~c = ~c = [

11 Παράδειγμα (η λύση) Η γενική λύση της εξίσωσης ~x = A~x + ~ F cos ω t

12 Παράδειγμα (η λύση) Η γενική λύση της εξίσωσης ~x = A~x + ~ F cos ω t ~x = ~x c + ~x p =

13 Παράδειγμα (η λύση) Η γενική λύση της εξίσωσης ~x = A~x + ~ F cos ω t ~x = ~x c + ~x p = [ [ [ (a 2 1 cos t + b 1 sin t)+ (a 1 2 cos 2t + b 2 sin 2t)+ 20 cos 3t. 3 10

14 Πολλαπλότητες Παράδειγμα A = [

15 Πολλαπλότητες Παράδειγμα ιδιοτιμή 3 με A = [

16 Πολλαπλότητες Παράδειγμα A = [ ιδιοτιμή 3 με αλγεβρική πολλαπλότητα 2

17 Πολλαπλότητες Παράδειγμα A = [ ιδιοτιμή 3 με αλγεβρική πολλαπλότητα 2 γεωμετρική πολλαπλότητα 2 επειδή υπάρχουν δύο γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα της ιδιοτιμής αυτής

18 Πολλαπλότητες Παράδειγμα A = [ ιδιοτιμή 3 με αλγεβρική πολλαπλότητα 2 γεωμετρική πολλαπλότητα 2 επειδή υπάρχουν δύο γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα της ιδιοτιμής αυτής (τα [ 1 0 και [ 01 ).

19 Πολλαπλότητες Παράδειγμα A = [ ιδιοτιμή 3 με αλγεβρική πολλαπλότητα 2 γεωμετρική πολλαπλότητα 2 επειδή υπάρχουν δύο γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα της ιδιοτιμής αυτής (τα [ [ 1 0 και 01 ). Το ~x = A~x έχει την εξής γενική λύση ~x = c 1 [ 1 0 e 3t + c 2 [ 0 1 e 3t.

20 Θεώρημα - Λύσεις με αρνητικές ιδιοτιμές Εστω ο n n πίνακας A ο οποίος έχει n διαφορετικές μεταξύ τους αρνητικές ιδιοτιμές ( ω 2 1 > ω2 2 > > ω2 n), με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα ~v 1, ~v 2,..., ~v n. Αν ο A είναι αντιστρέψιμος (οπότε και έχουμε ότι ω 1 >0), τότε n ~x(t) = i=1 είναι η γενική λύση του ~x = A~x, ~v i (a i cos ω i t + b i sin ω i t),

21 Θεώρημα - Λύσεις με αρνητικές ιδιοτιμές Εστω ο n n πίνακας A ο οποίος έχει n διαφορετικές μεταξύ τους αρνητικές ιδιοτιμές ( ω 2 1 > ω2 2 > > ω2 n), με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα ~v 1, ~v 2,..., ~v n. Αν ο A είναι αντιστρέψιμος (οπότε και έχουμε ότι ω 1 >0), τότε n ~x(t) = i=1 ~v i (a i cos ω i t + b i sin ω i t), είναι η γενική λύση του ~x = A~x, Αν ο A έχει μια μηδενική ιδιοτιμή, (ω 1 = 0), ενώ όλες οι άλλες ιδιοτιμές είναι αρνητικές και διαφορετικές μεταξύ τους τότε η γενική λύση είναι ~x(t) = ~v 1 (a 1 + b 1 t) + n i=2 ~v i (a i cos ω i t + b i sin ω i t).

22 Θεώρημα - Λύσεις με πολλαπλότητα Εστω ~x = P~x. Αν P είναι ένα n n πίνακας ο οποίος έχει τις εξής n πραγματικές ιδιοτιμές (οι οποίες δεν είναι απαραίτητα διαφορετικές μεταξύ τους), λ 1,..., λ n, και αν σε αυτές αντιστοιχούν τα εξής n γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα ~v 1,..., ~v n, τότε η γενική λύση του συστήματος Σ Ε μπορεί να γραφθεί ως εξής ~x = c 1 ~v 1 e λ 1t + c2 ~v 2 e λ 2t + + cn ~v n e λnt.

23 Θεώρημα - Λύσεις με αρνητικές ιδιοτιμές Εστω ο n n πίνακας A ο οποίος έχει n διαφορετικές μεταξύ τους αρνητικές ιδιοτιμές ( ω 2 1 > ω2 2 > > ω2 n), με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα ~v 1, ~v 2,..., ~v n. Αν ο A είναι αντιστρέψιμος (οπότε και έχουμε ότι ω 1 >0), τότε n ~x(t) = i=1 είναι η γενική λύση του ~x = A~x, ~v i (a i cos ω i t + b i sin ω i t),

24 Θεώρημα - Λύσεις με αρνητικές ιδιοτιμές Εστω ο n n πίνακας A ο οποίος έχει n διαφορετικές μεταξύ τους αρνητικές ιδιοτιμές ( ω 2 1 > ω2 2 > > ω2 n), με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα ~v 1, ~v 2,..., ~v n. Αν ο A είναι αντιστρέψιμος (οπότε και έχουμε ότι ω 1 >0), τότε n ~x(t) = i=1 ~v i (a i cos ω i t + b i sin ω i t), είναι η γενική λύση του ~x = A~x, Αν ο A έχει μια μηδενική ιδιοτιμή, (ω 1 = 0), ενώ όλες οι άλλες ιδιοτιμές είναι αρνητικές και διαφορετικές μεταξύ τους τότε η γενική λύση είναι ~x(t) = ~v 1 (a 1 + b 1 t) + n i=2 ~v i (a i cos ω i t + b i sin ω i t).

25 Ατελείς ιδιοτιμές ατελής ιδιοτιμή κάθε ιδιοτιμή με αλγεβρική πολλαπλότητα μεγαλύτερη από την γεωμετρική.

26 Ατελείς ιδιοτιμές ατελής ιδιοτιμή κάθε ιδιοτιμή με αλγεβρική πολλαπλότητα μεγαλύτερη από την γεωμετρική. Παράδειγμα [

27 Ατελείς ιδιοτιμές ατελής ιδιοτιμή κάθε ιδιοτιμή με αλγεβρική πολλαπλότητα μεγαλύτερη από την γεωμετρική. Παράδειγμα [ [ [ v1 v2 = ~ 0.

28 Ατελείς ιδιοτιμές ατελής ιδιοτιμή κάθε ιδιοτιμή με αλγεβρική πολλαπλότητα μεγαλύτερη από την γεωμετρική. Παράδειγμα [ [ v10. [ [ v1 v2 = ~ 0.

29 ~x = A~x, A = [ Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα

30 Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα ~x = A~x, A = [ λ = 3 (αλγεβρικής) πολλαπλότητας 2 και ατέλεια 1 με ιδιοδιάνυσμα ~v 1 = [ 1 0

31 Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα ~x = A~x, A = [ λ = 3 (αλγεβρικής) πολλαπλότητας 2 και ατέλεια 1 με ιδιοδιάνυσμα ~v 1 = [ 1 0 Μία λύση ~x 1 = ~v 1 e 3t. Άλλη λύση ~x 2 = (~v 2 + ~v 1 t) e 3t.

32 Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα ~x = A~x, A = [ λ = 3 (αλγεβρικής) πολλαπλότητας 2 και ατέλεια 1 με ιδιοδιάνυσμα ~v 1 = [ 1 0 Μία λύση ~x 1 = ~v 1 e 3t. Άλλη λύση ~x 2 = (~v 2 + ~v 1 t) e 3t. ~x 2 = ~v 1 e 3t + 3(~v 2 + ~v 1 t) e 3t = (3~v 2 + ~v 1 ) e 3t + 3~v 1 te 3t.

33 Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα ~x = A~x, A = [ λ = 3 (αλγεβρικής) πολλαπλότητας 2 και ατέλεια 1 με ιδιοδιάνυσμα ~v 1 = [ 1 0 Μία λύση ~x 1 = ~v 1 e 3t. Άλλη λύση ~x 2 = (~v 2 + ~v 1 t) e 3t. ~x 2 = ~v 1 e 3t + 3(~v 2 + ~v 1 t) e 3t = (3~v 2 + ~v 1 ) e 3t + 3~v 1 te 3t. A~x 2 = A(~v 2 + ~v 1 t) e 3t = A~v 2 e 3t + A~v 1 te 3t.

34 Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα ~x = A~x, A = [ λ = 3 (αλγεβρικής) πολλαπλότητας 2 και ατέλεια 1 με ιδιοδιάνυσμα ~v 1 = [ 1 0 Μία λύση ~x 1 = ~v 1 e 3t. Άλλη λύση ~x 2 = (~v 2 + ~v 1 t) e 3t. ~x 2 = ~v 1 e 3t + 3(~v 2 + ~v 1 t) e 3t = (3~v 2 + ~v 1 ) e 3t + 3~v 1 te 3t. A~x 2 = A(~v 2 + ~v 1 t) e 3t = A~v 2 e 3t + A~v 1 te 3t. 3~v 2 + ~v 1 = A~v 2 και 3~v 1 = A~v 1.

35 Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα ~x = A~x, A = [ λ = 3 (αλγεβρικής) πολλαπλότητας 2 και ατέλεια 1 με ιδιοδιάνυσμα ~v 1 = [ 1 0 Μία λύση ~x 1 = ~v 1 e 3t. Άλλη λύση ~x 2 = (~v 2 + ~v 1 t) e 3t. ~x 2 = ~v 1 e 3t + 3(~v 2 + ~v 1 t) e 3t = (3~v 2 + ~v 1 ) e 3t + 3~v 1 te 3t. A~x 2 = A(~v 2 + ~v 1 t) e 3t = A~v 2 e 3t + A~v 1 te 3t. 3~v 2 + ~v 1 = A~v 2 και 3~v 1 = A~v 1. (A 3I)~v 1 = ~ 0, και (A 3I)~v 2 = ~v 1.

36 Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα ~x = A~x, A = [ λ = 3 (αλγεβρικής) πολλαπλότητας 2 και ατέλεια 1 με ιδιοδιάνυσμα ~v 1 = [ 1 0 Μία λύση ~x 1 = ~v 1 e 3t. Άλλη λύση ~x 2 = (~v 2 + ~v 1 t) e 3t. ~x 2 = ~v 1 e 3t + 3(~v 2 + ~v 1 t) e 3t = (3~v 2 + ~v 1 ) e 3t + 3~v 1 te 3t. A~x 2 = A(~v 2 + ~v 1 t) e 3t = A~v 2 e 3t + A~v 1 te 3t. 3~v 2 + ~v 1 = A~v 2 και 3~v 1 = A~v 1. (A 3I)~v 1 = ~ 0, και (A 3I)~v 2 = ~v 1. (A 3I)(A 3I)~v 2 = ~ 0, ή (A 3I) 2 ~v 2 = ~ 0.

37 Παράδειγμα (A 3I) 2 = 0. Το κάθε ~v 2 είναι λύση του (A 3I) 2 ~v 2 = ~ 0. Άρα αρκεί (A 3I)~v 2 = ~v 1.

38 Παράδειγμα (A 3I) 2 = 0. Το κάθε ~v 2 είναι λύση του (A 3I) 2 ~v 2 = ~ 0. Άρα αρκεί (A 3I)~v 2 = ~v 1. [ [ [ 0 1 a 1 =. 0 0 b 0

39 Παράδειγμα (A 3I) 2 = 0. Το κάθε ~v 2 είναι λύση του (A 3I) 2 ~v 2 = ~ 0. Άρα αρκεί (A 3I)~v 2 = ~v 1. [ [ [ 0 1 a 1 =. 0 0 b 0 Εστω a = 0 b = 1. Άρα ~v 2 = [ 0 1.

40 Παράδειγμα (A 3I) 2 = 0. Το κάθε ~v 2 είναι λύση του (A 3I) 2 ~v 2 = ~ 0. Άρα αρκεί (A 3I)~v 2 = ~v 1. [ [ [ 0 1 a 1 =. 0 0 b 0 Εστω a = 0 b = 1. Άρα ~v 2 = [ 0 1. Η γενική λύση του ~x = A~x είναι ~x = c 1 [ 1 0 e 3t + c 2 ([ 0 1 [ ) 1 + t e 0 3t = [ c1 e 3t + c 2 te 3t c 2 e 3t.

41 Αλγόριθμος - λ πολλαπλότητας 2 ατέλειας 1 Βρες το ιδιοδιάνυσμα ~v 1 του λ.

42 Αλγόριθμος - λ πολλαπλότητας 2 ατέλειας 1 Βρες το ιδιοδιάνυσμα ~v 1 του λ. Μετά πρέπει να βρούμε ένα ~v 2 τέτοιο ώστε (A 3I) 2 ~v 2 = ~ 0, (A 3I)~v 2 = ~v 1.

43 Αλγόριθμος - λ πολλαπλότητας 2 ατέλειας 1 Βρες το ιδιοδιάνυσμα ~v 1 του λ. Μετά πρέπει να βρούμε ένα ~v 2 τέτοιο ώστε (A 3I) 2 ~v 2 = ~ 0, (A 3I)~v 2 = ~v 1. ύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις ~x 1 = ~v 1 e λt, ~x 2 = (~v 2 + ~v 1 t) e λt.

44 Αλγόριθμος - λ πολλαπλότητας m Βρες τα γενικευμένα ιδιοδιανύσματα (A λi) k ~v = ~ 0, αλλά (A λi) k 1 ~v ~ 0.

45 Αλγόριθμος - λ πολλαπλότητας m Βρες τα γενικευμένα ιδιοδιανύσματα (A λi) k ~v = ~ 0, αλλά (A λi) k 1 ~v ~ 0. Για κάθε ιδιοδιάνυσμα ~v 1 βρες μια σειρά γενικευμένων ιδιοδιανυσμάτων ~v 2... ~v k τέτοια ώστε: (A λi)~v 1 = ~ 0, (A λi)~v 2 = ~v 1,. (A λi)~v k = ~v k 1.

46 Αλγόριθμος - λ πολλαπλότητας m Βρες τα γενικευμένα ιδιοδιανύσματα (A λi) k ~v = ~ 0, αλλά (A λi) k 1 ~v ~ 0. Για κάθε ιδιοδιάνυσμα ~v 1 βρες μια σειρά γενικευμένων ιδιοδιανυσμάτων ~v 2... ~v k τέτοια ώστε: (A λi)~v 1 = ~ 0, (A λi)~v 2 = ~v 1,. (A λi)~v k = ~v k 1. Οι γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις ~x 1 = ~v 1 e λt, ~x 2 = (~v 2 + ~v 1 t) e λt,.

47 Εκθετικά μαντεψιά ~x = P~x, ~x = e Pt.

48 Εκθετικά μαντεψιά ~x = P~x, ~x = e Pt. e at = 1 + at + (at)2 2 + (at)3 6 + (at) = k=0 (at) k. k!

49 Εκθετικά μαντεψιά ~x = P~x, ~x = e Pt. e at = 1 + at + (at)2 2 + (at)3 6 + (at) = k=0 (at) k. k! a+a 2 t+ a3 t 2 2 +a4 t = a ( 1 + at + (at)2 2 + (at)3 6 + ) = ae at

50 Εκθετικά Πινάκων e A ορισμός = I + A A A k! Ak +

51 Εκθετικά Πινάκων e A ορισμός = I + A A A k! Ak + d ( e tp ) = Pe dt tp.

52 Θεώρημα Εάν P είναι ένας n n πίνακας, τότε η γενική λύση του ~x = P~x είναι ~x = e tp ~c, όπου ~c είναι ένα οποιοδήποτε σταθερό διάνυσμα. Μάλιστα ισχύει η σχέση ~x(0) = ~c.

53 Πρόβλημα Εάν AB = BA τότε e A+B = e A e B. Ειδάλλως έχουμε e A+B e A e B.

54 Απλές περιπτώσεις ιαγώνιοι πίνακες Πίνακες τ.ω. A k = 0 για k >2.

55 Απλές περιπτώσεις - ιαγώνιοι Πίνακες Εστω D = [ a 0 0 b

56 Απλές περιπτώσεις - ιαγώνιοι Πίνακες Εστω D = [ a 0 0 b D k = [ a k 0 0 b k.

57 Απλές περιπτώσεις - ιαγώνιοι Πίνακες Εστω D = [ a 0 0 b D k = [ a k 0 0 b k. e D = I + D D D3 +

58 Απλές περιπτώσεις - ιαγώνιοι Πίνακες Εστω D = [ a 0 0 b e D = [ D k = [ a k 0 0 b k. e D = I + D D D3 + [ a b 2 [ a b [ a b 3 +

59 Απλές περιπτώσεις - ιαγώνιοι Πίνακες Εστω D = [ a 0 0 b e D = [ D k = [ a k 0 0 b k. e D = I + D D D3 + [ a b 2 e D = [ a b 2 [ e a 0 0 e b [ a b 3 +

60 Απλές περιπτώσεις - ιαγώνιοι Πίνακες Εστω D = [ a 0 0 b e D = [ και παρεμπιπτόντως [ e I e 0 = 0 e D k = [ a k 0 0 b k. e D = I + D D D3 + [ a b 2 e D = [ a b 2 [ e a 0 0 e b. και e ai = [ a b 3 + [ e a 0 0 e a.

61 Απλές περιπτώσεις - μη- ιαγώνιοι Πίνακες Εστω A = [

62 Απλές περιπτώσεις - μη- ιαγώνιοι Πίνακες Εστω A = [ = [ I = B + 2I

63 Απλές περιπτώσεις - μη- ιαγώνιοι Πίνακες [ [ Εστω A = = I = B + 2I Οι tb και 2tI αντιμετατίθενται, άρα e ta = e tb+2ti

64 Απλές περιπτώσεις - μη- ιαγώνιοι Πίνακες [ [ Εστω A = = I = B + 2I Οι tb και 2tI αντιμετατίθενται, άρα e ta = e tb+2ti = e tb e 2tI =

65 Απλές περιπτώσεις - μη- ιαγώνιοι Πίνακες [ 5 3 [ I = B + 2I Εστω A = 3 1 = 3 3 Οι tb και 2tI αντιμετατίθενται, [ άρα e ta = e tb+2ti = e tb e 2tI = e tb e 2t 0 0 e 2t

66 Απλές περιπτώσεις - μη- ιαγώνιοι Πίνακες [ [ Εστω A = = I = B + 2I Οι tb και 2tI αντιμετατίθενται, [ άρα e ta = e tb+2ti = e tb e 2tI = e tb e 2t 0 0 e 2t Όμως B 2 = 0

67 Απλές περιπτώσεις - μη- ιαγώνιοι Πίνακες [ [ Εστω A = = I = B + 2I Οι tb και 2tI αντιμετατίθενται, [ άρα e ta = e tb+2ti = e tb e 2tI = e tb e 2t 0 0 e 2t Όμως B 2 = 0 B k = 0 k 2

68 Απλές περιπτώσεις - μη- ιαγώνιοι Πίνακες [ [ Εστω A = = I = B + 2I Οι tb και 2tI αντιμετατίθενται, [ άρα e ta = e tb+2ti = e tb e 2tI = e tb e 2t 0 0 e 2t Όμως[ B 2 = 0 B k = 0 k 2 άρα e ta e 2t [ t 3t = 0 e 2t = 3t 1 3t [ (1 + 3t) e 2t 3te 2t 3te 2t (1 3t) e 2t.

69 Γενική περίπτωση Βασικό εργαλείο e BAB 1 = Be A B 1

70 Γενική περίπτωση Βασικό εργαλείο e BAB 1 = Be A B 1 (BAB 1 ) k = BA k B 1.

71 Γενική περίπτωση Βασικό εργαλείο e BAB 1 = Be A B 1 (BAB 1 ) k = BA k B 1. e BAB 1 = I + BAB (BAB 1 ) (BAB 1 ) 3 + = BB 1 + BAB BA2 B BA3 B 1 + = B ( I + A A2 + 1 )B 6 A3 + 1 = Be A B 1.

72 Η λύση με εκθετικά Εστω λ 1,..., λ n οι ιδιοτιμές και ~v 1,..., ~v n τα (γραμμικά ανεξάρτητα) ιδιοδιανύσματα του A.

73 Η λύση με εκθετικά Εστω λ 1,..., λ n οι ιδιοτιμές και ~v 1,..., ~v n τα (γραμμικά ανεξάρτητα) ιδιοδιανύσματα του A. Εστω E ο πίνακας ο οποίος έχει σαν στήλες τα ιδιοδιανύσματα του A.

74 Η λύση με εκθετικά Εστω λ 1,..., λ n οι ιδιοτιμές και ~v 1,..., ~v n τα (γραμμικά ανεξάρτητα) ιδιοδιανύσματα του A. Εστω E ο πίνακας ο οποίος έχει σαν στήλες τα ιδιοδιανύσματα του A. Τότε e ta = Ee td E 1 = E e λ 1t e λ 2t e λnt E 1.

75 [ x y = Παράδειγμα [ [ 1 2 x, x(0) = 4 y(0) = y

76 Παράδειγμα [ x [ [ 1 2 x =, x(0) = 4 y(0) = 2. y 2 1 y [ Ιδιοτιμές: 3 και 1, ιδιοδιανύσματα: 11 [ και 1 1.

77 Παράδειγμα [ x [ [ 1 2 x =, x(0) = 4 y(0) = 2. y 2 1 y [ Ιδιοτιμές: 3 και 1, ιδιοδιανύσματα: 11 [ και 1 1. e ta = = [ [ [ 1 1 e 3t e t 1 1 [ [ [ 1 1 e 3t e t [ e 3t e t e 3t + e t = 1 2 e 3t + e t e 3t e t [ e 3t +e t = 2 e 3t e t 2 e 3t e t 2 e 3t +e. t 2

78 Παράδειγμα [ x [ [ 1 2 x =, x(0) = 4 y(0) = 2. y 2 1 y [ Ιδιοτιμές: 3 και 1, ιδιοδιανύσματα: 11 [ και 1 1. e ta = = [ [ [ 1 1 e 3t e t 1 1 [ [ [ 1 1 e 3t e t [ e 3t e t e 3t + e t = 1 2 e 3t + e t [ [ x e 3t +e t = 2 y e 3t e t 2 e 3t e t e 3t e [4 t 2 e 3t +e t = 2 2 [ e 3t +e t = 2 e 3t e t 2 [ 3e 3t + e t 3e 3t e t e 3t e t 2 e 3t +e. t 2.

79 Ολοκληρωτικός παράγοντας - Γενικευμένη λύση ~x (t) = A~x(t) + ~ f(t)

80 Ολοκληρωτικός παράγοντας - Γενικευμένη λύση ~x (t) = A~x(t) + ~ f(t) ~x (t) + P~x(t) = ~ f(t),

81 Ολοκληρωτικός παράγοντας - Γενικευμένη λύση ~x (t) = A~x(t) + ~ f(t) ~x (t) + P~x(t) = ~ f(t), Όμως Pe tp = e tp P e tp ~x (t) + e tp P~x(t) = e tp ~ f(t).

82 Ολοκληρωτικός παράγοντας - Γενικευμένη λύση ~x (t) = A~x(t) + ~ f(t) ~x (t) + P~x(t) = ~ f(t), e tp ~x (t) + e tp P~x(t) = e tp ~ f(t). Όμως Pe tp = e tp P και d dt ( e tp ) = Pe tp

83 Ολοκληρωτικός παράγοντας - Γενικευμένη λύση ~x (t) = A~x(t) + ~ f(t) ~x (t) + P~x(t) = ~ f(t), e tp ~x (t) + e tp P~x(t) = e tp ~ f(t). Όμως Pe tp = e tp P και d dt ( e tp ) = Pe tp άρα d ( e tp ~x(t)) = e dt tp ~ f(t).

84 Ολοκληρωτικός παράγοντας - Γενικευμένη λύση ~x (t) = A~x(t) + ~ f(t) ~x (t) + P~x(t) = ~ f(t), e tp ~x (t) + e tp P~x(t) = e tp ~ f(t). Όμως Pe tp = e tp P και d dt ( e tp ) = Pe tp άρα d ( e tp ~x(t)) = e dt tp ~ f(t). e tp ~x(t) = e tp ~ f(t) dt + ~c.

85 Ολοκληρωτικός παράγοντας - Γενικευμένη λύση ~x (t) = A~x(t) + ~ f(t) ~x (t) + P~x(t) = ~ f(t), e tp ~x (t) + e tp P~x(t) = e tp ~ f(t). Όμως Pe tp = e tp P και d dt ( e tp ) = Pe tp άρα d ( e tp ~x(t)) = e dt tp ~ f(t). e tp ~x(t) = ~x(t) = e tp e tp ~ f(t) dt + ~c. e tp ~ f(t) dt + e tp ~c.

86 Ολοκληρωτικός παράγοντας - Αρχικές συνθήκες ~x (t) + P~x(t) = ~ f(t), ~x(0) = ~ b.

87 Ολοκληρωτικός παράγοντας - Αρχικές συνθήκες ~x (t) + P~x(t) = ~ f(t), ~x(0) = ~ b. ~x(t) = e tp t 0 e sp ~ f(s) ds + e tp ~ b.

88 Ολοκληρωτικός παράγοντας - Αρχικές συνθήκες ~x (t) + P~x(t) = ~ f(t), ~x(0) = ~ b. ~x(t) = e tp t ~x(0) = e 0P e sp ~ f(s) ds + e tp ~ b. e sp ~ f(s) ds + e 0P ~ b = I ~ b = ~ b.

89 Παράδειγμα x 1 + 5x 1 3x 2 = e t, x 2 + 3x 1 x 2 = 0, x 1 (0) = 1, x 2 (0) = 0

90 Παράδειγμα x 1 + 5x 1 3x 2 = e t, x 2 + 3x 1 x 2 = 0, x 1 (0) = 1, x 2 (0) = 0 ~x + [ 5 3 ~x = 3 1 [ e t [ 1, ~x(0) =. 0 0

91 Παράδειγμα x 1 + 5x 1 3x 2 = e t, x 2 + 3x 1 x 2 = 0, x 1 (0) = 1, x 2 (0) = 0 [ 5 3 ~x + ~x = 3 1 [ (1 + 3t) e 2t 3te 2t e tp = 3te 2t [ e t [ 1, ~x(0) =. 0 0 (1 3t) e 2t.

92 Παράδειγμα t 0 x 1 + 5x 1 3x 2 = e t, x 2 + 3x 1 x 2 = 0, x 1 (0) = 1, x 2 (0) = 0 [ 5 3 ~x + ~x = 3 1 [ (1 + 3t) e 2t 3te 2t e tp = e sp ~ f(s) ds = t 0 t = 0 [ e t [ 1, ~x(0) = te 2t (1 3t) e 2t [ (1 + 3s) e 2s 3se 2s 3se 2s [ (1 + 3s) e 3s 3se 3s. (1 3s) e 2s ds = [ [ e s 0 te 3t (3t 1) e 3t +1 3 ds.

93 Παράδειγμα (συνέχεια) ~x(t) = e tp t = = = 0 e sp ~ f(s) ds + e tp ~ b [ (1 3t) e 2t 3te 2t [ [ et 3te 2t te 2t ( t ) e 2t (1 2t) e 2t (1 + 3t) e 2t et 3 + ( 13 2t ) e 2t +. [ te 3t (3t 1) e 3t +1 3 [ (1 3t) e 2t 3te 2t [ (1 3t) e 2t + 3te 2t

94 Παράδειγμα (συνέχεια) ~x(t) = e tp t 0 e sp ~ f(s) ds + e tp ~ b = [ (1( 2t) e 2t et t ) e 2t.

95 Παράδειγμα (συνέχεια) ~x(t) = e tp t = = = 0 e sp ~ f(s) ds + e tp ~ b [ (1 3t) e 2t 3te 2t [ [ et 3te 2t te 2t ( t ) e 2t (1 2t) e 2t (1 + 3t) e 2t et 3 + ( 13 2t ) e 2t +. [ te 3t (3t 1) e 3t +1 3 [ (1 3t) e 2t 3te 2t [ (1 3t) e 2t + 3te 2t

96 Παραγοντοποίηση ιδιοδιανυσμάτων ~x (t) = A~x(t) + ~ f(t). (2)

97 Παραγοντοποίηση ιδιοδιανυσμάτων ~x (t) = A~x(t) + ~ f(t). (2) ~v 1,...,~v n γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα του A.

98 Παραγοντοποίηση ιδιοδιανυσμάτων ~x (t) = A~x(t) + ~ f(t). (2) ~v 1,...,~v n γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα του A. Εστω ~x(t) = ~v 1 ξ 1 (t) + ~v 2 ξ 2 (t) + + ~v n ξ n (t). (3) και ~ f(t) = ~v 1 g 1 (t) + ~v 2 g 2 (t) + + ~v n g n (t). (4)

99 Παραγοντοποίηση ιδιοδιανυσμάτων ~x (t) = A~x(t) + ~ f(t). (2) ~v 1,...,~v n γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα του A. Εστω και ~x(t) = ~v 1 ξ 1 (t) + ~v 2 ξ 2 (t) + + ~v n ξ n (t). (3) ~ f(t) = ~v 1 g 1 (t) + ~v 2 g 2 (t) + + ~v n g n (t). (4) ~x = ~v 1 ξ 1 + ~v 2 ξ ~v n ξ n = A (~v 1 ξ 1 + ~v 2 ξ ~v n ξ n ) + ~v 1 g 1 + ~v 2 g ~v n g n = A~v 1 ξ 1 + A~v 2 ξ A~v n ξ n + ~v 1 g 1 + ~v 2 g ~v n g n = ~v 1 λ 1 ξ 1 + ~v 2 λ 2 ξ ~v n λ n ξ n + ~v 1 g 1 + ~v 2 g ~v n g n = ~v 1 (λ 1 ξ 1 + g 1 ) + ~v 2 (λ 2 ξ 2 + g 2 ) + + ~v n (λ n ξ n + g n ).

100 Παραγοντοποίηση ιδιοδιανυσμάτων (συνέχεια) ξ 1 = λ 1 ξ 1 + g 1, ξ 2 = λ 2 ξ 2 + g 2,. ξ n = λ n ξ n + g n.

101 Παραγοντοποίηση ιδιοδιανυσμάτων (συνέχεια) ξ 1 = λ 1 ξ 1 + g 1, ξ 2 = λ 2 ξ 2 + g 2,. ξ n = λ n ξ n + g n. ξ k (t) λ k ξ k (t) = g k (t).

102 Παραγοντοποίηση ιδιοδιανυσμάτων (συνέχεια) ξ 1 = λ 1 ξ 1 + g 1, ξ 2 = λ 2 ξ 2 + g 2,. ξ n = λ n ξ n + g n. ξ k (t) λ k ξ k (t) = g k (t). d [ ξk (t) e dx λ kt = e λkt g k (t).

103 Παραγοντοποίηση ιδιοδιανυσμάτων (συνέχεια) ξ 1 = λ 1 ξ 1 + g 1, ξ 2 = λ 2 ξ 2 + g 2,. ξ n = λ n ξ n + g n. ξ k (t) λ k ξ k (t) = g k (t). d [ ξk (t) e dx λ kt = e λkt g k (t). ξ k (t) = e λ kt e λ kt g k (t) dt + C k e λ kt.

104 Παραγοντοποίηση ιδιοδιανυσμάτων (συνέχεια) t ξ k (t) = e λ kt e λks g k (s) dt + a k e λkt, 0

105 Παραγοντοποίηση ιδιοδιανυσμάτων (συνέχεια) t ξ k (t) = e λ kt e λks g k (s) dt + a k e λkt, 0 ~x(t) = ~v 1 ξ 1 (t) + ~v 2 ξ 2 (t) + + ~v n ξ n (t) η οποία ικανοποιεί την ~x(0) = ~ b, επειδή ξ k (0) = a k.

106 Παράδειγμα ~x = [ ~x + ~ f όπου ~ f(t) = [ 2e t 2t για ~x(0) = [ 3/16 5/16.

107 ~x = [ Παράδειγμα ~x + ~ f όπου ~ f(t) = [ 2e t 2t για ~x(0) = [ 3/16 5/16. Ιδιοτιμές 2 και 4 ιδιοδιανύσματα [ 1 1 και [ 11.

108 Παράδειγμα ~x = [ ~x + ~ f όπου ~ f(t) = [ 2e t 2t Ιδιοτιμές 2 και 4 ιδιοδιανύσματα [ 1 E = για ~x(0) = [ 1 1, E = 1 2 [ 3/16 5/16. [ 1 και 11. [

109 Παράδειγμα ~x = [ ~x + ~ f όπου ~ f(t) = [ 2e t 2t Ιδιοτιμές 2 και 4 ιδιοδιανύσματα [ 1 E = [ ~x = 1 1 ξ1 + [ 1 1 ξ2, [ ~x(0) = 3/16 5/16 = για ~x(0) = [ 1 1, E = 1 2 ~ f = [ 2e t 2t [ 1 1 a1 + [ 1 1 a2, [ 3/16 5/16. [ 1 και 11. [ = [ 1 1 g1 + [ 1 1 g2 και

110 Παράδειγμα ~x = [ ~x + ~ f όπου ~ f(t) = [ 2e t 2t Ιδιοτιμές 2 και 4 ιδιοδιανύσματα [ 1 E = [ ~x = 1 1 ξ1 + [ 1 1 ξ2, [ ~x(0) = 3/16 5/16 = [ g1 g 2 για ~x(0) = [ 1 1, E = 1 2 ~ f = [ 2e t 2t [ 1 1 a1 + [ 1 1 a2, όπου [ = E 1 2e t = 1 2t 2 [ 3/16 5/16. [ 1 και 11. [ = [ 1 1 g1 + [ 1 1 g2 και [ [ 2e t 2t = [ e t t e t + t

111 Παράδειγμα ~x = [ ~x + ~ f όπου ~ f(t) = [ 2e t 2t Ιδιοτιμές 2 και 4 ιδιοδιανύσματα [ 1 E = [ ~x = 1 1 ξ1 + [ 1 1 ξ2, [ ~x(0) = 3/16 5/16 = [ g1 g 2 για ~x(0) = [ 1 1, E = 1 2 ~ f = [ 2e t 2t [ 1 1 a1 + [ 1 1 a2, όπου [ = E 1 2e t = 1 2t 2 [ 3/16 5/16. [ 1 και 11. [ = [ 1 1 g1 + [ 1 1 g2 και [ [ [ a1 316 = E a [ 2e t 2t [ 14 = = [ e t t e t + t

112 Παράδειγμα (συνέχεια) Αντικαθιστούμε, εξισώνουμε τους συντελεστές των ιδιοδιανυσμάτων και παίρνουμε ξ 1 = 2ξ 1 + e t t, όπου ξ 1 (0) = a 1 = 1 4, ξ 2 = 4ξ 2 + e t + t, όπου ξ 2 (0) = a 2 = 1 16.

113 Παράδειγμα (συνέχεια) Αντικαθιστούμε, εξισώνουμε τους συντελεστές των ιδιοδιανυσμάτων και παίρνουμε ξ 1 = 2ξ 1 + e t t, όπου ξ 1 (0) = a 1 = 1 4, ξ 2 = 4ξ 2 + e t + t, ξ 1 = e 2t ξ 2 = e 4t όπου ξ 2 (0) = a 2 = e 2t (e t t) dt + C 1 e 2t = et 3 t C 1e 2t. e 4t (e t + t) dt + C 2 e 4t = et 3 t C 2e 4t.

114 Παράδειγμα (συνέχεια) Αντικαθιστούμε, εξισώνουμε τους συντελεστές των ιδιοδιανυσμάτων και παίρνουμε ξ 1 = 2ξ 1 + e t t, όπου ξ 1 (0) = a 1 = 1 4, ξ 2 = 4ξ 2 + e t + t, ξ 1 = e 2t ξ 2 = e 4t όπου ξ 2 (0) = a 2 = e 2t (e t t) dt + C 1 e 2t = et 3 t C 1e 2t. e 4t (e t + t) dt + C 2 e 4t = et 3 t C 2e 4t. Επειδή ξ 1 (0) = 1/4 και ξ 2 (0) = 1/16 έχουμε C 1 = 1 /3 και C 2 = 1/3

115 Παράδειγμα (συνέχεια) Αντικαθιστούμε, εξισώνουμε τους συντελεστές των ιδιοδιανυσμάτων και παίρνουμε ξ 1 = 2ξ 1 + e t t, όπου ξ 1 (0) = a 1 = 1 4, ξ 2 = 4ξ 2 + e t + t, ξ 1 = e 2t ξ 2 = e 4t όπου ξ 2 (0) = a 2 = e 2t (e t t) dt + C 1 e 2t = et 3 t C 1e 2t. e 4t (e t + t) dt + C 2 e 4t = et 3 t C 2e 4t. Επειδή ξ 1 (0) = 1/4 και ξ 2 (0) = 1/16 έχουμε C 1 = 1 /3 και C 2 = 1/3 και η λύση είναι ~x(t) = [ e 4t e 2t t 16 e 2t +e 4t +2e t 3 + 4t 5 16.

116 ~x = [ Απροσδιόριστοι Συντελεστές ~x + [ e t t.

117 [ Απροσδιόριστοι Συντελεστές. ~x = ~x + [ e t t Ιδιοτιμές 1, 1. Ιδιοδιανύσματα [ [ 1 1 και 01 Άρα ~x c = α 1 [ 1 1 e t + α 2 [ 0 1 e t,

118 [ Απροσδιόριστοι Συντελεστές. ~x = ~x + [ e t t Ιδιοτιμές 1, 1. Ιδιοδιανύσματα [ [ 1 1 και 01 Άρα ~x c = α 1 [ 1 1 e t + α 2 [ 0 1 Μαντεψιά ~x = ~ae t + ~ bte t + ~ct + ~d όπου ~a = [ a 1 [ a 2, ~ b b1 = b 2, ~c = [ c 1 c2, και ~d = [ d 1 e t, d 2,

119 [ Απροσδιόριστοι Συντελεστές. ~x = ~x + [ e t t Ιδιοτιμές 1, 1. Ιδιοδιανύσματα [ [ 1 1 και 01 Άρα ~x c = α 1 [ 1 1 e t + α 2 [ 0 1 Μαντεψιά ~x = ~ae t + ~ bte t + ~ct + ~d όπου ~a = [ a 1 [ a 2, ~ b b1 = b 2, ~c = [ c 1 c2, και ~d = [ d 1 ~x = [ a 1 2a 1 + a 2 [ e t + b 1 2b 1 + b 2 e t, d 2, [ te t c + 1 2c 1 + c 2 [ t+ d 1 2d 1 + d 2

120 [ Απροσδιόριστοι Συντελεστές. ~x = ~x + [ e t t Ιδιοτιμές 1, 1. Ιδιοδιανύσματα [ [ 1 1 και 01 Άρα ~x c = α 1 [ 1 1 e t + α 2 [ 0 1 Μαντεψιά ~x = ~ae t + ~ bte t + ~ct + ~d όπου ~a = [ a 1 [ a 2, ~ b b1 = b 2, ~c = [ c 1 c2, και ~d = [ d 1 ~x = [ ~x = a 1 2a 1 + a 2 [ e t + b 1 2b 1 + b 2 e t, d 2, [ te t c + 1 2c 1 + c 2 [ t+ [ 120 [ [ [ [ e t 0 + te 1 t t + = et te t t 1 d 1 2d 1 + d 2.

121 Εξισώσεις 1ης τάξης με μεταβλητούς συντελεστές ~x = A(t)~x + ~ f(t)

122 Εξισώσεις 1ης τάξης με μεταβλητούς συντελεστές ~x = A(t)~x + ~ f(t) ~x p = X(t)~u(t), (5)

123 Εξισώσεις 1ης τάξης με μεταβλητούς συντελεστές ~x = A(t)~x + ~ f(t) ~x p = X(t)~u(t), (5) ~x p (t) = X (t)~u(t) + X(t)~u (t) = A(t) X(t)~u(t) + ~ f(t).

124 Εξισώσεις 1ης τάξης με μεταβλητούς συντελεστές ~x = A(t)~x + ~ f(t) ~x p = X(t)~u(t), (5) ~x p (t) = X (t)~u(t) + X(t)~u (t) = A(t) X(t)~u(t) + ~ f(t). X (t)~u(t) + X(t)~u (t) = X (t)~u(t) + ~ f(t).

125 Εξισώσεις 1ης τάξης με μεταβλητούς συντελεστές ~x = A(t)~x + ~ f(t) ~x p = X(t)~u(t), (5) ~x p (t) = X (t)~u(t) + X(t)~u (t) = A(t) X(t)~u(t) + ~ f(t). X (t)~u(t) + X(t)~u (t) = X (t)~u(t) + ~ f(t). ~x p = X(t) [X(t) 1 ~ f(t) dt.

126 ~x = 1 t Παράδειγμα [ [ t 1 t ~x + (t 1 t ). (6)

127 X = ~x = 1 t [ 1 t t 1 Παράδειγμα [ [ t 1 t ~x + (t 1 t ). (6)

128 X = ~x = 1 t [ 1 t t 1 Παράδειγμα [ [ t 1 t ~x + (t 1 t ). (6) [X(t) 1 = 1 t [ 1 t. t 1

129 X = ~x = 1 t [ 1 t t 1 [ 1 t ~x p = t 1 [ 1 t = t 1 [ 1 t = t 1 [ Παράδειγμα [ [ t 1 t ~x + (t 1 t ). (6) [X(t) 1 = 1 t [ [ 1 1 t t t t 1 1 2t t 2 dt + 1 [ t t3 + t = [ 13 t t 3 + t [ 1 t. t 1 (t 2 + 1) dt.

130 ~x = X = ~x = 1 t [ 1 t t 1 [ 1 t ~x p = t 1 [ 1 t = t 1 [ 1 t = t 1 [ 1 t t 1 [ c1 c2 [ Παράδειγμα [ [ t 1 t ~x + (t 1 t ). (6) [X(t) 1 = 1 t [ [ 1 1 t t t t 1 1 2t t 2 dt + 1 [ t 2 [ 13 t t3 = + t [ 13 t 4 [ t3 = + t 2 3 t 3 + t [ 1 t. t 1 (t 2 + 1) dt. c 1 c 2 t t4 c 2 + (c 1 + 1) t t3.

131 Απροσδιόριστοι συντελεστές ~x = A~x + ~ F(t),

132 Απροσδιόριστοι συντελεστές ~x = A~x + ~ F(t), Αν ~ F(t) είναι της μορφής ~ F 0 cos ω t,

133 Απροσδιόριστοι συντελεστές ~x = A~x + ~ F(t), Αν ~ F(t) είναι της μορφής ~ F 0 cos ω t, μαντεψιά ~x p = ~c cos ω t.

134 Απροσδιόριστοι συντελεστές ~x = A~x + ~ F(t), Αν ~ F(t) είναι της μορφής ~ F 0 cos ω t, μαντεψιά ~x p = ~c cos ω t. Αν ~ F(t) = ~ F 0 cos ω 0 t + ~ F 1 cos ω 1 t,

135 Απροσδιόριστοι συντελεστές ~x = A~x + ~ F(t), Αν ~ F(t) είναι της μορφής ~ F 0 cos ω t, μαντεψιά ~x p = ~c cos ω t. Αν ~ F(t) = ~ F 0 cos ω 0 t + ~ F 1 cos ω 1 t, μαντεψιά ~a cos ω 0 t και βρίσκουμε μια λύση του ~x = A~x + ~ F 0 cos ω 0 t, μαντεψιά ~ b cos ω 1 t και βρίσκουμε μια λύση του ~x = A~x + ~ F 0 cos ω 1 t.

136 Απροσδιόριστοι συντελεστές ~x = A~x + ~ F(t), Αν ~ F(t) είναι της μορφής ~ F 0 cos ω t, μαντεψιά ~x p = ~c cos ω t. Αν ~ F(t) = ~ F 0 cos ω 0 t + ~ F 1 cos ω 1 t, μαντεψιά ~a cos ω 0 t και βρίσκουμε μια λύση του ~x = A~x + ~ F 0 cos ω 0 t, μαντεψιά ~ b cos ω 1 t και βρίσκουμε μια λύση του ~x = A~x + ~ F 0 cos ω 1 t. Προσθέσουμε τις λύσεις.

137 Ανάλυση ιδιοδιανυσμάτων ~x = A~x + ~ F(t), ιδιοτιμές λ 1,..., λ n ιδιοδιανύσματα ~v 1,..., ~v n και E = [~v 1 ~v n

138 Ανάλυση ιδιοδιανυσμάτων ~x = A~x + ~ F(t), ιδιοτιμές λ 1,..., λ n ιδιοδιανύσματα ~v 1,..., ~v n και E = [~v 1 ~v n ~x(t) = ~v 1 ξ 1 (t) + ~v 2 ξ 2 (t) + + ~v n ξ n (t).

139 Ανάλυση ιδιοδιανυσμάτων ~x = A~x + ~ F(t), ιδιοτιμές λ 1,..., λ n ιδιοδιανύσματα ~v 1,..., ~v n και E = [~v 1 ~v n ~x(t) = ~v 1 ξ 1 (t) + ~v 2 ξ 2 (t) + + ~v n ξ n (t). ~ F(t) = ~v 1 g 1 (t) + ~v 2 g 2 (t) + + ~v n g n (t). οπότε έχουμε ~g = E 1~ F.

140 Ανάλυση ιδιοδιανυσμάτων ~x = A~x + ~ F(t), ιδιοτιμές λ 1,..., λ n ιδιοδιανύσματα ~v 1,..., ~v n και E = [~v 1 ~v n ~x(t) = ~v 1 ξ 1 (t) + ~v 2 ξ 2 (t) + + ~v n ξ n (t). ~ F(t) = ~v 1 g 1 (t) + ~v 2 g 2 (t) + + ~v n g n (t). οπότε έχουμε ~g = E 1~ F. ~x = ~v 1 ξ 1 + ~v 2 ξ ~v n ξ n = A (~v 1 ξ 1 + ~v 2 ξ ~v n ξ n ) + ~v 1 g 1 + ~v 2 g ~v n g n = A~v 1 ξ 1 + A~v 2 ξ A~v n ξ n + ~v 1 g 1 + ~v 2 g ~v n g n = ~v 1 λ 1 ξ 1 + ~v 2 λ 2 ξ ~v n λ n ξ n + ~v 1 g 1 + ~v 2 g ~v n g n = ~v 1 (λ 1 ξ 1 + g 1 ) + ~v 2 (λ 2 ξ 2 + g 2 ) + + ~v n (λ n ξ n + g n ).

141 ~x = Παράδειγμα [ [ ~x + cos 3t Ιδιοτ. 1 και 4, ιδιοδ. [ [ [ 1 2 και 1 1, E = 1 1 E 1 = 1 3 [ ,

142 ~x = Παράδειγμα [ [ ~x + cos 3t Ιδιοτ. 1 και 4, ιδιοδ. [ [ [ 1 2 και 1 1, E = 1 1 E 1 = 1 3 [ g1 g 2 [ = E 1 ~ F(t) = 1 3 [ [ cos 3t = 2 1, [ 23 cos 3t. 2 3 cos 3t

143 ~x = Παράδειγμα [ [ ~x + cos 3t Ιδιοτ. 1 και 4, ιδιοδ. [ [ [ 1 2 και 1 1, E = 1 1 E 1 = 1 3 [ g1 g 2 [ = E 1 ~ F(t) = 1 3 [ [ cos 3t = 2 1, [ 23 cos 3t. 2 3 cos 3t ξ 1 = ξ cos 3t, 3 ξ 2 = 4 ξ 2 2 cos 3t. 3

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0, Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης (β) Η απόλυτη υπεραξία Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Στο κεφάλαιο για την αγορά και την πώληση της εργατικής δύναμης (ελληνική έκδοση: τόμος

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να - 1 - Ο παράξενος πραματευτής Ανθολόγιο Ε & Στ τάξης: 277-279 Οικονομικές έννοιες Ανταλλαγή Αντιπραγματισμός Εμπόριο Ερωτήσεις Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γεώργιος Κ. Πατρίκιος, Δικηγόρος, ΜΔΕ Δημοσίου Δικαίου, Υπ. Διδάκτωρ Νομικής Σχολής Πανεπιστημίου Αθηνών. ΘΕΜΑΤΙΚΗ : Η αρμοδιότητα των διοικητικών

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα 11.1. Εισαγωγή Τα τηλεπικοινωνιακά δίκτυα είναι διαιρεμένα σε μια ιεραρχία τριών επιπέδων: Στα δίκτυα πρόσβασης, τα μητροπολιτικά δίκτυα και τα δίκτυα κορμού. Τα δίκτυα κορμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Π. ΨΩΝΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών 1/56 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2011-12 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Το εκπαιδευτικό υλικό που παρουσιάζεται βασίζεται

Διαβάστε περισσότερα

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες 20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι:

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: 1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: α) Ανεξάρτητα από το ύψος της τιμής των οσπρίων, ο καταναλωτής θα δαπανά πάντα ένα σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1

Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) ύο καράβια αναχωρούν από το ίδιο λιµάνι. Το ένα κινείται µε 5 Km/h προς τα νότια και το άλλο µε Km/h προς τα ανατολικά. Να εκϕράσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Μεταγλωττιστές ΙΙ. nkavv@uop.gr. Καταμερισμός καταχωρητών. Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr Μεταγλωττιστές ΙΙ

Μεταγλωττιστές ΙΙ. nkavv@uop.gr. Καταμερισμός καταχωρητών. Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr Μεταγλωττιστές ΙΙ Μεταγλωττιστές ΙΙ Καταμερισμός καταχωρητών Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr 01 Δεκεμβρίου 2010 Γενικά για τον καταμερισμό καταχωρητών Καταμερισμός καταχωρητών (register allocation): βελτιστοποίηση μεταγλωττιστή

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας χρήστης μιας PDH μισθωμένης γραμμής χρησιμοποιεί μια συσκευή πρόσβασης που υλοποιεί τη στοίβα ΑΤΜ/Ε1. α) Ποιος είναι ο μέγιστος υποστηριζόμενος ρυθμός (σε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

ΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 1 ΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Οι τάξεις της Β και Γ Λυκείου είναι χωρισμένες σε τρείς Κατευθύνσεις Θεωρητική, Θετική, Τεχνολογική Οι Σχολές είναι ταξινομημένες σε πέντε επιστημονικά πεδία 1 ο ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ : ΕΞΙ

Διαβάστε περισσότερα

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí. www.mathematica.gr. Ìáèçìáôéêü Äåëôßï. Ôåý ïò 13ï. Ïêôþâñéïò 2014 ISSN: 2241-7133

ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí. www.mathematica.gr. Ìáèçìáôéêü Äåëôßï. Ôåý ïò 13ï. Ïêôþâñéïò 2014 ISSN: 2241-7133 ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí Ìáèçìáôéêü Äåëôßï Ôåý ïò 3ï Ïêôþâñéïò 04 www.mathematica.gr ISSN: 4-733 Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

(1 ο ) Γιατί «αλγόριθμοι» (υποχρεωτικά);

(1 ο ) Γιατί «αλγόριθμοι» (υποχρεωτικά); (1 ο ) Γιατί «αλγόριθμοι» (υποχρεωτικά); Γιατί πρέπει να μελετήσουμε την περιοχή των «αλγορίθμων»; Ο φοιτητής και η φοιτήτρια που καλείται να παρακολουθήσει ένα μάθημα σαν το «αλγόριθμοι & πολυπλοκότητα»

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20

Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20 A Πανεπιστήμιο Αιγαίου Σχολή Επιστημών της ιοίκησης Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και ιοίκησης Εργαστήριο Στατιστικής Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20 26Επιμέλεια:

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate Κατηγορίες οφέλους και κόστους που προέρχονται από τις δημόσιες δαπάνες Για την αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός gior.panagopoulos@gmail.com Βουλδής Άγγελος Φυσικός angelos_vouldis@hotmail.com Μεντζελόπουλος Λευτέρης Φυσικός MSc Περιβαλλοντολογία

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

www.cslab.ece.ntua.gr

www.cslab.ece.ntua.gr Ε ό Μ ό Π ί Σ ή Η ό Μ ώ Μ ώ Η/Υ Τ έ Τ ί Π ή Υ ώ Εργαστήριο Υπολογιστικών Συστημάτων www.cslab.ece.ntua.gr Διπλωματική εργασία Συγκριτική μελέτη μεθόδων αποθήκευσης αραιών πινάκων σε μπλοκ για την βελτιστοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Διδάσκων : Βασίλειος Σταματόπουλος, Δικηγόρος, Δ.Μ.Σ. Συνάντηση 4 η ΕΝΟΧΕΣ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΕΣ Εννοιολογική προσέγγιση. Διαζευκτική είναι η ενοχή που έχει ως αντικείμενο δύο ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Διδάσκων : Πομπιέρη Βασιλεία, Δικηγόρος, LLM UCL Πτωχευτικό Δίκαιο Σημαντικότερες ρυθμίσεις σε προπτωχευτικό στάδιο. Εισαγωγή της διαδικασίας συνδιαλλαγής Σκοπός Η διάσωση και εξυγίανση

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΤΡΟΧΟΥ MAXWELL

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΤΡΟΧΟΥ MAXWELL ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ &ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΤΡΟΧΟΥ MAXWELL ΒΑΡΗ 01-013 Μπίλιας Κων/νος Φυσικός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ. Μορφές δημόσιου δανεισμού. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ. Μορφές δημόσιου δανεισμού. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ Μορφές δημόσιου δανεισμού Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate 1 Ανάλογα με την πηγή προελεύσεως των πόρων Με βάση το κριτήριο αυτό, ο δανεισμός διακρίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Παραμετρικά Μοντέλα Επιβίωσης που προκύπτουν από μεταβολές

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥ ΚΡΑΤΟΥΣ

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥ ΚΡΑΤΟΥΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥ ΚΡΑΤΟΥΣ ΘΕΜΑ: Η ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΚΡΑΤΟΥΣ Ο ΙΕΡΑΡΧΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΙ Η ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΟΠΤΕΙΑ Σύνταξη: Ηλίας Κουβαράς, Δικηγόρος L.L.M., Υπ. Διδάκτωρ Δημοσίου Δικαίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας

Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας Γ. Η. Πανάγος 1195 ΟΡΘΗ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΚΛΙ ΝΙΚΩΝ ΜΕΛΕΤΏΝ Η ορθή πρακτική διεξαγωγής των κλινικών δοκιμών (GCP) είναι ένα διεθνές

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΑΡΧΕΙΑ Ο πιο γνωστός τρόπος οργάνωσης δεδομένων με τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών είναι σε αρχεία. Ένα αρχείο μπορούμε να το χαρακτηρίσουμε σαν ένα σύνολο που αποτελείται από οργανωμένα

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

1. Η συγκεκριμένη εφαρμογή της λειτουργίας για τη λήψη φορολογικής ενημερότητας βρίσκεται στην αρχική σελίδα της ιστοσελίδας της Γ.Γ.Π.Σ.

1. Η συγκεκριμένη εφαρμογή της λειτουργίας για τη λήψη φορολογικής ενημερότητας βρίσκεται στην αρχική σελίδα της ιστοσελίδας της Γ.Γ.Π.Σ. ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ 23 η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 10 Ιουλίου 2013 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΔΙΚΑΙΟΣΥΝΗΣ, ΔΙΑΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΣΥΝΤΟΝΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Αριθμ. Πρωτ. 153 ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΣΥΛΛΟΓΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ Α Θ Η Ν

Διαβάστε περισσότερα

12/1/2006 Διακριτά Μαθηματικά. Ορισμός. Υπό γράφημα Τ γραφήματος Γ καλείται συνδετικό (ή επικαλύπτον)

12/1/2006 Διακριτά Μαθηματικά. Ορισμός. Υπό γράφημα Τ γραφήματος Γ καλείται συνδετικό (ή επικαλύπτον) ΣΥΝΔΕΤΙΚΑ ΔΕΝΤΡΑ Ορισμός. Υπό γράφημα Τ γραφήματος Γ καλείται συνδετικό (ή επικαλύπτον) δέντρο (spanning tree) του Γ εάν αυτό είναι δέντρο και περιέχει όλες τις κορυφές του Γ. Παράδειγμα. Στο παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

y(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V

Διαβάστε περισσότερα

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα!

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα! Βελτίωση Εικόνας Σήμερα! Υποβάθμιση εικόνας Τεχνικές Βελτίωσης Restoration (Αποκατάσταση) Τροποποίηση ιστογράμματος Ολίσθηση ιστογράμματος Διάταση (stretching) Ισοστάθμιση του ιστογράμματος (histogram

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Συγκέντρωση Κίνησης. 6.1. Εισαγωγή. 6.2. Στατική Συγκέντρωση Κίνησης

Συγκέντρωση Κίνησης. 6.1. Εισαγωγή. 6.2. Στατική Συγκέντρωση Κίνησης Συγκέντρωση Κίνησης 6.1. Εισαγωγή Σε ένα οπτικό WDM δίκτυο, οι κόμβοι κορμού επικοινωνούν μεταξύ τους και ανταλλάσουν πληροφορία μέσω των lightpaths. Ένα WDM δίκτυο κορμού είναι υπεύθυνο για την εγκατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΤΜΤΡΗΣΗ ΘΜΛΙΚΩΝ ΣΥΝ ΥΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: η μορφολογία. Όλες οι συνδυαστικές μορφές που θα εξετάσουμε είναι διαφόρων ειδών συναρτήσεις. Οι «παράμετροι» που παραλλάσονται είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΣΤΡΕΦΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ Επισκόπηση μαθήματος. Ιωάννης Σταμέλος Βάιος Κολοφωτιάς Πληροφορική

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΣΤΡΕΦΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ Επισκόπηση μαθήματος. Ιωάννης Σταμέλος Βάιος Κολοφωτιάς Πληροφορική ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΣΤΡΕΦΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ Επισκόπηση μαθήματος Ιωάννης Σταμέλος Βάιος Κολοφωτιάς Πληροφορική Θεσσαλονίκη, Σεπτέμβριος 2013 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος Μέρος B Βασικά στοιχεία περί ασυμφραστικών γραμματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται 1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται από: α) Τη ροπή για αποταμίευση β) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος και τη ροπή για αποταμίευση γ) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

Εγκύκλιος Ε.Φ.Ο.Τ. 2013/1

Εγκύκλιος Ε.Φ.Ο.Τ. 2013/1 Εγκύκλιος Ε.Φ.Ο.Τ. 2013/1 Θέμα : Βαθμολογούμενοι Αγώνες, Τρόπος Βαθμολόγησης. Οι βαθμολογούμενοι αγώνες για το έτος 2013 είναι οι κάτωθι : - Πανελλήνιο Πρωτάθλημα 2x18μ. - Ανοιχτό Πρωτάθλημα 2x70μ. για

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΜΕΣ DISNEYLAND RESORT PARIS

ΤΙΜΕΣ DISNEYLAND RESORT PARIS ΤΙΜΕΣ DISNEYLAND RESORT PARIS 09 Νοεµβρίου 2009 01 Απριλίου 2010 DISNEYLAND 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 CHD ΠΑΚΕΤΟ 2N/3Μ 350 419 558 973 392 475 641 1140 491 607 840 1538 117 ΠΑΚΕΤΟ 3N/4Μ 464 562 760 1353

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ HMEΡΟΜΗΝΙΑ ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗΣ: 4 ΑΠΡΙΛΙΟΥ: ΩΡΑ 10μ.μ Τα παρακάτω θέματα δημοσιεύονται αποκλειστικά και μόνο για όσους υποψήφιους του φροντιστηρίου μας δεν κατάφεραν να προσέλθουν στα επαναληπτικά μαθήματα που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό.

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. 1 ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate, εισηγητής Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 16 Απριλίου, 2006 Ώρα: 10:30-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίµιο αποτελείται από τρία (3) µέρη µε σύνολο δώδεκα (12) θέµατα. 2) Επιτρέπεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Κατανεμημένων Αλγορίθμων σε Ασύρματα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ

ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ Ενότητα 1: Υδρολογική προσομοίωση 1.2. Βελτιστοποίηση (Βαθμονόμηση) Υδρολογικών Μοντέλων Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ Επιμέλεια Άγγελου Αργυρακόπουλου

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις ΙΙ. Σημερινό μάθημα

Συναρτήσεις ΙΙ. Σημερινό μάθημα Συναρτήσεις ΙΙ 1 Σημερινό μάθημα Εμβέλεια Εμφωλίαση Τύπος αποθήκευσης Συναρτήσεις ως παράμετροι Πέρασμα με τιμή Πολλαπλά return Προκαθορισμένοι ρ Παράμετροι ρ Υπερφόρτωση συναρτήσεων Inline συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο του καλού κηπουρού

Το εγχειρίδιο του καλού κηπουρού Το εγχειρίδιο του καλού κηπουρού 1. Φροντίδα των φυτών Αφού αποφάσισες να φυτέψεις πρέπει να είσαι έτοιμος να ασχοληθείς με τα φυτά σου και να παρακολουθείς τις ανάγκες τους. Θα πρέπει να ποτίζεις όποτε

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων 1

Αναγνώριση Προτύπων 1 Αναγνώριση Προτύπων 1 Σημερινό Μάθημα Βασικό σύστημα αναγνώρισης προτύπων Προβλήματα Πρόβλεψης Χαρακτηριστικά και Πρότυπα Ταξινομητές Classifiers Προσεγγίσεις Αναγνώρισης Προτύπων Κύκλος σχεδίασης Συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Κινητική Μάθηση Μέρος Πρώτο : Ανθρώπινη απόδοση εκτέλεση 1. Εισαγωγή «Η ικανότητα που έχει κάποιος, να πετυχαίνει ένα τελικό αποτέλεσμα με την μεγαλύτερη δυνατή σιγουριά και τη

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

Η διπλωματική εργασία

Η διπλωματική εργασία Η διπλωματική εργασία Αριστείδης Χατζής * Το κείμενο αυτό ανανεώνεται συνέχεια με τη δική σας παρέμβαση, τις ερωτήσεις, τα σχόλια και τις παρατηρήσεις σας. Αυτή η εκδοχή ανανεώθηκε στις 12 Δεκεμβρίου 2006.

Διαβάστε περισσότερα