17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "17 Μαρτίου 2013, Βόλος"

Transcript

1 Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

2 Σ Ε πρώτης τάξης dy dx = f(x, y) ή y = f(x, y)

3 Σ Ε πρώτης τάξης dy dx = f(x, y) ή y = f(x, y)

4 Σ Ε πρώτης τάξης dy dx = f(x, y) ή y = f(x, y) έστω ότι f(x, y) = f(x) y = f(x).

5 Σ Ε πρώτης τάξης dy dx = f(x, y) ή y = f(x, y) έστω ότι f(x, y) = f(x) τότε y (x) d = y = f(x). f(x) dx + C, δηλαδή y(x) = f(x) dx + C.

6 Παράδειγμα Λύση y = e x2, y(0) = 1. x y(x) = 0 e s2 ds + 1.

7 Παράδειγμα 9 9yy = 4x. y(x)y (x)dx + 4 xdx = C

8 9 9 Παράδειγμα 9yy = 4x. y(x)y (x)dx + 4 xdx = C ydy + 4x 2 = C 9y 2 + 4x 2 = 2C

9 9 9 Παράδειγμα 9yy = 4x. y(x)y (x)dx + 4 xdx = C ydy + 4x 2 = C 9y 2 + 4x 2 = 2C Σχήμα : y x2 9 = C

10 Παράδειγμα y + yx = x.

11 Παράδειγμα y 1 y = x y + yx = x.

12 Παράδειγμα y + yx = x. y 1 y = x dy 1 y = xdx

13 Παράδειγμα y + yx = x. y 1 y = x dy 1 y = xdx ln 1 y = x2 2 + C

14 Παράδειγμα y + yx = x. y 1 y = x dy 1 y = xdx ln 1 y = x2 2 + C y = 1 + Ce x2 2

15 Παράδειγμα y + yx = x. y 1 y = x dy 1 y = xdx ln 1 y = x2 2 + C y = 1 + Ce x2 2

16 Σ Ε πρώτης τάξης dy dx = f(x, y) ή y = f(x, y)

17 Σ Ε πρώτης τάξης dy dx = f(x, y) ή y = f(x, y) έστω ότι f(x, y) = f(y) dy dx = f(y) dx dy = 1 x(y) = 1 f(y) f(y). dy + C. Παραδείγματα y = ky y = Ce kx. dx dy y = C x 1 ή y = 0.

18 Παράδειγμα Πόσο μακριά θα έχει φθάσει ένα όχημα που κινείται με ταχύτητα e t/2 μέτρα το δευτερόλεπτο σε 2 δευτερόλεπτα και πόσο σε 10 δευτερόλεπτα; x = e t/2 x(t) = 2e t/2 + C. 0 = x(0) = 2e 0/2 + C = 2 + C C = 2. x(t) = e t/2 2. x(2) = 2e 2/ μέτρα, x(10) = 2e 10/ μέτρα.

19 Παράδειγμα Πού θα βρίσκεται ένα όχημα την χρονική στιγμή t = 10 αν επιταχύνει με ρυθμό t 2 s m και την χρονική στιγμή t 2 = 0 βρίσκεται σε απόσταση 1 μέτρου από την αρχική του θέση και κινείται με ταχύτητα 10 m s ; Αν θέσουμε x = v x = t 2, x(0) = 1, x (0) = 10. v = t 2, v(0) = 10, λύσουμε ως προς v, και κατόπιν ολοκληρώνουμε για να βρούμε το x.

20 Πεδία κατευθύνσεων y = f(x, y) τιμή της κλίσης της y σε κάθε σημείο του επιπέδου (x, y).

21 Πεδία κατευθύνσεων y = f(x, y) τιμή της κλίσης της y σε κάθε σημείο του επιπέδου (x, y). Σχήμα : Το πεδίο κατευθύνσεων της y = xy και η λύση που ικανοποιεί τις συνθήκες y(0) = 0.2, y(0) = 0, και y(0) = 0.2.

22 Πεδία κατευθύνσεων y = f(x, y) τιμή της κλίσης της y σε κάθε σημείο του επιπέδου (x, y). Σχήμα : Το πεδίο κατευθύνσεων της y = xy και η λύση που ικανοποιεί τις συνθήκες y(0) = 0.2, y(0) = 0, και y(0) =

23 Πεδία κατευθύνσεων y = f(x, y) τιμή της κλίσης της y σε κάθε σημείο του επιπέδου (x, y). Σχήμα : Το πεδίο κατευθύνσεων της y = xy και η λύση που ικανοποιεί τις συνθήκες y(0) = 0.2, y(0) = 0, και y(0) =

24 Είμαστε μηχανικοί Η/Υ Χρήση λογισμικού!

25 Υπαρξη και μοναδικότητα y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0. (i) Υπάρχει λύση; (ii) Είναι η λύση μοναδική (εάν υπάρχει);

26 Υπαρξη και μοναδικότητα y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0. (i) Υπάρχει λύση; (ii) Είναι η λύση μοναδική (εάν υπάρχει); Παράδειγμα: y = 1 x, y(0) = 0 y = ln x + C.

27 Θεώρημα του Picard Θεώρημα Εάν η f(x, y) είναι συνεχής και εάν η παράγωγος f y υπάρχει και είναι συνεχής σε κάποια περιοχή γύρω από το (x 0, y 0 ), τότε η λύση του προβλήματος y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, υπάρχει (τουλάχιστον για κάποια x) και είναι μοναδική.

28 Θεώρημα του Picard Θεώρημα Εάν η f(x, y) είναι συνεχής και εάν η παράγωγος f y υπάρχει και είναι συνεχής σε κάποια περιοχή γύρω από το (x 0, y 0 ), τότε η λύση του προβλήματος y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, υπάρχει (τουλάχιστον για κάποια x) και είναι μοναδική. Παραδείγματα 1. y = 1 x, y(0) = 0 2. y = 2 y, y(0) = 0

29 Υπαρξη και μοναδικότητα Παράδειγμα: y = 1 x, y(0) = 0 y = ln x + C.

30 Υπαρξη και μοναδικότητα Παράδειγμα: y = 1 x, y(0) = 0 y = ln x + C. Σχήμα : Πεδίο διευθύνσεων της y = 1 x και της y = 2 y

31 Υπαρξη και μοναδικότητα Παράδειγμα: y = 1 x, y(0) = 0 y = ln x + C. Σχήμα : Πεδίο διευθύνσεων της y = 1 x και της y = 2 y

32 Προσοχή στον γορίλα y = y 2, y(0) = A,

33 Προσοχή στον γορίλα y = y 2, y(0) = A, x = 1 y 2,

34 Προσοχή στον γορίλα y = y 2, y(0) = A, x = 1 y 2, άρα x = 1 y + C,

35 Προσοχή στον γορίλα y = y 2, y(0) = A, x = 1 y 2, άρα συνεπώς x = 1 y + C, y = 1 C x.

36 Προσοχή στον γορίλα y = y 2, y(0) = A, x = 1 y 2, άρα συνεπώς οπότε x = 1 y + C, y = 1 C x. y(0) = A C = 1 A y = 1 1 A x.

37 ιαχωρίσιμες Εξισώσεις Πίσω στην y = f(x, y),

38 ιαχωρίσιμες Εξισώσεις Πίσω στην Εστω ότι y = f(x, y), f(x, y) = f(x)g(y),

39 ιαχωρίσιμες Εξισώσεις Πίσω στην Εστω ότι Τότε y = f(x, y), f(x, y) = f(x)g(y), y = f(x)g(y),

40 ιαχωρίσιμες Εξισώσεις Πίσω στην Εστω ότι Τότε dy dx = f(x)g(y) y = f(x, y), f(x, y) = f(x)g(y), y = f(x)g(y), dy = f(x) dx g(y) dy g(y) = f(x) dx + C.

41 Παράδειγμα y = xy.

42 Παράδειγμα Μια λύση y = 0. y = xy.

43 Παράδειγμα Μια λύση y = 0. dy y = y = xy. x dx + C.

44 Παράδειγμα Μια λύση y = 0. dy y = y = xy. x dx + C. ln y = x2 2 + C

45 Παράδειγμα Μια λύση y = 0. dy y = y = xy. x dx + C. ln y = x2 2 + C y = e x2 2 +C = e x2 2 e C = De x2 2,

46 Παράδειγμα Μια λύση y = 0. dy y = y = xy. x dx + C. ln y = x2 2 + C y = e x2 2 +C = e x2 2 e C = De x2 2, y = De x2 2 D.

47 Κάπως ποιο προσεκτικά dy dx = f(x)g(y)

48 Κάπως ποιο προσεκτικά dy dx = f(x)g(y) Η y = y(x) είναι συνάρτηση του x. Όμως και η dx dy είναι συνάρτηση του x!

49 Κάπως ποιο προσεκτικά dy dx = f(x)g(y) Η y = y(x) είναι συνάρτηση του x. Όμως και η dx dy είναι συνάρτηση του x! 1 g(y) dy dx = f(x)

50 Κάπως ποιο προσεκτικά dy dx = f(x)g(y) Η y = y(x) είναι συνάρτηση του x. Όμως και η dx dy είναι συνάρτηση του x! 1 g(y) dy dx = f(x) Ολοκληρώνουμε και τα δύο μέρη ως προς x. 1 g(y) dy dx dx = f(x) dx + C.

51 Κάπως ποιο προσεκτικά dy dx = f(x)g(y) Η y = y(x) είναι συνάρτηση του x. Όμως και η dx dy είναι συνάρτηση του x! 1 g(y) dy dx = f(x) Ολοκληρώνουμε και τα δύο μέρη ως προς x. 1 g(y) dy dx dx = Αλλαγή μεταβλητών 1 g(y) dy = f(x) dx + C. f(x) dx + C.

52 Εμμεσες Λύσεις y = xy y

53 y y Εμμεσες Λύσεις dy = y = xy y ( y + 1 ) dy = x dx y

54 y y Εμμεσες Λύσεις y = xy y ( dy = y + 1 ) dy = x dx y y ln y = x2 2 + C

55 y y Εμμεσες Λύσεις y = xy y ( dy = y + 1 ) dy = x dx y y ln y = x2 2 + C y ln y = x 2 + C. Εμμεση λύση. Επιβεβαίωση!

56 y y Εμμεσες Λύσεις y = xy y ( dy = y + 1 ) dy = x dx y y ln y = x2 2 + C y ln y = x 2 + C. Εμμεση λύση. Επιβεβαίωση! ( y 2y + 2 ) = 2x. y

57 y y Εμμεσες Λύσεις y = xy y ( dy = y + 1 ) dy = x dx y y ln y = x2 2 + C y ln y = x 2 + C. Εμμεση λύση. Επιβεβαίωση! ( y 2y + 2 ) = 2x. y Υπάρχει βεβαίως και η ιδιάζουσα λύση y(x) = 0.

58 Παράδειγμα x 2 y = 1 x 2 + y 2 x 2 y 2, y(1) = 0

59 Παράδειγμα x 2 y = 1 x 2 + y 2 x 2 y 2, y(1) = 0 x 2 y = (1 x 2 )(1 + y 2 ).

60 Παράδειγμα x 2 y = 1 x 2 + y 2 x 2 y 2, y(1) = 0 x 2 y = (1 x 2 )(1 + y 2 ). y 1 + y 2 = 1 x2 x 2 y 1 + y 2 = 1 x 2 1, arctan(y) = 1 x x + C, y = tan ( 1 x x + C ). Από την αρχική συνθήκη, 0 = tan( 2 + C) έχουμε C = 2 (ή 2 + π,... ) και καταλήγουμε ( ) 1 y = tan x x + 2.

61 Παράδειγμα Φτιάχνουμε καφέ χρησιμοποιώντας βραστό νερό (100 o C). Μετά απο 1 η θερμοκρασία T του καφέ είναι 95 o C. Η θερμοκρασία A του περιβάλοντος είναι 10 o C και προτιμούμε τον καφέ μας στους 70 o C. Πόσο πρέπει να περιμένουμε;

62 Παράδειγμα Φτιάχνουμε καφέ χρησιμοποιώντας βραστό νερό (100 o C). Μετά απο 1 η θερμοκρασία T του καφέ είναι 95 o C. Η θερμοκρασία A του περιβάλοντος είναι 10 o C και προτιμούμε τον καφέ μας στους 70 o C. Πόσο πρέπει να περιμένουμε; dt dt = k(a T), A = 10, T(0) = 100, T(1) = 95.

63 Παράδειγμα Φτιάχνουμε καφέ χρησιμοποιώντας βραστό νερό (100 o C). Μετά απο 1 η θερμοκρασία T του καφέ είναι 95 o C. Η θερμοκρασία A του περιβάλοντος είναι 10 o C και προτιμούμε τον καφέ μας στους 70 o C. Πόσο πρέπει να περιμένουμε; dt dt 1 dt A T dt = k = k(a T), A = 10, T(0) = 100, T(1) = 95.

64 Παράδειγμα Φτιάχνουμε καφέ χρησιμοποιώντας βραστό νερό (100 o C). Μετά απο 1 η θερμοκρασία T του καφέ είναι 95 o C. Η θερμοκρασία A του περιβάλοντος είναι 10 o C και προτιμούμε τον καφέ μας στους 70 o C. Πόσο πρέπει να περιμένουμε; dt dt = k(a T), A = 10, T(0) = 100, T(1) = dt A T dt = k ln(a T) = kt+c A T = D e kt, T = A D e kt ηλαδή T = 10 D e kt 100 = T(0) = 10 D D = 90

65 Παράδειγμα Φτιάχνουμε καφέ χρησιμοποιώντας βραστό νερό (100 o C). Μετά απο 1 η θερμοκρασία T του καφέ είναι 95 o C. Η θερμοκρασία A του περιβάλοντος είναι 10 o C και προτιμούμε τον καφέ μας στους 70 o C. Πόσο πρέπει να περιμένουμε; dt dt = k(a T), A = 10, T(0) = 100, T(1) = A T ηλαδή T = 10 D e kt 100 = T(0) = 10 D D = 90 dt dt = k ln(a T) = kt+c A T = D e kt, T = A D e kt T = e kt 95 = T(1) = e k k = ln

66 Παράδειγμα Φτιάχνουμε καφέ χρησιμοποιώντας βραστό νερό (100 o C). Μετά απο 1 η θερμοκρασία T του καφέ είναι 95 o C. Η θερμοκρασία A του περιβάλοντος είναι 10 o C και προτιμούμε τον καφέ μας στους 70 o C. Πόσο πρέπει να περιμένουμε; dt dt = k(a T), A = 10, T(0) = 100, T(1) = A T ηλαδή T = 10 D e kt 100 = T(0) = 10 D D = 90 dt dt = k ln(a T) = kt+c A T = D e kt, T = A D e kt T = e kt 95 = T(1) = e k k = ln = e 0.06t t = ln , 8 λεπτά.

67 Γραμμικές εξισώσεις Πρώτης τάξης y + p(x)y = f(x). (1)

68 Γραμμικές εξισώσεις Πρώτης τάξης y + p(x)y = f(x). (1) Ιδιότητες Η λύση υπάρχει αρκεί να ορίζονται οι p(x) και f(x) Η ομαλότητα της λύσης ταυτίζεται με την ομαλότητα των p(x) και f(x)

69 Μεθοδολογία επίλυσης y + p(x)y = f(x). (2)

70 Μεθοδολογία επίλυσης y + p(x)y = f(x). (2) r(x)y + r(x)p(x)y = d dx[ r(x)y ].

71 Μεθοδολογία επίλυσης Παρατηρήστε ότι y + p(x)y = f(x). (2) r(x)y + r(x)p(x)y = d dx[ r(x)y ]. d [ ] r(x)y = r(x)f(x). dx

72 Μεθοδολογία επίλυσης y + p(x)y = f(x). (2) r(x)y + r(x)p(x)y = d dx[ r(x)y ]. d [ ] r(x)y = r(x)f(x). dx Παρατηρήστε ότι το δεξιό μέρος δεν εξαρτάται από το y το αριστερό μέρος είναι η αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης μπορούμε να λύσουμε ως προς y

73 Μεθοδολογία επίλυσης y + p(x)y = f(x). (2) r(x)y + r(x)p(x)y = d dx[ r(x)y ]. d [ ] r(x)y = r(x)f(x). dx Παρατηρήστε ότι το δεξιό μέρος δεν εξαρτάται από το y το αριστερό μέρος είναι η αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης μπορούμε να λύσουμε ως προς y αν γνωρίζουμε την r(x)!

74 Ολοκληρωτικός Παράγοντας Βρές r(x) τέτοια ώστε εάν την παραγωγίσουμε, θα πάρουμε την ίδια την συνάρτηση πολλαπλασιασμένη με p(x).

75 Ολοκληρωτικός Παράγοντας Βρές r(x) τέτοια ώστε εάν την παραγωγίσουμε, θα πάρουμε την ίδια την συνάρτηση πολλαπλασιασμένη με p(x). r(x) = e p(x)dx

76 Ολοκληρωτικός Παράγοντας Βρές r(x) τέτοια ώστε εάν την παραγωγίσουμε, θα πάρουμε την ίδια την συνάρτηση πολλαπλασιασμένη με p(x). r(x) = e p(x)dx Μένει να κάνουμε ανιαρές πράξεις. y + p(x)y = f(x), e p(x)dx y + e p(x)dx p(x)y = e p(x)dx f(x), d [ e p(x)dx y ] = e dx p(x)dx f(x), e p(x)dx y = e p(x)dx f(x) dx + C, y = e p(x)dx ( e p(x)dx f(x) dx + C ).

77 Γραμμικές εξισώσεις y + p(x)y = f(x).

78 Γραμμικές εξισώσεις y + p(x)y = f(x). r(x)y + r(x)p(x)y = d dx[ r(x)y ].

79 Γραμμικές εξισώσεις y + p(x)y = f(x). r(x)y + r(x)p(x)y = dx[ d ] r(x)y. r (x) = p(x)r(x) r(x) = e p(x)dx

80 Γραμμικές εξισώσεις y + p(x)y = f(x). r(x)y + r(x)p(x)y = d dx[ r(x)y ]. r (x) = p(x)r(x) r(x) = e p(x)dx y + p(x)y = f(x), e p(x)dx y + e p(x)dx p(x)y = e p(x)dx f(x), d [ e p(x)dx y ] = e dx p(x)dx f(x), y = e ( p(x)dx e p(x)dx y = e p(x)dx f(x) dx + C e ) p(x)dx f(x) dx + C.

81 Παράδειγμα y + 2xy = e x x2 y(0) = 1.

82 Παράδειγμα y + 2xy = e x x2 y(0) = 1. p(x) = 2x, f(x) = e x x2, r(x) = e p(x) dx = e x 2.

83 Παράδειγμα y + 2xy = e x x2 y(0) = 1. p(x) = 2x, f(x) = e x x2, r(x) = e p(x) dx = e x 2. e x2 y + 2xe x2 y = e x x2 e x2, d [ e x 2 y ] = e dx x.

84 Παράδειγμα y + 2xy = e x x2 y(0) = 1. p(x) = 2x, f(x) = e x x2, r(x) = e p(x) dx = e x 2. e x2 y + 2xe x2 y = e x x2 e x2, d [ e x 2 y ] = e dx x. Ολοκληρώνουμε e x2 y = e x + C, y = e x x2 + Ce x2.

85 Παράδειγμα y + 2xy = e x x2 y(0) = 1. p(x) = 2x, f(x) = e x x2, r(x) = e p(x) dx = e x 2. e x2 y + 2xe x2 y = e x x2 e x2, d [ e x 2 y ] = e dx x. Ολοκληρώνουμε e x2 y = e x + C, y = e x x2 + Ce x2. Από τις αρχικές συνθήκες 1 = y(0) = 1 + C C = 2.

86 Παράδειγμα y + 2xy = e x x2 y(0) = 1. p(x) = 2x, f(x) = e x x2, r(x) = e p(x) dx = e x 2. e x2 y + 2xe x2 y = e x x2 e x2, d [ e x 2 y ] = e dx x. Ολοκληρώνουμε e x2 y = e x + C, y = e x x2 + Ce x2. Από τις αρχικές συνθήκες 1 = y(0) = 1 + C C = 2. y = e x x2 2e x2.

87 Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού Μπορούμε να γράψουμε το f(x) dx + C ως εξής x x 0 f(t) dt + C.

88 Ορισμένα Ολοκληρώματα y + p(x)y = f(x), y(x 0 ) = y 0.

89 Ορισμένα Ολοκληρώματα y + p(x)y = f(x), y(x 0 ) = y 0. ( y(x) = e x ) x0 p(s) ds x e t x0 p(s) ds f(t) dt + y 0. x 0 Μπορούμε να υλοποιήσουμε τον παραπάνω τύπο στον υπολογιστή για να πάρουμε την τιμή της λύσης σε όποιο σημείο επιθυμούμε.

90 Παράδειγμα Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει;

91 Παράδειγμα Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει; x(t) : αλάτι στη δεξαμενή την στιγμή t x (ρυθμός εισαγωγής συγκέντρωση εισαγωγής) t (ρυθμός εξαγωγής συγκέντρωση εξαγωγής) t.

92 Παράδειγμα Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει; x(t) : αλάτι στη δεξαμενή την στιγμή t x dx dt = (ρυθμός εισαγωγής συγκέντρωση εισαγωγής) t (ρυθμός εξαγωγής συγκέντρωση εξαγωγής) t. (ρυθμός εισαγωγής συγκέντρωση εισαγωγής) (ρυθμός εξαγωγής συγκέντρωση εξαγωγής).

93 Παράδειγμα Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει; x(t) : αλάτι στη δεξαμενή την στιγμή t x dx dt = dx dt (ρυθμός εισαγωγής συγκέντρωση εισαγωγής) t (ρυθμός εξαγωγής συγκέντρωση εξαγωγής) t. (ρυθμός εισαγωγής συγκέντρωση εισαγωγής) (ρυθμός εξαγωγής συγκέντρωση εξαγωγής). ( = (5 0.1) 3 x t ) dx dt t x = 0.5.

94 Παράδειγμα (συνέχεια) dx dt t x = 0.5.

95 ( r(t) = exp Παράδειγμα (συνέχεια) dx dt t x = 0.5. ) ( ) t dt = exp 2 ln(60 + 2t) = (60 + 2t) 3/2.

96 ( r(t) = exp Παράδειγμα (συνέχεια) dx dt t x = 0.5. ) ( ) t dt = exp 2 ln(60 + 2t) (60 3/2 dx + 2t) dt + (60 + 2t)3/ t x = 0.5(60 + 2t)3/2, d [ dt (60 + 2t) 3/2 x ] = 0.5(60 + 2t) 3/2, (60 + 2t) 3/2 x = 0.5(60 + 2t) 3/2 dt + C, = (60 + 2t) 3/2.

97 ( r(t) = exp Παράδειγμα (συνέχεια) dx dt t x = 0.5. ) ( ) t dt = exp 2 ln(60 + 2t) (60 3/2 dx + 2t) dt + (60 + 2t)3/ t x = 0.5(60 + 2t)3/2, d [ dt (60 + 2t) 3/2 x ] = 0.5(60 + 2t) 3/2, (60 + 2t) 3/2 x = 0.5(60 + 2t) 3/2 dt + C, = (60 + 2t) 3/2. x = (60 + 2t) 3/2 (60 + 2t) 3/2 2 dt + C(60 + 2t) 3/2, x = (60 + 2t) 3/ (60 + 2t)5/2 + C(60 + 2t) 3/2

98 ( r(t) = exp Παράδειγμα (συνέχεια) dx dt t x = 0.5. ) ( ) t dt = exp 2 ln(60 + 2t) (60 3/2 dx + 2t) dt + (60 + 2t)3/ t x = 0.5(60 + 2t)3/2, d [ dt (60 + 2t) 3/2 x ] = 0.5(60 + 2t) 3/2, (60 + 2t) 3/2 x = 0.5(60 + 2t) 3/2 dt + C, = (60 + 2t) 3/2. x = (60 + 2t) 3/2 (60 + 2t) 3/2 2 dt + C(60 + 2t) 3/2, x = (60 + 2t) 3/ (60 + 2t)5/2 + C(60 + 2t) 3/2

99 Παράδειγμα (συνέχεια) Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει; x(t) = t 10 + C(60 + 2t) 3/2.

100 Παράδειγμα (συνέχεια) Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει; x(t) = t 10 + C(60 + 2t) 3/2. 10 = x(0) = 6 + C(60) 3/2 C = 4(60 3/2 )

101 Παράδειγμα (συνέχεια) Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει; x(t) = t 10 + C(60 + 2t) 3/2. 10 = x(0) = 6 + C(60) 3/2 C = 4(60 3/2 ) εξαμενή γεμάτη όταν t = 100, δηλ. όταν t = 20 x(20) (100) 3/

102 Παράδειγμα y = (x y + 1) 2.

103 Παράδειγμα y = (x y + 1) 2. v = x y + 1 v = 1 y, y = 1 v.

104 Παράδειγμα y = (x y + 1) 2. v = x y + 1 v = 1 y, y = 1 v. 1 v = v 2 v = 1 v v 2 dv = dx 1 2 ln v + 1 v 1 = x+c,

105 Παράδειγμα y = (x y + 1) 2. v = x y + 1 v = 1 y, y = 1 v. 1 v = v 2 v = 1 v v 2 dv = dx 1 2 ln v + 1 v 1 = x+c, v + 1 v 1 = e2x+2c v + 1 v 1 = De2x

106 Παράδειγμα y = (x y + 1) 2. v = x y + 1 v = 1 y, y = 1 v. 1 v = v 2 v = 1 v v 2 dv = dx 1 2 ln v + 1 v 1 = x+c, v + 1 v 1 = e2x+2c v + 1 v 1 = De2x x y+2 x y = De 2x και y = x, και y = x + 2.

107 Παράδειγμα y = (x y + 1) 2. v = x y + 1 v = 1 y, y = 1 v. 1 v = v 2 v = 1 v v 2 dv = dx 1 2 ln v + 1 v 1 = x+c, v + 1 v 1 = e2x+2c v + 1 v 1 = De2x x y+2 x y = De 2x και y = x, και y = x + 2. x y + 2 = (x y)de 2x y = Dxe2x x 2 De 2x 1.

108 Μαντεψιές Όταν δεις δοκίμασε yy y 2 y 2 y y 3 (cos y)y sin y (sin y)y cos y y e y e y

109 Εξισώσεις Bernoulli Μαντεψιά: v = y 1 n y + p(x)y = q(x)y n.

110 Παράδειγμα xy + y(x + 1) + xy 5 = 0, y(1) = 1. Αντικατάσταση v = y 1 5 = y 4, v = 4y 5 y y 5 4 v = y.

111 Παράδειγμα xy + y(x + 1) + xy 5 = 0, y(1) = 1. Αντικατάσταση v = y 1 5 = y 4, v = 4y 5 y y 5 4 v = y. xy + y(x + 1) + xy 5 = 0, xy 5 4 v + y(x + 1) + xy 5 = 0, x 4 v + y 4 (x + 1) + x = 0, x 4 v + v(x + 1) + x = 0, v 4(x + 1) v = 4. x

112 Παράδειγμα (συνέχεια) v 4(x + 1) v = 4. x

113 Παράδειγμα (συνέχεια) 4(x v + 1) x v = 4. ( ) 4(x + 1) r(x) = exp dx = e x 4x 4 ln(x) = e 4x x 4 = e 4x x 4.

114 Παράδειγμα (συνέχεια) 4(x v + 1) x v = 4. ( ) 4(x + 1) r(x) = exp dx = e x 4x 4 ln(x) = e 4x x 4 = e 4x x 4. [ d e 4x ] dx x 4 v = 4 e 4x x 4, e 4x x x 4 v = 4 e 4s 1 s 4 ds + 1, v = e 4x x (4 4 x 1 e 4s s 4 ds + 1 ).

115 Παράδειγμα (συνέχεια) 4(x v + 1) x v = 4. ( ) 4(x + 1) r(x) = exp dx = e x 4x 4 ln(x) = e 4x x 4 = e 4x x 4. [ d e 4x ] dx x 4 v = 4 e 4x x 4, e 4x x x 4 v = 4 e 4s 1 s 4 ds + 1, v = e 4x x (4 4 x 1 e 4s s 4 ds + 1 ). x y 4 = e 4x x (4 4 e 4s 1 s 4 ds + 1 e y x = x ( 4 x e 4s ds + 1 ) 1/4. ),

116 Ομογενείς εξισώσεις Μετασχηματισμός v = y x y = F ( y). x y = v + xv.

117 Ομογενείς εξισώσεις Μετασχηματισμός v = y x y = F ( y). x y = v + xv. v+xv = F(v) xv = F(v) v Εμμεση λύση 1 dv = ln x + C. F(v) v v F(v) v = 1 x.

118 Παράδειγμα x 2 y = y 2 + xy, y(1) = 1.

119 Παράδειγμα x 2 y = y 2 + xy, y(1) = 1. y = (y/x) 2 + y/x. Μετασχηματισμός v = y/x

120 Παράδειγμα x 2 y = y 2 + xy, y(1) = 1. y = (y/x) 2 + y/x. Μετασχηματισμός v = y/x xv = v 2 + v v = v 2,

121 Παράδειγμα x 2 y = y 2 + xy, y(1) = 1. y = (y/x) 2 + y/x. Μετασχηματισμός v = y/x xv = v 2 + v v = v 2, 1 dv = ln x + C, v2 1 v = ln x + C, v = 1 ln x + C.

122 Παράδειγμα (συνέχεια) 1 y/x = ln x + C, x y = ln x + C.

123 Παράδειγμα (συνέχεια) 1 = y(1) = 1 y/x = ln x + C, x y = ln x + C. 1 ln 1 + C = 1 C.

124 Παράδειγμα (συνέχεια) 1 = y(1) = 1 y/x = ln x + C, x y = ln x + C. y = 1 ln 1 + C = 1 C. x ln x 1.

125 Παράδειγμα (συνέχεια) 1 y/x = ln x + C, x y = ln x + C.

126 Παράδειγμα (συνέχεια) 1 = y(1) = 1 y/x = ln x + C, x y = ln x + C. 1 ln 1 + C = 1 C.

127 Παράδειγμα (συνέχεια) 1 = y(1) = 1 y/x = ln x + C, x y = ln x + C. y = 1 ln 1 + C = 1 C. x ln x 1.

128 Αυτόνομες Εξισώσεις dx dt = f(x).

129 Αυτόνομες Εξισώσεις dx dt = f(x). Μοντέλα Το πρόβλημα του καφέ dx dt = k(x A). Πληθυσμιακό μοντέλο (βακτηρίδια) dp dt = kp.

130 Αυτόνομες Εξισώσεις dx dt = f(x). Μοντέλα Το πρόβλημα του καφέ dx dt = k(x A). Πληθυσμιακό μοντέλο (βακτηρίδια) dp dt = kp. Ορισμοί Τα σημεία του x άξονα στα οποία έχουμε f(x) = 0 τα λέμε κρίσιμα σημεία. Αποτελούν λύσεις των αυτόνομων εξισώσεων και τις λέμε λύσεις ισορροπίας.

131 Παραδείγματα Σχήμα : Πληθυσμιακό μοντέλο.

132 Παραδείγματα Σχήμα : Πεδία κατευθύνσεων και γραφική παράσταση μερικών λύσεων των εξισώσεων x = 0.3(x 5) και x = 0.1x(5 x). -5

133 Ευσταθείς Λύσεις Μιά λύση (ή ένα κρίσιμο σημείο) λέγετε ευσταθής όταν μικρές διαταραχές στο x δεν οδηγούν σε ουσιαστικά διαφορετικές λύσεις για αρκετά μεγάλο t.

134 Παράδειγμα - Λογιστική Εξίσωση dx = kx(m x), dt Πληθυσμιακό μοντέλο εάν γνωρίσουμε ότι ο πληθυσμός ενός είδους δεν μπορεί να υπερβεί τον αριθμό M.

135 Παράδειγμα - Λογιστική Εξίσωση dx = kx(m x), dt Πληθυσμιακό μοντέλο εάν γνωρίσουμε ότι ο πληθυσμός ενός είδους δεν μπορεί να υπερβεί τον αριθμό M. lim t x(t) = 5 αν x(0) >0, 0 αν x(0) = 0, Υ ή αν x(0) <0.

136 ιάγραμμα Φάσης Συμπεριφορά της λύσης σε βάθος χρόνου y = 5 y = 0

137 ιάγραμμα Φάσης Συμπεριφορά της λύσης σε βάθος χρόνου y = 5 y = 0 Γενικά ασταθής ευσταθής

138 Λογιστική Εξίσωση με Κατανάλωση Μια ομάδα ανθρώπων βασίζει την επιβιωσή της εκτρέφοντας μια αγέλη ζώων

139 Λογιστική Εξίσωση με Κατανάλωση Μια ομάδα ανθρώπων βασίζει την επιβιωσή της εκτρέφοντας μια αγέλη ζώων Εστω Τα καταναλώνει με ρυθμό h ζώα τον χρόνο. x πλήθος ζώων (χιλιάδες) t χρόνος (έτη). M ελάχιστος πληθυσμός κάτω από τον οποίο δεν επιτρέπεται η κατανάλωση ζώων. k >0 σταθερά αναπαραγωγής των ζώων.

140 Λογιστική Εξίσωση με Κατανάλωση Μια ομάδα ανθρώπων βασίζει την επιβιωσή της εκτρέφοντας μια αγέλη ζώων Εστω Τα καταναλώνει με ρυθμό h ζώα τον χρόνο. x πλήθος ζώων (χιλιάδες) t χρόνος (έτη). M ελάχιστος πληθυσμός κάτω από τον οποίο δεν επιτρέπεται η κατανάλωση ζώων. k >0 σταθερά αναπαραγωγής των ζώων. dx dt = kx(m x) h.

141 Λογιστική Εξίσωση με Κατανάλωση Μια ομάδα ανθρώπων βασίζει την επιβιωσή της εκτρέφοντας μια αγέλη ζώων Εστω Τα καταναλώνει με ρυθμό h ζώα τον χρόνο. x πλήθος ζώων (χιλιάδες) t χρόνος (έτη). M ελάχιστος πληθυσμός κάτω από τον οποίο δεν επιτρέπεται η κατανάλωση ζώων. k >0 σταθερά αναπαραγωγής των ζώων. dx dt = kx(m x) h. Κρίσιμα σημεία: A, B = km± (km) 2 4hk 2k.

142 Λογιστική Εξίσωση με Κατανάλωση (h 1, 1.6) Σχήμα : Πεδία κατευθύνσεων και μερικές λύσεις των εξισώσεων x = 0.1x(8 x) 1 και x = 0.1x(8 x) 1.6.

143 Λογιστική Εξίσωση με Κατανάλωση (h 2) Σχήμα : Πεδία κατευθύνσεων και μερικές λύσεις των εξισώσεων x = 0.1x(8 x) 2.

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1

Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) ύο καράβια αναχωρούν από το ίδιο λιµάνι. Το ένα κινείται µε 5 Km/h προς τα νότια και το άλλο µε Km/h προς τα ανατολικά. Να εκϕράσετε

Διαβάστε περισσότερα

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες 20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 16 Απριλίου, 2006 Ώρα: 10:30-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίµιο αποτελείται από τρία (3) µέρη µε σύνολο δώδεκα (12) θέµατα. 2) Επιτρέπεται

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να - 1 - Ο παράξενος πραματευτής Ανθολόγιο Ε & Στ τάξης: 277-279 Οικονομικές έννοιες Ανταλλαγή Αντιπραγματισμός Εμπόριο Ερωτήσεις Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ 996 Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν για τους φοιτητές του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου και καλύπτουν πλήρως το µάθηµα των

Διαβάστε περισσότερα

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα!

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα! Βελτίωση Εικόνας Σήμερα! Υποβάθμιση εικόνας Τεχνικές Βελτίωσης Restoration (Αποκατάσταση) Τροποποίηση ιστογράμματος Ολίσθηση ιστογράμματος Διάταση (stretching) Ισοστάθμιση του ιστογράμματος (histogram

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Τεχνική φλοπ Φορά Σκοπός της φοράς είναι να αναπτυχθεί μια ιδανική για τον κάθε αθλητή ταχύτητα και ταυτόχρονα να προετοιμάσει το πάτημα. Το είδος της φοράς του Fosbury ήτα, μια

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο του καλού κηπουρού

Το εγχειρίδιο του καλού κηπουρού Το εγχειρίδιο του καλού κηπουρού 1. Φροντίδα των φυτών Αφού αποφάσισες να φυτέψεις πρέπει να είσαι έτοιμος να ασχοληθείς με τα φυτά σου και να παρακολουθείς τις ανάγκες τους. Θα πρέπει να ποτίζεις όποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΤΡΟΧΟΥ MAXWELL

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΤΡΟΧΟΥ MAXWELL ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ &ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΤΡΟΧΟΥ MAXWELL ΒΑΡΗ 01-013 Μπίλιας Κων/νος Φυσικός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

ΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 1 ΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Οι τάξεις της Β και Γ Λυκείου είναι χωρισμένες σε τρείς Κατευθύνσεις Θεωρητική, Θετική, Τεχνολογική Οι Σχολές είναι ταξινομημένες σε πέντε επιστημονικά πεδία 1 ο ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate Κατηγορίες οφέλους και κόστους που προέρχονται από τις δημόσιες δαπάνες Για την αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα 11.1. Εισαγωγή Τα τηλεπικοινωνιακά δίκτυα είναι διαιρεμένα σε μια ιεραρχία τριών επιπέδων: Στα δίκτυα πρόσβασης, τα μητροπολιτικά δίκτυα και τα δίκτυα κορμού. Τα δίκτυα κορμού

Διαβάστε περισσότερα

ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí. www.mathematica.gr. Ìáèçìáôéêü Äåëôßï. Ôåý ïò 13ï. Ïêôþâñéïò 2014 ISSN: 2241-7133

ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí. www.mathematica.gr. Ìáèçìáôéêü Äåëôßï. Ôåý ïò 13ï. Ïêôþâñéïò 2014 ISSN: 2241-7133 ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí Ìáèçìáôéêü Äåëôßï Ôåý ïò 3ï Ïêôþâñéïò 04 www.mathematica.gr ISSN: 4-733 Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης (β) Η απόλυτη υπεραξία Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Στο κεφάλαιο για την αγορά και την πώληση της εργατικής δύναμης (ελληνική έκδοση: τόμος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας χρήστης μιας PDH μισθωμένης γραμμής χρησιμοποιεί μια συσκευή πρόσβασης που υλοποιεί τη στοίβα ΑΤΜ/Ε1. α) Ποιος είναι ο μέγιστος υποστηριζόμενος ρυθμός (σε

Διαβάστε περισσότερα

3. Με βάση τη βραχυχρόνια καμπύλη Phillips η σχέση πληθωρισμού και ανεργίας είναι:

3. Με βάση τη βραχυχρόνια καμπύλη Phillips η σχέση πληθωρισμού και ανεργίας είναι: 1. Σε περίπτωση που το κράτος φορολογεί τους πολίτες το διαθέσιμο εισόδημα του κάθε ατόμου είναι: α) το σύνολο του εισοδήματός του β) το σύνολο του εισοδήματός του, αφού προηγουμένως αφαιρέσουμε τους φόρους

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ Δρ Φασουλάς Χαράλαμπος Συντονιστής, Υπεύθυνος του Τμήματος Γεωποικιλότητας του Μουσείο Φυσικής Ιστορίας Κρήτης

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ Δρ Φασουλάς Χαράλαμπος Συντονιστής, Υπεύθυνος του Τμήματος Γεωποικιλότητας του Μουσείο Φυσικής Ιστορίας Κρήτης 2 ιά ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ Δρ Φασουλάς Χαράλαμπος Συντονιστής, Υπεύθυνος του Τμήματος Γεωποικιλότητας του Μουσείο Φυσικής Ιστορίας Κρήτης ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ Δρ Αμπαρτζάκη Μαρία, Παιδαγωγικό

Διαβάστε περισσότερα

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι:

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: 1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: α) Ανεξάρτητα από το ύψος της τιμής των οσπρίων, ο καταναλωτής θα δαπανά πάντα ένα σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

Σόμπα pellet Αέρος Mod.8 Mod.10 Mod.12

Σόμπα pellet Αέρος Mod.8 Mod.10 Mod.12 Σόμπα pellet Αέρος Mod.8 Mod.10 Mod.12 Οδηγίες εγκατάστασης (Μετάφραση από το πρωτότυπο) Το φυλλάδιο οδηγιών αποτελεί αναπόσπαστο τμήμα του προϊόντος. Διαβάστε προσεκτικά τις οδηγίες πριν από την εγκατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΑΡΧΕΙΑ Ο πιο γνωστός τρόπος οργάνωσης δεδομένων με τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών είναι σε αρχεία. Ένα αρχείο μπορούμε να το χαρακτηρίσουμε σαν ένα σύνολο που αποτελείται από οργανωμένα

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σημειώσεις για το μάθημα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Παπάνα Αγγελική http://users.auth.gr/~agpapana/statlogistics E mail: papanagel@yahoo.gr, agpapana@gen.auth.gr Α.Τ.Ε.Ι. Θεσσαλονίκης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

12/1/2006 Διακριτά Μαθηματικά. Ορισμός. Υπό γράφημα Τ γραφήματος Γ καλείται συνδετικό (ή επικαλύπτον)

12/1/2006 Διακριτά Μαθηματικά. Ορισμός. Υπό γράφημα Τ γραφήματος Γ καλείται συνδετικό (ή επικαλύπτον) ΣΥΝΔΕΤΙΚΑ ΔΕΝΤΡΑ Ορισμός. Υπό γράφημα Τ γραφήματος Γ καλείται συνδετικό (ή επικαλύπτον) δέντρο (spanning tree) του Γ εάν αυτό είναι δέντρο και περιέχει όλες τις κορυφές του Γ. Παράδειγμα. Στο παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΕΟΔΟΜΙΑ ΙΙ, 6 ου, ακαδ. έτος 2009 10

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΕΟΔΟΜΙΑ ΙΙ, 6 ου, ακαδ. έτος 2009 10 ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΕΟΔΟΜΙΑ ΙΙ, 6 ου, ακαδ. έτος 2009 10 ΠΟΔΗΛΑΤΟΔΡΟΜΟΙ Αναστασία Τουφεγγοπούλου Υπ. Διδάκτορας Το ποδήλατο, αντιπροσωπεύοντας πλέον σημαντικά ποσοστά των αστικών μετακινήσεων και δεδομένων των

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Παραμετρικά Μοντέλα Επιβίωσης που προκύπτουν από μεταβολές

Διαβάστε περισσότερα

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται 1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται από: α) Τη ροπή για αποταμίευση β) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος και τη ροπή για αποταμίευση γ) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

Επιλέγοντας τις κατάλληλες γλάστρες

Επιλέγοντας τις κατάλληλες γλάστρες Επιλέγοντας τις κατάλληλες γλάστρες Το τι γλάστρες θα χρησιμοποιήσετε εξαρτάται κυρίως από το πορτοφόλι σας αλλά και το προσωπικό σας γούστο. Οι επιλογές σας είναι αμέτρητες, τόσο σε ποιότητες όσο και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ Επιμέλεια Άγγελου Αργυρακόπουλου

Διαβάστε περισσότερα

Θεραπευτικές ενδείξεις λουτρών Πόζαρ. Λέγοντας ΙΑΜΑΤΙΚΗ ΛΟΥΤΡΟΘΕΡΑΠΕΙΑ εννοούμε την εφαρμογή των. ιαματικών νερών στη θεραπευτική του ανθρώπου.

Θεραπευτικές ενδείξεις λουτρών Πόζαρ. Λέγοντας ΙΑΜΑΤΙΚΗ ΛΟΥΤΡΟΘΕΡΑΠΕΙΑ εννοούμε την εφαρμογή των. ιαματικών νερών στη θεραπευτική του ανθρώπου. Θεραπευτικές ενδείξεις λουτρών Πόζαρ Λέγοντας ΙΑΜΑΤΙΚΗ ΛΟΥΤΡΟΘΕΡΑΠΕΙΑ εννοούμε την εφαρμογή των ιαματικών νερών στη θεραπευτική του ανθρώπου. Το είδος αυτό της θεραπείας αποτελεί μέρος της φυσικοθεραπείας,

Διαβάστε περισσότερα

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Κλασικός Αθλητισμός Δρόμοι : Μεσαίες και μεγάλες αποστάσεις Ταχύτητες Σκυταλοδρομίες Δρόμοι με εμπόδια Δρόμοι Μεσαίων και Μεγάλων αποστάσεων Στην αρχαία εποχή ο δρόμος που είχε

Διαβάστε περισσότερα

Ποια έντομα είναι εχθροί των φυτών και πώς θα τα αντιμετωπίσετε

Ποια έντομα είναι εχθροί των φυτών και πώς θα τα αντιμετωπίσετε Ποια έντομα είναι εχθροί των φυτών και πώς θα τα αντιμετωπίσετε Δυστυχώς είναι μια πραγματικότητα της ζωής ότι αν διατηρείτε στο σπίτι σας φυτά, υπάρχει πάντα η πιθανότητα να υποστούν ζημίες από βλαβερούς

Διαβάστε περισσότερα

Καλλιεργήστε φρέσκα μυρωδικά στο μπαλκόνι

Καλλιεργήστε φρέσκα μυρωδικά στο μπαλκόνι Καλλιεργήστε φρέσκα μυρωδικά στο μπαλκόνι Ο άνηθος χρειάζεται βαθιά γλάστρα. Ο μαϊντανός θέλει συχνό πότισμα. Το κάρδαμο σε 40 μέρες από τη σπορά θα το απολαύσετε στη σαλάτα σας. Όλα αυτά συμβαίνουν στο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΤΜΤΡΗΣΗ ΘΜΛΙΚΩΝ ΣΥΝ ΥΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: η μορφολογία. Όλες οι συνδυαστικές μορφές που θα εξετάσουμε είναι διαφόρων ειδών συναρτήσεις. Οι «παράμετροι» που παραλλάσονται είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

Θεµελίωση Γενετικών Αλγορίθµων

Θεµελίωση Γενετικών Αλγορίθµων Θεµελίωση Γενετικών Αλγορίθµων Σηµερινό Μάθηµα Προβληµατισµοί Σχήµατα Τάξη Οριστικό Μήκος ΘεώρηµατωνΣχηµάτων Υπόθεση δοµικών Στοιχείων Πλάνη 1 Προβληµατισµοί Τι προβλέψεις µπορούν να γίνουν για τη χρονική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ Eugene T. GENDLIN University of Chicago, U.S.A Αυτό το άρθρο είναι μια αναθεωρημένη έκδοση της πλήρους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Π. ΨΩΝΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ

Διαβάστε περισσότερα

Projects για το εργαστήριο. των Βάσεων Δεδομένων

Projects για το εργαστήριο. των Βάσεων Δεδομένων Projects για το εργαστήριο των Βάσεων Δεδομένων Θεσσαλονίκη, Νοέμβριος Δεκέμβριος 2013 1. Το πολυκατάστημα Το πολυκατάστημα έχει ένα σύνολο από εργαζομένους. Κάθε εργαζόμενος χαρακτηρίζεται από έναν κωδικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και

Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Περίληψη Κεφαλαίου: Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και αφετέρου η σωστή εφαρμογή του Επιχειρηματικού

Διαβάστε περισσότερα

Πειραματικές δοκιμές πρότυπης περισταλτικής αντλίας δύο σταδίων έγχυσης για τον προσδιορισμό της απόδοσής της

Πειραματικές δοκιμές πρότυπης περισταλτικής αντλίας δύο σταδίων έγχυσης για τον προσδιορισμό της απόδοσής της ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΒΙΟΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Διπλωματική εργασία Πειραματικές δοκιμές πρότυπης περισταλτικής αντλίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ HMEΡΟΜΗΝΙΑ ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗΣ: 4 ΑΠΡΙΛΙΟΥ: ΩΡΑ 10μ.μ Τα παρακάτω θέματα δημοσιεύονται αποκλειστικά και μόνο για όσους υποψήφιους του φροντιστηρίου μας δεν κατάφεραν να προσέλθουν στα επαναληπτικά μαθήματα που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

Φεβρουάριος. Φυτά εσωτερικού χώρου

Φεβρουάριος. Φυτά εσωτερικού χώρου Φεβρουάριος Ακόμα κάνει κρύο, οι μέρες είναι ακόμη μικρές και βροχερές, ο καιρός είναι καταθλιπτικός, όμως ο Φλεβάρης δεν παύει να είναι (τυπικά τουλάχιστον) ο τελευταίος χειμωνιάτικος μήνας. Συν τοις

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 7. Πρόλογος

Περιεχόμενα 7. Πρόλογος Περιεχόμενα 7 Πρόλογος Πολλά προβλήματα των Φυσικών και γενικότερα των Τεχνικών Επιστημών είναι προβλήματα συμμεταβολής διαφόρων μεγεθών. Η μελέτη αυτών των προβλημάτων αποβλέπει στον προσδιορισμό των

Διαβάστε περισσότερα

Συγκέντρωση Κίνησης. 6.1. Εισαγωγή. 6.2. Στατική Συγκέντρωση Κίνησης

Συγκέντρωση Κίνησης. 6.1. Εισαγωγή. 6.2. Στατική Συγκέντρωση Κίνησης Συγκέντρωση Κίνησης 6.1. Εισαγωγή Σε ένα οπτικό WDM δίκτυο, οι κόμβοι κορμού επικοινωνούν μεταξύ τους και ανταλλάσουν πληροφορία μέσω των lightpaths. Ένα WDM δίκτυο κορμού είναι υπεύθυνο για την εγκατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming)

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 1 Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Μηχανικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής ΜΜΚ 452: Μηχανικές Ιδιότητες και Κατεργασία Πολυμερών Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 2 Εισαγωγή: Η

Διαβάστε περισσότερα

Το Ερευνητικό Μετρό. Το ερευνητικόό µμετρόό του ΕΙΕ ταξιδεύύει στις «γραµμµμέές» σχεδιασµμούύ και ανακάάλυψης φαρµμάάκων.

Το Ερευνητικό Μετρό. Το ερευνητικόό µμετρόό του ΕΙΕ ταξιδεύύει στις «γραµμµμέές» σχεδιασµμούύ και ανακάάλυψης φαρµμάάκων. Το Ερευνητικό Μετρό Το ερευνητικόό µμετρόό του ΕΙΕ ταξιδεύύει στις «γραµμµμέές» σχεδιασµμούύ και ανακάάλυψης φαρµμάάκων. Αθήήνα 2015 Πού συναντά*ε τους *ικροοργανισ*ούς; Παντού!!! Οι 2ιο γνωστές «κρυψώνες»

Διαβάστε περισσότερα

Δίκαιο και Οικονομικά: Οι Εξετάσεις

Δίκαιο και Οικονομικά: Οι Εξετάσεις Δίκαιο και Οικονομικά: Οι Εξετάσεις Το κείμενο αυτό ανανεώνεται με τη δική σας παρέμβαση, τις ερωτήσεις, τα σχόλια και τις παρατηρήσεις σας. Θα συνεχίζει να ανανεώνεται μέχρι την ημέρα των εξετάσεων. Αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΠΗΛΑΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ από τον Κοσμά Γαζέα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΠΗΛΑΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ από τον Κοσμά Γαζέα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΠΗΛΑΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ από τον Κοσμά Γαζέα Πραγματοποιήθηκε με επιτυχία το προγραμματισμένο Εργαστήρι Χαρτογράφησης της Ελληνικής Σπηλαιολογικής Εταιρείας από τις 26 Νοεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Διδαγμένο Κείμενο ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Επομένως οι αρετές δεν υπάρχουν μέσα μας εκ φύσεως ούτε αντίθετα προς τη φύση μας, αλλά έχουμε από τη φύση την ιδιότητα να τις δεχτούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΜΕΣ DISNEYLAND RESORT PARIS

ΤΙΜΕΣ DISNEYLAND RESORT PARIS ΤΙΜΕΣ DISNEYLAND RESORT PARIS 09 Νοεµβρίου 2009 01 Απριλίου 2010 DISNEYLAND 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 CHD ΠΑΚΕΤΟ 2N/3Μ 350 419 558 973 392 475 641 1140 491 607 840 1538 117 ΠΑΚΕΤΟ 3N/4Μ 464 562 760 1353

Διαβάστε περισσότερα

Μεταγλωττιστές ΙΙ. nkavv@uop.gr. Καταμερισμός καταχωρητών. Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr Μεταγλωττιστές ΙΙ

Μεταγλωττιστές ΙΙ. nkavv@uop.gr. Καταμερισμός καταχωρητών. Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr Μεταγλωττιστές ΙΙ Μεταγλωττιστές ΙΙ Καταμερισμός καταχωρητών Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr 01 Δεκεμβρίου 2010 Γενικά για τον καταμερισμό καταχωρητών Καταμερισμός καταχωρητών (register allocation): βελτιστοποίηση μεταγλωττιστή

Διαβάστε περισσότερα

2. Δίκτυα Πολυπλεξίας Μήκους Κύματος (WDM Δίκτυα)

2. Δίκτυα Πολυπλεξίας Μήκους Κύματος (WDM Δίκτυα) 2. Δίκτυα Πολυπλεξίας Μήκους Κύματος (WDM Δίκτυα) Η πολυπλεξία μήκους κύματος (WDM πολυπλεξία) παρέχει συμβατότητα μεταξύ του εύρους ζώνης του οπτικού μέσου οπτική ίνα και του εύρους ζώνης του τερματικού

Διαβάστε περισσότερα

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΚΕΙΜΕΝΟ. Πέµπτη 19 Νοεµβρίου 1942. Αγαπητή Κίττυ,

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΚΕΙΜΕΝΟ. Πέµπτη 19 Νοεµβρίου 1942. Αγαπητή Κίττυ, ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΝΕΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΚΦΡΑΣΗ - ΕΚΘΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Αγαπητή

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα θαη εθαξκνγέο. Επηθακπύιην Οινθιήξωκα. Έζηω όηη ε βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,y,z) είλαη νξηζκέλε πάλω ζε κία

Διαβάστε περισσότερα

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται 1. Ο πληθωρισμός ορίζεται ως εξής: (Δ= μεταβολή, Ρ= επίπεδο τιμών, Ρ e = προσδοκώμενο επίπεδο τιμών): α) Δ Ρ e /Ρ β) Ρ e / Ρ γ) Δ Ρ/Ρ δ) (Ρ Ρ e )/Ρ 2. Όταν οι εξαγωγές αυξάνονται: α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα

Διαβάστε περισσότερα

Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20

Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20 A Πανεπιστήμιο Αιγαίου Σχολή Επιστημών της ιοίκησης Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και ιοίκησης Εργαστήριο Στατιστικής Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20 26Επιμέλεια:

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim. Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του mathematica.gr. Μετατροπές

Διαβάστε περισσότερα

Τερράριο. Ένας μικρός γυάλινος κήπος

Τερράριο. Ένας μικρός γυάλινος κήπος Τερράριο Ένας μικρός γυάλινος κήπος Το τερράριο (terrarium) είναι ένας κήπος μέσα σε γυαλί. Η λέξη προήλθε από το λατινικό terra (γη) και την κατάληξη arium από παράφραση της λέξης aquarium (ενυδρείο)

Διαβάστε περισσότερα

I. Η ΦΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΠΥΡΚΑΓΙΑΣ

I. Η ΦΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΠΥΡΚΑΓΙΑΣ I. Η ΦΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΠΥΡΚΑΓΙΑΣ Στο Κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται μόνο βασικά στοιχεία σχετιζόμενα με την πυρκαγιά στο εσωτερικό ενός κτιρίου (ενδο οικιακή), κύρια πηγή των οποίων αποτέλεσε η έκδοση Εργ. Ω.Σ./

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΑΡΔΕΥΣΗ ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΑΣ ΒΑΜΒΑΚΟΣ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΓΕΩΡΓΙΑΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΑΡΔΕΥΣΗ ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΑΣ ΒΑΜΒΑΚΟΣ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΓΕΩΡΓΙΑΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΑΡΔΕΥΣΗ ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΑΣ ΒΑΜΒΑΚΟΣ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΓΕΩΡΓΙΑΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ Α ΚΥΚΛΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ 7 11 ΦΕΒ. 2011 ΛΕΥΤΕΡΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΑΜΑΡΑΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗΣ ΕΔΑΦΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Σπηλαιολογική Κατασκήνωση Βρωμονέρα Κύμης 26 Ιουλίου 6 Αυγούστου 2009

Σπηλαιολογική Κατασκήνωση Βρωμονέρα Κύμης 26 Ιουλίου 6 Αυγούστου 2009 Σπηλαιολογική Κατασκήνωση Βρωμονέρα Κύμης 26 Ιουλίου 6 Αυγούστου 2009 Βασίλης Τριζώνης μέλος ΣΠΕΛΕΟ Περιεχόμενα: Σπήλαια που εξερευνήθηκαν...3 1. Κολέθρα Μετοχίου...3 2. Καταβόθρα στην Λάκκα του Τσεκούρα...6

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γεώργιος Κ. Πατρίκιος, Δικηγόρος, ΜΔΕ Δημοσίου Δικαίου, Υπ. Διδάκτωρ Νομικής Σχολής Πανεπιστημίου Αθηνών. ΘΕΜΑΤΙΚΗ : Η αρμοδιότητα των διοικητικών

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή: Οπτικά Δίκτυα

1. Εισαγωγή: Οπτικά Δίκτυα 1. Εισαγωγή: Οπτικά Δίκτυα Τα οπτικά δίκτυα υψηλής χωρητικότητας έχουν γνωρίσει αξιοσημείωτη ανάπτυξη τις δύο τελευταίες δεκαετίας, καθώς παρέχουν εύρος ζώνης το οποίο δεν είναι δυνατόν να προσεγγιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΙΝΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΙΝΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΙΝΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Διδάσκων: Μαρία Καρ. Μάρκου, Δικηγόρος 5β η Ενότητα Συμμετοχή Φυσικός αυτουργός είναι εκείνος που διαπράττει ο ίδιος το αδίκημα, αυτοπροσώπως, με τα χέρια του, με δικά του μέσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΧΕΙΡΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΧΕΙΡΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΡΟΧΕΙΡΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ (για το µάθηµα Μ104 Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ) Ι.. ΠΛΑΤΗΣ Πανεπιστήµιο Κρήτης Τµήµα Μαθηµατικών 2011 Πρόλογος Οι πρόχειρες αυτές σηµειώσεις διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

«Διεργασίες μεταφοράς και διασποράς της αέριας ρύπανσης

«Διεργασίες μεταφοράς και διασποράς της αέριας ρύπανσης ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ «Διεργασίες μεταφοράς και διασποράς της αέριας ρύπανσης 1 Ατμοσφαιρικός κύκλος της ρύπανσης Ως γνωστόν, οι ανθρωπογενείς εκπομπές ρύπων είναι υπεύθυνες για τα υψηλά επίπεδα ρύπανσης

Διαβάστε περισσότερα

Βιωματική Απόκριση. (Άρθρο του Eugene Gendlin) ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ. Βιωμένο νόημα

Βιωματική Απόκριση. (Άρθρο του Eugene Gendlin) ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ. Βιωμένο νόημα Βιωματική Απόκριση (Άρθρο του Eugene Gendlin) ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ Βιωμένο νόημα Τα προσωπικά προβλήματα και οι δυσκολίες της ζωής δεν είναι ποτέ μόνο γνωσιακού επιπέδου, δεν είναι ποτέ μόνο θέμα του

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.95. Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας.

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.95. Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας. Σηµειωσεις : Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων v..95 Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 1 Περιεχόµενα Προλογος 1 Οριο και Συνεχεια 1 1.1 Θεωρια....................................

Διαβάστε περισσότερα