Κβαντομηχανική Ι 6o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1

Transcript

1 Χειμερινό εξάμηνο 6-7 Κβαντομηχανική Ι 6o Σετ Ασκήσεων Άσκηση a) Τρόπος α : Λύνουμε όλους (ή έστω μερικούς από) τους συνδυασμούς [l i, r j ]: [l x, x] = [l y, y] = [l z, x] = i ħ y Κ.ο.κ., και συμπεραίνουμε ότι [l i, r j ] = ε ijk i ħ r k Τρόπος β Η στροφορμή δίνεται από το l = r p l i = r j p k = ε ijk r j p k Όπου ε ijk είναι το τριδιάστατο σύμβολο Levi-Civita, το οποίο δίνεται από την έκφραση:, αν i, j, k άρτιες μεταθέσεις του (,,3) ε ijk = {, αν i, j, k περιττές μεταθέσεις του (,,3), αν δυο ή τρεις δείκτες είναι ίσοι

2 Χειμερινό εξάμηνο 6-7 Δηλαδή, η στροφορμή θα έχει συνιστώσα x, αν η ακτίνα της κίνησης είναι στην κατεύθυνση του y, και η ορμή στην κατεύθυνση του z, και ούτω καθ εξής. Με αυτό, μπορούμε να υπολογίσουμε τους μεταθέτες: a) [l i, r j ] = [ε ij k r j p k, r j ] = ε ij k [r j p k, r j ] = ε ij k ([r j, r j ]p k + r j [p k, r j ]) = ε ij k i ħ r j δ kj = ε ij j i ħ r j = ε ikj i ħ r k = ε ijk i ħ r k

3 Χειμερινό εξάμηνο 6-7 Άσκηση a) Y = ( 5 3π )/ sin θ e iφ L = ħ e iφ ( d d i Cotθ dθ dφ ) L Y = ( 5 3π ) ħ e iφ [ d dθ (sin θ e iφ ) i Cotθ d dφ (sin θ e iφ )] = ( 5 3π ) ħ e iφ [e iφ d dθ (sin θ) i cot θ sin θ d dφ (eiφ )] = ( 5 3π ) ħ e iφ [e iφ (sin θ cos θ) i cot θ sin θ (i e iφ )] = ( 5 3π ) ħ e iφ [e iφ (sin θ cos θ) cos θ + sin θ sin θ ( e iφ )]

4 Χειμερινό εξάμηνο 6-7 L Y = ( 5 3π ) ħ 4 e iφ sin θ cos θ Για να βρούμε την κανονικοποιημένη σφαιρική αρμονική Y χρησιμοποιούμε τη σχέση κανονικοποίησης: L Y = ħ l(l + ) m(m ) Y L Y = ħ Y ħ Y = ( 5 3π ) ħ 4 e iφ sin θ cos θ Y = ( 5 3π ) e iφ sin θ cos θ Y = ( 5 8π ) e iφ sin θ cos θ Για την εύρεση της Y, χτυπάμε το L ξανά στην τελική μορφή της Y που βρήκαμε.

5 Χειμερινό εξάμηνο 6-7 L Y = ( 5 8π ) ħ e iφ [ d dθ (eiφ sin θ cos θ) i Cotθ d dφ (eiφ sin θ cos θ)] L Y = ( 5 8π ) ħ e iφ [e iφ (cos θ sin θ) i e iφ cotθ sin θ cos θ] L Y = ( 5 8π ) ħ [(cos θ sin θ) + cos θ] L Y = ( 5 8π ) ħ ( cos θ sin θ) L Y = ( 5 8π ) ħ ( cos θ + cos θ) L Y = ( 5 8π ) ħ (3 cos θ ) L Y = ( 5 8π ) ħ (3 cos θ )

6 Χειμερινό εξάμηνο 6-7 Και κανονικοποιούμε: L Y = ħ l(l + ) m(m ) Y L Y = ħ 6 Y Y = ( 5 48π ) (3 cos θ ) Y = ( 5 6π ) (3 cos θ ) Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε και τις υπόλοιπες σφαιρικές αρμονικές, μέχρι m=-, και για l=3,m=3,,-3. c)η ανάπτυξη των συναρτήσεων στη βάση των σφαιρικών αρμονικών μπορεί να γίνει με δυο τρόπους. Ο πρώτος είναι να βρούμε άμεσα ένα συνδυασμό σφαιρικών αρμονικών που να δίνει τη συνάρτηση προς ανάπτυξη, χρησιμοποιώντας αρχικά τα πολυώνυμα Legendre που «περιέχουν» τη συνάρτηση. Aυτή είναι μια απλή μέθοδος που λειτουργεί με απλές συναρτήσεις, όπως το Cos θ, αλλά δε λειτουργεί για πιο σύνθετες συναρτήσεις, όπως θα δούμε στο υποερώτημα e. Θα βρούμε την ανάπτυξη της συναρτησης Cos θ με αυτό τον τρόπο, και στα επόμενα υποερωτήματα θα χρησιμοποιήσουμε μια πιο γενική μέθοδο.

7 Χειμερινό εξάμηνο 6-7 Κοιτώντας τον πίνακα των γενικευμένων πολυωνύμων Legendre (πίνακας 4. α, Griffiths) βλέπουμε ότι το P είναι ένα σχεδόν «καθαρό» Cos θ, οπότε περιμένουμε ότι η σφαιρική αρμονική Υ θα έχει μεγάλη συνεισφορά στο ανάπτυγμα. P (Cosθ) = (3Cos θ ) Cos θ = 3 P (Cosθ) + 3 Όπου μας περισσεύει ένας παράγοντας /3, ο οποίος όμως είναι ίσος με P (Cosθ)/3. Έτσι, Cos θ = 3 P (Cosθ) + 3 P (Cosθ) Και έχουμε αναπτύξει τη ζητούμενη συνάρτηση στη βάση των πολυωνύμων Legendre. Η μεταφορά στη βάση των σφαιρικών αρμονικών είναι απλή: Υ l m = C l m P l m (Cosθ)e imφ Με C l m = l+ 4π (l m)! (l+m)! Και Υ = π P (Cosθ) Υ = 5 π P (Cosθ)

8 Και καταλήγουμε σε μια σχέση συναρτήσει των σφαιρικών αρμονικών: Κβαντομηχανική Ι Χειμερινό εξάμηνο 6-7 Cos θ = 4 3 π 5 Υ + π 3 Υ Cos θ = π 3 ( 5 Υ + Υ ) d) Η συνάρτηση Cos 3 θ μπορεί επίσης να αναπτυχθεί με τον τρόπο που αναλύσαμε στο προηγούμενο υποερώτημα. Θα χρησιμοποιήσουμε όμως μια γενικότερη μέθοδο, η οποία θα φανεί πολύ χρήσιμη στο επόμενο υποερώτημα. Επειδή οι σφαιρικές αρμονικές αποτελούν μια πλήρη βάση, καθε συνάρτηση μπορεί να γραφτεί σαν ανάπτυγμα σφαιρικών αρμονικών. Η σχέση αυτή γράφεται ως: m=l f(θ, φ) = a lm Υ m l (θ, φ) l= m= l Από όπου προκύπτει για τις σταθερές a lm a lm = f(θ, φ) Υ l m (θ, φ) dω Όπου dω η στερεά γωνία. Στην περίπτωση όπου δεν υπάρχει εξάρτηση από το φ στη συναρτηση, οι μεταβλητές a lm θα δίνονται από το

9 Χειμερινό εξάμηνο 6-7 a lm = C lm e imφ dφ f(θ)p l (Cosθ) sin θ dθ π Όπου χρησιμοποιήσαμε την ανάλυση των σφαιρικών αρμονικών σε πολυώνυμα Legendre, την οποία είδαμε στο προηγούμενο υποερώτημα, και την ανάλυση της στερεάς γωνίας π dω = sin θ dθ dφ = π π dφ sin θ dθ Έτσι, έχουμε δυο ολοκληρώματα. Το ένα έχει απλή λύση π e imφ dφ = π δ m, Από όπου φαίνεται ότι οι σφαιρικές αρμονικές που θα συνεισφέρουν θα είναι αυτές με m=, ενώ το άλλο ολοκλήρωμα είναι στο διάστημα έως π, το οποίο σημαίνει ότι αν η έκφραση f(θ) Sinθ P l (Cosθ) είναι αντισυμμετρική εκεί, το ολοκλήρωμα θα είναι. Σε αυτή την περίπτωση, f(θ) = Cos 3 θ, άρα δε θα έχουμε συνεισφορά από συμμετρικά πολυώνυμα Legendre, δηλαδή για l άρτιο:

10 Χειμερινό εξάμηνο Figure Μπλε: η έκφραση μέσα στο ολοκλήρωμα για πολυώνυμο P. Σε αυτό το διάστημα, η έκφραση είναι αντισυμμετρική, άρα το ολοκλήρωμα είναι ίσο με. Κίτρινό: η αντίστοιχη (συμμετρική) έκφραση για πολυώνυμο P Συνεισφορά λοιπόν θα έχουν μόνο περιττά πολυώνυμα Legendre, και μάλιστα όχι όλα. Τα πολυώνυμα βαθμού 5 και πάνω δίνουν ολοκλήρωμα στη γωνία θ ίσο με. Κάνοντας, λοιπόν, τα ολοκληρώματα για l=,3, βρίσκουμε: π a = sin θ cos 3 θ Y dθ π = π C sin θ cos 4 θ dθ = 3π/5 π a 3 = π C 3 sin θ cos 3 θ ( 3cos θ + 5 cos3 θ) dθ a 3 = 4 π 5 7 Και τελικά Cos 3 θ = π 5 ( 3Υ + 7 Υ 3 )

11 Χειμερινό εξάμηνο 6-7 Υπενθυμίζω ότι, επειδή οι συναρτήσεις που μας ζητάται να αναπτύξουμε είναι απλές και περιέχονται ως έχουν σε σφαιρικές αρμονικές, θα μπορούσαμε να κάνουμε την ίδια διαδικασία με το προηγούμενο υποερώτημα, και να βγάλουμε την ίδια απάντηση. Αυτό όμως δε συμβαίνει στο επόμενο υποερώτημα e) H συνάρτηση cos θ sin θ που μας ζητάται εδώ, εμπεριέχεται ως έχει μόνο σε σφαιρικές αρμονικές με m. Έτσι, αν κάνουμε τη διαδικασία του υποερωτήματος c, θα εκφράσουμε αυτή τη συνάρτηση ως προς σφαιρικές αρμονικές χωρίς συμμετρία γύρω απο το φ, ενώ η ζητούμενη συνάρτηση δεν εξαρτάται από το φ. Θα ήταν, λοιπόν, φυσικά λάθος. Θα πρέπει ξανά να βρούμε απευθείας, λύνοντας τα αντίστοιχα ολοκληρώματα, τους συντελεστες a lm. H ζητούμενη συνάρτηση είναι αντισυμμετρική, άρα το ολοκλήρωμα για στερεά γωνία έως π θα είναι αντισυμμετρικό αν l=,3,5 Άρα θα έχουμε συνεισφορά μόνο από άρτιους όρους. Από ποιους; Από πολλούς Figure Μπλε: έκφραση του ολοκληρώματος για στερεά γωνία από έως π, για πολυώνυμο Legendre P. H έκφραση είναι αντισυμμετρική, άρα το ολοκλήρωμα. Κίτρινο: αντίστοιχη έκφραση για P. Το ολοκλήρωμα δεν είναι.

12 Χειμερινό εξάμηνο 6-7 π a = sin θ cos θ sin θ Y dθ π = sin θ cos θ Y dθ =.696 Και a =.389, a 4 =.77, a 6 =.63, Δηλαδή, η συνεισφορά των ανώτερων σφαιρικών αρμονικών (πάντα για m=) συνεχώς μικραίνει, αλλά υπάρχει. Δηλαδή, όσο προσθέτουμε σφαιρικές αρμονικές, τείνουμε προς το να δημιουργούμε τη συνάρτηση cos θ sinθ: Figure 3 H συνάρτηση cos θsinθ (κόκκινο) και προσεγγίσεις της με 4, και 3 όρους σφαιρικών αρμονικών με άρτια l

13 Χειμερινό εξάμηνο 6-7 Άσκηση 3 m T m είναι ένας πίνακας 5x5, γιατί για j =, m =, ±, ± j z m j z m Για m=m =,, j z, =, m, = (φυσικό σύστημα μονάδων, ħ = ), j z, =, j z, =, j z, =, j z, = Όμοια,, j z, = Και γενικά,, m j z, m = mδ mm Ο πίνακας που προκύπτει είναι ο: jm j z jm = ( )

14 Χειμερινό εξάμηνο 6-7 j +, j +, =, j +, = ( + ) ( + ) = ħ Και γενικά j, m j + j, m = j(j + ) m (m + )δ m m Άρα ο πίνακας είναι, m j +, m = 6 6 ( ) j j, m j j, m = j(j + ) m (m )δ m+ m Γιατί τα μη μηδενικά στοιχεία θα είναι αυτά για τα οποία το m θα είναι κατά ένα μεγαλύτερο του m.

15 Χειμερινό εξάμηνο 6-7 Άρα ο πίνακας είναι jm j jm = 6 6 ( ) j x jm j x jm = jm j + + j jm = ( jm j + jm + jm j jm ) [ ( ) ( )] = ( ) j y

16 Χειμερινό εξάμηνο 6-7 jm j y jm = jm j + j i jm = i = i ( jm j + jm jm j jm ) ( ) j, m j j, m = j, m j(j + ) j, m = = j(j + )δ mm ( 6) b) j x j y j y j x = 4i ( [( ) ( ) ( )] )

17 4 6 = i 6 [( 6 4 ) ( = 4i ( ) = i ( ) ij z = i ( ) Κβαντομηχανική Ι Χειμερινό εξάμηνο )] Άρα j x j y j y j x = ij z ii)j + j = ( )

18 Κβαντομηχανική Ι Χειμερινό εξάμηνο 6-7 j j + = j + j j j + = ( 4) 4 ( 4) = = j z ( )