Theoretical Competition: 12 July 2011 Question 1 Page 1 of 2

Transcript

1 Theoetical Competition: July Question Page of. Ένα πρόβλημα τριών σωμάτων και το LISA μ M R O m EIKONA Ομοεπίπεδες τροχιές των τριών σωμάτων. Δύο μάζες Μ και m κινούνται σε κυκλικές τροχιές με ακτίνες R και, αντίστοιχα, γύρω από το κέντρο μάζας τους. Βρείτε τη γωνιακή ταχύτητα ω της ευθείας που ενώνει την Μ και την m σε όρους των R,,M,m και της σταθεράς της παγκόσμιας έλξης G. [.5 μόρια]. Ένα τρίτο σώμα αμελητέας μάζας μ τοποθετείται σε ομοεπίπεδη κυκλική τροχιά γύρω από το ίδιο κέντρο μάζας έτσι ώστε η μάζα μ να παραμένει συνεχώς σταθερή σε σχέση και με την Μ και με την m όπως φαίνεται στην εικόνα. Βρείτε τις τιμές των ακόλουθων παραμέτρων σε σχέση με τα R και. [3.5 μόρια].. απόσταση μεταξύ μ και M... απόσταση μεταξύ μ και m...3 απόσταση μεταξύ μ και του κέντρου μάζας.3 Θεωρείστε την περίπτωση όπου Μ=m. Αν η μ υποστεί μια μικρή ακτινική μετατόπιση (κατά μήκος του άξονα Ομ), ποια είναι η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης της μ γύρω από τη θέση της πριν τη μετατόπιση σε σχέση με την ω ; Υποθέστε ότι η στροφορμή της μ διατηρείται. [3. μόρια] H LISA (Lase Inefeomety Space Antenna) είναι ένα σύνολο από τρία ίδια διαστημικά σκάφη με σκοπό την ανίχνευση χαμηλής συχνότητας βαρυτικών κυμάτων. Καθένα από τα σκάφη είναι

2 Theoetical Competition: July Question Page of τοποθετημένο στις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου όπως φαίνεται στην εικόνα και στην εικόνα 3. Οι πλευρές είναι γύρω στα 5. εκατομμύρια χιλιόμετρα. To σύστημα LISA είναι σε τροχιά γύρω από τον Ήλιο όπως η Γή ακολουθώντας την ώστε οι επιβατικές ακτίνες τους να σχηματίζουν συνεχώς γωνία. Το σύστημα και η Γη περιφέρονται γύρω από τον Ήλιο ακολουθώντας ανεξάρτητες ελαφρώς επικλινείς τροχιές γύρω από τον Ήλιο. Τελικά, τα τρία σκάφη εκτελούν μια πλήρη περιστροφή γύρω από το κέντρο μάζας τους σε κάθε έτος. Αυτά συνεχώς εκπέμπουν και λαμβάνουν σήματα με lase μεταξύ τους. Γενικά, ανιχνεύουν τα βαρυτικά κύματα μετρώντας μικρές αλλαγές στο μήκος των πλευρών του τριγώνου. Μια κρούση αντικειμένων με μεγάλη μάζα, όπως οι μαύρες τρύπες σε γαλαξίες είναι ένα παράδειγμα πηγής βαρυτικών κυμάτων. Eath ΕΙΚΟΝΑ : Η τροχιά του LISA. Τα τρία σκάφη περιστρέφονται γύρω από το κέντρο μάζας με περίοδο έτος. Ακολουθεί τη Γή κατα γωνία. (Pictue fom D.A. Shaddock, An Oveview of the Lase Intefeomete Space Antenna, Publications of the Astonomical Society of Austalia, 9, 6, pp.8-3.). Eath C B ΕΙΚΟΝΑ 3 Τα τρία σκάφη σε μεγένθυνση ακολουθώντας τη Γη. A, B and C είναι τα σκάφη στις κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου..4 Στο επίπεδο που περιέχει τα τρία σκάφη, ποια είναι η σχετική ταχύτητα του ενός σκάφους όπως παρατηρείται από το άλλο; [.8 μόρια A

3 Theoetical Competition: Solution Question Page of 7 I. Solution M R O m. Let O be thei cente of mass. Hence MR m () m M R GMm R GMm R () G M m Fom Eq. (), o using educed mass, 3 R Hence, G( M m) GM Gm 3 ( R ) ( R ) R( R ). (3)

4 Theoetical Competition: Solution Question Page of 7. Since is infinitesimal, it has no gavitational influences on the motion of neithe M no m. Fo to emain stationay elative to both M and m we must have: GM Gm G M m cos cos R GM Substituting 3 (4) GM Gm sin sin (5) fom Eq. (5) into Eq. (4), and using the identity sin cos cos sin sin( ), we get 3 sin( ) M m m R sin (6) The distances and, the angles and ae elated by two Sine Rule equations Substitute (7) into (6) sin sin R sin sin R (7) R M m 4 R m 3 () m R Since,Eq. () gives M m R R () Gm By substituting fom Eq. (5) into Eq. (4), and epeat a simila pocedue, we get R () Altenatively, sin 8 R and sin sin R m sin M sin sin Combining with Eq. (5) gives

5 Theoetical Competition: Solution Question Page 3 of 7 Hence, it is an equilateal tiangle with 6 6 The distance is calculated fom the Cosine Rule. ( R ) ( R )cos6 R R Altenative Solution to. (3) (4) Since is infinitesimal, it has no gavitational influences on the motion of neithe M no m.fo to emain stationay elative to both M and m we must have: Note that GM Gm G M m cos cos R 3 (4) GM Gm sin sin (5) sin 8 R sin (see figue) sin sin sin R m (6) sin M Equations (5) and (6): (7) sin m (8) sin M (9) The equation (4) then becomes: M m M cos mcos R Equations (8) and (): sin Note that fom figue, 3 M m sin 3 M R sin () () () sin 3

6 Theoetical Competition: Solution Question Page 4 of 7 Equations () and (): sin Also fom figue, M m M R sin 3 R cos cos (3) (4) sin sin (5) cos 8 8 (see figue) cos, 6, 6 Equations (3) and (4): Hence M and m fom an equilateal tiangle of sides R Distance to M is R Distance to m is R R 3 R R R R Distance to O is.3 The enegy of the mass is given by E GM Gm d (( ) )..(5) dt Since the petubation is in the adial diection, angula momentum is conseved ( and m M ), 4 GM d E ( ) dt Since the enegy is conseved, de dt 4 de GM d d d d (7) 3 dt dt dt dt dt..(6) d d d d.(8) dt d dt dt 4 de GM d d d d.(9) 3 3 dt dt dt dt dt R O 6 o R 4

7 Theoetical Competition: Solution Question Page 5 of 7 d Since, we have dt 4 GM d o 3 3 dt d dt GM The petubation fom and gives. () and. Then 4 d d GM ( ) 3 3 dt dt 3 3 () n Using binomial expansion ( ) n, d GM () dt Using, d GM (3) dt GM Since, 3 d 3 3 dt d 4 3 dt d 3 4 dt Fom the figue, cos3o 3, 4.(4).(5).(6) d (7) dt 4 4 5

8 Theoetical Competition: Solution Question Page 6 of 7 7 Angula fequency of oscillation is. Altenative solution: M m gives R and G( M M ) GM. The unpetubed adial distance of is ( R R) 4R 3 3 3R, so the petubed adial distance can be epesented by 3R whee 3R as shown in the following figue. Using Newton s nd GM d law, ( 3 R ) ( 3 R ) ( 3 R ). 3/ { R ( 3 R ) } dt () The consevation of angula momentum gives ( 3 R) ( 3 R ). () Manipulate () and () algebaically, applying and binomial appoximation. GM d 3R { R ( 3 R ) } dt ( / 3 R) ( 3 R ) 3/ 3 GM d 3R {4R 3 R} dt ( / 3 R) ( 3 R ) 3/ 3 GM ( / 3 R) d 3R 4 R ( 3 / R) dt ( / 3 R) 3R 3 3/ d 3 3R 3R 4R 3R dt 3R d 7 dt 4.4 Relative velocity Let v = speed of each spacecaft as it moves in cicle aound the cente O. The elative velocities ae denoted by the subscipts A, B and C. Fo example, v BA is the velocity of B as obseved by A. The peiod of cicula motion is yea T s. (8) The angula fequency T L The speed v 575 m/s (9) cos3 6

9 Theoetical Competition: Solution Question Page 7 of 7 The speed is much less than the speed light Galilean tansfomation. In Catesian coodinates, the velocities of B and C (as obseved by O) ae v CB v ĵ î C L v CA O L L B v BC v v BA v AB v A v AC Fo B, v vcos6ˆi vsin 6ˆj B Fo C, v vcos6ˆi vsin 6ˆj C Hence v ˆ ˆ BC v sin 6j 3vj The speed of B as obseved by C is 3v 996 m/s (3) Notice that the elative velocities fo each pai ae anti-paallel. Altenative solution fo.4 One can obtain v BC by consideing the otation about the axis at one of the spacecafts. v BC L s 6 (5 km) 996 m/s 7

10 Theoetical Competition: July Question Page of. Ηλεκτρισμένη Σαπουνόφουσκα Θεωρήστε μια σφαιρική σαπουνόφουσκα ακτίνας R. Ο αέρας στο εσωτερικό της σαπουνόφουσκας έχει πυκνότητα ρ i και θερμοκρασία T i. Η σαπουνόφουσκα περιβάλλεται με αέρα πυκνότητας ρ a, ατμοσφαιρικής πίεσης P a και θερμοκρασίας Ta. Η μεμβράνη της σαπουνόφουσκας έχει επιφανειακή τάση γ, πυκνότητα ρ s και πάχος t. Η μάζα και η επιφανειακή τάση της σαπουνόφουσκας δεν αλλάζουν με τη θερμοκρασία. Υποθέστε ότι R >> t. Η αύξηση της ενέργειας, de, που χρειάζεται για να αυξήσει το εμβαδόν της επιφάνειας της μεμβράνης της σαπουνόφουσκας κατά da, δίνεται από τη σχέση de = γ da, όπου γ είναι η επιφανειακή τάση της μεμβράνης.. Να προσδιορίσετε το λόγο ρ ι Ti ρ T a a, σε συνάρτηση των μεγεθών γ, Pa και R. [. point]. ρ Ti Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του λόγου ι, χρησιμοποιώντας ρ T γ =,5 Nm., R =, cm και a a 5 P =,3x N. m. [.3point] a.3 Η σαπουνόφουσκα αρχικά σχηματίστηκε από θερμότερο αέρα στο εσωτερικό της. Να υπολογίσετε την ελάχιστη αριθμητική τιμή της θερμοκρασίας T i, έτσι ώστε η σαπουνόφουσκα να επιπλέει περιβαλλόμενη από ακίνητη μάζα αέρα. Χρησιμοποιήστε 3 3 Ta = 3 K, ρ s = kg. m, ρ a =, 3 kg. m, t = nm και g = 9,8 m. s. [.7points] Μετά το σχηματισμό της η σαπουνόφουσκα θα αποκτήσει θερμική ισορροπία με το περιβάλλον της. Αυτή η σαπουνόφουσκα, περιβαλλόμενη από ακίνητη μάζα αέρα, φυσιολογικά πέφτει κατακόρυφα προς το έδαφος..4 Να προσδιορίσετε την ελάχιστη ταχύτητα u μιας αέριας μάζας η οποία κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω και εμποδίζει την πτώση της σαπουνόφουσκας όταν αυτή βρίσκεται σε θερμική ισορροπία με το περιβάλλον της. Να δώσετε την απάντησή σας σε συνάρτηση των μεγεθών ρ s, R, g, t και του συντελεστού ιξώδους του αέρα, n. Υποθέστε ότι η ταχύτητα της αέριας μάζας είναι σχετικά μικρή ώστε να ικανοποιείται ο νόμος του Stokes. Αγνοήστε τη μεταβολή της ακτίνας της σαπουνόφουσκας λόγω της πτώσης της θερμοκρασίας της. Η αντίσταση του αέρα από το νόμο του Stokes είναι F = 6π nr u. [.7points].5 Να υπολογίσετε την τιμή της ταχύτητας u χρησιμοποιώντας 5 n,8x kg. m =. s. [.3point]

11 Theoetical Competition: July Question Page of Οι όροι που περιέχουν την επιφανειακή τάση γ στις απαντήσεις των πιο πάνω ερωτημάτων, δεν επηρεάζουν τόσο πολύ την ακρίβεια των αποτελεσμάτων. Μπορείτε λοιπόν να παραλείψετε τους όρους που περιέχουν την επιφανειακή τάση γ σε όλα τα πιο κάτω ερωτήματα Αν αυτή η σφαιρική σαπουνόφουσκα ηλεκτριστεί ομοιόμορφα με συνολικό φορτίο q, να προσδιορίσετε την εξίσωση που δίνει τη νέα ακτίνα R σε συνάρτηση των μεγεθών R, P a, και της διηλεκτρικής σταθεράς του κενού ε. [.5points] q q Υποθέστε ότι το συνολικό φορτίο δεν είναι υπερβολικά μεγάλο (i.e. << P 4 a ) και η εr ακτίνα της σαπουνόφουσκας αυξάνεται πολύ λίγο. Υπολογίστε τη μεταβολή ΔR όπου n R = R +ΔR. Δίνεται ότι ( + x) + nx, όπου x <<. [.5 point] Να προσδιορίσετε την εξίσωση που δίνει την τιμή του φορτίου q σε συνάρτηση των μεγεθών t, ρ a, ρ s, ε, R, P a έτσι ώστε η σαπουνόφουσκα να παραμένει ακίνητη, περιβαλλόμενη από ακίνητη μάζα αέρα. Να υπολογίσετε, επίσης, την τιμή του φορτίου q. Δίνεται η διηλεκτρική σταθερά του κενού ε = 8,85x faad. m. [. point]

12 Theoetical Competition: Solution Question Page of 7. SOLUTION.. The bubble is suounded by ai. P, T, i i i R P, T, a a a O s, t Cutting the sphee in half and using the pojected aea to balance the foces give P R P R R i a 4 Pi Pa R () The pessue and density ae elated by the ideal gas law: RT PV nrt o P, whee M = the mola mass of ai. () M Apply the ideal gas law to the ai inside and outside the bubble, we get M iti Pi R M ata Pa, R iti P i 4 ata Pa R Pa (3)

13 Theoetical Competition: Solution Question Page of 7.. Using of the atio is.5 Nm,. cm 5 R and.3 Nm, the numeical value P a iti T 4. (4) R P a a a (The effect of the suface tension is vey small.).3. Let W = total weight of the bubble, F = buoyant foce due to ai aound the bubble W mass of film+mass of ai R st Rig at a 4 4 R stg R g 3 Ti RPa g (5) The buoyant foce due to ai aound the bubble is 4 3 B R ag (6) 3 If the bubble floats in still ai, B W at a 4 R ag 4 R stg R g 3 3 Ti RPa (7) Reaanging to give R at a 4 Ti Ra 3st RP a 37. K (8) The ai inside must be about 7. C wame.

14 Theoetical Competition: Solution Question Page 3 of 7.4. Ignoe the adius change Radius emains R. cm (The adius actually deceases by.8% when the tempeatue deceases fom 37. K to 3 K. The film itself also becomes slightly thicke.) The dag foce fom Stokes Law is F 6Ru (9) If the bubble floats in the updaught, F W B Ru 4 R st R i g R ag 3 3 () When the bubble is in themal equilibium Ti T Ru 4 R st R a g R ag 3 RP a 3 a Reaanging to give u 4 4 R ag 4 R 3 s tg RP a () The numeical value is.36 m/s u. The nd tem is about 3 odes of magnitude lowe than the st tem. Fom now on, ignoe the suface tension tems..6. When the bubble is electified, the electical epulsion will cause the bubble to expand in size and theeby aise the buoyant foce. The foce/aea is (e-field on the suface chage/aea) Thee ae two altenatives to calculate the electic field ON the suface of the soap film. 3

15 Theoetical Competition: Solution Question Page 4 of 7 A. Fom Gauss s Law Conside a vey thin pill box on the soap suface. P, T i a i O R Pa, Ta, a q E E = electic field on the film suface that esults fom all othe pats of the soap film, excluding the suface inside the pill box itself. E q = total field just outside the pill box = 4 R = E + electic field fom suface chage = E E q Using Gauss s Law on the pill box, we have as a esult of symmety. E pependicula to the film q Theefoe, E Eq E 4 R () B. Fom diect integation R A R o O chageq q q Rsin. R 4 R 4

16 Theoetical Competition: Solution Question Page 5 of 7 To find the magnitude of the electical epulsion we must fist find the electic field intensity E at a point on (not outside) the suface itself. Field at A in the diection OA is E E A A q 4 R R sin q 4 R sin cos 4 R sin q 4R 8 q 4R cos d (3) The epulsive foce pe unit aea of the suface of bubble is q 4 R q E 4R (4) Let P i and i be the new pessue and density when the bubble is electified. This electic epulsive foce will augment the gaseous pessue P i. Pis i elated to the oiginal P i though the gas law P i R Pi R R P P R P i i a R R (5) In the last equation, the suface tension tem has been ignoed. Fom balancing the foces on the half-sphee pojected aea, we have (again ignoing the suface tension tem) P i q 4 R 3 R q 4 R a R P P a P a (6) 5

17 Theoetical Competition: Solution Question Page 6 of 7 Reaanging to get 4 4 R R q R R 3 R Pa (7) R Note that (7) yields R when q, as expected..7. Appoximate solution fo R when q 4 3 RP a Wite R R R, R R Theefoe, R R R R, 4 R R R R 4 (8) Eq. (7) gives: q R (9) 3 96RP a q R R R R Pa 96 R Pa q ().8. The bubble will float if B W R ag 4 R stg R ig 3 3 () R Initially, Ti Ta i a fo and R R R 6

18 Theoetical Competition: Solution Question Page 7 of R 4 3 R ag 4 R stg R ag 3 R 3 4 3R ag 4 R stg 3 4 3q ag 4 R stg 3 96 RP a q 96 R t Pa 3 s a () q 9 56 C 56 nc Note that if the suface tension tem is etained, we get R q 96RPa 4 3 RP a 4 R 7

19 Theoetical Competition: July Question 3 Page of 3. Εορτασμός της Εκατονταετηρίδας του Ατομικού Προτύπου του Ruthefod: Η σκέδαση ενός ιόντος από ένα ουδέτερο άτομο Ion, m,q b v Ion, m,q φ v min FIGURE Atom, M Ένα ιόν μάζας m, φορτίου Q, κινείται με αρχική μη σχετικιστική ταχύτητα u από πολύ μακρινή απόσταση προς το μέρος ενός ουδέτερου ατόμου μάζας M, όπου M >> m, και με συντελεστή ηλεκτρικής πόλωσης α (electical polaisability). Ο παράγοντας κρούσης είναι b, όπως φαίνεται στο Σχήμα. Το άτομο πολώνεται στιγμιαία από το ηλεκτρικό πεδίο ( u E ) του ιόντος που πλησιάζει το άτομο. Η u u ηλεκτρική ροπή του διπόλου του ατόμου που δημιουργείται είναι p = α E. Αγνοείστε, σε αυτό το πρόβλημα, οποιαδήποτε ακτινοβολούσα ενέργεια. 3. Να υπολογίσετε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου ( u E ) σε απόσταση από ένα ιδανικό u u ηλεκτρικό δίπολο p, ως προς το σημείο αναφοράς Ο, κατά μήκος της διεύθυνσης p, στο Σχήμα. [. points] +q p = aq,? a - q p a O a FIGURE

20 Theoetical Competition: July Question 3 Page of 3. Να εξάγετε τη σχέση που δίνει τη δύναμη u f που ασκείται στο ιόν λόγω του πολωμένου ατόμου. Να δείξετε ότι αυτή η δύναμη είναι ελκτική ανεξαρτήτως του προσήμου (είδους) του φορτίου του ιόντος. [. points] 3.3 Να προσδιορίσετε την ηλεκτρική δυναμική ενέργεια λόγω της αλληλεπίδρασης του ζεύγους ιόντος-ατόμου, σε συνάρτηση των φυσικών μεγεθών α, Q και. [.6 points] 3.4 Να προσδιορίσετε τη σχέση για το min, την ελάχιστη απόσταση που πλησιάζει το ιόν το άτομο, όπως στο Σχήμα. [.8 points] 3.5 Αν η παράμετρος κρούσης b είναι μικρότερη από μια κρίσιμη τιμή b, το ιόν θα διαγράψει μια ελικοειδή τροχιά γύρω από το άτομο. Σε μια τέτοια περίπτωση, το ιόν θα γίνει ηλεκτρικά ουδέτερο, και άρα το άτομο θα φορτιστεί ηλεκτρικά. Αυτή η διαδικασία είναι γνωστή ως αλληλεπίδραση «ανταλλαγής φορτίου». Να προσδιορίσετε το εμβαδόν της ενεργού διατομής, A = πb για αυτή την κρούση του ατόμου, στο σύστημα αναφοράς του ιόντος. [. points]

21 Theoetical Competition: Solution Question 3 Page of 3 QUESTION 3: SOLUTION. Using Coulomb s Law, we wite the electic field at a distance is given by q q Ep 4 ( a) 4 ( a) q Ep 4 a a.() Using binomial expansion fo small a, E p q a a 4 4qa qa = + =+ 4 p (). The electic field seen by the atom fom the ion is Q E ˆ ion.. (3) 4 The induced dipole moment is then simply Q p E ˆ ion.. (4) 4 Fom eq. () p E ˆ p 3 4 The electic field intensity The foce acting on the ion is E p at the position of an ion at that instant is, using eq. (4), Q Q E ˆ ˆ p Q f QE ˆ p.. (5) 8 5 The - sign implies that this foce is attactive and Q implies that the foce is attactive egadless of the sign of Q.

22 Theoetical Competition: Solution Question 3 Page of 3 3. The potential enegy of the ion-atom is given by U f. d. (6) Using this, U Q f. d 3 4 [Remak: Students might use the tem (7) p E which changes only the facto in font.] 4. At the position min we have, accoding to the Pinciple of Consevation of Angula Momentum, mvmax min mvb b vmax v.. (8) min And accoding to the Pinciple of Consevation of Enegy: Q mvmax mv 4.. (9) 3 Eqs.() & (3): 4 Q mv b b 4 min 3b min 4 min 4 6 min Q b b mv b The oots of eq. (4) ae: b 4 Q min 4 mvb.. ().. () [Note that the equation (4) implies that min cannot be zeo, unless b is itself zeo.] Since the expession has to be valid at Q, which gives b min We have to choose + sign to make min b Hence, b Q 4...() min 4 mvb

23 Theoetical Competition: Solution Question 3 Page 3 of 3 5. A spial tajectoy occus when (6) is imaginay (because thee is no minimum distance of appoach). is eal unde the condition: min Q 4mvb 4 4 Q b b 4mv.. (3) 4 Q Fo b b the ion will collide with the atom. 4mv Hence the atom, as seen by the ion, has a coss-sectional aea A, A Q 4mv b.. (4)

24 IPHO_4 EXP.DOC Expeimental Competition: 4 July Poblem Page of 5. Ηλεκτρικό μαύρο κουτί: Αισθητήρας μετατόπισης με βάση τη χωρητικότητα Για ένα πυκνωτή χωρητικότητας C ο οποίος είναι μέρος (εξάρτημα) ενός ταλαντωτή του οποίου η συχνότητα ταλάντωσης είναι f, η σχέση μεταξύ f και C είναι f = C a + C S Όπου α είναι μια σταθερά και C s χωρητικότητα διασποράς του κυκλώματός μας. Η συχνότητα f μπορεί να παρακολουθείται με τη βοήθεια ενός ψηφιακού μετρητή συχνότητας. Το ηλεκτρικό μαύρο κουτί που σας δίνεται σε αυτό το πείραμα είναι ένας πυκνωτής με παράλληλες πλάκες. Κάθε πλάκα αποτελείται από ένα αριθμό μικρών δοντιών του ίδιου γεωμετρικού σχήματος. Η τιμή του C μπορεί να μεταβάλλεται μετακινώντας οριζόντια την πάνω πλάκα σε σχέση με την κάτω πλάκα. Μεταξύ των δύο πλακών υπάρχει ένα φύλο από διηλεκτρικό υλικό. Υλικά και Όργανα: ταλαντωτής, ψηφιακό πολύμετρο για μέτρηση της συχνότητας του ταλαντωτή, σετ από πυκνωτές γνωστής χωρητικότητας, ένα ηλεκτρικό μαύρο κουτί και μια μπαταρία. Προσοχή: Ελέγξτε την τάση της μπαταρίας και ζητήστε καινούρια αν η τάση είναι μικρότερη από 9 V. Μη ξεχάσετε να ανοίξετε τον διακόπτη.

25 IPHO_4 EXP.DOC Expeimental Competition: 4 July Poblem Page of 5 Μπατα ρία Ταλαντωτής Ηλεκτρικοί ακροδέκτες προς τις πλάκες Ηλεκτρικό μαύρο κουτί: Πυκνωτής με παράλληλες πλάκες Κυλιόμενη επάνω πλάκα Διακόπτης Συχνότητα εξόδου Ακροδέκτες για πυκνωτές ΕΙΚΟΝΑ ΕΙΚΟΝΑ Πυκνωτές

26 IPHO_4 EXP.DOC Expeimental Competition: 4 July Poblem Page 3 of 5 Η θέση για τις μετρήσεις συχνότητες ΕΙΚΟΝΑ 3 Ψηφιακό πολύμετρο για τη μέτρηση της συχνότητας ΠΙΝΑΚΑΣ Ονομαστικές τιμές χωρητικότητας Κωδικός Τιμή χωρητικότητας (pf) 33J 34 ± ± 8J 84 ± 5 5 ±

27 Expeimental Competition: 4 July I Poblem Page 4 of 5 Μέρος. Βαθμονόμηση Να πάρετε μετρήσεις της συχνότητας f για τους πυκνωτές γνωστής χωρητικότητας. Σχεδιάστε κατάλληλη γραφική παράσταση για να υπολογίσετε τις τιμές των α και C s. Δεν απαιτείται ανάλυση σφαλμάτων. [3. points] Μέρος. Εύρεση της γεωμετρικής μορφής του πυκνωτή με τις παράλληλες πλάκες [6. points] Δίνονται οι τρείς πιθανές γεωμετρικές μορφές, Μορφή Ι, Μορφή II και Μορφή III όπως ακολούθως:

28 Expeimental Competition: 4 July I Poblem Page 5 of 5 Για κάθε γεωμετρικό σχήμα, να χαράξετε την αναμενόμενη γραφική παράσταση της χωρητικότητας C σε συνάρτηση της θέσης της πάνω πλάκας σε σχέση με την κάτω πλάκα. Να πάρετε επίσης μετρήσεις της συχνότητας f σε σχέση με τη θέση της πάνω πλάκας ως προς την κάτω πλάκα. Να χαράξετε γραφικές παραστάσεις και από αυτές να προσδιορίσετε το γεωμετρικό σχήμα των πλακών του πυκνωτή όπως και τις διαστάσεις (τιμές των μεγεθών b και w ). Η απόσταση ( d ) μεταξύ των δύο πλακών είναι, mm. Το φύλλο από διηλεκτρικό υλικό μεταξύ των δύο πλακών έχει διηλεκτρική σταθερά K =, 5. Η διηλεκτρική σταθερά του κενού είναι ε = 8,85x Fm.. Δεν απαιτείται ανάλυση σφαλμάτων. Μέρος 3. Ανάλυση ψηφιακής βαθμονόμησης [. point] Καθώς μεταβάλλεται η σχετική θέση των δύο παράλληλων πλακών του πυκνωτή, η χωρητικότητα μεταβάλλεται με μια περιοδικότητα. Αυτή η διάταξη μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν ψηφιακός μετρητής του μήκους. Όταν ο πυκνωτής παράλληλων πλακών σε αυτό το πείραμα χρησιμοποιείται ως ψηφιακός μετρητής, προσδιορίστε από τα πειραματικά δεδομένα του μέρους την ανάλυσή του, δηλαδή την μικρότερη απόσταση που μπορεί να μετρηθεί για την τιμή της συχνότητας f 5 KHz. Δεν απαιτείται εκτίμηση σφάλματος στην τελική απάντηση.

29 Expeimental Competition: 4 July Question Page of 7 Pat. Calibation Fom the elationship between f and C given, f CS C C C f S That is, theoetically, the gaph of f on the Y-axis vesus C on the X-axis should be linea of which the slope and the Y-intecept is and C S espectively. The table below shows the measued values of C (plotted on the X-axis,) f and, additionally, f, which is plotted on the Y-axis. C (pf) f (khz) /f (ms) /f (/khz) /f vs. C gaph y =.4x C (pf) Fom this gaph, the slope ( C S ) and the Y-intecept ( ) is equal to.4 s/nf and.5 ms espectively. Hence, = and C = Y S slope = = 74 nf/s.4 s / nf intecept slope =.5 ms.4 s / nf = 7.9 pf as equied.

30 Expeimental Competition: 4 July Question Page of 7 Pat II. Detemination of geometical shape of paallel-plates capacito PATTERN I: The expected gaph of C vesus the position C w w 3w 4w 5w Distance PATTERN II: The expected gaph of C vesus the position C w w 3w 4w 5w Distance PATTERN III: The expected gaph of C vesus the position C w w 3w 4w 5w Distance

31 Expeimental Competition: 4 July Question Page 3 of 7 By measuing f andc vesus x (the distance moved between the two plates,) the data and the gaphs ae shown below. x (mm) f (khz) C (pf) x (mm) f (khz) C (pf)

32 Expeimental Competition: 4 July Question Page 4 of 7. f (khz) f vs. x gaph x (mm) C (pf) C vs. x gaph x (mm)

33 Expeimental Competition: 4 July Question Page 5 of 7 Fom peiodicity of the gaph, peiod =. cm Simple possible configuation is: b.5 cm. cm The peaks of C values obtained fom the C vs. x gaph ae povided in the table below. These maximum C ae plotted (on the Y-axis) vs. nodes (on the X-axis.) node C_max C_max (pf) C_max vs. Node gaph y = 9.94x Node This gaph is linea of which the slope is the dopped off capacitance C 9.9 pf/section. Given that the distance between the plates d. mm, K.5, and C K A, d 3 3 A 5 m b mm m 5

34 Expeimental Competition: 4 July Question Page 6 of 7 Then, b mm K dielectic of which K.5. C d mm if medium between plates is the Pat III. Resolution of digital micomete Fom the given elationship between f and C, f C C, df f C C dc ( C C ) f C S S C f f And since C linealy depends on x, C mx C m x. Hence, whee x f, mf f is the smallest change of the fequency f which can be detected by the multimete, x is the opeated distance at f = 5 khz, and m is the gadient of the C vs. x gaph at x x. Fom the f vs. x gaph, at f = 5 khz, The gadient is then measued on the C vs. x gaph aound this ange. 6

35 Expeimental Competition: 4 July Question Page 7 of 7 5. C vs. x gaph. y = 7.455x C (pf) x (mm) 8 Fom this gaph, m 7.5 pf / mm.75 F / m. Using this value of m, f 5 khz, 74 nf/s, and f. khz, x (. ).6 mm 8 3 (.75 )(5 ) NB. The C vs. x gaph is used since C (but not f) is linealy elated to x. Altenative method fo finding the esolution (not stictly coect) Using the f vs. x gaph and the data in the table aound f 5 khz, it is found that when f is changed by khz ( f khz,) x is oughly changed by.5 mm ( x.5 mm.) Hence, when f is changed by f. khz (the smallest detectable of the change,) the distance moved is x.5 mm. 7

36 Expeimental Competition: 4 July Poblem Page of. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν. Ένα μικρό σωματίδιο μάζας m (μπάλα) βρίσκεται σε σταθερή απόσταση z από το πάνω μέρος ενός κυλίνδρου μεγάλου μήκους μάζας M. Ο κύλινδρος έχει μια σειρά από μικρές τρύπες κατά μήκος του άξονα του. Αυτές οι τρύπες χρησιμεύουν για τη στήριξή του ώστε να κρέμεται κατακόρυφος. Θα πρέπει να πάρετε τις αναγκαίες πειραματικές μετρήσεις έτσι ώστε να προσδιορίσετε τις αριθμητικές τιμές των πιο κάτω φυσικών μεγεθών μαζί με το αντίστοιχο σφάλμα μέτρησης: i. Τη θέση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου μαζί με τη μπάλα. Επίσης να σχεδιάσετε το σχήμα της διάταξης του απλού πειράματος που κάνατε για τον προσδιορισμό του κέντρου μάζας. [. points] ii. Την απόσταση z. iii. Τον λόγο M m. [3.5 points] [3.5 points] iv. Την επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας, g. [. points] Υλικά και Όργανα: Ένας κύλινδρος με τρύπες μαζί με μια μπάλα κολημένη στο εσωτερικό του, μια ορθογώνια βάση μαζί με ένα λεπτό καρφί, πλαστικό καπάκι σε σχήμα καρφιού, χάρακας, χρονόμετρο, νήμα, μολύβι και κολλητική ταινία. z O στήριξη x CM R Βάση Στερεωμένη με ταινία στην ακρη του τραπεζιού CM L m M Λεπτό καρφί για στήριξη x η απόσταση από το πάνω άκρο του κυλίνδρου μέχρι CM το κέντρο μάζας. R η απόσταση από το σημείο στήριξης μέχρι το κέντρο μάζας.

37 Expeimental Competition: 4 July Poblem Page of Κολλητική ταινία Κύλινδρος με τρύπες και με μπάλα μέσα Καπάκι καρφιού χρονό μετρο Νήμα (για ισορροπία) Βάση κανόνας Προσοχή: Το λεπτό καρφί είναι πολύ αιχμηρό. Όταν δεν χρησιμοποιείται, θα πρέπει να προστατεύεται με το πλαστικό καπάκι. Χρήσιμες πληροφορίες: d q. Για ένα τέτοιο φυσικό εκκρεμές, {( M + m) R + ICM }» - g ( M + m) Rq, όπου I CM dt είναι η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου με τη μπάλλα ως προς το κέντρο μάζας και θ είναι η γωνιακή μετατόπιση.. Για κύλινδρο μεγάλου μήκους L και μάζας M, η ροπή αδράνειας ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του κυλίνδρου και είναι κάθετος σ αυτόν κατά προσέγγιση είναι L M ( ) Το θεώρημα των παράλληλων αξόνων: I = I cente of mass + M x, όπου x είναι η απόσταση του σημείου περιστροφής από το κέντρο μάζας του συστήματος, και M η συνολική μάζα του συστήματος. 4. Η μπάλλα μπορεί να θεωρηθεί ως υλικό σημείο που βρίσκεται στον κεντρικό άξονα του κυλίνδρου. 5. Υποθέστε ότι ο κύλινδρος είναι ομογενής και η μάζα των καλυμάτων στα άκρα του είναι αμελητέα.

38 MODIFIED Q_EXPERIMENT_SOLUTION_4JULY.DOCX Expeimental Competition: 4 July Question Page of 9 Solution:. Mechanical Blackbox: a cylinde with a ball inside z O pivot x CM R CM L m M In ode to be able to calculate the equied values in i, ii, iii, we need to know: a. the position of the cente of mass of the tubing plus paticle (object) which depends on z, m, M b. the moment of inetia of the above. The position of the CM may be found by balancing. The ICM can be calculated fom the peiod of oscillation of the tubing plus object. Analytical steps to select paametes fo plotting L mz M I. x CM m M L is eadily obtainable with a ule. xcm is detemined by balancing the tubing and object. ()

39 MODIFIED Q_EXPERIMENT_SOLUTION_4JULY.DOCX Expeimental Competition: 4 July Question Page of 9 II. Fo small-amplitude oscillation about any point O the peiod T is given by consideing the equation: CM sin M m R I g M m R g M m R. () T ICM M m R g M m R whee I M M x mz x Note that. (3) L L 3 ML Mx CM MLxCM m z xcm 3. (4) CM CM CM g M m I CM. (5) 4 R T M m R Method (a): (linea gaph method) The equation (5) may be put in the fom: 4 4 ICM T R R. (6) g M m g Hence the plot of TRv.s. R will yield the staight line whose 4 Slope. (7) g and y-intecept 4 ICM M m g ICM M m Hence,. (8). (9) The value of g is fom equation (7): g 4. ()

40 Method (b): minimum point cuve method The equation (5) implies that T has a minimum value at MODIFIED Q_EXPERIMENT_SOLUTION_4JULY.DOCX Expeimental Competition: 4 July Question Page 3 of 9 RR min I CM M m. () Hence Rmin can be obtained fom the gaph Tv.s. R. And theefoe I M m R. () CM This equation () togethe with equation () will allow us to calculate the equied values z and M m. g M m At the value R Rmin equation (5) becomes Tmin M m Rmin M m Rmin 4 Rmin 8 Rmin g 4. (3) Tmin Tmin fom which g can be calculated. min 3

41 MODIFIED Q_EXPERIMENT_SOLUTION_4JULY.DOCX Expeimental Competition: 4 July Question Page 4 of 9 Results L 3. cm. cm x 7.8 cm. cm (fom top) CM xcm R (cm) time (s) fo cycles T (s) R (cm) R (cm ) TR(s cm) Notes: at x R5.,6. cm, times fo cycles. CM 4

42 MODIFIED Q_EXPERIMENT_SOLUTION_4JULY.DOCX Expeimental Competition: 4 July Question Page 5 of 9 Method (a) 6 TR(scm) R (cm ) Calculation fom staight line gaph: slope.48.7 s /cm, y-intecept 3..5 s cm g 4 giving g (96 ) cm/s cm.5cm ICM M m M m L L 3 Fom equation (4): I M M x mz x CM CM CM 5

43 Then M m 75.M 7.84M mz 7.8 MODIFIED Q_EXPERIMENT_SOLUTION_4JULY.DOCX Expeimental Competition: 4 July Question Page 6 of 9 M z 7.8. (4) m The cente of mass position gives: 7.8 M m 5.M mz M m Fom equations (4) and (5): z7.8. (5) z z z And z cm Eo Estimation Find eo fo g : M.68.7 m 4 Fom (), g g g 6.3 cm/s cm/s i) Find eo fo z : 3. Fist, find eo fo cm..48 ( ).5 cm L xcm Since eo fom contibutes most ( ~. 3 while, ~. 5 ), we estimate eo L xcm popagation fom only to simplify the analysis by substituting the min and max values into equation (4). Now, we use max The coesponding quadatic equation is z z The coesponding solution is ( z 7.8) max 7.55 cm 6

44 MODIFIED Q_EXPERIMENT_SOLUTION_4JULY.DOCX Expeimental Competition: 4 July Question Page 7 of 9 If we use min , the coesponding quadatic equation is z z The coesponding solution is ( z 7.8) min 6.96 cm So ( z 7.8).3 cm ( z 7.8) Note that ~.4. So, we still ignoe the eo popagation due to L, xcm z 7.8 The eo z can be estimated fom z ( z7.8).3 cm M ii) Find eo fo : m M z7.8 We know that m.8 M ( z7.8). m.8 7

45 MODIFIED Q_EXPERIMENT_SOLUTION_4JULY.DOCX Expeimental Competition: 4 July Question Page 8 of 9 Method (b) Calculation fom T-R plot: T(s) R(cm) Using the minimum position: T T at I M m R and min CM min g 8 Rmin Tmin Fom gaph: Rmin 8.9. cm and Tmin s g 98 4 cm/s CM I M m M m. (6) 8

46 MODIFIED Q_EXPERIMENT_SOLUTION_4JULY.DOCX Expeimental Competition: 4 July Question Page 9 of 9 Fom equations (4), (5), (6): 79. M m 75.M 7.84M mz M 79.m m z 7.8 x x z And z cm M m Eo estimation i) Find eo fo g : 8 R Using the minimum position: g T Rmin T g Rmin T ii) Find eo fo z : min g 34 min min 3 cm/s min, we have Fist, find eo fo R min 79. cm. Rmin Rmin 3.56 cm This is equivalent to in pat. So, one can follow the same eo analysis. As a esult, we have z cm z.8 cm M i) Find eo fo : m Following the same analysis as in pat I, we found that M M.96 ; ( ). 5 m m NOTE: This minimum cuve method is not as accuate as the usual staight line gaph. 9