ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

Transcript

1 .Φουσκάκης- Ασκήσεις στα ιαστήµατα Εµπιστοσύνης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ) Για τον προσδιορισµό της σκληρότητας αλουµινίου έγιναν 6 µετρήσεις και προέκυψαν τα εξής αποτελέσµατα:.4,.4,.7,.3, 3.0, 0.9,.8, 3.5, 3.,.8,.,.7, 0.6,.,.8 Να βρεθεί 0.95.Ε. για τον µέσο µ. Πρόκειται για.ε. της µέσης τιµής µ µε άγνωστη διασπορά σ. Από τα δεδοµένα προκύπτει: X = Xi =.08, S = (Xi X) = 0.6, = 6. i= - i= Από τους πίνακες της κατανοµής t έχουµε ότι =.3. t 5,0.05 Το ζητούµενο λοιπόν.ε. µε την βοήθεια των πινάκων είναι: S X - t 5,0.05 < µ < X + t5,0.05 S.66 < µ <.53. ) Μετρήσεις του δείκτη διάθλασης 5 τεµαχίων διαφανούς υάλου έδωσαν τυπική απόκλιση 0.0. Να βρεθεί 0.90.Ε. για την διασπορά σ του δείκτη διάθλασης. Πρόκειται για.ε. της διασποράς σ µε άγνωστο µέσο µ. Από την εκφώνηση έχουµε: S = 0.0 και = 5, ενώ από τους πίνακες της Χ κατανοµής προκύπτει ότι = 36.4 και =3.84. X 4,0.05 X 4,0.95 (-)S X (-)S < σ < 0.00 < σ < ,0.05 X4,0.95 3) Πόσο πρέπει να είναι το µέγεθος ενός τυχαίου δείγµατος από Κανονικό πληθυσµό αν απαιτείται X-µ < c µε βαθµό εµπιστοσύνης γ. Να θεωρηθεί η διασπορά γνωστή.

2 .Φουσκάκης- Ασκήσεις στα ιαστήµατα Εµπιστοσύνης c X-µ c P( X-µ < c) = γ P(-c < X-µ < c) = γ P(- < < ) = γ σ/ σ/ σ/ c c c zα/ σ P(- Z < ) = γ = - α zα/. < = = σ/ σ/ σ/ c 4) υο µηχανές κόβουν σιδηρές ράβδους. ύο τυχαία δείγµατα = 4, = 3 από παραγωγές των έδωσαν αντίστοιχα X = 64cm, S = 0.9cm και X = 60cm, S = 0.7cm. Να κατασκευαστεί ένα 0.95.Ε. της διαφοράς µ - µ των µέσων µηκών των σιδηρών ράβδων. Πρόκειται για.ε. της διαφοράς µ - µ µε άγνωστες διασπορές. Επίσης ουδεµία πληροφορία έχουµε για ισότητα των διασπορών οπότε µπορούµε να τις θεωρήσουµε άνισες. S S S S X -X - t + < µ -µ < X -X + t +, µε ν,α/ ν,α/ S S + v = S S + και α = ) υο µηχανές κατασκευάζουν πυκνωτές. Από τ.δ. µεγέθους = 6, = 3 από τις δύο µηχανές αντίστοιχα προέκυψαν: X = 5µF, S = 4µF και X = 48µF, S = 6µF. Να δοθούν : σ α) Ένα 0.98.Ε. του λόγου. σ β) Ένα 0.95.Ε. της διαφοράς µ - µ. α) S σ S < <. S F σ S F -,-,α/ -,-,-α/

3 .Φουσκάκης- Ασκήσεις στα ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 3 Από τους πίνακες της κατανοµής F έχουµε ότι F -,-,-α/ -,-,α/,5,0.0 F = F 5,,0.0 = 4.0, ενώ -,-,α/ = F = F = 3.67 και έτσι προκύπτει ότι: σ 0.< σ <.63. Παρατηρούµε ότι το παραπάνω.ε. περιέχει την τιµή οπότε µπορούµε να δεχτούµε ισότητα των διασπορών. β) Πρόκειται για.ε. της διαφοράς µ - µ µε άγνωστες, αλλά λόγω του α) ίσες διασπορές. Με την βοήθεια των πινάκων έχουµε: µε S X -X - t S + < µ -µ < X -X + t S +, ν,α/ p ν,α/ p ( -)S +( -)S =, v = + - και α = v p 6) έκα άτοµα παρακολούθησαν πρόγραµµα βελτίωσης και ικανότητας αποµνηµόνευσης. Με ειδικό τεστ προσδιορίστηκε για κάθε άτοµο ο βαθµός αποµνηµόνευσης πριν και µετά το πρόγραµµα. Τα αποτελέσµατα δίνονται από τον παρακάτω πίνακα: Πριν Μετά Να κατασκευαστεί ένα 0.80.Ε. της διαφοράς των µέσων βαθµών αποµνηµόνευσης πριν και µετά το πρόγραµµα. Πρόκειται για.ε. της διαφοράς µ - µ συσχετισµένων πληθυσµών (τα ίδια άτοµα πριν και µετά). Ο πίνακας παίρνει την µορφή: Μετά Πριν ιαφορές D i Εύκολα υπολογίζουµε την µέση διαφορά D = Di = 5.6 και την διασπορά των i= διαφορών S D = (Di D) =.7, όπου = 0. - i= D - t -,α/ < µ µετά - µ πριν < D + t-,α/, µε α=0.0 Από τους πίνακες της κατανοµής t έχουµε ότι =.383, οπότε 5. < µ - µ < t 9,0.0 µετά πριν Παρατηρούµε ότι το συγκεκριµένο.ε. δεν περιλαµβάνει την τιµή 0, οπότε

4 .Φουσκάκης- Ασκήσεις στα ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 4 µπορούµε να συµπεράνουµε ότι το πρόγραµµα πράγµατι βελτιώνει την ικανότητα αποµνηµόνευσης των ατόµων. 7) Τα παρακάτω δεδοµένα αποτελούν πωλήσεις (σε δισεκ. ολλάρια) ηµιαγωγών ανά τρίµηνο από τις αρχές του 985 έως τα µέσα του 986. ΙΑΠΩΝΙΑ ΗΠΑ 985 ο τρίµηνο 88 8 ο τρίµηνο ο τρίµηνο ο τρίµηνο ο τρίµηνο ο τρίµηνο Να κατασκευαστεί 0.90.Ε. της διαφοράς των µέσων τριµηνιαίων πωλήσεων. Όπως και στην προηγούµενη άσκηση έτσι και εδώ πρόκειται για.ε. της διαφοράς µ - µ συσχετισµένων πληθυσµών. Ο πίνακας παίρνει την µορφή: ΙΑΠΩΝΙΑ ΗΠΑ ιαφορές D i 985 ο τρίµηνο ο τρίµηνο ο τρίµηνο ο τρίµηνο ο τρίµηνο ο τρίµηνο Εύκολα υπολογίζουµε την µέση διαφορά D = Di = 36 και την διασπορά των i= διαφορών S D = (Di D) = , όπου = 6. - i= D - t -,α/ < µ ΙΑΠΩΝΙΑ - µ ΗΠΑ < D + t-,α/, µε α=0.0. 8) Σε τυχαίο δείγµα 50 αντικειµένων βρέθηκαν 5 ελαττωµατικά. α) Να κατασκευαστεί ένα 0.95.Ε. του ποσοστού p των ελαττωµατικών. β) Πόσο πρέπει να είναι το µέγεθος του δείγµατος ώστε µε πιθανότητα 0.95 το απόλυτο σφάλµα εκτίµησης p -p να είναι µικρότερο του 0.0; α) Από την εκφώνηση προκύπτει ότι: 5 p= = 0.0. Το ζητούµενο.ε. του 50 ποσοστού p των ελαττωµατικών τότε µε την βοήθεια των πινάκων είναι:

5 .Φουσκάκης- Ασκήσεις στα ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 p(-p) p(-p) p - zα/ < p < p + zα/, µε α=0.05 και =50. Με την βοήθεια του πίνακα της κανονικής κατανοµής προκύπτει ότι z α/ =.96, οπότε έχουµε 0.0 < p < 0.8. β) P( p-p < 0.0 ) = 0.95 P (-0.0 < p-p < 0.0) = p-p 0.0 P ( < < ) = 0.95 p(-p) p(-p) p(-p) P ( < Z < ) = 0.95 = z 0.05/ =.96 = p(-p) p(-p) p(-p) 9) ύο παραγωγικές διαδικασίες έδωσαν και 0 ελαττωµατικά αντικείµενα σε τυχαία δείγµατα 300 και 400 αντικειµένων αντίστοιχα. Να κατασκευαστεί ένα 0.95.Ε. της διαφοράς p -p. Από την εκφώνηση προκύπτει ότι: p = = 0.04 και 0 p = = Το ζητούµενο.ε. της διαφοράς p -p µε την βοήθεια των πινάκων είναι: p (-p ) p (-p ) p (-p ) p (-p ) p- p - zα/ + < p- p < p- p + zα/ +, µε α=0.05 και =300, =400.