Σήµατα και Συστήµατα

Transcript

1 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ Σήµατα και Συστήµατα Σηµείωση Το ΕΑΠ είναι υπεύθυνο για την επιµέλεια έκδοσης και την ανάπτυξη των κειµένων σύµφωνα µε τη Μεθοδολογία της εξ Αποστάσεως Εκπαίδευσης. Για την επιστηµονική αρτιότητα και πληρότητα των συγγραµ- µάτων την αποκλειστική ευθύνη φέρουν οι συγγραφείς, κριτικοί αναγνώστες και ακαδηµαϊκοί υπεύθυνοι που ανέλαβαν το έργο αυτό.

2 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 5 ÂÈ fiìâó Πρόλογος... 3 K º π EÈÛ ÁˆÁ ÛÙ Ì Ù Σκοπός, Προσδοκώµενα αποτελέσµατα, Έννοιες κλειδιά, Eισαγωγικές παρατηρήσεις Eισαγωγή Σήµατα συνεχούς χρόνου ή αναλογικά σήµατα Σήµατα διακριτού χρόνου Ψηφιακά σήµατα.... Iδιότητες αναλογικών σηµάτων..... Περιοδικά και µη περιοδικά σήµατα..... Aιτιατά και µη αιτιατά σήµατα Σήµατα πεπερασµένα και σήµατα πεπερασµένης και άπειρης διάρκειας Άρτια και περιττά σήµατα Eνεργειακά σήµατα Σήµατα ισχύος Aιτιοκρατικά και τυχαία Στοχαστικά σήµατα Mετατροπές σήµατος ως προς το χρόνο Aνάκλαση Aλλαγή κλίµακας χρόνου Xρονική µετατόπιση Στοιχειώδη σήµατα Mιγαδικό εκθετικό σήµα H συνάρτηση µοναδιαίου βήµατος συνεχούς χρόνου H κρουστική συνάρτηση συνεχούς χρόνου ή Συνάρτηση έλτα Mερικά βασικά στοιχεία για τους µιγαδικούς αριθµούς Συζυγής µιγαδικός αριθµός Iδιότητες... 4

3 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 6 6 ª π À ª Σύνοψη Bιβλιογραφία κεφαλαίου K º π EÈÛ ÁˆÁ ÛÙ ÛÙ Ì Ù Σκοπός, Προσδοκώµενα αποτελέσµατα, Έννοιες κλειδιά, Eισαγωγικές παρατηρήσεις Eισαγωγή Oρισµός συστήµατος Kατηγορίες συστηµάτων Συνδέσεις συστηµάτων Iδιότητες συστηµάτων Γραµµικότητα Aιτιότητα Aντιστρέψιµα και µη αντιστρέψιµα συστήµατα Συστήµατα στατικά και δυναµικά Xρονικά αναλλοίωτα συστήµατα Eυστάθεια Σχέση µεταξύ εισόδου εξόδου συστήµατος Γραµµικά χρονικά αναλλοίωτα συστήµατα Tο ολοκλήρωµα της συνέλιξης Iδιότητες της συνέλιξης Γραφικός προσδιορισµός της συνέλιξης Aπόκριση γραµµικών συστηµάτων σε εκθετικές εισόδους Σύνοψη Bιβλιογραφία κεφαλαίου K º π 3 AÓ appleù ÁÌ MÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÌfi Fourier Σκοπός, Προσδοκώµενα αποτελέσµατα, Έννοιες κλειδιά, Eισαγωγικές παρατηρήσεις... 75

4 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 7 EPIEXOMENA 7 Eισαγωγή H ιδέα του χώρου των σηµάτων Tο σύνολο των ορθογώνιων αναλογικών εκθετικών περιοδικών σηµάτων Tο σύνολο των ορθογώνιων αναλογικών τριγωνοµετρικών περιοδικών σηµάτων Aνάπτυγµα Fourier Σειρά Fourier Eκθετική σειρά Fourier Tριγωνοµετρική σειρά Fourier Σειρές Fourier περιοδικών σηµάτων Ύπαρξη σειράς Fourier Tαυτότητα του Parseval Φαινόµενο Gibbs Mετασχηµατισµός Fourier Ύπαρξη του Mετασχηµατισµού Fourier Iδιότητες του Mετασχηµατισµού Fourier Mετασχηµατισµός Fourier περιοδικών σηµάτων Eνέργεια και ισχύς Eνεργειακά σήµατα Σήµατα ισχύος... 7 Σύνοψη... 3 Bιβλιογραφία κεφαλαίου... 3 K º π 4 EÊ ÌÔÁ ÙÔ MÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÌÔ Fourier Σκοπός, Προσδοκώµενα αποτελέσµατα, Έννοιες κλειδιά, Eισαγωγικές παρατηρήσεις Eισαγωγή Aπόκριση συχνότητας συστήµατος... 35

5 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 7 ÈÛ ÁˆÁ ÛÙ Ì Ù ÎÔapplefi Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να δώσει µια γενική εικόνα του τι είναι σήµα και να κατατάξει τα διάφορα σήµατα σε κατηγορίες ανάλογα µε τις βασικές ιδιότητές τους. Επίσης στο κεφάλαιο αυτό θα οριστούν αντιπροσωπευτικά σήµατα, τα οποία έχουν ιδιαίτερη σηµασία στη θεωρία σηµάτων. º π ÔÛ ÔÎÒÌÂÓ appleôùâï ÛÌ Ù Όταν θα έχετε µελετήσει αυτό το κεφάλαιο θα µπορείτε να: περιγράψετε τι είναι σήµα, περιγράψετε τρεις κατηγορίες σηµάτων, περιγράψετε έξι ιδιότητες των σηµάτων, περιγράψετε, τρία τουλάχιστον, στοιχειώδη σήµατα, τα οποία θα συναντάµε συχνά στη συνέχεια, αναφέρετε δύο τρόπους παράστασης ενός µιγαδικού αριθµού και να εξηγήσετε έννοιες όπως το µέτρο, η φάση, το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος ενός µιγαδικού αριθµού. ŒÓÓÔÈ ÎÏÂÈ È αιτιατό σήµα αλλαγή χρόνου ανάκλαση αναλογικό σήµα άρτιο σήµα ενεργειακό σήµα µιγαδικό εκθετικό σήµα µονοδιάστατο σήµα νοµοτελειακό σήµα περιοδικό σήµα περιττό σήµα σήµα διακριτού χρόνου σήµα ισχύος συνάρτηση δέλτα συνάρτηση µοναδιαίου βήµατος τυχαίο σήµα χρονική µετατόπιση ψηφιακό σήµα

6 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 8 8 π ø à ª ÈÛ ÁˆÁÈÎ ÙË ÛÂÈ Το κεφάλαιο αυτό χωρίζεται σε πέντε ενότητες. Στην Ενότητα., δίνεται η ερµηνεία της έννοιας «σήµα», η µαθηµατική της έκφραση και γίνεται ταξινόµηση των σηµάτων. Στην Ενότητα., παρουσιάζονται οι βασικές ιδιότητες των σηµάτων. Στην Ενότητα.3, παρουσιάζουµε τις βασικές µετατροπές ενός σήµατος ως προς το χρόνο. Στην Ενότητα.4, ορίζουµε µερικά στοιχειώδη σήµατα, τα οποία παίζουν έναν ιδιαίτερο ρόλο στη θεωρία σηµάτων ως «εργαλεία» για τη µελέτη πολυπλοκότερων σηµάτων. Τέλος, στην Ενότητα.5 παρουσιάζονται µερικά βασικά στοιχεία για τους µιγαδικούς αριθµούς. Είναι σκόπιµο ο αναγνώστης να µελετήσει στην αρχή την ενότητα αυτή, ώστε να θυµηθεί αρκετές έννοιες για τους µιγαδικούς αριθµούς, τις οποίες θα συναντήσει στις Ενότητες.3 και.4.

7 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 9. π ø 9. ÈÛ ÁˆÁ Ως σήµα ορίζεται ένα φυσικό µέγεθος το οποίο µεταβάλλεται σε σχέση µε το χρόνο ή το χώρο ή µε οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη µεταβλητή ή µεταβλητές. Για παράδειγµα, το σήµα οµιλίας αντιστοιχεί στις µεταβολές της ακουστικής πίεσης σε σχέση µε το χρόνο και προέρχεται από τις κινήσεις των φωνητικών χορδών. Το σήµα εικόνας αντιστοιχεί στις µεταβολές της φωτεινότητας σε σχέση µε τις δύο χωρικές µεταβλητές. Άλλα παραδείγµατα σηµάτων είναι τα σεισµικά σήµατα, τα ιατρικά σήµατα, (όπως το καρδιογράφηµα), ο ετήσιος δείκτης τιµών καταναλωτή, ο δείκτης του ποσοστού ανεργίας ανά µήνα, κ.λπ. Από µαθηµατική άποψη, ένα σήµα εκφράζεται ως συνάρτηση µιας ή περισσότερων ανεξάρτητων µεταβλητών. Ανάλογα µε το πλήθος των ανεξάρτητων µεταβλητών τα σήµατα χαρακτηρίζονται ως µονοδιάστατα σήµατα ( D), δισδιάστατα ( D), πολυδιάστατα σήµατα. Ανάλογα µε τον τύπο της ανεξάρτητης ή της εξαρτηµένης µεταβλητής της συνάρτησης µπορούµε να κατατάξουµε τα σήµατα στις παρακάτω κατηγορίες:.. Ì Ù Û ÓÂ Ô fióô Ó ÏÔÁÈÎ Û Ì Ù Σήµατα συνεχούς χρόνου ή αναλογικά σήµατα είναι τα σήµατα των οποίων η ανεξάρτητη µεταβλητή µεταβάλλεται σ ένα συνεχές διάστηµα τιµών. Στα µονοδιάστατα σήµατα το πεδίο ορισµού του σήµατος είναι διάστηµα της ευθείας των πραγµατικών αριθµών. Στο Σχήµα. έχει σχεδιαστεί ένα αναλογικό σήµα. Επειδή η ανεξάρτητη µεταβλητή,, συνήθως είναι ο χρόνος, τα σήµατα αυτά ονοµάζονται σήµατα συνεχούς χρόνου ή σήµατα συνεχούς µεταβλητής... Ì Ù È ÎÈÙÔ fióô Σήµατα διακριτού χρόνου είναι τα σήµατα των οποίων το πεδίο ορισµού είναι κάποιο διακριτό σύνολο, (π.χ. το σύνολο των ακεραίων αριθµών), ενώ η εξαρτηµένη µεταβλητή είναι δυνατόν να λαµβάνει οποιαδήποτε τιµή. Το σήµα στο Σχήµα.α είναι ένα σήµα διακριτού χρόνου. x() Ì. Γραφική αναπαράσταση ενός αναλογικού σήµατος.

8 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ π ø Ã ª..3 æëêè Î Û Ì Ù Ψηφιακά σήµατα είναι τα σήµατα στα οποία τόσο η ανεξάρτητη µεταβλητή, όσο και η εξαρτηµένη µεταβλητή µπορούν να λαµβάνουν µόνο διακριτές τιµές. Στο Σχήµα.β φαίνεται ένα ψηφιακό σήµα, του οποίου η εξαρτηµένη µεταβλητή λαµβάνει τις τιµές 3,,,,,, 3. x(n) Ì. Γραφική αναπαράσταση (α) ενός σήµατος διακριτού χρόνου και (β) ενός ψηφιακού σήµατος. (α) n x(n) Στη συνέχεια, θα επικεντρώσουµε την προσοχή µας στα µονοδιάστατα αναλογικά σήµατα.. π ÈfiÙËÙÂ Ó ÏÔÁÈÎÒÓ ÛËÌ ÙˆÓ Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται µερικές βασικές ιδιότητες που έχουν τα αναλογικά σήµατα. (β) n.. ÂÈÔ ÈÎ Î È ÌË appleâèô ÈÎ Û Ì Ù Ένα αναλογικό σήµα x() λέγεται περιοδικό, αν υπάρχει ένας θετικός αριθµός, Τ, για τον οποίο ισχύει x() = x( + T) για κάθε τιµή του. Στο Σχήµα.3 έχει σχεδιαστεί ένα περιοδικό σήµα. Ο σταθερός αριθµός Τ λέγεται περίοδος. Η ελαχίστη δυνατή περίοδος είναι γνωστή ως θεµελιώδης περίοδος και συµβολίζεται µε T. Στην πράξη πολλές φορές αναφερόµαστε απλώς στην περίοδο και υπονοούµε τη θεµελιώδη. Παράδειγµα περιοδικού σήµατος είναι το (συν)ηµιτονοειδές σήµα x() = cos (Ω + θ) (.) µε θεµελιώδη περίοδο T = π/ω. Το Ω είναι γνωστό ως κυκλική συχνότητα και συνδέεται µε τη συχνότητα F του ηµιτόνου µε τη σχέση Ω = πf. x() Ì.3 Περιοδικό σήµα συνεχούς χρόνου. T T T T

9 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ. π π π ø ª ø Ένα άλλο περιοδικό σήµα είναι το µιγαδικό σήµα y() = e jω (.) µε την ίδια περίοδο T = π/ω. Αν και τα µιγαδικά σήµατα δεν έχουν φυσική υπόσταση είναι «ελκυστικά» από άποψη µαθηµατικού φορµαλισµού, επειδή απλουστεύουν την άλγεβρα των πράξεων. Για παράδειγµα, πολλαπλασιασµός δύο εκθετικών σηµάτων αντιστοιχεί απλώς στην πρόσθεση των εκθετών τους. Πράγµατι, αν y () = Ae jω και y () = Ae jω, τότε y () y () = A e j(ω +Ω )... ÈÙÈ Ù Î È ÌË ÈÙÈ Ù Û Ì Ù Ενα σήµα x() λέγεται αιτιατό, εάν είναι µηδενικό για αρνητικές τιµές του χρόνου, δηλαδή x() = για < (.3) Στην αντίθετη περίπτωση, το σήµα λέγεται µη αιτιατό. Στο Σχήµα.4 εικονίζονται ένα αιτιατό και ένα µη αιτιατό σήµα. x() x() Ì.4 (α) (β) Παράδειγµα (α) Αιτιατού σήµατος και (β) Μη αιτιατού σήµατος...3 Ì Ù appleâappleâ ÛÌ Ó Î È Û Ì Ù appleâappleâ ÛÌ ÓË Î È appleâèë È ÎÂÈ Ένα σήµα x() λέγεται πεπερασµένο, αν x() <, για κάθε τιµή του χρόνου. Ένα σήµα x() λέγεται σήµα πεπερασµένης διάρκειας αν Ï, x () = Ì Ó, T T (.4) όπου T και T (T < T ) είναι πεπερασµένοι αριθµοί. Αν τουλάχιστον ένα από τα T και T γίνει ίσο µε το άπειρο τότε το σήµα έχει άπειρη διάρκεια...4 ÕÙÈ Î È appleâèùù Û Ì Ù Ένα σήµα x() λέγεται άρτιο (παρουσιάζει άρτια συµµετρία), αν

10 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ π ø Ã ª x( ) = x() < < + (.5) Αντίθετα, λέγεται περιττό (παρουσιάζει περιττή συµµετρία), αν x( ) = x() < < + (.6) Το σήµα στο Σχήµα.5α παρουσιάζει άρτια συµµετρία και το σήµα στο Σχήµα.5β περιττή συµµετρία. Ì.5 Σήµατα συνεχούς χρόνου τα οποία παρουσιάζουν (α) άρτια συµµετρία και (β) περιττή συµµετρία. x() x() (α) (β) Κάθε σήµα (µιγαδικό ή πραγµατικό) µπορεί να εκφρασθεί ως άθροισµα ενός άρτιου, x e (), και ενός περιττού σήµατος, x o (), ως εξής: x() = x e () + x o () (.7) όπου [ ] xe( ) = x() + x( -) [ ] και xo( ) = x() - x( -) (.8)..5 ÓÂÁÂÈ Î Û Ì Ù Ì Ù ÈÛ Ô Για κάθε σήµα, x(), η ενέργειά του E x δίνεται από τη σχέση E = lim x( ) d όπου x() είναι το µέτρο του σήµατος. x T T Æ -T (.9) Ένα σήµα x() χαρακτηρίζεται ως ενεργειακό σήµα, αν Η ισχύς P x του σήµατος x() δίνεται από τη σχέση < E x < (.) P x T = lim x T Æ T ( ) -T d (.) Αν το σήµα είναι περιοδικό, η ισχύς δίνεται από τη σχέση

11 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 3. π π π ø ª ø 3 P x = T + T x () d (.) Ένα σήµα x() χαρακτηρίζεται ως σήµα ισχύος, αν < P x < (.3) Σηµειώνεται ότι για πραγµατικά σήµατα x() = x ()...6 ÈÙÈÔÎ ÙÈÎ Î È Ù ÙÔ ÛÙÈÎ Û Ì Ù Όταν οι τιµές που παίρνει ένα σήµα σε κάθε χρονική στιγµή ορίζονται χωρίς αβεβαιότητα, το σήµα χαρακτηρίζεται ως αιτιοκρατικό σήµα ή νοµοτελειακό σήµα. Ένα τέτοιο σήµα, για παράδειγµα, είναι το συνηµίτονο (Σχήµα.6). Στην πράξη όµως, συναντάµε πολλά σήµατα, όπως ο θερµικός θόρυβος, στα οποία η τιµή σε οποιαδήποτε χρονική στιγµή δεν µπορεί να προκαθορισθεί µε βεβαιότητα. Τα σήµατα αυτά ονοµάζονται τυχαία ή στοχαστικά. Για να επεξεργαστούµε τέτοιου είδους σήµατα χρησιµοποιούµε τη θεωρία των Πιθανοτήτων και Στατιστικής. Στο βιβλίο αυτό θα περιοριστούµε µόνο στα αιτιοκρατικά σήµατα. A x() = Acos(Ω + π/4) Τ Ì.6 A Παράδειγµα αιτιοκρατικού σήµατος.

12 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 4 4 π ø Ã ª ÕÛÎËÛË ÙÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË. Αντιστοιχίστε όσο γίνεται περισσότερες ιδιότητες τις οποίες έχουν τα ακόλουθα σήµατα x() x() Άρτιο σήµα x() Aιτιατό σήµα x() Περιοδικό σήµα x() Mη αιτιατό σήµα x() Περιττό σήµα ÂÈÁÌ. ίνεται το σήµα Ï, x () = - 3 < Ì Ó, (.4) Να εκφράσετε το σήµα ως άθροισµα ενός άρτιου και ενός περιττού σήµατος.

13 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 5.3 ª ƒ ª ƒ à 5 Λύση Το άρτιο σήµα x e () είναι [ ] = xe( ) = x() + x( -) ενώ το περιττό σήµα x o () είναι Ï Ô [-3 -], < Ï, Ì = [ + - < Ì ÓÔ 3, Ó, (.5) [ ] = xo( ) = x() - x( -) Ï Ô [- 3 + ], < Ì = - ÓÔ [ - 3], για κάθε (.6) Στο Σχήµα.7 εικονίζονται τα σήµατα x(), x e () και x o (), απ όπου φαίνεται ότι x() = x e () + x o () (.7) x() x e () x () 3 (α) (β) (γ) Ì.7 Γραφικές παραστάσεις των σηµάτων (α) x(), (β) x e () και (γ) x o ()..3 ªÂÙ ÙÔapple Û Ì ÙÔ ˆ appleô ÙÔ fióô Πολλές φορές στην πράξη παρουσιάζονται σήµατα τα οποία σχετίζονται µεταξύ τους µε αλλαγή της ανεξάρτητης µεταβλητής, δηλαδή του χρόνου. Στη συνέχεια αναφέρονται οι βασικές µετατροπές σήµατος ως προς το χρόνο..3. Ó ÎÏ ÛË Ένα σήµα y() αποτελεί την ανάκλαση του σήµατος x() ως προς =, αν y() = x( ) (.8) Η µετατροπή της ανάκλασης έχει ως αποτέλεσµα την εναλλαγή µεταξύ «παρελθόντος» και «µέλλοντος» ενός σήµατος. Αν το σήµα x() είναι η έξοδος ενός µαγνητοφώνου, τότε το σήµα x( ) είναι η έξοδος του ίδιου µαγνητοφώνου, όταν αυτό περιστρέφεται αντίθετα. Στο Σχήµα.8 έχει σχεδιαστεί ένα σήµα συνεχούς χρόνου και η ανάκλασή του ως προς =.

14 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 6 6 π ø Ã ª x() x( ) Ì.8 (α) Ένα σήµα συνεχούς χρόνου και (β) η ανάκλασή του ως προς =. (α) (β).3. ÏÏ Á ÎÏ Ì Î fióô Το σήµα x () αποτελεί µια χρονική συστολή του σήµατος x(), αν x () = x(a ) µε a > (.9) Το σήµα x () αποτελεί µια χρονική διαστολή του σήµατος x(), αν x () = x(a ) µε > a > (.) Αν το σήµα x() είναι η έξοδος ενός µαγνητοφώνου, τότε το σήµα x() είναι η έξοδος του ίδιου µαγνητοφώνου, όταν αυτό περιστρέφεται µε διπλάσια ταχύτητα και x(/) είναι η έξοδος, όταν αυτό περιστρέφεται µε υποδιπλάσια ταχύτητα. Στο Σχήµα.9 έχουν σχεδιαστεί η χρονική συστολή και διαστολή ενός σήµατος. Ì.9 (α) Σήµα (β) η χρονική συστολή του και (γ) η χρονική διαστολή του. x() x() x(/) ' ' '/ '/ ' ' (α) (β) (γ).3.3 ÃÔÓÈÎ ÌÂÙ ÙfiappleÈÛË Ένα σήµα y() είναι µια χρονικά µετατοπισµένη κατά µορφή του σήµατος x(), αν y() = x( ) (.) Στο Σχήµα. έχει σχεδιαστεί ένα σήµα x() και η χρονικά µετατοπισµένη µορφή του.

15 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 7.3 ª ƒ ª ƒ Ã 7 x() x( ) Ì. (α) (β) (α) Το σήµα x() και (β) η χρονικά µετατοπισµένη µορφή του. Η χρονική µετατόπιση είναι µια πολύ συνηθισµένη µεταβολή στην πράξη. Σε περιπτώσεις µετάδοσης ενός σήµατος έχουµε χρονικές καθυστερήσεις, οι οποίες εξαρτώνται από τις ιδιότητες του µέσου µετάδοσης. Για παράδειγµα, σ ένα τηλεπικοινωνιακό σύστηµα το σήµα που λαµβάνει ο δέκτης είναι χρονικά καθυστερηµένο σε σχέση µε αυτό που εκπέµπεται από τον ποµπό. ÂÈÁÌ. ίνεται το σήµα Ï +, - < Ô x () = Ì -, < Ô Ó, αλλιώς Να σχεδιάσετε το σήµα y() = x( ). (.) Λύση Το σήµα x() εικονίζεται στο Σχήµα.. Το σήµα y() αποτελεί την ανάκλαση του σήµατος x(). Θα προσδιορίσουµε τη συνάρτηση του σήµατος y() = x( ), ως εξής x() Ì. Το σήµα x() του Παραδείγµατος.. Ï( - ) +, - - < Ï- +, > Ï +, - < Ô Ô Ô y () = Ì -(- ), - < = Ì +, > - = Ì -, < Ô Ó, αλλιώς Ô Ó, αλλιώς Ô Ó, αλλιώς (.3)

16 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 8 8 π ø Ã ª Η γραφική παράσταση του σήµατος y() = x( ) δίνεται στο Σχήµα.. Ì. Η γραφική παράσταση του σήµατος y() = x( ). x( ) ÕÛÎËÛË ÙÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË. ίνεται το σήµα το οποίο περιγράφεται από τη συνάρτηση (.) στο Παράδειγµα.. Να σχεδιάσετε τα ακόλουθα σήµατα: y () = x( + ) y () = x() y 3 () = x( / ) y 4 () = x( ) y 5 () = x( ) ÕÛÎËÛË ÙÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË.3 Σηµειώστε τη µετατροπή, που πρέπει να κάνουµε στο σήµα x(), ώστε να δηµιουργηθούν τα σήµατα y k (), για k =,,, 5. y () y () x() Aνάκλαση y 3 () y 5 () y 4 ()

17 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 9.4 πã πø ª 9.4 ÙÔÈ ÂÈÒ Ë Û Ì Ù Η ανάλυση ενός σήµατος σε απλούστερα σήµατα, των οποίων η συµπεριφορά είναι είτε γνωστή είτε είναι ευκολότερο να µελετηθεί, αποτελεί βασική µεθοδολογία στην επεξεργασία σήµατος. Στη συνέχεια θα ορίσουµε έναν αριθµό στοιχειωδών σηµάτων που παίζουν έναν ιδιαίτερο ρόλο στη θεωρία σηµάτων, ως βάσεις για τη µελέτη πολυπλοκότερων σηµάτων..4. ªÈÁ ÈÎfi ÂÎıÂÙÈÎfi Û Ì Το µιγαδικό εκθετικό σήµα συνεχούς χρόνου ορίζεται από τη σχέση x() = c e s (.4) όπου s = σ + jω, έτσι x() = c e σ e jω Μία σηµαντική κατηγορία εκθετικών σηµάτων συνεχούς χρόνου προκύπτει, αν το s είναι πραγµατικός αριθµός, s = σ, οπότε το x() ονοµάζεται πραγµατικό εκθετικό σήµα, και παρουσιάζει ασυµπτωτική συµπεριφορά ανάλογα µε τις τιµές του σ (Σχήµα.3). x() x() x() c c c (α) (β) (γ) Μία άλλη σηµαντική κατηγορία εκθετικών σηµάτων συνεχούς χρόνου προκύπτει αν το s είναι φανταστικός αριθµός (s = jω ), δηλαδή x() = e jω. Το σήµα x() = e jω είναι περιοδικό µε περίοδο Τ, αν Ω =, οπότε x() =, το οποίο µπορεί να θεωρηθεί περιοδικό για κάθε Τ. Ω, οπότε η θεµελιώδης περίοδος T, δηλαδή η µικρότερη τιµή του T, είναι T = π/ Ω. Πράγµατι, από τον ορισµό ισχύει Ì.3 Το πραγµατικό εκθετικό σήµα (α) για σ<, (β) για σ> και (γ) για σ=. e jω = e jω ( + T) = e jω e jω T fi e jω T = fi όπου χρησιµοποιήθηκε η σχέση του Euler e jθ = cosθ + jsinθ. Το γνωστό συνηµιτονοει- p cos( WT) + jsin( WT) = fi WT = kp fi T = W

18 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 3 3 π ø Ã ª δές σήµα x() = Acos(Ω + φ) (Σχήµα.4) είναι επίσης περιοδικό µε θεµελιώδη περίοδο T και θεµελιώδη συχνότητα F, όπου F = /T και Ω = πf. Το συνηµιτονοειδές σήµα σχετίζεται άµεσα µε το µιγαδικό εκθετικό σήµα. Πράγµατι, αν χρησιµοποιήσου- µε τη σχέση του Euler, µπορούµε να εκφράσουµε το εκθετικό σήµα µε τη βοήθεια ηµιτονοειδών σηµάτων της ίδιας θεµελιώδους περιόδου, από τη σχέση e j(ω + φ) = cos(ω + φ) + jsin( Ω + φ) (.5) Mπορούµε, προφανώς, να γράψουµε ( ) = { } + ( ) = { } j W j W cos W + e e ( + j ) + j, sin W j m e ( j ) (.6) όπου e{ }συµβολίζει το πραγµατικό και m{ } το φανταστικό µέρος του µιγαδικού αριθµού. x() = Αcos(Ω + φ) Α Αcosφ Τ = π Ω Ì.4 Το συνηµιτονοειδές σήµα συνεχούς χρόνου. Η σχέση του Euler αντιστρέφεται και έτσι µπορούµε να εκφράσουµε το ηµίτονο ή το συνηµίτονο µε τη βοήθεια εκθετικών µιγαδικών όρων, όπως για παράδειγµα e + e e - e cos( W) =, sin( W) = j jw - jw jw -jw (.7) Το µιγαδικό εκθετικό σήµα e jω, όπως και τα σήµατα cos(ω ), sin(ω ), είναι γνωστό ως σήµα µιας συχνότητας ή σήµα απλής συχνότητας. Όπως θα δούµε στο Κεφάλαιο 3 τα σήµατα αυτά χρησιµοποιούνται για να περιγράψουν τα χαρακτηριστικά πολλών φυσικών διαδικασιών. Στο Σχήµα.5 δίνονται τρία παραδείγµατα συνηµιτονοειδών σηµάτων µε διαφορετική κυκλική συχνότητα και περιόδο. Παρατηρούµε ότι, όταν η συχνότητα αυξάνει, Ω < Ω < Ω 3, η θεµελιώδης περίοδος ελαττώνεται, T > T > T 3, και αυξάνει ο ρυθµός των ταλαντώσεων του σήµατος, δηλαδή αυξάνει ο ρυθµός µεταβολής του σήµατος. Ένα σήµα χαµηλής συχνότητας µεταβάλλεται µε αργό ρυθµό, σε αντίθεση µε ένα σήµα υψηλής συχνότητας που µεταβάλλεται µε γρήγορο ρυθµό.

19 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 3.4 πã πø ª 3 x () = cos(ω ) Τ x () = cos(ω ) Τ x 3 () = cos(ω 3 ) Τ 3 Ì.5 Η συµπεριφορά του συνηµιτόνου για διαφορετικές συχνότητες: Ω < Ω < Ω 3 Η γενική περίπτωση µιγαδικού εκθετικού σήµατος συνεχούς χρόνου είναι x() = c e s όπου c = c e jθ και s = σ + jω (.8) έτσι x() = c e jθ e (σ + jω ) = c e σ e j(ω + θ) (.9) Με τη βοήθεια της σχέσης του Euler έχουµε ( ) + ( + q) s s x( ) = c e cos W + q j c e sin W s s Ê = c e cos W + q j c e cosá W Ë ( ) + + q - (.3) Για σ = το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος (τµήµα) είναι (συν)ηµιτονοειδή σήµατα (Σχήµα.6α.). Για σ > τα αντίστοιχα (συν)ηµιτονοειδή σήµατα πολλαπλασιάζονται µε έναν αυξανόµενο εκθετικό παράγοντα (Σχήµα.6β). Για σ < τα αντίστοιχα σήµατα πολλαπλασιάζονται µε έναν εκθετικό παράγοντα που φθίνει (Σχήµα.6γ ). Τα σήµατα αυτά είναι γνωστά ως φθίνοντα (συν)ηµιτονοειδή σήµατα και εµφανίζονται στις φθίνουσες αρµονικές µηχανικές ή ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Στο Σχήµα.6 οι διακεκοµµένες γραµµές αντιστοιχούν στις συναρτήσεις ± c e σ και αποτελούν την περιβάλλουσα της καµπύλης ταλάντωσης. p ˆ

20 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 3 3 π ø Ã ª e{x()} = c cos(ω + θ) e{x()} = c e σ cos(ω + θ) e{x()} = c e σ cos(ω + θ) (α) (β) (γ) Ì.6 Γραφική αναπαράσταση του πραγµατικού µέρους του µιγαδικού εκθετικού σήµατος (α) σ=, (β) σ> και (γ) σ<. ÂÈÁÌ.3 Να εξετάσετε αν τα παρακάτω σήµατα είναι περιοδικά ή όχι. Αν το σήµα είναι περιοδικό να υπολογιστεί η θεµελιώδης συχνότητά του. Ê p ˆ ) x ( ) = 3cosÁ5 + Ë 4 ) x () e j ( p -) = 3) Â n =- - x () = e ( - n ) Λύση ) Εξετάζουµε αν υπάρχει θετικός αριθµός T για τον οποίο x( + T) = x() για κάθε τιµή του χρόνου. Έτσι έχουµε Ê p ˆ x ( + T) = x ( ) fi cosá + T + cos Ë = Ê Á Ë + p ˆ (.3) Γνωρίζουµε, όµως, ότι αν cosφ = cosθ τότε φ ± θ = kπ, και εποµένως προκύπτει ότι ή Ê p ˆ k Á5 + 5T + 5 k Ë 4 + Ê + p ˆ p p Á = p ή T = - - Ë 4 5 Ê p ˆ k Á5 + 5T + 5 k Ë 4 - Ê Á Ë + p ˆ p = p ή T = 4 5 (.3) (.33) Από την (.3) δεν προκύπτει σταθερή τιµή για την περίοδο. Από την (.33) παρατηρούµε ότι το σήµα είναι περιοδικό µε θεµελιώδη περίοδο T = π/5 και θεµελιώδη συχνότητα F = 5/π.

21 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 33.4 πã πø ª 33 ) Με παρόµοιο τρόπο έχουµε x( + T) = x() fi e j(π + πt ) = e j(π ) fi e jπt = fi cos(πt) + jsin(πt) = fi πt = kπ fi T = k Παρατηρούµε ότι το σήµα είναι περιοδικό µε θεµελιώδη περίοδο T = και θεµελιώδη συχνότητα F = /. 3) Για το σήµα είναι ( ) Â - x T e + ( + ) = T - n n =- Â n =- - x () = e ( - n ) θέτοντας T = k έχουµε µε αλλαγή µεταβλητής n k = n το σήµα αποκτά τη µορφή -( - ) Â x k e ( + ) = n n =- x k e ( ( ) n k ) + = [ ] Â n =- (.34) (.35) Συγκρίνοντας τις (.34) και (.35) παρατηρούµε ότι x( + k) = x(), άρα το σήµα είναι περιοδικό µε περίοδο T = k. Η θεµελιώδης περίοδος του σήµατος είναι T = και η θεµελιώδης συχνότητα F = /. x() = Asin(πF + φ)(vol) ÕÛÎËÛË ÙÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË.4 ίνεται το σήµα 4 8 (sec) Τι είναι σωστό και τι λάθος από τα παρακάτω: Σωστό Λάθος Η συχνότητα του σήµατος είναι /4 Hz. Το πλάτος του σήµατος είναι V. Η αρχική φάση του σήµατος είναι 45. x m Ae j W () + φ ( ) = { }.

22 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ π ø Ã ª.4. Û Ó ÙËÛË ÌÔÓ È Ô Ì ÙÔ Û ÓÂ Ô fióô Μια ειδική µορφή σήµατος είναι η συνάρτηση µοναδιαίου βήµατος συνεχούς χρόνου, η οποία ορίζεται ως Ï, < u () = Ì Ó, > και έχει τη µορφή του Σχήµατος.7 (.36) u() Ì.7 Η συνάρτηση µοναδιαίου βήµατος (συνεχούς χρόνου). Η συνάρτηση u() είναι ασυνεχής εφόσον δεν ορίζεται στο =. Ένας άλλος τρόπος να δούµε τη συνάρτηση u() είναι ως όριο της u () Ï, < Ô ud () = Ì < < D (.37) D Ô Ó, D Η συνάρτηση u () φαίνεται στο Σχήµα.8. Παρατηρούµε ότι u () = lim u () u () D D Æ Ì.8 Η συνεχής προσέγγιση της συνάρτησης µοναδιαίου βήµατος..4.3 ÎÔ ÛÙÈÎ Û Ó ÙËÛË Û ÓÂ Ô fióô Ó ÙËÛË ÏÙ Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η παράγωγος της συνάρτησης u () d D () du () d D = Ï, < Ô Ì < < D (.38) D Ô Ó D < η οποία δεν ορίζεται στα σηµεία ασυνέχειας και και φαίνεται στο Σχήµα.9.

23 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 35.4 πã πø ª 35 δ () Ì.9 Η παράγωγος της συνάρτησης u (). Παρατηρούµε ότι το εµβαδό της δ () είναι ίσο µε τη µονάδα για κάθε τιµή της και ότι η συνάρτηση δ () είναι ίση µε το µηδέν έξω από το διάστηµα. Όταν Æ η χρονική διάρκεια του παλµού ελαττώνεται και αυξάνεται το ύψος του, το εµβαδό όµως παραµένει σταθερό και ίσο µε τη µονάδα. Στο όριο Æ το εύρος του παλ- µού τείνει στο µηδέν και το ύψος τείνει στο άπειρο. Oρίζουµε τη συνάρτηση δ() ως d() = lim d () (.39) Η δ() ονοµάζεται συνάρτηση έλτα ή συνάρτηση Dirac ή κρουστική συνάρτηση. Θα πρέπει να τονιστεί ότι η δ() δεν είναι συνάρτηση µε τη συνήθη έννοια και ορίζεται µέσα από τις ιδιότητές της, δηλαδή και δ() =, π (.4) (.4) Mια διεξοδικότερη µελέτη της συνάρτησης δ() χρειάζεται να χρησιµοποιήσουµε στοιχεία από τη θεωρία κατανοµών. Μία βασική ιδιότητα της συνάρτησης έλτα είναι η δ() = δ( ) (.4) Η κρουστική συνάρτηση είναι ίση µε την παράγωγο της συνάρτησης µοναδιαίου βήµατος. Ένας γενικότερος ορισµός της δ() είναι και D Æ d( d ) = - δ() =, π (.43) x () d ( - ) d = x ( ) - (.44) όπου x() είναι συνεχής συνάρτηση στο. Η συνάρτηση δ() γραφικά παριστάνεται D

24 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ π ø Ã ª όπως στο Σχήµα.. Το µέτρο του διανύσµατος το οποίο χρησιµοποιούµε για να αποδώσουµε τη συνάρτηση δέλτα επιλέγεται έτσι ώστε να είναι ίσο µε το εµβαδό της. δ() Ì. Η συνάρτηση έλτα (Dirac). ÂÈÁÌ.4 Αν x() είναι το σήµα που δίνεται στο Παράδειγµα. (βλέπε.), να υπολογιστούν τα σήµατα y () = x()u() y () = x()δ( ) Λύση Με τη βοήθεια της σχέσης ορισµού της συνάρτησης u() παρατηρούµε ότι το σήµα y () είναι το αιτιατό τµήµα του σήµατος x(). Το σήµα y () είναι η συνάρτηση δέλτα χρονικά µετατοπισµένη κατά µε πλάτος x() =. Στο Σχήµα. εικονίζονται τα σήµατα x(), y () και y (). x() y () = x()u() y () = x()δ( ) Ì. Γραφικές παραστάσεις για τα σήµατα x(), y () και y (). ÂÈÁÌ.5 Να σχεδιάσετε τα ακόλουθα σήµατα: x() = δ () + 3δ ( ) + 5δ ( ) όταν = και y() = u( + ) u( ) Λύση Στο Σχήµα. απεικονίζεται ο τρόπος δηµιουργίας του σήµατος x(). Παρατηρούµε ότι το σήµα x() (Σχήµα. δ ) είναι το άθροισµα του σήµατος δ () (Σχήµα.

25 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 37.4 πã πø ª 37 α ), του 3δ ( ) (Σχήµα. β ) και του 5δ ( ) (Σχήµα. γ ). Επίσης το σήµα y() (Σχήµα. δ ) είναι η διαφορά του σήµατος u( ) (Σχήµα. β ) από το u( +) (Σχήµα. γ ). δ () (α ) u() (α ) 3 3δ ( ) u( ) 3 (β ) (β ) 3 5δ ( ) 5 (γ ) u( + ) (γ ) x() 3 (δ ) y() (δ ) Ì. Ο τρόπος δηµιουργίας των σηµάτων x() και y() του Παραδείγµατος.5. ÂÈÁÌ.6 Να αναπτυχθεί ένα τυχαίο αναλογικό σήµα σε άθροισµα από ολισθήσεις µοναδιαίου δείγµατος.

26 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ π ø Ã ª Λύση Έστω το τυχαίο αναλογικό σήµα x() του Σχήµατος.3α. Θεωρούµε το κλιµακωτό σήµα x^ (), του Σχήµατος.3α, το οποίο προσεγγίζει το σήµα x(). Υπενθυµίζουµε ότι η δ ( ) είναι ένας παλµός µε αρχή τη χρονική στιγµή, µε διάρκεια και πλάτος ίσο µε ένα. Ο παλµός, του Σχήµατος.3β, µε αρχή τη χρονική στιγ- µή = και ύψος ίσο µε την τιµή του σήµατος την ίδια χρονική στιγµή, x( ), εκφράζεται από την x( ) δ ( + ) (.45) Με ανάλογο τρόπο εκφράζονται και οι άλλοι παλµοί, οι οποίοι προσδιορίζονται από το σήµα x^ () (βλέπε Σχήµα.3γ, δ). Έτσι το σήµα x^ () εκφράζεται από την εξίσωση x() ^x() (α ) 3 4 (α ) k (k+) x( ) δ ( + ) x( ) (β) x( ) δ ( + ) x( ) (γ) x() δ () x() Ì.3 Ανάπτυγµα σήµατος συνεχούς χρόνου σε ολισθήσεις µοναδιαίου δείγµατος.

27 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 39.4 πã πø ª 39 Αν Æ, το σήµα x^ () Æ x(), έτσι x ˆ( ) =  xk ( D ) d ( -k D ) D D k =- (.46) (.47) Όταν Æ, το k γίνεται η συνεχής µεταβλητή τ, το άθροισµα στο δεύτερο µέλος της (.47) γράφεται ως ολοκλήρωµα και επειδή d() = lim d D(), το σήµα x() δίνεται από την D Æ εξίσωση (.48) Το παράδειγµα αυτό αναδεικνύει µια φυσική προέκταση του ορισµού (.44), που θα µας φανεί χρήσιµη στην Ενότητα.4. ÂÈÁÌ.7 - ίνεται το ακόλουθο σήµα x ( ) = lim  xk ( D) d D( -kd) D D Æ k =- x ( ) = x( ) d( - ) d = x( ) d( -d ) x() - Ì.4 Το σήµα του Παραδείγµατος.7. Nα σχεδιάσετε τα σήµατα x + () = x()u() και x () = x( )u(). Παρατηρήστε ότι τα σήµατα x + () και x () είναι αιτιατά σήµατα. Το µη αιτιατό σήµα x() µπορεί να εκφραστεί ως άθροισµα των δύο αυτών σηµάτων µε τη βοήθεια της σχέσης x() = x + () + x ( ) (.49) Λύση Στο Σχήµα.5α εικονίζεται το σήµα x() και στο Σχήµα.5β η ανάκλασή του x( ). Το αιτιατό τµήµα του σήµατος x(), x + () = x() u(), εικονίζεται στο Σχήµα.5γ και το αιτιατό τµήµα του σήµατος x( ), x () =x( ) u(), εικονίζεται στο Σχήµα.5δ. Παρατηρούµε από τα διαγράµµατα ότι το σήµα x() είναι ίσο µε το άθροισµα του σήµατος x + () και της ανάκλασης x ( ) του σήµατος x (), δηλαδή είναι x() = x + () + x ( )

28 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 4 4 π ø à ª x() x( ) (α) (β) x()u() x( )u() Ì.5 Τα σήµατα του Παραδείγµατος.7. (γ) (δ) ÕÛÎËÛË ÙÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË.5 ίνεται το σήµα που εικονίζεται στο παρακάτω σχήµα. Να σχεδιάσετε τα σήµατα α) x ()u() και β) x e ()u(), όπου x () είναι το περιττό µέρος του σήµατος x() και x e () το άρτιο µέρος του. x().5 ªÂÈÎ ÛÈÎ ÛÙÔÈ Â ÁÈ ÙÔ ÌÈÁ ÈÎÔ ÈıÌÔ Όπως έχουµε αναφέρει, αν και τα µιγαδικά σήµατα δεν έχουν φυσική υπόσταση, είναι µαθηµατικά «ελκυστικά» γιατί απλουστεύουν την άλγεβρα των πράξεων. Στη συνέχεια δίνεται µια σύντοµη παρουσίαση βασικών ιδιοτήτων των µιγαδικών αριθµών. Μια πλήρης παρουσίαση των µιγαδικών αριθµών υπάρχει σε ειδικά βιβλία.

29 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 4.5 ª ƒπ µ π πã π π À ªπ π À ƒπ ª À 4 Σε καρτεσιανές συντεταγµένες, η µορφή ενός µιγαδικού αριθµού z δίνεται από την εξίσωση: z = x + jy, όπου j = - και x και y είναι πραγµατικοί αριθµοί, οι οποίοι ονοµάζονται πραγµατικό µέρος και φανταστικό µέρος ή τµήµα αντίστοιχα, του µιγαδικού αριθµού. Συνήθως συµβολίζουµε x = e{z} και y = m{z}. Ο µιγαδικός αριθµός z µπορεί επίσης να παρασταθεί σε πολικές συντεταγµένες από την εξίσωση z = r e jθ, όπου r > είναι το µέτρο του µιγαδικού αριθµού z. Το µέτρο συµβολίζεται και µε z. Το θ είναι η γωνία ή η φάση του µιγαδικού αριθµού z (θ = argz ή θ = z). Η σχέση µεταξύ των δύο αυτών εκφράσεων των µιγαδικών αριθµών απορρέει από τη σχέση του Euler e jθ = cosθ + jsinθ. Παρατηρούµε ότι x = rcosθ και y = rsinθ όπου r = x + y και Ê ˆ Ê ˆ y q = Á Ë + = x sin cos Á Ë + = an x y x y Ê y ˆ Á Ë x (.5) Με τη βοήθεια της σχέσης του Euler έχουµε e jθ = cosθ + jsinθ e jθ = cosθ jsinθ jq - jq cos q = ( e + e ) jq - jq sin q = ( e -e ) j (.5).5. Á ÌÈÁ ÈÎfi ÈıÌfi π ÈfiÙËÙÂ Αν z = x + jy = re jθ είναι ένας µιγαδικός αριθµός, τότε ο συζυγής µιγαδικός του z, που συµβολίζεται ως z *, δίνεται από τη σχέση z * = x jy = re jθ (.5) Για δύο συζυγείς µιγαδικούς αριθµούς έχουµε τις ακόλουθες ιδιότητες: α) Αν ένας µιγαδικός αριθµός είναι ίσος µε το συζυγή του, τότε το φανταστικό του µέρος είναι ίσο µε µηδέν, δηλαδή, ο αριθµός είναι πραγµατικός. Πράγµατι, z = z * fi x + jy = x jy fi y =. β) Το τετράγωνο του µέτρου µιγαδικού αριθµού είναι ίσο µε το γινόµενο του µιγαδικού αριθµού επί το συζυγή του µιγαδικό αριθµό. Πράγµατι, z z * = re jθ re jθ fi z z * = r. γ) Το πραγµατικό µέρος ενός µιγαδικού αριθµού είναι ίσο µε το ηµιάθροισµα του µιγαδικού

30 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 4 4 π ø Ã ª αριθµού και του συζυγή του µιγαδικού αριθµού. Πράγµατι, z + z * = x + jy + x jy fi z + z * = x και e{z} = (z + z * )/. δ) Το φανταστικό µέρος ενός µιγαδικού αριθµού είναι ίσο µε τη διαφορά του συζυγούς µιγαδικού αριθµού του από τον µιγαδικό αριθµό διαιρούµενη µε j. Πράγµατι, z z * = x + jy x jy fi z z * = jy και e{z} = (z z * )/(j). ÕÛÎËÛË ÙÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË.6 Να εκφραστεί καθένας από τους παρακάτω µιγαδικούς αριθµούς σε πολική µορφή και να παρασταθούν στο µιγαδικό επίπεδο, στο οποίο να φαίνεται το µέτρο και η φάση κάθε αριθµού. 4 3 z = - z = ( - j) z = 3 + j 3 j z 3 ( ) + ( ) 4 = 3 + j + j 3 ÕÛÎËÛË ÙÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË.7 Να εκφραστεί καθένας από τους παρακάτω µιγαδικούς σε καρτεσιανή µορφή και να παρασταθεί στο µιγαδικό επίπεδο, στο οποίο να φαίνεται το πραγµατικό και το φανταστικό τµήµα κάθε αριθµού. p j j e z e 4 j4 j5 4 = z = 3 e + e z3 = - p p p - 3j 3 z 4 = - j e 9p j 4

31 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 43 µπµπ π ƒ ºπ 43 ÓÔ Ë Στο κεφάλαιο αυτό δόθηκε ο ορισµός της έννοιας «σήµα» και η µαθηµατική της έκφραση. Κατατάξαµε τα σήµατα σε τρεις κατηγορίες, τα Αναλογικά Σήµατα, τα Σήµατα ιακριτού Χρόνου και τα Ψηφιακά Σήµατα. Περιγράψαµε τις βασικές ιδιότητες που έχουν τα αναλογικά σήµατα, που αποτελούν το αντικείµενο αυτού του βιβλίου, και αναφέραµε τις µεταβολές που υφίσταται ένα αναλογικό σήµα ως προς το χρόνο. Επίσης, στο κεφάλαιο αυτό περιγράψαµε το µιγαδικό εκθετικό σήµα και το ηµιτονοειδές σήµα. Αναφέραµε δύο σηµαντικές συναρτήσεις, τη συνάρτηση µοναδιαίου βήµατος και τη συνάρτηση δέλτα. Τέλος, αναφέραµε τους τρόπους παράστασης ενός µιγαδικού αριθµού στο µιγαδικό επίπεδο και ορίσαµε µερικές βασικές έννοιες, όπως µέτρο, φάση, πραγµατικό µέρος, φανταστικό µέρος µιγαδικού αριθµού και συζυγής µιγαδικός αριθµός. µè ÈÏÈÔÁ Ê []Σ. Θεοδωρίδης, Κ. Μπερµπερίδης, Λ. Kοφίδης, Εισαγωγή στη Θεωρία Σηµάτων και Συστηµάτων, Τυπωθήτω Γιώργος αρδανός, Αθήνα 3. []Ν. Καλουπτσίδης, Σήµατα Συστήµατα και Αλγόριθµοι, ίαυλος, Αθήνα, 994. [3]Γ. Καραγιάννης,. Καλλίνικος, Σήµατα και Συστήµατα, Συµεών, Αθήνα 99. [4]A. V. Oppenheim, A. S. Willsky, I. T. Young, Signal and Sysems, Prenice Hall Inc., N. Y., 983. [5]J. G. Proakis, D. G. Manolakis, Inroducion o Digial Signal Processing, MacMillan, 99.

32 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 44

33 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 45 ÈÛ ÁˆÁ ÛÙ ÛÙ Ì Ù ÎÔapplefi Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να δώσει µια γενική εικόνα του τι είναι σύστηµα, να κατατάξει τα συστήµατα ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεπόµενων εισόδων και εξόδων και να περιγράψει τις βασικές ιδιότητές τους. Στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφεί η µέθοδος προσδιορισµού της εξόδου ενός συστήµατος, όταν γνωρίζουµε την είσοδό του όπως, επίσης, και την έξοδό του, όταν η είσοδός του διεγείρεται από τη συνάρτηση δέλτα. Στη συνέχεια θα δείξουµε ότι σε µία ειδική κατηγορία συστη- µάτων, αν η είσοδος είναι το µιγαδικό εκθετικό σήµα συχνότητας Ω, τότε και η αντίστοιχη έξοδος είναι επίσης, ένα µιγαδικό εκθετικό σήµα µε την ίδια συχνότητα, το πλάτος και η φάση του οποίου έχουν υποστεί µια αλλαγή που προκαλεί το σύστηµα. Τέλος, θα εφαρµόσουµε τα παραπάνω σε απλά µηχανικά και ηλεκτρικά συστήµατα. º π ÔÛ ÔÎÒÌÂÓ appleôùâï ÛÌ Ù Όταν θα έχετε µελετήσει αυτό το κεφάλαιο θα µπορείτε να: περιγράψετε τι είναι σύστηµα, περιγράψετε τέσσερις τρόπους σύνδεσης συστηµάτων, αναφέρετε τις κατηγορίες των συστηµάτων µε βάση τον αριθµό και το είδος των επιτρεπόµενων εισόδων και εξόδων, αναφέρετε τις ιδιότητες των συστηµάτων, όπως γραµµικότητα, αιτιότητα, ευστάθεια, περιγράψετε πότε ένα σύστηµα είναι στατικό δυναµικό και πότε ένα σύστηµα είναι χρονικά αναλλοίωτο, αναφέρετε τα µεγέθη τα οποία περιγράφουν τη συµπεριφορά των συστηµάτων, όπως η κρουστική απόκριση, η συνάρτηση µεταφοράς και η απόκριση συχνότητας, εξηγήσετε τη φυσική σηµασία των παραπάνω µεγεθών, προσδιορίσετε την έξοδο ενός συστήµατος, όταν γνωρίζετε την είσοδο και την κρουστική απόκρισή του, αναλύσετε απλά ηλεκτρονικά ή µηχανικά συστήµατα. ŒÓÓÔÈ ÎÏÂÈ È αιτιατό σύστηµα αντιστρέψιµο σύστηµα απόκριση συχνότητας συστήµατος γραµµικό σύστηµα

34 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ π ø À ª δυναµικό σύστηµα είσοδος συστήµατος έξοδος συστήµατος ευσταθές σύστηµα κρουστική απόκριση συστήµατος µετασχηµατισµός Fourier µετασχηµατισµός Laplace ολοκλήρωµα της συνέλιξης στατικό σύστηµα συνέλιξη συνάρτηση µεταφοράς συστήµατος σύστηµα χρονικά αναλλοίωτο σύστηµα υβριδικά συστήµατα ÈÛ ÁˆÁÈÎ apple ÙË ÛÂÈ Το κεφάλαιο αυτό χωρίζεται σε πέντε ενότητες. Στην Ενότητα., γίνεται µια εισαγωγή στα συστήµατα, δίνεται ο ορισµός του συστήµατος και παρουσιάζονται οι διάφορες κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε την είσοδο και την έξοδό τους. Στην Ενότητα., παρουσιάζονται οι τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Στην Ενότητα.3, παρουσιάζονται µερικές βασικές ιδιότητες που έχουν τα συστήµατα. Στην Ενότητα.4, παρουσιάζεται µια βασική σχέση της θεωρίας συστηµάτων και δίνονται µερικές από τις ιδιότητές της. Με τη βοήθεια της σχέσης αυτής προσδιορίζεται η σχέση εισόδου εξόδου ενός συστήµατος. Τέλος, στην Ενότητα.5 υπολογίζεται η έξοδος ενός συστήµατος, όταν στην είσοδό του εφαρµοστεί ένα σήµα απλής συχνότητας. ÈÛ ÁˆÁ Στο προηγούµενο κεφάλαιο ασχοληθήκαµε µε βασικούς ορισµούς και έννοιες που αφορούν τα σήµατα. Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε συστήµατα. Η έννοια του συστή- µατος είναι πολύ γενική και χρειάζεται επιπλέον ερµηνεία. Πολύ συχνά χρησιµοποιού- µε τη λέξη «σύστηµα» για να αναφερθούµε σε ένα «σύνολο δοµών» και «λειτουργιών». Για παράδειγµα, αναφερόµαστε στο «Εθνικό Σύστηµα Υγείας», που παρέχει τις κρατικές υπηρεσίες που σχετίζονται µε την υγεία. Εµείς θα εστιάσουµε το ενδιαφέρον µας σε ένα πολύ πιο περιορισµένο σύνολο συστηµάτων, αυτών που έχουν άµεση σχέση µε τα σήµατα. Ειδικότερα, στη Θεωρία Συστηµάτων ένα σύστηµα είναι η οντότητα εκείνη που επεξεργάζεται, µεταβάλλει, καταγράφει, ή µεταδίδει σήµατα. Για παράδειγµα, ένα σύστη- µα ψηφιακής καταγραφής ήχου µετατρέπει ένα ακουστικό σήµα σε µια σειρά από αριθ- µούς (bis) τους οποίους καταγράφει, π.χ., σε οπτικό δίσκο. Αντίθετα, το CD player είναι ένα σύστηµα το οποίο διαβάζει τους αριθµούς, οι οποίοι είναι αποθηκευµένοι στον οπτικό δίσκο, και αναπαράγει το ηχητικό σήµα, το οποίο µπορούµε να ακούσουµε. Ένα σύστηµα επικοινωνίας µεταφέρει πληροφορία, π.χ., το σήµα φωνής, από ένα σηµείο του χώρου, που λέγεται πηγή, σ ένα άλλο σηµείο, που είναι ο προορισµός χρήσης της.

35 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 47. ƒπ ª À ª ƒπ À ª ø 47. ÈÛÌfi Û ÛÙ Ì ÙÔ K ÙËÁÔ Â Û ÛÙËÌ ÙˆÓ Ως σύστηµα ορίζουµε την οντότητα εκείνη η οποία επενεργώντας σε ένα σήµα, x(), έχει ως αποτέλεσµα ένα άλλο σήµα y(). Από µαθηµατική άποψη, ένα σύστηµα µπορεί να θεωρηθεί ως ένας µετασχηµατισµός S που µετασχηµατίζει ένα σήµα, x(), σε ένα άλλο σήµα y() = S{x()}. Η δράση ενός συστήµατος περιγράφεται σχηµατικά στο Σχήµα.. Eίσοδος x() Σύστηµα S Έξοδος y() Ì. Σχηµατική περιγραφή του συστήµατος. Το αρχικό σήµα x(), το οποίο διεγείρει το σύστηµα, λέγεται σήµα εισόδου ή απλά είσοδος του συστήµατος, ενώ το αποτέλεσµα στη διαδικασία διέγερσης, δηλαδή το σήµα y() λέγεται σήµα εξόδου ή απλά έξοδος του συστήµατος. Ο παραπάνω ορισµός είναι πολύ γενικός και µπορεί να περιγράψει πολλά φυσικά συστήµατα όπως: ηλεκτρικά κυκλώµατα (π.χ. ραδιόφωνο), µηχανικά συστήµατα (π.χ. αυτοκίνητο, ένα ροµποτικό βραχίονα), ένα επικοινωνιακό κανάλι, έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή και πολλά άλλα. Ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεπόµενων εισόδων και εξόδων, τα συστήµατα διακρίνονται στις εξής κατηγορίες: a) Συστήµατα µιας εισόδου µιας εξόδου ή SISO (Single Inpu, Single Oupu). Παραδείγµατα απλών συστηµάτων µιας εισόδου µιας εξόδου είναι ο βαθµωτός πολλαπλασιαστής, y() = a x(), και το σύστηµα καθυστέρησης, y() = x( ). β) Συστήµατα µε πολλές εισόδους και µία έξοδο που είναι γνωστά ως συστήµατα MISO (Muli Inpu, Single Oupu). Παράδειγµα τέτοιων συστηµάτων είναι ο αθροιστής δύο ή περισσότερων σηµάτων, y() = x () + x (), και ο πολλαπλασιαστής, y() = x () x (). γ) Συστήµατα µε πολλές εισόδους και πολλές εξόδους, γνωστά ως συστήµατα MIMO (Muli Inpu, Muli Oupu). Ανάλογα µε τη φύση των επιτρεπόµενων εισόδων και εξόδων, τα συστήµατα διακρίνονται ως εξής: α) Συστήµατα συνεχούς χρόνου ή αναλογικά συστήµατα, όταν τα σήµατα εισόδου και εξόδου είναι αναλογικά σήµατα (Ενότητα.). Όταν τα σήµατα εισόδου και εξόδου είναι σήµατα διακριτού χρόνου (Ενότητα.), τότε τα συστήµατα χαρακτηρίζονται ως συστήµατα διακριτού χρόνου.

36 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ π ø À ª β) Αιτιοκρατικά συστήµατα, όταν τα σήµατα εισόδου και εξόδου είναι αιτιοκρατικά σήµατα (Ενότητα..6). Όταν τα σήµατα εισόδου και εξόδου είναι στοχαστικά σήµατα (Ενότητα..6), τα συστήµατα χαρακτηρίζονται ως στοχαστικά συστήµατα. Ένα παράδειγµα αναλογικού και συγχρόνως στοχαστικού συστήµατος είναι το γνωστό κύκλωµα ανόρθωσης και εξοµάλυνσης της εναλλασσόµενης τάσης του Σχήµατος., στο οποίο το σήµα εισόδου είναι η εφαρµοζόµενη τάση υ in () και το σήµα εξόδου η αναπτυσσόµενη τάση στα άκρα της αντίστασης R, υ (). Ì. Παράδειγµα αναλογικού συστήµατος. υ in () D R C υ () Ένα σύστηµα επικοινωνίας είναι ένα στοχαστικό σύστηµα εφόσον η είσοδός του και η έξοδός του είναι στοχαστικά σήµατα. Υπάρχουν επίσης συστήµατα τα οποία µετασχηµατίζουν αναλογικές εισόδους σε διακριτές εξόδους και αντιθέτως. Τέτοια συστήµατα είναι γνωστά ως υβριδικά συστή- µατα. Ο αναλογοψηφιακός µετατροπέας (A/D Analog o Digial converer), ο οποίος µετατρέπει ένα αναλογικό σήµα σε ψηφιακό και ο ψηφιοαναλογικός µετατροπέας (D/A), είναι υβριδικά συστήµατα. Στα επόµενα δύο παραδείγµατα θα προσδιορίσουµε την εξίσωση, η οποία περιγράφει τη σχέση µεταξύ του σήµατος εισόδου και σήµατος εξόδου ενός ηλεκτρικού και ενός µηχανικού συστήµατος. ÂÈÁÌ. Σ ένα ηλεκτρικό κύκλωµα γνωρίζουµε ότι η τάση υ R () στα άκρα µιας ωµικής αντίστασης R, που διαρρέεται από ρεύµα έντασης i(), είναι υ R () = R i() (.) Η τάση υ L (), στα άκρα ενός πηνίου, αυτεπαγωγής L, που διαρρέεται από ρεύµα έντασης i() είναι u L L di () () = d και η ένταση του ρεύµατος φόρτισης ενός πυκνωτή, χωρητικότητας C είναι (.) i C d uc () () = d (.3)

37 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 49. ƒπ ª À ª ƒπ À ª ø 49 όπου υ C () είναι η τάση στα άκρα του πυκνωτή. Να διατυπωθεί η σχέση της τάσης εισόδου υ in () και της τάσης εξόδου υ () για το κύκλωµα του Σχήµατος.3. R Ì.3 υ in () i() C υ () Το κύκλωµα του Παραδείγµατος.. Λύση Εφαρµόζοντας το δεύτερο κανόνα του Kirchhoff στο βρόχο του κυκλώµατος έχουµε υ in () = R i() + υ () (.4) Λαµβάνοντας υπόψη την (.3), η (.4) γράφεται RC d u() + u() = uin() d (.5) Η (.5) είναι µια διαφορική εξίσωση µε σταθερούς συντελεστές, η οποία περιγράφει τη σχέση µεταξύ εισόδου και εξόδου του συστήµατος. Η εξίσωση έχει τη γενική µορφή dy () + y () = x () d (.6) Η τάξη του συστήµατος προσδιορίζεται από τη µεγαλύτερη παράγωγο της εξόδου y(), η οποία εµφανίζεται στη διαφορική εξίσωση. Έτσι, η (.6) περιγράφει ένα σύστηµα πρώτης τάξης. ÂÈÁÌ. Σε ένα µηχανικό σύστηµα γνωρίζουµε ότι ισχύει ο θεµελιώδης νόµος της µηχανικής  k  x Fk m a Fk m d = ή = d k (.7) όπου F k είναι οι δυνάµεις οι οποίες ασκούνται στη µάζα m και a η επιτάχυνσή της. Ο νόµος του Hook, ο οποίος δίνει το µέτρο της δύναµης F ελ, που ασκείται από ένα ελατήριο, ως συνάρτηση της µεταβολής του µήκους του κατά x, είναι F ελ = k x (.8)

38 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 5 5 π ø À ª όπου k είναι η σταθερά του ελατηρίου. Επίσης γνωρίζουµε ότι η δύναµη η οποία αντιδρά στην κίνηση ενός σώµατος (δύνα- µη απόσβεσης) είναι ανάλογη της ταχύτητάς του υ και δίνεται από τη σχέση F b b dx ap = u = d (.9) όπου b είναι η σταθερά απόσβεσης του συστήµατος. Να διατυπωθεί η σχέση µεταξύ εφαρµοζόµενης δύναµης F() και µετατόπισης x() για τη µάζα του Σχήµατος.4. Ì.4 Το µηχανικό σύστηµα για το Παράδειγµα.. F F απ x m F ελ k Λύση Εφαρµόζοντας το θεµελιώδη νόµο της µηχανικής για τη µάζα m έχουµε F F απ F ελ = m a (.) Χρησιµοποιώντας τις (.8) και (.9) παίρνουµε F b dx kx m d x - (.) d - = d x d d + b dx m d + k m x = ή m F η οποία είναι µια διαφορική εξίσωση µε σταθερούς συντελεστές και περιγράφει το γραµµικό ταλαντωτή µε απόσβεση. Στη διαφορική εξίσωση (.) περιέχεται η δεύτερη παράγωγος της εξόδου και το σύστηµα µε είσοδο τη δύναµη F και έξοδο την αποµάκρυνση x, είναι δεύτερης τάξης. ÕÛÎËÛË ÙÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË. Να υπολογιστεί η σχέση της τάσης εισόδου υ in () και της τάσης εξόδου υ () για το κύκλωµα του Σχήµατος.5. L Ì.5 Το κύκλωµα της Άσκησης αυτοαξιολόγησης. υ in () i() R υ ()

39 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 5. À π À ª ø 5. Ó ÛÂÈ Û ÛÙËÌ ÙˆÓ Σε πολλές περιπτώσεις, η ανάλυση ενός πολύπλοκου συστήµατος διευκολύνεται σηµαντικά, αν δούµε το σύστηµα ως αποτέλεσµα διασύνδεσης λιγότερο πολύπλοκων συστηµάτων. Οι πιο βασικές συνδέσεις µεταξύ συστηµάτων είναι η σειριακή, η παράλληλη, η µεικτή και η σύνδεση µε ανατροφοδότηση ή ανάδραση (Σχήµα.6). Η σχηµατική αναπαράσταση δύο συστηµάτων τα οποία έχουν συνδεθεί σειριακά φαίνεται στο Σχήµα.6α. Παρατηρούµε ότι, όταν δύο συστήµατα S και S συνδέονται σειριακά, µε το σύστηµα S να προηγείται του S, η έξοδος του S είναι είσοδος του S. Μια σηµαντική διαδικασία, η οποία σχετίζεται µε τη σειριακή σύνδεση είναι η αντιστροφή συστήµατος, για την οποία θα µιλήσουµε στην Ενότητα.3.3. Είσοδος x() Σύστηµα S Σύστηµα S Έξοδος y() (α) Σύστηµα S Είσοδος Έξοδος x() Σύστηµα S y() (β) Σύστηµα S Είσοδος x() Σύστηµα S Σύστηµα S 3 Έξοδος y() (γ) Ì.6 Είσοδος x() S {y()} Σύστηµα S Σύστηµα S (δ) Έξοδος y() (α) Σειριακή σύνδεση δύο συστη- µάτων, (β) παράλληλη σύνδεση δύο συστηµάτων, (γ) µεικτή σύνδεση συστηµάτων και (δ) σύνδεση µε ανατροφοδότηση. Η σχηµατική αναπαράσταση δύο συστηµάτων τα οποία έχουν συνδεθεί παράλληλα φαίνεται στο Σχήµα.6β. Παρατηρούµε ότι η ίδια είσοδος τροφοδοτεί και τα δύο

40 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 5 5 π ø À ª συστήµατα. Οι δύο επιµέρους έξοδοι αθροίζονται και παράγουν την έξοδο της παράλληλης σύνδεσης των δύο συστηµάτων. Στη µεικτή σύνδεση, Σχήµα.6γ, έχουµε τα συστήµατα S και S, τα οποία έχουν συνδεθεί παράλληλα, και το σύστηµα S 3, το οποίο έχει συνδεθεί σειριακά. Στο Σχήµα.6δ φαίνεται η σύνδεση των S και S µε ανατροφοδότηση..3 π ÈfiÙËÙÂ Û ÛÙËÌ ÙˆÓ Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται µερικές βασικές ιδιότητες που έχουν τα συστή- µατα. Πριν αναφέρουµε τις ιδιότητες των συστηµάτων είναι σκόπιµο να περιγράψουµε µια βασική έννοια, η οποία πολλές φορές παραλείπεται στα εγχειρίδια. Θα λέµε ότι ένα σύστηµα βρίσκεται σε κατάσταση ηρεµίας τη χρονική στιγµή, εάν αυτό δεν έχει υποστεί διέγερση από άλλο σήµα για <. Από φυσική άποψη, ένα σύστηµα που είναι σε κατάσταση ηρεµίας σε δεδοµένη χρονική στιγµή, σηµαίνει ότι δεν έχει αποθηκευµένη ενέργεια τη χρονική στιγµή =..3. ÌÌÈÎfiÙËÙ Ένα σύστηµα, που είναι σε αρχική ηρεµία, θα λέγεται γραµµικό (ΓΣ), αν και µόνον αν δοθέντων δύο σηµάτων x () και x () ισχύει S{a x () + b x () } = a S{x ()} + b S{x ()} (.) όπου a και b σταθερές. ηλαδή, η απόκριση του συστήµατος σε µια είσοδο, που είναι ο γραµµικός συνδυασµός δύο σηµάτων, ισούται µε τον αντίστοιχο γραµµικό συνδυασµό των αποκρίσεων του συστήµατος σε καθένα από τα σήµατα αυτά. Η παραπάνω ιδιότητα γενικεύεται για οποιοδήποτε γραµµικό συνδυασµό πεπερασµένου αριθµού σηµάτων εισόδου. Γενίκευση της (.) οδηγεί στην ακόλουθη σχέση ÏÔ Ô SÌÂakxk() Âakyk() ÓÔ k Ô = k όπου y k () είναι έξοδος του συστήµατος όταν η είσοδος είναι το x k (). (.3).3. ÈÙÈfiÙËÙ Ένα σύστηµα είναι αιτιατό, αν η έξοδός του τη χρονική στιγµή, y( ), εξαρτάται από τις τιµές του σήµατος εισόδου, x(), για. ηλαδή, για κάθε σήµα εισόδου x(), η αντίστοιχη έξοδος y() εξαρτάται µόνο από την παρούσα ή και προηγούµενες τιµές της εισόδου. Με άλλα λόγια, ένα σύστηµα είναι αιτιατό, αν οι µεταβολές στην έξοδο (αποτέλεσµα) του συστήµατος, ποτέ δεν προηγούνται των µεταβολών που επι-

41 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 53.3 π π À ª ø 53 τελούνται στην είσοδο του συστήµατος (αιτία). Τα συστήµατα τα οποία περιγράφονται από τις εξισώσεις y () = x ( - ) και y () = x( ) d C είναι αιτιατά, ενώ το σύστηµα που περιγράφεται από την εξίσωση - (.4) y() = x() + x( + ) (.5) δεν είναι αιτιατό..3.3 ÓÙÈÛÙ ÈÌ Î È ÌË ÓÙÈÛÙ ÈÌ Û ÛÙ Ì Ù Ένα σύστηµα λέγεται αντιστρέψιµο, αν η γνώση της εξόδου καθιστά εφικτό τον υπολογισµό του σήµατος εισόδου. Η διαδικασία αντιστροφής ενός συστήµατος S, συνίσταται στον προσδιορισµό ενός συστήµατος, το οποίο συνδεόµενο σε σειρά µε το σύστηµα S παρέχει στην έξοδό του το σήµα εισόδου του συστήµατος S. Η αντιστροφή παρουσιάζεται σε πολλές εφαρµογές στις οποίες είναι επιθυµητή η αφαίρεση της επίδρασης ενός συστήµατος πάνω σε ένα σήµα. Τα συστήµατα που περιγράφονται από τις σχέσεις y() = cx() και yn ( ) = xk ( ) (.6) είναι αντιστρέψιµα και έχουν ως αντίστροφα τα συστήµατα µε σχέσεις εισόδου εξόδου, y() = x () (.8) δεν είναι αντιστρέψιµο, γιατί κάθε τιµή της εξόδου µπορεί να προέρχεται από δύο διαφορετικές τιµές της εισόδου..3.4 ÛÙ Ì Ù ÛÙ ÙÈÎ Î È Ó ÌÈÎ Ένα σύστηµα καλείται στατικό ή σύστηµα χωρίς µνήµη, εάν για κάθε σήµα εισόδου η αντίστοιχη έξοδος, για κάθε χρονική στιγµή, εξαρτάται µόνο από την τιµή της εισόδου την ίδια χρονική στιγµή. Η ωµική αντίσταση είναι ένα παράδειγµα συστήµατος χωρίς µνήµη, αφού η τάση στα άκρα της υ R () (έξοδος) κάθε χρονική στιγµή εξαρy () = και y(n) = x(n) x(n ) (.7) c x () αντίστοιχα. Σε αντίθεση, το σύστηµα k =- n Â

42 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ π ø À ª τάται από την ένταση του ρεύµατος i() (είσοδος) από την οποία διαρρέεται την ίδια χρονική στιγµή. υ R () = R i() (.9) Εάν ένα σύστηµα δεν είναι στατικό, καλείται δυναµικό ή σύστηµα µε µνήµη (Σχήµα.7). Ο πυκνωτής, αν θεωρηθεί ως σύστηµα µε έξοδο την τάση στα άκρα του υ c () και είσοδο το ρεύµα που το φορτίζει i(), είναι ένα σύστηµα µε µνήµη, αφού η τάση κάθε χρονική στιγµή είναι αποτέλεσµα του όλου ιστορικού της συνάρτησης i(), uc () C i( ) d = - (.) Ì.7 x() y() (α) Η είσοδος και (β) η έξοδος ενός συστήµατος µε µνήµη. (α) (β).3.5 ÃÔÓÈÎ Ó ÏÏÔ ˆÙ Û ÛÙ Ì Ù Ένα σύστηµα λέγεται χρονικά αναλλοίωτο (ΧΑ) (αµετάβλητο), αν και µόνον αν χρονικές ολισθήσεις του σήµατος εισόδου µεταφράζονται σε αντίστοιχες χρονικές ολισθήσεις στην έξοδο. Σε ένα ΧΑ σύστηµα αν y() είναι η έξοδος σε ένα σήµα εισόδου x(), τότε για είσοδο x( ) παράγεται η έξοδος y( ). ηλαδή, το σήµα εξόδου παραµένει το ίδιο, ανεξάρτητα από το ποια χρονική στιγµή διεγείρουµε την είσοδο. Το µόνο που υφίσταται είναι η αντίστοιχη χρονική µετατόπιση. Στο Σχήµα.8 δίνεται ένα παράδειγµα σηµάτων εισόδου εξόδου ενός χρονικά αναλλοίωτου συστήµατος. x() x( ) Ì.8 (α) Η είσοδος και (β) η αντίστοιχη έξοδος ενός συστήµατος χρονικά αναλλοίωτου. y() (α) (β) y( ) + +

43 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 55.3 π π À ª ø ÛÙ ıâè Ένα σύστηµα λέγεται ότι είναι ΦΕΦΕ ευσταθές (ευστάθεια Φραγµένης Εισόδου Φραγµένης Εξόδου) (Bounded Inpu Bounded Oupu (BIBO) sable), αν και µόνον αν για κάθε φραγµένη είσοδο η έξοδός του παραµένει φραγµένη. Με άλλα λόγια, ένα σύστηµα είναι ΦΕΦΕ ευσταθές, αν για κάθε θετικό αριθµό M <, για τον οποίο ισχύει x() M (.) υπάρχει θετικός αριθµός M <, για τον οποίο ισχύει y() M (.) Η έννοια αυτή, της ευστάθειας ενός συστήµατος, ταυτίζεται µε την απαίτησή µας τα σήµατα εισόδου και εξόδου να παραµένουν πεπερασµένα σε πλάτος (Σχήµα.9). Φραγµένη Είσοδος Ευσταθές σύστηµα Φραγµένη Έξοδος (α) Ì.9 Φραγµένη Είσοδος Μη ευσταθές σύστηµα (β) Μη Φραγµένη Έξοδος (α) Σύστηµα ευσταθές και (β) σύστηµα µη ευσταθές, η έξοδος τείνει στο άπειρο. ÂÈÁÌ.3 Το σύστηµα το οποίο περιγράφεται από την παρακάτω σχέση εισόδου x() και εξόδου y() d y () = S{ x ()} = d x () (.3) αναφέρεται ως διαφοριστής. Να εξετάσετε, αν το σύστηµα είναι γραµµικό, χρονικά αναλλοίωτο, αιτιατό και αντιστρέψιµο. Λύση Αν το σήµα x () είναι η είσοδος του διαφοριστή, τότε η έξοδός του είναι η παράγωγος, x () του σήµατος εισόδου. Οµοίως, αν x () είναι το σήµα εισόδου, η έξοδος

44 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ π ø À ª είναι η παράγωγος x (). Αν η είσοδος του συστήµατος είναι ο γραµµικός συνδυασµός αx () + βx (), τότε η έξοδος είναι d d [ ] = + αx () + bx () αx () bx () (.4) Παρατηρούµε ότι το σύστηµα είναι γραµµικό. Ο διαφοριστής είναι χρονικά αναλλοίωτο σύστηµα, επειδή d d x ( - ) = x ( ) = - (.5) Ο διαφοριστής είναι αιτιατό σύστηµα επειδή η έξοδός του εξαρτάται µόνο από την παρούσα τιµή της εισόδου του. Ο διαφοριστής δεν αντιστρέφεται, γιατί δύο σήµατα τα οποία διαφέρουν κατά µια σταθερά έχουν την ίδια παράγωγο. ÕÛÎËÛË ÙÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË. Το σύστηµα το οποίο περιγράφεται από τη σχέση εισόδου εξόδου y () = x( ) d T -T (.6) αναφέρεται ως σύστηµα µέσης τιµής. Να εξετάσετε, αν το σύστηµα είναι γραµµικό, χρονικά αναλλοίωτο και αιτιατό. ÕÛÎËÛË ÙÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË.3 Το σύστηµα το οποίο περιγράφεται από τη σχέση εισόδου εξόδου y() = x() (.7) αναφέρεται ως σύστηµα πλήρους ανόρθωσης. Να εξετάσετε, αν το σύστηµα είναι γραµµικό, χρονικά αναλλοίωτο και αιτιατό. ÕÛÎËÛË ÙÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË.4 Να δείξετε ότι το σύστηµα, στο οποίο η σχέση εισόδου εξόδου είναι y() = cx () (.8) είναι µη γραµµικό σύστηµα.

45 ÂÔ ˆ Ë II (64ÛÂÏ) 8/3/4 6:4 ÂÏ 57.4 à ª À π À À À ª 57 ÕÛÎËÛË ÙÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË.5 Η έξοδος ενός γραµµικού χρονικά αναλλοίωτου (ΓΧΑ) συστήµατος (Σχήµα.β) είναι ο τριγωνικός παλµός του Σχήµατος.γ, αν η είσοδος είναι ο ορθογώνιος παλ- µός του Σχήµατος.α. Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήµατος, αν η είσοδος είναι (α) το σήµα x () του Σχήµατος.α και (β) το σήµα x () του Σχήµατος.β. x() y() x() Γ.Χ.Α. y() Σύστηµα (α) (β) (γ) Ì. Η είσοδος και η έξοδος του ΓΧΑ συστήµατος της Άσκησης αυτοαξιολόγησης 5. x () x () Ì. 3 4 (α) (β) 3 Σήµατα εισόδου του ΓΧΑ συστήµατος της Άσκησης αυτοαξιολόγησης 5..4 ÛË ÌÂÙ Í ÂÈÛfi Ô ÂÍfi Ô Û ÛÙ Ì ÙÔ Στην ενότητα αυτή θα διατυπώσουµε µια βασική σχέση της θεωρίας συστηµάτων. Με τη βοήθεια της σχέσης αυτής, θα µπορούµε να προσδιορίζουµε την έξοδο y() ενός γραµµικού συστήµατος, αν γνωρίζουµε (α) την είσοδο x() του συστήµατος και (β) την απόκριση του συστήµατος, όταν αυτό διεγείρεται από τη συνάρτηση δ()..4. ÌÌÈÎ ÔÓÈÎ Ó ÏÏÔ ˆÙ Û ÛÙ Ì Ù Ô ÔÏÔÎÏ ˆÌ ÙË Û Ó ÏÈÍË Από το Παράδειγµα.6 γνωρίζουµε ότι κάθε σήµα συνεχούς χρόνου µπορεί να προσεγγιστεί, όπως στο Σχήµα.α, από ένα σήµα της µορφής x ˆ( ) =  xk ( D ) d ( -k D ) D D k =- (.9) Έστω h^() η έξοδος του υπό µελέτη γραµµικού συστήµατος, όταν η είσοδος είναι ο παλµός δ (). Λόγω της γραµµικότητας, όταν η είσοδος του συστήµατος είναι ο παλ- µός x()δ (), η έξοδος του είναι η x()h^ () (βλέπε Σχήµα.β). Γενικά, αν h^k ()