2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

Transcript

1 Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος τωνεπιτρεποµένωνεισόδωνκαιεξόδων. Ιδιότητες των συστηµάτων, όπως γραµµικό σύστηµα, αιτιάτο σύστηµα, αντιστρέψιµο σύστηµα, ευστάθες σύστηµα, στατικό - δυναµικό σύστηµα και σύστηµα χρονικά αναλλοίωτο.

2 Μεγέθηταοποίαπεριγράφουντησυµπεριφοράτωνσυστηµάτων, όπως η κρουστική απόκριση, η συνάρτηση µεταφοράς και η απόκρισησυχνότητας.φυσικήσηµασίατωνπαραπάνωµεγεθών. Προσδιοσµός της εξόδου ενός συστήµατος, όταν είναι γνωστή η είσοδο και η κρουστική απόκρισή του. Μελέτη απλών ηλεκτρονικών και µηχανικών συστήµατων. Εισαγωγή στα συστήµατα -

3 Είσοδος ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ως σύστηµα ορίζουµε την οντότητα εκείνη η οποία επενεργώντας σε ένα σήµα x( έχει σαν αποτέλεσµα ένα άλλο σήµα y(. Η δράση ενός συστήµατος περιγράφεται σχηµατικά Έξοδος x( y( S Σχηµατικήπεριγραφήτουσυστήµατος S. x( είναι το σήµα εισόδου ή απλά η είσοδος του συστήµατος και y( η έξοδος του συστήµατος. Ένα σύστηµα µπορεί να θεωρηθεί ως ένας µετασχηµατισµός µεταξύ σηµάτων y( S{ x( } Σεραφείµ Καραµπογιάς Με άλλα λόγια η λειτουργία ενός συστήµατος παριστάνεται γραφικά εκφράζοντας το σήµα εξόδου ως συνάρτηση του σήµατος εισόδου. Η συνάρτηση αυτή ονοµάζεται χαρακτηριστική συνάρτηση όταν εκφράζεται στο πεδίο του χρόνου, ενώ όταν ορίζεται στο πεδίο συχνοτήτων ως συνάρτηση µεταφοράς. Εισαγωγή στα συστήµατα -3

4 Ο παραπάνω ορισµός είναι γενικός και µπορεί να περιγράψει πολλά φυσικά συστήµατα όπως Ηλεκτρικά κυκλώµατα. Μηχανικά συστήµατα (η κίνηση ενός κινητού, ενός ροµποτικού βραχίονα. Ένα επικοινωνιακό κανάλι. Υπολογιστές. Ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος και τη φύση των επιτρεποµένων εισόδωνεξόδων τα συστήµατα διακρίνονται: Συστήµατα µιας εισόδου µιας εξόδου (single-inpu single-oupu SISO. Πολυκαναλικάσυστήµατα (single-inpu muli-oupu SIMO, MISO και MIMO. Συστήµατα συνεχούς χρόνου ή αναλογικά συστήµατα - Συστήµατα διακριτού χρόνου. Εισαγωγή στα συστήµατα -4

5 Ηλεκτρικά κυκλώµατα Ηλεκτρικά στοιχεία Σεραφείµ Καραµπογιάς Τα ηλεκτρικά κυκλώµατα αποτελούνται από ηλεκτρικά στοιχεία, τα οποία συνδέονται µεταξύ τους σχηµατίζουν τη δοµή εκείνη, η οποία υλοποιεί µία συγκεκριµένη επεξεργασία πάνω στα σήµατα εισόδου (διέγερση για να παραχθούν τα σήµατα εξόδου (αποκρίσεις. Ηλεκτρικό στοιχείο κάθε φυσικό στοιχείο το οποίο έχει την ιδιότητα να καταναλώνει, να αποθηκεύει ή να προσφέρει ηλεκτρική ενέργεια. Τα ηλεκτρικά στοιχεία διακρίνονται σε παθητικά και ενεργά. Ως παθητικά θεωρούνται τα στοιχείαπουότανδιαρρέονταιαπόηλεκτρικόρεύµακαταναλώνουνήαποθηκεύουνενέργεια. Ως ενεργά θεωρούνται εκείνα που προσφέρουν ενέργεια, δηλαδή λειτουργούν ως πηγές ηλεκτρικής ενέργειας. Ταβασικάπαθητικάηλεκτρικάστοιχείαείναιηαντίσταση, ηαυτεπαγωγήκαιηχωρητικότητα, ενώ τα βασικά ενεργά ηλεκτρικά στοιχεία είναι οι πηγές τάσης και η πηγές έντασης ρεύµατος. Εισαγωγή στα συστήµατα -5

6 Αντίσταση Σεραφείµ Καραµπογιάς Το πιο απλό ηλεκτρικό στοιχείο είναι η ηλεκτρική αντίσταση ή απλά αντίσταση. Σε µία αντίσταση για κάθε χρονική στιγµή η διαφορά δυναµικού (αιτία υ R ( που εφαρµόζεται στους ακροδέκτες της και η ένταση του ρεύµατος που τη διαρρέει (αποτέλεσµα i(, ικανοποιούν τον νόµο του Ohm. i ( υ R ( R i ( i ( υ R ( R κλίση R υ R ( Ησταθερά Rονοµάζεταιαντίστασηµετριέταισε Ohm (Ω καιτοαντίστροφότης G / R είναι η αγωγιµότητα και µετριέται σε Siemens. Οι αντιστάσεις µετατρέπουν την ηλεκτρική ενέργεια σε θερµότητα φαινόµενο Joule. Οι αντιστάσεις είναι παθητικά στοιχεία, διότι όταν διαρρέονται από ηλεκτρικό ρεύµα καταναλώνουν ισχύ. Η καταναλισκόµενη στιγµιαία ισχύς είναι P R ( R υ R i( υ ( R i ( Χαρακτηριστική τάσης ρεύµατος ( R Εισαγωγή στα συστήµατα -6

7 Το πηνίο Σεραφείµ Καραµπογιάς Σε ένα πηνίο ηδιαφορά δυναµικούυ L ( (στιγµιαία που δηµιουργείται στα άκρα του είναι ανάλογη µε το ρυθµό µεταβολής της έντασης του ρεύµατος που το διαρρέει. υ L ( L i ( υ ( L L d i( d όπου L είναι ο συντελεστής αυτεπαγωγής και µετριέται σε Henry (H. Τα πηνία έχουν την ικανότητα να αποθηκεύουν ενέργεια υπό µορφή µαγνητικής ενέργειας στο µαγνητικό πεδίο που δηµιουργείται στο πηνίο. Η στιγµιαία ισχύς είναι Η σχέση που συνδέει το στιγµιαίο ρεύµα συναρτήσει της στιγµιαίας τάσης στο πηνίο είναι i( L υ ( ξ dξ d i ( P L ( L d υ( ξ dξ+ όπου i( - είναιηαρχικήτιµή ( τουρεύµατοςτουπηνίου (αρχικήσυνθήκη. L L υ( ξ dξ i( + υ( ξ dξ L Εισαγωγή στα συστήµατα -7

8 Οπυκνωτής Σε ένα πυκνωτή η ένταση του ρεύµατος i( (στιγµιαία που διαρρέει είναι ανάλογη µε το ρυθµόµεταβολήςτηςτάσηςπουεµφανίζεταισταάκρατουυ C (. υ C ( Οι πυκνωτές έχουν την ικανότητα να αποθηκεύουν ενέργεια υπό µορφή ηλεκτρικής ενέργειας στο ηλεκτρικό πεδίο που δηµιουργείται µεταξύ των οπλισµών του. Η στιγµιαία ισχύς είναι Ησχέσηπουσυνδέειτητάσητουπυκνωτήσεσυνάρτηση µετηνέντασηρεύµατοςείναι υ C ( i( ξ dξ C C i ( dυc ( i( C d όπου C είναι η χωρητικότητα του και µετριέται σε Farad (F, και ισούται µε το λόγο του φορτίου Q C τουπυκνωτήπροςτηντάσητου V C P C ( C C C ( d όπουυ C ( - είναιηαρχικήτιµή ( τηςτάσηςτουπυκνωτή (αρχικήσυνθήκη. Q V C C i( ξ dξ+ i d C υ i( d υc ( + i( ξ dξ Εισαγωγή στα συστήµατα -8

9 Πηγή τάσης Σεραφείµ Καραµπογιάς Ιδανική πηγή τάσης θεωρείται µία πηγή ηλεκτρικής ενέργειας που εµφανίζει σταθερή τιµή τάσης στα άκρα της, ανεξάρτητα από την ένταση του ρεύµατος που την διαρρέει όταν συνδεθεί στα άκρα οποιουδήποτε ηλεκτρικού στοιχείου ή κυκλώµατος. E Πηγή ρεύµατος A B E A B e( A B Συµβολισµός ηλεκτρικών πηγών τάσης Στηπράξηητάσηστους ακροδέκτεςυ πολ ( εξαρτάταιαπότορεύµαπουδιαρρέειτηνπηγή πολ ( e( r όπου r s είναιηεσωτερικήαντίστασητηςπηγής. υ Ιδανική πηγή ρεύµατος θεωρείται µία πηγή ηλεκτρικής ενέργειας που όταν συνδεθούν σε ένα οποιοδήποτε φορτίο, προκαλούν ροή ηλεκτρικού ρεύµατος σταθερής έντασης. s i( A A A I B I B i( B Συµβολισµός ηλεκτρικών πηγών ρεύµατος Εισαγωγή στα συστήµατα -9

10 Παρατηρούµε ότι το σήµα εισόδου υ in ( και το σήµα εξόδου υ ο ( ενός κυκλώµατος RC συνδέονται µε την εξίσωση A υ in ( i ( C B υ o ( RC d υ ( d υ ( υ ( + in Γ Γενικά το σήµα εισόδου x( και το σήµα εξόδου y( ενός συστήµατος συνδέονται µε µία διαφορική εξίσωση µε σταθερούς συντελεστές οι οποίοι εξαρτώνται από τα επιµέρους στοιχεία του συστήµατος. Η διαφορική αυτή εξίσωση έχει τη γενική µορφή N k a k d k y ( d k M k b k d k x ( d k Η τάξη του συστήµατος προσδιορίζεται από τη µεγαλύτερη παράγωγο της εξόδου, η οποία εµφανίζεταιστηδιαφορικήεξίσωση. Εισαγωγή στα συστήµατα -

11 ΣΥΝ ΕΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Η ανάλυση ενός πολύπλοκου συστήµατος διευκολύνεται σηµαντικά αν δούµε το σύστηµα ως αποτέλεσµα διασύνδεσης λιγότερων πολύπλοκων συστηµάτων. Σειριακή σύνδεση x( Είσοδος S w( Σεραφείµ Καραµπογιάς Έξοδος Η σχηµατική αναπαράσταση δύο συστηµάτων τα οποία έχουν συνδεθεί σειριακά. Μία σηµαντική διαδικασία η οποία σχετίζεται µε τη σειριακή σύνδεση είναι η αντιστροφή συστήµατος. Παράλληλη σύνδεση S y( x( Είσοδος x ( w ( x( S S Έξοδος y( w ( Η σχηµατική αναπαράσταση δύο συστηµάτων τα οποία έχουν συνδεθεί παράλληλα. Εισαγωγή στα συστήµατα -

12 Μεικτή σύνδεση συστηµάτων x( Είσοδος x ( w ( x( S S Έξοδος z( y( w S ( 3 Η σχηµατική αναπαράσταση µεικτής σύνδεσης συστηµάτων. Σύνδεση συστηµάτων µε ανατροφοδότηση - ανάδραση x( Είσοδος e( S Έξοδος y( z( S y( Η σχηµατική αναπαράσταση σύνδεσης συστηµάτων µε ανατροφοδότηση. Εισαγωγή στα συστήµατα -

13 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Κατάστασηηρεµίαςτηχρονικήστιγµή. Σεραφείµ Καραµπογιάς Θαλέµεότιένα σύστηµαβρίσκεταισε κατάσταση ηρεµίας τη χρονική στιγµή, εάναυτόδενέχειυποστείδιέγερσηαπόάλλοσήµαγιακάθεχρονικήστιγµή <. Από φυσική άποψη, ένα σύστηµα που είναι σε κατάσταση ηρεµίας σε δεδοµένη χρονικήστιγµή, σηµαίνειότιδενείχεαποθηκευµένηενέργειατηχρονικήστιγµή. υ C ( C Q( υ L ( L i L ( Οι πυκνωτές αποθηκεύουν ενέργεια υπό µορφή ηλεκτρικής ενέργειας στο ηλεκτρικό πεδίο που δηµιουργείται µεταξύ των οπλισµώντουηστιγµιαίατιµήτηςοποίαςείναι E ηλεκ ( C υc ( Τα πηνία αποθηκεύουν ενέργεια υπό µορφή µαγνητικής ενέργειας στο µαγνητικό πεδίο που δηµιουργείται στο πηνίο η στιγµιαία τιµή της οποίας είναι E µαγ ( L il ( Εισαγωγή στα συστήµατα -3

14 Γραµµικότητα Γραµµικό x ( y ( { ( } S x x ( Γραµµικό y ( S{ x ( } a x( + b x ( Γραµµικό y( a S{ x( } + b S{ x ( } a y + b y ( δηλαδή, η απόκριση του συστήµατος σε µία είσοδο, που είναι ο γραµµικός συνδυασµός δύο σηµάτων, ισούται µε τον αντίστοιχο γραµµικό συνδυασµό των αποκρίσεων του συστήµατος στο καθένα από τα σήµατα αυτά. { a x ( + b x ( } y ( S { x } + b S{ x ( } ( ( a S a y + b y ( ( Εισαγωγή στα συστήµατα -4

15 Σχηµατική περιγραφή της γραµµικότητας ενός συστήµατος y { a x ( + b x ( } a S{ x ( } + b S{ x ( } a y ( + b y ( ( S Είσοδοι x ( x ( α b a x ( b x ( a x( + b x ( Γραµµικό Έξοδος y ( S { a x + b x ( } ( y ( S{ x ( } x ( α Είσοδοι Γραµµικό Γραµµικό x ( b y S{ x ( } ( Έξοδος y ( a y( + b y ( a S { x } + b S{ x ( } ( Εισαγωγή στα συστήµατα -5

16 Χρονικά Αναλλοίωτα Συστήµατα Ένα σύστηµα λέγεται χρονικά αναλλοίωτο (ΧΑ (αµετάβλητο αν και µόνο αν χρονικές ολισθήσεις του σήµατος εισόδου µεταφράζονται σε αντίστοιχες χρονικές ολισθήσεις στην έξοδο. x( y( Χρονικά αναλλοίωτο x ( Χρονικά αναλλοίωτο y ( + + Η είσοδος και η έξοδος ενός συστήµατος χρονικά αναλλοιώτου. Εισαγωγή στα συστήµατα -6

17 Εφαρµογή Σεραφείµ Καραµπογιάς Με τη βοήθεια της ιδιότητας της γραµµικότητας βρίσκουµε πολλές φορές εύκολα την έξοδο ενός γραµµικού χρονικά αναλλοίωτου συστήµατος x ( y ( 4 Γ.Χ.Α. 4 x ( 4 Γ. Χ. Α. y ( ; x ( Γ. Χ. Α. y ( ; 3 Εισαγωγή στα συστήµατα -7

18 x( x( y( Γ.Χ.Α. y( x ( 3 4 x( y( Γ.Χ.Α. y ( 3 4 x( y( 3 4 x( y( Γ.Χ.Α. 3 4 x( y( 3 4 x( y( Γ.Χ.Α. 3 4 Εισαγωγή στα συστήµατα -8

19 x( x( y( Γ.Χ.Α. y( x ( y ( 3 x( y( Γ.Χ.Α. 3 x( 3 x( y( Γ.Χ.Α. ( y 3 x( y( 3 x( y( Γ.Χ.Α. 3 Εισαγωγή στα συστήµατα -9

20 Αιτιότητα Σεραφείµ Καραµπογιάς Ένα σύστηµα είναι αιτιατό, όταν για κάθε σήµα το οποίο εφαρµόζεται στην είσοδό του η αντίστοιχη έξοδός του εξαρτάται µόνο από την παρούσα ή και τις προηγούµενες τιµές της εισόδου. Με άλλα λόγια, ένα σύστηµα είναι αιτιατό, αν οι µεταβολές στην έξοδο (αποτέλεσµα του συστήµατος, ποτέ δεν προηγούνται των µεταβολών που επιτελούνται στην είσοδο του συστή- µατος (αιτία. Αιτιατά : y( a x( y ( b x ( y( a x( + a x( υ R ( R i ( R υ R ( E υ C ( i ( C Q( υ C ( C i ( τ dτ Μη Αιτιατό : y ( a x( + a x( + Εισαγωγή στα συστήµατα -

21 Αντιστρέψιµα και µη αντιστρέψιµα συστήµατα Ένα σύστηµα λέγεται αντιστρέψιµο, όταν η γνώση του σήµατος εξόδου καθιστά εφικτό τον υπολογισµό του σήµατος εισόδου. x ( y ( c x ( x ( y( Αντίστροφο σύστηµα c x( x ( y ( x ( εν αντιστρέφεται x (n y ( n x( k x (n y(n n k Αντίστροφο σύστηµα x ( n x ( n Εισαγωγή στα συστήµατα -

22 Η διαδικασία αντιστροφής ενός συστήµατος S συνίσταται στον προσδιορισµό ενός συστήµατος S τοοποίοσυνδεόµενοσεσειράµετο S, παρέχειστηνέξοδότουτοσήµαεισόδουτου S. y ( x ( y ( S S z ( x ( Αντίστροφο σύστηµα Μεταδιδόµενο σήµα x ( Λαµβανόµενο σήµα y ( Κανάλι έκτης z ( x ( Ο δέκτης αποτελεί τον αντιστροφέα του καναλιού. Ο σκοπός του δέκτη είναι η ανάκτηση του µεταδιδόµενου σήµατος Εισαγωγή στα συστήµατα -

23 A Στατικά Συστήµατα ή συστήµατα χωρίς µνήµη Ένα σύστηµα χαρακτηρίζεται ως στατικό σύστηµα ή σύστηµα χωρίς µνήµη όταν για κάθε σήµα εισόδου η αντίστοιχη έξοδος για κάθε χρονική στιγµή, εξαρτάται µόνο από την τιµή της εισόδου την ίδια χρονική στιγµή. x( χωρίς µνήµη Η είσοδος και η έξοδος συστήµατος χωρίς µνήµη. υναµικά Συστήµατα ή συστήµατα µε µνήµη Σεραφείµ Καραµπογιάς y( B x( A µε µνήµη Η είσοδος και η έξοδος συστήµατος µε µνήµη. y( Εισαγωγή στα συστήµατα -3

24 Ευστάθεια Σεραφείµ Καραµπογιάς Μία από τις σηµαντικότερες έννοιες στην θεωρία συστηµάτων είναι αυτή της ευστάθειας. x( x( y( y( Στο σύστηµα το σφαιρίδιο ισορροπεί και αν εφαρµοστεί µία µικρή οριζόντια δύναµη για µικρό χρονικό διάστηµα θα µετακινηθεί λίγο και θα επανέλθει στην αρχική του θέση µετά από κάποιες ταλαντώσεις (το σύστηµα θεωρείται πραγµατικό και παρουσιάζει τριβές. Πρόκειται για ένα ευσταθές σύστηµα. Στο σύστηµα το σφαιρίδιο ισορροπεί αλλά αν µετακινηθεί λίγο λόγω µικρής και περιορισµένης διάρκειας οριζόντιας δύναµης, θα κυλίσει προς τα κάτω και δεν πρόκειται ποτέ να επανέλθει στην αρχική του θέση, κατάσταση που εκφράζει ότι το σύστηµα είναι ασταθές. Παρατηρήστε ότι η απόκριση, η κατακόρυφη θέση, θα αυξάνει µε το χρόνο χωρίς περιορισµό. x( Στο σύστηµα µία µικρή και περιορισµένης διάρκειας οριζόντια δύναµη θα µετακινήσει λίγο το σφαιρίδιο, το οποίο θα παραµείνει εκεί που θα πάει, όπου έχει την ίδια απόκριση (κατακόρυφη θέση. Η κατάσταση αυτή αδιάφορης ισορροπίας, εκφράζει την οριακή ευστάθεια. Εισαγωγή στα συστήµατα -4

25 Ευστάθεια Σεραφείµ Καραµπογιάς Ένα σύστηµα λέγετε ότι είναι ΦΕΦΕ ευσταθές (ευστάθεια Φραγµένης Εισόδου Φραγµένης Εξόδου (Bounded Inpu Bounded Oupu (BIBO sable αν και µόνον αν για κάθε φραγµένη είσοδοηέξοδόςτουπαραµένειφραγµένη. Φραγµένη εισόδος M Ευσταθές σύστηµα x ( y ( M ευσταθές. Φραγµένη έξοδος Φραγµένη εισόδος x ( M Μη ευσταθές σύστηµα µη ευσταθές. Μη φραγµένη έξοδος Εισαγωγή στα συστήµατα -5

26 ζουµε την έξοδο ενός γραµµικού χρονικά αναλλοίωτου συστήµατος, αν γνωρίζουµε α το σήµα εισόδου του συστήµατος και x( ΓΧΑ y( Σχέση µεταξύ Εισόδου - Εξόδου συστήµατος Στην ενότητα αυτή θα διατυπώσουµε τη σχέση µε τη βοήθεια της οποίας προσδιορίβ την απόκριση του συστήµατος (το σήµα εξόδου, όταν αυτό διεγείρεται από τη δ( δ ( ΓΧΑ { δ ( } h( S S { δ ( } Ορίζουµε ως κρουστική απόκριση του συστήµατος την έξοδο του συστήµατος όταν το σήµα εισόδου είναι η κρουστική συνάρτηση Εισαγωγή στα συστήµατα -6

27 Το ολοκλήρωµα της συνέλιξης (συγκερασµού. x( ΓΧΑ h( h ( y( Το σήµα εξόδου του συστήµατος δίνεται από τη σχέση y ( x(τ h ( τ Η σχέση αυτή είναι γνωστή ως ολοκλήρωµα της συνέλιξης, και συµβολίζεται ως y( h( x( dτ Το ολοκλήρωµα της συνέλιξης γράφεται και ως y ( h(τ x ( τ dτ Εισαγωγή στα συστήµατα -7

28 h( x ( y( Σεραφείµ Καραµπογιάς Παρατηρούµε ότι σε ένα ΓΧΑ σύστηµα αρκεί η γνώση µιας µόνο συνάρτησης, της h(, για να περιγραφεί πλήρως η σχέση µεταξύ του σήµατος εισόδου x( και του σήµατος εξόδου y( του συστήµατος µε τη βοήθεια του ολοκληρώµατος της συνέλιξης. y( h( x( x(τ Η πράξη η οποία συνδυάζει δύο σήµατα x( και h( για το σχηµατισµό του σήµατος y( καλείται συνέλιξη. Αντοσύστηµαείναιαιτιατότότετοσήµαεξόδουτουσυστήµατοςδίνεταιαπότην Αν το σήµα εισόδου είναι αιτιατό σήµα, τότε το σήµα εξόδου δίνεται από την y( h( x( x(τ y( h( x( x(τ h h h ( τ ( τ ( τ dτ dτ dτ Εισαγωγή στα συστήµατα -8

29 Ένα ΓΧΑ σύστηµα είναι ΦΕΦΕ ευσταθές, αν η κρουστική του απόκριση είναι απόλυτα ολοκληρώσιµη, δηλαδή, αν h( h (ξ Το σήµα εισόδου είναι φραγµένο, δηλαδή είναι y ( x( τ h( τ dξ x ( y( dτ y( < + x(τ h M x ( τ h( τ M h( τ dτ y ( M h( ξ dξ x(τ ( τ < dτ dτ τ ξ και επειδή η κρουστική του απόκριση είναι απόλυτα ολοκληρώσιµη έπεταιότικαιτοσήµα εξόδουτουσυστήµατοςείναιεπίσηςφραγµένο, οπότε το σύστηµα είναι ΦΕΦΕ ευσταθές. M Εισαγωγή στα συστήµατα -9

30 Το σύστηµα το οποίο περιγράφεται από τη σχέση σήµατος εισόδου σήµατος εξόδου y ( T T x ( τ dτ αναφέρεται ως σύστηµα µέσης τιµής. Να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του συστήµατος. x (τ T h( x( δ ( y ( h( h( T T τ h( T T δ ( τ dτ δ (τ d u(τ u(τ T T T u( u( T T T d u(τ dτ δ ( τ d τ d u( τ T T Π T Εισαγωγή στα συστήµατα -3

31 Το σύστηµα το οποίο περιγράφεται από τη σχέση σήµατος εισόδου σήµατος εξόδου y ( T T x ( τ dτ αναφέρεται ως σύστηµα µέσης τιµής. Να εξετάσετε, αν το σύστηµα είναι γραµµικό. Έστω y ( T T x τ dτ ( και y ( T T x τ dτ ( η απόκρισητουσυστήµατοςστογραµµικόσυνδυασµότωνδύοσηµάτων x ( και x ( είναι y( a T T T [ a x τ + β x ( τ ] dτ T ( x ( τ dτ + β T T x τ dτ ( y( a y ( + β y ( παρατηρούµε ότι η y( ισούται µε τον αντίστοιχο γραµµικό συνδυασµό των αποκρίσεων του συστήµατος στο καθένα από τα σήµατα αυτά, εποµένως το σύστηµα είναι γραµµικό. Εισαγωγή στα συστήµατα -3

32 Το σύστηµα το οποίο περιγράφεται από τη σχέση σήµατος εισόδου σήµατος εξόδου y ( T T x ( τ dτ αναφέρεται ως σύστηµα µέσης τιµής. Να εξετάσετε, αν το σύστηµα είναι χρονικά αναλλοίωτο. Έστω y ( T T x ( τ dτ ηέξοδοςτουσυστήµατοςγιασήµαεισόδου x(. Η απόκριση του συστήµατος σε χρονική ολίσθηση του σήµατος x( είναι y( S{ x( } T T x ξ dξ ( τ ξ x ( τ dτ ( T y T παρατηρούµε ότι χρονική ολίσθηση του σήµατος εισόδου προκαλεί αντίστοιχη χρονική ολίσθηση στο σήµα εξόδου, εποµένως το σύστηµα είναι χρονικά αναλλοίωτο Το σύστηµα είναι αιτιατό αφού η έξοδός του εξαρτάται µόνο από την παρούσα και προηγού- µενεςτιµέςτηςεισόδουτου. Εισαγωγή στα συστήµατα -3

33 Ιδιότητες της Συνέλιξης Αντιµεταθετική ιδιότητα: h ( h ( h ( h ( x ( h w( ( h ( y( Σεραφείµ Καραµπογιάς x ( h z( ( h ( y( Η φυσική σηµασία της αντιµεταθετικής ιδιότητας της συνέλιξης Προσεταιριστική ιδιότητα h w( h ( x( h h ( ( x( x ( h w( ( h ( y( x ( h h ( y( ( Η φυσική σηµασία της προσεταιριστικής ιδιότητας της συνέλιξης Εισαγωγή στα συστήµατα -33

34 Επιµεριστική ιδιότητα Σεραφείµ Καραµπογιάς h ( x( + h ( x( h + h ( ( x( h ( w ( x ( y( h ( w ( x ( h + h ( y( ( Ταυτοτική ιδιότητα Η φυσική σηµασία της επιµεριστικής ιδιότητας της συνέλιξης x ( h( y ( δ ( h( h ( x ( δ ( h( y( h( x ( δ ( h( y ( h( h ( * δ ( h( γενικά x ( * δ ( x( Εισαγωγή στα συστήµατα -34

35 R i ( x ( y ( C ( dy RC + y d ( x( Η σχέση µεταξύ του σήµατος εισόδου x( και του σήµατος εξόδου y( ενός συστήµατος περιγράφεταιαπόµίαδιαφορικήεξίσωσηµεσταθερούςσυντελεστές. N k a k d k y d ( k M k b k d k x ( k d Η κρουστική απόκριση h( είναι η έξοδος του συστήµατος, όταν αυτό διεγείρεται από τη συνάρτηση δ(. h ( δ ( h( Η σχέση µεταξύ του σήµατος εισόδου x( και του σήµατος εξόδου y( του συστήµατος περιγράφεται µε το ολοκλήρωµα της συνέλιξης. y ( x ( h ( x(τ h ( τ dτ h(τ x ( τ dτ Εισαγωγή στα συστήµατα -35

36 x ( x( u( u( Π h( Σεραφείµ Καραµπογιάς Το ολοκλήρωµα της συνέλιξης παράδειγµα h( Γ. Χ. Α. σύστηµα x ( y(,, αλλιώς y( y( x(τ h ( τ dτ h( +,, αλλιώς h( τ Εισαγωγή στα συστήµατα -36

37 x( τ u( τ u( τ Π τ x (τ y ( x(τ h ( τ dτ τ < h ( τ h( τ ( τ, τ, αλλιώς τ x ( h( τ y( τ Εισαγωγή στα συστήµατα -37

38 x( τ u( τ u( τ Π τ x (τ y ( x(τ h ( τ dτ τ < h ( τ h( τ ( τ, τ, αλλιώς < τ x (τ h( τ τ Εισαγωγή στα συστήµατα -38

39 x (τ y (, τ, αλλιώς x ( τ h( τ dτ Σεραφείµ Καραµπογιάς ( τ, τ h( τ, αλλιώς τ dτ dτ dτ + τ dτ + y (, < x(τ h( τ τ Εισαγωγή στα συστήµατα -39

40 x( τ u( τ u( τ Π τ x (τ y ( x(τ h ( τ dτ τ < h ( τ h( τ ( τ, τ, αλλιώς < τ x (τ h( τ τ Εισαγωγή στα συστήµατα -4

41 x (τ, τ, αλλιώς h( τ ( τ, τ, αλλιώς y ( x ( τ h( τ dτ τ dτ dτ + dτ + y (, < τ dτ x(τ h( τ τ Εισαγωγή στα συστήµατα -4

42 x( τ u( τ u( τ Π τ x (τ y ( x(τ h ( τ dτ τ < 3 < h ( τ h( τ ( τ, τ, αλλιώς 3 τ x (τ h( τ τ Εισαγωγή στα συστήµατα -4

43 x (τ, τ, αλλιώς h( τ ( τ, τ, αλλιώς y ( x ( τ h( τ dτ τ dτ x(τ h ( τ 3 dτ dτ + ( τ dτ ( ( + y ( ( 3, < 3 ( τ Εισαγωγή στα συστήµατα -43

44 x( τ u( τ u( τ Π τ x (τ y ( x(τ h ( τ dτ τ 3 h ( τ h( τ ( τ, τ, αλλιώς 3 4 τ x (τ h( τ y (, 3< τ Εισαγωγή στα συστήµατα -44

45 < h ( τ x(τ y ( 3 4 τ < h ( τ x(τ y( τ dτ 3 4 τ < h x(τ ( τ y( τ dτ 3 4 τ < 3 x(τ h ( τ y( τ dτ ( τ Εισαγωγή στα συστήµατα -45

46 Το ολοκλήρωµα της συνέλιξης παράδειγµα x ( x( u( u( Γ. Χ. Α. σύστηµα x ( y(, h(, αλλιώς y( 3 y( x(τ h ( τ dτ h( y(, <, <, < 3, < 3 (, 3 Εισαγωγή στα συστήµατα -46

47 Απόκριση Γραµµικών Συστηµάτων σε Εκθετικές Εισόδους x ( A e s H(s h( y( H ( s A e s Με τη βοήθεια του ολοκληρώµατος της συνέλιξης η έξοδος του συστήµατος είναι y( h ( τ x ( τ dτ s s h ( τ A e e τ dτ h Ae s s ( y ( Ae H ( s s ( τ τ Ae dτ s h ( τ e τ dτ ηλαδήγιατηνειδικήκατηγορίασηµάτων x(ae s τοσήµαεξόδουτουσυστήµατοςυπολογίζεται εύκολα από την y( H(s x(. Ησυνάρτηση H ( s + s τ d h ( τ e τ είναι ο Μετασχηµατισµός Laplace της h(. Η συνάρτηση H(s ονοµάζεται Συνάρτηση Μεταφοράς του Συστήµατος. Εισαγωγή στα συστήµατα -47

48 x ( A e s H(s y ( H ( s A e s H (s s jω s h( τ e τ dτ H (ω j h( τ e ωτ dτ Η συνάρτηση H(ω είναι ο Μετασχηµατισµός Fourier της h( και αποτελεί την Απόκριση συχνότητας του συστήµατος. x ( A e j ω H(ω y ( j H ( A e ω ω ( ω +ϕ j x ( A e H(ω ( ω ϕ j + ( H ( ω A e y Εισαγωγή στα συστήµατα -48

49 ( ω +ϕ j x ( A e H(ω ( ω ϕ j + ( H ( ω A e y Η απόκρισης συχνότητας είναι µιγαδική συνάρτηση της συχνότητας ω και γενικά έχει τη µορφή H ( ω Απόκριση συχνότητας H ( ω j e arg H ( ω Εποµένως y( H ( ω e j arg H ( ω ( ω +ϕ j A e H ω ( j A ( ω + ϕ+ arg H ( ω e ( ω +ϕ x ( A cos Απόκριση πλάτους Απόκριση φάσης H (ω y( H ( ω A cos( ω + φ + arg H ( ω Εισαγωγή στα συστήµατα -49

50 y Σεραφείµ Καραµπογιάς ( π f + ( Aσυν π A A Ηέξοδοςτουσυστήµατοςόταν f 5 Hz. x ( π f + ( Aσυν π 4 A A T H ( f arg H ( f f y ( π f + ( Aσυν π 4 A A A Το σήµα εισόδου x(. π π f A Ηέξοδοςτουσυστήµατοςόταν f Hz. A y ( συν π ( f A A A A Ηέξοδοςτουσυστήµατοςόταν f 5 Hz. Εισαγωγή στα συστήµατα -5

51 Ιδανικά φίλτρα H ( f H ( f Ζώνη διέλευσης f c Ζώνη αποκοπής f Ζώνη αποκοπής f c f Ζώνη διέλευσης Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο Ιδανικό υψιπερατό φίλτρο H ( f H ( f Ζώνη αποκοπής f Ζώνη διέλευσης f f Ζώνη αποκοπής Ζώνη διέλευσης f Ζώνη αποκοπής f f Ζώνη διέλευσης Ιδανικό ζωνοπερατό φίλτρο Ιδανικό ζωνοφρακτικό φίλτρο Εισαγωγή στα συστήµατα -5

52 Εισαγωγή στα συστήµατα -5 Σεραφείµ Καραµπογιάς j e x ( ω j e H y ( ( ω ω H (ω Στο επόµενο κεφάλαιο θα αναπτύξουµε και θα µελετήσουµε τρόπους ανάλυσης ενός σήµατος σε σήµατα απλής συχνότητας. Μια τέτοια προσέγγιση µας διευκολύνει ώστε να υπολογίσουµε τηνέξοδοενόςσυστήµατος, τοοποίοδιεγείρεταιαπόένασύνθετοσήµα. j e x ( ω j e H y ( ( ω ω H (ω Αν εκµεταλλευτούµε την γραµµικότητα του συστήµατος έχουµε ( ( ( x a x a x + j j e H a e H a y a y a y ( ( ( ( ( ω ω ω ω + + H (ω Γενικά έχουµε k k j a k e x ( ω k k j k e k H a y ( ( ω ω H (ω

53 Στο χώρο των n-διαστάσεων κάθε διάνυσµα παριστάνεται ως n a a i e i i Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ορίζεται απότησχέση T a, b a b a b n i Για µια ορθοκανονική βάση διανυσµάτων οι συντεταγµένες (α, α,, α n, ενός διανύσµατος a, είναι οι προβολές του a σε κάθε ένα από τα διανύσµατα βάσης και προσδιορίζονται από τη σχέση a i a, e i i,,, n Το µέτρο (norm ή µήκος ενός διανύσµατος, ορίζεται από τη σχέση a a, a i i n a i i Ένα σύνολο διανυσµάτων (a, a,, a n καλείται ορθοκανονικό όταν a a ( k, m δ k m,, k k m m x ( Σεραφείµ Καραµπογιάς n x n ψ ( x x (, ψ ( x ( ψ ( d n n b a n n ψ (, ψ ( δ ( k m k m x ( d b * (, y( x ( y a x ( x (, x ( b a x( d Εισαγωγή στα συστήµατα -53