Στοχαστικές Ανελίξεις- Σεπτέμβριος 2016

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Στοχαστικές Ανελίξεις- Σεπτέμβριος 2016"

ÊΠρομηθεύς Αποστόλου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Στοχαστικές Ανελίξεις- Σεπτέμβριος 2016 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία είναι σα να μην έχουν δοθεί. Ειδικότερα, αν σε κάποιο θέμα χρησιμοποιήσετε μια στοχαστική διαδικασία που δεν έχει οριστεί στην εκφώνηση, θα πρέπει να την ορίσετε με ακρίβεια. (3) Γράψτε αμέσως τα στοιχεία σας στο γραπτό σας. Γραπτό χωρίς στοιχεία στη διάρκεια της εξέτασης μηδενίζεται. Στο τέλος του διαγωνίσματος παραδίδονται ΟΛΕΣ οι κόλλες, περιλαμβανομένου και του πρόχειρου. (4) Επιτρέπεται η χρήση calculator αλλά ΟΧΙ κινητού τηλεφώνου. Κινητό τηλέφωνο που εντοπίζεται να χρησιμοποιείται ή να βρίσκεται πάνω στο έδρανο συνεπάγεται μηδενισμό του γραπτού, ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ απο τον σκοπό για τον οποίο χρησιμοποιείται(π.χ. για ρολόι). (5) Διάρκεια διαγωνίσματος: 2.5 ώρες. Πρώτη αποχώρηση: 45 λεπτά. Καλή Επιτυχία! ΠΡΟΒΛΗΜΑ1.(25)ΔίνεταιμιαΜαρκοβιανήδιαδικασίαδιακριτούχρόνου{X n,n = 0,1,...} μεχώροκαταστάσεων S = {0,1,2,3}καιτονπαρακάτωπίνακαπιθανοτήτωνμετάβασηςενόςβήματος P = α 0 α β 0 1 β (α)ναβρεθούνοιοριακέςπιθανότητεςμετάβασης lim n p (n) 21,lim n p (n) 02. (β) Να βρεθεί ο αναμενόμενος χρόνος πρώτης μετάβασης από την κατάσταση 2 στην κατάσταση 3. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2. Ενας υπολογιστής χρησιμοποείται για να διεκπεραιώνει δύο ειδών εργασίες. Υπάρχουν άπειρες εργασίες και από τις δύο κατηγορίες που περιμένουν εκτέλεση. Σε κάθε περίοδο ο υπολογιστής απασχολείται με μία μόνο εργασία. Αν εκτελεί εργασία τύπου 1, τότε η πιθανότητα νατηνολοκληρώσειμέσασεαυτήτηνπερίοδοείναιίσημε p 1,ενώηπιθανότηταναπαραμείνει ηεργασίακαιγιατηνεπόμενηπερίοδοείναιίσημε 1 p 1. Αντίστοιχεςπιθανότητες p 2,1 p 2 ορίζονται και για τις εργασίες τύπου 2. Αν στην αρχή της περιόδου ο υπολογιστής δεν εκτελεί κάποια εργασία, τότε επιλέγει τυχαία για εκτέλεση μια εργασία τύπου 1 με πιθανότητα d ή τύπου 2μεπιθανότητα 1 d.υποθέστεότι p 1,p 2,d (0,1). (α) Να βρεθεί το ποσοστό χρόνου που ο υπολογιστής εκτελεί εργασία τύπου 1 και αντίστοιχα για εργασία τύπου 2. (β)γιακάθεεργασίατύπου1ή2πουολοκληρώνεταιυπάρχειμιααμοιβήίσημεr 1 ήr 2,αντίστοχα. Επίσης σε κάθε χρονική περίοδο που ο υπολογιστής απασχολείται με εργασία τύπου 1 ή 2 υπάρχει κόστοςίσομε c 1 ή c 2,αντίστοιχα. Ναβρεθείτομέσοκαθαρόκέρδοςανάμονάδαχρόνουσε άπειρο ορίζοντα(κέρδος = αμοιβή- κόστος). Συνέχεια πίσω.

2 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3. Δύο παίκτες Α και Β παίζουν διαδοχικά ανεξάρτητα παιχνίδια. Σε κάθε παιχνίδικερδίζειοπαίκτηςαμεπιθανότητα pήοπαίκτηςβμεπιθανότητα 1 p(δενυπάρχει ισοπαλία). Ο νικητής κάθε παιχνιδιού συγκεντρώνει 1 βαθμό, ενώ νικητής συνολικά αναδεικνύεται ο παίκτης που θα συμπληρώσει πρώτος 2 βαθμούς. (α) Εστωηστοχαστικήδιαδικασία {X n,n = 1,2,...},όπου X n = (i,j)ανστηναρχήτου παιχνιδιού nτοσκορείναι (i,j),δηλαδήοπαίκτηςαέχεισυγκεντρώσει iβαθμούςκαιοπαίκτης Β έχει συγκεντρώσει j βαθμούς. Να ορίσετε τον χώρο καταστάσεων της διαδικασίας, να δείξετε ότι είναι Μαρκοβιανή και να κατασκευάσετε το διάγραμμα πιθανοτήτων πρώτης μετάβασης. (β) Με βάση το μοντέλο στο(α) να βρείτε τον αναμενόμενο αριθμό παιχνιδιών μέχρι να αναδειχθεί ονικητής. (γ)μεβάσητομοντέλοστο(α)ναυπολογίσετετηνπιθανότητα x(p)νααναδειχθείνικητήςο παίκτηςα,ωςσυνάρτησητουp.νασχεδιάσετετησυνάρτησηx(p)γιαp [0,1]καιναβρείτεπότε ο παίκτης Α προτιμά το πρωτάθλημα που περιγράφεται παραπάνω ως προς ένα άλλο πρωτάθλημα που ο νικητής αναδεικνύεται με ένα μόνο παιχνίδι. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4. Ενα ποντίκι κινείται μεταξύ τριών δωματίων(1,2,3) με τον εξής τρόπο: Ο χρόνος παραμονής σε κάθε δωμάτιο είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί εκθετική κατανομή με ρυθμό λ. Οτανφύγειαπόκάποιοδωμάτιο,τότε:απότοδωμάτιο1πηγαίνειπάνταστοδωμάτιο2, απότοδωμάτιο2πηγαίνειστοδωμάτιο1μεπιθανότητα δκαιστοδωμάτιο3μεπιθανότητα 1 δ, ενώαπότοδωμάτιο3πηγαίνειπάνταστοδωμάτιο1.οιπαράμετροι λκαι δείναιάγνωστες. Ενας παρατηρητής παρακολουθεί μόνο το δωμάτιο 3 και βλέπει ότι μετά από μεγάλο χρόνο παρατήρησης το ποντίκι βρίσκεται στο δωμάτιο 3 ποσοστό χρόνου 20%, ενώ όσες φορές μπαίνει στο δωμάτιο3παραμένειεκείκατάμέσοόρο2λεπτά. Μεβάσηταπαραπάνωστοιχείαναεκτιμηθούνοιτιμέςτων λκαι δ. (Γιαμονάδαχρόνουχρησιμοποιήστε το 1 λεπτό).

Σχετικά έγγραφα

0 1 0 0 0 1 p q 0 P =

0 1 0 0 0 1 p q 0 P = Στοχαστικές Ανελίξεις - Σεπτέμβριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία