ΑΣΚΗΣΗ 14. Για το πλαίσιο του σχήματος με τεθλασμένο ζύγωμα ζητείται να μορφωθούν τα διαγράμματα M, Q, για τη δεδομένη φόρτιση.

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΗ 14 ΔΕΔΟΕΝΑ: Για το πλαίσιο του σχήματος με τεθλασμένο ζύγωμα ζητείται να μορφωθούν τα διαγράμματα,, για τη δεδομένη φόρτιση. ΕΠΙΛΥΣΗ: Ο φορέας είναι συμμετρικός ως προς άξονα με τυχαία φόρτιση. πορούμε να τον χωρίσουμε σε δύο φορείς, τον έναν με συμμετρική φόρτιση και τον άλλον με αντισυμμετρική. ε επαλληλία ο φορέας γίνεται: ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 1

2 1) Υπολογισμός πλαισίου Α Είναι συμμετρικό με συμμετρική φόρτιση, άρα μπορούμε να μελετήσουμε το μισό φορέα, τοποθετώντας κατάλληλη στήριξη (κυλιόμενη πάκτωση). Τα διαγράμματα που θα προκύψουν θα είναι: συμμετρικό το [] και αντισυμμετρικό το []. Εύρεση κινηματικής αοριστίας: Ο φορέας είναι δύο φορές υπερστατικός με άγνωστα παραμορφωσιακά μεγέθη τη στροφή στον κόμβο και η μετακίνηση του (1--3). Το ότι υπάρχει μία μετατόπιση ως παραμορφωσιακό μέγεθος μπορεί να βεβαιωθεί και από το γεγονός ότι απαιτείται μία ράβδος ώστε ο φορέας να είναι σταθερός. Οι μετακινήσεις των κόμβων και 3 σχετίζονται αφού δεν είναι δυνατόν να αλλάξει το μήκος της ράβδου (-3). φ ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

3 δ Παγιωμένος φορέας (φδ0) όρφωση ελαστικών γραμμών και υπολογισμός των, Για εξωτερική ομοιόμορφη φόρτιση q. q l προβ.( 3) q1 l( 3) 4 10 q1 11,18 q1 1,789KN / m q q cosφ 1,789 0,894 1,6KN Παραμορφωσιακή κατάσταση για φ1 3 3 q q l l / /1 1,6 11,18 /1 16,67KNm 1,6 11,18 / 8,94KN EI 3ΕΙ φ φ 50 6EI 6ΕΙ φ φ EI φ ΕΙ φ 4ΕΙ φ ΕΙ φ EI φ 5 EI φ 5 4EI φ 11,18 EI φ 11,18 ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 3

4 Παραμορφωσιακή κατάσταση για δ1 α) ράβδος (-3) δ δ 1 sinφ και δ δ cosφ Δδ 1 cosφδ sinφ, άρα δ δ 1 cosφ/sinφ δ δ +δ δ 1 sinφ+ δ cosφ δ 1 sinφ+δ 1 cos φ/sinφ δ 1 (sin φ+cos φ)/sinφδ 1 /sinφ,4δ 1 6EI 6ΕΙ δ δ 15 1EI 1ΕΙ δ δ 1397,4 () () 3 3 () () β) ράβδος (1-) () () 6EI 6ΕΙ δ δ 1 EIδ 100,4 11 () () 1EI 1ΕΙ δ δ 3 1 EIδ 1000,4 560 Υπολογισμός των μεγεθών δ και φ 1) Η στροφή φ θα προσδιοριστεί από την ισορροπία του κόμβου : () () ΕΙ 3ΕΙ 4ΕΙ 10,78ΕΙ,68ΕΙ φ + δ 16,67 + φ + δ + δ , ,7578EIφ + 0,0478EIδ 16,67 ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 4

5 ) Η μετατόπιση δ προκύπτει από την εξίσωση ροπών ως προς σημείο Ο: Σ Ο ( 10) 3 0 () 1 ( ) + [ + ] () () EI 3ΕΙ 3ΕΙ EI 10,78ΕΙ,68ΕΙ φ δ 15 φ + 15 δ ,67 φ δ δ , ,51ΕΙ φ + 0,73ΕΙ δ 116,67 () Από και () προκύπτει: φ47,6/ει και δ-404,95/ει. Εύρεση εντατικών μεγεθών Στύλος 1-: () EI φ δ 33,75ΚΝm 5 50 () EI φ + δ 43,0ΚΝm 5 50 () φ + δ 7,69KN () φ + δ 7,69KN ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 5

6 Ζύγωμα -3: () 4EI 10,78EI,68EI ,67 + φ + δ + δ 43,0KNm 11, () EI 10,78EI,68EI ,67 φ δ δ 18,3KNm 11, () 6EI 1,456EI 5,364EI ,94 φ δ δ 14,44KN ,4 1397,4 () 6EI 1,456EI 5,364EI ,94 φ δ δ 3,44KN ,4 1397,4 όρφωση των διαγραμμάτων, ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 6

7 ) Υπολογισμός πλαισίου Β Κατά όμοιο τρόπο μελετάμε το πλαίσιο Β. Είναι συμμετρικό ως προς άξονα με αντισυμμετρική φόρτιση και επομένως λύνουμε το μισό, τοποθετώντας οριζόντια κύλιση στον άξονα συμμετρίας, έτσι ώστε να απαγορεύεται η κάθετη μετακίνηση και να επιτρέπεται η οριζόντια και η στροφή (μηδενική ροπή). Έτσι, τα διαγράμματα των ροπών και αξονικών δυνάμεων προκύπτουν αντισυμμετρικά, ενώ των τεμνουσών συμμετρικό. Ο βαθμός κινηματικής αοριστίας είναι και σ αυτόν το φορέα, με υπερστατικά μεγέθη στροφή του κόμβου και μετατόπιση. Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, έχουμε: φ ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 7

8 δ Παγιωμένος φορέας (φδ0) όρφωση ελαστικών γραμμών και υπολογισμός των, Για εξωτερική ομοιόμορφη φόρτιση q. q l προβ.( 3) q1 l( 3) 4 10 q1 11,18 q1 1,789KN / m q q cosφ 1,789 0,894 1,6KN q l / 8 1,6 11,18 / 8 5KNm 5q l / 8 5 1,6 11,18 / 8 11,18KN 3q l / 8 3 1,6 11,18/8 6,71KN Παραμορφωσιακή κατάσταση για φ EI φ ΕΙ φ 3ΕΙ φ 1 3 EI φ 5 EI φ 5 φ 11,18 6EI 3ΕΙ φ φ 50 3ΕΙ φ φ 15 ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 8

9 Παραμορφωσιακή κατάσταση για δδ 1 1 Ράβδος (1-) () 3 () 3 '' 3ΕΙ 6,708 δ,36 δ ΕΙδ () '' 3ΕΙ 3 δ,36 δ ,4 6, ,4 ΕΙδ Υπολογισμός των μεγεθών δ και φ 1) Η στροφή φ προκύπτει από την ισορροπία του κόμβου : () () ()' ΕΙ 3ΕΙ 3ΕΙ 6,708ΕΙ 6,708ΕΙ φ + δ 5 + φ + δ δ 0,668EIφ 0,06EIδ , ) Η μετατόπιση δ προκύπτει από την ισορροπία του φορέα, συγκεκριμένα ΣF x () ΕΙ 3ΕΙ φ + δ ,06ΕΙ φ + 0,01ΕΙ δ 0 () Από και () προκύπτει: φ67,93/ει και δ339,67/ει. ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 9

10 Εύρεση εντατικών μεγεθών Στύλος 1-: () EI φ δ 6,78ΚΝm 5 50 () EI φ + δ 6,78ΚΝm 5 50 () φ δ () φ + δ Ζύγωμα -3: () ()' 6,708EI 6,708EI φ + δ δ 6,78KNm 11, () ()' 6,708EI 6,708EI ,18 φ δ + δ 9,55KN ,4 1397,4 () ()' 6,708EI 6,708EI ,71 φ δ + δ 8,34KN ,4 1397,4 όρφωση των διαγραμμάτων, ε επαλληλία των διαγραμμάτων των πλαισίων Α και Β που προέκυψαν παραπάνω προκύπτουν τα τελικά διαγράμματα,. ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 10