ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΛΥΤΙΚΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΚΑΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX MΕ PYTHON Διπλωματική Εργασία του Τσιπλίδη Κωνσταντίνου Θεσσαλονίκη, 09/2016

2

3 ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΛΥΤΙΚΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΚΑΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX MΕ PYTHON Τσιπλίδης Κωνσταντίνος Πτυχίο Εφαρμοσμένης Πληροφορικής 1995 Διπλωματική Εργασία υποβαλλόμενη για τη μερική εκπλήρωση των απαιτήσεων του ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΤΙΤΛΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Επιβλέπων Καθηγητής Σαμαράς Νικόλαος Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την Σαμαράς Νικόλαος Σιφαλέρας Άγγελος Βεργίδης Κωνσταντίνος Αναπληρωτής Καθηγητής Επίκουρος Καθηγητής Επίκουρος Καθηγητής Τσιπλίδης Κωνσταντίνος... iii

4 Περίληψη Η εργασία αφορά την μελέτη και ανάλυση μεθόδων και τεχνικών που εφαρμόζονται πριν από την επίλυση μεγάλης κλίμακας πραγματικών αραιών προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού. Τα αποτελέσματα της υπολογιστικής μελέτης καταδεικνύουν την ανάγκη και την χρησιμότητα των μεθοδολογιών που περιγράφονται, καθώς είναι αναγκαίες για την αποδοτική λειτουργία γνωστών αλγορίθμων αλλά και την βελτίωση που επιφέρουν τόσο στον χρόνο επίλυσης όσο και στους υπολογιστικούς πόρους που απαιτούνται. Γίνεται παρουσίαση του μαθηματικού μοντέλου κάθε μεθόδου, εφαρμογή σε κατάλληλα παραδείγματα ενώ ακολουθεί και ο αντίστοιχος κώδικας προγράμματος. Η υλοποίηση των μεθόδων αποτελεί πρωτότυπη εφαρμογή τους και προγραμματισμός τους στην γλώσσα python. Λέξεις Κλειδιά: Προλυτικές Διαδικασίες, Μέθοδοι Κλιμάκωσης, Αραιές Μήτρες Αλγόριθμος Simplex, Python iv

5 Abstract The primary concept of this work is to apply modern presolve and scaling techniques prior to solving large scale sparse real life Linear Programming problems, in order to achieve better computational behavior and results, while applying algorithms like the Simplex Method. The mathematical forms are presented along with numerical examples and codes. The methods are implemented in the python programming language. Keywords: Presolve Methods, Scaling Techniques, Simplex Algorithm, Sparse Matrices Technology, Python v

6 Ευχαριστίες Η παρούσα εργασία δεν θα μπορούσε να ολοκληρωθεί χωρίς την βοήθεια, την καθοδήγηση και την στήριξη του επιβλέποντος καθηγητή κου Σαμαρά Νικόλαου τον οποίο και ευχαριστώ πολύ για την συνεργασία μας. Οφείλω, επίσης, ένα ευχαριστώ στους παλαιούς και νέους Πανεπιστημιακούς Δασκάλους μου που, στα πλαίσια των μαθημάτων του Μεταπτυχιακού Προγράμματος, προσέφεραν επιπλέον νέες γνώσεις, πολύτιμο υλικό για την επιστημονική μου κατάρτιση και την προσωπική επαγγελματική εξέλιξη. Ολοκληρώνοντας τις υποχρεώσεις του Μεταπτυχιακού Προγράμματος με αυτήν την εργασία, ένα θερμό ευχαριστώ ανήκει στην οικογένειά μου για την αμέριστη υποστήριξη και διαρκή συμπαράστασή τους, όχι μόνο κατά την συγγραφή της εργασίας αλλά και καθ όλη τη διάρκεια των μεταπτυχιακών σπουδών μου. vi

7 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Η φύση του προβλήματος Σκοπός της Διπλωματικής Θέματα Υλοποίησης 2 2 Σχήματα Αποθήκευσης Ιστορικά στοιχεία Το πρότυπο MPS Η δομή των αρχείων Βιβλιοθήκες Αποθετήρια Ανάγνωση αρχείων Κώδικας Τεχνικές Αραιών Μητρών Μορφές Αποθήκευσης Η υλοποίηση τεχνικών Αραιών Μητρών 16 3 Προλυτικές διαδικασίες Απαλοιφή μηδενικών γραμμών Απαλοιφή μηδενικών στηλών Απαλοιφή περιορισμών ισότητας τύπου singleton Απαλοιφή ισοτικών περιορισμών τύπου k-ton Απαλοιφή ανισοτικών περιορισμών τύπου singleton Απαλοιφή δυϊκού ανισοτικού περιορισμού τύπου singleton Απαλοιφή εμμέσως ελεύθερων στηλών τύπου singleton Απαλοιφή πλεονασματικών στηλών Απαλοιφή έμμεσων ορίων γραμμών Απαλοιφή πλεονασματικών γραμμών Κλήση των προλυτικών μεθόδων 39 4 Τεχνικές κλιμάκωσης Μέθοδος της εξισορρόπησης Μέθοδος του γεωμετρικού μέσου Κλήση των διαδικασιών 47 5 Ο αναθεωρημένος αλγόριθμος simplex δύο φάσεων 48 6 Υπολογιστική μελέτη 61 vii

8 7 Συμπεράσματα 64 Βιβλιογραφία 65 Παράρτημα A - Εγκατάσταση της Python 67 A.1 Εισαγωγή 67 A.2 Επιλέγοντας περιβάλλον εργασίας 68 A.3 Εγκατάσταση 69 A.3.1 Ο διερμηνευτής 69 A Windows (όλες οι εκδόσεις) 69 A Linux (κάθε διανομή) 75 A.4 Επιλέγοντας IDE 75 A.5 Εγκατάσταση πακέτων 78 Παράρτημα B - Πληροφορίες MPS αρχείων 81 Παράρτημα C - Απεικόνιση αραιής μορφής αρχείων MPS 90 viii

9 Κατάλογος Εικόνων Εικόνα 1. Σχηματική παράσταση δεδομένων αραιών μητρών σε python ix

10 Κατάλογος Κώδικα Λίστα Κώδικα 1. Εισαγωγή στοιχείων από MPS σε αραιές μήτρες 11 Λίστα Κώδικα 2. Αποθήκευση στατιστικών στοιχείων δοκιμαστικών προβλημάτων 11 Λίστα Κώδικα 3. Διαγραμματική απεικόνιση δεδομένων αραιών μητρών 12 Λίστα Κώδικα 4. Απαλοιφή Μηδενικών γραμμών 22 Λίστα Κώδικα 5. Απαλοιφή Μηδενικών Στηλών 24 Λίστα Κώδικα 6. Απαλοιφή Περιορισμών Ισότητας τύπου Singleton 26 Λίστα Κώδικα 7. Απαλοιφή ισοτικών περιορισμών τύπου k-ton 30 Λίστα Κώδικα 8. Απαλοιφή ανισοτικών περιορισμών Singleton 32 Λίστα Κώδικα 9. Απαλοιφή δυϊκών περιορισμών 34 Λίστα Κώδικα 10. Απαλοιφή ελεύθερων στηλών 36 Λίστα Κώδικα 11. Απαλοιφή πλεονασματικών στηλών 37 Λίστα Κώδικα 12. Απαλοιφή έμμεσων ορίων γραμμών 38 Λίστα Κώδικα 13. Απαλοιφή πλεονασματικών γραμμών 39 Λίστα Κώδικα 14. Κλήση μεθόδων προεπίλυσης 40 Λίστα Κώδικα 15. Κλιμάκωση με την Μέθοδο Εξισορρόπησης 43 Λίστα Κώδικα 16. Μέθοδος της εξισορρόπησης (με βρόγχο) 44 Λίστα Κώδικα 17. Μέθοδος γεωμετρικού μέσου 47 Λίστα Κώδικα 18. Αλγόριθμος 2 Phase Revised Simplex 60 x

11 Πίνακας αποτελεσμάτων Πίνακας 1 Αποτελέσματα Εφαρμογής Μεθόδων Προεπίλυσης Πίνακας 2 Χρόνοι Εφαρμογής Μεθόδων Προεπίλυσης & Επαναλήψεις Αλγορίθμου xi

12 xii

13 1 Εισαγωγή 1.1 Η φύση του προβλήματος Η εργασία πραγματεύεται θέματα που ανήκουν στον χώρο του Γραμμικού Προγραμματισμού (Linear Programming). Παρόλο που η έρευνα έχει ξεκινήσει εδώ και αρκετές δεκαετίες (Dantzig (1949)), σημειώνοντας σημαντικές εξελίξεις με βελτιώσεις και ανακαλύψεις μόλις τα τελευταία χρόνια: (Khachiyan (1980)) - Ελλειψοειδής ή ρωσικός αλγόριθμος, (Karmarkar (1984)) - Αλγόριθμος Εσωτερικών Σημείων κα (Bland (1981)). Υπάρχουν θέματα που συνεχίζουν να κινούν το ενδιαφέρον των ερευνητών και να χρίζουν αποτελεσματικότερης αντιμετώπισης με συνεχείς προσπάθειες και την δημιουργία νέων μεθόδων όπως Περιστροφικοί Αλγόριθμοι Pivoting Algorithms (Simplex, Exterior Point, Criss-Cross) αλλά και Αλγόριθμοι Εσωτερικών Σημείων Interior Point Algorithms (Projective and Potential Reduction Methods, Affine Methods, Path-Following Methods). Η φύση του γενικού προβλήματος που επιλύει ο Γραμμικός Προγραμματισμός, που ονομάζεται γραμμικό πρόβλημα (ΓΠ), είναι τέτοια που καθιστά την αντιμετώπιση και την προσπάθεια επίλυσής του αρκετά δύσκολη που σε πολλές περιπτώσεις η εύρεση λύσης σε εφικτό χρόνο αποδεικνύεται αδύνατη. Η γενική μορφή τέτοιων προβλημάτων είναι η εξής: ( ) (Γ.Π.) Όπως αναλύεται σε επόμενο κεφάλαιο, τα πραγματικά προβλήματα (real world problems) που καλείται να επιλύσει ο ερευνητής, είναι εκτός από πολύ μεγάλα σε μέγεθος (αρκετές χιλιάδες εξισώσεις με αντίστοιχες μεταβλητές απόφασης), που οδηγούν σε αδυναμία αποθήκευσής τους ακόμα και σε σύγχρονα υπολογιστικά συστήματα με δεκάδες gigabyte μνήμης, είναι και η δομή τους τέτοια που συνήθως οδηγεί σε συσσώρευση λαθών υπολογισμών ή απλά σε αδυναμία εύρεσης λύσης (μεγάλο πλήθος κενών γραμμών ή στηλών στο βασικό σύστημα εξισώσεων, ύπαρξη πολλαπλών εξαρτήσεων με αποτέλεσμα την αδυναμία λειτουργίας των αλγορίθμων επίλυσής τους, πχ αντιστροφή μήτρας κλπ). 1

14 1.2 Σκοπός της Διπλωματικής Σκοπός της εργασίας είναι να αντιμετωπιστούν αυτά τα προβλήματα, με τρόπο αποδοτικό και αποτελεσματικό, καθιστώντας την επίλυση ενός οποιουδήποτε τυχαίου γενικού ΓΠ εφικτή σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα, χρησιμοποιώντας εκείνες τις κατάλληλες τεχνικές και μεθόδους, εξαλείφοντας τις ιδιομορφίες και αφαιρώντας όλες τις προβληματικές δομές που προκαλούν όλες τις δυσλειτουργίες των μεθόδων επίλυσής τους. Στην πράξη, κατά την πραγματοποίηση της εργασίας, φάνηκαν οι δυσκολίες επίλυσης των ΓΠ που οδηγούσαν σε αδυναμία εύρεσης λύσης χωρίς την χρήση αυτών των τεχνικών. Ο λόγος είναι ότι εφαρμόζοντας αυτές τις τεχνικές, εκτός από την απλοποίηση του προβλήματος, επιτυγχάνεται και μείωση του μεγέθους του, με σημαντικά οφέλη στον χρόνο εκτέλεσης του αλγορίθμου αλλά και στην μείωση των αναγκαίων αποθηκευτικών πόρων του Η/Υ. Εκτός από τα πιο πάνω οφέλη, η αφαίρεση πλεονασματικών δομών, η διαγραφή περιττών περιορισμών και η απαλοιφή μεταβλητών απόφασης μη σχετικών με το πρόβλημα, προκαλεί την μείωση των απαιτούμενων υπολογισμών αλλά και των αντίστοιχων σφαλμάτων στρογγυλοποίησης και αποκοπής, οδηγώντας σε λύσεις μεγαλύτερης ακρίβειας. 1.3 Θέματα Υλοποίησης Στον χώρο των επιστημονικών υπολογισμών οι πιο συνηθισμένες γλώσσες προγραμματισμού ή αυτές που χρησιμοποιήθηκαν περισσότερο τις τελευταίες δεκαετίες είναι η C/C++ και η FORTRAN, σε διάφορες εκδόσεις της (77, 90, HPF κλπ). Βασικό συγκριτικό πλεονέκτημά τους οι ταχύτατοι και βελτιστοποιημένοι (optimized) μεταγλωττιστές και η παρουσία λίγων, αλλά πολύ καλά υλοποιημένων βιβλιοθηκών (όπως το LAPACK) η χρήση των οποίων δεν υπήρξε πάντοτε και η ευκολότερη δυνατή. Με την ανάπτυξη του περιβάλλοντος προγραμματισμού MATLAB, και του αντίστοιχου, ανοιχτού κώδικα, octave, τα τελευταία χρόνια υπήρξε μια στροφή των ερευνητών σε αυτά τα περιβάλλοντα, κάνοντας χρήση των πλεονεκτημάτων τους στην αναπαράσταση των προβλημάτων και στην μεγάλη ποικιλία έτοιμων εργαλείων που βοηθούν στην επίλυσή τους. 2

15 Κατασκευάστηκαν σημαντικές βιβλιοθήκες κώδικα που αντιμετωπίζουν άμεσα θέματα όπως η αποθήκευση δεδομένων με την χρήση τεχνικών αραιών μητρών. Και αυτό, χωρίς την ανάγκη ο ερευνητής να ασχοληθεί κατασκευαστικά με αυτά αλλά μόνο με την σωστή και αποδοτική χρήση τους, συντελώντας στην αυξανόμενη μέχρι τώρα χρήση τους. Η αλληλεπιδραστική (interactive) μορφή τους καθώς και η ενσωμάτωση διαφόρων βοηθητικών εργαλείων (χειρισμού, επεξεργασίας, οπτικής απόδοσης δεδομένων κλπ) ήταν μερικά από τα πλεονεκτήματα που προσέφεραν. Ωστόσο, το κυριότερο πρόβλημα τους, αν εξαιρέσει κανείς την εκμάθηση μιας διαφορετικής γλώσσας, και ότι συνεπάγεται αυτό, συντακτικό, κανόνες κλπ, και η εξοικείωση με το περιβάλλον του, είναι η εξάρτηση που απορρέει από μια κλειστού τύπου πλατφόρμα ανάπτυξης κώδικα, από τις διαθέσιμες κάθε φορά αναβαθμίσεις ή ανανεώσεις του. Από την άλλη μεριά, εδώ και αρκετά χρόνια, μια άλλη γλώσσα προγραμματισμού βρίσκεται στο επίκεντρο του ενδιαφέροντος και υιοθετείται η χρήση της σε ολοένα και περισσότερους τομείς των επιστημών και της έρευνας. Η γλώσσα python (Downey (2008) και Summerfield (2009)). Μια διερμηνευόμενη (interpreted) γλώσσα, σε αλληλεπιδραστικό περιβάλλον, με πολλά, διαφορετικά και στοχευμένα σε διάφορες χρήσεις περιβάλλοντα ανάπτυξης κώδικα, χρησιμοποιείται σε όλο και περισσότερους τομείς της έρευνας. Σχετικές έρευνες μάλιστα, δείχνουν ότι τα τελευταία χρόνια πολλά από τα κορυφαία πανεπιστήμια της Αμερικής (27 στα 39, πηγή: JavaMagazine.com 1 ) έχουν καθιερώσει ως κύρια γλώσσα προγραμματισμού στα εισαγωγικά μαθήματα της Επιστήμης των Υπολογιστών την γλώσσα python, ρίχνοντας την Java στην 2 η θέση (, το MATLAB στην 3 η και την C στην 4 η ). Πολλές από τις μεγαλύτερες εταιρείες στο χώρο της πληροφορικής (όπως Google, dropbox, Netflix, spotify κά) χρησιμοποιούν πλέον και την python σε συνδυασμό και με άλλες γλώσσες. Χαρακτηριστική είναι και η φράση που αποδίδεται σε μηχανικούς της Google αναφορικά με το ποιες γλώσσες χρησιμοποιεί η εταιρεία: Python where we can, C++ where we must Μερικοί από τους λόγους που κάνουν την python αρκετά ελκυστική στην χρήση της για την ανάπτυξη κώδικα είναι: 1 3

16 Είναι εύκολη στην εκμάθηση και στην χρήση της, αλλά και στην ανάγνωση του παραγόμενου κώδικα Είναι κατάλληλη για rapid prototyping, που σημαίνει ότι ο ερευνητής μπορεί άμεσα να μετατρέψει την ιδέα ενός αλγόριθμου σε κώδικα, φτιάχνοντας έτσι εύκολα τον σκελετό του προγράμματος Είναι «εκ φύσεως» αντικειμενοστραφής Διαθέτει μια μεγάλη ποικιλία βιβλιοθηκών σχεδόν για κάθε εργασία, όπως τα numpy, scipy, matplotlib και linalg στους επιστημονικούς υπολογισμούς, που συντηρούνται και ενημερώνονται συχνά (Bressert (2013), Idris (2014), Langtangen (2009), Langtangen (2014), Rojas (2015), Blanco-Silva (2013), Stewart (2014)) Δημιουργία συμπαγούς, σύντομου και εύκολα αναγνώσιμου κώδικα Είναι δωρεάν και διαθέσιμη για κάθε λειτουργικό σύστημα, οποιασδήποτε αρχιτεκτονικής Συνδέεται εύκολα με κώδικα γραμμένο σε άλλες γλώσσες προγραμματισμού Έχει άμεση και αλληλεπιδραστική λειτουργία, που σημαίνει ότι αφού φορτωθούν τα δεδομένα στην κονσόλα, μπορούν να τρέξουν άμεσα μεμονωμένες εντολές ή κομμάτια αυτών, ώστε να γίνουν οι πιθανές αλλαγές ή τροποποιήσεις στον κώδικα Αναφορικά δε με την χρήση της python σε τομείς των επιστημονικών υπολογισμών, σε αντιδιαστολή με τις «παραδοσιακές» C/C++ και FORTRAN, αξίζει να αναφέρουμε την ανάπτυξη και ανανέωση γρήγορων βιβλιοθηκών (συχνά precompiled σε C) κώδικα από την μεγάλη κοινότητα των φίλων της γλώσσας και σε πάρα πολλούς τομείς (από web cloud εφαρμογές μέχρι υλοποιήσεις σε GPUs). Για τους πιο πάνω λόγους, επιλέχθηκε η γλώσσα python για την υλοποίηση των τεχνικών και του αλγορίθμου που περιγράφονται στην παρούσα εργασία. Το γεγονός ότι παρόμοιες υλοποιήσεις σε python, για επίλυση μεγάλης κλίμακας γραμμικών προβλημάτων, δεν υπάρχουν, αποτέλεσε το μεγάλο κίνητρο και πρόκληση αυτής της εργασίας, αλλά ταυτόχρονα, δημιούργησε και πάρα πολλές δυσκολίες. Αυτές είχαν να κάνουν περισσότερο με την σύνδεση διαφορετικών βιβλιοθηκών και το συνδυασμό αυτών, ώστε να προκύψει το επιθυμητό τελικό αποτέλεσμα της έρευνας. Ο κώδικας που δημιουργήθηκε στα πλαίσια της εργασίας αυτής αφορά: 4

17 1. Την εισαγωγή δεδομένων από αρχεία (MPS) και την αποθήκευσή τους στην μνήμη με τεχνικές αραιών μητρών (sparse matrix techniques), όπως περιγράφονται στο Κεφάλαιο 2. Εκεί παρουσιάζονται και οι γραφικές απεικονίσεις κάποιων προβλημάτων, με εκτενή παρουσίασή τους στα Παραρτήματα 2. Την υλοποίηση των προλυτικών διαδικασιών που παρουσιάζονται στο Κεφάλαιο 3 3. Την εφαρμογή μεθόδων κλιμάκωσης που αναλύονται στο Κεφάλαιο 4 4. Την ανάπτυξη και χρήση του αλγορίθμου Simplex που περιγράφεται στο Κεφάλαιο 5, με την μορφή μητρών, σε μια ή/και δύο Φάσεις, με την μέθοδο μίας τεχνητής μεταβλητής 5. Η γραφική αναπαράσταση των αραιών μητρών των επιλεγμένων Μετροπρογραμμάτων (Benchmarks) παρουσιάζεται, μαζί με κάποια βασικά στατιστικά τους στοιχεία, στα Παραρτήματα 5

18 2 Σχήματα Αποθήκευσης 2.1 Ιστορικά στοιχεία Το γραμμικό πρόβλημα, όπως παρουσιάστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, συναντάται σε πάρα πολλούς τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας. Χρησιμοποιούνται κυρίως στον χώρο των μεταφορών, της διανομής προϊόντων, την βιομηχανία, αλλά και την οικονομία γενικά ή το marketing ειδικότερα. Για την επίλυση τέτοιων πραγματικών προβλημάτων (real world), έχουν υλοποιηθεί εμπορικοί ή καθαρά ερευνητικοί λύτες (solvers). Η φύση αυτών των προβλημάτων κάνουν το μέγεθός τους αρκετά μεγάλο, ώστε να προταθούν, από την πρώτη στιγμή που εμφανίστηκαν, διάφοροι τρόποι αποθήκευσής τους. Η λογική στην οποία στηρίχθηκαν, έχει να κάνει με τον προσανατολισμό του κάθε προγράμματος λύτη και διακρίνονται σε δύο κατηγορίες. Από την μια είναι τα συστήματα που επιτρέπουν την πλέον αποδοτική αποθήκευση των τεράστιων ποσοτήτων πληροφορίας και από την άλλη είναι η πιο «φυσική» και πιο κατανοητή στον άνθρωπο εισαγωγή δεδομένων. Η τελευταία προσανατολίζεται στην αποτύπωση της δομής του προβλήματος, ώστε να αναπαραστήσει σωστά τα βασικά δομικά του στοιχεία. Η πρώτη μορφή χρησιμοποιείται από την δεκαετία του 1960 μέχρι και σήμερα, ενώ η δεύτερη εμφανίστηκε τα τελευταία χρόνια, με την ανάπτυξη εργαλείων που ενσωματώνουν κάποια γλώσσα μοντελοποίησης. Στην εργασία χρησιμοποιήθηκε ένα από τα σχήματα αποθήκευσης που χρησιμοποιούν μοντέρνοι, επαγγελματικοί λύτες και είναι το πρώτο που εμφανίστηκε στον χώρο. Το σχήμα αποθήκευσης Mathematical Programming System (MPS) δημιουργήθηκε από την IBM για το σύστημα IBM MPS/360. Παρόλο που στηρίχθηκε στην τεχνολογία εκείνης της εποχής (διάτρητες κάρτες) αποτελεί ακόμα και σήμερα το κυριότερο ερευνητικό πρότυπο. Οι λόγοι είναι ότι χρησιμοποιείται από τις μεγαλύτερες βιβλιοθήκες αποθετήρια, όπως αυτή του Netlib ( αποτελεί το κύριο μέσο διαμοιρασμού δεδομένων σε ακαδημαϊκό και ερευνητικό επίπεδο και είναι κοινά αποδεκτό και αναγνώσιμο από όλους τους γνωστούς λύτες. 6

19 2.2 Το πρότυπο MPS Τα MPS αρχεία είναι αρχεία τύπου ASCII, με αυστηρά καθορισμένη δομή (η οποία περιγράφεται αμέσως μετά) για την αποθήκευση μόνο των μη μηδενικών στοιχείων του προβλήματος Η δομή των αρχείων Κάθε αρχείο MPS αποτελείται από επιμέρους τμήματα για την αποθήκευση όλων των διαθέσιμων πληροφοριών, όπως μεταβλητές (ονομασία και τιμή), συντελεστές κόστους, δεξιά μέρη ανισοτήτων, τύποι περιορισμών, όρια, διαστήματα τιμών κλπ. Κάθε γραμμή αποτελεί είτε αναγνωριστικό τμήματος είτε εγγραφή με πληροφορίες. Πιο αναλυτικά: Α) τμήμα NAME: έτσι ξεκινάει κάθε αρχείο MPS και περιέχει το όνομα του αρχείου μοντέλου. Στήλες : 1 12: NAME 15 22: το όνομα του μοντέλου 25 36: binary, free ή κενό Β) τμήμα ROWS (στήλες 1 4): περιλαμβάνει τις ονομασίες των γραμμών περιορισμών του προβλήματος καθώς και τον τύπο τους. Η λέξη ROWS σηματοδοτεί την έναρξη του τμήματος. Οι αμέσως επόμενες γραμμές μέχρι την έναρξη επόμενου τμήματος βρίσκονται στις Στήλες : 2 3 : ο τύπος του περιορισμού (Ν:γραμμή κόστους,g:,l:,e:=) 5 12: το όνομα του περιορισμού Γ) τμήμα COLUMNS (στήλες 1 7): πληροφορίες για κάθε στήλη. Το λεκτικό COLUMNS ξεκινάει το τμήμα και ακολουθούν τα περιεχόμενά του σε κάθε γραμμή Στήλες : 5 12 : όνομα στήλης 15 22: όνομα γραμμής 25 36: η τιμή του στοιχείου της μήτρας σε αυτή τη γραμμή και στήλη. Τα επόμενα στοιχεία δεν εμφανίζονται πάντα 40 47: το όνομα μιας 2 ης γραμμής 50 61: η τιμή του στοιχείου της μήτρας Δ) τμήμα RHS (στήλες 1 3): περιλαμβάνει πληροφορίες για δεξιό μέρος των περιορισμών Στήλες : 5 12 : όνομα δεξιού μέρους 7

20 15 22: όνομα γραμμής - περιορισμού 25 36: η αριθμητική τιμή του δεξιού μέρους του περιορισμού 40 47: το όνομα μιας 2 ης γραμμής 50 61: η αριθμητική τιμή του δεξιού μέρους του 2 ου περιορισμού Ε) τμήμα ENDATA (στήλες 1 7): καθορίζει το τέλος του αρχείου Ορισμένα από τα προβλήματα περιλαμβάνουν και τμήματα που αφορούν όρια (limits - bounds) ή διαστήματα (ranges). Αυτές οι τελευταίες περιπτώσεις αγνοήθηκαν Βιβλιοθήκες Αποθετήρια Τα προβλήματα δοκιμών (benchmarks) προέρχονται από διάφορες συλλογές που διατίθενται ελεύθερα στο διαδίκτυο. Αφορούν μόνο προβλήματα του χώρου του Γραμμικού Προγραμματισμού. Μια λεπτομερής παρουσίαση των χαρακτηριστικών αυτών των προβλημάτων γίνεται στα Παραρτήματα. Οι συλλογές αυτές είναι: 1. Netlib: πρόκειται για την κύρια συλλογή προβλημάτων ΓΠ και την παλαιότερη ( Η προσθήκη νέων προβλημάτων έχει σταματήσει, αποτελεί ωστόσο την πιο βασική από τις διαθέσιμες πηγές και σταθερό σημείο αναφοράς των ερευνητών στον χώρο. 2. Συλλογή Kennigton 3. infeasible problems 4. Συλλογή Mittelmann 5. προβληματικά: σετ ΓΠ από την Ακαδημία Επιστημών της Ουγγαρίας ( 6. στοχαστικά: σετ ΓΠ από την Ακαδημία Επιστημών της Ουγγαρίας 7. διάφορα: από την Ακαδημία επιστημών της Ουγγαρίας 8. διάφορα: μοντέλα από τον Housam Binous Ανάγνωση αρχείων Κώδικας Ο κώδικας που δημιουργήθηκε για την χρήση των αρχείων MPS, είναι γραμμένος σε python και πραγματοποιεί το άνοιγμα και φόρτωμα των δεδομένων ενός προβλήματος σε ένα πέρασμα (one pass), σε αντίθεση με άλλες υλοποιήσεις που το κάνουν σε δύο ή σε πολλαπλές αναγνώσεις, καθιστώντας τον αρκετά ταχύ στην λειτουργία του. Για το 8

21 φόρτωμα των δεδομένων και το πέρασμά τους στην συνέχεια στον λύτη χρησιμοποιήθηκαν βιβλιοθήκες από το πακέτο scipy και συναρτήσεις χειρισμού αραιών μητρών, όπως περιγράφονται στην επόμενη ενότητα. Ακολουθεί ο κώδικας που βρίσκεται στο αρχείο με όνομα fileread.py 1 # -*- coding: utf-8 -*- 2 """ 3 Created on Sat Aug 1 00:30: Read MPS file to Sparse Matrices 5 2. Plot a scatter diagram for Non Zero Elements 6 3. Print basic info about the file 7 4. Σε μορφή csr Tsiplidis Konstantinos 9 """ def readfile(): 13 ''' 14 Περιγραφή: Γινεται ανάγνωση αρχείου MPS Tsiplidis Konstantinos 16 Συγγραφέας: Τσιπλίδης Κωνσταντίνος 17 Αρχείο: fileread.py 18 Κλήση: a,b,c,eq=readfile() 19 Χρήση - Ενσωμάτωση: from fileread import * 20 Βιβλιοθήκες: numpy, scipy 21 Είσοδος:-a: η μήτρα των συντελεστών του γραμμικού προβλήματος 22 csr scipy matrix μεγέθους mxn 23 -b: το διάνυσμα του δεξιού μέρους csr scipy matrix μεγέθους mx1 24 -c: το διάνυσμα της αντικειμ. συνάρτησης csr scipy matrix μεγέθους nx1 25 -eq: πίνακας με το είδος κάθε περιορισμού 26 Έξοδος: οι τιμές των πινάκων εισόδου (a, b, c) 27 ''' 28 import os 29 print("reading files in directory...") 30 path='/00_mps' 31 mpsfiles=[files for files in os.listdir(path) if files.endswith('.mps')] 32 #Για κάθε αρχείο MPS 33 for mps in mpsfiles: 34 fname=path + '/' + mps 35 #'Ανοιγμα και διάβασμα του αρχείου 36 print('reading from file:',fname ) 37 #Αρχικοποίηση λιστών βασικής επεξεργασίας 38 rows,eqtype,data,rhs,l1=[],[],[],[],[1,2,0,3,4] 39 section=-1 #Διαχείριση των διαφορετικών τμημάτων των αρχείων 40 for line in open(fname): 41 #ανάγνωση κάθε γραμμής του αρχείου 42 words = line.split()#ανάγνωση μιας γραμμής και διαχωρισμός του string 43 nwords = len( words ) #Πόσα καμμάτια έχει κάθε γραμμή 44 if len(words)>2: 45 words=words[0:3] 46 words[0],words[1],words[2]=line[4:12].strip(),line[14:22].strip(),line[24:36] 47 if len(line)>39:# αν μια γραμμή εχει 5 στοιχεία 48 words.append(line[39:47].strip()) 49 words.append(line[49:61]) 50 if words[0] in ["NAME","ROWS","COLUMNS","RHS",'ENDATA'] and len(line)<=23:#εντοπισμός τίτλων 51 section+=1 52 continue 53 elif words[0] in ["RANGES","BOUNDS"]:#Απόρριψη αρχείου με τέτοια στο 54 print(words[0], "found, ending now...") 55 break 9

22 56 elif words[0] not in ["NAME","ROWS","COLUMNS","RHS"] and section<1: 57 continue 58 if section==0 and len(words)>0: 59 fname=words[1]#το όνομα του αρχείου 60 elif section==1:#τμήμα γραμμών 61 rows.append(line[4:len(line)-1].strip())#ονομασία γραμμής 62 eqtype.append(line[1])#είδος περιορισμού 63 elif section==2:#τμήμα στηλών 64 data.append(words[0])#αριθμητικά δεδομένα 65 end=2 66 t1=0 67 if len(words)>3: end=5#εντοπισμός περισσότερων από μιας τιμής 68 data.append(words[l1[0]]) 69 try: data.append(float(words[l1[1]])) 70 except: data.append(words[l1[1]]) 71 for i in range(2,end): 72 if i <end-1: 73 data.append(words[l1[i]]) 74 else: 75 try: data.append(float(words[l1[i]])) 76 except: data.append(words[l1[i]]) 77 elif section==3:#αριθμητικά δεδομένα για το Δεξιό Μέρος 78 if len(words)==2: 79 words.append(words[1]) 80 words[1]=words[0] 81 for i in range(1,len(words),2):#nwords): 82 rhs.append(words[i]) 83 try: rhs.append(float(words[i+1])) 84 except: rhs.append(words[i+1]) 85 #Κύρια επεξεργασία των δεδομένων των αρχείων 86 if section<4: 87 continue 88 else: 89 i=1 90 cost=[] 91 z_name=rows[eqtype.index('n')]#το όνομα της γραμμής κόστους 92 data2=data[:] 93 fordel=[] 94 #Αφαίρεση των δεδομένων της γραμμής κόστους από το Α 95 for i in range(1,len(data2),3): 96 if z_name == data2[i]: 97 fordel.append(i) 98 cost.append(data2[i-1]) 99 cost.append(data2[i+1]) 100 del data[int((i-1)-(len(cost)/2-1)*3):int((i)-(len(cost)/2-1)*3)+2] 101 data3=data2[:] 102 rows2=list(rows) 103 rows.remove(z_name) 104 for i in reversed(fordel): 105 del data2[i-1:i+2] 106 cols,x,y,d=[],[],[],[] 107 [cols.append(i) for i in data[0:len(data):3] if i not in cols] 108 for i in range(0,len(data2),3): 109 x.append(cols.index(data2[i])) 110 y.append(rows.index(data2[i+1])) 111 d.append(data2[i+2]) 112 #Αποθήκευση των δεδομένων σε sparse μορφή (CSR) 113 import numpy as np 114 from scipy.sparse import csr_matrix 115 col1 = np.array(x)#δείκτες στήλης 116 row1 = np.array(y)#δείκτες γραμμής 117 dat1 = np.array(d)#δεδομένα 118 c,c_cols=list(np.zeros(len(cols))),list(range(0,len(cols))) 119 for i in range(0,len(cost),2): 120 cool=cols.index(cost[i]) 121 c[cool]=cost[i+1] 122 c_rows=np.zeros(len(c)) 10

23 123 a=csr_matrix((dat1, (row1, col1)), shape=(len(rows), len(cols))) 124 c=csr_matrix((c, (c_cols,c_rows))) b,b_rows=list(np.zeros(len(rows))),list(range(0,len(rows))) 127 for i in range(0,len(rhs),2): 128 cool=rows.index(rhs[i]) 129 b[cool]=rhs[i+1] 130 b_cols=np.zeros(len(rows)) 131 b=csr_matrix((b, (b_rows, b_cols))) 132 k= for i in ['L','E','G']: 134 eqtype=[k if x==i else x for x in eqtype] 135 k+=1 136 eqtype.remove('n') 137 eqtype=np.array(eqtype) 138 eqtype=eqtype.reshape((len(eqtype),1)) 139 return a,b,c,eqtype Λίστα Κώδικα 1. Εισαγωγή στοιχείων από MPS σε αραιές μήτρες Για την εύρεση και αποθήκευση κάποιων βασικών στατιστικών στοιχείων των αρχείων MPS δημιουργήθηκε ο παρακάτω κώδικας: 1 # -*- coding: utf-8 -*- 2 #Δημιουργία εικόνας - γραφήματος της αραιής μορφής των αρχείων 3 4 def print_file_stat(rows,cols,data,fname): 5 #Μερικά στατιστικά στοιχεία του αρχείου 6 import sys 7 with open("filestats_for_xl.txt", "a") as f: 8 f.write(fname+';') 9 f.write(str(len(rows)-1)+';') 10 f.write(str(len(cols))+';') 11 f.write(str(int(len(data)/3))+';') 12 f.write(str(((len(data)/3))/(len(cols)*len(cols))*100)+"%"+';') 13 f.write(str(sys.getsizeof(data))+';') 14 f.write(str(int(sys.getsizeof(data[::3])/(len(data)/3)* len(rows)*len(cols)))+';') 15 f.write(str(sys.getsizeof(data[::3]))+'\n') Λίστα Κώδικα 2. Αποθήκευση στατιστικών στοιχείων δοκιμαστικών προβλημάτων Τέλος, για την δημιουργία και αποθήκευση της διαγραμματικής παράστασης κάθε προβλήματος και της απεικόνισης της αραιής μορφής των δεδομένων τους έγινε ο επόμενος κώδικας: 1 # -*- coding: utf-8 -*- 2 #Δημιουργία εικόνας - γραφήματος της αραιής μορφής των αρχείων 3 def plot_sparsity(x,y,data,fname): 4 import pylab as pl 5 pl.xlim(min(x), max(x)) 6 pl.ylim(min(y), max(y))# "%.2f" % a 11

24 7 sp="%.3f" %(((len(data)/3))/(len(cols)*len(cols))*100) 8 pl.title(fname+"-nonzeros:"+str(len(x))+"-sparsity:"+sp+"%"+"\n Tsiplidis Konstantinos & Samaras Nikolaos") 9 pl.xlabel(str(len(set(x)))+' Columns')#μετράει πόσα μοναδικά στοιχεία έχει η λίστα 10 pl.ylabel(str(len(set(y)))+' Rows') 11 pl.plot(x, y, 'b*', markersize=1) 12 pl.show() 13 pl.savefig("scatter_"+fname+"_pylab.png") 14 #ή με το επόμενο, 2ο τρόπο 15 import matplotlib.pyplot as plt 16 fig, ax = plt.subplots(1) 17 fig.axes(0,max(x),0,max(y) 18 ax.scatter(x, y, label="nz",s=1, marker=',', color='b') 19 ax.legend() 20 ax.set_title('scatter Diagramm of '+ fname +"- NonZeros:"+str(len(data)/3)+"\n Tsiplidis Konstantinos") fig.savefig("scatter_"+fname+".png") Λίστα Κώδικα 3. Διαγραμματική απεικόνιση δεδομένων αραιών μητρών Το αποτέλεσμα του πιο πάνω κώδικα είναι διαγράμματα της μορφής: Εικόνα 1. Σχηματική παράσταση δεδομένων αραιών μητρών σε python 2.3 Τεχνικές Αραιών Μητρών Όλα τα πραγματικά προβλήματα που υπάρχουν στις συλλογές δοκιμαστικών προβλημάτων (benchmarks) είναι αραιά (sparse). Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι ένα μεγάλο ποσοστό, μέχρι και της τάξης του 98%, των αριθμητικών δεδομένων του προβλήματος είναι μηδενικά, οι τεχνικές αραιών μητρών (Sparse Matrix Techniques) επιτρέπουν τα εξής: 1. Δεν αποθηκεύουν τα μηδενικά στοιχεία του προβλήματος, αποφεύγοντας έτσι την αλόγιστη χρήση αποθηκευτικού χώρου και 12

25 2. Αποφεύγουν την άσκοπη εκτέλεση πράξεων με μηδενικά στοιχεία, κάνοντας τους υπολογισμούς πιο ταχείς από την μια, αυξάνοντας την ακρίβεια των υπολογισμών και χωρίς να συσσωρεύονται σφάλματα υπολογισμών από την άλλη Πέρα από τα πλεονεκτήματα που προσφέρουν αυτές οι τεχνικές, υπάρχουν και μια σειρά άλλων ζητημάτων που ο ερευνητής θα πρέπει να λάβει υπ όψιν του, όπως: 1. Ποια μέθοδος είναι η πλέον κατάλληλη για μια συγκεκριμένη εργασία, πχ μια μέθοδος αποθηκεύει τα στοιχεία μιας μήτρας κατά στήλες ενώ άλλη κατά γραμμή 2. Υπάρχει έτοιμος κώδικας χειρισμού του σχήματος που θα χρησιμοποιηθεί ή θα πρέπει να κατασκευαστεί από την αρχή; 3. Αν υπάρχει, πόσο εύκολα μπορεί να γίνει η χρήση του 4. Τέλος, υπάρχουν ενσωματωμένες (built in) ρουτίνες για τις βασικές πράξεις μητρών (γινόμενα μητρών διανυσμάτων και αριθμών, γραμμοπράξεις κλπ) Οι απαντήσεις σε αυτά τα ερωτήματα θα καθορίσουν και το τελικό εργαλείο γλώσσα υλοποίησης των αλγορίθμων. Σε επόμενη παράγραφο (2.3.3) αναλύεται η χρήση της βιβλιοθήκης sparse του πακέτου scipy της python Μορφές Αποθήκευσης Για την αποθήκευση αριθμητικών δεδομένων αραιών μητρών υπάρχουν αρκετές τεχνικές. Ένας από τους πιο σημαντικούς παράγοντες για την επιλογή της πιο κατάλληλης μεθόδου έχει να κάνει και με τον τρόπο εσωτερικής αποθήκευσης των δεδομένων από την ίδια την γλώσσα προγραμματισμού με την οποία θα γίνει η υλοποίηση, αν δηλαδή αποθηκεύονται τα στοιχεία των πινάκων κατά γραμμή ή κατά στήλη. Οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες (Davis (2006), Gondzio (1995), Pissanetzky (1984), Saad (2003), Swietanowski (1995)) είναι οι εξής: Α) συμπιεσμένης αραιής γραμμής Compressed Sparse Row (CSR) Για την αποθήκευση των δεδομένων χρησιμοποιούνται τρία διανύσματα: Data: για τα αριθμητικά δεδομένα Indices: για τον δείκτη στήλης που ανήκει κάθε μη μηδενικό στοιχείο Indptr: το στοιχείο στην κ θέση δείχνει από ποια θέση στους άλλους δύο πίνακες ξεκινούν τα μη μηδενικά στοιχεία της κ γραμμής και εκτείνονται μέχρι μια θέση πριν 13

26 από αυτή στην οπoία δείχνει το κ+1 στοιχείο. Με άλλα λόγια δηλαδή, το στοιχείο μιας οποιασδήποτε γραμμής k βρίσκονται στο data[indptr[ k ]] μέχρι το data[indptr[ k +1]], αφού στην python δεν συμπεριλαμβάνεται το τελευταίο στοιχείο των διαστημάτων. Για τον πιο κάτω πίνακα Α A Τα αντίστοιχα διανύσματα αναπαράστασής του σε αραιή μορφή είναι: Data=[1,2,1,3,1] Indices=[0,3,1,0,3] Indptr=[0,1,2,3,3,5] Η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν γίνεται συχνά η σάρωη του πίνακα κατά γραμμή. Β) συμπιεσμένης αραιής στήλης Compressed Sparse Column(CSC) Παρόμοια μέθοδος με την προηγούμενη, ωστόσο αλλάζει ο προσανατολισμός και αποθηκεύονται τα μη μηδενικά στοιχεία κατά στήλες. Είναι απαραίτητα τρία διανύσματα: Data: για τα αριθμητικά δεδομένα Indices: για τον δείκτη γραμμής που ανήκει κάθε μη μηδενικό στοιχείο Indptr: ακολουθείται η ίδια λογική αλλά ως προς τις στήλες Για παράδειγμα, για το ίδιο με πιο πάνω Α, ισχύει: Data=[1,3,1,2,1] Indices=[0,4,2,1,4] Indptr=[0,2,3,3,5] Γ) συνδεδεμένες λίστες Linked Lists Αυτή η μέθοδος ενδείκνυται για την συχνή σάρωση της μήτρας κατά στήλη και όχι όταν γίνονται συχνά υπολογισμοί. Αυτή η μορφή αποθηκεύει μια λίστα ανά γραμμή της μήτρας, όπου κάθε κόμβος της λίστας περιέχει εκτός από τους απαραίτητους δείκτες επόμενου ή/και προηγούμενου κόμβου και τον δείκτη στήλης και την μη μηδενική τιμή. Η ταξινομημένη διάταξη σύμφωνα με τις στήλες, των στοιχείων της λίστας οδηγεί σε 14

27 περαιτέρω βελτίωση της απόδοσης για κάθε διαδικασία αναζήτησης και αναφοράς των στοιχείων της. Οι τρείς παραπάνω μέθοδοι είναι και οι πιο διαδεδομένες ειδικά όταν γίνονται πολλαπλές σαρώσεις ή και πράξεις. Υπάρχουν ωστόσο και μερικές ακόμη, πιο απλές αναπαραστάσεις των δεδομένων και χρησιμοποιούνται συνήθως στις περιπτώσεις όπου δεν είναι απαραίτητοι οι συχνοί υπολογισμοί ή όταν απαιτείται βαθμιδωτή ή κλιμακούμενη προσθήκη στοιχείων σε αυτά. Η πιο συνηθισμένη χρήση τους γίνεται στην φάση της δημιουργίας της αραιής δομής και η οποία μετασχηματίζεται στο τέλος σε άλλη, πιο αποδοτική, για τον χειρισμό ή την επεξεργασία της (πχ σε CSR ή CSC). Δ) συντεταγμένες Coordinates Με την μέθοδο αυτή αποθηκεύονται τα στοιχεία σε τριάδες σε έναν πίνακα διάνυσμα μεγέθους 3xnnz θέσεων για μια μήτρα με nnz μη μηδενικά στοιχεία. Για τα στοιχεία του Α του παραδείγματος, κατασκευάζεται το επόμενο διάνυσμα Data=[1,0,0,3,1,1,3,1,2,1,3,4,0] Όπου το κ στοιχείο είναι το μη μηδενικό στοιχείο του Α που βρίσκεται στην κ+1 γραμμή και την κ+2 στήλη. Πρόκειται για μια υπερ απλουστευμένη μέθοδο και την λιγότερο αποδοτική, γιατί δεν είναι άμεσα ορατά τα δομικά στοιχεία της μήτρας (γραμμές, στήλες, διαγώνιοι κλπ). Ε) λεξικό δεικτών/κλειδιών Dictionary of Keys (DOK) Σε αυτή τη μέθοδο τα δεδομένα αποθηκεύονται σε ένα λεξικό (που είναι βασικό δομικό στοιχείο της python μαζί με τις λίστες και τα σύνολα), το οποίο χαρτογραφεί ζεύγη τιμών γραμμής στήλης με την τιμή του μη μηδενικού στοιχείου. Εκτός από τις παραπάνω πιο συνιθισμένες μορφές αποθήκευσης υπάρχουν και κάποιες ακόμη που προορίζονται για πιο εξειδικευμένες μορφές δεδομένων και αντίστοιχους χειρισμούς. Αυτές είναι: Στ) σε τμήματα Blocks Είναι παρόμοια με την CSR με την διαφορά ότι χρησιμοποιείται όταν υπάρχουν υπομήτρες σε πυκνή (dense) μορφή. Σε αυτές τις περιπτώσεις η χρήση αυτής της μεθόδου είναι πολύ πιο αποδοτική σε σχέση με άλλες (Κούρτης ΒΒ). 15

28 Ζ) Banded Εφαρμόζεται γενικά σε μήτρες όπου τα μη μηδενικά στοιχεία συγκεντρώνονται κοντά ή γύρω από την κύρια διαγώνιό τους και σε μια ή περισσότερες σειρές δεδομένων. Η) διαγώνια Diagonal Η χρήση της γίνεται σχεδόν αποκλειστικά σε διαγώνιες μήτρες, δηλαδή σε μήτρες που τα μη μηδενικά στοιχεία τους βρίσκονται ακριβώς στην διαγώνιό τους, ενώ τα υπόλοιπα είναι μηδέν. Έτσι, για έναν πίνακα nxn χρειάζεται μόνο ένας μονοδιάστατος πίνακας nnzx2 πλήθος στοιχείων για κάθε ζεύγος τιμών (γραμμής ή στήλης και τιμής). Θ) Skyline H χρήση της περιορίζεται σε τριγωνικούς (υπό) πίνακες όπου θα εφαρμοστούν κυρίως μέθοδοι Cholesky ή LU. Συναντάται στο πακέτο BLAS. Ι) συμμετρική Symmetric Συνηθισμένη μορφή που δημιουργείται από ένα μη προσανατολισμένο γράφο, για την αναπαράσταση του αντίστοιχου πίνακα γειτνίασης (adjacency matrix). Αντίστοιχες τεχνικές που υλοποιούνται και στο πακέτο sparse BLAS του Intel Math Kernel Library είναι και οι: μη συμμετρική, δομικά συμμετρική (το μοτίβο εμφάνισης μη μηδενικών στοιχείων είναι συμμετρικό) και κατανεμημένα συμμετρική: η συμμετρική μήτρα διασπάται σε σειριακά υποσύνολα γραμμών, τους λεγόμενους τομείς domains και αντιμετωπίζονται παράλληλα. Κάθε ένας από αυτούς τους τομείς μπορεί να ανήκει σε ένα πολυδιεργασιακό σύστημα ή MPI διεργασία ή νήμα Η υλοποίηση τεχνικών Αραιών Μητρών Μια από τις πιο πλήρεις βιβλιοθήκες της python για επιστημονικούς υπολογισμούς, είναι το scipy (Scientific Python). Ένα από τα πακέτα του αφορά σχήματα αποθήκευσης και χειρισμό αραιών μητρών, το πακέτο sparse. Αυτό, περιλαμβάνει κλάσεις και μεθόδους (στην λογική της αντικειμενοστραφούς φύσης της python) για τον ορισμό, δημιουργία, μετατροπή διαφόρων τεχνικών (που αναφέρθηκαν στην ενότητα 2.3.1) αλλά και για την επεξεργασία τους ή τον χειρισμό τους, όπως ο 2 Βλ. : Intel Developer Reference for Mathematical Kernel Library 16

29 πολλαπλασιασμός μητρών με διανύσματα και αριθμούς κλπ. Τέλος, το πακέτο scipy.sparse μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε συνδυασμό με αυτό του numpy (Numerical Python). Οι μορφές αποθήκευσης που υποστηρίζονται είναι οι εξής 3 : BSD: Διάταξη και επεξεργασία σε ενότητες (blocks) DOK: Λεξικογραφική μέθοδος COO: Μέθοδος των συντεταγμένων LIL: Συνδεδεμένες Λίστες CSR: Μέθοδος συμπίεσης κατά γραμμή CSC: Μέθοδος συμπίεσης κατά στήλη DIA: Διαγώνια μορφή Η χρήση του πακέτου γίνεται εύκολα και μετά την εγκατάστασή του, που περιγράφεται στο Παράρτημα Α, με την ακόλουθη εντολή from scipy import sparse εισάγεται στον κώδικα η συλλογή sparse, οπότε και είναι έτοιμη να χρησιμοποιηθεί. Με τις επόμενες εντολές γίνεται η δημιουργία πίνακα αραιής μορφής >>> import numpy as np >>> from scipy.sparse import csr_matrix >>> csr_matrix((3, 4), dtype=np.int8).toarray() array([[0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0]], dtype=int8) με μια από τις μεθόδους που υποστηρίζονται. Όπου csr_matrix είναι η μέθοδος δημιουργίας CSR τύπου μήτρας και το πρόθεμα.toarray() μετατρέπει τον αραιό πίνακα (on the fly) σε πυκνό για να εμφανιστεί η δομή και τα περιεχόμενά του στην κονσόλα (οθόνη). Δυναμικά επίσης μπορεί να γίνει και η μετατροπή μιας δομής σε μια άλλη. Το επόμενο παράδειγμα δείχνει έναν από τους τρόπους δημιουργίας αραιού πίνακα τύπου COO και την ταυτόχρονη μετατροπή του σε άλλη μορφή (CSR): >>> from numpy import array >>> from scipy.sparse import coo_matrix >>> row = array([0,0,1,3,1,0,0]) >>> col = array([0,2,1,3,1,0,0]) >>> data = array([1,1,1,1,1,1,1]) >>> A = coo_matrix( (data,(row,col)), shape=(4,4)).tocsr() >>> A.todense() matrix([[3, 0, 1, 0], [0, 2, 0, 0], [0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 1]])

30 Τέτοιου είδους μετατροπές είναι απαραίτητες στον κώδικα αφού είναι γενικά προτιμότερο, αλλά και πιο γρήγορο, να γίνεται μετατροπή της δομής σε κάποια άλλη, όπως για παράδειγμα μιας δομής σε CSR όπου γίνονται πολλαπλές σαρώσεις κατά γραμμή. Ο χρόνος μετατροπής ή δημιουργία αντιγράφου της δομής CSR είναι πολύ πιο μικρός σε σύγκριση με πολλές σαρώσεις του πίνακα κατά στήλη ή με την μέθοδο του τεμαχισμού (python slicing 4, δουλεύοντας με κομμάτια του πίνακα, όπως στις λίστες της python). Εκτός όμως από την δημιουργία, ανανέωση και αλλαγή αυτών των δομών, υπάρχουν και μέθοδοι για τον χειρισμό τους. Η επόμενη γραμμή πραγματοποιεί πολλαπλασιασμό πινάκων: r = sparse.csr_matrix.dot(a, B) ή πιο απλά: r = Α.dot(Β) όπου το Α είναι αραιός πίνακας ενώ το Β πυκνός (τύπου numpy array). To επόμενο παράδειγμα δημιουργεί δύο αραιούς CSR πίνακες (C και C2) και εμφανίζει το γινόμενό τους (C*C2, πηγή: ipython spyder): In [4]: import numpy as np In [9]: from scipy import sparse In [25]: C = sparse.csr_matrix(np.array([[1,0], [2,2]])) In [26]: C2 = sparse.csr_matrix(np.array([[1,3,2], [6,1,4]])) In [27]: C Out[27]: <2x2 sparse matrix of type '<class 'numpy.int32'>' with 3 stored elements in Compressed Sparse Row format> In [28]: C.A #.Α: μετατροπή σε dense Out[28]: array([[1, 0], [2, 2]], dtype=int32) In [29]: C2.A Out[29]: array([[1, 3, 2], [6, 1, 4]], dtype=int32) In [30]: (C*C2).A Out[30]: array([[ 1, 3, 2], [14, 8, 12]], dtype=int32) Με την κατασκευή μιας αραιής μήτρας, δημιουργείται ένας πίνακας του τύπου matrix. Στον κώδικα της εργασίας χρησιμοποιούνται πίνακες αραιοί ως matrix και πίνακες πυκνοί ως arrays που είναι και η τυπική δομή δεδομένων στο πακέτο numpy.ξεπερνώντας τις αρχικές δυσκολίες από την συνεχή εναλλαγή από τον έναν τύπο στον άλλο, ο χειρισμός και των δύο γίνεται εύκολα. Πέρα από τις ευκολίες και τα εργαλεία που παρέχει το πακέτο sparse, υπάρχουν και κάποιοι περιορισμοί στην χρήση του. Ένας από αυτούς έχει να κάνει με την

31 αδυναμία χρήσης λογικών μασκών με την μέθοδο np.where (boolean masking), κάτι που διαθέτουν οι πίνακες τύπου array του numpy και όχι το πακέτο sparse (τουλάχιστον στην έκδοση που χρησιμοποιήθηκε). Ωστόσο, οι απλές λογικές μάσκες (χωρίς where) είναι παντού διαθέσιμες: In [50]: Y Out[50]: array([[0, 2], [3, 4]]) In [51]: Y>0 Out[51]: array([[false, True], [ True, True]], dtype=bool) In [52]: C2.A Out[52]: array([[0, 3, 2], [6, 1, 4]], dtype=int32) In [53]: (C2>0).A Out[53]: array([[false, True, True], [ True, True, True]], dtype=bool) In [55]: (C2>0).A & (C2<5).A C:\Anaconda3\lib\site-packages\scipy\sparse\compressed.py:282: SparseEfficiencyWarning: Comparing a sparse matrix with a scalar greater than zero using < is inefficient, try using >= instead. warn(bad_scalar_msg, SparseEfficiencyWarning) Out[55]: array([[false, True, True], [False, True, True]], dtype=bool) 19

32 3 Προλυτικές διαδικασίες Το βασικότερο πρόβλημα που συναντάται κατά την προσπάθεια επίλυσης των δοκιμαστικών προβλημάτων είναι, πέρα από το μεγάλο μέγεθός τους, η σύνθετη δομή τους και τα πολλά περιττά, πλεονάζοντα ή επαναλαμβανόμενα στοιχεία τους. Τα περισσότερα από τα προβλήματα δοκιμών είναι αδύνατον να λυθούν χωρίς προηγουμένως να επαλειφθούν κάποιες ανωμαλίες και προβλήματα που αυτά περιέχουν. Στις επόμενες παραγράφους περιγράφονται οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες μέθοδοι για την προεπίλυση των προβλημάτων, πριν δηλαδή τα αρχικά προβλήματα δοθούν στον αλγόριθμο επίλυσής τους (Erling - Andersen (1995), Erling (1995), Tomlin (1983), Tomlin (1986)). Αναφορικά με την υλοποίηση των μεθόδων σε python, χρησιμοποιούνται οι εξής όροι: Α: πίνακας των συντελεστών των περιορισμών μεγέθους mxn, τύπου CSR matrix b: διάνυσμα για το δεξιό μέρος των περιορισμών, μεγέθους m, τύπου CSR matrix c: διάνυσμα για τους συντελεστές κόστους, μεγέθους n, τύπου CSR matrix eqtype: πίνακας με το είδος των περιορισμών (-1:, 0:=, 1: ) inf: λογική μεταβλητή για την σήμανση αδύνατου προβλήματος 3.1 Απαλοιφή μηδενικών γραμμών Αναλύοντας την μήτρα των συντελεστών του ΓΠ, εμφανίζονται κενές γραμμές όταν όλοι οι συντελεστές μιας ή περισσότερων γραμμών είναι μηδέν. Έτσι, μια μηδενική γραμμή ορίζεται ως εξής: και μπορεί να διαγραφεί 20 b A x b i i i i όπου i 1,2,..., m και A 0 Μια τέτοια γραμμή στο ΓΠ μπορεί να υποδηλώνει πλεονάζοντα περιορισμό ή μη ύπαρξη λύσης. Διακρίνονται οι πιο κάτω περιπτώσεις: 1. A1x1 A 2x2... A x b και b 0 : ο περιορισμός είναι πλεονασματικός i i in n i και μπορεί να διαγραφεί 2. A1x1 A 2x2... A x b και b 0 : το πρόβλημα είναι αδύνατο i i in n i i i 3. A1x1 A 2x2... A x b και b 0 : ο περιορισμός είναι πλεονασματικός i i in n i i i

33 4. A1x1 A 2x2... A x b και b 0 : το πρόβλημα είναι αδύνατο i i in n i i 5. A1x1 A 2x2... A x b b b 0: ο περιορισμός είναι πλεονασματικός i i in n i i i και μπορεί να διαγραφεί 6. A1x1 A 2x2... A x b b b 0: το πρόβλημα είναι αδύνατο i i in n i i i Με το επόμενο παράδειγμα φαίνεται η εφαρμογή της μεθόδου. Έστω το παρακάτω ΓΠ: min z x x x s. t. x x x x 0x 0x x x 2x x 0x 0x x 0, i 1,.., n και, b, c i nxm m n Η μορφή των πινάκων είναι η εξής: A, c 1, b, eqtype Το πρόβλημα περιέχει δύο γραμμές, την 2 η και την 4 η, με όλα τα στοιχεία τους ίσα με μηδέν. Για την 2 η γραμμή ισχύει: 0x 0x 0x 5, και ισχύει η πιο πάνω περίπτωση (1), οπότε η 2 η γραμμή είναι περιττή και μπορεί να απαλειφθεί, μαζί με τα αντίστοιχα στοιχεία των υπολοίπων πινάκων. Το νέο πρόβλημα που προκύπτει έχει την πιο κάτω μορφή: A 2 1 2, c 1, b 2, eqtype Στην υλοποίησή της η μέθοδος δεν χρειάζεται να κάνει αμέσως την διαγραφή αυτής της γραμμής του Α, ώστε να αποφευχθεί η χρονοβόρα αναδιανομή της μνήμης (memory reallocation). Αντί αυτού, προτιμάται το μαρκάρισμα (πχ σε μια λίστα της python) της συγκεκριμένης γραμμής για να γίνει η διαγραφή όλων στο τέλος της διαδικασίας. Για την 3 η γραμμή (αρχικά 4 η ) ισχύει: 21

34 0x 0x 0x 3, οπότε ισχύει η περίπτωση (4), δηλαδή το πρόβλημα είναι αδύνατο. Ακολουθεί ο κώδικας της μεθόδου: 1 def delzerorows(a,b,eq,infy): 2 '''Αλλάζει τον πίνακα, σβήνοντας μηδενικές γραμμές 3 γραμμές με όλα τα Αij=0 4 5 Χρόνος Εκτέλεσης: 100 loops, best of 3: 125 µs per loop 6 ''' 7 print(' CASE 1 ') 8 mask = np.concatenate(([true], a.indptr[1:]!= a.indptr[:-1])) 9 infy=findinfinity(a,b,eq) 10 if not infy: 11 a=updatevectors(a, mask) 12 b=updatevectors(b, mask) 13 eq=eq[mask[1:]] print('found and Eliminated',len(mask)-1-len(eq),'Rows') 16 return a,b,eq,infy def findinfinity(a,b,eq):#οκ 19 '''Επιστρέφει T/F αν το πρόβλημα είναι αδύνατο 20 Χρόνος Εκτέλεσης: 100 loops, best of 3: 868 µs per loop 21 ''' 22 return np.any((((b.a.t*eq[:,0])>0) ((eq[:,0]==0) & (b.a!=0)) ) & (a.indptr[1:] == a.indptr[:-1])) def updatevectors(b, mask): 26 '''Ενημερώνεται ο πίνακας ή το διάνυσμα b σε sparse μορφή 27 σύμφωνα με την λογική μάσκα 28 ''' 29 return csr_matrix(b)[mask[1:],:] Λίστα Κώδικα 4. Απαλοιφή Μηδενικών γραμμών 3.2 Απαλοιφή μηδενικών στηλών Με αυτή τη μέθοδο μπορεί να γίνει άμεση ανίχνευση απεριόριστων λύσεων ή πλεονασματικών μεταβλητών. Μια στήλη είναι μηδενική όταν όλοι οι συντελεστές σε αυτή τη στήλη είναι μηδέν, δηλαδή A j =0, όπου j 1, 2,..., n. Διακρίνονται οι πιο κάτω περιπτώσεις: 1. c j 0, όπου j 1,2,..., n : η μεταβλητή x j είναι περιττή και μπορεί να διαγραφεί 22

35 2. c <0, όπου j 1,2,..., n : το ΓΠ πρόβλημα είναι απεριόριστο, οπότε j σταματάει η διαδικασία Έστω το παρακάτω ΓΠ πρόβλημα: Η μορφή των πινάκων είναι η εξής: min z 2x x x x s. t. 0x x 2x x 2x x x x x x 0, i 1,.., n και, b, c i nxm m n A , c, b 2, eqtype Δύο στήλες είναι μηδενικές (η 1 η και η 4 η ). για την 1 η στήλη ισχύει η περίπτωση (1), c1 2 0, οπότε, η μεταβλητή x1 μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόβλημα και κατά συνέπεια να αφαιρεθεί η 1 η T στήλη του A, ( A 1) και το αντίστοιχο στοιχείο της z (c 1 ). Προκύπτει έτσι το επόμενο, νέο ΓΠ: A 2 1 0, c 1, b 2, eqtype Για την 3 η στήλη (4 η στο αρχικό πρόβλημα) ισχύει η περίπτωση (2), A 3 0 και c3 1 0 που σημαίνει ότι το αρχικό πρόβλημα είναι απεριόριστο. Ακολουθεί ο κώδικας της μεθόδου: 1 def delzerocols(a,c,unbound): 2 '''Αλλάζει τον πίνακα, σβήνοντας μηδενικές στήλες loops, best of 3: 125 µs per loop 4 ''' 5 print(' CASE 2 ') 6 m,n=np.shape(a) 7 a=a.tocsc() #μετατροπή σε csc 8 mask = np.concatenate(([true], a.indptr[1:]!= a.indptr[:-1])) 9 mask1 = np.concatenate(([true], a.indptr[1:] == a.indptr[:-1])) 10 mask2=c.a<0 11 unbound=np.any(mask2.t & mask1[1:]) 12 if not unbound: 13 a=csc_matrix((a.data, a.indices, a.indptr[mask])) 14 c=csr_matrix((c.data, c.indices, c.indptr[mask])) 15 A=a.tocsr() 16 m,n=np.shape(a) 17 else: 23

36 18 print("unbound found...stopping") 19 print('found and Eliminated',len(mask1)-1-n,'Columns') 20 return A,c,unbound Λίστα Κώδικα 5. Απαλοιφή Μηδενικών Στηλών 3.3 Απαλοιφή περιορισμών ισότητας τύπου singleton Όταν στην μήτρα των συντελεστών ενός προβλήματος εμφανίζονται γραμμές περιορισμοί ισότητας με ένα μόνο συντελεστή μη μηδενικό, αυτές οι γραμμές ονομάζονται singleton. Μια τέτοια γραμμή έχει την γενική μορφή: A x A x A x b i1 1 i in n i όπου i 1,2,..., m και A 0 A 0 με j k ή A x b ή x b / A ik k i k i ik ik Διακρίνονται δύο περιπτώσεις, ανάλογα με την τιμή του x k : ij 1. xk 0: η γραμμή i και η στήλη k είναι πλεονάζουσες και μπορούν να διαγραφούν από το πρόβλημα 2. xk 0: το πρόβλημα είναι αδύνατο Στην 1 η περίπτωση και προτού διαγραφεί η μεταβλητή x k, η τιμή της αντικαθίσταται σε όλους τους υπόλοιπους περιορισμούς στους οποίους εμφανίζεται. Έτσι, ανανεώνεται το b ως εξής: b b xka k Η συνάρτηση κόστους ανανεώνεται στην περίπτωση που ck 0. Σε αυτήν την περίπτωση ο σταθερός όρος c0 ανανεώνεται ή δημιουργείται αν δεν υπάρχει ως εξής: c0 c0 ck ( bi / Aik ) Μετά την ενημέρωση των πιο πάνω στοιχείων, διαγράφεται η γραμμή i του A, καθώς και τα i στοιχεία των b και eqtype, όπως και η k στήλη του A μαζί με το k στοιχείο του διανύσματος c. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται μέχρι να μην εμφανίζονται πια άλλοι ισοτικοί singleton περιορισμοί, αφού μπορεί να εμφανιστούν εκ νέου κατά την διάρκεια εφαρμογής της μεθόδου. Έστω το παρακάτω ΓΠ πρόβλημα: 24

37 min z x x x 2x s. t. x x 2x 4x 5 x x 4 2 2x x x 2 x 0, i 1,.., n και, b, c i Η μορφή των πινάκων είναι η εξής: nxm m n A, c, b, eqtype Σε δύο γραμμές εμφανίζονται singleton ισοτικοί περιορισμοί, στις γραμμές 2 και 3. Για τον 2 ο περιορισμό ισχύει: 0x1 0x 4 2 2x3 0x4 4 ή x3 2 2 Επειδή ισχύει x x3 0, η γραμμή 2 και η στήλη 3 είναι περιττές και μπορούν να k επαλειφθούν, αφού πρώτα γίνει η ενημέρωση του προβλήματος με την τιμή του x 3 : b b x3a και c0 0 1(4 / 2) επειδή c3 0. Μετά από αυτές τις αλλαγές μπορεί να γίνει η ενημέρωση των πινάκων. Διαγράφονται η γραμμή 1 και η στήλη 3 του A, όπως και το 1 ο στοιχείο του b, το 3 ο στοιχείο του c και το 1 ο στοιχείο του eqtype. Η νέα μορφή του προβλήματος είναι η παρακάτω: A 1 0 0, c 1, b 2, eqtype Η ίδια διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να μην υπάρχει άλλος singleton ισοτικός περιορισμός στην μήτρα των συντελεστών του προβλήματος. Σε αυτήν την μορφή του το πρόβλημα έχει τον 2 ο περιορισμό του ισοτικού singleton, οπότε θα πρέπει να συνεχιστεί η διαδικασία που χρησιμοποιήθηκε και για την 2 η γραμμή αρχικά.

38 1 def elimsingeq(a,b,c,c0,eq,infy): 2 print(' CASE 3 ') 3 k=0 4 m,n=np.shape(a) 5 m0=m 6 lindr=list(range(0,m)) 7 lindc=list(range(0,n)) 8 mask=(a.indptr[1:] - a.indptr[:-1]) 9 eq2=eq.transpose() 10 rowss=np.where((mask==1) & (eq2[0]==0)) 11 s=0 12 while len(rowss[0])>=1: 13 s+=1 14 i=rowss[0][0] 15 j=a.indices[a.indptr[i]] 16 xk=(b.a[i]/a.a[i,j])[0] 17 if xk<0: 18 infy=true 19 break 20 else: 21 b=b-xk*a[:,j] 22 if c[j]!=0: 23 c0-=c.a[j]*(b.a[i]/a.a[i,j]) 24 lindr.remove(i) 25 lindc.remove(j) 26 k+=1 27 a=csr_matrix(a)[lindr,:] 28 a=csr_matrix(a)[:,lindc] 29 b=csr_matrix(b)[lindr] 30 c=csr_matrix(c)[lindc] 31 eq=eq[lindr] 32 eq2=eq.transpose() 33 m,n=np.shape(a) 34 lindr=list(range(0,m)) 35 lindc=list(range(0,n)) 36 mask=(a.indptr[1:] - a.indptr[:-1]) 37 rowss=np.where((mask==1) & (eq2[0]==0)) 38 print('found and Eliminated',k,'redudant rows') 39 print('found and Eliminated',k,'redudant columns') 40 return a,b,c,c0,eq,infy Λίστα Κώδικα 6. Απαλοιφή Περιορισμών Ισότητας τύπου Singleton 3.4 Απαλοιφή ισοτικών περιορισμών τύπου k-ton Οι τύπου k-ton περιορισμοί είναι οι ισοτικοί περιορισμοί στους οποίους υπάρχουν μόνο k μη μηδενικοί συντελεστές του προβλήματος, όπως φαίνεται από τον επόμενο τύπο: A x A x A x b i1 1 i in n i όπου i 1,2,..., m και A 0 A 0 και έστω k το πλήθος των μη μηδενικών στοιχείων που αναζητούνται στους περιορισμούς. Αν k=1 τότε η διαδικασία μετατρέπεται σ αυτήν της περίπτωσης 3.3 με τύπου singleton, διαφορετικά, για κάθε i γραμμή ισότητα με k μη μηδενικά στοιχεία ik ij 26

39 εντοπίζεται η j στήλη όπου εμφανίζεται το k τελευταίο μη μηδενικό στοιχείο. Η ανανέωση της μήτρας A και του διανύσματος b γίνεται ως εξής: εξής: A A / A και i i ij b b / A i i ij Ακόμη, αν c j 0 τότε ενημερώνονται και τα στοιχεία της γραμμής κόστους ως c c c A 0 0 j T i c c c b j i Προτού γίνει η διαγραφή στοιχείων που αφορούν την x j μεταβλητή, γίνεται ενημέρωση των περιορισμών (εκτός του i ) όπου x j 0. Συμβολίζοντας με t το διάνυσμα με τους δείκτες γραμμών όπου x j 0, εκτός της i γραμμής και με την προϋπόθεση ότι bi 0, η ενημέρωση γίνεται ως εξής: b b A b t t tj t A A A A t t tj i Μετά την ενημέρωση αυτή είναι δυνατή η διαγραφή της x j μεταβλητής από τα A και c. H διαδικασία ακολουθείται με την συνεχή μείωση του k. Αν k 1 τότε η μέθοδος μπορεί να οδηγήσει είτε σε εντοπισμό πλεονάζοντος περιορισμού, είτε σε αδυναμία επίλυσης του προβλήματος. Σε αυτό το σημείο η διαδικασία μοιάζει με αυτήν του εντοπισμού singleton ισοτικών περιορισμών, όπου διακρίνονται οι εξής περιπτώσεις: κόστους: 1. xk 0: το ΓΠ είναι αδύνατο 2. xk 0: γίνεται διαγραφή της γραμμής i και της στήλης k ως πλεονάζουσες. Το x k ωστόσο, αντικαθίσταται σε κάθε περιορισμό: b b xka k Επίσης, αν c j 0, τότε γίνεται ανανέωση του σταθερού όρου της γραμμής c c c b A 0 0 j i / ik 27

40 eqtype 1. i Ο τύπος του i περιορισμού αλλάζει και μετατρέπεται σε τύπου, οπότε τίθεται Όπως ειπώθηκε στην πιο πάνω περίπτωση (2) διαγράφονται από το πρόβλημα η γραμμή περιορισμός i, το στοιχείο i του δεξιού μέρους και του eqtype, η στήλη k από την μήτρα των συντελεστών A, καθώς και το στοιχείο k της αντικειμενικής συνάρτησης z. Μετά την εξέταση όλων των περιπτώσεων και την διαγραφή κάποιων περιορισμών, μπορεί να προκύψουν εκ νέου k-ton γραμμές, οπότε, κρίνεται απαραίτητο να επαναληφθεί η διαδικασία μέχρις ότου να μην υπάρχει κανένας k-ton περιορισμός στο τελικά διαμορφωμένο πρόβλημα. Η μέθοδος θα εφαρμοστεί στο παρακάτω ΓΠ πρόβλημα: min z 4x x 2x x s. t. 2x x 4x x 6 2 8x 4x x x 3x x 0, i 1,.., n και, b, c i Η μορφή των πινάκων είναι η εξής: nxm m n A, c, b, eqtype και c Έστω ότι ερευνάται η ύπαρξη k-ton ισοτικών περιορισμών με k=2. Στην 3 η γραμμή εμφανίζονται μόνο k=2 μη μηδενικά στοιχεία. Εντοπίζεται η στήλη j 3 όπου βρίσκεται το τελευταίο μη μηδενικό στοιχείο αυτής της γραμμής και ακολουθεί η ενημέρωση των A και b: b b / A 4 / A A / A [ ] / 4 [ ] eqtype[3] 1 Προτού διαγραφεί η μεταβλητή x 3 από το πρόβλημα, απαλείφεται αυτή και από τους υπόλοιπους περιορισμούς όπου υφίσταται, όπως στον 1 ο : 28

41 A A / A [ ] 1*[ ] [ ] b b A b 10 1* c c c b 0 2* c c c A [ ] 2 [ ] [ ] T T T T 3 3 Διαγράφοντας την 3 η μεταβλητή από το πρόβλημα, προκύπτουν: A, c 1, b, eqtype και c Το k μειώνεται κατά ένα (k=1) και ακολουθείται η διαδικασία def elimkton(a,b,c,c0,eq,kton,infy): 2 ''' 3 Επαναληπτική απαλοιφή ισοτικών περιορισμών και μεταβλητών του προβλήματος 4 με k μη μηδενικά στοιχεία 5 ''' 6 print(' CASE 4 ') 7 #Οι διαστασεις του προβλήματος 8 m,n=np.shape(a) 9 lindr=list(range(0,m))#λίστα των προς διαγραφή γραμμών 10 lindc=list(range(0,n))#λίστα των προς διαγραφή στηλών 11 for k in range(kton,0,-1):#για κάθε περιορισμό με k μη μηδενικά στοιχεία 12 mask=(a.indptr[1:] - a.indptr[:-1])#πόσα μη μηδενικά έχει κάθε γραμμή 13 rows=np.where((mask==k) & (eq[:,0]==0))#ποιές γραμμές έχουν το πολύ k στοιχεία 14 rows=rows[0]#παίρνει το array των δεικτών γραμμών από το tuple του where 15 rows = rows[::-1]#αντιστροφή των στοιχείων του πίνακα 16 for d in rows:# Για κάθε kton γραμμή 17 j=a.indices[a.indptr[d]+k-1]#σε ποιά στήλη βρίσκεται το k μη μηδενικό στοιχείο 18 idx2=[]#βοηθητική λίστα με τις γραμμές με μη μηδενικά στοιχεία στην στήλη j 19 m3,n3=np.shape(a)#η τρέχουσα διάσταση του Α 20 for g in range(m3): 21 if a[g,j]!=0 and g!=d: 22 idx2.append(g) 23 if idx2==[]:#αν η στήλη j (εκτός από από το στοιχείο d)δεν έχει καθόλου στοιχεία 24 b[d]=b[d]/(a[d,j])#ενημέρωση των πινάκων 25 a[d,:]=a[d,:]/a[d,j] 26 for g in range(m3): 27 if a[g,j]!=0 and g!=d: 28 b[g]-=a[g,j]*b[d] 29 a[g,:]-=a[g,j]*a[d,:] 30 if j in lindc: 31 lindc.remove(j)#διαγραφή της μεταβλητής j 32 eq[d]=-1#αλλαγή του τύπου του d περιορισμού 33 if c[j][0]!=0: 34 c0+=(c[j].a*b[d].a)[0] 35 c-=(c[j][0]*a[d,:]).t 36 a=csr_matrix(a).tocsr() 37 b=csr_matrix(b).tocsr() 38 if b[d]<0: 39 print('infeasible found') 40 infy=true 41 break 42 else: 43 lindr.remove(d) 44 a=csr_matrix(a)[lindr,:] 29

42 45 b=csr_matrix(b)[lindr] 46 a=csr_matrix(a)[:,lindc] 47 eq=eq[lindr] 48 c=csr_matrix(c)[lindc] 49 print('found and Eliminated',m-len(lindr),'redudant Rows') 50 print('found and Eliminated',n-len(lindc),'redudant Columns') 51 print('infeasibility found:',infy) 52 return a,b,c,c0,eq,k,infy Λίστα Κώδικα 7. Απαλοιφή ισοτικών περιορισμών τύπου k-ton 3.5 Απαλοιφή ανισοτικών περιορισμών τύπου singleton Παρόμοια με την μέθοδο της παραγράφου 3.3, ένας ανισοτικός περιορισμός είναι τύπου singleton, εάν στην αντίστοιχη γραμμή της μήτρας Α των συντελεστών υπάρχει μόνο ένα μη μηδενικό στοιχείο. Η μέθοδος μπορεί να οδηγήσει σε προσδιορισμό αδυναμίας επίλυσης του αρχικού προβλήματος ή στην διαγραφή γραμμών αλλά και στηλών, μειώνοντας έτσι αρκετά την διάσταση του προβλήματος. Μια τέτοια ανισότητα έχει την εξής μορφή: b A x A x A x b i i1 1 i in n i όπου i 1,2,..., m και A 0 A 0, j k, j 1,2,..., n Σε αυτή τη μορφή διακρίνονται οι πιο κάτω περιπτώσεις: 1. Ανισότητες τύπου bi a. Aik 0 b. Aik 0 2. Ανισότητες τύπου bi a. Aik 0 b. Aik 0 i. bi 0 : το ΓΠ είναι αδύνατο ik ii. bi 0 : διαγραφή γραμμής i και στήλης k i. bi 0 : διαγραφή γραμμής i i. bi 0 : διαγραφή γραμμής i i. bi 0 : το ΓΠ είναι αδύνατο 30 ij

43 ii. bi 0 : διαγραφή γραμμής i και στήλης k Η μέθοδος θα εφαρμοστεί στο παρακάτω ΓΠ πρόβλημα: min z x x 2x 4x s. t. x 0 2 2x 2x x x x x x x 2x x 0, i 1,.., n και, b, c i Η μορφή των πινάκων είναι η εξής: nxm m n A, c, b, eqtype Υπάρχει μόνο μια γραμμή, η 1 η, με ένα μόνο μη μηδενικό στοιχείο, το A 12. Η περίπτωση στην οποία αναφέρεται είναι η 2.b.ii, οπότε η γραμμή 1 και η στήλη 2 διαγράφονται. Το νέο πρόβλημα που προκύπτει είναι: A 1 1 1, c 2, b 10, eqtype Στο νέο πρόβλημα προέκυψε νέα ανισότητα τύπου singleton, στην γραμμή 3, που ανήκει στην περίπτωση 1.b.i, οπότε η γραμμή 3 μπορεί να διαγραφεί. Το νέο πρόβλημα έχει την μορφή: A, c 2, b, eqtype Ακολουθεί ο αντίστοιχος κώδικας: 1 def delsingineq(a,b,c,eq,infy): 2 print(' CASE 5 ') 3 m,n=np.shape(a) 4 lindr=list(range(0,m)) 5 lindc=list(range(0,n)) 6 mask=(a.indptr[1:] - a.indptr[:-1]) 7 rows=np.where(mask==1) 8 rows=np.where((mask==1) & (eq[:,0]!=0)) 9 for i in rows[0]: 31

44 10 j=a.indices[a.indptr[i]] 11 if (eq[i]==-1 and a[i,j]>0 and b[i]<0) or(eq[i]==1 and a[i,j]<0 and b[i]>0): 12 infy=true 13 elif (eq[i]==-1 and a[i,j]<0 and b.a[i]>=0) or(eq[i]==1 and a[i,j]>0 and b.a[i]<=0): 14 lindr.remove(i) 15 elif (eq[i]==-1 and a[i,j]>0 and not b[i]!=0) or(eq[i]==1 and a[i,j]<0 and not b[i]!=0): 16 if j in lindc: 17 lindc.remove(j) 18 lindr.remove(i) 19 a=csr_matrix(a)[lindr,:] 20 a=csr_matrix(a)[:,lindc] 21 b=csr_matrix(b[lindr]) 22 c=csr_matrix(c[lindc]) 23 eq=eq[lindr] 24 print('found and Eliminated',m-len(lindr),'redudant Rows') 25 print('found and Eliminated',n-len(lindc),'redudant Columns') 26 print('infeasibility found:',infy) 27 return a,b,c,eq,infy Λίστα Κώδικα 8. Απαλοιφή ανισοτικών περιορισμών Singleton 3.6 Απαλοιφή δυϊκού ανισοτικού περιορισμού τύπου singleton Μετατρέποντας το αρχικό πρόβλημα στο αντίστοιχο δυϊκό του, ένας δυϊκός ανισοτικός περιορισμός είναι τύπου singleton αν έχει ένα μη μηδενικό στοιχείο και έχει την παρακάτω μορφή: A w A w A w c j1 1 j jm m j όπου j 1,2,..., n και A 0 A 0, i k, i 1,2,..., m jk ji Η παρουσία τέτοιων περιορισμών μπορεί να δηλώνει τον πλεονασμό τους ή ότι το δυϊκό πρόβλημα είναι απεριόριστο και το αρχικό αδύνατο. Χωρίς να είναι απαραίτητο να μετατραπεί το αρχικό πρωτεύον πρόβλημα στο δυϊκό του, και εξετάζοντας στήλες του πρωτεύοντος αντί γραμμές του δυϊκού, προκύπτουν οι παρακάτω περιπτώσεις: 1. Ανισότητες τύπου a. Akj 0 b. Akj 0 2. Ανισότητες τύπου a. Akj 0 i. c j 0 : πλεονάζουσα στήλη j i. c j 0 : το ΓΠ είναι αδύνατο ii. c j 0 : διαγραφή στήλης j i. c j 0 : το ΓΠ είναι αδύνατο 32 που μπορεί να επαλειφθεί και γραμμής

45 b. Akj 0 ii. c j 0 : διαγραφή στήλης j i. c j 0 : πλεονάζουσα στήλη j και γραμμής k που μπορεί να επαλειφθεί Η διαδικασία μπορεί να επαναληφθεί από την αρχή, μετά το πέρας των αναζητήσεων τέτοιων δυϊκών ανισοτικών περιορισμών, καθώς μπορεί μετά την διαγραφή γραμμών και στηλών, να εμφανιστούν νέοι τέτοιου τύπου περιορισμοί. Η μέθοδος θα εφαρμοστεί στο παρακάτω ΓΠ πρόβλημα: min z 2x x 3x x s. t. x x 2x x x x x x x 0, i 1,.., n και, b, c i Η μορφή των πινάκων είναι η εξής: nxm m n A , c, b 3, eqtype Αναζητώντας στήλες με μόνο ένα μη μηδενικό στοιχείο εντοπίζεται μόνο η 3 η. σύμφωνα με την περίπτωση 1.a.i., η στήλη j 3 είναι πλεονάζουσα και μπορεί να διαγραφεί, όπως και το στοιχείο c 3 της γραμμής κόστους. Έτσι, προκύπτει το νέο πρόβλημα: min z 2x x x s. t. x x 2x x 3 1 3x x x def deldualsing(a,b,c,eq,infy): 2 print(' CASE 6 ') 3 m,n=np.shape(a) 4 lindr=list(range(0,m)) 5 lindc=list(range(0,n)) 6 a=a.tocsc() 7 mask=(a.indptr[1:] - a.indptr[:-1]) 8 cols=np.where(mask==1)#παρε τους δείκτες stilis μόνο 9 for j in cols[0]: 10 i=a.indices[a.indptr[j]] 11 if (eq[i]<0 and a[i,j]<0 and c[j]<0) or(eq[i]>0 and a[i,j]>0 and c[j]<0): 12 infy=true 33

46 13 elif (eq[i]<0 and a[i,j]>0 and c.a[j]>=0) or(eq[i]>0 and a[i,j]<0 and c.a[j]>=0): 14 lindc.remove(j) 15 elif (eq[i]<0 and a[i,j]<0 and not c[j]!=0) or(eq[i]>0 and a[i,j]>0 and not c[j]!=0): 16 lindr.remove(i) 17 lindc.remove(j) 18 a=csr_matrix(a)[lindr,:] 19 a=csr_matrix(a)[:,lindc] 20 b=csr_matrix(b[lindr]) 21 c=csr_matrix(c[lindc]) 22 eq=eq[lindr] 23 print('found and Eliminated',m-len(lindr),'redudant Rows') 24 print('found and Eliminated',n-len(lindc),'redudant Columns') 25 print('infeasibility found:',infy) 26 return a,b,c,eq,infy Λίστα Κώδικα 9. Απαλοιφή δυϊκών περιορισμών 3.7 Απαλοιφή εμμέσως ελεύθερων στηλών τύπου singleton Υπάρχουν περιορισμοί που μπορεί να παρουσιάζουν ελεύθερες στήλες singleton, δηλαδή να περιέχουν το μοναδικό μη μηδενικό στοιχείο μιας στήλης, έχοντας όμως και τα πιο κάτω χαρακτηριστικά: A x A x b i 1 is s όπου i 1,2,..., m και A 0 A { A } 0 is s is Οι περιπτώσεις κατά τις οποίες η s στήλη του A είναι πλεονάζουσα είναι: 1. A 0 A 0, j s ή is 2. A 0 A 0, j s ή is Επιπλέον, και ο ij ij i περιορισμός μπορεί να απαλειφθεί. Πριν ολοκληρωθεί η απαλοιφή αυτών των στοιχείων, γίνεται έλεγχος αν cs 0, ώστε να ενημερωθεί κατάλληλα η γραμμή κόστους: c0 c0 ( cs / Ais ) bi T c c ( cs / Ais ) Ai Η μέθοδος θα εφαρμοστεί στο παρακάτω ΓΠ πρόβλημα: min z 2x x 2x x s. t. 3x 4x x x x 2x x 3x x xi 0, i 1,..,4 και, b, c 3x4 3 4 Η μορφή των πινάκων είναι η εξής: 34

47 A , c, b 6, eqtype Υπάρχει μια singleton στήλη, η 1 η ( s ), όπου το μη μηδενικό στοιχείο της, βρίσκεται στην 2 η γραμμή (i ) για την οποία ισχύει η περίπτωση (1). Επειδή c1 2 0 γίνεται ενημέρωση της γραμμής κόστους z : c c ( c / A ) b 0 2 / c c ( c / A ) A [ ] [ ] [ ] 2 T T T T Έτσι, διαγράφεται η 1 η στήλη και η 2 η γραμμή του A, το 1 ο στοιχείο το c και το 2 ο στοιχείο των b και eqtype. Το νέο, ισοδύναμο, πρόβλημα είναι το παρακάτω: min z 3x 2x 3x s. t. 3x 4x x x 3x x Ακολουθεί ο αντίστοιχος κώδικας σε python. 1 def delimpliedfreesing(a,b,c,c0,eq): 2 print(' CASE 7 ') 3 m,n=np.shape(a) 4 lindr=list(range(0,m)) 5 lindc=list(range(0,n)) 6 a=a.tocsc() 7 mask=(a.indptr[1:] - a.indptr[:-1]) 8 cols=np.where(mask==1)#παρε τους δείκτες stilis μόνο 9 for k in cols[0]: 10 i=a.indices[a.indptr[k]] 11 row=a[i,:].a 12 ais=a[i,k] 13 row=np.delete(row,k) 14 if ais>0: 15 m2=np.all(row<=0) 16 else: 17 m2=np.all(row>=0) 18 if m2: 19 lindr.remove(i) 20 lindc.remove(k) 21 if c[k]!=0: 22 cs=c[k].toarray()[0][0] 23 c=c-(cs/ais)*np.transpose(a[i,:]) 24 c0=c0+(cs/ais)*b[i].a 25 elif not m2: 26 lindr.remove(i) 27 a=csr_matrix(a)[lindr,:] 28 a=csr_matrix(a)[:,lindc] 29 b=csr_matrix(b[lindr]) 30 c=csr_matrix(c[lindc]) 31 eq=eq[lindr] 32 print('found and Eliminated',m-len(lindr),'redudant Rows') 33 print('found and Eliminated',n-len(lindc),'redudant Columns') 35

48 34 return a,b,c,c0,eq Λίστα Κώδικα 10. Απαλοιφή ελεύθερων στηλών 3.8 Απαλοιφή πλεονασματικών στηλών Ένας ισοτικός περιορισμός με μηδενικό δεξιό μέρος, που έχει όλους τους συντελεστές του με ίδιο πρόσημο, υποδηλώνει την ύπαρξη πλεονασματικών μεταβλητών οι οποίες δεν επηρεάζουν την επίλυση του προβλήματος και μπορούν να διαγραφούν. Πιο συγκεκριμένα: Ai 1x1 Ai 2x2... Ain xn 0 όπου i 1,2,..., m και A 0 ή A 0, j 1,2,..., n Αυτή η περίπτωση εξετάζεται στο επόμενο παράδειγμα: min z 3x 2x x x s. t. 2x x 3x x 6 ij x x 3x x x 3x x x 2 4 ij 3x 4 x 0, i 1,.., n και, b, c i Η μορφή των πινάκων είναι η εξής: nxm m n A, c 1, b, eqtype Για την 2 η γραμμή ( i 2) ισχύει A2 0 και b2 0, eqtype2 0. Οπότε, μπορεί να γίνει διαγραφή των μεταβλητών x2, x3 και x 5 και των αντίστοιχων στοιχείων του c. Έτσι, προκύπτει το ακόλουθο πρόβλημα: Ακολουθεί ο αντίστοιχος κώδικας: min z 3x x 1 4 s. t. 2x 6 1 x x x

49 1 def delredudantcols(c,a,eq): 2 print(' CASE 8 ') 3 m1=np.where(eq==0) 4 m,n=np.shape(a) 5 lind=list(range(0,n)) 6 for i in m1[0]: 7 m2=np.where(np.where(a.a[i,:]>0,np.all(a.a[i,:]>=0),np.all(a.a[i,:]<=0))) 8 lind=delind(lind,m2) 9 a=csr_matrix(a)[:,lind] 10 c=csr_matrix(c[lind]) 11 print('found and Eliminated',n-len(lind),'redudant Columns') 12 return c,a,eq Λίστα Κώδικα 11. Απαλοιφή πλεονασματικών στηλών 3.9 Απαλοιφή έμμεσων ορίων γραμμών Ένας περιορισμός που υποδηλώνει νεα όρια για τις μεταβλητές, μπορεί να θεωρηθεί πλεονασματικός και να διαγραφεί. Πιο συγκεκριμένα, διακρίνονται οι παρακάτω περιπτώσεις: 1. Περιορισμός τύπου, 0 και b 0 ή Ai 2. Περιορισμός τύπου, 0 και b 0 Στις οποίες η γραμμή i είναι πλεονασματική και διαγράφεται. Ai min z x x 3x i i s. t. 2x x x x 3x x x 2x 3x x 0, i 1,.., n και, b, c i nxm m n Με μορφή πινάκων το ΓΠ ξαναγράφεται ως εξής: A 1 3 1, c 1, b 5, eqtype Η περίπτωση (1) συναντάται στον περιορισμό 2, ο οποίος και διαγράφεται. Το νέο πρόβλημα που προκύπτει είναι το εξής: min z x x 3x s. t. 2x x x x 2x 3x Στην επόμενη λίστα παρουσιάζεται ο κώδικας της μεθόδου. 1 def delimplied(a,b,eq): 2 print(' CASE 9 ') 37

50 3 m,n=np.shape(a) 4 lind=list(range(0,m)) 5 rowsl=np.where(eq==-1) 6 rowsg=np.where(eq==1) 7 for i in rowsl[0]: 8 m0=(np.all(a.a[i,:]<=0)) and (b.a[i]>=0)#& (b[i]>=0) 9 if m0: 10 lind.remove(i) 11 for i in rowsg[0]: 12 m0=(np.all(a.a[i,:]>=0)) and (b.a[i]<=0)#& (b[i]>=0) 13 if m0: 14 lind.remove(i) 15 a=csr_matrix(a)[lind,:] 16 b=csr_matrix(b[lind]) 17 print('found and Eliminated',m-len(lind),'redudant Rows') 18 return a,b,eq Λίστα Κώδικα 12. Απαλοιφή έμμεσων ορίων γραμμών 3.10 Απαλοιφή πλεονασματικών γραμμών Η συγκεκριμένη μέθοδος αφορά τον εντοπισμό γραμμικώς εξαρτημένων γραμμών στο σύστημα των ανισοτήτων του ΓΠ, όταν δηλαδή για τις γραμμές i και k με i k, ισχύει: A A με και i, k {1,2,..., m} i k Η μέθοδος εφαρμόζεται όταν το ΓΠ βρίσκεται στην τυποποιημένη του μορφή, αφού δηλαδή προστεθούν όλες οι χαλαρές μεταβλητές και όλοι οι περιορισμοί είναι ισοτικοί. Η πιο γνωστή μέθοδος είναι αυτή της απαλοιφής του Gauss. Εδώ χρησιμοποιείται μια παραλλαγή αυτής, όπου με συνεχείς γραμμοπράξεις εντοπίζονται γραμμικώς εξαρτημένες γραμμές οι οποίες αφού εντοπιστούν σημειώνονται (σε λίστα) και αφαιρούνται στο τέλος. Έστω για παράδειγμα, δύο περιορισμοί ενός ΓΠ: και το αντίστοιχο κομμάτι του A : 2x 3x 4x x x 6x 8x 2x ( ) Η 1 η γραμμή πολλαπλασιάζεται με 4 / 2 και προστίθεται στην 2η. Προκύπτει ο επόμενος πίνακας: ( ) Αν προκύψει γραμμή όπως η 2 η, με Ak 0, διακρίνουμε περιπτώσεις: 38

51 1. Αν bk 0 : το πρόβλημα είναι αδύνατο, και 2. Αν bk 0 : η k γραμμή μπορεί να διαγραφεί. Ακολουθεί ο αντίστοιχος κώδικας. 1 def elimredrows(a,b,eq,infy):#ok pali 2 '''Εντοπίζει γραμμικώς εξαρτημένες γραμμές και τις διαγράφει 3 Δεν χρησιμοποιεί την μέθοδο Gauss Jordan αλλά ελέγχει για 4 εξαρτήσεις των γραμμών χωρίς να αλλάζει τον πίνακα Α, παρά μόνο 5 σβήνει, στο τέλος της διαδικασίας, τις πλεονάζουσες γραμμές 6 ''' 7 print(' CASE 10 ') 8 m,n=np.shape(a) 9 mask=(a.indptr[1:] - a.indptr[:-1])#πλήθος μη μηδενικών στοιχείων ανά γραμμή 10 rows=np.where(mask!=0)#ποιές γραμμές δεν είναι κενές 11 r=list(rows[0]) 12 r2=list(r) 13 for i in r:#rows[0]:#lind: 14 m2,n2=np.shape(rows) 15 idx=r.index(i)#np.where(rows[0]==i) 16 j=a.indices[a.indptr[i]] 17 aij=a.data[a.indptr[i]] 18 for ii in r[idx+1:n2]: 19 t1=(-a[ii,j]/aij)*a[i,:]+a[ii,:] 20 bt=b[i]/aij*(-a[ii,j])+b[ii] 21 if np.all(t1.a[0]==0): 22 if bt!=0: 23 infy=true 24 print('adynaton!!!!') 25 else: 26 r.remove(ii) 27 r2.remove(ii) 28 a=csr_matrix(a)[r2,:] 29 b=csr_matrix(b[r2]) 30 eq=eq[r2] 31 print('found and Eliminated',m-len(r2),'redudant rows') 32 print('the rank of the matrix A is now',len(r2),'or',min([m,len(r2)])) 33 print('infeasibility found:',infy) 34 return a,b,eq,infy Λίστα Κώδικα 13. Απαλοιφή πλεονασματικών γραμμών 3.11 Κλήση των προλυτικών μεθόδων Μετά την ανάγνωση του προβλήματος και την εισαγωγή χαλαρών μεταβλητών, γίνεται κλήση των προηγούμενων μεθόδων με την σειρά που αναφέρθηκαν. Η εκτέλεσή τους σταματά όταν η διάσταση του προβλήματος παραμείνει η ίδια μεταξύ δύο διαδοχικών κλήσεων, ακολουθεί ο κώδικας κλήσης των προλυτικών διαδικασιών. 1 def presolver(a,b,c,eq,infy): 2 count=0 3 c0=0 39

52 4 m1,n1=np.shape(a) 5 m0,n0=m1,n1 6 m=m1+1 7 infy=false 8 while m1!=m and m!=0 and not infy: 9 count+=1 10 m1=m 11 print('entering ',count,'times','m=',m1) 12 a,b,eq,infy=delzerorows(a,b,eq,infy) 13 a,c,unbound=delzerocols(a,c,false) 14 a,b,c,c0,eq,infy=elimsingeq(a,b,c,c0,eq,infy) 15 k=4 16 a,b,c,c0,eq,k,infy=elimkton2(a,b,c,c0,eq,k,infy) 17 a,b,c,eq,infy=delsingineq(a,b,c,eq,infy) 18 a,b,c,eq,infy=deldualsing(a,b,c,eq,infy) 19 a,b,c,c0,eq=delimpliedfreesing(a,b,c,c0,eq) 20 c,a,eq=delredudantcols(c,a,eq) 21 a,b,eq=delimplied(a,b,eq) 22 a,b,eq,infy=elimredrows(a,b,eq,infy) 23 m,n=np.shape(a) print('entered ',count,'times','m=',m,'n=',n) 26 print('found and Eliminated',m0-m,'redudant rows &',n0-n,'redudant Columns') 27 return a,b,c,eq,infy,c0 Λίστα Κώδικα 14. Κλήση μεθόδων προεπίλυσης Ο παραπάνω κώδικας βρίσκεται στο αρχείο presolve.py και καλείται ως εξής: import presolve as pr a,b,c,eq,infy,c0=pr.presolver(a,b,c,eq,false) ενώ για την κλήση της απαιτούνται και τα πιο κάτω πακέτα from scipy.sparse import csr_matrix from scipy.sparse import csc_matrix 40

53 4 Τεχνικές κλιμάκωσης Ένα από τα χαρακτηριστικά των πραγματικών ΓΠ είναι η μεγάλη ανομοιογένεια των αριθμητικών δεδομένων. Οι μεγάλες αποκλίσεις που συναντώνται στις τιμές των δεδομένων τις περισσότερες φορές οδηγούν σε μια σειρά από προβλήματα, που μπορεί να οδηγήσουν σε σημαντικές αποκλίσεις στις λύσεις τους. Αυτά τα προβλήματα συσσωρεύονται με τους συνεχείς υπολογισμούς που λαμβάνουν χώρα κατά την διάρκεια επίλυσης. Η κλιμάκωση των προβλημάτων εξομαλύνει τις διαφορές των αριθμητικών τιμών των δεδομένων και, αν και απαιτεί κάποιο υπολογιστικό κόστος για την εφαρμογή τους, προσφέρει καλύτερη αριθμητική ακρίβεια στις λύσεις των προβλημάτων. 4.1 Μέθοδος της εξισορρόπησης Η πιο συχνή μέθοδος είναι αυτή της εξισορρόπησης (equilibration). Έχει ιδιαίτερα χαμηλές απαιτήσεις σε υπολογιστικούς πόρους και διαμορφώνει τις τιμές των δεδομένων της μήτρας των συντελεστών του ΓΠ να κυμαίνονται από -1 μέχρι 1. Το πρώτο βήμα έχει να κάνει με την εύρεση του μεγαλύτερου κατ απόλυτη τιμή στοιχείου κάθε γραμμής. Στην συνέχεια υπολογίζονται οι λεγόμενοι παράγοντες κλιμάκωσης γραμμής ως οι αντίστροφοι αριθμοί των μεγίστων των γραμμών του προηγούμενου βήματος. Με αυτούς τους παράγοντες πολλαπλασιάζονται τα στοιχεία κάθε γραμμής και του δεξιού μέρους. Με παρόμοιο τρόπο, για κάθε στήλη της μήτρας των συντελεστών υπολογίζεται το μεγαλύτερο κατά απόλυτη τιμή στοιχείο. Οι αντίστροφοι αυτών των τιμών χρησιμοποιούνται για να πολλαπλασιάσουν κάθε στήλη και τα αντίστοιχα στοιχεία της γραμμής κόστους. Ακολουθεί η εφαρμογή της μεθόδου στο πιο κάτω ΓΠ: min z 5x 600x 20x s. t. 12x 44x x 150x 52x x 22x 12x 22 xi , i 1, 2,3 Με μορφή πινάκων το ΓΠ ξαναγράφεται ως εξής: 41

54 A , c 600, b Υπολογίζονται τα μεγαλύτερα σε απόλυτη τιμή στοιχεία κατά γραμμή: 44 max r Ο πίνακας των παραγόντων κλιμάκωσης γραμμών: 1/ r 1/ max r 1/ Στη συνέχεια, πολλαπλασιάζονται οι γραμμές του A και τα στοιχεία του b με τον r. Ο νέος πίνακας A είναι: A Αμέσως μετά υπολογίζονται οι μεγαλύτεροι συντελεστές ανά στήλη: 1 max c 1 1 και ο πίνακας παραγόντων ανά στήλη: 1/1 1 1 s 1/1 1 max c 1/1 1 τα στοιχεία του οποίου θα πολλαπλασιάσουν κάθε αντίστοιχη στήλη του A και του c. Στο παράδειγμα, επειδή κάθε στοιχείο του s είναι μονάδα ( s 1, j 1, 2,3 ), τα A και c δεν θα αλλάξουν. Έτσι, το νέο κλιμακωμένο πρόβλημα είναι το εξής: A , c 600, b Ακολουθεί ο κώδικας υλοποίησης της μεθόδου σε python. j 42

55 1 # -*- coding: utf-8 -*- 2 import numpy as np 3 from scipy.sparse import csr_matrix 4 from scipy.sparse import csc_matrix 5 import scipy.sparse as sp 6 7 """ 8 Created on Sun Feb 21 09:25: Tsiplidis Konstantinos 11 """ def equilibration(a,b,c): 14 ''' 15 Περιγραφή: Εφαρμόζεται η μέθοδος equilibration για την κλιμάκωση μεγάλου μεγέθους 16 προβλημάτων προκειμένου να λυθούν με κάποιο λύτη Γραμμικού Προγραμματισμού. 17 Κάθε γραμμή και κάθε στήλη πολλαπλασιάζεται διαδοχικά με το μέγιστο μη 18 μηδενικό στοιχείο της Tsiplidis Konstantinos 20 Συγγραφέας: Τσιπλίδης Κωνσταντίνος 21 Πηγή: Ploskas & Samaras 22 Αρχείο: scaling.py 23 Κλήση: a,b,c=equilibration(a,b,c) 24 Χρήση - Ενσωμάτωση: from scaling import equilibration 25 Βιβλιοθήκες: numpy, scipy 26 Είσοδος:-a: η μήτρα των συντελεστών του γραμμικού προβλήματος 27 csr scipy matrix μεγέθους mxn 28 -b: το διάνυσμα του δεξιού μέρους csr scipy matrix μεγέθους mx1 29 -c: το διάνυσμα της αντικειμενικής συνάρτησης csr scipy matrix μεγέθους nx1 30 Έξοδος: οι νέες τιμές των πινάκων εισόδου (a, b, c) 31 Χρόνος Εκτέλεσης: a=sp.rand(10000,1000, density=0.0001,format='csr') 32 timeit -n 100 equilibration(a,b,c) loops, best of 3: 1.13 s per loop 34 Περιορισμός του δυνατού μεγέθους του Α σε x1.000 στοιχεία 35 ''' 36 #Επιλέγεται το μεγαλύτερο από κάθε γραμμή 37 max_per_row = abs(a).a.max(axis=1)#το ".Α" μετατρέπει το a σε dense μήτρα 38 #με αποτέλεσμα να καθυστερεί χρονικά και να περιορίζει ΠΟΛΥ το μέγιστο μέγεθος του Α 39 #αντικαθίστανται τα 0 με 1 40 max_per_row =np.where(max_per_row==0,1,max_per_row) 41 #πολλαπλασιάζεται κάθε γραμμή με τον συντελεστή 1/max 42 a=csr_matrix((a.transpose().a *1.0/ max_per_row).transpose()) 43 #Επιλέγεται το μεγαλύτερο από κάθε στήλη 44 max_per_col = abs(a).a.max(axis=0) 45 #αντικαθίστανται τα 0 με 1 46 max_per_col =np.where(max_per_col==0,1,max_per_col) 47 #πολλαπλασιάζεται κάθε στήλη με τον συντελεστή 1/max 48 a=csr_matrix(a.a*1.0/max_per_col) 49 #Ενημερώνονται τα διανύσματα b και c 50 b=csr_matrix((b.transpose()*1.0/max_per_row).transpose()) 51 c=csr_matrix((c.transpose()*1.0/max_per_col).transpose()) 52 return a,b,c Λίστα Κώδικα 15. Κλιμάκωση με την Μέθοδο Εξισορρόπησης Ακολουθεί μια 2 η έκδοση του κώδικα με την χρήση βρόγχων: 1 def equilibration2(a,b,c): 2 ''' 43

56 3 Περιγραφή: Εφαρμόζεται η μέθοδος equilibration για την κλιμάκωση μεγάλου μεγέθους 4 προβλημάτων προκειμένου να λυθούν με κάποιο λύτη Γραμμικού Προγραμματισμού. 5 Κάθε γραμμή και κάθε στήλη πολλαπλασιάζεται διαδοχικά με το μέγιστο μη 6 μηδενικό στοιχείο της 7 Συγγραφέας: Τσιπλίδης Κωνσταντίνος 8 Πηγή: Ploskas & Samaras 9 Αρχείο: scaling.py 10 Κλήση: a,b,c=equilibration(a,b,c) 11 Χρήση - Ενσωμάτωση: from scaling import equilibration 12 Βιβλιοθήκες: numpy, scipy 13 Είσοδος:-a: η μήτρα των συντελεστών του γραμμικού προβλήματος 14 csr scipy matrix μεγέθους mxn 15 -b: το διάνυσμα του δεξιού μέρους csr scipy matrix μεγέθους mx1 16 -c: το διάνυσμα της αντικειμενικής συνάρτησης csr scipy matrix μεγέθους nx1 17 Έξοδος: οι νέες τιμές των πινάκων εισόδου (a, b, c) 18 Χρόνος Εκτέλεσης: a=sp.rand( ,1000, density= ,format='csr') 19 timeit -n 100 equilibration2(a,b,c) loops, best of 3: 252 ms per loop loops, best of 3: 312 ms per loop μαζι με τα b, c 22 a=sp.rand( ,1000, density=0.0001,format='csr') loops, best of 3: 2.01 s per loop 24 a=sp.rand(10000,1000, density=0.0001,format='csr') 25 timeit -n 100 equilibration2(a,b,c) loops, best of 3: 34.7 ms per loop 27 Περιορισμός του δυνατού μεγέθους του Α σε x1.000 στοιχεία 28 ''' 29 m,n=np.shape(a)#οι διαστάσεις του Α 30 mask=(a.indptr[1:] - a.indptr[:-1])#πόσα μη μηδενικά έχει κάθε γραμμή 31 rows=np.where((mask!=0) )#Ποιές γραμμές δεν είναι μηδενικές 32 max_per_row=np.ones(m)#αρχικοποίηση με 1 του διανύσματος με τα max κάθε γραμμής 33 for i in rows[0]:#για κάθε μη μηδενική γραμμή 34 max_per_row[i]=np.max(abs(a.data[a.indptr[i]:a.indptr[i+1]]))#εύρεση του max 35 a.data[a.indptr[i]:a.indptr[i+1]]*=1.0/ max_per_row[i]#ενημέρωση του Α 36 max_per_col=np.ones(n)#αρχικοποίηση με 1 του διανύσματος με τα max κάθε στήλης 37 a2=csc_matrix(a)# μετατροπή του Α σε csc 38 #επιβάρυνση από την μετατροπή του Α σε csc 39 #timeit -n 100 a2=csc_matrix(a) 40 #100 loops, best of 3: 7.73 ms per loop 41 mask=(a2.indptr[1:] - a2.indptr[:-1])#πόσα μη μηδενικά έχει κάθε στήλη 42 cols=np.where((mask!=0) )#Ποιές στήλες δεν είναι μηδενικές 43 for i in cols[0]:#για κάθε μη μηδενική στήλη 44 max_per_col[i]=np.max(abs(a2.data[a2.indptr[i]:a2.indptr[i+1]]))#εύρεση του max 45 a2.data[a2.indptr[i]:a2.indptr[i+1]]*=1.0/ max_per_col[i]#ενημέρωση του Α 46 b=csr_matrix((b.transpose()*1.0/max_per_row).transpose())#ενημέρωση του b 47 c=csr_matrix((c.transpose()*1.0/max_per_col).transpose())#ενημέρωση του c 48 a=csr_matrix(a2)# μετατροπή του Α σε csr return a,b,c,max_per_col,max_per_row Λίστα Κώδικα 16. Μέθοδος της εξισορρόπησης (με βρόγχο) 4.2 Μέθοδος του γεωμετρικού μέσου Στόχος αυτής της τεχνικής είναι να ελαχιστοποιήσει την διακύμανση τιμών των μη μηδενικών στοιχείων της μήτρας A των συντελεστών του ΓΠ. Και σε αυτήν την 44

57 μέθοδο, όπως και στην προηγούμενη, χρησιμοποιούνται δύο βοηθητικοί πίνακες παράγοντες κλιμάκωσης, η κατασκευή των οποίων γίνεται με το παρακάτω τρόπο: r max x min x k 1 k k i ij ij jni jni και αφορά την κλιμάκωση γραμμών, ενώ για τις στήλες, υπολογίζεται ως εξής: s x x k 1 k k 2 2 j max ij min ij jm j jm j απαιτείται δηλαδή η εύρεση του μεγαλύτερου και του μικρότερου μη μηδενικού κατά απόλυτη τιμή στοιχείου κάθε γραμμής και κάθε στήλης. min z 5x 600x 20x s. t. 12x 44x 12 4x 150x 52x 55 48x 22x 12x 22 xi 0, i 1, 2,3 Με μορφή πινάκων το ΓΠ ξαναγράφεται ως εξής: A , c 600, b Υπολογίζονται τα μεγαλύτερα και τα μικρότερα σε απόλυτη τιμή στοιχεία κατά γραμμή και στην συνέχεια ο πίνακας των παραγόντων κλιμάκωσης γραμμών: 1 (4412) r (150 4) (48 12) τα στοιχεία του οποίου θα κλιμακώσουν τα A και b, και θα αποκτήσουν τις επόμενες τιμές: A , b Πάλι επιλέγονται τα μεγαλύτερα και μικρότερα στοιχεία κάθε στήλης για να δημιουργηθεί ο πίνακας παραγόντων στηλών s : 45

58 1 (20.052) s ( ) ( ) Με τα στοιχεία του οποίου θα πολλαπλασιαστεί κάθε στήλη του A. Τελικά, μετά και την νέα κλιμάκωση και των στηλών, η τελική μορφή των πινάκων του προβλήματος θα είναι: A , c , b Η μέθοδος υλοποιείται με τον παρακάτω κώδικα: 1 def geometric(a,b,c): 2 ''' 3 Περιγραφή: Εφαρμόζεται η μέθοδος equilibration για την κλιμάκωση μεγάλου μεγέθους 4 προβλημάτων προκειμένου να λυθούν με κάποιο λύτη Γραμμικού Προγραμματισμού. 5 Κάθε γραμμή και κάθε στήλη πολλαπλασιάζεται διαδοχικά με το μέγιστο μη 6 μηδενικό στοιχείο της 7 Συγγραφέας: Τσιπλίδης Κωνσταντίνος 8 Πηγή: Ploskas & Samaras 9 Αρχείο: scaling.py 10 Κλήση: a,b,c=equilibration(a,b,c) 11 Χρήση - Ενσωμάτωση: from scaling import equilibration 12 Βιβλιοθήκες: numpy, scipy 13 Είσοδος:-a: η μήτρα των συντελεστών του γραμμικού προβλήματος 14 csr scipy matrix μεγέθους mxn 15 -b: το διάνυσμα του δεξιού μέρους csr scipy matrix μεγέθους mx1 16 -c: το διάνυσμα της αντικειμενικής συνάρτησης csr scipy matrix μεγέθους nx1 17 Έξοδος: οι νέες τιμές των πινάκων εισόδου (a, b, c) 18 Χρόνος Εκτέλεσης: a=sp.rand( ,1000, density= ,format='csr') 19 timeit -n 100 equilibration2(a,b,c) loops, best of 3: 252 ms per loop loops, best of 3: 312 ms per loop μαζι με τα b, c 22 a=sp.rand( ,1000, density=0.0001,format='csr') loops, best of 3: 2.01 s per loop 24 a=sp.rand(10000,1000, density=0.0001,format='csr') 25 timeit -n 100 equilibration2(a,b,c) loops, best of 3: 34.7 ms per loop 27 Περιορισμός του δυνατού μεγέθους του Α σε x1.000 στοιχεία 28 ''' 29 m,n=np.shape(a)#οι διαστάσεις του Α 30 mask=(a.indptr[1:] - a.indptr[:-1])#πόσα μη μηδενικά έχει κάθε γραμμή 31 rows=np.where((mask!=0) )#Ποιές γραμμές δεν είναι μηδενικές 32 max_per_row=np.ones(m)#αρχικοποίηση με 1 του διανύσματος με τα max κάθε γραμμής 33 min_per_row=np.ones(m) 34 per_row_coef=np.ones(m) 35 for i in rows[0]:#για κάθε μη μηδενική γραμμή 36 min_per_row[i]=np.min(abs(a.data[a.indptr[i]:a.indptr[i+1]])) 37 max_per_row[i]=np.max(abs(a.data[a.indptr[i]:a.indptr[i+1]]))#εύρεση max 38 a.data[a.indptr[i]:a.indptr[i+1]]*=(max_per_row[i]*min_per_row[i])**(- 1.0/2) 46

59 39 b[i]*=(max_per_row[i]*min_per_row[i])**(-1.0/2) 40 per_row_coef=(max_per_row[i]*min_per_row[i])**(-1.0/2) 41 max_per_col=np.ones(n)#αρχικοποίηση με 1 του διανύσματος με τα max κάθε στήλης 42 min_per_col=np.ones(n) 43 per_col_coef=np.ones(n) 44 a2=csc_matrix(a)# μετατροπή του Α σε csc 45 #επιβάρυνση από την μετατροπή του Α σε csc 46 #timeit -n 100 a2=csc_matrix(a) 47 #100 loops, best of 3: 7.73 ms per loop 48 mask=(a2.indptr[1:] - a2.indptr[:-1])#πόσα μη μηδενικά έχει κάθε στήλη 49 cols=np.where((mask!=0) )#Ποιές στήλες δεν είναι μηδενικές 50 for i in cols[0]:#για κάθε μη μηδενική στήλη 51 min_per_col[i]=np.min(abs(a2.data[a2.indptr[i]:a2.indptr[i+1]])) 52 max_per_col[i]=np.max(abs(a2.data[a2.indptr[i]:a2.indptr[i+1]]))#εύρεση του max 53 a2.data[a2.indptr[i]:a2.indptr[i+1]]*=(max_per_col[i]*min_per_col[i])**(- 1.0/2)#Ενημέρωση του Α 54 c[i]*=(max_per_col[i]*min_per_col[i])**(-1.0/2) 55 per_col_coef=(max_per_col[i]*min_per_col[i])**(-1.0/2) 56 a=csr_matrix(a2)# μετατροπή του Α σε csc 57 return a,b,c,per_col_coef,per_row_coef Λίστα Κώδικα 17. Μέθοδος γεωμετρικού μέσου 4.3 Κλήση των διαδικασιών Το αρχείο scaling.py περιλαμβάνει τον κώδικα που παρουσιάστηκε στις προηγούμενες ενότητες με την μορφή συναρτήσεων της python και είναι διαθέσιμο σαν εξωτερική βιβλιοθήκη για κάθε άλλο πρόγραμμα. Για την χρήση τους αρκούν οι πιο κάτω εντολές: import scaling as sc a,b,c,per_col_coef,per_row_coef=sc.geometric(a,b,c) a,b,c,max_per_col,max_per_row=sc.equilibration2(a,b,c) 47

60 5 Ο αναθεωρημένος αλγόριθμος simplex δύο φάσεων Για την επίλυση των δοκιμαστικών μετροπροβλημάτων χρησιμοποιήθηκε ο αναθεωρημένος αλγόριθμος simplex δύο φάσεων με μια τεχνητή μεταβλητή revised two phase simplex algorithm (Bazaraa (2005), Hillier (2001), Papadimitriou (1982), Παπαρρίζος (2009)). Το γενικό ΓΠ που επιλύεται με τον αλγόριθμο είναι: ( ) (Γ.Π.) T ή πιο σύντομα: min{ c x : Ax b, x 0} Ο αλγόριθμος κατασκευάζει μια ακολουθία βασικών εφικτών λύσεων, ξεκινώντας από μια από αυτές. Αν δεν υπάρχει εξ αρχής μια εφικτή λύση, τότε χρησιμοποιείται η μέθοδος των δύο φάσεων, όπου αντί για το αρχικό πρόβλημα, λύνεται ένα τεχνητό αλλά εφικτό με την προσθήκη μιας νέας τεχνητής μεταβλητής. Η επίλυση του νέου αυτού προβλήματος γίνεται ανεξάρτητα στην ονομαζόμενη Φάση Ι. Η έξοδος από αυτή τη διαδικασία μπορεί να οδηγήσει στην Φάση ΙΙ, όπου, αφού βρεθεί μια εφικτή πλέον λύση, επιλύεται το αρχικό πρόβλημα, ή να προσδιοριστεί αδυναμία επίλυσής του. Ο αλγόριθμος με την μορφή βημάτων σε φυσική γλώσσα είναι ο εξής: ΒΗΜΑ 0 Αρχικοποίηση (Initialization) 1. Επιλογή μιας βασικής επιμέρισης ( BN), 2. Υπολογισμός των κάτωθι μητρών και διανυσμάτων: c c A x A b w c A s c w A 1 1 1,,,, T T, T T T B N B B B B N N N Όπου 1 A B μεταβλητές. είναι η αντίστροφη μήτρα του A, σχετική με τις βασικές 3. Αν x Bi 0, τότε η βασική διαμέριση δεν είναι εφικτή, οπότε και ξεκινάει η Φάση Ι. Διαφορετικά, επιλέγεται το ΒΗΜΑ 1. ΒΗΜΑ 1 Έλεγχοι 1. Έλεγχος Βελτιστότητας (Optimality Test): Τίθεται: J { j : j N και s j 0}. Αν J, ο αλγόριθμος σταματά και το τρέχον σημείο είναι βέλτιστο. 48

61 Διαφορετικά, επιλέγεται η εξερχόμενη της βάσης μεταβλητή x, l N[ t], όπου t επιλέγεται από έναν κανόνα περιστροφής. 2. Έλεγχος ελαχίστου λόγου (minimum ratio test): Υπολογίζονται τα: h A a και I i : 1 i m και h il 0. 1 l B l Αν I ο αλγόριθμος τερματίζεται, το πρόβλημα είναι απεριόριστο. l Διαφορετικά, επιλέγεται ως εξερχόμενη της βάσης μεταβλητή η τον τύπο: x Br x με k 1 1 AB b AB b i i xl min : i I hrl hil ΒΗΜΑ 2 Περιστροφή (pivot) Τίθεται N[] t έλεγχος στο ΒΗΜΑ 0.1. k και B[] r l ως νέα βασική διαμέριση και επιστρέφεται ο Η Φάση Ι του αλγορίθμου είναι η εξής: ΒΗΜΑ 0 Αρχικοποίηση (Initialization) 1. Εισάγεται μια νέα μεταβλητή απόφασης, η xn 1, με διάνυσμα συντελεστών d A e, όπου e 1 i 1,2,..., m, που ονομάζεται τεχνητή. B i 2. Τίθεται fi 0, i 1,2,..., n και fn 1 1 για τους συντελεστές της νέας γραμμής κόστους (του τεχνητού προβλήματος) Υπολογίζεται το r arg minab b N N B r, B r : εξερχόμενη μεταβλητή και 4. Αλλάζει η βασική διαμέριση, B B [ n 1] Br 5. Υπολογίζονται τα νέα x A b, w f A και s f w A 1 T T 1 T T T B B B B N N N ΒΗΜΑ 1 Έλεγχος τερματισμού T 1. Αν s 0 ο αλγόριθμος σταματά. Αν x 1 0 ο αλγόριθμος σταματά, το N πρόβλημα είναι αδύνατο. Διαφορετικά, γίνεται επιστροφή στην Φάση ΙΙ από το τρέχον σημείο. n 49

62 T 2. Αν 0, επιλέγεται εισερχόμενη μεταβλητή με τον έλεγχο ελαχίστου s N i λόγου του Dantzig: sl min s j : s j 0 j N Υπολογισμός του h A a 1 l B l 3. Επιλογή εξερχόμενης από την βάση μεταβλητής με τον έλεγχο ελαχίστου λόγου: xb min i : i B hli ΒΗΜΑ 2 Περιστροφή T T T T Γίνεται περιστροφή και ανανέωση των B, N, f, f, x, w, s. Επιστροφή στο ΒΗΜΑ 1. B N B N Στην πράξη, όπως φαίνεται και στον κώδικα, υπάρχουν κάποια σημεία τα οποία είναι απαραίτητο να υπολογιστούν έμμεσα ή να γίνουν κάποιες τροποποιήσεις: Α) ο υπολογισμός της αντίστροφης μήτρας, 1 A B, δεν υπολογίζεται άμεσα ή από συνάρτηση (όπως η inv()). Αντί αυτού, χρησιμοποιείται η μορφή γινομένου της αντίστροφης (product form of the inverse) από τον τύπο: και E 1 B BE E B Β) Μπαίνουν κάποια όρια ανοχές (tolerances) που αν ξεπεραστούν από κάποιο στοιχείο, τότε αυτό τίθεται ως μηδέν (πχ το 6 10 ). Γ) οι τιμές των μεταβλητών απόφασης στο βέλτιστο σημείο αφορούν το αλλαγμένο, κλιμακωμένο, πρόβλημα και όχι το αρχικό. Επειδή όμως δεν θα υπάρξει περαιτέρω ανάλυση της λύσης, όπως για παράδειγμα, ανάλυση ευαισθησίας, δεν γίνεται χρήση των τιμών των μεταβλητών. Αν κάτι τέτοιο ήταν επιθυμητό, θα έπρεπε να τηρηθεί πίνακας με τους παράγοντες κλιμάκωσης (κάτι που γίνεται στον κώδικα που παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο 4) για την αποκλιμάκωσή τους στην τελική λύση. 50 h h 1l 1 h ml h r r h r 1

63 Παράδειγμα εφαρμογής του αλγορίθμου χωρίς Φάση Ι: min z x x 1 2 s. t. x x x x 3x x 3 xi , i 1,2,3, A, b, c, AB, AB ΒΗΜΑ 0.1.υπάρχει βασική λύση, η B 3,4, οπότε 1,2 Υπολογίζονται: N. x B AB b Άρα το τρέχον βασικό σημείο είναι εφικτό. T T T T 2. c, c -1, -2 w c A 1, 0 0,, 0 0, B N B B s c w A T T N N N -1, -2 ΒΗΜΑ s j 0, άρα ο αλγόριθμος συνεχίζεται. N Επιλέγεται l 1, οπότε x 1 η εισερχόμενη μεταβλητή και t 1, αφού 1 l υπολογίζεται το hl h1 AB a1 0, άρα η διαδικασία δεν σταματά. Επιλέγεται εξερχόμενη μεταβλητή με τον επόμενο έλεγχο: οπότε, 2 1 xb i x min : i B min, h h r και k B B2 i και xk x4 : εξερχόμενη μεταβλητή. ΒΗΜΑ 2. Ανανεώνεται η βάση: Br B2 l 1 και νέα βάση που προκύπτει είναι η B 3,1 και N 4,2. N t N 1 k 4, οπότε, η 51

64 Επιστροφή στο ΒΗΜΑ 0.2 ΒΗΜΑ 0 (3 η επανάληψη) 2. T T 1 T T 1 cb 0, 1, cn 0, -1, w cb A B 0,, 2 s c w A T T N N N 1 2, A B x B 7 / 2 3 / 2 ΒΗΜΑ s j 0, άρα ο αλγόριθμος συνεχίζεται. Επιλέγεται ως εισερχόμενη η x 2. ΒΗΜΑ h2, εξερχόμενη η x 3 1 αφού r 2 και k 1. 2 Τίθεται Br B2 l 2 και ΒΗΜΑ 0 (2 η επανάληψη) 2. T T 1 T T 2 cb 0, 1, cn 0, -2, w cb A B 0,, 3 s c w A T T T N N N N t N 1 k 1. Επιστροφή στην αρχή A B , 1 3 x B 4 1 ΒΗΜΑ sn 0, άρα ο αλγόριθμος σταματά εδώ, το τρέχον σημείο είναι βέλτιστο, με βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης: z c x T B B 2 Το επόμενο παράδειγμα επιλύεται χρησιμοποιώντας την Φάση Ι. 52

65 min z x x 1 2 s. t. x x 2x x x x 2x x x xi 0, i 1,2,3,4 ΒΗΜΑ 0.1. Βασική διαμέριση η B 4,5 και N 1,2,3 x B 2 0, άρα ξεκινάει η Φάση Ι. 4 1 ΦΑΣΗ Ι. 1. A b i B x Άρα, 1 min : min min 2, 4 2. B i B i B r 4 x x εξερχόμενη. r και 4 B r Προστίθεται η τεχνητή μεταβλητή x 6 και υπολογίζεται το διάνυσμα των συντελεστών της: d A B e Οπότε, το νέο πρόβλημα, αυτό της Φάσης Ι, είναι: min z x x 1 2 s. t. x x 2x x x x 2x x x με B 4, ,6 και 1,2,3 4 1,2,3,4 T T 2. f 0 1, f B N N. 1 1 B, N, B, B A A A x T 1 1 w T T T sn fn w AN T ΒΗΜΑ 1.1.επειδή s 0 ο αλγόριθμος συνεχίζεται. N Εισερχόμενος δείκτης ο και xl, l 4. s 0, άρα N4 4 οπότε η x 4 είναι εισερχόμενη μεταβλητή T N4 53

66 2. υπολογίζεται το hl AB al και αφού hl 0, ο αλγόριθμος συνεχίζεται. Ο έλεγχος ελαχίστου λόγου δίνει: x x x min, min, h h h B1 B2 B2 l1 l 2 l 2 και είναι r 2, k B 2 6. Η μεταβλητή x 6 είναι εξερχόμενη. ΒΗΜΑ 2. Τίθεται Br B2 l 4 και είναι: B 5,4 και N 1, 2,3,6 Φάση Ι Επανάληψη 2 η N t N 4 k 6. Οπότε τα νέα Β και Ν T T ΒΗΜΑ 0.1. f f f 0 0, f f f f f B 5 4 N AB, AN, AB, xb T 0 1 w T T T sn fn w AN ΒΗΜΑ 1.1. Επειδή sn 0 η τρέχουσα λύση είναι βέλτιστη και αφού η τεχνητή μεταβλητή x 6 έχει φύγει από την βάση και είναι μηδέν, η Φάση Ι σταματά. Τίθεται N N x και γίνεται επιστροφή στην Φάση ΙΙ, όπου συνεχίζεται ο αλγόριθμος για την επίλυση του αρχικού προβλήματος με την τρέχουσα λύση B 5,4. Ακολουθεί ο αλγόριθμος κωδικοποιημένος σε python. 1 # -*- coding: utf-8 -*- 2 """ 3 Created on Sat May 21 20:42: Algorithm: 2 Phases Revised Simplex with 1 artificial variable Tsiplidis Konstantinos 7 """ 8 import fileread as fr 54

67 9 import presolve as pr 10 import scaling as sc 11 import numpy as np 12 from scipy.sparse import csr_matrix 13 from scipy.sparse import csc_matrix 14 from scipy.sparse import hstack 15 from sympy import Matrix 16 import scipy.sparse.linalg as spsl 17 import scipy.sparse as sps 18 from numpy.linalg import inv 19 import os 20 import time 21 tol= #Εισαγωγή Δεδομένων 23 c0=0 24 print("reading files in directory...") 25 path='/mps_files/' 26 mpsfiles=[files for files in os.listdir(path) if files.endswith('.mps')] 27 #Για κάθε αρχείο MPS 28 for mps in mpsfiles:#[1]:#mps in 29 fname=path + '/' + mps 30 print('reading from file:',fname ) 31 start_time = time.time() 32 #Άνοιγμα του αρχείου 33 a,b,c,eq=fr.readfile(fname) 34 freadtime=(time.time() - start_time) 35 m0,n0=np.shape(a) 36 nnz1=len(a.data) 37 #Scaling Methods 38 start_time = time.time() 39 a,b,c,per_col_coef,per_row_coef=sc.geometric(a,b,c) 40 a,b,c,max_per_col,max_per_row=sc.equilibration2(a,b,c) 41 scaletime=(time.time() - start_time) 42 #presolve Technigues 43 start_time = time.time() 44 a,b,c,eq,infy,c0=pr.presolver(a,b,c,eq,false) 45 presolvetime=(time.time() - start_time) 46 start_time = time.time() 47 m,n=np.shape(a) 48 nnz2=len(a.data) 49 print('original problem dimensions:',m0,'x',n0) 50 print('reduced problem dimensions:',m,'x',n) 51 print("problem's dimension reduction:",m0-m,'rows &',n0- n,'columns') 52 stopped=false 53 ph1=false 54 #Εισαγωγή Χαλαρών Μεταβλητών 55 #για να παρει μόνο τον πινακα απο το tuple 56 mask=np.where(eq!=0)[0] 57 #Συνένωση των 3 διανυσμάτων στον Α 58 for i in mask: 59 ey=np.eye(m, 1, -i)*-eq[i]#+ή- πλεονασμ ή ελλειματική χαλαρή μτβ 60 a=hstack((a,ey),format='csr') 61 #B,Ν: set of indices 62 B=list(range(n,n+m))#Αν έχω μόνο χαλαρές 63 N=list(range(n)) 64 #Εύρεση (αν χρειάζεται) RREF του Α 65 #Απόσπαση των ισοτικών γραμμών 55

68 66 if len(mask)!=m: 67 print("computing RREF of A") 68 mask2=np.where(eq==0)[0] #για να παρει μόνο τον πινακα απο το tuple 69 #mask12 = list(set(mask).difference(set(np.arange (len(eq))))) 70 #λιστα με τον δεικτη καθε ισοτητας 71 mask12=list(set(np.arange(len(eq)))-set(mask)) 72 aeq=csr_matrix(a.a[mask12,0:n]) 73 #augmenting aeq with corresponding b elements 74 aeq=hstack((aeq,b.a[mask12]),format='csr') 75 aeq2=matrix(aeq.a).rref() 76 #Δημιούργησε το Β και το Ν 77 B=np.repeat(-1,m)#Αρχικοποίηση του Β 78 #Για κάθε ανισοτικό περιορισμό προσθέτω χαλαρή στο Β στην αντίστοιχη θέση 79 B[mask]=list(range(n,n+len(mask))) 80 B=list(B) 81 for i in range(len(mask12)): 82 B[mask12[i]]=aeq2[1][i] 83 B=list(range(n,n+len(mask))) 84 for i in aeq2[1]: 85 B.append(i) 86 B.sort() 87 N=list(range(n)) 88 N=list(set(N) - set(b)) 89 #ΒΗΜΑ 0: Υπολογισμός Β, Ν, ΑΒ, xb 90 #Ενημέρωση του C με τις χαλαρές μτβ =0 91 if len(mask)!=0: 92 c=sps.vstack((c,np.zeros((len(mask),1))),format='csr' 93 #Υπολογισμός του ΑΒ ή B-1 94 AB=a[:,B] 95 #Για να αποφύγω το warning. Δουλεύει πιο καλά σε csc 96 #Binv = spsl.inv(ab.tocsc()) ή 97 Binv = csr_matrix(inv(ab.a)) 98 xb=binv*b 99 bbinv=binv.a 100 xb=csr_matrix(np.where(np.abs(xb.a)<tol,0.0,xb.a)) 101 #Αν κάποιο xb<0 τότε πήγαινε στην Φάση Ι 102 if any(xb<0): 103 print('entering Phase I...') 104 ph1=true 105 # Φάση Ι 106 #Εισαγωγή τεχνητής μτβ 107 d=-binv*np.ones((m,1))#διάνυσμα συντελεστών του Xn # d=csr_matrix(np.where(np.abs(d)<tol,0.0,d)) # ή κατ'ευθείαν: 109 a=hstack((a,d),format='csr') 110 t=np.argmin(xb.a) 111 r=b[t] 112 count=0 113 # ΦΙ Βήμα N.append(r)#Βγάζω μια μτβ και 115 B[t]=n+len(mask)#Βάζω την τεχνητή μτλ στην βάση 116 AB=a[:,B] 117 AN=a[:,N] 118 fb=csr_matrix(np.zeros((m,1)))#αρχικοποίηση διανυσμάτων 119 fn=csr_matrix(np.zeros((len(n),1))) 120 fb[t]=1#επειδή είναι se csr matrix container 121 E=csr_matrix(np.eye(m)) 56

69 122 hl=binv*a[:,r] 123 hl=csr_matrix(np.where(np.abs(hl.a)<tol,0.0,hl.a)) 124 E[:,t]=-hl.A/hl[t].A#-hl/hl[r] 125 E[t,t]=1/hl[t].A 126 E2=E.A 127 Ehl=hl.A 128 E=csr_matrix(np.where(np.abs(E.A)<tol,0.0,E.A)) 129 bb4=binv.a 130 Binv=E*Binv 131 Binv = csr_matrix(inv(ab.a)) #το Ε παραμενει Ι και δεν δουλευει αλλιως 132 bb3=binv.a 133 xb=binv*b 134 xb=csr_matrix(np.where(np.abs(xb.a)<tol,0.0,xb.a)) 135 art=n+len(mask) 136 while True: # ΦΑΣΗ count+=1 138 wt=fb.t*binv 139 sn=fn.t-wt*a[:,n] 140 sn=csr_matrix(np.where(np.abs(sn.a)<tol,0.0,sn.a)) 141 #ΒΗΜΑ #Checking optimality 143 # sn=csr_matrix(np.allwherewhere(sn.a<0,-sn.a,sn.a)) 144 if all(sn.a[0]>=0): 145 stopped=false 146 print("found Optimal Solution in Phase I!") 147 if xb[b.index(n+len(mask))]!=0.0: 148 print("initial problem is infeasible. Exiting...") 149 stopped=true 150 break#βγες από την ΦΙ 151 #ΒΗΜΑ 2 - Επιλογή εισερχόμενης μεταβλητής 152 t=np.argmin(sn.a)#[0]#min{sj:sj<0 k jen} 153 # t=np.argmin(sn.a[sn.a<0])#[0] 154 # snlist=np.where(sn.a<0)[1] 155 # min1=np.min(sn.a[snlist]) 156 l=np.min(sn.a) 157 l2=np.where(sn.a==l) 158 l3=np.array(n)[l2[1]][0] 159 mmin2= for i in range(len(n)): 161 if sn[0,i] < mmin2: 162 mmin2=sn[0,i] 163 th2=i 164 l=n[t] 165 #Yπολόγισε hl 166 hl=binv*a[:,l] 167 hl=csr_matrix(np.where(np.abs(hl.a)<tol,0.0,hl.a)) 168 if all(hl.a<=0): 169 #if np.greater_equal(sn[0],np.zeros(n)): 170 print('found Unbounded Solution') 171 stopped=true 172 break 173 #Επιλογή Εξερχόμενης μτβ min{xb/hl: hl>0} 174 # k=np.argmin(xb/hl>=0) 175 # m2=np.where(hl.a>0) 176 # k=np.argmin(xb[m2[0]]/hl[m2[0]]) 177 t1=xb[hl>0]/hl[hl>0] 178 minval = np.min(t1[np.nonzero(t1)]) 179 #min3 = min(i for i in t1[0] if i > 0) 57

70 180 r=np.where(minval==t1)[1]#[0] 181 if len(r)>1: 182 k=np.min(b[r[0]]) 183 k=b[r[0]] 184 xb2=xb.a 185 hl2=hl.a 186 mmin= for i in range(0,m): 188 if hl2[i]>0: 189 if xb2[i]/hl2[i]<=mmin: 190 mmin=xb2[i]/hl2[i] 191 th=i 192 rr=r[0] 193 rr=th 194 k=b[th] 195 #ΒΗΜΑ B[rr],N[t]=l,k 197 E=csr_matrix(np.eye(m)) 198 E[:,rr]=-hl.A/hl[rr].A#-hl/hl[r] 199 E[rr,rr]=1/hl[rr].A 200 E=csr_matrix(np.where(np.abs(E.A)<tol,0.0,E.A)) 201 Binv=E*Binv 202 xb=binv*b 203 xb=csr_matrix(np.where(np.abs(xb.a)<tol,0.0,xb.a)) 204 if k==art:#βγήκε η τεχν μτβ απο την βαση 205 print('art has gone. Exiting Phase I') 206 N.remove(art) 207 break 208 # Φάση ΙΙ 209 if not ph1: 210 print('no phase I') 211 a=a[:,0:n+len(mask)]#βγάζω την τεχν στήλη απο το τέλος του Α 212 if n+len(mask) in B:#αν ειναι ακόμη μεσα στην βάση η τεχν μτλ 213 print('akoma stin basi') 214 infy=true 215 r=np.where(xb/hl==np.min(xb[hl>0]/hl[hl>0]))[0] 216 t=np.argmin(sn.a)#[0] 217 rr=b.index(art) 218 B[rr]=N[t] 219 N.remove(N[t]) 220 if not stopped: 221 infy=false 222 print('entering Phase II...') 223 else: 224 infy=true 225 count=0 226 while not stopped: 227 #Yπολογισμός των cb και cn 228 cb,cn=c[b],c[n] 229 count+=1 230 #Υπολογισμός του wt 231 wt=cb.t*binv 232 #Υπολογισμός του st 233 st=c.t-wt*a 234 st=csr_matrix(np.where(np.abs(st.a)<tol,0.0,st.a)) 235 sn=cn.t-wt*a[:,n] 236 sn=csr_matrix(np.where(np.abs(sn.a)<tol,0.0,sn.a)) 237 #ΒΗΜΑ #Checking optimality 239 # sn=csr_matrix(np.where(sn.a<0,-sn.a,sn.a)) 58

71 240 if np.all(sn.a>=0): 241 # if np.greater_equal(sn[0],np.zeros(n)): 242 print("found Optimal Solution!") 243 #Υπολογισμός της βέλτιστης τιμής 244 z=cb.t*xb+c0 245 print('z=',z.a) 246 stopped=true 247 continue 248 #ΒΗΜΑ t=min(st.a[0,n]) 250 t=np.argmin(st.a[0,n])# O δείκτης του min 251 tt=np.argmin(sn.a[0])# O δείκτης του min 252 z=cb.t*xb+c0 253 l=n[t] 254 mmin= for i in range(len(n)): 256 if sn[0,i] < mmin: 257 mmin=sn[0,i] 258 th=i 259 l=n[t] 260 l=n[th] 261 #Yπολόγισε hl 262 hl=binv*a[:,l] 263 hl=csr_matrix(np.where(np.abs(hl.a)<tol,0.0,hl.a)) 264 if all(hl.a<=0): 265 #Υπολογισμός της βέλτιστης τιμής 266 z=cb.t*xb 267 print('found Unbounded Solution') 268 stopped=true 269 continue 270 #Επιλογή Εξερχόμενης μτβ 271 min2=np.min(xb[hl>0]/hl[hl>0]) 272 minth2=np.where((xb.a/hl.a==min2) & (hl.a>0))[0][0] 273 minth2=np.where((xb.a/hl.a==np.min(xb[hl>0]/hl[hl>0])) & (hl.a>0))[0][0] 274 r=np.where(xb/hl==np.min(xb[hl>0]/hl[hl>0]))[0] 275 if len(r)!=0: 276 k=b[r[0]] 277 hl2=hl.a 278 xb2=xb.a 279 mmin= for i in range(0,m): 281 if hl[i]>0: 282 if xb2[i]/hl2[i]<mmin: 283 mmin=xb2[i]/hl2[i] 284 th=i 285 th=minth2 286 r=th 287 k=b[th] 288 #ΒΗΜΑ B[th],N[t]=l,k 290 E=csr_matrix(np.eye(m)) 291 E[:,r]=-hl.A/hl[r].A#-hl/hl[r] 292 E[r,r]=1/hl[r].A 293 E=csr_matrix(np.where(np.abs(E.A)<tol,0.0,E.A)) 294 Binv=E*Binv 295 if count%300==0: 296 AB=a[:,B] 297 Binv = csr_matrix(inv(ab.a)) 298 Binv=csr_matrix(np.where(np.abs(Binv.A)<tol,0.0,Binv.A)) 59

72 299 xb=binv*b 300 xb=csr_matrix(np.where(np.abs(xb.a)<tol,0.0,xb.a)) 301 solutiontime=(time.time() - start_time) 302 if not infy: 303 z=cb.t*xb Λίστα Κώδικα 18. Αλγόριθμος 2 Phase Revised Simplex 60

73 6 Υπολογιστική μελέτη Για την δοκιμή των αλγορίθμων έχει επιλεγεί από τα προβλήματα που υπάρχουν στα παραρτήματα, μια ομάδα αυτών με το μικρότερο δυνατό μέγεθος. Αποκλείστηκαν προβλήματα με όρια ή εύρος τιμών, καθώς και κάποια προβλήματα με ιδιαιτερότητες στην δομή τους (όπως για παράδειγμα το zed.mps, που περιλαμβάνει δύο αντικειμενικές συναρτήσεις). Η εφαρμογή των μεθόδων κλιμάκωσης έγινε χωρίς προβλήματα παρουσιάζοντας ταχύτητα στην εκτέλεσή τους. Αντίθετα, οι τεχνικές προεπίλυσης είχαν μια αυξητική τάση στον χρόνο εκτέλεσης ανάλογα με το μέγεθος των προβλημάτων. Ωστόσο, για μεγαλύτερα προβλήματα, είναι απαραίτητη η χρήση και η εφαρμογή τους πριν από την εκτέλεση μεθόδων επίλυσης. Και αυτό γιατί τα περισσότερα προβλήματα περιέχουν περιττές πχ γραμμές, γραμμικώς εξαρτημένες, κάτι που οδηγεί σε αδυναμία εύρεσης αντιστρόφου της βασικής μήτρας των συντελεστών και κατ επέκταση και σε αδυναμία εκτέλεσης του αλγορίθμου επίλυσής τους. Στην στήλη όνομα υπάρχει το όνομα κάθε προβλήματος χωρίς την επέκτασή του (.mps). Στην στήλη m φαίνεται ο αριθμός των περιορισμών του προβλήματος και αντίστοιχα στην στήλη n ο αριθμός των μεταβλητών απόφασης. Το χαρακτηριστικό nnz αφορά το πλήθος των μη μηδενικών στοιχείων του πίνακα των περιορισμών. Οι επόμενες τρεις στήλες παρουσιάζουν τα αντίστοιχα στοιχεία του μεγέθους των προβλημάτων μετά την εφαρμογή των μεθόδων προεπίλυσης. Στις επόμενες στήλες δίνεται η μεταβολή (μείωση) του μεγέθους και η ποσοστιαία μεταβολή τους. Στον παρακάτω πίνακα (Πίνακας 1) φαίνονται τα αποτελέσματα εκτέλεσης των μεθόδων προεπίλυσης στην επιλεγμένη ομάδα προβλημάτων σχετικά με την μεταβολή στο αρχικό τους μέγεθος. Ανάλογα με την δομή κάθε αρχείου, παρατηρούνται σαφείς διαφοροποιήσεις στην επίδραση των τεχνικών προεπίλυσης. Έτσι, σε κάποια προβλήματα δεν υπήρξε καμία αλλαγή, ενώ σε κάποια άλλα μειώθηκε κατά πολύ το μέγεθός τους, μέχρι και της τάξης του 60%. Αυτό που δεν παρουσιάζεται στον πίνακα, είναι η μεγαλύτερη επίδραση των τεχνικών σε πολύ μεγαλύτερα προβλήματα που παρατηρήθηκε κατά τις δοκιμές. 61

74 α/α Όνομα Συλλογή Περιορισμοί Στήλες Διαφορά Διαφορά Διαφορά nnz m' n' nnz' Αρχείου m n Δm Δn % 1 afiro netlib ,00% 2 agg netlib ,57% 3 beaconfd netlib ,23% 4 bgprtr infeasible ,38% 5 blend netlib ,16% 6 farm misc ,11% 7 farm misc ,11% 8 israel netlib ,00% 9 itest2 infeasible ,00% 10 itest6 infeasible ,00% 11 kleemin3 misc ,00% 12 kleemin4 misc ,00% 13 kleemin5 misc ,00% 14 kleemin6 misc ,00% 15 kleemin7 misc ,00% 16 kleemin8 misc ,00% 17 klein1 infeasible ,00% 18 lotfi netlib ,95% 19 sc105 netlib ,00% 20 sc205 netlib ,18% 21 sc205-2r-16 stochlp ,00% 22 sc205-2r-27 stochlp ,00% 23 sc205-2r-32 stochlp ,00% 24 sc205-2r-4 stochlp ,00% 25 sc205-2r-8 stochlp ,00% 26 sc50a netlib ,00% 27 sc50b netlib ,00% 28 share1b netlib ,86% 29 share2b netlib ,00% 30 stocfor1 netlib ,90% Πίνακας 1 Αποτελέσματα Εφαρμογής Μεθόδων Προεπίλυσης Στον επόμενο πίνακα παρουσιάζονται οι χρόνοι εκτέλεσης των τεχνικών που αναφέρθηκαν σε προηγούμενες ενότητες, του αλγορίθμου Simplex και ο αριθμός των επαναλήψεων που χρειάστηκε με ή χωρίς προεπίλυση. 62

75 α/α Όνομα Περιορισμοί Στήλες Φόρτωμα Χρόνος Χρόνος Χρόνος Αρ.Επαναλήψεων Αρ.Επαναλήψεων Αρχείου m n Αρχείου Κλιμάκωσης Προεπίλυσης Επίλυσης Χωρίς Προεπίλυση με Προεπίλυση 1 afiro , , , , agg , , , , beaconfd , , , , bgprtr ,004 0, , , blend , , , , farm ,003 0, , , farm , , , , israel , , , , itest , , , , itest , , , , kleemin ,003 0, , , kleemin ,002 0, , , kleemin ,002 0, , , kleemin ,003 0, , , kleemin , , , , kleemin ,004 0, , , klein ,014 0, , , lotfi , , , , sc , , , , sc , , , , sc205-2r , , , , sc205-2r , , , , sc205-2r , , , , sc205-2r , , , , sc205-2r , , , , sc50a , , , , sc50b ,014 0, , , share1b , , , , share2b , , , , stocfor , , , , Πίνακας 2 Χρόνοι Εφαρμογής Μεθόδων Προεπίλυσης & Επαναλήψεις Αλγορίθμου Όπως φαίνεται και από τον πίνακα, σε ορισμένα από τα προβλήματα δεν υπάρχει ουσιαστική διαφοροποίηση του μεγέθους τους, με αντίστοιχη μείωση του χρόνου εκτέλεσης. Σε μερικά όμως προβλήματα, κυρίως σε αυτά με μεγαλύτερο μέγεθος, υπάρχει αισθητή μείωση των δεδομένων, κάτι που οδηγεί σε μικρότερες απαιτήσεις σε αποθηκευτικό χώρο αλλά και σε ταχύτερη επίλυσή τους. Στην πλειονότητά τους (εκτός από τρία) η επίλυση των προβλημάτων πραγματοποιήθηκε με την εφαρμογή του αλγορίθμου simplex σε λιγότερα βήματα επαναλήψεις μετά την χρήση των μεθόδων προεπίλυσης. Χαρακτηριστικά, για το πρόβλημα kleemin8, χρειάστηκαν 2 αντί για 256 επαναλήψεις για την επίλυσή του. Όλες οι δοκιμές έγιναν σε Η/Υ Intel Core 2 Duo T7250 2GHz, 3GB DDR2 667ΜHz, σε Windows 10 32bit. Όλοι οι κώδικες και τα αρχεία δεδομένων που χρησιμοποιήθηκαν είναι διαθέσιμα online

76 7 Συμπεράσματα Από τα κυριότερα προβλήματα στην επίλυση των δοκιμαστικών ΓΠ είναι το μεγάλο τους μέγεθος, η αραιή μορφή των δεδομένων αλλά και η ίδια η δομή τους. Στοιχεία τα οποία συντελούν στην δυσκολία επίλυσής τους με τους γνωστούς αλγόριθμους. Είναι επομένως αναγκαία επιλογή η εφαρμογή τέτοιων μεθόδων προεπίλυσης. Ένα από τα κυριότερα συμπεράσματα που προέκυψαν μέσα από την συγγραφή της εργασίας, ήταν και η ανάγκη εφαρμογής των μεθόδων που περιγράφησαν σε προηγούμενα κεφάλαια. Χωρίς αυτές, η επίλυση μεγάλης κλίμακας προβλημάτων παραμένει σχεδόν αδύνατη. Από την άλλη, οι μέθοδοι κλιμάκωσης βοήθησαν στην αποφυγή σφαλμάτων υπολογισμών κατά την διάρκεια πολλαπλών εφαρμογών των μεθόδων επίλυσης. Κατά την υλοποίηση των αλγορίθμων, σχετικά μεγάλη χρονική διάρκεια είχε η εύρεση της αρχικής αντιστρόφου της βάσης με την μέθοδο Reduced Row Echelon Form of the Inverse. Αφήνεται η βελτίωση του συγκεκριμένου κομματιού για μελέτη σε επόμενη ερευνητική εργασία. Ορισμένοι από τους υπολογισμούς θα μπορούσαν να δώσουν καλύτερους χρόνους με μια υλοποίηση στραμμένη στον παράλληλο προγραμματισμό πολυπύρηνων συστημάτων ή GPU s. Αναφορικά με θέματα σχετικά με την υλοποίηση των αλγορίθμων στην γλώσσα προγραμματισμού python, προέκυψαν αρκετά στοιχεία για την χρήση της σε επιστημονικούς υπολογισμούς και την επίλυση προβλημάτων μεγάλης κλίμακας. Ένα από τα πλεονεκτήματα που έχει η συγκεκριμένη υλοποίηση έχει να κάνει με την ποικιλία εργαλείων της γλώσσας, με την μορφή έτοιμων βιβλιοθηκών όπως είναι αυτό της διαχείρισης αραιών μητρών (scipy.sparse). Η ίδια η φύση της γλώσσας διευκόλυνε κατά πολύ την διαδικασία συγγραφής κώδικα. Οι κυριότερες δυσκολίες και τα προβλήματα παρουσιάστηκαν στην συνεργασία αυτών των έτοιμων πακέτων μεταξύ τους, αφού ορισμένα στοιχεία των προβλημάτων απεικονίζονταν με την μορφή μητρών (scipy matrices) και άλλα με την μορφή πινάκων (numpy arrays) ενώ κάποια άλλα με βασικά δομικά στοιχεία της python όπως λίστες, σύνολα (sets) και πλειάδες (tuples). 64

77 Βιβλιογραφία [1]. Bazaraa, M., Jarvis, J., Sherali, H. (2005). Linear Programming and Network Flows, 3rd edition, Wiley-Interscience [2]. Bland Robert G., Goldfarb Donald, Todd Michael J., (1981) The Ellipsoid Method: A Survey. Operations Research 29(6): [3]. Bressert Eli (2013) Numpy and Scipy - O Reilly [4]. Dantzig, B.G., (1949), Programming in a linear structure,econometrica,vol.17, pp [5]. Davis Timothy A. (2006) Direct Methods for Sparse Linear Systems CIAM [6]. Downey Allen, Elkner Jeffrey, Meyers Chris (2008) How to Think Like a Computer Scientist - Learning with Python, Green Tea Press [7]. Erling D. Andersen, Andersen Knud D. (1995) Presolving in linear programming Mathematical Programming [8]. Erling D. Andersen (1995): Finding all linearly dependent rows in large-scale linear programming, Optimization Methods and Software, 6:3, [9]. Hillier and Lieberman (2001). Introduction to Operations Research (7th ed.), McGraw-Hill. [10]. Idris Ivan (2014) Learning NumPy Array Packt Publishing [11]. Gondzio Jacek (1995) HOPDM - A fast LP solver based on a primal-dual interior point method European Journal of Operational Research [12]. Khachiyan L.G., (1980) Polynomial algorithms in linear programming, USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, Volume 20, Issue 1, P53-72 [13]. Karmarkar Narendra (1984). "A New Polynomial Time Algorithm for Linear Programming", Combinatorica, Vol 4, nr. 4, p [14]. Langtangen Hans Petter (2009), Python Scripting for Computational Science (Texts in Computational Science and Engineering) 3rd Edition, Springer [15]. Langtangen Hans Petter (2014), A Primer on Scientific Programming with Python (Texts in Computational Science and Engineering) 4th ed Edition, Springer [16]. Papadimitriou, H.C., Steiglitz, K. (1982). Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J. 65

78 [17]. Rojas Sergio J. G. Christensen Erik A, Francisco J. Blanco-Silva (2015 ) Learning SciPy for Numerical and Scientific Computing Second Edition, Packt Publishing [18]. Pissanetzky Sergio (1984) Sparse Matrix Technology Acad. Press [19]. Saad Yousef (2003) Iterative Methods for Sparse Linear Systems Second Edition Society for Industrial and Applied Mathematics [20]. F. J. Blanco-Silva (2013) Learning SciPy for Numerical and Scientific Computing Packt Publishing [21]. Stewart John M. (2014) Python for Scientists, Cambridge University Press; 1 edition [22]. Summerfield Mark (2009), Programming in Python 3, 2nd Edition, Addison- Wesley [23]. Swietanowski Artur (1995) A modular pre solve procedure for large scale Linear Programming IIASA [24]. Tomlin J.A. and J.S. Welch (1983) Formal optimization of programming problems mathematical programming [25]. Tomlin J.A. and J.S. Welch (1986), Finding duplicate rows in a linear programming model, Volume 5, Operations Research Letters [26]. Παπαρρίζος Κωνσταντίνος (2009) Γραμμικός Προγραμματισμός: Μια προσέγγιση με MATLAB Εκδόσεις Ζυγός 66

79 Παράρτημα A - Εγκατάσταση της Python A.1 Εισαγωγή Η γλώσσα προγραμματισμού python είναι μια γλώσσα σεναρίων (scripting) που βασίζεται στην χρήση του κατάλληλου διερμηνευτή (interpreter). Ανάλογα με το περιβάλλον εργασίας που χρησιμοποιείται, απαιτείται η παρουσία της αντίστοιχης έκδοσης διερμηνευτή. Έτσι, υπάρχουν εκδόσεις της python κατάλληλες για Windows, Linux και OS X, αλλά και ανάλογα με την αρχιτεκτονική του λειτουργικού συστήματος (32 ή 64 bit). Αναφορικά με την έκδοση της γλώσσας, αυτή έχει δύο βασικές παραλλαγές, την 2.x και την 3.x, όπου και εμφανίζονται αρκετές διαφοροποιήσεις και αλλαγές. Στις επόμενες ενότητες περιγράφεται η χρήση της έκδοσης 3.x στα 64bit. Η διαδικασία εγκατάστασης είναι, ανάλογα με το λειτουργικό σύστημα, απλή και γίνεται όπως για κάθε άλλο πρόγραμμα που εγκαθίσταται στον υπολογιστή. Έτσι, σε ένα Linux σύστημα, χρησιμοποιείται το αντίστοιχο πρόγραμμα διαχείρισης πακέτων, γραφικά ή μέσω της γραμμής εντολών ενός τερματικού, ενώ σε υπολογιστές windows (σε όλες τις εκδόσεις) γίνεται χρήση ενός κατάλληλου προγράμματος εγκατάστασης σε γραφικό περιβάλλον (installer). Επειδή οι εκδόσεις 2.x και 3.x έχουν αρκετές διαφορές και η χρήση πακέτων δεν είναι πάντα εφικτή και στις δύο (υπάρχουν πακέτα που διατίθενται για την μία και όχι για την άλλη έκδοση της γλώσσας), είναι δυνατόν να εγκατασταθούν και οι δύο στο ίδιο σύστημα. Μάλιστα, μέσα από ένα ολοκληρωμένο γραφικό περιβάλλον ανάπτυξης (IDE - GUI) μπορεί να γίνει χρήση του κατάλληλου, κάθε φορά, διερμηνευτή της γλώσσας, ανάλογα με τις ανάγκες του χρήστη. Είναι δυνατή επομένως η δημιουργία σεναρίων (scripts) που θα υλοποιούνται και στις δύο εκδόσεις της γλώσσας. Κάτι που προκαλεί συχνά σύγχυση, είναι αυτή η αυτόνομη διαχείριση πακέτων από την γλώσσα, που ταυτόχρονα όμως, δίνει και την ελευθερία επιλογών στο γράψιμο κώδικα. Έτσι, άλλα πακέτα μπορεί να έχει η μία έκδοση και άλλα η άλλη. Στις επόμενες παραγράφους περιγράφεται η εγκατάσταση και διαχείριση όλων των βασικών αλλά και των απαραίτητων στοιχείων για την κωδικοποίηση σε python προβλημάτων επιστημονικών υπολογισμών (scientific computation). 67

80 A.2 Επιλέγοντας περιβάλλον εργασίας Η γλώσσα είναι διαθέσιμη σε ένα μεγάλο και διαφορετικό στο είδος τους αριθμό εργαλείων ανάπτυξης κώδικα που δίνουν την δυνατότητα για εκτέλεση μεμονωμένων εντολών με αλληλεπιδραστικό (interactive) χαρακτήρα ή την σύνταξη ολοκληρωμένων προγραμμάτων. Ο τρόπος χρήσης της καθορίζει και σε μεγάλο βαθμό το είδος της απαιτούμενης, κάθε φορά, εγκατάστασης. Έτσι, είναι διαθέσιμα μια σειρά από εργαλεία που, ανάλογα με τον επιθυμητό τρόπο εργασίας, μπορούν να εγκατασταθούν σε οποιοδήποτε υπολογιστικό σύστημα. Ένας ακόμα παράγοντας που προσδιορίζει την μορφή των εργαλείων που θα χρησιμοποιηθούν, είναι και το είδος της εργασίας για την οποία προορίζεται. Από την δοκιμή μεμονωμένων εντολών (notebooks), μέχρι την συγγραφή σεναρίων σε πολυχρηστικά περιβάλλοντα (github, bitbucket), την δημιουργία εφαρμογών ιστού (web apps, Django) ή την ανάλυση επιστημονικών δεδομένων (scipy), την γραφική απεικόνιση (matplot lib) και διαχείριση εξωτερικών δεδομένων (pandas) αλλά και την χρήση έτοιμων πακέτων ή δημιουργία και διάθεση (deployment) νέων, το περιβάλλον προγραμματισμού μπορεί να διαφοροποιηθεί κατά πολύ. Στις επόμενες ενότητες περιγράφεται η βασική εγκατάσταση και λειτουργία της γλώσσας, μέσα από εικόνες και πολύ απλά παραδείγματα, μαζί με την προσθήκη μερικών επιπρόσθετων πακέτων απαραίτητων για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων. Ωστόσο, για την εκμάθηση της γλώσσας είναι δυνατή η χρήση ακόμα και ορισμένων διαδικτυακών (on line) διερμηνευτών. Σ αυτή την περίπτωση, δεν χρειάζεται καμία προσθήκη ή τροποποίηση του συστήματος του χρήστη, το IDE είναι εκεί, άμεσα διαθέσιμο και έτοιμο για χρήση. Η συγγραφή κώδικα γίνεται άμεσα και η εκτέλεσή του δεν προαπαιτεί απολύτως τίποτα. Την χρονική στιγμή που γράφονταν αυτές οι γραμμές, τα πλέον ενδιαφέροντα, αλλά όχι τα μοναδικά, εργαλεία online IDE, είναι με σειρά προτίμησης του γράφοντα και ανάλογα με τα ενδιαφέροντα του χρήστη τα πιο κάτω: 1. Sourcelair Trinket.io 7. Έτοιμο, με δυνατότητα να χρησιμοποιηθούν άμεσα και τα πακέτα numpy και scipy

81 3. Ide one 8 4. Python fiddle 9 5. Sculp 10. Το ενδιαφέρον με το συγκεκριμένο εργαλείο έχει να κάνει με την δυνατότητά του να ενσωματωθεί εύκολα σε οποιαδήποτε ιστοσελίδα. Χαρακτηριστικά αναφέρεται η παρακάτω διεύθυνση όπου ενσωματώθηκε σε άρθρο του Joomla 3.x ένας απλός αλλά πλήρους λειτουργικότητας διερμηνευτής της γλώσσας. A.3 Εγκατάσταση A.3.1 Ο διερμηνευτής Η εγκατάσταση της γλώσσας μπορεί να γίνει με διαφορετικούς τρόπους ανάλογα με το λειτουργικό σύστημα που χρησιμοποιείται. Στην συνέχεια περιγράφεται η διαδικασία για κάθε ένα. A Windows (όλες οι εκδόσεις) Κανένα σύστημα με windows (οποιαδήποτε έκδοση, από XP μέχρι IoT Core) δεν έρχεται με προ εγκατεστημένη την python, κάτι που οφείλεται και στην γενικότερη φιλοσοφία υποστήριξης ανοιχτού κώδικα εργαλείων ανάπτυξης λογισμικού της κατασκευάστριας εταιρείας και που συναντάται και σε περιπτώσεις άλλων γλωσσών όπως Ruby, perl, κά. Αυτό το γεγονός δεν αποτελεί ιδιαίτερο πρόβλημα για το «στήσιμο» της γλώσσας σε τέτοια περιβάλλοντα, ωστόσο περιπλέκει την κατάσταση όταν θα χρειαστεί να γίνει η διάθεση (deployment) μιας εμπορικά διαθέσιμης εφαρμογής για τοπική χρήση (stand alone εφαρμογές) και όχι ίσως κάτω από κάποιον web server ή στο σύννεφο. Και σε αυτές όμως τις περιπτώσεις, η ιδιαίτερα μεγάλη open source κοινότητα και φίλοι της python, διαθέτουν πακέτα (όπως το py2exe) που παράγουν το απαραίτητο byte code μορφής πρόγραμμα προς διανομή. Αναφορικά δε με την χρήση της γλώσσας για την εκτέλεση σεναρίων σε δικτυακές εφαρμογές, η εγκατάστασή της γίνεται εύκολα και σε όλα τα συστήματα

82 εξυπηρετητή ιστού (web server). Ένας σύντομος και περιεκτικός οδηγός (tutorial) που περιγράφει την χρήση της γλώσσας σε web server Apache μπορεί να βρεθεί εδώ URL Για να γίνει η εγκατάσταση (τοπικά) σε ένα μηχάνημα με windows, το μόνο που χρειάζεται είναι να «κατέβει» το αρχείο εγκατάστασης από την διεύθυνση Με την εκτέλεση του εγκαταστάτη (installer) επιλέγεται η θέση στον δίσκο, ποιοι χρήστες θα έχουν πρόσβαση στον διερμηνευτή της γλώσσας και το αν θα ενημερωθεί η μεταβλητή συστήματος (PATH) για την διαδρομή όπου θα βρίσκονται τα στοιχεία της γλώσσας, ώστε αυτή να μπορεί να εκτελεστεί από οπουδήποτε στην γραμμή εντολών ενός τερματικού. Στο επόμενο βήμα επιλέγουμε αν θα εγκατασταθούν και μερικά ακόμη πακέτα 70

83 Μετά και τις επόμενες επιλογές ξεκινά η εγκατάσταση. Η ολοκλήρωση της διαδικασίας δημιουργεί μια ομάδα εικονιδίων εφαρμογών 71

84 στην γραμμή έναρξης, απ όπου είναι δυνατή η εκκίνηση του περιβάλλοντος εργασίας που μπορεί να έχει τις εξής μορφές: Α) Γραμμή εντολών i) Αλληλεπιδραστικά Με τον συνδυασμό πλήκτρων win+r, γράφουμε CMD και ανοίγουμε την οθόνη γραμμής εντολών. Για να ξεκινήσει το περιβάλλον της python (κέλυφος) απλά γράφουμε python και στο σήμα >>> μπορούμε να πληκτρολογήσουμε εντολές σε Python. Με την εντολή exit() βγαίνουμε από το κέλυφος της python. Αν εμφανιστεί κάποιο μήνυμα όπως το πιο κάτω Θα πρέπει να γίνει ενημέρωση της μεταβλητής path με την διαδρομή όπου βρίσκεται εγκατεστημένη η Python (πχ c:\>python27\) 72

85 ii) Εκτέλεση σεναρίων Σε επόμενες ενότητες θα γίνει η περιγραφή των τρόπων με τους οποίους μπορεί να γραφεί ένα ολοκληρωμένο πρόγραμμα σε python. Αυτά βρίσκονται σε αρχεία αμορφοποίητου κειμένου (ASCII) με την κατάληξη.py. Για παράδειγμα, φτιάχνουμε στο c: ένα φάκελο python examples και εκεί δημιουργούμε ένα αρχείο κειμένου από το σημειωματάριο που θα περιέχει μια πολύ απλή εντολή print( Hello World ) και αποθηκεύουμε το αρχείο ως hello.py. Για να εκτελεστεί ένα τέτοιο πρόγραμμα κάνουμε τα παρακάτω. Στον φάκελο όπου βρίσκεται το αρχείο.py κάνουμε δεξί κλικ + shift και επιλέγουμε και πληκτρολογούμε python hello.py. Το αποτέλεσμα της εκτέλεσης του προγράμματος φαίνεται στην πιο κάτω εικόνα. 73

86 Β) Γραφικό περιβάλλον (IDLE) Και οι δύο προηγούμενοι τρόποι εργασίας με την python συμπεριλαμβάνονται σε ένα γραφικό περιβάλλον εργασίας που εγκαθίσταται μαζί με τον διερμηνευτή της γλώσσας. Από το μενού έναρξης επιλέγουμε Python IDLE και ανοίγει το το επόμενο παράθυρο. Στην συνέχεια, μπορούμε να δουλέψουμε ως εξής: i) Αλληλεπιδραστικά Όπως φαίνεται στην πιο πάνω εικόνα, στο σήμα προτροπής της python (>>>), μπορούμε να πληκτρολογήσουμε εντολές και να δούμε άμεσα τα αποτελέσματά τους. ii) Εκτέλεση σεναρίων Από το μενού file επιλέγουμε New File, γράφουμε το πρόγραμμά μας 74

87 και επιλέγουμε Run/Run Module. To αποτέλεσμα της εκτέλεσης φαίνεται στο παράθυρο του IDLE: A Linux (κάθε διανομή) Σχεδόν σε κάθε διανομή Linux υπάρχει ήδη εγκατεστημένη η python (τουλάχιστον η έκδοση 2.x). Για να ελέγξουμε αν είναι εγκατεστημένη, ανοίγουμε ένα τερματικό και γράφουμε $python ή python3 Ή εναλλακτικά, $ python --version Για να μπούμε στο κέλυφος (shell) της python Αν εμφανιστεί κάποιο μήνυμα σφάλματος τότε θα πρέπει να γίνει εγκατάσταση με έναν από τους παρακάτω τρόπους i) Από την γραμμή εντολών Ανοίγουμε ένα τερματικό και γράφουμε για διανομές τύπου Debian (Ubuntu, mint κά): sudo apt-get install python για διανομές που βασίζονται σε Red Hat Package Manager (RPM) όπως opensuse κλπ : ii) Από τον διαχειριστή πακέτων Από μια διανομή Linux Mint είναι η επόμενη εικόνα του Διαχειριστή Πακέτων A.4 Επιλέγοντας IDE Στις προηγούμενες ενότητες έγινε περιγραφή της διαδικασίας βασικής εγκατάστασης της γλώσσας. Αυτό αρκεί για να μπορέσει κάποιος να κάνει χρήση της 75

88 Python.ωστόσο, υπάρχουν διαθέσιμα, τόσο ανοιχτού κώδικα όσο και εμπορικά εργαλεία, που σκοπό έχουν την αύξηση της παραγωγικότητας, την ευκολία και την καλύτερη οργάνωση της εργασίας με την Python. Τα ολοκληρωμένα περιβάλλοντα ανάπτυξης λογισμικού που είναι διαθέσιμα, μπορούν να καλύψουν τις διαφορετικές ανάγκες του προγραμματιστή, έχοντας το καθένα την δική του φιλοσοφία, τις δικές του ιδιαιτερότητες και τα δικά του κάθε φορά εργαλεία, όπως, debugger, profiler, επιλογή interpreter, διαχείριση πακέτων κλπ. Τα πιο σημαντικά από αυτά, που υπάρχουν και είναι ελέυθερα διαθέσιμα, είτε για προσωπική είτε για εκπαιδευτική χρήση, είναι τα παρακάτω. Α) Enthough Canopy 11 Είναι ένα εμπορικό πακέτο που περιλαμβάνει εκτός από το βασικό περιβάλλον (editor, debugger) και επιπλέον επιμέρους εργαλεία. Είναι διαθέσιμο για αγορά αλλά και δωρεάν στην έκδοση «κοινότητας» (community). Διατίθεται και ως πλήρες εκπαιδευτικό πακέτο, αποκλειστικά για εκπαιδευτικά ιδρύματα (για μαθητές, φοιτητές και καθηγητές) με απλή εγγραφή, η οποία δίνει πρόσβαση και σε μια πολύ αξιόλογη σειρά βίντεο μαθημάτων πάνω σε θέματα σχετικά με τα προϊόντα της εταιρείας και την χρήση τους, αλλά και για πολλά στοιχεία της γλώσσας python. Η εκπαιδευτική έκδοση περιλαμβάνει εκτός από την ετήσια δωρεάν πρόσβαση στα online tutorials, την πλήρη έκδοση του πακέτου σε δύο μορφές. Την σύντομη που περιέχει ένα μικρό σχετικά αριθμό βασικών πακέτων και την πλήρη που ενσωματώνει όλα τα διαθέσιμα πακέτα. Το πρόγραμμα εγκατάστασης που μπορεί να επιλέξει κάποιος έχει να κάνει με την αρχιτεκτονική του συστήματος (32 ή 64 bit) και την έκδοση της γλώσσας (2.x ή 3.x). Στο πακέτο περιλαμβάνεται και ο διερμηνευτής, οπότε δεν χρειάζεται προηγουμένως να εγκατασταθεί τίποτα άλλο. Στην εικόνα που ακολουθεί φαίνεται το περιβάλλον εργασίας

89 Β) Anaconda Spyder 12 Το πακέτο περιλαμβάνει μια συλλογή προγραμμάτων, που εκτός από το βασικό πρόγραμμα που ονομάζεται spyder (Scientific Python Development Environment), περιέχει και εξειδικευμένα εργαλεία για την οπτικοποίηση δεδομένων, την εργασία σε δωρεάν (δημόσια) ή επί πληρωμή (ιδιωτικά) bit buckets, αλλά και την χρήση του Ipython, ενός περιβάλλοντος προγραμματισμού σε βιβλία (notebooks) σε web περιβάλλον. Το πακέτο είναι ελεύθερα διαθέσιμο, σε Linux και Windows, 32 ή 64 bit, με δικό του διερμηνευτή (2.x ή 3.x). ακολουθεί εικόνα από το περιβάλλον του spyder. Γ) JetBrains PyCharm 13 Με την έκδοση community είναι ελεύθερα διαθέσιμο το συγκεκριμένο εμπορικό προϊόν, το οποίο δεν περιλαμβάνει interpreter και για αυτό μπορεί ο χρήστης να επιλέξει κάθε φορά όποιον θέλει. Αυτό επιτρέπει, σε ένα project με πολλά αρχεία python, να επιλέγεται κάθε φορά και διαφορετική έκδοση της γλώσσας, αλλά και διαφορετικός διερμηνευτής (python native ή anaconda πχ). Το δυνατό σημείο του PyCharm είναι ο ολοκληρωμένος και εύχρηστος debugger του. Άλλα αξιόλογα περιβάλλοντα είναι και τα Pydev για το Eclipse, Eric (από το μέλος των Monty Python, Eric Idle) κά

90 Συνοψίζοντας, και πέρα από το γεγονός ότι για την συγγραφή κώδικα δεν απαιτείται ούτε καν ένας απλός κειμενογράφος (λειτουργόντας αλληλεπιδραστικά στο ίδιο το κέλυφος της python), υπάρχει μια πληθώρα λύσεων σε ολοκληρωμένα περιβάλλοντα ανάπτυξης κώδικα. Οι λόγοι για να εγκατασταθεί ένα τέτοιο περιβάλλον είναι πολλοί: 1. Πολλαπλά παράθυρα ή καρτέλες 2. Αυτόματη συμπλήρωση κώδικα (code completion) 3. Χρωματική απόδοση συντακτικού (color syntax) 4. Αυτόματη δημιουργία και εύκολη διαχείριση εσοχών (auto indentation) 5. Δημιουργία σημείων διακοπής (breakpoints) 6. Προβολή τιμών μεταβλητών, πινάκων κλπ (variable browser watcher) 7. Ενσωματωμένο τερματικό (ά) και κονσόλας λειτουργικού 8. Παροχή άμεσης βοήθειας για το συντακτικό (tooltips) 9. Εντοπισμός λαθών (debugger) 10. Αναλυτής κώδικα (profiler analyzer) 11. Περιηγητής αρχείων και συναρτήσεων βιβλιοθηκών (file class/function browser) 12. Πλήρης συντάκτης (editor) 13. Διαχείριση πρόσθετων πακέτων (plugins) 14. Επιλογή εναλλακτικών στοιχείων προβολής κύριας οθόνης 15. Διαμόρφωση του περιβάλλοντος εργασίας σύμφωνα με τις ανάγκες του χρήστη 16. Ελεύθερα, ανοικτού κώδικα προγράμματα (free open source) 17. Ενσωμάτωση γραφικών απεικονίσεων (integrated plotting) 18. Παροχή βοήθειας A.5 Εγκατάσταση πακέτων 78

91 Ο τρόπος με τον οποίο έχει εγκατασταθεί η γλώσσα καθορίζει και τον τρόπο εγκατάστασης ή ενημέρωσης πακέτων που είναι διαθέσιμα για χρήση. Στις επόμενες παραγράφους περιγράφεται η διαδικασία εγκατάστασης των πακέτων Numpy και Scipy. Α) Python Package Index (pip) Το συγκεκριμένο εργαλείο εγκαθίσταται με την βασική εγκατάσταση της γλώσσας. Το pip είναι πρόγραμμα που τρέχει στην γραμμή εντολών και δέχεται διάφορες παραμέτρους. Η εντολή $pip εμφανίζει την λίστα των παραμέτρων της Με την εντολή $pip list εμφανίζονται όλα τα διαθέσιμα πακέτα Για την εμφάνιση λεπτομερειών σε σχέση με κάποιο πακέτο γράφουμε $pip show numpy Ενώ, για την εγκατάσταση ενός πακέτου αρκεί η εντολή $pip install numpy Β) Spyder conda Το εργαλείο διαχείρισης πακέτων conda, έρχεται με την εγκατάσταση του spyder. Λειτουργεί μα παρόμοιο τρόπο με το pip Γ) μέσω του IDE Σε περιβάλλοντα όπως το Canopy η διαχείριση των πακέτων γίνεται εύκολα και μέσω του ίδιου του προγράμματος, όπως φαίνεται και στην πιο κάτω εικόνα Δ) σε Linux Η εγκατάσταση πακέτων μπορεί να γίνει από τον διαχειριστή πακέτων του ίδιου του λειτουργικού συστήματος ή από την γραμμή εντολών όπως παρακάτω $sudo apt-get install python_numpy python_scipy 79

92 Η πιο πάνω εντολή έχει ως αποτέλεσμα την εγκατάσταση των πακέτων Numpy και Scipy. Ε) Σε Windows Σε περιβάλλοντα με Windows είναι προτιμότερη και ασφαλέστερη η χρήση ενός IDE που θα περιλαμβάνει όλες εκείνες τις βιβλιοθήκες που είναι απαραίτητες (όπως το spyder ή το canopy) ή ένα γραφικό περιβάλλον εγκατάστασης του πακέτου. Για τα Numpy και Scipy που είναι απαραίτητα για κωδικοποίηση επιστημονικών υπολογισμών, οι installers βρίσκονται στις πιο κάτω διευθύνσεις

93 Παράρτημα B - Πληροφορίες MPS αρχείων Α) Netlib: Name Equations Variables Nonzeros Solution 25fv ,85 80bau3b ,19 adlittle ,96 afiro ,75 agg ,00 agg ,00 agg ,00 bandm ,63 beaconfd ,49 blend ,00 bnl ,63 bnl ,24 boeing ,32 boeing ,87 bore3d ,08 brandy ,51 capri ,01 cycle ,23 czprob ,70 d2q06c ,21 d6cube ,49 degen ,18 degen ,29 dfl ,00 e ,75 etamacro ,72 fffff ,56 finnis ,07 fit1d ,38 fit1p ,38 fit2d ,29 fit2p ,29 forplan ganges ,74 gfrd-pnc ,00 greenbea ,00 greenbeb ,00 grow ,00 grow ,00 grow ,00 israel ,82 kb ,90 lotfi ,26 maros ,74 maros-r ,17 modszk ,62 nesm ,00 perold ,76 pilot ,49 pilot ,14 pilot ,71 pilot-ja ,14 pilotnov ,28 pilot-we ,00 qap ,50 qap qap

94 recipe ,62 sc ,20 sc ,20 sc50a ,58 sc50b ,00 scagr ,00 scagr ,00 scfxm ,76 scfxm ,26 scfxm ,25 scorpion ,12 scrs ,30 scsd ,67 scsd ,50 scsd ,00 sctap ,25 sctap ,81 sctap ,00 seba ,40 share1b ,32 share2b ,73 shell ,00 ship04l ,54 ship04s ,70 ship08l ,21 ship08s ,21 ship12l ,92 ship12s ,13 sierra ,00 stair ,27 standata ,70 standgub ,70 standmps ,02 stocfor ,98 stocfor ,41 stocfor ,78 truss ,85 tuff ,29 vtp-base ,46 wood1p ,44 woodw ,30 Β) Συλλογή Kennigton Name Equations Variables Nonzeros Solution cre-a ,00 cre-b ,00 cre-c ,00 cre-d ,00 ken ,00 ken ,00 ken ,00 ken ,00 osa ,52 osa ,84 osa ,87 osa ,50 pds ,00 pds ,00 pds ,00 pds ,00 Γ) infeasible problems Name Equations Variables Nonzeros bgdbg bgetam bgindy

95 bgprtr box ceria3d chemcom cplex cplex ex72a ex73a forest galenet gosh gran itest itest klein klein klein mondou pang pilot4i qual reactor refinery vol woodinfe Δ) Συλλογή Mittelmann Name Equations Variables Nonzeros Solution fome ,00 fome ,00 fome ,00 fome ,00 fome ,00 fome ,00 nug nug pds pds ,00 pds ,00 pds ,00 pds ,00 pds ,00 pds ,00 pds ,00 pds rail rail rail ,15 rail ,00 rail ,71 sgpf5y stormg2_ watson_ Ε) προβληματικά: σετ ΓΠ από την Ακαδημία Επιστημών της Ουγγαρίας Name Equations Variables Nonzeros Solution de ,00 de ,00 de ,92 gen ,00 gen ,29 gen ,00 iprob l ,95 83

96 Στ) στοχαστικά: σετ ΓΠ από την Ακαδημία Επιστημών της Ουγγαρίας Name Equations Variables Nonzeros Solution cep ,09 deter ,05 deter ,56 deter ,83 deter ,11 deter ,43 deter ,26 deter ,31 deter ,23 deter ,79 fxm fxm fxm3_ fxm3_ fxm4_ pgp ,32 pltexpa pltexpa pltexpa3_ pltexpa3_ pltexpa4_ sc205-2r ,07 sc205-2r ,39 sc205-2r ,00 sc205-2r ,07 sc205-2r ,11 sc205-2r ,39 sc205-2r ,00 sc205-2r ,07 sc205-2r ,76 sc205-2r ,39 sc205-2r ,42 sc205-2r ,07 scagr7-2b ,15 scagr7-2b ,33 scagr7-2b ,55 scagr7-2c ,03 scagr7-2c ,03 scagr7-2c ,61 scagr7-2r ,85 scagr7-2r ,15 scagr7-2r ,85 scagr7-2r ,82 scagr7-2r ,09 scagr7-2r ,15 scagr7-2r ,77 scagr7-2r ,10 scagr7-2r ,04 scagr7-2r ,15 scagr7-2r ,10 scfxm1-2b ,56 scfxm1-2b ,98 scfxm1-2b ,56 scfxm1-2c ,98 scfxm1-2r ,71 scfxm1-2r ,56 scfxm1-2r ,71 scfxm1-2r ,96 scfxm1-2r ,56 scfxm1-2r ,56 scfxm1-2r ,56 scfxm1-2r ,56 scfxm1-2r ,71 scrs8-2b ,10 84

97 scrs8-2b ,10 scrs8-2b ,45 scrs8-2c ,43 scrs8-2c ,16 scrs8-2c ,10 scrs8-2c ,88 scrs8-2c ,42 scrs8-2r ,35 scrs8-2r ,18 scrs8-2r ,16 scrs8-2r ,17 scrs8-2r ,18 scrs8-2r ,18 scrs8-2r ,10 scrs8-2r ,18 scrs8-2r-64b ,10 scrs8-2r ,97 scsd8-2b ,50 scsd8-2b ,25 scsd8-2b ,00 scsd8-2c ,00 scsd8-2c ,00 scsd8-2c ,00 scsd8-2r ,70 scsd8-2r ,00 scsd8-2r ,40 scsd8-2r ,00 scsd8-2r ,00 scsd8-2r ,50 scsd8-2r ,80 scsd8-2r ,85 scsd8-2r ,84 scsd8-2r ,00 scsd8-2r-8b ,00 sctap1-2b ,80 sctap1-2b ,25 sctap1-2b ,56 sctap1-2c ,40 sctap1-2c ,25 sctap1-2c ,39 sctap1-2r ,00 sctap1-2r ,00 sctap1-2r ,00 sctap1-2r ,50 sctap1-2r ,00 sctap1-2r ,50 sctap1-2r ,50 sctap1-2r ,25 sctap1-2r ,00 sctap1-2r ,50 sctap1-2r-8b ,00 stormg stormg stormg Z) διάφορα: από την Ακαδημία επιστημών της Ουγγαρίας Name Equations Variables Nonzeros Solution aa ,44 aa ,36 aa ,36 aa ,61 aa ,93 aa ,19 air ,00 air ,36 aircraft ,04 bas1lp ,00 85

98 baxter ,00 car ,46 cari ,89 ch ,37 co ,55 co ,43 complex ,67 cq ,81 cq ,71 cr ,02 crew ,56 dbic dbir ,00 dbir ,00 delf ,08 delf ,61 delf ,83 delf ,55 delf ,69 delf ,30 delf ,43 delf ,96 delf ,24 delf ,12 delf ,11 delf ,49 delf ,68 delf ,68 delf ,50 delf ,04 delf ,52 delf ,13 delf ,13 delf ,68 delf ,70 delf ,99 delf ,12 delf ,42 delf ,30 delf ,61 delf ,46 delf ,25 delf ,23 delf ,84 delf ,30 delf ,04 delf ,27 delf ,44 delf ,95 delf ,46 df ,00 disp ,52 ex3sta ,08 farm ,00 gams10a ,00 gams10am gams30a ,00 gams30am gams60am gas ,00 greenbei iiasa ,00 jendrec ,46 kent kl ,25 kleemin ,00 kleemin ,00 kleemin ,00 kleemin ,00 86

99 kleemin ,00 kleemin ,00 l ,00 large ,61 large ,42 large ,88 large ,49 large ,71 large ,85 large ,45 large ,61 large ,11 large ,82 large ,25 large ,58 large ,70 large ,01 large ,58 large ,53 large ,49 large ,68 large ,62 large ,53 large ,52 large ,13 large ,49 large ,45 large ,03 large ,45 large ,38 large ,71 large ,37 large ,48 large ,13 large ,03 large ,15 large ,84 large ,77 large ,61 large ,07 lp ,94 lpl lpl ,00 lpl ,00 mod ,00 model ,00 model ,62 model ,00 model ,49 model ,06 model ,45 model ,73 model ,69 model ,09 model ,00 model ,09 multi ,91 nemsafm ,37 nemscem ,33 nemsemm ,60 nemsemm ,57 nemspmm ,84 nemspmm ,84 nemswrld ,31 nl ,01 nsct ,00 nsct ,00 nsic ,00 nsic ,00 87

100 nsir ,00 nsir ,00 nug ,00 nug ,00 nug ,00 nug nug nw ,00 orna orna orna orna orna orswq ,18 p ,55 p ,92 p ,13 p ,28 p ,18 p ,00 pcb ,46 pcb ,42 pf ,00 pldd000b ,74 pldd001b ,81 pldd002b ,07 pldd003b ,03 pldd004b ,18 pldd005b ,15 pldd006b ,18 pldd007b ,04 pldd008b ,17 pldd009b ,54 pldd010b ,83 pldd011b ,97 pldd012b ,61 primagaz ,00 problem ,00 progas ,22 qiulp ,64 r ,86 rat ,66 rat ,01 rat7a ,42 refine ,80 rlfddd ,00 rlfdual ,00 rlfprim ,00 rosen ,74 rosen ,46 rosen ,51 rosen ,70 rosen ,68 route ,65 self seymourl ,85 slptsk ,90 small ,28 small ,63 small ,66 small ,44 small ,68 small ,17 small ,43 small ,88 small ,05 small ,91 small ,26 small ,89 88

101 small ,62 small ,96 small ,23 small ,68 small ,20 south ,00 sws t0331-4l ,03 testbig ,42 ulevimin ,00 us ,67 world ,00 Η) διάφορα: μοντέλα από τον Housam Binous Name Type Equations Variables Nonzeros Solution cracker1 LP cracker2 LP power LP

102 Παράρτημα C - Απεικόνιση αραιής μορφής αρχείων MPS 90

103 91

104 92

105 93

106 94