2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Transcript

1 . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό και τον μη-γραμμικό Προγραμματισμό διαφέρει από τις κλασικές μεθόδους γιατί ασχολείται με προβλήματα αριστοποίησης στα οποία οι περιορισμοί είναι ανισότητες της μορφής g( x) c ή g( x) c. Η χρήση ανισοτήτων καθιστά τα προβλήματα περισσότερο ενδιαφέροντα και ρεαλιστικά. Όμως, ταυτόχρονα καθιστά την χρήση διαφορικού λογισμού δύσκολη και σε πολλές περιπτώσεις αδύνατη. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός είναι σχετικά νεότερη μέθοδος αριστοποίησης η οποία δίνει απαντήσεις σε προβλήματα αριστοποίησης των οποίων η προσέγγιση με τις κλασσικές μεθόδους δεν είναι ικανοποιητική.. Γραμμικός Προγραμματισμός Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι η πιο απλή μορφή Μαθηματικού Προγραμματισμού στο οποίον τόσο η συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού όσο και οι περιορισμοί είναι γραμμικές συναρτήσεις των μεταβλητών επιλογής. Το τυπικό πρόβλημα μεγιστοποίησης με n μεταβλητές (αγνώστους) και m περιορισμούς έχει την μορφή n ) Max z c x, όπου n aijx j ri j i j j ) και x 0, j,,..., n, i,,..., m. j z είναι το αντικείμενο το οποίο μεγιστοποιείται (π.χ Κέρδος, Πρόσοδος). Οι άγνωστοι (μεταβλητές επιλογής) συμβολίζονται με x j και οι συντελεστές τους στην συνάρτηση αντικειμενικού Σκοπού με c j. Οι διαθέσιμοι πόροι (παραγωγικοί συντελεστές όπως η διαθέσιμη εργασία, το κεφάλαιο και η γη), προσδιορίζονται εξωγενώς και συμβολίζονται με r i. Οι συντελεστές των μεταβλητών επιλογής στους περιορισμούς συμβολίζονται με a ij. Το τυπικό πρόβλημα ελαχιστοποίησης έχει την μορφή a) Min z c j x, όπου n i j

2 n a) b x r και x j 0, j,,..., n, i,,..., m. j ij j i z είναι το αντικείμενο το οποίο ελαχιστοποιείται (π.χ Κόστος, Ζημία). Τα r i στην περίπτωση αυτή είναι μάλλον απαιτήσεις παρά διαθέσιμοι πόροι. Για παράδειγμα, σε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης του κόστους σιτηρεσίου είναι τα ελάχιστα ποσά βιταμινών, πρωτεϊνών, κ.λ.π. που μπορεί να γίνουν αποδεκτά. Το πρόβλημα της μεγιστοποίησης μπορεί να γραφεί με την βοήθεια πινάκων ως 3) Max z c x με Ax r και x 0, όπου c ( c,..., cn ), x ( x,..., xn ), r ( r,..., rm ) και A είναι ένας mxn πίνακας, a A a... a n m... a mn. Το πρόβλημα της ελαχιστοποίησης μπορεί να γραφεί με τον ίδιο τρόπο ως Min z c x με Ax r και x 0. Ο πλέον πρόσφορος τρόπος για την εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό είναι μέσω συγκεκριμένων παραδειγμάτων. μεγιστοποίησης με δύο μεταβλητές. Στην συνέχεια εξετάζουμε ένα πρόβλημα.3 Διαγραμματική Λύση Προβλήματα στα οποία εμφανίζονται μόνο δύο μεταβλητές επιλογής μπορούν να λυθούν διαγραμματικά. Έστω το πρόβλημα Max z 3x x με περιορισμούς x x 6 x x 8 x x x x 0, x 0. Το πρώτο βήμα για την διαγραμματική λύση είναι ο προσδιορισμός του χώρου των εφικτών λύσεων, δηλαδή των λύσεων εκείνων οι οποίες ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ταυτόχρονα. Ο χώρος των εφικτών λύσεων για το συγκεκριμένο πρόβλημα είναι η περιοχή ABCDEF στο Σχήμα. Κάθε σημείο που βρίσκεται στο εσωτερικό ή στα όρια της περιοχής αυτής αντιπροσωπεύει μια εφικτή λύση. Υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις. Η άριστη λύση προσδιορίζεται από την κλίση της συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού.

3 3 Στο Σχήμα οι παράλληλες γραμμές αντιπροσωπεύουν αυθαίρετες αυξήσεις στην z, κρατώντας σταθερή την κλίση της συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού. Η άριστη λύση λαμβάνει χώρα εκεί όπου περαιτέρω αυξήσεις στην z δεν είναι πλέον εφικτές. συγκεκριμένο παράδειγμα, η άριστη λύση βρίσκεται στην τομή των γραμμών () και (). Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων x x 6 και x x 8, έχουμε Στο x 3 και 3 x. Με βάση την άριστη λύση, έχουμε z. Η άριστη λύση σε προβλήματα 3 3 Γραμμικού Προγραμματισμού λαμβάνει χώρα πάντοτε σε ακραία (γωνιακά) σημεία του χώρου των εφικτών λύσεων Ανάλυση Ευαισθησίας Η ανάλυση ευαισθησίας στον Γραμμικό Προγραμματισμό είναι στο αντίστοιχο της Συγκριτικής Στατικής Ανάλυσης στα κλασικά υποδείγματα αριστοποίησης. Εφαρμόζεται μετά την λύση του προβλήματος για τον προσδιορισμό της ευαισθησίας της λύσης αυτής στις μεταβολές των παραμέτρων του προβλήματος. Η ανάλυση ευαισθησίας απαντά σε ερωτήματα όπως τα παρακάτω.. Πόσο θα μεταβληθεί η άριστη λύση αν μεταβληθούν κάποιες παράμετροι;. Μπορούμε να μειώσουμε κάποιo πόρο (συντελεστή παραγωγής) χωρίς να μεταβληθεί η άριστη λύση; 3. Ποιόν πόρο πρέπει να αυξήσουμε; Στην άριστη λύση κάποιοι πόροι εμφανίζονται να είναι σε αφθονία (πλεόνασμα) και ποιοι άλλοι σε έλλειμμα. Σε αφθονία είναι οι πόροι για τους οποίους στην άριστη λύση οι αντίστοιχοι περιορισμοί ικανοποιούνται ως αυστηρές ανισότητες ενώ σε έλλειμμα είναι αυτοί για τους οποίους στην άριστη λύση οι αντίστοιχοι περιορισμοί ικανοποιούνται ως ισότητες. που οι αντίστοιχος περιορισμός ικανοποιείται με ισότητα. Για τους πόρους σε έλλειμμα οι γραμμές των αντίστοιχων περιορισμών περνούν από την άριστη λύση, ενώ για τους πόρους σε πλεόνασμα δεν περνούν από την άριστη λύση. Συχνά, μας ενδιαφέρει να προσδιορίσουμε το ποσό κατά το οποίο οι πόροι σε αφθονία μπορούν να μειωθούν χωρίς να επηρεαστεί η άριστη λύση (αφού οι πόροι σε αφθονία δεν χρησιμοποιούνται πλήρως, μέρος τους θα μπορούσε να στραφεί σε άλλες δραστηριότητες).

4 4 Στο παράδειγμα που αναλύσαμε παραπάνω ο περιορισμός x αντιστοιχεί σε πόρο που είναι σε αφθονία αφού στην άριστη λύση x 3. Συνεπώς, μπορούμε να μειώσουμε την ποσότητα του πόρου αυτού κατά /3 μονάδες χωρίς να επηρεαστεί η άριστη λύση (η μείωση αυτή διαγραμματικά αντιστοιχεί με παράλληλη μετατόπιση της γραμμής του περιορισμού προς τα κάτω). Παρόμοια, ο περιορισμός x x ικανοποιείται σαν αυστηρή ανισότητα αφού στην άριστη λύση, x x. Συμπεραίνουμε λοιπόν, ότι ο αντίστοιχος πόρος μπορεί να μειωθεί κατά 3 μονάδες χωρίς να επηρεαστεί η άριστη λύση. Οι περιορισμοί x x 6 και x x 8, συνδέονται με πόρους οι οποίοι είναι σε έλλειμμα, αφού στην άριστη λύση ικανοποιούνται με ισότητες. Αύξηση της ποσότητας του πόρου που αντιστοιχεί στον πρώτο περιορισμό, παρουσιάζεται διαγραμματικά με παράλληλη μετατόπιση του τμήματος CD προς τα πάνω, ενσωματώνοντας έτσι όλο και μεγαλύτερα τμήματα του τριγώνου DCK το οποίο σχηματίζεται με επεκτάσεις των γραμμών () και (4) στο Σχήμα 3. Στο σημείο Κ, οι περιορισμοί () και (4) γίνονται δεσμευτικοί, ενώ ο περιορισμός () γίνεται μη-δεσμευτικός αφού περαιτέρω αύξηση του πόρου με τον οποίο συνδέεται ο () δεν έχει επίδραση στην νέα άριστη λύση. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι το απόθεμα του πόρου που είναι σε έλλειμμα πρέπει να αυξηθεί μέχρι του σημείου εκείνου όπου ο αντίστοιχος περιορισμός γίνεται περιττός (δηλαδή, περνά από την νέα άριστη λύση). Λύνοντας το σύστημα των περιορισμών () και (4) έχουμε x Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στον περιορισμό () έχουμε x 3, x (σημείο Κ). x 7, το οποίο σημαίνει ότι ο αντίστοιχος πόρος μπορεί να αυξηθεί κατά μία μονάδα. Τότε θα προκύψει αύξηση της z κατά 3 - /3 = /3 Επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία για τον πόρο που συνδέεται με τον περιορισμό () έχουμε x, x 0, που σημαίνει ότι ο πόρος αυτός μπορεί να αυξηθεί στις 6 μονάδες (δηλαδή κατά 4 μονάδες) και η αύξηση στην z θα είναι 8 - /3 = 5 /3 μονάδες (Σχήμα 4). Το ποιος πόρος πρέπει να αυξηθεί προκύπτει από τις απαντήσεις στο πρώτο ερώτημα. Η μέγιστη αύξηση στη z που πηγάζει από την μέγιστη επιτρεπόμενη αύξηση των πόρων που στην αρχική λύση ήταν σε έλλειμμα, δίνεται από τον τύπο d i dz, όπου dz είναι η αύξηση dr i του αντικείμενου μεγιστοποίησης (κέρδους, προσόδου) και dr i η μέγιστη επιτρεπόμενη αύξηση στον πόρο i. To d i είναι η σκιώδης τιμή (οριακή) αξιολόγηση του συγκεκριμένου

5 5 πόρου. Στο παράδειγμα μας, η σκιώδης τιμή για τον πόρο που συνδέεται με τον περιορισμό () είναι /3=((/3)/), ενώ για το πόρο που συνδέεται με τον περιορισμό () είναι 4/3=((5+/3)/4). Αυτό σημαίνει ότι η αύξηση του πόρου που συνδέεται με τον περιορισμό () πρέπει να έχει προτεραιότητα σε σχέση με αυτόν που συνδέεται με τον περιορισμό (). Αλλά σχετικά ερωτήματα είναι κατά πόσο μπορούμε να αλλάξουμε ένα συντελεστή στην συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού χωρίς να μεταβληθεί η άριστη λύση και κατά πόσο πρέπει να μεταβληθεί ένας συντελεστής στη συνάρτηση αυτή ώστε ένας φυσικός πόρος από πλεονασματικός να μετατραπεί σε ελλειμματικό (και αντίστροφα). Ας δηλώσουμε τους συντελεστές των μεταβλητών στην Συνάρτηση Αντικειμενικού Σκοπού με c και c, αντίστοιχα. Όταν ο c αυξάνεται ή ο c μειώνεται η συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού περιστρέφεται με την φορά των δεικτών του ωρολογίου. Το αντίστροφο συμβαίνει ότι ο c μειώνεται ή ο c αυξάνεται. Το σημείο C παραμένει άριστο όσο η κλίση της συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού βρίσκεται ανάμεσα στις κλίσεις των περιορισμών () και (). Αν κρατήσουμε τον c σταθερό, η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του c (για την οποία η C παραμένει άριστη λύση) μπορούν να προσδιοριστούν εξισώνοντας την κλίση της συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού με τις κλίσεις των περιορισμών () και (), αντίστοιχα. Από αυτά προκύπτει ότι το διάστημα στο οποίο μπορεί να λάβει τιμές το c και ταυτόχρονα το C να είναι το μοναδικό άριστο σημείο είναι (, 4). Όταν c, η άριστη γωνιακή λύση μπορεί να είναι είτε το C είτε το D. Όταν c 4, η άριστη γωνιακή λύση μπορεί να είναι είτε το C είτε το Β (Σχήμα 5). Μπορούμε τώρα να δούμε ότι όταν ο c είναι μικρότερος από το, ο πόρος που συνδέεται με τον περιορισμό γίνεται πλεονασματικός, ενώ αυτός που συνδέεται με τον περιορισμό 4 γίνεται ελλειμματικός. Οι σκιώδεις τιμές πλεονασματικών πόρων είναι μηδέν.

6 6 Ασκήσεις. Min z 0. 6x x, με 0x 4x 0 5x 5x 0 x 6x x, x 0 και να γίνει ανάλυση ευαισθησίας ως προς τους συντελεστές της συνάρτησης προσδιορισμού.. Max z 40x 30x, με x 6 x 8 x x 4 x, x 0 και να προσδιοριστούν οι σκιώδεις τιμές των πόρων που στην άριστη λύση βρίσκονται σε έλλειμμα.

7 7.4 Η Αλγεβρική Λύση Τυπική Μορφή Υποδείγματος Γενική μέθοδος για την λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού είναι η μέθοδος Simplex. Για την εφαρμογή της μεθόδου αυτής πρέπει το υπόδειγμα να γραφεί στην τυπική του μορφή. Η τυπική μορφή έχει τα εξής χαρακτηριστικά.. Όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις των οποίων το δεξιό μέρος είναι μη-αρνητικός αριθμός.. Όλες οι μεταβλητές είναι μη-αρνητικές. Μια ανισότητα της μορφής ( ) μετατρέπεται σε ισότητα με το να προστεθεί σε αυτή (να αφαιρεθεί από αυτή) μια μη αρνητική μεταβλητή (την οποία ονομάζουμε ψευδομεταβλητή). Το δεξιό μέρος μιας εξίσωσης μπορεί να μετατραπεί πάντοτε σε μη αρνητικό με το πολλαπλασιασμό και των δυο μελών της με το -. Τέλος η κατεύθυνση μιας ανισότητας μπορεί να αντιστραφεί με τον πολλαπλασιασμό και των δύο μελών με -. Σε κάποια προβλήματα εμφανίζονται μεταβλητές οι οποίες δεν υπόκεινται, ατομικά, σε περιορισμό. Για να φέρουμε τέτοια προβλήματα στην Τυπική Μορφή αντικαθιστούμε την μεταβλητή αυτή, έστω x i, με xi xi xi όπου x i και x i είναι μη-αρνητικές μεταβλητές. Η αντικατάσταση αυτή γίνεται τόσο στους περιορισμούς όσο και την συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού. Παράδειγμα Έστω το υπόδειγμα Min z x 3x, με x ελεύθερη και x x 0 x 3x 5 7x 4x 6 x 0 Για να φέρουμε το υπόδειγμα αυτό στην τυπική του μορφή, πολλαπλασιάζουμε τον δεύτερο περιορισμό με - και αφαιρούμε μια μη-αρνητική μεταβλητή (ψευδομεταβλητή), s 0 από το αριστερό μέρος της. Προσθέτουμε μια μη-αρνητική μεταβλητή s 3 0, στο αριστερό μέλος του τρίτου περιορισμού. Επιπλέον, με δεδομένο ότι η x είναι ελεύθερη, την αντικαθιστούμε με x x x. Έτσι το υπόδειγμα γράφεται ως Min z x x 3x, με

8 8 x x x x x 3x 7x 7x 4x x, x, x, s, s 0 3 s 0. s Η Μέθοδος SIMPLEX Η μέθοδος SIMPLEX βασίζεται σε μια επαναληπτική διαδικασία η οποία αρχίζει από ένα εφικτό γωνιακό σημείο (συνήθως από την αρχή των αξόνων) και κινείται συστηματικά από το ένα εφικτό γωνιακό σημείο στο άλλο μέχρι να φτάσει στο άριστο. Τα προβλήματα στο Γραμμικό Προγραμματισμό έχουν n αγνώστους και m περιορισμούς, όπου n > m. Η τυπική μορφή του προβλήματος που εξετάσαμε στο τμήμα.3 είναι Max z 3x s με περιορισμούς x 0s 0s 0s3 0 x x s 6 x x s 8 x x s3 x s4 x, x, s, s, s, s Υπάρχουν συνεπώς 6 μεταβλητές (άγνωστοι) και 4 περιορισμοί. Με δεδομένο ότι οι άγνωστοι είναι περισσότεροι από τους περιορισμούς, τα γωνιακά σημεία μπορούν να προσδιοριστούν αν θέσουμε τις n-m μεταβλητές μηδέν και λύσουμε για τις υπόλοιπες m. Για παράδειγμα, στην αρχή των αξόνων (γωνιακό σημείο Α στο Σχήμα ), x x 0 και από το σύστημα των περιορισμών έχουμε s 6, s 8, s, s. Ενώ στο γωνιακό σημείο 3 4 Β (Σχήμα ), x s 0 και από το σύστημα των περιορισμών έχουμε x 4, s, s 5, s. 3 4 Προϋπόθεση για την επιλογή των n-m μεταβλητών οι οποίες θα τεθούν ίσες με το μηδέν είναι ότι το σύστημα που σχηματίζουν οι υπόλοιπες m να έχει μία και μόνο λύση στην οποία οι m μεταβλητές είναι όλες μη-αρνητικές. Οι μεταβλητές που τίθενται ίσες με το μηδέν ονομάζονται μη-βασικές. Οι υπόλοιπες, οι τιμές των οποίων προκύπτουν από την λύση του συστήματος των περιορισμών ονομάζονται βασικές. Στο πρόβλημα που εξετάζουμε η ( 3 4 x, x, s, s, s, s ) (0,0,6,8,,) και η x, x, s, s, s, s ) (4,0,,0,5, ) ονομάζονται εφικτές βασικές λύσεις. ( 3 4 Βήμα.

9 9 Έστω ότι επιλέγουμε την λύση x, x, s, s, s, s ) (0,0,6,8,, ) για να ξεκινήσουμε ( 3 4 την επαναληπτική διαδικασία της SIMPLEX. Η λύση αυτή ονομάζεται αρχική-εφικτή-βασική. Με την επιλογή αυτή, οι πληροφορίες που περιέχονται στην συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού και στους περιορισμούς συνοψίζονται στον Πίνακα. Πίνακας * Στήλες (k) Βασικές z x x s s s 3 s 4 Τρέχουσα Γραμμές (r) Μεταβλητές Βασική Εφικτή Λύση z s s s s *, Η συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού έχει εκφραστεί ως z 3x x 0s 0s 0s 0s Βήμα. Επιλέγουμε ανάμεσα στις μη-βασικές μεταβλητές κάποια που όταν η τιμή της αυξηθεί πάνω από το μηδέν αυξάνει την τιμή της συνάρτησης αντικειμενικού Σκοπού. Αν δεν υπάρχει τέτοια μεταβλητή η τρέχουσα βασική-εφικτή λύση (η αρχική στο πρόβλημα που εξετάζουμε) είναι η άριστη. Αν υπάρχει τέτοια μεταβλητή τότε συνεχίζουμε στο Βήμα 3. Στο παράδειγμα μας οι δυο μη-βασικές μεταβλητές έχουν αρνητικά πρόσημα στον Πίνακα, τα οποία αντιστοιχούν σε θετικά πρόσημα στην συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού. Αφού μεγιστοποιούμε, η τιμή της z μπορεί να αυξηθεί είτε με την αύξηση της x είτε με την αύξηση της x. Πάντοτε διαλέγουμε την μεταβλητή αυτή που έχει τον πιο αρνητικό συντελεστή επειδή η εμπειρία έχει δείξει ότι με τον τρόπο αυτό η άριστη λύση επιτυγχάνεται πιο γρήγορα. Τα παραπάνω συνοψίζονται στην συνθήκη αριστοποίησης της μεθόδου SIMLEX:

10 0 «Στην περίπτωση της μεγιστοποίησης, όταν όλες οι μη-βασικές μεταβλητές έχουν μη-αρνητικά πρόσημα στο σχετικό πίνακα (γραμμή συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού) η τρέχουσα βασικήεφικτή λύση είναι άριστη. Αλλιώς, η μη-βασική μεταβλητή με τον πλέον αρνητικό συντελεστή εισάγεται στην βάση (γίνεται βασική)». Η μεταβλητή αυτή ονομάζεται εισερχόμενη. Στην περίπτωση μας η εισερχόμενη μεταβλητή είναι η x. Βήμα 3. Επιλέγουμε ανάμεσα στις βασικές μεταβλητές κάποια η οποία θα φύγει από τη βάση (θα γίνει μη-βασική) ώστε η τελευταία να συμπεριλάβει την εισερχόμενη μεταβλητή. Η βασική μεταβλητή που μετατρέπεται σε μη-βασική ονομάζεται εξερχόμενη. Η εξερχόμενη προσδιορίζεται από την συνθήκη του εφικτού της μεθόδου SIMPLEX: «Εξερχόμενη γίνεται η βασική μεταβλητή η οποία συνδέεται με τον πλέον δεσμευτικό περιορισμό» Από την στήλη αριθ. του πίνακα που αντιστοιχεί στην x φαίνεται ότι αύξηση της μεταβλητής αυτής κατά μια μονάδα πρέπει να συνοδεύεται από μείωση της βασικής μεταβλητής s κατά μία μονάδα ώστε να μην παραβιαστεί ο πρώτος από τους περιορισμούς του προβλήματος. Με δεδομένο ότι στην αρχική βασική-εφικτή λύση υπάρχουν 6 μονάδες της s, ο μέγιστος αριθμός των μονάδων της x που μπορούν να εισαχθούν είναι 6. Από την ίδια στήλη του Πίνακα φαίνεται ότι για κάθε μονάδα της x που εισάγεται πρέπει να αφαιρούνται μονάδες από την βασική μεταβλητή s ώστε να μην παραβιαστεί ο δεύτερος από τους περιορισμούς του προβλήματος. Με δεδομένο ότι στην αρχική βασική-εφικτή λύση υπάρχουν 8 μονάδες της s ο μέγιστος αριθμός μονάδων της x που μπορεί να εισαχθεί χωρίς να παραβιαστεί ο δεύτερος περιορισμός είναι 4. Από το τέταρτο στοιχείο της στήλης φαίνεται ότι για την εισαγωγή μιας μονάδας από την x πρέπει να αφαιρεθούν 0 μονάδες της s 4 ώστε ο τέταρτος περιορισμός να μην παραβιαστεί. Με άλλα λόγια, η αύξηση της x μπορεί να είναι απεριόριστη χωρίς να παραβιαστεί ο εν λόγω περιορισμός. Τέλος, από το τρίτο στοιχείο της στήλης προκύπτει ότι αύξηση της x πρέπει να συνοδεύεται από αύξηση της s 3. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι ο πλέον δεσμευτικός περιορισμός συνδέεται με την βασική μεταβλητή s. Συνοψίζοντας, για να προσδιορίσουμε την εξερχόμενη επικεντρώνουμε την προσοχή μας στα στοιχεία της στήλης της εισερχόμενης που είναι αυστηρά θετικά και υπολογίζουμε

11 τους λόγους xbi όπου i a ij xb είναι η τιμή της ith βασικής στην τρέχουσα εφικτή-βασική λύση και a ij είναι το στοιχείο του Πίνακα που αντιστοιχεί στην ith βασική και στην jth μηβασική (εισερχόμενη). Η βασική για την οποία ο λόγος xb a ij i είναι ο μικρότερος γίνεται s s εξερχόμενη. Στο παράδειγμα μας οι λόγοι είναι {(, ) (6/, 8/ )} a a και ο μικρότερος συνδέεται με την s. Ο περιορισμός στον οποίον αντιστοιχεί η εξερχόμενη μεταβλητή ονομάζεται κεντρική εξίσωση, ενώ το στοιχείο που βρίσκεται στην τομή της στήλης του Πίνακα που αντιστοιχεί στην εισερχόμενη και της γραμμής του Πίνακα που αντιστοιχεί στην κεντρική εξίσωση, ονομάζεται κεντρικό σημείο. Βήμα 4. Κατασκευή Νέου Πίνακα Το κεντρικό σημείο και η κεντρική εξίσωση παίζουν ιδιαίτερα σημαντικό ρόλο στην κατασκευή νέου πίνακα ο οποίος αντιστοιχεί στις νέες βασικές και μη-βασικές μεταβλητές. Συγκεκριμένα:. Τα στοιχεία της γραμμής της κεντρικής εξίσωσης αλλάζουν με βάση τον τύπο rj a a / a rj rk, όπου a rk είναι το κεντρικό σημείο.. Τα υπόλοιπα στοιχεία, συμπεριλαμβανομένων και αυτών της συνάρτησης ij αντικειμενικού σκοπού, αλλάζουν με βάση τον τύπο a a (( a )( a ))/ a ij ik rj rk, r i. Με δεδομένη την αρίθμηση των στηλών και γραμμών που έχουμε υιοθετήσει στον Πίνακα, a rk a (κεντρικό σημείο του Πίνακα ) και a a / a, a a / a /, a a / a 0, a /, a a, a a / a 4 είναι τα στοιχεία της γραμμής αριθ. στον νέο πίνακα. Επίσης, a a ( a xa )/ a 0, a a ( a xa )/ a 3/,

12 a a ( a xa )/ a /, a a ( a xa )/ a, a 0, a 0, a0 a0 ( axa0)/ a, a0 a0 ( a0xa)/ a 0, a0 a0 ( a0xa)/ a / κ.ο.κ. Ο νέος πίνακας (Πίνακας ) είναι Πίνακας Βασικές Μεταβλητές z x x S s s 3 s 4 Τρέχουσα Βασική Εφικτή Λύση z 0 -/ 0 3/ 0 0 s 0 0 3/ -/ 0 0 x 0 / 0 ½ s / 0 ½ 0 5 s Βήμα 5. Επανάληψη των Βημάτων -4. Αφού υπάρχει μη-βασική μεταβλητή με αρνητικό συντελεστή στην συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού η νέα τρέχουσα εφικτή βασική λύση ( x, x, s, s, s3, s4 ) ( 4, 0,, 0, 5, ) δεν είναι η άριστη. Έτσι, η διαδικασία επαναλαμβάνεται. Η εισερχόμενη μεταβλητή είναι η x. Έχουμε όμως για την εφαρμογή της συνθήκης εφικτού 4/3, 8, 0/3, και που αντιστοιχούν στον πρώτο, τον δεύτερο, τον τρίτο και τον τέταρτο περιορισμό αντίστοιχα. Συνεπώς η μεταβλητή s είναι η εξερχόμενη με κεντρικό σημείο a 3/. Εργαζόμενοι όπως παραπάνω, οδηγούμαστε στον Πίνακα 3. Στον Πίνακα αυτό δεν υπάρχει μη-βασική μεταβλητή με αρνητικό συντελεστή στην συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού το οποίο σημαίνει ότι η λύση που εμφανίζεται στον Πίνακα 3 είναι η άριστη. Βασικές Μεταβλητές Πίνακας 3 Τρέχουσα Βασική z x x s s s 3 s 4 Εφικτή Λύση (Άριστη) z 0 0 /3 4/3 0 0 /3 x 0 0 /3 -/ /3 x 0 0 -/3 / /3 s s /3 /3 0 /3

13 3 Για την περίπτωση της ελαχιστοποίησης του κόστους η εισερχόμενη μεταβλητή είναι αυτή με τον μεγαλύτερο θετικό συντελεστή (αφού max z = min (-z), με τους ίδιους περιορισμούς). Για την εφαρμογή της συνθήκης του εφικτού χρησιμοποιούμε τους αυστηρά θετικούς λόγους διαλέγουμε για εξερχόμενη αυτή στην οποία αντιστοιχεί ο μικρότερος λόγος. Πληροφορίες που Εμφανίζονται στον Τελικό Πίνακα της SIMPLEX α) Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού Στην άριστη λύση αντικειμενικού σκοπού έχουμε β) Η Κατάσταση των Διαθέσιμων Πόρων x 3 και x. Αντικαθιστώντας στην συνάρτηση 3 3 z 3x(3 ) x( ), όπως εμφανίζεται στον Πίνακα Οι τιμές των μεταβλητών si, i,, 3, 4 στον τελικό πίνακα μας δίνουν πληροφορίες για την κατάσταση των διαθέσιμων πόρων. Οι μεταβλητές s και s δεν εμφανίζονται στην στήλη της βασικής εφικτής λύσης. Είναι μη-βασικές και η τιμή τους είναι μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι στην άριστη λύση οι διαθέσιμοι πόροι που συνδέονται με τις μεταβλητές αυτές εξαντλούνται πλήρως (πόροι ελλειμματικοί) ή ισοδύναμα ότι οι αντίστοιχοι περιορισμοί είναι δεσμευτικοί. Οι μεταβλητές s 3 και s 4 έχουν θετική τιμή. Αυτό σημαίνει ότι αντίστοιχοι πόροι δεν εξαντλούνται πλήρως στην άριστη λύση (πόροι σε αφθονία) ή ισοδύναμα ότι οι αντίστοιχοι περιορισμοί δεν είναι δεσμευτικοί. βασικής εφικτής λύσης είναι τα πλεονάσματα των πόρων αυτών. 3) Οι σκιώδεις τιμές (οριακές αξιολογήσεις) των πόρων. Οι τιμές των s 3 και s 4 στη στήλη της Έχουμε αναφέρει ότι η σκιώδης τιμή ενός πόρου η είναι αύξηση στην μέγιστη τιμή της συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού από μια επιπλέον μονάδα από τον πόρο αυτό. Οι σκιώδεις τιμές των πόρων σε αφθονία είναι μηδέν αφού η αύξηση τους δεν συμβάλει στην αύξηση της μέγιστης τιμής της συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού. Οι σκιώδεις τιμές των ελλειμματικών πόρων είναι θετικές. Οι σκιώδεις τιμές όλων των πόρων εμφανίζονται στην γραμμή r 0 του τελικού πίνακα (Πίνακας 3).

14 4 Παράδειγμα Max z 40x 30x, με x 6 x 8 x x 4 x, x 0 Λύση Η τυπική μορφή του υποδείγματος είναι Max z 40x 30x 0s 0s 0s x s x x, x s x x 6 8, s, s s 3, s 0. 3, 4 3 ή x x s 0 0 s s Οι μεταβλητές είναι 5 και οι περιορισμοί είναι 3. Η αρχική εφικτή βασική λύση είναι x, x, s, s, s ) (0,0,6,8,4). Με την λύση αυτή σχηματίζουμε τον πρώτο ( 3 πίνακα (Πίνακας )της SIMPLEX. Η εισερχόμενη μεταβλητή είναι η x, η εξερχόμενη είναι η s και το κεντρικό σημείο είναι a. Χρησιμοποιώντας τους τύπους που αναφέρθηκαν παραπάνω υπολογίζουμε τα στοιχεία του νέου πίνακα (Πίνακας ). Η εισερχόμενη μεταβλητή είναι τώρα η x, η εξερχόμενη είναι η s 3 και το κεντρικό σημείο είναι το a 3. Υπολογίζουμε τα στοιχεία του νέου πίνακα (Πίνακας 3), ο οποίος δίνει την άριστη λύση. Πίνακας Βασικές Μεταβλητές z x x s s s 3 Τρέχουσα Βασική Εφικτή Λύση z s s s

15 5 Πίνακας Βασικές Μεταβλητές z x x s s s 3 Τρέχουσα Βασική Εφικτή Λύση z x s s Πίνακας 3 Βασικές Μεταβλητές z x x s s s 3 Τρέχουσα Βασική Εφικτή Λύση (Άριστη) z x s / -/ 4 x 0 0 -/ 0 / 4 Ασκήσεις. Max z 4x 3x με x. x 4 6 και x, x. 0. Max z 4x 3x με 3 x. x 5 και x, x. 0

16 6.5 Η Τεχνητή Αρχική Λύση Στα προβλήματα που εξετάσαμε μέχρι τώρα οι περιορισμοί είχαν την μορφή ( ) και η αρχική εφικτή βασική λύση ήταν εύκολο να προσδιοριστεί (απλά θέταμε τις x μεταβλητές ίσες με μηδέν). Όταν όμως οι περιορισμοί είναι της μορφής ( ), όπως συχνά εμφανίζονται σε προβλήματα ελαχιστοποίησης, η προσέγγιση αυτή δεν εξασφαλίζει πάντοτε μια αρχική εφικτή βασική λύση. Για παράδειγμα, στο πρόβλημα: Min z x x, με x x x 4 x, x 0. η επιλογή x x 0 δεν είναι συμβατή με τους περιορισμούς. Σε τέτοιες περιπτώσεις μετασχηματίζουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τεχνητές μεταβλητές. Οι μεταβλητές αυτές απλά μας βοηθούν να ξεκινήσουμε την Simplex και δεν έχουν κανένα οικονομικό νόημα από την πλευρά του αρχικού προβλήματος. Για το λόγο αυτό οι τεχνητές μεταβλητές στην άριστη λύση πρέπει να είναι ίσες με το μηδέν. Για να το πετύχουμε αυτό (και επειδή το πρόβλημα είναι ελαχιστοποίηση) δίνουμε στις τεχνητές μεταβλητές πολύ μεγάλους θετικούς συντελεστές στην συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού. Με άλλα λόγια «τιμωρούμε» (με την έννοια της αύξησης στην τιμή της συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού) για την ύπαρξη τέτοιων μεταβλητών σε επίπεδο διαφορετικό από το μηδέν στην άριστη λύση. Έστω R και R οι μη-αρνητικές τεχνητές μεταβλητές και M ο πολύ μεγάλος θετικός συντελεστής τους στην συνάρτηση του αντικειμενικού σκοπού. Το μετασχηματισμένο πρόβλημα γράφεται ως Min x x z x 4 x, x, R, R x R x MR MR R 0. με τυπική μορφή Min x x z x x, x, s, s x s s R x MR MR R 4, R, R 0., με, με

17 7 Για το μετασχηματισμένο πρόβλημα η s, s, x, x, R, R ) (0,0,0,0,,4) είναι η αρχική ( βασική εφικτή λύση. Πριν κατασκευάσουμε τον πρώτο πίνακα της Simplex εκφράζουμε τους συντελεστές των μεταβλητών επιλογής και των ψευδομεταβλητών στην z ως συναρτήσεις του M. Συγκεκριμένα, από περιορισμούς R (x R 4 ( x s x ) s ) και αντικαθιστώντας, η συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού γίνεται z x x 0s 0s M ( x x z x ( M ) x ( M ) Ms Ms s ) M (4 x 6M s ) με βάση την οποία ο πρώτος πίνακας (Πίνακας ) είναι Πίνακας Βασικές Μεταβλητές z x x s s R R Βασική Εφικτή Λύση z Μ- Μ- -Μ -Μ 0 0 6Μ R R Το πρόβλημα είναι ελαχιστοποίησης, συνεπώς εισερχόμενη θα είναι η μη-βασική μεταβλητή με τον πλέον αρνητικό συντελεστή στην συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού (ή ισοδύναμα, η μη-βασική με τον μεγαλύτερο θετικό συντελεστή στην γραμμή αριθ. 0 του Πίνακα). Οι x. Η x και η x είναι έχουν το ίδιο ακριβώς συντελεστή. Σε τέτοιες περιπτώσεις επιλέγουμε την εισερχόμενη αυθαίρετα. Έστω x είναι η εισερχόμενη. Τότε η εξερχόμενη είναι η R. Ο επόμενος είναι ο Πίνακας. Βασικές Μεταβλητές Πίνακας z x x s s R R Βασική Εφικτή Λύση z 0 Μ-/ -/ -Μ -Μ+/ 0 4Μ+6 x 0 / -/ 0 ½ 0 6 R

18 8 Η x είναι εισερχόμενη και η R είναι εξερχόμενη και ο τελικός Πίνακας είναι ο Πίνακας 3. Πίνακας 3 Βασικές Μεταβλητές z x x S S R R Βασική Εφικτή Λύση z 0 0 -/ -/ -Μ+/ -Μ+/ 8 x 0 -/ / -/ / -/ 4 x Η λύση που παρουσιάζεται στον Πίνακα 3 είναι η άριστη. Παρατηρούμε ότι οι τεχνητές μεταβλητές είναι μηδέν και η τιμή της z δεν εξαρτάται από το Μ. Παρατηρούμε επίσης ότι οι περιορισμοί στο αρχικό πρόβλημα ήταν δεσμευτικοί αφού και οι δύο ψευδομεταβλητές στην άριστη λύση είναι ίσες με το μηδέν. 3x x 4x x, x 3x x x Άσκηση Min z (Υπόδειξη: περιορισμούς). 4x x, με Τεχνητές μεταβλητές θα χρησιμοποιηθούν μόνο για τους δυο πρώτους

19 9.6 Το Δυϊκό Πρόβλημα Μέχρι τώρα έχουμε αναλύσει την μεγιστοποίηση και την ελαχιστοποίηση σαν δυο διαφορετικά προβλήματα. Στην πραγματικότητα όμως σε κάθε πρόβλημα μεγιστοποίησης αντιστοιχεί ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης (και το αντίστροφο) με την ιδιότητα οι άριστες λύσεις από τα δυο προβλήματα να είναι ακριβώς ίδιες. Αυτό έχει ιδιαίτερη σημασία αφού μας επιτρέπει να επιλέξουμε να λύσουμε το πιο εύκολο από τα δύο προβλήματα. πρόβλημα Έστω το παρακάτω υπόδειγμα μεγιστοποίησης το οποίο το ονομάζουμε αρχικό Max z 3x 4x 3x x 3. x 4 x 3 3 με,, και x, x, x Στο υπόδειγμα αυτό αντιστοιχεί ένα υπόδειγμα ελαχιστοποίησης το οποίο ονομάζουμε δυϊκό πρόβλημα και έχει τη μορφή Min z * y 4y, με y 4. y 3 3 4, και y, y 0. 3 Οι x, x, x3 ονομάζονται αρχικές μεταβλητές και οι y,y ονομάζονται δυϊκές μεταβλητές. Για να σχηματίσουμε το δυϊκό πρόβλημα:. Αλλάζουμε το Max σε Min. Αλλάζουμε την κατεύθυνση των ανισοτήτων από () σε ( ). 3. Αναστρέφουμε το διάνυσμα των σταθερών όρων στα δεξιά των περιορισμών του αρχικού προβλήματος και το πολλαπλασιάζουμε με το διάνυσμα των δυϊκών μεταβλητών ώστε να σχηματίσουμε την δυϊκή συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού, z * y 4 y. 4. Αναστρέφουμε τον πίνακα των συντελεστών των περιορισμών στο αρχικό πρόβλημα και τον πολλαπλασιάζουμε με τις δυϊκές μεταβλητές ώστε να προκύψουν οι περιορισμοί του δυϊκού. αρνητικές. 5. Οι δυϊκές μεταβλητές υπόκεινται όπως και οι αρχικές στον περιορισμό ότι δεν είναι

20 0 Για το αρχικό πρόβλημα ελαχιστοποίησης Min z 4x 3x 8x 3 με, 0 0. x x 5 3, και x, x, x3 0, x το αντίστοιχο Δυϊκό είναι Max z * y 5y, με 0 0. y y 4 3, και y, y 0. 8 Σχέσεις Ανάμεσα στο Αρχικό και Δυϊκό Πρόβλημα. Αν το αρχικό πρόβλημα έχει n μεταβλητές απόφασης ( x j, j,,... n ) και m ψευδομεταβλητές ( si, i,,... m ) τότε το δυϊκό θα έχει m μεταβλητές απόφασης ( y i ) και n ψευδομεταβλητές ( s j ).. Αν στην άριστη λύση του αρχικού x j 0, η αντίστοιχη ψευδομεταβλητή του δυϊκού θα είναι s j 0. Αν στην άριστη λύση του αρχικού x j 0, τότε s j Αν στην άριστη λύση του αρχικού s i 0, τότε y i 0. Αν s i 0, τότε y i Στην άριστη λύση η τιμή των συναρτήσεων αντικειμενικού σκοπού είναι ακριβώς ίδια και στα δύο προβλήματα. Παράδειγμα με Ανάλυση της Οικονομικής Σημασίας των Αποτελεσμάτων Έστω το Αρχικό πρόβλημα Max z 3x 5x, με x 4 x 3x x, x x 0. 8 το Δυϊκό του είναι Min z*4 y y 8y3, με y 3y3 3 y y3 5 y, y, y 0. 3

21 Ο τελικός πίνακας για το αρχικό πρόβλημα είναι Τελικός Πίνακας Αρχικού Βασικές Μεταβλητές Z x x s s s 3 Άριστη Λύση z s x x ενώ ο τελικός πίνακας για το Δυϊκό (το οποίο λύθηκε με την χρήση Τεχνητών Μεταβλητών) είναι Τελικός Πίνακας Δυϊκού Βασικές Μεταβλητές z* y y y 3 s s Άριστη Λύση z* Y Y Από τον τελικό πίνακα του αρχικού προβλήματος έχουμε ( x, x, s, s, s3) (, 6,, 0, 0) και από τον τελικό πίνακα του δυϊκού έχουμε y, y, y, s, s ) (0,.5,,0,0 ). Όπως ( 3 αναφέρθηκε παραπάνω, σε κάθε μεταβλητή απόφασης στο αρχικό αντιστοιχεί μια ψευδομεταβλητή στο δυϊκό και για κάθε ψευδομεταβλητή στο αρχικό αντιστοιχεί μια μεταβλητή απόφασης στο δυϊκό. Έχουμε λοιπόν τα ζεύγη ( x, s 0), ( x 6, s 0), ( s, y 0), ( s 0, y.5), ( s3 0, y3 Οι πόροι οι οποίοι αντιστοιχούν στον δεύτερο και στον τρίτο περιορισμό του αρχικού προβλήματος είναι πόροι σε έλλειμμα αφού στην άριστη λύση έχουμε s s 0. Ο πόρος ). 3 που αντιστοιχεί στον πρώτο περιορισμό του αρχικού είναι πλεονασματικός αφού στην άριστη λύση έχουμε s 0. Οι σκιώδεις τιμές των πόρων είναι οι συντελεστές των ψευδομεταβλητών s, s, s3 στην γραμμή αριθ. 0 του τελικού πίνακα για το αρχικό πρόβλημα. Για τον πλεονασματικό πόρο η σκιώδης τιμή είναι μηδέν και για τους

22 ελλειμματικούς οι σκιώδεις τιμές είναι.5 για αυτόν που αντιστοιχεί στον δεύτερο περιορισμό και για αυτόν που αντιστοιχεί στον τρίτο περιορισμό του αρχικού προβλήματος. Οι τιμές των μεταβλητών απόφασης στην άριστη λύση του δυϊκού προβλήματος όμως είναι y, y.5, y. Με δεδομένο ότι σε κάθε ψευδομεταβλητή στο αρχικό αντιστοιχεί 0 3 μια μεταβλητή απόφασης (επιλογής) στο δυϊκό, συμπεραίνουμε ότι οι τιμές των μεταβλητών απόφασης στην άριστη λύση του δυϊκού δεν είναι τίποτε άλλο παρά οι σκιώδεις τιμές (οριακές αξιολογήσεις) των διαθέσιμων πόρων στην άριστη λύση του αρχικού. Συνεπώς από την άριστη λύση του δυϊκού μπορούμε αμέσως να συμπεράνουμε ποιοι πόροι στο αρχικό πρόβλημα είναι πλεονασματικοί και ποιοι ελλειμματικοί και επιπλέον να προσδιορίσουμε τις σκιώδεις τιμές των πόρων αυτών. Οι τιμές των μεταβλητών επιλογής και των ψευδομεταβλητών στο αρχικό δεν είναι τίποτε άλλο παρά οι συντελεστές των ψευδομεταβλητών και των μεταβλητών επιλογής, αντίστοιχα, στην γραμμή αριθ. 0 (συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού) στον τελικό πίνακα του δυϊκού. Συγκεκριμένα, με δεδομένα τα ζεύγη που αναφέρθηκαν παραπάνω, ο συντελεστής της y σημαίνει ότι το πλεόνασμα του πρώτου πόρου στην άριστη λύση του αρχικού είναι ( s ). Οι y και y 3 έχουν συντελεστή μηδέν που σημαίνει ότι οι αντίστοιχοι πόροι στην άριστη λύση του αρχικού χρησιμοποιούνται πλήρως ( s s 0 ). Οι συντελεστές των 3 ψευδομεταβλητών στην άριστη λύση του δυϊκού (γραμμή αριθ. 0) είναι οι τιμές των μεταβλητών απόφασης στην άριστη λύση του αρχικού προβλήματος. Με άλλα λόγια, οι σκιώδεις τιμές στην άριστη λύση του δυϊκού δεν είναι τίποτε άλλο οι τιμές των μεταβλητών επιλογής στην άριστη λύση του αρχικού προβλήματος. Συγκεκριμένα, ο συντελεστής της s είναι που σημαίνει ότι στην άριστη λύση του αρχικού η τιμή της x είναι επίσης, ενώ ο συντελεστής της s είναι 6 που σημαίνει ότι στην άριστη λύση του αρχικού προβλήματος η τιμή της x είναι επίσης 6. Στο αρχικό πρόβλημα επιλέγουμε τις x, x για να μεγιστοποιήσουμε το κέρδος ή την πρόσοδο με δεδομένους τους πόρους. Στο δυϊκό επιλέγουμε τις σκιώδεις τιμές των πόρων του αρχικού για να ελαχιστοποιήσουμε το συνολικό σκιώδης κόστος, * z r i y, όπου r im είναι το απόθεμα του κάθε πόρου όπως εμφανίζεται στους περιορισμούς του αρχικού προβλήματος. i i

23 3.7 Η Δυϊκή SIMPLEX Όταν ο σκοπός στο αρχικό πρόβλημα είναι η μεγιστοποίηση στο δυϊκό είναι η ελαχιστοποίηση. Στην ελαχιστοποίηση εμφανίζονται περιορισμοί της μορφής ( ). Τέτοια προβλήματα λύθηκαν στο τμήμα.5 με τεχνητές μεταβλητές. Μια εναλλακτική μέθοδος αντιμετώπισης προβλημάτων με περιορισμούς ( ) είναι η δυϊκή SIMPLEX. Η διαφορά της δυϊκής SIMPLEX από την συνηθισμένη SIMPLEX είναι ότι στην δυϊκή αρχίζουμε από μηεφικτή λύση και με επαναλήψεις επιδιώκουμε την άριστη (και φυσικά εφικτή). Έστω παρακάτω πρόβλημα Min z x x, με 3x x 3 4x 3x 6 x x 3 x, x 0. Αυτό το υπόδειγμα θα μπορούσε να λυθεί με την χρήση τεχνητών μεταβλητών. Όμως εδώ επιλέγουμε να το λύσουμε με την δυϊκή SIMPLEX. Βήμα. Φέρνουμε το υπόδειγμα σε Κανονική Μορφή. Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι περιορισμοί έχουν την μορφή ( ). Επιτρέπεται (σε αντίθεση με την τυπική μορφή) τα δεξιά μέλη των περιορισμών να είναι αρνητικά. Αν υπάρχει περιορισμός ισότητα μετατρέπεται σε δυο ανισότητες. Παράδειγμα, αν ο τρίτος περιορισμός ήταν x x 3 θα τον αντικαθιστούσαμε με δύο ανισότητες x x 3 και x x 3 x x 3. Η κανονική μορφή του προβλήματος που εξετάζουμε, είναι Min z x x, με 3x x 3 4x 3x 6 x x 3 x, x 0. Προσθέτουμε τις μη-αρνητικές ψευδομεταβλητές για να μετατρέψουμε τις ανισότητες σε ισότητες Min z x x, με 3x x s 3 4x 3x s 6 x x s3 3 x, x, s, s, s 0. 3

24 4 Βήμα. Θέτουμε x x 0 από το οποίο προκύπτει s 3, s 6, s 3, η οποία είναι 3 προφανώς μια μη-εφικτή λύση. Ο Πίνακας αντιστοιχεί στην λύση αυτή. Συνθήκη Εφικτού: Η εξερχόμενη μεταβλητή είναι η βασική με την πλέον αρνητική τιμή. Αν όλες οι βασικές είναι μη-αρνητικές τότε η άριστη λύση έχει επιτευχθεί και η διαδικασία τερματίζεται. Στο παράδειγμα μας η πλέον αρνητική από τις βασικές είναι η s, συνεπώς αυτή είναι η εξερχόμενη. Πίνακας Βασικές Μεταβλητές z x x s s s 3 Βασική Λύση Z s s s Συνθήκη Αριστοποίησης: Σχηματίζουμε τους λόγους συντελεστών των μη-βασικών μεταβλητών στην γραμμή r=0 (γραμμή της συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού) ως προς τους αντίστοιχους συντελεστές στην γραμμή της εξερχόμενης μεταβλητές, αγνοώντας όλους τους λόγους με θετικό ή μηδενικό παρανομαστή. Στην ελαχιστοποίηση, η εισερχόμενη μεταβλητή είναι αυτή στην οποία αντιστοιχεί ο μικρότερος από τους λόγους. Στην μεγιστοποίηση εισερχόμενη είναι αυτή που αντιστοιχεί ο λόγος με την μικρότερη απόλυτη τιμή. Αν όλοι oι οι παρανομαστές είναι μηδέν ή θετικοί τότε το πρόβλημα δεν έχει εφικτή λύση. Στο παράδειγμα μας οι λόγοι που μας ενδιαφέρουν είναι 4 εισερχόμενη μεταβλητή είναι η x και το κεντρικό σημείο είναι a και 3 rk a Συνεπώς, η Βήμα 3. Υπολογίζουμε τον νέο πίνακα (Πίνακα ) με βάση τους τύπους που χρησιμοποιούμε και στην συνηθισμένη SIMPLEX. Πίνακας Χαρακτηριστικό της δυϊκής SIMPLEX είναι ότι αρχίζει με μη-εφικτές λύση και με επαναλήψεις επιδιώκει την εφικτή (και άριστη).

25 5 Βασικές Μεταβλητές z x x s s s 3 Βασική Λύση z -/ /3 0 s 0-5/3 0 -/3 0 - x 0 4/3 0 -/3 0 s 3 0-5/3 0 0 /3 - Η λύση συνεχίζει να είναι μη-εφικτή και μία από τις s και s 3 θα είναι η εξερχόμενη αφού η τιμή και των δυο είναι -. Σε τέτοιες περιπτώσεις διαλέγουμε αυθαίρετα. Στο παράδειγμα μας διαλέγουμε την s. Η εισερχόμενη είναι η x. Επαναλαμβάνουμε τους υπολογισμούς και η άριστη εφικτή λύση δίνεται στον Πίνακα 3. Πίνακας Βασικές Μεταβλητές z x x s s s 3 Βασική Λύση z 0 0 -/5 -/5 0 /5 x 0 0-3/5 /5 0 3/5 x 0 0 4/5-3/5 0 6/5 s Άσκηση Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα με την Δυϊκή SIMPLEX. Min z x x, με x x x 4 x, x 0.

26 6 g ( x) k b k.8 Μη- Γραμμικός Προγραμματισμός Στον Γραμμικό Προγραμματισμό τόσο οι περιορισμοί όσο και η συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού είναι γραμμικές. Αυτό σε αρκετές περιπτώσεις είναι μη-ρεαλιστικό Ο μη-γραμμικός προγραμματισμός έχει αναπτυχθεί για την λύση προβλημάτων στα οποία οι σχετικές συναρτήσεις είναι μη-γραμμικές. Το τυπικό μεγιστοποίησης πρόβλημα στο μη-γραμμικό Προγραμματισμό είναι 3 Max y f ( x) x k=,,, m. όπου x και b είναι nx και mx διανύσματα, αντίστοιχα. Το σύνολο των σημείων x για τα οποία { x: g ( x) b 0} ονομάζεται εφικτό. k k Οι συνθήκες πρώτης τάξης (αναγκαίες) για την λύση του ανωτέρω προβλήματος δίνονται από το Θεώρημα Kuhn-Tucker. * * * * Σύμφωνα με το αυτό, αν το διάνυσμα x x, x,..., x n είναι η λύση του προβλήματος τότε υπάρχει ένα διάνυσμα * * * *,,..., m έτσι ώστε για τη συνάρτηση Lagrange L( x, ) f ( b g ( x)) * * και για το διάνυσμα ( x, ) να ισχύουν m k k k k ) ) 3) L x i L b 0, k f x k i k m k g ( b k gk k x k k i 0, 0, i,,..., n L gk ) k 0, k,,..., m. Αν επιπλέον από το πρόβλημα απαιτείται x 0 για κάποιο i, τότε η () παίρνει την μορφή L L 4) 0, xi 0. x x i i i Για πρόβλημα ελαχιστοποίησης οι ανισότητες αναστρέφονται. Οι πολλαπλασιαστές Lagrange είναι μη-αρνητικοί στην μεγιστοποίηση και μη-θετικοί στην ελαχιστοποίηση. 3 Στην ελαχιστοποίηση οι ανισότητες στους περιορισμούς αντιστρέφονται.

27 7 Το Θεώρημα Kuhn-Tucker παρέχει τις αναγκαίες συνθήκες για αριστοποίηση. Στην περίπτωση όμως κατά την οποία η f είναι κοίλη (κυρτή) και όλες οι g k είναι κυρτές (κοίλες) οι συνθήκες () - (4) είναι και ικανές συνθήκες για μεγιστοποίηση (ελαχιστοποίηση). Η ιδιότητες κοίλη ή κυρτή σε προβλήματα αριστοποίησης γενικά ονομάζονται συνθήκες κανονικότητας. Στα προβλήματα στα οποία υπάρχουν περιορισμοί της μορφής x i 0, οι άριστες λύσεις είναι δυνατόν να αντιστοιχούν είτε σε σημεία που βρίσκονται στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού της f είτε στα όρια του πεδίου ορισμού. Αν η μέγιστη τιμή αντιστοιχεί σε σημείο που βρίσκεται στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού (δηλαδή, x 0) τότε από την L συνθήκη (4) πρέπει 0. Αν η μέγιστη τιμή αντιστοιχεί σε σημείο που βρίσκεται στα x i i * όρια του πεδίου ορισμού (δηλαδή x i * 0), τότε L 0 ή x i L 0. Οι τρεις αυτές x i περιπτώσεις παρουσιάζονται στο Σχήμα 6. Στην περίπτωση αριθ. 3 η μείωση του x i θα οδηγούσε σε αύξηση της y. Αρνητικά x i, όμως δεν ανήκουν στις εφικτές λύσεις. Σύμφωνα με την συνθήκη (3) αν k 0, τότε L 0. Αν όμως, l k 0 τότε L 0 k l k ή L 0. Οι πολλαπλασιαστές Lagrange στα προβλήματα με ανισότητες είναι (όπως και σε l k αυτά με ισότητες) οι οριακές αξιολογήσεις των περιορισμών. Όταν ένας περιορισμός είναι δεσμευτικός η οριακή του αξιολόγηση είναι θετική αφού η «χαλάρωση» του περιορισμού θα έχει σαν αποτέλεσμα να αυξηθεί η μέγιστη τιμή της συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού. Η «χαλάρωση» μη δεσμευτικών περιορισμών δεν επηρεάζει την μέγιστη τιμή της συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού και σαν αποτέλεσμα η οριακή τους αξιολόγηση είναι μηδενική. Παραδείγματα. max U U( X, X ) px px M, X, X 0 όπου U είναι μια κοίλη συνάρτηση χρησιμότητας, pκαι p οι τιμές των αγαθών, Μ το χρηματικό εισόδημα και Χ, Χ οι ποσότητες των αγαθών. Λύση

28 8 Για προβλήματα μεγιστοποίησης μετατρέπουμε όλους τους περιορισμούς στην μορφή bk gk ( x) 0 ενώ για προβλήματα ελαχιστοποίησης τους μετατρέπουμε στην μορφή bk gk ( x) 0. Πολλαπλασιάζουμε με τους συντελεστές Lagrange κάθε περιορισμό και σχηματίζουμε την συνάρτηση L U( X, X ) ( M px px ). Οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι L U L a) p 0, X 0 X X X L U L b) p 0, X 0 X X X L L c) M px px 0, 0. Έστω ότι στην άριστη λύση X, X 0. Τότε, U p και U p ή U U και καταναλώνονται θετικές ποσότητες και από τα δύο αγαθά. Ο p p πολλαπλασιαστής Lagrange είναι η οριακή χρησιμότητα του χρηματικού εισοδήματος. Αν 0 ο εισοδηματικός περιορισμός δεν είναι δεσμευτικός, έχει επέλθει κορεσμός και ο καταναλωτής δεν θα καταναλώσει περισσότερες μονάδες από κανένα από τα δυο αγαθά ακόμα και οι τιμές τους ήταν μηδέν (για 0 οι οριακές χρησιμότητες είναι μηδέν!!!). Έστω τώρα ότι στην άριστη λύση 0, Χ > 0 και U p 0 X 0. Αυτό σημαίνει U U ή MRS p p U p. Ο καταναλωτής αξιολογεί το αγαθό U p λιγότερο από ότι η αγορά σε όλα τα σημεία κατά μήκος μιας καμπύλης αδιαφορίας, έτσι δεν καταναλώνει αυτό το αγαθό (Σχήμα 7).. Έστω μια επιχείρηση έχει συναρτήσεις προσόδου και κόστους R 3Q Q και C Q 8Q 4, αντίστοιχα, όπου Q είναι το επίπεδο του προϊόντος. Έστω επίσης το κέρδος που πρέπει να έχει η επιχείρηση είναι 8. Υποθέτουμε ότι η επιχείρηση θέλει να μεγιστοποιήσει την πρόσοδο. Max R 3Q Q R C 8, Q 0. Λύση L 3Q Q ( 4Q Q ), με συνθήκες πρώτης τάξεως

29 9 L a) 3Q ( 44Q) 0, Q L 0 Q Q L L b) 4Q Q 0, 0. Για να λύσουμε προβλήματα αυτού του είδους χρησιμοποιούμε την διαδικασία «δοκιμής-λάθους». Ειδικότερα, αρχίζουμε με την υπόθεση ότι η μεταβλητή (ή οι μεταβλητές) επιλογής είναι μηδέν για να απλοποιήσουμε τις συνθήκες πρώτης τάξης. Αν από την υπόθεση αυτή προκύψουν μη-αρνητικοί πολλαπλασιαστές Lagrange οι οποίοι είναι συμβατοί με τις συνθήκες πρώτης τάξης τότε δεχόμαστε την μηδενική λύση. Αν με αυτή την υπόθεση παραβιάζονται συνθήκες πρώτης τάξης, τότε δοκιμάζουμε μια λύση για την οποία μια ή περισσότερες μεταβλητές επιλογής είναι αυστηρά θετικές. Για κάθε αυστηρά θετική μεταβλητή επιλογής μετατρέπουμε μια από τις συνθήκες πρώτης τάξης, οι οποίες είναι ανισότητες, σε ισότητα. Από την ισότητα αυτή θα προκύψει είτε μια αποδεκτή λύση είτε μια αντίφαση. Για Q = 0, η (b) συνεπάγεται - > 0. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι Q πρέπει να είναι αυστηρά θετικό και η (α) πρέπει να ισχύει σαν ισότητα με δυο αγνώστους, Q και. πολλαπλασιαστής όμως μπορεί να είναι είτε μηδέν είτε αυστηρά θετικός. Αν είναι μηδέν, από την (α) έχουμε Q= 6 το οποίο σημαίνει ότι L 50 (αντίφαση με την (b)). Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η (b) πρέπει να ισχύει σαν ισότητα 4Q Q 0. Η τελευταία έχει δυο λύσεις, Q = και Q =. Μόνο η πρώτη από τις δύο αυτές λύσεις είναι συμβατή με L Q 0. Ο λόγος είναι ότι η πρώτη συνεπάγεται 0 ενώ η δεύτερη συνεπάγεται αρνητικό πολλαπλασιαστή Lagrange (αντίφαση). Ο Η μέθοδος «δοκιμής-λάθους» μπορεί να εφαρμοστεί σε προβλήματα με μικρό αριθμό μεταβλητών επιλογής αφού οι συνδυασμοί που πρέπει να ελεγχθούν για n μεταβλητές είναι n Για προβλήματα με 3 ή παραπάνω μεταβλητές επιλογής πρέπει να χρησιμοποιηθούν ειδικά προγράμματα σε ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Ασκήσεις. Έστω η συνάρτηση ζήτησης για το προϊόν μιας επιχείρησης είναι p 0 Q, ενώ η συνάρτηση του κόστους παραγωγής είναι C Q 8Q. α) Ποιο επίπεδο παραγωγής μεγιστοποιεί το συνολικό κέρδος;

30 30 β) Ποιο επίπεδο παραγωγής μεγιστοποιεί την συνολική πρόσοδο; γ) Ποιο επίπεδο παραγωγής μεγιστοποιεί την συνολική πρόσοδο με τον περιορισμό ότι το κέρδος είναι τουλάχιστον Έστω ότι η συνάρτηση χρησιμότητας ενός καταναλωτή είναι U X X. Ποιος είναι ο άριστος συνδυασμός των ποσοτήτων των αγαθών με περιορισμούς 3X 4X 0, 0 X 5, X,, 0.

31 3 Χώρος Εφικτών Λύσεων Σχήμα

32 3 Χ Ζ Ζ Ζ Ζ Άριστη Λύση Χ Σχήμα Χ Ζ E D K Νέα Άριστη Λύση F C B Χ Σχήμα 3

33 33 Χ Ζ E D K F C Λ Σχήμα 4 B Νέα Άριστη Λύση Χ Χ Μείωση του C ή Αύξηση του C E D F C Μείωση του C ή Αύξηση του C Σχήμα 5 B Χ