2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ"

Transcript

1 . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό και τον μη-γραμμικό Προγραμματισμό διαφέρει από τις κλασικές μεθόδους γιατί ασχολείται με προβλήματα αριστοποίησης στα οποία οι περιορισμοί είναι ανισότητες της μορφής g( x) c ή g( x) c. Η χρήση ανισοτήτων καθιστά τα προβλήματα περισσότερο ενδιαφέροντα και ρεαλιστικά. Όμως, ταυτόχρονα καθιστά την χρήση διαφορικού λογισμού δύσκολη και σε πολλές περιπτώσεις αδύνατη. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός είναι σχετικά νεότερη μέθοδος αριστοποίησης η οποία δίνει απαντήσεις σε προβλήματα αριστοποίησης των οποίων η προσέγγιση με τις κλασσικές μεθόδους δεν είναι ικανοποιητική.. Γραμμικός Προγραμματισμός Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι η πιο απλή μορφή Μαθηματικού Προγραμματισμού στο οποίον τόσο η συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού όσο και οι περιορισμοί είναι γραμμικές συναρτήσεις των μεταβλητών επιλογής. Το τυπικό πρόβλημα μεγιστοποίησης με n μεταβλητές (αγνώστους) και m περιορισμούς έχει την μορφή n ) Max z c x, όπου n aijx j ri j i j j ) και x 0, j,,..., n, i,,..., m. j z είναι το αντικείμενο το οποίο μεγιστοποιείται (π.χ Κέρδος, Πρόσοδος). Οι άγνωστοι (μεταβλητές επιλογής) συμβολίζονται με x j και οι συντελεστές τους στην συνάρτηση αντικειμενικού Σκοπού με c j. Οι διαθέσιμοι πόροι (παραγωγικοί συντελεστές όπως η διαθέσιμη εργασία, το κεφάλαιο και η γη), προσδιορίζονται εξωγενώς και συμβολίζονται με r i. Οι συντελεστές των μεταβλητών επιλογής στους περιορισμούς συμβολίζονται με a ij. Το τυπικό πρόβλημα ελαχιστοποίησης έχει την μορφή a) Min z c j x, όπου n i j

2 n a) b x r και x j 0, j,,..., n, i,,..., m. j ij j i z είναι το αντικείμενο το οποίο ελαχιστοποιείται (π.χ Κόστος, Ζημία). Τα r i στην περίπτωση αυτή είναι μάλλον απαιτήσεις παρά διαθέσιμοι πόροι. Για παράδειγμα, σε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης του κόστους σιτηρεσίου είναι τα ελάχιστα ποσά βιταμινών, πρωτεϊνών, κ.λ.π. που μπορεί να γίνουν αποδεκτά. Το πρόβλημα της μεγιστοποίησης μπορεί να γραφεί με την βοήθεια πινάκων ως 3) Max z c x με Ax r και x 0, όπου c ( c,..., cn ), x ( x,..., xn ), r ( r,..., rm ) και A είναι ένας mxn πίνακας, a A a... a n m... a mn. Το πρόβλημα της ελαχιστοποίησης μπορεί να γραφεί με τον ίδιο τρόπο ως Min z c x με Ax r και x 0. Ο πλέον πρόσφορος τρόπος για την εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό είναι μέσω συγκεκριμένων παραδειγμάτων. μεγιστοποίησης με δύο μεταβλητές. Στην συνέχεια εξετάζουμε ένα πρόβλημα.3 Διαγραμματική Λύση Προβλήματα στα οποία εμφανίζονται μόνο δύο μεταβλητές επιλογής μπορούν να λυθούν διαγραμματικά. Έστω το πρόβλημα Max z 3x x με περιορισμούς x x 6 x x 8 x x x x 0, x 0. Το πρώτο βήμα για την διαγραμματική λύση είναι ο προσδιορισμός του χώρου των εφικτών λύσεων, δηλαδή των λύσεων εκείνων οι οποίες ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ταυτόχρονα. Ο χώρος των εφικτών λύσεων για το συγκεκριμένο πρόβλημα είναι η περιοχή ABCDEF στο Σχήμα. Κάθε σημείο που βρίσκεται στο εσωτερικό ή στα όρια της περιοχής αυτής αντιπροσωπεύει μια εφικτή λύση. Υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις. Η άριστη λύση προσδιορίζεται από την κλίση της συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού.

3 3 Στο Σχήμα οι παράλληλες γραμμές αντιπροσωπεύουν αυθαίρετες αυξήσεις στην z, κρατώντας σταθερή την κλίση της συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού. Η άριστη λύση λαμβάνει χώρα εκεί όπου περαιτέρω αυξήσεις στην z δεν είναι πλέον εφικτές. συγκεκριμένο παράδειγμα, η άριστη λύση βρίσκεται στην τομή των γραμμών () και (). Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων x x 6 και x x 8, έχουμε Στο x 3 και 3 x. Με βάση την άριστη λύση, έχουμε z. Η άριστη λύση σε προβλήματα 3 3 Γραμμικού Προγραμματισμού λαμβάνει χώρα πάντοτε σε ακραία (γωνιακά) σημεία του χώρου των εφικτών λύσεων Ανάλυση Ευαισθησίας Η ανάλυση ευαισθησίας στον Γραμμικό Προγραμματισμό είναι στο αντίστοιχο της Συγκριτικής Στατικής Ανάλυσης στα κλασικά υποδείγματα αριστοποίησης. Εφαρμόζεται μετά την λύση του προβλήματος για τον προσδιορισμό της ευαισθησίας της λύσης αυτής στις μεταβολές των παραμέτρων του προβλήματος. Η ανάλυση ευαισθησίας απαντά σε ερωτήματα όπως τα παρακάτω.. Πόσο θα μεταβληθεί η άριστη λύση αν μεταβληθούν κάποιες παράμετροι;. Μπορούμε να μειώσουμε κάποιo πόρο (συντελεστή παραγωγής) χωρίς να μεταβληθεί η άριστη λύση; 3. Ποιόν πόρο πρέπει να αυξήσουμε; Στην άριστη λύση κάποιοι πόροι εμφανίζονται να είναι σε αφθονία (πλεόνασμα) και ποιοι άλλοι σε έλλειμμα. Σε αφθονία είναι οι πόροι για τους οποίους στην άριστη λύση οι αντίστοιχοι περιορισμοί ικανοποιούνται ως αυστηρές ανισότητες ενώ σε έλλειμμα είναι αυτοί για τους οποίους στην άριστη λύση οι αντίστοιχοι περιορισμοί ικανοποιούνται ως ισότητες. που οι αντίστοιχος περιορισμός ικανοποιείται με ισότητα. Για τους πόρους σε έλλειμμα οι γραμμές των αντίστοιχων περιορισμών περνούν από την άριστη λύση, ενώ για τους πόρους σε πλεόνασμα δεν περνούν από την άριστη λύση. Συχνά, μας ενδιαφέρει να προσδιορίσουμε το ποσό κατά το οποίο οι πόροι σε αφθονία μπορούν να μειωθούν χωρίς να επηρεαστεί η άριστη λύση (αφού οι πόροι σε αφθονία δεν χρησιμοποιούνται πλήρως, μέρος τους θα μπορούσε να στραφεί σε άλλες δραστηριότητες).

4 4 Στο παράδειγμα που αναλύσαμε παραπάνω ο περιορισμός x αντιστοιχεί σε πόρο που είναι σε αφθονία αφού στην άριστη λύση x 3. Συνεπώς, μπορούμε να μειώσουμε την ποσότητα του πόρου αυτού κατά /3 μονάδες χωρίς να επηρεαστεί η άριστη λύση (η μείωση αυτή διαγραμματικά αντιστοιχεί με παράλληλη μετατόπιση της γραμμής του περιορισμού προς τα κάτω). Παρόμοια, ο περιορισμός x x ικανοποιείται σαν αυστηρή ανισότητα αφού στην άριστη λύση, x x. Συμπεραίνουμε λοιπόν, ότι ο αντίστοιχος πόρος μπορεί να μειωθεί κατά 3 μονάδες χωρίς να επηρεαστεί η άριστη λύση. Οι περιορισμοί x x 6 και x x 8, συνδέονται με πόρους οι οποίοι είναι σε έλλειμμα, αφού στην άριστη λύση ικανοποιούνται με ισότητες. Αύξηση της ποσότητας του πόρου που αντιστοιχεί στον πρώτο περιορισμό, παρουσιάζεται διαγραμματικά με παράλληλη μετατόπιση του τμήματος CD προς τα πάνω, ενσωματώνοντας έτσι όλο και μεγαλύτερα τμήματα του τριγώνου DCK το οποίο σχηματίζεται με επεκτάσεις των γραμμών () και (4) στο Σχήμα 3. Στο σημείο Κ, οι περιορισμοί () και (4) γίνονται δεσμευτικοί, ενώ ο περιορισμός () γίνεται μη-δεσμευτικός αφού περαιτέρω αύξηση του πόρου με τον οποίο συνδέεται ο () δεν έχει επίδραση στην νέα άριστη λύση. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι το απόθεμα του πόρου που είναι σε έλλειμμα πρέπει να αυξηθεί μέχρι του σημείου εκείνου όπου ο αντίστοιχος περιορισμός γίνεται περιττός (δηλαδή, περνά από την νέα άριστη λύση). Λύνοντας το σύστημα των περιορισμών () και (4) έχουμε x Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στον περιορισμό () έχουμε x 3, x (σημείο Κ). x 7, το οποίο σημαίνει ότι ο αντίστοιχος πόρος μπορεί να αυξηθεί κατά μία μονάδα. Τότε θα προκύψει αύξηση της z κατά 3 - /3 = /3 Επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία για τον πόρο που συνδέεται με τον περιορισμό () έχουμε x, x 0, που σημαίνει ότι ο πόρος αυτός μπορεί να αυξηθεί στις 6 μονάδες (δηλαδή κατά 4 μονάδες) και η αύξηση στην z θα είναι 8 - /3 = 5 /3 μονάδες (Σχήμα 4). Το ποιος πόρος πρέπει να αυξηθεί προκύπτει από τις απαντήσεις στο πρώτο ερώτημα. Η μέγιστη αύξηση στη z που πηγάζει από την μέγιστη επιτρεπόμενη αύξηση των πόρων που στην αρχική λύση ήταν σε έλλειμμα, δίνεται από τον τύπο d i dz, όπου dz είναι η αύξηση dr i του αντικείμενου μεγιστοποίησης (κέρδους, προσόδου) και dr i η μέγιστη επιτρεπόμενη αύξηση στον πόρο i. To d i είναι η σκιώδης τιμή (οριακή) αξιολόγηση του συγκεκριμένου

5 5 πόρου. Στο παράδειγμα μας, η σκιώδης τιμή για τον πόρο που συνδέεται με τον περιορισμό () είναι /3=((/3)/), ενώ για το πόρο που συνδέεται με τον περιορισμό () είναι 4/3=((5+/3)/4). Αυτό σημαίνει ότι η αύξηση του πόρου που συνδέεται με τον περιορισμό () πρέπει να έχει προτεραιότητα σε σχέση με αυτόν που συνδέεται με τον περιορισμό (). Αλλά σχετικά ερωτήματα είναι κατά πόσο μπορούμε να αλλάξουμε ένα συντελεστή στην συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού χωρίς να μεταβληθεί η άριστη λύση και κατά πόσο πρέπει να μεταβληθεί ένας συντελεστής στη συνάρτηση αυτή ώστε ένας φυσικός πόρος από πλεονασματικός να μετατραπεί σε ελλειμματικό (και αντίστροφα). Ας δηλώσουμε τους συντελεστές των μεταβλητών στην Συνάρτηση Αντικειμενικού Σκοπού με c και c, αντίστοιχα. Όταν ο c αυξάνεται ή ο c μειώνεται η συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού περιστρέφεται με την φορά των δεικτών του ωρολογίου. Το αντίστροφο συμβαίνει ότι ο c μειώνεται ή ο c αυξάνεται. Το σημείο C παραμένει άριστο όσο η κλίση της συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού βρίσκεται ανάμεσα στις κλίσεις των περιορισμών () και (). Αν κρατήσουμε τον c σταθερό, η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του c (για την οποία η C παραμένει άριστη λύση) μπορούν να προσδιοριστούν εξισώνοντας την κλίση της συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού με τις κλίσεις των περιορισμών () και (), αντίστοιχα. Από αυτά προκύπτει ότι το διάστημα στο οποίο μπορεί να λάβει τιμές το c και ταυτόχρονα το C να είναι το μοναδικό άριστο σημείο είναι (, 4). Όταν c, η άριστη γωνιακή λύση μπορεί να είναι είτε το C είτε το D. Όταν c 4, η άριστη γωνιακή λύση μπορεί να είναι είτε το C είτε το Β (Σχήμα 5). Μπορούμε τώρα να δούμε ότι όταν ο c είναι μικρότερος από το, ο πόρος που συνδέεται με τον περιορισμό γίνεται πλεονασματικός, ενώ αυτός που συνδέεται με τον περιορισμό 4 γίνεται ελλειμματικός. Οι σκιώδεις τιμές πλεονασματικών πόρων είναι μηδέν.

6 6 Ασκήσεις. Min z 0. 6x x, με 0x 4x 0 5x 5x 0 x 6x x, x 0 και να γίνει ανάλυση ευαισθησίας ως προς τους συντελεστές της συνάρτησης προσδιορισμού.. Max z 40x 30x, με x 6 x 8 x x 4 x, x 0 και να προσδιοριστούν οι σκιώδεις τιμές των πόρων που στην άριστη λύση βρίσκονται σε έλλειμμα.

7 7.4 Η Αλγεβρική Λύση Τυπική Μορφή Υποδείγματος Γενική μέθοδος για την λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού είναι η μέθοδος Simplex. Για την εφαρμογή της μεθόδου αυτής πρέπει το υπόδειγμα να γραφεί στην τυπική του μορφή. Η τυπική μορφή έχει τα εξής χαρακτηριστικά.. Όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις των οποίων το δεξιό μέρος είναι μη-αρνητικός αριθμός.. Όλες οι μεταβλητές είναι μη-αρνητικές. Μια ανισότητα της μορφής ( ) μετατρέπεται σε ισότητα με το να προστεθεί σε αυτή (να αφαιρεθεί από αυτή) μια μη αρνητική μεταβλητή (την οποία ονομάζουμε ψευδομεταβλητή). Το δεξιό μέρος μιας εξίσωσης μπορεί να μετατραπεί πάντοτε σε μη αρνητικό με το πολλαπλασιασμό και των δυο μελών της με το -. Τέλος η κατεύθυνση μιας ανισότητας μπορεί να αντιστραφεί με τον πολλαπλασιασμό και των δύο μελών με -. Σε κάποια προβλήματα εμφανίζονται μεταβλητές οι οποίες δεν υπόκεινται, ατομικά, σε περιορισμό. Για να φέρουμε τέτοια προβλήματα στην Τυπική Μορφή αντικαθιστούμε την μεταβλητή αυτή, έστω x i, με xi xi xi όπου x i και x i είναι μη-αρνητικές μεταβλητές. Η αντικατάσταση αυτή γίνεται τόσο στους περιορισμούς όσο και την συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού. Παράδειγμα Έστω το υπόδειγμα Min z x 3x, με x ελεύθερη και x x 0 x 3x 5 7x 4x 6 x 0 Για να φέρουμε το υπόδειγμα αυτό στην τυπική του μορφή, πολλαπλασιάζουμε τον δεύτερο περιορισμό με - και αφαιρούμε μια μη-αρνητική μεταβλητή (ψευδομεταβλητή), s 0 από το αριστερό μέρος της. Προσθέτουμε μια μη-αρνητική μεταβλητή s 3 0, στο αριστερό μέλος του τρίτου περιορισμού. Επιπλέον, με δεδομένο ότι η x είναι ελεύθερη, την αντικαθιστούμε με x x x. Έτσι το υπόδειγμα γράφεται ως Min z x x 3x, με

8 8 x x x x x 3x 7x 7x 4x x, x, x, s, s 0 3 s 0. s Η Μέθοδος SIMPLEX Η μέθοδος SIMPLEX βασίζεται σε μια επαναληπτική διαδικασία η οποία αρχίζει από ένα εφικτό γωνιακό σημείο (συνήθως από την αρχή των αξόνων) και κινείται συστηματικά από το ένα εφικτό γωνιακό σημείο στο άλλο μέχρι να φτάσει στο άριστο. Τα προβλήματα στο Γραμμικό Προγραμματισμό έχουν n αγνώστους και m περιορισμούς, όπου n > m. Η τυπική μορφή του προβλήματος που εξετάσαμε στο τμήμα.3 είναι Max z 3x s με περιορισμούς x 0s 0s 0s3 0 x x s 6 x x s 8 x x s3 x s4 x, x, s, s, s, s Υπάρχουν συνεπώς 6 μεταβλητές (άγνωστοι) και 4 περιορισμοί. Με δεδομένο ότι οι άγνωστοι είναι περισσότεροι από τους περιορισμούς, τα γωνιακά σημεία μπορούν να προσδιοριστούν αν θέσουμε τις n-m μεταβλητές μηδέν και λύσουμε για τις υπόλοιπες m. Για παράδειγμα, στην αρχή των αξόνων (γωνιακό σημείο Α στο Σχήμα ), x x 0 και από το σύστημα των περιορισμών έχουμε s 6, s 8, s, s. Ενώ στο γωνιακό σημείο 3 4 Β (Σχήμα ), x s 0 και από το σύστημα των περιορισμών έχουμε x 4, s, s 5, s. 3 4 Προϋπόθεση για την επιλογή των n-m μεταβλητών οι οποίες θα τεθούν ίσες με το μηδέν είναι ότι το σύστημα που σχηματίζουν οι υπόλοιπες m να έχει μία και μόνο λύση στην οποία οι m μεταβλητές είναι όλες μη-αρνητικές. Οι μεταβλητές που τίθενται ίσες με το μηδέν ονομάζονται μη-βασικές. Οι υπόλοιπες, οι τιμές των οποίων προκύπτουν από την λύση του συστήματος των περιορισμών ονομάζονται βασικές. Στο πρόβλημα που εξετάζουμε η ( 3 4 x, x, s, s, s, s ) (0,0,6,8,,) και η x, x, s, s, s, s ) (4,0,,0,5, ) ονομάζονται εφικτές βασικές λύσεις. ( 3 4 Βήμα.

9 9 Έστω ότι επιλέγουμε την λύση x, x, s, s, s, s ) (0,0,6,8,, ) για να ξεκινήσουμε ( 3 4 την επαναληπτική διαδικασία της SIMPLEX. Η λύση αυτή ονομάζεται αρχική-εφικτή-βασική. Με την επιλογή αυτή, οι πληροφορίες που περιέχονται στην συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού και στους περιορισμούς συνοψίζονται στον Πίνακα. Πίνακας * Στήλες (k) Βασικές z x x s s s 3 s 4 Τρέχουσα Γραμμές (r) Μεταβλητές Βασική Εφικτή Λύση z s s s s *, Η συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού έχει εκφραστεί ως z 3x x 0s 0s 0s 0s Βήμα. Επιλέγουμε ανάμεσα στις μη-βασικές μεταβλητές κάποια που όταν η τιμή της αυξηθεί πάνω από το μηδέν αυξάνει την τιμή της συνάρτησης αντικειμενικού Σκοπού. Αν δεν υπάρχει τέτοια μεταβλητή η τρέχουσα βασική-εφικτή λύση (η αρχική στο πρόβλημα που εξετάζουμε) είναι η άριστη. Αν υπάρχει τέτοια μεταβλητή τότε συνεχίζουμε στο Βήμα 3. Στο παράδειγμα μας οι δυο μη-βασικές μεταβλητές έχουν αρνητικά πρόσημα στον Πίνακα, τα οποία αντιστοιχούν σε θετικά πρόσημα στην συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού. Αφού μεγιστοποιούμε, η τιμή της z μπορεί να αυξηθεί είτε με την αύξηση της x είτε με την αύξηση της x. Πάντοτε διαλέγουμε την μεταβλητή αυτή που έχει τον πιο αρνητικό συντελεστή επειδή η εμπειρία έχει δείξει ότι με τον τρόπο αυτό η άριστη λύση επιτυγχάνεται πιο γρήγορα. Τα παραπάνω συνοψίζονται στην συνθήκη αριστοποίησης της μεθόδου SIMLEX:

10 0 «Στην περίπτωση της μεγιστοποίησης, όταν όλες οι μη-βασικές μεταβλητές έχουν μη-αρνητικά πρόσημα στο σχετικό πίνακα (γραμμή συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού) η τρέχουσα βασικήεφικτή λύση είναι άριστη. Αλλιώς, η μη-βασική μεταβλητή με τον πλέον αρνητικό συντελεστή εισάγεται στην βάση (γίνεται βασική)». Η μεταβλητή αυτή ονομάζεται εισερχόμενη. Στην περίπτωση μας η εισερχόμενη μεταβλητή είναι η x. Βήμα 3. Επιλέγουμε ανάμεσα στις βασικές μεταβλητές κάποια η οποία θα φύγει από τη βάση (θα γίνει μη-βασική) ώστε η τελευταία να συμπεριλάβει την εισερχόμενη μεταβλητή. Η βασική μεταβλητή που μετατρέπεται σε μη-βασική ονομάζεται εξερχόμενη. Η εξερχόμενη προσδιορίζεται από την συνθήκη του εφικτού της μεθόδου SIMPLEX: «Εξερχόμενη γίνεται η βασική μεταβλητή η οποία συνδέεται με τον πλέον δεσμευτικό περιορισμό» Από την στήλη αριθ. του πίνακα που αντιστοιχεί στην x φαίνεται ότι αύξηση της μεταβλητής αυτής κατά μια μονάδα πρέπει να συνοδεύεται από μείωση της βασικής μεταβλητής s κατά μία μονάδα ώστε να μην παραβιαστεί ο πρώτος από τους περιορισμούς του προβλήματος. Με δεδομένο ότι στην αρχική βασική-εφικτή λύση υπάρχουν 6 μονάδες της s, ο μέγιστος αριθμός των μονάδων της x που μπορούν να εισαχθούν είναι 6. Από την ίδια στήλη του Πίνακα φαίνεται ότι για κάθε μονάδα της x που εισάγεται πρέπει να αφαιρούνται μονάδες από την βασική μεταβλητή s ώστε να μην παραβιαστεί ο δεύτερος από τους περιορισμούς του προβλήματος. Με δεδομένο ότι στην αρχική βασική-εφικτή λύση υπάρχουν 8 μονάδες της s ο μέγιστος αριθμός μονάδων της x που μπορεί να εισαχθεί χωρίς να παραβιαστεί ο δεύτερος περιορισμός είναι 4. Από το τέταρτο στοιχείο της στήλης φαίνεται ότι για την εισαγωγή μιας μονάδας από την x πρέπει να αφαιρεθούν 0 μονάδες της s 4 ώστε ο τέταρτος περιορισμός να μην παραβιαστεί. Με άλλα λόγια, η αύξηση της x μπορεί να είναι απεριόριστη χωρίς να παραβιαστεί ο εν λόγω περιορισμός. Τέλος, από το τρίτο στοιχείο της στήλης προκύπτει ότι αύξηση της x πρέπει να συνοδεύεται από αύξηση της s 3. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι ο πλέον δεσμευτικός περιορισμός συνδέεται με την βασική μεταβλητή s. Συνοψίζοντας, για να προσδιορίσουμε την εξερχόμενη επικεντρώνουμε την προσοχή μας στα στοιχεία της στήλης της εισερχόμενης που είναι αυστηρά θετικά και υπολογίζουμε

11 τους λόγους xbi όπου i a ij xb είναι η τιμή της ith βασικής στην τρέχουσα εφικτή-βασική λύση και a ij είναι το στοιχείο του Πίνακα που αντιστοιχεί στην ith βασική και στην jth μηβασική (εισερχόμενη). Η βασική για την οποία ο λόγος xb a ij i είναι ο μικρότερος γίνεται s s εξερχόμενη. Στο παράδειγμα μας οι λόγοι είναι {(, ) (6/, 8/ )} a a και ο μικρότερος συνδέεται με την s. Ο περιορισμός στον οποίον αντιστοιχεί η εξερχόμενη μεταβλητή ονομάζεται κεντρική εξίσωση, ενώ το στοιχείο που βρίσκεται στην τομή της στήλης του Πίνακα που αντιστοιχεί στην εισερχόμενη και της γραμμής του Πίνακα που αντιστοιχεί στην κεντρική εξίσωση, ονομάζεται κεντρικό σημείο. Βήμα 4. Κατασκευή Νέου Πίνακα Το κεντρικό σημείο και η κεντρική εξίσωση παίζουν ιδιαίτερα σημαντικό ρόλο στην κατασκευή νέου πίνακα ο οποίος αντιστοιχεί στις νέες βασικές και μη-βασικές μεταβλητές. Συγκεκριμένα:. Τα στοιχεία της γραμμής της κεντρικής εξίσωσης αλλάζουν με βάση τον τύπο rj a a / a rj rk, όπου a rk είναι το κεντρικό σημείο.. Τα υπόλοιπα στοιχεία, συμπεριλαμβανομένων και αυτών της συνάρτησης ij αντικειμενικού σκοπού, αλλάζουν με βάση τον τύπο a a (( a )( a ))/ a ij ik rj rk, r i. Με δεδομένη την αρίθμηση των στηλών και γραμμών που έχουμε υιοθετήσει στον Πίνακα, a rk a (κεντρικό σημείο του Πίνακα ) και a a / a, a a / a /, a a / a 0, a /, a a, a a / a 4 είναι τα στοιχεία της γραμμής αριθ. στον νέο πίνακα. Επίσης, a a ( a xa )/ a 0, a a ( a xa )/ a 3/,

12 a a ( a xa )/ a /, a a ( a xa )/ a, a 0, a 0, a0 a0 ( axa0)/ a, a0 a0 ( a0xa)/ a 0, a0 a0 ( a0xa)/ a / κ.ο.κ. Ο νέος πίνακας (Πίνακας ) είναι Πίνακας Βασικές Μεταβλητές z x x S s s 3 s 4 Τρέχουσα Βασική Εφικτή Λύση z 0 -/ 0 3/ 0 0 s 0 0 3/ -/ 0 0 x 0 / 0 ½ s / 0 ½ 0 5 s Βήμα 5. Επανάληψη των Βημάτων -4. Αφού υπάρχει μη-βασική μεταβλητή με αρνητικό συντελεστή στην συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού η νέα τρέχουσα εφικτή βασική λύση ( x, x, s, s, s3, s4 ) ( 4, 0,, 0, 5, ) δεν είναι η άριστη. Έτσι, η διαδικασία επαναλαμβάνεται. Η εισερχόμενη μεταβλητή είναι η x. Έχουμε όμως για την εφαρμογή της συνθήκης εφικτού 4/3, 8, 0/3, και που αντιστοιχούν στον πρώτο, τον δεύτερο, τον τρίτο και τον τέταρτο περιορισμό αντίστοιχα. Συνεπώς η μεταβλητή s είναι η εξερχόμενη με κεντρικό σημείο a 3/. Εργαζόμενοι όπως παραπάνω, οδηγούμαστε στον Πίνακα 3. Στον Πίνακα αυτό δεν υπάρχει μη-βασική μεταβλητή με αρνητικό συντελεστή στην συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού το οποίο σημαίνει ότι η λύση που εμφανίζεται στον Πίνακα 3 είναι η άριστη. Βασικές Μεταβλητές Πίνακας 3 Τρέχουσα Βασική z x x s s s 3 s 4 Εφικτή Λύση (Άριστη) z 0 0 /3 4/3 0 0 /3 x 0 0 /3 -/ /3 x 0 0 -/3 / /3 s s /3 /3 0 /3

13 3 Για την περίπτωση της ελαχιστοποίησης του κόστους η εισερχόμενη μεταβλητή είναι αυτή με τον μεγαλύτερο θετικό συντελεστή (αφού max z = min (-z), με τους ίδιους περιορισμούς). Για την εφαρμογή της συνθήκης του εφικτού χρησιμοποιούμε τους αυστηρά θετικούς λόγους διαλέγουμε για εξερχόμενη αυτή στην οποία αντιστοιχεί ο μικρότερος λόγος. Πληροφορίες που Εμφανίζονται στον Τελικό Πίνακα της SIMPLEX α) Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού Στην άριστη λύση αντικειμενικού σκοπού έχουμε β) Η Κατάσταση των Διαθέσιμων Πόρων x 3 και x. Αντικαθιστώντας στην συνάρτηση 3 3 z 3x(3 ) x( ), όπως εμφανίζεται στον Πίνακα Οι τιμές των μεταβλητών si, i,, 3, 4 στον τελικό πίνακα μας δίνουν πληροφορίες για την κατάσταση των διαθέσιμων πόρων. Οι μεταβλητές s και s δεν εμφανίζονται στην στήλη της βασικής εφικτής λύσης. Είναι μη-βασικές και η τιμή τους είναι μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι στην άριστη λύση οι διαθέσιμοι πόροι που συνδέονται με τις μεταβλητές αυτές εξαντλούνται πλήρως (πόροι ελλειμματικοί) ή ισοδύναμα ότι οι αντίστοιχοι περιορισμοί είναι δεσμευτικοί. Οι μεταβλητές s 3 και s 4 έχουν θετική τιμή. Αυτό σημαίνει ότι αντίστοιχοι πόροι δεν εξαντλούνται πλήρως στην άριστη λύση (πόροι σε αφθονία) ή ισοδύναμα ότι οι αντίστοιχοι περιορισμοί δεν είναι δεσμευτικοί. βασικής εφικτής λύσης είναι τα πλεονάσματα των πόρων αυτών. 3) Οι σκιώδεις τιμές (οριακές αξιολογήσεις) των πόρων. Οι τιμές των s 3 και s 4 στη στήλη της Έχουμε αναφέρει ότι η σκιώδης τιμή ενός πόρου η είναι αύξηση στην μέγιστη τιμή της συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού από μια επιπλέον μονάδα από τον πόρο αυτό. Οι σκιώδεις τιμές των πόρων σε αφθονία είναι μηδέν αφού η αύξηση τους δεν συμβάλει στην αύξηση της μέγιστης τιμής της συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού. Οι σκιώδεις τιμές των ελλειμματικών πόρων είναι θετικές. Οι σκιώδεις τιμές όλων των πόρων εμφανίζονται στην γραμμή r 0 του τελικού πίνακα (Πίνακας 3).

14 4 Παράδειγμα Max z 40x 30x, με x 6 x 8 x x 4 x, x 0 Λύση Η τυπική μορφή του υποδείγματος είναι Max z 40x 30x 0s 0s 0s x s x x, x s x x 6 8, s, s s 3, s 0. 3, 4 3 ή x x s 0 0 s s Οι μεταβλητές είναι 5 και οι περιορισμοί είναι 3. Η αρχική εφικτή βασική λύση είναι x, x, s, s, s ) (0,0,6,8,4). Με την λύση αυτή σχηματίζουμε τον πρώτο ( 3 πίνακα (Πίνακας )της SIMPLEX. Η εισερχόμενη μεταβλητή είναι η x, η εξερχόμενη είναι η s και το κεντρικό σημείο είναι a. Χρησιμοποιώντας τους τύπους που αναφέρθηκαν παραπάνω υπολογίζουμε τα στοιχεία του νέου πίνακα (Πίνακας ). Η εισερχόμενη μεταβλητή είναι τώρα η x, η εξερχόμενη είναι η s 3 και το κεντρικό σημείο είναι το a 3. Υπολογίζουμε τα στοιχεία του νέου πίνακα (Πίνακας 3), ο οποίος δίνει την άριστη λύση. Πίνακας Βασικές Μεταβλητές z x x s s s 3 Τρέχουσα Βασική Εφικτή Λύση z s s s

15 5 Πίνακας Βασικές Μεταβλητές z x x s s s 3 Τρέχουσα Βασική Εφικτή Λύση z x s s Πίνακας 3 Βασικές Μεταβλητές z x x s s s 3 Τρέχουσα Βασική Εφικτή Λύση (Άριστη) z x s / -/ 4 x 0 0 -/ 0 / 4 Ασκήσεις. Max z 4x 3x με x. x 4 6 και x, x. 0. Max z 4x 3x με 3 x. x 5 και x, x. 0

16 6.5 Η Τεχνητή Αρχική Λύση Στα προβλήματα που εξετάσαμε μέχρι τώρα οι περιορισμοί είχαν την μορφή ( ) και η αρχική εφικτή βασική λύση ήταν εύκολο να προσδιοριστεί (απλά θέταμε τις x μεταβλητές ίσες με μηδέν). Όταν όμως οι περιορισμοί είναι της μορφής ( ), όπως συχνά εμφανίζονται σε προβλήματα ελαχιστοποίησης, η προσέγγιση αυτή δεν εξασφαλίζει πάντοτε μια αρχική εφικτή βασική λύση. Για παράδειγμα, στο πρόβλημα: Min z x x, με x x x 4 x, x 0. η επιλογή x x 0 δεν είναι συμβατή με τους περιορισμούς. Σε τέτοιες περιπτώσεις μετασχηματίζουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τεχνητές μεταβλητές. Οι μεταβλητές αυτές απλά μας βοηθούν να ξεκινήσουμε την Simplex και δεν έχουν κανένα οικονομικό νόημα από την πλευρά του αρχικού προβλήματος. Για το λόγο αυτό οι τεχνητές μεταβλητές στην άριστη λύση πρέπει να είναι ίσες με το μηδέν. Για να το πετύχουμε αυτό (και επειδή το πρόβλημα είναι ελαχιστοποίηση) δίνουμε στις τεχνητές μεταβλητές πολύ μεγάλους θετικούς συντελεστές στην συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού. Με άλλα λόγια «τιμωρούμε» (με την έννοια της αύξησης στην τιμή της συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού) για την ύπαρξη τέτοιων μεταβλητών σε επίπεδο διαφορετικό από το μηδέν στην άριστη λύση. Έστω R και R οι μη-αρνητικές τεχνητές μεταβλητές και M ο πολύ μεγάλος θετικός συντελεστής τους στην συνάρτηση του αντικειμενικού σκοπού. Το μετασχηματισμένο πρόβλημα γράφεται ως Min x x z x 4 x, x, R, R x R x MR MR R 0. με τυπική μορφή Min x x z x x, x, s, s x s s R x MR MR R 4, R, R 0., με, με

17 7 Για το μετασχηματισμένο πρόβλημα η s, s, x, x, R, R ) (0,0,0,0,,4) είναι η αρχική ( βασική εφικτή λύση. Πριν κατασκευάσουμε τον πρώτο πίνακα της Simplex εκφράζουμε τους συντελεστές των μεταβλητών επιλογής και των ψευδομεταβλητών στην z ως συναρτήσεις του M. Συγκεκριμένα, από περιορισμούς R (x R 4 ( x s x ) s ) και αντικαθιστώντας, η συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού γίνεται z x x 0s 0s M ( x x z x ( M ) x ( M ) Ms Ms s ) M (4 x 6M s ) με βάση την οποία ο πρώτος πίνακας (Πίνακας ) είναι Πίνακας Βασικές Μεταβλητές z x x s s R R Βασική Εφικτή Λύση z Μ- Μ- -Μ -Μ 0 0 6Μ R R Το πρόβλημα είναι ελαχιστοποίησης, συνεπώς εισερχόμενη θα είναι η μη-βασική μεταβλητή με τον πλέον αρνητικό συντελεστή στην συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού (ή ισοδύναμα, η μη-βασική με τον μεγαλύτερο θετικό συντελεστή στην γραμμή αριθ. 0 του Πίνακα). Οι x. Η x και η x είναι έχουν το ίδιο ακριβώς συντελεστή. Σε τέτοιες περιπτώσεις επιλέγουμε την εισερχόμενη αυθαίρετα. Έστω x είναι η εισερχόμενη. Τότε η εξερχόμενη είναι η R. Ο επόμενος είναι ο Πίνακας. Βασικές Μεταβλητές Πίνακας z x x s s R R Βασική Εφικτή Λύση z 0 Μ-/ -/ -Μ -Μ+/ 0 4Μ+6 x 0 / -/ 0 ½ 0 6 R

18 8 Η x είναι εισερχόμενη και η R είναι εξερχόμενη και ο τελικός Πίνακας είναι ο Πίνακας 3. Πίνακας 3 Βασικές Μεταβλητές z x x S S R R Βασική Εφικτή Λύση z 0 0 -/ -/ -Μ+/ -Μ+/ 8 x 0 -/ / -/ / -/ 4 x Η λύση που παρουσιάζεται στον Πίνακα 3 είναι η άριστη. Παρατηρούμε ότι οι τεχνητές μεταβλητές είναι μηδέν και η τιμή της z δεν εξαρτάται από το Μ. Παρατηρούμε επίσης ότι οι περιορισμοί στο αρχικό πρόβλημα ήταν δεσμευτικοί αφού και οι δύο ψευδομεταβλητές στην άριστη λύση είναι ίσες με το μηδέν. 3x x 4x x, x 3x x x Άσκηση Min z (Υπόδειξη: περιορισμούς). 4x x, με Τεχνητές μεταβλητές θα χρησιμοποιηθούν μόνο για τους δυο πρώτους

19 9.6 Το Δυϊκό Πρόβλημα Μέχρι τώρα έχουμε αναλύσει την μεγιστοποίηση και την ελαχιστοποίηση σαν δυο διαφορετικά προβλήματα. Στην πραγματικότητα όμως σε κάθε πρόβλημα μεγιστοποίησης αντιστοιχεί ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης (και το αντίστροφο) με την ιδιότητα οι άριστες λύσεις από τα δυο προβλήματα να είναι ακριβώς ίδιες. Αυτό έχει ιδιαίτερη σημασία αφού μας επιτρέπει να επιλέξουμε να λύσουμε το πιο εύκολο από τα δύο προβλήματα. πρόβλημα Έστω το παρακάτω υπόδειγμα μεγιστοποίησης το οποίο το ονομάζουμε αρχικό Max z 3x 4x 3x x 3. x 4 x 3 3 με,, και x, x, x Στο υπόδειγμα αυτό αντιστοιχεί ένα υπόδειγμα ελαχιστοποίησης το οποίο ονομάζουμε δυϊκό πρόβλημα και έχει τη μορφή Min z * y 4y, με y 4. y 3 3 4, και y, y 0. 3 Οι x, x, x3 ονομάζονται αρχικές μεταβλητές και οι y,y ονομάζονται δυϊκές μεταβλητές. Για να σχηματίσουμε το δυϊκό πρόβλημα:. Αλλάζουμε το Max σε Min. Αλλάζουμε την κατεύθυνση των ανισοτήτων από () σε ( ). 3. Αναστρέφουμε το διάνυσμα των σταθερών όρων στα δεξιά των περιορισμών του αρχικού προβλήματος και το πολλαπλασιάζουμε με το διάνυσμα των δυϊκών μεταβλητών ώστε να σχηματίσουμε την δυϊκή συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού, z * y 4 y. 4. Αναστρέφουμε τον πίνακα των συντελεστών των περιορισμών στο αρχικό πρόβλημα και τον πολλαπλασιάζουμε με τις δυϊκές μεταβλητές ώστε να προκύψουν οι περιορισμοί του δυϊκού. αρνητικές. 5. Οι δυϊκές μεταβλητές υπόκεινται όπως και οι αρχικές στον περιορισμό ότι δεν είναι

20 0 Για το αρχικό πρόβλημα ελαχιστοποίησης Min z 4x 3x 8x 3 με, 0 0. x x 5 3, και x, x, x3 0, x το αντίστοιχο Δυϊκό είναι Max z * y 5y, με 0 0. y y 4 3, και y, y 0. 8 Σχέσεις Ανάμεσα στο Αρχικό και Δυϊκό Πρόβλημα. Αν το αρχικό πρόβλημα έχει n μεταβλητές απόφασης ( x j, j,,... n ) και m ψευδομεταβλητές ( si, i,,... m ) τότε το δυϊκό θα έχει m μεταβλητές απόφασης ( y i ) και n ψευδομεταβλητές ( s j ).. Αν στην άριστη λύση του αρχικού x j 0, η αντίστοιχη ψευδομεταβλητή του δυϊκού θα είναι s j 0. Αν στην άριστη λύση του αρχικού x j 0, τότε s j Αν στην άριστη λύση του αρχικού s i 0, τότε y i 0. Αν s i 0, τότε y i Στην άριστη λύση η τιμή των συναρτήσεων αντικειμενικού σκοπού είναι ακριβώς ίδια και στα δύο προβλήματα. Παράδειγμα με Ανάλυση της Οικονομικής Σημασίας των Αποτελεσμάτων Έστω το Αρχικό πρόβλημα Max z 3x 5x, με x 4 x 3x x, x x 0. 8 το Δυϊκό του είναι Min z*4 y y 8y3, με y 3y3 3 y y3 5 y, y, y 0. 3

21 Ο τελικός πίνακας για το αρχικό πρόβλημα είναι Τελικός Πίνακας Αρχικού Βασικές Μεταβλητές Z x x s s s 3 Άριστη Λύση z s x x ενώ ο τελικός πίνακας για το Δυϊκό (το οποίο λύθηκε με την χρήση Τεχνητών Μεταβλητών) είναι Τελικός Πίνακας Δυϊκού Βασικές Μεταβλητές z* y y y 3 s s Άριστη Λύση z* Y Y Από τον τελικό πίνακα του αρχικού προβλήματος έχουμε ( x, x, s, s, s3) (, 6,, 0, 0) και από τον τελικό πίνακα του δυϊκού έχουμε y, y, y, s, s ) (0,.5,,0,0 ). Όπως ( 3 αναφέρθηκε παραπάνω, σε κάθε μεταβλητή απόφασης στο αρχικό αντιστοιχεί μια ψευδομεταβλητή στο δυϊκό και για κάθε ψευδομεταβλητή στο αρχικό αντιστοιχεί μια μεταβλητή απόφασης στο δυϊκό. Έχουμε λοιπόν τα ζεύγη ( x, s 0), ( x 6, s 0), ( s, y 0), ( s 0, y.5), ( s3 0, y3 Οι πόροι οι οποίοι αντιστοιχούν στον δεύτερο και στον τρίτο περιορισμό του αρχικού προβλήματος είναι πόροι σε έλλειμμα αφού στην άριστη λύση έχουμε s s 0. Ο πόρος ). 3 που αντιστοιχεί στον πρώτο περιορισμό του αρχικού είναι πλεονασματικός αφού στην άριστη λύση έχουμε s 0. Οι σκιώδεις τιμές των πόρων είναι οι συντελεστές των ψευδομεταβλητών s, s, s3 στην γραμμή αριθ. 0 του τελικού πίνακα για το αρχικό πρόβλημα. Για τον πλεονασματικό πόρο η σκιώδης τιμή είναι μηδέν και για τους

22 ελλειμματικούς οι σκιώδεις τιμές είναι.5 για αυτόν που αντιστοιχεί στον δεύτερο περιορισμό και για αυτόν που αντιστοιχεί στον τρίτο περιορισμό του αρχικού προβλήματος. Οι τιμές των μεταβλητών απόφασης στην άριστη λύση του δυϊκού προβλήματος όμως είναι y, y.5, y. Με δεδομένο ότι σε κάθε ψευδομεταβλητή στο αρχικό αντιστοιχεί 0 3 μια μεταβλητή απόφασης (επιλογής) στο δυϊκό, συμπεραίνουμε ότι οι τιμές των μεταβλητών απόφασης στην άριστη λύση του δυϊκού δεν είναι τίποτε άλλο παρά οι σκιώδεις τιμές (οριακές αξιολογήσεις) των διαθέσιμων πόρων στην άριστη λύση του αρχικού. Συνεπώς από την άριστη λύση του δυϊκού μπορούμε αμέσως να συμπεράνουμε ποιοι πόροι στο αρχικό πρόβλημα είναι πλεονασματικοί και ποιοι ελλειμματικοί και επιπλέον να προσδιορίσουμε τις σκιώδεις τιμές των πόρων αυτών. Οι τιμές των μεταβλητών επιλογής και των ψευδομεταβλητών στο αρχικό δεν είναι τίποτε άλλο παρά οι συντελεστές των ψευδομεταβλητών και των μεταβλητών επιλογής, αντίστοιχα, στην γραμμή αριθ. 0 (συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού) στον τελικό πίνακα του δυϊκού. Συγκεκριμένα, με δεδομένα τα ζεύγη που αναφέρθηκαν παραπάνω, ο συντελεστής της y σημαίνει ότι το πλεόνασμα του πρώτου πόρου στην άριστη λύση του αρχικού είναι ( s ). Οι y και y 3 έχουν συντελεστή μηδέν που σημαίνει ότι οι αντίστοιχοι πόροι στην άριστη λύση του αρχικού χρησιμοποιούνται πλήρως ( s s 0 ). Οι συντελεστές των 3 ψευδομεταβλητών στην άριστη λύση του δυϊκού (γραμμή αριθ. 0) είναι οι τιμές των μεταβλητών απόφασης στην άριστη λύση του αρχικού προβλήματος. Με άλλα λόγια, οι σκιώδεις τιμές στην άριστη λύση του δυϊκού δεν είναι τίποτε άλλο οι τιμές των μεταβλητών επιλογής στην άριστη λύση του αρχικού προβλήματος. Συγκεκριμένα, ο συντελεστής της s είναι που σημαίνει ότι στην άριστη λύση του αρχικού η τιμή της x είναι επίσης, ενώ ο συντελεστής της s είναι 6 που σημαίνει ότι στην άριστη λύση του αρχικού προβλήματος η τιμή της x είναι επίσης 6. Στο αρχικό πρόβλημα επιλέγουμε τις x, x για να μεγιστοποιήσουμε το κέρδος ή την πρόσοδο με δεδομένους τους πόρους. Στο δυϊκό επιλέγουμε τις σκιώδεις τιμές των πόρων του αρχικού για να ελαχιστοποιήσουμε το συνολικό σκιώδης κόστος, * z r i y, όπου r im είναι το απόθεμα του κάθε πόρου όπως εμφανίζεται στους περιορισμούς του αρχικού προβλήματος. i i

23 3.7 Η Δυϊκή SIMPLEX Όταν ο σκοπός στο αρχικό πρόβλημα είναι η μεγιστοποίηση στο δυϊκό είναι η ελαχιστοποίηση. Στην ελαχιστοποίηση εμφανίζονται περιορισμοί της μορφής ( ). Τέτοια προβλήματα λύθηκαν στο τμήμα.5 με τεχνητές μεταβλητές. Μια εναλλακτική μέθοδος αντιμετώπισης προβλημάτων με περιορισμούς ( ) είναι η δυϊκή SIMPLEX. Η διαφορά της δυϊκής SIMPLEX από την συνηθισμένη SIMPLEX είναι ότι στην δυϊκή αρχίζουμε από μηεφικτή λύση και με επαναλήψεις επιδιώκουμε την άριστη (και φυσικά εφικτή). Έστω παρακάτω πρόβλημα Min z x x, με 3x x 3 4x 3x 6 x x 3 x, x 0. Αυτό το υπόδειγμα θα μπορούσε να λυθεί με την χρήση τεχνητών μεταβλητών. Όμως εδώ επιλέγουμε να το λύσουμε με την δυϊκή SIMPLEX. Βήμα. Φέρνουμε το υπόδειγμα σε Κανονική Μορφή. Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι περιορισμοί έχουν την μορφή ( ). Επιτρέπεται (σε αντίθεση με την τυπική μορφή) τα δεξιά μέλη των περιορισμών να είναι αρνητικά. Αν υπάρχει περιορισμός ισότητα μετατρέπεται σε δυο ανισότητες. Παράδειγμα, αν ο τρίτος περιορισμός ήταν x x 3 θα τον αντικαθιστούσαμε με δύο ανισότητες x x 3 και x x 3 x x 3. Η κανονική μορφή του προβλήματος που εξετάζουμε, είναι Min z x x, με 3x x 3 4x 3x 6 x x 3 x, x 0. Προσθέτουμε τις μη-αρνητικές ψευδομεταβλητές για να μετατρέψουμε τις ανισότητες σε ισότητες Min z x x, με 3x x s 3 4x 3x s 6 x x s3 3 x, x, s, s, s 0. 3

24 4 Βήμα. Θέτουμε x x 0 από το οποίο προκύπτει s 3, s 6, s 3, η οποία είναι 3 προφανώς μια μη-εφικτή λύση. Ο Πίνακας αντιστοιχεί στην λύση αυτή. Συνθήκη Εφικτού: Η εξερχόμενη μεταβλητή είναι η βασική με την πλέον αρνητική τιμή. Αν όλες οι βασικές είναι μη-αρνητικές τότε η άριστη λύση έχει επιτευχθεί και η διαδικασία τερματίζεται. Στο παράδειγμα μας η πλέον αρνητική από τις βασικές είναι η s, συνεπώς αυτή είναι η εξερχόμενη. Πίνακας Βασικές Μεταβλητές z x x s s s 3 Βασική Λύση Z s s s Συνθήκη Αριστοποίησης: Σχηματίζουμε τους λόγους συντελεστών των μη-βασικών μεταβλητών στην γραμμή r=0 (γραμμή της συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού) ως προς τους αντίστοιχους συντελεστές στην γραμμή της εξερχόμενης μεταβλητές, αγνοώντας όλους τους λόγους με θετικό ή μηδενικό παρανομαστή. Στην ελαχιστοποίηση, η εισερχόμενη μεταβλητή είναι αυτή στην οποία αντιστοιχεί ο μικρότερος από τους λόγους. Στην μεγιστοποίηση εισερχόμενη είναι αυτή που αντιστοιχεί ο λόγος με την μικρότερη απόλυτη τιμή. Αν όλοι oι οι παρανομαστές είναι μηδέν ή θετικοί τότε το πρόβλημα δεν έχει εφικτή λύση. Στο παράδειγμα μας οι λόγοι που μας ενδιαφέρουν είναι 4 εισερχόμενη μεταβλητή είναι η x και το κεντρικό σημείο είναι a και 3 rk a Συνεπώς, η Βήμα 3. Υπολογίζουμε τον νέο πίνακα (Πίνακα ) με βάση τους τύπους που χρησιμοποιούμε και στην συνηθισμένη SIMPLEX. Πίνακας Χαρακτηριστικό της δυϊκής SIMPLEX είναι ότι αρχίζει με μη-εφικτές λύση και με επαναλήψεις επιδιώκει την εφικτή (και άριστη).

25 5 Βασικές Μεταβλητές z x x s s s 3 Βασική Λύση z -/ /3 0 s 0-5/3 0 -/3 0 - x 0 4/3 0 -/3 0 s 3 0-5/3 0 0 /3 - Η λύση συνεχίζει να είναι μη-εφικτή και μία από τις s και s 3 θα είναι η εξερχόμενη αφού η τιμή και των δυο είναι -. Σε τέτοιες περιπτώσεις διαλέγουμε αυθαίρετα. Στο παράδειγμα μας διαλέγουμε την s. Η εισερχόμενη είναι η x. Επαναλαμβάνουμε τους υπολογισμούς και η άριστη εφικτή λύση δίνεται στον Πίνακα 3. Πίνακας Βασικές Μεταβλητές z x x s s s 3 Βασική Λύση z 0 0 -/5 -/5 0 /5 x 0 0-3/5 /5 0 3/5 x 0 0 4/5-3/5 0 6/5 s Άσκηση Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα με την Δυϊκή SIMPLEX. Min z x x, με x x x 4 x, x 0.

26 6 g ( x) k b k.8 Μη- Γραμμικός Προγραμματισμός Στον Γραμμικό Προγραμματισμό τόσο οι περιορισμοί όσο και η συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού είναι γραμμικές. Αυτό σε αρκετές περιπτώσεις είναι μη-ρεαλιστικό Ο μη-γραμμικός προγραμματισμός έχει αναπτυχθεί για την λύση προβλημάτων στα οποία οι σχετικές συναρτήσεις είναι μη-γραμμικές. Το τυπικό μεγιστοποίησης πρόβλημα στο μη-γραμμικό Προγραμματισμό είναι 3 Max y f ( x) x k=,,, m. όπου x και b είναι nx και mx διανύσματα, αντίστοιχα. Το σύνολο των σημείων x για τα οποία { x: g ( x) b 0} ονομάζεται εφικτό. k k Οι συνθήκες πρώτης τάξης (αναγκαίες) για την λύση του ανωτέρω προβλήματος δίνονται από το Θεώρημα Kuhn-Tucker. * * * * Σύμφωνα με το αυτό, αν το διάνυσμα x x, x,..., x n είναι η λύση του προβλήματος τότε υπάρχει ένα διάνυσμα * * * *,,..., m έτσι ώστε για τη συνάρτηση Lagrange L( x, ) f ( b g ( x)) * * και για το διάνυσμα ( x, ) να ισχύουν m k k k k ) ) 3) L x i L b 0, k f x k i k m k g ( b k gk k x k k i 0, 0, i,,..., n L gk ) k 0, k,,..., m. Αν επιπλέον από το πρόβλημα απαιτείται x 0 για κάποιο i, τότε η () παίρνει την μορφή L L 4) 0, xi 0. x x i i i Για πρόβλημα ελαχιστοποίησης οι ανισότητες αναστρέφονται. Οι πολλαπλασιαστές Lagrange είναι μη-αρνητικοί στην μεγιστοποίηση και μη-θετικοί στην ελαχιστοποίηση. 3 Στην ελαχιστοποίηση οι ανισότητες στους περιορισμούς αντιστρέφονται.

27 7 Το Θεώρημα Kuhn-Tucker παρέχει τις αναγκαίες συνθήκες για αριστοποίηση. Στην περίπτωση όμως κατά την οποία η f είναι κοίλη (κυρτή) και όλες οι g k είναι κυρτές (κοίλες) οι συνθήκες () - (4) είναι και ικανές συνθήκες για μεγιστοποίηση (ελαχιστοποίηση). Η ιδιότητες κοίλη ή κυρτή σε προβλήματα αριστοποίησης γενικά ονομάζονται συνθήκες κανονικότητας. Στα προβλήματα στα οποία υπάρχουν περιορισμοί της μορφής x i 0, οι άριστες λύσεις είναι δυνατόν να αντιστοιχούν είτε σε σημεία που βρίσκονται στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού της f είτε στα όρια του πεδίου ορισμού. Αν η μέγιστη τιμή αντιστοιχεί σε σημείο που βρίσκεται στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού (δηλαδή, x 0) τότε από την L συνθήκη (4) πρέπει 0. Αν η μέγιστη τιμή αντιστοιχεί σε σημείο που βρίσκεται στα x i i * όρια του πεδίου ορισμού (δηλαδή x i * 0), τότε L 0 ή x i L 0. Οι τρεις αυτές x i περιπτώσεις παρουσιάζονται στο Σχήμα 6. Στην περίπτωση αριθ. 3 η μείωση του x i θα οδηγούσε σε αύξηση της y. Αρνητικά x i, όμως δεν ανήκουν στις εφικτές λύσεις. Σύμφωνα με την συνθήκη (3) αν k 0, τότε L 0. Αν όμως, l k 0 τότε L 0 k l k ή L 0. Οι πολλαπλασιαστές Lagrange στα προβλήματα με ανισότητες είναι (όπως και σε l k αυτά με ισότητες) οι οριακές αξιολογήσεις των περιορισμών. Όταν ένας περιορισμός είναι δεσμευτικός η οριακή του αξιολόγηση είναι θετική αφού η «χαλάρωση» του περιορισμού θα έχει σαν αποτέλεσμα να αυξηθεί η μέγιστη τιμή της συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού. Η «χαλάρωση» μη δεσμευτικών περιορισμών δεν επηρεάζει την μέγιστη τιμή της συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού και σαν αποτέλεσμα η οριακή τους αξιολόγηση είναι μηδενική. Παραδείγματα. max U U( X, X ) px px M, X, X 0 όπου U είναι μια κοίλη συνάρτηση χρησιμότητας, pκαι p οι τιμές των αγαθών, Μ το χρηματικό εισόδημα και Χ, Χ οι ποσότητες των αγαθών. Λύση

28 8 Για προβλήματα μεγιστοποίησης μετατρέπουμε όλους τους περιορισμούς στην μορφή bk gk ( x) 0 ενώ για προβλήματα ελαχιστοποίησης τους μετατρέπουμε στην μορφή bk gk ( x) 0. Πολλαπλασιάζουμε με τους συντελεστές Lagrange κάθε περιορισμό και σχηματίζουμε την συνάρτηση L U( X, X ) ( M px px ). Οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι L U L a) p 0, X 0 X X X L U L b) p 0, X 0 X X X L L c) M px px 0, 0. Έστω ότι στην άριστη λύση X, X 0. Τότε, U p και U p ή U U και καταναλώνονται θετικές ποσότητες και από τα δύο αγαθά. Ο p p πολλαπλασιαστής Lagrange είναι η οριακή χρησιμότητα του χρηματικού εισοδήματος. Αν 0 ο εισοδηματικός περιορισμός δεν είναι δεσμευτικός, έχει επέλθει κορεσμός και ο καταναλωτής δεν θα καταναλώσει περισσότερες μονάδες από κανένα από τα δυο αγαθά ακόμα και οι τιμές τους ήταν μηδέν (για 0 οι οριακές χρησιμότητες είναι μηδέν!!!). Έστω τώρα ότι στην άριστη λύση 0, Χ > 0 και U p 0 X 0. Αυτό σημαίνει U U ή MRS p p U p. Ο καταναλωτής αξιολογεί το αγαθό U p λιγότερο από ότι η αγορά σε όλα τα σημεία κατά μήκος μιας καμπύλης αδιαφορίας, έτσι δεν καταναλώνει αυτό το αγαθό (Σχήμα 7).. Έστω μια επιχείρηση έχει συναρτήσεις προσόδου και κόστους R 3Q Q και C Q 8Q 4, αντίστοιχα, όπου Q είναι το επίπεδο του προϊόντος. Έστω επίσης το κέρδος που πρέπει να έχει η επιχείρηση είναι 8. Υποθέτουμε ότι η επιχείρηση θέλει να μεγιστοποιήσει την πρόσοδο. Max R 3Q Q R C 8, Q 0. Λύση L 3Q Q ( 4Q Q ), με συνθήκες πρώτης τάξεως

29 9 L a) 3Q ( 44Q) 0, Q L 0 Q Q L L b) 4Q Q 0, 0. Για να λύσουμε προβλήματα αυτού του είδους χρησιμοποιούμε την διαδικασία «δοκιμής-λάθους». Ειδικότερα, αρχίζουμε με την υπόθεση ότι η μεταβλητή (ή οι μεταβλητές) επιλογής είναι μηδέν για να απλοποιήσουμε τις συνθήκες πρώτης τάξης. Αν από την υπόθεση αυτή προκύψουν μη-αρνητικοί πολλαπλασιαστές Lagrange οι οποίοι είναι συμβατοί με τις συνθήκες πρώτης τάξης τότε δεχόμαστε την μηδενική λύση. Αν με αυτή την υπόθεση παραβιάζονται συνθήκες πρώτης τάξης, τότε δοκιμάζουμε μια λύση για την οποία μια ή περισσότερες μεταβλητές επιλογής είναι αυστηρά θετικές. Για κάθε αυστηρά θετική μεταβλητή επιλογής μετατρέπουμε μια από τις συνθήκες πρώτης τάξης, οι οποίες είναι ανισότητες, σε ισότητα. Από την ισότητα αυτή θα προκύψει είτε μια αποδεκτή λύση είτε μια αντίφαση. Για Q = 0, η (b) συνεπάγεται - > 0. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι Q πρέπει να είναι αυστηρά θετικό και η (α) πρέπει να ισχύει σαν ισότητα με δυο αγνώστους, Q και. πολλαπλασιαστής όμως μπορεί να είναι είτε μηδέν είτε αυστηρά θετικός. Αν είναι μηδέν, από την (α) έχουμε Q= 6 το οποίο σημαίνει ότι L 50 (αντίφαση με την (b)). Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η (b) πρέπει να ισχύει σαν ισότητα 4Q Q 0. Η τελευταία έχει δυο λύσεις, Q = και Q =. Μόνο η πρώτη από τις δύο αυτές λύσεις είναι συμβατή με L Q 0. Ο λόγος είναι ότι η πρώτη συνεπάγεται 0 ενώ η δεύτερη συνεπάγεται αρνητικό πολλαπλασιαστή Lagrange (αντίφαση). Ο Η μέθοδος «δοκιμής-λάθους» μπορεί να εφαρμοστεί σε προβλήματα με μικρό αριθμό μεταβλητών επιλογής αφού οι συνδυασμοί που πρέπει να ελεγχθούν για n μεταβλητές είναι n Για προβλήματα με 3 ή παραπάνω μεταβλητές επιλογής πρέπει να χρησιμοποιηθούν ειδικά προγράμματα σε ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Ασκήσεις. Έστω η συνάρτηση ζήτησης για το προϊόν μιας επιχείρησης είναι p 0 Q, ενώ η συνάρτηση του κόστους παραγωγής είναι C Q 8Q. α) Ποιο επίπεδο παραγωγής μεγιστοποιεί το συνολικό κέρδος;

30 30 β) Ποιο επίπεδο παραγωγής μεγιστοποιεί την συνολική πρόσοδο; γ) Ποιο επίπεδο παραγωγής μεγιστοποιεί την συνολική πρόσοδο με τον περιορισμό ότι το κέρδος είναι τουλάχιστον Έστω ότι η συνάρτηση χρησιμότητας ενός καταναλωτή είναι U X X. Ποιος είναι ο άριστος συνδυασμός των ποσοτήτων των αγαθών με περιορισμούς 3X 4X 0, 0 X 5, X,, 0.

31 3 Χώρος Εφικτών Λύσεων Σχήμα

32 3 Χ Ζ Ζ Ζ Ζ Άριστη Λύση Χ Σχήμα Χ Ζ E D K Νέα Άριστη Λύση F C B Χ Σχήμα 3

33 33 Χ Ζ E D K F C Λ Σχήμα 4 B Νέα Άριστη Λύση Χ Χ Μείωση του C ή Αύξηση του C E D F C Μείωση του C ή Αύξηση του C Σχήμα 5 B Χ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση της Χρησιμότητας

Μεγιστοποίηση της Χρησιμότητας Μεγιστοποίηση της Χρησιμότητας - Πρόβλημα Καταναλωτή: Επιλογή καταναλωτικού συνδυασμού x=(x, x ) υπό ένα σύνολο φυσικών, θεσμικών και οικονομικών περιορισμών κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A)

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A) Προσφορά Εργασίας - Έστω ότι υπάρχουν δύο αγαθά Α και Χ στην οικονομία. Το αγαθό Α παριστάνει τα διάφορα καταναλωτικά αγαθά. Το αγαθό Χ παριστάνει τον ελεύθερο χρόνο. Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Δυϊκότητα Θα δείξουμε πώς μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης με ένα πρόβλημα ΓΠ στην συνήθη του μορφή. Ένα πρόβλημα στην συνήθη του μορφή μπορεί να είναι ένα κατασκευαστικό πρόβλημα,

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Ακαδηµαϊκό έτος (διαβάζουμε κεφ. 4 από Μ. Χλέτσο και σημειώσεις στο eclass)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Ακαδηµαϊκό έτος (διαβάζουμε κεφ. 4 από Μ. Χλέτσο και σημειώσεις στο eclass) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Ακαδηµαϊκό έτος 2016-17 ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ (διαβάζουμε κεφ. 4 από Μ. Χλέτσο και σημειώσεις στο eclass) 1 ιάλεξη2 Ανταγωνισμός, οικονομική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN 3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HESHER-OHIN Υπάρχουν δύο συντελεστές παραγωγής, το κεφάλαιο και η εργασία τους οποίους χρησιμοποιεί η επιχείρηση για να παράγει προϊόν Y μέσω μιας συνάρτησης παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΒΕΛΕΝΤΖΑΣ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ. Μερικές έννοιες Η συνάρτηση παραγωγής (, ), όπου είναι το συνολικό προϊόν και και οι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές

Άριστες κατά Pareto Κατανομές Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Δεσμευτικοί περιορισμοί Πρόβλημα Βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων Συνολικό μοντέλο Maximize z = 150x 1 + 200x 2 (αντικειμενική

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΔΗΜΟΣΙΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΔΗΜΟΣΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΔΗΜΟΣΙΑ 1. Στην περίπτωση των εξωτερικών επιβαρύνσεων στην παραγωγή, η επιβολή ενός φόρου ανά µονάδα προϊόντος ίσου µε το µέγεθος της οριακής εξωτερικής επιβάρυνσης µπορεί να οδηγήσει:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΜΟΝΟΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Αλγεβρικές συναρτήσεις... 3 1.1 Η έννοια της συνάρτησης... 3 1.2 Ασαφείς και σαφείς συναρτήσεις... 3 1.3 Γραφικές απεικονίσεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ Ένθετο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ Μικροοικονομική Ε. Σαρτζετάκης 1 Καταναλωτική συμπεριφορά Σκοπός αυτής της διάλεξης είναι να εξετάσουμε τον τρόπο με τον οποίο οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ακέραια Πολύεδρα 1 Ορισμός 4.1 (Convex Hull) Έστω ένα σύνολο S C R n. Ένα σημείο x του R n είναι κυρτός συνδυασμός (convex combination) σημείων του S, αν υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μεθόδου Simplex

Θεωρία Μεθόδου Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Θεωρία Μεθόδου Simplex Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΡΙΣΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΟΥ ΦΟΡΟΥ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΡΙΣΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΟΥ ΦΟΡΟΥ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΡΙΣΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΟΥ ΦΟΡΟΥ Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα αγαθό το οποίο δημιουργεί κατά την παραγωγή ή την κατανάλωσή του έναν ρύπο, και ας υποθέσουμε ότι για κάθε μία μονάδα

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου

Η μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου Η μέθοδος Simplex Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 1 / 17 Η μέθοδος Simplex Simplex Είναι μια καθορισμένη σειρά επαναλαμβανόμενων υπολογισμών μέσω των οποίων ξεκινώντας από ένα αρχικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο 5 ο ΜΑΘΗΜΑ ηµήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Α. Αυτάρκης Οικονομία

Α. Αυτάρκης Οικονομία σελ. από 9 Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Οικονομικής Επιστήμης Μάθημα: 473 Διεθνής Οικονομική Εαρινό Εξάμηνο 05 Καθηγητής: Γιώργος Αλογοσκούφης Φροντιστής: Αλέκος Παπαδόπουλος 8/5/05 Διαγραμματική

Διαβάστε περισσότερα

Οικονοµικός ορθολογισµός

Οικονοµικός ορθολογισµός Οικονοµικός ορθολογισµός Διάλεξη 5 Επιλογή!1 Η βασική παραδοχή για τη συµπεριφορά του λήπτη αποφάσεων είναι ότι αυτός/αυτή επιλέγει την πλέον προτιµώµενη εναλλακτική επιλογή που του/της είναι διαθέσιµη.

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Παράδειγμα ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ Η βιοτεχνία ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ παράγει δύο βασικά προϊόντα: τραπέζια και καρέκλες υψηλής ποιότητας. Η διαδικασία παραγωγής και για τα δύο προϊόντα περιλαμβάνει την

Διαβάστε περισσότερα

g= x + y 1}. Να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά η MR Π(Q) = R(Q) C(Q). Στο παραπλεύρως σχήμα

g= x + y 1}. Να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά η MR Π(Q) = R(Q) C(Q). Στο παραπλεύρως σχήμα ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 0 Μέρος Α. (.6 μονάδες) α). Οι μεταβλητές {,,} συνδέονται με τις εξισώσεις κανόνας αλυσωτής παραγώγισης. { = e +, = ln}. Να επαληθευτεί ο β). Οι μεταβλητές {, y} συνδέονται με μια εξίσωση. Για

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1)

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 Τηλ:10.93.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής Ορισμός : Συνάρτηση f μιας πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ: Ανάλυση ευαισθησίας των παραμέτρων του μαθηματικού υποδείγματος. Εφαρμογές χρησιμοποιώντας το R

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ: Ανάλυση ευαισθησίας των παραμέτρων του μαθηματικού υποδείγματος. Εφαρμογές χρησιμοποιώντας το R ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ: Ανάλυση ευαισθησίας των παραμέτρων του μαθηματικού υποδείγματος. Εφαρμογές χρησιμοποιώντας το R Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό έχει σκοπό να παρουσιάσει και να υπογραμμίσει τη σημασία της ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3: Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας για δύο αγαθά Χ και Υ έχει τη μορφή Cobb- Douglas U (X,Y) = X o,5 Y 0,5

Άσκηση 3: Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας για δύο αγαθά Χ και Υ έχει τη μορφή Cobb- Douglas U (X,Y) = X o,5 Y 0,5 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Σημείωση: Κάποιες από τις παρακάτω ασκήσεις θα λυθούν στην 3 η και 4 η διάλεξη του μαθήματος (στις ημερομηνίες που αναγράφονται στο πρόγραμμα) και οι υπόλοιπες θα αποτελέσουν προσωπική

Διαβάστε περισσότερα

1 Μερική παραγώγιση και μερική παράγωγος

1 Μερική παραγώγιση και μερική παράγωγος Περίγραμμα διάλεξης 5 Βιβλίο Chiang και Wainwright (κεφ 74,75,76) 1 Μερική παραγώγιση και μερική παράγωγος Έστω η συνάρτηση (x) όπου x R ή εναλλακτικά γράφουμε ( 1 2 ) Το διάνυσμα x περιέχει τις ανεξάρτητες

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Ανεξάρτητες αποφάσεις - Κατανομή χρόνου μεταξύ εργασίας και σχόλης

3.1 Ανεξάρτητες αποφάσεις - Κατανομή χρόνου μεταξύ εργασίας και σχόλης 3. ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΓΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ). ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ως προσφορά εργασίας ορίζεται το σύνολο των ωρών εργασίας που προσφέρονται προς εκμίσθωση μία δεδομένη χρονική στιγμή.

Διαβάστε περισσότερα

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000. Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Ελαχιστοποίηση του Κόστους

Ελαχιστοποίηση του Κόστους Ελαχιστοποίηση του Κόστους - H ανάλυση του προβλήματος ελαχιστοποίησης του κόστους παρουσιάζει τα εξής πλεονεκτήματα σε σχέση με το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών: () Επιτρέπει τη διατύπωση μιας θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Φ. ΜΑΓΕΙΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΑΘΗΝΑ ΕΚΔΟΣΗ 2.4 ΜΑΪΟΣ 2012 1-1 Κεφάλαιο 1. Μαθηματικός Προγραμματισμός...1-3

Διαβάστε περισσότερα

25. Μία τυπική επιχείρηση που λειτουργεί σε καθεστώς τέλειου ανταγωνισμού, στη μακροχρόνια θέση ισορροπίας της: α. πραγματοποιεί θετικά οικονομικά κέρδη. β. πραγματοποιεί μηδενικά οικονομικά κέρδη. γ.

Διαβάστε περισσότερα

Ελαχιστοποίηση του Κόστους

Ελαχιστοποίηση του Κόστους Ελαχιστοποίηση του Κόστους - H ανάλυση του προβλήματος ελαχιστοποίησης του κόστους παρουσιάζει τα εξής πλεονεκτήματα σε σχέση με το πρόβλημα μεγιστοποίησης του κέρδους: (1) Επιτρέπει τη διατύπωση μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 4 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ι Κεντρική έννοια το μέτρο ή ρυθμός μεταβολής:

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα 2: Γραφική επίλυση προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού(γ.π.) ιδάσκων: Βασίλειος Ισµυρλής Τηλ:6979948174, e-mail: vasismir@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδος simplex Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 4 η /2017 Η γεωμετρία των προβλημάτων γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 4: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (4 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

2.10. Τιμή και ποσότητα ισορροπίας

2.10. Τιμή και ποσότητα ισορροπίας .. Τιμή και ποσότητα ισορροπίας ίδαμε ότι η βασική επιδίωξη των επιχειρήσεων είναι η επίτευξη του μέγιστου κέρδους με την πώληση όσο το δυνατόν μεγαλύτερων ποσοτήτων ενός αγαθού στη μεγαλύτερη δυνατή τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 3: Μαθηματικό Πρότυπο, Κανονική Μορφή, Τυποποιημένη Μορφή Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 21: Δυϊκή Θεωρία, Θεώρημα Συμπληρωματικής Χαλαρότητας και τρόποι χρήσης του Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

f(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x

f(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, τα γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I 22 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες και 15' 1 (4 μονάδες)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I 22 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες και 15' 1 (4 μονάδες) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 15' 1 (4 μονάδες) f() α) Να βρεθούν γραφικά τα σημεία ισοελαστικότητας, αν υπάρχουν, της συνάρτησης f() που έχει το γράφημα του παραπλεύρως

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 22Νοεμβρίου 2015 ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 15. Αποτελεσματική και δίκαιη φορολογία

Διάλεξη 15. Αποτελεσματική και δίκαιη φορολογία Διάλεξη 15 Αποτελεσματική και δίκαιη φορολογία 1 Άριστη φορολογία αγαθών Ας υποθέσουμε ότι η κυβέρνηση επιδιώκει να εισπράξει κάποια έσοδα από ένα φόρο για να χρηματοδοτήσει κάποιες δαπάνες. Ποιος είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ

ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ Τεχνολογία και Συναρτήσεις Παραγωγής -H πλευρά της προσφοράς στην οικονομία μελετάει τη διαδικασία παραγωγής των αγαθών και υπηρεσιών που καταναλώνονται από τα

Διαβάστε περισσότερα

To 2 ο Θεμελιώδες Θεώρημα Ευημερίας

To 2 ο Θεμελιώδες Θεώρημα Ευημερίας o 2 ο Θεμελιώδες Θεώρημα Ευημερίας - Το 1 ο Θεώρημα Ευημερίας (FW) εξασφαλίζει ότι η ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto αλλά δεν εξασφαλίζει μια ίση διανομή των οικονομικών οφελών μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. x 300 = = = Άσκηση 3.1

Κεφάλαιο 3. x 300 = = = Άσκηση 3.1 Άσκηση. Κεφάλαιο Έστω χ η πόσοτητα ενός αγαθού που παράγει μια επιχείρηση. Η κάθε μονάδα αυτής της ποσότητας μπορεί να πουλήθει στην τιμή που δίνεται από τη συνάρτηση P = 00. Το συνολικό κόστος για την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Από το βιβλίο: Κώστογλου, Β. (2015). Επιχειρησιακή Έρευνα. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Τζιόλα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Από το βιβλίο: Κώστογλου, Β. (2015). Επιχειρησιακή Έρευνα. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Τζιόλα ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ 1 Εισαγωγικά Απόθεμα εννοείται κάθε είδους αγαθό, το οποίο μπορεί να αποθηκευτεί με στόχο την τρέχουσα ή μελλοντική χρησιμοποίησή του. Αποθέματα συναντώνται σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

5 Ο προσδιορισμός του εισοδήματος: Εξαγωγές και εισαγωγές

5 Ο προσδιορισμός του εισοδήματος: Εξαγωγές και εισαγωγές 5 Ο προσδιορισμός του εισοδήματος: Εξαγωγές και εισαγωγές Σκοπός Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάσαμε τον προσδιορισμό του εισοδήματος μίας οικονομίας χωρίς διεθνές εμπόριο, δηλαδή χωρίς να λάβουμε υπ όψιν

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1. Ολικά και τοπικά ακρότατα. 2. Εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα

1. Ολικά και τοπικά ακρότατα. 2. Εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα Β3. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE.Ολικά και τοπικά ακρότατα.εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα 3. Χωριζόμενες μεταβλητές 4.Ισοτικός περιορισμός 5.Περιορισμένη στασιμότητα 6.Πολλαπλασιαστής Lagrange 7.Συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Τι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός; Είναι το σημαντικότερο μοντέλο στη Λήψη Αποφάσεων Αντικείμενό του η «άριστη» κατανομή περιορισμένων

Διαβάστε περισσότερα

Δεύτερο πακέτο ασκήσεων. έχει φθίνον τεχνικό λόγο υποκατάστασης (RTS); Απάντηση: Όλες τις τιμές αφού ο RTS = MP 1 MP 2

Δεύτερο πακέτο ασκήσεων. έχει φθίνον τεχνικό λόγο υποκατάστασης (RTS); Απάντηση: Όλες τις τιμές αφού ο RTS = MP 1 MP 2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2013-2014 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Δεύτερο πακέτο ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης Παρασκευή 28 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes. C = p x x 1 + p y y 1. pxx + pyy = 160

Notes. Notes. Notes. Notes. C = p x x 1 + p y y 1. pxx + pyy = 160 Ελαχιστοποίηση κόστους Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 9 Οκτωβρίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου 2012 1 / 36 Κόστος Το πρόβλημα εύρεσης ενός άριστου καλαθιού

Διαβάστε περισσότερα

από την ποσοστιαία μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας προς την ποσοστιαία Σχέση ελαστικότητας ζήτησης και κλίση της καμπύλης ζήτησης.

από την ποσοστιαία μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας προς την ποσοστιαία Σχέση ελαστικότητας ζήτησης και κλίση της καμπύλης ζήτησης. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΖΗΤΗΣΗΣ Ορισμός: Η ελαστικότητα ζήτησης, ενός αγαθού ως προς την τιμή του δίνεται από την ποσοστιαία μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας προς την ποσοστιαία μεταβολή της τιμής του. Δηλαδή %

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

12/10/2015 LINEAR_PROGRAMMING_EBOOK ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

12/10/2015 LINEAR_PROGRAMMING_EBOOK ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γραμμικός Προγραμματισμός είναι η διαδικασία εύρεσης μιας βέλτιστης λύσης μιας γραμμικής συνάρτησης, η οποία να είναι συμβατή με ένα πεπερασμένο σύνολο γραμμικών ανισοτήτων, δηλαδή,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 12., στο ίδιο σύστημα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 12., στο ίδιο σύστημα Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 1. (4 μονάδες) α). Η συνάρτηση () έχει το παραπλεύρως γράφημα. () Να βρεθούν τα γραφήματα της μέσης τιμής: A() = () / και του οριακού ρυθμού: M() = (), στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων.

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3. Οικονομικά της ευημερίας. Οικονομικά της ευημερίας 3/9/2017. Περίγραμμα. Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης

Διάλεξη 3. Οικονομικά της ευημερίας. Οικονομικά της ευημερίας 3/9/2017. Περίγραμμα. Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης Περίγραμμα Διάλεξη Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης Συνθήκες για αποτελεσματικότητα κατά areto Συνθήκες για ισορροπία σε ανταγωνιστικές αγορές Το πρώτο θεώρημα των οικονομικών της ευημερίας Το δεύτερο θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

(sensitivity analysis, postoptimality analysis).

(sensitivity analysis, postoptimality analysis). Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 7 Ανάλυση ευαισθησίας Παραμετρική ανάλυση Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 11 Φεβρουαρίου 2016 Α.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογές του Καταναλωτή και Αποφάσεις Ζήτησης Εκδόσεις Κριτική

Επιλογές του Καταναλωτή και Αποφάσεις Ζήτησης Εκδόσεις Κριτική 5 Επιλογές του Καταναλωτή και Αποφάσεις Ζήτησης Τέσσερα βασικά στοιχεία του υποδείγματος επιλογής του καταναλωτή Το εισόδημα του καταναλωτή. Οι τιμές των αγαθών. Οι προτιμήσεις του καταναλωτή. Η υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. Θεωρία Χρησιµότητας και Συµπεριφοράς του Καταναλωτή

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. Θεωρία Χρησιµότητας και Συµπεριφοράς του Καταναλωτή ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Θεωρία Χρησιµότητας και Συµπεριφοράς του Καταναλωτή Εισαγωγή: Όπως γνωρίζουµε, το οικονοµικό πρόβληµα εστιάζεται στην αποτελεσµατική κατανοµή των ανεπαρκών οικονοµικών πόρων στις εναλλακτικές

Διαβάστε περισσότερα

Η Διαχρονική Προσέγγιση στο Ισοζύγιο Πληρωμών

Η Διαχρονική Προσέγγιση στο Ισοζύγιο Πληρωμών Η Διαχρονική Προσέγγιση στο Ισοζύγιο Πληρωμών Καθ. ΓΙΩΡΓΟΣ ΑΛΟΓΟΣΚΟΥΦΗΣ Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 1 Η Διαχρονική Προσέγγιση Η διαχρονική προσέγγιση έχει ως σημείο εκκίνησης τις τεχνολογικές και αγοραίες

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: Γραφική Επίλυση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού και Ανάλυση Ευαισθησίας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: Γραφική Επίλυση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού και Ανάλυση Ευαισθησίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: Γραφική Επίλυση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού και Ανάλυση Ευαισθησίας Σύνοψη Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζεται με πολύ αναλυτικό τρόπο η μεθοδολογία Γραφικής Επίλυσης ένα πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

6. Το Υπόδειγμα των Επικαλυπτόμενων Γενεών: Ανταλλαγή I

6. Το Υπόδειγμα των Επικαλυπτόμενων Γενεών: Ανταλλαγή I 6. Το Υπόδειγμα τν Επικαλυπτόμενν Γενεών: Ανταλλαγή I 6.. Ερτήσεις Σχολιάστε την εγκυρότητα τν παρακάτ προτάσεν. Αν πιστεύετε ότι μια πρόταση είναι σστή κάτ από ορισμένες προϋποθέσεις τότε να αναφέρετε

Διαβάστε περισσότερα