ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. του Τσιπλίδη Κωνσταντίνου, ΑΜ: 3615 ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΛΥΤΙΚΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΚΑΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX MΕ PYTHON

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. του Τσιπλίδη Κωνσταντίνου, ΑΜ: 3615 ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΛΥΤΙΚΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΚΑΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX MΕ PYTHON"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Τσιπλίδη Κωνσταντίνου, ΑΜ: 3615 ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΛΥΤΙΚΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΚΑΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX MΕ PYTHON Επιβλέπων Καθηγητής: Σαμαράς Νικόλαος

2 Σκοπός της Εργασίας Επίλυση Γραμμικών Προβλημάτων (ΓΠ) μεγάλης κλίμακας Αντιμετώπιση προβλημάτων αποθήκευσης Ανάλυση της δομής και του περιεχομένου τους Αντιμετώπιση προβλημάτων και δυσκολιών Απαλοιφή πλεονασματικών στοιχείων και αποφυγή περιττών πράξεων και σφαλμάτων Χρήση της γλώσσας python σε επιστημονικούς υπολογισμούς με συνδυασμούς δομών της γλώσσας (tuple, list κα) και βιβλιοθήκες κώδικα (Numpy, scipy κλπ) 2

3 Περιεχόμενα της Εργασίας 1. Επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού 2. Συλλογές Προβλημάτων Μετροπροβλήματα 3. Τεχνικές Αραιών Μητρών 4. Μέθοδοι Προεπίλυσης 5. Διαδικασίες Κλιμάκωσης 6. Αναθεωρημένος Αλγόριθμος Simplex 7. Επιστημονικοί Υπολογισμοί με Python 8. Υπολογιστική Μελέτη 9. Συμπεράσματα 10. Ανάλυση δομής και πληροφοριών αρχείων mps 11. Εγκατάσταση της γλώσσας python 3

4 Γλώσσα υλοποίησης Γιατί Python γενικά; Ευκολία (εκμάθηση χρήση συγγραφή ανάγνωση διόρθωση) Rapid Prototyping «εκ φύσεως» αντικειμενοστραφής Βιβλιοθήκες (numpy, scipy, matplotlib και linalg κλπ) Δωρεάν και για κάθε ΛΣ Άμεση και αλληλεπιδραστική λειτουργία (Bressert (2013), Idris (2014), Langtangen (2009), Langtangen (2014), Rojas (2015), Blanco- Silva (2013), Stewart (2014) Μηχανικοί Google: Python where we can, C++ where we must 4

5 1. Επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού 1. Γενική μορφή του Γραμμικού Προβλήματος (ΓΠ) min (ή max).. x 0, j 1,..., n j T c x n m mn c, x, b, A, {,, } T ή πιο απλά: min{ c x : Ax b, x 0} 2. Επίλυσή του με τον αλγόριθμο Simplex σε 2 Φάσεις με μια τεχνητή μεταβλητή z Ax b 5

6 2. Συλλογές Προβλημάτων Μετροπροβλήματα 1. Συλλογές από μετροπροβλήματα Netlib Βασική συλλογή Kennigton infeasible Mittelmann ΓΠ από την Ακαδημία Επιστημών της Ουγγαρίας ( προβληματικά στοχαστικά διάφορα 6

7 Πηγή: ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΛΥΤΙΚΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΚΑΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX MΕ PYTHON 2. Συλλογές Προβλημάτων Μετροπροβλήματα 2. Μορφή προβλημάτων MPS format Modeling format 7

8 2. Συλλογές Προβλημάτων Μετροπροβλήματα 3. Δομή προβλημάτων Χαρακτηριστικά - Μεγάλο μέγεθος - Λίγα μη μηδενικά στοιχεία - Περιττά στοιχεία 8

9 2. Συλλογές Προβλημάτων Μετροπροβλήματα 4. Ο κώδικας 9

10 2. Συλλογές Προβλημάτων Μετροπροβλήματα 4. Ιδιαιτερότητες των Μετροπροβλημάτων Περιττές γραμμές ή/και στήλες Γραμμικώς εξαρτημένες γραμμές Μηδενικές γραμμές στήλες Διάφοροι άλλοι πλεονασμοί (singleton κλπ) Μεγάλες αποκλίσεις στις αριθμητικές τιμές 5. Προβλήματα στην επίλυσή τους Αδυναμία αντιστροφής της μήτρας των συντελεστών Συσσώρευση σφαλμάτων υπολογισμών Πολλά μηδενικά στοιχεία 10

11 3. Τεχνικές Αραιών Μητρών Sparse Matrices Techniques 1. Οφέλη Λιγότερος αποθηκευτικός χώρος Ταχύτητα εκτέλεσης πράξεων Αυτόματη διαχείριση της αραιής δομής 2. Δυσκολίες Υποστήριξη από την γλώσσα Εκμάθηση του συντακτικού Συνεργασία με άλλες εγγενείς δομές δεδομένων Ύπαρξη ενσωματωμένων εντολών χειρισμού (πχ πολλαπλασιασμός πινάκων) 11

12 3. Τεχνικές Αραιών Μητρών Sparse Matrices Techniques 3. Οι μορφές αποθήκευσης που υποστηρίζονται από την python και το scipy είναι οι εξής: BSD: Διάταξη και επεξεργασία σε ενότητες (blocks) DOK: Λεξικογραφική μέθοδος COO: Μέθοδος των συντεταγμένων LIL: Συνδεδεμένες Λίστες CSR: Μέθοδος συμπίεσης κατά γραμμή CSC: Μέθοδος συμπίεσης κατά στήλη DIA: Διαγώνια μορφή Πηγή: 12

13 3. Τεχνικές Αραιών Μητρών Sparse Matrices Techniques 4. Χειρισμός αραιών μητρών στην python 13

14 3. Τεχνικές Αραιών Μητρών Sparse Matrices Techniques Τεχνικές αραιών μητρών και python 14

15 3. Μέθοδοι Προεπίλυσης 1. Απαλοιφή μηδενικών γραμμών μια μηδενική γραμμή ορίζεται ως εξής: b A x b i i i i όπου i 1,2,..., m και A 0 Διακρίνονται οι πιο κάτω περιπτώσεις: * 1. Ai 1x1 Ai 2x2... Ain xn bi και bi 0 : ο περιορισμός είναι πλεονασματικός και μπορεί να διαγραφεί * 2. Ai 1x1 Ai 2x2... Ain xn bi και bi 0 : το πρόβλημα είναι αδύνατο * 1. A1x1 A 2x2... A x b και b 0 : ο περιορισμός είναι πλεονασματικός i i in n i i i και μπορεί να διαγραφεί 15

16 3. Μέθοδοι Προεπίλυσης 1. Απαλοιφή μηδενικών γραμμών 1. * A1x1 A 2x2... A x b και b 0 : το πρόβλημα είναι αδύνατο i i in n i i 2. * A1x1 A 2x2... A x b b b 0: ο περιορισμός είναι πλεονασματικός i i in n i i i και μπορεί να διαγραφεί 1. * A1x1 A 2x2... A x b b b 0: το πρόβλημα είναι αδύνατο i i in n i i i 16

17 3. Μέθοδοι Προεπίλυσης 1. Απαλοιφή μηδενικών γραμμών Κώδικας 17

18 3. Μέθοδοι Προεπίλυσης 2. Απαλοιφή μηδενικών στηλών Μια στήλη είναι μηδενική όταν όλοι οι συντελεστές σε αυτή τη στήλη είναι μηδέν A =0, όπου j 1,2,..., n j Διακρίνονται οι πιο κάτω περιπτώσεις: c j 0, όπου j 1,2,..., n η μεταβλητή x j είναι περιττή και μπορεί να διαγραφεί c <0, όπου j 1,2,..., n j το ΓΠ πρόβλημα είναι απεριόριστο, οπότε σταματάει η διαδικασία 18

19 3. Μέθοδοι Προεπίλυσης 3. Απαλοιφή περιορισμών ισότητας τύπου singleton Όταν στην μήτρα των συντελεστών ενός προβλήματος εμφανίζονται γραμμές περιορισμοί ισότητας με ένα μόνο συντελεστή μη μηδενικό, αυτές οι γραμμές ονομάζονται singleton. Μια τέτοια γραμμή έχει την γενική μορφή: A x A x A x b i1 1 i in n i όπου i 1,2,..., m και A 0 A 0 με j k ή A x b ή x b / A ik k i k i ik ik ij 19

20 3. Μέθοδοι Προεπίλυσης 3. Απαλοιφή περιορισμών ισότητας τύπου singleton Διακρίνονται δύο περιπτώσεις, ανάλογα με την τιμή του x k xk 0 : η γραμμή και η στήλη είναι πλεονάζουσες και μπορούν να διαγραφούν από το πρόβλημα b b x A ανανεώνεται το ΔΜ ως εξής: k k ο σταθερός όρος ανανεώνεται ως εξής: c0 c0 ck ( bi / Aik ) xk 0 : το πρόβλημα είναι αδύνατο 20

21 3. Μέθοδοι Προεπίλυσης 4. Απαλοιφή ισοτικών περιορισμών τύπου k-ton Οι τύπου k-ton περιορισμοί είναι οι ισοτικοί περιορισμοί στους οποίους υπάρχουν μόνο k μη μηδενικοί συντελεστές του προβλήματος, όπως φαίνεται από τον επόμενο τύπο: A x A x A x b i1 1 i in n i όπου i 1,2,..., m και Aik 0 Aij 0 Για κάθε μη μηδενικό στοιχείο της j στήλης (διάνυσμα t) όπου βρίσκεται το k στοιχείο μιας γραμμής i, καθώς και για την I γραμμή, γίνεται η πιο κάτω ενημέρωση T A A / A και c c c A b b A b i i ij b b / A i i ij 0 0 j i c c c b j i t t tj t A A A A 21 t t tj i

22 3. Μέθοδοι Προεπίλυσης 4. Απαλοιφή ισοτικών περιορισμών τύπου k-ton Μετά την ενημέρωση αυτή είναι δυνατή η διαγραφή της j μεταβλητής. H διαδικασία ακολουθείται με την συνεχή μείωση του k μέχρι να γίνει k=1, οπότε ακολουθείται ότι ισχύει στην μέθοδο 3 και διακρίνονται οι εξής περιπτώσεις: xk 0 : το ΓΠ είναι αδύνατο xk 0 : γίνεται διαγραφή της γραμμής I και της στήλης j ως πλεονάζουσες. 22

23 3. Μέθοδοι Προεπίλυσης 5. Απαλοιφή ανισοτικών περιορισμών τύπου singleton Η μέθοδος μπορεί να οδηγήσει σε προσδιορισμό αδυναμίας επίλυσης του αρχικού προβλήματος ή στην διαγραφή γραμμών αλλά και στηλών, μειώνοντας έτσι αρκετά την διάσταση του προβλήματος. Μια τέτοια ανισότητα έχει την εξής μορφή: b A x A x A x b i i1 1 i in n i όπου i 1,2,..., m και A 0 A 0, j k, j 1,2,..., n ik ij 23

24 3. Μέθοδοι Προεπίλυσης 5. Απαλοιφή ανισοτικών περιορισμών τύπου singleton Σε αυτή τη μορφή διακρίνονται οι πιο κάτω περιπτώσεις: 24

25 3. Μέθοδοι Προεπίλυσης 5. Απαλοιφή ανισοτικών περιορισμών τύπου singleton Σε αυτή τη μορφή διακρίνονται οι πιο κάτω περιπτώσεις: 25

26 3. Μέθοδοι Προεπίλυσης 6. Απαλοιφή δυϊκού ανισοτικού περιορισμού τύπου singleton Μετατρέποντας το αρχικό πρόβλημα στο αντίστοιχο δυϊκό του, ένας δυϊκός ανισοτικός περιορισμός είναι τύπου singleton αν έχει ένα μη μηδενικό στοιχείο και έχει την παρακάτω μορφή: A w A w A w c j1 1 j jm m j όπου j 1,2,..., n και A 0 A 0, i k, i 1,2,..., m jk ji Χωρίς να είναι απαραίτητο να μετατραπεί το αρχικό πρωτεύον πρόβλημα στο δυϊκό του, και εξετάζοντας στήλες του πρωτεύοντος αντί γραμμές του δυϊκού, προκύπτουν οι παρακάτω περιπτώσεις: 26

27 3. Μέθοδοι Προεπίλυσης 6. Απαλοιφή δυϊκού ανισοτικού περιορισμού τύπου singleton 27

28 3. Μέθοδοι Προεπίλυσης 7. Απαλοιφή εμμέσως ελεύθερων στηλών τύπου singleton Υπάρχουν περιορισμοί που μπορεί να παρουσιάζουν ελεύθερες στήλες singleton, δηλαδή να περιέχουν το μοναδικό μη μηδενικό στοιχείο μιας στήλης, έχοντας όμως και τα πιο κάτω χαρακτηριστικά: A x A x b i 1 is s όπου i 1,2,..., m και Ais 0 A s { Ais } 0 Οι περιπτώσεις κατά τις οποίες η s στήλη είναι πλεονάζουσα: A 0 A 0, j s ή A 0 A 0, j s ή is ij O I περιορισμός μπορεί να απαλειφθεί. Πριν ολοκληρωθεί η απαλοιφή αυτών των στοιχείων, γίνεται ενημέρωση της γραμμή κόστους: c0 c0 ( cs / Ais ) bi T c c ( cs / Ais ) Ai is ij 28

29 3. Μέθοδοι Προεπίλυσης 8. Απαλοιφή πλεονασματικών στηλών Ένας ισοτικός περιορισμός με μηδενικό δεξιό μέρος, που έχει όλους τους συντελεστές του με ίδιο πρόσημο, υποδηλώνει την ύπαρξη πλεονασματικών μεταβλητών οι οποίες δεν επηρεάζουν την επίλυση του προβλήματος και μπορούν να διαγραφούν. Πιο συγκεκριμένα: Ai 1x1 Ai 2x2... Ain xn 0 όπου i 1,2,..., m και A 0 ή A 0, j 1,2,..., n ij ij 29

30 3. Μέθοδοι Προεπίλυσης 9. Απαλοιφή έμμεσων ορίων γραμμών Ένας περιορισμός που υποδηλώνει νεα όρια για τις μεταβλητές, μπορεί να θεωρηθεί πλεονασματικός και να διαγραφεί. Πιο συγκεκριμένα, διακρίνονται οι παρακάτω περιπτώσεις: όπου η γραμμή i είναι πλεονασματική και διαγράφεται. 30

31 3. Μέθοδοι Προεπίλυσης 10. Απαλοιφή πλεονασματικών γραμμών Η συγκεκριμένη μέθοδος αφορά τον εντοπισμό γραμμικώς εξαρτημένων γραμμών στο σύστημα των ανισοτήτων του ΓΠ, όταν δηλαδή για τις γραμμές i και k, με i k ισχύει: A A με και i, k {1,2,..., m} i k Η πιο γνωστή μέθοδος είναι αυτή της απαλοιφής του Gauss. Εδώ χρησιμοποιείται μια παραλλαγή αυτής, όπου με συνεχείς γραμμοπράξεις εντοπίζονται γραμμικώς εξαρτημένες γραμμές οι οποίες αφού εντοπιστούν σημειώνονται (σε λίστα) και αφαιρούνται στο τέλος. 31

32 4. Διαδικασίες Κλιμάκωσης Η κλιμάκωση των προβλημάτων εξομαλύνει τις διαφορές των αριθμητικών τιμών των δεδομένων και, αν και απαιτεί κάποιο υπολογιστικό κόστος για την εφαρμογή τους, προσφέρει καλύτερη αριθμητική ακρίβεια στις λύσεις των προβλημάτων. 32

33 4. Διαδικασίες Κλιμάκωσης 1. Μέθοδος της εξισορρόπησης Το πρώτο βήμα έχει να κάνει με την εύρεση του μεγαλύτερου κατ απόλυτη τιμή στοιχείου κάθε γραμμής. Στην συνέχεια υπολογίζονται οι λεγόμενοι παράγοντες κλιμάκωσης γραμμής ως οι αντίστροφοι αριθμοί των μεγίστων των γραμμών του προηγούμενου βήματος. Με αυτούς τους παράγοντες πολλαπλασιάζονται τα στοιχεία κάθε γραμμής και του δεξιού μέρους. Με παρόμοιο τρόπο, για κάθε στήλη της μήτρας των συντελεστών υπολογίζεται το μεγαλύτερο κατά απόλυτη τιμή στοιχείο. Οι αντίστροφοι αυτών των τιμών χρησιμοποιούνται για να πολλαπλασιάσουν κάθε στήλη και τα αντίστοιχα στοιχεία της γραμμής κόστους. 33

34 4. Διαδικασίες Κλιμάκωσης 1. Ο κώδικας 34

35 4. Διαδικασίες Κλιμάκωσης 2. Μέθοδος του γεωμετρικού μέσου Στόχος αυτής της τεχνικής είναι να ελαχιστοποιήσει την διακύμανση τιμών των μη μηδενικών στοιχείων της μήτρας των συντελεστών του ΓΠ. Και σε αυτήν την μέθοδο, όπως και στην προηγούμενη, χρησιμοποιούνται δύο βοηθητικοί πίνακες παράγοντες κλιμάκωσης, η κατασκευή των οποίων γίνεται με το παρακάτω τρόπο: 1 r max x min x k 1 k k i ij ij jn jn i i 2 και αφορά την κλιμάκωση γραμμών, ενώ για τις στήλες, υπολογίζεται ως εξής: k 1 k k 2 2 s j max xij min x ij jm j jm j 35

36 5. Αναθεωρημένος Αλγόριθμος Simplex Ο αναθεωρημένος αλγόριθμος simplex δύο φάσεων ΒΗΜΑ 0 Αρχικοποίηση (Initialization) 1. Επιλογή μιας βασικής δια επιμέρισης ( BN), 2. Υπολογισμός των κάτωθι μητρών και διανυσμάτων: c c A x A b w c A s c w A 1 1 1,,,, T T, T T T B N B B B B N N N Όπου 1 A B είναι η αντίστροφη μήτρα του A, σχετική με τις βασικές μεταβλητές. 3. Αν x Bi 0, τότε η βασική διαμέριση δεν είναι εφικτή, οπότε και ξεκινάει η Φάση Ι. Διαφορετικά, επιλέγεται το ΒΗΜΑ 1. 36

37 5. Αναθεωρημένος Αλγόριθμος Simplex Ο αναθεωρημένος αλγόριθμος simplex δύο φάσεων ΒΗΜΑ 1 Έλεγχοι 1. Έλεγχος Βελτιστότητας (Optimality Test): Τίθεται: J { j : j N και s j 0}. Αν J, ο αλγόριθμος σταματά και το τρέχον σημείο είναι βέλτιστο. Διαφορετικά, επιλέγεται η εισερχόμενη εξερχόμενη της βάσης μεταβλητή x, l N[ t], όπου t επιλέγεται από έναν κανόνα περιστροφής. l 37

38 5. Αναθεωρημένος Αλγόριθμος Simplex Ο αναθεωρημένος αλγόριθμος simplex δύο φάσεων 1. Έλεγχος ελαχίστου λόγου (minimum ratio test): Υπολογίζονται τα: h A a και I i : 1 i m και h 0 1 l B l. il Αν I ο αλγόριθμος τερματίζεται, το πρόβλημα είναι απεριόριστο. Διαφορετικά, επιλέγεται ως εξερχόμενη της βάσης μεταβλητή η τον τύπο: 1 1 AB b AB b i i xl min : i I hrl hil x B r x με k 38

39 5. Αναθεωρημένος Αλγόριθμος Simplex Ο αναθεωρημένος αλγόριθμος simplex δύο φάσεων ΒΗΜΑ 2 Περιστροφή (pivot) Τίθεται N[] t k και B[] r έλεγχος στο ΒΗΜΑ l ως νέα βασική διαμέριση και επιστρέφεται ο 39

40 5. Αναθεωρημένος Αλγόριθμος Simplex 2. Φάση Ι ΒΗΜΑ 0 Αρχικοποίηση (Initialization) 1. Εισάγεται μια νέα μεταβλητή απόφασης, η xn 1, με διάνυσμα συντελεστών d A e, όπου e 1 i 1,2,..., m, που ονομάζεται τεχνητή. B i 2. Τίθεται fi 0, i 1,2,..., n και fn 1 1 για τους συντελεστές της νέας γραμμής κόστους (του τεχνητού προβλήματος) Υπολογίζεται το r arg minab b N N B r, B r : εξερχόμενη μεταβλητή και 4. Αλλάζει η βασική διαμέριση, B B [ n 1] Br Υπολογίζονται τα νέα 40 x A b, w f A και s f w A 1 T T 1 T T T B B B B N N N

41 5. Αναθεωρημένος Αλγόριθμος Simplex 2. Φάση Ι (συνέχεια) ΒΗΜΑ 1 Έλεγχος τερματισμού T 1. Αν s 0 ο αλγόριθμος σταματά. Αν x 1 0 ο αλγόριθμος σταματά, το N πρόβλημα είναι αδύνατο. Διαφορετικά, γίνεται επιστροφή στην Φάση ΙΙ από το τρέχον σημείο. T 2. Αν 0, επιλέγεται εισερχόμενη μεταβλητή με τον έλεγχο ελαχίστου s N i λόγου του Dantzig: sl min s j : s j 0 j N στοιχείου n Υπολογισμός του h A a 1 l B l 41

42 5. Αναθεωρημένος Αλγόριθμος Simplex 2. Φάση Ι (συνέχεια) 1. Επιλογή εξερχόμενης από την βάση μεταβλητής με τον έλεγχο ελαχίστου λόγου: xb min i : i B hli ΒΗΜΑ 2 Περιστροφή T T T T Γίνεται περιστροφή και ανανέωση των B, N, f, f, x, w, s. Επιστροφή στο ΒΗΜΑ 1. B N B N 42

43 6. Επιστημονικοί Υπολογισμοί με Python Παραδείγματα κώδικα def delzerocols(a,c): m,n=np.shape(a) a=a.tocsc() mask = np.concatenate(([true], a.indptr[1:]!= a.indptr[:-1])) mask1 = np.concatenate(([true], a.indptr[1:] == a.indptr[:-1])) mask2=c.a<0 if not np.any(mask2.t & mask1[1:]): Α=csr_matrix(a)[:,mask[1:]] c=csr_matrix(c)[mask[1:]] m,n=np.shape(a) return A,c 43

44 6. Επιστημονικοί Υπολογισμοί με Python Η διάλεκτος της python [col.append(i) for i in data[0:len(data):3] if i not in col] for i in ['L','E','G']: eqtype=[k if x==i else x for x in eqtype] k+=1 Η δύναμή της οι βιβλιοθήκες της Numpy Scipy MatPlotLib from numpy.linalg import inv Binv = csr_matrix(inv(sparse_matrix.a)) 44

45 6. Επιστημονικοί Υπολογισμοί με Python Παραδείγματα κώδικα mask=np.where(eq!=0)[0] #sparse A augmenting με χαλαρες μτβς for i in mask: ey=np.eye(m, 1, -i)*-eq[i] #+ή- πλεονασμ ή ελλειματική χαλαρή μτβ a=hstack((a,ey),format='csr') import scipy.sparse.linalg as spsl import scipy.sparse as sp from numpy.linalg import inv newmat=matrix(mysparsematrix.a).rref() xb=csr_matrix(np.where(np.abs(xb.a)<tol,0.0,xb.a)) 45

46 Αλλαγή Μεγέθους 7. Υπολογιστική Μελέτη α/α Όνομα Συλλογή Περιορισμοί Στήλες Διαφορά Διαφορά Διαφορά nnz m' n' nnz' Αρχείου m n Δm Δn % 1 afiro netlib ,00% 2 agg netlib ,57% 3 beaconfd netlib ,23% 4 bgprtr infeasible ,38% 5 blend netlib ,16% 6 farm misc ,11% 7 farm misc ,11% 8 israel netlib ,00% 9 itest2 infeasible ,00% 10 itest6 infeasible ,00% 11 kleemin3 misc ,00% 12 kleemin4 misc ,00% 13 kleemin5 misc ,00% 14 kleemin6 misc ,00% 15 kleemin7 misc ,00% 16 kleemin8 misc ,00% 17 klein1 infeasible ,00% 18 lotfi netlib ,95% 19 sc105 netlib ,00% 20 sc205 netlib ,18% 21 sc205-2r-16 stochlp ,00% 22 sc205-2r-27 stochlp ,00% 23 sc205-2r-32 stochlp ,00% 24 sc205-2r-4 stochlp ,00% 25 sc205-2r-8 stochlp ,00% 26 sc50a netlib ,00% 27 sc50b netlib ,00% 28 share1b netlib ,86% 29 share2b netlib ,00% 30 stocfor1 netlib ,90%

47 Επαναλήψεις 7. Υπολογιστική Μελέτη α/α Όνομα Περιορισμοί Στήλες Φόρτωμα Χρόνος Χρόνος Χρόνος Αρ.Επαναλήψεων Αρ.Επαναλήψεων Αρχείου m n Αρχείου Κλιμάκωσης Προεπίλυσης Επίλυσης Χωρίς Προεπίλυση με Προεπίλυση 1 afiro , , , , agg , , , , beaconfd , , , , bgprtr ,004 0, , , blend , , , , farm ,003 0, , , farm , , , , israel , , , , itest , , , , itest , , , , kleemin ,003 0, , , kleemin ,002 0, , , kleemin ,002 0, , , kleemin ,003 0, , , kleemin , , , , kleemin ,004 0, , , klein ,014 0, , , lotfi , , , , sc , , , , sc , , , , sc205-2r , , , , sc205-2r , , , , sc205-2r , , , , sc205-2r , , , , sc205-2r , , , , sc50a , , , , sc50b ,014 0, , , share1b , , , , share2b , , , , stocfor , , , ,

48 7. Υπολογιστική Μελέτη Χρόνοι Επίλυσης 48

49 8. Συμπεράσματα Βελτιώσεις 1. Σχετικά καλοί χρόνοι a. Ανάγνωσης αρχείων b. κλιμάκωσης c. επίλυσης 2. Λιγότερες επαναλήψεις 3. Διερεύνηση τρόπων βελτίωσης χρόνων προεπίλυσης πχ με παράλληλο προγραμματισμό σε MultiCore GPUs 4. Βελτίωση διαδικασιών όπως η builtin ρουτίνα RREF (επιδρά δραστικά και ανάλογα με το μέγεθος του προβλήματος στον χρόνο επίλυσης) 5. Πιο αποδοτική χρήση λογικών μασκών του numpy σε δομές του scipy 6. Σύγκριση και βέλτιστη επιλογή δομών (list, set, tuple) 49

50 8. Βιβλιογραφία Bazaraa, M., Jarvis, J., Sherali, H. (2005). Linear Programming and Network Flows, 3rd edition, Wiley-Interscience Dantzig, B.G., (1949), Programming in a linear structure,econometrica,vol.17, pp Erling D. Andersen, Andersen Knud D. (1995) Presolving in linear programming Mathematical Programming Erling D. Andersen (1995): Finding all linearly dependent rows in large-scale linear programming, Optimization Methods and Software, 6:3, Rojas Sergio J. G. Christensen Erik A, Francisco J. Blanco-Silva (2015 ) Learning SciPy for Numerical and Scientific Computing Second Edition, Packt Publishing Pissanetzky Sergio (1984) Sparse Matrix Technology Acad. Press Tomlin J.A. and J.S. Welch (1986), Finding duplicate rows in a linear programming model, Volume 5, Operations Research Letters Παπαρρίζος Κωνσταντίνος (2009) Γραμμικός Προγραμματισμός: Μια προσέγγιση με MATLAB Εκδόσεις Ζυγός 50

51 Ευχαριστώ 51

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 3/4/2012. Lecture08 1

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 3/4/2012. Lecture08 1 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Μεθοδολογία αλγορίθμων τύπου simplex (5) Βήμα 0: Αρχικοποίηση (Initialization). Στο βήμα

Διαβάστε περισσότερα

Υλοποίηση Αναθεωρημένου Αλγορίθμου Simplex

Υλοποίηση Αναθεωρημένου Αλγορίθμου Simplex Υλοποίηση Αναθεωρημένου Αλγορίθμου Simple Για το γενικό γραμμικό πρόβλημα Αμπατζόγλου Απόστολος Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Ιούνιος 2005 Γενικό γραμμικό πρόβλημα Προβλήματα μεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 13: Μεθοδολογία Αλγορίθμων τύπου Simplex, Αναθεωρημένος Πρωτεύων Αλγόριθμος Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Διερεύνηση και Αξιολόγηση Διαφορετικών Κανόνων Περιστροφής για τον Αναθεωρημένο Αλγόριθμο Simplex

Διερεύνηση και Αξιολόγηση Διαφορετικών Κανόνων Περιστροφής για τον Αναθεωρημένο Αλγόριθμο Simplex Μεταπτυχιακή Εργασία Διερεύνηση και Αξιολόγηση Διαφορετικών Κανόνων Περιστροφής για τον Αναθεωρημένο Αλγόριθμο Simplex Παναγιώτης Βουτσκίδης Επιβλέπων Καθηγητής: Νικόλαος Σαμαράς Εξεταστές: Νικόλαος Σαμαράς

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση ενεργειακών πόρων & συστημάτων Πρακτικά συνεδρίου(isbn: )

Διαχείριση ενεργειακών πόρων & συστημάτων Πρακτικά συνεδρίου(isbn: ) ISN: 978-960-87277-8-6 23 ο Εθνικό Συνέδριο Ελληνικής Εταιρείας Επιχειρησιακών Ερευνών Διαχείριση ενεργειακών πόρων & συστημάτων Πρακτικά συνεδρίου(isn: 978-960-87277-8-6) Αθήνα, 2-4 Σεπτεμβρίου 202 Αίθουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 21: Δυϊκή Θεωρία, Θεώρημα Συμπληρωματικής Χαλαρότητας και τρόποι χρήσης του Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΛΥΤΙΚΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΚΑΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX MΕ PYTHON Διπλωματική Εργασία του Τσιπλίδη Κωνσταντίνου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 22: Ανάπτυξη Κώδικα σε Matlab για την επίλυση Γραμμικών Προβλημάτων με τον Αναθεωρημένο Αλγόριθμο Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex 1. Αλγόριθμός Simplex

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 5: Τεχνικές Κλιμάκωσης, Γεωμετρία Γραμμικού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Τεχνικές Κλιμάκωσης (1) Αδυναμία επίλυσης Γ.Π. μεγάλης κλίμακας Ύπαρξη στοιχείων περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 4: Μετασχηματισμοί Ισοδυναμίας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Χαρακτηριστικά αλγορίθμων τύπου simplex (5) Αν το βασικό σημείο ικανοποιεί ακριβώς n-m ανισότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλος προγραμματισμός περιστροφικών αλγορίθμων εξωτερικών σημείων τύπου simplex ΠΛΟΣΚΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ

Παράλληλος προγραμματισμός περιστροφικών αλγορίθμων εξωτερικών σημείων τύπου simplex ΠΛΟΣΚΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Παράλληλος προγραμματισμός περιστροφικών αλγορίθμων εξωτερικών σημείων τύπου simplex ΠΛΟΣΚΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Διπλωματική Εργασία Μεταπτυχιακού Προγράμματος στην Εφαρμοσμένη Πληροφορική Κατεύθυνση: Συστήματα Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 14: Τεχνικές Βελτίωσης Απόδοσης Κώδικα σε Matlab, Ανάπτυξη Κώδικα σε Matlab για την Τεχνική Κλιμάκωσης της Ισορρόπησης Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Η μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Η μέθοδος Simplex Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

12/3/2012. Εργαστήριο Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης. Lab03 1. Διανυσματοποίηση Βρόχων. Αρχικοποίηση μητρών (preallocating)

12/3/2012. Εργαστήριο Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης. Lab03 1. Διανυσματοποίηση Βρόχων. Αρχικοποίηση μητρών (preallocating) Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Βελτίωση Απόδοσης ιανυσματοποίηση βρόχων Αρχικοποίηση μητρών (preallocating) Χρήση κατάλληλων

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 11: Σχέσεις Πρωτεύοντος και Δυϊκού Προβλήματος, Χαρακτηριστικά Αλγορίθμων τύπου Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 7: Γεωμετρία Γραμμικού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Στόχοι Εργαστηρίου ημιουργία Τυχαίων Βέλτιστων Γ.Π. Περιγραφή μεθόδου για δημιουργία βέλτιστων

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 20: Ανάπτυξη Κώδικα σε Matlab για τη δημιουργία τυχαίων βέλτιστων Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex (C) Copyright Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10: Επαναληπτική Βελτίωση Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 9: Γεωμετρία του Χώρου των Μεταβλητών, Υπολογισμός Αντιστρόφου Μήτρας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2009. Οι συγγραφείς. Κ. Παπαρρίζος, Ν. Σαμαράς, Α. Σιφαλέρας.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2009. Οι συγγραφείς. Κ. Παπαρρίζος, Ν. Σαμαράς, Α. Σιφαλέρας. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο «Δικτυακή Βελτιστοποίηση» γράφτηκε με κύριο στόχο να καλύψει τις ανάγκες της διδασκαλίας του μαθήματος «Δικτυακός Προγραμματισμός», που διδάσκεται στο Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 3: Μαθηματικό Πρότυπο, Κανονική Μορφή, Τυποποιημένη Μορφή Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΣ ΝΕΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ

ΕΝΑΣ ΝΕΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΕΝΑΣ ΝΕΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ Παπαρρίζος Κωνσταντίνος, Σαμαράς Νικόλαος, Στεφανίδης Γεώργιος Τμ. Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Δυϊκή Θεωρία (1) Θεώρημα : Το δυϊκό πρόβλημα του γραμμικού προβλήματος 0 0 1 1 2 2 0 0 T

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 23: Κλασική Ανάλυση Ευαισθησίας, Βασικές Έννοιες Γραφημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 9: Δυϊκή Θεωρία Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΟΜαθηµατικός Προγραµµατισµός είναι κλάδος των εφαρµοσµένων µαθηµατικών που ασχολείται µε την εύρεση άριστης λύσης. ιαφέρει από την κλασική αριστοποίηση στο ότι προσπαθεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΟΠΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΟΠΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΟΠΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Λαζαρίδης Βασίλειος Παπαρρίζος Κωνσταντίνος Σαμαράς Νικόλαος Τμ. Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Εγνατία 56 54006 Θεσσαλονίκη e-mail:

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ... 2 1.1.1 Ορισμός και ιδιότητες γραφημάτων... 2 1.1.2 Δέντρα... 7 1.2 ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗ ΓΡΑΦΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ... 11 1.2.1 Μήτρα πρόσπτωσης κόμβων τόξων...

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 24: Ειδικές Περιπτώσεις του Προβλήματος Ροής Ελαχίστου Κόστους Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Φ. ΜΑΓΕΙΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΑΘΗΝΑ ΕΚΔΟΣΗ 2.4 ΜΑΪΟΣ 2012 1-1 Κεφάλαιο 1. Μαθηματικός Προγραμματισμός...1-3

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 1: Δυϊκή Θεωρία, Οικονομική Ερμηνεία Δυϊκού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Ενότητα #2: Αναπαράσταση δεδομένων Αβεβαιότητα και Ακρίβεια Καθ. Δημήτρης Ματαράς Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Αναπαράσταση δεδομένων (Data Representation), Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για

Διαβάστε περισσότερα

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Σχέσεις μεταξύ του πρωτεύοντος και του δυϊκού του. Για να χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία δυϊκότητας αλλάζουμε την μορφή του πίνακα της μεθόδου simplex, προσθέτοντας μια σειρά και μια στήλη. Η σειρά προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική πολυπλοκότητα του πρωτεύοντος αλγόριθμου εξωτερικών σημείων

Υπολογιστική πολυπλοκότητα του πρωτεύοντος αλγόριθμου εξωτερικών σημείων Υπολογιστική πολυπλοκότητα του πρωτεύοντος αλγόριθμου εξωτερικών σημείων Γεώργιος Παπανίκος Τμ. Εφ. Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Εγνατία 156, 54006 Θεσσαλονίκη it0837@uom.gr Νικόλαος Σαμαράς Τμ.

Διαβάστε περισσότερα

Ένα ολοκληρωμένο σύστημα για την διδασκαλία του αναθεωρημένου αλγορίθμου simplex A complete training system for teaching revised simplex algorithm

Ένα ολοκληρωμένο σύστημα για την διδασκαλία του αναθεωρημένου αλγορίθμου simplex A complete training system for teaching revised simplex algorithm Ένα ολοκληρωμένο σύστημα για την διδασκαλία του αναθεωρημένου αλγορίθμου simplex A complete training system for teaching revised simplex algorithm Λαζαρίδης Βασίλειος, Παπαρρίζος Κωνσταντίνος, Σαμαράς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

MEM 253. Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * *

MEM 253. Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * * MEM 253 Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * * 1 Περιγράφουμε το πρόγραμμα fem.py για τη λύση του προβλήματος δύο σημείων (x) + q(x)u(x) = f (x), x [, ], u( ) = u( ) = 0, u x l x r x l x r με τη μέθοδο των πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Β. Βασιλειάδης. Επιχειρησιακή Έρευνα Διάλεξη 5 η -Αλγόριθμος Simplex

Β. Βασιλειάδης. Επιχειρησιακή Έρευνα Διάλεξη 5 η -Αλγόριθμος Simplex Β. Βασιλειάδης Επιχειρησιακή Έρευνα Διάλεξη 5 η -Αλγόριθμος Simplex Περιεχόμενα Ο αλγόριθμος Simplex Βασικά Βήματα Παραδείγματα Συμπεράσματα 1o Bήμα: εξάλειψη των ανισοτήτων Στη μαθηματική διατύπωση του

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων 5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων 5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Δημήτρης Φωτάκης Προσθήκες (λίγες): Άρης Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 13: Αλγόριθμοι-Μεγάλων ακεραίων- Εκθετοποίηση- Πολλαπλασιασμός πινάκων -Strassen Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Πρόβλημα Μεταφοράς Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς Μαθηματική Διατύπωση Εύρεση Αρχικής Λύσης Προσδιορισμός Βέλτιστης Λύσης

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδος simplex Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 4 η /2017 Η γεωμετρία των προβλημάτων γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πίνακες και Γραμμικά Συστήματα: Ο Αλγόριθμος Guss Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ακέραια Πολύεδρα 1 Ορισμός 4.1 (Convex Hull) Έστω ένα σύνολο S C R n. Ένα σημείο x του R n είναι κυρτός συνδυασμός (convex combination) σημείων του S, αν υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων

Διαβάστε περισσότερα

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) + KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Ανάλυση Ευαισθησίας. Έχοντας λύσει ένας πρόβλημα ΓΠ θα πρέπει να αναρωτηθούμε αν η λύση έχει φυσική σημασία. Είναι επίσης πολύ πιθανό να έχουμε χρησιμοποιήσει δεδομένα για τα οποία δεν είμαστε σίγουροι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΊΑ ΜΕ ΤΙΤΛΟ: «ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ, ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 4: Αναλυτικές μέθοδοι βελτιστοποίησης για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Εισαγωγή Σύστημα γραμμικών εξισώσεων a x a x a x b 11

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 15: Κύκλωση Δεσμοί, Κανόνες Περιστροφής Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 7-8 η /2017 Τι παρουσιάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήματα Μεταφορών (Transportation) Προβλήματα Μεταφορών (Transportation) Παραδείγματα Διατύπωση Γραμμικού Προγραμματισμού Δικτυακή Διατύπωση Λύση Γενική Μέθοδος Simplex Μέθοδος Simplex για Προβλήματα Μεταφοράς Παράδειγμα: P&T Co ΗεταιρείαP&T

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο 5 ο ΜΑΘΗΜΑ ηµήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks)

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks) Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο Ορισμοί Παραδείγματα Δικτυακή Simplex (προβλήματα με και χωρίς φραγμούς). Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum ost Flow Networks) Ένα δίκτυο μεταφόρτωσης αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018-2019 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες

Διαβάστε περισσότερα

(sensitivity analysis, postoptimality analysis).

(sensitivity analysis, postoptimality analysis). Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 7 Ανάλυση ευαισθησίας Παραμετρική ανάλυση Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 11 Φεβρουαρίου 2016 Α.

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1. 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4

2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1. 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4 Παράδειγμα 2x 1 +2x 2 +0x 3 +6x 4 = 8 2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4 Επαυξημένος πίνακας: 2 2 0 6 8 2 1 1 1 1 Ã = 3 1 1 2 3 1 2 6 1 4 Γενικό σύστημα a 11 x 1 +a

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 6 η /2017 Τι παρουσιάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Κλασικές Τεχνικές Βελτιστοποίησης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 2 η /2017 Μαθηματική Βελτιστοποίηση Η «Μαθηματική

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Δυϊκότητα Θα δείξουμε πώς μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης με ένα πρόβλημα ΓΠ στην συνήθη του μορφή. Ένα πρόβλημα στην συνήθη του μορφή μπορεί να είναι ένα κατασκευαστικό πρόβλημα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Διπλωματική Εργασία. του. Καραογλάνογλου Σωτήριου

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Διπλωματική Εργασία. του. Καραογλάνογλου Σωτήριου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΤΟΥ ΑΝΑΘΕΩΡΗΜΕΝΟΥ ΠΡΩΤΕΥΟΝΤΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ SIMPLEX

Διαβάστε περισσότερα