ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα μικρού ή μεσαίου μεγέθους. Αν και ο πρόσφατα αναπτυγμένος αλγόριθμος εσωτερικών σημείων, Krmrkr (1984) και ιδιαίτερα μερικές βελτιωμένες τροποποιήσεις του, αποδίδει ουσιαστικά καλύτερα στα γραμμικά προβλήματα μεγάλης κλίμακας, δείτε για παράδειγμα Adler et.l. (1989), η υπολογιστική βελτίωση του αλγορίθμου Simplex παραμένει μεγάλης σημασίας, οφειλόμενη κυρίως στο γεγονός ότι οι ακριβείς βέλτιστες λύσεις που απαιτούνται σε ένα μεγάλο αριθμό πρακτικών προβλημάτων, όπως για παράδειγμα στα προβλήματα ροής δικτύων, είναι βασικές λύσεις, δηλαδή λύσεις που υπολογίζονται από αλγορίθμους τύπου Simplex. Οι αλγόριθμοι Simplex κινούνται από μια κορυφή του συνόλου της πολυεδρικής εφικτής περιοχής σε μια παρακείμενη κορυφή με μια καλύτερη αντικειμενική τιμή. Κατασκευάζουν μια ακολουθία βασικών σημείων ώστε, αν το γ.π. είναι ελαχιστοποίησης τότε κάθε νέο βασικό σημείο που υπολογίζεται ελαττώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Ένα σημείο x του γ.π. ονομάζεται βασικό σημείο (bsic point) αν ικανοποιεί τουλάχιστον n-m ανισοτικούς περιορισμούς σαν ισότητες. Οι n-m συνιστώσες του βασικού σημείου x είναι ίσες με μηδέν και ονομάζονται μη βασικές μεταβλητές, ενώ οι υπόλοιπες m μεταβλητές

2 30 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex ονομάζονται βασικές μεταβλητές. Οι δείκτες των βασικών μεταβλητών λέμε ότι αποτελούν τη βάση Β του γραμμικού προβλήματος. Βασικά εφικτά σημεία ονομάζουμε τα βασικά σημεία που ικανοποιούν και τους περιορισμούς μη αρνητικότητας. Διαφορετικά τα σημεία αυτά τα ονομάζουμε βασικά μη εφικτά σημεία. Εκφυλισμένο (degenerte) ονομάζουμε ένα βασικό σημείο που ικανοποιεί τουλάχιστον n-m+1 ανισοτικούς περιορισμούς σαν ισότητες. Μη εκφυλισμένο (non degenerte) ονομάζουμε ένα βασικό σημείο που ικανοποιεί ακριβώς n-m ανισοτικούς περιορισμούς σαν ισότητες. 2.2 Πρωτεύων Αλγόριθμος Simplex Ο πρωτεύων αλγόριθμος Simplex θα περιγραφεί σε γραμμικά προβλήματα ελαχιστοποίησης στα οποία όλοι οι περιορισμοί είναι ισότητες και όλες οι μεταβλητές υπόκεινται σε περιορισμούς μη αρνητικότητας, δηλαδή σε προβλήματα της μορφής min n j= 1 n j=1 c x x j ij j x j j 0 = b i για i = 1, 2,, m και j = 1, 2,, n, τα οποία έχουν έτοιμο ένα κατάλληλο βασικό εφικτό σημείο. Ο πρωτεύων αλγόριθμος Simplex κατασκευάζει μια ακολουθία βασικών εφικτών σημείων. Για διδακτικούς λόγους θα περιγράψουμε τους αλγόριθμους τύπου Simplex χρησιμοποιώντας την μορφή των tbleu, βλέπε Dntzig (1949). Η

3 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 31 μορφή αυτή αποκαλύπτει περισσότερες πτυχές του νέου αλγόριθμου που θα παρουσιάσουμε στο επόμενο κεφάλαιο. Όμως στην υπολογιστική μελέτη θα χρησιμοποιήσουμε τη μορφή των μητρών (αναθεωρημένος πρωτεύων αλγόριθμος Simpex, βλέπε Dntzig, Orchrd-Hys (1953), Dntzig, Orchrd-Hys (1954), Dntzig, Orden, Wolfe (1955)) που είναι περισσότερο κατάλληλη για το σκοπό αυτό. Ο αλγόριθμος ξεκινά με ένα βασικό εφικτό σημείο. Ανανεώνει σε κάθε επανάληψη ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Οι συντελεστές του συστήματος αποτελούν ένα tbleu Simplex. Κάθε tbleu Simplex αντιστοιχεί σε ένα βασικό εφικτό σημείο. Σχηματισμός tbleu Simplex Η αντικειμενική συνάρτηση γράφεται αρχικά σαν z n j= 1 c x j j = 0 Οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης και οι συντελεστές των εξισώσεων των περιορισμών γράφονται στο tbleu Simplex ο οποίος περιέχει n+2 στήλες και m+1 γραμμές. Η πρώτη στήλη από αριστερά αντιστοιχεί στη μεταβλητή z. Είναι η στήλη με αύξοντα αριθμό μηδέν. Οι n δεξιότερες (της μηδενικής) στήλες αντιστοιχούν στις μεταβλητές x j (j = 1, 2,, n). Η στήλη j αντιστοιχεί στη μεταβλητή x j. Η τελευταία στήλη δεξιά αντιστοιχεί στο δεξιό μέρος των εξισώσεων του προβλήματος και της αντικειμενικής συνάρτησης. Η πρώτη από πάνω γραμμή του tbleu Simplex αντιστοιχεί στην αντικειμενική συνάρτηση. Έχει αύξοντα αριθμό μηδέν και ονομάζεται γραμμή κόστους. Οι υπόλοιπες m γραμμές αντιστοιχούν στους m περιορισμούς ισοτήτων του γραμμικού προβλήματος.

4 32 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex Τα στοιχεία του τρέχοντος tbleu Simplex θα τα παριστάνουμε με ij όπου ij, είναι το στοιχείο της i γραμμής και j στήλης. 0j, j = 1, 2,,n, είναι τα στοιχεία της μηδενικής γραμμής (αρχικά είναι 0j = -c j ) 0n+1, είναι η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. in+1 ή b i, i = 1, 2,, m, είναι τα στοιχεία της δεξιάς στήλης. Η γραμμή κόστους αντιστοιχεί στη μεταβλητή z της αντικειμενικής συνάρτησης. Κάθε γραμμή i (i = 1, 2,, n) αντιστοιχεί σε μια βασική μεταβλητή. Οι βασικές μεταβλητές γράφονται αριστερά του tbleu Simplex στις αντίστοιχες γραμμές. Οι τιμές αυτών των μεταβλητών βρίσκονται στη δεξιά στήλη (Δ.Μ. = δεξιό μέρος) του tbleu Simplex. Σε κάθε επανάληψη ο αλγόριθμος Simplex επιλέγει μια μη βασική μεταβλητή η οποία, αν αυξηθεί βελτιώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (δηλ. της μεταβλητής z). Η μεταβλητή αυτή ονομάζεται εισερχόμενη στη βάση μεταβλητή. Η εισερχόμενη μεταβλητή θα αντικαταστήσει κάποια μεταβλητή της βάσης κατασκευάζοντας έτσι το επόμενο βασικό εφικτό σημείο. Η μεταβλητή που θα αντικατασταθεί ονομάζεται εξερχόμενη από τη βάση μεταβλητή. Επομένως πρέπει να υπάρχει τουλάχιστον ένας συντελεστής 0j > 0 που επιλέγεται με κάποιο κανόνα περιστροφής. Διαφορετικά το πρόβλημα είναι βέλτιστο και ο αλγόριθμος σταματά. Την εισερχόμενη μεταβλητή θα τη συμβολίζουμε με x s. Η στήλη s είναι η στήλη περιστροφής. Αν is 0 (i = 1, 2,, m) τότε το πρόβλημα είναι απεριόριστο και ο αλγόριθμος σταματά. Ο προσδιορισμός της εξερχόμενης μεταβλητής ονομάζεται τεστ ελαχίστου λόγου επειδή κατά τη διαδικασία αυτή υπολογίζεται ο ελάχιστος λόγος

5 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 33 b r rs b i : is > 0 is και η εξερχόμενη από τη βάση μεταβλητή βρίσκεται στη γραμμή r που ονομάζεται γραμμή περιστροφής. Το στοιχείο rs ονομάζεται στοιχείο περιστροφής. Πρέπει στη συνέχεια να κατασκευαστεί το επόμενο tbleu Simplex που αντιστοιχεί στο νέο βασικό εφικτό σημείο που έχει προσδιοριστεί, από τον προηγούμενο tbleu Simplex. Η ανανέωση των στοιχείων του tbleu Simplex αντιστοιχεί σε πράξεις γραμμών. Περιγραφή Αλγορίθμου με βήματα Βήμα 0 : Ξεκίνα μ' ένα Β.Ε.Σ. (=βασικό εφικτό σημείο) και φτιάξε το αντίστοιχο tbleu Simplex. Βήμα 1 : (προσδιορισμός στήλης περιστροφής) Αν 0j 0 για j = 1, 2,..., n, STOP. Η λύση είναι βέλτιστη. Διαφορετικά διάλεξε με κάποιο κανόνα περιστροφής ένα δείκτη s : 0s > 0, δηλ. 0s = mx{ 0j : 0j > 0, για j = 1, 2,, n} Βήμα 2 : (προσδιορισμός γραμμής περιστροφής) Θέσε I = {i : is > 0}. Αν I =, STOP. Το πρόβλημα είναι απεριόριστο. Διαφορετικά βρες ένα δείκτη r : b r rs bi : i I is

6 34 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex Βήμα 3 : (περιστροφή) Κάνε περιστροφή στο στοιχείο rs, δηλαδή Θέσε rj rj, για j = 1, 2,, n, n+1 rs ij rj ij is, για i = 0, 1, 2,,m (i r) και j = 1, 2,,n, n+1 rs και πήγαινε στο Βήμα 1. Θα διευκρινίσουμε τώρα περισσότερο τον πρωτεύοντα αλγόριθμο Simplex εφαρμόζοντάς τον σε δυο γραμμικά προβλήματα, ένα βέλτιστο και ένα απεριόριστο. Παράδειγμα Να λυθεί με τον πρωτεύοντα αλγόριθμο Simplex το παρακάτω γραμμικό πρόβλημα. min z = 3x 1 + x 2 - x 3 - x 4 μ.π. -2x 1 + x 2 + 2x 3 + x 5 = 5 3x 1 + 2x 2-2x 3 + x 6 = 9 2x 1 + x 2 - x 3 + x 4 + x 7 = 7 5x 1 - x 2 - x 4 + x 8 = 2 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, 0 Λύση

7 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 35 Επανάληψη 1 Βήμα 0 : Από το αρχικό πρόβλημα είναι φανερό ότι ένα Β.Ε.Σ. είναι x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 5, x 6 = 9, x 7 = 7 και x 8 =2. Κατασκευάζουμε το αρχικό tbleu Simplex. z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. z x x x x Βήμα 1 : Προσδιορίζουμε την στήλη περιστροφής και επιλέγουμε 0s = mx{ 03, 04 > 0} = mx {1, 1} = 03 Άρα s = 3, οπότε η μεταβλητή x 3 εισέρχεται στη βάση. Βήμα 2 : Θέτουμε Ι = {1} και βρίσκουμε r = 1 επειδή b 1 13 b = Άρα η μεταβλητή x 5 εξέρχεται από τη βάση. Βήμα 3 : Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 13 = 2 και κατασκευάζουμε το επόμενο tbleu Simplex.

8 36 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. z / / /2 x / / /2 x x / / /2 x Εφόσον υπάρχει 04 > 0 στη γραμμή κόστους επαναλαμβάνω τον αλγόριθμο Simplex. Επανάληψη 2 Βήμα 1 : Προσδιορίζουμε την στήλη περιστροφής και επιλέγουμε 0s = mx{c 4 > 0} = mx {1} = 04 Άρα s = 4, οπότε η μεταβλητή x 4 εισέρχεται στη βάση. Βήμα 2 : Θέτουμε Ι = {3} και βρίσκουμε r = 3 επειδή b 3 34 b / 2 = Άρα η μεταβλητή x 7 εξέρχεται από τη βάση. Βήμα 3 : Κάνω περιστροφή στο στοιχείο 34 = 1 και κατασκευάζουμε το επόμενο tbleu Simplex.

9 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 37 z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. z x / / /2 x x / / /2 x / / /2 Επειδή 0j 0 για j = 1, 2,..., 8 STOP. Η λύση είναι βέλτιστη, δηλαδή για x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 5/2, x 4 = 19/2, x 5 = 0, x 6 = 14, x 7 = 0 και x 8 =23/2 η αντικειμενική συνάρτηση z = 3x 1 + x 2 - x 3 - x 4 ελαχιστοποιείται, z = -12. Παράδειγμα Να λυθεί με τον πρωτεύοντα αλγόριθμο Simplex το παρακάτω γραμμικό πρόβλημα. min z = 3x 1-2x 2 + x 3 μ.π. x 1 + x 2-2x 3 4 2x 1-3x 2 + x 3 9 x 1, x 2, x 3 0 Προσθέτω στους περιορισμούς τις χαλαρές μεταβλητές x 4, x 5 0, οπότε το γ.π. μετασχηματίζεται ως εξής : min z = 3x 1-2x 2 + x 3 μ.π. x 1 + x 2-2x 3 + x 4 = 4 2x 1-3x 2 + x 3 + x 5 = 9 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0

10 38 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex Λύση Επανάληψη 1 Βήμα 0 : Από το αρχικό πρόβλημα είναι φανερό ότι μια Β.Ε.Λ. (βασική εφικτή λύση) είναι η z = 0 για x 1 = x 2 = x 3 = 0, x 4 = 4, x 5 = 9. Κατασκευάζουμε το αρχικό tbleu Simplex. z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Δ.Μ. z x x Βήμα 1 : Προσδιορίζουμε την στήλη περιστροφής και επιλέγουμε 0s = mx{ 02 > 0} = mx {2} = 2 = 02 Άρα s = 2, οπότε η μεταβλητή x 2 εισέρχεται στη βάση. Βήμα 2 : Θέτουμε Ι = {1} και βρίσκουμε r = 1 επειδή b 1 12 b = 4 1 Άρα η μεταβλητή x 5 εξέρχεται από τη βάση. Βήμα 3 : Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 12 = 1 και κατασκευάζουμε το επόμενο tbleu Simplex. z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Δ.Μ. z x

11 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 39 x Εφόσον υπάρχει 03 > 0 στη γραμμή κόστους επαναλαμβάνω τον αλγόριθμο Simplex. Επανάληψη 2 Βήμα 1 : Προσδιορίζουμε την στήλη περιστροφής και επιλέγουμε 0s = mx{ 03 } = min {3} = 3 = 03 Άρα s = 3, οπότε η μεταβλητή x 3 εισέρχεται στη βάση. Βήμα 2 : Επειδή Ι =, το πρόβλημα είναι απεριόριστο. 2.3 Δυϊκός Αλγόριθμος Simplex Ο δυϊκός αλγόριθμος Simplex θα περιγραφεί σε γραμμικά προβλήματα μεγιστοποίησης στα οποία όλοι οι περιορισμοί είναι ισότητες και όλες οι μεταβλητές υπόκεινται σε περιορισμούς μη αρνητικότητας, δηλαδή σε προβλήματα της μορφής mx n n j= 1 j=1 c x x j ij j x j j 0 = b i για i = 1, 2,, m και j = 1, 2,, n. τα οποία έχουν έτοιμο ένα κατάλληλο βασικό δυϊκά εφικτό σημείο. Ο δυϊκός αλγόριθμος Simplex, βλέπε Lemke (1954) κατασκευάζει μια ακολουθία βασικών δυϊκά εφικτών σημείων.

12 40 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex Ο αλγόριθμος ξεκινά με ένα βασικό δυϊκά εφικτό σημείο και σε αντιστοιχία με τον πρωτεύοντα αλγόριθμο κατασκευάζουμε σε κάθε επανάληψη ένα tbleu Simplex που αντιστοιχεί σε ένα βασικό δυϊκά εφικτό σημείο. Ο δυϊκός αλγόριθμος Simplex προσδιορίζει πρώτα την εξερχόμενη και μετά την εισερχόμενη μεταβλητή σε αντίθεση με τον πρωτεύοντα αλγόριθμο Simplex. Περιγραφή Αλγορίθμου με βήματα Βήμα 0 : Ξεκίνα μ' ένα Β.Δ.Ε.Σ. (βασικό δυϊκά εφικτό σημείο) και φτιάξε το αντίστοιχο tbleu Simplex. Βήμα 1 : (προσδιορισμός γραμμής περιστροφής) Αν b i 0 για i=1, 2,..., m STOP. Η λύση είναι βέλτιστη. Διαφορετικά διάλεξε με κάποιο κανόνα περιστροφής ένα r : b r < 0, δηλαδή b r = min{b i : b i < 0} Βήμα 2 : (προσδιορισμός στήλης περιστροφής) Θέσε J = {j : rj < 0 }. Αν J =, STOP. Το δυϊκό πρόβλημα είναι απεριόριστο. Διαφορετικά βρες το δείκτη s : os rs 0j : j J rj Βήμα 3 : (περιστροφή) Κάνε περιστροφή στο στοιχείο rs Θέσε

13 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 41 rj rj, για j = 1, 2,, n, n+1 rs ij rj ij is, για i = 0, 1, 2,,m (i r) και j = 1, 2,,n, n+1 rs και πήγαινε στο Βήμα 1. Θα διευκρινίσουμε τώρα περισσότερο τον δυϊκό αλγόριθμο Simplex εφαρμόζοντάς τον σε δυο γραμμικά προβλήματα, ένα βέλτιστο και ένα αδύνατο. Παράδειγμα Να λυθεί με τον δυϊκό αλγόριθμο Simplex το παρακάτω γραμμικό πρόβλημα. min z = 5x 1 + 7x 2 + 2x 3 + 8x 4 μ.π. x 1-2x 2-2x 3 + 3x 4 + x 5 = 5 5x 1-2x 2 - x 3 + 5x 4 + x 6 = 3 3x 1-2x 2 + 3x 3-3x 4 + x 7 = -1 - x 2 + 3x 3 + x 8 = -1 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, 0 Λύση Επανάληψη 1 Βήμα 0 : Μια Β.Ε.Λ. είναι η z = 0 x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 5, x 6 = 3, x 7 = -1 και x 8 =-1. Κατασκευάζουμε το αρχικό tbleu Simplex.

14 42 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. z x x x x Βήμα 1 : Προσδιορίζουμε την γραμμή περιστροφής και επιλέγουμε b r = min{b 3, b 4 < 0} = min {-1, -1} = b 3 Άρα r = 3, οπότε η μεταβλητή x 7 εξέρχεται από τη βάση. Βήμα 2 : Θέτουμε J = {2, 4} και βρίσκουμε s = 4 επειδή , , = Άρα η μεταβλητή x 4 εισέρχεται στη βάση. Βήμα 3 : Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 34 = -3 και κατασκευάζουμε το επόμενο tbleu Simplex. z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. z / /3 0 8/3 x x / /3 0 4/3 x / /3 0 1/3 x

15 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 43 Εφόσον υπάρχει b 4 = -1 < 0 επαναλαμβάνω τον δυϊκό αλγόριθμο Simplex. Επανάληψη 2 Βήμα 1 : Προσδιορίζουμε την γραμμή περιστροφής και επιλέγουμε b r = min{ b 4 < 0} = min {-1} = b 4 Άρα r = 4, οπότε η μεταβλητή x 8 εξέρχεται από τη βάση. Βήμα 2 : Θέτουμε J = {2} και βρίσκουμε s = 2 επειδή = 1 1 Άρα η μεταβλητή x 2 εισέρχεται στη βάση. Βήμα 3 : Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 42 = -1 και κατασκευάζουμε το επόμενο tbleu Simplex. z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. z /3-5/3 13/3 x x /3-16/3 20/3 x /3 2/3-1/3 x Εφόσον υπάρχει b 3 = -1/3 < 0 επαναλαμβάνω τον δυϊκό αλγόριθμο Simplex.

16 44 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex Επανάληψη 3 Βήμα 1 : Προσδιορίζουμε την γραμμή περιστροφής και επιλέγουμε b r = min{ b 3 < 0} = min {-1/3} = b 3 Άρα r = 3, οπότε η μεταβλητή x 4 εξέρχεται από τη βάση. Βήμα 2 : Θέτουμε J = {1, 7} και βρίσκουμε s = 7 επειδή , / 3, = 8 1 1/ 3 Άρα η μεταβλητή x 7 εισέρχεται στη βάση. Βήμα 3 : Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 37 = -1/3 και κατασκευάζουμε το επόμενο tbleu Simplex. z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. z x x x x Επειδή b i > 0 για i = 1, 2, 3, 4 ο αλγόριθμος σταματά. Η λύση είναι βέλτιστη, δηλαδή για x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 7, x 6 = 5, x 7 =1 και x 8 = 0 η αντικειμενική συνάρτηση παίρνει την μικρότερη τιμή, δηλαδή z = 7.

17 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 45 Παράδειγμα Να λυθεί με τον δυϊκό αλγόριθμο Simplex το παρακάτω γραμμικό πρόβλημα. min z = x 1-2x 2 - x 3 μ.π. x 1 + x 2-2x 3-4 2x 1 - x 2-2x 3-2 x 1 - x 2 + 2x 3-8 x 1, x 2, x 3 0 Προσθέτω στους περιορισμούς τις χαλαρές μεταβλητές x 4, x 5, x 6 0, οπότε το γ.π. μετασχηματίζεται ως εξής : min z = x 1-2x 2 - x 3 μ.π. x 1 + x 2-2x 3 + x 4 = -4 2x 1 - x 2-2x 3 + x 5 = -2 x 1 - x 2 + 2x 3 + x 6 = -8 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 Λύση Επανάληψη 1 Βήμα 0 : Μια Β.Ε.Λ. είναι η z = 0 για x 1 = x 2 = x 3 = 0, x 4 = -4, x 5 = -2, x 6 = -8, απ όπου προκύπτει το αρχικό tbleu Simplex. z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Δ.Μ. z x x x

18 46 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex Βήμα 1 : Προσδιορίζουμε την γραμμή περιστροφής και επιλέγουμε b r = min{ b 1, b 2, b 3 < 0} = min{-4, -2, -8} = b 3 Άρα r = 3, οπότε η μεταβλητή x 6 εξέρχεται από τη βάση. Βήμα 2 : Θέτουμε J = {2} και βρίσκουμε s = 2 επειδή = 2 1 Άρα η μεταβλητή x 2 εισέρχεται στη βάση. Βήμα 3 : Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 32 = -1 και κατασκευάζουμε το επόμενο tbleu Simplex. z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Δ.Μ. z x x x Εφόσον υπάρχει b i = < 0 για i =1 επαναλαμβάνω τον δυϊκό αλγόριθμο Simplex. Επανάληψη 2 Βήμα 1 : Προσδιορίζουμε την γραμμή περιστροφής και επιλέγουμε b r = min{ b 1 < 0} = mx {-12} = b 1 Άρα r = 1, οπότε η μεταβλητή x 4 εξέρχεται από τη βάση.

19 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 47 Βήμα 2 : Επειδή J =, το δυϊκό πρόβλημα είναι απεριόριστο και επομένως το αρχικό πρόβλημα είναι αδύνατο. 2.4 Αλγόριθμοι τύπου Simplex Εξωτερικών Σημείων Οι αλγόριθμοι Simplex κινούνται από μια κορυφή του συνόλου της πολυεδρικής εφικτής περιοχής σε μια παρακείμενη κορυφή με μια καλύτερη αντικειμενική τιμή. Ένας τρόπος για να βελτιωθεί η μέθοδος Simplex είναι να αναπτυχθούν αλγόριθμοι ικανοί να κινηθούν σε μη παρακείμενες κορυφές βελτίωσης (με καλύτερη αντικειμενική τιμή). Επειδή προτιμούμε οι αλγόριθμοι τύπου Simplex να μην ακολουθούν παρακείμενες κορυφές βελτίωσης ώστε να γίνουν περισσότερο αποτελεσματικοί, καλό είναι να αναπτύξουμε παραλλαγές τους που αποφεύγουν τις κορυφές του εφικτού πολυέδρου. Αυτό βεβαίως σημαίνει ότι οι βασικές λύσεις που θα κατασκευάζονται δεν θα είναι εφικτές και επομένως ο αλγόριθμος θα είναι εξωτερικών σημείων. Ένας αλγόριθμος τύπου Simplex που είναι ικανός να ακολουθήσει ένα μονοπάτι τύπου Simplex που περιέχει βασικές λύσεις που δεν είναι εφικτές καλείται αλγόριθμος εξωτερικών σημείων (EPSA). Από την εμφάνιση της μεθόδου Simplex οι ερευνητές προσπάθησαν να αναπτύξουν αλγορίθμους που αποφεύγουν την εφικτή περιοχή. Τα πρόωρα παραδείγματα των προσπαθειών αυτού του είδους είναι ο αυτοδυϊκός αλγόριθμος Dntzig (1963), και η μέθοδος των διαδοχικών ελαχίστων δρόμων για τα προβλήματα ροής ελαχίστου κόστους δικτύων, βλέπε Ford και Fulkerson (1962) και Tomizow (1972). Πιο πρόσφατα, ο Terlky (1985) ανέπτυξε έναν συγκλίνοντα περιστροφικό κανόνα για τον κανόνα Ζικ-Ζακ του Zionts (1969) τη σταυρωτή μέθοδο. Ο αλγόριθμος του Terlky είναι ένας μη βελτιωτικός (μη αποδοτικός) αλγόριθμος εξωτερικών σημείων. Η εντελώς συνδυαστική φύση και η έλλειψη οποιωνδήποτε κριτηρίων βελτίωσης ή μονοτονίας κάνουν κάποιον να θεωρήσει ότι αυτός ο αλγόριθμος δεν είναι αποδοτικός στην πράξη.

20 48 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex Ο όρος αλγόριθμος εξωτερικών σημείων εμφανίζεται για πρώτη φορά με την εργασία, Pprrizos (1991), όπου παρουσιάζεται μια βελτίωση προηγούμενου παρόμοιου αλγορίθμου για το πρόβλημα μεταφοράς, Pprrizos (1988). Οι αλγόριθμοι αυτοί δέχθηκαν αρκετές βελτιώσεις και τροποποιήσεις. Μερικές παραλλαγές τους ανέπτυξαν οι Achtz et. l. (1991), και Pprrizos (1996). Επίσης, οι αλγόριθμοι αυτοί γενικεύτηκαν στο γραμμικό πρόβλημα Pprrizos (1993), Anstreicher και Terlky (1994). Ένας πιο γενικός αλγόριθμος εξωτερικών σημείων αναπτύχθηκε από τους Dosios και Pprrizos (1995), όπου γενικεύτηκαν οι αλγόριθμοι των Pprrizos (1993) και Anstreicher και Terlky (1994). 2.5 Πρωτεύων Αλγόριθμος Simplex Εξωτερικών Σημείων (EPSA) Έστω το γραμμικό πρόβλημα στην τυποποιημένη μορφή min { c Τ x : Ax = b, x 0}, όπου x, c R n, Α R mxn, b R m και Β είναι μια εφικτή βάση του. Αν είναι 0j 0 για j = 1, 2,, n, η βάση Β είναι βέλτιστη και δε χρειάζονται παραπέρα υπολογισμοί. Αντίθετα, αν δεν είναι βέλτιστη, υπάρχουν μη βασικοί δείκτες j, τέτοιοι ώστε 0j > 0. Υπολογίζουμε το σύνολο J + = {j : 0j > 0} και τις ποσότητες i0 = j J + ij, i = 0,1,2,..., m

21 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 49 Κατασκευάζουμε έτσι τη στήλη μηδέν του tbleu Simplex που ονομάζουμε χαρακτηριστική στήλη. Προς αποφυγήν συγχύσεων υπενθυμίζουμε εδώ ότι στους δυο προηγούμενους αλγόριθμους η στήλη μηδέν αντιστοιχούσε στη μεταβλητή z, δηλαδή στη μεταβλητή της αντικειμενικής συνάρτησης. Ο αλγόριθμος εξωτερικών σημείων που περιγράφεται εδώ είναι πρωτεύων στη φύση του, γιατί κατασκευάζει εφικτά σημεία του πρωτεύοντος προβλήματος. Όμως, αντίθετα με τον πρωτεύοντα αλγόριθμο Simplex, προσδιορίζει πρώτα την εξερχόμενη και μετά την εισερχόμενη μεταβλητή. Με αυτή την έννοια μοιάζει περισσότερο με το δυϊκό αλγόριθμο Simplex. Η στήλη μηδέν χρησιμοποιείται για τον έλεγχο ελαχίστου λόγου, ο οποίος είναι όμοιος με αυτόν του πρωτεύοντα αλγόριθμου Simplex και προσδιορίζει τη γραμμή περιστροφής. Αν δεν υπάρχει γραμμή περιστροφής, το πρόβλημα είναι απεριόριστο. Η εισερχόμενη μεταβλητή προσδιορίζεται με ένα μάλλον πολύπλοκο έλεγχο ελαχίστου λόγου. Στον αλγόριθμο εξωτερικών σημείων υπάρχει πάντοτε εισερχόμενη μεταβλητή. Ο πίνακας Simplex εκτός της μηδενικής στήλης ανανεώνεται με μια περιστροφή. Ο τρόπος ανανέωσης της στήλης μηδέν περιγράφεται αναλυτικά στη παρακάτω περιγραφή του αλγορίθμου σε μορφή βημάτων. Η αυτή είναι προσαρμοσμένη για γραμμικά προβλήματα στα οποία ο προσδιορισμός της εισερχόμενης μεταβλητής γίνεται χωρίς δεσμούς στον υπολογισμό του ελαχίστου λόγου θ 1 του βήματος 3. Περιγραφή Αλγορίθμου με βήματα Βήμα 0: Ξεκίνα με μια βασική εφικτή λύση και κατασκεύασε το αρχικό tbleu Simplex. Βήμα 1: (έλεγχος βελτιστότητας) Υπολόγισε το σύνολο J + = {j : 0j > 0} Αν J + =, STOP. Η παρούσα βασική εφικτή λύση είναι βέλτιστη. Διαφορετικά, υπολόγισε τις ποσότητες

22 50 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex i0 = j J + ij, i = 0,1,2,..., m Βήμα 2: (προσδιορισμός γραμμής περιστροφής) Υπολόγισε το σύνολο δεικτών γραμμών I + = {i : i0 > 0} Αν I + =, STOP. Το γραμμικό πρόβλημα είναι απεριόριστο. Διαφορετικά, προσδιόρισε τη γραμμή περιστροφής r από τη σχέση b r r0 b min : i I i = + i0. Βήμα 3: (προσδιορισμός στήλης περιστροφής) Θέσε J - = {j : 0j < 0}. Υπολόγισε τους λόγους θ 1 = 0k rk oj rj : j J +, rj > 0 θ 2 = 0l rl oj rj : j J, rj < 0 Βρες τη στήλη περιστροφής s από τις προηγούμενες σχέσεις. Δηλαδή, αν θ 1 θ 2, θέσε s = k. Διαφορετικά, θέσε s = l. Βήμα 4: (περιστροφή) Κάνε περιστροφή στο στοιχείο rs. Δηλαδή θέσε rj rj, για j = 1, 2,, n, n+1 rs

23 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 51 rj ij ij is, για i = 0, 1, 2,,m (i r) και j = 1, 2,,n, n+1 rs Αν s = k θέσε 0r 0r 1 Πήγαινε στο Βήμα 1. Θα διευκρινίσουμε τώρα περισσότερο τον αλγόριθμο εφαρμόζοντάς τον σε δυο γραμμικά προβλήματα, ένα βέλτιστο και ένα απεριόριστο. Παράδειγμα Να λυθεί με τον πρωτεύοντα αλγόριθμο εξωτερικών σημείων το παρακάτω γραμμικό πρόβλημα min z = 4x 1-6x 2 + x 3-2x 4 μ.π. x 1-2x 2 + 4x 3 - x x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 6 -x 1 + 2x 2 - x 3 + x 4 4 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Προσθέτουμε στους περιορισμούς τις χαλαρές μεταβλητές x 5, x 6, x 7 0, οπότε το γ.π. μετασχηματίζεται ως εξής : min z = 4x 1-6x 2 + x 3-2x 4 μ.π. x 1-2x 2 + 4x 3 - x 4 + x 5 = 12 2x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 + x 6 = 6 -x 1 + 2x 2 - x 3 + x 4 + x 7 = 4 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 0 Λύση

24 52 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex Επανάληψη 1 Βήμα 0: Ξεκινούμε με μια Β.Ε.Λ. και φτιάχνουμε το αντίστοιχο tbleu Simplex. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 ΔΜ z x x x Βήμα 1: Υπολογίζουμε το σύνολο J + = {j : 0j > 0} = {2, 4}. Επειδή J + φτιάχνουμε τη χαρακτηριστική στήλη. Βήμα 2: Υπολογίζουμε το σύνολο I + = {i : i0 > 0} = {2, 3}. Η γραμμή περιστροφής είναι η r = 3, επειδή b 3 30 b 2 20 b, , = Βήμα 3: Θέτουμε J - = {j : 0j < 0} = {1, 3} και υπολογίζουμε τους λόγους 6 2 θ 1 = min, = 2 = θ = min, = 1 = Επειδή θ 2 < θ 1, η στήλη περιστροφής είναι η s = 3.

25 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 53 Βήμα 4: Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 33 = -1 και προκύπτει το επόμενο tbleu Simplex. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 ΔΜ z x x x Πήγαινε στο Βήμα 1. Επανάληψη 2 Βήμα 1: Υπολογίζουμε το σύνολο J + = {j : 0j > 0} = {2, 4}. Επειδή J + φτιάχνουμε τη χαρακτηριστική στήλη. Βήμα 2: Υπολογίζουμε το σύνολο I + = {i : i0 > 0} = {1, 2}. Η γραμμή περιστροφής είναι η r = 2, επειδή b 2 20 b 1 10 b, , = Βήμα 3: Θέτουμε J - = {j : 0j < 0} = {1, 7} και υπολογίζουμε τους λόγους θ 1 = min { } = + θ = min, = = Άρα η στήλη περιστροφής είναι η s = 4.

26 54 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex Βήμα 4: Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 24 = 3 και προκύπτει το επόμενο tbleu Simplex. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 ΔΜ z 3-10/ /3-4/3-7 x x 4 1 1/ /3 1/3 3 x 3-1 4/ /3-2/3-1 Πήγαινε στο Βήμα 1. Προσέξτε σ' αυτό το σημείο ότι το στοιχείο 02 είναι 1 και όχι 2 που προκύπτει από μια απλή περιστροφή. Φυσικά η τιμή αυτή είναι σύμφωνη με τον τρόπο ανανέωσης της στήλης 0 όταν s = k. Επανάληψη 3 Βήμα 1: Υπολογίζουμε το σύνολο J + = {j : 0j > 0} = {2}. Επειδή J + πηγαίνουμε στο επόμενο βήμα. Βήμα 2: Υπολογίζουμε το σύνολο I + = {i : i0 > 0} = {1, 2}. Η γραμμή περιστροφής είναι η r = 2, επειδή b 2 22 b 1 12 b, , = Βήμα 3: Θέτουμε J - = {j : 0j < 0} = {1, 6, 7} και υπολογίζουμε τους λόγους θ 1 = min { } = +

27 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex min = = Άρα η στήλη περιστροφής είναι η s = 2. Βήμα 4: Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 22 = 1 και προκύπτει το επόμενο tbleu Simplex. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 ΔΜ z -13/ /3-7/3-16 x x 2 1/ /3 1/3 3 x 3 5/ /3-1/3 2 Επειδή J + = {j : 0j > 0} =, η παρούσα λύση είναι βέλτιστη. Άρα για x 1 = 0, x 2 = 3, x 3 = 2, x 4 = 0, x 5 = 6 και x 6 = x 7 = 0 η αντικειμενική συνάρτηση παίρνει την ελάχιστη τιμή της, δηλαδή z = -16. Παράδειγμα Να λυθεί με τον πρωτεύοντα αλγόριθμο εξωτερικών σημείων το παρακάτω γραμμικό πρόβλημα min z = 2x 1-2x 2 + 3x 3 + 4x 4 μ.π. -x 1-2x 2 + 2x 3 - x x 1-12x 2 - x 3 - x 4 4 3x 1 + x 2-2x x 4 12 x 1, x 2, x 3, x 4 0

28 56 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex Προσθέτω στους περιορισμούς τις χαλαρές μεταβλητές x 5, x 6 0, οπότε το γ.π. μετασχηματίζεται ως εξής : min z = 2x 1-2x 2 + 3x 3 + 4x 4 μ.π. -x 1-2x 2 + 2x 3 - x 4 + x 5 = 18-2x 1-12x 2 - x 3 - x 4 + x 6 = 4 3x 1 + x 2-2x x 4 + x 7 = 12 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 0 Λύση Επανάληψη 1 Βήμα 0: Ξεκινούμε με μια Β.Ε.Λ. και φτιάχνουμε το αντίστοιχο tbleu Simplex. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 Δ.Μ. z x x x Βήμα 1: Υπολογίζουμε το σύνολο J + = {j : 0j > 0} = {2}. Επειδή J + φτιάχνουμε τη χαρακτηριστική στήλη. Βήμα 2: Υπολογίζουμε το σύνολο I + = {i : i0 > 0} = {3}. Η γραμμή περιστροφής είναι η r = 3, επειδή b 3 30 b = 12 1

29 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 57 Βήμα 3: Θέτουμε J - = {j : 0j < 0} = {1, 3, 4} και υπολογίζουμε τους λόγους θ 1 2 = min = θ 2 3 = min = 1,5 = Άρα η στήλη περιστροφής είναι η s = 3, επειδή θ 2 < θ 1. Βήμα 4: Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 33 = -2 και προκύπτει το επόμενο tbleu Simplex., x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 Δ.Μ. z 1/2-5 1/ /2-18 x x 6-25/2-7/2-25/ /2-2 x 3-1/2-3/2-1/ /2-6 Επανάληψη 2 Βήμα 1: Υπολογίζουμε το σύνολο J + = {j : 0j > 0} = {2}. Επειδή J + φτιάχνουμε τη χαρακτηριστική στήλη. Βήμα 2: Υπολογίζουμε το σύνολο I + = {i : i0 > 0} =. Επειδή I + = το πρόβλημα είναι απεριόριστο.

30 58 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Χαρακτηριστικά αλγορίθμων τύπου simplex (5) Αν το βασικό σημείο ικανοποιεί ακριβώς n-m ανισότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 13: Μεθοδολογία Αλγορίθμων τύπου Simplex, Αναθεωρημένος Πρωτεύων Αλγόριθμος Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 21: Δυϊκή Θεωρία, Θεώρημα Συμπληρωματικής Χαλαρότητας και τρόποι χρήσης του Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 3/4/2012. Lecture08 1

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 3/4/2012. Lecture08 1 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Μεθοδολογία αλγορίθμων τύπου simplex (5) Βήμα 0: Αρχικοποίηση (Initialization). Στο βήμα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 11: Σχέσεις Πρωτεύοντος και Δυϊκού Προβλήματος, Χαρακτηριστικά Αλγορίθμων τύπου Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Δυϊκότητα Θα δείξουμε πώς μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης με ένα πρόβλημα ΓΠ στην συνήθη του μορφή. Ένα πρόβλημα στην συνήθη του μορφή μπορεί να είναι ένα κατασκευαστικό πρόβλημα,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ. 1.1 Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ. 1.1 Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ. Εισαγωγή Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι ο πιο εφαρμοσμένος κλάδος της επιστήμης των Μαθηματικών με πληθώρα εφαρμογών στην επιστήμη των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Ασχολείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10: Επαναληπτική Βελτίωση Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Η αγορά μπορεί να απορροφήσει οποιονδήποτε αριθμό σε θρανία και καρέκλες, αλλά το πολύ πέντε τραπέζια. Έχουμε το εξής π.γ.π.

Η αγορά μπορεί να απορροφήσει οποιονδήποτε αριθμό σε θρανία και καρέκλες, αλλά το πολύ πέντε τραπέζια. Έχουμε το εξής π.γ.π. Ένα ξυλουργείο παράγει θρανία, τραπέζια και καρέκλες : Προϊόν Πρώτη Ύλη Θρανίο Τραπέζι Καρέκλα Διαθεσιμότητα Ξυλεία (m) 8 6 1 48 Κατασκευή (ώρες) 2 1.5 0.5 8 Φινίρισμα (ώρες) 4 2 1.5 20 Τιμή Πώλησης 60,000

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Δυϊκή Θεωρία (1) Θεώρημα : Το δυϊκό πρόβλημα του γραμμικού προβλήματος 0 0 1 1 2 2 0 0 T

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 3: Μαθηματικό Πρότυπο, Κανονική Μορφή, Τυποποιημένη Μορφή Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Σχέσεις μεταξύ του πρωτεύοντος και του δυϊκού του. Για να χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία δυϊκότητας αλλάζουμε την μορφή του πίνακα της μεθόδου simplex, προσθέτοντας μια σειρά και μια στήλη. Η σειρά προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου

Η μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου Η μέθοδος Simplex Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 1 / 17 Η μέθοδος Simplex Simplex Είναι μια καθορισμένη σειρά επαναλαμβανόμενων υπολογισμών μέσω των οποίων ξεκινώντας από ένα αρχικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

(sensitivity analysis, postoptimality analysis).

(sensitivity analysis, postoptimality analysis). Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 7 Ανάλυση ευαισθησίας Παραμετρική ανάλυση Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 11 Φεβρουαρίου 2016 Α.

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η

Ανάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η Ανάλυση Ευαισθησίας αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η μεταβολή των αντικειμενικών συντελεστών c μεταβολή των όρων b i στο δεξιό μέλος του συστήματ των περιορισμ μεταβολή των συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Δεσμευτικοί περιορισμοί Πρόβλημα Βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων Συνολικό μοντέλο Maximize z = 150x 1 + 200x 2 (αντικειμενική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΣ ΝΕΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ

ΕΝΑΣ ΝΕΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΕΝΑΣ ΝΕΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ Παπαρρίζος Κωνσταντίνος, Σαμαράς Νικόλαος, Στεφανίδης Γεώργιος Τμ. Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20 Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (2o μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ακέραια Πολύεδρα 1 Ορισμός 4.1 (Convex Hull) Έστω ένα σύνολο S C R n. Ένα σημείο x του R n είναι κυρτός συνδυασμός (convex combination) σημείων του S, αν υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μεθόδου Simplex

Θεωρία Μεθόδου Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Θεωρία Μεθόδου Simplex Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 23: Κλασική Ανάλυση Ευαισθησίας, Βασικές Έννοιες Γραφημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 7: Γεωμετρία Γραμμικού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο 5 ο ΜΑΘΗΜΑ ηµήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση ενεργειακών πόρων & συστημάτων Πρακτικά συνεδρίου(isbn: )

Διαχείριση ενεργειακών πόρων & συστημάτων Πρακτικά συνεδρίου(isbn: ) ISN: 978-960-87277-8-6 23 ο Εθνικό Συνέδριο Ελληνικής Εταιρείας Επιχειρησιακών Ερευνών Διαχείριση ενεργειακών πόρων & συστημάτων Πρακτικά συνεδρίου(isn: 978-960-87277-8-6) Αθήνα, 2-4 Σεπτεμβρίου 202 Αίθουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδος simplex Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 4 η /2017 Η γεωμετρία των προβλημάτων γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) 1

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex )  1 Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) http://users.uom.gr/~acg 1 Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simplex (simplex table, simplex

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ

ΜΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ 5.1 Εισαγωγή Μια υπολογιστική μελέτη (computational study) αποτελεί ένα μέσο σύγκρισης δυο ή περισσότερων αλγορίθμων ώστε να εξαχθούν ασφαλή συμπεράσματα για

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 15: Κύκλωση Δεσμοί, Κανόνες Περιστροφής Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ... 2 1.1.1 Ορισμός και ιδιότητες γραφημάτων... 2 1.1.2 Δέντρα... 7 1.2 ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗ ΓΡΑΦΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ... 11 1.2.1 Μήτρα πρόσπτωσης κόμβων τόξων...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks)

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks) Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο Ορισμοί Παραδείγματα Δικτυακή Simplex (προβλήματα με και χωρίς φραγμούς). Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum ost Flow Networks) Ένα δίκτυο μεταφόρτωσης αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας

Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός και Ακέραιος προγραμματισμός

Γραμμικός και Ακέραιος προγραμματισμός ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΜΠΣ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ» Γραμμικός και Ακέραιος προγραμματισμός Διπλωματική εργασία της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 1: Δυϊκή Θεωρία, Οικονομική Ερμηνεία Δυϊκού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Διανομής και Δικτύων

Μοντέλα Διανομής και Δικτύων Μοντέλα Διανομής και Δικτύων 10-03-2017 2 Πρόβλημα μεταφοράς (1) Τα προβλήματα μεταφοράς ανακύπτουν συχνά σε περιπτώσεις σχεδιασμού διανομής αγαθών και υπηρεσιών από τα σημεία προσφοράς προς τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 4: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (4 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 8: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (2 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Παράδειγμα ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ Η βιοτεχνία ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ παράγει δύο βασικά προϊόντα: τραπέζια και καρέκλες υψηλής ποιότητας. Η διαδικασία παραγωγής και για τα δύο προϊόντα περιλαμβάνει την

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ: Ανάλυση ευαισθησίας των παραμέτρων του μαθηματικού υποδείγματος. Εφαρμογές χρησιμοποιώντας το R

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ: Ανάλυση ευαισθησίας των παραμέτρων του μαθηματικού υποδείγματος. Εφαρμογές χρησιμοποιώντας το R ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ: Ανάλυση ευαισθησίας των παραμέτρων του μαθηματικού υποδείγματος. Εφαρμογές χρησιμοποιώντας το R Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό έχει σκοπό να παρουσιάσει και να υπογραμμίσει τη σημασία της ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000. Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2009. Οι συγγραφείς. Κ. Παπαρρίζος, Ν. Σαμαράς, Α. Σιφαλέρας.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2009. Οι συγγραφείς. Κ. Παπαρρίζος, Ν. Σαμαράς, Α. Σιφαλέρας. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο «Δικτυακή Βελτιστοποίηση» γράφτηκε με κύριο στόχο να καλύψει τις ανάγκες της διδασκαλίας του μαθήματος «Δικτυακός Προγραμματισμός», που διδάσκεται στο Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής,

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x+ y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y

Διαβάστε περισσότερα

Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.)

Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.) Μια εταιρεία χημικών προϊόντων παρασκευάζει μεταξύ των άλλων και δύο διαλύματα, ΔΛ, ΔΛ2. Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια, αυτό της μίξης κι εκείνο του καθαρισμού. Μια σχετική μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός

Εισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Σε περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης

Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης http://users.uom.gr/~acg Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Comple ) Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simple (simple table, simple tableαu)

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα 2: Γραφική επίλυση προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού(γ.π.) ιδάσκων: Βασίλειος Ισµυρλής Τηλ:6979948174, e-mail: vasismir@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας.

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας. ΔΙΑΛΕΞΗ η : Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας Στόχος: Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με την αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας, ενώ αργότερα θα γενικεύσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # : Επιχειρησιακή έρευνα Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Μέθοδοι ανάλυσης κυκλωμάτων

Κεφάλαιο 8 Μέθοδοι ανάλυσης κυκλωμάτων Κεφάλαιο 8 Μέθοδοι ανάλυσης κυκλωμάτων 8 Μέθοδοι ανάλυσης κυκλωμάτων ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Συστήματα εξισώσεων στην ανάλυση κυκλωμάτων Η μέθοδος των ρευμάτων βρόχων Η μεθοδος των ρευμάτων των κλάδων 2

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 3 3.1 Γενικά Τις τελευταίες δεκαετίες ένας μεγάλος αριθμός μεθόδων βελτιστοποίησης έχει αναπτυχθεί με βάση τη θεωρία του μαθηματικού λογισμού. Οι διάφοροι μαθηματικοί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΠΑΝΤΑΙΔΑΚΗΣ ΜΙΧΑΗΛ Α.Μ 8342 ΕΞΑΜΗΝΟ :ΠΤΘ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

max 17x x 2 υπό 10x 1 + 7x 2 40 x 1 + x 2 5 x 1, x 2 0.

max 17x x 2 υπό 10x 1 + 7x 2 40 x 1 + x 2 5 x 1, x 2 0. Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 11 Επίλυση στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 6 Μαΐου 2016 Η μέθοδος κλάδος-φράγμα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015 ΘΕΜΑ 1 ( Μονάδες 2) Μια επιχείρηση κατασκευής tablet έχει εργοστάσια σε τρεις διαφορετικές χώρες Α,Β,Γ που παράγουν αντίστοιχα 200, 260 και

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου

4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου . Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου Σ αυτή την παράγραφο θα εξεταστεί μια παραλλαγή του προβλήματος της συντομότερης διαδρομής, το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου. Σ αυτό το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα