Pi $2. Αν για δύο τμήματα α, β ισχύει = 1 ή =, όπου x κατάλληλο τμήμα (ή β χ χ
|
|
- Εσδράς Παπανικολάου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΑ PATHPHΣΕΙΣ ΥΠΟΑΕΙΞΕΙΣ Όταν έχουμε αναλογίες της μορφής = = θέτουμε Pi $2 = = λ, όπου λ > 0. β. 32 (Ασκήσεις: 7.6 Εμπέδωσης 1, 3, Αποδεικτικές 1) Αν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος του Θαλή σε τρίγωνο ή τραπέζιο προκύπτουν παράλληλες ευθείες. (Ασκήσεις: 7.7 Εμπέδωσης 5, 6, Αποδεικτικές 3, 6) Αν για δύο τμήματα α, β ισχύει = 1 ή =, όπου x κατάλληλο τμήμα (ή β χ χ α β με χ = y) \ τοτε - α = ρ. η χ y (Ασκήσεις: 7.7 Εμπέδωσης 7, Αποδεικτικές 7) Σε τρίγωνο ΑΒΓ αν οι ημιευθείες Α, ΑΕ είναι αντίστοιχα η εσωτερική και εξωτερική διχοτόμος της γωνίας ΒΑΓ τα, Ε είναι συζυγή αρμονικά των Β και Γ. (Ασκήσεις: Εμπέδωσης 7, Σύνθετα 1)
2 Ασκήσεις εμπέδωσης 1. Έστω ότι = = = λ τότε Α = 4λ, Β = 3λ και Γ = 2λ Αλλά Α + Β + Γ = 180, οπότε 9λ = 180 <=> λ = 20. Άρα Α = 80% Β = 60% Γ = 40 2.Έστω φ η παραπληρωματική της ώ. Τότε: η φ = 3ω. Αλλά ω+φ = 180 η 4ώ = 180 η ώ = 45 φ 3 (Χ β Ύ 3. Έστω ότι = = = λ τότε α=6λ, β=4λ και γ=3λ Αλλά α + β + γ = 65cm, οπότε 13λ = 65cm <=> λ = 5cm Άρα a=30cm, β=20ατι, y=15cm Αποδεικτικές ασκήσεις 1. Εστω = = λ τότεα,=2λ Β ε =3λ Γ, = 4λ ξ * * Αλλά Α^ + Β ε ξ + Γ ε ξ = 360 (4 ορθές), οπότε 9λ = 360 <=> λ = 40 Άρα Α ε ξ = 80, Β ε ξ = 120 και Γ εξ = 160. Επομένως Α = 100 Β = 60 Γ = Α Β Γ ε * * Μ * π, ΜΑ MB ΜΑ MB ΜΑ MB Πρέπει = <=> = <=> = <=> 12ΜΑ = 20ΜΒ <=> ΜΑ ΜΓ ΜΑ + MA MB + ΜΓ (ΜΒ + ΑΒ) = 20ΜΒ <=> 8MB = 12ΑΒ <=> MB = 9
3 A Β ΜΑ 3 Εστω σημείο Μ του ΑΒ τέτοιο ωστε: = MB 4 Μ ΜΑ 3 ΜΑ 3 3, ΛΟ Ί, Τότε = <=> = => ΜΑ = ΑΒ. ιαιρούμε το ΑΒ=α σε 7 ισα ΜΑ + MB 3+4 ΑΒ 7 7 μέρη και το άκρο του τρίτου από την αρχή τμήματος είναι το ζητούμενο σημείο Ασκήσεις εμπέδωσης ΛΑ Ρ 1. ί)έχουμε: Ε ΒΓ: = (1) Β ΕΓ ΑΕ _ ΒΖ ΕΖ ΑΒ: (2) και ΕΓ ~ ΖΓ,, ΒΖ ΗΒ ΖΗ ΑΓ: = (3) ΖΓ ΗΑ Α ΗΒ Από (1), (2), (3) προκύπτει οτι: = Α ΗΒ Α π) Εχουμε: = <=> Β ΗΑ Α + Β ΗΒ ΗΑ + ΗΒ ^ Α ΑΒ ΗΒ <=> Α = ΗΒ ΑΒ 2. ί) Έχουμε: ΖΓ Α: ΑΖ _ _ ΑΒ (Γ = ΑΒ) AH ~~ Η ~ Η ίί) Έχουμε: ΑΕ Ε Α Ι 4ΤΤ ΕΗ Ε Α ΒΖ: = καιαβ Η: =. ΕΖ ΕΒ ΑΕ ΕΒ AF FH τ Αρα = <=> ΑΕ 2 = ΕΖ ΕΗ ΕΖ ΑΕ, Λ. Ο OA 3. Αρκεί =. Εχουμε: OA ΟΕ Ο ΟΓ ΑΒ Γ: = και OA ΟΒ OA _ ΟΓ ΒΕΙΙΑΓ: ΟΕ ~ ΟΒ Ο OA Αρα: = OA ΟΕ
4 Έχουμε:.. ΑΤ, ΑΕ ΜΑ AM Ε: = καν ΑΒ ΒΜ Ζ AM: ΑΖ ΑΓ ΜΑ ΜΓ ΑΕ ΑΖ, ΑΕ ΑΒ Αρα: (ΒΜ=ΜΓ) ή = ΑΒ ΑΓ ΑΖ ΑΓ Μ ΑΖ ΑΗ 5. Αρκεί: = (αντίστροφο Θαλή στο τρίγ. ΑΒ) ΖΒ Η Α 7 AF ΑΤ-Γ AF Έχουμε: ΖΕ / /ΒΓ: = και ΕΗ / /Γ: = ΖΒ ΕΓ Η ΕΓ ΑΖ ΑΕ Αρα: = ΖΒ ΕΓ ΑΖ _ ΑΗ 6. Αρκεί: (αντίστροφο Θαλή στο τριγ. ΑΒΓ) ΖΒ ~ ΗΓ ΑΖ Λ 7 _ ΑΓ Έχουμε: Ζ ΑΓ: ΖΒ ~ Β ι, AH BE Α ΑΖ ΑΗ καιεη ΑΒ: =. Αρα ΗΓ ΕΓ ΖΒ ΗΓ γιατί Β = ΕΓ και BE = Γ Μ ΜΚ 7. Έχουμε: Κ / /ΑΒ MB ΜΑ ΜΕ _ ΜΚ και ΚΕ / /ΑΓ: ΜΓ ~ ΜΑ Μ ΜΕ Αρα =, οποτε Μ= ME (MB = ΜΓ) MB ΜΓ Λ Μ F. q.. Ζ Η Τ 4,ι 4, Ζ ΑΕ 8. Αρκεί: =. Εχουμε: ΑΕ Γ: = ΖΕ HE ΖΕ Γ Η _ ΕΒ και ΕΒ Γ: HE ~ Γ Ζ Η Άρα: = (ΑΕ = ΕΒ), οπότε τα Ζ, Η είναι συζυγή ΖΕ HE αρμονικά των, Ε.
5 ΒΓ ΑΓ 9. Έχουμε Β//ΓΕ:, οποτε με Ε ~ ΑΕ αντικατάσταση των δεδομένων παίρνουμε h = 12m <=> h = 8m 10m 15m 12m Αποδεικτικές ασκήσεις 1. Έστω ότι το Γ είναι μεταξύ των Ο και Β. ΓΑ, ΓΑ Α Τοτε: > 1. Αλλα = > 1. ΓΒ ΓΒ Β Επομένως Α>Β Έστω ότι το Γ είναι μεταξύ των Ο και Α. ΓΑ ΓΑ Α Τοτε: < 1. Αλλα = < 1. ΓΒ ΓΒ Β Επομένως Α<Β Α Γ Β Ο ΑΓ Ο 2. Έχουμε 4x = 6ν = 3ω <=> = = Παίρνουμε αυθαίρετα ευθ. τμήμα μ. Φέρουμε τυχαία ημιευθεία Αχ και παίρνουμε σ' αυτή τα διαδοχικά τμήματα ΑΓ=3μ, Γ=2μ, Ε=4μ. Ενώνουμε το Ε με το Β και φέρουμε ΓΖ//ΒΕ και Η//ΒΕ. Τότε: ΑΖ ΖΗ ΗΒ ΑΖ ΖΗ <=> ΗΒ ΑΓ Γ Ε 3μ ~2μ~ 4μ Άρα AZ=x, ZH=y και ΗΒ=ω. 3. Αρκεί ΖΒ ΑΗ ΗΓ (αντίστροφο Θαλή στο τριγ. ΑΒΓ). Επειδή ΑΕ διάμετρος είναι ABE = ΑΓ Ε = 90. ΑΖ Α Άρα ΒΕ Ζ, οπότε = και ΓΕ Η, οπότε ΖΒ Ε ΑΗ Α. ΑΖ ΑΗ =. Επομένως = ΗΓ Ε ΖΒ ΗΓ / ζ/ - ν\ \ Η 1
6 Έχουμε Ζ//ΒΓ: Ε _ Ζ ΕΒ ~ ΒΓ Ε η Ε ΕΒ Ζ Ζ (ΒΓ = Α)ή Α, Ε Ζ Ε + ΕΒ Ζ + Α ΕΒ Ζ + Ζ + ΑΖ 1 _ Ζ οπότε ΑΖ = 3Ζ 52Ζ + ΑΖ 5. Έχουμε: Ε//ΒΓ: ΒΓ ΖΒ Α ΖΒ Λ Α ^ <=> - (ΒΓ = Α) και Ε ΖΕ Ε ΖΕ Γ _ ΕΒ Α 7. ~ ΖΕ Α Γ ΖΒ-ΕΒ Αρα Ε Ζ ΖΕ ΖΕ ΖΕ Μ ΜΚ ϊ) Έχουμε Κ//ΑΒ: Β ΑΚ ' Ε Β ΜΚ _ Αλλά Μ = = οποτε 2 ΑΚ ~ 2 Άρα Κ βαρύκεντρο του ΑΒΓ. ^ Ε ΕΓ, ΜΕ ίί) Εχουμε: ΜΕ = =, οποτε 2 2 ΕΓ ΜΚ ΜΕ 1 FC/ / Λ Γ Αρα = =, οποτε ΚΕ / /ΑΓ ΑΚ ΕΓ 2 Λ Μ Ε 7. Έχουμε: Ε AO ΟΕ / /Α: Γ ΑΓ (1) και ΖΓ ΒΟ ΟΖ / /ΒΓ: = Γ Β (2) Αλλά ΑΒ//Γ, οπότε AO _ ΒΟ ΑΓ ~ Β (3) Από (1), (2), (3) προκύπτει ότι Ε ΖΓ = <=> Ε = ΖΓ Γ Γ
7 Σύνθετα θέματα 1. Εστω Κ, Λ μέσα των ΑΒ, ΑΓ. Φέρουμε Ζ//ΚΑ//ΒΓ. Τότε Α ΑΖ ΑΖ ΕΓ =, οποτε = Β ΖΓ ΖΓ ΕΑ ΑΖ ΕΓ ΑΖ ΕΓ ~~ζ ~ <=> = <=> ΑΖ ΕΓ ΑΖ + ΖΓ ΕΓ + ΕΑ ΑΓ ΑΓ Επομένως στο τριγ. ΖΕ το Λ είναι το μέσο του ΖΕ και ΑΚ//Ζ. Άρα Μ μέσο του Ε, οπότε Κ,Λ.Μ συνευθειακά. 2. -> Φερουμε Λ*' ΑΕ//ΒΙ. ΑΕ//όγ Τοτε -τ' ΗΑ = ΑΕ και ΖΑ = ΑΕ ΗΓ ΜΓ ΖΒ MB ΗΑ ΖΑ Αρα = (MB = ΜΓ) η ΖΑ ΗΓ = ΗΑ ΖΒ. ΗΓ ΖΒ 3. Εστω ότι τα Γ, είναι συζυγή αρμονικά των Α,Β. Τότε: = (1) ΓΒ Β Επειδή ΒΕ//ΟΑ είναι (2) και ΓΒ BE Α OA επειδή ΒΖ//ΟΑ είναι = (3) Β ΒΖ OA OA Από (1), (2), (3) προκύπτει ότι <=> BE = ΒΖ BE ΒΖ ΓΑ Α Αντίστροφα: Έστω ΒΕ=ΒΖ τότε από (2), (3) προκύπτει ότι =. Αρα τα Γ ΓΒ Β είναι συζυγή αρμονικά των Α, Β. \ Α/ Γ \/ \ ε /Β Α ΕΑ 4. Έχουμε = λ και κ Γ Ε Β ΖΗ Φέρουμε Η//ΒΖ. Τότε: <=> Γ ΗΓ ΖΗ ΖΗ λ ΖΗ λ» <=> ΗΓ ΖΗ + ΗΓ λ +1 ΖΓ λ + 1 ΑΕ ΑΖ ΑΖ Επίσης <=> = κ (2). Ε ΖΗ ΖΗ Από (1), (2) προκύπτει ότι: (1)
8 ΑΖ ΖΗ κλ_ ΑΖ _ κλ ΖΗ ΖΓ ~ λ + 1 ΖΓ λ Επειδή Β1ΑΒ, ΑΓ1ΑΒ αρκεί ΜΚ Β ΑΓ. Έχουμε: ΑΓ//Β: = (1) KB Β Αλλά ΑΓ=ΓΜ και Β=Μ (2) (εφαπτόμενα τμήματα). Από (1), (2) προκύπτει ότι: ΚΒ Μ οπότε ΜΚ Β (αντίστροφο Θαλή στο τριγ. ΒΓ) Ασκήσεις εμπέδωσης ΑΕ ΑΒ ΑΒ 1. Έχουμε ΑΒΜ (ΒΕδιχ.): Ε Μ ΒΜ ΒΓ Α ΑΒ και ΑΒΓ (Βδιχ.): = (2) Γ ΒΓ ΑΕ Α Από (1), (2) προκύπτει ότι = 2 ΕΜ Γ 2 = 2 (1) ΒΓ 2. Έχουμε Β αγ β + γ 10 6 _ 60 _, ~ 15 ~ αγ και Ε Β= =20 β- γ Αρα Ε = Β + Ε Β= 24 Β Λ Α ΜΑ 3. Έχουμε ΑΜΒ (Μ διχ.): = Β MB Ρ Α ΜΑ ΑΜΓ (ΜΕ εξωτ. διχ.): =. (2) Ε Γ ΜΓ Αλλά ΜΒ=ΜΓ (3) Από (1), (2), (3) προκύπτει ότι Α ΕΑ <=> ΕΑ Β = ΕΓ Α Β ΕΓ (1) και
9 Α AM 4. Έχουμε ΑΜΒ (Μ διχ.): = και Β MB ο, ΑΕ AM ΑΜΓ (ΜΕ διχ.): =. ΕΓ ΜΓ Άρα = (ΜΒ = ΜΓ), Β ΕΓ οπότε Ε ΒΓ (αντίστροφο Θαλή στο τριγ. ΑΒΓ). 5. Επειδή Α, BE και ΓΖ διχοτόμοι είναι: ΑΒ ΑΒ ΕΓ ΒΓ ΖΑ ΑΓ Γ ~ ΑΓ ' ΕΑ ~ ΑΒ ΖΒ ~ ΒΓ Β ΕΓ ΖΑ ΑΒ ΒΓ ΑΓ Αρα Λ = 1 Γ ΕΑ ΖΒ ΑΓ ΑΒ ΒΓ Αν ΑΚ, ΒΛ και ΓΜ οι εξωτερικές διχοτόμοι του τριγ. ΑΒΓ KB ΑΓ ΜΑ, Ισχύει: = 1. Η απόδειξη είναι ομοια. ΚΓ ΑΑ MB 6. Επειδή ΑΒ=ΑΓ έχουμε ΑΒ = ΑΓ, οπότε ) = 2. Λ Άρα στο τριγ. ΒΓ (Ε διχ.): ΕΒ = Β <=> ΕΒ Γ = ΕΓ Β ΕΓ Γ Β ^/Ε / 7. Έχουμε ΟΑΓ = ΟΕΓ και ΟΒ = ΟΕ, οπότε Ο) = 0 2 και 0 3 = 0 4 Άρα στο τριγ. ΟΕΖ η ΟΓ είναι εσωτερική διχοτόμος και η Ο εξωτερική διχοτόμος της Ο. Επομένως τα Γ, είναι συζυγή αρμονικά των Ε,Ζ. Γ 1 ιμλ" Γ Ο 8. Έστω AB=20m, ΑΓ=36ιτ> και Α η διχοτόμος της γωνίας, Β ΑΒ Β 20 5 Α. Τότε = <=> = = - (1). Γ ΑΓ Γ 36 9 Από την (1) προκύπτει ότι Β<Γ. Άρα θα είναι Γ-Β=12πι (2). Επομένως
10 v.r ;Μ ΐ Β5 Β 5 (2) Β 5 <=> Β = 15m, Γ ~~ 9 Γ - Β m 4 οπότε Γ=27πι και ΒΓ=Β+Γ=42πι. Αποδεικτικές ασκήσεις OA 1. Έχουμε ΟΑΓ (ΟΒ διχ.): (0 και ΟΒ (OA εξωτ. διχοτόμος, γιατί ΟΑ_1_ΟΓ): ^ = ^ (2) ΑΒ ΟΒ Αλλά ΟΑΒ = ΟΓ (OA = Ο, Α = = φ Ο, = 0 3 = 45). Αρα ΟΒ=ΟΓ (3) Από (1), (2), (3) προκύπτει ότι: ΑΒ _ Α ΒΓ ~ ΑΒ Ο ΑΒ = ΒΓ Α 2. Έχουμε: ΑΒ ΒΜ Α ΕΜ: = «BE (1) και ΑΒ Β Β ΓΖ ΓΜ ΖΜΙΙΑ: = <ί=> ΑΓ ΓΜ = ΓΖ Γ (2) ΑΓ Γ, Β ΑΒ ΑΒ ΑΓ ί; Επίσης ΑΒΓ (Α διχ.): = «= (3) Γ ΑΓ Β Γ Από (1), (2), (3) επειδή ΒΜ=ΓΜ προκύπτει ότι ΒΕ=ΓΖ ΛΜ ΑΒ 3. ί) Έχουμε ΑΒ (ΒΙ διχ.): = Αλλά Β αγ ΑΙ, οποτε β+ γ Ι β + γ Υ Β ΑΙ ίί) α) Επειδή β+γ-α είναι = 2. Αλλά Κ βαρύκεντρο, Ι, ΑΚ οποτε = 2. KM α Επομένως - =, οποτε ΙΚ//ΒΓ (αντίστροφο Θαλή στο τριγ. ΑΜ) Ι KM Α Μ
11 β) Έχουμε ΖΕ ΒΓ, οπότε ΖΕ ΑΚ ΖΕ = <=> - = ΒΓ AM α β + Ύ ΖΕ = <=> ΖΕ = (αφού β+γ=2α) τ, ΑΜ ΖΕ 7C ί 2 <=> = Ο AM α. Έχουμε ΑΒΜ (Β διχ.): ΑΓΜ (ΓΕ διχ,): ΑΕ ΕΜ ΑΑ ΑΕ ΑΒ + ΑΓ + AM - EM ΒΓ Λ Λ Μ ΑΒ ~ ΒΜ και ΑΓ Άρα: ΓΜ ΒΓ (γιατί ΒΜ=ΓΜ= ) = 2 2 : ΑΒ + ΑΓ 2 > 2, διότι ΑΒ+ΑΓ>ΒΓ (τριγωνική ανισότητα) ΒΓ Ζ Α_ Ο. i) Έχουμε ΟΓ (ΟΖ διχ.): (1) ΖΓ~ ΟΓ και ΑΒ//Γ: = (2) ΟΓ ΒΓ,, Ζ Α Απο (1), (2) προκύπτει οτι = <=> Ζ ΒΓ ΖΓ ΒΓ Ε Α_ OA ii) Όμοια ΟΑΒ (ΟΕ διχ.): ΕΒ~ ΟΒ ΖΓ Α και ΑΒ//Γ: =. Αρα = <=> ΕΑ ΒΓ = ΕΒ Α ΟΒ ΒΓ ΕΒ ΒΓ ύνθετα θέματα. Επειδή ΚΑ διάμετρος έχουμε ΚΑ = 90 (1). Επίσης, αφού Κ_]_ΒΓ, το Λ είναι το μέσο του τόξου ΒΓ. Άρα Aj = Α 2 (2) Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι οι ΑΚ και Α είναι η εσωτερική και εξωτερική διχοτόμος της γωνίας Α του τριγ. ΕΑΖ. Άρα τα Ε,Ζ είναι συζυγή αρμονικά των Κ,Λ.
12 Αν οι διχοτόμοι των γωνιών Α και Γ τέμνονται σε σημείο Ε Λ, ΕΑ ΑΑ Ε Γ της Β τοτε: = και =. ΕΒ ΑΒ ΕΒ ΒΓ Α Γ Αρα = <=> ΑΒ Γ = Α ΒΓ Β ΒΓ Αντίστροφα: Αν έχουμε ΑΒ Γ = Α ΒΓ ή ~~ = θα ΑΒ ΒΓ δείξουμε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών Α και Γ τέμνονται πάνω στη Β. Έστω ότι η διχοτόμος της Α τέμνει τη Β στο Ε. Τότε:, οπότε από την υπόθεση Ε _ Γ ΕΒ ~ ΒΓ. Άρα η ΓΕ διχοτόμος της Γ (στο τρίγ. ΒΓ ). 3. Έστω Μ το ζητούμενο σημείο. Αν φέρουμε τη διχοτόμο Μ του τριγ. ΑΜΒ και την προεκτείνουμε τέμνει τον κύκλο στο Ε. Επειδή Μι = Μ 2 το Ε θα είναι το μέσο του τόξου ΑΝΒ. Επίσης Α ΜΑ μ Β MB ν Άρα τόσο το, όσο και το Ε προσδιορίζονται. Κατασκευή. ιαιρούμε τη χορδή ΑΒ σε τμήματα Α, Β τέτοια ώστε =. Φέρουμε κάθετη στο μέσο της ΑΒ, η οποία διχοτομεί το τόξο ΑΝΒ 3 ν στο Ε. Η Ε προεκτεινόμενη ορίζει το σημείο Μ του τόξου Α Β, τέτοιο ώστε ΜΑ μ MB ~ ν' Πράγματι ΜΑ Α ΜΒ ~ M εκ κατασκευής (αφού Μ διχοτόμος του τριγ. ΑΜΒ). 4. Έστω ότι η Ζ τέμνει την ΒΓ στο Κ.., ΗΚ ΚΓ, Τ, Αρκεί = Ενουμε: Η Γ Ε//ΒΚ, οπότε ΗΚ KB KB (1) (Ε = ΖΒ) Η Ε ΖΒ Επίσης ΖΒ//Γ, οπότε ΚΓ KB ΚΓ KB ΖΒ η ΖΒ Γ (2)
13 112 Γ ενικές Ασκήσεις ΗΚ ΚΓ Από (1), (2) προκύπτει ότι =, οπότε η ΓΗ είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΓ. Η Γ 5. Η άγνωστη κορυφή Α του τριγώνου πρέπει: ϊ) Να απέχει από τη ΒΓ απόσταση υ, άρα θα ανήκει σε ευθεία παράλληλη της ΒΓ και σε απόσταση ίση με υ από αυτή. λ ϋ) Να ικανοποιεί τη σχέση =, άρα θα ανήκει σε κύκλο ΑΓ ν διαμέτρου Ε, όπου τα και Ε διαιρούν το ΒΓ εσωτερικά και εξωτερικά σε λόγο λ = ^. ν Κατασκευή. Ορίζουμε την ΒΓ=α. Φέρουμε ΓΚ_Ι_ΒΓ ώστε ΓΚ=υ και από το Κ φέρουμε Κχ//ΒΓ. ιαιρούμε το ΒΓ εσωτερικά και εξωτερικά σε λόγο λ= και ν βρίσκουμε τα και Ε. Τέλος γράφουμε κύκλο διαμέτρου Ε οπότε: Αν το ύψος υ είναι μικρότερο από την ακτίνα του κύκλου έχουμε δύο λύσεις (τα τρίγωνα ΑΒΓ, Α'ΒΓ του σχήματος), άν το ύψος υ είναι ίσο με την ακτίνα μια λύση ενώ άν δεν είναι μεγαλύτερο καμμία λύση. Γ ενικές ασκήσεις 1. Έχουμε Κ1Ε, ΑΕ1Ε. Άρα Κ//ΑΒ//Ε. Επομένως ΑΖ//Κ: ΑΖ _ ΛΑ ΑΖ R Λ ^ R ρ... <=> ΑΖ = (1) και Κ ~ ΚΑ R ~ R + ρ R + ρ ΖΒ Ζ ΚΑ. ΖΒ//ΑΕ: = = ή Ε Κ ΖΒ R <=> ΖΒ = R-P 2R ρ (2). Από (1), (2) προκύπτει ότι: ΑΒ = ΑΖ + ΖΒ = Ρ R + P R +ρ R + ρ 2. Φέρουμε Αχ//ΒΓ. Άν η Ε τέμνει τις ΒΓ, Αχ στα Κ, Λ αντίστοιχα έχουμε: Α//ΚΒ: = (1) και Α//ΚΓ: _EL = _EL (2) Α Α ΕΑ Α Από (1), (2) προκύπτει ότι:
14 Γενικές Ασκήσεις 113 Β ΕΧ ΚΒ + ΚΓ ΚΒ + ΚΜ + ΜΓ 2ΚΜ Α ΕΑ Α Α Α, KM ΘΜ 1 /, Λ, (γιατί = ) = 2 = 1 (αφου Θ βαρυκεντρο). Α Θ 2 ΘΜ Θ 3. ί) Φέρουμε ΓΗ//ΑΒ. Τότε: ΕΒ Β ΖΓ ΓΗ και οποτε ΕΓ ΓΗ Ζ Α ΕΒ ΖΓ Β ΓΗ Α ΕΒ ΖΓ ΕΓ Ζ ~ ΓΗ Α Β ΕΓ Ζ Α Αντίστροφα: Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και, Ε, Ζ σημεία Γ Ε των ευθειών ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ αντίστοιχα (έστω, Ζ εσωτερικά των ΑΒ, ΑΓ και Ε, ΠΤΛ,, Α ΕΒ ΖΓ,, εξωτερικό του ΒΓ) τέτοια ωστε: = 1. Τοτε τα σημεία, Ε, Ζ είναι Β ΕΓ ΖΑ συνευθειακά. Απόδειξη Α ΖΑ Η Ευθεία Ζ τέμνει την ευθεία ΒΓ στο Ε' (γιατί άν Ζ//ΒΓ τότε = οπότε Β ΖΓ από την υπόθεση θα είναι ΕΒ=ΕΓ άτοπο). Για το τρίγωνο ΑΒΓ και την ευθεία Ε' έχουμε (Θεωρ. Μενελάου) Α Ε' Β ΖΓ,, Α ΕΒ ^ ΖΓ,, Ε'Β ΕΒ = 1. Αλλα απο υπόθεση είναι: = 1 οποτε Β Ε'Γ ΖΑ Β ΕΓ ΖΑ Ε'Γ ΕΓ Άρα τα Ε, Ε' ταυτίζονται (γιατί διαιρούν εξωτερικά το ΒΓ στον ίδιο λόγο). 1 Παρατηρήσεις: 1) Από τα σημεία, Ε, Ζ το ένα ή και τα τρία θα είναι σημεία των προεκτάσεων των πλευρών (Θεώρημα Pasch) 2) Αν π..χ.,ε,ζ τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ τότε Α ΕΒ ΖΓ, = 1 χωρίς τα, Ε, Ζ να είναι συνευθειακα. Β ΕΓ ΖΑ ϋ) Για το τρίγωνο ΑΒ και την ευθεία ΖΓ έχουμε (Θεωρ.. ΖΑ ΓΒ Η Μενελάου) =1 (1) ΖΒ Γ ΗΑ Όμοια για το τρίγωνο ΑΓ και την ευθεία ΕΒ είναι = 1 (2) Η ΒΓ ΕΑ
15 114 Γενικές Ασκήσεις Β ΕΓ ΖΑ Με πολλαπλασιασμό των (1) και (2) κατά μέλη προκύπτει = 1 Γ ΕΑ ΖΒ Αντίστροφα. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και, Ε, Ζ, σημεία των πλευρών του ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ -λ, Β ΕΓ ΖΑ, αντίστοιχα. Αν ισχύει = 1 τοτε οι ευθείες Α, BE και ΓΖ συντρέχουν. Η απόδειξη όμοια με το (ί) (έστω Η η τομή των BE, ΓΖ και ' η τομή της ΑΗ με την ΒΓ. Τότε...) Σχόλιο: Αν από τα σημεία, Ε, Ζ το ένα είναι εσωτερικό και τα άλλα δύο εξωτερικά (στις προεκτάσεις) των πλευρών, τότε οι ευθείες Α, BE, ΓΖ συντρέχουν ή είναι παράλληλες. ΕΑ Α 4. Επειδή Α//ΒΖ έχουμε: = (1). ΕΖ ΒΖ Α Γ 2Γ Επίσης ΑΒΓ (ΑΖ διχ.): = ΑΒ ΒΖ Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι: ΕΑ ΑΓ Α - ΖΓ ΒΓ - ΖΓ ΕΖ ΑΒ ΒΖ ΒΖ (2) ΒΖ ΒΖ = 1 5. Επειδή ΑΒΧΓ έχουμε ΑΓ = Α και ΒΓ = Β οπότε Ε, = Ε 2 και Z t = Ζ 2. ΜΓ Β Ρ Άρα: ΓΕ (ΕΜ διχ.): = (1) και ΓΖ (ΖΜ διχ.): Μ Ε ΜΓ Ζ Γ Μ ~ Ζ (2) ΕΓ ΖΓ Από (I), (2) προκύπτει οτι = Ε Ζ <=> ΕΓ - Ζ = Ε ΖΓ 6. Λ Ο Γ ί) Έχουμε: ΓΑ Α ΟΓ + ΟΑ Ο + ΟΑ ΟΓ + OA Ο + OA = <=> = «(OA = ΟΒ) <=> ΓΒ Β ΟΒ - ΟΓ Ο - ΟΒ OA - ΟΓ Ο - OA <=>...<=> OA = ΟΓ Ο ΓΑ Α ΑΓ Α π) Εχουμε : = <=> ΓΒ Β ΑΒ-ΑΓ Α - ΑΒ
16 Γενικές Ασκήσεις ΑΓΑ = ΑΒΑ + ΑΒ ΑΓ <=> ΑΒ ΑΓ Α Σημείωση: Τα Γ, βρίσκονται προς το ίδιο μέρος του Ο. 7. Αν η Β τέμνει την ΑΓ στο Ζ τότε επειδή ΒΖ//ΓΕ έχουμε: Α _ ΑΖ ΑΖ μ μ - η ΑΖ = ΑΓ. ΑΕ ~ ΑΓ η ΑΓ ν ν Επομένως το Ζ προσδιορίζεται και η Αχ ορίζεται ως κάθετη της ΒΖ από το Α. 8. α) Ανάλυση: Έστω ΒΓ η ζητούμενη ευθεία και ότι η παράλληλη από το Α προς την Οχ τέμνει την Oy στο. Τότε το είναι σταθερό (ορίζεται) και επειδή ΑΒ=ΑΓ το είναι το μέσο του ΟΓ. Άρα ορίζεται και το Γ. Κατασκευή: Φέρουμε από το Α παράλληλη στην Οχ, βρίσκουμε το και ορίζουμε το Γ πάνω στην Oy ώστε Ο=ΟΓ. Η ζητούμενη ευθεία είναι η ΑΓ (που τέμνει την Οχ στο Β). Η απόδειξη είναι απλή. 2 ΑΒ 2 ΑΒ 2 ΑΒ β) Εχουμε: ΑΒ = ΒΓ <=> = <=> = <=> 3 ΒΓ 3 ΒΓ - ΑΒ 3-2 ΑΓ ΑΒ Φερουμε παλι -Λ Α//Οχ ΛΑ/^Λ οποτε ' = η ' = - 2 η ' Γ Λ Γ. = ΑΓ Γ Γ 2 Άρα ορίζεται το σημείο Γ και συνεχίζουμε όπως στο (α) Ο Ο Ο., ΑΒ Ο μ. ν γ) Ομοια εχουμε = = <=> Γ = Ο. ΑΓ Γ ν μ Άρα το Γ κατασκευάζεται. Η συνέχεια όπως στο (α). 9. α) Ανάλυση. Έστω ΒΓ η ζητούμενη ευθεία ώστε ΑΒ=ΑΓ. Φέρουμε τα αποστήματα Κ, ΑΕ οπότε Α=ΑΕ. Επειδή Κ//ΛΕ αν Μ το μέσο του ΚΑ τότε, από το αντίστροφο του Θαλή, θα είναι ΑΜ//Κ//Ε. Άρα ΑΜ_Ι_ΒΓ, οπότε η ΒΓ κατασκευάζεται. Κατασκευή: Ορίζουμε το Μ ως μέσο του ΚΑ και γράφουμε
17 Μϋϋ 116 ευθεία κάθετη στην AM στο Α, που τέμνει τους κύκλους στα Β και Γ. Απόδειξη. Φέρουμε τα αποστήματα Κ, ΑΕ, οπότε Κ//ΑΜ//ΛΕ. Άρα = <=> Α = ΑΕ (αφού ΜΚ=ΜΛ)=>ΑΒ=ΑΓ Μ ΑΕ β) Ανάλογα με το (α) ορίζουμε το σημείο Μ το οποίο διαιρεί εσωτερικά την ΚΑ σε λόγο = και γράφουμε ευθεία κάθετη στην AM στο Α, που τέμνει τους κύκλους στα Β ΜΑ 4 και Γ. 10. Έχουμε ΑΒ (ΒΙ διχ): Ι I Α β γ Άρα = + (1) όμοια I α α I Β α + γ α γ = = + - (2) και I Ε β β β I Γ_ α + β i f γ ^ (3) Ύ γ ΑΒ Β αγ β + γ β + γ Από (1), (2), (3) με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει: ΙΑ IB I Γ + + = I IE I Ζ ί \ ί Q Λ ^ Ί II Ύ Π Ύ + β α α γ ν γ «/ β + Ύ γ β > 6 (γιατί το άθροισμα δύο αντίστροφων θετικών αριθμών είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 2).
Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο
Διαβάστε περισσότεραΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
ΑΙΟ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Για να είναι όμοια δυο τρίγωνα αρκεί να ισχύει ένα από τα παρακάτω: ΐ) Να έχουν 2 γωνίες ίσες μία προς μία. (Ασκήσεις: Εμπέδωσης 1). ϊϊ) Να έχουν δυο πλευρές ανάλογες και
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και
Διαβάστε περισσότεραA λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )
A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,
Διαβάστε περισσότεραΤάξη A Μάθημα: Γεωμετρία
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού
Διαβάστε περισσότεραΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα
Διαβάστε περισσότερα2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.
1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ
1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου
Διαβάστε περισσότερα4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53
Διαβάστε περισσότεραα Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M
Απαντήσεις 51 5. Εφαρµογές των παραλληλογράµµων α Εφαρµογές στα τρίγωνα α.1 Στο τρίγωνο AB Γ είναι Ε // (1) Επίσης Ζ, ΕΗ, άρα Ζ // ΕΗ () Από τις (1), () έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. α. Στο
Διαβάστε περισσότερα1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.
1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο
Διαβάστε περισσότεραΚύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.
ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Διατυπώστε το θεώρημα του Θαλή, κάνετε σχήμα και γράψτε την αναλογία που εκφράζει το θεώρημα του Θαλή στο συγκεκριμένο σχήμα. Απάντηση: «Αν τρείς τουλάχιστον παράλληλες ευθείες
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα
Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο
Διαβάστε περισσότερα2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.
1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα
Διαβάστε περισσότεραΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν µε κατάλληλη µετατόπιση, το ένα συµπίπτει µε το άλλο. Β. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Πρώτο κριτήριο Αν όλες οι πλευρές του ενός τριγώνου
Διαβάστε περισσότεραΤράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός
Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και το 3.2 Ασκήσεις: 1-8 Θεωρία ως και το 3.4 Ασκήσεις: 9-13 Θεωρία ως και το 3.7 Ασκήσεις: 14-29
Διαβάστε περισσότερα24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)
Διαβάστε περισσότεραΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Σε δύο ίσα τρίγωνα ΑΒΓ ΔΕΖ να δείξετε ότι: α) Οι διχοτόμοι ΑΚ ΔΛ είναι ίσες β) Οι διάμεσοι ΒΜ ΕΘ είναι ίσες 2 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A τα ύψη του ΒΔ ΓΕ Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότερα6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.
1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος
Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι
Διαβάστε περισσότεραας γ γ ν[ασ] ου ατ κα
ε α να [ηπ] τ κ ς α κ ησ ε ε ς π λ σ υ ε ' ωετ ρ ας ν[ασ] ου ατ κα [ ] ε λ [ ] ε λ 2 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ... 4 ΙΣΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΞΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ... 8 ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ... 15 ΟΜΟΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ...
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα
Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και
Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ
Διαβάστε περισσότερα1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688
1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H
Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που
Διαβάστε περισσότεραΤο τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.
5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και
Διαβάστε περισσότερα2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015
ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version )
4.6-4.8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version 5--06) Σ. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και τυχαίο σημείο Δ της πλευράς ΑΒ. Στην προέκταση της ΓΑ προς το Α, παίρνουμε τμήμα ΑΕ = ΑΔ. Να αποδείξετε ότι ΔΕ ΒΓ. ος
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων.
Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων. Καρδαμίτσης Σπύρος «Τὰ ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ πολύγωνον
Διαβάστε περισσότεραµ =. µονάδες 12+13=25
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β 1 ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε α=7, β=5, γ=4. Να βρείτε: 1. το είδος του τριγώνου. την προβολή της β πάνω στη γ 3. το µήκος της διαµέσου ΒΜ 4. την προβολή
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 34 1ο ΣΧΕ ΙΟ ιδακτική ενότητα: Πυθαγόρειο Θεώρηµα ΘΕΜΑ 1ο Α. (1,5 µονάδες) Αν στο διπλανό σχήµα το Α είναι ύψος του τυχαίου τριγώνου ΑΒΓ και Ε ΑΒ,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων
Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην
Διαβάστε περισσότερα5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια
5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου
Διαβάστε περισσότερα1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Έστω ΑΒΓ ένα ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ = ΑΓ), Δ, Ε σημεία της πλευράς ΒΓ τέτοια, ώστε ΒΔ = ΔΕ = ΕΓ και Μ, Ρ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
Διαβάστε περισσότερα1.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας ( )
.5 Ασκήσεις σχολικού ιλίου σελίδας 47 50 A Oµάδας. Αν α (, 3) και (, 5), τότε Να ρείτε τα εσωτερικά γινόµενα α, (α ).(-3 ) και (α ). (3α + ) Να ρείτε τη σχέση που συνδέει τους κ, λ R, ώστε το εσωτερικό
Διαβάστε περισσότερα1 Εγγεγραµµένα σχήµατα
Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.
Διαβάστε περισσότεραα) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων Β Ε γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΖ.
1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ είναι Â =80. Παίρνουµε τυχαίο σηµείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σηµεία και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε Β =ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις
Διαβάστε περισσότεραα και γ και να 3. Δίνεται τραπέζιο ΟΑΒΓ με ΟΑ = α, ΟΓ =γ και ΓΒ= 2ΟΑ αποδείξετε ότι ΓΑ = 2ΕΔ ΛΥΣΗ Έχουμε: ΓΑ = ΓΟ + ΟΑ = γ + α
3 Δίνεται τραπέζιο ΟΑΒΓ με ΟΑ = α, ΟΓ =γ και ΓΒ= ΟΑ Αν Δ και Ε είναι τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα, να βρείτε τα διανύσματα ΓΑ, ΑΒ και ΕΔ συναρτήσει των α και γ και να αποδείξετε ότι ΓΑ = ΕΔ ΛΥΣΗ Έχουμε:
Διαβάστε περισσότερα1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:
Διαβάστε περισσότερα3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα
3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα 4 η διδακτική ενότητα : Ισότητα τριγώνων Ερωτήσεις κατανόησης 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις : α) Υπάρχουν σημεία του επιπέδου που
Διαβάστε περισσότεραAν οι ευθείες ΚΒ και ΓΛ τέμνονται στο σημείο Μ, τότε η ΑΜ είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 26/5/2017 ΘΕΜΑ 1 ο Α 1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται:
Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: f Μ = x ΜΑ+ x ΜΑ+ΑΒ + x ΜΑ+ΑΓ = ΜΑ + ΜΑ + ΜΑ + ΑΒ + ΑΓ ( x) ( x) ( x ) ( x) ( x ) = ( x + x + x ) ΜΑ + ( x) ΑΒ + ( x ) ΑΓ = ( x 4x+ ) ΜΑ+ ( x) ΑΒ+ ( x ) Α Γ f Μ είναι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;
1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν
Διαβάστε περισσότεραΕ=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΒΖ είναι παραλληλόγραµµο.
1. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουµε την πλευρά Α κατά τµήµα Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΓΒ είναι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις
Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σ (σωστή) ή Λ (λανθασμένη)
Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Ισότητα Τριγώνων Κυριακή 8 Νοεμβρίου 2015 Τα θέματα και οι απαντήσεις τους ΘΕΜΑ Α Α 1. Α 2. Α 3. Πως ορίζεται η μεσοκάθετος ευθύγραμμου σχήματος; Να αναφέρετε την ιδιότητα
Διαβάστε περισσότεραΑΕ = ΑΓ από τα δεδομένα ΒΑΕ=Α+ΓΑΕ=Α+ΒΑ = ο φυλλάδιο ΛΥΣΕΙΣ (Version )
3.-3. ο φυλλάδιο ΛΥΣΕΙΣ (Version -0-06) Ε.Στο εξωτερικό ενός τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε τμήματα ΑΔ = ΑΒ και ΑΕ = ΑΓ, ώστε ΒΑ = ΓΑΕ. Να αποδείξετε ότι ΒΕ = ΓΔ. Λύση Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΔΓ έχουν: ΑΒ = Α από τα
Διαβάστε περισσότεραΤρίγωνα. Απέναντι από την Α γωνία είναι η α πλευρά, απέναντι από τη Β γωνία είναι η β πλευρά, και απέναντι από τη Γ γωνία είναι η γ πλευρά.
Τρίγωνα Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι 3 πλευρές του και οι 3 γωνίες του. Απέναντι από την Α γωνία είναι η α πλευρά, απέναντι από τη Β γωνία είναι η β πλευρά, και
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές κατασκευές εφαρμόζονται στην επίλυση σχεδιαστικών προβλημάτων
Διαβάστε περισσότεραΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ
ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και
Διαβάστε περισσότεραΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130
ΣΗΜΕΙΩΣΗ Οι λύσεις των θεμάτων είναι ενδεικτικές.πιθανόν να υπάρχουν και άλλες λύσεις και μάλιστα πιο απλές. ΘΕΜΑ 2 2814 α) Αφού ΑΒΓ ισοσκελές 180 ˆ ˆ ˆ Α 180 80 100 Β=Γ= = = = 50 2 2 2 Επειδή ΒΕ=ΒΔ θα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα;
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα; Πρέπει να σχεδιάσουμε ένα τρίγωνο που τα μήκη των πλευρών του έχουν άθροισμα
Διαβάστε περισσότερα1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.
1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;
Διαβάστε περισσότεραΔιαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα
ΜΕΡΟΣ Β. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 7. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Θαλή. μ10. μ 10 γ) Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε,Ζ,Η και Θ των πλευρών του ΑΔ, ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ αντίστοιχα τέτοια, ώστε
Θεώρημα Θαλή.8975. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με AB 9 και 5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία Α Λυκείου
Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Οι διχοτόμοι των 1. γωνιών του Β και Γ τέμνονται στο Ο. Η παράλληλη από το Ο προς την ΑΒ τέμνει την ΒΓ στο Δ και η παράλληλη από το Ο προς την ΑΓ τέμνει την ΒΓ στο Ε. α. Να δείξετε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ )
ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ.3-4-5-6.) 1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της ΑΓ προς το Γ παίρνουμε τμήμα ΓΔ=ΑΓ. Έστω Ε τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ και Ζ σημείο της προέκτασης της ΓΒ
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Από τη κορυφή Β τριγώνου Γ φέρουµε ευθεί κάθετη στη διχοτόµο της Aεξ, η οποί τέµνει τη διχοτόµο υτή στο κι την προέκτση της ΓΑ στο Ε. Αν Μ µέσον της ΒΓ ν δειχθεί
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (Τελευταία ενηµέρωση: Νοέµβριος 2016) Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη Περιεχόµενα 1 Αναλογίες 2 1.1 Το ϑεώρηµα του Θαλή.......................... 2 1.2 Τα ϑεωρήµατα των διχοτόµων......................
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο
ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΘΕΜΑ 1 ο (α) Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο ή σε ίσους κύκλους, ίσα αποστήµατα αντιστοιχούν σε ίσες χορδές. (β) Να αποδειχθεί ότι κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθύγραµµου τµήµατος ισαπέχει
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:
Διαβάστε περισσότεραΑΒ ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) και σηµείο Μ της πλευράς του Α ώστε =. Από το
1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ, Â =36o και η διχοτόµος του Β. α) Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα Β Γ και ΑΒΓ είναι όµοια. ii) A 2 =ΑΓ Γ β) Αν θεωρήσουµε το ΑΓ ως µοναδιαίο τµήµα (ΑΓ=1), να υπολογίσετε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα-Ευθεία-Κύκλος Αναλυτική Θεωρία 500 Ασκήσεις Επιμέλεια : ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2 1. Η Έννοια του Διανύσματος Ορισμός Διανύσματος Το διάνυσμα ορίζεται ως
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -10 ο. 2_19005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο )
0 05 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -0 ο _9005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο ) Σε τρίγωνο ΑΒΓ η διχοτόµος της γωνίς Αˆ τέµνει την πλευρά ΒΓ σε σηµείο, τέτοιο ώστε Β 3 =
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚ ΟΣΗΣ Η επανέκδοση του παρόντος βιβλίου πραγματοποιήθηκε από το Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις ανάπτυξης 1. ** 2. ** 3. ** 4. ** 5. ** 6. **
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνονται επίπεδο p και τρία µη συνευθειακά σηµεία του Α, Β και Γ καθώς και ένα σηµείο Μ, που δεν συµπίπτει µε το Α. Αν η ευθεία ΑΜ τέµνει την ευθεία ΒΓ, να δείξετε ότι το Μ είναι
Διαβάστε περισσότεραΘέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ
ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια.
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια. Μέρος Α Θεωρία. 1. Με τι είναι ίσο το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου; 2. Ποιο τρίγωνο λέγετε οξυγώνιο αμβλυγώνιο ορθογώνιο. 3. Ποιο τρίγωνο λέγετε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΝΟΣ ΔΟΥΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ
ΜΑΝΟΣ ΔΟΥΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.. Να συμπληρώσετε τα κενά : i) (α μ ) ν = ii) (κ.λ) ν = iii) α μ.α ν = iv) α μ : α ν =. v) (α : β) ν =.. vi) α -ν = a vii)... viii) a...
Διαβάστε περισσότερακαι των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει
Διαβάστε περισσότεραα. ΕΓΚΕΝΤΡΟ 1. Σημείο τομής των
Μαθηματικά για την Α Λυκείου Αφορμή για Επανάληψη στη Γεωμετρία της Α Λυκείου. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) με ένα μόνο στοιχείο της στήλης (Β). Κώστας Βακαλόπουλος Τάσος Γαβράς Στήλη
Διαβάστε περισσότερα. Ασκήσεις για εξάσκηση
. Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.
Διαβάστε περισσότεραΣύνθετα θέματα (version )
.-. Σύνθετα θέματα (version --06) Σ. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, η διχοτόμος του ΒΔ και η εξωτερική διχοτόμος του Βx. Θεωρούμε δύο σημεία Ε και Κ της πλευράς ΑΒ. Αν ο κύκλος (Ε,ΕΒ) τέμνει τη ΒΔ στο Ζ, ενώ ο κύκλος
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ λ + λ = + = + = = = λ.
ΚΦΑΛΑΙΟ 11. Παραθέτουμε για εύκολη αναφορά το πινακάκι με την αντιστοιχία χορδών-αποστημάτων-τόξων που χρειάζεται σε όλες σχεδόν τις παρακάτω ασκήσεις Κανονικό εξάγωνο Πλευρά λν Χορδή λ = Απόστημα α =
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:
Διαβάστε περισσότερα