γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου ( 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

Transcript

1 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου ( 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω φ φ ω φ ω εφεξής (διαδοχικές) εφεξής παραπληρωµατικές και οι διχοτόµοι τους ω φ ω φ φ 1 + φ + + φ ν = 4 φ 1 + φ + + φ ν = φ φ 1 φ ν φ φ 1 φ ν κατακορυφήν και οι διχοτόµοι τους

2 δηµήτρη ποιµενίδη οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο µε όλα τα στοιχεία του που αντιστοιχούν στην κορυφή δ α υ α δ α µ α µ α // // α α : απέναντι πλευρά υ α : ύψος δ α : εσωτερική διχοτόµος (διχοτόµος της Â ) δ α : εξωτερική διχοτόµος (διχοτόµος της Â εξ ) µ α : διάµεσος µ α : µεσοκάθετος ύψη και ορθόκεντρο Η διαµέσους και βαρύκεντρο G Η G το G χωρίζει τις διαµέσους σε λόγο :1 µεσοκαθέτους, περίκεντρο και διχοτόµους, έγκεντρο Ι και δ α, δ β,δ γ, παράκεντρο Ι α και τον περιγεγραµµένο του κύκλο τον εγγεγραµµένο του κύκλο τον παρεγγεγραµµένο κύκλο στη γωνία Ι δ α δ β δ γ Ι α

3 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου ( 3 τρίγωνα σκαληνό ισοσκελές ισόπλευρο οξυγώνιο ορθογώνιο µε ύψη αµβλυγώνιο οξυγώνιο ορθογώνιο µε διαµέσους αµβλυγώνιο οξυγώνιο ορθογώνιο µε διχοτόµους αµβλυγώνιο

4 4 δηµήτρη ποιµενίδη η ισότητα των τριγώνων ορισµός ίσες γωνίες και απέναντι πλευρές κριτήρια ισότητας Π--Π -Π- Π-Π-Π και ειδικά για ορθογώνια: Υ-Π τρεις γεωµετρικοί τόποι κύκλος µεσοκάθετος διχοτόµος

5 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου ( 5 ανισοτικές σχέσεις β > γ > γ β γενικά: β-γ < α < β+γ - + (τριγωνική ανισότητα) α όπου οι ισότητες ισχύουν µόνο όταν τα,, είναι συνευθειακά και ανάλογα µε τη σχετική τους θέση Μ Σ < +++ +ΜΣ (πολυγωνική ανισότητα) Σ Σ δ αν δ είναι η µεσοκάθετη του και Σ είναι σηµείο του ηµιεπιπέδου (δ, ) τότε: Σ < Σ γ β γ β αν β=β και γ=γ, τότε: α > α > α α AΚ < Μ Μ Κ Ν Μ=Ν ΚΜ=ΚΝ Μ < Ν ΚΜ < ΚΝ Μ Κ Ν Κ Μ Ν

6 6 δηµήτρη ποιµενίδη παραλληλία και γωνίες κριτήριο τοµής δύο ευθειών ε 1 ω φ οι ε 1, ε τέµνονται (προς το µέρος των ω, φ) αν και µόνο αν ω+φ < 180 ο ε δύο παράλληλες ευθείες και µία τέµνουσά γωνίες τριγώνου ++=180 ο + + =90 ο εξ > εξ > εξ =+ (και οµοίως κυκλικά) γωνίες µε παράλληλες πλευρές γωνίες µε κάθετες πλευρές ω φ ω=ω (οξείες) φ=φ (αµβλείες) ω+φ =180 ο και ω +φ=180 ο (οξεία-αµβλεία) ω φ ω φ ω φ ορθογώνιο τρίγωνο µε διάµεσο µ α µε διάµεσο µ α αν =30 ο 60 ο 30 ο 60 ο 60 ο 10 ο 30 ο µε ύψος υ α µε ύψος υ α και διάµεσο µ α -

7 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου ( 7 πολλά κυρτά τετράπλευρα τα είδη τετράπλευρο παραλληλόγραµµο τραπέζιο ορθογώνιο ρόµβος ισοσκελές τραπέζιο τετράγωνο το παραλληλόγραµµο τρία παραλληλόγραµµα στο τρίγωνο η παράλληλη µεταφορά ίσων τµηµάτων A ΚΛ //= Μ Λ ΛΜ //= ΜΚ //= B Κ το ορθογώνιο ο ρόµβος το τετράγωνο το τραπέζιο το ισοσκελές τραπέζιο A Μ Κ Λ Ν B + ΜΝ= - ΚΛ= (Κ, Λ µέσα των, )

8 8 δηµήτρη ποιµενίδη κύκλος κύκλος (,ρ) και ευθεία ε: d d ε d ε ε επίκεντρη γωνία τόξο χορδή απόστηµα: R α λ α α 1 λ 1 λ λ α + = R λ 1 > = < λ α 1 < = > α 4 εγγεγραµµένη και επίκεντρη γωνία: φ φ ω ω ω φ= = φ+ω=180 ο = // γωνία χορδής και εφαπτοµένης: γωνία χορδών: 1 1 ω + ω= = ω ω= 1-1 =

9 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου ( 9 εφαπτόµενες κύκλου από σηµείο δύο κύκλοι (Κ,R)&(Λ,ρ) µε ΚΛ=δ και οι κοινές τους εφαπτόµενες δ < R-ρ δ = R-ρ R-ρ < δ < R+ρ δ = R+ρ δ > R+ρ

10 10 δηµήτρη ποιµενίδη όλοι οι κύκλοι τριγώνου Ι β Ι γ Ι Ι α

11 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου ( 11 εγγράψιµα-περιγράψιµα τετράπλευρα εγγράψιµο οι µεσοκάθετοι των πλευρών του συντρέχουν +=180 ο (οπότε και +=180 ο ) µία πλευρά φαίνεται απ τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες περιγράψιµο οι διχοτόµοι των γωνιών του συντρέχουν +=+ το θεώρηµα του Θαλή ε 3 ε 1 ε Ε Ζ ε 1 ε 3 ε Ζ Ε ε 1 //ε //ε 3 και το αντίστροφό του: ε 1 //ε και Ε = = ΕΖ Ζ Ε = Ζ//ε 1 ΕΖ και οι συνέπειές του στο τραπέζιο Ε Ζ Ε Ζ ΕΖ// Ε Ζ = Ε Ζ = στο τρίγωνο Ε Ε// Ε = Ε Ε

12 1 δηµήτρη ποιµενίδη τα όµοια τρίγωνα Ε Ζ ~ ΕΖ ορ. = = =λ (λόγος οµοιότητας) Ε ΕΖ Ζ =, =Ε, =Ζ 1 ο κριτήριο: δύο γωνίες ίσες ο κριτήριο: πλευρές ανάλογες 3 ο κριτήριο: δύο πλευρές ανάλογες και οι περιεχόµενες γωνίες ίσες στα όµοια τρίγωνα οι λόγοι οποιωνδήποτε οµολόγων στοιχείων τους (υψών, διαµέσων κ.λ.π.) είναι ίσοι µε το λόγο οµοιότητας των τριγώνων Ε ~ Ε Ε βγ=rυ α R τα θεωρήµατα των διχοτόµων Ε Ε = = Ε αγ αβ = = β + γ β + γ αγ αβ Ε = Ε = β - γ β - γ για τέσσερα συνευθειακά σηµεία Κ,Λ,Μ,Ν: η τετράδα (Κ,Λ,Μ,Ν) λέγεται αρµονική αν και µόνο αν τα Κ, Λ είναι συζυγή αρµονικά των Μ, Ν (τα Μ, Ν είναι συζυγή αρµονικά των Κ, Λ) ΚΜ ΛΜ ΜΚ ΝΚ δηλαδή αν και µόνο αν: = ( = ) ΚΝ ΛΝ ΜΛ ΝΛ

13 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου ( 13 ασκήσεις 1. ν ˆ, ˆ, ˆ είναι διαδοχικές γωνίες µε άθροισµα µικρότερο από δύο ορθές και x, Oy είναι οι διχοτόµοι των ˆ, ˆ αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι: AÔ + ˆ x Ôy =. πό σηµείο ευθείας x x φέρνουµε ηµιευθεία y και τη διχοτόµο δ της i). αν µια ηµιευθεία z περιέχεται στην ii). αν µια ηµιευθεία z περιέχεται στην 3. Θεωρούµε αµβλεία γωνία οι οποίες περιέχονται στην διχοτόµο και είναι παραπληρωµατικές x 'Ôy, να αποδείξεις ότι: y Ôδ, να αποδείξεις ότι: z Ôδ z Ôδ x Ôy zôx + zôy = zôx - zôy = x Ôy και τις ηµιευθείες και µε x και y x Ôy. Να αποδείξεις ότι οι γωνίες xôyκαι A ÔB έχουν κοινή 4. Να υπολογίσεις την γωνία ω της οποίας η παραπληρωµατική γωνία είναι τριπλάσια της συµπληρωµατικής της 5. Τέσσερις ηµιευθείες,, και σχηµατίζουν τις διαδοχικές γωνίες ˆ και ˆ οι οποίες έχουν µέτρα ανάλογα µε τους αριθµούς 1,, 3 και 4. Να υπολογίσεις τις γωνίες αυτές ˆ, ˆ 6. Θεωρούµε δύο αντικείµενες ηµιευθείες Ox, Oy και φέρνουµε τις ηµιευθείες, έτσι ώστε οι γωνίες xôa, AÔB και ˆ y να είναι διαδοχικές. ν Κ, Λ είναι οι διχοτόµοι των xôa, yôb αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι ˆ =90 ο αν και µόνο αν Κ ˆ Λ =135 ο 7. Στις προεκτάσεις των πλευρών, και ισοπλεύρου τριγώνου θεωρούµε τµήµατα Κ=Λ=Μ. Να αποδείξεις ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο 8. ν, Ζ είναι σηµεία της διχοτόµου τριγώνου, τέτοια ώστε Ε= και Ζ=, να αποδείξεις ότι ˆΕ = Ζˆ 9. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών και ισοσκελούς τριγώνου θεωρούµε ίσα τµήµατα, Ε αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι το τρίγωνο ΜΕ είναι ισοσκελές 10. ίνεται κύκλος κέντρου και µια χορδή του. Προεκτείνουµε την εκατέρωθεν κατά ίσα τµήµατα και. Να αποδείξεις ότι ˆ = ˆ

14 14 δηµήτρη ποιµενίδη 11. Σε ευθεία ε παίρνουµε διαδοχικά τα σηµεία,, και κατασκευάζουµε προς το ίδιο µέρος της ε τα ισόπλευρα τρίγωνα Ζ και Ε. Να αποδείξεις ότι Η=Ζ 1. Σε τρίγωνο προεκτείνουµε τη διάµεσο Μ κατά Μ=Μ. Να αποδείξεις ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα 13. Να αποδείξεις ότι οι διχοτόµοι των γωνιών της βάσης ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. 14. ν, και είναι διάµετροι κύκλου, να αποδείξεις ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα 15. Έστω ισοσκελές τρίγωνο (µε =). Η µεσοκάθετος της πλευράς τέµνει την προέκταση της στο σηµείο. Προεκτείνουµε τη κατά Ε=. Να αποδείξεις ότι τα τρίγωνα και Ε είναι ισοσκελή 16. Να αποδείξεις ότι τα ύψη ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του είναι ίσα 17. Να αποδείξεις ότι τα µέσα των ίσων πλευρών ισοσκελούς τριγώνου ισαπέχουν: i). από τη βάση ii). από τις ίσες πλευρές 18. ν δύο τρίγωνα είναι ίσα, να αποδείξεις ότι και τα ύψη τους που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές είναι ίσα 19. ν Μ είναι το µέσο της βάσης ισοσκελούς τριγώνου, να αποδείξεις ότι: i). το Μ ισαπέχει από τις ίσες πλευρές του τριγώνου ii). η Μ διχοτοµεί τη γωνία που σχηµατίζουν οι αποστάσεις του Μ από τις ίσες πλευρές 0. ίνεται ορθογώνιο (Â=90 ο ) τρίγωνο και η διχοτόµος του. πό το φέρνουµε Ε που τέµνει την στο Ζ. Να αποδείξεις ότι το τρίγωνο Ζ είναι ισοσκελές 1. ίνεται κύκλος (, R), δύο ίσες χορδές του, και τα αποστήµατά τους Κ, Λ αντιστοίχως. ν οι προεκτάσεις των, τέµνονται στο σηµείο Μ, να αποδείξεις ότι: i). τα τρίγωνα ΜΚ και ΜΛ είναι ίσα ii). MA=M και Μ=Μ. Έστω ε, ε δύο κάθετες ευθείες που τέµνονται στο και Μ τυχαίο σηµείο του επιπέδου. ν Μ είναι το συµµετρικό του Μ ως προς ε και Μ το συµµετρικό του Μ ως προς ε, να αποδείξεις ότι: i). Μ=Μ ii). τα σηµεία Μ,, Μ είναι συνευθειακά

15 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου ( Στο διπλανό σχήµα είναι Bˆ 1 > ˆ 1. Να αποδείξεις ότι Bˆ 1 > 90 ο 1 1 γ 3γ 4. Να αποδείξεις ότι δεν υπάρχει τρίγωνο µε α = και β = ν Μ είναι σηµείο της βάσης ισοσκελούς τριγώνου, να αποδείξεις ότι: Μ < 6. Σε ορθογώνιο (Â=90 ο ) τρίγωνο, η διχοτόµος της γωνίας τέµνει την στο. Να αποδείξεις ότι: < 7. Να αποδείξεις ότι σε τρίγωνο ισχύει: µ α, > α ˆ, < ˆ + ˆ 8. ν Μ το µέσο της πλευράς τριγώνου µε <, να αποδείξεις ότι: A Mˆ > Μˆ 9. ν Μ είναι διάµεσος τριγώνου µε <, να αποδείξεις ότι: i). M ˆ > Μ ˆ β - γ β + γ ii). < µ α < iii). µ α + µ β + µ γ < τ 30. Να αποδείξεις ότι σε δύο άνισα τόξα ενός κύκλου αντιστοιχούν οµοίως άνισες χορδές και αντιστρόφως 31. Έστω, Ε σηµεία των καθέτων πλευρών, αντιστοίχως ορθογωνίου τριγώνου. Να αποδείξεις ότι: i). Ε < Ε και ii). Ε < 3. ν έχουµε δύο οµόκεντρους κύκλους, να αποδείξεις ότι όλες οι χορδές του µεγάλου κύκλου που εφάπτονται στον µικρό κύκλο είναι ίσες 33. ίνεται κύκλος (, ρ), µία διάµετρος του και οι εφαπτόµενες ε 1, ε του κύκλου στα και. ν µία τρίτη εφαπτοµένη ε τέµνει τις ε 1, ε στα σηµεία και, να αποδείξεις ότι: ˆ = 90 ο 34. πό εξωτερικό σηµείο Ρ ενός κύκλου κέντρου, φέρουµε τα εφαπτόµενα τµήµατα Ρ και Ρ. ν Μ είναι ένα εσωτερικό σηµείο του ευθυγράµµου τµήµατος Ρ, να αποδείξεις ότι: Μ ˆΡ = Μˆ Ρ 35. Να προσδιορίσεις τις σχετικές θέσεις δύο κύκλων (Κ, ρ) και (Λ, ρ) όταν: i). ΚΛ = ρ/ ii). ΚΛ = ρ iii). ΚΛ = ρ iv). ΚΛ = 3ρ v). ΚΛ = 4ρ

16 16 δηµήτρη ποιµενίδη 36. Ένας κύκλος κέντρου Κ είναι εξωτερικός ενός άλλου κύκλου κέντρου Λ. Μία κοινή εξωτερική και µία κοινή εσωτερική εφαπτοµένη των δύο κύκλων τέµνονται στο σηµείο Ρ. Να αποδείξεις ότι: Κ Ρˆ Λ = 90 ο 37. ίνεται γωνία x Ôy και η διχοτόµος της. πό σηµείο της y φέρουµε παράλληλη προς την που τέµνει την προέκταση της x στο. Να αποδείξεις ότι: = 38. Έστω ισοσκελές (=) τρίγωνο και σηµείο της πλευράς. ν ο κύκλος (, ) τέµνει τη στο Ε, να αποδείξεις ότι: Ε // 39. Στις προεκτάσεις των πλευρών, τριγώνου παίρνουµε αντιστοίχως τα τµήµατα = και Ε=. Να αποδείξεις ότι: Ε // 40. Έστω ισοσκελές (=) τρίγωνο και η διάµεσός του Μ. Φέρουµε x προς το ηµιεπίπεδο που δεν ανήκει το και παίρνουµε σε αυτή τµήµα =. Να αποδείξεις ότι η είναι διχοτόµος της γωνίας Μ ˆ 41. πό την κορυφή τριγώνου φέρουµε παράλληλη στη διχοτόµο που τέµνει την προέκταση της στο Ε. Να αποδείξεις ότι: Ε=+ 4. πό το έγκεντρο Ι τριγώνου φέρουµε παράλληλη στη που τέµνει τις, στα σηµεία και Ε αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι: Ε=+Ε 43. πό τα άκρα ευθυγράµµου τµήµατος φέρουµε στο ίδιο ηµιεπίπεδο δύο παράλληλες ηµιευθείες x και y. Παίρνουµε τυχαίο σηµείο του και στις x, y τα σηµεία, Ε αντιστοίχως, ώστε = και Ε=. Να αποδείξεις ότι η γωνία ˆ Ε είναι ορθή 44. Σε ισοσκελές (=) τρίγωνο είναι να υπολογίσεις τη γωνία Ιˆ Â = Bˆ /. ν Ι είναι το έγκεντρο του τριγώνου, 45. Να αποδείξεις ότι σε τρίγωνο ισχύει: ο ˆ Bˆ εξ = 90 + = 46. Στο διπλανό σχήµα είναι == και =. Να υπολογίσεις τις γωνίες όλων των τριγώνων που βλέπεις A B 47. Στην κορυφή τριγώνου φέρουµε µε = και Ε µε Ε=. Να αποδείξεις ότι i). =Ε και ii). Ε

17 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου ( ίνεται τρίγωνο µε Â=90 ο και το ύψος του. ν η διχοτόµος της στο σηµείο Ε, να αποδείξεις ότι: Ε= ˆ τέµνει την 49. πό τυχαίο σηµείο της βάσης ισοσκελούς τριγώνου φέρουµε Ε Να αποδείξεις ότι: ˆ = Εˆ 50. ν, Ε είναι ύψος και διχοτόµος αντιστοίχως τριγώνου µε ˆ > ˆ, ˆ -ˆ να αποδείξεις ότι: ˆΕ = 51. ν είναι τριγώνου µε ˆ > ˆ, να αποδείξεις ότι: i). ii). ˆ - ˆ = ˆ -ˆ ο ˆ -ˆ ˆ = 90 - και ο ˆ -ˆ ˆ = Πόσες πλευρές έχει ένα κυρτό πολύγωνο µε άθροισµα γωνιών 900 ο ; 53. Σε τρίγωνο µε Â=90 ο το ύψος του και η διχοτόµος του Ζ τέµνονται σε σηµείο Ε Να αποδείξεις ότι το τρίγωνο ΕΖ είναι ισοσκελές 54. ν είναι τυχαίο σηµείο της πλευράς ισοσκελούς (=) τριγώνου και στην προέκταση της πάρουµε τµήµα Ε=, να αποδείξεις ότι: Ε 55. Έστω τρίγωνο µε = και οι διχοτόµοι του Κ και Λ. ν η διχοτόµος της Κˆ τέµνει τη Λ στο και τη στο Η, να αποδείξεις ότι το τρίγωνο Η είναι ισοσκελές 56. Στην προέκταση της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου και προς το µέρος του παίρνουµε τµήµα Ε=. Στο φέρουµε ευθεία κάθετη στη και πάνω σε αυτή και στο ηµιεπίπεδο (, ) παίρνουµε τµήµα =. Να αποδείξεις ότι τα σηµεία,, Ε είναι συνευθειακά 57. Να αποδείξεις ότι µία ακτίνα φωτός µετά την διπλή ανάκλασή της σε σύστηµα δύο καθέτων επιπέδων κατόπτρων Κ 1, Κ όπως στο διπλανό σχήµα, ακολουθεί πορεία παράλληλη µε την αρχική Κ Κ Έστω το κέντρο παραλληλογράµµου. ν Ε και Ζ είναι σηµεία των και αντιστοίχως, ώστε Ε=Ζ, να αποδείξεις ότι το ΕΖ είναι παραλληλόγραµµο

18 18 δηµήτρη ποιµενίδη 59. ν Ε και Ζ είναι τα µέσα των πλευρών και αντιστοίχως, παραλληλογράµµου, να αποδείξεις ότι οι, και ΕΖ συντρέχουν 60. ίνεται τρίγωνο, η διχοτόµος του και η παράλληλη από το προς την η οποία τέµνει την στο Ε. ν η παράλληλη από το Ε προς τη τέµνει την στο Ζ, να αποδείξεις ότι: Ε=Ζ 61. πό τυχαίο σηµείο Μ της βάσης ισοσκελούς τριγώνου φέρουµε παράλληλες προς τις ίσες πλευρές που τις τέµνουν στα σηµεία και Ε. Να αποδείξεις ότι: Μ+ΜΕ= 6. Στις προεκτάσεις των διαµέσων και Ε τριγώνου παίρνουµε σηµεία Η και Ζ αντιστοίχως, ώστε Η= και ΖΕ=Ε. Να αποδείξεις ότι: i). AH=AZ ii). τα σηµεία Ζ, και Η είναι συνευθειακά 63. Προεκτείνουµε τις πλευρές και παραλληλογράµµου κατά τµήµατα Ε= και Ζ= αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι τα σηµεία Ζ, και Ε είναι συνευθειακά 64. Προεκτείνουµε τις πλευρές και παραλληλογράµµου κατά τµήµατα Ε= και Ζ= αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι τα σηµεία Ζ, και Ε είναι συνευθειακά 65. Προεκτείνουµε την πλευρά παραλληλογράµµου κατά τµήµα Ε= και στην ηµιευθεία θεωρούµε σηµείο Ζ, ώστε Ζ=. Να αποδείξεις ότι ο Ζ ˆΕ = Έστω παραλληλόγραµµο µε = και το κέντρο του. ν Ε, Ζ είναι τα µέσα των και αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι το ΕΖ είναι ορθογώνιο 67. Να αποδείξεις ότι οι διχοτόµοι των γωνιών παραλληλογράµµου, αν δεν συντρέχουν, σχηµατίζουν ορθογώνιο 68. Να αποδείξεις ότι ένα παραλληλόγραµµο είναι ρόµβος αν και µόνο αν οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του είναι ίσες 69. Σε ρόµβο κέντρου παίρνουµε δύο σηµεία Ε και Ζ της, ώστε Ε=Ζ==. Να αποδείξεις ότι το ΕΖ είναι τετράγωνο 70. Στις πλευρές,, και τετραγώνου θεωρούµε αντιστοίχως τα σηµεία Κ, Λ, Μ και Ν ώστε Κ=Λ=Μ=Ν. Να αποδείξεις ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο 71. Έστω Μ το µέσο της διχοτόµου τριγώνου. πό το φέρουµε παράλληλη προς τη που τέµνει την στο σηµείο Ε. ν η ΕΜ τέµνει τη στο Ζ, να αποδείξεις ότι το ΕΖ είναι ρόµβος

19 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου ( Στις πλευρές και τετραγώνου παίρνουµε τα σηµεία Ε και Ζ αντιστοίχως, ώστε Ε=Ζ. Να αποδείξεις ότι: i). AZ=Ε και ii). Ζ Ε 73. ν Ε, Ζ είναι τα µέσα των πλευρών, αντιστοίχως ορθογωνίου, Η το σηµείο τοµής των Ζ, Ε και Θ το σηµείο τοµής των Ζ, Ε, να αποδείξεις ότι το ΕΘΖΗ είναι ρόµβος 74. Να αποδείξεις ότι: i). το άθροισµα των αποστάσεων τυχαίου σηµείου της βάσης ισοσκελούς τριγώνου από τις ίσες πλευρές του είναι σταθερό (δηλαδή το ίδιο ανεξαρτήτως της επιλογής του σηµείου) ii). το άθροισµα των αποστάσεων τυχαίου σηµείου, που βρίσκεται στο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου, από τις πλευρές του είναι σταθερό (δηλαδή το ίδιο ανεξαρτήτως της επιλογής του σηµείου) 75. Aν Ε, Ζ είναι αντιστοίχως τα µέσα των πλευρών και παραλληλογράµµου και η ΕΖ τέµνει τη διαγώνιο στο Η, να αποδείξεις ότι: Η= Aν Ε, Ζ είναι αντιστοίχως τα µέσα των πλευρών και παραλληλογράµµου, να αποδείξεις ότι οι Ε και Ζ τριχοτοµούν τη διαγώνιο 77. Aν Ε, Ζ είναι αντιστοίχως τα µέσα των πλευρών και παραλληλογράµµου, να αποδείξεις ότι οι Ε και Ζ τριχοτοµούν τη διαγώνιο 78. ν είναι το µέσο της διαµέσου Μ τριγώνου και η τέµνει την στο Ε, Ε να αποδείξεις ότι: Ε= 79. Προεκτείνουµε την πλευρά παραλληλόγραµµου κατά τµήµα Ε=. ν η Ε Η τέµνει την στο Η και τη στο Ζ, να αποδείξεις ότι: i). BZ=Z και ii). Η= 80. Έστω τρίγωνο µε <, η διχοτόµος του και Μ το µέσο της. ν Ε είναι η προβολή του στην, να αποδείξεις ότι: - ˆ i). ΕΜ// ii). ΕΜ= iii). ΕˆΜ = 81. Να αποδείξεις ότι κάθε τρίγωνο που έχει δύο ίσες διαµέσους είναι ισοσκελές 8. Να υπολογίσεις όλες τις γωνίες των τριγώνων του διπλανού σχήµατος 3 3

20 0 δηµήτρη ποιµενίδη 83. Να υπολογίσεις τα µήκη όλων των ευθυγράµµων τµηµάτων που βλέπεις στο διπλανό σχήµα Προεκτείνουµε την πλευρά ορθογωνίου τριγώνου ( Â =90 ο ) κατά τυχαίο τµήµα. πό το φέρουµε κάθετο στη η οποία τέµνει τη στο Η και την στο Ε. Να αποδείξεις ότι: Ε 85. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â =90 ο ) µε Bˆ =30 ο και, Ε τα µέσα των, αντιστοίχως, προεκτείνουµε την Ε κατά τµήµα Ζ=Ε. Να αποδείξεις ότι το ΕΖ είναι ρόµβος 86. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ( Â =90 ο ) µε ύψος. i). αν Ε, Ζ είναι τα µέσα των, αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι: ii). αν Μ είναι το µέσο της ΕΖ, να αποδείξεις ότι: Μ = 4 E ˆΖ = ˆ 87. ν είναι ύψος τριγώνου, Ε είναι το µέσο της και η Ε τέµνει την στο Ζ, να αποδείξεις ότι: A ẐE = Bˆ -ˆ 88. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â =90 ο )µε Bˆ =30 ο η κάθετος στο µέσο Μ της υποτείνουσας τέµνει την πλευρά στο. Να αποδείξεις ότι: AB i). Μ= ii). Μ= ίνεται τρίγωνο µε Â=45 ο, Μ το µέσο της και, Ε ύψη του τριγώνου. Να αποδείξεις ότι: Μ ΜΕ 90. ίνεται τρίγωνο και σηµείο Ε της τέτοιο ώστε Ε= 4 AB ν Μ είναι το µέσο της διαµέσου, να αποδείξεις ότι: ΕΜ// και ΕΜ= ν Κ και Λ είναι οι προβολές της κορυφής τριγώνου στην εσωτερική και εξωτερική διχοτόµο της γωνίας Bˆ αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι: i). το ΚΛ είναι ορθογώνιο ii). η ευθεία ΚΛ διέρχεται από το µέσο της 9. Να υπολογίσεις τα µήκη x και y στα διπλανά σχήµατα x x+1 x y 1 3x 8

21 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου ( ν είναι το σηµείο τοµής των διαγωνίων ισοσκελούς τραπεζίου (//) και Ε, Ζ, Η, Θ τα µέσα των,,, αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι το ΕΖΗΘ είναι ισοσκελές τραπέζιο 94. Έστω τρίγωνο µε ύψος Η και, Ε, Ζ τα µέσα των, και αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι το ΕΖΗ είναι ισοσκελές τραπέζιο 95. ίνεται παραλληλόγραµµο και το ύψος του Ε. ν Κ, Λ είναι τα µέσα των, αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι το ΚΛΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο 96. ν ένα κυρτό τετράπλευρο έχει = και =, να αποδείξεις ότι το είναι ισοσκελές τραπέζιο ή ορθογώνιο 97. πό την κορυφή τριγώνου φέρουµε ευθεία ε η οποία δεν τέµνει το τρίγωνο. ν, είναι οι αποστάσεις των, από την ε, Μ το µέσο της και Κ το µέσο της διαµέσου, να αποδείξεις ότι: ΜΚ= 98. Σε τραπέζιο (//) η διχοτόµος της γωνίας τέµνει τη διάµεσο ΕΖ στο Η. Να αποδείξεις ότι: Ηˆ =90 ο 99. Έστω Μ το µέσο της πλευράς ισοσκελούς (=) τριγώνου. ν η µεσοκάθετος της τέµνει την στο Ζ και η παράλληλη προς τη από το Ζ τέµνει την στο Η, να αποδείξεις ότι: Η=Ζ 100. Έστω τραπέζιο του οποίου η µία από τις µη παράλληλες πλευρές του είναι ίση µε το άθροισµα των βάσεων. ν Μ είναι το µέσο της, να αποδείξεις ότι: Μˆ =90 ο 101. ν σε τραπέζιο η µία βάση είναι διπλάσια της άλλης, να αποδείξεις ότι οι διαγώνιοι τριχοτοµούν τη διάµεσο 10. ίνεται τραπέζιο (//) µε =3 και Κ, Λ τα µέσα των διαγωνίων του αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι το ΚΛ είναι παραλληλόγραµµο. Πότε το ΚΛ είναι ορθογώνιο; 103. ν,,, και Κ είναι αντιστοίχως οι προβολές των κορυφών και του κέντρου Κ παραλληλογράµµου σε µία ευθεία ε που αφήνει όλες τις κορυφές προς το ίδιο µέρος της, να αποδείξεις ότι: =4ΚΚ 104. Να υπολογίσεις τις γωνίες x και y που βλέπεις στο διπλανό σχήµα 50 o x y 35 o

22 δηµήτρη ποιµενίδη 105. Να υπολογίσεις τα µέτρα των τόξων x και y που βλέπεις στο διπλανό σχήµα x 5 o 55 o y 106. Να υπολογίσεις τα µέτρα των τόξων x και y που βλέπεις στο διπλανό σχήµα, όπου οι ε και ε εφάπτονται στον κύκλο ε y B x 60 ο A 50 ο ε 107. ν,, είναι τρία σηµεία σε κύκλο, Μ είναι το µέσο του τόξου και Μ είναι χορδή του κύκλου παράλληλη στην, να αποδείξεις ότι =Μ 108. Να αποδείξεις ότι η εφαπτοµένη ενός κύκλου στο µέσο ενός τόξου χορδής είναι παράλληλη στην 109. Έστω, τα σηµεία τοµής δύο κύκλων. ν, είναι τα αντιδιαµετρικά σηµεία του στους δύο κύκλους, να αποδείξεις ότι η ευθεία διέρχεται από το 110. ύο κάθετες χορδές και ενός κύκλου τέµνονται στο σηµείο Ρ. Να αποδείξεις ότι η διάµεσος ΡΜ του τριγώνου Ρ είναι κάθετη στην 111. ύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά ή εξωτερικά (να εξετάσεις δύο περιπτώσεις) σε ένα σηµείο και δύο ευθείες ε και ε που διέρχονται από το τέµνουν τον έναν κύκλο στα σηµεία και και τον άλλον στα σηµεία και αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι: // 11. Έστω ε η εφαπτοµένη ενός κύκλου σε ένα σηµείο του. πό ένα σηµείο Ρ της ε φέρουµε µία ευθεία που τέµνει τον κύκλο στα σηµεία και. ν η διχοτόµος της γωνίας ˆ τέµνει τη χορδή στο σηµείο, να αποδείξεις ότι: Ρ=Ρ 113. Να αποδείξεις ότι κάθε περιγράψιµο παραλληλόγραµµο είναι ρόµβος του οποίου οι διαγώνιες τέµνονται στο κέντρο του εγγεγραµµένου του κύκλου 114. πό τα σηµεία τοµής, δύο κύκλων φέρουµε δύο ευθείες που τέµνουν τον ένα κύκλο στα σηµεία, και τον άλλο στα σηµεία,. Να αποδείξεις ότι //

23 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου ( Ένας κύκλος διέρχεται από τις κορυφές και τριγώνου και τέµνει τις πλευρές και στα σηµεία και Ε αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι η Ε είναι παράλληλη προς την εφαπτοµένη του περιγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου στο σηµείο 116. Να αποδείξεις ότι τα ύψη, Ε και Ζ τριγώνου είναι διχοτόµοι των γωνιών του τριγώνου ΕΖ 117. Να αποδείξεις ότι οι εφαπτόµενες στα άκρα δύο καθέτων χορδών ενός κύκλου σχηµατίζουν εγγράψιµο τετράπλευρο 118. ν τα σηµεία Μ και Ν είναι συζυγή αρµονικά των σηµείων και, να αποδείξεις ότι: = AM AN AB 119. Να βρεις τα µήκη x, y στα ακόλουθα σχήµατα: y x 6 ε 1 ε 3 x y ε 1 ε 3 ε ε 4 ε 3 ε 1 //ε //ε 3 //ε 4 ε 1 //ε //ε Στο τρίγωνο του διπλανού σχήµατος είναι Ε//, ΕΖ// και ΖΗ//. Να αποδείξεις ότι: Η i). = και ii). =Η Η Η Ε Ζ 11. πό την κορυφή παραλληλογράµµου φέρουµε ευθεία ε η οποία τέµνει τη στο σηµείο Ε, τη στο Ζ και την προέκταση της στο Η. Να αποδείξεις ότι: Ζ i). = και ii). AE =EZEH Η Η 1. ι µη παράλληλες πλευρές και τραπεζίου τέµνονται στο σηµείο. Η παράλληλη από το προς την τέµνει την στο Ε. Να αποδείξεις ότι το είναι µέσο ανάλογο των και Ε 13. πό τυχαίο σηµείο Κ της διαµέσου Μ τριγώνου φέρουµε παράλληλες προς τις και οι οποίες τέµνουν τη στα σηµεία και Ε αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι: Μ=ΜΕ

24 4 δηµήτρη ποιµενίδη 14. Έστω, Ε οι διάµεσοι ισοσκελούς τριγώνου (=). Μία ευθεία παράλληλη στη τέµνει τις,, Ε και στα σηµεία Ζ, Η, Θ και Ι αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι: ΖΗ=ΘΙ 15. Έστω σηµεία, Ε της πλευράς τριγώνου τέτοια ώστε: =Ε=Ε. πό τα, Ε φέρουµε παράλληλες προς τη που τέµνουν την στα σηµεία Ζ, Η αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι: =ΕΗ+Ζ 16. Έστω Μ το µέσο της πλευράς τριγώνου και, Ε σηµεία της τέτοια ώστε Μ=ΜΕ. πό το φέρουµε παράλληλη προς την η οποία τέµνει την στο Ζ και από το Ε παράλληλη προς την η ποία τέµνει την στο Η. Να αποδείξεις ότι: ΖΗ// 17. Έστω τρίγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο και η τοµή της διαµέτρου Ε µε τη. ν Ζ, Η είναι οι προβολές του σηµείου στις και αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι: ΖΗ// 18. ίνεται τρίγωνο και τα σηµεία, Ε της ώστε =Ε=Ε. Η παράλληλη από το προς την τέµνει τη διάµεσο Μ στο Κ. Να αποδείξεις ότι: i). το σηµείο Κ είναι το βαρύκεντρο του. ii). ΚΕ// 19. Έστω το σηµείο τοµής των διαγωνίων, τραπεζίου (//). πό το φέρουµε παράλληλες προς τις και που τέµνουν τη στα σηµεία Ε και Ζ αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι: Ε=Ζ 130. ν Μ είναι το µέσο της πλευράς τριγώνου και οι διχοτόµοι των γωνιών και Μˆ τέµνουν τις πλευρές και στα σηµεία και Ε αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι: Ε// Μˆ Ε Ζ 131. ν, Ε και Ζ είναι οι διχοτόµοι τριγώνου, να αποδείξεις ότι: = 1 Ε Ζ 13. Έστω ισοσκελές τρίγωνο (=) και ο περιγεγραµµένος του κύκλος. ν είναι τυχαίο σηµείο του τόξου και η τέµνει την πλευρά στο Ε, να αποδείξεις ότι: Ε. =Ε. 13. Σε ηµικύκλιο διαµέτρου φέρουµε τις εφαπτόµενες στα και και µία τρίτη εφαπτόµενη σε τυχαίο σηµείο Ε του ηµικυκλίου η οποία τέµνει την ευθεία στο Ζ και τις άλλες δύο εφαπτόµενες στα σηµεία και. Να αποδείξεις ότι τα σηµεία και είναι συζυγή αρµονικά των Ε και Ζ

25 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου ( πό το µέσο Μ της πλευράς τριγώνου φέρουµε την παράλληλη στη διχοτόµο του η οποία τέµνει τις και στα σηµεία Ε και Ζ αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι: Ε=Ζ 134. Να βρεις το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος Ε που βλέπεις στο διπλανό σχήµα 1 3 Ε πό τυχαίο σηµείο της πλευράς ορθογωνίου τριγώνου (=90 ο ) φέρουµε κάθετη στο σηµείο Ε της. Να αποδείξεις ότι: i). τα τρίγωνα και Ε είναι όµοια ii).. Ε=. Ε 136. Στις πλευρές και τριγώνου θεωρούµε σηµεία και Ε αντιστοίχως, ώστε: 1 = AB και Ε= A. Να αποδείξεις ότι: i). τα τρίγωνα και Ε είναι όµοια 3 3 ii). B=3E 137. ίνεται γωνία xay=10 ο και ισόπλευρο τρίγωνο στο εσωτερικό της. ν οι x και y τέµνουν τις προεκτάσεις της στα σηµεία και Ε αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι: =. Ε 138. Να αποδείξεις ότι σε ορθογώνιο τρίγωνο (=90 ο ) µε ύψος, ισχύουν: i). =. ii). =. iii).. = ν, Ε και Ζ είναι τα ύψη και Η το ορθόκεντρο τριγώνου, να αποδείξεις ότι: Η. Η=Η. ΗΕ=Η. ΗΖ 140. ν Ε είναι το σηµείο τοµής της διχοτόµου τριγώνου µε τον περιγεγραµµένο του κύκλο, να αποδείξεις ότι: i). AB. A=. Ε ii). EB =EA. E