γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )"

Transcript

1 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω φ φ ω φ ω εφεξής (διαδοχικές) εφεξής παραπληρωµατικές και οι διχοτόµοι τους ω φ ω φ φ 1 + φ + + φ ν = 4 φ 1 + φ + + φ ν = φ φ 1 φ ν φ φ 1 φ ν κατακορυφήν και οι διχοτόµοι τους

2 δηµήτρη ποιµενίδη οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο µε όλα τα στοιχεία του που αντιστοιχούν στην κορυφή δ α υ α δ α µ α µ α // // α α : απέναντι πλευρά υ α : ύψος δ α : εσωτερική διχοτόµος (διχοτόµος της Â ) δ α : εξωτερική διχοτόµος (διχοτόµος της Â εξ ) µ α : διάµεσος µ α : µεσοκάθετος ύψη και ορθόκεντρο Η διαµέσους και βαρύκεντρο G Η G το G χωρίζει τις διαµέσους σε λόγο :1 µεσοκαθέτους, περίκεντρο και διχοτόµους, έγκεντρο Ι και δ α, δ β,δ γ, παράκεντρο Ι α και τον περιγεγραµµένο του κύκλο τον εγγεγραµµένο του κύκλο τον παρεγγεγραµµένο κύκλο στη γωνία Ι δ α δ β δ γ Ι α

3 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 3 τρίγωνα σκαληνό ισοσκελές ισόπλευρο οξυγώνιο ορθογώνιο µε ύψη αµβλυγώνιο οξυγώνιο ορθογώνιο µε διαµέσους αµβλυγώνιο οξυγώνιο ορθογώνιο µε διχοτόµους αµβλυγώνιο

4 4 δηµήτρη ποιµενίδη η ισότητα των τριγώνων ορισµός ίσες γωνίες και απέναντι πλευρές κριτήρια ισότητας Π--Π -Π- Π-Π-Π και ειδικά για ορθογώνια: Υ-Π τρεις γεωµετρικοί τόποι κύκλος µεσοκάθετος διχοτόµος

5 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 5 ανισοτικές σχέσεις β > γ > γ β γενικά: β-γ < α < β+γ - + (τριγωνική ανισότητα) α όπου οι ισότητες ισχύουν µόνο όταν τα,, είναι συνευθειακά και ανάλογα µε τη σχετική τους θέση Μ Σ < +++ +ΜΣ (πολυγωνική ανισότητα) Σ Σ δ αν δ είναι η µεσοκάθετη του και Σ είναι σηµείο του ηµιεπιπέδου (δ, ) τότε: Σ < Σ γ β γ β αν β=β και γ=γ, τότε: α > α > α α AΚ < Μ Μ Κ Ν Μ=Ν ΚΜ=ΚΝ Μ < Ν ΚΜ < ΚΝ Μ Κ Ν Κ Μ Ν

6 6 δηµήτρη ποιµενίδη παραλληλία και γωνίες κριτήριο τοµής δύο ευθειών ε 1 ω φ οι ε 1, ε τέµνονται (προς το µέρος των ω, φ) αν και µόνο αν ω+φ < 180 ο ε δύο παράλληλες ευθείες και µία τέµνουσά γωνίες τριγώνου ++=180 ο + + =90 ο εξ > εξ > εξ =+ (και οµοίως κυκλικά) γωνίες µε παράλληλες πλευρές γωνίες µε κάθετες πλευρές ω φ ω=ω (οξείες) φ=φ (αµβλείες) ω+φ =180 ο και ω +φ=180 ο (οξεία-αµβλεία) ω φ ω φ ω φ ορθογώνιο τρίγωνο µε διάµεσο µ α µε διάµεσο µ α αν =30 ο 60 ο 30 ο 60 ο 60 ο 10 ο 30 ο µε ύψος υ α µε ύψος υ α και διάµεσο µ α -

7 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 7 πολλά κυρτά τετράπλευρα τα είδη τετράπλευρο παραλληλόγραµµο τραπέζιο ορθογώνιο ρόµβος ισοσκελές τραπέζιο τετράγωνο το παραλληλόγραµµο τρία παραλληλόγραµµα στο τρίγωνο η παράλληλη µεταφορά ίσων τµηµάτων A ΚΛ //= Μ Λ ΛΜ //= ΜΚ //= B Κ το ορθογώνιο ο ρόµβος το τετράγωνο το τραπέζιο το ισοσκελές τραπέζιο A Μ Κ Λ Ν B + ΜΝ= - ΚΛ= (Κ, Λ µέσα των, )

8 8 δηµήτρη ποιµενίδη κύκλος κύκλος (,ρ) και ευθεία ε: d d ε d ε ε επίκεντρη γωνία τόξο χορδή απόστηµα: R α λ α α 1 λ 1 λ λ α + = R λ 1 > = < λ α 1 < = > α 4 εγγεγραµµένη και επίκεντρη γωνία: φ φ ω ω ω φ= = φ+ω=180 ο = // γωνία χορδής και εφαπτοµένης: γωνία χορδών: 1 1 ω + ω= = ω ω= 1-1 =

9 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 9 εφαπτόµενες κύκλου από σηµείο δύο κύκλοι (Κ,R)&(Λ,ρ) µε ΚΛ=δ και οι κοινές τους εφαπτόµενες δ < R-ρ δ = R-ρ R-ρ < δ < R+ρ δ = R+ρ δ > R+ρ

10 10 δηµήτρη ποιµενίδη όλοι οι κύκλοι τριγώνου Ι β Ι γ Ι Ι α

11 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 11 εγγράψιµα-περιγράψιµα τετράπλευρα εγγράψιµο οι µεσοκάθετοι των πλευρών του συντρέχουν +=180 ο (οπότε και +=180 ο ) µία πλευρά φαίνεται απ τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες περιγράψιµο οι διχοτόµοι των γωνιών του συντρέχουν +=+ το θεώρηµα του Θαλή ε 3 ε 1 ε Ε Ζ ε 1 ε 3 ε Ζ Ε ε 1 //ε //ε 3 και το αντίστροφό του: ε 1 //ε και Ε = = ΕΖ Ζ Ε = Ζ//ε 1 ΕΖ και οι συνέπειές του στο τραπέζιο Ε Ζ Ε Ζ ΕΖ// Ε Ζ = Ε Ζ = στο τρίγωνο Ε Ε// Ε = Ε Ε

12 1 δηµήτρη ποιµενίδη τα όµοια τρίγωνα Ε Ζ ~ ΕΖ ορ. = = =λ (λόγος οµοιότητας) Ε ΕΖ Ζ =, =Ε, =Ζ 1 ο κριτήριο: δύο γωνίες ίσες ο κριτήριο: πλευρές ανάλογες 3 ο κριτήριο: δύο πλευρές ανάλογες και οι περιεχόµενες γωνίες ίσες στα όµοια τρίγωνα οι λόγοι οποιωνδήποτε οµολόγων στοιχείων τους (υψών, διαµέσων κ.λ.π.) είναι ίσοι µε το λόγο οµοιότητας των τριγώνων Ε ~ Ε Ε βγ=rυ α R τα θεωρήµατα των διχοτόµων Ε Ε = = Ε αγ αβ = = β + γ β + γ αγ αβ Ε = Ε = β - γ β - γ για τέσσερα συνευθειακά σηµεία Κ,Λ,Μ,Ν: η τετράδα (Κ,Λ,Μ,Ν) λέγεται αρµονική αν και µόνο αν τα Κ, Λ είναι συζυγή αρµονικά των Μ, Ν (τα Μ, Ν είναι συζυγή αρµονικά των Κ, Λ) ΚΜ ΛΜ ΜΚ ΝΚ δηλαδή αν και µόνο αν: = ( = ) ΚΝ ΛΝ ΜΛ ΝΛ

13 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 13 ασκήσεις 1. ν ˆ, ˆ, ˆ είναι διαδοχικές γωνίες µε άθροισµα µικρότερο από δύο ορθές και x, Oy είναι οι διχοτόµοι των ˆ, ˆ αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι: AÔ + ˆ x Ôy =. πό σηµείο ευθείας x x φέρνουµε ηµιευθεία y και τη διχοτόµο δ της i). αν µια ηµιευθεία z περιέχεται στην ii). αν µια ηµιευθεία z περιέχεται στην 3. Θεωρούµε αµβλεία γωνία οι οποίες περιέχονται στην διχοτόµο και είναι παραπληρωµατικές x 'Ôy, να αποδείξεις ότι: y Ôδ, να αποδείξεις ότι: z Ôδ z Ôδ x Ôy zôx + zôy = zôx - zôy = x Ôy και τις ηµιευθείες και µε x και y x Ôy. Να αποδείξεις ότι οι γωνίες xôyκαι A ÔB έχουν κοινή 4. Να υπολογίσεις την γωνία ω της οποίας η παραπληρωµατική γωνία είναι τριπλάσια της συµπληρωµατικής της 5. Τέσσερις ηµιευθείες,, και σχηµατίζουν τις διαδοχικές γωνίες ˆ και ˆ οι οποίες έχουν µέτρα ανάλογα µε τους αριθµούς 1,, 3 και 4. Να υπολογίσεις τις γωνίες αυτές ˆ, ˆ 6. Θεωρούµε δύο αντικείµενες ηµιευθείες Ox, Oy και φέρνουµε τις ηµιευθείες, έτσι ώστε οι γωνίες xôa, AÔB και ˆ y να είναι διαδοχικές. ν Κ, Λ είναι οι διχοτόµοι των xôa, yôb αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι ˆ =90 ο αν και µόνο αν Κ ˆ Λ =135 ο 7. Στις προεκτάσεις των πλευρών, και ισοπλεύρου τριγώνου θεωρούµε τµήµατα Κ=Λ=Μ. Να αποδείξεις ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο 8. ν, Ζ είναι σηµεία της διχοτόµου τριγώνου, τέτοια ώστε Ε= και Ζ=, να αποδείξεις ότι ˆΕ = Ζˆ 9. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών και ισοσκελούς τριγώνου θεωρούµε ίσα τµήµατα, Ε αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι το τρίγωνο ΜΕ είναι ισοσκελές 10. ίνεται κύκλος κέντρου και µια χορδή του. Προεκτείνουµε την εκατέρωθεν κατά ίσα τµήµατα και. Να αποδείξεις ότι ˆ = ˆ

14 14 δηµήτρη ποιµενίδη 11. Σε ευθεία ε παίρνουµε διαδοχικά τα σηµεία,, και κατασκευάζουµε προς το ίδιο µέρος της ε τα ισόπλευρα τρίγωνα Ζ και Ε. Να αποδείξεις ότι Η=Ζ 1. Σε τρίγωνο προεκτείνουµε τη διάµεσο Μ κατά Μ=Μ. Να αποδείξεις ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα 13. Να αποδείξεις ότι οι διχοτόµοι των γωνιών της βάσης ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. 14. ν, και είναι διάµετροι κύκλου, να αποδείξεις ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα 15. Έστω ισοσκελές τρίγωνο (µε =). Η µεσοκάθετος της πλευράς τέµνει την προέκταση της στο σηµείο. Προεκτείνουµε τη κατά Ε=. Να αποδείξεις ότι τα τρίγωνα και Ε είναι ισοσκελή 16. Να αποδείξεις ότι τα ύψη ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του είναι ίσα 17. Να αποδείξεις ότι τα µέσα των ίσων πλευρών ισοσκελούς τριγώνου ισαπέχουν: i). από τη βάση ii). από τις ίσες πλευρές 18. ν δύο τρίγωνα είναι ίσα, να αποδείξεις ότι και τα ύψη τους που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές είναι ίσα 19. ν Μ είναι το µέσο της βάσης ισοσκελούς τριγώνου, να αποδείξεις ότι: i). το Μ ισαπέχει από τις ίσες πλευρές του τριγώνου ii). η Μ διχοτοµεί τη γωνία που σχηµατίζουν οι αποστάσεις του Μ από τις ίσες πλευρές 0. ίνεται ορθογώνιο (Â=90 ο ) τρίγωνο και η διχοτόµος του. πό το φέρνουµε Ε που τέµνει την στο Ζ. Να αποδείξεις ότι το τρίγωνο Ζ είναι ισοσκελές 1. ίνεται κύκλος (, R), δύο ίσες χορδές του, και τα αποστήµατά τους Κ, Λ αντιστοίχως. ν οι προεκτάσεις των, τέµνονται στο σηµείο Μ, να αποδείξεις ότι: i). τα τρίγωνα ΜΚ και ΜΛ είναι ίσα ii). MA=M και Μ=Μ. Έστω ε, ε δύο κάθετες ευθείες που τέµνονται στο και Μ τυχαίο σηµείο του επιπέδου. ν Μ είναι το συµµετρικό του Μ ως προς ε και Μ το συµµετρικό του Μ ως προς ε, να αποδείξεις ότι: i). Μ=Μ ii). τα σηµεία Μ,, Μ είναι συνευθειακά

15 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) Στο διπλανό σχήµα είναι Bˆ 1 > ˆ 1. Να αποδείξεις ότι Bˆ 1 > 90 ο 1 1 γ 3γ 4. Να αποδείξεις ότι δεν υπάρχει τρίγωνο µε α = και β = ν Μ είναι σηµείο της βάσης ισοσκελούς τριγώνου, να αποδείξεις ότι: Μ < 6. Σε ορθογώνιο (Â=90 ο ) τρίγωνο, η διχοτόµος της γωνίας τέµνει την στο. Να αποδείξεις ότι: < 7. Να αποδείξεις ότι σε τρίγωνο ισχύει: µ α, > α ˆ, < ˆ + ˆ 8. ν Μ το µέσο της πλευράς τριγώνου µε <, να αποδείξεις ότι: A Mˆ > Μˆ 9. ν Μ είναι διάµεσος τριγώνου µε <, να αποδείξεις ότι: i). M ˆ > Μ ˆ β - γ β + γ ii). < µ α < iii). µ α + µ β + µ γ < τ 30. Να αποδείξεις ότι σε δύο άνισα τόξα ενός κύκλου αντιστοιχούν οµοίως άνισες χορδές και αντιστρόφως 31. Έστω, Ε σηµεία των καθέτων πλευρών, αντιστοίχως ορθογωνίου τριγώνου. Να αποδείξεις ότι: i). Ε < Ε και ii). Ε < 3. ν έχουµε δύο οµόκεντρους κύκλους, να αποδείξεις ότι όλες οι χορδές του µεγάλου κύκλου που εφάπτονται στον µικρό κύκλο είναι ίσες 33. ίνεται κύκλος (, ρ), µία διάµετρος του και οι εφαπτόµενες ε 1, ε του κύκλου στα και. ν µία τρίτη εφαπτοµένη ε τέµνει τις ε 1, ε στα σηµεία και, να αποδείξεις ότι: ˆ = 90 ο 34. πό εξωτερικό σηµείο Ρ ενός κύκλου κέντρου, φέρουµε τα εφαπτόµενα τµήµατα Ρ και Ρ. ν Μ είναι ένα εσωτερικό σηµείο του ευθυγράµµου τµήµατος Ρ, να αποδείξεις ότι: Μ ˆΡ = Μˆ Ρ 35. Να προσδιορίσεις τις σχετικές θέσεις δύο κύκλων (Κ, ρ) και (Λ, ρ) όταν: i). ΚΛ = ρ/ ii). ΚΛ = ρ iii). ΚΛ = ρ iv). ΚΛ = 3ρ v). ΚΛ = 4ρ

16 16 δηµήτρη ποιµενίδη 36. Ένας κύκλος κέντρου Κ είναι εξωτερικός ενός άλλου κύκλου κέντρου Λ. Μία κοινή εξωτερική και µία κοινή εσωτερική εφαπτοµένη των δύο κύκλων τέµνονται στο σηµείο Ρ. Να αποδείξεις ότι: Κ Ρˆ Λ = 90 ο 37. ίνεται γωνία x Ôy και η διχοτόµος της. πό σηµείο της y φέρουµε παράλληλη προς την που τέµνει την προέκταση της x στο. Να αποδείξεις ότι: = 38. Έστω ισοσκελές (=) τρίγωνο και σηµείο της πλευράς. ν ο κύκλος (, ) τέµνει τη στο Ε, να αποδείξεις ότι: Ε // 39. Στις προεκτάσεις των πλευρών, τριγώνου παίρνουµε αντιστοίχως τα τµήµατα = και Ε=. Να αποδείξεις ότι: Ε // 40. Έστω ισοσκελές (=) τρίγωνο και η διάµεσός του Μ. Φέρουµε x προς το ηµιεπίπεδο που δεν ανήκει το και παίρνουµε σε αυτή τµήµα =. Να αποδείξεις ότι η είναι διχοτόµος της γωνίας Μ ˆ 41. πό την κορυφή τριγώνου φέρουµε παράλληλη στη διχοτόµο που τέµνει την προέκταση της στο Ε. Να αποδείξεις ότι: Ε=+ 4. πό το έγκεντρο Ι τριγώνου φέρουµε παράλληλη στη που τέµνει τις, στα σηµεία και Ε αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι: Ε=+Ε 43. πό τα άκρα ευθυγράµµου τµήµατος φέρουµε στο ίδιο ηµιεπίπεδο δύο παράλληλες ηµιευθείες x και y. Παίρνουµε τυχαίο σηµείο του και στις x, y τα σηµεία, Ε αντιστοίχως, ώστε = και Ε=. Να αποδείξεις ότι η γωνία ˆ Ε είναι ορθή 44. Σε ισοσκελές (=) τρίγωνο είναι να υπολογίσεις τη γωνία Ιˆ Â = Bˆ /. ν Ι είναι το έγκεντρο του τριγώνου, 45. Να αποδείξεις ότι σε τρίγωνο ισχύει: ο ˆ Bˆ εξ = 90 + = 46. Στο διπλανό σχήµα είναι == και =. Να υπολογίσεις τις γωνίες όλων των τριγώνων που βλέπεις A B 47. Στην κορυφή τριγώνου φέρουµε µε = και Ε µε Ε=. Να αποδείξεις ότι i). =Ε και ii). Ε

17 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) ίνεται τρίγωνο µε Â=90 ο και το ύψος του. ν η διχοτόµος της στο σηµείο Ε, να αποδείξεις ότι: Ε= ˆ τέµνει την 49. πό τυχαίο σηµείο της βάσης ισοσκελούς τριγώνου φέρουµε Ε Να αποδείξεις ότι: ˆ = Εˆ 50. ν, Ε είναι ύψος και διχοτόµος αντιστοίχως τριγώνου µε ˆ > ˆ, ˆ -ˆ να αποδείξεις ότι: ˆΕ = 51. ν είναι τριγώνου µε ˆ > ˆ, να αποδείξεις ότι: i). ii). ˆ - ˆ = ˆ -ˆ ο ˆ -ˆ ˆ = 90 - και ο ˆ -ˆ ˆ = Πόσες πλευρές έχει ένα κυρτό πολύγωνο µε άθροισµα γωνιών 900 ο ; 53. Σε τρίγωνο µε Â=90 ο το ύψος του και η διχοτόµος του Ζ τέµνονται σε σηµείο Ε Να αποδείξεις ότι το τρίγωνο ΕΖ είναι ισοσκελές 54. ν είναι τυχαίο σηµείο της πλευράς ισοσκελούς (=) τριγώνου και στην προέκταση της πάρουµε τµήµα Ε=, να αποδείξεις ότι: Ε 55. Έστω τρίγωνο µε = και οι διχοτόµοι του Κ και Λ. ν η διχοτόµος της Κˆ τέµνει τη Λ στο και τη στο Η, να αποδείξεις ότι το τρίγωνο Η είναι ισοσκελές 56. Στην προέκταση της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου και προς το µέρος του παίρνουµε τµήµα Ε=. Στο φέρουµε ευθεία κάθετη στη και πάνω σε αυτή και στο ηµιεπίπεδο (, ) παίρνουµε τµήµα =. Να αποδείξεις ότι τα σηµεία,, Ε είναι συνευθειακά 57. Να αποδείξεις ότι µία ακτίνα φωτός µετά την διπλή ανάκλασή της σε σύστηµα δύο καθέτων επιπέδων κατόπτρων Κ 1, Κ όπως στο διπλανό σχήµα, ακολουθεί πορεία παράλληλη µε την αρχική Κ Κ Έστω το κέντρο παραλληλογράµµου. ν Ε και Ζ είναι σηµεία των και αντιστοίχως, ώστε Ε=Ζ, να αποδείξεις ότι το ΕΖ είναι παραλληλόγραµµο

18 18 δηµήτρη ποιµενίδη 59. ν Ε και Ζ είναι τα µέσα των πλευρών και αντιστοίχως, παραλληλογράµµου, να αποδείξεις ότι οι, και ΕΖ συντρέχουν 60. ίνεται τρίγωνο, η διχοτόµος του και η παράλληλη από το προς την η οποία τέµνει την στο Ε. ν η παράλληλη από το Ε προς τη τέµνει την στο Ζ, να αποδείξεις ότι: Ε=Ζ 61. πό τυχαίο σηµείο Μ της βάσης ισοσκελούς τριγώνου φέρουµε παράλληλες προς τις ίσες πλευρές που τις τέµνουν στα σηµεία και Ε. Να αποδείξεις ότι: Μ+ΜΕ= 6. Στις προεκτάσεις των διαµέσων και Ε τριγώνου παίρνουµε σηµεία Η και Ζ αντιστοίχως, ώστε Η= και ΖΕ=Ε. Να αποδείξεις ότι: i). AH=AZ ii). τα σηµεία Ζ, και Η είναι συνευθειακά 63. Προεκτείνουµε τις πλευρές και παραλληλογράµµου κατά τµήµατα Ε= και Ζ= αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι τα σηµεία Ζ, και Ε είναι συνευθειακά 64. Προεκτείνουµε τις πλευρές και παραλληλογράµµου κατά τµήµατα Ε= και Ζ= αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι τα σηµεία Ζ, και Ε είναι συνευθειακά 65. Προεκτείνουµε την πλευρά παραλληλογράµµου κατά τµήµα Ε= και στην ηµιευθεία θεωρούµε σηµείο Ζ, ώστε Ζ=. Να αποδείξεις ότι ο Ζ ˆΕ = Έστω παραλληλόγραµµο µε = και το κέντρο του. ν Ε, Ζ είναι τα µέσα των και αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι το ΕΖ είναι ορθογώνιο 67. Να αποδείξεις ότι οι διχοτόµοι των γωνιών παραλληλογράµµου, αν δεν συντρέχουν, σχηµατίζουν ορθογώνιο 68. Να αποδείξεις ότι ένα παραλληλόγραµµο είναι ρόµβος αν και µόνο αν οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του είναι ίσες 69. Σε ρόµβο κέντρου παίρνουµε δύο σηµεία Ε και Ζ της, ώστε Ε=Ζ==. Να αποδείξεις ότι το ΕΖ είναι τετράγωνο 70. Στις πλευρές,, και τετραγώνου θεωρούµε αντιστοίχως τα σηµεία Κ, Λ, Μ και Ν ώστε Κ=Λ=Μ=Ν. Να αποδείξεις ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο 71. Έστω Μ το µέσο της διχοτόµου τριγώνου. πό το φέρουµε παράλληλη προς τη που τέµνει την στο σηµείο Ε. ν η ΕΜ τέµνει τη στο Ζ, να αποδείξεις ότι το ΕΖ είναι ρόµβος

19 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) Στις πλευρές και τετραγώνου παίρνουµε τα σηµεία Ε και Ζ αντιστοίχως, ώστε Ε=Ζ. Να αποδείξεις ότι: i). AZ=Ε και ii). Ζ Ε 73. ν Ε, Ζ είναι τα µέσα των πλευρών, αντιστοίχως ορθογωνίου, Η το σηµείο τοµής των Ζ, Ε και Θ το σηµείο τοµής των Ζ, Ε, να αποδείξεις ότι το ΕΘΖΗ είναι ρόµβος 74. Να αποδείξεις ότι: i). το άθροισµα των αποστάσεων τυχαίου σηµείου της βάσης ισοσκελούς τριγώνου από τις ίσες πλευρές του είναι σταθερό (δηλαδή το ίδιο ανεξαρτήτως της επιλογής του σηµείου) ii). το άθροισµα των αποστάσεων τυχαίου σηµείου, που βρίσκεται στο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου, από τις πλευρές του είναι σταθερό (δηλαδή το ίδιο ανεξαρτήτως της επιλογής του σηµείου) 75. Aν Ε, Ζ είναι αντιστοίχως τα µέσα των πλευρών και παραλληλογράµµου και η ΕΖ τέµνει τη διαγώνιο στο Η, να αποδείξεις ότι: Η= Aν Ε, Ζ είναι αντιστοίχως τα µέσα των πλευρών και παραλληλογράµµου, να αποδείξεις ότι οι Ε και Ζ τριχοτοµούν τη διαγώνιο 77. Aν Ε, Ζ είναι αντιστοίχως τα µέσα των πλευρών και παραλληλογράµµου, να αποδείξεις ότι οι Ε και Ζ τριχοτοµούν τη διαγώνιο 78. ν είναι το µέσο της διαµέσου Μ τριγώνου και η τέµνει την στο Ε, Ε να αποδείξεις ότι: Ε= 79. Προεκτείνουµε την πλευρά παραλληλόγραµµου κατά τµήµα Ε=. ν η Ε Η τέµνει την στο Η και τη στο Ζ, να αποδείξεις ότι: i). BZ=Z και ii). Η= 80. Έστω τρίγωνο µε <, η διχοτόµος του και Μ το µέσο της. ν Ε είναι η προβολή του στην, να αποδείξεις ότι: - ˆ i). ΕΜ// ii). ΕΜ= iii). ΕˆΜ = 81. Να αποδείξεις ότι κάθε τρίγωνο που έχει δύο ίσες διαµέσους είναι ισοσκελές 8. Να υπολογίσεις όλες τις γωνίες των τριγώνων του διπλανού σχήµατος 3 3

20 0 δηµήτρη ποιµενίδη 83. Να υπολογίσεις τα µήκη όλων των ευθυγράµµων τµηµάτων που βλέπεις στο διπλανό σχήµα Προεκτείνουµε την πλευρά ορθογωνίου τριγώνου ( Â =90 ο ) κατά τυχαίο τµήµα. πό το φέρουµε κάθετο στη η οποία τέµνει τη στο Η και την στο Ε. Να αποδείξεις ότι: Ε 85. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â =90 ο ) µε Bˆ =30 ο και, Ε τα µέσα των, αντιστοίχως, προεκτείνουµε την Ε κατά τµήµα Ζ=Ε. Να αποδείξεις ότι το ΕΖ είναι ρόµβος 86. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ( Â =90 ο ) µε ύψος. i). αν Ε, Ζ είναι τα µέσα των, αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι: ii). αν Μ είναι το µέσο της ΕΖ, να αποδείξεις ότι: Μ = 4 E ˆΖ = ˆ 87. ν είναι ύψος τριγώνου, Ε είναι το µέσο της και η Ε τέµνει την στο Ζ, να αποδείξεις ότι: A ẐE = Bˆ -ˆ 88. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â =90 ο )µε Bˆ =30 ο η κάθετος στο µέσο Μ της υποτείνουσας τέµνει την πλευρά στο. Να αποδείξεις ότι: AB i). Μ= ii). Μ= ίνεται τρίγωνο µε Â=45 ο, Μ το µέσο της και, Ε ύψη του τριγώνου. Να αποδείξεις ότι: Μ ΜΕ 90. ίνεται τρίγωνο και σηµείο Ε της τέτοιο ώστε Ε= 4 AB ν Μ είναι το µέσο της διαµέσου, να αποδείξεις ότι: ΕΜ// και ΕΜ= ν Κ και Λ είναι οι προβολές της κορυφής τριγώνου στην εσωτερική και εξωτερική διχοτόµο της γωνίας Bˆ αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι: i). το ΚΛ είναι ορθογώνιο ii). η ευθεία ΚΛ διέρχεται από το µέσο της 9. Να υπολογίσεις τα µήκη x και y στα διπλανά σχήµατα x x+1 x y 1 3x 8

21 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) ν είναι το σηµείο τοµής των διαγωνίων ισοσκελούς τραπεζίου (//) και Ε, Ζ, Η, Θ τα µέσα των,,, αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι το ΕΖΗΘ είναι ισοσκελές τραπέζιο 94. Έστω τρίγωνο µε ύψος Η και, Ε, Ζ τα µέσα των, και αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι το ΕΖΗ είναι ισοσκελές τραπέζιο 95. ίνεται παραλληλόγραµµο και το ύψος του Ε. ν Κ, Λ είναι τα µέσα των, αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι το ΚΛΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο 96. ν ένα κυρτό τετράπλευρο έχει = και =, να αποδείξεις ότι το είναι ισοσκελές τραπέζιο ή ορθογώνιο 97. πό την κορυφή τριγώνου φέρουµε ευθεία ε η οποία δεν τέµνει το τρίγωνο. ν, είναι οι αποστάσεις των, από την ε, Μ το µέσο της και Κ το µέσο της διαµέσου, να αποδείξεις ότι: ΜΚ= 98. Σε τραπέζιο (//) η διχοτόµος της γωνίας τέµνει τη διάµεσο ΕΖ στο Η. Να αποδείξεις ότι: Ηˆ =90 ο 99. Έστω Μ το µέσο της πλευράς ισοσκελούς (=) τριγώνου. ν η µεσοκάθετος της τέµνει την στο Ζ και η παράλληλη προς τη από το Ζ τέµνει την στο Η, να αποδείξεις ότι: Η=Ζ 100. Έστω τραπέζιο του οποίου η µία από τις µη παράλληλες πλευρές του είναι ίση µε το άθροισµα των βάσεων. ν Μ είναι το µέσο της, να αποδείξεις ότι: Μˆ =90 ο 101. ν σε τραπέζιο η µία βάση είναι διπλάσια της άλλης, να αποδείξεις ότι οι διαγώνιοι τριχοτοµούν τη διάµεσο 10. ίνεται τραπέζιο (//) µε =3 και Κ, Λ τα µέσα των διαγωνίων του αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι το ΚΛ είναι παραλληλόγραµµο. Πότε το ΚΛ είναι ορθογώνιο; 103. ν,,, και Κ είναι αντιστοίχως οι προβολές των κορυφών και του κέντρου Κ παραλληλογράµµου σε µία ευθεία ε που αφήνει όλες τις κορυφές προς το ίδιο µέρος της, να αποδείξεις ότι: =4ΚΚ 104. Να υπολογίσεις τις γωνίες x και y που βλέπεις στο διπλανό σχήµα 50 o x y 35 o

22 δηµήτρη ποιµενίδη 105. Να υπολογίσεις τα µέτρα των τόξων x και y που βλέπεις στο διπλανό σχήµα x 5 o 55 o y 106. Να υπολογίσεις τα µέτρα των τόξων x και y που βλέπεις στο διπλανό σχήµα, όπου οι ε και ε εφάπτονται στον κύκλο ε y B x 60 ο A 50 ο ε 107. ν,, είναι τρία σηµεία σε κύκλο, Μ είναι το µέσο του τόξου και Μ είναι χορδή του κύκλου παράλληλη στην, να αποδείξεις ότι =Μ 108. Να αποδείξεις ότι η εφαπτοµένη ενός κύκλου στο µέσο ενός τόξου χορδής είναι παράλληλη στην 109. Έστω, τα σηµεία τοµής δύο κύκλων. ν, είναι τα αντιδιαµετρικά σηµεία του στους δύο κύκλους, να αποδείξεις ότι η ευθεία διέρχεται από το 110. ύο κάθετες χορδές και ενός κύκλου τέµνονται στο σηµείο Ρ. Να αποδείξεις ότι η διάµεσος ΡΜ του τριγώνου Ρ είναι κάθετη στην 111. ύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά ή εξωτερικά (να εξετάσεις δύο περιπτώσεις) σε ένα σηµείο και δύο ευθείες ε και ε που διέρχονται από το τέµνουν τον έναν κύκλο στα σηµεία και και τον άλλον στα σηµεία και αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι: // 11. Έστω ε η εφαπτοµένη ενός κύκλου σε ένα σηµείο του. πό ένα σηµείο Ρ της ε φέρουµε µία ευθεία που τέµνει τον κύκλο στα σηµεία και. ν η διχοτόµος της γωνίας ˆ τέµνει τη χορδή στο σηµείο, να αποδείξεις ότι: Ρ=Ρ 113. Να αποδείξεις ότι κάθε περιγράψιµο παραλληλόγραµµο είναι ρόµβος του οποίου οι διαγώνιες τέµνονται στο κέντρο του εγγεγραµµένου του κύκλου 114. πό τα σηµεία τοµής, δύο κύκλων φέρουµε δύο ευθείες που τέµνουν τον ένα κύκλο στα σηµεία, και τον άλλο στα σηµεία,. Να αποδείξεις ότι //

23 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) Ένας κύκλος διέρχεται από τις κορυφές και τριγώνου και τέµνει τις πλευρές και στα σηµεία και Ε αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι η Ε είναι παράλληλη προς την εφαπτοµένη του περιγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου στο σηµείο 116. Να αποδείξεις ότι τα ύψη, Ε και Ζ τριγώνου είναι διχοτόµοι των γωνιών του τριγώνου ΕΖ 117. Να αποδείξεις ότι οι εφαπτόµενες στα άκρα δύο καθέτων χορδών ενός κύκλου σχηµατίζουν εγγράψιµο τετράπλευρο 118. ν τα σηµεία Μ και Ν είναι συζυγή αρµονικά των σηµείων και, να αποδείξεις ότι: = AM AN AB 119. Να βρεις τα µήκη x, y στα ακόλουθα σχήµατα: y x 6 ε 1 ε 3 x y ε 1 ε 3 ε ε 4 ε 3 ε 1 //ε //ε 3 //ε 4 ε 1 //ε //ε Στο τρίγωνο του διπλανού σχήµατος είναι Ε//, ΕΖ// και ΖΗ//. Να αποδείξεις ότι: Η i). = και ii). =Η Η Η Ε Ζ 11. πό την κορυφή παραλληλογράµµου φέρουµε ευθεία ε η οποία τέµνει τη στο σηµείο Ε, τη στο Ζ και την προέκταση της στο Η. Να αποδείξεις ότι: Ζ i). = και ii). AE =EZEH Η Η 1. ι µη παράλληλες πλευρές και τραπεζίου τέµνονται στο σηµείο. Η παράλληλη από το προς την τέµνει την στο Ε. Να αποδείξεις ότι το είναι µέσο ανάλογο των και Ε 13. πό τυχαίο σηµείο Κ της διαµέσου Μ τριγώνου φέρουµε παράλληλες προς τις και οι οποίες τέµνουν τη στα σηµεία και Ε αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι: Μ=ΜΕ

24 4 δηµήτρη ποιµενίδη 14. Έστω, Ε οι διάµεσοι ισοσκελούς τριγώνου (=). Μία ευθεία παράλληλη στη τέµνει τις,, Ε και στα σηµεία Ζ, Η, Θ και Ι αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι: ΖΗ=ΘΙ 15. Έστω σηµεία, Ε της πλευράς τριγώνου τέτοια ώστε: =Ε=Ε. πό τα, Ε φέρουµε παράλληλες προς τη που τέµνουν την στα σηµεία Ζ, Η αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι: =ΕΗ+Ζ 16. Έστω Μ το µέσο της πλευράς τριγώνου και, Ε σηµεία της τέτοια ώστε Μ=ΜΕ. πό το φέρουµε παράλληλη προς την η οποία τέµνει την στο Ζ και από το Ε παράλληλη προς την η ποία τέµνει την στο Η. Να αποδείξεις ότι: ΖΗ// 17. Έστω τρίγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο και η τοµή της διαµέτρου Ε µε τη. ν Ζ, Η είναι οι προβολές του σηµείου στις και αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι: ΖΗ// 18. ίνεται τρίγωνο και τα σηµεία, Ε της ώστε =Ε=Ε. Η παράλληλη από το προς την τέµνει τη διάµεσο Μ στο Κ. Να αποδείξεις ότι: i). το σηµείο Κ είναι το βαρύκεντρο του. ii). ΚΕ// 19. Έστω το σηµείο τοµής των διαγωνίων, τραπεζίου (//). πό το φέρουµε παράλληλες προς τις και που τέµνουν τη στα σηµεία Ε και Ζ αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι: Ε=Ζ 130. ν Μ είναι το µέσο της πλευράς τριγώνου και οι διχοτόµοι των γωνιών και Μˆ τέµνουν τις πλευρές και στα σηµεία και Ε αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι: Ε// Μˆ Ε Ζ 131. ν, Ε και Ζ είναι οι διχοτόµοι τριγώνου, να αποδείξεις ότι: = 1 Ε Ζ 13. Έστω ισοσκελές τρίγωνο (=) και ο περιγεγραµµένος του κύκλος. ν είναι τυχαίο σηµείο του τόξου και η τέµνει την πλευρά στο Ε, να αποδείξεις ότι: Ε. =Ε. 13. Σε ηµικύκλιο διαµέτρου φέρουµε τις εφαπτόµενες στα και και µία τρίτη εφαπτόµενη σε τυχαίο σηµείο Ε του ηµικυκλίου η οποία τέµνει την ευθεία στο Ζ και τις άλλες δύο εφαπτόµενες στα σηµεία και. Να αποδείξεις ότι τα σηµεία και είναι συζυγή αρµονικά των Ε και Ζ

25 γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) πό το µέσο Μ της πλευράς τριγώνου φέρουµε την παράλληλη στη διχοτόµο του η οποία τέµνει τις και στα σηµεία Ε και Ζ αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι: Ε=Ζ 134. Να βρεις το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος Ε που βλέπεις στο διπλανό σχήµα 1 3 Ε πό τυχαίο σηµείο της πλευράς ορθογωνίου τριγώνου (=90 ο ) φέρουµε κάθετη στο σηµείο Ε της. Να αποδείξεις ότι: i). τα τρίγωνα και Ε είναι όµοια ii).. Ε=. Ε 136. Στις πλευρές και τριγώνου θεωρούµε σηµεία και Ε αντιστοίχως, ώστε: 1 = AB και Ε= A. Να αποδείξεις ότι: i). τα τρίγωνα και Ε είναι όµοια 3 3 ii). B=3E 137. ίνεται γωνία xay=10 ο και ισόπλευρο τρίγωνο στο εσωτερικό της. ν οι x και y τέµνουν τις προεκτάσεις της στα σηµεία και Ε αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι: =. Ε 138. Να αποδείξεις ότι σε ορθογώνιο τρίγωνο (=90 ο ) µε ύψος, ισχύουν: i). =. ii). =. iii).. = ν, Ε και Ζ είναι τα ύψη και Η το ορθόκεντρο τριγώνου, να αποδείξεις ότι: Η. Η=Η. ΗΕ=Η. ΗΖ 140. ν Ε είναι το σηµείο τοµής της διχοτόµου τριγώνου µε τον περιγεγραµµένο του κύκλο, να αποδείξεις ότι: i). AB. A=. Ε ii). EB =EA. E

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΠΤΙΣ ΣΣΙΣ > 90. 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε = και 0 πό την κορυφή φέρνουµε τις ηµιευθείες x κάθετη στην πλευρά και y κάθετη στην πλευρά που τέµνουν την στα σηµεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε α)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. 6.5 6.6 ΘΩΡΙ. Ορισµοί Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα την και ɵ = 30 ο. Έστω διάµεσος του και, Ζ, Η τα µέσα των, και αντίστοιχα. Στην προέκταση του Ζ παίρνουµε τµήµα ΖΚ= Ζ. Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =

Διαβάστε περισσότερα

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια εωµετρία τάξης ενικού υκείου ΩΝΙΕΣ ρισµός: Έστω χ και ψ δύο ηµιευθείες που δεν έχουν κοινό φορέα και έστω p το ηµιεπίπεδο που έχει ακµή τον φορέα της Oχ και περιέχει την ψ και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το μισό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΘΕΜΑ 1 ο (α) Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο ή σε ίσους κύκλους, ίσα αποστήµατα αντιστοιχούν σε ίσες χορδές. (β) Να αποδειχθεί ότι κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθύγραµµου τµήµατος ισαπέχει

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A 1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου σελίδας 140

Γενικές ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου σελίδας 140 ενικές ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου σελίδας 40. ίνεται τρίγωνο ορθογώνιο στο. πό τα άκρα, της υποτείνουσας φέρουµε κάθετες x και y στη και προς το ίδιο µέρος της. πό το µέσο Μ της φέρουµε κάθετη στην, που τέµνει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και ΔΙΩΝΙΣΜ 1 Ο ΘΕΜ 1 Ο : ) Να αποδείξετε ότι : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα τα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της.(13 μονάδες) ) Να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Απέναντι πλευρές παράλληλες

Απέναντι πλευρές παράλληλες 5. 5.5 ΘΩΡΙ. Παραλληλόγραµµο πέναντι πλευρές παράλληλες. Ιδιότητες παραλληλογράµµου πέναντι πλευρές ίσες πέναντι γωνίες ίσες Οι διαγώνιοι διχοτοµούνται Το σηµείο τοµής των διαγωνίων είναι κέντρο συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Ο Να αποδείξετε ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της στην

Διαβάστε περισσότερα

5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4. ίνεται παραλληλόγραµµο και έστω, Μ τα µέσα των και αντίστοιχα Οι προεκτάσεις των τµηµάτων Μ και τέµνονται στο Ζ. Να αποδείξετε ότι Τα τρίγωνα Μ και ΜΖ είναι ίσα i Το τετράπλευρο

Διαβάστε περισσότερα

AΓ BΓ BΓ. = 40 MN = 2 AB + AΓ AN =

AΓ BΓ BΓ. = 40 MN = 2 AB + AΓ AN = 1 ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Οι πρωταρχικές έννοιες της Γεωμετρίας είναι το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο. Δεχόμαστε ότι: Από δύο διαφορετικά σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο ΥΣΕΙΣ ΙΩΝΙΣΜΤΣ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜ 1 ο ) Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή ως λάθος () καθεµία από τις επόµενες προτάσεις. ύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, όταν οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες.

Διαβάστε περισσότερα

1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα.

1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα. 1 1.5. ΟΜΟΙ ΤΡΙΩΝ ΘΩΡΙ 1. Όµοια τρίγωνα : ια τα όµοια τρίγωνα ισχύουν όλα όσα αναφέραµε στα όµοια πολύγωνα. 2. ποκλειστικά για τα τρίγωνα : ύο τρίγωνα είναι όµοια όταν έχουν δύο γωνίες ίσες ΣΧΟΛΙ 1. Οµόλογες

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται το ισοσκελές τραπέζιο µε ɵ = = 45 ο. Έστω Ε, Ζ τα µέσα των και αντίστοιχα και Η. πό το Z φέρνουµε παράλληλη στην που τέµνει την στο Θ. Να δείξετε ότι Το τετράπλευρο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (Τελευταία ενηµέρωση: Νοέµβριος 2016) Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη Περιεχόµενα 1 Αναλογίες 2 1.1 Το ϑεώρηµα του Θαλή.......................... 2 1.2 Τα ϑεωρήµατα των διχοτόµων......................

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου (1) (2) (1)

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου (1) (2) (1) σκήσεις σχ. ιβλίου σελίδας 6 7 ενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου. ίνεται τρίγωνο (β γ) µε Â = 60 ο, τα ύψη του, και τα µέσα Μ, Ν των, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι Μ = Ν. Τρ. ορθογώνιο µε Â = 60 ο M N ˆB

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων εωμετρία και Λυκείου ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜA Ορισμός Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, όταν // και //. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

Διαβάστε περισσότερα

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΙΑ ΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 2 και 3

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΙΑ ΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 2 και 3 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ Ι Τ ΚΦΛΙ και 3 1. Τι λέμε κυρτή γωνία, μη κυρτή γωνία, διχοτόμο γωνίας, κάθετες ευθείες. προβολή ή ίχνος σημείου σε ευθεία;. Πότε δύο σημεία λέγονται συμμετρικά ως προς ευθεία; 3. Τι λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόµος της γωνίας της κορυφής είναι και διάµεσος και ύψος.

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόµος της γωνίας της κορυφής είναι και διάµεσος και ύψος. ΙΩΝΙΣΜ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΟΥ 3/0/0 ΕΝΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜ ο ) Να αποδείξετε ότι δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και µόνο αν τα αποστήµατά τους είναι ίσα. Θεωρία, σελίδα 46 σχολικού βιβλίου Θεώρηµα III

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 3. 3.9 ΘΕΩΡΙ. Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 2. Είδη τριγώνων Ως προς τις πλευρές : Σκαληνό, ισοσκελές, ισόπλευρο. Ως προς τις γωνίες

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Η παρούσα σύνοψη παρουσιάζει τις προτάσεις του σχολικού βιβλίου που διδάχτηκαν την φετινή χρονιά,συνοπτικά δίχως αποδείξεις και με διαφορετική σειρά

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα 1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 5.0 5. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης σελίδας 4. Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση + 0 Στο σχήµα (α) το

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. β γ α β. α γ β δ. Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. β γ α β. α γ β δ. Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις (3) (4)

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις (3) (4) σκήσεις σχ. ιβλίου σελίδας 5 5 ενικές ασκήσεις. ανονικό εξάγωνο ΕΖ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, ) και έστω, Λ,, Ν, Ρ, Σ τα µέσα των πλευρών του. Να αποδείξετε ότι το ΛΝΡΣ είναι κανονικό εξάγωνο µε κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 5. 5.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 04 ρωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι Ορθογώνια, ρόµβοι, i τετράγωνα, ποια όχι και γιατί; (α) 5 (β) 5 (γ) (δ) (ε) (ζ) φ 5 φ 5 φ φ (η)

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ

1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 1 1. ΛΟΟΣ ΥΘΥΡΜΜΩΝ ΤΜΗΜΤΩΝ ΘΩΡΙ 1. Παραλληλία και ισότητα ν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα σε µία ευθεία τότε θα ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ

3.4 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ 1 3.4 ΙΙΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΡΜΜΥ ΡΘΩΝΙΥ ΡΜΥ ΤΕΤΡΩΝΥ ΤΡΠΕΖΙΥ ΙΣΣΚΕΛΥΣ ΤΡΠΕΖΙΥ ΘΕΩΡΙ 1. Ιδιότητες παραλληλογράµµου Το σηµείο τοµής των διαγωνίων του είναι κέντρο συµµετρίας (Το κέντρο συµµετρίας) ι διαγώνιες διχοτοµούνται,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Τα σηµεία και είναι σηµεία του επιπέδου, η είναι ευθεία του. Η τέµνει την Μ στον Μ Ν Ν. Το Ν σαν σηµείο της ανήκει στο, άρα και το Μ σαν σηµείο της Ν ανήκει στο. B. Έστω ε µια ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες. Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1) Οι οξείες

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί;

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 5. 5.2 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 00 ρωτήσεις ατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 3 Π 5 4 Π 2 5 5 Ο 3 4 Ο 4 Π 3 Ν 3 3 Μ 3,5 3,5 Λ Ρ φ Π 4 φ ω

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2013 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΩΝ ΑΝΑΡΓΥΡΩΝ ΤΑΞΗ Α ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ B Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Βασικές Γεωμετρικές ένοιες Τάξη : A Γυμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

(1) (2) A ΑE Α = AΒ (ΑΒΕ) (Α Ε)

(1) (2) A ΑE Α = AΒ (ΑΒΕ) (Α Ε) 9. Τα τρίγωνα και έχουν κοινή γωνία, άρα: () () A E AB A E A (1) Όµοια τα τρίγωνα και, άρα: () () A E AB A A () E Όµως από το θεώρηµα του Θαλή: A A () ( // ) () () πό (1), (), () έχουµε. () () Άρα () ()

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) : 5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης 0. 0.3 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 7 8 Ερωτήσεις κατανόησης. Να γράψετε τους τύπους υπολογισµού του εµβαδού Τετραγώνου Ορθογωνίου i Παραλληλογράµµου iν) Τριγώνου ν) Τραπεζίου πάντηση Ε = α Ε = α β

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Σε κύκλο (Ο, R) προεκτείνουµε µία διάµετρο του εκατέρωθεν των και και στις προεκτάσεις παίρνουµε τµήµατα = = R. Έστω ΕΜ τέµνουσα του κύκλου τέτοια ώστε Μ = R 7 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012 ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΤΣΙΜΙΣΚΗ &ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 - Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ: 919113 949422 www.syghrono.gr ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:... ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 05/01/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 05/01/10 ΥΕΙ ΙΑΩΝΙΜΑ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΥΚΕΙΟΥ 05/0/0 ΘΕΜΑ ο Α. Να αποδειχτεί ότι σε κάθε παραλληλόγραµµο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. Θεωρία σελίδα 97 B. Να χαρακτηρίσετε µε την ένδειξη σωστό () ή λάθος () καθεµιά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ. Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ. Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ; ΚΦΛΙΟ 4ο ΠΡΛΛΗΛΣ ΥΘΙΣ Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ; Οι σχετικές θέσεις δυο ευθειών ε και ε, οι οποίες βρίσκονται στο ίδιο

Διαβάστε περισσότερα