z k z + n N f(z n ) + K z n = z n 1 2N

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 6..5 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων Άσκηση (α) Έστω z το όριο της ακολουθίας z n, δηλ. για κάθε ɛ > υπάρχει N(ɛ) ώστε z n z < ɛ για n > N. Για n > N(ɛ), είναι z n z = n n (z k z) < n k= N k= z k z + n N n ɛ < ɛ, αν n > ɛ N(ɛ) k= z k z Επομένως, z n z. Το αντίστροφο δεν ισχύει, αφού π.χ., η ακολουθία z n = ( ) n+ δεν συγκλίνει, ενώ η z n = ( ( ) n )/n. (β) Αν η σειρά n z n συγκλίνει, είναι z n, υπάρχει N(δ) ώστε z n < δ για n > N. Για n > N(δ), παίρνουμε f(z n ) n= N f(z n ) + K n= n=n+ z n < Για f(z) = z, είναι f(z) < z για z <, n z n < n z n <. Το αντίστροφο δεν ισχύει, αφού π.χ., n /n < ενώ n /n =. (γ) Η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς n zn /n είναι lim n n n =. Για z, είναι z n n n < και N z n n z n n = z n n n N n= n= n= n= n=n+ n=n+ Η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς n zn /(n+), είναι lim n n n+ =. Για z (, ), είναι N z n n+ z n N n+ z n n+ N z n N z n=n για κάθε N υπάρχει z(n), με z(n) <, ώστε ( N ) zn /(n+) > /4. Η σειρά n= zn /n = n= z n /n συγκλίνει για z ή z, η σειρά ( n= + n= ) zn /n συγκλίνει μόνο για z =. (δ) (i) Η σειρά n= x n με x n = ( ) n /n, συγκλίνει αλλά όχι απόλυτα. Για την αναδιάταξή της y = (x, x 3, x,..., x 4k 3, x 4k, x k,...), είναι 3N n= y n = N k= N k k= N k = x n + n= N n=n+ n=n /N (n /)/N N n= dx x n + x (ii) Για x n = y n = ( ) n / n+, η σειρά n x n = n y n συγκλίνει αλλά όχι απόλυτα, και n n z n = k+ n k+ n/ + z n k= k= (iii) Η ακολουθία των συνεχών συναρτήσεων f n (z) = min{ z n, }, συγκλίνει στη συνάρτηση f(z) = ( z <, z ), η οποία δεν είναι συνεχείς στο μοναδιαίο κύκλο. Η σύγκλιση δεν είναι ομοιόμορφη, αφού για κάθε n είναι f n (z) f(z) = z n > / για n / < z <. (iv) Η ακολουθία των συναρτήσεων f n (z) = (n z z < /n, /z z /n), συγκλίνει στη συνάρτηση f(z) = ( z =, /z z ), αλλά όχι ομοιόμορφα. Για = [, ], είναι f n (z) dz = + dx x = + ln n /n (v) Από το ερώτημα (γ), η ακολουθία f n (z) = n k= zk /k συγκλίνει ομοιόμορφα στην κλειστή και φραγμένη περιοχή z, ενώ η ακολουθία f n(z) = n k= zk /k δεν συγκλίνει για z =.

2 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Άσκηση (α) Για συντομία, θέτουμε φ z = φ x + φ j y, ή πιο συνοπτικά D z = D x jd y, και DzD z = Dx + Dy. Από τις εξισώσεις auchy-iemann, παίρνουμε f (z) = D z u = jd z v και Dz f = Dz D zu =. Από τους κανόνες παραγώγισης D x = D x u D u +D x v D v και D y = D y u D u +D y v D v, προκύπτει D z = D z u D u + D z v D v = f D f, D zd z = D zf D f + f D zd f = f D fd f Επομένως, D x φ jd y φ = f (z) D u φ jd v φ και Dxφ + Dyφ = f (z) (Duφ + Dvφ). Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις Du u = Dv v = και Dv u = Du v =, παίρνουμε (D x + D y) u = f (z) (D u + D v) u = f (z), (D x + D y) (u +v ) = 4 f (z) Από τις σχέσεις D xφ + D yφ = f (z) (D uφ + D vφ) και f (z), παίρνουμε D xφ + D yφ = D uφ + D vφ = (β) (i) Αναπτύσσοντας τον αριθμητή σε δυνάμεις του (z+), παίρνουμε z (z+) = (z+) (z+) = (z+) + z+ (ii) Παραγοντοποιώντας τον παρονομαστή και αναπτύσσοντας σε απλά κλάσματα, παίρνουμε f(z) = z4 + 4z 3 + 4z z 3 + z z = z4 + 4z 3 + 4z 9/4 (z+) = (z+3) + (z ) z /4 z+ / (z+) Χρησιμοποιώντας τα αναπτύγματα Taylor z+ = / + (z )/ = παίρνουμε το ανάπτυγμα Laurent (z ) n ( ) n, ( ) (z+) = = z+ 4 f(z) = 9/4 z (z ) 8 n= (n+) (z ) n ( ) n, z < n+ ( ) n (z )n, < z < (iii) Χρησιμοποιώντας το παραπάνω ανάπτυγμα σε απλά κλάσματα και το ανάπτυγμα Taylor παίρνουμε το ανάπτυγμα Laurent f(z) = z = / (z+)/ = (z+) 4 (iv) Το ανάπτυγμα Laurent είναι z sin z = n= c n z n, c n = es z= (z+) n n, z+ < z (z+) 9 8 f(z) z n+ = (n+)! (z+) n n= d n+ dz n+ z= n, < z+ < z (z ) sin z Χρησιμοποιώντας το όριο sin(z)/z για z, οι πρώτοι συντελεστές είναι c = c =, c = c = 3, c = c 3 = 5,..., < z < π

3 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 3 (v) Το ανάπτυγμα Laurent είναι sin πz = k= c k (z n) k, c k = d k+ (k+)! dz k+ z=n Χρησιμοποιώντας τη σχέση sin π(z+n) = ( ) n sin πz, παίρνουμε c k = ( ) n π k c k, c k = (k+)! d k+ dz k+ z= z sin z (vi) Με διαίρεση δυναμοσειρών, παίρνουμε το ανάπτυγμα Taylor Επομένως, z cot z = z n sin πz, < z n < c =, c = 6, c 3 = 7 36,... cos z sin z/z = z /! + z 4 /4!... z /3! + z 4 /5!... = z 3 z , z < π cot πz = cot π(z n) = π(z n) π(z n) π3 (z n) 3..., < z n < 3 45 (γ) Από τους ορισμούς των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, παίρνουμε cosh jz = ejz + e jz cosh z sinh z = (cosh z + sinh z) (cosh z sinh z) = e z e z = cos z + sin z = (cos z + j sin z) (cos z j sin z) = e jz e jz = = cos z, sinh jz = ejz e jz cosh z = (cosh x + sinh x) ejy + (cosh x sinh x) e jy sinh z = (cosh x + sinh x) ejy (cosh x sinh x) e jy tanh z = (ez e z ) (e z + e z ) (e z + e z ) (e z + e z ) = ez+z e z z + e z z e z+z e z+z + e z z + e z z + e z+z cos z = cosh( y+jx) = cosh y cos x j sinh y sin x sin z = j sinh(y jx) = cosh y sin x + j sinh y cos x tan z = j tanh(y jx) = = j sin z, tanh jz = j sin z cos z = j tan z sin x + j sinh y cos x + cosh y = cosh x cos y + j sinh x sin y = sinh x cos y + j cosh x sin y cosh z = cosh x cos y + sinh x sin y = cosh x sin y sinh z = cosh x sin y + sinh x cos y = cosh x cos y = sinh x + j sin y cosh x + cos y cos z = cosh( y+jx) = cosh y sin x, sin z = sinh( y+jx) = cosh y cos x (δ) Από τους ορισμούς των υπερβολικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων, παίρνουμε sinh z = w e z e z = w e z = w + w + z = ln(w + w +) cosh z = w e z + e z = w e z = w + w z = ln(w + w ) tanh z = w e z = w (e z + ) e z = + w w z = ln + w w Η συναρτήσεις z και ln z έχουν σημείο διακλάδωσης στο z =. Η συνάρτηση sinh έχει σημεία διακλάδωσης στα w + = w = ±j και w + w + = =. Η συνάρτηση cosh έχει σημεία διακλάδωσης στα w = w = ± και w + w = =. Η συνάρτηση tanh έχει σημείο διακλάδωσης στο w =.

4 4 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Άσκηση 3 (α) (i) Οι πόλοι z k = j k e jπ/4, k=,,, 3, βρίσκονται στο εσωτερικό της καμπύλης z =, επομένως es z=z k z 4 + = k k z k z k = z 3 k ( j)(+)(+j) = z k 4, z = dz 3 z 4 + = jπ z k 4 = (ii) Οι πόλοι z k = j k, k =,,, 3, βρίσκονται στο εσωτερικό της καμπύλης z =, επομένως z 3 es z=z k z 4 = k k z = z k z k z k = ( j)(+)(+j) = 4, z = k= z 3 3 z 4 dz = jπ 4 = jπ (iii) Ο διπλός πόλος βρίσκεται στο εσωτερικό της καμπύλης ολοκλήρωσης, επομένως dz = jπ es (z )(z ) z= (z )(z ) = jπ d dz z = jπ z= (iv) Με αλλαγή μεταβλητής z /z, παίρνουμε z n e /z dz = z = z = e z dz = jπ zn+ (n+)! d n+ dz n+ e z = jn+ π (n+)! z= (v) Οι πόλοι z k = +k, k= n,..., n, βρίσκονται στο εσωτερικό της καμπύλης z =n, επομένως z z es tan πz = lim k z=z k zz k tan π(z z k ) = π, z =n tan πz dz = jπ n k= n k= π = j4n (β) Για ακτίνα >, ορίζουμε τις καμπύλες = [, ], = ej[,π], και =. (i) Η f(z) = z/(z + 4z + 3) έχει πόλους στα z, = = ± j3. Για > z,, είναι π ( 4 3), es f(z) = d z z=z dz (z z z=z ) = (z z ) z (z z ) 3 = j 54 x dx (x + 4x + 3) = = jπ es f(z) = π z=z 7 (ii) Η f(z) = /(z + a ) έχει πόλους στα z, = ±ja. Για > a, είναι π ( a ), es f(z) = z=z d dz (z z z=z ) = (z z ) 3 = j 4a 3 dx (x + a ) = = jπ es f(z) = π z=z 4a 3 (iii) Η f(z) = z e jz /(z + a ) έχει πόλους στα z, = ±ja. Για > a, είναι π ( a ), es f(z) = d z ejz z=z dz (z z ) = (+jz ) e jz (z z ) z e jz (z z ) 3 = e a 4a z=z x sin x (x + a ) dx = = π es f(z) = π j z=z 4 a e a

5 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 5 (iv) Η f(z) = ( e jz )/z, για πραγματικό x γίνεται f(x) = ( sin x j sin x)/x. Για < r <, στο εσωτερικό της καμπύλης r = ( r ) ( r ), η f(z) είναι αναλυτική και π, jπ ( j) = π r r sin x x dx = lim = r lim = π r r r (v) Η f(z) = ln(z) ln( z)/(+z ), με τομή διακλάδωσης την ημιευθεία j[, ), για πραγματικό x γίνεται f(x) = (ln x jπ sign(x) ln x )/(+x ). Για < r < <, στο εσωτερικό της καμπύλης r = ( r) ( r ), η f(z) έχει πόλο στο σημείο j και (ln + π) π, (ln r+π) r πr r r και ln(j) ln( j) es f(z) = = π z=j j j8 ln x + x dx = lim r r π3 = jπ es = z=j 8 (vi) Η f(z) = z ln(z/j)/(+z ), με τομή διακλάδωσης την ημιευθεία j[, ), για πραγματικό x γίνεται f(x) = x (ln x j sign(x)π/)/(+x ). Για < r < <, στο εσωτερικό της καμπύλης r = ( r) ( r ), η f(z) έχει πόλο στο σημείο j και (ln + π/) ( ) π, r (ln r+π/) ( r ) πr r r και es f(z) = d z ln(z/j) z=j dz (z+j) = j4 z=j x ln x ( + x ) dx = lim = jπ es = π r z=j 4 r (γ) Για τα σημεία ζ της καμπύλης είναι (ζ z ) = r, = r ζ z (ζ z ) Από τον ορισμό του μιγαδικού ολοκληρώματος, η πρώτη σχέση γίνεται ισοδύναμα f(z ) = jπ f(ζ) (ζ z) = F (ζ) όπου F (ζ) = jπ ζ z f(ζ) (ζ z )(z z ) /r η οποία προκύπτει από τον τύπο ολοκληρώματος του auchy για τη συνάρτηση F (z). Η δεύτερη σχέση προκύπτει από την πρώτη και τον τύπο ολοκληρώματος του auchy για την f(z).

6 6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά (δ) Η πρώτη σχέση προκύπτει από τη δεύτερη με z = z, χρησιμοποιώντας την z k z = r / z k z. Σημείωση: ο δεύτερος όρος του δεξιά μέλους είναι πραγματικός αριθμός, αφού /j(ζ z ) = dθ. Η συνάρτηση f(z), με μηδενικά στα σημεία z,..., z n, μπορεί να γραφεί στη μορφή f(z) = F (z) n k= z z k z z k όπου η F (z) είναι αναλυτική και μη-μηδενική στην περιοχή z z r. Η συνάρτηση ln F (z) είναι αναλυτική στην ίδια περιοχή, και από το ερώτημα (γ), για z z < r, παίρνουμε ln F (z) + ln F (z ) = e ln F (ζ) jπ ζ z Για κάθε ζ, είναι ζ z k = (ζ z ) ζ z (z k z ) = (ζ z k ) (z z k ) ζ z k ζ z k = z z k r = z z k z z k Προσθέτοντας κατά μέλη, παίρνουμε ln z z k z z k = ln ζ z k jπ ζ z k ln F (z) + ln f(z ) = e jπ από την οποία προκύπτει η δεύτερη ζητούμενη σχέση. ζ z ln f(ζ) ζ z Άσκηση 4 (α) (i) Από τον τύπο ολοκληρώματος του auchy, παίρνουμε f(z) = {, z < jπ ζ z =, z > (ii) Για ζ είναι ζ = /ζ, επομένως f(z) = ζ jπ ζ z = jπ {, z < (ζ z) ζ = /z, z > (iii) Με απ ευθείας ολοκλήρωση, παίρνουμε f(z) = jπ ζ z = jπ ln(ζ z) = ζ= jπ ln z + z Η συνάρτηση f(z) έχει τομή διακλάδωσης την καμπύλη και είναι f( ) =, f() =. (iv) Για ζ(t) = jt, με t [, ], είναι ζ ζ z = t jdt jt z = jz f(z) = jπ t dt t +z = jz ln(t +z ) = jz ln z + t = z ζ ζ z = jπ ζ z ζ jπ ζ z = z j ln jπ z+j + z π ln(+z ) Η συνάρτηση f(z) έχει τομή διακλάδωσης την καμπύλη και είναι f( ) =, f() = 4 + ln π.