ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1(ΑΝΑΛΥΣΗ)

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ (ΑΝΑΛΥΣΗ) Ι. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους. Η συνάρτηση = sin. Η συνάρτηση sin : -, [,], = sin είναι, αφού (sin ) = cos >, για κάθε -,. Άρα ορίζεται η συνάρτηση sin arcsin :[,] -,, sin = arcsin = Έτσι έχουμε : = sin sin =. Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της τελευταίας ισότητας ως ρος, και θεωρώντας =, λαμβάνουμε για το ανοικτό διάστημα -, : (sin ) = (sin ) = (cos ) = = =, cos -sin αφού για κάθε -,, ισχύει ότι cos >. Άρα έχουμε (sin ) =, (,) - = sin ή = arcsin - = + c= + c sin arcsin, (,)

2 . Η συνάρτηση = cos Ομοίως για τη συνάρτηση cos :[, ] [,], ορίζουμε την αντίστροφή της συνάρτηση [ ] [ ] cos arccos :,,, cos arccos = Έτσι έχουμε : = cos cos =, αό την οοία με αραγώγιση ως ρος, ροκύτει τελικά ότι: ( cos ) = -, (,) - = cos - = + c= + c cos arccos,, 3. Η συνάρτηση = tan. Η συνάρτηση tan : -, είναι στο διάστημα -,, αφού ( tan ) = + tan >, για κάθε -,. Άρα ορίζεται η συνάρτηση tan arctan : -,, tan = arctan =. Έτσι έχουμε = tan tan =, οότε με αραγώγιση της τελευταίας ως ρος λαμβάνουμε τελικά: + tan =, + = + = + tan c arctan c,

3 3 = tan 4. Η συνάρτηση = cot Ομοίως για τη συνάρτηση cot : (, ) ορίζεται η αντίστροφή της συνάρτηση cot arc cot : (, ), cot = arc cot και έχει αράγωγο cot = -, + = = cot + cot cot, = + c = arc + c

4 4 ΙΙ. Οι υερβολικές συναρτήσεις Υερβολικό ημίτονο Υερβολικό συνημίτονο - - e - e e + e sinh : =,, cosh : =, = cosh = sinh = coth = = tanh = Υερβολική εφατομένη Υερβολική συνεφατομένη - - sinh e - e cosh e + e tanh : = =,, coth : = =, - - cosh e + e sinh e - e *

5 5 Ιδιότητες cosh - sinh =, -tanh =, -coth = -, cosh sinh sinh( ± ) = sinh cosh ± cosh sinh cosh( ± ) = cosh cosh ± sinh sinh sinh = sinh cosh cosh = cosh + sinh sinh(- ) = -sinh, cosh(- ) = cosh, tanh(- ) = - tanh, coth(- ) = -coth - cosh sinh + = e, cosh -sinh = e > Παράγωγοι Ολοκληρώματα sinh = cosh, R sinh = cosh + c cosh = sinh, R cosh = sinh + c ( tanh ) = = - tanh tanh cosh = + c cosh ( coth ) = - = - coth = -coth + c sinh sinh ΙΙΙ. Οι αντίστροφες των υερβολικών συναρτήσεων. Η συνάρτηση f ( ) = sinh είναι γνησίως αύξουσα στο, αφού f ' = cosh>, για κάθε. Εομένως ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της, η οοία μορεί να ροσδιοριστεί αό την είλυση της εξίσωσης = sinh ως ρος. Έχουμε - e -e sinh = = e = e e = e e = = e > = ln + +,. Άρα έχουμε τη συνάρτηση Είσης έχουμε :,για κάθε (αφού ) sinh :, = sinh = ln + +. sinh =,, + = ln ( + + ) + c= sinh + c,. +

6 6 = sinh = = cosh = sinh = = cosh. Η συνάρτηση f ( ) = cosh δεν είναι στο, είναι όμως στο [, + ), ο- ότε αό την είλυση της εξίσωσης = cosh στο [, + ) έχουμε - e + e =, ( e ) -e + =, e = +, για. Άρα ορίζεται η συνάρτηση cosh :[, + ) [, + ), = cosh = ln +. Είσης έχουμε: ( cosh ) =, >, ln ( ) c,. = + + > ' 3. Η συνάρτηση f ( ) = tanh είναι στο, αφού f =, cosh > για κάθε, οότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της. Εειδή είναι - e -e e = tanh = =, e + ( + ) =, - e + e e e =, < = ln, <, - - έχουμε τη συνάρτηση : Ειλέον έχουμε: + tanh : (,), tanh = ln. - ( tanh ) =, <, - + = tanh + c= ln c, <.

7 7 = tanh = coth * 4. Η συνάρτηση f = coth, είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα αό τα διαστήματα (, ],[, + ) αλλά και στο εδίο ορισμού της, οότε ορίζεται η * αντίστροφη συνάρτησή της. Έχουμε σχετικά: e + + = = e = + e = > e coth,,, για + = ln, >. Άρα ορίζεται η συνάρτηση cot h :(-,) (, + ) * με τύο + coth = ln, >. Είσης έχουμε: coth =, > και - + = coth = ln c,. + > - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. (Λογαριθμική αραγώγιση). Δίνονται οι συναρτήσεις : + (α), ( ) = >, (β) 3, ή ( + ) =, (γ) =, Α. ( + + ) 3 cos Να ροσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό σύνολο Α. Στη συνέχεια θεωρώντας το φυσικό λογάριθμο των δύο μελών των ισοτήτων και αραγωγίζοντας ως ρος να ροσδιορίσετε την αράγωγο των δεδομένων συναρτήσεων.

8 8. (α)να μελετηθεί και να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση ln f =, >. (β) Να ροσδιορίσετε το λήθος των κοινών σημείων των γραφικών αραστάσεων των συναρτήσεων = και =. 3. Να μελετηθεί και να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f = e,. Ποια είναι τα ολικά ακρότατα της f ; 4. (α) Να αοδείξετε ότι: tan >, για κάθε,. (β) Να αοδείξετε ότι: sinh >, για κάθε >. 5. Η συνάρτηση sec (τέμνουσα ) ορίζεται αό την ισότητα sec : =, k +, k. cos (Α) Να αοδείξετε ότι ορίζεται η συνάρτηση sec :(-,] [, + ) [, ) (, ] και ισχύουν: (i) sec = cos και (ii) (sec ),. = > (Β) Να γίνει η γραφική αράσταση των συναρτήσεων = sec και = sec 6. Να αοδείξετε τις ισότητες : (i) = < - sin tan,. (ii) sec αν > = αν < tan, -tan, 7. Να ροσδιορίσετε τα όρια : e - + ln (α) lim, (β) lim sin + cos (δ) lim(cos ), (ε) lim tan., (γ) lim ln + +, 8. Χρησιμοοιώντας την αντικατάσταση = at, a>, να αοδείξετε ότι : (α) sin = + c, a. a - a < (β) = tan + c, a + a a a (γ) sec c cos c, - a = a a + = a + > a.