ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής"

Transcript

1 Σηµειωσεις: ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Θ. Κεχαγιάς Σεπτέµβρης 9 v..85

2 Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Ορια 3 3 Παραγωγοι και ιαφορικα 4 3. Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Αοριστα Ολοκληρωµατα 3 4. Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Τεχνικες Ολοκληρωσης 9 5. Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Ορισµενα Ολοκληρωµατα και Εµβαδον Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Μηκος Τοξου και Κεντρο Βαρους Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα iii v i

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 8 Στερεα εκ Περιστροφης Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Παραµετρικες Καµπυλες Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Πολικες Συντεταγµενες 8.Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Αριθµητικες Ακολουθιες και Σειρες 9.Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Σειρες T aylor.θεωρια λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Α Η Εκθετικη συναρτηση 4 Α. Ορισµος και Ιδιοτητες της Εκθετικης Συναρτησης Επιλογος 7 ii

4 Προλογος Το παρον τευχος περιεχει συντοµες σηµειωσεις ϑεωριας, λυµενες και αλυτες ασκησεις Λογισµου Συναρτησεων µιας Μεταβλητης. Το τευχος προοριζεται για χρηση απο τους ϕοιτητες της Πολυτεχνικης Σχολης του Αριστοτελειου Πανεπιστηµιου Θεσσαλονικης, ως συµπληρωµα των διδακτικων ϐιβλιων που διανεµονται σε αυτους. Σε καθε τους ϕοιτητη που ϑα χρησιµοποιησει αυτο το τευχος (και γενικοτερα σε καθε ϕοιτητη που µελετα τα µαθηµατικα) εχω να δωσω τρεις συµβουλες.. Λυσε οσο περισσοτερες ασκησεις µπορεις.. ειξε εµπιστοσυνη. 3. Μην κανεις την Ϲωη σου πιο δυσκολη απ οτι ειναι απολυτως απαραιτητο. Πιο αναλυτικα, η πρωτη συµβουλη εχει το εξης νοηµα. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους απο εµας, ο µονος τροπος εξοικειωσης µε τα µαθηµατικα ειναι η επιλυση ασκησεων οσο περισσοτερες ασκησεις τοσο καλυτερα. Συµφωνα µε αυτη την αποψη, στο παρον τευχος η ϑεωρια παρουσιαζεται σε µεγαλη συντοµια, αλλα υπαρχει µεγαλος αριθµος λυµενων και αλυτων ασκησεων. Ο αναγνωστης πρεπει να χρησιµοποιησει τις λυµενες ασκησεις ως ενα ενδιαµεσο ϐοηθηµα για την επιλυση των αλυτων ασκησεων. Με αλλα λογια, αν ο αναγνωστης δεν λυσει ο ιδιος µεγαλο αριθµο των αλυτων ασκησεων δεν ϑα ωφεληθει ιδιαιτερα (δεν αρκει δηλ. να µελετησει τις ηδη λυµενες ασκησεις). Η δευτερη συµβουλη σηµαινει οτι (παρα την εντυπωση καποιων ϕοιτητων) ο σκοπος του διδασκοντα δεν ειναι να κοψει οσο γινεται περισσοτερους ϕοιτητες... συνηθως µαλιστα ειναι ακριβως το αντιθετο. Το νοηµα της τριτης συµβουλης ειναι το εξης : οταν προσπαθεις να λυσεις µια ασκηση, ξεκινησε απο την απλουστερη δυνατη λυση που µπορεις να ϕανταστεις... και µετα προσπαθησε να απλοποιησεις αυτη την λυση. Αν η απλη λυση δεν δουλεψει, µπορεις παντα να δοκιµασεις καποια πιο περιπλοκη. Ειναι δυσκολο, αφου εχεις δηµιουργησει ενα περιπλοκο µοντελο στο µυαλο σου να αρχισεις να αφαιρεις απο αυτο ετσι ωστε να γινει απλουστερο. Ειναι πολυ πιο ευκολο να αρχισεις µε λιγα συστατικα και να προσθετεις ενα ακοµα καθε ϕορα που το χρειαζεσαι. Πρεπει να τονισω επισης οτι η εµφαση του τευχους ειναι σε υπολογιστικες και ο- χι σε αποδεικτικες ασκησεις. Οπου εµφανιζονται αποδειξεις ειναι διαισθητικες και οχι αυστηρες και χρησιµοποιουνται για να οξυνουν την διαισθηση και την κατανοηση του ηλ. παραγωγισης και ολοκληρωσης iii

5 αναγνωστη ολες αυτες οι αποδειξεις µπορουν να γινουν αυστηρες, αλλα ϑεωρω οτι αυτο εκφευγει απο τους στοχους του παροντος τευχους. Το τευχος δεν εχει παρει ακοµη την τελικη του µορφη. Ειναι πιθανον καποιες λυσεις και απαντησεις να περιεχουν λαθη. Καθως η διαδικασια της αποσφαλµατωσης ϑα εξελισσεται (και τα υπαρχοντα λαθη ϑα διορθωνονται) ϑα δηµοσιευω ϐελτιωµενες εκδοσεις. Η παρουσα εκδοση εχει τον κωδικο v..85 δηλ., για να χρησιµοποιησω εναν ορο αναπτυξης λογισµικου, ειναι ακοµα σε µορφη beta. Εποµενες εκδοσεις ϑα χαρακτηριζονται απο µικροτερο αριθµο σφαλµατων και µεγαλυτερους κωδικους η πρωτη τελικη εκδοση ϑα ειναι η v... Παντως ελπιζω (πιστευω) οτι η παρουσα µορφη ϑα αποδειχτει αρκετα χρησιµη στους ϕοιτητες. Θανασης Κεχαγιας Θεσσαλονικη, Σεπτεµβρης 9 iv

6 Εισαγωγη Η λεξη Λογισµος (στα Αγγλικα Calculus ) µπορει να εχει πολλες εννοιες, αλλα στα Μαθηµατικα η πιο συνηθισµενη χρηση της ειναι στην εκφραση Λογισµος Συναρτησεων µιας Μεταβλητης και ϐασικα σηµαινει παραγωγιση και ολοκληρωση µιας συναρτησης. Και αυτο ειναι το αντικειµενο του παροντος τευχους. Ωστοσο, η ϐασικη ιδεα του Λογισµου (Συναρτησεων µιας Μεταβλητης) ειναι η χρηση του οριου µιας συναρτησης και µαλιστα ενας πολυ συγκεκριµενος τροπος χρησης : µας δινεται µια συναρτηση f (x) και µελετουµε την µεταβολη της συναρτησης f = f (x + x) f (x) οταν το x µεταβαλλεται και γινεται x και επιπλεον µας ενδιαφερει η περιπτωση οπου το x ειναι πολυ µικρο, τοσο µικρο που τεινει στο µηδεν. Η δε παραγωγιση και ολοκληρωση ειναι διαδικασιες που οριζονται µεσω της εννοιας του οριου. Αυτη η ϐασικη ιδεα ειναι πολυ χρησιµη σε διαφορα µαθηµατικα προβληµατα και η- ταν ηδη γνωστη (σε µια αρχικη µορφη) στους αρχαιους Ελληνες 3. Οµως η συστηµατικη χρηση της καθιερωθηκε απο τους Ευρωπαιους µαθηµατικους του 7ου αιωνα. Επιπλεον, οι µαθηµατικοι αυτοι ανεπτυξαν µεθοδους που επιτρεπουν την χρηση των οριων σε πολλα διαφορετικα προβληµατα µε εναν ενοποιηµενο και σχεδον µηχανικο τροπο. Με χρηση των µεθοδων αυτων µπορουµε πλεον να λυνουµε µε τυποποιηµενο και ευκολο τροπο προβληµατα (π.χ. υπολογισµο εµβαδων, µεγιστοποιηση και ελαχιστοποιηση συναρτησεων) τα οποια (πριν την αναπτυξη του Λογισµου) δυσκολεψαν µερικους απο τους µεγαλυτερους µαθηµατικους της ανθρωποτητας. Με αυτη λοιπον την ιστορια ϑα ασχοληθουµε στο παρον τευχος. Με τον ορο συναρτηση µιας µεταβλητης εννοουµε µια συναρτηση f (x) µε πεδιο ορισµου και πεδιο τιµων το συνολο των πραγµατικων αριθµων : f : R R. Ο Λογισµος των Συναρτησεων µιας Μεταβλητης ειναι η µελετη µεθοδων παραγωγισης και ολοκληρωσης τετοιων συναρτησεων καθως και σχετικες εφαρµογες. Επισης σηµαντικη ειναι η µελετη της αναπτυξης συναρτησεων σε δυναµοσειρες. Θα χρησιµοποιησουµε τον τυπικο µαθηµατικο συµβολισµο, ο οποοιος σας ειναι γνωστος απο το Λυκειο. Σηµειωνουµε ιδιατερα τα εξης.. Η τετραγωνικη ϱιζα του συµβολιζεται µε i: = i, i =.. Το συνολο των πραγµατικων αριθµων συµβολιζεται µε R και αυτο των µιγαδικων αριθµων µε C. 3. Ο συµβολισµος αθροισµατος ειναι : N n= a n = a + a a N. Και η δευτερη πιο συνηθισµενη στην εκφραση Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων. 3 Π.χ. την εχει χρησιµοποιησει ο Αρχιµηδης. v

7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 4. Η λεξη ανν σηµαινει αν και µονο αν. vi

8 Κεφάλαιο Βασικες Συναρτησεις Η εκθετικη συναρτηση e x ειναι ισως η πιο ϐασικη συναρτηση των µαθηµατικων. Η λογα- ϱιθµικη συναρτηση ln x ειναι η αντιστροφη της εκθετικης. Οι τριγωνοµετρικες συναρτησεις ειναι το ηµιτονο (συµβολιζεται sin x), το συνηµιτονο (συµβολιζεται cos x), η εφαπτοµενη (tan x = sin x cos x ), η συνεφαπτοµενη (cot x = cos x sin x ), η τεµνουσα (sec x = ) και η συντεµνουσα (csc x = cos x sin x ). Οι ορισµοι και οι ιδιοτητες αυτων των συναρτησεων µας ειναι γνωστες απο το λυκειο. Οµως τωρα ϑα δωσουµε νεους (ισοδυναµους µε τους ηδη γνωστους) ορισµους αυτων των συναρτησεων. Οι υπερβολικες συναρτησεις οριζονται παροµοια µε τις τριγωνοµετρικες και εχουν πολλες αναλογες ιδιοτητες.. Θεωρια... Θεωρουµε τις ϐασικες ιδιοτητες της εκθετικης συναρτησης e x γνωστες.... Λαµβανουµε τυχοντα πραγµατικο αριθµο x και σχηµατιζουµε την ακολουθια ( f n (x) = + x ) ( + x ) (... + x ). } n {{ n n } n ϕορες Για καθε x R οι f (x), f (x),... ικανοποιουν f (x) f (x)... f n (x) f n+ (x)... e x και, καθως το n τεινει στο απειρο, η f n (x) τεινει στο e x, το οποιο γραφεται ως εξης : ( + n) x n e x. n..3. Η λογαριθµικη συναρτηση ln x ειναι η αντιστροφη της εκθετικης : y = ln x x = e y. Θεωρουµε τις ϐασικες ιδιοτητες της λογαριθµικης συναρτησης γνωστες. Οι ακολουθιες ϑα µελετηθουν στο Κεφαλαιο.

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ..4. Ολες οι ιδιοτητες των τριγωνοµετρικων συναρτησεων µπορουν να αποδειχτουν απο τον παρακατω τυπο e ix = cos x + i sin x (.) και τις ιδιοτητες Οι (.), (.) ϑα αποδειχτουν στο Κεφ Απο τις (.), (.) αποδεικνυεται οτι..6. Ισχυουν οι σχεσεις cos ( x) = cos x, sin ( x) = sin x. (.) cos x = eix + e ix, sin x = eix e ix. (.3) i sinh (ix) = i sin x, sin (ix) = i sinh x, cosh (ix) = cos x, cos (ix) = cosh x...7. Οι αντιστροφες τριγωνοµετρικες συναρτησεις οριζονται ως εξης. arcsin(x) = y x = sin(y) arccos(x) = y x = cos(y) arccos(x) = y x = tan(y) arccot(x) = y x = cot(y) arcsec(x) = y x = sec(y) arccsc(x) = y x = csc(y)...8. Οι υπερβολικες συναρτησεις οριζονται κατ αντιστοιχια των τριγωνοµετρικων, οπως ϕαινεται απο τους παρακατω τυπους, και εχουν παροµοιες ιδιοτητες. υπερβολικο ηµιτονο : sinh(x) = ex e x υπερβολικο συνηµιτονο : cosh(x) = ex + e x υπερβολικη εφαπτοµενη : tanh(x) = ex e x e x + e x υπερβολικη συνεφαπτοµενη : coth(x) = ex + e x e x e x υπερβολικη τεµνουσα : sec h(x) = e x + e x υπερβολικη συντεµνουσα : csc h(x) = e x e. x

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Οι αντιστροφες υπερβολικες συναρτησεις οριζονται ως εξης. arc sinh (x) = y x = sinh(y) arc cosh (x) = y x = cosh(y) arc tanh(x) = y x = tanh(y) arc coth(x) = y x = coth(y) arc sec h(x) = y x = sec h(y) arc csc h(x) = y x = csc h(y).... Ισχυουν και τα εξης ( arc sinh (x) = ln x + ) x +, < x < (.4) ( arc cosh (x) = ln x + ) x, x (.5) arc tanh(x) = ( ) + x ln, < x < (.6) x arc coth(x) = ( ) x + ln, x > η x < (.7) x ( ) x arc sec h(x) = ln x +, < x (.8) x ( ) + x arc csc h(x) = ln x +, x. (.9) x

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4. Λυµενα Προβληµατα... Αποδειξτε την (.3) Λυση Στον ορισµο (.) ϑετουµε στην ϑεση του x το x και εχουµε e ix = cos ( x) + i sin ( x) = cos x i sin x (.) (οπου χρησιµοποιησαµε τις (.) ). Προσθετοντας κατα µελη τις (.) και (.) παιρνουµε την cos x = eix + e ix. Αφαιρωντας κατα µελη παιρνουµε την sin x = eix e ix. i... Αποδειξτε οτι cos x + sin x =. Λυση ( ) e cos x + sin ix + e ix ( ) e ix + e ix x = + i = eix + e ix + eix + e ix = =...3. Αποδειξτε οτι sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b Λυση Εχουµε sin a cos b + cos a sin b = eia e ia eib + e ib + eia + e ia eib e ib i i = ei(a+b) e i( a+b) + e i(a b) e i(a+b) 4i + ei(a+b) + e i( a+b) e i(a b) e i(a+b) 4i = ei(a+b) e i(a+b) = sin (a + b). 4i..4. Αποδειξτε οτι sin a = tan a +tan a Λυση tan a + tan a = sin a/ cos a + sin a/ cos a = sin a/ cos a (cos a + sin a ) = sin a. / cos a..5. Αποδειξτε οτι sin(a) = sin a cos a Λυση sin a cos a = eia e ia eia + e ia i = eia+ia e ia e ia + e ia ia e a ia i = eia e ia = sin (a). i

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αποδειξτε οτι sin a cos b = sin(a b)+sin(a+b) Λυση sin(a b) + sin(a + b) sin a cos b cos a sin b + (sin a cos b + cos a sin b) = = sin a cos b...7. Αποδειξτε οτι sin a + sin b = sin ( ) ( a+b cos a b ) Λυση Εχουµε απο την..6 οτι sin A cos B = sin(a B) + sin(a + B). Θετοντας A = a+b, B = a b, εχουµε A B = b, A + B = a, οποτε ( ) ( ) a + b a b sin(a) + sin(b) sin cos = απο το οποιο προκυπτει το Ϲητουµενο...8. Σχεδιαστε την συναρτηση cosh x. Λυση Θυµηθειτε οτι cosh x = ex +e x. ειτε τωρα το σχηµα.. Με διακεκοµµενες γραµµες απεικονιζονται οι e x, e x. Με συνεχη γραµµη απεικονιζεται η cosh x, η οποια ειναι ο µεσος ορος των δυο εκθετικων. Ετσι ϕαινεται καθαρα οτι lim x ± cosh x =. Επισης ϐλεπουµε στο σχηµα οτι η ελαχιστη τιµη της cosh x ειναι το cosh =. Αυτο Σχήµα.: Η γραφικη παρασταση της cosh x. µπορει να αποδεχιτει ϐρισκοντας µε χρηση παραγωγων τις µεγιστες και ελαχιστες τιµες της cosh x (καντε το!) η, πιο απλα, ως εξησ: ( cosh x = ex + e x = ex + e x e x/ e x/) =

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6 και η ελαχιστη τιµη cosh x = (δηλαδη cosh x = ) επιτυγχανεται οταν e x/ e x/ = e x/ = e x/ e x = x =...9. Σχεδιαστε την συναρτηση sinh x. Λυση Θυµηθειτε οτι sinh x = ex e x. ειτε τωρα το σχηµα.. Με διακεκοµµενες γραµµες απεικονιζονται οι e x, e x. Με συνεχη γραµµη απιεκονιζεται η sinh x, η οποια ειναι το µισο της διαφορας των δυο εκθετικων. Ετσι ϕαινεται καθαρα οτι lim x sinh x = και lim x sinh x =. Επισης ϕαινεται και οτι Σχήµα.: Η γραφικη παρασταση της sinh x. = sinh x = ex e x δηλ. η µοναδικη ϱιζα της sinh x = ειναι η x =. e x = e x x =... Σχεδιαστε την συναρτηση tanh x. Λυση Εχουµε tanh x = sinh x cosh x = ex e x e x + e. x Οποτε e x e x e x lim tanh x = lim tanh x = lim = lim x x x e x + e x x + e = x + =. Με αντιστοιχο τροπο ϐρισκουµε lim x tanh x = και ευκολα ϕαινεται επισης οτι η µονη ϱιζα της tanh x = ειναι η x =. Αυτες οι παρατηρησεις συνοψιζονται στην γραφικη παρασταση του σχηµατος.3.

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7... Αποδειξτε οτι Λυση Εχουµε Σχήµα.3: Η γραφικη παρασταση της tanh x. sinh ( x) = sinh x, cosh ( x) = cosh x. (.) sinh ( x) = e x e ( x) = ex e x = sinh x. Το cosh ( x) = cosh x αποδεικνυεται παροµοια.... Αποδειξτε οτι cosh x sinh x =. Λυση ( ) e cosh x sinh x + e x ( ) e x e x x = = ex + e x + ex + e x = =...3. Αποδειξτε οτι sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y Λυση Εχουµε sinh x cosh y + cosh x sinh y = ex e x ey + e y + ex + e x ey e y = ex+y e x+y + e x y e (x+y) 4 + ex+y + e x+y e x y e (x+y) 4 = ex+y e (x+y) = sinh (x + y). 4

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αποδειξτε οτι sinh(x) = sinh x cosh x Λυση Στον τυπο του..3 ϑετουµε y = x και εχουµε sinh (x) = sinh(x + x) = sinh x cosh x + cosh x sinh x = sinh x cosh x...5. Αποδειξτε οτι sinh x + sinh y = sinh ( ) ( x+y cosh x y ) Λυση Εχουµε ( ) ( ) x + y x y sinh cosh = e x+y e x+y e x y + e x y..6. Αποδειξτε οτι Λυση Εστω z = arc sinh(x). Τοτε = e x+y+x y e x y+x y + e x+y x+y e x y x+y = ex e x + e y e y = sinh x + sinh y. ( arc sinh(x) = ln x + ) x + x = sinh z = ez e z e z x e z =. Θετουµε a = e z, οποτε εχουµε a x a = και πολλαπλασιαζουµε µε a, οποτε παιρνουµε a xa =. Λυνουµε ως προς a και παιρνουµε e z = a = x ± x +. Αλλα η ϱιζα a = x x + ειναι αρνητικη και απορριπτεται (αφου a = e z > ). Οποτε a = e z = x + ( x + z = ln x + ) x Εξηγειστε γιατι το πεδιο ορισµου της arc sinh (x) ειναι το R. Λυση Θυµηθειτε οτι arc sinh (x) = ln ( x + x + ). Ενας τροπος για να εξηγηθει το Ϲητουµενο ειναι να παρατηρησουµε οτι x + > x, οποτε x + x + > και αρα στην ln ( x + x + ) µπορουµε να ϐαλουµε οποιοδηποτε x R (ϑυµηθειτε οτι το ορισµα της λογαριθµικης συναρτησης πρεπει να ειναι ϑετικο). Ενας αλλος τροπος ειναι να δουµε στο σχηµα.4 την γραφικη παρασταση της arc sinh (x), η οποια ειναι η συµµετρικη της sinh x ως προς την ευθεια x = y (γιατι ;). Στην γραφικη παρασταση ϐλεπουµε οτι για καθε x R υπαρχει η αντιστοιχη τιµη arc sinh x.

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9 Σχήµα.4: Η γραφικη παρασταση της arc sinh x...8. Εξηγειστε γιατι το πεδιο ορισµου της arc cosh (x) ειναι το [, ). Λυση Εχουµε arc cosh (x) = ln ( x + x ). Αρα λοιπον, αποδεκτες τιµες του x ειναι αυτες που ικανοποιουν x και x + x >. Για να ικανοποιηθει η πρωτη συνθηκη, πρεπει x. Επειδη δε x > x, για να ικανοποηθει η δευτερη συνθηκη πρεπει να εχουµε x >. Απο τις x > και x προκυπτει x, δηλ. το Ϲητουµενο, το οποιο µπορουµε επισης να καταλαβουµε απο την γραφικη παρασταση της arc cosh x, η οποια δινεται στο σχηµα.5. Σχήµα.5: Η γραφικη παρασταση της arc cosh x...9. Εξηγειστε γιατι arc tanh(x) = ln ( +x x), < x <. Λυση Αυτο µπορουµε να το δουµε απο την γραφικη παρασταση της arc tanh x, η οποια δινεται στο σχηµα.6 (απο την συµµετρικη της tanh x ως προς την ευθεια x = y).

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σχήµα.6: Η γραφικη παρασταση της arc tanh x. Επισης το Ϲητουµενο µπορει να αποδειχτει και εξταζοντας για ποιες τιµες του x ισχυει +x > (καντε το!). x

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3 Αλυτα Προβληµατα.3.. Αποδειξτε τους παρακατω τυπους.. sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b. cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b 3. tan(a ± b) = tan a±tan b tan a tan b.3.. Αποδειξτε οτι cos a = +tan a Αποδειξτε τους παρακατω τυπους.. cos(a) = cos a sin a = cos a. tan(a) = tan a tan a Αποδειξτε τους παρακατω τυπους.. sin(3a) = 3 sin a 4 sin 3 a. cos(3a) = 4 cos 3 a 3 cos a 3. tan(3a) = 3 tan a tan3 a 3 tan a Αποδειξτε τους παρακατω τυπους.. sin a sin b = cos(a b) cos(a+b). cos a cos b = cos(a b)+cos(a+b).3.6. Αποδειξτε τους παρακατω τυπους.. sin a + sin b = sin ( ) ( a+b cos a b ). cos a + cos b = cos ( ) ( a+b cos a b ) 3. cos a cos b = sin ( ) ( a+b sin b a ).3.7. Αποδειξτε οτι tanh (x) =.3.8. Αποδειξτε οτι cosh (x).. sinh(x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y. cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y 3. tanh(x ± y) =.3.9. Αποδειξτε οτι tanh x±tanh y ±tanh x tanh y

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. cosh(x) = cosh x + sinh x = cosh x. tanh(x) = tanh x.3.. Αποδειξτε οτι +tanh x.. sinh x sinh y = cosh ( ) ( x+y sinh x y ). cosh x + cosh y = cosh ( ) ( x+y cosh x y ) 3. cosh x cosh y = sinh ( ) ( x+y sinh x y )..3.. Αποδειξτε οτι. sinh (ix) = i sin x. sin (ix) = i sinh x 3. cosh (ix) = i cos x 4. cos (ix) = i cosh x.3.. Αποδειξτε οτι. arc sinh(x) = ln ( x + x + ) ( < x < ),. arc cosh(x) = ln ( x + x ) ( x), 3. arc tanh(x) = ln ( +x x) ( < x < ), 4. arc coth(x) = ln ( x+ x ) (x > η x < ), ( ) 5. arc sec h(x) = ln, < x ( 6. arc csc h(x) = ln.3.3. Αποδειξτε οτι + x x x + +x x x ), x.. arcsin(x) = i ln ( ix + x ),. arccos(x) = i ln ( x + x ), 3. arctan(x) = i ln ( ix +ix).

20 Κεφάλαιο Ορια 3

21 Κεφάλαιο 3 Παραγωγοι και ιαφορικα Η παραγωγος f (x) της συναρτησης f (x) ειναι ο ϱυθµος µεταβολης της f (x). Στο παρον κεφαλαιο παρουσιαζουµε µονο τον ορισµο και τις ϐασικες ιδιοτητες της παραγωγου. Οι διαφορες εφαρµογες της παραγωγου ϑεωρουνται γνωστες. 3. Θεωρια 3... Η παραγωγος µιας συναρτησης f (x) συµβολιζεται µε f (x) και οριζεται ως εξης f (x) = lim x f (x + x) f (x). x 3... Τα παρακατω Ϲευγη f (x) /f (x) ειναι ϐασικα και καλο ϑα ειναι να τα αποµνηµονευσετε. f (x) f (x) x x x x n nx n sin x cos x cos x sin x tan x cos x sinh x cosh x cosh x sinh x e x e x ln x Στον παρακατω πινακα συνοψιζονται µερικες ϐασικες ιδιοτητες της παραγωγου. Η τυπικη συναρτηση F (x) δινεται στην πρωτη στηλη και η παραγωγος αυτης F (x) στην x 4

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΑ 5 δευτερη. F (x) F (x) f (x) f (x) f (x) + g (x) f (x) + g (x) c f (x) c f (x) (οπου c µια σταθερα) f (x) g (x) f (x) g (x) + f (x) g (x) f(x) g(x) f (h (x)) f(x) g (x)+f (x) g(x) Η παραγωγος της f (x) συµβολιζεται και ως οπου (οταν g (x) ) g (x) f (h (x)) h (x) df dx = lim x f x = f (x) f = f (x + x) f (x) ειναι η µεταβολη της f οταν το x µεταβαλλεται κατα x Ισχυει προσεγγιστικα οτι f (x) f x και f f (x) x. (3.) Η προσεγγιση ειναι τοσο καλυτερη οσο µικροτερο ειναι το x Ο συµβολισµος df τονιζει οτι η παραγωγος ειναι ο λογος της µεταβολης f ως dx προς την µεταβολη x οταν τα x και f γινονται πολυ µικρα Αν και το συµβολο df δεν ειναι κλασµα, πολλες ϕορες το µεταχειριζοµαστε ως dx κλασµα, π.χ. γραφουµε df = f (x) dx. (3.) Η ποσοτητα df στην (3.) ονοµαζεται διαφορικο της f (x). Στην ουσια η (3.) ειναι µια συντοµογραφια της εκφρασης η f ειναι περιπου ιση µε την f (x) x οταν το x ειναι αρκετα µικρο. Οπως ϑα δουµε στα εποµενα κεφαλαια, ο συµβολισµος df = f (x) dx ειναι πολυ χρησιµος (π.χ. στον υπολογισµο ολοκληρωµατων) και γενικα µπορουµε να χειριζοµαστε το df ως κλασµα (αν και αυτο δεν ειναι αυστηρα σωστο). dx Μερικες ϕορες µια συναρτηση y (x) οριζεται σε πλεγµενη µορφη, απο µια εκφραση P (x, y) =. Η εκφραση αυτη καθοριζει οτι οι x και y ϐρισκονται σε καποια (συναρτησιακη) σχεση, αλλα ισως δεν µπορουµε να λυσουµε P (x, y) = και να ϐρουµε την y (x) ως συναρρτηση του x. Παρολα αυτα, πολλες ϕορες ειναι δυνατο να υπολογισουµε την y (x) ως συναρτηση των x και y (δειτε και τα παραδειγµατα ).

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΑ 6 3. Λυµενα Προβληµατα 3... Υπολογιστε την παραγωγο της f (x) = x ϐασει του ορισµου. Λυση f (x) = lim x f (x + x) f (x) = lim x x x + x x = lim x x 3... Υπολογιστε την παραγωγο της f (x) = x ϐασει του ορισµου. Λυση f f (x + x) f (x) (x + x) x (x) = lim = lim x x x x x + x x + ( x) x = lim x x (x + x) x = lim = lim (x + x) = x. x x x Αποδειξτε οτι (c f (x)) = c f (x). Λυση (c f (x)) = lim x c f (x + x) c f (x) = c lim x x x x = lim =. x f (x + x) f (x) = c f (x). x Υπολογιστε την παραγωγο της f (x) = x 4x + 5. Λυση ( x 4x + 5 ) ( ) = x 4 (x) + (5) = x 4 + = x Υπολογιστε την παραγωγο της f (x) = x 4x+5. x + Λυση ( ) x 4x + 5 = (x 4x + 5) (x + ) (x 4x + 5) (x + ) x + (x + ) = (x 4) (x + ) (x 4x + 5) x (x + ) = 4x 8x 4 (x + ) Υπολογιστε την παραγωγο της f (x) = e x (x + ). Λυση ( ex (x + )) = ex (x + ) + e x x = e x (x + x + ) Υπολογιστε την παραγωγο της f (x) = e x 4x+5. Λυση ( e 4x+5) x = (x 4) e x 4x Υπολογιστε την παραγωγο της f (x) = ln (x sin x). Λυση [ ln ( x sin x )] = x sin x (x sin x + x cos x ).

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΑ Υπολογιστε την παραγωγο της y (x) = arcsin x. Λυση Εχουµε y = arcsin x x = sin y, Απο το οποιο εχουµε επισης cos y = x. Τωρα dx dy = cos y dy dx = = dx cos y =. x 3... Υπολογιστε την παραγωγο της y (x) = arctan x. Λυση Εχουµε y = arctan x x = tan y, Απο το οποιο εχουµε επισης cos y = + x. Τωρα dy dx dy = tan y dy dx = = dx 3... Αποδειξτε οτι (sin(x)) = cos(x). Λυση dy cos y = + x. ( ) e (sin x) ix e ix = = ieix ( i) e ix = eix + e ix = cos x. i i 3... Αποδειξτε οτι (sinh(x)) = cosh(x). Λυση ( ) e (sinh x) x e x = = ex + e x = cosh x Αποδειξτε οτι (arcsin x) =. x Λυση Θετουµε z = arcsin x. Τοτε x = sin z και οποτε dx dz = cos z = sin z = x (arcsin x) = dz dx =. x Αποδειξτε οτι (arc sinh(x)) = x +. Λυση Θετουµε z = arc sinh x. Τοτε x = sinh z και οποτε dx dz = cosh z = + sinh z = + x (arc sinh x) = dz dx = + x.

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΑ 8 x x x Σχήµα 3.: Μια γεωµετρικη ερµηνεια του διαφορικου Υπολογιστε το διαφορικο της f (x) = x ϐασει του ορισµου και δωστε µια γεωµετρικη ερµηνεια. Λυση df = f (x) dx = xdx. Μια γεωµετρικη ερµηνεια ειναι η εξης. Θεωρειστε ενα τετραγωνο µε πλευρα x. Τοτε f (x) = x ειναι το εµβαδον του τετραγωνου. Εστω τωρα οτι η πλευρα αυξανεται απο x σε x + x. Το εµβαδον αυξανεται οπως ϕαινεται στο σχηµα 3.. Αν το x ειναι σχετικα µικρο, η µεγαλυτερη µεταβολη του εµβαδου δινεται απο τα δυο παραλληλογραµα µε πλευρες x και x και ειναι x x. Υπαρχει µια επιπλεον αυξηση του εµβαδου κατα ( x) απο το τετραγωνο µε πλευρα x, αλλα αν το x ειναι µικρο, τοτε το ( x) ειναι πολυ µικρο σε σχεση µε το x x και µπορουµε να το αγνοησουµε. Π.χ., αν x = και x =., τοτε (x + x) =. = 4. 4, x = = 4, (x + x) x = =.4, x x =. =.4, ( x) = (.) =., δηλ. το µεγαλυτερο µερος της µεταβολης f =.4 προκυπτει απο τον ορο x x = Βρειτε προσεγγιστικα την τιµη της 4. χρησιµοποιωντας το διαφορικο. Λυση Θετουµε f (x) = x. Τοτε x x x x + x = f (x + x) f (x) + f (x) x = x + x x.

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΑ 9 Αν παρουµε τωρα x = 4, x + x = 4. και αρα x =., η παραπανω σχεση δινει 4. = = + = Η πραγµατικη τιµη ειναι 4. = Το σχετικο σφαλµα ειναι Αρα η προσεγγιση ειναι αρκετα καλη = Βρειτε προσεγγιστικα την τιµη της 4. χρησιµοποιωντας το διαφορικο. Λυση Με το ιδιο σκεπτικο οοπως και στην προηγουµενη ασκηση, παιρνουµε τωρα x = 4, x + x = 4. και αρα x =., οποτε 4. = = + = Η πραγµατικη τιµη ειναι 4. = Το σχετικο σφαλµα ειναι = δηλ. δυο ταξεις µεγεθους µικροτερο απο το σφαλµα στον υπολογισµο της 4.. Αυτο δειχνει (µε ενα παραδειγµα) οτι οσο µικροτερο γινεται το x, τοσο καλυτερη ειναι η προσεγγιση µε διαφορικο Βρειτε προσεγγιστικα την τιµη του sin ( ) χρησιµοποιωντας το διαφορικο. Το ιδιο και για την τιµη του cos (6 ) και του cos (44 ). Λυση Καταρχην τονιζουµε οτι στις τριγωνοµετρικες συναρτησεις το ορισµα x µετραται σε ακτινια. Αρα πρεπει να µετατρεψουµε την σε ακτινια. Εχουµε Οποτε x π = 8 x = sin ( ) = sin ( ) sin () + sin () = sin () + cos () Αντιστοιχα cos ( 6 ) ( π ) = cos cos (π/3) sin (π/3) = Τελος cos ( 44 ) ( π ) = cos cos (π/4) sin (π/4) =

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΑ Βρειτε την y αν y 3 + y 5y x + 4 =. Λυση Θεωρειστε την συνθετη συναρτηση g (x) = g (y (x)) = (y (x)) 3, δηλ. g (y) = y 3. Τοτε dg dx = dg dy dy dx = 3y y. (3.3) Αντιστοιχα, d dx y = yy. (3.4) Χρησιµοποιωντας τις (3.3) και (3.4) εχουµε d ( y 3 + y 5y x + 4 ) = d dx dx () 3y y + yy 5y x + = y (3y + y 5 ) = x y x = 3y + y Βρειτε την y αν (x + y ) x = y. Λυση Παροµοια µε την προηγουµενη εχουµε (x + yy ) x + ( x + y ) x = yy y (yx y ) = x 3 ( x + y ) x y = x3 + x (x + y ) = x (x + y ) y (x ) y (x ) Βρειτε την y (3) αν 3 (x + y ) = xy. Λυση Λυνοντας οπως και στις προηγουµενες παιρνουµε y = 5y 3x (x + y ) 5x + 3y (x + y ). (3.5) Εδω Ϲητειται η τιµη y (3). ηλ. στην (3.5) ϑα ϑεσουµε x = 3. Ποια ειναι οµως η τιµη y (3); Στην αρχικη 3 (x + y ) = xy ϑετουµε x = 3 και παιρνουµε 3 (3 + y ) = 3 y και λυνουµε ως προς y. Μια λυση ειναι y =. Οποτε στο σηµειο (3, ) εχουµε y (3) = (3 + ) (3 + ) = 3 9. (3.6) 3... Βρειτε την y αν x + y = 5. Λυση Οπως και στις προηγουµενες ασκησεις, εδω εχουµε Παραγωγιζουµε και παλι και παιρνουµε y = d dx ( ) x = (x) y xy y y x + yy = y = x y. = y xy y = y x ( x y ) y = x + y y 3.

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΑ 3.3 Αλυτα Προβληµατα Αποδειξτε ϐασει του ορισµου οτι η σταθερη συναρτηση f (x) = c εχει f (x) = Αποδειξτε ϐασει του ορισµου οτι (x 3 ) = 3x. ( ). x Υπολογιστε την + (Απ. x 7x x 7 (x 7).) ( Υπολογιστε την e x x). (Απ. e x + x e x.) Υπολογιστε την (sin (x 3 + 7e x )). (Απ. (7e x + 3x ) cos (7e x + x 3 ).) Υπολογιστε την (cot x). (Απ Αποδειξτε οτι. (cos(x)) = sin x. (tan(x)) = tan x + 3. (sec(x)) = sin x cos x Αποδειξτε οτι. (cosh(x)) = sinh(x),. (tanh(x)) = sec h (x), 3. (coth(x)) = csc h (x), 4. (sec h(x)) = sec h(x) tanh(x), 5. (csc h(x)) = csc h(x) coth(x) Αποδειξτε οτι. (arccos x) = x, sin x.). (arctan x) = Αποδειξτε οτι +x.. (arc cosh(x)) =. (arc tanh(x)) = x, x, 3. (arc coth(x)) = x, 4. (arc sec h(x)) = x x,

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΑ 5. (arc csc h(x)) = x +x Υπολογιστε προσεγγιστικα (µε χρηση του διαφορικου) την tan (46 ) και την tan (44 ). (Απ και ) Υπολογιστε προσεγγιστικα (µε χρηση του διαφορικου) την e.9. (Απ ) Βρειτε την y για τις παρακατω πεπλεγµενες συναρτησεις. x + y = 6. (Απ. x/y.). x / + y / = 9. (Απ. y/x.) 3. x 3 xy + y = 4. (Απ. 4. x 3 y 3 y = x. (Απ. y 3x y x.) 3x y 3 3x 3 y.) 5. x 3 x y + 3xy = 38. (Απ. 4xy 3x 3y x (3y x).) Βρειτε την y για τις παρακατω πεπλεγµενες συναρτησεις. x + xy = 5 (Απ. /x 3.). x y = 6 (Απ. 6/y 3.) 3. y = x 3 (Απ. 3x/4y.)

30 Κεφάλαιο 4 Αοριστα Ολοκληρωµατα Η ολοκληρωση ειναι η αντιστροφη διαδικασια της παραγωγισης. Στο παρον κεφαλαιο παρουσιαζουµε µονο τον ορισµο και τις ϐασικες ιδιοτητες του αοριστου ολοκληρωµατος. 4. Θεωρια 4... Εστω δυο συναρτησεις f(x) και F (x). Λεµε οτι η συναρτηση F (x) ειναι ενα αοριστο ολοκληρωµα της συναρτησης f(x) ανν ισχυει και τοτε γραφουµε ισοδυναµα F (x) = f(x) (4.) F (x) = f(x)dx. (4.) 4... Ισοδυναµα προς την η F (x) ειναι το αοριστο ολοκληρωµα της f (x) χρησι- µοποιουµε τις εκφρασεις η F (x) ειναι παραγουσα της f(x) και η F (x) ειναι αντιπαραγωγος της f(x) Το αοριστο ολοκληρωµα εχει τις εξης ιδιοτητες c f(x)dx = c f(x)dx (f(x) + g(x)) dx = f(x)dx + g(x)dx f(u(x))u (x)dx = f(u)du. (4.3) Η (4.3) ειναι στην ουσια µια εναλλακτικη διατυπωση του κανονα της αλυσσωτης παραγωγισησ: [f (u (x))] = f (u) u (x). 3

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Τα παρακατω ειναι βασικα αοριστα ολοκληρωµατα. dx = x + c x m dx = xm+ + c (m ) m+ dx = ln x + c x e x dx = e x + c sin xdx = cos x + c cos x)dx = sin x + c tan x)dx = ln cos x) + c sinh x)dx = cosh x + c cosh(xdx = sinh x + c tanh x)dx = = ln cosh(x + c Το c σε ολες τις παραπανω εκφρασεις ειναι µια αυθαιρετη σταθερα. Πραγµατι, αν F (x) = f (x) dx, ισοδυναµα F (x) = f (x). Αλλα τοτε και (F (x) + c) = F (x)+(c) = f (x) +, δηλ. και η F (x) + c ειναι ενα αοριστο ολοκληρωµα της f (x) (γι αυτο και χρησιµοποιουµε τον ορο αοριστο ολοκληρωµα) Αλλα σηµαντικα αοριστα ολοκληρωµατα ειναι τα εξης. dx = ln +sin x cos(x) cos x + c dx = ln cos x sin(x) sin x + c a dx = arcsin( x) + c x a dx = arctan( x) + c a +x a a dx = ln x a x a a x+a + c dx = ln a+x a x a a x + c x dx = arccos h( x) + c = ln x + x a a a + c a dx = arcsin h( x) + c = ln +x a x + x + a + c a x dx = x a x + a arcsin ( x a) + c a + x dx = x a + x + a arcsin h ( x a) + c x a dx = x x a a arccos h ( x a) + c a + x dx = x a + x + a ln x + x + a + c x a dx = x x a a ln x + x a + c

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 5 4. Λυµενα Προβληµατα 4... Αποδειξτε οτι ( xdx = x + c. Λυση Πραγµατι x + c ) = x + = x Αποδειξτε οτι cos xdx = sin x + c. Λυση Πραγµατι (sin x + c) = cos x + = cos x Αποδειξτε οτι c f(x)dx = c f(x)dx. Λυση Εστω οτι, F (x) = f(x)dx, δηλ. ισοδυναµα F (x) = f (x). Τοτε (c F (x)) = c F (x) = c f (x), δηλ. η c F (x) ειναι το ολοκληρωµα της c f (x) Υπολογιστε το x 4 dx. Λυση x 4 dx = 5 x5 + c Υπολογιστε το ( 5 sin x + e x ) dx Λυση ( 5 sin x + e x ) dx = dx 5 sin xdx + e x dx = x + 5 cos x + e x + c. x+ x Υπολογιστε το x dx Λυση x + x + dx = x x / dx + dx + x / dx = x3/ 3/ + x + x/ / = 4 3 x3/ + x + x / + c Υπολογιστε το x x xdx. Λυση Εχουµε x x xdx = x x x / dx = x x 3/ dx x = x 3/4 dx = x 7/8 dx = 8 5 x5/8 + c. x x Υπολογιστε το dx. x Λυση Εχουµε x x 3 3 dx = x x 3 x dx + x / /3 5 x dx = / x4/ x5/6 = x4/ x5/6 + c Υπολογιστε το ( x ) 3 xdx. Λυση Εχουµε (x ) 3 (x xdx = x / + ) x /3 dx = (x 4/3 x /3 + x /3) dx = 3 7 x7/3 6 5 x5/ x4/3 + c.

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Υπολογιστε το cot xdx. Λυση cos cot x sin xdx = sin x dx = x sin x dx = sin x dx Υπολογιστε το xdx. Λυση Θετοντας u = x, du = dx, εχουµε 3 xdx = u /3 du = 3 8 u4/3 = 3 8 ( x)4/3 + c. dx = cot x x + c. x 4... Υπολογιστε το (x +) x + dx. Λυση Θετοντας u = x +, du = xdx, εχουµε x (x + ) x + dx = du u = u 3/ du = ( 3/ ) u / = x + + c Υπολογιστε το e 3x+ dx Λυση Θετοντας u = 3x +, du = 3dx, εχουµε e 3x+ dx = e u du = 3 3 eu = 3 e3x+ + c Υπολογιστε το x (x+5) dx. Λυση Θετοντας u = x + 5, du = dx, εχουµε x (x + 5) dx = (u 5) / du = u 5 du = du u 4 u 4 u 5 du 4 u = 4 ln u 5 4 u = 4 ln x x c Υπολογιστε το x x 3dx. Λυση Θετοντας u = x 3, du = dx, εχουµε x (u x 3dx = (u + 3) u / du = 3/ + 3u /) du = 5 u5/ u3/ = 5 (x 3)5/ + (x 3) 3/ + c Υπολογιστε το cos 5 x sin xdx. Λυση Θετουµε u = cos x, du = sin xdx, οποτε cos 5 x sin xdx = u 5 du = 6 u6 = 6 cos6 x. ln x Υπολογιστε το x dx. Λυση Θετουµε u = ln x, du = dx/x, οποτε ln x x dx = udu = u = (ln x) + c.

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 7 x+/ Υπολογιστε το dx. x +x+3 Λυση Θετουµε u = x + x + 3, οποτε du = (x + ) dx. Ετσι x + / x + x + 3 dx = du u = ln u = ln x + x c. dx Υπολογιστε το Λυση Εχουµε, µε συµπληρωση τετραγωνου, οτι Οποτε x +4x+5. x + 4x + 5 = x + x + + = (x + ) +. dx x + 4x + 5 = d (x + ) (x + ) + = arctan (x + ) + c. x 4... Υπολογιστε το 3 5x x+5 Λυση Εδω απαιτειται η χρηση πολυωνυµικης διαιρεσης του x 3 5x x + 5 µε το x + 3. Εχουµε x 3 5x x +5 x + 3 x 3 +3x x 4x 8x x +5 8x x +5 x+3 dx. που δινει πηλικο x 4x και υπολοιπο 5, δηλ. x 3 5x x + 5 = x 4x + 5 x + 3 x + 3. Οποτε εχουµε x 3 5x ( x + 5 dx = x 4x + 5 ) dx = x3 x + 3 x x + 5 ln x c.

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Αλυτα Προβληµατα Αποδειξτε οτι x dx = 3 x3 + c Αποδειξτε οτι dx = x + c Αποδειξτε οτι xdx = 3 x3/ + c Αποδειξτε οτι sin dx = cos x + c Αποδειξτε οτι dx = ln x + c. x Αποδειξτε οτι (f(x) + g (x)) dx = f(x)dx + g(x)dx Υπολογιστε το x 3 dx. (Απ. 4 x4 + c.) Υπολογιστε το (x + 4)dx. (Απ. x + 4x, µε u = x + 4, du = dx). x Υπολογιστε το 3 dx. x 4 +5 (Απ. (x4 + 5), µε u = x 4 du = 4x 3 dx). x Υπολογιστε το + dx. (x 3 +6x+) (Απ. ln 3 (x3 + 6x + ), µε u = x 3 + 6x +, du = (3x + 6)dx). dx Υπολογιστε το. 4x (Απ. ln (4x ), µε u = 4x, du = 4dx) Υπολογιστε το (e x + ) e x dx. (Απ. 3 (ex + ) 3, µε u = e x, du = e x dx). sin(x)+cos(x) Υπολογιστε το dx.. sin(x) (Απ. dx + cos(x) dx = ln (cos x) + cos(x) cos(x) cos(x) x, µε u = cos(x), du = sin(x)dx στο ο ολοκλρωµα) Υπολογιστε το 9 x dx. (Απ. arcsin 3 x, µε u = x 3, du = 3 dx) Υπολογιστε το 9 4x dx. (Απ. arcsin 3 x, µε u = 3 x, du = 3 dx) Υπολογιστε το dx. 4x +5 (Απ. arctan 5 x, µε u = 5 x, du = 5 dx) Υπολογιστε το +4x x dx. (Απ. arcsin 4 4 (x ), µε συµπληρωση του τετραγωνου). x Υπολογιστε το 5 4x x dx. (Απ. (5 4x x ) + arcsin ( x + 3 3), µε u = x + 3, συµπληρωση του τετραγωνου και διασπαση του ολοκληρωµατος σε δυο µερη).

36 Κεφάλαιο 5 Τεχνικες Ολοκληρωσης Στο παρον κεφαλαιο παρουσιαζουµε διαφορες τεχνικες για τον υπολογισµο αοριστων ολοκληρωµατων. 5. Θεωρια 5... Πολλα ολοκληρωµατα υπολογιζονται χρησιµοποιωντας την f(u(x))u (x)dx = f(u)du. Αυτη η µεθοδος λεγεται ολοκληρωση µε αντικατασταση Μερικες χρησιµες αντικαταστασεις ειναι οι εξης.. Για µορφη a + b x χρησιµοποιω x = a b tan(u) και παιρνω a + tan (u) = a cos(u).. Για µορφη a b x χρησιµοποιω x = a sin(u) b και παιρνω a sin (z) = a cos(u). 3. Για µορφη b x a χρησιµοποιω x = a b cos(u) και παιρνω a = sin (u) a tan(u). 4. Για µορφη b x a χρησιµοποιω x = cosh a cosh(u) b και παιρνω a (u) = a sinh(u) Η ολοκληρωση κατα παραγοντες ϐασιζεται στην εξης παρατηρηση : αν f(x) και g(x) ειναι συναρτησεις, τοτε (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) (f(x)g(x)) dx = f (x)g(x)dx + f(x)g (x)dx f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx. 9

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Ενας αλλος τροπος να γραψουµε τα παραπανω ειναι ο εξης : (fdg + gdf) = d (fg) = fg Μερικα ϐασικα ολοκληρωµατα που υπολογιζονται µε ολοκληρωση κατα παραγοντες ειναι τα εξης.. x cos xdx = cos x + x sin x + c.. x sin xdx = sin x x cos x + c. 3. xe x dx = xe x e x + c Με τον ορο στοιχειωδες κλασµα εννοουµε οποιοδηποτε απο τα παρακατω A A,, x x (x x )... (5.) A ax + bx + c, A (ax, + bx + c)... (5.) Ax + b ax + bx + c, Ax + b (ax, + bx + c)... (5.3) Προσοχη: Οταν στις (5.) και (5.3) b 4ac αναγοµαστε στην (5.). Αρα µας ενδιαφερει η περιπτωση b 4ac < Μπορουµε να υπολογισουµε το ολοκληρωµα καθε στοιχειωδους κλασµατος. ινουµε µερικα παραδειγµατα (παρακατω ϑετουµε E = 4ac b ): A dx = A ln x x x x A (x x ) dx = A x x A ax + bx + c dx = A ax + b arctan E E A (ax + bx + c) dx = A (ax + b) E (ax + bx + c) + 4Aa ax + b arctan E 3 E Ax + B ax + bx + c dx = A a ln ( ax + bx + c ) + B ( arctan ax + b ) A E E E b ( arctan ax + b ) a E Αν τα P (x) και Q(x) ειναι πολυωνυµα, η συναρτηση f(x) = P (x) Q(x) λεγεται ϱητη Οπως ϑα δουµε στο εποµενο εδαφιο, µπορουµε να υπολογισουµε το ολοκληρωµα καθε ϱητης συναρτησης µε αναγωγη αυτης σε αθροισµα στοιχειωδων κλασµατων Ας υποθεσουµε οτι στην ϱητη συναρτηση P (x)/q(x) ο ϐαθµος του P (x) ειναι µικροτερος απο τον ϐαθµο του Q(x). Εστω µια ϱιζα x του Q(x). ιακρινουµε τις εξης περιπτωσεις.

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ 3. Αν η ϱιζα ειναι πραγµατικη και απλη, τοτε στην αναπτυξη της P (x)/q(x) ϑα εµ- ϕανιζεται ενα κλασµα της µορφης A. x x. Αν η ϱιζα ειναι πραγµατικη και πολλαπλοτητας n, τοτε στην αναπτυξη της P (x)/q(x) ϑα εµφανιζονται n κλασµατα της µορφης A x x, A (x x ),..., A n (x x ) n. 3. Αν η ϱιζα x ειναι µιγαδικη και απλη, τοτε η συζυγης x ειναι επισης ϱιζα του Q(x) και το γινοµενο (x x )(x x ) ϑα ισουται µε ax + bx + c οπου τα a, b, c ϑα ειναι πραγµατικοι αριθµοι. Στην αναπτυξη της P (x)/q(x) ϑα εµφανιζεται ενα κλασµα της µορφης Ax + B ax + bx + c. 4. Τελος, αν η ϱιζα x ειναι µιγαδικη και πολλαπλοτητας n, στην αναπτυξη της P (x)/q(x) ϑα εµφανιζεται n κλασµατα της µορφης Ax + B ax + bx + c, Ax + B (ax + bx + c),..., Ax + B (ax + bx + c) n 5... Εχουµε δωσει στο προηγουµενο εδαφιο τα ολοκληρωµατα των παραπανω στοιχειωδων κλασµατων. Ετσι, οποιαδηποτε ϱητη συναρτηση f (x) µε ϐαθµο του P (x) µικροτερο απο αυτο του Q (x) µπορει να ολοκληρωθει µε αναπτυξη σε στοιχειωδη κλασµατα Αν ο ϐαθµος του P (x) ειναι µεγαλυτερος του ϐαθµου του Q(x), µε πολυωνυµικη διαιρεση παιρνουµε f(x) = P (x) + P (x) Q(x) οπου τα P (x), P (x) ειναι πολυωνυµα και ο ϐαθµος του P (x) µικροτερος απο αυτο του Q (x). Ετσι µπορουµε και παλι να ολοκληρωσουµε την f (x).

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ 3 5. Λυµενα Προβληµατα 5... Υπολογιστε το ( x) dx. Λυση Θετοντας u = x, du = dx εχουµε ( x) dx = ( x) d ( x) = u + c = ( x) + c Υπολογιστε το 6 x dx. Λυση Θετουµε sin u = x 4, cos udu = dx 4. Τοτε 6 x dx = 4 sin x4 cos udu = 6 = 8 du + 8 cos udu = 8u + 4 sin (u). + cos u cos udu = 6 du Τωρα, u = arcsin x 4. Επισης, sin (u) = sin u cos u = x x. Οποτε τελικα x dx = 8 arcsin x 4 + x 6 x + c. dx Υπολογιστε το Λυση Με συµπληρωση τετραγωνου εχουµε 3x 8x+5. Οποτε (µε u = x 4 3 ) εχουµε ( 3x 8x + 5 = 3 x 4 ) 3 3. dx 3x 8x + 5 = du 3 3u = 3 u ( ) du = 3 ( 3u ) dt 3u + 3 = ln u 3 ln u + 3 = ln 3x 5 3x 3 + c +e Υπολογιστε το x dx e x Λυση Με τον µετασχηατισµο u = e x, du = e x dx εχουµε + e x + u e dx = x u ( u du = u ) du = ln u + ln u u Υπολογιστε το x 7 x 7x+ dx. Λυση Εχουµε x 7 x 7x + dx = = ln e x + ln e x = ln e x + x + c. (x 7x + ) dx == x 7x + d (x 7x + ) x 7x + = ln x 7x + + c.

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ 33 x sin x x Υπολογιστε το cos xdx. sin x Λυση Εχουµε x sin x x cos x (x ) sin x x (sin x) ( ) x sin dx = x sin dx = dx = x x sin x sin x + c Υπολογιστε το dx x (+x). Λυση Θετουµε cos u = x, sin udu = dx. Τοτε dx x ( + x) = sin udu sin u ( + cos u) = du + cos u = cos u x = + cos u = + x + c Υπολογιστε το sin 3 x cos xdx. Λυση Θετουµε u = cos x, du = sin xdx. Τοτε ( sin 3 x cos xdx = sin x cos x sin xdx = ) u u du (u = u 4) du = u3 3 + u5 5 = cos3 x + cos5 x + c Υπολογιστε το sin x cos xdx. Λυση sin x cos xdx = (sin (x) ) dx = cos (4x) dx 4 4 = 8 x cos (4x) dx = x 8 sin (4x) + c Υπολογιστε το sin x cos 3 xdx. Λυση Θετω u = cos x, du = sin xdx. Τοτε sin x cos 3 xdx = cos 3 xd (cos x) = du cos u = tan u u 3 du = 4 u4 = 4 cos4 x + c Υπολογιστε το sin x cos 4 xdx. Λυση ( ) + cos x sin cos 4 xdx = (sin x cos x) cos xdx = 4 (sin x) dx = sin (x) dx + sin (x) cos (x) dx 8 8 = cos (4x) dx + sin (x) d (sin (x)) 8 6 = 6 x 64 sin (4x) + 48 sin3 (x) + c.

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ 34 x cos x 5... Υπολογιστε το x sin x+cos x dx. Λυση Θετουµε u = x sin x + cos x, du = (sin x + x cos x sin x) dx. Τοτε x cos x du x sin x + cos x dx = = ln u = ln (x sin x + cos x) + c. u Υπολογιστε το sin 7 xdx. Λυση Με u = cos x, du = sin xdx ( sin 7 xdx = sin 6 x sin xdx = cos x ) 3 ( ) d (cos x) = u 3 du ( = 3u + 3u 4 u 6) du = u + u u5 + u7 7 = cos x + cos 3 x 3 5 cos5 x + cos 7 x + c Υπολογιστε το sin 4 xdx. Λυση (sin sin 4 xdx = x ) ( ) ( ) cos (x) cos (x) dx = dx = + cos (x) dx 4 4 = x 4 4 sin (x) + + cos (4x) dx = x sin (x) + x 8 + sin (4x) + c Υπολογιστε το xdx x+ 3 x+. Λυση Θετοντας u = (x + ) /6 εχουµε u 6 = x +, 6u 5 du = dx. Τοτε xdx (u 6 x + 3 x + = 6 ) u 5 (u 6 ) u 5 du = 6 u 3 u u (u ) du = 6 u ( 3 u 5 + u 4 + u 3 + u + u + ) du ( ) u 9 = u8 8 + u7 7 + u6 6 + u5 5 + u4 4 ( ) (x + ) 9/6 (x + )8/6 (x + )7/6 (x + ) (x + )5/6 (x + )4/6 = Υπολογιστε το x cos xdx µε ολοκληρωση κατα παραγοντες. Λυση Θετοντας f = sin x, g = x, εχουµε x cos xdx = x sin x sin xdx = x sin x + cos x + c Υπολογιστε το xe x dx Λυση Θετοντας f = e x, g = x, εχουµε xe x dx = xe x e x dx = xe x e x + c.

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Υπολογιστε το x e x dx. Λυση Θετοντας f = x 3, g = e x, εχουµε ( x e x dx = x 3 e x 3 x e x dx = x 3 e x 3 x e x ) e x dx ( = x 3 e x 3x e x + 3 xe x dx = x 3 e x 3x e x + 6 xe x = x 3 e x 3x e x + 6xe x 6e x + c Υπολογιστε το x ln ( + x ). Λυση Θετοντας f = x /, g = ln ( + x ), εχουµε ) e x dx x ln ( + x ) dx = x ln ( + x ) x x x dx = + x ln ( + x ) x / + x d ( x ) = x ln ( + x ) x + ln ( + x ) + c Υπολογιστε το sin xdx. Λυση Εχουµε sin xdx = sin(x)d(cos(x)) = sin(x) cos(x) + cos(x)d(sin(x)) = sin(x) cos(x) + cos (x)dx = sin(x) cos(x) + ( sin (x))dx = sin(x) cos(x) + x sin (x)dx. ηλαδη sin (x) = sin(x) cos(x) + x sin sin(x) cos(x) + x (x) = Υπολογιστε το x arctan xdx. sin (x)dx Λυση Θετοντας f = x, g = arctan x, εχουµε sin (x) = sin(x) cos(x) + x x arctan xdx = x x arctan x x x d (arctan x) = arctan x + x dx = x arctan x x + x dx = x + arctan x dx + = x arctan x x + arctan x + c Υπολογιστε το e ax sin (bx) dx. dx x +

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ 36 Λυση Θα υπολογισουµε ταυτοχρονως τα J = e ax sin (bx) dx και J = e ax cos (bx) dx. J = e ax sin (bx) dx = eax sin (bx) x e ax (sin (bx)) dx a = a eax sin (bx) b e ax cos (bx) dx = a a eax sin (bx) b a J. J = e ax cos (bx) dx = eax cos (bx) x + e ax (cos (bx)) dx a = a eax cos (bx) + b e ax sin (bx) dx = a a eax cos (bx) + b a J. ηλ. εχουµε J + b a J = eax sin (bx) a b a J + J = eax cos (bx). a Λυνοντας το συστηµα ως προς J, J παιρνουµε J = beax cos bx ae ax sin bx, J a + b = aeax cos bx + be ax sin bx a + b Υπολογιστε το (ln x) dx. Λυση Θετοντας f = x, g = (ln x), εχουµε (ln x) dx = x (ln x) xd ( (ln x) ) = x (ln x) x (ln x) x dx ( ) = x (ln x) ln xdx = x (ln x) x ln x xd (ln x) ( = x (ln x) x ln x x ) x dx = x (ln x) x ln x + x + c Υπολογιστε το x dx. Λυση Θετουµε x = A x + B (A + B) x + (A B) =. x + x Αρα και εχουµε x dx = } { A + B = A = } A B =, B = x x + = (ln x ln x + ) = ln x x + + c.

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ 37 x Υπολογιστε το x+3 Λυση Θετουµε Αρα (x )(x )(x 3) dx. x x + 3 (x ) (x ) (x 3) = A x + B x + C x 3 A (x ) (x 3) + B (x ) (x 3) + C (x ) (x ) = (x ) (x ) (x 3) = (A + B + C) x (5A + 4B + 3C) x + (6A + 3B + c). (x ) (x ) (x 3) A + B + C = 5A + 4B + 3C = 6A + 3B + C = 3 Η λυση ειναι A =, B = 3, C = 4 και ετσι x x + 3 dx 3dx 4dx (x ) (x ) (x 3) dx = x + x x 3 = ln x + 3 ln x 4 ln x 3 + c. x Υπολογιστε το x Λυση Εχουµε x x = (x + ) (x ) και x 3 + x 6x = x (x + 3) (x ). Οποτε Ωχουµε επισης x 3 +x 6x dx. x x x 3 + x 6x dx = x + x (x + 3) dx. x + x (x + 3) = A x + B (A + B) x + 3A = x + 3 x (x + 3) οποτε A + B =, 3A = και A = /3, B = /3 και x x x 3 + x 6x dx = dx 3 x + 3 dx x + 3 = 3 ln x + ln x c Υπολογιστε το dx Λυση Εχουµε x 4 x 3 + x = x (x x + ) x 4 x 3 +x. και ο ορος x x + δεν εχει πραγµατικες ϱιζες. Οποτε ϑετουµε x 4 x 3 + x = A x + B x + Cx + D x x + = (A + C) x3 + ( A + B + D) x + (A B) x + B. x (x x + )

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ 38 Οποτε εχουµε A + C = A + B + D = A B = B = που εχει λυση A =, B =, C =, D =. Ετσι dx dx dx x 4 x 3 + x = x + x xdx x x + = ln x x ln ( x x + ) 3 3 arctan ( 3 3 x ) + c. 3 x Υπολογιστε το Λυση Εχουµε (x +)(x +x+) dx. απο το οποιο προκυπτει το συστηµα x (x + ) (x + x + ) = Ax + B x + + Cx + D x + x + A + C = A + B + D = A + B + C = B + D = µε λυση, A =, B =, C =, D =, δηλ. x (x + ) (x + x + ) dx = x x + dx x x + x + dx = ln ( x + ) ln ( x + x + ) arctan ( 3 3 x + ) + c. 3 x Υπολογιστε το 4 3x 3 3x +dx. (x+) (x 3) Λυση Αφου (x + ) (x 3) = x 3 x 5x 3, ο ϐαθµος του αριθµητη ειναι υψηλοτερος αυτου του παρονοµαστη, αρα πρεπει να εκτελεσουµε πολυωνυµικη διαιρεση. Εχουµε x 4 3x 3 3x +x + x 3 x 5x 3 x 4 x 3 5x 3x x x 3 +x +3x + x 3 +x +x +6 7x +4

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ 39 που δινει πηλικο x και υπολοιπο 7x + 4, δηλ. x 4 3x 3 3x ( ) + 7x + 4 (x + ) dx = x + (x 3) (x + ) dx (x 3) = x x 7x 4 (x + ) (x 3) dx. Για το τελευταιο ολοκληρωµα εχουµε οποτε 7x 4 (x + ) (x 3) = A x + + B (x + ) + C (x 3) = (A + C) x + ( A + B + C) x + ( 3A 3B + C) (x 3) (x + ) A + C = A + B + C = 7 3A 3B + C = 4 µε λυση A = 7 6, B = 4, C = 7 και ετσι 6 ( 7x 4 7/6 (x + ) (x 3) dx = x + + /4 (x + ) + 7/6 ) dx x 3 = 4 (x + ) 7 7 ln (x + ) + ln (x 3). 6 6 Τελικα το Ϲητουµενο ολοκληρωµα ισουται µε x Υπολογιστε το dx x + 4 (x + ) ln (x + ) ln (x 3) 6 6 x+ x+3. Λυση Θετουµε u = x + 3, udu = dx. Τοτε dx x + x + 3 = udu u 3 + u = u u + u 3 du ( ) = (u ) + 3 du = (u + 3) ln u + 3 ln u + 3 = ( x ) ln ( x ) ln c.

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Αλυτα Προβληµατα e Υπολογιστε το /x dx (Απ. e x x, µε u = x ) Υπολογιστε το dx e x + (Απ. ln (ex + ) + ln (ex ), µε u = e x +, du = e x dx) Υπολογιστε το cos (x) sin(x)dx (Απ. 3 cos3 x, µε u = cos x, du = sin xdx) Υπολογιστε το e x cos(e x )dx (Απ. sin (ex ), µε u = e x, du = e x dx) Υπολογιστε το dx +cos(x) (Απ. tan x, µε αντικατασταση cos x = tan x ). +tan x Υπολογιστε το 4 (x+) dx (Απ. arcsin ( x + ), µε u = x, du = dx) Υπολογιστε το 4x x dx (Απ. arcsin ( x + ), δες το παραπανω) Υπολογιστε το dx e x +e x (Απ. arctan (ex ), µε u = e x, du = e x dx) Υπολογιστε το dx 9x 4 (Απ. ln (3x ) ln (3x + )). x Υπολογιστε το x dx (Απ. x arcsinh +4 x, µε u = x + 4, και σπανοντας το ολοκληρωµα σε δυο µερη) Υπολογιστε το cos 3 xdx (Απ. 3 cos x sin x + sin x, µε u = sin x) Υπολογιστε το sin x cos xdx (Απ. sin x 4 cos3 x + cos x sin x x, µε sin x cos x = sin x) Υπολογιστε το sin x cos 4xdx (Απ. cos 6x + cos x, µε sin x cos 4x = 4 sin 6x sin x) Υπολογιστε το sinh x dx (Απ. cosh x.) Υπολογιστε το e x sinh xdx (Απ. cosh x sinh x x + cosh x, µε sinh x = e x e x ) Υπολογιστε το 9x (3x dx 4 (Απ. ln + ) (9x 3 4), µε u = 3 x) Υπολογιστε το 4x + 9dx (Απ. x (4x + 9)+ 9 4 arcsinh 3 x, µε u = arcsinh 3 x) Υπολογιστε το dx (Απ. ln (3x ) ln (3x + 9x 4 ), µε u = 3 x) Υπολογιστε το x dx (Απ. 9+x 9x (9 + x ), µε x = 3 tan u, dx = (+ x [ ] 9 )du). d( a b tan(u)) = a ( + du b tan u) Υπολογιστε το x x 9 (Απ. (x 9) + (x 9 ln + (x 9) tan(z) cos(z) 3 cos(z) dz). ), µε x =

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Υπολογιστε το 4 9x dx (Απ. x (4 9x ) arctanh (4 9x ), µε x = sin(z), dx = cos zdz) Υπολογιστε το x dx (Απ. arctanh 9+4x 3 3 (9 + 4x ), µε x = 3 tan(u), dx = 3 cos (z) dz). x Υπολογιστε το x x dx (Απ. x (x x ) 3 (x x )+ 3 arcsin (x ), µε x = sin(z), dx = cos(z)dz) Υπολογιστε το x dx 4 x (Απ. arctanh (4 x), µε 4 x = z, dx = zdz) Υπολογιστε το (x ) dx x+3 (Απ. arctanh (x + 3), µε x + 3 = u, dx = udu) Υπολογιστε το dx (Απ. 3 3 x ln ( 3 ( x )+ln ( 3 x) + 3 ) x + x /3 x /3 ln (x ), µε x = u 3, dx = 3u du) Υπολογιστε το dx +sin(x) cos(x) (Απ. ln ( tan x) ln ( tan x + ), µε sin(x) = u, dx = dz). +u +u Υπολογιστε το dx ( 3+sin(x) (Απ. arctan 8 6 tan x + ) ) Υπολογιστε το x sin xdx (Απ. sin x x cos x) Υπολογιστε το x 3 ln xdx (Απ. ln(x)d( 4 x4 ) = 4 x4 ln(x) 4 x 4 d(ln(x)) = 4 x4 ln(x) 4 x 4 dx x = 4 x4 ln x 6 x4 ) Υπολογιστε το arcsin xdx (Απ. x arcsin x + x ) Υπολογιστε το x sin xdx (Απ. x cos x + cos x + x sin x) Υπολογιστε το tan xdx (Απ. x arctan x ln ( + x )) Υπολογιστε το x e x dx (Απ. x e x xe x 4 e x ) Υπολογιστε το cos(ln(x))dx (Απ. x (sin (ln x) + cos (ln x))) Υπολογιστε το dx (Απ. (9+x ) 3/ 9 (9+x ). ) ( ) x Υπολογιστε το +x dx (Απ. 5 ( ) 5 x x + + x + ) Υπολογιστε το dx ( x 9 (Απ. ln (x 3) ln (x + 3)) ) Υπολογιστε το x+ x +5x+6 dx (Απ. ( x Υπολογιστε το x+ x 3 x x+ (Απ. 3 3 ln (x )). (x ) 4 x x+) dx = ln (x + 3) ln (x + )). ) dx = ln (x + ) 4 + (x ) 4(x ) 4(x+)

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ 4 x Υπολογιστε το dx ( (Απ. (x+) Υπολογιστε το x +x+3 dx ( (Απ. x +x 3 x 9 3 arctan x). 5 ) + (x+) 3 (x+) 3+4x 5(x ) 5 dx = Υπολογιστε το dx x +7x+6 (Απ. ln (x + 6) + ln (x + )). 5 5 x Υπολογιστε το +3x 4dx (Απ. x + ln (x + ) + 4 ln (x 4)). x x Υπολογιστε το dx x 3 +x (Απ. ln x ln ( + x )). (x+) x+ ). +x ) dx = 9 5 ln (x ) 5 ln ( + x ) x Υπολογιστε το 3 +x dx (Απ. x arctan x + ln (x +) x + (x + )) Υπολογιστε το dx (Απ. e x 4e x 4e x ln 6 (ex ) + ln 6 (ex 4)).

50 Κεφάλαιο 6 Ορισµενα Ολοκληρωµατα και Εµβαδον Το ορισµενο ολοκληρωµα της f (x) απο το a ως το b γεωµετρικα ειναι το εµβαδον ενος επιπεδου σχηµατος (το οποιο σχετιζεται µε τα f (x), a, b). Ειναι αξιοσηµειωτο οτι αυτο το εµβαδον συσχετιζεται µε το αοριστο ολοκληρωµα που µελετησαµε στα προηγουµενα κεφαλαια. 6. Θεωρια 6... Εστω µια συνεχης συναρτηση f(x), µε πεδιο ορισµου ενα σε ενα X R. Επιλεγω σταθερους αριθµους a, b (µε a b) και ϑεωρω το χωριο που οριζεται απο την f (x), τον αξονα των x και τις ευθειες x = a, x = b (δειτε το σχηµα 6.). Το χωριο αυτο εχει εµβαδον ισο µε F (b) F (a), οπου F (x) µια συναρτηση που ικανοποιει F (x) = f (x) (ισοδυναµα F (x) = f (x) dx) Εστω µια συνεχης συναρτηση f(x) ορισµενη σε ενα X R (η οποια µπορει να παιρνει ϑετικες η αρνητικες τιµες στο πεδιο ορισµου). Για καθε Ϲευγος αριθµων a, b X, το ορισµενο ολοκληρωµα της f(x) b συµβολιζεται ως f(x) και οριζεται ως εξης : b a f(x) = F (b) F (a) οπου F (x) ειναι οποιαδηποτε συναρτηση ικανοποιει F (x) = f(x) (ισοδυναµα F (x) = f (x) dx). b Στην 6.., το ορισµενο ολοκληρωµα f(x) = F (b) F (a) µπορει να ερµηνευθει a γεωµετρικα ως το εµβαδον του σχηµατος το οποιο οριζεται απο την f (x), τον αξονα των x και τις ευθειες x = a, x = b, χρησιµοποιωντας την συµβαση οτι το τµηµα του σχηµατος που ϐρισκεται κατω απο τον αξονα των x εχει αρνητικο εµβαδο (δηλαδη το εµβαδον ενος χωριου ειναι προσηµασµενη, αρνητικη η ϑετικη ποσοτητα) Το ορισµενο ολολκληρωµα εχει τις εξης ιδιοτητες (οι συναρτησεις f (x), g (x) ϑεω- ϱουνται συνεχεις): a. b a c f(x)dx = c b a f(x)dx 43

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Παράγωγος - ιαφόριση ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των πα- ϱαγώγων πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 : ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Σύμφωνα με τα όσα αναλυτικά έχουν περιγραφεί στα προηγούμενα κεφάλαια της παρούσας μελέτης η κατασκευή του τμήματος «Βρύσες Ατσιπόπουλο», του Βόρειου Οδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΝΟΜΗ ΙΑΚΙΝΗΣΗ ΑΝΘΡΩΠΩΝ

ΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΝΟΜΗ ΙΑΚΙΝΗΣΗ ΑΝΘΡΩΠΩΝ ΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΝΟΜΗ ΙΑΚΙΝΗΣΗ ΑΝΘΡΩΠΩΝ ηµοσιοποιείται από το Γραφείο Παρακολούθησης και Καταπολέµησης της Παράνοµης ιακίνησης Ανθρώπων 12 Ιουνίου 2007 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι καταθέσεις των θυµάτων που περιλαµβάνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΘΝΗΣ ΣΥΜΒΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 183 «για την αναθεώρηση της (αναθεωρηµένης) σύµβασης για την προστασία της µητρότητας,»

ΙΕΘΝΗΣ ΣΥΜΒΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 183 «για την αναθεώρηση της (αναθεωρηµένης) σύµβασης για την προστασία της µητρότητας,» ΙΕΘΝΗΣ ΣΥΜΒΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 183 «για την αναθεώρηση της (αναθεωρηµένης) σύµβασης για την προστασία της µητρότητας,» Η γενική Συνδιάσκεψη της ιεθνούς Οργάνωσης Εργασίας, που συγκλήθηκε στη Γενεύη από το ιοικητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΙΤΙΚΉ ΠΑΙΔΕΙΑ. Α Γενικού Λυκείου και ΕΠΑ.Λ. Καζάκου Γεωργία, ΠΕ09 Οικονομολόγος

ΠΟΛΙΤΙΚΉ ΠΑΙΔΕΙΑ. Α Γενικού Λυκείου και ΕΠΑ.Λ. Καζάκου Γεωργία, ΠΕ09 Οικονομολόγος 1 ΠΟΛΙΤΙΚΉ ΠΑΙΔΕΙΑ Α Γενικού Λυκείου και ΕΠΑ.Λ. 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΤΟ ΧΡΗΜΑ ΚΑΙ ΟΙ ΤΡΑΠΕΖΕΣ 11.1 Από τον αντιπραγματισμό στην οικονομία του χρήματος 11.1 ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΝΤΙΠΡΑΓΜΑΤΙΣΜΟ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

/νση: ΧΑΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ Μ. Αλεξάνδρου 49, 66100, ράµα Τηλ&φαξ: +2521021972, κιν.: + 6973585563 www.akademia.gr, e-mail: info@akademia.

/νση: ΧΑΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ Μ. Αλεξάνδρου 49, 66100, ράµα Τηλ&φαξ: +2521021972, κιν.: + 6973585563 www.akademia.gr, e-mail: info@akademia. ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ (Οδηγίες) Α. ΠΕΡΙΛΗΨΗ (25 µονάδες) ιαβάζουµε µια φορά προσεκτικά το κείµενο, κατανοούµε το περιεχόµενό του κι επισηµαίνουµε το θεµατικό του κέντρο. ουλεύουµε ανά παράγραφο. Υπογραµµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΕΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΕΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΕΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Σημειώνεται ότι για την ετοιμασία και εφαρμογή της ενότητας συνέδραμαν και οι συνάδελφοι Μαρία Ανθίμου και Χριστίνα Κκαΐλη (Δημοτικό Σχολείο Μενεού) ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Οι μαθητές της ομάδας λογοτεχνίας της βιβλιοθήκης ασχολήθηκαν με το έργο πέντε γυναικών συγγραφέων: Ζωρζ Σαρή, Λότη Πέτροβιτς- Ανδρουτσοπούλου,

Οι μαθητές της ομάδας λογοτεχνίας της βιβλιοθήκης ασχολήθηκαν με το έργο πέντε γυναικών συγγραφέων: Ζωρζ Σαρή, Λότη Πέτροβιτς- Ανδρουτσοπούλου, ΣΧΟΛΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ 1ΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΑΥΡΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2006-2007 Οι μαθητές της ομάδας λογοτεχνίας της βιβλιοθήκης ασχολήθηκαν με το έργο πέντε γυναικών συγγραφέων: Ζωρζ Σαρή, Λότη Πέτροβιτς- Ανδρουτσοπούλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΗ ΕΝΩΣΗ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: ΦΟΥΣΚΑΡΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧ/ΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. ΘΕΜΑ: Προστασία µε επιµεταλλώσεις. Σκαβάρας Παναγιώτης

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧ/ΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. ΘΕΜΑ: Προστασία µε επιµεταλλώσεις. Σκαβάρας Παναγιώτης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧ/ΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΘΕΜΑ: Προστασία µε επιµεταλλώσεις Σκαβάρας Παναγιώτης 1 Ως επιµετάλλωση ορίζουµε την εναπόθεση στρώµατος µεταλλικού υλικού στην επιφάνεια µετάλλου,

Διαβάστε περισσότερα

03-00: Βιομάζα για παραγωγή ενέργειας Γενικά ζητήματα εφοδιαστικών αλυσίδων

03-00: Βιομάζα για παραγωγή ενέργειας Γενικά ζητήματα εφοδιαστικών αλυσίδων Κεφάλαιο 03-00 σελ. 1 03-00: Βιομάζα για παραγωγή ενέργειας Γενικά ζητήματα εφοδιαστικών αλυσίδων Μια από τις κύριες διαφορές μεταξύ της βιομάζας και των ορυκτών καυσίμων είναι ότι η βιομάζα παραμένει

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ, ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ

Ο ΗΓΙΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ, ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ, ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ CR300 CR400 ΜΟΝΤΕΛA CR 300, 400 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η σωστή τοποθέτηση και συντήρηση της συσκευής επιτρέπει την οµαλή λειτουργία της, εποµένως είναι απαραίτητο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Γενικές έννοιες Πραγματική Παραγωγική μιας παραγωγικής μονάδας είναι η μέγιστη ικανότητα παραγωγής της όταν αυτή λειτουργεί για μεγάλο χρονικό διάστημα σε κανονικές

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στο ταξινοµούµε

Σηµειώσεις στο ταξινοµούµε Σηµειώσεις στο ταξινοµούµε Εισαγωγή... 2 επεξεργαστής βάσεων... 2 Τρόπος εµφάνισης των εγγραφών στη βάση δεδοµένων... 2 Ερώτηση- Σύνολο... 3 Λειτουργία... 3 Ραβδογράµµατα... 6 Γραφήµατα... 7 Εφαρµογή...

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΝΑΙΚΕΙΟΙ ΑΓΡΟΤΟΥΡΙΣΤΙΚΟΙ ΣΥΝΕΤΑΙΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑ Α

ΓΥΝΑΙΚΕΙΟΙ ΑΓΡΟΤΟΥΡΙΣΤΙΚΟΙ ΣΥΝΕΤΑΙΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑ Α ΕΝΤΥΠΟ ΥΛΙΚΟ 8 ης ΙΑΛΕΞΗΣ ΓΥΝΑΙΚΕΙΟΙ ΑΓΡΟΤΟΥΡΙΣΤΙΚΟΙ ΣΥΝΕΤΑΙΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑ Α Τις δύο τελευταίες δεκαετίες στην Ελλάδα έγιναν σηµαντικές προσπάθειες για την ανάπτυξη του αγροτουρισµού, ως µοχλό για την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΓΝΩΣΗΣ ΑΝΑΓΚΩΝ ΑΓΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΔΙΑΓΝΩΣΗ ΑΝΑΓΚΩΝ ΣΕ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΓΝΩΣΗΣ ΑΝΑΓΚΩΝ ΑΓΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΔΙΑΓΝΩΣΗ ΑΝΑΓΚΩΝ ΣΕ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΥΠΟ ΤΗΝ ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑΣ, ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΛΛΗΛΕΓΓΥΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΓΝΩΣΗΣ ΑΝΑΓΚΩΝ ΑΓΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΔΙΑΓΝΩΣΗ ΑΝΑΓΚΩΝ ΣΕ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2015 ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΓΝΩΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

2004-2006: Aύξηση φόρου εισοδήµατος, και µείωση µισθών

2004-2006: Aύξηση φόρου εισοδήµατος, και µείωση µισθών 2004-2006: Aύξηση φόρου εισοδήµατος, και µείωση µισθών Περίληψη Το Υπουργείο Οικονοµικών έχει κατορθώσει να µειώσει τους πραγµατικούς µας µισθούς, συνδυάζοντας την επίδραση των ακολούθων γεγονότων που

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΟΥ Ένα απλό σχολικό µικροσκόπιο αποτελείται από τρία βασικά συστήµατα, το οπτικό, το µηχανικό και το φωτιστικό.

Α. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΟΥ Ένα απλό σχολικό µικροσκόπιο αποτελείται από τρία βασικά συστήµατα, το οπτικό, το µηχανικό και το φωτιστικό. ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΟ ΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΟ Σκοπός - Να γνωρίσετε την κατασκευή και τη λειτουργία του µικροσκοπίου. - Να εξασκηθείτε στην προετοιµασία παρασκευασµάτων. - Να εξοικειωθείτε στη χρήση του µικροσκοπίου. Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΝΟΝΙΣΜΩΝ ΒΙΒΛΙΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΝΟΝΙΣΜΩΝ ΒΙΒΛΙΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΝΟΝΙΣΜΩΝ ΒΙΒΛΙΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1: ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΣ ΥΨΟΣ ΤΟΥ ΦΙΛΕ 1.1. Ύψος του φιλέ Κεφάλαιο 2: ΣΥΜΜΕΤΕΧΟΝΤΕΣ ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ 2.1. Παίκτης µε τεχνητό πόδι

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικότητα: Ύφασµα Ένδυση

Ειδικότητα: Ύφασµα Ένδυση Ειδικότητα: Ύφασµα Ένδυση Αναλυτικό Πρόγραµµα Σπουδών του Μαθήµατος Β Τάξη 1 ου Κύκλου Τ.Ε.Ε. 3 ώρες /εβδοµάδα Αθήνα, Απρίλιος 2001 Μάθηµα: «Ιστορία ΙΙ». Α. ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Το µάθηµα

Διαβάστε περισσότερα

Σοφία Γιουρούκου, Ψυχολόγος Συνθετική Ψυχοθεραπεύτρια

Σοφία Γιουρούκου, Ψυχολόγος Συνθετική Ψυχοθεραπεύτρια Σοφία Γιουρούκου, Ψυχολόγος Συνθετική Ψυχοθεραπεύτρια Η αντίδραση στο άγχος είναι μία φυσιολογική, ζωτική αντίδραση στην απειλή. Το άγχος είναι ένα συναίσθημα δυσθυμίας που προέρχεται από την υποκειμενική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 23 1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Συνέχεια του µαθήµατος 22 Ασκήσεις. 3 η ενότητα 17.

ΜΑΘΗΜΑ 23 1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Συνέχεια του µαθήµατος 22 Ασκήσεις. 3 η ενότητα 17. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ενότητα 7. ΜΑΘΗΜΑ 3.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνέχεια του µαθήµατος Ασκήσεις ίνεται συνάρτηση f : R R, για την οποία ισχύουν : α) Είναι συνεχής β) 3 f () + f () = + +, για κάθε R Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΓΝΩΣΗΣ ΑΝΑΓΚΩΝ ΑΓΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΑΡΑΔΟΤΕΟ ΕΘΝΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ

ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΓΝΩΣΗΣ ΑΝΑΓΚΩΝ ΑΓΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΑΡΑΔΟΤΕΟ ΕΘΝΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ ΥΠΟ ΤΗΝ ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑΣ, ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΛΛΗΛΕΓΓΥΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΓΝΩΣΗΣ ΑΝΑΓΚΩΝ ΑΓΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2015 ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΓΝΩΣΗΣ ΑΝΑΓΚΩΝ ΑΓΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ολυμπία Καμινιώτη

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ 1. EIΣΑΓΩΓΗ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Πακέτο Στοχευμένων Μέτρων Κρατικής Φοιτητικής Πρόνοιας για το ακαδημαϊκό έτος 2013-2014 Kριτήρια - Οδηγίες 1.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Υποψήφιοι Σχολικοί Σύμβουλοι 1986 2005

Υποψήφιοι Σχολικοί Σύμβουλοι 1986 2005 Υποψήφιοι Σχολικοί Σύμβουλοι 1986 25 Για τους /τις εκπαιδευτικούς που υπέβαλαν αίτηση υποψηφιότητας για τη θέση Σχολικού Συμβούλου υπάρχουν μας διατέθηκαν από τις αρμόδιες υπηρεσίες του ΥΠΕΠΘ, για τα έτη

Διαβάστε περισσότερα

ΝΕΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΠΡΟΪΟΝΤΑ- ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ

ΝΕΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΠΡΟΪΟΝΤΑ- ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΝΕΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΠΡΟΪΟΝΤΑ- ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΟΙ ΦΟΙΤΗΤΕΣ: ΤΣΙΡΙΠΙΔΟΥ ΦΩΤΕΙΝΗ ΚΑΣΙΑΡΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος...1 Εισαγωγή...6 ΜΕΡΟΣ Α ΝΕΟ ΠΡΟΪΟΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ 3263/2004 (ΦΕΚ 179 Α ) Μειοδοτικό σύστηµα ανάθεσης των δηµοσίων έργων και άλλες διατάξεις

ΝΟΜΟΣ 3263/2004 (ΦΕΚ 179 Α ) Μειοδοτικό σύστηµα ανάθεσης των δηµοσίων έργων και άλλες διατάξεις ΝΟΜΟΣ 3263/2004 (ΦΕΚ 179 Α ) Μειοδοτικό σύστηµα ανάθεσης των δηµοσίων έργων και άλλες διατάξεις ΑΡΘΡΟ 1 Ανάδειξη αναδόχου εκτέλεσης των έργων 1. Η ανάθεση της κατασκευής των δηµοσίων έργων γίνεται υποχρεωτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΡΙΣΜΑ. Κύκλος Κοινωνικής Προστασίας. ιερεύνηση συνθηκών θανάτων νεογνών [ΑΡ. ΠΡΩΤ. ΑΝΑΦΟΡΑΣ 1464/25-02-1999]

ΠΟΡΙΣΜΑ. Κύκλος Κοινωνικής Προστασίας. ιερεύνηση συνθηκών θανάτων νεογνών [ΑΡ. ΠΡΩΤ. ΑΝΑΦΟΡΑΣ 1464/25-02-1999] Κύκλος Κοινωνικής Προστασίας ΠΟΡΙΣΜΑ (ΝΟΜΟΣ 2477/1997 Συνήγορος του Πολίτη και Σώµα Ελεγκτών-Επιθεωρητών ηµόσιας ιοίκησης Άρθρο 4, Παράγραφος 6) [ΑΡ. ΠΡΩΤ. ΑΝΑΦΟΡΑΣ 1464/25-02-1999] Θέµα: ιερεύνηση συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΜΙΑΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ

ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΜΙΑΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ- ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΕΒΕΖΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΜΙΑΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2. Γενικά Οργάνωση Ελέγχου (ΙΙ) Φύλλα Εργασίας Εκθέσεις Ελέγχων

Ενότητα 2. Γενικά Οργάνωση Ελέγχου (ΙΙ) Φύλλα Εργασίας Εκθέσεις Ελέγχων Ενότητα 2 Γενικά Οργάνωση Ελέγχου (ΙΙ) Φύλλα Εργασίας Εκθέσεις Ελέγχων Φύλλα Εργασίας (Γενικά) Με τον όρο "φύλλα εργασίας" εννοούµε, το σύνολο των φύλλων που περιέχουν όλο το αποδεικτικό υλικό, το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του παιχνιδιού. Περιεχόμενα

Σκοπός του παιχνιδιού. Περιεχόμενα Ένα συνεργατικό παιχνίδι μνήμης για 3 έως 6 παίκτες, 7 ετών και άνω. Ο Τομ σκαρφάλωσε στην κορυφή ενός δέντρου, για να δεί αν μπορούσε να ανακαλύψει κάτι. Κοιτάζοντας προς κάθε μεριά, είδε τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Επίσηµη Εφηµερίδα αριθ. C 372 της 09/12/1997 σ. 0005-0013

Επίσηµη Εφηµερίδα αριθ. C 372 της 09/12/1997 σ. 0005-0013 Επίσηµη Εφηµερίδα αριθ. C 372 της 09/12/1997 σ. 0005-0013 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ όσον αφορά τον ορισµό της σχετικής αγοράς για τους σκοπούς του κοινοτικού δικαίου ανταγωνισµού (97/C 372/03) (Κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΟΡΓΑΝΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ

Α. ΟΡΓΑΝΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ Α. ΟΡΓΑΝΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ Με την υπαγωγή του τομέα και της πολιτικής για την Έρευνα και την Τεχνολογία στο Υπουργείο Παιδείας, Δια Βίου Μάθησης και Θρησκευμάτων (ΥΠΔΒΜΘ), το Υπουργείο ανέλαβε

Διαβάστε περισσότερα

ÔÏÕËÁ ÓÁÑÑÇ ÊÏÌÏÔÇÍÇ

ÔÏÕËÁ ÓÁÑÑÇ ÊÏÌÏÔÇÍÇ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Α. Αγαπητοί συµµαθητές, Ηµεροµηνία: Κυριακή 6 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ο αρθρογράφος περιγράφοντας το αγχωτικό

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά σημεία διάλεξης

Βασικά σημεία διάλεξης Διάλεξη 3 η Βασικές έννοιες και κατηγορίες κόστους Μέρος Β Δρ. Δημήτρης Μπάλιος_ 2 _Βασικές έννοιες και κατηγορίες κόστους Βασικά σημεία διάλεξης Σταθερό, μεταβλητό και μικτό κόστος. Άμεσο και έμμεσο κόστος.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΨΑΡΡΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΨΑΡΡΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΡΑΒΑΣΕΙΣ-ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΑ ΠΡΟΣΤΙΜΑ ΚΑΙ ΚΥΡΩΣΕΙΣ. ΦΟΡΟΔΙΑΦΥΓΗ- ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΗΣ-ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Έρευνα Καταναλωτικής Εμπιστοσύνης

Έρευνα Καταναλωτικής Εμπιστοσύνης Έρευνα Καταναλωτικής Εμπιστοσύνης 1 ΤΥΠΟΣ ΕΡΕΥΝΑΣ97 ΠΕΡΙΟΧΗ ΕΡΕΥΝΑΣ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΔΟΜΗΜΕΝΟΥ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΕΡΕΥΝΑΣ 30/10/2012 4/1/2013 ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΥ - ΦΑΥ ΕΡΓΟΥ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΗΜΟΣ ΜΙΝΩΑ ΠΕ ΙΑ ΑΣ /νση Τεχνικών Υπηρεσιών.

ΣΑΥ - ΦΑΥ ΕΡΓΟΥ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΗΜΟΣ ΜΙΝΩΑ ΠΕ ΙΑ ΑΣ /νση Τεχνικών Υπηρεσιών. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΗΜΟΣ ΜΙΝΩΑ ΠΕ ΙΑ ΑΣ /νση Τεχνικών Υπηρεσιών Έργο: Προϋπολογισµός: 320.000,00 Βελτίωση - αντικατάσταση αρδευτικού δικτύου τ.κ. Σκινιά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ. ΝΟΜΟΣ. Δηµόσιες υπεραστικές οδικές µεταφορές επιβατών. Κεφ. Α - ΓΕΝΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ. Άρθρο 1 Σκοπός πεδίο εφαρµογής

ΣΧΕΔΙΟ. ΝΟΜΟΣ. Δηµόσιες υπεραστικές οδικές µεταφορές επιβατών. Κεφ. Α - ΓΕΝΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ. Άρθρο 1 Σκοπός πεδίο εφαρµογής ΣΧΕΔΙΟ ΝΟΜΟΣ. Δηµόσιες υπεραστικές οδικές µεταφορές επιβατών Κεφ. Α - ΓΕΝΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ Άρθρο 1 Σκοπός πεδίο εφαρµογής 1. Σκοπός του παρόντος νόµου είναι : α) η εξασφάλιση της συνεχούς προσφοράς δηµοσίων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Με βάση το στόχο της εργασίας που ήταν να εντοπιστούν και να παρουσιαστούν οι ποσοτικές (διαφορές βαθµολογικής απόδοσης) και οι ποιοτικές διαφορές (που αφορούν στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ ΑΡΩΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΩΝ ΒΙΟΚΑΥΣΙΜΩΝ

ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ ΑΡΩΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΩΝ ΒΙΟΚΑΥΣΙΜΩΝ «Αναδιάρθρωση της καλλιέργειας του καπνού : Επιχειρηµατική Καθοδήγηση για την Βιωσιµότητα των Αγροτικών Επιχειρήσεων & Προοπτικές Αρωµατικών-Φαρµακευτικών και Ενεργειακών φυτών» ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ ΑΡΩΜΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

«Πολιτιστικές διαδροµές στα µεταλλευτικά τοπία της Kύθνου»

«Πολιτιστικές διαδροµές στα µεταλλευτικά τοπία της Kύθνου» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΕΣ 2009-10 (15/2/2011 - πηγή www.greekarchitects.gr) «Πολιτιστικές διαδροµές στα µεταλλευτικά τοπία της Kύθνου» Φυσικό τοπίο - βιοµηχανική κληρονοµιά - ιστορική µνήµη. Φοιτητές: Βελουδάκη Χριστιάννα,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΝΕΟ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟ ΤΟΠΙΟ

ΤΟ ΝΕΟ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟ ΤΟΠΙΟ ΤΑ ΟΡΙΑ ΗΛΙΚΙΑΣ ΓΙΑ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΟΥΣ ΣΤΑ ΕΛ-ΤΑ - ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΦΑΛΙΣΜΕΝΩΝ (ΤΑΠ-ΟΤΕ) ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟΥ Π.Ο.Σ.Τ. ΤΟ ΝΕΟ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟ ΤΟΠΙΟ Μετά την έκδοση της εγκυκλίου με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ: ΘΕΜΑ: Ενηµερωτικό σηµείωµα για το πρόβληµα της παράνοµης υλοτοµίας και ειδικά αυτό της καυσοξύλευσης

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ: ΘΕΜΑ: Ενηµερωτικό σηµείωµα για το πρόβληµα της παράνοµης υλοτοµίας και ειδικά αυτό της καυσοξύλευσης 1 Ιωάννης Κέκερης ασοπόνος Επίτιµος Πρόεδρος Ένωσης ασοπόνων Μακεδονίας Θράκης Μέλος.Σ. Πανελλήνιας Ένωσης ασοπόνων και ιαχειριστών Φυσικού Περιβάλλοντος ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ: Αρναία 16/12/2012 Κα Πρόεδρο Ειδικής

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ Σ ΕΠ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ ( Π.3.4.1) 1. ΣΚΟΠΟΣ

ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ Σ ΕΠ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ ( Π.3.4.1) 1. ΣΚΟΠΟΣ Σελ.: 1 Από: 15 ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ Σ ΕΠ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ ( Π.3.4.1) 1. ΣΚΟΠΟΣ Σκοπός της παρούσας διαδικασίας είναι η περιγραφή της ιαδικασίας Προµηθειών που ακολουθεί η Σιβιτανίδειος Σχολή Τεχνών και Επαγγελµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΤΛΟΣ I ΕΥΡΩΠΑΪΚΑ ΣΧΟΛΕΙΑ

ΤΙΤΛΟΣ I ΕΥΡΩΠΑΪΚΑ ΣΧΟΛΕΙΑ ΣΥΜΒΑΣΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟ ΤΩΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΩΝ ΣΧΟΛΕΙΩΝ ΠΡΟΟΙΜΙΟ ΤΑ ΥΨΗΛΑ ΣΥΜΒΑΛΛΟΜΕΝΑ ΜΕΡΗ, ΜΕΛΗ ΤΩΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΩΝ ΚΟΙΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΟΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΕΣ ΚΟΙΝΟΤΗΤΕΣ, στο εξής αποκαλούµενα «τα συµβαλλόµενα µέρη»,

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκηνωτικές Σκέψεις

Κατασκηνωτικές Σκέψεις Κατασκηνωτικές Σκέψεις Αγαπητοί Γερόλυκοι, Στον καθένα και καθεµία Αρχηγό ξεχωριστά αξίζει ένα µεγάλο µπράβο γιατί για ένα ακόµα καλοκαίρι όπως τα τελευταία 101 χρόνια Λυκόπουλα, Πρόσκοποι, Ανιχνευτές

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΘΗΝΑ 2015 1 Το επιστημονικό περιεχόμενο του παρόντος βιβλίου έχει υποβληθεί σε κριτική ανάγνωση και εγκριθεί με το σύστημα των κριτών. Η κριτική ανάγνωση πραγματοποιήθηκε από

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτικό 6/2012 της συνεδρίασης της Επιτροπής Ποιότητας Ζωής, του Δήμου Λήμνου, της 4ης Μαΐου 2012.

Πρακτικό 6/2012 της συνεδρίασης της Επιτροπής Ποιότητας Ζωής, του Δήμου Λήμνου, της 4ης Μαΐου 2012. Πρακτικό 6/2012 της συνεδρίασης της Επιτροπής Ποιότητας Ζωής, του Δήμου Λήμνου, της 4ης Μαΐου 2012. Στη Μύρινα, σήμερα στις 4 του μήνα Μαΐου του έτους 2012, ημέρα Παρασκευή και ώρα 12:00 στο Δημοτικό Κατάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Η αξιολόγηση των εκπαιδευτικών το Π.Δ 152/2013, του Γιώργου Καλημερίδη

Η αξιολόγηση των εκπαιδευτικών το Π.Δ 152/2013, του Γιώργου Καλημερίδη Η αξιολόγηση των εκπαιδευτικών το Π.Δ 152/2013, του Γιώργου Καλημερίδη Η εισήγηση μου χωρίζεται σε δύο μέρη. Θα κάνω μια μικρή εισαγωγή για την αξιολόγηση γενικά στη σημερινή συγκυρία και με βάση αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Από το ξεκίνημά του ο ΤΙΤΑΝ εκφράζει

Από το ξεκίνημά του ο ΤΙΤΑΝ εκφράζει Ένας Τιτανικός θεσμός επιβράβευσης επιτυχιών νέων ανθρώπων Από το ξεκίνημά του ο ΤΙΤΑΝ εκφράζει έμπρακτα και πολύπλευρα το ενδιαφέρον του για τους νέους ανθρώπους, ιδιαίτερα δε για τα παιδιά, κάθε ηλικίας,

Διαβάστε περισσότερα

στο σχέδιο νόµου «Διαχείριση των µη εξυπηρετούµενων δανείων, µισθολογικές ρυθµίσεις και άλλες επείγουσες στόχων και διαρθρωτικών µεταρρυθµίσεων»

στο σχέδιο νόµου «Διαχείριση των µη εξυπηρετούµενων δανείων, µισθολογικές ρυθµίσεις και άλλες επείγουσες στόχων και διαρθρωτικών µεταρρυθµίσεων» ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ στο σχέδιο νόµου «Διαχείριση των µη εξυπηρετούµενων δανείων, µισθολογικές ρυθµίσεις και άλλες επείγουσες διατάξεις εφαρµογής της συµφωνίας δηµοσιονοµικών στόχων και διαρθρωτικών µεταρρυθµίσεων»

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη, 23 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΡΑΣΗ - ΕΚΘΕΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟ

Τρίτη, 23 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΡΑΣΗ - ΕΚΘΕΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟ Τρίτη, 23 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΡΑΣΗ - ΕΚΘΕΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟ Έχει παρατηρηθεί ότι οι πέρα από τα κοινά µέτρα δηµιουργικοί άνθρωποι στον τοµέα του πνεύµατος έχουν σιδερένιαν αντοχή και µπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΣ ΑΕΡΙΣΜΟΣ - ΡΟΣΙΣΜΟΣ

ΦΥΣΙΚΟΣ ΑΕΡΙΣΜΟΣ - ΡΟΣΙΣΜΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ νέες κατασκευές αναδιαµόρφωση καινούριων κτιρίων ανακαίνιση και µετασκευή ιστορικών κτιρίων έργα "εκ του µηδενός" σε ιστορικά πλαίσια 2 Με τη χρήση συστηµάτων δροσισµού ο στόχος είναι να µειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

(Πράξη κατάθεσης Υπουργείου Απασχόλησης και Κοινωνικής Προστασίας:ΠΚ 69/18-7-08)

(Πράξη κατάθεσης Υπουργείου Απασχόλησης και Κοινωνικής Προστασίας:ΠΚ 69/18-7-08) ΣΥΛΛΟΓΙΚΗ ΣΥΜΒΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΤΩΝ ΕΡΓΑΤΟΤΕΧΝΙΤΩΝ ΚΑΙ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ, ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ, ΣΥΝΑΡΜΟΛΟΓΗΣΗΣ, ΣΥΣΚΕΥΑΣΙΑΣ, ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ Κ.Λ.Π ΜΕΤΑΛΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

& ../../.. 37, 151 80 :.. :... ... FAX :... & e-mail: :...

&  ../../..   37, 151 80   :.. :...  ...    FAX :... &  e-mail: :... Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Βαθµός Ασφαλείας ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝ.ΠΑΙ ΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Αθήνα../../.. Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αριθ.

Διαβάστε περισσότερα

Αθήνα, 10/12/2014 ΠΟΛ 1253/2014

Αθήνα, 10/12/2014 ΠΟΛ 1253/2014 Αθήνα, 10/12/2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΣΟ ΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ 1. ΥΠΟ /ΝΣΗ Β - ΕΜΜΕΣΗΣ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ Α' -ΦΠΑ 2. ΑΥΤΟΤΕΛΕΣ ΤΜΗΜΑ Β' -

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΗΜΟΣΙΑΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥ ΚΡΑΤΟΥΣ (ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΙΚΟ ΙΚΑΙΟ)

ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΗΜΟΣΙΑΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥ ΚΡΑΤΟΥΣ (ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΙΚΟ ΙΚΑΙΟ) ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΗΜΟΣΙΑΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥ ΚΡΑΤΟΥΣ (ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΙΚΟ ΙΚΑΙΟ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΕΡΩΤΗΣΗ Με τον όρο δικαίωµα εκφράζεται η εξουσία που παρέχεται από το σύστηµα δικαίου. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΒΑΤΗΣ-ΧΑΪΝΗΔΕΣ Οι Χαΐνηδες Ο Δημήτρης Αποστολάκης

ΑΚΡΟΒΑΤΗΣ-ΧΑΪΝΗΔΕΣ Οι Χαΐνηδες Ο Δημήτρης Αποστολάκης ΑΚΡΟΒΑΤΗΣ-ΧΑΪΝΗΔΕΣ 1. Έχω επιλέξει ένα τραγούδι τον που είναι μια δημιουργία των Χαΐνηδων. Οι Χαΐνηδες είναι ένα συγκρότημα από την Κρήτη που παίζουν έντεχνη και παραδοσιακή μουσική. Οι μουσική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΘΗΒΑΙΩΝ ΜΕΛΕΤΗ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΘΗΒΑΙΩΝ ΜΕΛΕΤΗ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑΣ ΝΟΜΟΣ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑΣ ΚΑΥΣΙΜΩΝ 2015 ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΡΓΟ: «Προμήθεια καυσίμων 2015» Προϋπολογισμός: 73.059,54 ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ Με την μελέτη αυτή προβλέπεται η προμήθεια καυσίμων για τις ανάγκες

Διαβάστε περισσότερα

Θεµατικές ενότητες: παρεµβάσεις και ενδεικτικές υποθέσεις. 1. Οικονοµική πολιτική. Παρεµβάσεις οικονοµικού χαρακτήρα

Θεµατικές ενότητες: παρεµβάσεις και ενδεικτικές υποθέσεις. 1. Οικονοµική πολιτική. Παρεµβάσεις οικονοµικού χαρακτήρα Στατιστικά στοιχεία Κατά τη διάρκεια του 2011 ο Συνήγορος δέχθηκε 10.706 νέες αναφορές. Μεταξύ αυτών, εκατοντάδες αναφορές προέρχονται από οµάδες πολιτών - είναι δηλαδή «συλλογικές αναφορές». Η γεωγραφική

Διαβάστε περισσότερα

Αυτός που δεν μπορεί να δει τα μικρά πράγματα είναι τυφλός και για τα μεγαλύτερα. (Κομφούκιος, 551-479 πχ)

Αυτός που δεν μπορεί να δει τα μικρά πράγματα είναι τυφλός και για τα μεγαλύτερα. (Κομφούκιος, 551-479 πχ) Αυτός που δεν μπορεί να δει τα μικρά πράγματα είναι τυφλός και για τα μεγαλύτερα (Κομφούκιος, 551-479 πχ) ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στο παιχνίδι αυτό, κάθε παίκτης έχει το ρόλο ενός Κινέζου πρίκγιπα, προσπαθώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΗ ΙΑΥΓΕΙΑ

ΑΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΗ ΙΑΥΓΕΙΑ ΑΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΗ ΙΑΥΓΕΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, /11/2012 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ & ΠΡΟΝΟΙΑΣ Αριθµ. πρωτ.: Φ.80000/οικ.27040 /1798 ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΑΣΦΑΛΙΣΕΩΝ ΠΡΟΣ : ΓΕΝΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ 1)

Διαβάστε περισσότερα

Απομόνωση χλωροφύλλης

Απομόνωση χλωροφύλλης Απομόνωση χλωροφύλλης Φυτικά κύτταρα Χλωροπλάστης Α Γυμνασίου Κεφάλαιο 2 Ενότητα 2.1 Σελ. 39-40 Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 2 Ενότητα 2.2 Σελ. 43-44 1 Εισαγωγή Οι αυτότροφοι οργανισμοί όπως τα φυτά, παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

4 Περίοδοι µε 3ωρα ιαγωνίσµατα ΕΚΤΟΣ ωραρίου διδασκαλίας!!! ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 2013 2014

4 Περίοδοι µε 3ωρα ιαγωνίσµατα ΕΚΤΟΣ ωραρίου διδασκαλίας!!! ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 2013 2014 Έναρξη ιαγωνισµών 1 ης περιόδου (Θερινά Τµήµατα) Έναρξη µαθηµάτων για τα Θερινά Τµήµατα Συγκέντρωση µαθητών ενηµέρωση Έναρξη µαθηµάτων νέων τµηµάτων Αργία 28 ης Οκτωβρίου Έναρξη ιαγωνισµών 2 ης Περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

Όμιλος Λογοτεχνίας. Δράκογλου Αναστασία, Κιννά Πασχαλίνα

Όμιλος Λογοτεχνίας. Δράκογλου Αναστασία, Κιννά Πασχαλίνα Όμιλος Λογοτεχνίας Δράκογλου Αναστασία, Κιννά Πασχαλίνα Πρότυπο Πειραματικό Δημοτικό Σχολείο Σερρών «Κων/νος Καραμανλής» Δράκογλου Αναστασία, adrakogl@yahoo.gr Κιννά Πασχαλίνα, kinpash@yahoo.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εσωτερικοί Κανονισμοί Τοπικής Αυτοδιοίκησης

Εσωτερικοί Κανονισμοί Τοπικής Αυτοδιοίκησης Εσωτερικοί Κανονισμοί Τοπικής Αυτοδιοίκησης Καταστατικές Πρόνοιες και Εσωτερικοί Κανονισμοί που αφορούν τη Διεύθυνση Τοπικής Αυτοδιοίκησης, τις εκλογές Τοπικής Αυτοδιοίκησης και Σχολικών Εφορειών, τη λειτουργία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ. Άρθρο 4 Κοινοί διαδικαστικοί κανόνες

ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ. Άρθρο 4 Κοινοί διαδικαστικοί κανόνες ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ στο σχέδιο νόµου «Προσαρµογή στο εθνικό δίκαιο της Εκτελεστικής Οδηγίας 2012/25/ΕΕ της Επιτροπής της 9ης Οκτωβρίου 2012 για τη θέσπιση διαδικασιών ε- νηµέρωσης σχετικά µε την ανταλλαγή,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΩΝ ΚΟΙΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΜΠΤΗ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΩΝ ΚΟΙΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΜΠΤΗ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΩΝ ΚΟΙΝΟΤΗΤΩΝ Βρυξέλλες, 08.11.2002 COM(2002) 612 τελικό ΠΕΜΠΤΗ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟ σχετικά µε την εφαρµογή των άρθρων 4 και 5 της

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Φυσική Β' Γυμνασίου. Επιμέλεια: Ιωάννης Γιαμνιαδάκης

ΔΙΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Φυσική Β' Γυμνασίου. Επιμέλεια: Ιωάννης Γιαμνιαδάκης ΔΙΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Φυσική Β' Γυμνασίου Επιμέλεια: Ιωάννης Γιαμνιαδάκης Σύνδεση με προηγούμενο Μάθημα Στο κεφάλαιο Θερμότητα έχουμε μάθει: Τι είναι θερμότητα & θερμοκρασία μακροσκοπικά & μικροσκοπικά Μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο σκοπός του Εθνικού Πλαισίου Περιβαλλοντικών Δράσεων είναι να παρέχει μια κοινή πλατφόρμα για τις περιβαλλοντικές δράσεις που αναλαμβάνονται από τις

Διαβάστε περισσότερα

109(Ι)/2014 ΝΟΜΟΣ ΠΟΥ ΠΡΟΝΟΕΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΕΓΓΥΗΜΕΝΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΑ ΠΕΡΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΠΑΡΟΧΩΝ ΤΟΥ 2014 ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΑΡΘΡΩΝ

109(Ι)/2014 ΝΟΜΟΣ ΠΟΥ ΠΡΟΝΟΕΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΕΓΓΥΗΜΕΝΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΑ ΠΕΡΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΠΑΡΟΧΩΝ ΤΟΥ 2014 ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΑΡΘΡΩΝ 109(Ι)/2014 ΝΟΜΟΣ ΠΟΥ ΠΡΟΝΟΕΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΕΓΓΥΗΜΕΝΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΑ ΠΕΡΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΠΑΡΟΧΩΝ ΤΟΥ 2014 ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΑΡΘΡΩΝ 1. Συνοπτικός τίτλος. 2. Ερμηνεία. 3. Μητρώο. 4. Υποβολή αίτησης. 5. Προϋποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

7. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΝΟΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΤΗΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ

7. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΝΟΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΤΗΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ 7. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΝΟΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΤΗΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ 7.1. Περιεχόμενο 1.Κατανόηση Γλώσσας- Ο μαθητής θα κατανοήσει το θέμα που εκφέρεται στην Ελληνική Νοηματική Γλώσσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΥΛΟΣ ΠΑΠΠΑ. ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΤΟ ΥΠΟΕΡΓΟ 1 της πράξης «Πολιτιστικές εκπαιδευτικές δραστηριότητες στον Δήμο Λαρισαίων με διαδραστικό χαρακτήρα» (MIS 453635)

ΜΥΛΟΣ ΠΑΠΠΑ. ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΤΟ ΥΠΟΕΡΓΟ 1 της πράξης «Πολιτιστικές εκπαιδευτικές δραστηριότητες στον Δήμο Λαρισαίων με διαδραστικό χαρακτήρα» (MIS 453635) ΜΥΛΟΣ ΠΑΠΠΑ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΤΟ ΥΠΟΕΡΓΟ 1 της πράξης «Πολιτιστικές εκπαιδευτικές δραστηριότητες στον Δήμο Λαρισαίων με διαδραστικό χαρακτήρα» (MIS 453635) Ταξίδι στον χρόνο περίπου 100 χρόνια πριν Λάρισα τέλη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΑ ΕΡΕΥΝΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΚΟΙΝΟΥ HELLAS HEALTH III Ινστιτούτο Κοινωνικής Προληπτικής Ιατρικής Version : 08//200 ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΨΥΧΙΚΗΣ ΥΓΕΙΑΣ: ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΨΥΧΙΚΗΣ ΥΓΕΙΑΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 200 ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΤΡΑΠΕΖΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΤΡΑΠΕΖΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΤΡΑΠΕΖΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Επιβλέπων: Καθηγητής Αρσένος Παναγιώτης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΘΕΣΜΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΑΝΑΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΕΚΠΟΝΗΣΗΣ ΜΕΛΕΤΩΝ

ΘΕΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΘΕΣΜΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΑΝΑΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΕΚΠΟΝΗΣΗΣ ΜΕΛΕΤΩΝ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΜΕΛΕΤΗΤΩΝ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ (ΣΜΥΕ-ΔΥΠ) Λ.ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΣ 40,11473 ΑΘΗΝΑ ΤΗΛ.2108822303/2108064543 FAX 2106124492 EMAIL:info@smye.gr ΘΕΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Η εξέλιξη της επιστηµονικής σκέψης και του πειραµατισµού στην Ελληνιστική

Η εξέλιξη της επιστηµονικής σκέψης και του πειραµατισµού στην Ελληνιστική ΟΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΞΕΛΙΞΕΙΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ Η εξέλιξη της επιστηµονικής σκέψης και του πειραµατισµού στην Ελληνιστική εποχή Παρά τους διαρκείς πολέµους και το κλίµα σχετικής ανασφάλειας,

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΚΟΠΟΣ ΤΟΥ ΦΑΚΕΛΛΟΥ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΚΑΙ ΥΓΕΙΑΣ ΕΡΓΟΥ

1. ΣΚΟΠΟΣ ΤΟΥ ΦΑΚΕΛΛΟΥ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΚΑΙ ΥΓΕΙΑΣ ΕΡΓΟΥ Β. ΦΑΚΕΛΟΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΚΑΙ ΥΓΕΙΑΣ ΕΡΓΟΥ 1. ΣΚΟΠΟΣ ΤΟΥ ΦΑΚΕΛΛΟΥ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΚΑΙ ΥΓΕΙΑΣ ΕΡΓΟΥ Ο Φακελος ασφαλειας και υγειας του εργου περιλάµβανει το µητρωο του εργου και οδηγιες και χρησιµα στοιχεια σε θεµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΥΠΟΥ. Η ολοκληρωμένη προσέγγιση θα εφαρμοστεί με τα παρακάτω Εργαλεία

ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΥΠΟΥ. Η ολοκληρωμένη προσέγγιση θα εφαρμοστεί με τα παρακάτω Εργαλεία ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΥΠΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η κρίση υπερχρέωσης και οι πολιτικές δημοσιονομικής προσαρμογής ανέδειξαν τις διαρθρωτικές αδυναμίες της περιφερειακής οικονομίας και προκάλεσαν επιπτώσεις σε σχέση με την οικονομική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΙΜΑ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ. Αγγελική Περιστέρη Α 2

ΕΘΙΜΑ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ. Αγγελική Περιστέρη Α 2 ΕΘΙΜΑ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ Αγγελική Περιστέρη Α 2 ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ Ιρλανδία: Τη νύκτα της παραμονής των Χριστουγέννων όλα τα παράθυρα των σπιτιών που βλέπουν προς το δρόμο, φωτίζονται από ένα αναμμένο κερί, το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Αντωνία Αθανασοπούλου

Αντωνία Αθανασοπούλου Πίνακας 1. Μέθοδοι αντιµετώπισης της διάβρωσης (ορύγµατα) Λοφίσκος στην κορυφή του ορύγµατος Ανάχωµα παροχέτευσης Αναβαθµοί Αγωγοί στράγγισης Σπορά / Κάλυψη µε άχυρα Χλοοτάπητας Προσωρινή κάλυψη Οδοντωτή

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σημειώσεις με θέμα «Πιστωτικοί Τίτλοι» Πιστωτικοί τίτλοι καλούνται τα έγγραφα εκείνα με τα οποία αποδεικνύεται τόσο η ύπαρξη της

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή: ακαδηµαϊκά αδικήµατα και κυρώσεις

Εισαγωγή: ακαδηµαϊκά αδικήµατα και κυρώσεις Εισαγωγή: ακαδηµαϊκά αδικήµατα και κυρώσεις Σύµφωνα µε τον εσωτερικό κανονισµό του Πανεπιστηµίου Κρήτης κυρίαρχα δικαιώµατα των φοιτητών είναι το δικαίωµα στη µάθηση και η ελεύθερη διακίνηση των ιδεών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΤΕΕ ΤΜΗΜΑ ΚΕΡΚΥΡΑΣ

ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΤΕΕ ΤΜΗΜΑ ΚΕΡΚΥΡΑΣ ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΤΕΕ ΤΜΗΜΑ ΚΕΡΚΥΡΑΣ Κέρκυρα 8-10 Απριλίου 2005 «Πολιτεία-Χωροταξικός και Πολεοδομικός Σχεδιασμός» «ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΕΡΙΑΣΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ ΣΤΗΝ ΑΤΤΙΚΗ» Θ. Ψυχογιός Τοπ-Πολεοδόμος Μηχανικός Προϊστάμενος Τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΥΡΙΟ-ΜΑΘΗΜΑ ΙΣΤΟΡΙΑΣ

ΚΟΥΡΙΟ-ΜΑΘΗΜΑ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΟΥΡΙΟ-ΜΑΘΗΜΑ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΑΧΙΛΛΕΩΣ Β`2 Καθηγήτρια: Μαρία Πουλιάου Χατζημιχαήλ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Γενική εισαγωγή...σελ.3 Ιστορική διαδρομή...σελ.4 Οικία Ευστόλιου...σελ.5 Θέατρο Κουρείου...σελ.6-7 Σεισμόπληκτη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ στο µάθηµα «Εισαγωγή στο ίκαιο και τους Πολιτικούς Θεσµούς» ΑΘΗΝΑ 2000 Οµάδα Σύνταξης Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικό Πρόγραµµα Σπουδών του Μαθήµατος. Α Τάξη 1 ου Κύκλου Τ.Ε.Ε. 3 ώρες /εβδοµάδα. Αθήνα, Απρίλιος 2001

Αναλυτικό Πρόγραµµα Σπουδών του Μαθήµατος. Α Τάξη 1 ου Κύκλου Τ.Ε.Ε. 3 ώρες /εβδοµάδα. Αθήνα, Απρίλιος 2001 Αναλυτικό Πρόγραµµα Σπουδών του Μαθήµατος Α Τάξη 1 ου Κύκλου Τ.Ε.Ε. 3 ώρες /εβδοµάδα Αθήνα, Απρίλιος 2001 Μάθηµα : «Στοιχεία Κλωστοϋφαντουργίας» Α. ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Σκοπός του µαθήµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΓΡΑΦΙΚΑ ΝΕΑ Demo Νews

ΔΗΜΟΓΡΑΦΙΚΑ ΝΕΑ Demo Νews ΔΗΜΟΓΡΑΦΙΚΑ ΝΕΑ Demo Νews Εργαστήριο Δημογραφικών και Κοινωνικών Αναλύσεων, Πεδίον Άρεως, Βόλος, 38334, http://www. ldsa.gr/, demolab@uth.gr, +302421074432-33 Που γεννήθηκα, που κατοικώ; η γεωγραφική κινητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΑΝΑΣΚΑΦΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ

ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΑΝΑΣΚΑΦΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡ. & ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧ. ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΑΝΑΣΚΑΦΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ Γ.Ν. ΜΑΚΡΗΣ ΑΘΗΝΑ, 2011 1 Γενικά Εδώ και πολλά χρόνια, οι ανασκαφικές έρευνες δέχονται τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Η γενοκτονία των Ποντίων 1 (11)

Η γενοκτονία των Ποντίων 1 (11) Η γενοκτονία των Ποντίων 1 (11) H γη των µύθων Στα παράλια της άξενης θάλασσας που εκτείνεται πέρα από τα στενά του Βοσπόρου, Έλληνες πριν από σχεδόν 3.000 χρόνια έχτισαν φιλόξενες πολιτείεςκιβωτούς του

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ ΣΤΗΝ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ «ΤΑ ΝΕΑ» 16.04.2013

ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ ΣΤΗΝ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ «ΤΑ ΝΕΑ» 16.04.2013 ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ ΣΤΗΝ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ «ΤΑ ΝΕΑ» 16.04.2013 ΓΕΝΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΚΑΙ ΜΥΣΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΛΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Οι οδηγίες που δίνονται από τα φροντιστήρια δεν αποτελούν σε καμία περίπτωση το μαγικό ραβδί που θα σας οδηγήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΙΔΙΚΩΝ ΟΡΩΝ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ «ΑΣΦΑΛΩΣ ΚΑΤΟΙΚΕΙΝ» ΚΟΙΝΟΧΡΗΣΤΟΙ ΧΩΡΟΙ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΙΔΙΚΩΝ ΟΡΩΝ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ «ΑΣΦΑΛΩΣ ΚΑΤΟΙΚΕΙΝ» ΚΟΙΝΟΧΡΗΣΤΟΙ ΧΩΡΟΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΙΔΙΚΩΝ ΟΡΩΝ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ «ΑΣΦΑΛΩΣ ΚΑΤΟΙΚΕΙΝ» ΚΟΙΝΟΧΡΗΣΤΟΙ ΧΩΡΟΙ ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΑΡΘΡΟ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ Αξία καινούργιου: Είναι το ποσό που απαιτείται για την ανακατασκευή του κτιρίου

Διαβάστε περισσότερα

Αιτιολογική έκθεση Προς τη Βουλή των Ελλήνων

Αιτιολογική έκθεση Προς τη Βουλή των Ελλήνων Αιτιολογική έκθεση Προς τη Βουλή των Ελλήνων Οι οργανισμοί τοπικής αυτοδιοίκησης (ΟΤΑ) της χώρας, ως έκφραση της λαϊκής κυριαρχίας, αποτελούν θεμελιώδη θεσµό του δηµόσιου βίου των Ελλήνων, όπως αυτός κατοχυρώνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ. Οδηγός Οργάνωσης και Λειτουργίας ΕΚΔΟΣΗ 1.0

ΒΑΣΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ. Οδηγός Οργάνωσης και Λειτουργίας ΕΚΔΟΣΗ 1.0 ΒΑΣΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Οδηγός Οργάνωσης και Λειτουργίας ΕΚΔΟΣΗ 1.0 ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Οδηγός Οργάνωσης και Λειτουργίας Περιεχόμενα Εισαγωγή Σκοπός Απαιτούμενες Γνώσεις Μορφή της Εκπαίδευσης Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Η υποστήριξη της επαγγελματικής μάθησης μέσα από την έρευνα-δράση: διαδικασίες και αποτελέσματα

Η υποστήριξη της επαγγελματικής μάθησης μέσα από την έρευνα-δράση: διαδικασίες και αποτελέσματα Η υποστήριξη της επαγγελματικής μάθησης μέσα από την έρευνα-δράση: διαδικασίες και αποτελέσματα Σοφία Αυγητίδου Καθηγήτρια Παιδαγωγικής Εκπαίδευσης Εκπαιδευτικών Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Δομή παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

Το Βαρόμετρο του Παρατηρητηρίου: Ποιότητα των Δημόσιων Υπηρεσιών προς Επιχειρήσεις

Το Βαρόμετρο του Παρατηρητηρίου: Ποιότητα των Δημόσιων Υπηρεσιών προς Επιχειρήσεις Παρατηρητήριο Επιχειρηματικού Περιβάλλοντος Το Βαρόμετρο του Παρατηρητηρίου: Ποιότητα των Δημόσιων Υπηρεσιών προς Επιχειρήσεις Δεκέμβριος 213 Με τη συγχρηματοδότηση της Ελλάδας και της Ευρωπαϊκής Ένωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΦΑΣΗ 34750/2006 (Αριθμός καταθέσεως πράξεως 43170/2006) ΤΟ ΠΟΛΥΜΕΛΕΣ ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΟΥΣΙΑΣ ΔΙΚΑΙΟΔΟΣΙΑΣ ΣΥΓΚΡΟΤΗΘΗΚΕ από

ΑΠΟΦΑΣΗ 34750/2006 (Αριθμός καταθέσεως πράξεως 43170/2006) ΤΟ ΠΟΛΥΜΕΛΕΣ ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΟΥΣΙΑΣ ΔΙΚΑΙΟΔΟΣΙΑΣ ΣΥΓΚΡΟΤΗΘΗΚΕ από ΑΠΟΦΑΣΗ 34750/2006 (Αριθμός καταθέσεως πράξεως 43170/2006) ΤΟ ΠΟΛΥΜΕΛΕΣ ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΟΥΣΙΑΣ ΔΙΚΑΙΟΔΟΣΙΑΣ ΣΥΓΚΡΟΤΗΘΗΚΕ από τους Δικαστές Κυριάκο Μπαμπαλίδη, Πρόεδρο Πρωτοδικών,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Αθήνα, 13 Νοεµβρίου 2012 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Αθήνα, 13 Νοεµβρίου 2012 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Αθήνα, 13 Νοεµβρίου 2012 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Αποδοχή από την Επιτροπή Ανταγωνισµού των δεσµεύσεων της ΕΠΑ Α.Ε. αναφορικά µε την αγορά προµήθειας φυσικού αερίου και την

Διαβάστε περισσότερα