υ W Α ΡΑΝΕΙΑΚΕΣ ΥΝΑΜΕΙΣ Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς.

Transcript

1 Α ΡΑΝΕΙΑΚΕΣ ΥΝΑΜΕΙΣ Αδρανειακά σστήµατα αναφοράς. Οι δύο κύριοι παρατηρούν το κρεµασµένο ακίνητο µπαλάκι. Ο επί το οχήµατος κινείται εθύγραµµα µε σταθερή ταχύτητα. Τι θα διαπιστώσον; Ο ακίνητος βλέπει το µπαλάκι ακίνητο και τη σνισταµένη τν δνάµεν µηδέν. Κάθε σώµα διατηρεί την ταχύτητά το εφ όσον η σνισταµένη τν δνάµεν πο δέχεται είναι µηδέν. Ήταν ακίνητο και θα παραµείνει ακίνητο. Η σνισταµένη τν δνάµεν είναι µηδέν. Το µπαλάκι παραµένει ακίνητο. Ισχύει ο Α νόµος το Νεύτνα, Η σνισταµένη τν δνάµεν είναι µηδέν. Το µπαλάκι θα σνεχίσει να κινείται µε την ίδια ταχύτητα. Ισχύει ο Α νόµος το Νεύτνα, Ο κινούµενος θερεί τον εατό το ακίνητο και το µπαλάκι κινούµενο µε ταχύτητα. Η σνισταµένη τν δνάµεν είναι και γι ατόν µηδέν. Σύµφνα µε τον πρώτο νόµο θα σνεχίσει να κινείται µε ατήν την ταχύτητα. Και οι δύο παρατηρητές διαπιστώνον την ισχύ το Α νόµο το Νεύτνα. Και τν δύο τα σστήµατα αναφοράς είναι αδρανειακά. Αδρανειακό είναι ένα σύστηµα αναφοράς όταν ο παρατηρητής το διαπιστώνει την ισχύ το Α νόµο το Νεύτνα. Αν ένα σύστηµα αναφοράς κινείται εθύγραµµα και οµαλά ς προς αδρανειακό σύστηµα αναφοράς είναι και ατό αδρανειακό.

2 Η δύναµη d lembert. a Οι δύο παρατηρητές µας παρατηρούν το κρεµασµένο ακίνητο µπαλάκι. Ατή τη φορά το όχηµα έχει κάποια στιγµή επιτάχνση a. Τι διαπιστώνον τώρα; Η σνισταµένη τν δνάµεν είναι µηδέν. Το µπαλάκι παραµένει ακίνητο. Ισχύει ο Α νόµος το Νεύτνα. Ο ακίνητος βλέπει, όπς πριν, το µπαλάκι ακίνητο και τη σνισταµένη τν δνάµεν µηδέν. ιαπιστώνει πάλι την ισχύ το Α νόµο. Το µπαλάκι έχει επιτάχνση a Πρέπει αναγκαστικά να δέχεται κάποια δύναµη ίδιας διεύθνσης και φοράς. Ο κινούµενος θερεί τον εατό το ακίνητο και το µπαλάκι κινούµενο µε επιτάχνση a. Σµπεραίνει, από τον Β νόµο το Νεύτνα, ότι το σώµα δέχεται εκείνη τη στιγµή δύναµη F = m. a. Λες και πάρχει κάποιο βαρτικό πεδίο πο το βλέπει µόνο ατός. a F Η δύναµη ατή πο ιοθετεί ο επιταχνόµενος παρατηρητής ονοµάζεται δύναµη d lembert. Σε ένα σύστηµα αναφοράς πο έχει κάποια στιγµή επιτάχνση a πρέπει σε κάθε σώµα να δεχτούµε ότι ασκείται και η δύναµη F = m. a. Jean Le Rond d'lembert (Βικιπέδια) Ο Ζαν Μπατίστ λε Ροντ ντ' Αλαµπέρ (16 Νοεµβρίο 1717,Παρίσι - 9 Οκτβρίο 1783) ήταν ένας από τος σηµαντικότερος µαθηµατικούς και φσικούς το18ο αιώνα και φιλόσοφος το ιαφτισµού. Επιπλέον βοήθησε τον Ντιντερό στην σγγραφή της περίφηµης Εγκκλοπαίδειας (Encyclopédie) Γεννηµένος από πατέρα στρατηγό και µητέρα µαρκησία, ο ντ' Αλαµπέρ εγκαταλείφθηκε από πολύ µικρός από την µητέρα το µπροστά σε µια εκκλησία στο Παρίσι, όπο και τον ιοθέτησε η γναίκα το εκεί ιερέα. Ο ντ' Αλαµπέρ σπούδασε νοµικά,αργότερα ιατρική,και αργότερα αφοσιώθηκε µε ατοδιδασκαλία στα µαθηµατικά και στην φσική. Ο ντ' Αλαµπέρ ήταν ο πρώτος πο διατύπσε το θεµελιώδες θεώρηµα της άλγεβρας για το πλήθος τν ριζών αλγεβρικής εξίσσης, αν και άλλοι µαθηµατικοί κατάφεραν να το αποδείξον αργότερα.

3 Η φγόκεντρος δύναµη. Έστ δύο σστήµατα αναφοράς. Η αρχή τος κοινή και βρίσκεται στο σηµείο Ο. Ένα σώµα δεµένο µε νήµα περιστρέφεται περί το Ο µε γνιακή ταχύτητα. Το ένα σύστηµα είναι ακίνητο. Το δεύτερο περιστρέφεται µε γνιακή ταχύτητα. Ένα δναµόµετρο στο Ο καταγράφει τη δύναµη πο δέχεται και σνεπώς τη δύναµη πο δέχεται το σώµα µια και το νήµα θερείται αµελητέας µάζας. Πς θα ερµηνεύσει κάθε παρατηρητής τη δύναµη πο καταγράφεται; Προφανώς και οι δύο διαβάζον την ίδια ένδειξη. Οι ερµηνείες τος: Ο ακίνητος παρατηρητής. Το σώµα εκτελεί κκλική κίνηση, εποµένς δέχεται την κεντροµόλο δύναµη. Το δναµόµετρο καταγράφει τη δύναµη πο ασκεί το σώµα στο Ο. Ατή είναι ίση µε ατήν πο δέχεται, την κεντροµόλο, δηλαδή = m. R Ο στρεφόµενος παρατηρητής. Βλέπει το µπαλάκι ακίνητο και σµπεραίνει ότι η σνισταµένη τν δνάµεν πο δέχεται είναι µηδέν. Επειδή δέχεται την πρέπει να δέχεται και µια δύναµη ίση µε την. Με τον προηγούµενο βλέπει την ίδια ένδειξη στο δναµόµετρο και ποθέτει ότι πάρχει δύναµη ίση µε m. R. Η δύναµη πο ιοθετεί είναι η φγόκεντρος δύναµη. Ατή τη δύναµη την «επισνάπτει» σε όλα τα σώµατα, είτε είναι ακίνητα ς προς ατόν είτε όχι. Θα δούµε παρακάτ ότι τα σώµατα πο κινούνται ς προς ατόν δέχονται και άλλη δύναµη. Η φγόκεντρος είναι εύκολο να σηµειθεί µια και «προσπαθεί» να αποµακρύνει το σώµα από το κέντρο της τροχιάς. εν τα καταφέρνει µια και εξοδετερώνεται (στην παρούσα περίπτση) από την τάση το νήµατος. Με την φγοκέντρηση τα αδιάλτα σστατικά σρεύονται στον πθµένα κάθε σλήνα. Η εξήγηση είναι εκολότερη µε την επίκληση της φγοκέντρο παρά µε την αποσία της κεντροµόλο.

4 Η δύναµη Coriolis. Ο ακίνητος παρατηρητής. Ο αδρανειακός παρατηρητής βλέπει το σώµα να κινείται εθύγραµµα και οµαλά µη δεχόµενο δύναµη. Το σηµείο Α εκτελεί οµαλή κκλική κίνηση και το µπαλάκι περνά από το Β. είτε την προσοµοίση πο επισνάπτ και πατήστε το κοµπί «ακίνητος». Ο µύλος περιστρέφεται µε σταθερή γνιακή ταχύτητα περί το Ο. Ένα µπαλάκι κινείται µε σταθερή ταχύτητα από το Ο προς το Α. Θα φτάσει στο σηµείο Α το µύλο; Η περιστροφή το µύλο θα µετατοπίσει το σηµείο Α έτσι ώστε το µπαλάκι να περάσει από ένα άλλο σηµείο το µύλο. Τι βλέπον οι δύο παρατηρητές µας, ο ακίνητος και ένας πο περιστρέφεται µε τον µύλο, τοποθετηµένος στο Ο; B B Ο στρεφόµενος παρατηρητής. Ατός βλέπει µια καµπύλη τροχιά. Θα την δείτε αν ανοίξετε την προσοµοίση πο επισνάπτ και πατήσετε το κοµπί «στρεφόµενος». Εξηγεί την εκτροπή ατήν ιοθετώντας µια δύναµη κάθετη στην ταχύτητα. Η δύναµη ατή ονοµάζεται δύναµη Coriolis. Ατή είναι κάθετη στην σχετική ταχύτητα το µπαλακιού ς προς τον παρατηρητή και είναι ίση µε F = m.., όπο η σχετική c ταχύτητα. Η φορά βρίσκεται µε τον κανόνα τν τριών δακτύλν.

5 εν θα δοθεί αστηρή απόδειξη, θα παροσιαστούν δύο παραδείγµατα στα οποία επαληθεύεται η παραπάν σχέση. 1 ο παράδειγµα. dϕ dr dy Υιοθετεί λοιπόν τη δύναµη Coriolis η οποία ισούται µε.. Έστ ότι ένα σώµα κινείται εθύγραµµα και οµαλά ς προς ακίνητο παρατηρητή. Ο στρεφόµενος παρατηρητής το βλέπει να έχει ταχύτητα ς προς ατόν. Λόγ της περιστροφής το βλέπει εκτροπή dyσε χρόνο dt. Λέει ότι πάρχει επιτάχνση a κάθετη στην ταχύτητα τέτοια ώστε: 1. dy= a dt 1 dr dϕ dr. dϕ= a. dt a= a=. dt dt F = m. c ο παράδειγµα. F x F ϕ Ένα σώµα είναι ακίνητο. Όµς ο στρεφόµενος παρατηρητής µας το βλέπει να εκτελεί οµαλή κκλική κίνηση. Φσική ξέρει και λέει ότι πάρχει κεντροµόλος ίση µε F = m. R Όµς ατός «βλέπει» τη φγόκεντρο δύναµη πο είναι κ Fϕ = m. R «-Ατή δεν δίνει κεντροµόλο», σκέφτεται. «-Πρέπει να πάρχει µία Fx πο να δείχνει το κέντρο και η σνισταµένη ατής και της φγοκέντρο να είναι η κεντροµόλος. ηλαδή: Fx Fϕ = Fκ Fx m. R= m. R Fx = m. R Επειδή.R= έχοµε: F x = m.. Ατή είναι η δύναµη Coriolis. Gustave Gaspard de Coriolis Ο Γκασπάρ-Γκστάβ ντε Κοριόλις ( ) Ήταν Γάλλος φσικός, µαθηµατικός και µηχανικός. Είναι κρίς γνστός από την ανακάλψη της δύναµης πο εµφανίζεται σε στρεφόµενα σστήµατα σµάτν, η οποία έλαβε το όνοµά το (δύναµη Coriolis) και είναι ιδιαίτερης σηµασίας για τη µετερολογία, τη βαλλιστική και την κεανογραφία.

6 Σνέπειες της δύναµης Coriolis. Ένα βλήµα εκτοξεύεται προς σηµείο το Ισηµερινού. Λόγ περιστροφής της Γης ένας επίγειος παρατηρητής βλέπει το βλήµα να διαγράφει «περίεργη» τροχιά. Την αποδίδει στη δράση της δύναµης Coriolis. Η εκτροπή τν διεθύνσεν τν ανέµν µελετάται µε χρήση της δύναµης Coriolis. Ας προσεχθεί το ότι στο νότιο ηµισφαίριο έχει αντίθετη φορά από ότι στο βόρειο. Ανάλογη είναι και η επιδραση στα θαλάσσια ρεύµατα. Η δύναµη Coriolis εξηγεί την περίεργη κίνηση το εκκρεµούς το Foucault. &feature=relmfu είτε και τη σχετική προσοµοίση.

7 a γ Η δύναµη Euler. Ο µύλος περιστρέφεται µε γνιακή επιτάχνση a γ Το σώµα είναι ακίνητο στο σηµείο Α. Ο ακίνητος παρατηρητής δεν βλέπει δύναµη στο σώµα και επαληθεύει για µια ακόµα φορά τον Α νόµο το Νεύτνα. «-Είναι ακίνητο και θα παραµείνει ακίνητο εφ όσον η σνισταµένη τν δνάµεν είναι µηδέν». Τι βλέπει όµς ένας παρατηρητής πο βρίσκεται πάν στο µύλο; Ατός «βλέπει» το σώµα σε κκλική κίνηση µε αξανόµενη γνιακή ταχύτητα και αξανόµενη γραµµική ταχύτητα. Βλέπει τη φγόκεντρο F = m. R πο αξάνεται σνεχώς µε τον χρόνο. Βλέπει την Coriolis Fc = m.. = m. R πο επίσης αξάνεται σνεχώς µε τον χρόνο. Η σνισταµένη τος m. Rείναι η αναγκαία κεντροµόλος, µια κεντροµόλος σνεχώς αξανόµενη. Το αξανόµενο µέτρο της γραµµικής ταχύτητας το αποδίδει σε µία επιτρόχιο δύναµη η οποία είναι ίση µε: F = m. a = m. a R. Eul επ γ ϕ F Eul F ϕ a γ F Eul F ϕ F ϕ Ατή είναι η δύναµη Euler. Leonhard Euler Γεννήθηκε στη Βασιλεία της Ελβετίας το Ήταν γιος ενός καλβινιστή πάστορα και σπούδασε Μαθηµατικά µε τον Johann Bernoulli. Στα είκοσί το χρόνια είχε αποκτήσει τόση φήµη, ώστε τον κάλεσαν στην Ακαδηµία της Πετρούπολης, όπο έγινε το 1733 καθηγητής. Το 1741 κάλεσε τον Όλερ ο Φρειδερίκος Β' στο Βερολίνο, όπο έµεινε µέχρι το 1756 ς διεθντής της τάξης Μαθηµατικών της Ακαδηµίας Επιστηµών. Το 1766 επανήλθε στην Πετρούπολη. Αν και από το 1767 ήταν ήδη τελείς τφλός, δεν µειώθηκε η δραστηριότητα το Όλερ, ο οποίος θερείται ς ο πιο παραγγικός ερενητής στην ιστορία τν Μαθηµατικών. ηµοσίεσε περί τα 900 σγγράµµατα, µελέτες και βιβλία, τα οποία κατά ένα µέρος δηµοσιεύτηκαν 50 χρόνια µετά το θάνατό το.

8 Μια ροπή απ το ποθενά. a γ τ a γ Ένα στερεό σώµα είναι ακίνητο και το παρατηρεί ο στροφικά επιταχνόµενος παρατηρητής µας. Ατός βλέπει το σώµα να περιστρέφεται µε γνιακή επιτάχνση a γ και το αποδίδει σε µια ροπή τ = Icm. a γ όπο Icmη ροπή αδράνειας το σώµατος ς προς άξονα διερχόµενο από το κέντρο µάζας το και παράλληλο στη γνιακή επιτάχνση. Η ροπή ατή οφείλεται στο ότι οι δνάµεις Euler πο δέχονται τα στοιχειώδη τµήµατα το σώµατος δεν έχον ίδια τιµή λόγ τν διαφορετικών τος αποστάσεν από τον παρατηρητή. Πηγή της ροπής είναι η δύναµη Euler. Ο παρατηρητής µας είναι καρφµένος στο Ο και στρέφεται µε γνιακή επιτάχνση a γ. Το σώµα είναι ακίνητο. Το διαιρούµε σε στοιχειώδη τµήµατα. Ατός βλέπει το σώµα να στρέφεται αντίθετα. Βλέπει τα στοιχειώδη τµήµατα να έχον τις ταχύτητες το σχήµατος. Η στροφορµή το σώµατος ς προς το Ο είναι: L= dm r + dm r +... = dm r + dm r +... ( ) Μέσα στην παρένθεση είναι η ροπή αδράνειας ς προς το Ο. Με το θεώρηµα Steiner βγάζοµε ότι: L= I + m. D, όπο D η απόσταση το κέντρο µάζας Κ από το Ο. ( cm ) Θερεί ότι πάρχει ροπή ς προς το Ο ίση µε: dl d τ = = ( Icm+ m. D ) = Icmaγ + m. D aγ dt dt Ο όρος Icma γ εκφράζει τον ρθµό µεταβολής της ιδιοστροφορµής το και παράλληλα τη ροπή το ζεύγος ενώ ο όρος m. D a γ τον ρθµό µεταβολής της στροφορµής το Κ.Μ. και παράλληλα τη ροπή της σνισταµένης τν επιτροχίν δνάµεν µεταφερµένν στο Κ.Μ. a γ r dm 1 1 K 1 r dm Τατόχρονα πάρχον και οι στοιχειώδεις κεντροµόλοι δνάµεις. Αν ο παρατηρητής στηθεί στο Κ.Μ. βλέπει ένα σώµα να επιταχύνεται στροφικά. Το εξηγεί δεχόµενο ροπή cm I a γ. a γ τ Η ροπή προκύπτει από τον θεµελιώδη νόµο πο ξέρει από το σχολείο αλλά και από εφαρµογή το παραπάν τύπο για D= 0. Θα σνεχιστεί